东南大学考研电路讲义(内部绝密)7二阶电路
电路PPT课件第7章 二阶电路

| duC
dt
t=0 = – 2K1 – 4K2 = –iLC—(0)= 4
2 0
联立 K1 + K2 = 2 – 2K1 – 4K2 = 4
解得 K1 = 6,K2 = – 4
uC(t) = 6e -2t – 4e - 4t V t≥0
-4 iL
4
iL(t)
=
iC(t)
=
C
duC dt
1 0
= – 3e -2t + 4e - 4t t≥0
1. 列出 RLC电路的微分方程
VCR:
i=
C
duC dt
uL
=
L
di dt
KVL: uL + uR+ uC = uS
有
L
di dt
+ Ri + uC = uS
iR +
uS
-
L
+
C u- C
整理
LC
d2uC dt 2
+ RC
duC dt
+ uC =
uS
两个初始条件 uC(0) = ?
求零输入响应 uS = 0
-3
uC(0) = 2V iL(0) = 1A
t
t
例1:已知图示电路中t ≥ 0时1 u1S = 0 R = 3 L = 2 H
C = 4 F uC(0) = 2V iL(0) = 1A 求: uC(t)及iL(t) t≥0
iR +
uS
-
L
+
C u- C
解:(2)不列微分方程
阻尼电阻 Rd=2
L = 2.828 C
R > Rd 过阻尼情况
东南大学,电路基础,实验班讲义第02讲

1 2 1 2 1 2 1 2 W L = Li ( t ) − Li ( t 0 ) = ψ (t ) − ψ (t 0 ) 2 2 2L 2L
三、电容元件与电感元件的比较
电容 C 电压 u 变量 电荷 q
q = Cu du i=C dt 1 1 2 W C = Cu 2 = q 2 2C
电感 L 电流 i 磁链 ψ
u
注意:一般情况电阻元件总是消耗电功率的, 注意:一般情况电阻元件总是消耗电功率的,但有的 电阻性端口网络的等效电阻是负值 发出电功率。 负值, 电阻性端口网络的等效电阻是负值,发出电功率。
4、 开路与短路 、
i R
u –
短路。 当R=0,视其为短路。i为有限值 ,视其为短路 为有限值 时,u=0。 。 开路。 为有限值 当R=∞,视其为开路。u为有限值 ∞ 视其为开路 时,i=0。 。 理想导线的电阻值为零。 理想导线的电阻值为零。
L=
µ0 N 2 S
l
其中,N 为线圈匝数,S 为线圈的横截面积,l 为 其中, 为线圈匝数, 为线圈的横截面积, 线圈的长度, 为空气磁导率。 线圈的长度,µ0为空气磁导率。
2、韦安特性 之间的关系。 电感线圈磁通链 ψ 与通过电流 I 之间的关系。 线性电感的 ψ
~i
特性是过原点的直线。 特性是过原点的直线。 是过原点的直线
1.3.1 电阻 (Resistance )
一、电阻的物理概念 灯泡、电炉等电气设备可用电阻作为电路模型。 灯泡、电炉等电气设备可用电阻作为电路模型。 在电路中,电阻起阻碍电流流动的作用。在电场力作 在电路中,电阻起阻碍电流流动的作用。 做功。 用下,电荷通过电阻时, 克服阻力做功 用下,电荷通过电阻时,要克服阻力做功。 电阻元件是一个消耗电能的元件。 电阻元件是一个消耗电能的元件。 电阻的大小 导体的电阻阻值由材料性质及几何尺寸决定, 导体的电阻阻值由材料性质及几何尺寸决定,即
第7章 二阶电路

§2-1 R、L、C串联电路的数学分析—零输入响应
7-8
R
i
L
已知:
+
+ uR
S
-
+ uL
u
+
C
us=0, uc( 0 )、 iL(0)
u (t)
-
-
求解: uc( t )
根据两类约束建立电路的微分方程,得
d 2uC R duC 1 uC 0 2 dt L dt LC
称为齐次方程
(7 12)
1 1 WC (1.4) 2 0.1225 W 2 8
电阻耗能 0.49 0.1225 0.6125W
t 0
习题课
习题2 上题若R改为5Ω,试求i(t),t≥0。
i
R
7-22
+ 1 —F 8
9Ω
( K1 cos dt K 2 sin dt )
4)
Ke t cos( dt ) R 0 无阻尼情况: s1、 j 0 2 uc (t ) K1 cos 0t K 2 sin 0t
(2)解答的完成
利用初始条件,确定常数K1、K2,求得解答。 设已知解答uc的形式为 K1e s t K 2 e s t,
(c) 解答形式 uC uCp uCh
0.4 e 3t ( K1 cos 4t K 2 sin 4t )
(2) 解答的完成
零状态即
uC (0) 0, iL (0) 0
uC (0) 0.4 K1 0 K1 0.4 duC duC i L (0) C iL C 0 dt dt
i
R
+ 1 —F 8
(整理)第七章二阶电路

第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路,二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路,比如两个电容(电感)串(并)联情况。
◆ 重点:1. 电路微分方程的建立 2. 特征根的重要意义 3. 微分方程解的物理意义◆ 难点:1. 电路微分的解及其物理意义 2. 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ,其特征方程为:02=++c bp ap ,特征根:a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时,tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时,pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时,)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前,我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路(即R=0,无阻尼情况)来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ,电感的初始电流为零。
在初始时刻,能量全部存储于电容中,电感中没有储能。
此时电流为零,电流的变化率不为零(0≠==dt di Lu u L C ,0≠∴dt di ),这样电流将不断增大,原来存储在电容中的电能开始转移,电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时,电感电压也为零,此时电流的变化率也就为零,电流达到最大值I 0,此时电场能全部转化为电磁能,存储在电感中。
电路分析基础7二阶电路

U0
2
uC
2
U 0 0 e t d
dt
iL
结果分析
U00 e t d
*过渡过程中电场和磁场能量相互转换,由于耗能
电阻的存在,总能量逐渐减少。
0dt2 2dt22dt
C 放能
放能
吸能
L 吸能
放能
放能
R 耗能
耗能
耗能
电压上升,电流上升,电感磁场能 量向电容电场转移
u U ,i 0 , d u i 0 ,d iu 0 dt C dtL
电流为零,电压达到最大值,电路 能量完全存储于电容电场中
(至此完成一个能量转移周期,无耗能元件,总能量守恒)
i(t)
+
C
uL
-
iCdu, uLdi
dt
dt
d2u LCdt2 u 0
即 s1 2
s2 4
式(1)的全解,即电压响应为
u C t U S A 1 e s 1 t A 2 e s 2 t t 0 2
电流响应为
i t C d d C t u t C 1 s 1 e s 1 tA C 2 s 2 e s 2 t A t 0 3
*欠阻尼情况下,电路具有衰减振荡的过渡过程。
uc(t) 和iL的包络线函数分别为
U00 et d
U 0 e t
d L
称 为衰减系数, 越大,则电压和电流衰减越
快;称 d 为衰减振荡角频率, d 越大,则电压 和电流振荡越剧烈。
*由
2R L,d
1
R2
(3) uc 的过零点为 dtk /2 (k 0 ,1 ,2 ,...)
东南大学考研电路讲义(内部绝密)7二阶电路共39页

46、我们若已接受最坏的,就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会,使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首,不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功,谁就会和我一样成功。——莫扎特
东南大学考研电路讲义(内部 绝密)7二阶电路
41、实际上,我们想要的不是针对犯 罪的法 律,而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民,就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律,法
电路第七章二阶电路

响应类型
01
02
03
04
自由响应
在无输入激励的情况下,由于 电路内部储能元件的作用,电 路产生的响应称为自由响应。
强迫响应
在输入激励的作用下,电路产 生的响应称为强迫响应。
暂态响应
在过渡过程中,电路产生的响 应称为暂态响应。
稳态响应
当过渡过程结束时,电路达到 稳定状态,此时产生的响应称
为稳态响应。
目前学习的主要是直流电路的分析方法, 接下来需要学习交流电路的分析方法,包 括正弦稳态分析和频率响应分析。
学习非线性电路分析
实践项目与实验
掌握线性电路的分析方法后,需要学习非 线性电路的分析方法,了解非线性元件和 系统的动态特性。
通过参与实践项目和实验,将理论知识应 用于实际中,提高自己的实践能力和解决 问题的能力。
音频均衡器
二阶电路构成的音频均衡器可以对音频信号进行频域调整,通过改变不 同频段的增益和相位特性,实现对音频信号的优化。
03
音频降噪器
利用二阶电路的滤波特性,可以设计出高效的音频降噪器,有效降低环
境噪声和设备内部噪声对音频信号的影响,提高语音识别的准确性和音
频播放的清晰度。
自动控制系统
自动控制系统
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THANKS
电路仿真软件应用
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一款适用于模拟电路仿真 的软件,具有高精度和高 速模拟能力。
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04
二阶电路的响应特性
自然频率与阻尼比
测量仪器
电路(第七章 二阶电路)概要

注意:
等效变换后,只含有一个电容(电感)的电路不属于二阶电路。
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电路分析基础
§7-1
LC电路中的正弦振荡
C + U0 i
(1)在初始时刻,能量全部储于电容 中,电感中没有储能。
di i 0,但uL L 最大。 dt
-
L
电流i开始增大,电容电压下降,原来存储于电容中能量逐渐转 移到电感的磁场中。 (2)当uc下降到零的瞬间,uL也为零,i的变化率也为零,i达 到最大值I,储能全部转入到电感中。 (3)uc=0时,但它的变化率不为零,i将从I逐渐减小,C又被 充电,但充电的方向与以前相反。 储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
表明LC回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变化的。
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电路分析基础
LC电路中的正弦振荡
LC振荡波形 已知 uC(0) = U0 iL(0) = 0
3T 4
U0
uC(t)
+ uC C _
T
iL
+ L uL _
t
o
U0
T t 4t4 t5 t6 t7 8 T t1 t2 t3 2
t9 t10 t11 t12
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电路分析基础
设LC回路的L=1H、C=1F,uC(0)=1V、iL(0)=0。 iC d uC iC iL iL iL + dt uC C L d iL uC u L uC dt d uC iC C 初始条件:uC(0)=1V,iL(0)=0。 dt iL(t)=sint uC(t)=cost 猜想方程的解为: d iL (t ) d uC ( t ) cos t uC ( t ) sint i L ( t ) dt dt
电路分析第七章 二阶电路

d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt
d2i di LC + RC + i = 0 dt dt
以电感电流为变量: 以电感电流为变量:
RLC串联电路的零输入响应 7.2 RLC串联电路的零输入响应
以电容电压为变量时的初始条件: 以电容电压为变量时的初始条件: 初始条件 uC(0+)=U0 i(0+)=0
t
0
π-β π 2π-β 2π
ic=0:ωt =0,π,2π ... nπ ,为 uc极值点, 为 极值点, ic 的极值点为 uL 零点。 零点。
ω0 di −δ t uL = L = − U0e sin(ωt − β ) ω dt
uL=0:ωt = β ,π+β,2π+β ... nπ+β
RLC串联电路的零输入响应 7.2 RLC串联电路的零输入响应 uc 能量转换关系: 能量转换关系: U0 iC π-β π 2π-β 2π t
uc = Ae sin(ωt + β ) ω0 uC = U0e−δ t sin(ωt + β ) ω
−δ t
ω sin β = ω0
ω0 A = U0 ω
β δ
ω,ω0,δ的关系
RLC串联电路的零输入响应 7.2 RLC串联电路的零输入响应
ω0 uC是振幅以± U0为包线依指数衰减的正弦函数。 ω t=0 时 uc=U0 uC =0:ωt = π-β,2π-β ... nπ-β
RLC串联电路的零输入响应 7.2 RLC串联电路的零输入响应 结论:
两种不同储能元件构成电路, 两种不同储能元件构成电路,储能在电场和磁场之间往 返转移,这种周而复始的过程叫振荡。 返转移,这种周而复始的过程叫振荡。 无阻尼) 若元件为理想的,称等幅振荡 (无阻尼) 若元件为理想的, 若电路中存在电阻,幅度逐渐衰减为零, 若电路中存在电阻,幅度逐渐衰减为零, 称衰减振荡,也称阻尼振荡 衰减振荡,也称阻尼振荡 若电阻过大,储能在初次转移即被消耗, 若电阻过大,储能在初次转移即被消耗, 称过阻尼情况(无振荡) 称过阻尼情况(无振荡)
(大学物理电路分析基础)第7章二阶电路分析

作用
阻尼比决定了二阶电路的响应 速度和振荡幅度,对电路的稳 定性有很大影响。
分类
根据阻尼比的大小,可以分为 欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三
种情况。
自然频率
定义
自然频率是二阶电路在没有外部激励时自由振荡的频率,表示为ωn, 它等于电路的总电感与总质量的比值。
计算公式
自然频率的计算公式为ωn = sqrt(K/m),其中K是弹簧常数,m是电 路的总质量。
赫尔维茨判据
赫尔维茨判据也是一种基于系统 极点的判据,通过计算系统函数 的零点和极点来判断系统的稳定 性。
乃奎斯特判据
乃奎斯特判据是一种基于频率域 分析的判据,通过分析系统的频 率响应来判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
时域分析法
时域分析法是一种直接分析法,通过求解电路的微分方程来分析系统的动态响应和稳定 性。
大学物理电路分析基 础 第7章 二阶电路分 析
目 录
• 二阶电路的概述 • 二阶电路的响应分析 • 二阶电路的稳定性分析 • 二阶电路的阻尼比和自然频率 • 二阶电路的实例分析
01
二阶电路的概述
二阶电路的定义
二阶电路
由两个或更多电容元件或电感元 件组成的电路,其中每个元件有 两个端子。
定义中的关键点
频域分析法
频域分析法是一种间接分析法,通过将电路方程转化为频率域下的传递函数来分析系统 的稳定性。
04
二阶电路的阻尼比和自 然频率
阻尼比
定义
阻尼比是衡量二阶电路中阻尼作 用的参数,表示为ζ,它等于阻 尼电阻与电路总电阻的比值。
计算公式
阻尼比的计算公式为ζ = R/2L, 其中R是阻尼电阻,L是电路的总 电感。
二阶电路必须包含两个电容元件 或电感元件,且每个元件有两个 端子。
东南大学模拟电路教程课件

UA R5
节点电压法:
I =-+ E -+ UA R
E.UA与本支 路电流方向 相同取“+”, 反之取“-”。
I3=
-E3 + UA R3
28
例: 已知R1=R2=R3=R4=R; Uab=10V,E=12V.若将E去掉,
并将 cd 短接,此时Uab=?
怎么解决? 郁闷!
E
c d R1 ••
R2 a IS1 •
IS2 R3 • b R4
29
1 - 10 叠加原理
在线性电路中,任一支路中的电流为电路中 各电源单独作用时的代数和。
方法:依次计算各电源单独作用时的电流,此时其它 电压源视作短路,电流源视作开路。
例:求I3
U1 +140V
R1 20
R3
R2
U2
5 +90V
6
I3
R1
R2
20
5
U1 140V
I3
6 R3
例:求UIS = ?
解: UIS = UR – U = IS R – U = - 6V
2A
I
Is
UIS
2
UR
U
R
10V
21
例: 求 I .
I2 3A
I2 3A
12V
U1
I1
6 Ω 2A
2Ω
I
3Ω 6Ω
2A
I1
2Ω
6Ω 2A
I
3Ω 6Ω
电压源的方向?
电电压流源源的的 方方向向??
3A
2Ω
8V
6V
6Ω I
U2 90V
30
U1 +140V
电路分析第七章二阶电路教学课件资料

二阶电路的分析问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分 方程的问题。学习时应注意:电路微分方程的建立,特征根的 重要意义,微分方程解答的物理含义等方面的内容。
电流再增长:di/dt由于U0的存在而≠0,因此,电容
又开始放电,只是电流方向和上一次电容放电的方 C 向相反,即电流又开始反向增长,达到最大时,电
L I
感短路,电压又等于零,能量又全部储于电感中。
电压再增长:虽然此刻电压等于0,但du/dt由于I 的存在而≠0。电容又在电流的作用下充电,从而
U0 +
§7-1 LC电路中的正弦振荡
上章讨论过的一阶电路中只涉及一种储能——电场能量或
磁场能量,如果一个电路既能储存电能,又能储存磁能,这样
的电路会有什么特点呢?为了突出问题的实质,我们研究一个
只由电容和电感组成的电路的零输入响应。设电容的初始电压
为U0,电感的初始电流为零。
开始:在初始时刻,能量全部储存于电容中,电感中是没有储
电压又开始反向增加,随着电压的增加,电流开始 C –
L
减小,当电压达到最大值并稳定时,电容开路,电
流等于零,能量全部返回到电容,电容电压的大小
和极性又和初始时刻一样。
注意:此刻电压已经过两次反向,已经与一开始的电压极性相
同,意味着“电能——磁能”交换已完成了一次循环——周期。
U0 +
C– L
C
I
U0 –
( ) s1, 2 = –
R 2L
±
R
[理学]7二阶电路_OK
![[理学]7二阶电路_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/0c32874f960590c69fc37614.png)
包含一个电容和一个电感,或两个电容,或 两个电感的动态电路称为二阶电路。
本章着重分析含电感和电容的二阶电路
1
内容
二阶电路的零输入响应,零状态响应 阶跃响应, 冲激响应
i
tm 2tm uL
U
u
0 ( p e p1t p e p2t )
C p p 2
1
2
1
t
uC (0 ) U0 , uC () 0 ,
11
uc (t) 0 且uc(t)单调下降 (0 t )
U0
uc
i
p1 p2
1 LC
tm 2tm
t
uL
i C duC C U0p1p2 (ep1t ep2t )
tm 2tm uL
t
t=0+ ,uL=U0 t= ,uL=0 0< t < tm , i 增加, uL>0 t > tm , i 减小, uL <0
t = 2tm 时 uL 极小
uL
L di dt
(p2
U0 p1
)
(p1ep1t
p ep2t
2
15
)
U0
uc
i
(t=0)
+
uc -
C
iR + uL L -
p1e p2 t )
U0
2 j
e t ( p2e jt
p1e jt )
0
U 0e t
sin(t
)
Ket
sin(t
)
i C duC U0 e t sin t dt L
电7

R R ⎞ 1 ⎛ 其特征根(固有频率)为: s1,2 = − ± ⎜ ⎟ − 2L ⎝ 2 L ⎠ LC
α = R/2L称为衰减常数; ω02 =1 /LC , ω0为谐振角频率。
2
前面(3) (R/2L)2 ﹤ 1 /LC(即α ﹤ω0 )或 R2 ﹤ 4L/C :
S1和S2为共轭复数,其实部为负数,s1,2= - α±jωd,此时齐次方 程的解为: −α t c 1 d 2 d
例 1 : 如 图 的 电 路 , 已 知 r=1.5Ω , L=0.5 H , C=1F 初 始 值 uC(0)=2V,iL(0)=1A,求t≥0的uC 、 iL 和uL 的零输入响应。
d 2uc r duc 1 按图列出uC 的微分方程为: 解: + + uc = 0 2 dt L dt Lc 2 d 将元件参数值代入上式得: uc + 3 duc + 2uc = 0 dt 2 dt
(1)(R/2L)2 ﹥ 1 /LC (即α ﹥ ω0 )或 R2 ﹥ 4L/C : S1和S2为不相等的负实数。 其解为: 由初始条件:
uC(t)=K1eS1 t + K2eS2 t
uc (0) = k1 + k2 duc dt
0
iL (0) = k1s1 + k2 s2 = c
解得:
iL (0) ⎤ 1 ⎡ k1 = s2uc (0) − ⎢ s2 − s1 ⎣ c ⎥ ⎦ 1 k2 = s1 − s2 iL (0) ⎤ ⎡ s1uc (0) − ⎢ c ⎥ ⎣ ⎦
uc (t ) = e
uc (0) = k1
−α t
(k1 cos ω d t + k2 sin ω d t )
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t > tm uc减小 ,i 减小. 减小.
R L
非振荡放电 过阻尼
L 二. R< 2 < C
P=−
特征根为一对共轭复根
R R 1 ± ( )2 − 2L 2L LC
R 令 δ = 2L
1 R 2 −( ) = ω2 −δ 2 ω = 0 LC 2L
2
δ 衰减因子 ω 固有振荡角频率
(阻尼振荡角频率) 阻尼振荡角频率) ω0 无阻尼振荡角频率
第七章
重点掌握
二阶电路
二阶电路的零输入响应, 二阶电路的零输入响应,零状态响应和全响应 学习方法 1. 通过例子,掌握求解二阶电路的方法、步骤。 通过例子,掌握求解二阶电路的方法、步骤。 2. 通过例子得出二阶电路的一般规律。 通过例子得出二阶电路的一般规律。 * 本节讨论的具体结果只适用于本例,不能套用到 本节讨论的具体结果只适用于本例, 其它电路。但得出的规律具有一般性。 其它电路。但得出的规律具有一般性。
duC U 0 − δ t i = −C e sin ω t = dt ωL di ω uL = L = − 0 U 0 e −δ t sin(ω t − β ) dt ω
uC = U 0 sin(ω 0 t + ) = uL 2 U0 i= sin ω 0 t 等幅振荡 ω0L 无阻尼
+ -
π
ω0 β δ
L R>2 C
二个不等负实根
uC = A1e + A2e
p1t
p2t
L R=2 C
L R<2 C
二个相等负实根
二个共轭复根
uC = (A1 + A2t)e
uC = Ke
−δ t
pt
sin(ω t + β )
一.
L R> 2 > C
+
p1 , p2 不 的 实 等 负 根
p1t
(t=0) i C R + uL L
U0 uC = ( P2 e p1t − P1e p2 t ) P2 − P1
uc
P2U 0 P2 − P1
|P1|小 小
设 |P2| > |P1|
U0
− P1U 0 P2 − P1
t
|P2|大 大
U0
uc i tm 2tm
U0 uC = ( P2 e p1t − P1e p2 t ) P2 − P1
uC = 358e −25 t sin(139t + 176 o )V t ≥ 0
uC 358 25 0
ωt
例2 R C R
i2
i1
左图为有源RC振荡电路, 左图为有源 振荡电路, 振荡电路 讨论k取不同值时 取不同值时u 讨论 取不同值时 2的 零输入响应。 零输入响应。 +
u1 i3
A C
+
ku1
§7.1 二阶电路的零输入响应 7.
(t=0) uc + C i R + uL 已知 L 求 uC(t) , i(t) , uL(t) .
du i = −C C dt
uL di d 2 uC = L = − LC dt dt 2
uC(0+)=U0
i(0+)=0
解
uC = Ri + uL
d 2 uC du LC + RC C + uC = 0 dt 2 dt
10 10
uC = Ke −25 t sin(139t + β )
t >0 电路
uC = Ke −25 t sin(139t + β )
(4)
uC (0 + ) = 25 由 duC C dt = −5
K = 358 ,β = 176 o
K sin β = 25 139 K cos β − 25 K sin β = − 5 10 − 4
t=0+ i=0 , t=∞ i=0 t>0 i>0 t = tm 时i 最大 uL(0)=U0 0< t < tm i 增加 uL>0 增加, t > tm i 减小 uL <0 减小, t = 2tm 时 uL 极小 t > 2tm uL 衰减加快
uL
t
LCP 2 + RCP + 1 = 0
duC − CU 0 i = −C ( p1 p 2 e p1t − p1 p 2 e p2 t ) = dt ( P2 − P1 ) − U0 p1 t p2 t (e − e ) = L( P2 − P1 ) di − U0 uL = L = ( P1e p1t − P2 e p2 t ) dt ( P2 − P1 )
= e − δ t [ A cos ω t + B sin ω t ]
= Ke − δ t sin(ωt + β )
uC = e − δ t [ A cos ω t + B sin ω t ]
由初始条件
uC (0 + ) = U 0 → A = U 0
duC + (0 ) = 0 → −δ A + ω B = 0 dt
δ (cos ω t + sin ω t ) ω
ζ0 β δ
ζ
ω0 ω −δ t δ U 0 e ( sin ωt − cos ωt ) =− ω ω0 ω0 ω0 U 0 e −δ t sin(ω t − β ) =− ω
ω0 uC = U 0 e −δ t sin(ω t + β ) ω
duC U 0 − δ t i = −C e sin ω t = dt ωL ω0 di uL = L = − U 0 e −δ t sin(ω t − β ) ω dt uC零点:ω t = π-β,2π-β ... nπ-β , uC 极值点为 零点。 零点: 极值点为i零点 零点。 π π i 零点:ω t =0, π,2π ... nπ , i 极值点为 L零点。 零点: 极值点为u 零点。 π π uL零点:ω t = β, π+β,2π+β ... nπ+β 零点: β π β π β uc
由 uL= 0 可计算 tm
p1e p1t − p2 e p2 t = 0
−U0 uL = (P e p1t − P e p2t ) 1 2 (P − P ) 2 1
p1 e ( p 2 − p 1) t = p1t = e p2 e
p 2t
p1 ln p2 tm = p 2 − p1
可确定u 由 duL / dt 可确定uL为极小值的时间 t
p1 ,p2 共轭
− P1 A2 = U0 P2 − P1
e jω t = cos ω t + j sin ω t e − jω t = cos ω t − j sin ω t
A1 ,A2 也共轭
jω t
uC = e
−δ t
(A 1e
实数
+ A 2e
− jω t
)
虚数
= e − δ t [( A1 + A 2 ) cos ω t + j ( A1 − A 2 ) sin ω t ]
ζ0 β δ
ζ
uC = U 0 e
−δ t
d uC δ2 i = −C = (C + Cω )U 0 e −δ t sin ω t dt ω 1 ( LCδ 2 + LCω 2 )U 0 e −δ t sin ω t = ωL 1 2 = ( LCω 0 )U 0 e −δ t sin ω t ωL 1 U 0 e −δ t sin ω t = ωL di 1 u L = L = U 0 ( −δe −δ t sin ωt + ωe −δ t cos ωt ) dt ω
(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A duC duC d ( 3) 0.5 [− C ] − 25C − uC = 0 dt dt dt 特征方程为 50P2+2500P+106=0
+ C u C -
20Ω Ω
L
+ 25V -
20Ω Ω
5A i
C
0+电路
10 10
P = −25 ± j139
uC = A1e
+ A2e
p2t
uc
+ -
uC (0 ) = U 0 → A 1 + A 2 = U 0
duC + − i (0 + ) (0 ) = = 0 → P1 A 1 + P2 A 2 = 0 dt C P2 − P1 A1 = U0 A2 = U0 P2 − P1 P2 − P1
U0 uC = ( P2 e p1t − P1e p2 t ) P2 − P1
u2
节点A列写 节点 列写KCL有: i1 = 列写 有
u1 du +C 1 R dt u1 du1 1 u1 du1 KVL有: R( + C 有 )+ ∫( +C )dt + u1 = u2 R dt C R dt du1 1 u1 + RC + ∫ u1dt + u1 + u1 = Ku1 dt RC d 2 u1 3 − k du1 u1 ) +( + 2 2 =0 整理得: 整理得: 2 dt RC dt R C
20Ω Ω
例1
100μ F +u - c
iL
+ 0.5H 10 10
50V 5
电路所示如图 t = 0 时打开开关。 时打开开关。 电容电压u 求 : 电容电压 C , 并画 波形图。 波形图。