2012年江苏高考数学考点分析与备考建议

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2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料1-15

2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料之一亲爱的同学们，2012年江苏高考在即，我们给大家精心整理了《2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料》，每一天的材料由三个部分组成，分别为《基本知识》、《思想方法》和《易题重现》，这些内容紧密结合2012年的数学考试大纲，真正体现狠抓双基、突出能力、回归课本、强调思想方法、讲究考试答题技术，引领你们充满自信，笑傲高考．请每天抽出40分钟读和写．边读边回想曾经学习过的知识，边读边思考可能的命题方向，边读边整理纷繁复杂的知识体系等非常有必要！衷心祝愿各位考生在高考中都取得满意的成绩！一、基本知识（必做题部分）（一）集合（必修1 第一章）1、集合及其表示（A ）2、子集（B ）3、交集、并集、补集（B ）（1）含n 个元素的集合的子集个数为2n，真子集（非空子集）个数为21n-；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况；（3）(),()I I I I I I C AB C A C B C A B C A C B ==．注：①理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…；如：{}x y x lg |=与{}x y y lg |=及{}x y y x lg |),(=．②数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决，特别是在集合的交、并、补的运算之中．注意∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．注意补集思想的应用（反证法，对立事件，排除法等）．（二）函数概念与基本初等函数（必修1 第二章）1、函数的概念（B ）：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一．判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且A 中不同元素在B 中可以有相同的象．2、函数的基本性质（B ）函数定义域的求法：函数解析式有意义；符合实际意义；定义域优先原则！复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）．函数解析式的求法：代入法，凑配法，换元法，待定系数法，函数方程法．函数值域的求法：（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题．求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）．如：求223y x x =-+，[,2]x a a ∈+的最大值与最小值（最大值分两类；最小值分三类）．（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型．如：求()sin cos sin cos f x x x x x =⋅++的值域．（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性．（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性．如：函数()2x af x x +=+在上(2,)-+∞单调递减，求a 的取值范围．（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、绝对值的意义等，注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧．如：求函数()f x （距离之和或向量法）．（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式．常见题型：①2b y k x =+型，可直接用不等式性质，如：214y x =+；②2bxy x mx n=++型，先化简，再用均值不等式，如：22425x y x x =-+(0)x >；③22x m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法（或分离常数化为②型）；④2x m x n y mx n ''++=+型，可县化简为b y ax c x=++(0,0)a b >>用均值不等式法或函数的单调性解决．（7）不等式法――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧．如：0,0x y >>，且x y +，求x y +的最大值．又如：求2214()110f x x x=+--，1x << （8）导数法――一般适用于高次多项式函数．如：求()ln f x x x =，0x >的极小值．提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论．如：已知函数(37)2,1()log ,1aa x x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩单调递减，求a 的取值范围．复合函数的有关问题:（1）复合函数定义域求法：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）．（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性．注意：外函数)(u f y =的定义域是内函数)(x g u =的值域．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数⇔1)()(0)()()()(-=-⇔=+-⇔-=-x f x f x f x f x f x f (()0)f x ≠； ⑶)(x f 是偶函数()()()(||)()()01()f x f x f x f x f x f x f x -⇔-==⇔--=⇔= (()0)f x ≠； ⑷奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f （可用于求参数）；⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑹若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，等价变形，再判断其奇偶性．如：())f x x =是函数．函数的单调性⑴单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，)0(0)()(21><-x f x f )0(0)]()()[(2121<>--⇔x f x f x x )0(0)()(2121<>--⇔x x x f x f ；⑵单调性的判定:①定义法：注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（同增异减）；④图像法．注：证明单调性要用定义法或导数法；求单调区间，先求定义域；多个单调区间之间不能用“并集”、“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．函数的周期性⑴周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期．所有正周期中最小的称为函数的最小正周期．如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期．⑵函数周期的判定：①定义法（试值）； ②图像法； ③公式法（利用⑶中的结论）． ⑶与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2； ②()y f x =对x R ∈时，()()f x a f x +=-（或1()()f x a f x +=-），则()y f x =是周期为2a的周期函数；③若()y f x =是偶函数，其图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2a 的周期函数； ④若()y f x =是奇函数，其图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为4a 的周期函数．3、指数与对数（B ）(1)log (0,1,0)ba a Nb N a a N =⇔=>≠>； (2)log log (0,1,0)log b a b NN a b a b N a=>≠>、、． 4、指数函数的图象与性质（B ）x y a =（要对01a <<以及1a >展开讨论．）5、对数函数的图象与性质（B ）log a y x =（要对01a <<以及1a >展开讨论．）注：同底的对数函数和指数函数y x =关于对称．（如2xy =与2log yx =）如：方程230x x +-=与2log 30x x +-=的根之和为．6、幂函数（A ）在考查学生对幂函数性质的掌握和运用函数性质解决问题时，涉及的幂函数()f x x α=中的α常在集合111{2,1,,,,1,2,3}232---中取值． 7、函数与方程（A ） 8、函数模型及其应用（B ）补充：1、基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：αx y=（)R ∈α ； ⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x ya ； ⑷正弦函数:x y sin =；⑸余弦函数：x y cos =； ⑹正切函数：x y tan =； ⑺一元二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠；⑻其它常用函数：①正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k xky ；特别的xy 1=；函数)0(>+=a x a x y ；函数1y x x=-(0)x ≠．掌握函数(0)ay x a x=+>的图象和性质：（如右图）⑼关注基本初等函数间图像的关系：如：①y x =与xy a =(1)a >相切，则a = ；变：xy a =(1)a >的定义域、值域均为[,]m n (0)n m >>，则a ∈ ． ②2yax =(0)a >与ln y x =相切，则a = ．⑽研究函数①()ln f x x x =(0)x >；②ln ()x f x x=(0)x >2、二次函数：⑴解析式：(0)a > ①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为顶点；③零点式：))(()(21x x x x a x f --=．⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号．⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论．（二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系．） 3、函数图象⑴图象作法：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法． ⑵图象变换：① 平移变换： ⅰ)()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“-”； ⅱ()()y f x y f x k =→=±，(0)k >———上“+”下“-”； ② 伸缩变换：ⅰ)()(x f y x f y ω=→=，（)0>ω———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的ω1倍；ⅱ)()(x Af y x f y =→=，（)0>A ———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍；③ 对称变换：ⅰ)(x f y =−−→−)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =−→−=0y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =−→−=0x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =−−→−=xy )(y f x =； ④ 翻转变换：ⅰ|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）；⑶函数图象（曲线）对称性的证明：ⅰ证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；ⅱ证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；注：①曲线1:(,)0C f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=②曲线1:(,)0C f x y =关于直线x a =的对称曲线2C 方程为：(2,)0f a x y -=；③曲线1:(,)0C f x y =关于y x a =+(或y x a =-+)的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=)；④()()f a x f b x +=-()x R ∈−→−()y f x =图像关于直线2a bx +=对称；特别地：()()f a x f a x +=-()x R ∈−→−()y f x =图像关于直线x a =对称； ⑤函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a bx +=对称；4、函数零点的求法：⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.5、方程()k f x =有解⇔k D ∈(D 为()f x 的值域)；6、恒成立问题的处理方法：⑴分离参数法：()a f x ≥恒成立⇔max [()]a f x ≥；()a f x ≤恒成立⇔min [()]a f x ≤；注意：“,()x R a f x ∀∈≥”与“,()x R a f x ∃∈≥”的区别！ ⑵转化为一元二次方程的根的分布，列不等式（组）求解． 7、实系数一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>的两根21,x x 的分布问题：上实根分布的情况，得出结果，在令n x =和m x =检查端点的情况．二、思想方法（一）函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想．1、函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；2、应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；3、函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想．三、易题重现1、ax 2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是．2、命题p ：“a 、b 是整数”，是命题q ：“ x 2 + ax + b = 0 有且仅有整数解”的条件．3、设A =(){}6x 4y y ,x +-=，B =(){}3x 5y y ,x -=，则A ∩B = ．4、不等式x 2－3x －132－x≥1的解集是．5、已知A = {}x || x －a |< 4 ，B = {}x || x －2 |>3 ，且A ∪B = R ，则a 的取值范围是．6、已知x + x – 1 = 3，则23x + 23-x 的值为． 7、下列函数中不是奇函数的是．(A) y = (a x + 1)x a x －1 (B) y = a x – a －x 2 (C) y = | x |x (D) y = log a1 + x1－x8、下列四个函数中，不满足f (x 1 + x 22 )≤f (x 1) + f (x 2)2 的是． (A) f (x ) = ax + b (B) f (x ) = x 2 + ax + b (C) f (x ) = 1x (D) f (x ) = － lnx9、函数y = 1x 218-的定义域是___ ___；值域是． 10、函数y =1－( 12 )x 的定义域是___ ___；值域是．11、已知集合A=｛x x 2+(p+2)x+1=0, p ∈R ｝,若A ∩R +=φ。

2012年江苏高考-数学解题-高分策略

2012年江苏高考-数学解题-高分策略2012年高考·数学解题·高分策略一．近四年江苏高考考点分析1．必做题考点分析2．附加题考点分析二、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第 1 页共 50 页版权归属：江苏省江阴高级中学高三数学备课组2012.5细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第 2 页共 50 页版权归属：江苏省江阴高级中学高三数学备课组 2012.5A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！解题常用经典再现 A1.集合性质与运算 1、性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集；如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么 A = B ．如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，．【注意】： ①“极端”情况否忘记∅=A ：集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（10,1,2a =） ②研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，理解集合中元素的本质：设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N = ．（[4,)+∞） ③集合元素具有确定性、无序性和互异性.（2010年江苏卷1）设集合A={-1,1,3}，B={a +2,a 2+4}，A∩B={3}，则实数a = ．(1)a =2、若Ａ={123,,na a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n-个，非空真子集有22n-个.【提醒】：数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化．在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．A2.命题的否定与否命题*1. 命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别：命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝,否命题是p q ⌝⇒⌝. 命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”,“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”.*2. 常考模式：全称命题p ：,()x M p x ∀∈；全称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∃∈⌝.特称命题p ：,()x M p x ∃∈；特称命题p 的否定⌝p ：,()x M p x ∀∈⌝. A3.复数运算*1.运算律：⑴m n m n z z z +⋅=； ⑵()m n mnz z =； ⑶1212()(,)mm mz z z z m n N ⋅=∈.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.*2.模的性质：⑴1212||||||z z z z =； ⑵1122||||||z z z z =； ⑶nnz z =.*3.重要结论： ⑴2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+； ⑵2212z z z z ⋅==； ⑶()212i i ±=±； ⑷11i i i -=-+，11ii i+=-； ⑸i 性质：T=4；1, ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i.细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第 1 页共 50 页版权归属：江苏省江阴高级中学高三数学备课组2012.5细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第 1 页共 50 页版权归属：江苏省江阴高级中学高三数学备课组 2012.5____根在棉花纤维的长度小于20mm ．（30） ⑵茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图．3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数： 12111()nni i x x x x x n n==+++=∑ 4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).(1)一组数据123,,,,nx x x x ⋯①样本方差2222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-222111111()()()nnniiii i i x x x x n n n====-=-∑∑∑ ；②样本标准差σ=(2)两组数据123,,,,n x x x x ⋯与123,,,,n y y y y ⋯,其中iy ax b =+,1,2,3,,i n =⋯.则y ax b =+,它们的方差为222y xS a S =,标准差为||y xa σσ= ③若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,,,nax b ax b ax b +++的平均数为ax b +，方差为22a s . 样本数据做如此变换：'i ix ax b =+，则'x ax b =+，222()S a S '=. （2009江苏卷6）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为2s = . 25 B 、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解) B1.线性规划1、二元一次不等式表示的平面区域：（1）当0A >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的右边，若0Ax By C ++<则表示直线l 的左边. （2）当0B >时，若0Ax By C ++>表示直线l 的上方，若0Ax By C ++<则表示直线l 的下方.2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或左右两部分）. 3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等），则00(),0f x y >，称点在曲线外部；若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0f x y >，称点亦在曲线“外部”. 4、已知直线:0l Ax By C ++=，目标函数z Ax By =+.①当0B >时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的值越来越小；②当0B <时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的值越来越大；细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第 2 页共 50 页版权归属：江苏省江阴高级中学高三数学备课组 2012.55、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1）z ax by =+，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0b <，直线在y 轴上的截距越大，z 越小．（2）y m x n --表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率，特别yx表示过原点和(),n m 的直线的斜率.（3）()()22t x m y n =-+-表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题.（4）y =(),x y 到点()0,0的距离. （5）(cos ,sin )F θθ；（6）d =；（7）22a ab b ±+；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的．（2012苏锡常镇二模14）设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则nm n m 344-的最小值为 .803-（2012南京三模9）在直角坐标系xOy 中，记不等式组30270260y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为D ．若指数函数xy a =（a ＞0且1a ≠）的图象与D 有公共点，则a 取值范围是▲ ．)+∞（2010江苏卷12）设实数x ,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx的最大值是 27 B 2.三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍角公式为基础．三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”. 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.具体地：（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：2=+ααα，22αα=⨯； 22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---； ()()2222=+-=-+==+-+-+-ααββαββαβαββαβα； 22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα；细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第 3 页共 50 页版权归属：江苏省江阴高级中学高三数学备课组 2012.52()+=++αβαβα，2()-=-+αβαβα；154530,754530︒=︒-︒︒=︒+︒； ()424ππααπ+=--等. （2）“降幂”与“升幂”（次的变化）：利用二倍角公式2222cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα和二倍角公式的等价变形2cos 2sin 12=-αα，2sin 2cos 12=+αα，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化.（3）弦切互化（名的变化）：利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”. （4）常值变换：常值12232数值来代换.此外，对常值 “1”可作如下代换：22221sin cos sec tan tan cot 2sin 30tan sin cos 042x x x x x x ππ=+=-=⋅=︒====等. （5）引入辅助角：一般地，sin cos )sin()a b +==+αααααϕ )αϕ+其中cos tan b a ==ϕϕϕ.特别地，sin cos )4A A A +=+π;sin 2sin()3x x x +=+π，cos 2sin()6x x x +=+π等. （6）特殊结构的构造：构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.举例：22sin 20cos 50sin 20cos50A =︒+︒+︒︒，22cos 20sin 50cos 20sin50B =︒+︒+︒︒ 可以通过12sin 70,sin 702A B A B +=+︒-=--︒两式和，作进一步化简.（7）整体代换举例：sin cos x x m +=22sin cos 1x x m ⇒=-sin()m +=αβ，sin()n -=αβ，可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值，作为代换之用.（2011江苏卷7）已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________.49 （2010江苏卷10）定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y =6cos x 的图像与y =5tan x 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y =sin x 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________．23B 3. 三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换因为在ABC ∆中，A B C π++=（三内角和定理），所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值； ③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方. 即，sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+． 22sin cos A B C +=；22cos sin A B C +=；22tan cotA B C+=. (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第 4 页共 50 页版权归属：江苏省江阴高级中学高三数学备课组 2012.5余弦定理．面积公式：11sin ()()()22aS shab C r p p p a p a p a ===⋅=---. 其中r 为三角形内切圆半径，p为周长之半．tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A++= (3)在非直角ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．(4)在ABC ∆中，熟记并会证明：*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=︒． *2.ABC ∆是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比数列．*3.三边,,a b c 成等差数列⇔2b a c =+⇔2sin sin sin A B C =+⇔1tan tan223A C =；3≤B π. *4.三边,,,a b c 成等比数列⇔2bac =⇔2sin sin sin A B C =,3≤B π.(5)锐角ABC ∆中,2A B π+>⇔sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ，222a b c +>；sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++；【思考】：钝角ABC ∆中的类比结论(6)两内角与其正弦值：在ABC ∆中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>⇔cos2cos2B A >，…B 4.三角恒等与不等式组一：33sin 33sin 4sin ,cos34cos 3cos αααααα=-=- ()()2222sin sin sin sin cos cos αβαβαββα-=+-=- 组二：常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<； (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤；(3)|sin ||cos |1x x +≥； (4)x x x f sin )(=在),0(π上是减函数；（2010江苏卷13）在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C C A B+=_____4 （2012苏锡常镇二模8）已知钝角α满足53cos -=α，则)42tan(πα+的值为 .-3（2012南京三模11）已知43sin()sin ,032ππααα++=--<<，则cos α= ▲ ．334-（2011江苏卷9）函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则____)0(=f 6(0)f = B5.概率的计算公式：⑴古典概型：()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数； ①等可能事件的概率计算公式：()()()m card A p A n card I ==； ②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )；③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )； ⑵几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g ⊂Ω}，则A 的概率定义为()g A P A Ω==的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）的测度试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第 5 页共 50 页版权归属：江苏省江阴高级中学高三数学备课组 2012.5的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件. （2011江苏卷5）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是____13（2008江苏卷6）在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率．16πB6. 最值定理 ①,0,x y x y >+≥由若积()xy P=定值，则当x y =时和x y +有最小值②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值214s . 【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+.（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小.（2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大. ③已知,,,R a x b y +∈，若1ax by +=，则有：21111()()by axax by a b a b xy x y x y+=++=+++++=≥④,,,R a x b y +∈，若1ab x y+=则有：()2()ay bxx y x y a b x y +=++=++=B7.求函数值域的常用方法：①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题．求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如,(,)ax b y x m n cx d+=∈+的函数值域；④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域； ⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；⑥不等式法：利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如)0(>+=k xkx y ，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；细心是成功的基础，慎密是成功的阶梯！第 6 页共 50 页版权归属：江苏省江阴高级中学高三数学备课组 2012.5⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域； ⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域． ⑩判别式法：对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ,2a 不同时为0）的函数常采用此法．【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：1.2b y k x =+型，可直接用不等式性质； 2.2bx y x mx n=++型，先化简，再用均值不等式；3.22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法； 4.2xm x n y mx n''++=+型，可用判别式法或均值不等式法； ⑪导数法：一般适用于高次多项式函数求值域. ……B8.函数值域的题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对勾函数.(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域. 解题步骤：(1)换元变形； (2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段． (三) 分式函数求值域：四种题型(1)cx dy ax b +=+ (0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈.(2)(2)cx dy x ax b+=≥+：利用反表示法求值域．先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围.(3)2223261x x y x x +-=--： (21)(2)21()(21)(31)312x x x y x x x x -++==≠-++ ，则1y 13y ≠≠且且y R ∈.(4)求2211x y x x -=++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域． 2211x y x x -=++⇒2(2)10yx y x y +-++=，2(2)4(1)0y y y ∆=--+≥⇒值域.(四) 不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段．(五)判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义．详情见单调性部分知识讲解．(2010江苏卷14）、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是 ▲．3（2011江苏卷12）．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________ max11()2t e e =+B9.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项（加、减常数项）：已知54x < ，求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子：求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域；⑷变用公式：基本不等式2a b +有几个常用变形： 222a bab +≥,2()2a b ab +≥2a b+，222()22aba b ++≥.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；求函数15()22y x =<<的最大值；⑸连用公式：已知0a b >>，求216()y ab a b =+-的最小值；⑹对数变换：已知1,12x y >>，且xy e =，求ln (2)yt x =的最大值； ⑺三角变换：已知20y x π<<≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：已知0,0a b >>，且21a b +=，求11t a b=+的最小值. （2011江苏卷8）．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________.4B10.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：⑴平方和为定值：若22x y a +=（a 为定值，0a ≠），可设,,x y αα==，其中02απ<≤.①(,))4f x y x y πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数，在15[,]44ππ上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数，在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11(,)x y m x y x y xy+=+==.令sin cos )4t πααα=+=+，其中[1)(1,1)(1,2]t ∈--.由212sin cos t αα=+，得22sin cos 1t αα=-，从而2(,)1)m x y t t=-在[1)(1,1)(1,2]--上是减函数.⑵和为定值：若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数，在[,)2b+∞上是减函数； ②211(,)x y b m x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当b <0时，在(,),(,]2bb b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2b+∞上是增函数. ③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b -∞上是减函数，在[,)2b +∞上是增函数；⑶积为定值：若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c y x=①(,)c f x y x y x x=+=+.当0c >时，在[上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；②111(,)()x y c m x y x x y xy c x +=+==+.当0c >时，在[上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；③222222(,)()2c cn x y x y x x c x x=+=+=+-在(,-∞上是减函数，在()+∞上是增函数.⑷倒数和为定值:若112x y d +=（d 为定值），111,,x d y成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中1z d ≠±，则1111,,z z x d y d=-=+得,.11d dx y dz dz==-+ ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时，在11(,),(,0]d d-∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11[0,),(,)d d--+∞上减函数； ②222(,).1d g x y xy d z ==-当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d +∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d-∞上是减函数，在11[0,),(,)d d --+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. （2008江苏卷11）已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2yxz 的最小值．3C 、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C1.平面向量1、向量有关概念：向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量；①与a 共线的单位向量：aa± ②零向量与任意向量共线．命题：若//,//a b b c ，则//a c 是假命题．2．向量的运算：⑴几何运算：向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” ⑵向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++++=， ⑶两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =aλ ⑷平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ⑸坐标运算：①若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±； ②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--； ③若a =(x ,y )，则λa =(λx , λy )；④若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0(0)a b b a x y x y a λ⇔=⇔-=≠ 3．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角：已知非零向量与，作＝，＝，则∠AOB ＝θ（0θπ≤≤）叫与的夹角；说明：①当θ=0时，与同向；②当θ＝π 时，与反向； ③当θ＝2π时，与垂直，记⊥； ④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0θπ≤≤（2）数量积的概念（2）已知两个非零向量a 与b ，夹角为θ，则a ·b =cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积）．规定00a ⋅=；（3）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==． ②乘法公式成立 ()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+； ③平面向量数量积的运算律交换律成立：a b b a ⋅=⋅；对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈；分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅±．④向量的夹角：cos θ =cos ,a b a b a b •<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++．⑤两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝0 ⇔02121=+y y x x（2011江苏卷10）．已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若a ·b ＝0，则k 的值为 . 54（2009江苏卷2）已知向量a 和向量b 的夹角为30o，||2,||3a b ==，则向量a 和向量b 的数量积a ·b = ▲ ．3 4．线段的定比分点公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数，且12PP PP λ=（或P 2P λ1P P ），则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（t =推广1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：121222y y y x x x +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩推广2：AM MB λ=，则λλ++=1PB PA PM （λ对应终点向量）．三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩注意：在△ABC 中，若O 为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件．＝12OA OB λλ+则121λλ+=是三点、、P A B 共线的充要条件.1．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=−→−OC −→−−→−+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121λλ+=,则点C 的轨迹是 ▲ ．250x y +-= A2．已知O 是△ABC 的外心，AB=2，AC=3，x +2y =1,若,y x +=，则=∠BAC cos ▲ ．34（2012苏锡常镇二模14）已知点P 在ABC ∆所在平面内，若3432=++，则PAB ∆与PBC ∆的面积的比值为 .45（2012南京二模13）在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2+⋅的最小值是 ▲ ．C 2. 抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是：(1)借助模型函数探究抽象函数：①正比例函数型：()f x cx =⇔()()(),(1)f x y f x f y f c ±=±=. ②指数函数型：()xf x a =⇔()()()()()(),(1,)0f x f x y f y f x y f x f y f a -=+==≠. ③对数函数型：()log a f x x =⇔()()(),()()(),()1(0,1)xf f x f y y f xy f x f y f a a a =-=+=>≠.④幂函数型：()f x xα=⇔()()(),(1)f xy f x f y f α'==,()()()x f x f y f y =.⑤三角函数型：()cos f x x =,()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0sin (0)1,lim 1x xf x→==. ()f x tanx=,()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-.（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究． C 3.函数图像的对称性 (1)一个函数图像自身的对称性性质1：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图像关于直线2a b x +=对称. 【特例】，当a b =时，()()()f a x f a x f x +=-⇔的图像关于直线x a =对称. 性质2：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有-()()f a x f b x +=-()f x ⇔的图像关于点(,0)2a b+对称. 【特例】：当a b =时，()()()f a x f a x f x +=--⇔的图像关于点(,0)a 对称. 事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.性质3：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且，则()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且，则()y f x =的图像关于点(2a b +,0)对称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.【小结】函数对称性的充要条件(2)两个函数图像之间的对称性1.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0y =对称.2.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =对称.3.函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点(0,0)对称.4.函数()y f a mx =+与()y f b mx =-的图像,,,0a b m R m ∈≠()关于直线2b ax m-=对称. 特别地，函数()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称.（2010江苏卷5）设函数f(x )=x (e x +a e -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =_________ a = -1C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠)(1)若()()f x f x a =+，或()()22af x f x a +=-，则()f x 的周期T a =； (2)若()()0f x f x a ++=，或1()()1()f x f x a f x -+=+，或()()22f f a a x x =-+- ，或()()f x a f x a +=-，或()()1f x a f x +=±(()0)f x ≠，则()f x 的周期2T a =；【说明】函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.C5.对称性与周期性的关系（可与三角函数类比）定理1：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线x a =和x b =()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且2a b -是它的一个周期.推论1：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-及()()f b x f b x +=-()a b ≠，则()f x 是以2a b -为周期的周期函数.定理2：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点(,0)a 和直线x b =()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且4a b -是它的一个周期. 推论2：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--及()()f b x f b x +=--()a b ≠，则()f x 是以4a b -为周期的周期函数.定理3：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点0(,)a y 和0(,)b y ()a b ≠对称，则()f x 是周期函数，且2a b -是它的一个周期.推论3：若函数()f x满足()()2f a x f a x y-++=及()()2f b x f b x y-++=()a b≠，则()f x是以2a b-为周期的周期函数.C6. 1、若函数()y f x a=+为偶函数，则函数)(x fy=的图像关于直线x a=对称.2、若函数()y f x a=+为奇函数，则函数)(x fy=的图像关于点(,0)a对称.3、定义在R上的函数()f x满足()()f a x f a x-=+，且方程()0f x=恰有2n个实根，则这2n个实根的和为2na.C7.关于奇偶性与单调性的关系.①如果奇函数)(x fy=在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x fy=在区间(),0-∞上也是递增的;②如果偶函数)(x fy=在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x fy=在区间(),0-∞上是递减的;C 8.几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质.1.在长方体(,,)a b c中：①体对角线长为222cba++，外接球直径2R=②棱长总和为4()a b c++；③全(表)面积为2()ab bc ca++，体积V abc=；2.在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.3.在正四面体中：设棱长为a，则正四面体中的一些数量关系：①全面积2S；②体积312V a=；③对棱间的距离2d=；④外接球半径4R=；⑤内切球半径12r=；⑥正四面体内任一点到各面距离之和为定值3h=.4.在立方体中：设正方体的棱长为a，则①体对角线长为a3，②全面积为26a，③体积3V a=，④内切球半径为1r,外接球半径为2r,与十二条棱均相切的球半径为3r,则12r a=,22r=,22r=,且1231r r r=::【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.5.在球体中：球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，球心和截面圆的距离d与球的半径R 及截面圆半径r之间的关系是22r R d=-.【补充】：四面体．1．对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；2．直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形．（在直角四面体中，记V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2△ABC+S2△BCD+S2△ABD=S2△ACD．3．等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形．根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体．6.直角四面体的性质：在直角四面体O ABC-中,,,OA OB OC两两垂直,令,,OA a OB b OC c===,则⑴底面三角形ABC为锐角三角形；⑵直角顶点O在底面的射影H为三角形ABC的垂心；⑶2BOC BHC ABCS S S∆∆∆=⋅；⑷2222AOB BOC COA ABCS S S S∆∆∆∆++=；⑸22221111OH a b c=++；⑹外接球半径R=22212a b cR++=.7. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a,外接球的半径为6a．（2009江苏卷8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类OABCD。

2012江苏高考数学卷解析(含考查细目表)

∴ f ( x) x

a a a a c 解得 c x c ， c x c . 2 2 2 2
2
∵不等式 f ( x) c 的解集为 (m ， m 6) ，∴ ( c ) ( c ) 2 c 6 ，解得 c 9 .
b2 ①. 2
3 2
1 2
1 a 1 ， 2
1 3 f f ， 2 2
1 2
b4 ②. 3
联立①②，解得， a =2. b = 4 。∴ a 3b = 10 . 11．设为锐角，若 cos

4 ，则 sin( 2a ) 的值为 ▲ ． 6 5 12

2 1 2 .

本题也可建立以 AB , AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解.
1] 上， 10．设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 [1，
1≤ x 0 ， ax 1，其中 a ， b R ．若 f ( x) bx 2 ， 0 ≤ x ≤ 1， x 1
∴ e= =
c a
m m2 4 m
= 5 ，即 m 2 4m 4=0 ，解得 m =2 .
BC 2 ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 9．如图，在矩形 ABCD 中， AB 2 ， AB AF 2 ，则 AE BF 的值是 ▲ ．
作出（ x，y ）所在平面区域（如图）.求出 y =e x 的切线的斜率 e ，设过切点 P x0，y0 的切线为 y =ex m m 0 ，则
y0 ex0 m m ，要使它最小，须 m =0 . = =e x0 x0 x0

2012年江苏高考数学考前指导

2012年江苏高考数学考前指导填空题的解题策略（一）填空题考查知识点预测1、几何运算2、复数运算3、算法流程图4、统计运算5、古典或几何概率运算6、圆锥曲线定义及几何性质7、导数概念、几何意义8、等差、等比数列运算9、平面向量线性运算10、直线与圆方程11、解不等式或不等式应用12、正余弦定理或和差公式13、函数综合性质研究14、函数与导数的综合（15、空间线面关系判断）（二）填空题解题的难度预测从前两年的填空题得分率来看，今年的填空题的难度将会作如下调整：适当增加一到二道中档题。

降低压轴题的难度。

（三）填空题解题的基本原则“小题不能大做”。

要注意灵活运用方法（直接求解法、图像法、构造法、等价转化等）。

调节好解题心态：今年会增加一到二道中档填空题中有可能会出现创新题，更加要求心态要好。

估计今年的13、14题，在得分率方面会过分高于去年，但得分的高低的关键在于能力。

注意调节好解填空题的答题节奏，原则上是每题平均2—3分钟，开头要慢，求稳。

进入状态后，在适当提快解题速度。

基础好的同学14到题目可以一起呵成，总用时一般控制在40分钟左右，基础较弱的同学，可以分段处理，先易后难，切不可在某个填空题上花费过多的时间。

（四）填空题的解题策略1、第1题到第6题的解题策略：这6小题主要考查基本概念与基本公式的直接运用，解题方法以直接法为主，一般不转弯，少量题目也可以用图像法。

要求考生熟记公式，计算正确，熟练地运用图形解题。

务必要求要看清提议，防止无谓的失分。

2、第7到第12题的解题策略：这6小题主要考查对知识的的理解和运用，而且重在应用。

除了考查基本概念、公式的掌握以外，还十分注重考查数学思想方法。

这部分填空题一般不出偏题与怪题，也很少会有看不懂的题目，为使试卷具有区分度，总有若干个小题有新意，这就要求考生要有良好的心态。

遇到这类试题时，要坚信自己能解决这些试题，但也要认真读题，边读边联想与思考，真正要解决它，靠的是基本功，而且这类题目的新式表面，只要运用等价转化的思想方法，一般就能看出问题的本质。

2012年江苏高考数学考点分析与备考建议

江苏高考数学考点分析与后期全真模拟应对措施距离高考还有30多天的时间，可以说到了冲刺复习阶段。

面对越来越近的高考，如何充分利用剩余的每一天提高复习效率?下面就高考中常见题型进行简单分析，希望能对冲刺2012年高考的考生有所启示。

一、填空题填空题的14道题中，通常1-8题是基础题，9-12题是中等题，13、14题是难题，由于填空题的得分情况对高考成绩大有影响，所以答题时要给予足够的精力和时间，一般为45分钟。

填空题解题的基本原则是“小题不能大做”。

解题基本方法一般有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型)。

在解题过程中要灵活运用各种方法进行求解，以求提高解题效率。

二、解答题第一：三角与向量，容易题主要考查：1、三角形问题：正余、弦定理，面积；2、三角函数的图象和性质；3、两角和与差的三角函数。

此类题目通常以平面向量为载体（向量平行，垂直，数量积），解题时须注意角的范围，选用公式是否恰当(如慎用同角间的三角函数关系式解方程组)，不要混淆向量垂直与共线的充要条件，在求解三角函数中问题时不要忽略角的范围等。

第二：立体几何，容易题主要考查：1、平行问题；线线，线面，面面平行，重点仍是线面平行——两种方法（线线法，面面法）；2、垂直问题：条件与结论中都有垂直，重点是线线垂直与线面垂直（或面面垂直）的转化。

复习时要重视证明、运算、推理的规范训练，要关注翻折问题，要偏重平行、垂直关系的探究与证明。

第三：应用题，中等题近几年江苏高考数学试题中，正在形成强调将数学应用于解决实际问题的趋势，比如，08年铺设排污管道最优化问题，09年买卖商品满意度问题，10年测量电视塔高度问题，11年纸盒的切割。

经常涉及的数学模型有：函数模型、不等式模型、三角模型等。

应用题主要分为文字阅读题和图形题，解题时要认真审题，抓住关键词，将实际问题抽象为数学问题，从各种关系中找出最关键的数量关系，将这些关系用有关的量及数字、符号表示出来，从而建立数学模型，运用所学的知识解决最优化问题。

全面覆盖考点突出教学重点注意分散难点——2012年江苏省数学高考试题的评价和改革与教学建议

得分低，年四道试题的难度更趋于合理，今必做部分试题一难一易，２第３题第（）难度较大，２问与２１年加试题相比难度更加合理．０１试题高度重视对数学思想方法的考查，分充
２２立体几何．
理）和向量的数量积的定义结合处理，（）问实第２
际上考查的是三角形三个内角正切之问的关系
ｔｎＡ＋ｔｎＢ＋ｔｎＣ—ｔｎＡｔｎＢａ的关系，ａａａａａｔｎＣ
当然也考查了已知三角函数的特殊值求角的大小
的知识，此题命题思路新颖，思想值得今后命题借
鉴．
１、７２、８２、９２４１（）１（）１、０题中，不同层次的考生使都能做有所得，出高低，分区分度更加明显合理．理科加试题选做部分调整了难度，以往矩阵与变换、坐标系与参数方程得分高，平面几何和不等式
体现数学学科的特点和本质．对函数与方程、既数形结合、类讨论、分等价转化等传统数学思想方法重点考查，且难度大，要求高，查灵活，考又对新教材中必然与或然、散与连续、计与分析、式离统模
设计多问，最后一小问都有一定的难度，别是第特
２Ｏ题的第（）２问难度相当大，少有考生做出．很试题层次分明，区分度大，不偏不怪，三分之一以有上的基础题，证考生得到基本分，保又有三分之一以上的中档试题保证中等考生能够考出水平，考出能力，外第１（）１（）１、０题为冲击重另７２、８２、９２点大学的考生提供了展示能力、发挥水平的天地．试题变一题把关为多题把关，难点分散在第把

(二)2012-2019江苏高考数学卷考点分析

2012年——2017年江苏高考数学卷考点分析题号2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年1 简单集合的并集三角函数的周期简单集合的交集简单集合的并集简单集合的交集简单集合的交集简单集合的交集简单集合的交集2 分层抽样复数的四则运算，复数的模复数的概念平均数复数的概念复数的模复数的实部复数乘积运算3 复数的概念与四则运算双曲线的渐近线方程流程图复数的模双曲线的几何性质分层抽样茎叶图流程图4 流程图集合的子集个数古典概型循环结构伪代码样本均值与方差流程图伪代码函数定义域5 函数的定义域，简单不等式的解法流程图三角函数图象交点及已知三角函数值求角古典概型函数的定义域两角和差的正切公式函数的定义域样本均值与方差6 古典概型，等比数列通项公式样本的均值与方差频率分布直方图向量的相等及坐标运算循环结构流程图圆柱与球古典概型古典概型7 求四棱锥的体积古典概型等比数列通项公式指数不等式与一元二次不等式古典概型函数定义域，几何概型三角函数图象双曲线几何性质8 双曲线的几何性质几何体体积比圆柱的侧面积与体积两角差正切公式等差数列性质双曲线几何性质双曲线几何性质等差数列基本量运算9 向量的概念与数量积线性规划，导数的几何意义与运算直线与圆的相交的弦长问题圆柱及圆锥体积三角函数图象等比数列的性质分段函数体积比体积计算10 分段函数，函数的周期性向量的加减法与线性表示二次函数的性质直线与圆位置关系椭圆的离心率函数应用，基本不等式正八面体体积点到直线的距离或基本不等式或一元二次方程11二倍角的三角函数公式，两角差的正弦公式函数的奇偶性,一元二次不等式的解法导数的几何意义两直线平行位置关系数列通项，裂项求和函数周期性、分段函数函数的单调性与奇偶性三次函数闭区间最值问题导数的几何意义12 直线与圆的位置关系椭圆的几何性质向量的线性运算及数量积双曲线渐近线，恒成立问题线性规划平面向量基本定理及数量积，三角求值，两角和差三角公式直线与圆平面向量数量积平面向量数量积13 一元二次不等式与二次函数的关系，函数的值域二次函数的最值，基本不等式函数的零点，周期性，函数图象交点问题分段函数函数与方程平面向量数量积圆方程向量数量积三角基本不等式三角恒等变换14 线性规划，导数的几何意义与运算等比数列正、余弦定理基本不等式向量数量积，三角函数性质三角恒等变换，函数求值，正切函数函数周期性函数与方程生成数列分段函数函数与方程15 向量的数量积，正弦定理，同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式向量的模、垂直关系，同角三角函数基本关系式，两角和的三角函数公式同角三角函数关系，二倍角公式，两角和与差的正、余弦公式正、余弦定理，二倍角公式同角三角函数基本关系式，两角和的三角函数公式，正余弦定理线面平行、面面垂直（三棱锥）线面平行、面面垂直（平行六面体）解三角形三角恒变换三角求值16 线面平行、面面垂直的判定及性质（直三棱柱）面面平行的判定，线面垂直的判定与性质（三棱锥）线面平行、面面垂直（三棱锥）线面平行判定定理，线面垂直判定定理（直三棱柱）线面平行的判定，线面垂直的判定与性质（三棱柱）向量数量积，向量平行，三角求值，辅助角公式同角基本关系式两角和差三角函数公式（二倍角）线面平行线面垂直线线垂直17 基本不等式，一元二次方程的判别式直线的方程，点到直线的距离公式，阿波罗圆，两圆位置关系椭圆的方程及离心率函数的实际应用，利用导数求函数最值，导数几何意义利用导数求函数的最值，棱柱棱锥椭圆的方程直线方程三角最值问题应用导数求最值椭圆方程圆方程直线与圆直线与椭圆18函数的极值与导数的关系，函数的奇偶性、单调性与零点解三角形，二次函数最值，解不等式解析几何的应用题，直线方程，直线交点，点到直线的距离，两点间距离椭圆方程，直线方程，直线与椭圆位置关系直线的方程，圆方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆位置关系平面向量的运算正四棱柱，正四棱台，正弦定理，两角和正弦公式椭圆方程圆方程直线与圆直线与椭圆三角函数应用解方程直线与圆19椭圆的方程与几何性质，直线的方程等差数列前n项和，证明等差数列的充要条件偶函数的判断不等式恒成立导数与函数单调性，比较大小利用导数求函数单调性、极值、函数零点指数函数，基本不等式，利用导数研究函数的单调性及零点新定义数列，等差数列，数列证明题函数与导数新定义利用导数研究函数性质20 等差数列、等比数列的综合应用利用导数研究指、对数函数的单调性、最值，零点个数新定义数列，数列的项与整除性，数列证明题（构造法）等差、等比数列的定义及性质，函数与方程等比数列的通项公式，等比数列求和函数的极值点、零点，不等式的解法，一元二次方程根与系数的关系等差等比数列综合应用等差等比数列定义、通项、性质21b 逆矩阵，特征值逆矩阵，矩阵运算矩阵运算矩阵运算，特征值与特征向量逆矩阵，矩阵运算矩阵运算，椭圆在新变换下的方程逆矩阵矩阵运算线性变换曲线极坐标方程21c 直线与圆的极坐标方程直线与抛物线的参数方程直线的参数方程与抛物线圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化直线与椭圆的参数方程直线的参数方程点到直线的距离曲线的极坐标方程不等式选讲22 随机变量的概率分布、数学期望空间向量应用随机变量的概率分布、数学期望空间向量、二面角、异面直线所成角直线与抛物线位置关系二面角、异面直线所成角空间向量异面直线所成角线面角二项式定理组合数23 集合的概念和运算，计数原理数列，计数原理三角，导数，数学归纳法计数原理、数学归纳法组合数及其性质随机变量的概率分布、数学期望计数原理排列计数原理古典概型随机变量及其分布。

2012年高考数学备考指导与应考技巧

2012年高考数学备考指导与应考技巧一、历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。

如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。

当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键；二、答题策略选择1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。

一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。

当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。

一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。

切记不要“小题大做”。

注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。

虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。

多写不会扣分，写了就可能得分。

三、答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。

首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。

2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。

如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法；5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简(注意去掉不符合条件的特殊点)；9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.（理科）立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化.13.锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；14.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；15.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；16.选做题中，极坐标与参数方程注意转化的方法，优选法注意黄金分割法与分数法。

2012江苏高考数学

2012江苏高考数学一、考试概况2012年江苏高考数学考试是一场全省范围内的重要考试，是对学生数学知识掌握和解决实际问题能力的综合考察。

本次考试于当年6月进行，涉及的内容包括数与代数、几何与图形、函数与方程、数理统计与概率等多个知识模块。

二、考试内容和难度回顾本次考试共分为选择题和非选择题两部分，其中选择题占据了总分一半的比例。

选择题主要考查了学生对基础知识的理解和记忆能力，涵盖了代数、几何、函数等多个方面。

非选择题则更加注重考察学生的综合运用能力和解决实际问题的能力。

根据考生的反馈和整体判卷情况，可以说2012年江苏高考数学试卷整体难度适中，没有出现特别偏难或特别简单的题目。

对于备考认真的学生来说，能够熟练掌握各个模块的知识点，并能够理解和应用相关的解题方法，取得较好的成绩是完全可以实现的。

三、考试重点回顾1. 数与代数数与代数是整个数学学科的基础，也是高中数学的重要组成部分。

在2012年江苏高考数学试卷中，数与代数的考查重点主要包括四则运算、分式、方程与不等式等方面。

在四则运算方面，考生需要掌握加法、减法、乘法和除法的基本运算法则，能够熟练计算整数、有理数和无理数的运算。

在分式方面，考生需要了解分数的定义和性质，能够进行分数的加减乘除运算，并能够解决与分式相关的实际问题。

方程与不等式是数与代数中的重点内容，本次考试主要涉及一元一次方程、二次方程和一元一次不等式等内容。

考生应该熟练掌握解方程和不等式的基本方法，能够灵活应用于各类题目。

2. 几何与图形几何与图形是江苏高考数学试卷中的另一个重要考点。

主要考查内容包括平面几何、空间几何和图形的性质等方面。

在平面几何方面，考生需要掌握点、线、面的基本概念，能够判断直线之间的位置关系，并能够运用平行线、垂直线等相关概念解决问题。

空间几何主要考查立体图形和空间位置的相关问题。

考生需要了解各类立体图形的定义、性质和判定条件，并能够运用相应的几何方法解决实际问题。

2012江苏高考数学考前每天必看(5)

2012年江苏高考数学考前每天必看系列材料之五一、基本知识（必做题部分）（七）不等式（必修5第三章） 1、基本不等式（C ）（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a b =时取“=”号)．（2）均值定理：,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a b =时取“=”号)．“一正二定三相等”；均值不等式的一些变形，如2222)2(;)2(2b a ab b a b a +≤+≥+．已知y x ,都是正数，则有：①若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； ②若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s .2211a b a b+≥≥≥+ (根据目标不等式左右的运算结构选用)．你能用几何图形解释几个平均数之间的关系吗？如：,0x y >且x y +=，求x y +的最大值．2、一元二次不等式（C ）一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.3、线性规划（A ）二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则 ①若B >0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的上方，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的上方的区域；②若B >0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的下方，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方的区域；（注：若B 为负，则可先将其变为正）线性规划：①求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题； ②可行解：指满足线性约束条件的解（x,y ）；可行域：指由所有可行解组成的集合；注: ①准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题；解线性规划时应先确定可行域；注意不等式中()<>与()≤≥对可行域的影响；还要注意目标函数by ax z +=中0<b 和0>b 在求解时的区别.②整点问题（方格法）不等式中其他常见结论： 1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减．（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >．（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>．（4）倒数法则：若0a b >、，a b >，则11a b<．（若出现负数先化为正数再用倒数法则） 2、不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．3、利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．4、其他常用不等式：（1）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）．（2）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）．（3）3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>．5、绝对值不等式：含有绝对值的不等式当a > 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.性质：（1）a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-．（2）a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 绝对值不等式的解法：（1）分段讨论（零点分区间）法：（最后结果应取各段的并集）（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合．6、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论) ．常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--； 2211111()1211k k k k <=---+； 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--；=<<=．7、指数不等式与对数不等式： (1)当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩. (2)当01a <<时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔<；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩． 8、简单的一元高次不等式的解法：数轴标根法：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集．9、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解．解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母．10、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值． 11、不等式的恒成立,能成立问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）．（ⅰ）恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >．若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <．例：（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______．（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____．（3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____．（4）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____．（5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围．（ⅱ）能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 例：已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______．二、思想方法（五）配方法配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是：ax 2+bx+c=)0(44)2(22≠-++a ab ac a b x a .高考中常见的基本配方形式有：（1） a 2+b 2= (a + b)2- 2a b = (a –b) 2+ 2 ab ．（2） a 2+ b 2+ ab =22)23()21(b b a ++．（3） a 2+ b 2+c 2= (a ＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc ．（4） a 2+ b 2+ c 2- a b – bc – a c = 21[ ( a - b)2 + (b – c)2 + (a – c)2] ．（5） 2)1(1222-+=+xx x x ．配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论．三、易题重现1、如果关于x 的不等式ax 2+ bx + c<0的解集是{}x |x <m ，或x >n (m<n<0)，则关于x 的不等式cx 2－bx + a>0的解集是．2、若x<0，则2 + 3x + 4x的最大值是．3、设关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为A ，已知A A ∉∈53且，求实数a 的取值范围． 4、已知目标函数z ＝2x ＋y ，且变量x 、y 满足下列条件：4335251x y x y x -≤-⎧⎪+<⎨⎪≥⎩，则．（A ） z 最大值＝12，z 无最小值（B ） z 最小值＝3，z 无最大值（C ） z 最大值＝12，z 最小值＝3（D ） z 最小值＝265，z 无最大值5、将大小不同的两种钢板截成A 、B 两种规格的成品，每张钢板可同时解得这两种规格的成67、函数f(θ ) = sin θ －1cos θ －2的最大值和最小值分别是．8、设实数a,b,x,y 满足a 2+b 2=1,x 2+y 2=3, 则ax+by 的取值范围为_______________．9、－4＜k ＜0是函数y=kx 2－kx －1恒为负值的___________条件． 10、函数y=4522++x x 的最小值为_______________．11、已知a,b R ∈，且满足a+3b=1，则ab 的最大值为___________________．12、已知a>b>0，则a 2+16b (a －b )的最小值是_________．13、已知△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且m 为正数，求证 aa + m+bb + m>cc + m．14、已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M ．（1）当4=a 时，求集合M ；（2）若M M ∉∈53且，求实数a 的取值范围．。

立足数学基础培养数学素质——对2012年江苏高考数学试卷的分析与思考

2012-10教学实践2012年高考数学试卷内容体现了新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、基本技能以及数学思想方法的考查，更重视了对能力的考查。

试题平和清晰，于常中见新，拙中见巧，部分试题灵活，重视知识点的综合与迁移，体现重基础重应用，有创新的考查意图。

通过对往年高考试题的研究，并针对江苏省实施“九省一市”实验教材的第十年高考，如何指导学生更加有效地复习，如何激发学生的数学学习热情，笔者有如下想法：一、2012年江苏高考数学试题分析填空题前十题考查了集合运算、统计、复数、伪代码、函数定义域、概率、立体几何的体积、解析几何、向量数量积、函数的性质等知识，与高中数学教材结合紧密，体现了回归教材的思路。

11题考查了三角函数的恒等变换，属于中等难度题；12题考查了直线和圆的位置关系，难度中等；13、14题分别考查了二次函数、一元二次不等式、不等式的综合应用，有一定的难度，需要学生有一定的分析问题、解决问题的能力。

解答题15题考查了平面向量的数量积、三角函数的基本公式、两角和的正切公式、解三角等知识；16题主要考查了直线与平面、平面与平面的位置关系。

这两道题起点低，上手容易，操作性强，属于容易题。

17题主要考查了函数方程和基本不等式等基础知识，可以说是2008年江苏卷18题的变式，难度中等，体现了与现实的联系。

18题考查了函数的概念、性质及导数等基础知识，有较多的运算但难度中等，由于条件较多，对条件的处理是本题的关键。

总的来说，15至18题总体难度与2011年基本持平，但运算量有所提高。

19题第一问是高考复习中的常见问题———椭圆的标准方程及几何性质，难度不大，第二问比较灵活，难度较大，不易得分；20题是数列中的递推关系及构造新数列，考查了等差和等比数列的基本性质、基本不等式等基础知识，对分类讨论思想及分析探究逻辑推理能力的要求较高。

第一问难度中等，是数列中的常见题型，第二问条件新颖，学生不易下手，难度大。

2012江苏省高考数学试卷分析

2012年江苏省高中数学（高考理综）试卷分析一、试卷综述1、总体评价2012年高考江苏数学试卷继续遵循了新课程高考方案的基本思想，试卷结构稳定，突出双基，重视能力，知识点广，容易上手，难度递增，区分提升，利于选拔，各种层次考生可以充分展现自己的真实能力。

考卷的结构相较于10、11年基本是不变的，14个客观题加5个主观题，5个主观题主要是考查三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、数列、导数、函数这些知识点。

从整体上看，今年的考试更侧重于对重点模块的考察。

2012年高考试题重点突出，层次分明，逐步深入，使学生解题入手容易，心理状态平和，正常发挥能力，自我满意程度提高。

今年试题能力要求提高，层次区分明显，获得高分并非易事，但有利于不同层次的高校选拔各自满意的人才。

2、新题难题总结1～9题是体现最低要求的容易题，只需稍作运算即可顺利完成；10～14题复杂程度、能力要求和解题难度有所提升，对把握概念本质属性和运用数学思想方法提出较高要求，对考生的想像力、抽象度、灵活性、深刻性等思维品质提出更大的挑战。

解答题着重考查综合运用知识，分析和解决数学问题以及计算的能力。

第16题、第15与17题、第19题、第18与20题分别形成四个不同的水平层次。

第一层次是基础知识和推理论证的最低要求；第二层次重在对知识和方法的综合运用，重在基本运算能力的要求；第三层次突出对知识和方法的灵活运用，加大了分析和解决问题的思考力度；第四层次重点是考查解决新问题的能力，体现了对考生的高层次数学思维能力的要求和高水平数学素质的要求。

3、今年数学高考试卷最大的亮点我觉得今年考题的最大亮点应该在于对重点模块的考察上。

大多数的题目，基本上都是可以按部就班的，着眼于对学生的基础知识的考察，也侧重于对学生能力的考察，比如说抽象概括能力，空间想象能力，推理论证能力，还有一些比如分析问题能力，解决问题的能力，侧重于这些能力的考察。

今年的题看似简单，但是对咱们学生能力的考察还是体现的比较强烈。

2012年江苏高考数学解析

2012年江苏省高考数学试卷评析一、主要知识点分布考查知识点难度所占分值备注集合及其应用中等难度13 填空题第1题较容易概率、统计难18 填空题第2题较容易向量中等难度15等差数列、等比数列难17 填空题第6题较容易直线与圆、椭圆和圆锥曲线的应用中等难度18函数解析式、性质及其应用中等难度34 填空题第5题较容易不等式及其应用难22二、考卷整体评析2012年的数学考卷仍然延续了前几年的风格，稳中有变，重基础，考能力，具有较好的信度和效度，充分体现了新课程改革风向标的作用。

整体难度较去年加大，学生想获得高分并非易事，但却为不同层次的高校选拔合适人才提供了标准。

填空题中的1～8题均属于基础题，主要考查集合、统计、复数、对数函数、等比数列和概率的计算公式，考生在这几道题上基本不容易失分。

9～14题计算的复杂程度增大，思维强度、思维品质加强。

更加注重对概念本质的理解和数学思想方法的应用。

尤其是14题，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，对于考生来说，无疑是一个挑战。

解答题中的15题和16题构成了第一梯度，侧重基础知识的考查和推理论证，但考查的能力较低；17题构成了第二个梯度，侧重函数模型的应用，考查学生对知识和方法的综合运用，以及基本的运算能力；19题可谓是第三个梯度，考查知识和方法的综合运用，以及较强的计算能力，同时加大对学生思维能力和思维品质的考查；18题和20题构成了第四个梯度，要求学生面对新的情境，能够用已学过的知识解决问题，更加侧重对高层次思维品质和数学素养的考查。

难度虽大，如果学生能善加利用各小问之间的逻辑关系，可在解题时事半功倍。

综上所述，2012年江苏省高考数学试卷中等难度题的难度加大，也使整张试卷的难度加大。

学生拿高分不易，获得保底分却是较易的。

另外，由于更加侧重学生逻辑思维能力和较高层次的数学素养的考查，文科生做此试卷确实不易。

这也提醒即将升入高三的同学以及高三的老师们，在学习和教学中，应更加侧重分析能力、解决问题能力的培养，侧重思维的深刻性、灵活性、抽象度的培养。

江苏2012高考数学 (3)

江苏2012高考数学一、绪论江苏省2012年的高考数学试卷是一份非常重要的考卷，对考生的数学水平进行了全面的考查。

本文将从试卷结构、题型分析以及解答思路等方面对江苏2012高考数学试卷进行详细解析，帮助考生更好地了解试卷内容和解题技巧。

二、试卷结构江苏2012高考数学试卷共分为两个部分：第一部分为选择题，第二部分为非选择题。

选择题共计75分，非选择题共计55分，总分为130分。

三、题型分析1.选择题：江苏2012高考数学试卷的选择题主要包括单项选择题和多项选择题。

单项选择题在试卷中占比较大，主要考查考生对基础知识的理解和记忆。

而多项选择题则更注重综合运用能力，考查考生对知识的整合和应用。

2.非选择题：江苏2012高考数学试卷的非选择题包括填空题、解答题和证明题。

填空题主要考察考生对基本概念和公式的掌握程度；解答题主要考察考生对问题分析和解决能力的综合运用；证明题则对考生的逻辑思维和证明能力提出较高的要求。

四、解答思路1.单项选择题：在解答单项选择题时，考生应先仔细阅读题目和选项，找出与问题相关的关键信息。

然后，通过对选项的排除和对知识的深入理解来确定最佳答案。

2.多项选择题：在解答多项选择题时，考生应先对每个选项进行独立分析，理解其含义和与题目的关联。

然后，通过对选项之间的比较和题目要求的综合考虑，确定最终答案。

3.非选择题：在解答填空题时，考生应根据题目给出的条件和要求，选择合适的公式和方法进行求解。

在解答解答题和证明题时，考生应首先对问题进行透彻的分析，确定解题思路和推理路径，然后按照清晰的逻辑结构进行解答。

五、试题解析1.选择题解析：在此部分，我们将对江苏2012高考数学试卷中的选择题进行一一解析，包括题目的背景和考点、解答思路以及最终答案和解析过程。

2.非选择题解析：在此部分，我们将对江苏2012高考数学试卷中的非选择题进行一一解析，包括填空题的解题思路、解答题的解题步骤和证明题的证明过程。

江苏2012高考数学 (2)

江苏2012高考数学引言在江苏省的高考数学科目中，2012年的考题可谓是一道难题。

本文将对江苏2012年高考数学试题进行详细解析和讲解。

题目分析本次数学考试共分为两个部分，分别为选择题部分和非选择题部分。

选择题部分占据了试卷的大部分分值，非选择题部分则要求考生展示其解题的思路和方法。

选择题部分选择题部分共计50分，包含单项选择题和多项选择题。

单项选择题1.题目内容2.题目解析多项选择题1.题目内容2.题目解析非选择题部分非选择题部分共计50分，包含填空题、计算题和解答题。

填空题1.题目内容2.题目解析计算题1.题目内容2.题目解析解答题1.题目内容2.题目解析解题思路和方法在解答江苏2012高考数学题目时，有一些常用的解题思路和方法可以帮助我们更好地解答问题。

下面介绍几种常用的解题思路和方法：1.数学模型法：将实际问题转化为数学模型，通过运用数学方法解决问题。

2.推理法：通过分析已知条件和题目要求，推理出待求的答案。

3.等比数列法：对于涉及到等比数列的问题，可以通过找出数列的公比和首项，从而推导出数列的通项公式，进而求解问题。

4.类比法：将待解问题与已知的类似问题进行比较，利用已知问题的解题思路和方法解决待解问题。

总结通过本文对江苏2012高考数学试题的详细解析和讲解，我们了解到在解答高考数学题目时，需要灵活运用各种解题思路和方法，并且注重解题过程中的详细步骤和思路。

希望本文对大家在备战高考数学科目中有所帮助。

2012年高考江苏数学试卷解析(精析word版)(教师版)

2012年江苏省高考数学试卷解析（全卷满分160分，考试时间120分钟）【试卷总评】2012年高考江苏数学试卷继续遵循了新课程高考方案的基本思想，试卷结构稳定，突出双基，重视能力，知识点广，容易上手，难度递增，区分提升，利于选拔，各种层次考生可以充分展现自己的真实能力。

填空题1---13题，应当说是去年容易，除第14题以外，可以说“好学生”都无任何障碍。

然而，填空题却没有“扫盲”题，可见出题者的目的非常明确，那就是以此来“区分”中下等学生。

第14题是一道“竞赛”背景的题目，对学生“不等式放缩能力”要求很高，当然也可以通过转化构建成“线性规划”来做，总之是一道“非常难的题目”。

但仅管如此，我想填空题的均分要比2011年高到5到8分。

解答题第一道题的第2小题就让不少中下等同学过不了“关”，加上立体几何明显“难于去年”。

就这两题，就上中等同学“难受”了！或者说这正题出题人的意思所在。

第17题是一道应用题，本题的第二小题大部分同学“看不懂”题目，得分肯定不高！第18题是一道函数题，第一小题对好同学（包括中等生）都不是问题，但第二小关于“零点的讨论”大部分同学就只能“止步”了！估计一般同学（中等生）只能拿到6--7分就不错了！第19题是一道解析几何题，第一小题应没有什么问题，但第二小题的两个问题对学生的运算（化简）能力要求太高，估计中下等学生会“无能为力”！第20题是一道有很深的“竞赛背景”，好学生也只能做到第1小题。

这样的话，解答题会较去年10到15分，总分会比2011年低10分左右，今年江苏数学均分“不容乐观”，可能在90分左右。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ． 3．设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为． 4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．5．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为．6.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．础知识.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为． 9．如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是．【答案】210．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为． 11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为．【答案】17250【解析】∵α为锐角，即02<<πα，∴2=66263<<πππππα++。

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