人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)

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北师版九年级数学下册培优精品讲义(最新版;可直接打印)

学科教师辅导讲义

．cosB

．

、正弦，余弦，正切的概念

、特殊角的三角函数值

、tanA是一个比值（数值）

、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关

学科教师辅导讲义知识梳理

（m （参考数据：≈

（

5、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果

此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB

两点的距离是（）

A．200米B．200米

C．220米D．100（）米

6、海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这是测得小岛A在北偏东60°方向

上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为（）

A．5B．6C．6D．8

如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为

7、

急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）

并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．

面用土石进行加固，

（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？

8、一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．

（1）请根据以上描述，画出图形．

（2）已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船

继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？

初中数学培优辅导资料(11—20讲)

初中数学竞赛辅导资料（11）

二元一次方程组解的讨论

甲内容提要

1．二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222

111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2

12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2

12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当

2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=--=12212

11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按

二元一次方程整数解的求法进行。

3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解

含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）

乙例题

例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c

y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解

解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解

解比例得a=10, c=14。

② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。

解得a=10, c ≠14。

③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，

即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2. a 取什么值时，方程组⎩

⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组

人教版九年级上册数学辅导书

以下是一些人教版九年级数学上册的辅导书：

1.《初中数学解题技巧与实战范例》：这本书针对初中数学的各种题型进行了

详细的技巧讲解，并且配有实战范例，可以帮助学生在掌握基础知识的同时，提升解题能力。

2.《初中数学考试指南》：这本书主要是针对初中数学考试进行指导，包括考试

技巧、题型分析、常犯错误等方面，对于提高学生的数学考试成绩很有帮助。

3.《初中数学同步辅导》：这本书与人教版教材相配套，针对每个章节进行了详

细的讲解，并且有丰富的练习题，可以帮助学生更好地掌握数学知识。

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中考数学一轮复习讲义第10讲-直角三角形与锐角三角函数(培优)-学案

中考数学一轮复习讲义第10讲-直角三角形与锐角三角函数（培优）-学案

学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题

第10讲-----直角三角形与锐角三角函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握直角三角形的性质与判定；熟练掌握特殊角的三角函数值；熟练应用锐角三角函数计算高度。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建

一.知识梳理

二.知识概念

（一）直角三角形的性质1直角三角形的两锐角________2直角三角形中，30角所对的边等于斜边的________3直角三角形斜边上的中线等于斜边的________4勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

（二）直角三角形的判定1有一个角等于________的三角形是直角三角形2有两角________的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形

（三）锐角三角函数定义在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，CA的正弦sinA________；A的余弦cosA________；A的正切tanA________.它们统称为A的锐角三角函数锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形

（四）特殊角的三角函数值

（五）解直角三角形1定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角2直角三角形的边角关系在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，C1三边之间的关系____________；2锐角之间的关系

人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题(含答案)

人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题（含答案）一．选择题

1．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）

A．B．C．D．

2．抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）

A．y＝x2﹣3 B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3 D．y＝（x+3）2

3．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）

A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x＝﹣2

C．开口向下D．与x轴有两个交点

4．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（）

A．6 B．5 C．4 D．3

5．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）

A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m

6．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（）

A．15元B．400元C．800元D．1250元

7．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）

A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b

8．已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C 且∠ACB＝90°，则m的值为（）

2024年人教版九年级下册数学考点培优训练考点十七锐角三角函数(第4课时)

十七锐角三角函数(第4课时)

【A层基础夯实】

知识点1 利用计算器求锐角三角函数值

1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18',按键顺序正确的是(D)

2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=42°,BC=8,若用科学计算器求AC的长,则下列按键顺序正确的是 (D)

> sin 37.5°(比较大小).

3.用科学计算器计算:√5-1

4.用计算器求下列各式的值(精确到0.001):

(1)sin 59°;(2)cos 68°42'.

【解析】(1)sin 59°≈0.857;

(2)cos 68°42'=cos 68.7°≈0.363.

5.用计算器求下列各式的值:(精确到0.000 1)

(1)sin 15°18'+cos 7°30'-tan 54°42';

(2)sin 48°25'-cos 23°27'-tan 48°.

【解析】(1)sin 15°18'+cos 7°30'-tan 54°42'

≈0.263 87+0.991 44-1.412 35

≈-0.157 0;

(2)sin 48°25'-cos 23°27'-tan 48°

≈0.747 99-0.917 41-1.110 61

≈-1.280 0.

知识点2 已知三角函数值利用计算器求锐角的度数

6.锐角A满足cos A=1

,利用计算器求∠A时,依次按键,则计

算器上显示的结果是(C)

A.30

B.45

C.60

D.75

7.如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板,利用该型号计算器按此顺序输入:

,显示屏显示的结果为88.991 020 49,将这个数据精确到0.001后,下列说法正确的是(B)

人教版九年级数学上册圆的有关性质培优训练(含答案)

人教版九年级数学 24.1 圆的有关性质培优

训练

一、选择题（本大题共8道小题）

1. 如图，在⊙O 中，∠ABC ＝50°，则∠AOC

等于( )

A. 50°

B. 80°

C. 90°

D. 100°

2. 如图，已知直径

MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵

＝

BN ︵；③AM ︵＝BM ︵

；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3. 2019·葫芦岛如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数

为( )

A ．70°

B ．55°

D ．35°

4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立．．．

的是( )

A ．∠COE ＝∠DOE

B ．CE ＝DE

C ．OE ＝BE

D.BD ︵＝BC ︵

5. 如图，A 、D 是⊙O

上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC 等于( )

A . 64°

B . 58°

C . 72°

D . 55°

6. 如图所示，M

是⊙O 上的任意一点，则下列结论中正确的有( )

①以M 为端点的弦只有一条；②以M 为端点的半径只有一条；③以M 为端点的直径只有一条；④以M 为端点的弧只有一条．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

7. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是(2，a)(a ＞2)，半径为2，函数y ＝x 的图象

被⊙P 截得的弦AB 的长为2 3，则a 的值是( )

A ．2

B ．2＋ 2

C ．2 3

D ．2＋

8. 如图，△ABC 的内心为I ，连接AI 并延长交△ABC 的外接圆于点D ，则线段DI 与DB 的

初三下册数学直升班培优讲义学生版第3讲相似三角形(一)

模块一比例的性质和成比例线段的概念

比例的性质示例剖析

(1)基本性质： a c ad bc(bd ) x y x y

b d

(2)反比性质： a c b d , —

(abcd )

x y .—(xy )

b d a

c x y

(3)更比性质： a c a 一或

b d

d x y x —或丄—(xy )

d c (abcd ) y x

b a

(4)合比性质： a c a b c d (bd ) x x y (y )

b d b d y y

(5)分比性质： a c a b c d (bd ) y y x (x )

b d b d x x

(6)合分比性质 a c a b c d x x y

b d a b

d —(y ,x y)

(bd ,a b,c d)

y x y

(7)等比性质：

a c m 已——=,则当x y z 时，

—(b d n ) x y z

b d n

a c m a

(b d L n ) x y z x y z

b d n b

1. 比例的项：

在比例式a:b c:d (即- —)中，a, d称为比例外项，b, c称为比例内项.特别地,

b d

a b

在比例式a :b b: c (即一一)中，b称为a, c的比例中项，满足 b ac .

b c

2. 成比例线段：

四条线段a, b, c, d中，如果a和b的比等于c和d的比，即--，那么这四条线

b d

段a, b, c, d叫做成比例线段，简称比例线段.

第3讲相似三角形(一)

3 •黄金分割：

如图，若线段AB上一点C,把线段AB分成两条线段AC和BC （AC BC ）,且使AC 是AB和BC的比例中项（即AC AB BC ），则称线. 會. 段

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第九讲统计与概率(含答案)

第九讲统计与概率

趣题引路】

1991年1月美国人塞望（M.Savan）女士在《检阅》杂志上刊登了一则趣题，当时曾引来了从小学生到大学教授上万封来信讨论.题目是：主持人指着三扇关闭的门，说：“其中两扇门是空的，有一扇门里有1辆车，请你选一扇门，如果选中了有车的那一扇，就可开走这辆车．”同时问约翰：“你是否愿意重选另一扇未被打开的门？”请你帮助约翰出个主意.

解折由概率理论应该换，若不换的话得到车的概率是1

；若换的话得到车的概率是

知识延伸】

自从出现了人类社会，就不可避免地产生社会性的生产活动、经济活动、教育活动和军事活动，这些活动中处处都有数据存在，于是也就出现了各种统计工作，如人口统计、资源统计、经济统计等等．统计学是一门与数据密切相关的学问，研究如何搜集、整理、计算和分析数据，然后从中找出一些规律．众数、中位数、平均数都是从不同的侧面反映了一组数据的集中趋势；方差则是反映一组数据波动大小的量；频率分布表和频率分布直方图则是从数和形的角度反映了落在某一范围内数据的多少．

在日常生活中概率也是应用最广的运算．如早晨去上学，要不要带雨具，就要根据“降水概率”的大小来决定；又如每个家庭除了日常生活开支之外，都要有点积蓄，因为对于一个有学前儿童的家庭来说，儿童从六岁起要进行九年义务教育，需要各种开支，这是必然事件；家庭成员在某种情况下可能会生病，这是随机事件.不管你是自觉的，还是不自觉的，概率都在我们的头脑中起作用．

事件A的概率（Probab i l i ty）用P（A）来表示，有0≤P（A）≤1.若A是必然事件，则它的概率是1，即P（A）＝1；若A是不可能事件，则它的概率是0，即P（A）＝0.

人教版九年级(上册)数学培优资料(一)

人教版九年级（上册）数学培优资料（一）

第二十二章一元二次方程

一、一元二次方程根判别式的应用

已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax

（1）⊿=b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；

（2）⊿=b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；

（3）⊿=b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．

练习：

1、不解方程，试判定下列方程根的情况：2+5x=3x 2

2、k 的何值时？关于x 的一元二次方程x 2-4x+k-5=0有实数根

3、不解方程，判别关于x 的方程x 2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．

4、求证方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。

二、一元二次方程根与系数的关系的应用（韦达定理）

已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是x 1和x 2，那么

21x x += ；21x x =

练习：

1、已知方程x 2074-=-x 的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =

2、已知方程x 2+3x －5=0的根是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =

3、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；

2111x x + ；x 21+x 22= (x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

4、关于x 的方程x 2－ax －3=0有一个根是1，则a= ，另一个根是。

A B C Q D P A

B C D 三、一元二次方程的应用

人教版九年级上数学第22章二次函数培优训练(含答案)

人教版九年级数学第22章二次函数培优训

练

一、选择题（本大题共10道小题）

1. 下列函数解析式中，一定是二次函数的是( )

A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c

C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋1 x

2. 已知二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是()

A．(1，0) B．(－1，0) C．(－3，0) D．(3，0)

3. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()

A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s

将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是( )

A．向左平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度

C．向上平移3个单位长度

D．向下平移1个单位长度

5. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是()

A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2

已知二次函数y＝a(x－1)2＋c的图象如图，则一次函数y＝ax＋c的图象大致是(

)

7. (2019•随州)如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；

②；③；④是关于的一元二次方程

的一个根．其中正确的有

A．1个B．2个

C．3个D．4个

矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为( )

九年级(上)培优讲义：第1讲锐角三角函数

第1讲：锐角三角函数

一、建构新知

1. 请同学们回忆一下，我们已经学过哪些类型的函数？对于函数这种重要的数学模型是如

何定义的？函数与自变量之间存在着怎样的一种关系？

2. 如图，已知△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形对应边成比例的性质，我们可得

AD AE DE

AB AC BC

,你还可以得出类似也相等的比例式吗？请写出来，并请说明理由.

3. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c . 则

(1)sinA = cosA = tanA =

(2)sinB = cosB = tanB =

(3)从上题的六个式子中，请你试着找出同一个角的不同三角函数值之间及互余两角的三角函数值之间具有怎样的数量关系.

4.阅读教材后回答：

（1）在锐角三角函数中，自变量是什么？函数是什么？

（2）本节课本中指出锐角三角函数的值都是正实数，且0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，

你能说明原因吗？那么tanα的取值范围是什么？

5.特殊三角函数值巧记的方法.

(1) 识图记忆法

D C

45︒

45︒60︒

30︒2

(2) 列表记忆法

(3) 规律记忆法

观察上述表格中的函数值，根据数值的变化特征，可以总结出下列记忆规律： ①有界性：锐角三角函数值都是正数，即当090α︒︒＜＜

时，有01α＜sin ＜，01α＜cos ＜ ②增减性：锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小，即当090A B ︒︒＜＜＜时，sin sin A B ＜，tan tan A B ＜，cos cos A B ＞。特殊地，当045A ︒︒＜＜时，sin cos A A ＜，当4590A ︒︒＜＜，则sin cos A A ＞二、经典例题

九年级下册数学同步课程讲义第10讲-直线和圆的位置关系(培优)-学案

九年级下册数学同步课程讲义第10讲-直线和圆的位置关系（培优）-学案

学科教师辅导讲义学员编号_________年级九年级（下）课时数3学员姓名辅导科目数学学科教师授课主题

第10讲-----直线和圆的位置关系授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标结合图形理解直线与圆的位置关系，并掌握条件；熟练掌握切线的性质与判定定理；掌握三角形内切圆尺规作图的方法与内心性质。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建

一.知识梳理

二.知识概念

（一）直线和圆的三种位置关系相离一条直线和圆没有公共点相切一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点相交一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线（二）直线与圆的位置关系判定设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d直线l和O相交dr直线l和O相切dr直线l和O 相离dr

（三）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

1.注意切线的性质可总结如下如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足

第三个条件，这三个条件是直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直

2.切线性质的运用（常作辅助线）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作见切点，连半径，见垂直

（四）切线的判定定理

1.切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

2.在应用判定定理时注意（常用解题思路）切线必须满足两个条件a.经过半径的外端；b.垂直于这条半径，否则就不是圆的切线切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”

著名机构初中数学培优讲义实数.第01讲(A).教师版

内容基本要求

略高要求

较高要求

平方根、算数平

方根

了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根

会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根

立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方运算的方法，求某些数的立方根

能运用圆的性质解决有关问题实数了解实数的概念

会进行简单的实数运算

1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；

2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件

3.能进行实数的运算

无理数的发现 ── 第一次数学危机

大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社

会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．

到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些

中考要求

重难点

课前预习

实数

困难和微妙之处．第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！

初中数学培优辅导资料(1-10)讲

初中数学竟赛辅导资料(1)

数的整除（一）

内容提要：

如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.

能被7整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）

能被11整除的数的特征：

①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除

如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）

例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。求x,y

解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3

例2己知五位数x 1234能被12整除，求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，

当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8 ∴X ＝8

例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，

但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行

调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。练习

１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）

①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296

987能被3整除，那么a=_______________

北师版九年级数学下册培优精品讲义

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：九年级（下）课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课主题第01讲-----锐角三角函数与解三角形

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

教学目标①掌握锐角三角函数的几何意义及计算公式；

②掌握特殊角的三角函数值，并能进行熟练计算；

③能根据题目已知条件，进行解三角形；

④能利用三角函数进行简单的应用，并解决问题。

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建

（三）三角函数之间的关系

1、余角关系：在∠A+∠B=90°时

B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =⋅B A

2、同角关系

sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan A

A = （四）斜坡的坡度

1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．

俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．

（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i 表示．

坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i ＝_tan α 如图所示，

l h

i ==αtan ，即坡度是坡角的正切值．

（3）方向角：

平面上，通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．

（五）解三角形

1、定义

锐角A 的正弦，余弦和正切都是∠A 的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可利用以上关系求出另外3个元素．