东南大学考研电路讲义(内部绝密)7二阶电路

t > tm uc减小 ，i 减小. 减小.
R L
非振荡放电 过阻尼
L 二. R< 2 < C
P=−
特征根为一对共轭复根
R R 1 ± ( )2 − 2L 2L LC
R 令 δ = 2L
1 R 2 −( ) = ω2 −δ 2 ω = 0 LC 2L
2
δ 衰减因子 ω 固有振荡角频率
（阻尼振荡角频率） 阻尼振荡角频率） ω0 无阻尼振荡角频率
第七章
重点掌握
二阶电路
二阶电路的零输入响应， 二阶电路的零输入响应，零状态响应和全响应 学习方法 1. 通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。 通过例子，掌握求解二阶电路的方法、步骤。 2. 通过例子得出二阶电路的一般规律。 通过例子得出二阶电路的一般规律。 * 本节讨论的具体结果只适用于本例，不能套用到 本节讨论的具体结果只适用于本例， 其它电路。但得出的规律具有一般性。 其它电路。但得出的规律具有一般性。
duC U 0 − δ t i = −C e sin ω t = dt ωL di ω uL = L = − 0 U 0 e −δ t sin(ω t − β ) dt ω
uC = U 0 sin(ω 0 t + ) = uL 2 U0 i= sin ω 0 t 等幅振荡 ω0L 无阻尼
+ -
π
ω0 β δ
L R>2 C
二个不等负实根
uC = A1e + A2e
p1t
p2t
L R=2 C
L R<2 C
二个相等负实根
二个共轭复根
uC = (A1 + A2t)e
uC = Ke
−δ t
pt
sin(ω t + β )
一.
L R> 2 > C
+
p1 , p2 不 的 实 等 负 根
p1t
(t=0) i C R + uL L
U0 uC = ( P2 e p1t − P1e p2 t ) P2 − P1
uc
P2U 0 P2 − P1
|P1|小 小
设 |P2| > |P1|
U0
− P1U 0 P2 − P1
t
|P2|大 大
U0
uc i tm 2tm
U0 uC = ( P2 e p1t − P1e p2 t ) P2 − P1
uC = 358e −25 t sin(139t + 176 o )V t ≥ 0
uC 358 25 0
ωt
例2 R C R
i2
i1
左图为有源RC振荡电路， 左图为有源 振荡电路， 振荡电路 讨论k取不同值时 取不同值时u 讨论 取不同值时 2的 零输入响应。 零输入响应。 +
u1 i3
A C
+
ku1
§7.1 二阶电路的零输入响应 7.
(t=0) uc + C i R + uL 已知 L 求 uC(t) , i(t) , uL(t) .
du i = −C C dt
uL di d 2 uC = L = − LC dt dt 2
uC(0+)=U0
i(0+)=0
解
uC = Ri + uL
d 2 uC du LC + RC C + uC = 0 dt 2 dt
10 10
uC = Ke −25 t sin(139t + β )
t >0 电路
uC = Ke −25 t sin(139t + β )
(4)
uC (0 + ) = 25 由 duC C dt = −5
K = 358 ，β = 176 o
K sin β = 25 139 K cos β − 25 K sin β = − 5 10 − 4
t=0+ i=0 , t=∞ i=0 t>0 i>0 t = tm 时i 最大 uL(0)=U0 0< t < tm i 增加 uL>0 增加, t > tm i 减小 uL <0 减小, t = 2tm 时 uL 极小 t > 2tm uL 衰减加快
uL
t
LCP 2 + RCP + 1 = 0
duC − CU 0 i = −C ( p1 p 2 e p1t − p1 p 2 e p2 t ) = dt ( P2 − P1 ) − U0 p1 t p2 t (e − e ) = L( P2 − P1 ) di − U0 uL = L = ( P1e p1t − P2 e p2 t ) dt ( P2 − P1 )
= e − δ t [ A cos ω t + B sin ω t ]
= Ke − δ t sin(ωt + β )
uC = e − δ t [ A cos ω t + B sin ω t ]
由初始条件
uC (0 + ) = U 0 → A = U 0
duC + (0 ) = 0 → −δ A + ω B = 0 dt
δ (cos ω t + sin ω t ) ω
ζ0 β δ
ζ
ω0 ω −δ t δ U 0 e ( sin ωt − cos ωt ) =− ω ω0 ω0 ω0 U 0 e −δ t sin(ω t − β ) =− ω
ω0 uC = U 0 e −δ t sin(ω t + β ) ω
duC U 0 − δ t i = −C e sin ω t = dt ωL ω0 di uL = L = − U 0 e −δ t sin(ω t − β ) ω dt uC零点：ω t = π-β，2π-β ... nπ-β ， uC 极值点为 零点。 零点： 极值点为i零点 零点。 π π i 零点：ω t =0, π，2π ... nπ ， i 极值点为 L零点。 零点： 极值点为u 零点。 π π uL零点：ω t = β, π+β，2π+β ... nπ+β 零点： β π β π β uc
由 uL= 0 可计算 tm
p1e p1t − p2 e p2 t = 0
−U0 uL = (P e p1t − P e p2t ) 1 2 (P − P ) 2 1
p1 e ( p 2 − p 1) t = p1t = e p2 e
p 2t
p1 ln p2 tm = p 2 − p1
可确定u 由 duL / dt 可确定uL为极小值的时间 t
p1 ，p2 共轭
− P1 A2 = U0 P2 − P1
e jω t = cos ω t + j sin ω t e − jω t = cos ω t − j sin ω t
A1 ，A2 也共轭
jω t
uC = e
−δ t
(A 1e
实数
+ A 2e
− jω t
)
虚数
= e − δ t [( A1 + A 2 ) cos ω t + j ( A1 − A 2 ) sin ω t ]
ζ0 β δ
ζ
uC = U 0 e
−δ t
d uC δ2 i = −C = (C + Cω )U 0 e −δ t sin ω t dt ω 1 ( LCδ 2 + LCω 2 )U 0 e −δ t sin ω t = ωL 1 2 = ( LCω 0 )U 0 e −δ t sin ω t ωL 1 U 0 e −δ t sin ω t = ωL di 1 u L = L = U 0 ( −δe −δ t sin ωt + ωe −δ t cos ωt ) dt ω
(2) uc(0+)=25V iC(0+)= -5A duC duC d ( 3) 0.5 [− C ] − 25C − uC = 0 dt dt dt 特征方程为 50P2+2500P+106=0
+ C u C -
20Ω Ω
L
+ 25V -
20Ω Ω
5A i
C
0+电路
10 10
P = −25 ± j139
uC = A1e
+ A2e
p2t
uc
+ -
uC (0 ) = U 0 → A 1 + A 2 = U 0
duC + − i (0 + ) (0 ) = = 0 → P1 A 1 + P2 A 2 = 0 dt C P2 − P1 A1 = U0 A2 = U0 P2 − P1 P2 − P1
U0 uC = ( P2 e p1t − P1e p2 t ) P2 − P1
u2
节点A列写 节点 列写KCL有： i1 = 列写 有
u1 du +C 1 R dt u1 du1 1 u1 du1 KVL有： R( + C 有 )+ ∫( +C )dt + u1 = u2 R dt C R dt du1 1 u1 + RC + ∫ u1dt + u1 + u1 = Ku1 dt RC d 2 u1 3 − k du1 u1 ) +( + 2 2 =0 整理得： 整理得： 2 dt RC dt R C
20Ω Ω
例1
100μ F +u - c
iL
+ 0.5H 10 10
50V 5
电路所示如图 t = 0 时打开开关。 时打开开关。 电容电压u 求 : 电容电压 C , 并画 波形图。 波形图。