1999年全国初中数学联赛(II)试题

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1999年全国初中数学竞赛试题及答案（推荐五篇）

1999年全国初中数学竞赛试题及答案（推荐五篇）第一篇：1999年全国初中数学竞赛试题及答案1999年全国初中数学竞赛试卷一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．142．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（）．A．60元 B．66元 C．75元 D．78元3．已知，那么代数式的值为（）．A． B．－ C．－ D．4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．A．30 B．36 C．72 D．1255．如果抛物线与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（）．A．1 B．2 C．3 D．46．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（）．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）7．已知，那么x + y的值为．28．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点2P在边DC上运动，EP与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB 与四边形AFPD的面积和为ycm，那么，y与x之间的函数关系式是（0＜x＜10）．9．已知ab≠0，a + ab－2b = 0，那么的值为．10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是．11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是． 2212．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台．三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）13．设实数s，t分别满足19s + 99s + 1 = 0，t + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3．例如，30可以这样得到：．（1）（10分）证明：可以得到22；10097（2）（10分）证明：可以得到2 + 2－2．1999年全国初中数学竞赛答案一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D二、7．10 8．y = 5x + 50 9． 10． 11． 12．6三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：又∵st≠1，．∴，t是一元二次方程x + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有．即st + 1 =－99s，t = 19s．∴．14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．∵AB=BD，O是圆心，∴BH⊥AD．又∵∠ADC=90°，∴BH∥CD．从而△OPB∽△CPD．∴CD=1．于是AD=又OH=CD=，于是．，2AB=BC=所以，四边形ABCD的周长为15．证明：（1），．．．也可以倒过来考虑：．（或者（2．））．或倒过来考虑：．注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．第二篇：19届全国初中数学竞赛试题及答案“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若，则的值为（）．（A）（B）（C）（D）解：由题设得．2．若实数a，b满足，则a的取值范围是（）．（A）a≤（B）a≥4（C）a≤或a≥4（D）≤a≤4解．C因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式≥0,解得a≤或a≥4．3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（）．（A）（B）（C）（D）（第3题）解：D如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．由已知可得（第3题）BE=AE=，CF＝，DF＝2，于是EF＝4＋．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得AD＝．4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（）．(A)(B)(C)(D)解：B由和可得，，，，……因为2010=4×502+2，所以=2．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B 旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）．（A）（2010，2）（B）（2010，）（C）（2012，）（D）（0，2）解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．（第5题）记，其中．根据对称关系，依次可以求得：，，．令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），由于2010=4502+2，所以点的坐标为（2010，）．二、填空题6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12的值等于．解：0由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得，①，②．③由①②，得，所以，x=30．故（分）．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．（第8题（第8题）解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO 的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线即为所求的直线．设直线的函数表达式为，则解得,故所求直线的函数表达式为．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则．（第9题）解：见题图，设．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．又因为FC＝DC＝AB，所以即，解得，或（舍去）．又Rt△∽Rt△，所以，即=．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为．解：因为为的倍数，所以的最小值满足，其中表示的最小公倍数．由于，因此满足的正整数的最小值为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF.求证：（第12A题）．（第12B题）（第11题）（第12B题）证明：如图，连接ED，FD.因为BE和CF都是直径，所以ED⊥BC，FD⊥BC，因此D，E，F三点共线.…………（5分）连接AE，AF，则，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）（第11题）作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，从而，所以.…………（20分）12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为.（第12题）设点B（t，），AB所在直线的函数表达式为，则有解得，.于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得…（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（，0）.（第12题）因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．所以，点的坐标是（8，），或（2，）.…………（20分）13．求满足的所有素数p和正整数m.解：由题设得，所以，由于p是素数，故，或.……（5分）（1）若，令，k是正整数，于是，故，从而.所以解得…………（10分）（2）若，令，k是正整数.当时，有，故，从而，或2.由于是奇数，所以，从而.于是这不可能.当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解.综上所述，所求素数p=5，正整数m=9.…………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，，…，（即1991）满足题设条件.（5分）另一方面，设是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为，所以.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数.…………（10分）设，i=1，2，3，…，n.由，得，所以，即≥11.…………（15分）≤，故≤60.所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61.…………（20分）第三篇：1996年全国初中数学竞赛试题及答案1996年全国初中数学联赛试题A．M＞NB．M=NC．M＜ND．不确定A．有一组 B．有二组C．多于二组D．不存在3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于 [ ]4．设x1、x2是二次方程x2+x-3=0的两个根，那么x13-4x22+19的值等于 []A．-4B．8C．6D．05．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 []A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有 []A．4个 B．8个C．12个D．24个2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABN=∠MBC，BM=NM，BN=a，则点N到边BC的距离等于______．3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且4．如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB＇C＇D＇的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是______．5.某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是(m·n+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．6.设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O，P是以O为圆心OM为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：∠OPF=∠OEP．三、（本题满分25分）已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值．1996年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．C二、填空题一、据题意m+11=n+9，且整除mn+9m+11n+145mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，故m+11，n+9都整除46，由此得综上可知，每人捐款数为25元或47元．二、作AD、BO的延长线相交于G，∵OE而，三、据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在( 1，0)中，故经检验，符合题意，∴a+b+c=11最小．第四篇：全国初中数学竞赛试题及答案(1995年)中国数学教育网1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题1．已知a＝355,b＝444,c＝533,则有［]A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜bA．1 B．2C．3D．4 3．如果方程(x－1)(x2－2x－m)＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是4．如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62π B．63π C．64π D．65π 5．设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则 []A．M＞NB．M＝NC．M＜N D．M、N的大小关系不确定6．设实数a、b满足不等式｜｜a｜－(a＋b)｜＜｜a－|a＋b｜｜，则[]A．a＞0且b＞0 B．a＜0且b＞0 C．a＞0且b＜0 D．a＜0且b＜0二、填空题1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。

1999年初中数学联赛试题.doc

1999年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题(满分42分，每小题7分)1.计算的值是( ) .(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -22 . △ABC的周长是24，M是AB的中点，MC = MA = 5 . 则△ABC的面积是( ) .(A) 12 (B) 16 (C) 24 (D) 303 . 设b＞a，将一次函数y = bx+a与y = ax+b的图象画在平面直角坐标系内，则有一组a、b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是( ) .4 . 若函数y = (-100x+196+| -100x+196|) ，则当自变量x取1，2，3，…，100 这100个自然数时，函数值的和是( ) .(A) 540 (B) 390 (C) 194 (D) 975 . 如右图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB = 998，DC = 1001，AD = 1999，点P在线段AD上. 则满足条件∠BPC = 90°的点P的个数为( ) .(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不小于36 . (甲)若α、β是不相等的无理数，则αβ+α-β(乙)若α、β是不相等的无理数，则(丙)是α、β是不相等的无理数，则是无理数. 其中正确命题的个数是( ) .(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二、填空题(满分28分，每小题7分)1. 已知且a≠0 . 则.2. 如右图，在△ABC中，∠B = 36°，∠ACB = 128°，∠CAB的平分线交BC 于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC 的延长线于N . 则△ANM的最小角等于_______ .3 . 已知a 、b则a + b=____________ .4 . 如右图，在正方形ABCD中，N是DC 的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC . 则tg∠ABM=______ .第二一、(本题20分) 某班参加一次智力竞赛，共a、b、c三题. 每题或者得满分或者得0分，其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分. 竞塞结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人. 答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20 . 问这个班的平均成绩是多少分?二、(本题25分)ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD =4DC . 已知圆过点C且与AC 相交于F，与AB相切于AB的中点G . 求证：AD⊥BF .三、(本题25分) a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关于x的二次方程的两个根均为质数. 求a的值.情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。

希望杯第十届(1999年)初中一年级第2试试题(附参考答案)

希望杯第十届（1999年）初中一年级第2试试题一、选择题:(每小题6分,共60分)以下每题的四个结论中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.1.11999的相反数是( ). (A)1999 (B)-1999 (C)-11999; (D)11999-2.已知a 、b 、c 都是负数,并且│x-a │+│y-b │+│z-c │=0,则xyz 是( ). (A)负数 (B)非负数 (C)正数 (D)非正数3.下面四个命题中正确的是( ). (A)相等的两个角是对顶角(B)和等于180°的两个角是互为邻补角 (C)连接两点的最短线是过这两点的直线(D)两条直线相交所成的四个角都相等,则这两条直线互相垂直 4.a 、b 、c 三个有理数在数轴上的位置如图所示,则( ). (A)111c a c b a b >>---; (B)111b c c a b a >>--- (C)111c a b a b c >>---; (D)111a b a c b c>>--- 5.7-a 的倒数的相反数是-2,那么a=( ). (A)9 (B)7.5 (C)5 (D)6.5 6.一个角的补角的117是6°,则这个角是( ). (A)68° (B)78° (C)88° (D)98° 7.如果ac<0,那么下面的不等式:a c<0;ac 2<0;a 2c<0;c 3a<0;ca 3<0中,必定成立的有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个8.不超过100的所有质数的乘减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( ).(A)3 (B)1 (C)7 (D)99.已知0≤a ≤4,那么│a-2│+│3-a │的最大值等于( ). (A)1 (B)5 (C)8 (D)310.若n 是奇自然数,a 1,a 2, …,a n 是n 个互不相同的负整数,则( ).(A)(a 1+1)(a 2+2)…(a n +n) 是正整数; (B) (a 1-1)(a 2-2)…(a n -n) 是正整数.CA(C)1211112n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是正数; (D)1211112n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是正数.二、填空题(每小题6分,共60分)11.如图,线段AB= BC= CD= DE= 1 厘米, 那么图中所有线段的长度之和等于______厘米. 12.1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=__13.P 是长方形ABCD 的对角线BD 上的一点,M 为线段PC 的中点.如果三角形APB 的面积是2平方厘米,则三角形BCM 的面积等于___________平方厘米.14.五位数538xy 能被3,7和11整除,则x 2-y 2=_________. 15.如图,OM 平分∠AOB,ON 平分∠COD.若∠MON=50°, ∠BOC=10°,则∠AOD= _______.16.三个不同的质数,a,b,c 满足ab bc+a=200,则a+b+c=_______. 17.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数中选出五个组成五位数,使得这个五位数都被3,5,7,13整除.这样的五位数中最大的是___________.18.A 、B 两个港口相距300公里.若甲船顺水自A 驶向B,乙船同时自B 逆水驶向A,两船在C 处相遇.若乙船顺水自A 驶向B,甲船同时自B 逆水驶向A,则两船于D 处相遇,C 、D 相距30公里.已知甲船速度为27公里/小时,则乙船速度是______公里/ 小时.19.已知x=1999,则∣4x 2-5x+9∣-4∣x 2+2x+2∣+3x+7=__________.20.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛,通过抽签决定出赛顺序. 在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测.甲猜:乙第三,丙第五;乙猜: 戊第四,丁第五;丙猜:甲第一,戊第四;丁猜:丙第一,乙第二;戊猜:甲第三,丁第四. 老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中,则出赛顺序中,第一是______, 第三是______,第五是_______.三、解答题:(每小题15分,共30分)要求:写出推算过程.21.一个长方形如图所示恰分成六个正方形,其中最小的正方形面积是1 平方厘米.求这个长方形的面积.22.已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42, 最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?OM N DCB A1999年度(第十届)初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、选择题 1.根据相反数的定义,11999的相反数是-11999,选(C).2.由绝对值定义│x-a │≥0,│y-b │≥0,│z-c │≥0.而已知│x-a │+│y-b │+│z-c │=0,当且仅当│x-a │=│y-b │=│z-c │=0,即x=a 且y=b 且z=c.已知a, b,c 均为负数,则x,y,z 均为负数,因此xyz 是负数.选(A).3.如图8,∠AOC=∠BOC=90°,但∠AOC 与∠BOC 不是对顶角,排除(A).如图9,a ∥b,同旁内角∠1+∠2=180°,但∠1与∠2并非互为邻补角,排除(B). 两点之间最短距离是连接这两点的线段,不能表述为过这两点的直线,排除( C).因此应选(D).事实上,(D)正是两条直线互相垂直的定义.4.由图10可见c<b<a,所以0<a-b<a-c,0<b-c<a-c,由此110 ①a c a b<<-- 110 ②a c b c<<-- 由①有 110 ③c a b a><-- 由②有110 ④c a c b><-- 由②知,应排除(D),由10a b>- 及④可知应排除(A).由10b c >-及③可知应排除(C), 肯定(B),所以应选(B).5.7-a 的倒数是17a -,17a -的相反数是-1177a a =--.依题意列方程:127a =--. 解得:a=6.5,选(D)6.设这个角为a,a 的补角等于180°-a,其117为018017α-,依题意它是6°,所以018017α-=6°. 解得α=78°.选(B).(8)OCBA(9)ab217.由ac<0,可知a ≠0,c ≠0,a,c 符号相反.所以a c<0,而a 2>0,c 2>0,因此a 2·ac<0,ca 3<0,且c 2ac<0,c 3a<0.若a=-1,c=1,ac=-1<0,但a 2·c=1>0; 若a=1,c=-1,ac=-1<0,但a ·c 2=1>0; 可见,ac 2<0,a 2c<0 不一定成立. 所以ac<0时,只有a c<0,c 3a<0,ca 3<0 三个不等式必然成立.选(C). 8.不超过1000的所有质数中包含质数2与5,所以不超过100的所有质数的乘积个位数字是0.不超过60的个位数字是7的质数只有7,17,37,47四个,其乘积的末位数字是1,所以,不超过100的所有质数的乘积减去不超过60的个位数字为7 的所有质数的乘积所得差的个位数字为9.选(D).9.①当0≤a ≤2时,│a-2│+│3-a │=2-a+3-a=5-2a ≤5,当a=0时达到最大值5. ②当2<a ≤3时,│a-2│+│3-a │=a-2+3-a=1 ③当3<a ≤4时,│a-2│+│3-a │=a-2+a-3=2a-5≤2×4-5=3.当a=4时,达到最大值3.综合①、②、③的讨论可知,在0≤a ≤4上,│a-2│+│3-a │的最大值是5,选(B). 10.a 1,a 2,…,a n 是n 个互不相同的负整数,其中n 是奇自然数. 若a 1=-1,a 2=-2,a 3=-3,…,a n =-n,时,(a 1-1)(a 2-2)…(a n -n)=(-2)(-4)((-6)…(-2n)=(-1)n2×4×6×…×(2n)<0(因为n 是奇数),故排除(B).若a 1=-1时,111a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=0,故12111120n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,排除(C).故选(D). 实事上,若a 1<0, a 2<0,…, a n <0,则121110,0,,0na a a ->->->, 所以1211110,20,,0nn a a a ->->->, 所以1211112n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>0,故选(D).二、填空题11.图中,长为1厘米的线段共4条,长为2厘米的线段共3条,长为3 厘米的线段共2条,长为4厘米的线段仅1条.(11)DB图中所有线段长度之和为 1×4+2×3+3×2+4×1=20(厘米). 12.设s=1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又s=1213214321494812334445555505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 相加得 2s=1+2+3+4+…+49, 又 2s=49+48+47+…+2+1, 相加得 4s=50×49=2450, 故 s=612.513.根据题意画图,如图12所示.连接AC 交BD 于O,则△ABO 的面积等于△CBO 的面积,△APO 的面积等于△CPO 的面积.因此,△ABP 的面积等于△CBP 的面积,所以由△APB 面积是2平方厘米,可知△CBP 面积是2平方厘米.而BM 是△CBP 的一条中线,三角形中线平分三角形的面积,所以△BCM 的面积等于1平方厘米.14.由于五位数538xy 能被3,7和11整除,可知3×7×11=231整除538xy . 试除知 231×230=53130 231×231=53361 231×232=53592 231×233=53823 231×234=54054 可见x=2,y=3.x 2-y 2=4-9=5. 15.如图13:∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD =2∠MOB+∠BOC+2∠CON =2(∠MOB+∠BOC+∠CON)-∠BOC =2∠MON-∠BOC =2×50°-10° =90° 16.易知a(b bc+1)=2000=24×53. 若a=5,则b b c+1=400, ∴b bc=399=3×133=3×7×19无论c=3,7或19都不能求得质数b,故a ≠5. 只能取a=2,此时b bc+1=1000, ∴ b bc=999=33×37,则b=3,c=37,(12)2PMDCBA10︒(13)OM NDCB A因此,a+b+c=2+3+37=42.17.所求五位数能被3、5、7、13整除,当然也能被3、5、7、13的最小公倍数整除.即这个五位数是3×5×7×13=1365的倍数.通过除法,可算出五位数中1365的最大倍数是73×1365=99645. 但99645的五个数码中有两个9,不合题意要求,可依次算出 72×1364=98280(两个8重复,不合要求). 71×1365=96915(两个9重复,不合要求). 70×1365=95550(三个5重复,不合要求). 69×1365=94185(五个数码不同). 因此,所求的五位数最大的是94185.18.已知A 、B 两港相距300公里,甲船速为27公里/小时.设乙船速为v 公里/ 小时,小流速为x 公里/小时,则甲船顺水速为(27+x)公里/小时,逆水速为(27-x)公里/小时.乙船顺水速为(v+x)公里/小时,逆水速为(v-x)公里/小时.甲船自A 顺水,乙船自B 逆水同时相向而行,相遇在C 处时间为:300300(27)()27x v x v=++-+同理,乙船自A 顺水,甲船自B 逆水同时相向而行,相遇在D 处所需时间为:300300(27)()27x v x v=-+++可见,两个时间相等. 由图易见,30027v+小时中,乙船比甲船多走30公里,即:300300()(27)302727v x x v v+-+=++, []300()(27)3027v x x v+-+=+,2712710v v -=+,v=33. 如果C 在D 的右边,由图15易见,30027v+小时中,甲船比乙船多走30公里,即:300300(27)()302727x v x v v+•-+•=++,v=22111.答:若C 在D 的左边,乙船速度是33公里/小时;若C 在D 的右边,乙船速度是22111公里/小时.19.由观察可知,当x ≥1时,4x 2-5x+9>0,x 2-2x+2>0, 所以,当x=1999时,原式=4x 2-5x+9-4(x 2-2x+2)+3x+7=-13x+9-8+3x+7=-10x+8 将x=1999代入,原式的值=-19990+8=-19982. 20.将每人猜测的出赛顺序列如下表:1 2 3 4 5 甲 ∨ ∨ 乙 ∨ ∨ 丙 ∨ ∨ 丁 ∨ ∨ 戊∨∨由于每人的出赛顺序至少被一人猜中,戊被猜测的两个顺序号都是第四、故可确定戊是第四位出赛.这时丁不能第四位出赛,而丁的顺序至少被一人猜中, 所以丁应第五位出赛.顺序推得丙只能第一位出赛,甲第三位出赛,乙第二位出赛.答:出赛顺序第一个是丙,第三个是甲,第五个是丁. 三、解答题21.图中的正方形分别标以A,B,C,D,E,F,显然最小的正方形A 的面积是1 平方厘米,它的边为长1厘米.设最大正方形B 的边长为x 厘米,则C 的边长为(x-1)厘米,D 的边长为(x-2)厘米,E 的边长为(x-3)厘米,F 的边长也为(x-3)厘米.根据矩形对边相等,得2(x-3)+(x-2)=x+(x-1) 即 3x-8=2x-1 所以 x=7(厘米)于是,C 的边长为6厘米,D 的边长为5厘米,E 和F 的边长均为4厘米. 长方形的面积为 (7+6)×(7+4)=13×11=143(平方厘米). 22.①设这组四位数共n 个,分别为a 1=42x 1, a 2=42x 2, a 3=42x 3,…, a n =42x n ,其中的每个 a i =42x i 是四位数, 所以1000≤42x i <10000,100010000232394242i x <≤<<. ②由题设知90090=[a 1,a 2,…,a n ]=[42x 1, 42x 2,…, 42x n ]=42[x 1, x 2,…, x n ] 所以 [x 1, x 2,…, x n ]=9009042=2145=3×5×11×13,其中23<x i <239. (*) 可知x i 是由3,5,11,13每个至多用一次组合成的在23和239之间的自然数,并且两两不同.其中两个质因数组合且满足(*)式者,只有33,39,55,65,143, 三个质因数组合且满足(*)式者,有165和195,一个质因数以及多于三个质因数的积,都不能满足(*)式.因此最多产生7个两两不同的四位数.a 1=42×33=1386, a 2=42×39=1638, a 3=42×55=2310, a 4=42×65=2730, a 5=42×143=6006, a 6=42×165=6930, a 7=42×195=8190.它们的和等于42×(33+39+55+65+143+165+195)=42×695=29190. 答:这组两两不同的四位数最多是7个,它们的和是29190.。

1999年全国初中数学联赛试题(含答案)

1999年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月4日上午8:30--9:30）考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。

全卷满分70分。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。

每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。

1、计算的值是（）。

（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。

2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。

（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。

3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。

4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。

（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。

6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。

其中正确命题的个数是（）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。

1、已知且，则＝________。

2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。

3、已知为整数，且满足，则＝________。

4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。

1999年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

1999年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月4日上午8:30--9:30）考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。

全卷满分70分。

每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。

1、计算的值是（）。

（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。

2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。

（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。

3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。

4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。

（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P 在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。

6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。

其中正确命题的个数是（）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。

1、已知且，则＝________。

2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。

3、已知为整数，且满足，则＝________。

4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tg∠ABM＝________。

1999年全国初中数学竞赛试题(3篇)

第1篇一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的前三项分别是2，5，8，则该数列的公差是：A. 2B. 3C. 4D. 52. 下列函数中，在其定义域内为单调递增函数的是：A. \( y = x^2 \)B. \( y = 2^x \)C. \( y = \log_2 x \)D.\( y = \sqrt{x} \)3. 在直角坐标系中，点A（1，2）关于原点对称的点的坐标是：A.（1，-2）B.（-1，2）C.（-1，-2）D.（1，-2）4. 下列等式中正确的是：A. \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)B. \( (a + b)^2 = a^2 + b^2 \)C. \( (a - b)^2 = a^2 - b^2 \)D. \( (a + b)^2 = a^2 - b^2 \)5. 下列不等式中，正确的是：A. \( 2x > x \)B. \( 2x < x \)C. \( 2x = x \)D. \( 2x ≠ x \)二、填空题（每题5分，共20分）6. 若\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，则\( x^2 + 5x \)的值为______。

7. 若等差数列的前三项分别是2，5，8，则该数列的第10项为______。

8. 函数\( y = 2^x \)在定义域内是______函数。

9. 直线\( y = 3x - 2 \)与\( y = -\frac{1}{3}x + 1 \)的交点坐标为______。

10. 若\( a^2 + b^2 = 10 \)，\( ab = 2 \)，则\( a^4 + b^4 \)的值为______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. 解下列方程：\( 2(x - 3) = 3(2x + 1) - 4 \)12. 解下列不等式组：\[\begin{cases}2x - 3 < 5 \\3x + 2 \geq 4\end{cases}\]13. 已知数列{an}是等差数列，且\( a_1 = 2 \)，\( a_4 = 10 \)，求该数列的前10项和。

初中数学竞赛试题及答案大全

全国初中数学竞赛初赛试题汇编（1998-2018）目录1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)20022003200420052006200720082009201020112012201320142015年全国初中数学竞赛预赛 (85)2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)2018 年初中数学联赛试题 (105)1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题：（每小题6分，共30分）1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）cbc a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）53） 4 5a 、b ）共有（6分别是垂足，那么7___________。

89、a=___________。

10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。

三、解答题：（每小题20分，共60分）11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。

12、设抛物线()452122++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，（1）求a 的值；（2）求618323-+a a 的值。

13、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器ABCEF支援给D市18台，E市10台。

全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何

历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（）。

1999年全国初中数学联合竞赛试题及解答

令 AB 1， CT MD k ，则 AM 1 k ，BM 1 1 k ，BT 1 k ，
2
2 1 2 代入⑴式得 1 1 k 2 1 k 1 k ，注意到 k 0 ，解得 k ，AM ， 3 3
故 tan ABM
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1．计算
1 1 3
4

1 1 3
4

2 1 3
的值是（
） C．2. D．－2.
A．1. 【答】D. 原式
2 1 3 2 1 3
B．－1.

4 2 ． 1 3
2．△ABC 的周长是 24，M 是 AB 的中点，MC＝MN＝5，则△ABC 的面积是（ A．12. 【答】C. 如图， ∵ MA MB MC 5 ∴ ACB 90 ，已知周长是 24 ，则 AC BC 14 ， AC 2 BC 2 102 ． ∴ 2 AC BC AC BC AC 2 BC 2 142 102 4 24 ．
6．有下列三个命题：（甲）若，是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若，
是不相等的无理数，则
是无理数；（丙）若，是不相等的无理数，则 3
） C．2. D．3.
是无理数．其中正确命题的个数是（ A．0. 【答】A. B．1.
又若令 3 2 ， 2 ，则 3 0 为有理数，故（丙）不对；故正确命题个数是 0，故选择 A．
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1 bc 1．已知 (b c)2 (a b)(c a) 且 a 0 ，则 4 a

全国初中数学联赛二试题选

1991：一、x + y ， x － y ， x y ，yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且 BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992：一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993：一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994：一、如图所示，在△ABC 中，AB=AC.任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ.求证：△ABC 的外心O 与A,P,Q 四点共圆。

1991年—1999年全国初中数学竞赛试题及答案

1991年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式ya a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（A ）3 ；（B ）31；（C ）2；（D ）35．答（）２．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10；（B ）12；（C ）16；（D ）18．答（）３．方程012=--x x 的解是（A ）251±；（B ）251±-；（C ）251±或251±-；（D ）251±-±．答（）４．已知：)19911991(2111nnx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．答（）５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）６．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足cb a=+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（）８．在锐角ΔABC 中，1=AC，cAB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21<c < 2 ；（Ｂ）0<c ≤21；答（）（C ）c > 2；（D ）c = 2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpnmxx xx )1(1)1(+=-+恒成立，则=++qp n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，11=S 3S =132=SCD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x －y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且 BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛试题第一试一.选择题120135本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD , ︒=∠60A,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x,则xxxx 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(b a a b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( ) 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

1999年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案

1999年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月4日上午8:30--9:30）考生注意：本试两大题共10道小题，每题7分。

全卷满分70分。

每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。

1、计算的值是（）。

（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。

2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（）。

（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。

3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）。

4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。

（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。

5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。

6、有下列三个命题：（甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。

其中正确命题的个数是（）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）本题共有4道小题，要求直接把答案写在横线上。

1、已知且，则＝________。

2、如图，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于________。

3、已知为整数，且满足，则＝________。

4、在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tan∠ABM＝________。

1999年全国初中数学联赛(II)参考答案

1999年全国初中数学联赛(II)参考答案选择题1．解因为凸n边形的内角和为(n-2)·180°，所以(n-2)·180°＜1999°，n-2＜12，n＜14．又凸13边形的内角和为(13-2)×180°=1980°＜1999°，故n的最大值是13．答（C）．2．解因为0.88＞0.8，所以这用户4月份用的煤气超过60立方米．设用了x立方米，那么60×0.8+1.2(x-60)=0.88x，∴x=75，75×0.88=66（元）．答（B）．4．解如图，过点C作CH⊥AD于H，因为△ACD是等腰三角形，所以，在直角三角形ACH中，AC=5，AH=3．于是CH=4．答：（B）．5．解首先，△=(k-1)2+4(k+1)=k2+2k+5=(k+1)2+4＞0，所以对于任意的k值，抛物线与x轴总有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标为x1，x2，那么6．解如图，点P只能在直线l1（即直线BE）与直线l2上，其中l2与直线CD的距离等于l与直线CD的距离，所以，等腰三角形PAB中，AB为1底边时，AB的垂直平分线与l1交于P1，与l2交于P2．等腰三角形PAB中，PA为底边时，以B为圆心，BA为半径在直线l1上可截得点P3、P4．等腰三角形PAB中，PB为底边时，点E符合条件．所以，共有P1，P2，P3，P4，E五个点符合条件．答：（D）．填空题8．解由DP=x得9．解由a2+ab-2b2=0得a=b或a=-2b，10．解作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，AF⊥BE于F．易知△AFB≌△ADO，∴FB=OD，FA=ED=DA．因为OA=1，∠DOA=30°，11．解从A1开始，每进行一次操作，所得12．解设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a立方米，管涌每分钟涌出的水量为b立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c立方米(c≠0)，由条件可得如果要在10分钟内抽完水，至水需要抽水机的台数为解答题13．解因为s≠0，所以，第一个等式可以变形为：即st+1= 99s，t=19s．14．解设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．因AB=BD，O是圆心，所以BH⊥AD．又因为∠ADC=90°，所以BH∥CD．所以，四边形ABCD的周长为。

十年初中数学竞赛试题全包括(含答案)

1999年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月4日上午8:30--9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6个小题，每小题都给出了（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。

每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。

1、计算的值是（ D ）。

（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。

解：原式＝。

2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ C ）。

（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。

解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。

∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。

∴。

3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）。

解：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于，小于的数，不等于，故图D不对；故选B。

4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ B ）。

（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。

解：当时，。

∴当自变量取2、3、…、98时，函数值都为0。

而当取1、99、100时，，故所求的和为：5、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC＝90°的点P的个数为（ C ）。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。

解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。

十年初中数学竞赛试题全包括(含答案)

每小题选对得7分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。

1、计算的值是（ D ）。

（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。

解：原式＝。

2、△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是（ C ）。

（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。

解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。

∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。

∴。

3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ B ）。

4、若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（ B ）。

（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。

解：当时，。

∴当自变量取2、3、…、98时，函数值都为0。

（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。

解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。