2019届高三数学(理)上学期期中试题
2019高三数学上学期期中试题 理(含解析)
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年度第一学期期中考试高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】求解不等式可得：，则集合.本题选择A选项.2. 已知函数，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,选D.3. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件得所以 ,选B.4. 等差数列的前项和为，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得所以 ,选A.5. 已知锐角的内角的对边分别为中，，且满足，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，△ABC为锐角三角形，则，由余弦定理有：，整理可得：，边长为正数，则.本题选择C选项.6. 函数的零点的个数是( )A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】当时,由函数图像可知有两个交点;当时,有一个零点,所以共有3个零点,选B.7. 若变量，且满足线性约束条件，则目标函数的最大值等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，观察可得，目标函数在点处取得最大值.本题选择C选项.8. 已知函数的周期为若将其图像沿轴向右平移个单位（），所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的解析式即：，结合最小正周期公式有：将其图像沿轴向右平移个单位所得函数解析式为，该函数图像关于坐标原点对称，则当时：，故，取可得：.本题选择D选项.9. 用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是A. B. C. D.【答案】D【解析】等式的左边为等式的左边为所以需要增乘的代数式是,选D.10. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以,选A.点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．11. 已知命题：“若，则”的命题是“若，则”；函数，则“是偶函数”是“的充分不必要条件”则下述命题①；② ；③ ；④ ，其中的真命题是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C【解析】为真命题；因为函数时“是偶函数”是“的必要不充分条件，所以为假命题，因此为真命题，选C.点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.12. 在所在平面上有三点，满足,则的面积与的面积之比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，为线段的一个三等分点，同理可得的位置，的面积为的面积减去三个小三角形面积，，∴面积比为,故选B．考点：1、向量的运算法则；2、向量共线的充要条件；3、相似三角形的面积关系．【方法点晴】本题主要考查向量的运算法则、向量共线的充要条件和相似三角形的面积关系，涉及数形结合思想和一般与特殊思想，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题型．首先将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到，利用向量共线的充要条件得到为线段的一个三等分点，同理可得的位置；利用三角形的面积公式求出三角形的面积比．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 平面向量与的夹角为，则等于__________.【答案】【解析】由题意可得：，则：，据此有：.14. 若，则的由小到大的顺序关系是__________.【答案】【解析】 , ,所以15. 将正整数排成如图所示，其中第行，第列的那个数记为，则数表中的应记为__________.【答案】【解析】因为前n行共有所以数表中的应记为16. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】作函数图可知，，所以实数的取值范围是点睛：对于方程整数解的问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 函数,部分图像如图所示，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为第三象限的角，，试求的值.【答案】(Ⅰ),，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合三角函数的性质可得,，；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，据此可得，结合同角三角函数基本关系有试题解析：（Ⅰ）由题中图可知,周期，，由图知，,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即，又为第三象限的角，18. 已知数列的前项和为，（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）设数列的首项，其前项和为，且点在直线上，求数列的前项和【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系转化为项之间递推关系，再整理成等比数列形式，最后根据等比数列定义给予证明（2）先根据等差数列定义求通项公式，得，再根据和项与通项关系求数列通项公式，最后利用错位相减法求试题解析：（Ⅰ）由，①得，②①-②，得，，由①得是以为首项，公比为的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，点在直线上，，是以为首项，公差为的等差数列，当时，，又满足上式，，，③，④③-④，得，点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19. 已知分别是内角的对边，且依次成等差数列.（Ⅰ）若,试判断的形状；（Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.【答案】(Ⅰ)正三角形；(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将角的关系得边的关系，再根据，利用余弦定理得，解得，从而确定三角形形状（2）先根据二倍角公式以及配角公式将代数式转化为基本三角函数，再根据钝角条件确定自变量范围，最后根据正弦函数形状确定取值范围试题解析：（Ⅰ）由正弦定理及，得三内角成等差数列，，由余弦定理，得，，又为正三角形，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，中由题意，知，所求代数式的取值范围是20. 我市某矿山企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件该产品需另投入万元，设该企业年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（Ⅰ）写出年利润（万元）关于产品年产量（千件）的函数关系式；（Ⅱ）问：年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？注：年利润=年销售收入-年总成本.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)当年产量为千件时，该企业生产的此产品所获年利润最大.（2）对x进行分类讨论，分当和当两种情况进行讨论，根据导数在求函数最值中的应用，即可求出结果．试题解析：解：（1）当时，。
2019届高三数学上学期期中试题 理 新版 人教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年度高三上学期期中考试数 学 试 卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列命题中的假命题是（ ）A ．021>∈∀-x R x ，B ．212),0x x x>∞+∈∀ ， （ C ．4001.1,x x x R x x <>∈∃时，恒有 当 D ．R ∈∃α，使函数 αx y =的图像关于y 轴对称2．已知向量)1,2(),1,(+==λλ-=+λ的值为( ) A ．1 B ．2C ．-1D ．-23．已知两个平面垂直，给出下列命题：(1)一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； (2) 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； (3) 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D. 04．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上相邻两个最高点的距离为π，若将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称．则()f x 的解析式为( ) A ．()2sin()6f x x π=+B ．()2sin()3f x x π=+ C ．()2sin(2)6f x x π=+D ．()2sin(2)3f x x π=+ 5．在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x的零点所在的区间为（ ） A. )41,0( B. )21,41( C. )43,21( D. )1,43(6．函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是( )A ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，7．在△ABC 中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足学2=,则)(PC PB PA +⋅ 等于( ) A ．94-B ．34-C ．34D ． 948． 一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．189．已知(cos23,cos67)AB =︒︒,(2cos68,2cos 22)BC =︒︒,则ABC ∆的面积为( )A.22B.210．已知数列}{n a 满足)(log 1log 133*+∈=+N n a a n n ，且9642=++a a a ，则=++)(log 97531a a a （ ）A ． 5-B ．51-C. 5 D ．51 11．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]62(，- 内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2，＋∞)C. (1, 34)D. (34,2)12．已知函数)0(21)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A. )1(ee ，- B. )1(e e ，-C. )(e ，-∞D. )1(e，-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知数列}{n a 为等差数列，若11011-<a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0>n S 的最大值n 为________.14. 在棱锥P-ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，Q 为底面ABC 内一点，若点Q 到三个 侧面的距离分别为2，2，2，则以线段PQ 为直径的球的表面积是： 15.一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为123π+， 则正视图与侧视图中x 的值为 16. 已知曲线)1,0()(3≠>=+a a ax f kx 经过点)4,1(与点)21,4(,且)(2|)(|m f x f y -=有两个零点,则实数m 的取值范围是 .三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 2123（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）（2）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且1|=⋅PB PA |||，求实数m 的值.18.（本题满分12分） 已知函数)2()(--=x e x x f x.（1）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）若函数)(x f y =在区间]1,1[-的最值. 19．（本题满分12分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2B m B n B =-=-2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2Bm B n B =-=-且//m n（1）求锐角B 的大小；（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值． 20. （本题满分12分）如图：四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ACB ＝90°，平面PAD ⊥平 面ABCD ，PA =BC =1，PD =、F 分别为线段PD 和BC 的中点． (1) 求证：CE ∥平面PAF ；(2) 在线段BC 上是否存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为 60°？若存在，试确定G 的位置；若不存在，请说明理由．21.（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 222-=，数列}{n b 的前n 项和n n b T -=3.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n n n b a c 3141⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n R 的表达式． 22.（本题满分12分）设函数)(x f 的导函数为)(x f ',定义:若)(x f '为奇函数,即”对定义域内的一切x ,都有0)()(='+-'x f x f 成立”,则称函数)(x f 是”双奇函数”.已知函数21)()(x a x x x f ++=. (1) 若函数)(x f 是”双奇函数”,求实数a 的值;(2) 若x a x a x x x f x g ln 21||)1)(()(2-++-= ①在(1)的情况下,讨论函数)(x g 的单调性; ②若R a ∈,讨论函数)(x g 的极值点.答案:1.C 2.C 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.B 9.C 10.A 11.D 12.C 13.19 14.10 15.3π 16.(1,+∞)。
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一、单选题1．若集合M ={x|x 2−x <0}，N ={y|y =a x (a >0,a ≠1)}，R 表示实数集，则下列选项错误的是A ．M ∩N =MB ．M ∪N =RC ．M ∩C R N =ϕD ．∁R M ∪N =R 2．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若z 1=1+3i 1−i，则z 1+z 2等于A ．4iB ．−4iC ．2D ．−23．已知P 、M 、N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是A ．−14 B ．−12 C ．−34 D ．−14．如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）A ．,B．,C ．,D ．,5．函数f(x)=x 2−2e |x|的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．命题：p ：∃x 0∈R ，x 4−x 2+1<0；命题q ：∀α，β∈R ，sinα−sinβ≤sin(α−β)，则下列命题中的假命题为A ．p ∨(￢q)B ．(￢p)∨(￢q)C ．(￢p)∧(￢q)D ．p ∧q7．设x ，y 满足约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0 若目标函数z =ax +y(a >0)的最大值为18，则a 的值为A ．3B ．5C ．7D ．9 8．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 9．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =， 12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是A ．B ．C ．D ．101111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为A ．8 B ．4C ．D ．11．已知函数()ln f x ax e x =+与()2ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >12．记{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是A．1 B ．2 C．2 D二、填空题13．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．14．向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足：|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=4√2，b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为4，(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ −c ⃗ )=0，则b ⃗ ⋅c ⃗ 的最大值是______．15．数列{a n }且a n ={1n 2+2n ,n 为奇数sinnπ4,n 为偶数，若S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2018=______．16．已知函数f(x)(x ∈R)满足f(x)+f(−x)=6，函数g(x)=2x−3x−1+xx+1，若曲线y =f(x)与y =g(x)图象的交点分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x m ,y m ).则∑(m i=1x i+y i )=______三、解答题17．已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3)， (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n =2(a n +12)+a n ，求数列{b n }前n 项和S n ．18．如图，在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且2acosC −c =2b ．（1）求角A 的大小；（2）若∠ABC =π6，AC 边上的中线BD 的长为√35，求∆ABC 的面积．19．已知函数f(x)=|x −1|+|x −3|． （1）解不等式f(x)≤x +1；（2）设函数f(x)的最小值为c ，实数a ，b 满足a >0,b >0,a +b =c ，求证：a 2a+1+b 2b+1≥1．20．四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AB ⊥BC ，AB =2BC =2CD =2，△SAD 为正三角形．(Ⅰ)点M 为棱AB 上一点，若BC//平面SDM ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的值；(Ⅱ)若BC ⊥SD ，求二面角A −SB −C 的余弦值．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A(4，0)，且被圆C 1截得的弦长为，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．22．已知函数f(x)=(x +b)(e x −a)，(b >0)，在(−1,f(−1))处的切线方程为(e −1)x +ey +e −1=0.（1）若n ≤0，证明：f(x)≥nx 2+x ；（2）若方程f(x)=m 有两个实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：x 2−x 1≤1+m(1−2e)1−e..参考答案 1．B 【解析】 【分析】先化简M ，N ，再根据集合的运算和集合的之间的关系即可求出. 【详解】∵集合M ={x|x 2−x <0}=(0,1)，N ={y|y =a x(a >0,a ≠1)}=(0，+∞)， ∴M ∩N =M ，M ∪N =(0,+∞)，∁R N =(−∞,0]，∁R M =(−∞,0]∪[1,+∞)， ∴ M ∩C R N =ϕ，∁R M ∪N =R 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的运算及包含关系的判断及应用，属于基础题． 2．D 【解析】【分析】利用复数的运算法则可得：z 1，再利用几何意义可得z 2． 【详解】 z 1=1+3i 1−i=(1+3i)(1+i)(1−i)(1+i)=−2+4i 2=−1+2i ，∵复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，∴z 2=−1−2i ，则z 1+z 2=−2． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．B 【解析】试题分析：解：根据题意，不妨设点P 的坐标为(1,0),点M 的坐标为(cosθ,sinθ),点N 的坐标为,其中0<θ<π则PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,sinθ),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,−sinθ) 所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ−1,sinθ)⋅(cosθ−1,−sinθ)=(cosθ−1)2−sin 2θ =cos 2θ−2cosθ+1−sin 2θ=2cos 2θ−2cosθ=2(cosθ−12)2−12所以当cosθ=12时，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−12考点：1、单位圆与三角函数的定义；2、向量的数量积；3、一元二次函数的最值问题. 4．A 【解析】由于()2214616,8ππωω=-==， ()13010102A =-=， 20b =， 10sin 208y x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，过点()14,30有： 3010sin 14208πφ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，7sin 14πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 7242k ππφπ+=+， 52,4k k Z πφπ=-∈，取31,4k πφ==， 得310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭符合题意，选A. 5．D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和代入特殊点即可选出答案． 【详解】 函数f(x)=x 2−2e |x|，可得f(−x)=f(x)，可知f(x)是偶函数，排除A ；e |x|>0，当x 2−2=0时，即x =±√2时，f(x)有两个零点，x =0时，可得f(0)=−2.；排除B ；当x >√2或x <−√2时，可得e |x|>x 2−2，图象逐渐走低； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性及图象变换，属于中档题． 6．D 【解析】 【分析】利用配方法求得x 4−x 2+1>0说明p 为假命题，举例说明q 为假命题，再由复合命题的真假判断得答案．【详解】∵x 4−x 2+1=(x 2−12)2+34>0，∴命题p 为假命题；∀α，β∈R ，sin(α−β)=sin α−sin β不正确，比如α=90∘，β=−90∘， sinα−sinβ=2，而sin(α−β)=0，故命题q 为假命题，则p ∨(￢q)为真命题；(￢p)∨(￢q)为真命题；(￢p)∧(￢q)为真命题；p ∧q 为假命题．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判断与应用，考查利用配方法求函数的最值，考查三角函数值的大小判断，属于中档题．7．A 【解析】 【分析】由线性约束条件画出可行域，然后结合目标函数的最大值，求出a 的值． 【详解】画出约束条件{3x −y −6≤0x −y +2≥0x ≥0,y ≥0的可行域，如图：目标函数z =ax +y(a >0)最大值为18，即目标函数z =ax +y(a >0) 在{x −y +2=03x−y−6=0的交点M(4,6)处，目标函数z 最大值为18， 所以4a +6=18，所以a =3．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，作出可行域是解题的关键，属于中档题. 8．C【解析】因为函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，所以172541624244ππππππωπω+≤⨯+<+⇒≤< ， ω的取值范围为1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C. 【方法点晴】本题主要考查三角函数的图象、三角函数的周期性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．9．C【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B ，D ，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A ，所以正确答案为C.点睛：此题主要考查空间几何体的三视图等有关方面的知识，属于中低档题型，也是最近几年高考的必考题型.此题有与以往有不同之处，就是给出了空间几何体的三视图各俯视图，去寻找正视图，注意的是，由实物图画三视图或判断选择三视图时，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则，还看得见棱的画实线，看不见的棱要画虚线.10．D【解析】如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在线段11,,AB AC AD 上，设线段1AB 上的切点为E ， 1AC ⋂面12A BD O =，圆柱上底面的圆心为1O ，半径即为1O E 记为r，则21133O F DF ===， 21113AO AC ==，由12//O E O F11112AO AO E =⇒=，则圆柱的高为1323AO -=-，()2423428r r S r r r π⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=-=-≤⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭侧.应选答案D 。
山东省济宁市2019届高三上学期期中考试数学(理)试题
山东省济宁市2019届高三上学期期中考试数 学 试 题（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|120},{|3,1}x M x x x N y y x =+-≤==≤ ,则集合{|x x M ∈且}x N ∉为( )A. [4,0)-B. []4,0-C. (0,3]D. []4,3-2. 若复数z 满足(34)43i z i -=+,则z 的虚部为( )A. 4-B. 45-C. 4D. 453.三角形内，a>b 是cosA<cosB 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4. 若θ是ABC ∆的一个内角,且1sin cos 8θθ=-,则ααsin cos -的值为( )A. B. D.5. 两个非零向量,a b满足2a b a b b +=-= 则向量a b + 与a -b 夹角为( )A.56π B. 6π C. 23π D. 3π 6. 如果()sin cos ,2cos P θθθ位于第三象限,那么角2θ所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第一或三象限 D.第二或四象限7. 函数cos()2()ln(2)x f x x π-=+的图象可能是( )8. 已知数列{}n a 满足: 12a =,11-=+n n n a a a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ,则2017S = ( )A.1007B.1008C.1009.5D.10109. 在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于x 轴对称,若32sin -=α,则cos()αβ-= ( )A. 1或19B. 1-或19-C. 19D. 19-10.已知函数ααcos sin y =的图象向左平移6π个单位后,得到函数()y g x =的图象,下列关于()y g x =的说法正确的是( )A.图象关于点,03π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称 B.图象关于点(,0)6π-中心对称.C.图象关于6x π=-轴对称 D.图象关于3x π=-轴对称11. 已知函数()()f x x R ∈的图象关于点），（21对称,若函数）（x f -1-x x2y =有四个零点1234,,,x x x x 则1234x x x x +++= ( )A.2B.4C.6D.8 12. 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递减函数, ()f x '是其导函数,若0x -x f x f >'）（）（,则下列不等关系成立的是( )A.)()(e 2e f e f <B.)()(e 32e f e f >C. (2)2(1)f f <D. 3(2)2(3)f f >第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上). 13. 已知(1,1),(,1)a b t =-=若()()a b a b +-,则实数t =__________14. (22sin x dx -=⎰__________15. 在ABC ∆中, AB BC ⋅=则sin 2sin 2A B +的取值范围是__________16. 关于函数()()4sin 2?3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,有下列命题: ①由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍; ②()y f x =的表达式可改写为4cos 2?6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; ③()y f x =的图象关于点,0?6π⎛⎫-⎪⎝⎭对称; ④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中不正确的命题的序号是__________. 三、解答题（本大题共6小题，满分共70分）17．（本小题满分10分） 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n .（1）求锐角B 的大小;（2）若2b =,求ABC ∆面积的最大值.）（）（分）已知函数（本题32x cos 2x cos4x f 12.18π+=19．（本小题满分12分）某经销商计划经营一种商品,经市场调查发现,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克, 112x <≤),满足:当14x <≤时, (3)21by a x x =-+- (,a b 为常数);当412x <≤时, 2800100y x=-.已知当销售价格为2元/千克时,每日可售出该特产800千克;当销售价格为3元/千克时,每日可售出150千克.（1）求,a b 的值,并确定y 关于x 的函数解析式;（2）若该商品的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x 的值,使店铺每日销售该特产所获利润()f x最大 2.65)≈ 20．（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足1n 4s 4a n 1n ++=+,n N *∈且2514,,a a a 构成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）若对一切正整数n 都有1223111178n n aa a a a a a ++++<,求实数a 的最小值. 21．（本小题满分12分）已知() ,f x ln x ax a a R =-+∈. （1）讨论() f x 的单调性 （2）若()()()21g =f 12x x x +-在()1,+∞上有且仅有一个零点,求a 的取值范围. 22．（本小题满分12分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈（1）若1a =,求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程（2）若()0f x ≥在[)0,(0)f 上恒成立,求实数a 的取值范围 （3）若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-,4n nb a =,求证:数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++数 学 试 题 答 案（理科）1--12 B DCBC CCDCB BA13. -1 14.π2 15.(-1，0) 16. （1）（4）17.解：（1）∵//m n ,∴02cos 3)1cos 2(sin 22=+-B B B , +1分∴tan 2B =分 又∵B 为锐角,∴()20,B π∈, ∴223B π=,∴3B π=. +5分 1. ∵3B π=,2b =,由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=,得2240a c ac +--=. +7分又222a c ac +≥,代入上式,得4ac ≤,当且仅当2a c ==时等号成立. +9分故1sin 24ABC S ac B ac ∆==≤当且仅当2a c ==时等号成立,即ABC S ∆分1)3cos(2x f 1.18++=πx ）（）解：（ +4分[]3,1-2，值域为最小正周期为π +6分 ，，解得）（）（31-cos 313-f 2==απα +8分322sin =αα在第二象限，所以又因为 +10分222-12sin -2cos 12cos =+ααα +12分19.解：（1）由题意: 2x =时800y =, ∴800a b +=, 又∵3x =时150y =,∴300b =,可得500a =, +2分∴2300500(3),141{2800100,412x x x y x x-+<≤-=-<≤ +4分（2）由题意: 2500(3)(1)300,14()(1){2800(100)(1),412x x x f x y x x x x--+<≤=-=--<≤ +5分当14x <≤时,()500(35)(3)f x x x =--'由()0f x '>得513x <<或34x <≤由()0f x '<得533x << 所以()f x 在5(1,),(3,4)3上是增函数,在5(,3)3上是减函数因为58000()450(4)180039f f =+<=所以4x =时, ()f x 的最大值为1800 +8分 当124≤<x 时,28002800()(100)(1)2900(100)29001840f x x x x x=--=-+≤-当且仅当2800100x x=,即 5.3x =≈时取等号,∴ 5.3x =时有最大值1840. ∵18001840<, +11分∴当 5.3x =时()f x 有最大值1840,即当销售价格为5.3元的值,使店铺所获利润最大. +12分20.解：（1）1n 4s 4a n 1n ++=+即21441,n n S a n n N *+=--∈ 且2144(1),n n S a n n N *-=--∈∴22114444n n n n n a S S a a -+=-=--,∴222144(2)n n n n a a a a +=++=+, ∵0n a >,∴1 2n n a a +=+,∴当2n ≥时, {}n a 是公差为2d =的等差数列. +4分 ∵2514,,a a a ,构成等比数列,∴225214222,(6)(24)a a a a a a =⋅+=⋅+,解得23a =, +5分又由已知,当1n =时, 2a =,∴11a =∵21312a a -=-=,∴{}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式21n a n =-. +6分 （2）由(1)可得式+10分解得∴a 的最小值为47+12分21.解：（1）由已知() f x 的定义域为()0,+∞,又()11f'-a=axx x x-=, +1分 当0a ≤时, ()f'>0x 恒成立; +2分 当0a >时,令()f'>0x 得10<x<a ;令()f'<0x 得1x>a. +4分 综上所述,当0a ≤时, () f x 在()0,+∞上为增函数; 当0a >时, () f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数. +5分（2）由题意()()()21g 1+lnx-ax+a 02x x x =->,则()1g'=x+-1-a x x, +6分当1a ≤时,∵1()1210g x x a a x'=+--≥--≥, +7分∴g 在上为增函数,又()10g =,不符合题意.当1a >时, ()()211g'x a x x x-++=, +8分令()()2=x 1x+1x a ϕ-+,则()21-4=(a+3)(a-1)>0a +.令0ϕ=的两根分别为12,x x 且12x x <,则∵121210,10x x a x x +=+>⋅=>,∴1201x x <<<,当()1x 0,x ∈时, 0ϕ>,∴()0g x '>,∴()g x 在()10,x 上为增函数; 当()12x ,x x ∈时, 0ϕ<,∴()0g x '<,∴()g x 在()12,x x 上为减函数; 当()2x ,x ∈+∞时, 0ϕ>,∴()0g x '>,∴()g x 在()2,x +∞上为增函数. ∵g=0,∴()g x 在上只有一个零点 1,且()1g x >0, ()2g x <0. ∴()()()()()()22111g 2221+ln 22-a 22+a>21-a 22>0222a a a a a a +=+++++=, ∴g 在上必有一个零点.∵221a +>,当(]2x 1,x ∈时,g<0,∴222a x +>.∴()g x 在()1,+∞上必有一个零点.综上所述,a 的取值范围为()1,+∞ +12分22.解：（1）因为1a =,所以()(2)ln(1)f x x x x =++-,(0)(02)ln100f =+⨯-=,切点为(0,0).由2()ln(1)11x f x x x +'=++-+,所以'02(0)ln(01)1101f +=++-=+,所以曲线()y f x =在(0,0)处的切线方程为01(0)y x -=-,即0x y -= +2分（2）由 2()ln(1)1x f x x a x +=++'+-,令()()([0,))g x f x x =∈+∞',则2211()01(1)(1)x g x x x x =-=≥+++' (当且仅当0x =取等号).故()f x '在[)0,?+∞上为增函数.①当2a ≤时, ()(0)0f x f ''≥≥,故()f x 在[)0,?+∞上为增函数,所以()(0)0f x f ≥=恒成立,故2a ≤符合题意;②当2a >时,由于(0)20f a =-<',1(1)10aaf e e -=+>',根据零点存在定理,必存在(0,1)a t e ∈-,使得()0f t '=,由于()f x '在[)0,?+∞上为增函数,故当()0,x t ∈时, ()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数, 所以当()0,x t ∈时, ()(0)0f x f <=,故()0f x ≥在[)0,?+∞上不恒成立,所以2a >不符合题意.综上所述,实数a 的取值范围为(,2]-∞ +6分（3）证明:由24,13,1331,.22,22,21n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩由2知当0x >时, (2)ln(1)2x x x ++>,故当0x >时, 2ln(1)2x x x +>+, 故2222ln(1)212n n n n⋅+>=++,故1122ln(1)1nnk k k k ==+>+∑∑.下面证明: ln(1)(2)n T n n <++因为1222222ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1231nk k n n =+=++++++⋅⋅⋅++++-∑45612(1)(2)ln 3ln ln(1)(2)ln 223412n n n n n n n n ++++⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++- ⎪-⎝⎭而,4222321311n T n =+++⋅⋅⋅++++1222222224111111213122131233nn n k T T kn n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑所以, 1ln(1)(2)ln 23n n n T ++->-,即: 1ln(1)(2)ln 23n n n n T T ++>-+> +12分。
2019届高三上学期期中考试数学(理)试题答案
理科数学高三年级期中考试试题参考答案1-4、BDAD ；5-8、CBAC ；9-12、DCBC ；13、10-；14、3；15、1+=ex y ；16、]22[，-； 17．⑴ 易知：0,a ≠由题设可知()31,1,1122 1.2 2.1.n d a aa n n d d a ⎧+=⎪=⎧⎪∴∴=+-⋅=-⎨⎨=⎩⎪⋅=⎪⎩………6分⑵ 由（I ）知2232-+=n b nn ，∴)22420()333(242-++++++++=n T nnn n n n n n -+-=⨯-++--=2)19(89222091)91(9 ………12分 18.⑴)62sin(2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2ππ+=+-=-+-=x x x x x x f ； ∴)(x f 的最小正周期ππ==22T ； 由)(2236222z k k x k ∈+≤+≤+πππππ；解得)(326z k k x k ∈+≤≤+ππππ∴)(x f 的单调递减区间为)](32,6[z k k k ∈++ππππ。
………6分⑵由21)62sin()(=+=πx A f ，),0(π∈A ，得3π=A又9cos ||||=⋅=⋅A AC AB AC AB ，∴18=bc 又c a b ,,成等差数列，∴c b a +=2由余弦定理得bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，解得23=aABC ∆周长为29=++c b a ………12分 19.⑴由列联表可知，22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.∵2.198 2.072>，∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. …………4分 ⑵①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有60106100⨯=（人）， 偶尔或不用共享单车的有40104100⨯=（人）. 则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为21364633101023C C C P C C =+=. …………8分②由22⨯列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为1301320020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为1320. 由题意得)2013,10(~B X ，∴1313()10202E X =⨯=；13791()10202040D X =⨯⨯=. …………12分 20.⑴在直三棱柱中1CC AB ⊥，又1C F AB ⊥，11,C F C C ⊂平面11BCC B ，111CC C F C =，∴AB ⊥平面11BCC B ，又∵AB ⊂平面EBA ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC ．· ……………………5分 ⑵由（1）可知AB BC ⊥，以B 点为坐标原点，BC 为X 轴正方向，BA 为Y 轴正方向，1BB 为Z 轴正方向，建立坐标系．设 1AA a =，()000B ，，，()200C ，，，()020A ，，，()100B a ，，，()120C a ，，，()102A a ，，， ()11E a ，，，()100F ，，，· ……………………6分 直线1FC 的方向向量()10a =，，a ，平面1ACC A 的法向量()110=，，m ，2a =，· ……………………·8分 ()020BA =，，，()112BE =，，，()200BC =，，， 设平面ABE 的法向量()1x y z =，，n ，∴2020y x y z =⎧⎨++=⎩，∴()1201=-，，n ，· ……………………10分 设平面CBE 的法向量()2x y z =，，n ， ∴2020x x y z =⎧⎨++=⎩，∴()2021=-，，n ， ……………………11分 记二面角A BE C --的平面角为θ，1cos 5θ=，∴sin 5θ=∴二面角A BE C --的平面角的正弦值为5． ……………………12分21.⑴函数()f x 的定义域为()-∞+∞,，()()()e 1e e e x x x xf x x kx x kx x k '=+--=-=-， ·········1分 ①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >．∴()f x 的单调递减区间是()0-∞，，单调递增区间是[)0+∞,； ·········2分 ②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >．∴()f x 在()ln k -∞,和()0+∞,上单调递增，在[]ln 0k ,上单调递减； ·········3分 ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在()-∞+∞,上单调递增；· ········4分④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在()0-∞，和()ln k +∞,上单调递增，在 []0ln k ,上单调递减． ·········5分 ⑵()01f =-， ①当01k <≤时，由（1）知，当()0x ∈-∞,时， ()()()()()22max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--=--+<⎣⎦，此时()f x 无零点， ·········6分 当[)0x ∈+∞,时，()222e 2e 20f k =-≥->．又∵()f x 在[)0+∞,上单调递增，∴()f x 在[)0+∞,上有唯一的零点，∴函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点；· ········7分 ②当1k >时，由（1）知，当()lnk x ∈-∞,时，()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；· ········8分 当[)ln x k ∈+∞,时，()()ln 010f k f <=-<，()()()2211111e e 22k k k k k f k k k ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．令()21e 2tg t t =-，12t k =+>，则()e t g t t '=-，()e 1t g t ''=-，∵2t >，()0g t ''>，()g t '在()2+∞,上单调递增，()()22e 20g t g ''>=->，∴()g t 在()2+∞,上单调递增，得()()22e 20g t g >=->，即()10f k +>．∴()f x 在[)ln k +∞,上有唯一的零点，故函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点．·········11分 综合①②知，当0k >时函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有且只有一个零点． ……………·12分 22.⑴由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，化为直角坐标方程为224x y x +=， 所以圆C 的直角坐标系方程为2240x y x +-=．由12 2x y =⎧⎪⎨=⎪⎪⎪⎩消t得102x y --=，所以直线l 的普通方程为2210x y --=．…………5分 ⑵显然直线l 过点102M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，将122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=得27024t --=， 根据直线参数方程中参数的几何意义知：47||||||21==⋅t t MB MA ． ……………………10分 23.⑴若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可． 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤，所以实数m 的最大值4M =． ……………………5分 （2）根据（1）知正实数a ，b 满足2234a b +=， 由柯西不等式可知()()()2223313a ba b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”)． ……………………10分。
2019届高三数学上学期期中试题 理(含解析)新版人教 版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年高中三年级期中考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以因为，所以，，选C.2. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,，故选A.3. 下列说法中正确的个数是（）①“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件；②命题“，”的否命题是“，”；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】对于①，若“” 为真命题，则都为真命题，“” 为真命题，若为真命题，只需为真命题或为真命题，“”不一定为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故①错误；对于②，命题“，”的否定是“”，故②错误；对于③，因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以③正确，即正确命题的个数为，故选B.4. 函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D，当时，，图象就是把的图象向右平移1个单位，可见选B.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为的正方形的四棱锥，其中两个侧面面积为，两个侧面面积为，底面积为，所以表面积为，故选D.6. 等比数列中，，，函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为函数，，则．故选C．考点：导数的运算.7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,将函数的图象向左平移个单位后得到，，为偶函数，，，当时，的取值分别为，，的取值不可能是，故选B.8. 向量，均为非零向量，，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以，即，设的夹角为，，又，所以的夹角为，故选A.9. 已知数列的首项，，则（）A. 99B. 101C. 399D. 401【答案】C【解析】由，可得，是以为公差，以为首项的等差数列，，故选C.10. 在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.11. 已知函数若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象如图：注意，设,当时，有4个实根，若方程在上有两个不等实根时，方程有8个不等实根，则：.....................解得：，选C.【点睛】方程的根的个数控制问题是近几年高考和模拟考试常见考题，一般先画出函数的图象，设t=f(x),化方程的根的个数问题为直线y=t与曲线y=f(x)的交点的个数问题去解决，然后观察t的范围，利用利用一元二次方程的根的分布控制t的个数t的范围，从而得出参数的范围.12. 用表示不超过的最大整数（如，）.数列满足，（），若，则的所有可能值的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】对两边取倒数，得，累加得，由为单调递增数列，，其中，整数部分为，，整数部分为，，整数部分为，由于，时，的整数部分都是，的所有可能值得个数为，故选B.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量、满足约束条件：则的最大值是__________．【答案】8【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图），而表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为或，的最大值为，故答案为.14. 若定义在上的函数，则__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可得，是以原点为圆心，以为半径的圆的面积的一半，，，故答案为.15. 设、均为正数，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】均为正数，且，，整理可得，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】，，当时，，，说明在上为增函数，为偶函数，则为偶函数，图象关于轴对称，所以在上是减函数，原不等式可化为，则或，即或，不等式的解集为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，（1）若，求的值；（2）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间即图象的对称中心.【答案】(1) (2) 的单调增区间是（），函数图象的对称中心为（）【解析】试题分析：先根据数量积的坐标运算公式求出数量积，由于向量垂直，所以数量级为0，得出tanx,再利用二倍角正切公式求出tan2x的值，第二步求出函数f(x)的表达式化为标准形式后，函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），相当于x 替换为2x, 再把所得图象沿轴向左平移个单位，相当于把x替换为，得到函数的解析式，根据解析式求出单增区间和对称中心.试题解析：（1）∵，即∴，∴.（2）由（1）得，从而.解得（），∴的单调增区间是（），由得（），即函数图象的对称中心为（）.【点睛】函数图像变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换以及旋转变换，主要掌握前3种，把函数图象沿x轴向左或向右平移，我们常称之为“左加右减”，沿y轴上下平移，我们常称为“上加下减”；纵坐标不变横坐标伸长或缩短到原来的倍，对应的解析式就是把替换为，掌握基本图象变换方法，就可以方便的解题了.18. 已知数列满足，，设.（1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1) (2)详见解析【解析】试题分析：（I）可化为即，，从而可得数列为等比数列，进而可得的通项公式；（II）由（I）可得，分组求和后，利用放缩法可得结论.试题解析：（I）由已知易得，由得即；,又,是以为首项，以为公比的等比数列.从而即，整理得即数列的通项公式为.（II），，，.19. 在中，，，分别是角，，的对边，且. （1）求的大小；（2）若为的中点，且，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（I）首先正切化弦，然后利用两角和的余弦公式可得，从而可得，进而可得结果；（II）由余弦定理可得，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可得结果.试题解析：（I）由，得，，，，又 .（II）在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，二式相加得，整理得，，所以的面积，当且仅当时“”成立.的面积的最大值为.20. 已知函数，其导函数的两个零点为-3和0.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最值.【答案】（1）（2）的单调增区间是，，单调递减区间是（-3,0）.（3）函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【解析】试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.试题解析：（1）∵，∴，由知，解得从而，∴.所以，∴，曲线在点处的切线方程为，即，（2）由于，当变化时，，的变化情况如下表：故的单调增区间是，，单调递减区间是（-3,0）.（3）由于，，，所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1.21. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由，可得，又从而，底面，，平面所以平面平面.（II）由（I）可知为与底面所成角.所以，所以又及，可得,以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量.则由得取同理平面的法向量为所以又二面角为锐角.所以二面角余弦值为.【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22. 已知函数（）.（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且有两个极值点，（），求的取值范围. 【答案】（1）实数的取值范围是（2）的取值范围为【解析】试题分析：函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立，分离参数m,利用极值原理求出参数m的取值范围；当时有两个极值点为方程的两个根，根据根与系数关系找出与系数的关系，根据m 的范围解出的范围，表示出，根据减元，利用构造函数法求出其取值范围.试题解析：（1）的定义域为，在定义域内单调递增，，即在上恒成立，由于，所以，实数的取值范围是.（2）由（1）知，当时有两个极值点，此时，，∴，因为，解得，由于，于是.令，则，∴在上单调递减，.即.故的取值范围为.。
2019届高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
h2019 届高三数学上学期期中试卷 理(含解析)一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求出集合，，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，则，故选 C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合 ，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，则复数 = （）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【详解】由复数的运算，可得复数，故选 A.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在极坐标系中，曲线是（ ）A. 过极点的直线 B. 半径为 2 的圆C. 关于极点对称的图形 D. 关于极轴对称的图形【答案】D【解析】hh试题分析：的圆，关于极轴对称的图形，所以选 D. 考点：极坐标4.“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若，则,表示圆心为 半径为 1，所以“”是“”的充分而不必要条件。
考点：本题考查充分必要充要条件；三角函数求值。
点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断。
此题为基础题型。
视频5.若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( ) A. 2 个 B. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】C. 3 个D. 多于 4 个在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.【详解】因为偶函数 满足又当时，，故当，所以函数的周期为 2，时，，则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有 4 个交点，h即方程h 有 4 个根，故选 B.hh【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力 6.在平面直角坐标系中，角 的顶点在原点，始边在 轴的正半轴上，角 的终边经过点（ ， ），且，则 （）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，得到，即可求解，得到答案.【详解】由题意角 的终边经过点 （ ， ），且，根据三角函数的定义，可知，则 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及三角函数的诱导公式的应用，其中解答中根据三角函数的定义得到，再合理利用诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知函数，函数（ ），若对任意的，总存在使得，则实数 的取值范围是（）A.B.C.D.hh【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，可得 在 即可求解.的值域包含于函数 的值域，运用导数和函数的单调性和值域，【详解】由题意，函数的导数为，当 时，，则函数 为单调递增；当 时，，则函数 为单调递减，即当 时，函数 取得极小值，且为最小值 ，又由，可得函数 在 的值域由函数在 递增，可得 的值域由对于任意的，总存在，使得， ，，可得，即为，解得，故选 B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为 在 的值域包含于函数 的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.8.已知在直角三角形 中， 为直角，，，若 是 边上的高，点 在△内部或边界上运动，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】hh如图，由可得以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则直线 方程为，则直线 AM 方程为联立，解得：由图可知，当 在线段 上时，有最大值为 0，当 在线段 上时，有最小值，设∴的范围是[ ，0]故选 D． 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法， 其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键． 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
[精品]2019届高三数学上学期期中试题 理 人教新目标版
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2019学年度第一学期期中考试高三理数一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位4.函数21e xy x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π 6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. 7.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y+=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 11.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
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亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三数学上学期期中试题 理注意事项：1． 本试卷分试题卷和答题卡，试题 卷共2页，满分150分，考试时间120分钟。
2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上。
3． 考试结束只需上交答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2101-，，，=A {}022<--=x x x B ，则=B A ( )A.{}1 B.{}1,0 C.{}1,0,1- D.{}2,1,0,1- 2.已知点)3,2(-A ,),3(m B ,点O 为坐标原点，且⊥，则=m ( )A. 2B. -2C.21 D. -3.下列说法中正确的是 ( )A. 0,2>∈∀x R xB. 若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<RC. 若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D. 命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” 4.若角α的终边经过点P (1，－2)，则α2s i n 的值为( ) A.54 B.54- C.51D.51-5.函数y =的定义域为( ) A ．（21，+∞） B ．［1，+∞) C ．（21，1] D ．（－∞，1）6.设2log 31=a ，2.02-=b ，2log 3c =，则 ( )A.a c b >>B.b c a >>C.c b a >>D.c a b >> 7.要得到函数x y 2sin =的图象，只需将函数)32sin(π+=x y 的图象 ( )A. 向左平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π6个单位8.已知实数x y 、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥5121y x x y y ，目标函数z x y =-的最小值为( )A.1- B ．0 C ．1 D ．3 9.已知0s i n,s i n ,510αβ==且,αβ为锐角，则αβ+为( ) A ．4π B.4π或34π C.34πD.非以上答案10.曲线xy 2=与直线21,e x x ==及x 轴所围成的图形的面积是 ( )A ．4 B. 2e 1- C. eD. 211.设0,0a b >>，若5为5a 与5b 的等比中项，则41a b+的最小值为 ( ) A.29 B.4 C.27D.3 12.已知N 是函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=--)21(sin 2)(1x ex f x π在[]5,3-∈x 上的所有零点之和，则N 的值为( )A.4B.6C.8D.10第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.执行如图所示程序框图，输出的x 值为___.14.等差数列{}n a 的前n 项和n s 有最大值，且125a a =， 则当n =____ 时，S n 有最大值.15.函数()sin()f x A x ωϕ=+ （,,A ωϕ是常数0,0A ω>>2πϕ<）的部分图像如图所示，则函数)(x f 的 解析式为_______________.16.若不等式2ln 2x x x a x ++≥对(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是____ ___.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22-23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17.（12分）已知函数)3sin(sin 2)(πωω+=x x x f （0ω>）的最小正周期为π.（1）求ω的值； （2）求()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ上的最大值和最小值.18.（12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前4项和为10，且732,,a a a 成等比数列. （1）求通项公式n a ； （2）设11+=n n n a a b ,求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，⊥1AA 底面ABC ， AB =1，AC =AA 1=3，∠ABC =3π． （1）证明：AB ⊥A 1C ；（2）求二面角A ﹣A 1C ﹣B 的正弦值．20.（12分）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =-. （1）求角A ；（2） 若△ABC的面积S =，7b c +=，求a 的值．21.（12分）已知函数233()(1)ln 2()42f x ax a x x a R =+---∈ （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若0a >，求证：1()f x a≥-．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. 已知曲，线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 和直线l 相交于,A B 两点，点P 为曲线C 上异于,A B 的一点，求PAB △面积的最大值．23. 已知函数()|||3|f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≥恒成立,求a 的取值范围； （2）当2a =时,求不等式2()813f x x x -+≥的解集.2018—2019学年度第一学期长春市三中 期中考试数学学科试题(理科)答案注意事项：4． 本试卷分试题卷和答题卡，试题 卷共2页，满分150分，考试时间120分钟。
2019届高三上学期期中考试数学(理)试题答案
∴ AB 平面 面 ABE 平面 B1BCC1 ．· ⑵由（1）可知 AB BC ，
……………………5 分
以 B 点为坐标原点， BC 为 X 轴正方向， BA 为 Y 轴正方向， BB1 为 Z 轴正方向，建立坐标系．设
AA1 a ， B 0，0，0 ， C 2，0，0 ， A0，2，0 ， B1 0，0，a ， C1 2，0，a ， A1 0，2，a ，
………6 分
∴Tn (32 34 32n ) (0 2 4 2n 2)
9(1 9n ) 0 2n 2 n 9 (9n 1) n2 n
19
2
8
………12 分
18.⑴ f (x) sin(2x ) 2cos2 1 3 sin 2x 1 cos 2x cos 2x sin(2x ) ；
········4 分
④当 k 1时，令 f x 0 ，解得 x 0 或 x lnk ，所以 f x 在 ，0 和 lnk, 上单调递增，在
0, lnk 上单调递减．
·········5 分
⑵ f 0 1，
①当 0 k 1时，
由（1）知，当 x ,0 时，
f
x
fmax
x
f
lnk lnk
19.⑴由列联表可知， K 2 200 (70 40 60 30)2 2.198 . 130 70 100 100 ∵ 2.198 2.072 ，
∴能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 A 市使用共享单车情况与年龄有关. …………4 分
⑵①依题意，可知所抽取的 10 名 30 岁以上网民中，经常使用共享单车的有10 60 6 （人）， 100
理科数学高三年级期中考试试题参考答案
1-4、BDAD；5-8、CBAC；9-12、DCBC；13、 10 ；14、 3 ；15、 y ex 1 ；16、[2，2] ；
2019届高三数学上学期期中试题 理 人教-新目标版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019届高三上学期期中考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B ⋂=（ ） A ．{}04x x <≤ B ．{}02x x <≤ C ．{}2x x ≥ D ．{}4x x ≤ 2．下列命题正确的是（ ）A.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；B.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；C.“22am bm <”是“a b <”成立的必要不充分条件；D.命题“存在0x R ∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”. 3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2413,2n S S S a =+=，则6a =（ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．13-4．函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且为奇函数.若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]1,1-C ．[]0,2D ．[]1,35．如图，在平行四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(),BE BA BD R λμλμ=+∈，则λμ-=（ ）A ．34 B ．14 C ．14- D ．34- 6．已知数列{}n a 满足:()*111,2n n n a a a n N a +==∈+.若21log 1n n b a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n b 的通项公式是（ ）A ．12n B ．1n - C ．n D ．2n7．已知函数()sin 232f x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()()cos 2g x x ϕ=-的图象（ ）A.关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. 关于轴56x π=-对称C.可由函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到 D.可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到8．已知函数()2ln x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设双曲线221x y m n+=且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．y x =±D ．y = 10. 已知函数()2,0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()2g x f x x a =+-，若()g x 存在两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[)1,-+∞D ．(],1-∞（11．ABC ∆中有：①若A B >，则sinA sinB >；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形；④若,23B AB π∠==，且该三角形有两解，则AC 的范围是)+∞.以上结论中正确的个数有（ ）A. 1B. 2C. 3D. 412．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边AB AC == ）A.平面ABC ⊥平面ACDB.四面体D ABC -的体积是C.二面角A BC D --D.BC 与平面ACD 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量()()()1,2,2,2,1,a b c λ==-=，若()//c a b +，则λ= ．14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin αβ+=，则()sin αβ+= ．15．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当[)3,3x ∈-时，()12xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()2log 12f = ．16．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆、双曲线的离心率分别为12,e e ，则22122e e +的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222b c a ac =+-. （1）求B ；（2）若a A =ABC ∆的面积.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//,AD BC AD CD ⊥，且AD CD =2BC PA ==.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理 由.19.已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.20.已知数列{}n a 中，122,3a a ==，其前n 项和n S 满足()*11212,n n n S S S n n N +-+=+≥∈. （1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .21.党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民，且都从事蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计，若动员()0x x >户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高3%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为()36050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使剩下()100x -户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求()*0,x x x N >∈的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这x 户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于()100x -户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求a 的最大值.10010057.7, 1.75, 1.725758===)及 57 5822.已知动圆C 过定点()21,0F ，并且内切于定圆()221:112F x y ++=.. （1）求动圆圆心C 的轨迹方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，（1）中曲线上有两个点,P Q ，并且2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.试卷答案一、选择题1-5: BADCB 6-10:CAADD 11、12：BC 1.B 【解析】由于[](,1)(2,),1,2R A C A =-∞-+∞∴=-,又B ={}4x x x <≤∴集合]()(0,2R C A B =.选B.2.A 【解析】A.逆否命题与原命题同真同假，由x y =可得sin sin x y =; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)p 真q 假，(i i)p 假q 真，(iii) p 假q 假； C.“”是“”成立的充分不必要条件;D 否定是：“对任意，均有210x x ++≤”.故选A.3.D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,3243,S S S =+ 11323(3)22a d a ⨯∴+= 1434,2d a d ⨯+++解得132d a =-,1612,3,513a d a a d =∴=-∴=+=-.故选D. 4.C 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()111f x --≤≤等价于()()()111f f x f --≤≤,又()f x 在()-∞+∞，单调递减,111x ∴--≤≤ 0x ∴≤≤2. 故选C. 5.B 【解析】∵BD →＝2BO →，BE →＝λBA →＋μBD →，∴BE →＝λBA →＋2μBO →.∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ-μ＝14.选B. 6.C 【解析】由12nn n a a a +=+得1121,n n a a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2,111112(1)2n n n a a -+=+=,1221log (1)log 2n n nb n a +=+==.故选C.7.A 【解析】∵函数()sin(23)2f x x πϕ=+-是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，∴6πϕ=，∴f （x ）=sin2x=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣），则函数g （x ）=cos （2x ﹣ϕ）=cos （2x﹣）=cos2（x ﹣） 的图象可由函数f （x ）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由26x k ππ-=,得,122k x ππ=+1k =-时 512x π=-,B 错.()03g π=，故选A ．8.A 【解析】()(),()(),f x f x f x f x -≠-≠-排除B,C. 21()0,f e e e=->211()0,f e e e =+> 211()0f e e e-=-<.故选A ．9.D 【解析】由已知得抛物线的焦点为(0,2),所以0,0n m ><,2,c c a ==,所以双曲线的方程是2213y x -=.渐近线方程是y =.选D. 10.D 【解析】由已知()2f x x a =-+有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线2y x a =-+有两个交点，作图可得22,1a a ≤∴≤.选D.11.B 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；②A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc +-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确；④由画圆弧法得2.AC <<所以④错误. 故选B.12. C 【解析】沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得DF =.①平面ABC 与平面ACD 不垂直,A错;②由于111(84sin120)423323D ABC A BCD BCDV V S AD --==⋅=⨯⨯=,B 错;③易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,tan 37AD AFD DF ∠===,C 对;④BC 与平面ACD 所成的角是BCD ∠,sin 6021sin 14BD BCD BC ⋅∠==,D 错．故选.C二、填空题13.0【解析】(3,0),a b +=由()c a b +得，0λ=． 14.1【解析】22sin cos 1,cos sin 1,sin cos 2sin cos 1,αβαβαβαβ+=+=∴++=22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=,相加得22(sin cos cos sin )4αβαβ++=,sin()1αβ∴+=.15.21616log 33+(或228log 33-)【解析】22612(log 12)(log )2f f =23(log )16f == 21616log 33+228(log 3)3=-. 16. 74+2222111x y a b +=,双曲线方程是2222221x y a b -=,由定义可得1212,PF PF a +=1221122122,,PF PF a PF a a PF a a -=∴=+=-,在12F PF ∆中由余弦定理可得22212121212(2)()()2()()cos3c a a a a a a a a π=++--+-,即2221243,c a a =+22222222221212212122222222121212123332321171712(2)(16)()26444444a a a a a a a a c c a a a a a a a a +++=+=+++=++≥+74=+三、解答题17.解：（1）由已知得2221cos 222c a b ac B ac ac +-===由()0,πB∈，得π=3B . （2）由cos A =()0,πA ∈得，sin 10A ==，在ABC △中，sin sin()sin cos cos sin C B A B A B A =+=+121021020=⨯+⨯=，由正弦定理sin sin a b A B =得，sin sin a b B A =⋅==所以1sin 2ABC S ab C =△12==. 18. 【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知AD CD BC ===可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 又APAC A =,所以AB ⊥平面PAC ，所以AB PC ⊥; （2）建立如图所示空间直角坐标系，则)2.则M 的坐标为),22t -设(),,n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧=⎨=⎩，得()0220t z ⎧=⎪+-=，则可取1,n ⎛=- ⎝⎭ 又()0,0,1m =是平面ACD 的一个法向量，所以02(cos ,cos 45m nm n m n===，23t = 2.3PM PD ∴= 19. 解：（1）()f x的定义域为,2x xk k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. 1()4tan sin()cos()4sin(cos )232fx x x x xx x ππ=-+=-22sin cos sin 2cos 2)x x x x x =-=-+sin 222sin(2)3x x x π==+所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ==(2)令23z x π=+,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222,232k x k πππππ-+≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设,33A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,易知,.312AB ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以,当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.20. 解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+（2）由（Ⅰ）知nn n b 2)1(⋅+= 它的前n 项和为n T12312341T 2333433(1)3(1)3T 2333433(1)3(2)n n n n n n n n n n -+=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅12341(1)(2):2T 233333(1)3n n n n +--=⋅+++++-+⋅13(13)333(1)3(3)31322n n n n n +-=+-+⋅=--⋅+-333T ()3244n n n ∴=+⋅-21. 解：（1）由题意得36(100)(1)6100,100xx -+≥⨯220032000,03x x x -≤∴<≤， 又*x N ∈，所以066x <≤(*x N ∈)；（2）x 户农民从事蔬菜加工的总年收入为36()50xa x -万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入36(100)(1)100x x -+万元，依题意得36()50x a x -≤36(100)(1)100xx -+恒成立，231002100ax x x ≤++，10032100x a x ≤++恒成立，1003100xy x =+在上递减，在⎫⎪⎭递增，10035757,2 1.75 1.712 5.4657100x y ⨯==++=++=，10035858,2 1.72 1.742 5.4658100x y ⨯==++=++=， 5.46a ∴≤ . 22. 【解析】(1)设动圆的半径为r ，则2CF r=，1,CF r =所以1212,CF CF F F +=>由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，1ac ==所以b =C 的轨迹方程是22132x y +=；(2)当直线MN 斜率不存在时,直线PQ 的斜率为0,易得4,MN PQ ==四边形PMQN的面积S =当直线MN 斜率存在时,设其方程为(1)(0),y k x k =-≠联立方程得2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩,消元得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,),M x y N x y 则12212421x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩24 4.MN k==+ ,PQ MN ⊥ ∴直线PQ 的方程为1(1),y x k=-- 221(1)132y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得222(23)6360k x x k +-+-= 设3344(,),(,),P x y Q x y 则34221226233623x x k kx x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩PQ ==四边形PMQN的面积2221141)(4)()2223k S MN PQ k k +==+=+令21k t +=,1t >,上式22111112()224S t t t ===--+-+++ 11,01t t >∴<<,由二次函数图像可知2111()224t -+++的范围是(0,2)2S >=综上可得S ≥。
2019届高三上学期期中考试数学(理)试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},12|{R x y y A x ∈+==，}021|{≥-+=x x x B ，则A ∩（∁R B ）=( ) A ．[2，+∞）B ．[1，2]C ．（1，2]D ．（﹣∞，1]2.若复数z 满足i z i 2)1(-=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 的模为（ ） A ．2 B ．i +1 C ．22 D ．223．下列命题中正确的是（ ）A ．“1>x ” 是“1)1(log 2>+x ”的充分不必要条件B ．若0,x >则sin x x >恒成立C ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∉+∞≠-”D ．命题“若22=x ，则x x ==的逆否命题是“若x x ≠≠，则22x ≠” 4．等比数列}{n a 中，610=a ，则数列}{log 6n a 的前19项和等于 ( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．195．已知函数()()()()()()32311,03log 1,x x f x f f a f a ax x x ⎧+<⎪===⎨-≥⎪⎩，则（ ） A ．8 B ．6 C ．3 D ．16．已知函数21co s 2sin 23)(2-+=x x x f ，若其图象是由y=sin2x 图象向左平移ϕ（)0>ϕ）个单位得到，则ϕ的最小值为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π12D ．5π127．已知M 是△ABC 内的一点，且34=⋅，︒=∠30BAC ，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为1，x ，y ，则xyxy 4+的最小值是（ ） A ．2B ．8C ．6D ．38．设l 、m 、n 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，则l ∥m ∥n ； ④若m =βα ，l =γβ ，n =αγ ，且n ∥β，则m ∥l . 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-ay y x y x 102，若y x z +=的最大值为6，则y a x +的最小值为（ ）A.4B.21 C.3 D.41 10.函数()f x 图像如右图，在定义域(－π2，π)内可导，且其导函数为'()f x ，则不等式0sin )(<⋅'x x f 的解集为( )A ．(－π4，0)∪(π3，3π4)B ．(－π2，－π4)∪(π3，3π4)C ．(－π4，3π4)D ．(－π2，－π4)∪(0，π3)∪(3π4，π)11．已知函数)(x f 是定义在 R 上的奇函数，且⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=)2(,2)20(,)(2x e x x x x x f x，若函数m x f x F -=)()(有5个零点，则实数m 的取值范围是（ ）．A.)1,1(33e e -B ．)41,0()0,1(3 e -C ．]0,1(3e - D. )0,1(3e -12． 已知函数aex e e a e x f x x--+=)(21)(2（其中e R a ,∈为自然对数底数）在1=x 处取得极小值，则a 的取值范围是（ ） A ．0<aB ．e a ->C ．0<≤-a eD ．e a -<二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线b kx y += ，当]4,3[-∈x 时，]13,8[-∈y ，则此直线的方程为 （写成直线方程的斜截式形式）14．若}{n a 是等差数列，首项01>a ，010101009>+a a ，010101009<⋅a a ，则使前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是15. 计算：=︒+︒++︒-︒-︒)28tan 1)(17tan 1(12sin )212cos 4(312tan 216.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为 .①存在点E ，使得11C A //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．三．解答题：共70分。
2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(附答案)
兴宁一中2019届高三理科数学中段考试题2018-11-9一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）.1．已知集合{|(1)0}A x x x =-≤，{|1}x B x e =>，则()R A B =ð( )A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[0,1] 2. 下列说法错误的是（ ）A ．命题“若3πα=，则1cos 2α=”的逆否命题是：“若1cos 2α≠，则3πα≠”. B ．命题“0x R ∃∈，0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈，sin 1x <”. C ．0=⋅⊥→→→→b a b a 的充要条件是向量.D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题.3．已知向量与AC 的夹角为3π，2=→AB ,3=→AC ,→→→+=AC AB AM μλ,),(R ∈μλ，且BC AM ⊥，则=μλ（ ） A ．61 B ．41C ．4D ．64． 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）A ．35-B ．45-C ．35D ．455．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12的值为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．286. 将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A.18π B. 38π C. 14π D. 12π 7.已知))(sin ,cos (x f x x a+-=→，)sin ,1(x b -=→，且→a //→b ，则函数()f x 在[,]ππ-的图象大致为（ ）8.已知函数()4sincos(0)22xxf x ωωω=>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围为( )A.(]0,1B.[)1,+∞C.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．134π+B ．1312π+C ．112π+D ．14π+ 10.已知△ABC中，,,a b c为角,,A B C的对边，(62)(62)0a B C b C A c A B +-++=，则△ABC 的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形 D . 无法确定11．)(x f 是定义在R 上的可导函数，且)()(x f x f >'，对任意正实数a ,则下列式子成立的是（ ）A ．)0()(f e a f a >B ．)0()(f e a f a <C ．aef a f )0()(>D ．aef a f )0()(<12．已知函数|ln |,02,()(4),24,x x f x f x x <≤⎧=⎨-<<⎩若当方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，4x （1234x x x x <<<）时，不等式22341211kx x x x k ++≥+恒成立，则实数k 的最小值为（ ）A ．98 B ．22- C ．2516 D 12 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 13．计算dx e x⎰-11=___________.14．已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =_________.15.已知等差数列{}n a 中，12a =，123,,2a a a +成等比数列，则等差数列{}n a 的前10项和等于_________.16.函数2x y a x =-（1a >）恰有三个不同零点，求实数a 的取值范围_____． 三、解答题：(本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程).17．（本小题满分12分）已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和． 18.（本小题满分12分）已知向量,23sin 3,2sin ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=→x x a ππ )cos ,(sin x x b =→,→→⋅=b a x f )(.（1）求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的取值集合M ；（2）在△ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边若24C M π+∈且1c =，求△ABC 的周长的取值范围.19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1) 求证：AD ⊥PB ；(2) 若二面角A －PB －C 的大小为45°， 求三棱锥P －ABC 的体积．20.（本小题满分12分）已知)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是(0,5),且)(x f 在区间［-1,4］上的最大值是12.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在自然数m ，使得方程037)(=+xx f 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
高级中学2019届高三上学期期中考试数学(理)试题(附答案) (1)
长乐高级中学2018-2019学年第一学期期中考高三数学（理科）试卷命题内容： 《集合》、《函数》、《三角》、《向量》、《数列》说明：1、本试卷分第I 、II 两卷，考试时间：120分钟 满分：150分2、Ⅰ卷的答案用2B 铅笔填涂到答题卡上；Ⅱ卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，每小题只有一个答案符合题意）1．已知集合{}(){}20,lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则B A ⋂( )A.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.[]0,1C. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 2．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．若0,x >则sin x x >恒成立C ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∉+∞≠-”D ．命题“若22,x =则x x =的逆否命题是“若x x ≠≠则22x ≠”3．如图，O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=4. 已知33)6cos(-=-x π，则)32sin()65cos(x x -++ππ=（ ） A ．3- B ．1- C ．0 D ．35、下列函数中，与函数||x e y -=的奇偶性相同，且在)0,(-∞上单调性也相同的是（ ） A ．xy 1-= B ．||ln x y = C ．33-=x y D ．22+-=x y6．已知向量(1,1)=a ，(0,2)=b ，则下列结论正确的是（ ）A .a ∥b B .(2)-⊥a b b C .=a b D .3⋅=a b7．在ABC △中， “A B C <<”是“cos 2cos 2cos 2A B C >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8、 已知命题p ：函数12x y a +=-的图象恒过定点()1,2；命题:q 函数()1y f x =-为偶函数，则函数()y f x = 的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．p q ⌝∧ D ．p q ∨⌝9.已知0.44a =，0.612b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<10．函数()sin()(0)2f x x πωϕωϕ=+><，的部分图象如图所示，若将()f x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍后，再把得到的图象向左平移(0)m m >个单位，得到一个偶函数的图象，则m 的值可能是（ ） A ．8π-B ．8π C ．38π D ．78π11.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，三个不同的点A ，B ，C 在直线l 上，点O在直线l 外，且满足a a a )(1272++=，那么13S 的值为（ ）A. 328B.326C.314D. 31312. 设函数x x x f )41(log )(4-=，xx x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41log )(41的零点分别为21x x 、，则( ) A. 121=x x B. 0＜21x x ＜1 C.1＜21x x ＜2 D. 21x x 2≥第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）13．计算32112x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ . 14. 已知命题:0p m <，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>成立，若“q p ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是 ．15. 一个等比数列的前三项依次是33,22,++a a a .那么2113-是该数列中的第________项.16. 如图，在ABC ∆中，34AD AC =，23BP BD =， 若AP BA BC λμ=+，则λμ+=_______.三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17．（10分）已知等差数列{}n a 满足36a =,前7项和为749S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()33n n n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）在四边形ABCD 中，已知(6,1)AB =，(,)BC x y =，(2,3)CD =--，BC DA ∥； （1）试求x 与y 满足的关系式；（2）若AC BD ⊥，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积．19．（12分）向量11,sin 22x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭a ，()1,y =b ，已知∥a b ，且有函数()y f x =． （1）求函数()y f x =的解析式及周期；（2）已知锐角ABC △的三个内角分别为,,A B C，若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边BC =，sin B =AC 的长及ABC △的面积．20．（12分）已知函数()2()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为44y x =+. (1) ,a b 的值；A(2)讨论)(x f 的单调性，并求)(x f 的极大值．21.（12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R为ABC ∆外接圆的半径，S 为ABC ∆的面积， 222a c b +-=. （1）求sin C ；（2）若a b -ABC ∆的周长．22、 （12分)已知函数kx x f =)(，xxx g ln )(= （1）求函数xxx g ln )(=的单调递增区间； （2）若不等式)()(x g x f ≥在区间（0,)+∞上恒成立，求k 的取值范围；长乐高级中学2018-2019学年第一学期期中考高三数学（理科）参考答案一、CBDC DBCD CBDB二、13.14. 20m -<< 15. 4 16. -1/3三、17.（Ⅰ）由17747()=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a 因为63=a 所以1=d14,3n a a n ==+所以（Ⅱ）(3)3=3nnn n b a n =-⋅⋅1231323333(1)nn T n =⨯+⨯+⨯++⨯所以234+131323333(2)n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯123+1+133(1)(2)233333=313n nn n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得：+1(21)334n n n T -⨯+=所以……………（12分）18. 【答案】（1）20x y +=；（2）63x y =-⎧⎨=⎩，16ABCD S =，21x y =⎧⎨=-⎩，16ABCD S =．【解析】（1）(,)BC x y =，()(4,2)DA AD AB BC CD x y =-=-++=---+，BC DA ∥，则有(2)(4)0x y y x ⋅-+-⋅--=，化简得，20x y +=；（2）(6,1)AC AB BC x y =+=++，(2,3)BD BC CD x y =+=--；又AC BD ⊥，则(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=；联立222042150x y x y x y +=⎧⎨++--=⎩，解得63x y =-⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=-⎩； 由BC DA ∥，AC BD ⊥知，四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形， 当63x y =-⎧⎨=⎩时，(0,4)AC =，(8,0)BD =-，1162ABCD S AC BD ==，当21x y =⎧⎨=-⎩时，(8,0)AC =，(0,4)BD =-，1162ABCD S AC BD ==．19. 【答案】（1）()2sin 3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，2T =π；（2）2AC =，S =．【解析】（1）由∥a b得11sin 022y x x ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，即()2sin 3y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 函数()f x 的周期为2T =π．（2）由3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin 33A ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin A =，∵ABC △是锐角三角形∴3A π=， 由正弦定理：sin sin BC ACA B=及条件BC =sin B =得sin 2sin BC B AC A ⋅===．又∵2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅， 即2174222AB AB =+-⋅⨯⨯解得3AB =，∴ABC △的面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅=20、 4,4a b ==；(),2-∞-，1ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭递减；极大值为244e --21. 【解析】由正弦定理得：2sin 2sin cos a R A R A A R =∴=，， sin 21A ∴=，又022A π<<， 22A π∴=，则4A π=.………………………2分，1=sin 2S ac B，2221csin 2a cb a B +-=⋅，由余弦定理可得2cos sin 3ac B B =， tan B ∴=0B π<<，=3B π∴，………………………5分sin sin()sin()434C A B ππ∴=+=+=………………………6分 （2）由正弦定理得sin =sin a A b B ==a b -=，a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩2c ∴==ABC ∴∆的周长22a b c ++=+………………………12分22. 解：（1）∵x xx g ln )(=（)0>x ∴2ln 1)(x xx g -='令0)(>'x g ，得e x <<0故函数x xx g ln )(=的单调递增区间为),0(e（2）由ln k x x x ≥得2ln k xx ≥，令2ln ()x h x x =，则问题转化成k 不小于2ln ()xh x x =的最大值又()312ln xh x x -'=令312ln '()0xh x x-==得x =当x 在(0,)+∞内变化时，'(),()h x h x 变化情况如下表：由表知当x =()h x 取得最大值，且最大值为12e因此12k e ≥。
2019届高三数学上学期期中试题 理
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年第一学期期中考试高三年级数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“若4πα=，则tan 1α=”的否命题是（ ）A.若4πα≠，则tan 1α≠B.若4πα=，则tan 1α≠C.若tan 1α≠，则4πα≠D.若tan 1α≠，则4πα=2.下列四个方程中有实数解的是（ ）A.02=xB.131-=⎪⎭⎫ ⎝⎛xC.31.0=xD.33-=-x3.下列命题中，真命题是 （ ）A.sin cos 1.5x x x ∃∈+=R ，B.(0)sin cos x x x π∀∈>，，C.21x x x ∃∈+=-R ，D.(0)e 1x x x ∀∈+∞>+，，4．函数32lg )(2+-=x x x f 的零点位于下列哪个区间（ ） A.)5,4( B.)2,1( C.)3,2( D.)4,3(5.函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是（ ）A. ]2,(-∞B.]2,0[C.]2,1[D.),1[+∞ 6.若函数()y f x =的定义域是[02]，，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 A.[01]， B..[01)， C.[01)(14]，， D.(01)，7.已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是（ ） A.1 B.15 C.35 D.758.设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为( )A ．73B ．53C ．5D ．3 9.某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 （ ）A.30种B.35C.42D.48种 10.(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是（ ）A.56B.84C.112D.16811.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x ='的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12.已知函数()y f x =对任意的()22x ππ∈-，满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）()()34f ππ-<-()()34f ππ< C.(0)2()3f f π< D.(0)()4f π>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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台州中学2018学第一学期期中试题
高三 数学（理科）
参考公式：
球的表面积公式 24S R π= 棱柱的体积公式V Sh =
球的体积公式 343
V R π= 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 其中
R 表示球的半径 棱台的体积公式()1213
V h S S = 棱锥的体积公式 13V Sh = 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．设⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈<<=Z x x x A ,521|,{}a x x B >=|，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 1<a
B. 1≤a
C.21<
a D. 2
1
≤a 2.若0<ab ，且0>+b a ，则以下不等式中正确的是（ ） A ．||||b a > B ．b a -> C ．22b a < D ．
01
1<+b
a 3．函数
()()lg 1f x x =-的大致图象是 （ ）
4.公比为等比数列的各项都是正数,且,则
）
5.
D
6.）
．既不充分也不必要条件
. 下列结论中正确的是（）
函数
）
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：(本大题共7小题，9—12题每空格3分，
9. ；
10.
= ；
11．已知平面上三点A ，B ，C ，BC →＝(2－k ，3)，AC ＝(2，4)．
14.增，若
的取值范围是 ;
15. 已知函数，若关于的方程有
不同的实数根，且所有实数根之和则实数
的取值范围为__ _．
三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. （本题满分14分）
已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3，12，且与
x 轴两个相邻的交点的距离为π．
（1）求f (x )的解析式；
（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝5
13，求△ABC 的面积．
17. （本题满分15分）
已知在三棱锥P ﹣ABC 中，PA⊥平面ABC ，A B⊥BC，
（1）证明：平面PAB⊥平面PBC ；
（2）若PC 与侧面APB 所成角的余弦值为
PB与底面ABC成60°角，求二面角B﹣PC﹣A的大小．
18.（本题满分15分）
.
（1）若，且对任意,都有，求
（2?
若存在,求出该负根的取值范围，若不存在,请说明理由；
19．（本题满分15分）
焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形．
（1
（2）过点的直线与椭圆相交于
20.（本题满分15分）
已知数列的前n项和满足，且
（1
（2
台州中学2018学第一学期期中答案
高三 数学（理科）
, 12 11、
1
三、16.【解析】（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ
＝π2
∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π2＝cos x ． ………6分
（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π
2
)
∴sin A ＝45，sin B ＝12
13
………8分
∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝56
65
………10分
∵在△ABC 中a sin A ＝b
sin B
∴b ＝15. ………12分
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×56
65
＝84． ………14分
17.【解析】（1）证明：∵PA⊥面ABC ，∴PA⊥BC， ∵AB⊥BC，且PA∩AB=A，
∴BC⊥面PAB 而BC ⊂面PBC 中，∴面PAB⊥面PBC ．…（7分）
（2）解法一：过A 作AE⊥PB 于E ，过E 作EF⊥PC 于F ，连接AF ，如图所示 ……
由Rt△PBC
R t△PAB
同理：14分）
∴二面角B ﹣PC ﹣A )
解法二：向量法：由题可知：BC=1，
B （0，0，0），
C （1，0，0），A （00），P （0，
x1，y1，z1），
（0，﹣
0）
.(15分)
18.
………（7分）
（2
19.
（5分）
（6分）
7分）
20.
2分
4分
(5)
公比为3的等比数列，∴
……………………………7分
…………9分
分
15分
…11分
…………15分。