初中数学拔高九年级 专题29 方程思想解题(含答案)
初三解方程练习题及答案
初三解方程练习题及答案解方程是数学中关于未知数的一个重要内容,也是初中数学的基础知识之一。
在初三阶段,解方程的练习对于提高数学能力和解题技巧非常重要。
本文将提供一些初三解方程的练习题,并附上详细的解答,帮助同学们更好地理解和掌握解方程的方法。
一、一元一次方程1. 解下列方程:(1) 2x + 5 = 13(2) 3x - 7 = 8(3) 4(x + 2) - 3x = 10答案解析:(1) 2x + 5 = 13首先将方程转化为等式形式,得到2x = 13 - 5,即2x = 8。
然后将方程两边同除以2,得到x = 4。
(2) 3x - 7 = 8首先将方程转化为等式形式,得到3x = 8 + 7,即3x = 15。
然后将方程两边同除以3,得到x = 5。
(3) 4(x + 2) - 3x = 10首先将方程进行化简,得到4x + 8 - 3x = 10。
然后将同类项合并,得到x + 8 = 10。
最后将方程两边同时减去8,得到x = 2。
二、一元二次方程1. 解下列方程:(1) x^2 + 5x + 6 = 0(2) 2x^2 - 3x - 2 = 0(3) 3(x^2 - 4) = 7x答案解析:(1) x^2 + 5x + 6 = 0使用因式分解法,将方程改写成(x + 2)(x + 3) = 0。
由乘积为0的性质可得:x + 2 = 0 或 x + 3 = 0。
解得x = -2 或 x = -3。
(2) 2x^2 - 3x - 2 = 0使用求根公式,根据公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
将a、b、c的值代入公式得:x = (3 ± √(9 + 16))/4。
化简后解得x = (3 ± 5)/4,即x = 2 或 x = -1/2。
(3) 3(x^2 - 4) = 7x首先将方程进行化简,得到3x^2 - 12 = 7x。
然后将方程转化为等式形式,得到3x^2 - 7x - 12 = 0。
九年级中考数学一元二次方程组解答题压轴题提高专题练习及答案解析
九年级中考数学一元二次方程组解答题压轴题提高专题练习及答案解析一、一元二次方程1.关于x 的方程x 2﹣2(k ﹣1)x +k 2=0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围;(2)若x 1+x 2=1﹣x 1x 2,求k 的值.【答案】(1)12k ≤;(2)3k = 【解析】试题分析:(1)方程有两个实数根,可得240b ac ∆=-≥,代入可解出k 的取值范围; (2)由韦达定理可知,()2121221,x x k x x k +=-=,列出等式,可得出k 的值. 试题解析:(1)∵Δ=4(k -1)2-4k 2≥0,∴-8k +4≥0,∴k ≤12; (2)∵x 1+x 2=2(k -1),x 1x 2=k 2,∴2(k -1)=1-k 2,∴k 1=1,k 2=-3.∵k ≤12,∴k =-3.2.在等腰三角形△ABC 中,三边分别为a 、b 、c ,其中ɑ=4,若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +4(k ﹣12)=0的两个实数根,求△ABC 的周长. 【答案】△ABC 的周长为10.【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k 值,将k 值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k 值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论.【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k =当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0,解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4.∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形.∴△ABC 的周长为10.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.3.解下列方程:(1)x 2﹣3x=1.(2)12(y+2)2﹣6=0. 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析:(1)利用公式法求解即可;(2)利用直接开方法解即可;试题解析:解:(1)将原方程化为一般式,得x 2﹣3x ﹣1=0,∵b 2﹣4ac=13>0∴. ∴12313313,22x x +-==. (2)(y+2)2=12, ∴或,∴12223,223y y =-+=--4.已知关于x 的一元二次方程(x ﹣3)(x ﹣4)﹣m 2=0.(1)求证:对任意实数m ,方程总有2个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是2,求m 的值及方程的另一个根.【答案】(1)证明见解析;(2)m 的值为2,方程的另一个根是5.【解析】【分析】(1)先把方程化为一般式,利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可;(2)根据方程的根,利用代入法即可求解m 的值,然后还原方程求出另一个解即可.【详解】(1)证明:∵(x ﹣3)(x ﹣4)﹣m 2=0,∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0,∴△=(﹣7)2﹣4(12﹣m 2)=1+4m 2,∵m 2≥0,∴△>0,∴对任意实数m ,方程总有2个不相等的实数根;(2)解:∵方程的一个根是2,∴4﹣14+12﹣m 2=0,解得m=±, ∴原方程为x 2﹣7x+10=0,解得x=2或x=5, 即m 的值为±,方程的另一个根是5.【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac >0时,方程有两个不相等的实数根;当△=b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当△=b 2-4ac <0时,方程没有实数根.5.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2=0有两根α,β.(1)求m 的取值范围;(2)若111αβ+=-,则m 的值为多少?【答案】(1)14m ≥;(2)m 的值为3. 【解析】【分析】(1)根据△≥0即可求解,(2)化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β,αβ,代入解方程即可. 【详解】解:(1)由题意知,(2m+3)2﹣4×1×m 2≥0,解得:m≥-34; (2)由根与系数的关系得:α+β=﹣(2m+3),αβ=m 2, ∵111αβ+=-,即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣()=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得:m 1=﹣1,m 1=3,由(1)知m≥-34, ∴m 1=﹣1应舍去,∴m 的值为3.【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理,对根进行判断是正确解题的关键.6.关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ,2x . (1)求实数k 的取值范围;(2)若方程两实根1x ,2x 满足121210x x x x ++-=,求k 的值.【答案】(1) k <14;(2) k=0. 【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式得出△>0,求出不等式的解集即可;(2)根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1•x 2=k 2,代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0,即可求出k 值.【详解】解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2k-1)x+k 2=0有两个不等实根x 1,x 2, ∴△=(2k-1)2-4×1×k 2=-4k+1>0,解得:k <14, 即实数k 的取值范围是k <14; (2)由根与系数的关系得:x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1•x 2=k 2,∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0,∴1-2k+k 2-1=0,∴k 2-2k=0∴k=0或2,∵由(1)知当k=2方程没有实数根,∴k=2不合题意,舍去,∴k=0.【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点,能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键,注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式,以防错解.7.已知:如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,8AC =cm ,6BC =cm.直线PE 从B 点出发,以2 cm/s 的速度向点A 方向运动,并始终与BC 平行,与线段AC 交于点E .同时,点F 从C 点出发,以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动,设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时,四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时,求出t 的值;【答案】(1)3011t =;(2)55t ±= 【解析】【分析】 (1)首先根据勾股定理计算AB 的长,再根据相似比例表示PE 的长度,再结合矩形的性质即可求得t 的值.(2)根据面积相等列出方程,求解即可.【详解】解:(1)在Rt ABC ∆中,90,8,6C AC BC ︒∠===Q ,22228610AB AC BC ∴=+=+=102//,,1068PA PE AE t PE AE PE BC AB BC AC -∴==∴==Q 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-,当PE CF =时,四边形PECF 是矩形, 3(102)5t t ∴-= 解得3011t = (2)由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯ 整理得2t 550t -+=,解得552t = 55t ±∴=,ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。
中考数学真题分类汇编(第三期)专题28 解直角三角形试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
解直角三角形一.选择题1.(2018·某某市B卷)5.坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)()【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M,⊥DM于N.首先解直角三角形Rt△CDN,求出,DN,再根据tan24°=,构建方程即可解决问题;【解答】解:作BM⊥ED交ED的延长线于M,⊥DM于N.在Rt△CDN中,∵==,设=4k,DN=3k,∴CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴=8,DN=6,∵四边形BMNC是矩形,∴BM==8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,在Rt△AEM中,tan24°=,∴0.45=,∴AB=21.7(米),故选:A.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.2.(2018·某某某某·3分)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A.B在同一水平面上).为了测量A.B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A.B两地之间的距离为()A.800sinα米B.800tanα米C.米D.米【分析】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,根据tanα=,即可解决问题;【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,∴tanα=,∴AB==.故选:D.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.3.(2018·某某某某·2分)某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O旋转.从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是()A.B.C.D.【分析】如图,连接AD.只要证明∠AOB=∠ADO,可得sin∠AOB=sin∠ADO==;【解答】解:如图,连接AD.∵OD是直径,∴∠OAD=90°,∵∠AOB+∠AOD=90°,∠AOD+∠ADO=90°,∴∠AOB=∠ADO,∴sin∠AOB=sin∠ADO==,故选:D.【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考创新题目.二.填空题1. (2018·某某江汉·3分)我国海域辽阔,渔业资源丰富.如图,现有渔船B在海岛A,C附近捕鱼作业,已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上.在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上,此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18(1+)n mile 处,则海岛A,C之间的距离为18n mile.【分析】作AD⊥BC于D,根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD,根据题意列式计算即可.【解答】解:作AD⊥BC于D,设AC=x海里,在Rt△ACD中,AD=AC×sin∠ACD=x,则CD=x,在Rt△ABD中,BD=x,则x+x=18(1+),解得,x=18,答:A,C之间的距离为18海里.故答案为:182. (2018·某某荆州·3分)荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间,周边风景秀丽.现在塔底低于地面约7米,某校学生测得古塔的整体高度约为40米.其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得塔顶的仰角为30°,再向古塔方向行进a米后到达B处,在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示),那么a的值约为米(≈1.73,结果精确到0.1).【解答】解:如图,设CD为塔身的高,延长AB交CD于E,则CD=40,DE=7,∴CE=33,∵∠CBE=45°=∠BCE,∠CAE=30°,∴BE=CE=33,∴AE=a+33,∵tanA=,∴tan30°=,即33=a+33,解得a=33(﹣1)≈24.1,∴a的值约为24.1米,故答案为:24.1.3.(2018·某某省某某市) 如图,某景区的两个景点A.B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C 处时、测得景点A的俯角为45°,景点B的俯角为知30°,此时C到地面的距离CD为100米,则两景点A.B间的距离为100+100米(结果保留根号).【解答】解:∵∠MCA=45°,∠NCB=30°,∴∠ACD=45°,∠DCB=60°,∠B=30°.∵CD=100米,∴AD=CD=100米,D B=米,∴AB=AD+DB=100+100(米).故答案为:100+100.4. (2018·某某某某·3分)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m,那么该建筑物的高度BC约为_____m(结果保留整数,≈1.73).【答案】300【解析】【分析】在Rt△ABD中,根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD,在Rt△ACD中,求得CD=AD•tan∠CAD,再根据BC=BD+CD,代入数据计算即可.【详解】如图,∵在Rt△ABD中,AD=110,∠BAD=45°,∴BD= AD•tan45° =110(m),∵在Rt△ACD中,∠CAD=60°,∴CD=AD•tan60°=110×≈190(m),∴BC=BD+CD=110+190=300(m),即该建筑物的高度BC约为300米,故答案为:300.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.5.(2018·某某某某·3分)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为m.(精确到0.1m.参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)解:过D作DE⊥AB,∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,∴∠ADE=53°.∵BC=DE=6m,∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m,∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m.故答案为:9.5.三.解答题1. (2018·某某贺州·8分)如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里?(结果精确到1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73)【解答】解:过点C作CM⊥AB,垂足为M,在Rt△ACM中,∠MAC=90°﹣45°=45°,则∠MCA=45°,∴AM=MC,由勾股定理得:AM2+MC2=AC2=(20×2)2,解得:AM=CM=40,∵∠ECB=15°,∴∠BCF=90°﹣15°=75°,∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°,在Rt△BCM中,tanB=tan30°=,即=,∴BM=40,∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109(海里),答:A处与灯塔B相距109海里.2. (2018·某某某某·8分)随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为开发新的旅游项目,我市对某山区进行调查,发现一瀑布.为测量它的高度,测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°,测得瀑布底端B点的俯角是10°,AB与水平面垂直.又在瀑布下的水平面测得CG=27m,GF=17.6m(注:C.G、F三点在同一直线上,CF⊥AB于点F).斜坡CD=20m,坡角∠ECD=40°.求瀑布AB的高度.(参考数据:≈1.73,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18)【分析】过点D作DM⊥CE,交CE于点M,作DN⊥AB,交AB于点N,在Rt△CMD中,通过解直角三角形可求出CM的长度,进而可得出MF、DN的长度,再在Rt△BDN、Rt△ADN中,利用解直角三角形求出BN、AN的长度,结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度.【解答】解:过点D作DM⊥CE,交CE于点M,作DN⊥AB,交AB于点N,如图所示.在Rt△CMD中,CD=20m,∠DCM=40°,∠CMD=90°,∴CM=CD•cos40°≈15.4m,DM=CD•sin40°≈12.8m,∴DN=MF=CM+CG+GF=60m.在Rt△BDN中,∠BDN=10°,∠BND=90°,DN=60m,∴BN=DN•tan10°≈10.8m.在Rt△ADN中,∠ADN=30°,∠AND=90°,DN=60m,∴AN=DN•tan30°≈34.6m.∴AB=AN+BN=45.4m.答:瀑布AB的高度约为45.4米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题,通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键.3. (2018·某某某某·7分)如图,一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处,求此时船距灯塔的距离(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果取整数).【分析】过C作CD垂直于AB,根据题意求出AD与BD的长,由AD+DB求出AB的长即可.【解答】解:过C作CD⊥AB,在Rt△ACD中,∠A=45°,∴△ACD为等腰直角三角形,∴AD=CD=AC=50海里,在Rt△BCD中,∠B=30°,∴BC=2CD=100海里,根据勾股定理得:BD=50海里,则AB=AD+BD=50+50≈193海里,则此时船锯灯塔的距离为193海里.【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.4.(2018·某某省某某·7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=65m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,≈1.73)【分析】如图作AE⊥BD于E.分别求出BE.DE,可得BD的长,再根据CD=BD﹣BC计算即可;【解答】解:如图作AE⊥BD于E.在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,∴BE=AB=5(m),AE=5(m),在Rt△ADE中,DE=AE•tan42°=7.79(m),∴BD=DE+BE=12.79(m),∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3(m),答:标语牌CD的长为6.3m.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题.5.(2018·某某省某某·8分)图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,X角∠HAC 为118°时,求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位:参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)【分析】作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,则EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,再计算出∠CAF=28°,则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF,然后计算CF+EF 即可.【解答】解:作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,∴EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°,在Rt△ACF中,∵sin∠CAF=,∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23,∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m),答:操作平台C离地面的高度为7.6m.【点评】本题考查了解直角三角形的应用:先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题),然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算.6.(2018·某某省某某市)两栋居民楼之间的距离CD=30米,楼AC和B D均为10层,每层楼高3米.(1)上午某时刻,太阳光线GB与水平面的夹角为30°,此刻B楼的影子落在A楼的第几层?(2)当太阳光线与水平面的夹角为多少度时,B楼的影子刚好落在A楼的底部.【解答】解:(1)延长BG,交AC于点F,过F作FH⊥BD于H,由图可知,FH=CD=30m.∵∠BFH=∠α=30°.在Rt△BFH中,BH=,,答:此刻B楼的影子落在A楼的第5层;(2)连接BC\1BD=3×10=30=CD,∴∠BCD=45°,答:当太阳光线与水平面的夹角为45度时,B楼的影子刚好落在A楼的底部.7.(2018·某某省某某市)(12.00分)如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A.B.C.D.M、N均在同一平面内,CM∥AN).(1)求灯杆CD的高度;(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)【分析】(1)延长DC交AN于H.只要证明BC=CD即可;(2)在Rt△BCH中,求出BH、CH,在Rt△ADH中求出AH即可解决问题;【解答】解:(1)延长DC交AN于H.∵∠DBH=60°,∠DHB=90°,∴∠BDH=30°,∵∠CBH=30°,∴∠CBD=∠BDC=30°,∴BC=CD=10(米).(2)在Rt△BCH中,CH=BC=5,BH=5≈8.65,∴DH=15,在Rt△ADH中,AH===20,∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4(米).【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.8. (2018•呼和浩特•8分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米?(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)解:作DH⊥BC于H.设AE=x.∵DH:BH=1:3,在Rt△BDH中,DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60,BH=180,在Rt△ADE中,∵∠ADE=45°,∴DE=AE=x,∵又HC=ED,EC=DH,∴HC=x,EC=60,在Rt△ABC中,tan33°=,∴x=,∴AC=AE+EC=+60=.答:山顶A到地面BC的高度AC是米9. (2018•某某•8分)据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速,如图所示,观测点C到公路的距离CD=200m,检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上,终点B位于点C的南偏东45°方向上.一辆轿车由东向西匀速行驶,测得此车由A处行驶到B处的时间为10s.问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度?(观测点C离地面的距离忽略不计,参考数据:≈1.41,≈1.73)【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB,DA,进而解答即可.【解答】解:由题意得:∠DCA=60°,∠DCB=45°,在Rt△CDB中,tan∠DCB=,解得:DB=200,在Rt△CDA中,tan∠DCA=,解得:DA=200,∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米,轿车速度,答:此车没有超过了该路段16m/s的限制速度.【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度,难度一般.10. (2018•莱芜•9分)在小水池旁有一盏路灯,已知支架AB的长是0.8m,A端到地面的距离AC是4m,支架AB与灯柱AC的夹角为65°.小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°,在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°(点C.E.D在同一直线上),求小水池的宽DE.(结果精确到0.1m)(sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan50°≈1.2)【分析】过点B作BF⊥AC于F,BG⊥CD于G,根据三角函数和直角三角形的性质解答即可.【解答】解:过点B作BF⊥AC于F,BG⊥CD于G,在Rt△BAF中,∠BAF=65°,BF=AB•sin∠×0.9=0.72,AF=AB•cos∠×0.4=0.32,∴FC=AF+AC=4.32,∵四边形FCGB是矩形,∴BG=FC=4.32,CG=BF=0.72,∵∠BDG=45°,∴∠BDG=∠GBD,∴GD=GB=4.32,∴CD=CG+GD=5.04,在Rt△ACE中,∠AEC=50°,CE=,∴≈1.7,答:小水池的宽DE为1.7米.【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.11.(2018·某某某某·6分)如图,校园内有两幢高度相同的教学楼AB,CD,大楼的底部B,D在同一平面上,两幢楼之间的距离BD长为24米,小明在点E(B,E,D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°,然后沿EB方向前进8米到达点G处,测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F,H距离地面的高度均为1.6米,求教学楼AB 的高度AB长.(精确到0.1米)参考值:≈1.41,≈1.73.【解答】解:延长HF交CD于点N,延长FH交AB于点M,如右图所示,由题意可得,MB=HG=FE=ND=1.6m,HF=GE=8m,MF=BE,HN=GD,MN=BD=24m,设AM=xm,则=xm,在Rt△AFM中,MF=,在Rt△H中,HN=,∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24,即8=x+x﹣24,解得,x≈11.7,∴AB=11.7+1.6=13.3m,答:教学楼AB的高度AB长13.3m.12.(2018·某某某某·8分)京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的),如图,在岸边分别选定了点A.B和点C.D,先用卷尺量得AB=160m,CD=40m,再用测角仪测得∠CAB=30°,∠DBA=60°,求该段运河的河宽(即CH 的长).【分析】过D作DE⊥AB,可得四边形CHED为矩形,由矩形的对边相等得到两对对边相等,分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中,设CH=DE=xm,利用锐角三角函数定义表示出AH与BE,由AH+HE+EB=AB列出方程,求出方程的解即可得到结果.【解答】解:过D作DE⊥AB,可得四边形CHED为矩形,∴HE=CD=40m,设CH=DE=xm,在Rt△BDE中,∠DBA=60°,∴BE=xm,在Rt△ACH中,∠BAC=30°,∴AH=xm,由AH+HE+EB=AB=160m,得到x+40+x=160,解得:x=30,即CH=30m,则该段运河的河宽为30m.【点评】此题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.。
初三解方程测试题及答案
初三解方程测试题及答案【测试题一】解一元二次方程:\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]【解答】首先,我们可以通过因式分解法来解这个方程。
将方程左边进行因式分解,得到:\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]接下来,我们分别令两个因式等于零,得到两个解:\[ x - 2 = 0 \quad 或 \quad x - 3 = 0 \]\[ x_1 = 2, \quad x_2 = 3 \]【测试题二】解一元一次方程:\[ 3x - 7 = 2x + 5 \]【解答】首先,我们将方程中的项进行移动,使得所有含 \( x \) 的项在等式的一边,常数项在另一边:\[ 3x - 2x = 5 + 7 \]然后,合并同类项:\[ x = 12 \]【测试题三】解一元一次方程:\[ \frac{1}{2}x + 3 = \frac{3}{4}x - 1 \] 【解答】首先,我们将方程中的分数项合并,使得 \( x \) 在等式的一边,常数项在另一边:\[ \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}x = -1 - 3 \]接着,我们将分数合并,并求解 \( x \):\[ -\frac{1}{4}x = -4 \]\[ x = 16 \]【测试题四】解一元一次方程:\[ 5x + 12 = 2(3x - 4) \]【解答】首先,我们将方程中的括号展开:\[ 5x + 12 = 6x - 8 \]然后,我们将 \( x \) 的项移动到等式的一边,常数项移动到另一边:\[ 5x - 6x = -8 - 12 \]接着,合并同类项并求解 \( x \):\[ -x = -20 \]\[ x = 20 \]【测试题五】解一元二次方程:\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]【解答】这个方程无法通过因式分解法直接求解,我们可以使用求根公式:\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]其中 \( a = 1, b = 4, c = -5 \)。
初三解方程及答案
初三解方程及答案1. 一次方程1.1 一元一次方程在数学学科中,一元一次方程是指形式为ax+b=0的数学表达式。
其中,a和b是已知的常数,x是未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过逐步运用逆运算的原则来求得未知数的值。
下面我们通过一个实例来演示解一元一次方程的过程:假设一个一元一次方程为2x+3=7,那么根据解方程的步骤,我们可以进行如下计算:2x+3=7(原方程)2x=7−3(减去3)2x=4(得到等式) $x = \\frac{4}{2}$(除以2)x=2(得到未知数的值)因此,这个方程的解即为x=2。
1.2 一元一次方程实例我们来看另一个例子:3x−4=11。
解法如下:3x−4=113x=11+43x=15 $x = \\frac{15}{3}$ x=5因此,这个方程的解是x=5。
2. 二次方程2.1 一元二次方程一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程,其中a、b和c是已知的常数,x是未知数。
解一元二次方程的一般步骤是先使用配方法将方程转化为标准形式,然后使用求根公式得到方程的解。
下面通过一个例子展示解一元二次方程的过程:假设我们有一个一元二次方程:x2+6x+9=0。
解法如下:x2+6x+9=0(x+3)2=0(因为x2+6x+9=(x+3)2)x+3=0(开平方)x=−3因此,这个方程的解为x=−3。
2.2 一元二次方程实例让我们来看另一个一元二次方程的例子:x2−4x+4=0。
解法如下:x2−4x+4=0(x−2)2=0(因为x2−4x+4=(x−2)2)x−2=0(开平方)x=2因此,这个方程的解为x=2。
3. 小结本文介绍了初中阶段解一元一次方程和一元二次方程的基本方法和步骤,并通过实例演示了解方程的过程。
方程是数学中重要的研究对象,通过掌握解方程的基本技巧,同学们可以更好地理解和应用数学知识。
希望本文对初中阶段学习者解方程有所帮助。
欢迎大家在学习过程中勤学苦练,不断提升数学水平。
初三数学解方程试题及答案
初三数学解方程试题及答案一、选择题(每题3分,共15分)1. 解下列方程,求x的值:\[ x + 3 = 7 \]A. x = 4B. x = 3C. x = 2D. x = 1答案:A2. 解下列方程,求x的值:\[ 2x - 5 = 9 \]A. x = 7B. x = 6C. x = 5D. x = 4答案:A3. 解下列方程,求x的值:\[ 3x + 4 = 2x + 10 \]A. x = 6B. x = 4C. x = 5D. x = 7答案:A4. 解下列方程,求x的值:\[ \frac{x}{2} - 1 = \frac{3x}{4} \]A. x = -2B. x = -4C. x = 2D. x = 4答案:A5. 解下列方程,求x的值:\[ 3x^2 - 6x + 2 = 0 \]A. x = 1B. x = 2C. x = -1D. x = -2答案:A二、填空题(每题2分,共10分)6. 解方程 \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \],得到x的值为________。
答案:2或37. 解方程 \[ 2x + 3 = 7x - 8 \],得到x的值为________。
答案:38. 解方程 \[ \frac{1}{x} + 2 = \frac{5}{2x} \],得到x的值为________。
答案:29. 解方程 \[ (x - 1)^2 = 4 \],得到x的值为________。
答案:3或-110. 解方程 \[ \frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x + 1} \],得到x的值为________。
答案:-2三、解答题(每题5分,共20分)11. 解下列方程,并说明解法:\[ x^2 - 4x + 4 = 0 \]解:这是一个完全平方公式,可以写成 \[ (x - 2)^2 = 0 \],所以解为 x = 2。
12. 解下列方程,并说明解法:\[ \frac{1}{x} - 1 = 2 - \frac{3}{x} \]解:首先去分母,得到 \[ 1 - x = 2x - 3 \],然后移项合并同类项,得到 \[ 3x = 4 \],所以解为 x = 4/3。
初三中考数学复习分式方程专项复习练习含答案与解析
x- 3
3- m
3-m
=3-m,即 x= 3 ,原方程无解,即此时存在 x= 3 =3,m=- 6.
7. 解:方程两边同乘以 (x-1),得 2=1+x-1,解得 x=2,把 x=2 代入原方 程检验: ∵左边=右边, ∴x=2 是分式方程的根 8. 解:方程两边同乘 x-2,1-3(x-2)=- (x-1),即 1-3x+6=- x+1,则 -2x=- 6,得 x=3.检验,当 x=3 时, x-2 ≠,0所以原方程的解为 x=3 【解析】分式方程同乘 (x-2)去分母转化为整式方程. 9. 解:去分母得 x+1=2x-14,解得 x=15, 经检验 x=15 是分式方程的解
y 900 (2)小明家与图书馆之间的路程最多是 y 米,根据题意可得 60≤180×2,解得 y≤ 60,0 则小明家与图书馆之间的路程最多是 600 米
【解析】 (1)根据等量关系:小明步行回家的时间=骑车返回时间+ 10 分钟,列 分式方程求解即可; (2)根据 (1)中计算的速度列出不等式解答即可.
【解析】 (1)设原计划每年绿化面积为 x 万平方米,则实际每年绿化面积为 1.6x
万平方米.根据 “实际每年绿化面积是原计划的 1.6 倍,这样可提前 4 年完成任
务”列出方程; (2)设平均每年绿化面积增加 a 万平方米.则由 “完成新增绿化面
积不超过 2 年”列出不等式. 13. 解:设甲队每天筑路 5x 公里,乙队每天筑路 8x 公里,根据题意得
m
无解,求 m 的值.
x-5 10-2x
12. 某市为创建全国文明城市,开展 “美化绿化城市 ”活动,计划经过若干年使城 区绿化总面积新增 360 万平方米.自 2013 年初开始实施后,实际每年绿化面积 是原计划的 1.6 倍,这样可提前 4 年完成任务. (1)问实际每年绿化面积多少万平方米? (2)为加大创城力度,市政府决定从 2016 年起加快绿化速度,要求不超过 2 年完 成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?
初三数学解方程练习题及答案
初三数学解方程练习题及答案解方程是初中数学中的重要内容,它是培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要方法之一。
下面是一些初三数学解方程的练习题及答案,供同学们参考和练习。
1. 问题:解方程$x - 2 = 6$。
解答:将方程两边加上2,得到$x = 8$。
所以方程的解为$x = 8$。
2. 问题:解方程$3x + 5 = 20$。
解答:将方程两边减去5,得到$3x = 15$。
再将方程两边除以3,得到$x = 5$。
所以方程的解为$x = 5$。
3. 问题:解方程$2(3x - 1) = 4x + 2$。
解答:首先展开方程得到$6x - 2 = 4x + 2$。
将方程两边加上2,得到$6x = 4x + 4$。
再将方程两边减去4x,得到$2x = 4$。
最后将方程两边除以2,得到$x = 2$。
所以方程的解为$x = 2$。
4. 问题:解方程$4(2x - 3) = 6 - 2(5 - x)$。
解答:首先展开方程得到$8x - 12 = 6 - 10 + 2x$。
将方程两边合并同类项,得到$8x - 12 = -4 + 2x$。
将方程两边减去2x,得到$6x - 12 = -4$。
将方程两边加上12,得到$6x = 8$。
最后将方程两边除以6,得到$x =\frac{4}{3}$。
所以方程的解为$x = \frac{4}{3}$。
5. 问题:解方程$2(x - 1) + 3(x + 2) = 5(x - 3)$。
解答:首先展开方程得到$2x - 2 + 3x + 6 = 5x - 15$。
将方程两边合并同类项,得到$5x + 4 = 5x - 15$。
将方程两边减去5x,得到$4 = -15$。
无解。
因此,方程无解。
以上是一些初三数学解方程的练习题及答案,希望能对同学们的数学学习有所帮助。
解方程需要掌握一定的基本方法和技巧,但更重要的是培养逻辑思维和分析问题的能力。
在学习过程中,同学们需要通过反复练习和多做题来提高自己的解方程能力。
初三练习题方程及答案
初三练习题方程及答案题目:初三练习题方程及答案一、方程的基础知识方程是数学中重要的概念之一,它表示了一个等式中未知量的关系。
在初三数学课程中,方程的学习是非常重要的。
下面我们来回顾一些方程的基础知识。
1. 方程的定义方程是一个等式,其中包含了一个或多个未知量。
这些未知量可以通过求解方程来确定其值。
2. 一元一次方程的解法一元一次方程是指只包含一个未知量且最高次数为一次的方程。
一元一次方程的通常形式为:ax + b = 0。
我们可以通过以下步骤来解一元一次方程:a) 将方程化为标准形式:ax = -b。
b) 求得未知量x的值:x = -b/a。
3. 一元一次方程的应用一元一次方程在实际问题中有广泛的应用。
例如,我们可以用一元一次方程来表示线性函数关系,计算直线的斜率等。
二、练习题及答案现在,让我们通过一些练习题来巩固学习过的方程知识。
每道题后面都附有答案,以供参考。
练习题1:解一元一次方程2x + 5 = 9解答:将方程化为标准形式:2x = 9 - 5计算得:2x = 4解得:x = 4/2答案:x = 2练习题2:解一元一次方程3(x + 2) = 5x - 1解答:将方程按照乘法分配律展开:3x + 6 = 5x - 1将未知量移到等式一边,常数移到等式另一边:3x - 5x = -1 - 6计算得:-2x = -7解得:x = -7/(-2)答案:x = 7/2练习题3:解一元一次方程组2x + 3y = 7x - 4y = -5解答:我们可以通过消元法来解决一元一次方程组。
第一步,将第一个方程乘以2,并将其与第二个方程相减消去x:4x + 6y = 14x - 4y = -5计算得:3x = 19解得:x = 19/3将x的值代入其中一个方程,求得y的值:19/3 - 4y = -5计算得:y = 4/3答案:x = 19/3,y = 4/3通过上述练习题的解答,我们可以发现方程在解决实际问题中具有重要的作用。
中考数学压轴题方程和不等式综合问题解答题解析版
26.如图1,数轴上,O点与C点对应的数分别是0,单位:单位长度,将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上在B的左边,若将直尺在数轴上水平移动,当A点移动到B点的位置时,B点与C点重合,当B点移动到A点的位置时,A点与O点重合.请直接写出直尺的长为______个单位长度;如图2,直尺AB在数轴上移动,有,求此时A点所对应的数;如图3,以OC为边搭一个横截面为长方形的不透明的篷子,将直尺放入篷内的数轴上的某处看不到直尺的任何部分,A在B的左边,将直尺AB沿数轴以4个单位长度秒的速度分别向左、右移动,直到完全看到直尺,所经历的时间分别为、,若秒,求直尺放入篷内时,A点所对应的数为多少?【答案】(1)20;(2)或10;(3)A点在蓬内所对应的数为38.当直尺AB在数轴上移动时,符合的情况如下所示:设BO为x:,所对应的数为设OA为x:,所对应的数为10综上所述,A在数轴上所对应的数分别为或10.设,如下图,根据题意,解得所以A点在蓬内所对应的数为38【关键点拨】本题通过直尺两端相对固定的两个点在数轴上移动时和数轴上固定的点之间长度关系的变化来确定移动点的位置,根据已知条件来分析移动点的可能性是解题的关键.月使用费主叫限定时间(分钟) 主叫超时费(元/分钟) 被叫方式一65 160 0.20 免费方式二100 380 0.25 免费被叫免费)(1)若张聪某月主叫通话时间为200分钟,则他按方式一计费需____元,按方式二计费需____ 元;李华某月按方式二计费需107元,则李华该月主叫通话时间为_____分钟;(2)是否存在某主叫通话时间(分钟),按方式一和方式二的计费相等?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由。
(3)直接写出当月主叫通话时间(分钟)满足什么条件时,选择方式一省钱。
【答案】(1)73,100,408;(2)存在某主叫通话时间t=300或560分钟,按方式一和方式二的计费相等;(3)当每月通话时间大于560分钟时,选择方式一省钱.(2)①当t≤160时,不存在;②当160<t≤380时,设每月通话时间为t分钟时,两种计费方式收费一样多,65+0.20×(t-160)=100,解得t=335,符合题意;③当t>380时,设每月通话时间为t分钟时,两种计费方式收费一样多,65+0.20×(t-160)=100+0.25(t-380),解得t=560,符合题意.故存在某主叫通话时间t=300或560分钟,按方式一和方式二的计费相等;(3)由(2)可得,当每月通话时间大于560分钟时,选择方式一省钱.【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.28.同学们,今天我们来学习一个新知识,形如的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为:利用此法则解决以下问题:(1)仿照上面的解释,计算出的结果;(2)依此法则化简的结果;(3)如果那么的值为多少?【答案】(1)11;(2)5a−b−ab;(3).(3)∴5x-3(x+1)=4∴5x−3x−3=4∴2x=7∴x=【关键点拨】[来源:]此题考查了解一元一次方程,以及有理数的混合运算,理解题中的新定义是解题的关键. 29.阅读探索知识累计解方程组解:设a﹣1=x,b+2=y,原方程组可变为解方程组得:即所以此种解方程组的方法叫换元法.(1)拓展提高运用上述方法解下列方程组:(2)能力运用已知关于x,y的方程组的解为,直接写出关于m、n的方程组的解为_____________.【答案】(1)(2)解得:,故答案为:【关键点拨】二元一次方程组解法的拓展是本题的考点,熟练掌握基础知识进行换元是解题的关键. 30.如图,在数轴上,点O为原点,点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a,b满足,B两点对应的数分别为______,______;若将数轴折叠,使得A点与B点重合,则原点O与数______表示的点重合;若点A、B分别以4个单位秒和3个单位秒的速度相向而行,则几秒后A、B两点相距1个单位长度?若点A、B以中的速度同时向右运动,点P从原点O以7个单位秒的速度向右运动,是否存在常数m,使得为定值,若存在,请求出m值以及这个定值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)-10;5; (2)-5;(3)2或秒;(4)存在,当m=3时,4AP+3OB-mOP为定值55.(2)∵|AB|=5-(-10)=15,=7.5,∴点A、点B距离折叠点都是7.5个单位所以折叠点上的数为-2.5.所以与点O重合的点表示的数为:-2.5×2=-5.即原点O与数-5表示的点重合.故答案为:-5.(3)设x秒后A、B相距1个单位长度,当点A在点B的左侧时,4x+3x=15-1,解得,x=2,当点A在点B的右侧时,4x+3x=15+1,解得,x=答:2或秒后A、B相距1个单位长度;【关键点拨】本题考查一元一次方程的应用,非负数的性质及数轴上两点间的距离.题目综合性较强,难度较大.解决(1)需利用非负数的性质,解决(3)注意分类思想的运用,解决(4)利用数轴上两点间的距离公式.31.(背景知识)数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美结合.研究数轴我们发现有许多重要的规律:例如,若数轴上点、点表示的数分别为、,则、两点之间的距离,线段的中点表示的数为.(问题情境)在数轴上,点表示的数为-20,点表示的数为10,动点从点出发沿数轴正方向运动,同时,动点也从点出发沿数轴负方向运动,已知运动到4秒钟时,、两点相遇,且动点、运动的速度之比是(速度单位:单位长度/秒).备用图(综合运用)(1)点的运动速度为______单位长度/秒,点的运动速度为______单位长度/秒;(2)当时,求运动时间;(3)若点、在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动,但运动的方向不限,我们发现:随着动点、的运动,线段的中点也随着运动.问点能否与原点重合?若能,求出从、相遇起经过的运动时间,并直接写出点的运动方向和运动速度;若不能,请说明理由.【答案】(1)动点P运动的速度为4.5单位长度/秒,动点Q运动的速度为3单位长度/秒;(2)运动时间为或秒;(3)点M能与原点重合,它沿数轴正方向运动,运动速度为或沿数轴正方向运动,运动速度为,理由见解析(2)设运动时间为t秒.由题意知:点P表示的数为-20+4.5t,点Q表示的数为10-3t,根据题意得:|(-20+4.5t)-(10-3t)|=×|(-20)-10|整理得:|7.5t-30|=107.5t-30=10或7.5t-30=-10解得:t=或t=.答:运动时间为或秒.(3)P、Q相遇点表示的数为-20+4×4.5=-2(注:当P、Q两点重合时,线段PQ的中点M也与P、Q两点重合)设从P、Q相遇起经过的运动时间为t秒时,点M与原点重合.①点P、Q均沿数轴正方向运动,则:解得:t=.此时点M能与原点重合,它沿数轴正方向运动,运动速度为2÷(单位长度/秒);②点P沿数轴正方向运动,点Q沿数轴负方向运动,则:解得:t=.此时点M能与原点重合,它沿数轴正方向运动,运动速度为2÷=(单位长度/秒);③点P沿数轴负方向运动,点Q沿数轴正方向运动,则:解得:t=-(舍去).此时点M不能与原点重合;④点P沿数轴负方向运动,点Q沿数轴负方向运动,则:解得:t=-(舍去).此时点M不能与原点重合.综上所述:点M能与原点重合,它沿数轴正方向运动,运动速度为或沿数轴正方向运动,运动速度为.【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴,解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.32.小明每隔一小时记录某服装专营店8:00~18:00的客流量(每一时段以200人为标时段8:00~9:00 10:00~11:00 12:00~13:0014:00~15:0016:00~17:00客流量(人)-21 +33 -12 +21 +54(1)若服装店每天的营业时间为8:00~18;00,请你估算一周(不休假)的客流量;(单位:人)(精确到百位)(2)若服装店在某天内男女装共卖出135套,据统计,每15名女顾客购买一套女装,每20名男顾客购买一套男装,则这一天卖出男、女服装各多少套?(3)若每套女装的售价为80元,每套男装的售价为120元,则此店一周的营业额约为多少元?【答案】(1)1.51×104人;(2)这一天卖出男装25套,女装110套.(3) 此店一周的营业额约为82600元.(2)设这一天卖出女装x套,男装(135-x)套,根据题意得,15x+20(135-x)=2150,解得,x=110,135-x=135-110=25.故这一天卖出男装25套,女装110套.(3)因为第二问中某一天出售男装25套,女装110套,每套女装的售价为80元,每套男装的售价为120元所以此店一周的营业额约为:[(25×120)+(110×80)]×7=[3000+8800]×7=11800×7=82600(元)故此店一周的营业额约为82600元.【关键点拨】本题考查正数和负数的加法、解方程组、数据的估算,注意第一问中精确到百位.33.某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式:甲超市:全场均按八八折优惠;乙超市:购物不超过200元,不给予优惠;超过了200元而不超过500元一律打九折;超过500元时,其中的500元优惠10%,超过500元的部分打八折;已知两家超市相同商品的标价都一样.(1)当一次性购物总额是400元时,甲、乙两家超市实付款分别是多少?(2)当购物总额是多少时,甲、乙两家超市实付款相同?(3)某顾客在乙超市购物实际付款482元,试问该顾客的选择划算吗?试说明理由.【答案】(1)甲超市实付款352元,乙超市实付款360元;(2)购物总额是625元时,甲、乙两家超市实付款相同;(3)该顾客选择不划算.(3)设购物总额是x元,购物总额刚好500元时,在乙超市应付款为:500×0.9=450(元),482>450,故购物总额超过500元.根据题意得:500×0.9+0.8(x-500)=482∴x=540∴0.88x=475.2<482∴该顾客选择不划算.【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)根据两超市的促销方案,列式计算;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程;(3)求出购物总额.34.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元.(1)符合公司要求的购买方案有几种?请说明理由;(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金不低于1500元,那么应选择以上哪种购买方案?【答案】(1) 有三种购买方案,理由见解析;(2)为保证日租金不低于1500元,应选择方案三,即购买5辆轿车,5辆面包车(2)方案一的日租金为3×200+7×110=1370(元)<1500元;方案二的日租金为4×200+6×110=1460(元)<1500元;方案三的日租金为5×200+5×110=1550(元)>1500元.所以为保证日租金不低于1500元,应选择方案三,即购买5辆轿车,5辆面包车.【关键点拨】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用,要注意找好题中的不等关系.解题的关键是:(1)根据数量关系列出关于x的一元一次不等式;(2)求出三种购买方案的日租金35.如图是某景区的环形游览路线ABCDA,已知从景点C到出口A的两条道路CBA和CDA 均为1600米,现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发,1号车顺时针、2号车逆时针沿环形道路连续循环行驶,供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计),两车的速度均为200米/分,每一个游客的步行速度均为50米/分.(1)探究(填空):①当两车行驶分钟时,1、2号车第一次相遇,此相遇点到出口A的路程为米;②当1号车第二次恰好经过点C,此时两车行驶了分钟,这一段时间内1号车与2号车相遇了次.(2)发现:若游客甲在BC上K处(不与点C、B重合)候车,准备乘车到出口A,在下面两种情况下,请问哪种情况用时较少(含候车时间)?请说明理由.情况一:若他刚好错过2号车,便搭乘即将到来的1号车;情况二:若他刚好错过1号车,便搭乘即将到来的2号车.(3)决策:①若游客乙在DA上从D向出口A走去,游客乙从D出发时恰好2号车在C处,当步行到DA上一点P(不与A,D重合)时,刚好与2号车相遇,经计算他发现:此时原地(P点)等候乘1号车到出口与直接从P步行到达出口A这两种方式,所花时间相等,请求出D点到出口A的路程.②当游客丙逛完景点C后准备到出口A,此时2号车刚好在B点,已知BC路程为600米,请你帮助游客丙做一下决策,怎样到出口A所花时间最少,并说明理由.【答案】(1)①4,800;②24,3;(2)情况一所用时间比较少,理由详见解析;(3)①D到A的路程为800 米;②丙应该选择乘坐1 号车所需时间最少.412分钟,第三次相遇时间为1220分钟,第四次相遇时间为2028分钟,∴这一段时间内1号车与2号车相遇了3次.故答案为:24,3;(2)情况一所用时间比较少,设CK=x米,由题意知,情况一需要时间为:16,情况二需要的时间为:16,∴情况一所用时间比较少;(3)①设P到A的路程为a米,则2号车从C→B→A→P的时间为分钟,∴D到P的路程为50,由题意知,,解得:a=320,∴D到P的路程为50=480米,∴D到A的路程为320+480=800米;②若丙选择乘坐1号车,所需时间为13分钟,若丙选择乘坐2号车,所需时间为21分钟,若丙选择步行到出口A,所需时间为32分钟,所以丙应该选择乘坐1号车所需时间最少.【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用,理解题意仔细剖析每种情形下路程的变化是解题的关键.36.已知一个四位自然数M的千、百、十、个位上的数字分别是、、、,若,且,则称自然数M是“关联数”,且规定.例如5326,因为,所以5326是“关联数”,且现已知式子(、、都是整数,,,)的值表示四位自然数,且是“关联数”,的各位数字之和是8的倍数.(1)当时,求;(2)当时,求的和.【答案】(1)3544,(2)-72.∴,,.∴.(2)当时,的千、百、十、个位上的数字分别是3、、、.∵是“关联数”,∴,∴.∴的各位数字之和为.由题意,知是8的倍数,且,,,∴,,,或,,.∴,或3562.[来源]∴,.当时,的千、百、十、个位上的数字分别是3、、、.∵是“关联数”,∴,∴.∴的各位数字之和为.由题意,知是8的倍数,且,,,∴,,,或,,.∴,或3984.∴,.∴.∴的和是-72.【关键点拨】此题主要考察不等式的应用,正确理解题意,再列出相应的式子,但是要注意分开来求解. 37.百脑汇商场中路路通商店有甲、乙两种手机内存卡,买2个甲内存卡和1个乙内存卡用了90元,买3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元.(1)求甲、乙两种内存卡每个各多少元?(2)如果小亮准备购买甲.乙两种手机内存卡共10个,总费用不超过350元,且不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?(3)某天,路路通售货员不小心把当天上午卖的甲、乙种手机内存卡的销售量统计单丢失了,但老板记得每件甲内存卡每个赚10元,乙内存卡每个赚15元,一上午售出的内存卡共赚了100元,请你帮助老板算算有几种销售方案?并直接写出销售方案.【答案】(1) 甲内存卡每个20元,乙内存卡每个50元;(2) 有两种购买方案,方案一:购买A商品5件,B商品5件;方案二:购买A商品6件,B商品4件,其中方案二费用最低;(3) 共有4种销售方案:方案一:卖了甲内存卡10个,乙内存卡0个;方案二:卖了甲内存卡7个,乙内存卡2个;方案三:卖了甲内存卡4个,乙内存卡4个;方案四:卖了甲内存卡1个,乙内存卡6个.(2)解:设小亮准备购买A甲内存卡a个,则购买乙内存卡(10﹣a)个,则解得5≤a≤6,根据题意,a的值应为整数,所以a=5或a=6.方案一:当a=5时,购买费用为20×5+50×(10﹣5)=350元;方案二:当a=6时,购买费用为20×6+50×(10﹣6)=320元;∵350>320∴购买A商品6件,B商品4件的费用最低.答:有两种购买方案,方案一:购买A商品5件,B商品5件;方案二:购买A商品6件,B商品4件,其中方案二费用最低[来源:(3)解:设老板一上午卖了c个甲内存卡,d个乙内存卡,则10c+15d=100.整理,得2c+3d=20.∵c、d都是正整数,∴当c=10时,d=0;当c=7时,d=2;当c=4时,d=4;当c=1时,d=6.综上所述,共有4种销售方案:方案一:卖了甲内存卡10个,乙内存卡0个;方案二:卖了甲内存卡7个,乙内存卡2个;方案三:卖了甲内存卡4个,乙内存卡4个;方案四:卖了甲内存卡1个,乙内存卡6个.【关键点拨】此题考查二元一次方程组及一元一次不等式方程组的应用,解题关键是读懂题意,找到关键描述语,找到所求的量的大小关系.38.三亚市某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料全部生(2)如果该工厂生产一件A产品可获利80元,生产一件B产品可获利120元,那么该工厂应该怎样安排生产可获得最大利润?【答案】(1)见解析;(2)见解析.(2)方案(一)A,30件,B,20件时,20×120+30×80=4800(元).方案(二)A,31件,B,19件时,19×120+31×80=4760(元).方案(三)A,32件,B,18件时,18×120+32×80=4720(元).故方案(一)A,30件,B,20件利润最大【关键点拨】本题主要考查一元一次不等式组的应用.39.小王是“新星厂”的一名工人,请你阅读下列信息:信息一:工人工作时间:每天上午8:00﹣12:00,下午14:00﹣18:00,每月工作25天;信息三:按件计酬,每生产一件甲种产品得1.50元,每生产一件乙种产品得2.80元.信息四:该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1900元,请根据以上信息,解答下列问题:(1)小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分钟;(2)2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件,则小王该月收入最多是多少元?此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件?【答案】(1)生产一件甲产品需要15分,生产一件乙产品需要20分;(2)小王该月最多能得3544元,此时生产甲、乙两种产品分别60,555件.解这个方程组得:,答:生产一件甲产品需要15分,生产一件乙产品需要20分.(2)设生产甲种产品共用x分,则生产乙种产品用(25×8×60-x)分.则生产甲种产品件,生产乙种产品件.∴w总额=1.5×+2.8×=0.1x+×2.8=0.1x+1680-0.14x[来源]=-0.04x+1680,又≥60,得x≥900,由一次函数的增减性,当x=900时w取得最大值,此时w=0.04×900+1680=1644(元),则小王该月收入最多是1644+1900=3544(元),此时甲有=60(件),乙有:=555(件),答:小王该月最多能得3544元,此时生产甲、乙两种产品分别60,555件.【关键点拨】本题考查了用一元二次方程组的实际应用,一次函数的实际应用问题,建立函数模型是解题关键.40.如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标为(2,8),点N的坐标为(2,6),将线段MN向右平移4个单位长度得到线段PQ(点P和点Q分别是点M和点N的对应点),连接MP、NQ,点K是线段MP的中点.(1)求点K的坐标;(2)若长方形PMNQ以每秒1个单位长度的速度向正下方运动,(点A、B、C、D、E分别是点M、N、Q、P、K的对应点),当BC与x轴重合时停止运动,连接OA、OE,设运动时间为t秒,请用含t的式子表示三角形OAE的面积S(不要求写出t的取值范围);(3)在(2)的条件下,连接OB、OD,问是否存在某一时刻t,使三角形OBD的面积等于三角形OAE的面积?若存在,请求出t值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(4,8)(2)S△OAE=8﹣t(3)2秒或6秒(2)如图1所示,延长DA交y轴于F,则OF⊥AE,F(0,8﹣t),∴OF=8﹣t,∴S△OAE=OF•AE=(8﹣t)×2=8﹣t;(3)存在,有两种情况:,①如图2,当点B在OD上方时,②如图3,当点B在OD上方时,过点B作BG⊥x轴于G,过D作DH⊥x轴于H,则B(2,6﹣t),D(6,8﹣t),∴OG=2,GH=4,BG=6﹣t,DH=8﹣t,OH=6,S△OBD=S△ODH﹣S四边形DBGH﹣S△OBG,=OH•DH﹣(BG+DH)•GH﹣OG•BG,【关键点拨】本题考查四边形综合题、矩形的性质、三角形的面积、一元一次方程等知识,解题关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.。
初三方程题型练习题答案
初三方程题型练习题答案一、一元一次方程1. 解方程2x + 3 = 7。
解答:2x + 3 = 7首先,将方程中的常数项3移到等式的右边,得到:2x = 7 - 32x = 4然后,将方程中的系数2移到等式的右边,得到:x = 4 ÷ 2x = 2所以,方程的解为x = 2。
2. 解方程3(x + 5) = 6x - 8。
解答:3(x + 5) = 6x - 8首先,将方程中的括号内的式子用分配律展开,得到:3x + 15 = 6x - 8然后,将方程中的系数3移到等式的右边,得到:15 = 6x - 3x - 8接着,将方程中的系数-3x移到等式的左边,得到:15 + 3x = -8 + 6x再将方程中的常数项15移到等式的右边,得到:3x - 6x = -8 - 15最后,将方程中的系数相加并计算常数项,得到:-3x = -23现在,我们将方程中的系数-3移到等式的右边,并改变符号,得到:x = 23 ÷ 3所以,方程的解为x = 23 ÷ 3。
二、一元二次方程1. 解方程x² + 4x + 3 = 0。
解答:首先,我们需要找到二次方程的解。
根据求根公式,对于一元二次方程ax² + bx + c = 0,其解为:x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)将方程x² + 4x + 3 = 0代入公式,并进行计算:x = (-4 ± √(4² - 4×1×3)) / (2×1)简化计算:x = (-4 ± √(16 - 12)) / 2x = (-4 ± √4) / 2x = (-4 ± 2) / 2计算最终结果:x₁ = (-4 + 2) / 2 = -2 / 2 = -1x₂ = (-4 - 2) / 2 = -6 / 2 = -3所以,方程的解为x = -1和x = -3。
九年级数学解方程练习题及答案
九年级数学解方程练习题及答案方程是数学中一种重要的概念,通过方程可以揭示数学问题的本质,并找到问题的解。
解方程是数学学习中的基本技能之一,也是数学能力的重要体现。
在九年级数学学习中,解方程作为一个重要的内容,需要同学们进行大量的练习来掌握解方程的方法与技巧。
下面给出一些九年级数学解方程的练习题及答案,供同学们参考。
题目一:解下列方程:1. 2x + 3 = 72. 4(5 - x) = 163. 3x/2 - 1 = -2答案一:1. 解方程2x + 3 = 7:首先,我们将方程变形,得到2x = 7 - 3,即2x = 4。
再通过除以2,得到x = 4/2,即x = 2。
2. 解方程4(5 - x) = 16:首先,我们先化简方程,得到20 - 4x = 16。
再通过移项,将-4x移到方程左边,得到-4x = 16 - 20,即-4x = -4。
最后,通过除以-4,得到x = -4/(-4),即x = 1。
3. 解方程3x/2 - 1 = -2:首先,我们将方程变形,得到3x/2 = -2 + 1,即3x/2 = -1。
再通过乘以2/3,得到x = -1 * 2/3,即x = -2/3。
题目二:解下列方程组:1.2x + 3y = 74x - y = 12.x + y = 6x - y = 2答案二:1. 解方程组:方程组1:2x + 3y = 74x - y = 1首先,可以通过消元法解方程组。
我们将方程2乘以2,得到8x - 2y = 2。
然后,将方程1和方程2相加,得到6x = 9,即x = 1.5。
将x = 1.5代入方程1,得到2 * 1.5 + 3y = 7,即3y = 4,y = 4/3。
因此,方程组的解为x = 1.5,y = 4/3。
2. 解方程组:方程组2:x + y = 6x - y = 2首先,将方程1和方程2相加,得到2x = 8,即x = 4。
将x = 4代入方程1,可以得到4 + y = 6,即y = 2。
九年级数学下册方程思想在几何解题中的运用解题苏科版
《方程思想在几何解题中的运用》 方程思想是初中代数中最重要的数学思想,它贯穿于整个初中代数的始终.通过设未知数,列方程(组),将几何问题转化为代数问题,这是解决几何问题的一种超级重要的方式.现举例说明如下.一、一元一次方程例1 如图,在△ABC 中,AB=AC ,点D 在AC 上,且BD=BC=AD .求∠A 的度数.解 ∵AB=AC ,BD=BC=AD (已知)∴∠ABC=∠C=∠BDC ,∠A=∠ABD (等边对等角)设∠A=x °,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x °从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x °在△ABC 中,依照三角形内角和定理有x +2x +2x =180解得x =36∴∠A=36°评注 本道题的求解进程中,充分利用了等腰三角形性质定理和三角形内角和定理,最后通过设未知数,列一元一次方程,求出角的度数.二、一元二次方程例2 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ,tanB=21,AE=7.求DE 的长. 解 设DE=x 在Rt △BDE 中,∵tanB 21==BE DE ∴BE=2x ,则BD=x 5∵D 为BC 的中点,∴BC=2BD=x 52又在Rt △ABC 中,∵tanB=21=BC AC ,∴AC=x 5 在Rt △ABC 中,依照勾股定理有(2x +7)2=(x 52)2+(x 5)2解得x 1=37,x 2=﹣1(舍去) ∴DE 的长为37 评注 这是一道典型的利用一元二次方程知识求解的几何题.第一咱们要斗胆地设要求的线段长为未知数,将几何问题转化为代数问题来求解;第二要充分利用已知条件tanB=21. 三、二元一次方程组例3 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB=18cm,CD=6cm,DM=MP=PA,CN=NQ=QB .求MN 和PQ 的长. 解 设MN=x cm ,PQ=y cm .依照梯形中位线性质定理有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.,)18(21)6(21x x y y 解得⎩⎨⎧==1410y x ∴MN=10cm ,PQ=14cm评注 本题中,咱们要求的线段不止一条,利用梯形中位线性质定理找到的等量关系也不止一个.这时,咱们能够通过设两个未知数列二元一次方程组来解.四、二元二次方程组例4 如图,两个同心圆被两条半径截得的弧长AB 为6πcm ,弧长CD 为10πcm ,又AC=12cm ,求阴影部份ABDC 的面积.解 设OA=x cm ,∠O=n °依照弧长公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=.10180)12(,6180ππππx n x n解得⎩⎨⎧==.60,18n x∴)(96186213010212cm S S S OA B OCD A B DC πππ=⨯⨯-⨯⨯=-=扇形扇形∴阴影部份ABDC 的面积为π96cm ².评注 解那个题,除要用到弧长公式,扇形面积公式之外,还要用到解二元二次方程组的知识.五、三元一次方程组例5 如图,在△ABC 中,BC=14cm ,AC=9cm ,AB=13cm ,它的内切圆别离和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F.求AF 、BD 和CE 的长.解 设AF=x cm ,BD=y cm ,CE=z cm依照切线长定理有AF=AE ,BF=BD ,CD=CE.由题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.13,9,14y x x z z y解得⎪⎩⎪⎨⎧===.5,9,4z y x∴AF=4cm ,BD=9cm ,CE=5cm .评注 本题还能够通过列一元一次方程来求解.由以上几例,咱们容易总结出用方程思想解几何问题的一样步骤为:①设未知数.把要求的角度,线度的长度,几何图形的面积等设为未知数.②列出方程(组).把涉及到的其他量也用含未知数的代数式表示,找出等量关系,列出含有未知数的方程(组). ③解方程(组).求出未知数的值. ④查验.方程的根要符合题意.⑤写出答案.。
解方程练习题及答案九年级
解方程练习题及答案九年级解方程是数学中重要的一部分,也是九年级数学的基础内容之一。
通过解方程可以寻找未知数的取值,从而解决实际问题。
本文将为大家提供一些解方程练习题及答案,帮助大家巩固和提高解方程的能力。
练习题一:1. 解方程2x + 3 = 9。
2. 解方程5(y - 4) = -15。
3. 解方程3x + 4 = -7x + 6。
4. 解方程2(x + 3) - 5 = 3(x - 2) + 4。
练习题二:1. 解方程2(x - 1) + 3(2x + 1) = 7(x - 2) + 4。
2. 解方程4(x + 2) - 5(2x - 1) = 2(3x + 1)。
3. 解方程3(2x - 1) + 4 = 5(3x + 2) - 3x。
4. 解方程2(x - 3) - 3(-2x + 1) = 3(2x - 1 - 3)。
练习题三:1. 解方程 2(x - 3) + 3(4 - x) = 7 - x。
2. 解方程 5(x + 2) - 3(2x - 3) = 18 - 2(x + 4)。
3. 解方程 3(2x - 1) - 12x = -3(5x - 2)。
4. 解方程 2(3x - 1) + 5(4 - 2x) = -3x + 6。
答案及解析:练习题一:1. 解方程2x + 3 = 9。
将常数项3移到等式右边,得到2x = 9 - 3 = 6。
再除以2,得到x = 6 ÷ 2 = 3。
因此,方程的解为x = 3。
2. 解方程5(y - 4) = -15。
将常数项-15移到等式左边,得到5(y - 4) + 15 = 0。
展开括号,得到5y - 20 + 15 = 0。
化简,得到5y - 5 = 0。
再除以5,得到y - 1 = 0。
因此,方程的解为y = 1。
3. 解方程3x + 4 = -7x + 6。
将常数项4移到等式右边,得到3x = -7x + 2。
将-7x移到等式左边,得到3x + 7x = 2。
初三解方程练习题和答案
初三解方程练习题和答案解方程是初中数学中非常重要的一项基础知识,也是数学学习中的一大难点。
掌握解方程的方法和技巧可以有效提升数学解题能力。
下面将为大家提供一些初三解方程练习题及其答案,希望能够帮助同学们更好地理解和掌握解方程的方法。
练习题1:解方程:2x + 5 = 13解答:将已知方程改写为2x = 13 - 5,即2x = 8。
再将方程两边都除以2,得x = 8 ÷ 2,即x = 4。
所以,方程的解为x = 4。
练习题2:解方程:3(x - 2) = 9解答:将已知方程展开,得3x - 6 = 9。
再将方程两边都加上6,得3x = 9 + 6,即3x = 15。
最后将方程两边都除以3,得x = 15 ÷ 3,即x = 5。
所以,方程的解为x = 5。
解方程:2(x + 1) - 3(x - 2) = 4解答:首先,将方程两侧进行分配运算,得2x + 2 - 3x + 6 = 4。
然后,将方程两侧的项进行合并,得2 - 3x + 2x + 6 = 4。
再进行合并,得-x + 8 = 4。
接着,将方程两侧的常数项进行消去,得-x = 4 - 8,即-x = -4。
最后,将方程两边的符号取反,得x = 4。
所以,方程的解为x = 4。
练习题4:解方程:3(x + 4) - 2(2x - 1) = 5(x - 1)解答:首先,将方程两侧进行分配运算,得3x + 12 - 4x + 2 = 5x - 5。
然后,将方程两侧的项进行合并,得3x - 4x + 5x = -5 - 12 - 2,即4x = -19。
接着,将方程两侧的项进行合并,得4x = -19。
最后,将方程两边的常数项进行消去,得x = -19 ÷ 4。
所以,方程的解为x = -19 ÷ 4。
解方程:2(3x - 1) + 5 = 3(x + 2) - 4解答:首先,将方程两侧进行分配运算,得6x - 2 + 5 = 3x + 6 - 4。
专题29 方程思想答案
专题29 方程思想例1. -1 提示:a 、b 是方程01))((=-++d x c x 的两个根,由根的性质得)(1))((b x a x d x c x --=-++)(,将x = - c 代入上式得-1=(-c -a )(-c -b ),即(a +c )(b +c )=-1. 例2 B 例3 A 提示:解法一:∵42423x x -=, 22222()()3x x ∴-+-=.又y 4+y 2=3,即(y 2)2+y 2=3,且220x -<,y 2≥0,∴220x-<,y 2是一元二次方程t 2+t -3=0的两个不等实根.由韦达定理,222y x -+ =-1,222y x - =-3,4222422422()2()y y y x x x∴+=-+-- =1+== . 解法二:∵x 2>0,y 2≥0,由已知条件得21x ,y 2=,∴4224224223367y y y x x x+=++-=-+=. 例42,3,4xy xz yz x y x z y z ===+++,1112x y ∴+=①,1113x z +=② 1114y z +=③. ①+②-③得2111234x =+-,解得x =247 ①+③-②得2111243y =+-,解得245y =;②+③-①得2111342z =+-,解得z =24.∴ x +5y -2z =0. 例5 分当BP ≤14AB ,14AB <BP <12AB ,BP =12AB 三种情况讨论.当BP =4040640,,5,2111231时,HDE 为等腰三角形. 例= 由题意得222612a b c a b a b c a b c S ab ≤<<+⎧⎪++=⎪⎪⎨+=⎪⎪=⎪⎩①②③④由①②得2c <a +b +c ==<3c ,∴2<c <3 ⑤.由②有(a +b )2=(=-c )2,将③④代入得3C =9-s ,∴有=<3c <9,从而3C = 或3c =8.若3c = ,则s =2,代入②④得a +b =113,ab =4,由于此时方程组无解,故此情形不可能;若3c =8,则s =1,此时a +b =103,ab =2.解得a b ==c =83,以这三个数为边长构成唯一的直角三角形.-1<x2<0,∴121cx x a=<,得c<a ②.从而a ≥1,故抛物线开口向上.旦当x=-1时,y>0.∴2(1)(1)0a b c -+-+>,得b<a+c .∵b ,a+c 是整数,∴a+c ≥b+l ③.由①得a+c>+1→2>1,即a>)2+1)2=4,∴a ≥5.又>4,∴b ≥5.取a=5,b=5,c=1时.抛物线y=5x 2+5x+l 满足题设条件,故a+b+c 的最小值为5+5+l=ll. 1=.设y=m 2,(x-90)2=k 2,m ,k 都是非负数,则k 2-m 2= × 01=1×490 ,即(k+m)(k-m )= × 01=1×490 .∴7017k m k m +=⎧⎨-=⎩或49071k m k m +=⎧⎨-=⎩,解得11354,347;k m =⎧⎨=⎩222454,2453.k m =⎧⎨=⎩∴11444,120409;x y =⎧⎨=⎩22264,120409;x y =-⎧⎨=⎩3325446017209x y =⎧⎨=⎩4423646017209x y =-⎧⎨=⎩∴“好点”共有4个,它们的坐标分别为:(444,120409).(-2=4,120 409),(2 544,= 01 209),(-2 3=4,= 01 209). 1 .①×②得()()b c a a c b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=8 →222222()()()b c a a c b a b c bc ca ab +-+-+-++=8→222222()()()44b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=0→222222()()()b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=0→()()()()()()b c a b c a c b a c b a a b c a b c bc ca ab---+--+-+-++++=0 →[]()()()()b c a a b c a b c a b c a b c abc -+-+--++++=0→222()(2)0b c a ab a b c abc -+--+= →22()()0b c a c a b abc -+⎡⎤--=⎣⎦→()()()0b c a c a b c a b abc-++--+= 故b-c+a=0或c+a- b=0或c-a+b=0,即b+a-c=0或c+a-b=0或c-a+b=0.为三边长可以构成一个直角三角形.18.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶lkm 磨损量为5000k,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k ,又设一对新轮胎交换位置前走了xkm ,交换位置后走了ykrn 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程.有5000300050003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加,得()()250003000k x y k x y k +++=,则237501150003000x y +==+.19.连结AC ,BC ,O 1E ,O 2F ,设A D=a,BD=b.∵⊙O 2与AB ,CD 相切,∴O 2F=DF=x ,∴AF=AD+DF=a+x.在Rt △OFD 2中,OF 2=OO 22-O 2F 2,易证2111O F AF BF =+,即111x a x b x=++-,化简得x 2+2ax-ab=0,∴∴∴AF 2=a (a+b )=AD AB=AC 2,∴AF=AC.同理,BE= BC.∴∠ECF=∠ACF+∠BCE-∠ACB=∠CFE+∠CEF-90°=180°-∠ECF-90°,∴∠ECF=45°.。
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题29 方程思想_答案[精品]
专题29 方程思想例1. -1 提示:a 、b 是方程01))((=-++d x c x 的两个根,由根的性质得)(1))((b x a x d x c x --=-++)(,将x = - c 代入上式得-1=(-c -a )(-c -b ),即(a +c )(b +c )=-1. 例2 B 例3 A 提示:解法一:∵42423x x-=, 22222()()3x x ∴-+-=.又y 4+y 2=3,即(y 2)2+y 2=3,且220x -<,y 2≥0,∴220x-<,y 2是一元二次方程t 2+t -3=0的两个不等实根.由韦达定理,222y x -+=-1,222y x -=-3,4222422422()2()y y y x x x∴+=-+--=1+6=7. 解法二:∵x 2>0,y 2≥0,由已知条件得21x y 2=,∴4224224223367y y y x x x+=++-=-+=. 例42,3,4xy xz yz x y x z y z ===+++,1112x y ∴+=①,1113x z +=② 1114y z +=③. ①+②-③得2111234x =+-,解得x =247;①+③-②得2111243y =+-,解得245y =;②+③-①得2111342z =+-,解得z =24.∴7x +5y-2z =0. 例5 分当BP ≤14AB ,14AB <BP <12AB ,BP =12AB 三种情况讨论.当BP =4040640,,5,2111231时,HDE 为等腰三角形.例6 由题意得222612a b c a b a b c a b c S ab ≤<<+⎧⎪++=⎪⎪⎨+=⎪⎪=⎪⎩①②③④由①②得2c <a +b +c =6<3c ,∴2<c <3 ⑤.由②有(a +b )2=(6-c )2,将③④代入得3C =9-s ,∴有6<3c <9,从而3C =7或3c =8.若3c =7,则s =2,代入②④得a +b =113,ab =4,由于此时方程组无解,故此情形不可能;若3c =8,则s =1,此时a +b =103,ab =2.解得a b =而c =83,以这三个数为边长构成唯一的直角三角形.能力训练 1.-2 提示:2251a a a -=∴==-,∴a 2+a =1,3232332()2()2212(1)a a a a a a a a a a a a a a +--++--+∴=---=332211(1)21a a a a a a--=-=-++=---. 2.1 6 提示:六位同学读过的书的总本数等于六本书被读过的人次总数. 3.∵x -y =2,即x ≠y ,∴x ,y 是方程2z 2-2z +k =0的两根,x +y =1,xy =2k ,又x -y =2,∴k =2xy =-32. 4.4 由x +y =-z ,xy =2z知,x ,y 是方程t 2+zt +2z=0的两根,由Δ≥0得z ≥2,又|x |+|y |=-(x +y )=z ≥2. 5.设∠BAC =x ,则'2,4,''4B BD x CBD x AA B ABA CBD x ∠=∠=∠=∠=∠=,01'(180)2A AB x ∠=-,∴01(180)2x -+4x +4x =1800,解得x =120. 6.B 7.C 提示:设该单位订甲、乙、丙三种盒饭分别有x ,y ,z 盒,则22853140x y x x y z ++=⎧⎨++=⎩①②①×8-②得3y +5z =36,5z =36-3y ≤36.由此可知z ≤7,且3y ,36均是3的倍数知z 是3的倍数.∴z 的可能值为0 ,3,6,相应的y 的值为12,7,2.∴共有3组解:10120x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,1273x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,1426x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩, 8.C 9.A 提示:设甲现在x 岁,乙现在y 岁,x >y ,则有()10()25y x y x x y --=⎧⎨+-=⎩, 10.D 提示:由已知得a 4+3a 2-1=0,211()3()10b b +-=,∴a 2,1b 是方程x 2+3x -1=0的根.又由a 2b ≠1得a 2≠1b ,由根与系数关系得a 2+1b=-3,2a b=-1,∴6326222331111()[()3]36a b a a a a b b b b b +=+=++-=-. 11.22263x xy y ≤-+≤ 提示:设22222x xy y m x xy y ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩,则22m xy -=,(x+y )=,∴x ,y 是方程2202m z -+=的两个实根.由Δ≥0得m 23≥,又26()02m x y -+=≥,263m ∴≤≤. 12.sin CBF =23,BC 提示:;连结OE ,DF ,则OE ∥BF ,∴AE :EF =AO :OB =3:1,OE :BF =3:4,∴AE =3EF ,AO :AB =3:4. 设OB =r ,则AO =3r ,BF =43r ,AD =2r . 由AE ·AF =AD ·AB 得EF .在Rt ΔABC 中,BC 2=CF ·CE =4(4+EF )=AC 2-AB 2,解得r ,sin ∠CBF =sin ∠BDF =FB DB . 13.设DP =x ,则PC ,AB y =AB ·S ΔABP =2(1)2(1)x x +-,即x 2+2(1-y )x +1+2y =0.由Δ≥0得y ≥4,故AB ·S ΔABP 的最小值为4. 14.由题设知x 1=a 1,x 2=a 2是一元二次方程(x +b 1)(x +b 2)-1=0的两根,∴(x +b 1)(x +b 2)-1=(x 1-a 1)(x 2-a 2).令x =-b 1,得(a 1+b 1)(a 2+b 1)=-1;令x =-b 2,得(a 1+b 2)(a 2+b 2)=-1. 15.设A (x 1,0),B (x 2,0),且x 1<x 2,则x 1,x 2是方程ax 2+bx+c的两根,∴x 1+x 2=b a -<0,x 1x 2=c a>0,则x 1<0,x 2<0.∵方程有两个不相等的实根,∴△=b 2-4ac >0,得b >.∵11OA x =<,21OB x =<,即-1<x 1<0, -1<x2<0,∴121cx x a=<,得c<a ②.从而a ≥1,故抛物线开口向上.旦当x=-1时,y>0.∴2(1)(1)0a b c-+-+>,得b<a+c.∵b,a+c是整数,∴a+c≥b+l③.由①得a+c>+1→2>1.,即a>)2≥+1)2=4,∴a≥5.又≥,∴b≥5.取a=5,b=5,c=1时.抛物线y=5x2+5x+l满足题设条件,故a+b+c的最小值为5+5+l=ll. 16.设y=m2,(x-90)2=k2,m,k都是非负数,则k2-m2=7×701=1×4907,即(k+m)(k-m)=7×701=1×4907.∴7017k mk m+=⎧⎨-=⎩或49071k mk m+=⎧⎨-=⎩,解得11354,347;km=⎧⎨=⎩222454,2453.km=⎧⎨=⎩∴11444,120409;xy=⎧⎨=⎩22264,120409;xy=-⎧⎨=⎩3325446017209xy=⎧⎨=⎩4423646017209xy=-⎧⎨=⎩∴“好点”共有4个,它们的坐标分别为:(444,120409).(-264,120 409),(2 544,6 017 209),(-2 364,6 017 209).17.①×②得()()b c a a c b a b ca b cbc ca ab+-+-+-++++=8→222222()()()b c a a c b a b cbc ca ab+-+-+-++=8→222222()()()44b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+--+-+=0→222222()()()b c a c a b a b cbc ca ab----+-++=0→()()()()()()b c a b c a c b a c b a a b c a b cbc ca ab---+--+-+-++++=0→[]()()()()b c aa b c a b c a b c a b cabc-+-+--++++=0→222()(2)0b c aab a b cabc-+--+=→22()()0b c ac a babc-+⎡⎤--=⎣⎦→()()()b c a c a b c a babc-++--+=故b-c+a=0或c+a- b=0或c-a+b=0,即b+a-c=0或c+a-b=0或c-a+b=0.18.设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶lkm磨损量为5000k,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为3000k,又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykrn分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程.有5000300050003000kx ky k ky kx k⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加,得()()250003000k x y k x y k +++=,则237501150003000x y +==+.19.连结AC ,BC ,O 1E ,O 2F ,设A D=a,BD=b.∵⊙O 2与AB ,CD 相切,∴O 2F=DF=x ,∴AF=AD+DF=a+x.在Rt △OFD 2中,OF 2=OO 22-O 2F 2,易证2111O F AF BF =+,即111x a x b x=++-,化简得x 2+2ax-ab=0,∴x=-a+AF 2=a (a+b )=AD AB=AC 2,∴AF=AC.同理,BE= BC.∴∠ECF=∠ACF+∠BCE-∠ACB=∠CFE+∠CEF-90°=180°-∠ECF-90°,∴∠ECF=45°.。
初中数学——方程思想解题实例
“如图,连接 AA′,BB′,因为 AO=A′O,BO=B′O,所以 AO A 'O .又∠1= BO B 'O
∠ 2,所以△AA•′O ∽△ BB′O ,有 AO AA' ,因为 AO=1.25,BO=16.5,AA ′ BO BB '
=0.85,所以 1.25 0.85 ,解得 BB′=11.22,•即长臂端点 B 升高了 11.22m”. 16.5 BB '
(二)利用三角形相似的性质建立等量关系
例 1:有一块两直角边剪一个正方形,有两种方
法:一种是正方形的一边在直角三角形的斜边上,另两个顶点在两条直角边上,如图(1);另一种是一组 邻边在直角三角形的两直角边上,另一个顶点在斜边上,如图(2).两种情形下正方形的面积哪个大?
解析:(1)当 AP=BQ 时,四边形 ABQP 是平行四边形; (2)若四边形 ABQP 能成为等腰梯形,则一定要满足 PD=CQ.
解:(1)当 AP=BQ 时,四边形 ABQP 是平行四边形,而 AP=t×1=t;BQ=BC-CQ=30-t×3=30-3t ∴t=30-3t 解之得:t=7.5 (2)四边形 ABQP 能成为等腰梯形.∵四边形 ABCD 为等腰梯形
题也可以利用三角形相似,及线段相等建立等量关系来解决.
课堂训练: 1. 有两张相同的矩形纸片,边长分别为 2 和 8,若将两张纸片交叉重叠,则得到重叠部分面积最小是 ______,最大的是 _________.
2.动手操作:在一张长 12cm、宽 5cm 的矩形纸片内,要折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的 方法折出菱形 EFGH(见方案一),小明同学沿矩形的对角线 AC 折出∠CAE=∠CAD,∠ACF=∠ACB 的 方法得到菱形 AECF(见方案二). (1)你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗? (2)请你通过计算,比较小颖和小明同学的折法中,哪种菱形面积较大?
初三数学解方程练习题答案
初三数学解方程练习题答案解方程是数学中的重要内容,也是初中数学学习中的一大难点。
下面将为大家提供一些初三数学解方程的练习题及其答案,希望能够帮助大家更好地学习和掌握解方程的方法和技巧。
一、一元一次方程1. 4x + 3 = 11解:首先将方程中的常数项和系数项分开:4x = 11 - 3接着运用一元一次方程的解法,将4x化简为x:4x = 8x = 8 ÷ 4x = 2所以方程的解为x = 2。
2. 2(x - 3) = 5x + 1解:首先将方程中的括号展开得到:2x - 6 = 5x + 1将方程中的变量项和常数项分开:2x - 5x = 1 + 6-3x = 7x = 7 ÷ -3x = -7/3所以方程的解为x = -7/3。
二、一元二次方程1. x^2 + 3x - 4 = 0解:将方程转化为一元二次方程的标准形式:ax^2 + bx + c = 0 x^2 + 3x - 4 = 0根据一元二次方程求解公式,我们可以得到方程的解为:x = (-b±√(b^2-4ac))/2a代入方程中的系数项:x = (-(3)±√((3)^2-4(1)(-4)))/(2(1))计算得:x = (-3±√(9+16))/2x = (-3±√25)/2x = (-3±5)/2所以方程的解为x = -4/2 或 x = 1/2即x = -2 或 x = 1/22. 2x^2 + 5x - 3 = 0解:将方程转化为一元二次方程的标准形式:2x^2 + 5x - 3 = 0根据一元二次方程求解公式,我们可以得到方程的解为:x = (-b±√(b^2-4ac))/2a代入方程中的系数项:x = (-(5)±√((5)^2-4(2)(-3)))/(2(2))计算得:x = (-5±√(25+24))/4x = (-5±√49)/4x = (-5±7)/4所以方程的解为x = -12/4 或 x = 2/4即x = -3 或 x = 1/2以上就是初三数学解方程练习题的答案,希望能够对大家的学习有所帮助。
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专题29 方程思想
阅读与思考
所谓方程思想就是从问题中发现或者构造等量关系,恰当引入未知量,寻找已知量与未知量的等量关系,列方程或方程组,通过解方程或方程组而使问题获解的解题方法.
应用方程思想解决问题的常见途径有:
1.引入字母,把代数式的化简求值问题转化为方程或方程组问题来解;
2.突出主元,把等式看作是其中某个字母的方程,将问题转化为方程或方程组问题来探讨;
3.构造一元二次方程,利用求根公式、根的判别式、根与系数的关系等知识,求解代数式的相关问题;
4.列方程、方程组解应用题;
5.通过列方程或方程组解几何计算题,把几何问题代数化.
17世纪,法国数学家笛卡尔曾有过一个伟大的设想:把所有问题 −−−→化归
数学问题−−−→化归 代数问题−−−→化归方程问题. 虽然笛卡尔的理想在他的一生中未能实现,但随着计算机的广泛应用,人们已经越来越体验到方程思想的重要性.
构造一元二次方程是方程思想解题最重要的途径,在代数式的化简求值、求字母取值范围、探求最值等方面有广泛的应用.常用的构造方法有:
①用根的定义构造;
②用韦达定理的逆定理构造;
③对于含有多个字母的变元等式问题,把等式整理为关于某个字母的一元二次方程.
例题与求解
【例1】 已知:a ,b ,c ,d 是四个不同的有理数,且(a +c )(a +d )=1,(b +c )(b +d )=1,那么(a 十c ) (b +c )的值是___ ____________. (江苏省竞赛试题)
解题思路:本例内容新颖,构思巧妙,解题思路宽广,或用特殊值代入试算、或从变形已知等式入手. 仔细观察已知两个等式特点,a ,b 可看作是方程(x +c )(x +d )=1的两根,利用方程思想揭示题设条件与结论的内在规律.
【例2】化简5353--+的结果是( )
A .10
B .2
C .5
D .2
(武汉市选拔赛试题)
解题思路:设5353--+=x ,将二次根式的化简问题转化为解方程.
【例3】已知实数x ,y 满足32424=-x x ,324=+y y ,则444y x
+的值为( ) A . 7 B .2131+ C .2
137+ D .5 (全国初中数学联赛试题)
解题思路:本题可以构造一元二次方程,利用根与系数关系——韦达定理解决.
【例4】 已知2=+y x xy ,3=+z x xz ,4=+z
y yz ,求z y x 257-+的值. (“《数学周报》杯”天津竞赛试题)
解题思路:要求的代数式中含三个字母,正好与已知的三个等式中含的三个字母相同,所以可以将已知的三个等式组成二元二次方程组,求出这些未知数的值.
本例已知的三个等式中含的三个字母相同,结构相同,排列位置循环转,根据这些特点可构造二次方程求解,这也是解决这类问题的常见方法.
【例5】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点E,D分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点,HQ⊥AB,垂足为点Q,交AC于点H,当点E到达顶点B时,P,Q同时停止运动,当BP 长为何值时,△HDE为等腰三角形?
(台州市中考试题改编)解题思路:本题可结合图形,从几何知识中找等量关系列方程.
利用方程思想解几何题,通常是对某几何量进行合理设元,根据几何性质正确列出方程、方程组,然后化归为解方程、方程组的有关问题.
著名数学家波利亚曾说:“为了使问题的概念完整,更富于启发性,更为人所熟悉,我们可以引入辅助元素”通过引入辅助元素,有利于各知识领域之间的横向过渡,有利于转化问题.解决间题.引入辅助元素的常见形式有:
①引入参数;②引入辅助方程;③引入辅助函数;
④引入辅助配对代数式;⑤恰当作辅助线;⑥引入辅助命题.
【例6】周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若不存在,请给出证明;若存在,请证明有几个. (全国初中数学联赛试题)
解题思路:设直角三角形的斜边为c ,直角边分别为a ,b ,面积为s .由题设条件及几何知识可得到关于以a ,b ,c ,s 的方程组,这样,符合条件的直角三角形是否存在的探讨就转化方程组是否有解的讨论.
能力训练
1.设512
a -=,则5432
322a a a a a a a +---+-=_____________. (全国初中数学联赛试题) 2.一个读书小组有六位同学,分别姓赵、钱、孙、李、周、吴,这个读书小组有六本书,书名分别是A ,B ,C ,D ,E ,F .每人至少读过其中的一本书,已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2,2,4,3,5本书,而书A ,B ,C ,D ,E 分别被小组中的1,4,2,2,2位同学读过,那么,吴姓同学读过____本书,书F 被小组中__________位同学读过.
3.设0222=+-k x x ,0222=+-k y y ,且2=-y x ,那么k =__________. (河南省竞赛试题)
4.x ,y ,z 是实数,并且满足0=++z y x ,2=xyz ,则x y z ++的最小值是________.
(北京市竞赛试题)
5.如图,AA ',BB '分别是∠EAB ,∠DBC 的平分线,若AA '=BB '=AB ,则∠BAC =________.
(全国初中数学联赛试题)
6.已知 ()21270x y x y -+++-=,则2223y xy x +-的值为( )
A .0
B .4
C .6
D . 12。