2013届高三第二轮复习讲义及专题训练 (11)三角函数的化简与求值

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三角函数式的化简求值训练

)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求（2）化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为（）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于（A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。

高中数学专题：三角函数的化简与求值

2＋3，
则常数 a＝________.
解析
1＋2cos2x－1 f(x)＝ 2cos x ＋sin
x＋a2sinx＋π4
＝cos x＋sin x＋a2sinx＋π4
＝ 2sinx＋4π＋a2sinx＋π4 ＝( 2＋a2)sinx＋4π. 依题意有 2＋a2＝ 2＋3， ∴a＝± 3.
答案 ± 3
α
＝2
2sin
α＝－2
5
5 .
答案 A
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.已知f(x)＝sin2
x＋4π，若a＝f(lg
5)，b＝f(lg
1 5
)，则(
)
A.a＋b＝0
B.a－b＝0
C.a＋b＝1
D.a－b＝1
解析 a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋4π)
1－cos2lg
2 .
又∵cosπ4－β2＝ 33，－2π<β<0， ∴sinπ4－β2＝ 36，
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
∴cosα＋2β＝cosπ4＋α－π4－β2 ＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2 ＝13× 33＋232× 36＝593. 答案 C
＝－41＋34＋1＝23.
点评熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．
变式训练2 (1)(四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos2α＝2sinsiαn2cαo＋s αc－osc2αos2α

高三数学二轮专题复习三角函数

三角函数二轮复习建议三角函数内容主要有两块；一是三角函数的图象和性质，二是三角恒等变换．近三年高考中基本上是一个小题（三角函数的图象与性质）、一个大题（三角恒等变换），大都是容易题和中等题，难度不大，容易得分，也是必须要得分的．第1~2课时三角函数的图象和性质基本题型一：求三角函数的周期例 1 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3)的最小正周期为；图象的对称中心是；对称轴方程是；当x ∈[0，π2]时，函数的值域是．说明：1．函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图像与参数A ，w ，ϕ的关系；通过换元可将y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象转化为对y ＝A sin x 的图象的研究．2．对于三角函数的图象与性质，周期性是最本质的内容，周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象．3．此类问题呈现的形式有三种：①正面呈现，象例1的形式；②给出函数的一部分性质，如已知直线y ＝a (0＜a ＜A )与函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象的三个相邻交点的横坐标为2，4，8，写出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一个单调增区间；③以图象形式呈现，给出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一部分图象．例2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．说明：方法一由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6．方法二由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，所以f (x )的图像可以看作是sin x 的图像向右移了π6个单位，即向左移了11π6个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6．基本策略：根据函数的图像先确定振幅A ，再确定周期T ．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f (x )的形式，再分别按照f (x )→f (x －a )，f (x )→f (ωx )，f (x )→f (x )＋k ，f (x )→Af (x )的变化特征写出变换后的函数解析式．例3 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？说明：对于此类以图形为背景的应用题，重点应放在变量的选择上．例4 已知函数f (x )＝2sin x (sin x －cos x )＋2，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）求函数在区间[π8，3π4]上的最大值和最小值；（3）若f (α)＝3－425，0＜α＜π2，求cos2α的值．说明：此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．基本策略：利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (ω＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx ＋φ看作是一个角的大小，结合y ＝sin x 的单调区间和ωx ＋φ关于x 的单调性进行判断．第3~4课时三角恒等变换例1 cos(－600°)＝．说明：利用诱导公式将其转化为特殊角的三角函数值，也可根据三角函数定义利用数形结合直接求值．例2 若3cosα＋4sinα＝5(0＜α＜π)，求tan(α＋π4)的值．说明：1．重视最基本方法的运用，即把cosα，sinα当成未知数，通过解方程组求得cosα，Csinα；2．在三角函数求值中要注意两点：①根据角之间的关系选择适当的三角变换；②根据角所在象限确定三角函数值的符号，要加以说明（题目条件中已经给定，角的范围太大，需要由几个条件或解题过程中得到的结论共同确定）．例3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为．说明：利用二倍角公式对f (x )进行化简，转化为用基本不等式求解的最值问题．例4 已知tan(π4＋α)＝12． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．基本策略：在化简过程中，通过变角、变名、变次，换元等将其转化为最简单的三角函数或简单的初等函数．第5~6课时解三角形例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3．（1）求△ABC 的面积；（2）若c ＝1，求a 的值．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3．（1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积．说明：1．根据条件，结合图形灵活选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．2．向量中有关概念的理解，公式的正确使用．例3 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ⊥CD ，∠DBC ＝60°，AB ＝23，BD ＝4，求CD 的长．说明：这种以图形为载体的三角函数求值问题（与解三角形联系）在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换进行求解．例4 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o 的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．说明基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，在求值时应强调三角函数值的符号由角所在象限确定．4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．5．本单元二轮专题和课时建议：AO D B C H A O D B C A O D B C。

高三数学三角函数的化简、求值与证明(二)复习学案文苏教版

一、课前准备：【自主梳理】此类题型考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值证明. 【自我检测】 1．sin1212ππ= ．2．44.sin sin cos ααα=-已知= ． 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+化简．4．cos()sin() 36ππαα+++=化简：． 5． 12sin cos cos 2tan(), 422cos 2sin 2παααααα-+==+已知则．二、课堂活动：【例1】填空题：()224sin sin 210sin ,25cos 2cos παααααα+<<==+已知，．（2）23177sin 22sin cos()=451241tan x xx x xπππ++=<<-已知，，则．（3）1cos sin 1cos sin θθθθ--+-化简= ．（4）tan 20tan 40tan120=tan 20tan 40︒+︒+︒︒︒化简．【例2】① 11sin()sin().23αβαβ+=-=已知，； ()1sin cos 5cos sin αβαβ=求证：()2tan 5tan αβ=② 223sin 2sin 1,αβαβ+=已知、为锐角，且3sin22sin20αβ-=，2.2παβ+=求证：【例3】已知函数2()2cos2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．课堂小结三、课后作业1． ()2sin (2)______4f x x π=-函数的最小正周期是．2． ()()1tan 1tan 2=A B ABC A B C ∆++=若、是的内角，并且，则角．3． 0cos 45cos15sin 225sin165•+•= ． 4．若cos 22sin()4απα=--则cos α+sin α= ．5．若31tan(),tan())5424ππαββα+=+==,那么t a n(- ．6．已知cos()sin 65παα-+=则7sin()6πα+= ． 7．0012sin 702sin170-= ．8．已知3312,(,),sin(),sin()45413ππαβπαββ∈+=--=，则cos 4πα（+）．9．化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+- ．（至少用二种方法化简）10．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． ⑴如果A 、B 两点的纵坐标分别为45、1213，求c o s α和sin β； ⑵在⑴的条件下，求c o s ()βα-的值；⑶已知点C (13-，，求函数()f O A O C α=⋅的值域．．四、纠错分析错题卡题号错题原因分析参考答案：【自我检测】12.32.5-3. 14. cos α5. 7.5-【例题】例1：（1）20 （2）2875-（3）tan .2θ- （4）3例2：证明：()111sin()sin cos cos sin .22αβαβαβ+=+=因为，所以证明：①11sin()sin cos cos sin .33αβαβαβ-=-=因为，所以②51sin cos cos sin .1212αβαβ==联立①②解得，sin cos 5cos sin .αβαβ=所以()sin sin 2sin cos 5cos sin 5cos cos αβαβαβαβ==由，得，tan 5tan .αβ=所以②：233sin cos2sin2sin22αβαβ==，解：由题意，，cos(2)cos cos2sin sin2αβαβαβ+=-所以23cos 3sin sin sin22αααα=- 223cos sin 3sin cos 0.αααα=-=30222.2παβαβπαβ<+<+=又因为,都是锐角,所以,所以例3【解】（Ⅰ）因为()1cos f x x x =+ 12cos()3x π=++，所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-．（Ⅱ）因为 1()33f πα-=，所以 112cos =3α+，即1cos 3α=- 因为 222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+--(cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα+=，又因为α为第二象限角，所以 sin 3α=．所以cos sin 12cos 2ααα+-=【课后作业】： .2π1 3 2.4π 3.12 4、12 5、113 6、45- 7、1 8、5665-9、解：法1：从角出发，异角化同角原式=22222211sinsin cos cos (2cos 1)(2cos 1)22αβαβαβ+--•-=2222222222211sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin cos 22αβαβαβαβαββ-++-=++-12= 法2：从名出发，异名化同名原式=22221sinsin (1sin )cos cos 2cos 22αβαβαβ+--=221sin cos 2cos cos 2cos 22αββαβ-+-==221cos 2(sin cos 2)cos 2βααβ--+211cos 2cos 22ββ-+= 法3：从“幂”入手，高次化低次原式=1cos 21cos 21cos 21cos 21cos 2cos 222222αβαβαβ--++•+•- 111(22cos 2cos 2)cos 2cos 2422αβαβ=-+= 法4：从形入手，利用配方法对二次项配方。

考点15 三角函数式的化简与求值(答案)

，故选 B．
3．【2017
届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若
cos
−
3sin
=
0
，则
tan
−
4
=
（
）
−1
1
A． 2
B．-2
C． 2
D．2
【答案】A
【解析】由 cos
− 3sin
=
0
tan
，知
=
1 3
，则
tan
− 4
=
tan −1 1+ tan
=
−
1 2
，故选 A
．
4．【山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三（5 月）】已有角的顶点与坐标原点重合，
+ cos2
sin ”；（3）化正弦、余弦为正切，即 cos
=
tan
；
tan = sin
（4）化正切为正弦、余弦，即
cos ；（ 5 ）正弦、余弦和（差）与积的互化，即
(sin cos )2 =1 2sin cos ．
tan = 3
1− sin 2 =
【变式 1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若
【解析】
16 8 ，选 D．
【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性； (4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．

高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题一三角函数和平面向量三角函数的化简与求值

第1讲三角函数的化简与求值【课前热身】第1讲三角函数的化简与求值(本讲对应学生用书第2~4页)1.(必修4 P23习题9改编)已知cos θ=-513，θ为第二象限角，则tan θ=.【答案】-12 5【解析】因为cos θ=-513，θ为第二象限角，所以sin θ=1213，所以tan θ=-125.2.(必修4 P133习题15改编)函数f(x)=2cos2x+sin 2x的最小值是. 【答案】12【解析】因为f(x)=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+2sinπ24x⎛⎫+⎪⎝⎭，所以f(x)min=1-23.(必修4 P50习题7改编)若tan α=2，则sin cossin-cosαααα++cos2α=.【答案】16 5【解析】sin cossin-cosαααα++cos2α=sin cossin-cosαααα++222cossin cosααα+=tan1tan-1αα++21tan1α+=165.4.(必修4 P118复习题9改编)求值：(tan3°+1)(tan42°+1)= . 【答案】2【解析】原式=tan3°tan42°+ta n 3°+tan42°+1=tan3°tan42°+tan(3°+42°)(1-tan3°tan42°)+1=2.5.(必修4 P23习题17改编)若sin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=14，则sin 5π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin 2π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭= .【答案】1916【解析】因为sin 5π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin ππ-6x ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=14，sin 2π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin 2π2⎡⎢⎣-π6x ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎦=cos 2π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1516，故原式=1916.【课堂导学】三角函数的求值问题例1 (2016·江西模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (x 1，y 1)在单位圆O 上，∠xOA=α，且α∈ππ62⎛⎫⎪⎝⎭，.(例1)(1)若cosπ3α⎛⎫+⎪⎝⎭=-1113，求x1的值；(2)若B(x2，y2)也是单位圆O上的点，且∠AOB=π3，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为C，D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2，求函数f(α)的最大值.【分析】第一问根据题意可知x1=cos α，利用题中所给的条件，使用差角公式求得cos α的值；第二问利用三角函数的定义，结合图形将三角形的面积用三角函数来表示，即将函数解析式转化为关于α的函数关系式，利用和差公式、辅助角公式化简，结合自变量的取值范围，求得函数的最大值.【解答】(1)由三角函数的定义知x1=cos α，因为cosπ3α⎛⎫+⎪⎝⎭=-1113，α∈ππ62⎛⎫⎪⎝⎭，，所以sinπ3α⎛⎫+⎪⎝⎭=43，所以x1=cos α=cosππ-33α⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cosπ3α⎛⎫+⎪⎝⎭cosπ3+sinπ3α⎛⎫+⎪⎝⎭sinπ3=-1113×12+43×3=126.(2)由y1=sin α，得S1=12x1y1=12cos αsin α=14sin 2α.由定义得x2=cosπ3α⎛⎫+⎪⎝⎭，y2=sinπ3α⎛⎫+⎪⎝⎭，又由α∈ππ62⎛⎫⎪⎝⎭，，得α+ππ5π326⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是S2=-12x2y2=-12cosπ3α⎛⎫+⎪⎝⎭sinπ3α⎛⎫+⎪⎝⎭=-14sin2α+2π3，所以f(α)=S1+S2=14sin 2α-14sin2π23α⎛⎫+⎪⎝⎭=14sin 2α-12π2πsin2cos cos2sin433αα⎛⎫+⎪⎝⎭=38sin 2α-38cos 2α=331sin2-cos2422αα⎛⎫⎪⎪⎝⎭=3sinπ2-6α⎛⎫⎪⎝⎭，由α∈ππ62⎛⎫⎪⎝⎭，，可得2α-π6∈π5π66⎛⎫⎪⎝⎭，，于是当2α-π6=π2，即α=π3时，f(α)max=3.变式(2015·南京、盐城一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(x1，y1)，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点Q(x2，y2)，记f(α)=y1+y2.(1)求函数f(α)的值域；(2)设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(C)=2，且a=2，c=1，求b的值.(变式)【解答】(1)由题意，得y1=sin α，y2=sinπ2α⎛⎫+⎪⎝⎭=cos α，所以f(α)=sin α+cos α=2sinπ4α⎛⎫+⎪⎝⎭.因为α∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，所以α+ππ3π444⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以f(α)∈(1，2].(2)因为f(C)=2sinπ4C⎛⎫+⎪⎝⎭=2，又因为c<a，所以C∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，所以C=π4.在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C，即1=2+b2-22×22b，解得b=1.【点评】本题的意图是引导学生强化对三角函数定义的理解.例2(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)已知α为锐角，cosπ4α⎛⎫+⎪⎝⎭=5 .(1)求tanπ4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；(2)求sinπ23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【解答】(1)因为α∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，所以α+ππ3π444⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以sinπ4α⎛⎫+⎪⎝⎭=2π1-cos4α⎛⎫+⎪⎝⎭=255，所以tanπ4α⎛⎫+⎪⎝⎭=πsin4πcos4αα⎛⎫+⎪⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭=2.(2)因为sinπ22α⎛⎫+⎪⎝⎭=sinπ24α⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=2sinπ4α⎛⎫+⎪⎝⎭cosα+π4=45，cosπ22α⎛⎫+⎪⎝⎭=cosπ24α⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=2cos2π4α⎛⎫+⎪⎝⎭-1=-35，所以sinπ23α⎛⎫+⎪⎝⎭=sinππ2-26α⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sin2α+π2cosπ6-cosπ22α⎛⎫+⎪⎝⎭sinπ6=433+.变式(2016·苏大考前卷)已知函数f(x)=A sin(x+φ)(A>0，0<φ<π)的最小值是-2，其图象经过点Mπ1 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(1)求f(x)的解析式；(2)已知α，β∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，且f(α)=85，f(β)=2413，求f(α-β)的值.【解答】(1)因为f(x)的最小值是-2，A>0，所以A=2.又由f(x)的图象经过点Mπ13⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得fπ3⎛⎫⎪⎝⎭=1，即sinπ3ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭=12，所以φ+π3=2kπ+π6或φ+π3=2kπ+5π6，k∈Z，又0<φ<π，所以φ=π2.故f(x)=2sinπ2x⎛⎫+⎪⎝⎭，即f(x)=2cos x.(2)由(1)知f(x)=2cos x，又f(α)=85，f(β)=2413，故2cos α=85，2cos β=2413，即cos α=45，cos β=1213.又因为α，β∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，所以sin α=35，sin β=513，所以f(α-β)=2cos(α-β)=2(cos αcos β+sin αsin β)=245×1213+35×513=12665.利用化简研究三角函数性质例3(2016·苏锡常镇一调)已知函数f(x)=sinπ23x⎛⎫+⎪⎝⎭-3π2-6x⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)当x∈ππ-63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值.【点拨】把函数化简为f(x)=A sin(ωx+φ)+B的形式.【分析】(1)首先把函数化简为f(x)=A sin(ωx+φ)+B的形式，其中A>0，ω>0.常规化简方法是：先展开，再合并.若注意到2x+π3与2x-ππ62相差，化简更快、更准.函数f(x)的最小正周期为T=2πω，令2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2，k∈Z，即可求得函数f(x)的单调增区间.(2)图象连续的函数f(x)在闭区间上既有最大值，又有最小值.【解答】方法一：f(x)=12sin 2x+2cos 2x-2⎛⎝sin 2x-1cos22x⎫⎪⎭=-sin 2x+x=2sin2π23x⎛⎫+⎪⎝⎭.方法二：f(x)=sinπ23x⎛⎫+⎪⎝⎭-ππ2-32x⎛⎫+⎪⎝⎭=sinπ23x⎛⎫+⎪⎝⎭+π23x⎛⎫+⎪⎝⎭=2sinππ233x⎛⎫++⎪⎝⎭=2sin2π23x⎛⎫+⎪⎝⎭.(1)函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π；令2kπ-π2≤2x+2π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ-7π12≤x≤kπ-π12，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间是7πππ-π-1212k k⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，k∈Z.(2)因为f(x)=2sin2π23x⎛⎫+⎪⎝⎭.当x∈ππ-63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，2x+2ππ4π333⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.当2x+2π3=π2，即x=-π12时，f(x)取得最大值2；当2x+2π3=4π3，即x=π3时，f(x)取得最小值-3.【点评】连续函数(图象连续的函数)f(x)在闭区间上一定既有最大值，也有最小值.对于求最值的问题，不论题目是否要求，都必须明确指出：当x取何值时，函数f(x)取得最大(小)值.变式(2015·重庆卷)已知函数f(x)=12sin 2x-3cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，求g(x)的值域.【解答】(1)f(x)=12sin 2x-3cos2x=12sin 2x-32(1+cos 2x)=12sin 2x-32cos2x-32=sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭-32，因此f(x)的最小正周期为π，最小值为-232+. (2)由条件可知g(x)=sin x-π3-32.当x∈ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，有x-ππ2π363⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，从而sinπ-3x⎛⎫⎪⎝⎭的值域为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以g(x)=sinπ-3x⎛⎫⎪⎝⎭-32的值域为1-32-3，.【课堂评价】1.(2016·四川卷)计算：cos2π8-sin2π8=.【答案】2 2【解析】由题可知cos2π8-sin2π8=cosπ4=22.2.(2016·全国卷Ⅲ)若tan α=34，则cos2α+2sin 2α=.【答案】64 25【解析】cos2α+2sin 2α=222cos4sin coscos sinααααα++=214tan1tanαα++=23144314+⨯⎛⎫+ ⎪⎝⎭=6425.3.(2016·上海卷)方程3sin x=1+cos 2x在区间[0，2π]上的解为.【答案】π6或5π6【解析】由3sin x=1+cos 2x，得3sin x=2-2sin2x，所以2sin2x+3sin x-2=0，解得sinx=12或sin x=-2(舍去)，所以原方程在区间[0，2π]上的解为π6或5π6.4.(2015·无锡期末)已知将函数y=3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是.【答案】π6【解析】因为函数y=3cos x+sin x=2sinπ3x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得图象的函数解析式是y=2sin x+m+π3，由于函数y=2sin x的图象至少向左平移π2个单位长度后才可得到关于y轴对称的图象，所以m+π3的最小值是π2，故m的最小值为π6.5.(2016·苏锡常镇二调)若tan α=12，tan(α-β)=-13，则tan(β-2α)=.【答案】-1 7【解析】方法一：因为tan α=12，所以tan 2α=22tan1-tanαα=111-4=43.又tan(α-β)=tan-tan1tan tanαβαβ+=1-tan211tan2ββ+=-13，故tan β=1，所以tan(β-2α)=tan-tan21tan tan2βαβα+=41-3413+=-17.方法二：tan(β-2α)=-tan(2α-β)=-tan(α+α-β)=-tan tan(-)1-tan tan(-)ααβααβ+=-11-23111--23⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=-17.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第12页.【检测与评估】专题一三角函数和平面向量第1讲三角函数的化简与求值一、填空题1.(2016·全国卷Ⅱ)若cos π-4α⎛⎫ ⎪⎝⎭=35，则sin 2α= .2.(2016·山东卷)函数f (x )=x+cos xx-sin x )的最小正周期是 .3.(2016·苏州暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α=-45，则tanπ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭= .4.(2016·中华中学)已知倾斜角为α的直线l 与直线x+2y-3=0垂直，那么cos2017π-22α⎛⎫⎪⎝⎭= .5.(2016·海安中学)已知sin π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，α∈π5π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则cosπ3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭= .6.(2016·南师附中)若θ∈π4⎛⎫⎪⎝⎭，，且sin 2θ=14，则sinπ-4θ⎛⎫⎪⎝⎭=.7.(2015·天津卷)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0，x∈R)，若函数f(x)的图象在区间(-ω，ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为.8.(2016·镇江期末)已知sin 36°=cos 54°，那么cos 2 016°=.二、解答题9.(2016·盐城期中)已知函数f(x)=3sin x cos x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)=-1，求cos2π-23x⎛⎫⎪⎝⎭的值.10.(2016·南京、盐城一模)设函数f(x)=A sin(ωx+φ)ππ00-22A xωϕ∈⎛⎫>><<⎪⎝⎭R，，，的部分图象如图所示.(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)当x∈ππ-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，求f(x)的取值范围.(第10题)11.已知sin(α+β)=513，tan 2α=12，且0<α<π2<β<π.(1)求cos α的值；(2)求证：sin β>513.【检测与评估答案】第一部分二轮课后限时训练专题一三角函数和平面向量第1讲三角函数的化简与求值一、填空题1. -725 【解析】因为cos π-4α⎛⎫ ⎪⎝⎭=35，所以sin 2α=cos π-22α⎛⎫ ⎪⎝⎭=2cos 2π-4α⎛⎫⎪⎝⎭-1=-725.2. π 【解析】f (x )=2sin x cosx-22x=sin 2x+cos 2x=2sinπ23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故T=2π2=π.3. 17 【解析】由α∈(0，π)，cos α=-45，得tan α=-34，则tanπ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=tan 11-tan αα+=3-14314++=17.4. 45 【解析】由题意可知tan α=2，所以cos2017π2-2α=cos π1008π-22α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin 2α=222sin cos sin cos αααα+=22tan 1tan αα+=45.5. -1266+ 【解析】因为α∈π5π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以α+πππ62⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，又sin π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，所以cos π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-23，所以cos π3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos ππ66α⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=32cosπ6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭-12sin π6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=32×22-3⎛ ⎝⎭-12×13=-1266+.6. -64 【解析】因为θ∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以sin θ<cos θ，又(sin θ-cos θ)2=1-sin 2θ=1-14=34，所以sin θ-cos θ=-32，故sin π-4θ⎛⎫ ⎪⎝⎭=22(sin θ-cos θ)=-64.7.2 【解析】由f (x )在区间(-ω，ω)内单调递增，且f (x )的图象关于直线x=ω对称，可得2ω≤πω.又f (x )=sin π4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ω2+π4=π2+k π，k ∈Z ，即ω2=π4+k π，k ∈Z .所以ω2=π4⇒ω=2.8.-14 【解析】由sin 36°=cos 54°，得sin 36°=2sin 18°cos18°=cos(36°+18°)=cos 36°cos 18°-sin 36°sin 18°=(1-2sin 218°)·cos 18°-2sin 218°cos18°=cos 18°-4sin 218°cos 18°，即4sin 218°+2sin 18°-1=0，解得sin 18°=-224⨯=4，所以cos 2 016°=cos(6×360°-144°)=cos 144°=-cos 36°=2sin 218°-1=-14.二、解答题9. (1) 因为f (x )=2sin 2x-1cos22x+=2sin 2x-12cos 2x-12 =sinπ2-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-12，所以f (x )的最小正周期为T=2π2=π.(2) 因为f (x )=-1，所以sin π2-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-12=-1，即sinπ2-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-12，所以cos 2π-23x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=cos ππ-2-26x ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sin 2x-π6=-12.10. (1) 由图象知A=2，4T =5π6-π3=π2，ω>0，所以T=2π=2πω，得ω=1，所以f (x )=2sin(x+φ).因为f (x )过点π23⎛⎫⎪⎝⎭，，所以π3+φ=π2+2k π(k ∈Z )，即φ=π6+2k π(k ∈Z ). 又-π2<φ<π2，所以φ=π6，所以f (x )=2sinπ6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (2) 当x ∈ππ-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，x+ππ2π-633⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以sin π3-162x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即f (x )∈3,2⎡⎤⎣⎦.11. (1) 因为tan 2α=12，所以tan α=22tan21-tan 2αα=43，又sin 2α+cos 2α=1，α∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以cos α=35.(2) 由题意得π2<α+β<3π2，又因为sin(α+β)=513，所以cos(α+β)=-1213.由(1)可得sin α=4 5，所以sin β=sin[(α+β)-α]=513×35-12-13⎛⎫⎪⎝⎭×45=6365>513.。

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)

完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。

考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。

考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。

此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。

一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。

cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。

3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。

练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。

4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。

练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。

2013届高三数学三角函数的化简、求值与证明(二)复习学案文苏教版

2013届高三数学（文）复习学案：三角函数的化简、求值与证明（二）一、课前准备：【自主梳理】此类题型考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值证明.【自我检测】1．sin1212ππ= ．2．44.sin sin cos ααα=-已知= ． 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+化简．4．cos()sin() 36ππαα+++=化简：． 5． 12sin cos cos 2tan(), 422cos 2sin 2παααααα-+==+已知则．二、课堂活动：【例1】填空题：()224sin sin 210sin ,25cos 2cos παααααα+<<==+已知，．（2）23177sin 22sin cos()=451241tan x xx x xπππ++=<<-已知，，则．（3）1cos sin 1cos sin θθθθ--+-化简= ．（4）tan 20tan 40tan120=tan 20tan 40︒+︒+︒︒︒化简．【例2】① 11sin()sin().23αβαβ+=-=已知，；()1sin cos 5cos sin αβαβ=求证：()2tan 5tan αβ=② 223sin 2sin 1,αβαβ+=已知、为锐角，且3sin22sin20αβ-=，2.2παβ+=求证：【例3】已知函数2()2cos 2xf x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．课堂小结三、课后作业1 ()2sin (2)______4f x x π=-函数的最小正周期是．2 ()()1tan 1tan 2=A B ABC A B C ∆++=若、是的内角，并且，则角3 0000cos 45cos15sin 225sin165∙+∙= 4若cos 2sin()4απα=-则cos α+sin α=5若31tan(),tan())5424ππαββα+=+==,那么t an(-6已知cos()sin 6παα-+=则7sin()6πα+= 7012sin 702sin170-= ．8已知3312,(,),sin(),sin()45413ππαβπαββ∈+=--=，则cos 4πα（+）．9化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-（至少用二种方法化简）10如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．⑴如果A 、B 两点的纵坐标分别为45、1213，求c o s α和sin β； ⑵在⑴的条件下，求c o s ()βα-的值；⑶已知点C (1-，求函数()f O A O C α=⋅的值域．【自我检测】1-.32.5-3. 14. cos α5. 7.5-【例题】例1：（1）20 （2）2875-（3）tan .2θ- （4）例2：证明：()111sin()sin cos cos sin .22αβαβαβ+=+=因为，所以证明：①11sin()sin cos cos sin .33αβαβαβ-=-=因为，所以②51sin cos cos sin .1212αβαβ==联立①②解得，sin cos 5cos sin .αβαβ=所以()sin sin 2sin cos 5cos sin 5cos cos αβαβαβαβ==由，得，tan 5tan .αβ=所以 ②：233sin cos2sin2sin22αβαβ==，解：由题意，，cos(2)cos cos2sin sin2αβαβαβ+=-所以23cos 3sin sin sin22αααα=- 223cos sin 3sin cos 0.αααα=-=30222.2παβαβπαβ<+<+=又因为,都是锐角,所以,所以例3【解】（Ⅰ）因为()1cos f x x x =+ 12cos()3x π=++，所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-．（Ⅱ）因为 1()33f πα-=，所以 112cos =3α+，即1cos 3α=- 因为 222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+-- (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα+=，又因为α为第二象限角，所以 sin α=．所以cos sin 2cos ααα+=【课后作业】： .2π1 3 2.4π 3.12 4、12 5、113 6、45- 7、1 8、5665- 9、解：法1：从角出发，异角化同角原式=22222211sin sin cos cos (2cos 1)(2cos 1)22αβαβαβ+--∙-= 2222222222211sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin cos 22αβαβαβαβαββ-++-=++-12=法2：从名出发，异名化同名原式=22221sin sin (1sin )cos cos 2cos 22αβαβαβ+--= 221sin cos 2cos cos 2cos 22αββαβ-+-==221cos 2(sin cos 2)cos 2βααβ--+211cos 2cos 22ββ-+= 法3：从“幂”入手，高次化低次原式=1cos 21cos 21cos 21cos 21cos 2cos 222222αβαβαβ--++∙+∙- 111(22cos 2cos 2)cos 2cos 2422αβαβ=-+= 法4：从形入手，利用配方法对二次项配方。

三角函数化简练习题及答案

三角函数化简练习题及答案1．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明2．掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。

1．cosαcosβ=sinαcosβ=2．sinθ+sinφ= ；sinθ-sinφ= ；cosθ+cosφ= ； cosθ-cosφ=1cos2a1.已知tan ? ? ,则sin2a?2的值是4cos2a-4sin2a5A.B.?22C. 1D.?114142.?sin22?cos4等于A.C. sin B.D.4?cos?3coscos. 1 a等于 cosa-sina?sin2asinA.C. cosa sina B. cos2aD sin2a4.化简2?sin4?2?2cos4的结果是sin? sin?]可化简为. ? ?)cosa ?[sin?sin?B. ?sinC. sin?D. 0?)??)等于.化简4北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125 xx??x2xx A. tanx B.tanxtan2tan222cos100-sin200的值是 D.1 A. C.2. tan700?cos100等于化简 ??a?cos?a-cos?a10. cos sina a?sin???11.如果tana,tna?是方程x2?3x?3?0两根，则。

cossin12．2cos2a?1化简2?a)sin24413．求证： sinsin??2cos?sina sina1214．讨论函数f?cos?cos??2coscosxcos?的值域、周期性、2奇偶性及单调性北京一对一上门家教品牌家教电话：010—6256125515．设sin??msin?2?????m?0?,????k??k?z?，求证：tan??????无论是化简还是证明都要注意：角度的特点函数名的特点化切为弦是常用手段升降幂公式的灵活应用1?mtan? 1?m3.2.2三角函数化简及证明111．[cos+cos]；[sin+sin]；22．2sin3．2cos???2coscos???22；2cos；-2sin???22sinsin???22； ???2?????????1.C2.D3.B4.2sin25.C.6.B北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 7.C8.C9.-210.cos?11.?12.cos2a?1-a)??cos2＝2cosa?113. ?a)?-a)442cos2a-1cos2a? ? 1 cos2acos2a2证明∵sin?2cossina=sin[?a]?2cossina＝sincosa?cossina?2cossina＝sincosa?cossina＝sin[-a]＝sin?.sinsin?两边同除以sina?2cos＝.sinasina12214.解：f?[2cos?1]?cos??2coscosxcos?12 =cos??2coscosxcos??cos?12=cos[cos?2cosxcos?]?cos??12=cos[sinxsin??cosxcos?]?cos??11=cos[?cos]?cos2? ??cos2x211∴f的值域为[?,]，周期为π，是偶函数，2??当x?[k?,k??]时f是增函数，当x?[k??,k?]时f是减函22北京一对一上门家教品牌家教电话：010—62561255 数。

从三角函数看高三数学的“二轮复习”

从三角函数看高三数学的“二轮复习”作者：张维来源：《考试周刊》2013年第05期以“回归教材掌握基础知识，正确理解基本概念，深刻体会基本思想，灵活运用基本方法”为主旨的第一轮复习已经结束，高三数学将进入第二轮复习阶段.第二轮复习是由“量的积累”到“质的飞跃”即“由厚到薄”的过程，是形成知识系统化、条理化，全面提升能力的关键时期，它承上启下，其效果如何直接关系高考的成败.现以三角函数为例，谈谈第二轮复习的基本方法.一、明确复习重点（一）要深入研究《考试说明》数学高考对知识的要求由低到高分为“了解”、“理解”和“掌握”三个层次.《考试说明》指出：“对基本知识和基本技能的考查，既注意全面又突出重点，对支撑数学学科知识体系的主干知识，考查时保持较高的比例，并达到必要的深度.”通过对《考试说明》研究，三角恒等变换内容已淡化，三角函数的类型也只是正弦、余弦、正切，而三角函数的图像、倍角公式和正余弦定理依然是不变的重点，图像可以适当关注对称性和周期性.（二）要深入分析历年高考试题1.新课标近五年高考理科三角函数试题分析：2.新课标近五年高考文科三角函数试题分析：通过分析，我们可以看出，三角函数题目大多以容易或中等难度的题为主，从题型设计来看，大致是2道小题1道大题（或3道小题）；从考查内容来看，主要考查对三角函数有关概念、性质的理解，对基本公式的运用.具体主要有三类：（1）三角式的化简与求值；（2）三角函数的性质与图像；（3）解三角形及其应用.值得指出的是，新课标卷17题多是以解三角形的实际应用出题，但综合各省市试题来看，多以三角函数结合解三角形，可能还结合平面向量.解这类题目，要利用平面向量的运算，用三角公式将函数式化为标准形式：y=Asin（ωx+？准）+B，或y=Acos（ωx+？准）+B，然后结合正余弦定理做出解答.所以，在二轮复习中我们既要加强对《考试说明》的学习，又要加强对高考试题的分析.《考试说明》是高考命题的依据，而高考试题是《考试说明》要求的具体化.二、强化基础知识二轮复习要在形成知识体系上下工夫，注重知识的不断深化，新知识应及时纳入已有知识体系，关注知识之间的内在联系，使模糊的清晰起来，缺失的填补起来，杂乱的条理起来.应构建知识网络，网络应当是立体的、交叉的，单一的线状连接难以适应变化.高考数学历来注重基础知识和基本技能的考查，虽然高考数学试题不可能考查单纯背诵、记忆的内容，不会直接考查课本上的原题，但高考试题大多能在课本上找到它的“根”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.比如2009年新课标文理17题是解三角形的应用，为必修五1.2例2的变式，而2012年的17题更是课本常见的解三角形题型.虽然现在高考试题力求体现新课改理念，但不论怎么新，解题的数学模型仍要以课本上重点数学知识为基础，所以夯实基础仍是重中之重，扎实的数学基础是成功解题、获取高分的关键，要防止忽视基础、专攻难题的不良倾向，真正做到：基本概念清晰明了，基本运算熟练正确，基本方法运用得当，书面表达规范准确.三、提炼思想方法怎样有效提高学生的解题能力？现在提倡高效课堂，有些老师往往着眼于多举例子，似乎学生做题越多越高效.我认为，不着重启发学生思路、推进其思维过程的课堂就不是高效课堂.只有让学生的“脑”和“手”都动起来，并使之在数学方法上有了突破，在数学思维能力上有了提升，才能称为高效.可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是加强学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.因此，在二轮复习时应对高中数学涉及的四种主要思想方法即“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”进行专题研究，并在解题活动中注意提炼，而这些思想方法在各内容中侧重点各有不同.比如三角函数中公式及性质之类的内容较多，“等价转化”和“数形结合”的思想在三角函数这章中贯穿始终.例如：若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（ B ）A.1B.C.D.2分析：|MN|=|sina-cosa|=| sin（a- ）|= |sin（a- ）|≤ ，将两点之间的距离转化为三角函数的最值求解，而转化为三角函数的过程则运用了差角正弦公式的转化，体现了转化和数形结合的思想.四、加强专题训练高考命题强调全面考查考生的数学能力.在二轮复习中我主张将历年高考试题按内容分类，经过筛选组成专题让学生练习.但选题时做到既要纵选，又要横选.例如，我在编三角函数资料时，除了把本省近五年高考三角函数试题编出来给学生练习外，还选一些外省的比较新颖的试题让学生练习.例如：（2010年重庆卷文15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为α =（i=1，2，3），则cos cos -sin sin = .通过专题训练，使学生学会综合运用所学数学知识、思想和方法对新的信息、情境和设问进行分析与加工，独立思考，研究探索，解决问题，增强实践能力和创新意识.有利于学生了解认识新形势下高考试题，适应高考新要求.五、注重引导学生进行总结与反思每次考试或练习，教师讲评后要引导学生及时总结反思，总结试卷中试题涉及的知识点，采用了哪些解题方法，反思自己错误的原因，要把当时解题思路的误区进行剖析，并补充好的解法.例如：已知α∈（0，π），sinα+cosα= ，求tanα的值.【错点分析】本题利用平方关系求出sinα-cosα的值，再通过解方程组的方法可解得sinα、cosα的值.但在解题过程中忽视了sinαcosα平时做练习题时，我都要求学生把选择题和填空题的主要过程写在试卷上，一是节省草稿纸，高考只一张草稿纸，养成只用一张草稿纸的习惯；二是等以后复习时能知道当时自己的思路误区在哪里，让学生养成整理“错题集”的习惯.只有这样不断地反思，才能真正做到：退一步——触发灵感，进一步——认清本质，串一串——融会贯通，议一议——豁然开朗，从而提高练习的实效.总之，二轮复习绝不是一轮复习的翻版，要将重点放在指导学生“做真题、练真功”上，指导学生全面整理、提炼已有知识并创造性地运用到新问题和新情景中去.如此，方能真正实现“知识的深化”和“能力的活化”.。

高考数学第二轮复习三角函数的化简与求值人教版

高考数学第二轮复习三角函数的化简与求值知能目标1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.综合脉络三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常用的数学思想方法技巧如下:1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1. 4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等.(一) 典型例题讲解:例1. (1)当2x 0π<<时，函数x2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( )A. 2B. 32C. 4D.34(2) 已知=α=αcos ,32tan 则 . 例2. 已知22tan =α, 求: (1) )4tan(π+α的值; (2) α-αα+αcos 2sin 3cos sin 6的值.例3. 已知A 、B 、C 的坐标分别为A )0,3( , B )3,0( , C )sin ,(cos αα , )23,2(ππ∈α. (1) 若|||| =, 求角α的值; (2) 若1B -=⋅, 求α+α+αtan 12sin sin 22的值.例4. 已知,0x 2<<π-51x cos x sin =+. (1) 求x cos x sin -的值; (2) 求xcot x tan 2x cos 2x cos 2x sin 22x sin 322++-的值.(二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. =-15cot 15tan ( ) A. 2 B. 32+ C. 4 D. 32-2. 若,x 2sin )x (tan f = 则)1(f -的值为 ( ) A. 2sin - B. 1- C. 21D. 13. 已知=π-β=π+α=β+α)4tan(,223)4tan(,52)tan(那么 ( ) A. 51 B. 1813 C. 41 D.22134. 若βα，均是锐角，且)cos(sin 2β-α=α, α与β的关系是 ( )A. β>αB. β<αC. β=αD.2π>β+α5. 化简: = .A. 0B. 1-C. 1±D. 16. 已知,1027)4sin(=π-α且432π<α<π, 求)42tan(π+α的值． A.3217 B. 1731 C. 1731- D. 3117-二. 填空题 7. 若,31)6sin(=α-π 则=α+π)232cos( .8. 设α为第四象限的角, 若513sin 3sin =αα, 则=α2tan ___________.9. 已知α、β均为锐角, 且),sin()cos(β-α=β+α 则=αtan .10. 若71cos =α, )2,0(π∈α, 则=π+α)3cos(________ __.三. 解答题11. 已知α为第二象限的角, 53sin =α, β为第一象限的角, 135cos =β, 求)2tan(β-α的值.12. 化简:.)4(sin )4tan(21cos 222α+π⋅α-π-α .13. 已知向量)sin ,(cos θθ= m , 和),2,(),cos ,sin 2(ππ∈θθθ-= n且.528||=+ n m 求)82cos(π+θ的值.[参考答案](一) 典型例题例1. 解：1. (1) D ; (2) －54. 例2. 解：(1) ∵22tan =α, ∴ 3441222tan 12tan2tan 2-=-⨯=α-α=α; 所以71341134tan 11tan 2tan tan 14tantan )4tan(=++-=α-+α=πα-π+α=π+α.(2) 由(1)34tan -=α, 所以672)34(31)34(62tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=--+-=-α+α=α-αα+α例3. 解：(1)∵|AC ||BC | =, ∴点C 在x y =上, 则α=αcos sin .),23,2(ππ∈α .45π=α∴(2) ),sin ,3(cos α-α=),3sin ,(cos -αα=,1)3(sin sin )3(cos cos -=-αα+-αα∴ 则32cos sin =α+α 原式＝.95cos sin 2-=αα例4. 解：(1) 25241251x cos x sin 251x cos x sin -=-=⇒=+， 254925241)x cos x (sin 2=+=- ，又0x cos x sin 0x 2<-⇒<<π- ，57x cos x sin -=-∴．(2) 原式125108)2512(59x cos x sin )]x sin x (cos 2[xcos x sin 1xsin 12xsin 22-=-⨯=+-=-+=．(二) 专题测试与练习一. 选择题二. 填空题7. 97-; 8. 43-; 9. 1 ; 10. 1411-.三. 解答题11. 解：α是第二象限角，7242tan 43tan 54cos 53sin -=α⇒-=α⇒-=α⇒=α， β是第一象限角，253204)2tan(512tan 135cos =β-α⇒=β⇒=β12. 解：原式＝12cos 2cos )4cos()4sin(22cos )]4(2[sin )4tan(22cos 2=αα=α-πα-πα=α-π-πα-πα13. 解法一:)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+ n m22)sin (cos )2sin (cos θ+θ++θ-θ=+ n m )sin (cos 224θ-θ+=)4cos(44π+θ+=)4cos(12π+θ+=由已知528||=+ n m ，得257)4cos(=π+θ又1)82(cos 2)4cos(2-π+θ=π+θ 所以2516)82(cos 2=π+θ 0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π 54)82c o s (-=π+θ∴解法二:n m n m n n m m n m n m ⋅++=+⋅+=+=+22)(22222]cos sin )sin 2([cos 2)cos )sin 2(()sin cos (2222222θθ+θ-θ+θ+θ-+θ+θ= )82(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π+θ=π+θ+=θ-θ+=由已知528||=+ n m ，得54|)82cos(|=π+θ0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π 54)82cos(-=π+θ∴。

三角函数中的化简求值(经典版)

一、题型选讲
题型一灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。

在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
求tan()
αβ
-的值．
题型二探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。

应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代
换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
．
题型三、运用构造法化简与求值
2、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．。

2013届高考数学考点讲解：考点12 三角化简求值(新课标解析版)

考点12 三角化简求值【高考再现】热点一利用两角和差的正弦、余弦、正切公式求值1. （2012年高考（重庆文））sin 47sin17cos30cos17-（）A ．B ．12-C ．12D【方法总结】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．(2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.热点二利用倍角公式以及诱导公式求值1. （2012年高考（辽宁文））已知sin cos αα-=,α∈(0,π),则sin 2α= （）A ．-1B ．CD ．12. （2012年高考（江西文））若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=（）A ．-34B ．34C ．-43D ．43【答案】B【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以cos α可得tan 3α=-,带入所求式可得结果.3. （2012年高考（大纲文））已知α为第二象限角,3sin 5α=,则sin 2α= （）A ．2425-B ． 1225-C ．1225D ．24254. （2012年高考（山东理））若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2θ,则sin θ=（）A ．35B ．45CD ．345. （2012年高考（江西理））若tan θ+1tan θ=4,则sin2θ= （）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===, 所以.1sin 22θ=. 6. （2012年高考（大纲理））已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos 2α=（）A．B．C D【方法总结】一、利用诱导公式化简求值时的原则1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.二、利用倍角公式化简求值二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．【考点剖析】一．明确要求二．命题方向1．考查利用三角函数的公式对三角函数式进行化简求值.2.公式逆用、变形应用是高考热点．3.题型以选择题、解答题为主.三．规律总结基础梳理2．诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，其中k ∈Z . 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α， tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α. 公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α.公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.5．有关公式的逆用、变形等6．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．三种方法在求值与化简时，常用方法有： (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦． (2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．【基础练习】1．（教材习题改编）已知1cos 3α=，(,2)αππ∈，则cos 2α等于（）A B ． C D ．2．（经典习题）已知函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=+--，则()12f π等于（）A ．12 B ．12- C D ．3．（经典习题）已知1tan 2α=，则2cos 2sin 21cos ααα++等于（） A ．3 B ．6 C ．12 D ．32【答案】A【解析】222cos 2sin 212cos 2sin cos 22tan 3cos cos αααααααα+++==+=4．（经典习题）sin 585°的值为 ( ) A ．－22 B.22 C ．－ 32 D.32【答案】A【解析】：sin 585°＝sin(360°＋225°) ＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 5．(教材习题改编)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6 B ．－π3 C.π6 D.π36．（经典习题）若tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αααα-+的值为 ( )A ．0 B.34 C ．1 D.54【答案】B 【解析】：2sin cos 2tan 12213sin 2cos tan 2224αααααα--⨯-===+++7. (教材习题改编) 0000sin 34sin 26cos34cos 26-的值是 ( )A.12B. 32 C ．－12 D ．－328.(经典习题)若4cos 5α=-，α是第三象限角，则sin()4πα+= ( )A ．－7210 B.7210 C ．－210 D.210【答案】A【解析】：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210.9．(教材习题改编)已知sin α＝35且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin 2α－cos 2α 等于________．10．(教材习题改编)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．【解析】：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12.11．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )．A ．2cos 2π12－1 B ．1－2sin 275°C.2tan 22.5°1－tan222.5°D．sin 15°cos 15°12．(人教A版教材习题改编)已知sin(π＋α)＝12，则cos α的值为( )．A．±12B.12C.32D．±32【名校模拟】一．基础扎实1．（台州2012高三调研试卷理）tan330=（）(D)【答案】D【解析】3 tan330tan30=-=-．2．(2012·嘉兴调研)计算1tan 10°－4cos10°＝________.3．(2012·衡阳模拟)已知sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值为________．【解析】：由sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得cos α＝－1213，tan α＝－512. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5122＝－120119.4．(2012·赣州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )A.45B.35C.32D.355．(2012·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 ( )A ．3B ．－3C ．1D ．－16．（2012海淀区高三年级第二学期期末练习文）22cos 15sin 15-的值为（A ）12（B（C（D【答案】C【解析】223cos 15sin 15cos30.-==7．（2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文） 150sin =（）A ．21 B ．-21C ．23D ．-23【答案】A【解析】1sin150=sin(18030)sin 30,2-==故答案为A.8．(长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）) 已知)2,(,53)cos(πππ∈=+x x ，则x sin等于（）53.-A 54.-B 53.C 54.D9．(河南省郑州市2012届高三第二次质量预测文)已知，则=__【答案】：45-【解析】：依题意得，4cos 5α==，()4cos cos 5παα-=-=-. 二．能力拔高 .1．(2012·宁波模拟)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·1－cos 2αsin 2α＝________.2．(中原六校联谊2012年高三第一次联考理)已知sin cos 2,sin cos αααα+=--则2cos sin cos ααα+的值是（）A ．6655-或B ．65-C ．65D ．45【答案】C【解析】∵sin cos 2sin cos αααα+=--∴1tan 3α=∴22222sin cos cos tan 16sin cos cos sin cos tan 15αααααααααα+++===++3．(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )已知33)6cos(-=-πx ，则=-+)3cos(cos πx x （） A ．332-B ．332±C ．1-D ．1±4．(山西省2012年高考考前适应性训练理)=+50cos 40cos 120sin （） A ．21 B ．22 C ．2 D ． 25．(浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理)23tan()sin()(απαπα--=f ，则31()3f π-的值为（）A ．12-B ．12C D ．6．(2012·湖州一中模拟)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值；(2)求β.7．(2012·温州模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________. 【解析】：由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∴tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]tan()tan 2241tan()tan 1(2)23βααβαα----===+-+-⨯8．(2011·杭州师大附中月考)如果f (tan x )＝sin2x －5sinx cos x ，那么f (5)＝________.9．(2012·杭州调研)点A (sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．(河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试理)已知α是第三象限的角，且tan α=2，则sin （α+4π）=A ．BC ．D ．【答案】 A【解析】因为tan 2α=，α为第三象限，所以sin α=cos α=所以sin()sin cos cos sin 444πππααα+=+= 故选A.11．（成都市2012届高中毕业班第二次诊断性检测理）若，则=（）(A) (B) (C)D)12．（海南省2012洋浦中学高三第三次月考）已知31)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则)4tan(πβ+的值为（）A ．2 B. 1 C. 22D. 2 【答案】B【解析】解：因为31)4tan(,21)tan(-=-=+παβα，则tan()tan[()()]44ππββαα+=+--，利用差角的正切公式可以求解得到为1。

高考数学二轮复习专题一三角函数和平面向量第1讲三角函数的化简与求值课件

x
2
.
(2)因为角α是一个三角形的最小内角,
所以0<α≤ ,所以0<x≤ 3 . 3
又f(x)=1
x 2
x
2
=
2
x
1
1
,设g(x)=2x+
1 x
(0<x≤
3 ),
则g(x)=2x+ 1 ≥2
x
2 x当且仅当x
2 2
时取等号 ,
故函数f(x)的值域为 0,
2 4
.
【方法归纳】已知三角恒等式的三角函数式的化简与求值,常用所求角表示已知角,即对已知恒等式中的角进行变换,使其与所求角建立联系,同时要注意同角三角函数基本关系式在解题中的应用.
此时cos
θ=cos
2
2k
φ =-sin
φ=-
25 5
.
α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为
.
答案 3 4
解析由题意可得-(tan α+tan β)=1-tan αtan β,则tan(α+β)= tan α tan β =-1,又
1 tan α tan β
α,β∈
所以 2sin α cosα
sin2α cos2α
+
cos2α sin 2α
sin2α cos2α
tan
β=3tan
β,
所以 2 tan α
1 tan2α
+1
1
tan 2α tan 2α
tan
β=3tan
β,
即
1
2
x x2
+1
1

高三数学第二轮复习讲义三角函数

三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式） 3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明． 4．掌握正弦定理、余弦定理，运用它们解三角形 1. 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝， 2．sin(α±β)＝sin α cos β±cos α sin β cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝； tan2α＝ . 类型一：求值例1. 已知tan α=2,求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--; （2） 4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.变式训练1. 已知－02<<x π，sin x ＋cos x ＝51．（1）求sin x －cos x 的值．（2）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．类型二：化简例2. 化简：140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒变式训练2.化简［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22类型三：角的变换例3. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．变式训练3：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.类型四：求解析式例4：已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，则常数a 、b 的值分别是．变式训练4：如图为y=Asin(ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式.类型五：求最值例5：设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2（其中ω>0，a ∈R ），且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π．（1）求ω的值；（2）如果)(x f 在区间]65,3[xπ-的最小值为3，求a 的值．变式训练5：求下列函数的值域：（1）y=xxx cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos )3(x +π+2cosx.类型六：求单调区间例6：已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求f （8π）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.变式训练6：已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？类型七：三角与不等式例7：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．变式训练7：（Ⅰ）在ABC ∆中，已知,sin 232cos sin 2cossin 22B AC C A =+ （1）求证：c b a ,,成等差数列；（2）求角B 的取值范围.类型八：三角应用题例8：某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？变式训练8：如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，计划在矩形区域内（含边界）且与A ，B 等距的O 点建污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAD θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；（ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂O 的位置，使三条污水管道的总长度最短．A BC D O P三角函数章节测试题一、选择题1．若f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝（）A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x 2．设a>0，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x xax x f ，下列结论正确的是（） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 3．函数f(x)＝xxcos 2cos 1- （）A ．在[0，2π]、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递减 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤⎝⎛ππ223，上递减 C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛23ππ，上递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2上递减 4． y ＝sin(x －12π)·cos(x －12π)，正确的是（）A ．T ＝2π，对称中心为(12π，0)B ．T ＝π，对称中心为(12π，0) C ．T ＝2π，对称中心为(6π，0) D ．T ＝π，对称中心为(6π，0) 5．把曲线y cosx ＋2y －1＝0先沿x 轴向右平移2π，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为（）A ．(1－y)sinx ＋2y －3＝0B ．(y －1)sinx ＋2y －3＝0C ．(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝0D ．－(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝06．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则（） A ．ω＝2，θ＝2π B ．ω＝21，θ＝2π C ．ω＝21，θ＝4πD ．ω＝2，θ＝4π 二、填空题7．已sin(4π－x)＝53，则sin2x 的值为。

【高考总复习必备】2013年高三数学专题复习教案第31课时第四章三角函数-三角函数式的化简与证明(全国通用

第31课时：第四章三角函数——三角函数式的化简与证明一.课题：三角函数式的化简与证明二.教学目标：能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明．三.教学重点：熟练地运用三角公式进行化简与证明．四.教学过程：（一）主要知识：1．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．2．三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整．（二）主要方法：1．三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．2．三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）例题分析：例1．化简：（1；（2）(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅；（3)θπ<<．解：（1）原式==2==- （2）原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅ 2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin cos cos ααααααα-=+=+-=．（3）原式==222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<，∴022θπ<<，∴|cos |cos 22θθ=， ∴原式cos θ=-．例3．证明：（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x++=-；（2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A +-+=．证：（1）左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x x x x x x x ++-=+== 22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x x x x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x+++===--右边，∴得证．说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．（2）左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A++-+= sin()cos cos()sin sin A B A A B A A+-+= sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边，∴得证．（四）巩固练习：1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- （ B ） ()A cot α ()B cot 2α ()C tan α ()D tan 2a2．已知()f x =当53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简（D ） ()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．。

2013年高中数学一轮复习教案-三角函数式的化简与证明

三角函数式的化简与证明一．课题：三角函数式的化简与证明二．教学目标：能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．三．教学重点：熟练地运用三角公式进行化简与证明．四．教学过程：（一）主要知识：1．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．2．三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整．（二）主要方法：1．三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．2．三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）例题分析：例1．化简：（1）23sin12(4cos 122)--；（2）(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅；（3(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<．解：（1）原式13sin12cos12)22sin 24cos 24-==sin 482==- （2）原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅ 2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin cos cos ααααααα-=+=+-=．（3）原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<，∴022θπ<<，∴|cos |cos 22θθ=，∴原式cos θ=-．例3．证明：（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；（2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=．证：（1）左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x x x x x x x ++-=+== 22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x x x x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x +++===--右边，∴得证．说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．（2）左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A+-+= sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边，∴得证．（四）巩固练习：1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- （ B ）()A cot α ()B cot 2α ()C tan α ()D tan 2a2．已知()f x =53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为（ D ）()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．五．课后作业：《高考A 计划》考点28，智能训练7，8，9，11，12，14，15．。