辽宁省大连市第二十四中学2020届高三4月模拟考试数学(理)试题
辽宁省大连市第二十四中学等三校2024届高三统一模拟考试数学试题(含解析)
A．3
B．2
C． 3
D． 2
二、多选题 9．设 z 1 i ，则（ ）
A． z z 2
C．
z
2
2
z
B． z zi 0 D． z z z 2
10．已知递增等比数列an 的公比为 q，且满足 a32 3a4 a5 ，下列情况可能正确的是
（）
A． q = 2
B． q 1 2
C． a4 1
D．若 AC 1, BD 2 ，则四棱柱体积的最大值为 2 3
三、填空题
12．对于任意的正数 m，n，不等式
3 m
1 n
2m
n
成立，则
λ
的最大值为
13．已知抛物线 C1 : y2 2x, C2 : y2 4x 的焦点分别为 F1, F2 ，点 P, Q 分别在( C1, C2 上，
且线段 PQ 平行于 x 轴.若△F2PQ 是等腰三角形，则 PQ
及数论知识可判断 C 正确.
【详解】一方面若 a3 3, a4 7 ，则 d a4 a3 4 ，从而 an a3 4n 3 4n 9 ，
此时 a16 55, a17 59, a18 63, a19 67 ，即 ABD 不满足题意；
另一方面我们考虑一般情况，若 a3 3 p, a4 7q, p, q Z ，则 d 7q 3 p Z ，
故选：A 2．D 【分析】 由平方关系以及二倍角的正弦公式运算即可求解.
【详解】因为
0,π2
，
cos
3 ，所以 sin 5
1
3 5
2
4 5
，
从而 sin 2 2sin cos 2 4 3 24 . 5 5 25
故选：D.
2020年4月辽宁省大连市第二十四中学2020届高三模拟考试理科综合答案
大连市第二十四中学高三年级四月份模拟考试理科综合参考答案生物答案1-6 BACDCD29．（10分，除特殊说明每空1分）（1）大于降低 150μmol/mL（2）甲 CO2浓度相对值为600时，甲、乙两植物都达到了CO2饱和点；容器中CO2浓度逐渐降低；甲植物CO2饱和点大于乙植物CO2饱和点，所以CO2浓度降低甲植物光合速率首先降低（3）乙干旱会导致植物气孔部分关闭，CO2供应不足。
乙植物更能耐受低CO2浓度，CO2补偿点更低，所以乙植物更适合生活在干旱土壤中30.（9分，除特殊说明每空1分）（1）效应器促肾上腺皮质激素（负）反馈糖皮质激素受体（2）钙离子胞吐 5-羟色胺受体（3）a内分泌 b糖皮质（激素） c神经 d不能正常释放（释放减少）（2分）31.（10分，除特殊说明每空2分）（1）正反交（1分）正反交结果相同，子代全表现为长刚毛正反交结果不同，且短刚毛(♀)×长刚毛(♂)的后代全为短刚毛，长刚毛(♀) ×短刚毛(♂)后代雌性全为短刚毛，雄性全为长刚毛（2）中（1分） X染色体缺失导致雄配子致死 5：932．（10分，除标记外每空2分）（1）消费者藻类（2）降低江团和虾是捕食关系，江团数量增加，虾的数量下降，虾的食物来源大多数是空球藻，所以空球藻数量增加，空球藻和浒苔竞争关系，所以浒苔数量下降（3）有机物进入，微生物大量繁殖消耗氧气，江团缺氧死亡微生物分解有机物产生大量的无机盐,使藻类大量繁殖37.（15分）（1）脲酶分解尿素的细菌是异养型生物，不能利用CO2来合成有机物为细胞生物生命活动提供能量，为其他有机物的合成提供原料（2）尿素其他两组都含有NH4NO3，能分解尿素的细菌和不能分解尿素的细菌都能利用NH4NO3，不能起到筛选作用（3分）（3）为细菌生长提供无机营养，作为缓冲剂保持细胞生长过程中pH稳定（4）D38.（15分）（1）物质循环再生原理、物种多样性原理、协调与平衡原理、整体性原理、系统结构决定功能呼吸作用物质循环再生和能量的多级利用（2）基因表达载体的构建（或者构建重组DNA）细胞全能性（1分） DNA分子杂交（3）超数排卵防止性腺萎缩高三理综答案共7页第1页。
2020届辽宁省大连市二十四中2017级高三4月模拟考试数学(理)试卷参考答案
当 x 8 时， y 100.540.258 3.47102 347 。
所以活动推出第 8 天使用扫码支付的人次 3470 人. ........................ 7 分
数学理科试卷答案共 6 页第 2 页
2020届辽宁省大连市二十四中2017级高三4月模拟考试数学（理）试卷
（3）设一名乘客一次乘车的费用为 元，
根据题意 得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2
p( 1.4) 0.3 1 0.05, p( 1.6) 0.6 0.3 1 0.7 ，
6
3
p( 1.8) 0.3 1 0.15, p( 2) 0.1， 2
E( ) 1.40.05 1.60.7 1.80.15 20.1 1.66 。
数学理科试卷答案共 6 页第 3 页
2020届辽宁省大连市二十四中2017级高三4月模拟考试数学（理）试卷
②当直线 l 的斜率存在时，设 l ： y k x 1 ，设 P x1, y1 ， Q x2, y2 .
y k x 1
由
x2 4
y2
消y得 1
1 4k 2
x2 8k 2x 4k 2 4 0 ，
1 2n
1 2n
2
1
1 4
n
1 1
1 2
1 2n
2
11 6
4 3
1 4
n
1 2n 2
.
4
..................... 12 分
19．解：（1）根据散点图判断，在推广期内， y c d x （ c, d 均为大于零的常数），适 宜作为扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类型. ............ 2 分 （2）根据（1）的判断结果 y c d x ，两边取对数得 lg y lg c lg d x ，
2020届辽宁省大连市普通高中高三下学期一模考试数学(理)试题及解析
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
先根据抛物线定义可得到 点的横坐标，再代入抛物线方程即可.
【详解】设 ，
因为点 到焦点 距离为5即 ,
根据抛物线定义： ，
解得： ，
代入抛物线方程 ，
得 即
故选：C
7.设非零向量 ， 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中 的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为 ， ，试比较 ， 的大小（只要求写出结论）；
（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；
（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间 服从正态分布 ．其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设 表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于 的人数，求 的数学期望．
【详解】因为对任意的 恒有 成立，
所以有： ，
又因为当 时， ，
所以 ，
所以
故答案为：
16.如图，在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在线段 上二面角 的平面角为 ，用图中字母表示角 为__________， 的最小值是__________．
【答案】 (1). (2).
2020年辽宁省大连二十四中高考数学模拟试卷(理科)(4月份) (含答案解析)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|0<x<1}，N={x|x2+2x−3<0}，则M∪N=()A. B. C. (−3,1) D. (−1,1)=1−ni,(m,n∈R)对应点的轨迹是()2.若复数z满足|z+i|+|z−i|=4，则复数m1+iA. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线3.若a⃗⋅(a⃗−3b⃗ )=0，且|a⃗|=6，则向量b⃗ 在向量a⃗上的投影为()B. 1C. 2D. 3A. 124.经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数(单位：万人次)的变化情况，则下列给出的四个判断中错误的是()A. 旅游总人数逐年增加B. 2017年旅游总人数超过了2015，2016两年的旅游总人数之和C. 年份数与旅游总人数成正相关D. 从2014年旅游总人数增长加快5.己知函数f(x)=x(x−c)2，在x=2处取得极大值，则实数c的值是()B. 2C. 2或6D. 6A. 236.将函数y=sin2x的图象向右平移π个单位，所得函数图象对应的解析式为()4) B. y=−sin2xA. y=sin(2x−π4C. y=−cos2xD. y=cos2x7.从集合{1,2，3，4，5}中随机抽取一个数m，从集合{1,3，5}中随机抽取一个数n，则使得m+n=6的概率为()A. 15B. 13C. 23D. 458. 在三棱锥S −ABC 中，∠ACB =90°，SA ⊥平面ABC ，SA =2，AC =BC =1，则异面直线SB 与AC 所成角的余弦值是( )A. √63B. √22C. √33D. √669. 定义为R 上的函数f(x)满足f(x)f(x +2)=1，f(1)=3，f(2)=2，则f(2014)=( )A. 3B. 72C. 73D. 210. 设实数，则(2ax −1x2)6展开式中的常数项为( )A. −52π3B. −20π3C.15π416D. 15π411. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2asin B ，则A =( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°12. 已知点M 是抛物线x 2=4y 上的一动点，F 为抛物线的焦点，A 是圆C ：(x −1)2+(y −4)2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知sin(π4−x)=35，则sin2x =__________．14. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos C 的最小值是_______． 15. 已知F 点为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆于C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为______．16. 已知四面体ABCD 内接于球O ，且AB =BC =√2,AC =2，若四面体ABCD 的体积为2√33，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =1，∠BCD =120°，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF =1．(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=n2+n，n∈N∗(1)求{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{1(n+1)a n19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：万元)对年销售量y(单位：吨)的影响，对近六年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2，3，4，5，6)的数据作了初步统计，得到如下数据：年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016年宣传费x(万元) 38 48 58 68 78 88 年销售量y(吨) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5经电脑模拟发现年宣传费x(单位：万元)与年销售量y(单位：吨)之间近似满足关系式：y =a ⋅x b (a,b >0)，即lny =b ⋅lnx +lna ，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：∑(6i=1lnx i ⋅lny i ) ∑(6i=1lnx i ) ∑(6i=1lny i ) ∑(6i=1lnx i )275.3 24.6 18.3 101.4(Ⅰ)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；(Ⅱ)规定当产品的年销售量y(单位：吨)与年宣传费x(单位：万元)的比值在区间(e 9,e7)内时认为该年效益良好．现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好的数量为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．(其中e 为自然对数的底数，e ≈2.7183) 附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v =β⋅u +a 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β̂=ni=1i i )−n(u⋅v)∑u 2n −n(u)2，a ∧=v −β∧⋅u ．20. 已知点P 是圆M:(x −1)2+y 2=8上的动点，定点N(−1,0)，线段PN 的垂直平分线交PM 于点Q ．(Ⅰ)求点Q 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)过点N 作两条斜率之积为−12的直线l 1，l 2，l 1，l 2分别与轨迹E 交于A ，B 和C ，D ，记得到的四边形ACBD 的面积为S ，求S 的最大值．21. 已知函数f(x)=2xlnx−a 2xx+1(a ∈R)．(1)若函数f(x)的极小值为−2，求实数a 的值；(2)若关于x 的不等式f(x)≤(a +1)(x −1)+2ax+1对任意x >12恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为为参数)，以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程； (2)若点A 的极坐标为，M 是曲线C 上的一动点，求△MAO 面积的最大值．23.已知函数f(x)=|x−2|−|2x+1|．(1)解不等式f(x)≤2；(2)若∃b∈R，不等式|a+b|−|a−b|≥f(x)对∀x∈R恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查集合的并集，属于基础题．先求出N={x|−3<x<1}，再由并集的定义求解即可．解：∵N={x|x2+2x−3<0}={x|−3<x<1}，M={x|0<x<1}，∴M∪N={x|−3<x<1}．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的几何意义，根据条件转化为两点间的距离之和是解决本题的关键，属于基础题．根据复数的几何意义进行判断即可．解：设复数z对应的点为P，−i，i对应的点为A，B．则|z+i|+|z−i|=4的几何意义为|PA|+|PB|=4>|AB|，即P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，故选C．3.答案：C解析：本题考查平面向量投影的定义与计算问题，考查推理能力和计算能力，属于基础题．根据平面向量投影的定义，计算对应的投影即可．解：∵a⃗⋅(a⃗−3b⃗ )=0，∴a⃗2=3a⃗⋅b⃗ =36，∴a⃗⋅b⃗ =12．∴向量b⃗ 在向量a⃗上的投影为a⃗ ⋅b⃗=2．|a⃗ |故选C．解析：本题考查统计图表数据的分析，属于基础题．根据统计图表进行判断即可．解：从图中可以看出，旅游的总人数逐年增加，故A正确;2015，2016两年的旅游总人数之和明显大于10000万人次，超过2017年旅游总人数，故B错误;年份数与旅游的总人数成正相关，故C正确;从2014年起旅游总人数增长加快，故D正确;故选B．5.答案：D解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值，由已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，则必有f′(2)=0，且在x=2的左侧附近f′(x)>0，右侧附近f′(x)<0，据此即可求出c的值．解：∵f′(x)=(x−c)2+2x(x−c)=3x2−4cx+c2，且函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，∴f′(2)=0，即c2−8c+12=0，解得c=6或2．经检验c=2时，函数f(x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=6．故选D．6.答案：C解析：解：∵函数y=f(x)=sin2x的图象向右平移π4个单位得到：y=f(x−π4)=sin2(x−π4)=−cos2x．∴函数y=sin2x的图象向右平移π4个单位，所得函数图象对应的解析式为y=−cos2x．故选：C．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换即可求得答案．本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，明确平移单位是关键，属于中档题．解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出基本事件总数(m,n)的个数为N=5×3=15，利用列举法求出使得m+n=6包含的基本事件(m,n)有3个，由此能求出使得m+n=6的概率．解：从集合{1,2，3，4，5}中随机抽取一个数m，从集合{1,3，5}中随机抽取一个数n，基本事件总数(m,n)的个数为N=5×3=15，使得m+n=6包含的基本事件(m,n)有：(1,5)，(5,1)，(3,3)，共3个，∴使得m+n=6的概率为P=315=15．故选：A．8.答案：D解析：解：如图所示，把△ABC补成正方形EACB，则有AE//BC，AC//BE．∴∠SBE就是异面直线SB与AC所成的角．∵∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，∴SB=√SA2+AB2=√6∵AC⊥AE，AC⊥SA，SA∩AE=A，∴AC⊥面SAE，∴BE⊥面SAE，即BE⊥SE．在Rt△SEB中，cos∠SBE=BESB =√66．故选：D．如图所示，把△ABC补成正方形EACB，则有AE//BC，AC//BE.即∠SBE就是异面直线SB与AC所成的角．解直角三角形SBE即可得到结果．本题考查了空间异面直线的夹角的计算，属于中档题．解析：解：若f(x)⋅f(x +2)=1， 则f(x +4)=f(x)即函数f(x)是周期为4的周期函数， f(1)=3，f(2)=2， 又2014÷4=503…2 ∴f(2014)=f(2)=2， 故选：D ．由已知中定义在R 上的函数f(x)满足f(x)⋅f(x +2)=1，可得函数f(x)是周期为4的周期函数，根据f(2014)=f(2)得到答案．本题考查的知识点是函数的周期性，函数的值，其中分析出函数f(x)是周期为4的周期函数，是解答本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用以及定积分的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 先由积分的几何意义求出a ，再求出二项展开式的通项，让x 的指数为0即可求出其常数项． 解：因为实数a =∫√1−x 21−1dx ，表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆的上半圆的面积； 所以：a =12⋅π⋅12=π2． ∴(2ax −1x 2)6=(πx −1x 2)6； 其展开式的通项公式为：T r+1=C 6r (πx)6−r (−1x 2)r =(−1)r π6−r C 6r x 6−3r (r =0,1，2，…，6)， 令6−3r =0⇒r =2；∴(2ax −1x 2)6展开式中的常数项为：(−1)2π4C 62=15π4．故选：D ．11.答案：A解析：已知等式利用正弦定理化简，根据sin B不为0求出sin A的值，由A为锐角确定出A的度数即可．此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．把b=2asinB利用正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，A为锐角，∴sinA=1，2则A=30°．故选：A．12.答案：B解析：本题主要考查圆外一点到圆的最小距离，抛物线几何性质，以及抛物线的准线方程，三点共线及相关的运算问题．首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求出最小值．解：如图所示，利用抛物线的定义知：MP=MF当M、A、P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小即：CM⊥x轴CM所在的直线方程为：x=1与x2=4y建立方程组解得：)，|CM|=4，M(1,14点M到圆C的最小距离为：|CM|−|AC|=3抛物线的准线方程：y=−1，则|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4．故选B．13.答案：725解析：本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求，结合已知即可计算求值，属于基础题． 解：∵sin(π4−x)=35，∴sin2x =cos(π2−2x)=1−2sin 2(π4−x)=725．故答案为725．14.答案：√23解析：本题主要考查平面向量基本定理，数量积以及基本不等式，属于中档题． 根据面向量基本定理对式子整理变形，利用基本不等式即可求得最值． 解：依题，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 整理得：6CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即，即，当且仅当|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |时取等号． 故答案为√23．15.答案：√2解析：设F(c,0)，渐近线方程为y =ba x ，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b ，即为圆F 的半径，再由AF 垂直于x 轴，可得a =b ，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，以及直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．解：F(c,0)，渐近线方程为y=bax，可得F到渐近线的距离为d=bc√a2+b2=b，即圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b√c2a2−1=±b2a，∵A在圆F上，∴b2a=b，即a=b，c=√a2+b2=√2a，即离心率e=ca=√2，故答案为√2．16.答案：解析：本题考查球的表面积的求法，考查四面体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合思想，是中档题．确定△ABC外接圆直径为AC，由四面体ABCD中球心O恰好在侧棱DA上，V=13×S△ABC×ℎ=1 3×1×ℎ=2√33，可得D到面ABC的距离为2√3，即可得球半径R=12AD=12√(2√3)2+22=4×12=2即可．解：如下图所示，在三角形ABC中，因为AB2+BC2=AC2，所以△ABC为直角三角形，所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点O1，连OO1，根据垂径定理，可得平面ABC，球心O恰好在棱DA上，则O为DA的中点，因为O,O1为AD,AC的中点，OO1//DC，可知平面ABC，所以DC为四面体ABCD的高．所以13DC ×12×√2×√2=2√33，解得DC =2√3．所以AD =√(2√3)2+22=4，所以四面体ABCD 的外接球的半径为2， 表面积为4πR 2=4π×22=16π．17.答案：解析：(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB//CD ，AD =DC =CB =1，∠BCD =120°，∴AB =2． ∴BD 2=AB 2+AD 2−2AB ·AD ·cos 60°=3． ∴AB 2=AD 2+BD 2， ∴AD ⊥BD ，.∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD =BD ，DE ⊂平面BFED ，DE ⊥DB ，∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD =D ， ∴AD ⊥平面BFED ；(2)由(1)知，直线AD ，BD ，ED 两两垂直，故以D 为原点，直线DA ，DB ，DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令EP =λ(0≤λ≤√3)，则D(0,0，0)，A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,λ,1)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,λ−√3,1)．设n 1=(x,y ，z)为平面PAB 的法向量，由{n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{−x +√3y =0,(λ−√3)y +z =0,取y =1，则n 1=(√3,1，√3−λ)． ∵n 2=(0,1，0)是平面ADE 的一个法向量， ∴cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|=√3+1+(√3−λ)2×1=√(λ−√3)2+4．∵0≤λ≤√3，∴当λ=√3时，cos θ有最大值12， ∴θ的最小值为60°．解析：本题考查线面垂直的证明，考查角的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．(1)推导出AD ⊥BD ，DE ⊥DB ，从而DE ⊥平面ABCD ，进而DE ⊥AD ，由此能证明AD ⊥平面BFED; (2)分别以直线DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴的，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最小值．18.答案：解：(1)由S n =n 2+n ，得a 1=S 1=2；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(n 2+n)−[(n −1)2+(n −1)]=2n ． a 1=2适合上式， ∴a n =2n ；(2)设{1(n+1)a n}的前n 项和为T n ，由(1)得：1(n+1)a n=12×1n(n+1)=12(1n −1n+1)则T n =12(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=12(1−1n+1)=n2(n+1)．解析：(1)由已知数列的前n 项和求得首项，再由a n =S n −S n−1(n ≥2)求得数列通项公式； (2)把{a n }的通项公式代入数列{1(n+1)a n}，由裂项相消法求其前n 项和．本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．19.答案：解：(Ⅰ)对y =a ⋅x b ，(a >0,b >0)两边取对数，得lny =b ⋅lnx +lna ，令μi =lnx i ，v i =lny i ，得v =b ⋅μ+lna ， 由题所给的数据得： μ=24.66=4.1，v =18.36=3.05，∑(6i=1μi ⋅v i )=∑(6i=1lnx i ⋅lny i )=75.3， ∑(6i=1lnx i )2=101.4，∴β̂=ni=1i i )−n(μ⋅v)∑μ2n −n(μ)2=75.3−6×4.1×3.05101.4−6×4.12=12，α̂=v −β̂⋅μ， lna =v −b ⋅μ=3.05−12×4.1=1，得a =e ，∴y关于x的回归方程为y=e⋅√x．(Ⅱ)由(Ⅰ)中所求回归方程，得yx =√x∈(e9,e7)，则x∈(49,81)，∴x=58，68，78，∴ξ的可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C30C33C63=120，P(ξ=1)=C31C32C63=920，P(ξ=2)=C32C31C63=920，P(ξ=3)=C33C30C63=120，∴ξ的分布列为：E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：本题考查回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想，是中档题．(Ⅰ)对y=a⋅x b，(a>0,b>0)两边取对数，得lny=b⋅lnx+lna，令μi=lnx i，v i=lny i，得v= b⋅μ+lna，利用最小二乘法求出得a=e，由此能求出y关于x的回归方程．(Ⅱ)由题意得到ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．20.答案：解：(1)∵点Q是线段PN的垂直平分线上的点，∴|QN|=|QP|，∴|QM|+|QN|=|QP|+|QM|=|MP|=2√2，∴点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a=2√2,2c=2，∴a=√2，c=1，b=1，∴点Q的轨迹方程是x22+y2=1；(2)设其中一条直线AB的方程为y=k(x+1)代入椭圆方程，可得：(2k2+1)x2+4k2x+2k2−2=0,设A(x3,y3),B(x4,y4)，{x 3+x 4=−4k 22k 2+1x 3·x 4=2k 2−22k 2+1, |AB |=√1+k 2|x 3−x 4|=√1+k 2√(x 3+x 4)2−4x 3x 4=2√2(1+k 2)2k 2+1， 设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)，则CD 的方程为：y =−12k (x +1)，即x =−2ky −1， 代入椭圆方程可得：(4k 2+2)y 2+4ky −1=0， {y 1+y 2=−4k4k 2+2y 1y 2=−14k 2+2． |y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√2·√4k 2+12k 2+1， 设C ，D 到直线AB 的距离分别为d 1和d 2，则d 1+d 2=1122√k 2+1=|(12)(12)|√k 2+1=2122=√2√4k 2+12， ∴S =1|AB |(d 1+d 2)=2√k 2+1√4k 2+12 =2√4k 4+5k 2+14k 4+4k 2+1=2√1+k 24k 4+4k 2+1=2√1+14k 2+1k2+4≤2√98=3√22， 当4k 2=1k 2，即k 2=12时取“=”，∴S 的最大值为3√22．解析：本题主要考查与圆有关的轨迹问题，以及椭圆的定义与标准方程，与直线与椭圆的位置关系.难度较大．(1)首先利用线段垂直平分线的性质得到椭圆的定义，利用椭圆的定义求得方程即可；(2)首先利用弦长公式得到|AB|，然后利用点到直线距离公式得到d 1+d 2，再利用三角形面积公式和基本不等式即可求得结果．21.答案：解：(1)f′(x)=2x+2lnx+2−a 2(x+1)2，令g(x)=2x +2lnx +2−a 2， 则g(x)在(0,+o )上单调递增，且当x →0时，g(x)→−∞；当x →+∞，g(x)→+∞， 故存在x 0>0，使得g′(x 0)=0，即f′(x 0)=0．故而f(x)在(0,x 0)上递减，在(x 0,+∞)上递增，即x =x 0 是f(x)的极小值点， 则{2x 0+2lnx 0+2−a 2=02x 0lnx 0−a 2x 0x 0+1=−2，得{x 0=1a 2=4得a =±2． (2)原不等式等价为2xlnx −a 2x ≤(a +l)x 2+a −1， 也即2lnx −a 2≤(a +l)x +a−1x，令ℎ(x)=(a +1)x +a−1x−2lnx +a 2， 则ℎ′(x)=(a+1)x 2−2x−(a−1)x 2=(x−1)[(a+1)x+a−1]x ，显然a ≠−1.故由ℎ′(x)=0可得x 1=1−a1+a ，x 2=1，当a ≤−1时，x 1<0，故ℎ(x)在(12,1)上递增，在(1,+∞)上递减， 而当x →+∞时，ℎ(x)→−∞，故不成立． 当a >−1时，由ℎ(1)=2a +a 2≥0可得a ≥0； ①若a =0，ℎ′(x)=(x−1)2x 2>0，即ℎ(x)在(12,+∞)上递增．∵ℎ(12)=12−2+ln2=2ln2−32<0，故不成立， ②若0<a <13，则12<x 1<1，此时ℎ(x)在(12,x 1)上递增，(x 1,1)上递减，(1,+∞)上递增． ∴{ℎ(12)≥0ℎ(1)≥0，⇒a ≥√49−32ln2−54，∴√49−32ln2−54≤a <13，③若a ≥13，则x 1≤12，此时ℎ(x)在(12,1)上递减，在(1,+∞)上递增， ∴ℎ(1)=2a +a 2≥0， 综上所述，a ≥√49−32ln2−54．解析：(1)求函数的导数，利用函数的极小值为−2，建立不等式组进行求解即可(2)将不等式恒成立进行转化，构造新函数求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可． 本题主要考查导数的综合应用，利用函数极值和导数的关系以及，构造函数，利用导数证明不等式问题，综合性较强，难度较大．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为为参数)，∴消去参数α得：(x −2)2+y 2=4， 即x 2+y 2−4x =0． 转换为极坐标方程为，化简为，所以曲线C 的极坐标方程为； (2)由题意，点A 的极坐标为， 则所以A 的直角坐标为(1,√3)， 所以点O 、A 在圆C 上，过圆心C 作OA 的垂线交圆C 于P 、Q 两点，交OA 于点T ，如图所示，则，所以S △OAM ≤S △OAP =12|OA|⋅|PT|=12|OA|⋅(|CT|+|CP|) =12×2×(√3+2)=√3+2，所以△MAO 面积的最大值为√3+2．解析：本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．(1)直接利用转换关系，把参数方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程，即可得出结果；(2)利用点在圆上的位置关系，即可求出最大值．23.答案：解：(1)f(x)={x +3,x ≤−121−3x,−12<x <2−x −3,x ≥2，原不等式等价于：{x ≤−12x +3≤2或{−12<x <21−3x ≤2或{x ≥2−x −3≤2, 解得：x ≤−1，或−13≤x <2，或x ≥2， 综上所述，不等式解集是：{x|x ≤−1或x ≥−13}；(2)∃b ∈R ，|a +b|−|a −b|≥f(x)恒成立等价于(|a +b|−|a −b|)max ≥f(x)max ． 因为|a +b|−|a −b|≤|(a +b)+(a −b)|=2|a|，所以|a +b|−|a −b|的最大值为2|a|；x ≤−12时，f(x)≤52； −12<x <2时，−5<f(x)<52；x ≥2时，f(x)≤−5，所以f(x)max =52，所以由原不等式恒成立， 得：2|a|≥52，解得：a ≥54或a ≤−54．解析：本题考查绝对值不等式的应用，函数恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力． (1)化简函数为分段函数，然后转化不等式求解即可．(2))∃b ∈R ，|a +b|−|a −b|≥f(x)恒成立等价于(|a +b|−|a −b|)max ≥f(x)max .利用函数的最值转化求解即可．。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学一模试卷(理科)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.）1．（5分）若集合{1M =，3}，{1N =，3，5}，则满足M X N =U 的集合X 的个数为() A ．1B ．2C ．3D ．42．（5分）复数2(1)(1)()z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则(z = ) A ．iB ．2i -C ．2iD ．i -3．（5分）下列4个命题中正确命题的个数是( )（1）对于命题0:p x R ∃∈，使得210x -„，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->； （2）已知2~(2,)X N σ，(2)0.5P x >=；（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆ23y x =-； （4）“1x …”是“12x x+…”的充分不必要条件．A ．1B ．2C ．3D ．44．（5分）公差不为零的等差数列{}n a 中，12513a a a ++=，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则数列{}n a 的公差等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）从装有颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65 C ．45 D ．25 6．（5分）如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为( )A ．23B ．25C ．16D ．347．（5分）已知函数2()3sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若12()()9g x g x =g ，则12||x x -的值可能为( ) A ．3π B ．2π C ．34π D ．54π 8．（5分）数列{}n a ，满足对任意的n N +∈，均有12n n n a a a ++++为定值．若72a =，93a =，984a =，则数列{}n a 的前100项的和100(S = )A ．132B ．299C ．68D ．999．（5分）在直角坐标系中，已知(1,0)A ，(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则正实数m 的最小值是( ) A ．13B ．3C ．3 D ．310．（5分）三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )A 3B 6C 3D 311．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，过原点作一条倾斜角为3π直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A ．21+B ．31+C ．2D ．512．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若(21)(1)a e f a f a ++…，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，2]3B ．2[,0]3-C ．[0，)+∞D ．(-∞，0]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知函数()(f x axlnx bx a =-，)b R ∈在点(e ，f （e ）)处的切线方程为3y x e =-，则a b += ．14．（5分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且2()n n n S a a t =+，*n N ∈，则10S = ．15．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若60NRF ∠=︒，则||FR 等于 ． 16．（5分）已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB CD a ==，5AC AD BC BD ====，则a = ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）如图，在ABC ∆中，AB BC >，120ABC ∠=︒，3AB =，ABC ∠的角平分线与AC 交于点D ，1BD =．（Ⅰ）求sin A ； （Ⅱ）求BCD ∆的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，H 为棱AB 的中点，E 为棱DC 上任意一点，且不与D 点、C 点重合．2AB =，1AD PA ==，2PH（Ⅰ）求证：平面APE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）是否存在点E 使得平面APE 与平面PHC 6？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （Ⅰ）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（Ⅱ）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(1,0)A ，(0,1)B ，点P 满足22OA OP+=u u u r u u r u u u r （其中O 为坐标原点），点B ，P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于M ，N 两点，且与圆221x y +=相切．MNF ∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数1()lnx ax f x x++=． （1）若对任意0x >，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，212()x x x <，证明：2212212x x x x +>． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>；直线l 的参数方程为22(2x tt y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若点P 的极坐标为(2,)π，||||2PM PN +=a 的值．。
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤1}B. {x|x≥−1}C. {x|x>2}D. {x|1≤x<2}2.已知复数z满足(z−1)i=1+i，则z=()．A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i3.若f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，则下列各式成立的是()A. f(−2)>f(0)>f(1)B. f(−2)>f(1)>f(0)C. f(1)>f(0)>f(−2)D. f(1)>f(−2)>f(0)4.等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a3+a9=()A. 8B. 16C. 24D. 325.如图是2020年1月到10月的某公司利润(单位：千元)的折线图，利润在35千元以下为亏损，在35∼75千元为盈利，超过75千元可投资扩大生产，则下列说法错误的是()A. 这10个月中利润最低的是1月份B. 从1月份到6月份利润逐渐升高C. 这10个月中有2个月可投资扩大生产D. 这10个月中利润的中位数是436.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是()A. (6,6√2)或(6,−6√2)B. (4,4√3)或(4,−4√3)C. (3,6)或(3,−6)D. (9,6√3)或(9,−6√3)7.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数f(x)=−sin(ωx +φ)(|φ|<π,ω>0)的部分图象如图所示，则φ=( )A. π3 B. −π3 C. −2π3 D. π3或−2π39. 已知数列{a n }的前项和S n =2n 2+1,n ∈N ∗，则a 5−a 1=( )A. 13B. 14C. 15D. 1610. 已知m >2，n >0，m +n =3，则1m−2+1n 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 下列命题正确的是( )①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合； ②若③如果直线a,b 和平面α满足④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β, 则α //β.A. ①③B. ②④C. ③D. ① ④12. 已知P (AB )=310，P (A )=35，则P (B|A )等于( )A. 950B. 12C. 910D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为________．14. 设双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，则其渐近线的方程为______．15. 已知函数f(x)={log 3x,x >02x,x ≤0，则f(f(19))=_________．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角A−D1C1−C的值为_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=cosxcos(x−π3)−14,x∈R．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，求a的值．18.在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2正方形．(Ⅰ)求侧视图的面积；(Ⅱ)求直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．21. 已知函数f (x )=2x −sinx −cosx ．(Ⅰ)求曲线y =f (x )在x =0处的切线方程；(Ⅱ)当x ∈[−π,π]时，求函数f (x )的值域．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P(2+cosα,sinα)(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． (1)求点P 的轨迹C 的方程及直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23.已知函数f(x)=|2x+1|(x∈R)．(1)解不等式f(x)≤1；(2)设函数g(x)=f(x)+f(x−1)的最小值为m，且a+b=m(a,b>0)，求4a +1b的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−1≤x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：本题考查复数的四则运算，属于基础题．根据复数的四则运算计算即可．+1=2−i，由已知得z=1+ii故选C．3.答案：B解析：∵f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，∵f(−2)=f(2))，且2>1>0，∴f(2)> f(1)>f(0)，即f(−2)>f(1)>f(0)．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的求和，属于基础题．根据等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可．解：∵等差数列{a n}的前11项和S11=88，=88，∴S11=11(a1+a11)2∴a1+a11=16，根据等差数列性质：a3+a9=a1+a11=16．故选B．5.答案：B解析：本题主要考查了统计中折线图的应用，属于基础题．根据折线图中的数据判断A、B、C；由给出的数值和中位数的概念判断D．解：根据折线图知，这10个月中利润最低的是1月份的30千元，所以A正确；从1月到6月的利润是先升高后降低，再升高，所以B错误；这10个月中第6个月和第7个月利润超过75千元，可投资扩大生产，所以C正确；×(41+45)=这10个月中利润从小到大排列为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，其中中位数是1243，所以D正确．故选B．6.答案：A解析：解：∵抛物线方程为y2=12x，∴抛物线的焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3．设所求点为P(m,n)，∵P到焦点F的距离为9，P到准线的距离为m+3，∴根据抛物线的定义，得m+3=9，解得m=6，将点P(6,n)代入抛物线方程，得n2=12×6=72，解之得n=±6√2，∴满足条件的点的坐标为(6,±6√2).故选A．求出抛物线焦点为F(3,0)，准线方程为x=−3.设所求点为P(m,n)，根据题意利用抛物线的定义建立关于m的等式，解出m的值后利用抛物线的方程求出n的值，即可得到满足条件的点P的坐标．本题求抛物线上满足指定条件的点P的坐标，着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．8.答案：C解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．由函数f(x)的部分图象，即可求得T、ω和φ的值．解：由函数f(x)=−sin(ωx+φ)的部分图象知，T=4×(7π12−π3)=π，又ω>0，∴ω=2πT=2，当x=7π12时，f(7π12)=−sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=π2+2kπ，，解得φ=−2π3+2kπ，，又|φ|<π，∴φ=−2π3．故选C．9.答案：C解析：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2的灵活运用． 根据数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+1(n ∈N ∗)，由a n ={S1,n =1S n −S n−1,n ≥2能够求出a 5和a 1的值．解：a 5=S 5−S 4=(2×25+1)−(2×16+1)=18． a 1=S 1=3，所以a 5−a 1=18−3=15 故选C ．10.答案：B解析：本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 利用“乘1法”进行转化，然后利用基本不等式求最值． 解：因为m >2，n >0，m +n =3， 所以m −2+n =1，m −2>0，则1m−2+1n =(1m−2+1n )(m −2+n)=2+nm−2+m−2n ≥2+2=4，当且仅当nm−2=m−2n且m +n =3，即m =52，n =12时取等号，故选：B ．11.答案：C解析：本题主要考查空间平面与直线的位置关系和命题的真假判断，属于基础题． 解：①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；故错误； ②若α与β相交时，a ，b 可能相交，可能平行，可能重合，可能异面，故错误； ③如果直线a,b 和平面α，满足正确；④若a //α,a //β,且a ⊄α,a ⊄β,则α //β或相交；故错误； 故选C ．12.答案：B解析：本题主要考查了条件概率的求法，属于基础题． 利用P(B|A)=P(AB)P(A)进行求解即可．解：P(AB)=310，P(A)=35， 则P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12． 故选B ．13.答案：10解析：本题考查线性规划求最值，属较易题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：作出可行域，化目标函数z =2x +y 为y =−2x +z ，当直线z =2x +y 经过可行域内的点A 时，z 取得最大值． 由{x +y =4y =−2解得{x =6y =−2，即A(6,−2)，故z max =2×6−2=10． 故答案为10．14.答案：x ±2√2y =0解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题． 利用双曲线的离心率，先求出a ，b 的关系式，然后求渐近线方程． 解：双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率是3，可得 ca =3， 则 ab =√a 2c 2−a 2=√1c 2a 2−1=12√2． 则其渐近线的方程为y =±ab x 即x ±2√2y =0． 故答案为：x ±2√2y =0．15.答案：14解析：本题考查了分段函数和函数求值，先求内函数则f(19)的值，然后再依次求出其外函数f[f(19)]的函数值，注意函数自变量的取值范围，属于基础题． 解：∵19>0，，由已知得：；∵−2<0， ∴f(x)=2x ,x ≤0； ∴f[f(19)]=2−2=14． 故答案为14．16.答案：解析：本题主要考查了二面角，考查了利用空间向量求夹角问题，属于基础题； 如图，连接AD 1，BC 1，得到∠BC 1C 为二面角A −D 1C 1−C 的平面角，即可得解． 解：如图，连接AD 1，BC 1，因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，，C1C,C1B⊂平面BCC1B1，所以D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，则∠BC1C为二面角A−D1C1−C的平面角，等于；故答案为．17.答案：解：，由，解得，所以函数f(x)的单调递增区间．，又因为A∈(0,π)，所以，所以，所以，又，，所以b=√32由余弦定理得，所以a=√7．2解析：本题主要考查两角和与差的三角函数公式，余弦定理，属于中档题．(1)利用两角和与差的三角函数公式化简得，再根据正弦函数性质即可；(2)由，解得，再根据，解得b ，再根据余弦定理即可．18.答案：解：(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，∵x −=10×0.15+20×0.25+30×0.3+40×0.2+50×0.1=28.5， ∴估计三镇基层干部平均每人走访28.5家贫困户．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为0.3+0.2+0.1=35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P8125361255412527125∴数学期望EX =3×35=95．解析：本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了计算能力，属于中档题．(1)利用分层抽样可得：这40人中有40×80200=16人来自C 镇，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，进而得出x −．(2)由频率直方图可得：从三镇的所有基层干部中随机选取1人，其工作出色的概率为35，记这3人中工作出色的人数为X ，则X ～B(3,35)，即可得出P(X =k)=C 3k(35)k (25)3−k ，k =0，1，2，3，及其数学期望EX ．19.答案：解：(Ⅰ)∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1， ∴等边三角形的高为√3，由题意知左视图是一个高为2，宽为√3的矩形，∴左视图的面积为2√3；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．∵AO =√3，AC 1=2√2， ∴sin∠AC 1O =AO AC 1=√32√2=√64．解析：(Ⅰ)分析得等边三角形的高，那么侧视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解；(Ⅱ)取BC 的中点O ，连接AO ，OC 1，则∠AC 1O 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角．本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．20.答案：解：(Ⅰ)由已知可得b =3，记半焦距为c ，由|OF|=|OA|可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18， ∴椭圆的方程为 x 218+y 29=1，(Ⅱ)：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3， 由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得(2k 2+1)x 2−12kx =0，解得x =0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为(12k2k 2+1,6k 2−32k 2+1)，∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,−3)， ∴点P 的坐标为(6 k2k 2+1,−32k 2+1)，由3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ，∴k ⋅32k 2−6k+1=−1， 整理可得2k 2−3k +1=0， 解得k =12或k =1，∴直线AB 的方程为y =12x −3或y =x −3．解析：本题中考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．(Ⅰ)根据题意可得c =b =3，由a 2=b 2+c 2，可得a 2=18，即可求出椭圆方程；(Ⅱ)根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y =kx −3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．21.答案：解：(Ⅰ)由f (x )=2x −sinx −cosx 得f′(x )=2−cosx +sinx ，所以，f (0)=−1，f′(0)=1．所以曲线y =f (x )在x =0处的切线方程为y +1=x ，即y =x −1； (Ⅱ)因为f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0， 所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，故有f (−π)≤f (x )≤f (π)，即1−2π≤f (x )≤1+2π． 因此，当x ∈[−π,π]时，函数y =f (x )的值域为[1−2π,1+2π]．解析：本题考查了导数的几何意义和利用导数研究闭区间上函数的最值，是基础题． (Ⅰ)先求导，代入切点横坐标可得切线斜率，即可得出切线方程；(Ⅱ)由f′(x )=2+√2sin (x −π4)>0，所以函数y =f (x )在[−π,π]为增函数，可得函数f (x )的值域． 22.答案：解：(1)设点P(x,y)，所以{x =2+cosαy =sinα,(α为参数)， 消去参数，得(x −2)2+y 2=1，即P点的轨迹C的方程为(x−2)2+y2=1直线l：ρsin(θ+π4)=2√2，展开得：ρcosθ+ρsinθ=4⇒x+y=4，所以直线l的直角坐标方程为x+y−4=0．(2)由(1)，可知P点的轨迹C是圆心为(2,0)，半径为1的圆，则圆心C到直线l的距离为d=√2=√2>r=1．所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为√2+1．解析：(1)利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：(1)f(x)≤1，即|2x+1|≤1,−1≤2x+1≤1，解得x∈[−1,0]，∴不等式f(x)≤1的解集为[−1,0]；(2)g(x)=f(x)+f(x−1)=|2x+1|+|2x−1|≥|2x+1−(2x−1)|=2，∴a+b=2(a,b>0)，∴4a +1b=12(a+b)(4a+1b)=12(5+4ba+ab)≥12(5+2√4ba⋅ab)=92，当且仅当4ba =ab(a,b>0)，即a=2b，又a+b=2，即a=43,b=23时等号成立，综上：4a +1b的范围为[92,+∞)．解析：本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式以及基本不等式求最值，属中档题．(1)去掉绝对值可解得；(2)先根据绝对值不等式求出g(x)的最小值，然后根据基本不等式求出最小值，从而得值域．。
高考数学模拟考试(理)试卷试题含答案解析
大连市第二十四中学高考模拟考试数学(理科)试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ） A.{}0,3 B.{}2,0,3 C.{}1,0,3 D.{}2,1,0,3 2．若复数(21a -)＋(1a -)i (i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝ ( ) A ．±1 B ．－1 C ．0 D ．1 3．有下列关于三角函数的命题： 1:,()2P x x k k ∀∈≠+∈R Z ππ，若tan 0x >，则sin 20x >；23:sin()2P y x π=-函数与函数cos y x =的图象相同；300:,2cos 3P x x ∃∈=R ；4:|cos |P y x =函数()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（ ）A ．1P ，4PB ．2P ，4PC ．2P ，3PD ．1P ，2P4．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 65．已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C. 76π D. 2π 开始p ＝1，n ＝1n ＝n ＋1 p >20 ?输出n 结束 (第4题图)是 否p=p+2n -16．某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：附：22112212211212()n n n n n K n n n n ++++-=，则下列结论正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”B ．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到‘光盘’与性别无关”7.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k 的值为（ ） A. 1 B.－1 C. 2 D. --2 8. 已知菱形ABCD 的边长为3，060B，沿对角线AD 折成一个四面体，使得平面ACD 平面ABD ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）A. 15B.154C. D. 69．定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足'()()f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ）A ．3(2)2(3)f f <B ．3(4)4(3)f f <C ．2(3)3(4)f f <D ．(2)2(1)f f <10. 已知12F F 、分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A.B.)+∞C.2)D. (2,)+∞11. 如图，长方形的长，宽，线段的长度为1，端点在长方形的四边上滑动，当沿长方形的四边滑动一周时，线段的中点所形成的轨迹为，记的周长与围成的面积数值的差为，则函数的图象大致为（ ）12.已知函数1ln 1)(-+=x x x f ,*)()(N k xkx g ∈=，若对任意的1c > ,存在实数b a ,满足0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅰ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷(理科) (1)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合A ＝{x|x ≤1}，则满足A ∩B ＝A 的集合B 可以是（ ） A.{x|x ≤2} B.{x|x ≤0} C.{x|x ≥0} D.{x|x ≥2}2. 设复数z 满足|z −i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x, y)，则（ ）A.(x −1)2+y 2＝1B.(x +1)2+y 2＝1C.x 2+(y −1)2＝1D.x 2+(y +1)2＝13. 等差数列x ，3x +3，6x +6，…的第四项等于（ ） A.9 B.0 C.18 D.124. 2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A.国防大学，博士B.国防大学，研究生C.国防科技大学，研究生D.军事科学院，学士5. 下列说法正确的是（ ）A.“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件B.a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件C.命题p ：“∀x ∈R ，sin x +cos x ≤√2”，则￢p 是真命题D.命题“∃x ∈R 使得x 2+2x +3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3>0”6. 已知平面向量a →=(3, 0)，a →+2b →=(1, 2√3)，则a →与b →的夹角等于（ ） A.π3 B.π6C.5π6D.2π37. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A.7.5%B.6.25%C.31.25%D.10.25%8. 若抛物线y 2＝4x 通径为MN （其中M 是第一象限点），当点P(cos α, sin α)是OM 上的点时，则cos (2α+π2)的值等于（ ） A.−45 B.45C.43D.−439. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60∘时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A.√2 B.√3C.2D.2√3310. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE(A 1∉平面ABCD)，若M 、O 分别为线段A 1C 、DE 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A.异面直线BM 与A 1E 所成角是定值B.与平面A 1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直C.一定存在某个位置，使DE ⊥MOD.三棱锥A 1−ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值11. 定义在(1, +∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x ∈(1, +∞)恒有f(2x)=2f(x)成立； (2)当x ∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；记函数g(x)=f(x)−k(x −1)，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.[43, 2]B.[1, 2)C.(43, 2)D.[43, 2)12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x 2+y 2＝1+|x|y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上存在到原点的距离超过√2的点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中所有正确结论的个数是（ ）A.1B.0C.2D.3二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.在(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x 5的项的系数是________．函数y =2sin (π6−2x),x ∈[−π,0]的单调递增区间为________．已知函数f(x)＝x(x 5−16x 2+x −4)，且f(x)≥f(x 0)对x ∈R 恒成立，则曲线y =f(x)x在点(x 0, f(x 0)x 0)处的切线的斜率为________．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c cos B =a −12b 且c =√3． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求ab 的取值范围．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60∘，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． (Ⅰ)求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； (Ⅱ)求二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值．2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）是由国际排联(FIVB)举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKASA −V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布N(270, 52)．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p <1)． （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260, 270)内的排球个数（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p 0，并以p 0作为p 的值，解决下列问题．(i)在第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列；(ii)已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．参考数据：X ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)≈0.9973．设函数f(x)=x −1x ，g(x)＝t ln x(t ∈R)，（1）讨论函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)的单调区间；（2）若当x∈(0, 1)时f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求正实数t的取值范围．已知动直线l与椭圆C:x26+y24=1交于P(x1, y1)，Q(x2, y2)两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=√6，其中O为坐标原点．(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值；(Ⅱ)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值；（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−ty=t1−t2（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．选做题已知函数f(x)＝x|x−a|，a∈R．（1）若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；（2）若a>0，对∀x，y∈(−∞, a]，都有不等式f(x)≤|y+54|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】进行简根的合情亮理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】抽象函表及声应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）. 【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦函射的单调长【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法平面因平面京直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正态分来的密稳曲线离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用直线与椭常画位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分. 【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答选做题【答案】此题暂无答案【考点】不等式三成立的最题绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学理科试题附答案
2020年大连市高三第二次模拟考试数 学（理科）本试卷满分150分，共6页，答卷时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则A B =U （ ） A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,42. 已知,a b R ∈，i 为虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +为（ ） A. 54i -B. 54i +C. 34i -D. 34i +3. 双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ） A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±4. 瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 设函数21log (2),1(),1xx x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（ ） A. 3B. 6C. 9D. 126. 已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列，1516a a ⋅=，3412a a +=，则7a =（ ） A. 16B. 32C. 64D. 2567. 已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是（ ）A. ()sin x x y e e -=+ B. ()sin x x y e e --= C. ()cos x x y e e --=D. ()cos x x y e e -+=8. 已知关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料：由上表可得线性回归方程$0.08y bx=+$，若规定当维修费用12y >时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 109. 已知点P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为-1，则点P 坐标为（ ）A. ()1,2B. ()1,2-C. (2,D. (2,-10. 下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④11. 已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若对,243x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，不等式1()2f x >恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A. ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，AB =120ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积（ ）A. 20πB. 32πC. 64πD. 80π本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 设向量()2,4a =r 与向量(),6b x =r共线，则实数x =______.14. 已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为30，则a 的值为______.15. 数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=，则{}n a 的前8项和为______.16. 已知函数()ln 2exf x x =-，则()(2)f x f x +-值为______；若19119()10k k f a b =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，则22a b +的最小值为______.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若1a =，b =ABC △的面积.18. 如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA AB ⊥，//CD AB ，且24PA CD AB ===.将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P DC B --，连接PA 、PB 、BD .。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，3，，则满足的集合X的个数为A. 1B. 2C. 3D. 42.复数为纯虚数，则A. iB.C. 2iD.3.下列4个命题中正确命题的个数是对于命题p：，使得，则：都有已知，已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，则回归直线方程为“”是“”的充分不必要条件．A. 1B. 2C. 3D. 44.公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的公差等于A. 1B. 2C. 3D. 45.从装有颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知，则A. B. C. D.6.如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为A.B.C.D.7.已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为A. B. C. D.8.数列，满足对任意的，均有为定值．若，，，则数列的前100项的和A. 132B. 299C. 68D. 999.在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点P，使得，则正实数m的最小值是A. B. 3 C. D.10.三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.11.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为A. B. C. 2 D.12.已知函数是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数在点处的切线方程为，则______．14.设为数列的前n项和，若，，且，，则______．15.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若，则等于______．16.已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为的球O的表面上，且，，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在中，，，，的角平分线与AC交于点D，．Ⅰ求sin A；Ⅱ求的面积．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面底面ABCD，H为棱AB的中点，E为棱DC上任意一点，且不与D点、C点重合．，，．Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．19.某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球红、黄、黑、白顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．Ⅰ求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；Ⅱ记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．20.已知椭圆，点，，点P满足其中O为坐标原点，点B，P在椭圆C上．求椭圆C的方程；设椭圆的右焦点为F，若不经过点F的直线l：与椭圆C交于M，N两点，且与圆相切．的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．21.已知函数．若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；若函数有两个不同的零点，，证明：．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为为参数直线l与曲线C分别交于M，N两点．Ⅰ写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；Ⅱ若点P的极坐标为，，求a的值．23.已知．当时，求不等式的解集；若时不等式成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题．根据并集的定义，结合题意写出对应集合X，即可得出结论．【解答】解：集合，3，，若，则集合或或或3，，共4个．故选：D．2.答案：B解析：解：为纯虚数，，解得．．故选：B．由实部为0且虚部不为0求得a值，则z可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：对于命题p：，使得，则：都有，正确；已知，，正确；已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为，则回归直线方程为，正确；“”可得“”“”不能得出“”，比如，则“”是“”的充分不必要条件，正确．故选：D．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.答案：B解析：解：设数列的公差为d则、、成等比数列联立求得故选B设出数列的公差，利用，求得和d关系同时利用、、成等比数列求得和d的另一关系式，联立求得d．本题主要考查了等差数列的通项公式．考查了数列的基础知识的应用．5.答案：B解析：解：由题意知，，，解得，，．故选：B．由题意知，，由，知，由此能求出．本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．6.答案：C解析：【分析】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，属于中档题．由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值．【解答】解：设，由题意及图，，又，所以，，又，所以，解得，，故选C．7.答案：B解析：解：函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数的图象，若，则，；解得，；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为T的整数倍，且．故选：B．化函数为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数的解析式，利用求得、满足的条件，再求的可能取值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移与变换问题，是基础题．8.答案：B解析：解：对任意的，均有为定值，，故，是以3为周期的数列，故，，，．故选：B．对任意的，均有为定值，可得，，于是是以3为周期的数列，即可得出．本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：设，由得化简得，，解得或舍，易知时，．故m的最小值为．故选：D．设，由结合两点间的距离公式，得到关于y的一元二次方程，利用判别式可解出m的范围，取其最小的正值即可．本题考查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，考查空间向量基本定理，向量的数量积公式及应用，考查运算求解能力．先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可．【解答】解：设，，，棱长为1，则，，，，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为．故选B．11.答案：B解析：解：设直线方程为，联立双曲线方程可得：，则，，可得，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，可得，即有为等边三角形，可得，，化为，解得，由，可得，则．故选：B．设直线方程为，联立双曲线方程，可得Q的坐标，由题意，即有为等边三角形，可得，再由a，b，c和e的关系式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查直径所对的圆周角为直角，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，解答本题的关键是偶函数对称性的灵活应用．由已知可得，，构造函数，则，根据时，可得函数在上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，从而可求解．【解答】解：，，令，则，当时，，即函数在上单调递增根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，，，，，解可得，，故选：B．13.答案：0解析：解：在点处的切线方程为，，代入得又，联立解得：，．．故答案为：0．根据切点是公共点和切点处的导数是切线的斜率，列出方程组即可．本题考查了利用导数求切线方程的基本思路，抓住切点满足的两个条件列出方程组是关键．属于基础题．14.答案：55解析：解：由题意，当时，，，，解得．当时，由，可得，两式相减，可得，整理，得，，，即，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，．故答案为：55．本题在当时将代入表达式计算出t的值，再在时运用公式代入计算，并化简整理可得到，即可判别出数列是以1为首项，1为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可计算出的值．本题主要考查等差数列的判别，以及等差数列求和公式的应用．考查了转化与化归思想，等差数列的基础知识的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．15.答案：2解析：解：如图所示：连接MF，QF，的焦点为F，准线为l，P为C上一点，，N分别为PQ，PF的中点，，垂直l于点Q，，，，为等边三角形，，为HR的中点，，故答案为：2．根据题意画出图形，根据题意可得为等边三角形，继而可得F为HR的中点，问题得以解决．本题考查了抛物线的简单性质，以及等边三角形的性质，属于中档题．16.答案：解析：解：由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示：设，，，则，又，可得，．故答案为：．由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，设出过一个顶点的三条棱长，由已知求出三条棱长，则a可求．本题考查球的表面积与体积，考查数学补形思想方法，是中档题．17.答案：解：Ⅰ在中，由余弦定理得，所以；分由正弦定理得，所以；分Ⅱ由Ⅰ可知；分在中，；分在中，由正弦定理得，所以；分所以的面积为分解析：Ⅰ利用余弦定理和正弦定理即可求得sin A的值；Ⅱ由三角恒等变换和正弦定理以及三角形的面积公式求得的面积．本题考查了解三角形的知识与应用问题，是中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：，H为AB中点，，又，，则，又侧面底面ABCD，侧面底面，平面ABCD，又PA在平面APE内，平面平面ABCD；Ⅱ由Ⅰ可知，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，1，，2，，假设存在点y，满足题意，则，设平面APE的一个法向量为，则，设，则，设平面PHC的一个法向量为，则，设，则，平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为，，，即存在点E为CD的中点，使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为．解析：Ⅰ先由勾股定理可得，进而根据面面垂直的性质定理得平面ABCD，由此可证平面平面ABCD；Ⅱ以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，假设存在满足条件的E，求出各点的坐标，再求出平面APE与平面PHC的法向量，利用题设条件可建立关于y的方程，解出后即可作出结论．本题考查面面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量解决空间角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题．19.答案：解：名顾客摸球2次摸奖停止，说明了第一次是从红、黄、白中摸一球，第二次摸的是黑球．名顾客摸球2次摸奖停止的概率．Ⅱ的可能取值为：0，10，20，30，40．，，，，，随机变量X的分布列为：X 0 10 20 30 40P数学期望，解析：名顾客摸球2次摸奖停止，说明了第一次是从红、黄、白中摸一球，第二次摸的是黑球．即可得出1名顾客摸球2次摸奖停止的概率P．Ⅱ的可能取值为：0，10，20，30，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出分布列，进而得出数学期望．本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：设，因为，即，则，，即，因为B，P均在C上，代入得，解得，，所以椭圆C的方程为；由得，，，作出示意图，设切点为Q，，，则，同理，即，，所以，又，则．的周长，所以周长为定值．解析：设，根据条件可求出P的坐标，再利用B，P在椭圆上，代入椭圆方程求出a，b 即可，设，，运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出，，再利用焦半径公式表示出，，进而求出周长为定值．本题综合考查椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、勾股定理、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查推理能力和计算能力，属于中档题．21.答案：解：．，在上递增，上递减，，，；证明：由知，两个不同零点，，若，则，设，则当时，在上递增，，，，，，若，可知，显然成立，又，同理可得，以上两式相加得：，故：．解析：求出导函数，根据导函数判断函数的单调性，得出函数的最值，进而求出a的范围；求出导函数，根据极值点判断函数的零点位置，对零点分类讨论，构造函数，利用放缩法，均值定理证明结论成立．本题考查了导函数的应用，最值问题的转化思想，难点是对参数的分类讨论和均值定理的应用．22.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为，，则，化简得，曲线C的直角坐标方程，直线l的参数方程为，，即直线l的普通方程为；Ⅱ将化为直角坐标为，将直线l的参数方程代入，化简并整理得，直线l与曲线C交于M，N两点，，即恒成立，由根与系数的关系得，在直线l上，，．解析：Ⅰ由得，由此能求出曲线C的直角坐标方程，消去参数t能求出直线l的普通方程；Ⅱ将直线的参数方程代入，化简并整理后，利用根与系数的关系可得，而注意点P在直线l上，由此根据题意，可建立关于a的方程，解出即可．本题主要考查极坐标方程，参数方程与普通方程之间的转换，考查参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．23.答案：解：当时，，由，或，解得，故不等式的解集为，当时不等式成立，，即，即，，，，，，，，故a的取值范围为．解析：去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，当时不等式成立，转化为即，即，转化为，且，即可求出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。
2020届辽宁省大连二十四中高三第一次模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届辽宁省大连二十四中高三第一次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题（共12小题）.1.若集合M ＝{1,3},N ＝{1,3,5},则满足M∪X＝N 的集合X 的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】X 可以是{}{}{}{}5,1,5,3,5,1,3,5共4个,选D.2.复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数,则z =( ) A. iB. ﹣2iC. 2iD. ﹣i【答案】B【解析】 复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数,则实部为0,虚部不为0,求出a ,即得z .【详解】∵()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数,∴21010a a ⎧-=⎨-≠⎩,解得1a =-. 2z i ∴=-.故选：B .3.下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤,则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ,则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为ˆ23y x =-；（4）“1x ≥”是“12x x +≥”的充分不必要条件. A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 由题意,（1）中,根据全称命题与存在性命题的关系,即可判定是正确的；（2）中,根据正态分布曲线的性质,即可判定是正确的；（3）中,由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程,即可判定是正确；（4）中,基本不等式和充要条件的判定方法,即可判定．【详解】由题意,（1）中,根据全称命题与存在性命题的关系,可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤,则:p x R ⌝∀∈都有210x ->,是错误的；（2）中,已知()22,X N σ~,正态分布曲线的性质,可知其对称轴的方程为2x =,所以(2)0.5P X >=是正确的；（3）中,回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）,由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程,可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中,当1x ≥时,可得12x x +≥=成立,当12x x +≥时,只需满足0x >,所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 4.公差不为零的等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 5=13,且a 1、a 2、a 5成等比数列,则数列{a n }的公差等于( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=,125,,a a a 成等比数列,列关于1,a d 的方程组,即求公差d .【详解】设数列的公差为,0d d ≠,125113,3513a a a a d ++=∴+=①. 125,,a a a 成等比数列,()()21114a d a a d ∴+=+②,。
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷(理科) (1)
2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若集合A ＝{x|x ≤1}，则满足A ∩B ＝A 的集合B 可以是（ ） A.{x|x ≤2} B.{x|x ≤0} C.{x|x ≥0} D.{x|x ≥2}2. 设复数z 满足|z −i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x, y)，则（ ）A.(x −1)2+y 2＝1B.(x +1)2+y 2＝1C.x 2+(y −1)2＝1D.x 2+(y +1)2＝13. 等差数列x ，3x +3，6x +6，…的第四项等于（ ） A.9 B.0 C.18 D.124. 2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A.国防大学，博士B.国防大学，研究生C.国防科技大学，研究生D.军事科学院，学士5. 下列说法正确的是（ ）A.“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件B.a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件C.命题p ：“∀x ∈R ，sin x +cos x ≤√2”，则￢p 是真命题D.命题“∃x ∈R 使得x 2+2x +3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2+2x +3>0”6. 已知平面向量a →=(3, 0)，a →+2b →=(1, 2√3)，则a →与b →的夹角等于（ ） A.π3 B.π6C.5π6D.2π37. 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A.7.5%B.6.25%C.31.25%D.10.25%8. 若抛物线y 2＝4x 通径为MN （其中M 是第一象限点），当点P(cos α, sin α)是OM 上的点时，则cos (2α+π2)的值等于（ ） A.−45 B.45C.43D.−439. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60∘时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A.√2 B.√3C.2D.2√3310. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE(A 1∉平面ABCD)，若M 、O 分别为线段A 1C 、DE 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A.异面直线BM 与A 1E 所成角是定值B.与平面A 1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直C.一定存在某个位置，使DE ⊥MOD.三棱锥A 1−ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值11. 定义在(1, +∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x ∈(1, +∞)恒有f(2x)=2f(x)成立； (2)当x ∈(1, 2]时，f(x)=(2−x)2；记函数g(x)=f(x)−k(x −1)，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.[43, 2]B.[1, 2)C.(43, 2)D.[43, 2)12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C:x 2+y 2＝1+|x|y 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上存在到原点的距离超过√2的点； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中所有正确结论的个数是（ ）A.1B.0C.2D.3二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）.在(1−x)5+(1−x)6+(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x 5的项的系数是________．函数y =2sin (π6−2x),x ∈[−π,0]的单调递增区间为________．已知函数f(x)＝x(x 5−16x 2+x −4)，且f(x)≥f(x 0)对x ∈R 恒成立，则曲线y =f(x)x在点(x 0, f(x 0)x 0)处的切线的斜率为________．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c cos B =a −12b 且c =√3． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，求ab 的取值范围．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60∘，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． (Ⅰ)求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； (Ⅱ)求二面角A −B 1C 1−A 1的余弦值．2019年女排世界杯（第13届女排世界杯）是由国际排联(FIVB)举办的赛事，比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKASA −V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布N(270, 52)．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p <1)． （1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260, 270)内的排球个数（2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为f(p)，求出f(p)的最大值点p 0，并以p 0作为p 的值，解决下列问题．(i)在第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列；(ii)已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．参考数据：X ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)≈0.9973．设函数f(x)=x −1x ，g(x)＝t ln x(t ∈R)，（1）讨论函数ℎ(x)＝f(x)+g(x)的单调区间；（2）若当x∈(0, 1)时f(x)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求正实数t的取值范围．已知动直线l与椭圆C:x26+y24=1交于P(x1, y1)，Q(x2, y2)两个不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=√6，其中O为坐标原点．(Ⅰ)证明x12+x22和y12+y22均为定值；(Ⅱ)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值；（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−ty=t1−t2（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．选做题已知函数f(x)＝x|x−a|，a∈R．（1）若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；（2）若a>0，对∀x，y∈(−∞, a]，都有不等式f(x)≤|y+54|+|y−a|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年辽宁省大连二十四中高考数学最后一模试卷（理科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】进行简根的合情亮理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】数量来表示冷个向让又夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】抽象函表及声应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）. 【答案】此题暂无答案【考点】二项式定因及京关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正弦函射的单调长【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．【答案】此题暂无答案【考点】正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法平面因平面京直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正态分来的密稳曲线离散验他空变量截其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利验热数技究女数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用直线与椭常画位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分. 【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答选做题【答案】此题暂无答案【考点】不等式三成立的最题绝对常不等至的保法与目明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020届辽宁省大连二十四中高三第一次模拟测试数学(理)试题
2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1.若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N 的集合X 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3D. 42.复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A. iB. ﹣2iC. 2iD. ﹣i3.下列四个结论中正确个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A. 1B. 2C. 3D. 44.公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A. 1B. 2C. 3D. 45.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A.85B.65C.45D.256.如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）的A.23B.25C.16D.347.已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A. 54πB. 34πC. 2πD.3π 8.数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A. 132B. 299C. 68D. 999.在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|P A |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( )A.13B. 3C.D.10.三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A.B.6C.D.611.已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A.1B.1C. 2D.12.已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )A 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. [0,)+∞D. (,0]-∞二、填空题（共4小题）13.已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____. 14.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1=1，且2S n =a n （a n +t ），n ∈N *，则S 10=_____. 15.已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF =60°，则|FR |等于_____.16.已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB CD a ==，AC AD BC BD ====，则a =__________．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，01203AB BC ABC AB >∠==，，，ABC∠角平分线与AC 交于点D ，1BD =.（Ⅰ）求sin A ； （Ⅱ）求BCD ∆的面积.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，H 为棱AB 的中点，E 为棱DC 上任意一点，且不与D 点、C点重合．21AB AD PA PH ====，，（1）求证：平面APE ⊥平面ABCD ；.（2）是否存在点E 使得平面APE 与平面PHC所成的角的余弦值为3？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．19.某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球（红、黄、黑、白）.顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点()()1,0,0,1A B ，点P满足OA OP +=u u u r u u ur u u u r （其中O 为坐标原点），点,B P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设椭圆右焦点为F ，若不经过点F 的直线(): 0,0l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,M N 两点.且与圆221x y +=相切.MNF V 的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.21.已知函数()ln 1x ax f x x++=.（1）若对任意x >0，f （x ）<0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2（x 1<x 2），证明：2212212x x x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：极坐标与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l 的参数方程为2x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2,π，PM PN +=a 的值.选修4-5：不等式证明选讲的23.已知()11f x x ax =+--（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围..。
2020年4月辽宁省大连市第二十四中学2020届高三模拟考试理科综合试题
大连市第二十四中学高三年级四月份模拟考试理科综合试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第33—38题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
可能用到的相对原子质量：第I卷（选择题共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于草履虫的叙述错误的是A.草履虫生命活动的调节方式是体液调节B.一个池塘中全部草履虫是一个种群C.草履虫细胞体积较大可能是因为有伸缩泡和2个核D.草履虫在繁殖过程中，DNA复制和转录时可形成DNA和蛋白质复合体2.下列关于以洋葱为实验材料的实验，叙述错误的是A.洋葱根尖进行“低温诱导染色体数目加倍”的实验中，两次使用酒精的目的相同B.紫色洋葱鳞片叶外表皮细胞置于10%的KNO3溶液中可观察到液泡颜色先变深后变浅C.洋葱的叶肉细胞中观察到细胞质流动，说明细胞是活的D.洋葱鳞片叶内表皮细胞观察线粒体时，需要使用健那绿染色3.乳草产生的毒素“强心甾”能够结合并破坏动物细胞钠钾泵的功能，然而帝王蝶幼虫不仅以乳草为食，还能将强心甾储存在体内以防御捕食者。
研究人员发现帝王蝶钠钾泵的119和122位氨基酸与其他昆虫不同。
利用基因编辑技术修改果蝇钠钾泵基因，发现122位氨基酸改变使果蝇获得抗强心甾能力的同时导致果蝇“瘫痪”，119位氨基酸改变无表型效应，但能消除122位氨基酸改变导致的“瘫痪”作用。
辽宁省大连市第二十四中学2020届高三4月模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|320M x x x =++<和集合1()42xN x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋃=A. {}|2x x ≥-B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x <-D. {}|2x x ≤-【答案】A 【解析】由已知得{}|21M x x =-<<-，{}{}2|22|2xN x x x -=≤=≥-，所以有{}|2M N x x ⋃=≥-，故选A.2.设复数z 满足|z ﹣i |+|z +i |＝4，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则（ ）A. 22143x y -= B. 22143x y +=C .22143y x -=D. 22143y x +=【答案】D 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义以及椭圆的定义即可求解.【详解】设z x yi =+，则()1z i x y i -=+-，所以()221z i x y -=+-同理可得()221z i x y +=++即|z ﹣i |+|z +i |()()222211x y x y +-++=4，即(),x y 到两点()()0,1,0,1-的距离之和为4，所以z 在复平面内对应的点（x ，y ）的轨迹为22143y x +=故选：D【点睛】本题考查了复数模的几何意义以及椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题. 3.已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A. 12 B. 10C. 10D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据b 在a 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-，可得min2b =；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入minb即可求得min3a b-.【详解】b 在a 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-0b > cos ,0a b ∴<><又[)cos ,1,0a b <>∈- min2b∴=2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+min3946410a b∴-=⨯+=本题正确选项：B【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b 的最小值. 4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D. 互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假． 【详解】A 选项，由图可知90后占了56%，故正确；B 选项，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为0.5639.6%0.221760.2⨯=>，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的，故正确；C 选项，互联网行业中从事产品岗位的90后人数所占比例为0.56 6.5%0.03640.05⨯=<，故不正确；D 选项，互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例为0.560.170.09520.03⨯=>，故正确． 故选：C ．【点睛】本道题考查了统计方面的知识，关键抓住各个群体的比例，逐一分析，得出结论，即可，难度较容易．5.设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，则函数y ＝x ()f x '的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由极值与导数的关系确定，确定当0>x >﹣1以及x >0时，()xf x '的符号；当x ＝﹣1时，()xf x '＝0；当x <﹣1时，()xf x '符号．由此观察四个选项能够得到正确结果． 【详解】∵函数f （x ）在R 上可导，其导函数()f x '， 且函数f （x ）在x ＝﹣1处取得极大值，∴当x >﹣1时，()f x '<0；当x ＝﹣1时，()f x '＝0；当x <﹣1时，()f x '>0．∴当0>x >﹣1时，()xf x '>0；x >0时，()xf x '<0； 当x ＝﹣1时，()xf x '＝0； 当x <﹣1时，()xf x '＜0． 故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用． 6.将函数sin(2)4y x π=-的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（ ） A.8πB.4π C.38π D.2π 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图象变换，求得函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求得增区间3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，进而根据函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，即可求解.【详解】由题意，将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位， 可得函数sin 2sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 即函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， 令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又由函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为8π，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.7.记[]m 表示不超过m 的最大整数.若在11(,)82x ∈上随机取1个实数，则使得2[log ]x 为偶数的概率为（ ） A.23B.12C.13D.14【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到[)2log 2,1x ∈--.所以11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，再由几何概型的长度模型得到结果. 【详解】若11,82x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2log 3,1x ∈--.要使得[]2log x 为偶数，则[)2log 2,1x ∈--.所以11,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故所求概率1122411328P -==-. 故答案为A.【点睛】本题考查了对数不等式的解法，以及几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的． 8.如图所示，边长为a 的空间四边形ABCD 中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD ，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】 【分析】由题意得BC CD a ==，90BCD ∠=︒，从而2BD a =，90BAD ∠=︒，取BD 中点O ，连结AO ，CO ，从而AO ⊥平面BCD ，延长CO 至点E ，使CO OE =，连结ED ，EA ，EB ，则四边形BCDE 为正方形，即有//BC DE ，从而ADE ∠（或其补角）即为异面直线AD 与BC 所成角，由此能求出异面直线AD 与BC 所成角的大小． 【详解】由题意得BC ＝CD ＝a ，∠BCD＝90°， 2a ，∴∠BAD＝90°， 取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵AB＝BC ＝CD ＝DA ＝a ，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO ＝BO ＝OD ＝OC ＝22a， 又∵平面ABD⊥平面BCD ，平面ABD∩平面BCD ＝BD ，AO⊥BD， ∴AO⊥平面BCD ，延长CO 至点E ，使CO ＝OE ，连结ED ，EA ，EB ， 则四边形BCDE 为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD 与BC 所成角， 由题意得AE ＝a ，ED ＝a ，∴△AED 为正三角形，∴∠ADE＝60°， ∴异面直线AD 与BC 所成角的大小为60°． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．9.已知函数()f x 对x R ∀∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=⋅+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（）A.34B. 2C.52D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解. 【详解】因为()()()12f x f x f x +=⋅+， ∴()()()213f x f x f x +=+⋅+，又()0f x > 故()()13f x f x +=，即()()6f x f x += 所以函数的周期为6， 由已知可得当0x =时，()()20f f =，()()()102f f f =⋅，又()0f x >，所以()()202f f ==，并且()()()()1113,4,5,62242f f f f ====， 所以()()()()1132019202034244f f f f +=+=+=，故选A.【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.10.若()*3nx n N x x ⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=⎰（ ）A. 36πB.812πC.252πD. 25π【答案】C 【解析】()*3x nn N x x+∈展开式的通项为()52133,0,1,,rn r n rr n r r r nn T C x C x r n x x ---+===，因为展开式中含有常数项，所以502n r -=，即25r n =为整数，故n 的最小值为5．所以222252552aa x dx x dx π--⎰-=⎰-=.故选C 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.11.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，cosA cosCtanA sinA sinC+=+，则b csinB sinC++的取值范围是（ ）A. （2，+∞）B. （2，4）C. 4322⎝，D.43⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：cos2A ＝cos B ，结合角的范围可求2A ＝B ，利用三角形内角和定理及已知可求范围A 3Cπ-=∈(6π，4π)，可得sin A ∈(122)，而根据正弦定理，比例的性质即可求解． 【详解】∵cosA cosC sinAtanA sinA sinC cosA+==+，∴cos 2A +cos C cos A ＝sin 2A +sin A sin C ，22cos sin (cos cos sin sin )A A A C A C -=--,cos 2cos()A A C =-+,可得：cos2A ＝cos B ，∴在锐角△ABC 中，2A ＝B ，∵A +B +C ＝π，可得：3A +C ＝π，C ∈(0，2π)， ∴A 3Cπ-=∈(6π，4π)，可得：sin A ∈(122)， ∵a ＝2， ∴b c a sinB sinC sinA+=+2，4)．故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，比例的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12.在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切．过A 作直线x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0的垂线，垂足为B ，则|MA |+|MB |的最小值为（ ） A. 22- B. 22+521D. 32-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设M （x ，y ），求出M 点轨迹方程y 2＝4x ，即可得M 的轨迹是抛物线，其焦点为A （1，0），准线为x ＝﹣1，过点M 作MD 与准线垂直，且交准线于点D ，分析可得直线x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0经过定点（3，﹣2），设P （3，－2），由点B 性质可得B 在以AP 为直径的圆上，由抛物线的定义可得又由|MA |＝|MD |，则|MA |+|MB |＝|MD |+|MB |，通过MD MC +（C 为AP 中点，圆心）结合图形分析可得答案．【详解】根据题意，设M （x ，y ），以MA 为直径的圆的圆心为（12x +，y2）， 又由动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，则有（12x +）2＝（12x +-1）2+（y 2）2， 变形可得：y 2＝4x ，则M 的轨迹是抛物线，其焦点为A （1，0），准线为x ＝﹣1， 过点M 作MD 与准线垂直，且交准线于点D ，设直线l 为x +（m ﹣1）y +2m ﹣5＝0，变形可得m （y +2）＝y ﹣x +5， ∴可得直线l 经过定点（3，﹣2），设P （3，－2），设AP 的中点为C ，则C 的坐标为（2，﹣1），|CP |2=，若AB ⊥l ，则B 在以AP 为直径的圆上，该圆的方程为22(2)(1)2x y -++=， 又由|MA |＝|MD |，则|MA |+|MB |＝|MD |+|MB |，则当C 、M 、D 三点共线时，|MA |+|MB |取得最小值，且|MA |+|MB |取得最小值为圆22(2)(1)2x y -++=上的点到D 的最小值，此时|MA |+|MB |min ＝|CD |﹣r ＝32-， 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与圆的位置关系，关键是求出M 的轨迹方程，属于综合题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应题号后的横线上． 13.若3sin 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】13【解析】 【分析】利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得2cos 263sin x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212sin 6x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，计算求得结果. 【详解】363sin x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则2cos 2626sin x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111233=-⨯=，故答案为13.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．14.已知O 是ABC 的外心，45C ∠=︒,2,(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则2214m n +的最小值为____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据45C ∠=︒得到0OA OB ⋅=，平方2OC mOA nOB =+得到2241m n +=，变换()22222214414m n m n m n ⎛⎫+=+⎪⎭+ ⎝利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2222222244OC mOA nOB OC mOA nOBm OA n OB mnOA OB =+∴=+=++⋅90045C AOB OA OB ∠=︒∴∠=︒∴⋅=故2241m n +=()2222222222414141644216816m n n m m n mn m n ⎛⎫+=+=+++≥= ⎪⎭+⎝ 当222216n m m n=即2211,28n m ==时等号成立 故答案为：16【点睛】本题考查了向量的运算，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ,且以A 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,B C 两点，若2,33BAC ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线C 的离心率的取值范围是__________． 【答案】232⎤⎥⎣⎦【解析】 【分析】如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D ，322bb AD ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，点(),0A a 到渐进线的距离为 223,22ab b b d c a b ⎡⎤==∈⎢⎥+⎣⎦即11322e ⎡∈⎢⎣⎦得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作AD BC ⊥于D ，则3cos cos22BAC b b AD AC DAC b ⎡∠=∠=∈⎢⎣⎦一条渐近线方程为：by x a =，点(),0A a 到直线的距离为2232ab b b d c a b ⎡==∈⎢+⎣⎦ 即11323,2223e e ⎡⎡⎤∈∴∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为：23,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了双曲线的离心率，计算得到3,2b bAD⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是解题的关键.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】 (1).2686π【解析】【分析】(1)先算出正四面体的体积，六面体的体积是正四面体体积的2倍，即可得出该六面体的体积；(2)由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时，求出球的半径，再代入球的体积公式可得答案.【详解】(1)每个三角形面积是13312S⎛=⨯=⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的，可求出该四面体的高为236133⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为13623⨯⨯=，因此该六面体体积是正四面体的2倍，所以六面体体积是26；(2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R，所以213663R R⎛⎫=⨯⨯⨯⇒=⎪⎪⎝⎭，所以球的体积3344686339729V Rπππ⎛⎫===⎪⎪⎝⎭. 故答案为：2；86π.【点睛】本题考查由平面图形折成空间几何体、考查空间几何体的的表面积、体积计算，考查逻辑推理能力和空间想象能力求解球的体积关键是判断在什么情况下，其体积达到最大，考查运算求解能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．（1）证明：BC⊥平面ACFE；（2）设点M在线段EF上运动，平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，求cosθ的取值范围．【答案】（1）见解析（2）7172cos θ⎤∈⎥⎣⎦，【解析】 【分析】（1）证明BC ⊥AC ．通过平面ACFE ⊥平面ABCD ，推出BC ⊥平面ACFE ．（2）分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAB 的一个法向量，平面FCB 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60° 所以AB ＝2，所以AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos60°＝3， 所以AB 2＝AC 2+BC 2，所以BC ⊥AC ．因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， 因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(03FM λλ=≤≤，则C （0，0，0），)30A，，，B （0，1，0），M （λ，0，1）．∴()310AB =-，，，()11BM λ=-，，．设n =（x ，y ，z ）为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得300x y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x ＝1，则n =(133λ)，∵m =(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量∴cosθ()()22133134n m n mλλ⋅===++-⨯-+∵03λ≤≤λ＝0时，cosθ7，当3λ=有最大值12．∴7172cos θ⎤∈⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*2,n S n n n N=-∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()22,211na n n nb a a +⎧⎪=⎨⎪--⎩()()()*212n k k N n k =-∈=，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 【答案】（1）1n a n =-；（2）1141163422nn ⎛⎫-⋅- ⎪+⎝⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，当2n ≥时，122222n n n a S S n -=-=-，()12n a n n =-≥， ，再检验1n = 时，是否适合，以确定是分是合，从而可得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）由()()()222111122n n a a n n n n +==---++可得()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++，分组求和即可．试题解析：(1)当2n ≥时，()()2212221122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，()12n a n n =-≥，当1n =时，由21211S =-得10a =，显然当1n =时上式也适合，∴1n a n =-(2)∵()()()222111122n na a n n n n+==---++，∴()()21321242n n nT b b b b b b-=+++++++()02221111112222446222nn n--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11114122214nn⎛⎫- ⎪⎝⎭+-+-1141163422nn⎛⎫=-⋅-⎪+⎝⎭.19.近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx=+与xy c d=⋅（,c d均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y与x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n （n ∈+N ）年才能开始盈利，求n 的值. 参考数据：yv71i ii x y =∑71i ii x v=∑0.541062.141.54 2535 50.12 3.47其中其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑，参考公式：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 【答案】（1）x y c d =⋅（2）0.540.250.2510 3.4710xx y +⋅==⨯，3470（3）7【解析】 【分析】（1）由散点图可知，更接近指数增长，所以xy c d =⋅适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型.（2）根据（1）的判断结果x y c d =⋅两边取对数得lg lg lg y c d x =+⋅，则lg ,y x 两者线性相关，根据已知条件求出lg ,y x 得回归方程，进而得到y 关于x 的回归方程，再令8x =，求预测值（3）设一名乘客一次乘车的费用为ξ元，根据题意ξ得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2，求出分布列，进而求得期望，然后再建立不等式求解.【详解】（1）根据散点图判断，在推广期内， x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型. （2）根据（1）的判断结果xy c d =⋅， 两边取对数得lg lg lg y c d x =+⋅，其中lg i i v y =，711 1.547i i v v ===∑，7721150,12,4,140i i i i i x x v x =====∑∑，71221lg 0.2ˆ5i i i nii x v nx vd xnxβ==-⋅===-∑∑，ˆˆlg 0.54c v x αβ==-=， 所以lg 0.540.25y x =+⋅。
辽宁省大连市重点高中2020届高三4月模拟考试 数学(理)试题答案
2kx1x2
5k x1
x2 8k
2k
4k 2 4 1 4k 2
5k
1
8k 2 4k
2
8k
0.
∴ kAQ kAN ，∴点 A ， Q ， N 共线.
综上可知，点 A ， Q ， N 共线.
. ................... 12 分
21．解：（Ⅰ）由函数 f (x) a sin x ， 0 x π ，得 x
当 x 8 时， y 100.540.258 3.47102 347 。
所以活动推出第 8 天使用扫码支付的人次 3470 人. ........................ 7 分
数学理科试卷答案共 6 页第 2 页
（3）设一名乘客一次乘车的费用为 元，
根据题意 得可能取值为：1.4、1.6、1.8、2
(2) 点 C 的极坐标为 (2,0) ，则 OC 2 ，
数学理科试卷答案共 6 页第 5 页
SABC
1 OC 2
Bsin
Asin
3 2sin2
所以当 sin 1时取得最小值为1 ................... 10 分
23． 解：（Ⅰ） f 1 f 1 1 a 1 a 1 ，
∴动点 M x, y 的轨迹是以 F1 3,0 ， F2 3,0 为焦点的椭圆，
设其方程为
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) ，则 2a 4 ， 2c 2
3 ，即 a 2 ， c
3，
∴ b2 a2 c2 1.∴动点 M x, y 的轨迹 C 的方程为 x2 y2 1 .
（Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立，
只需
f
xmax
辽宁省大连市第二十四中学等三校2024届高三统一模拟考试数学试题
辽宁省大连市第二十四中学等三校2024届高三统一模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}21,1,0,1,2,3M x x N =>=-|，则M N ⋂=（ ）A ．{}2,3B ．{}1,2,3-C ．{}1,0-D ．{}02．设π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若 3cos 5θ=，则sin 2θ（ ） A ．15 B ．45 C ．1225 D ．24253．8位选手参加射击比赛， 最终的成绩(环数) 分别为42，38，45，43，41，47，44，46，其75%分位数是（ ）A ．44.5B ．45C ．45.5D ．46 4．过点()1,1-和()1,3，且圆心在x 轴上的圆的方程为（ ）A ．224x y +=B ．()2228x y -+=C ．()2215x y -+=D ．()22210x y -+=54π3，则该圆锥的体积为（ ）A B C ．5π3 D ．8π36．012345666666660123456C C C C C C C 3333333-+-+-+=（ ） A ．64729- B ．64729 C ．1729- D ．17297．在等差数列{}n a 中，3a 能被3 整除，4a 能被7整除，则下列各项一定能被21 整除的是（ ）A ．16aB ．17aC ．18aD ．19a8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的左、右支分别交于点P 、Q .若1:1:2F P PQ =，且122cos 3FQF ∠=，则C 的离心率为（ ）A．3 B ．2 C D二、多选题9．设1i z =-，则（ ）A ．2zz =B ．i 0z z +=C ．22z z =D ．2z z z -=-10．已知递增等比数列{}n a 的公比为q ，且满足23453a a a +=，下列情况可能正确的是（ ）A ．2q =B ．12q =C ．41a =-D ．42024a = 11．直四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为2的球O 的球面上，下列说法正确的是（ ）A ．若11111D A D C DO D O +=+u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则10AB CB ⋅=u u u r u u u rB ．若2222AB CD AD BC +=+，则10AC BD ⋅=u u u r u u u u r C ．若AC BD =，则点11,,,,A B C D O 共面D ．若1,2AC BD ==，则四棱柱体积的最大值为三、填空题12．对于任意的正数m ，n ，不等式 312m n m nλ+≥+成立，则λ的最大值为 13．已知抛物线2212:2,:4C y x C y x ==的焦点分别为12,F F ，点,P Q 分别在(12,C C 上，且线段PQ 平行于x 轴.若2F PQ △是等腰三角形，则PQ =.14．已知函数 ()πsincos π2x f x a x =+在区间()0,4有2 个零点和4 个极值点，则a 的取值范围是.四、解答题15．在ABC V 中,π,3,23A AB AC ∠=== (1)求点A 到边BC 的距离:(2)设P 为边AB 上一点，当22PB PC +取得最小值时，求PBC V 外接圆的面积. 16．如图，三棱柱 111ABC A B C -的所有棱长都为3，点1A 在底面上的射影恰好是ABCV的中心.(1)证明: 四边形11BCC B 是正方形;(2)设,D E 分别为1,CC BC 的中点, 求二面角1A A E D --的正弦值.17．某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5.(1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率；(2)设随机变量 服从二项分布(),B n p ，记η=则当20n ≥时，可认为η服从标准正态分布(0,1)N .若保证投中的频率在区间[)0.4,0.6的概率不低于90%，求该同学至少要投多少次.附: 若~(0,1)N η，则( 1.28)0.9P n <=，( 1.645)0.95P n <=.18．已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为12，A 为上顶点，B 为左顶点，F 为上焦点，且5BA BF ⋅=u u u r u u u r .(1)求C 的方程；(2)设过点()3,2的直线交C 于M ，N 两点，过M 且垂直于y 轴的直线与直线AN 交于点Q ，证明：线段MQ 的中点在定直线上.19．已知函数()ln 1f x x x ax =++的定义域为区间1,D 值域为区间2D ，若21,D D ⊆则称()f x 是1D 的缩域函数. (1)若()f x 是区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的缩域函数，求a 的取值范围； (2)设,αβ为正数，且,αβ<若()f x 是区间[],αβ的缩域函数，证明：（i ）当12β<时，()f x 在[],αβ单调递减; （ii ）213αβ+>。
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大连市第二十四中学高三年级四月份模拟考试数学理科试卷第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|320M x x x =++<,集合1|42xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,则M ∪N=()A.{x|x≥-2}B. {x|x>-1}C. {x|x<-l}D. {x|x≤-2}2.设复数z 满足|z-i|+|z+i|=4, z 在复平面内对应的点为(x,y),则( )22.(1)(1)4A x y ++-=22.(1)(1)4B x y -++=22.143x y C +=22.134x y D += 3.已知向量,a b r r 满足||4,a b =r r 在a r 上正射影的数量为-2,则|3|a b -r r的最小值为( )A.12B.10.10CD.24.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图､90后从事互联网行业者岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生｡A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%D.互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多｡ 5.设函数f(x)在R 上可导,其导函数为(),f x '且函数f(x)在x=-1处 取得极大值,则函数()y xf x '=的图像可能是( )6.将函数sin(2)4y x π=-的图象向左平移4π个单位,所得图象对应的函数在区间(-m,m)上无极值点,则m 的最大值为( ).8A π.4B π3.8C π.2D π7.记[m]表示不超过m 的最大整数｡若在11(,)82x ∈上随机取1个实数,则使得2[log ]x 偶数的概率为( ) 2.3A1.2B1.3C1.4D 8.如图所示,边长为a 的空间四边形ABCD 中,∠BCD=90°,平面ABD ⊥平面BCD,则异面直线AD 与BC 所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°9.已知函数f(x)对∀x ∈R 满足:f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4, 则f(2019)+f(2020)= ( )3.4AB.25.2CD.410.若*(3()n x n N x x+∈的展开式中含有常数项,且n 的最小值为a,则22aaa x dx --⎰=()A.36π81.2B π25.2C πD.25π11.在锐角△ABC 中,角A, B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2cos cos tan ,sin sin A C A A C +=+则sin sin b cB C++的取值范围是( ).2,)A +∞ .(22,4)B43.2)C 43.()D +∞ 12.在平面直角坐标系xOy 中,点A(1,0),动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切.过A 作直线x+(m-1)y+ 2m-5=0的垂线,垂足为B,则|MA| + | MB |的最小值为().22A.22B +.521C.32D第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡相应题号后的横线上｡13.若3sin(),6x π+=则sin(2)6x π-=____14.已知O 是△ABC 的外心,45,2,(,)C OC mOA nOB m n R ︒==+∈u u u r u u u r u u u r ∠,则2214m n+最小值为_____.15. 已知双曲线2222:1(0,0x y C a b a b-=>>)的右顶点为A,且以A 为圆心,双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于B,C 两点,若2[,]33BAC ππ∠∈则双曲线C 的离心率的取值范围是___16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽粒,俗称"粽子",古称"角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣､爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为____;若该六面体内有一球,则该球体积的最大值为____(本题第一空2分,第二空3分.)三、解答题:本大题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22､23 为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分｡ 17. (本小题满分12分)如图,在梯形ABCD 中,AB//CD, AD=DC= BC=1,∠ABC= 60° ,四边形ACFE 为矩形,平面ACFE ⊥平面ABCD,CF=1.(I)证明:BC ⊥平面ACFE;(I)设点M 在线段EF 上运动,平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ,求cos θ的取值范围.18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足2*2()n S n n n =-∈N .(1)求数列{}n a的通项公式;(2)设()()()*22,(21)2,(2)11nann nn kb kn ka a+⎧=-⎪=∈⎨=⎪--⎩N数列{}nb的前n项和,n T求2.nT19. (本小题满分12 分)近期,某市公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广一期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表下所示:根据以上数据,绘制了散点图.( I )根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·d x( c,d均为大于零的常数),哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);( II) 根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y与x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;(III)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如下表:该市公交三公司车队为缓解周边居民出行压力,以80万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要n ()n +∈N 年才能开始盈利,求n 的值.参考数据:其中其中711lg ,7i i i i v y v v ===∑，参考公式:对于一组数据1122(,),(,),,(,),n n u v u v u v L 其回归直线ˆˆv u αβ=+斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1221ˆ,ni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑ˆˆ.v u αβ=-20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系中,若a r (3,),(3,),x y b x y =+=-r 且|||| 4.a b +=r( I )求动点M(x,y)的轨迹C 的方程;(II)设(I)中曲线C 的左､右顶点分别为A ､B,过点(1,0)的直线l 与曲线C 交于两点P,Q (不与A, B 重合) .若直线PB 与直线x=4相交于点N,试判断点A, Q,N 是否共线,并说明理由.21. (本小题满分12分) 已知函数sin (),0a xf x x-=<x<π. (I)若0x x =时,f (x)取得极小值0(),f x 求实数a 及0()f x 的取值范围; (II) 当a=π,0<m<π时,证明: f(x)+mlnx> 0.(二)选考题:共10分.请考生在第22､23两题中任选一道作答,并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂､多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本选考题的首题进行评分.22. (本小题满分10分) [选修4-4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ>0,0≤θ<2π),点A 为曲线1C 上的动点,点B 在线段OA 的延长线上,且满足|OA|·|OB|=6,点B 的轨迹为2.C(I)求12,C C 的极坐标方程;( II)设点C 的极坐标为(2,0), 求△ABC 面积的最小值.23. (本小题满分10分) [选修4-5:不等式选讲] 已知函数f(x)=x|x-a|,a ∈R. ( I)当f(1)+f(-1)>1,求a 的取值范围; (II)若a>0,对∀x,y ∈(-∞,a],都有不等式5()||||4f x y y a ≤++-恒成立,求a 的取值范围.。