研究生 数字图像处理 第11章 2011 09

s
23
（1） G(s)的0频值和最大值（频域）
G(s) 的0频值：
G (0) =
∞
−∞
∫ g (t )dt = ∫ g (t )dt − ∫ g
1 −∞ −∞
∞
∞
2
(t ) dt = G1 (0) − G2 (0) = A1 − A2
其中A1＝g1(t)的面积 、A2＝g2(t)的面积 G(s) 的最大值： G (s)＝G 1 (s) －G 2(s) G 1 (s) 和G 2(s) 在 s=0 处为最大值 设G 2(s) 很狭（条件），A2很小，近似为0， 则 G max ≤ G1 (0) = A 1
t
2011-09-28
σ 1 → ∞，
A 2πσ
2 1
e
→1
22
2、设计高通滤波器的经验准则
g 1( t ) g 2( t ) 0 t
G2( s )
G1 ( s )
0
s
g ( t )= g 1 ( t ) - g 2 ( t )
G(s) = G1 (s) - G2 (s)
0
2011-09-28
t
0
sin( s0t ) ) s0t
-s0
0
s0
s
-4/s0
-2/s0 0
2/s0
4/s0
t
F(u,v) 1
二维 F(u,v) 1 u u
一阶Bessel 函数 圆形二维理想LPF 12
f ( x, y ) =
1 2 2 J ( x + y ) 1 x2 + y2
v
2011-09-28
方形二维理想LPF
1 < x(t ) >= lim T →∞ 2T
∫−T
+T
x(t ) dt
E ( x(t )) = ∫
+∞
−∞
x ⋅ p( x)dx
表示时间平均，对某一样本进行
表示集平均，对某一时刻进行
2011-09-28
28
若：时间自相关函数＝样本集自相关函数， 即
< x(t ) ⋅ x(t + τ ) >= E[ x(t ) ⋅ x(t + τ )] = Rx (τ )
m n
回顾 第9章 线性系统理论
冲激响应、二维卷积、二维矩阵、 平滑、增强、去卷积…… 注意： 一维卷积的矩阵形式？ 二维卷积的矩阵形式？ 块循环矩阵
卷积模板G 对应像素相乘 每个像素都如此运算
图像F 乘的结果相加
卷积结果图像H
2011-09-28
二维卷积的模板运算
2
回顾 第10章 傅立叶变换
连续FT à 傅立叶级数 à 离散FT à FFT 线性系统
v
注：Bessel 函数
N阶Bessel 方程，如
∂2 y ∂y 2 2 x + x + ( x − n )y = 0 ∂x 2 ∂x
2
（如求圆盘的瞬时温度等）
Bessel 方程的无穷级数解： n阶Bessel 函数
∞
x n + 2m J n ( x) = ∑ (−1) n + 2 m m!Γ(m + n + 1) 2 m=0
F ( s ) = σ 2π e
−
s2 2σ 2
t
0
s
频域：平缓下降 时域：幅度缓变 相位线性
2011-09-28
14
11.3 带通和带阻滤波器
1、理想带通滤波器（BPF， ideal Band Pass Filter）
一维情况：
1 G( s ) = 0 f1 ≤| s |≤ f 2 s ＝Π * [δ (s − s0 ) + δ (s + s0 )] 其它 ∆s
G1 ( s ) G2( s )
2011-09-28 24
f(t )
g (t )
h(t)=f(t)*g(t)
（2）低频响应――考察DOG滤波器的低频响应
若f(t)为低频分量（大面积恒定灰度图像）， 极端情况下 f(t) ≈ c。 滤波器输出
0
∞
c x
f (τ)
τ
h( x) =
−∞
∫ cg ( x − τ)dτ = c ∫ g (τ)dτ = cG(0)
t ) 2b
Bb
F ( s ) = Bb[
sin(bs / 2) 2 ] bs / 2
-b
0
b
t
-1/b
0
1/b
2/b
s
2011-09-28
11
频域：陡峭截止 时域：幅度振铃（ringing）
高频截止滤波器――频域，理想低通滤波器
s ) 2s 0
相位的畸变
1
F ( s) = Π (
f (t ) = 2 s0 (
2D-DFT的特殊性质: 可分离性 旋转不变性 共轭对称性 奇、偶、虚、实 能量保持 投影定理，圆对称函数………… 图10-10：相位信息的重要性，人眼对相位信息敏感，
2011-09-28
人耳对相位信息不敏感。
3
傅立叶幅度谱 原图像
傅立叶相位谱
图10-10 傅立叶变换
2011-09-28
由幅度谱重建
理想低通 * 冲激偶 带宽：∆ s =| f1 − f 2 |
g (t ) = ( ∆ s
sin π∆ s ⋅ t π∆ s ⋅ t
) ( 2 cos(2π s 0 t ) ) = 2∆sSa(π∆s ⋅ t ) cos(2π s 0 t )
2011-09-28
15
G (S) 1
g (t)
2∆s[
由相位谱重建
4
示例 图像的DFT及其重建
(a) 原始图像
(b) DFT的幅度谱
(c) DFT的相位谱
2011-09-28
(d) 幅度谱重建图像
(e) 相位谱重建图像 5
11.1 引言
主要内容：低通、高通、带通、带阻滤波器， 维纳滤波器，匹配检测器、中值滤波器等。 （主要是2-D滤波器，但从1-D概念开始） 目标：为特定任务设计最优滤波器。 最优：定应用指标； 定考核准则。 ――在此 2 点基础上的最优。 类型：维纳滤波器、匹配滤波器－－线性滤波器 中值滤波器－－非线性滤波器（统计滤波器）。
离散时间序列信号处理 预测 滤波 平滑 当前值
2011-09-28
t
26
1、随机变量（随机过程回顾）
① 随机变量的独立和相关：
两随机变量 x和y相互独立，则概率密度函数 两随机变量 x和y不相关， 独立 à 不相关 不相关 ×à 独立 则数学期望
p ( x, y ) = p ( x ) ⋅ p ( y )
则具有自相关函数遍历性。 其中
G(s) 1
δ(t)
-f2 -s0 -f1
0
f1 s0 f2
s
0
t 1 ∆s
−
2011-09-28
1 ∆s
19
3、通用带通滤波器
不一定是矩形通带，而是任意通带 K(s)。
G ( s ) = K ( s ) ∗ [δ ( s − s 0 ) + δ ( s + s 0 )] g (t ) = 2k (t ) ⋅ cos( 2πs 0 t )
第11章 滤波器设计
11.1 引言 11.2 低通滤波器 11.3 带通和带阻滤波器 11.4 高频增强滤波器 11.5 最优线性滤波器的设计 11.6 排序统计滤波器 11.7 要点总结
2011-09-28 1
10月8日补10月6日（周四）的课
H (i , j ) = ∑ ∑ F ( m , n )G (i − m , j − n )
傅立叶 反变换
输出图像 g(x,y)
低通
高通
实例：低通和高通滤波器
2011-09-28 17
实例：高通、低通后重建图像
全频谱
原图像
低通后重建
高通后重建
2011-09-28
18
2、理想带阻滤波器（BSF， ideal Band Stop Filter）
s G(s) ＝ 1 − Π * [δ ( s − s0 ) + δ ( s + s0 ) ] ∆s sin π∆st g (t ) = δ (t ) − 2∆ s cos(2π s 0 t ) π∆st g(t)
(16) (12) (8)
(6)
0 宽度为“8”的 Box 滤波器
4
6
8
10
12
16
没有输出
32
s 没有输出
没有输出
BOX滤波器的特性 引起(6)倒转极性
2011-09-28
10
三角形滤波器－－时域
两矩形波卷积为三角波
衰减快，无极性反转，可用两次Box滤波器替代三角脉冲滤波
B
f (t ) = BΛ(
输入 输出
宽度为2 的滤波器 宽度为4 的滤波器 宽度为 6 的滤波器 宽度为8 的滤波器
宽度为12 的滤波器 宽度为16 的滤波器 ห้องสมุดไป่ตู้011-09-28 9
图11-1的解释（频域）
标准条的频率分解 （每一段里是余弦波）
最上面一横排 中的“8” 第“4”段中有16 个周期的余弦波 (4) 第“2”段中有32 个周期的余弦波 (2)
2011-09-28
6
11.2
图像信号的大部分能量集中在低频区域（90％～99％）。 不能忽视图像的高频分量。 噪声并非如此分布。
考虑为什么？
低通滤波器
1、简单的低通滤波器（LPF, Low Pass Filter）