爱提分几何第02讲鸟头模型

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4几何五大模型——鸟头模型

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------4几何五大模型——鸟头模型几何五大模型鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出鸟头模型。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

）△ADE△ABCS ADAE=S ABAC EDC BA 二一点在边上，一点在边的延长线上：△CDE△ABCS CDCE=S BCAC EDCBA 本讲要点如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米，△ ABC 的面积是平方厘米．例例 2 （1 ）如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7, △ABC 的面积是的面积是 16 平方厘米，求△ABC 的面积。

（2 ）如图在△ABC 中，D 在 BA 的延长线上，E 在在 AC 上，且 AB:AD=5:2 ，AE:EC=3:2, △ADE 的面积是的面积是 12 平方厘米，求△ABC 的面积。

已知△DEF 的面积为12 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

1 / 22例例 1 例例 2 例例 3 三角形 ABC 面积为 1，AB 边延长一倍到 D，BC 延长 2 倍到 E，CA 延长 3 倍到 F，问三角形 DEF 的面积为多少？三角形 ABC 面积为 1，AB 边延长一倍到 D，BC 延长 2 倍到 E，CA 延长 3 倍到 F，问三角形 DEF 的面积为多少？ FEDCBA 例例 4 例例 5 长方形ABCD 面积为 120，EF 为 AD 上的三等分点，G、H、I 为 DC 上的四等分点，阴影面积是多大？长方形 ABCD 面积为 120，EF 为 AD 上的三等分点，G、H、I 为 DC 上的四等分点，阴影面积是多大？如图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 边作边 AD 、 BC 的平行线 EF 、 GH ，若PBD 为的面积为 8平方分米，求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？ AB CDEFGHP 例例 61. 如下左图，在ABC △ 中，D 、E 分别是 BC 、AB 的三等分点，且ABC △ 的面积是 54 ，求CDE △ 的面积。

小学奥数_几何五大模型(鸟头模型)讲解学习

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那三角形等高模型与鸟头模型么三角形ABC 的面积是多少？EDC B AA B C DE【解析】连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD =∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【解析】连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．【例 4】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABCS S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．A【解析】由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△；而66218ABC S =⨯÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷⨯=△，6CDF S =△ 故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．【例 7】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =V V ，1ABC S =V ， ∴S 1DBC =V ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=． (法2)用共角定理∵在ABC V 和CFE V 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯V V ．又1ABC S =V ，所以8FCE S =V ．同理可得6ADF S =V ，3BDE S =V ．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=V V V V V ．【例 8】如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 9】如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB AA B CDEFGH【解析】连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米【例 10】如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=．于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 11】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯△△．又2ABC S =V ，所以0.5FCE S =V ．同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△【例 12】如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S V ．SGF E DCBA【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．【例 13】如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCD EF GABCDEF G【解析】连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==⨯=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =V ，8EFG S =V ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S =V ，32ABFE S =，24ABF S =V ，所以12ABG S =V 平方厘米．【例 14】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ∆与CEH ∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a ，则AGF ∆与CEH ∆的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217⨯-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为496．由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ∆与三角形DEF 的面积之比为43127749⨯=．同理可知BDC ∆、AEC ∆与三角形DEF 的面积之比都为1249，所以ABC ∆的面积占三角形DEF 面积的1213134949-⨯=，所以ABC ∆的面积的面积为4913136496⨯=．【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是．B DCEA【解析】从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363⨯+⨯=，所以五边形的面积是12103633-=．。

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型预览说明:预览图片所展示的格式为文档的源格式展示,下载源文件没有水印,内容可编辑和复制几何五大模型——鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型”。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

）△ADE △ABC S AD ×AE =S AB ×ACE DC BA二一点在边上，一点在边的延长线上：△CDE △ABC S CD ×CE =S BC ×ACED C BA本讲要点如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ ABC的面积是平方厘米．例2 （1）如图在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC 的面积是16平方厘米，求△ABC 的面积。

（2）如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC 的面积。

例2例1已知△DEF 的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

三角形ABC 面积为1，AB 边延长一倍到D ，BC 延长2倍到E ，CA 延长3倍到F ，问三角形DEF 的面积为多少？ F E DC B A例4例3长方形ABCD 面积为120，EF 为AD 上的三等分点，G 、H 、I 为DC 上的四等分点，阴影面积是多大？如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ DE F P例6例51. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求CDE △的面积。

鸟头模型

鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【例 1】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．E DCB AEDC B A【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ED C BA【例 2】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDC B A【例 3】如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【例 4】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？A B EC D D CE BA【例 5】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．（挑战）FE DCBA【例 6】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．（挑战，选做）F E D CB A【例 7】如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？（挑战选做） ABC D E F巩固提升：1、请证明S 三角形ADE:S 三角形ABC=AE ×AD ：AB ×AC2如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲ED CB A3、。

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型<2>几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型鸟头定理（共角定理）模型’两个三舀葩中有一个角相同或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面和出等于对应角（相同角或互补角）两夹边的乘积之比。

如下图在A A BC 中* D, E 分别是基禺AC 上的点（或D 在的延长线上，E 在盘C 上人则 S^BC ：S^ADE =（AB X AQ:（AD X AEJ 证明:最后我们会发现两种情况的证明方迭完全一样°卑头定理（共角定理）辺難逹接BE*在ZiAEB 申「吕_ ADSiABE AB 在A ABC中I_ 竺S A AEC AC 将（1> x（?）有*s 込呼_理EXAD5 A ABC ACi<ab< p="">证毕.⑴例题1:如上图，在△ABC 中，D,卫分别是AE AC 卜的点，賞中：ECEAE, AD=2DB, S MEC =1，求△ ADE 的面积?题_ 解法利用鸟头定理有：严匹S^ABC所 fA SiADE~ 7AE AD12 1__ x ___ = _ V _ ——_ AC X AB 4 X 3 6本題也可以不用鸟头定理，而用等积变换。

连接BE 在AAEF 中，S AAED ' S AAEB =AD : AB=2:3 S AAED ^CJ^S ZIAEF 在△ABC 中,S AAEB ：S AABC =AE: AC=1:4 E △血 EB =（1/4）￡_ABU由（“（2）式可得S ^D=；x|xS_kB c=;题_解法二AEXAD ACxAB诵过观察题一的解袪二我们可以找到一个证明如模型图一中鸟头定理的方例题2:如上图「在A ABC 中，E 是AC 上的点，D 县BA 証萇线卜的一占? EC=2AE, AB=2AD, S_AEC =1 ,求 A ADE的面憩连接BE 在中，SUDE _ 空S 4iABE AS 1SAA&C中，SgEE ； _ AE S ￡I AB 匚 AC 将(1)X (2)有'S 企ADE ；” AEX血D S ^AEC ACXAB 证毕。

几何入门之鸟头模型

一、知识站点：
1．鸟头模型三种形式及其证明；
2．鸟头模型的总结及运用说明；
3．鸟头模型的综合运用。

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1．鸟头模型三种形式及其证明：
⑴内部鸟头；
⑵啄木鸟型；
⑶沙漏型。

2．鸟头模型的总结及运用说明：
⑴鸟头模型能解决的问题；
⑵鸟头模型的运用需要的条件。

如图，在三角形ABC中，AD∶AB = 3∶4，AE∶AC = 2∶3，请问：三角形ADE的面积是三角形ABC面积的几分之几？
如图，三角形ADE的面积为1平方厘米，A和E分别为DC边和AB边上的中点，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？
几何入门之鸟头模型
(★)
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如图，三角形ABC的面积是36平方厘米，AB＝2AD，AC＝2AE，那么三角形ADE的面积是多少平方厘米？
3．鸟头模型的综合运用：
⑴注意模型的提取；
⑵注意添加辅助线构造模型。

(★★★)
如图，已知 3AE＝AC，4CD＝BC，5BF＝AB，那么三角形DEF和三角形ABC的面积之比为多少？
(★★★)
如图，已知 2AE＝AB，AD＝AC，F和G分别是AB和BC边上的中点，三角形BFG的面积为1平方厘米，那么三角形ADE的面积是多少平方厘米？
【本讲小结】
1．鸟头模型三种形式及其证明；
2．鸟头模型的总结及运用说明；
3．鸟头模型的综合运用。

学习感悟：。

爱提分几何第02讲鸟头模型资料

精品文档鸟头模型讲_几何第02知识图谱-一、鸟头模型三角形中的鸟头四边形中的鸟头02讲_鸟头模型几何第一：鸟头模型知识精讲两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三我们把这样的（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．角形的面积比等于对应角．的面积是：ADE的面积比△ABC图形，称为鸟头模型．如图所示，△三点剖析进而利用鸟头模型的结论简单化复杂问题，：复杂图形如何构造鸟头模型，重难点进而解决它们．题模精讲三角形中的鸟头题模一、例1.1.1面积ABCADE，，那么三角形占三角形如图，．________的精品文档．精品文档答案：解析：．根据鸟头模型，1.1.2、例ABC，中，，已知已知三角形，ABC在三角形．的面积是，那么三角形24DEF_______面积是答案：7解析：精品文档．精品文档所占比例分别为根据鸟头模型，、、．因此，、、．1.1.3例、，求阴影部BD=2AD 中，，，AG=2CGABC如图，在△面积的几分之几？分的面积占△ABC答案：解析：，故BG；．，故连结，．同理，，即．面积的ABC，故阴影部分的面积占△精品文档．精品文档四边形中的鸟头题模二、例1.2.1．三角形48，，如图，长方形ABCD的面积是．__________CEF的面积是答案：10解析：面积是△．根据鸟头模型，△CEF是CE连接BD，是BC的，CF的CD．的面积是CEFBCD面积的．那么△、例1.2.2精品文档．精品文档边上，且的面积是如图，长方形ABCD1N，是AD边的中点，在AB．．那么，阴影部分的面积为答案：解析：．．连结例1.2.3、在边DC上，，ADABCD如图，正方形中，点E在边上，点F ．_____的面积的比值是的面积与正方形，则ABCD精品文档．精品文档答案：解析：和、三块空白的面积分别占总面积的的面积的比值是，因此ABCD的面积与正方形．、例1.2.4，那60的面积是，E是CD边上的中点，ABCD 如图所示，长方形．__________的面积是么三角形AEF答案：精品文档．精品文档27解析：的面积ABF，ABCD△CEF的面积占长方形△面积的，连接BD面积的ABCD的面积占长方形ABCD面积的，△ADE占长方形面积的的面积占长方形ABCD．所以△AEF．，面积是例1.2.5、的面的面积相等．△AEFADFABCD如图在长方形中，△ABE、△、四边形AECF面积的几分之几？ABCD积是长方形答案：解析：精品文档．，同ABCD面积的，故与△ABE等底等高的长方形面积占面积的CEF面积占ABCD理．因此，，△．ABCD面积的，△AEF的面积是长方形1.2.6、例平方厘米，右上如图，长方形面积为35平方厘米，左边直角三角形的面积为5__________角直角三角形面积为7那么中间三角形平方厘米．面积是（阴影部分）平方厘米．答案：15.5解析：，由两个直角三角形面积可设，则．阴影得，所以．面积精品文档．精品文档、例1.2.7，DE，分别为，，为正六边形．如图，ABCDEFG，HI，JK，LAB，BCCD，．请问：小正六边形占大正EF，FA边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL六边形面积的几分之几？答案：解析：，根；，S设正六边形ABCDEF的面积为，则；小正六边形是，因此据鸟头模型，，一样的三角形得到的，面积为大正六边形减去六个和．小正六边形占大正六边形面积的精品文档．精品文档随堂练习随练1.1、三倍．倍，中，AD的长度是BD的3AC的长度是EC的3在三角形如图，ABC．角形AED的面积是10，那么三角形ABC的面积是__________答案：20解析：面面积是△ABC是AC．根据鸟头模型，有△的ADE是ADAB的，AE．的面积是ABC20．那么△积的随练1.2、，甲乙两个图形面积的，在右图的三角形ABC中，．比是_________精品文档．精品文档答案：解析：．根据鸟头模型，，所以甲、乙两个图形面积的比是随练1.3、，，，12的面积是．已知△DEF如图所示，的面积是多少？那么△ABC答案：36解析：精品文档．，同理的面积是△ABC面积的根据鸟头模型，△AEF ABCDEF的面积是△CDE的面积都是△ABC面积的．所以△和△可得△BDF．的面积是．所以△面积的ABC、随练1.4．请问：三角形，16如图，已知长方形ADEF的面积是，．__________BCE的面积是答案：3解析：．那么△DEF面积是△面积的BCEDF连接，根据鸟头模型，可知△．BCE的面积是精品文档．精品文档、1.5随练，如果阴影的面积是在长方形如图所示，ABCD6中，，，．的面积是__________ABCD那么长方形答案：18解析：．那么阴影部分的BCD根据鸟头模型，可知△CEF面积是△面积的．阴影的面积是△BCD面积的，是长方形ABCD面积的．ABCD，那么长方形的面积是6面积是1.6随练、精品文档．精品文档的面积是中，ABCD，长方形ABCD如图，在长方形．________AEF48，那么三角形的面积是答案：12解析：ADF的面积是长方形面积的根据一半模型和等高模型，△ABE，△的面积是长方形面积的，△CEF的面积是长方形面积的，面积AEF的面积是长方形面积的，所以△是．课后作业作业1、如图所示，已知，，而且△ABC的面积是60．那．么△__________的面积是ADE 精品文档．精品文档答案：12解析：的面积是，即△的面积是△ABCADE面积的ADE根据鸟头模型，△．、作业2倍．如果△ACBDAB的长度是的4倍，的长度是EC的3中，如图，在△ABC 的面积是多少平方厘米？20平方厘米，那么△ADE的面积为ABC答案：10解析：精品文档．精品文档．由鸟头模型可知，由题意知，，平方厘米．3、作业，上的一点，且中，如右图，在三角形为为的中点，．已知四边形的面积为的面积是35，则三角形_____答案：42解析：．，易知，，故4作业、的值？如图，已知，，试求，精品文档．精品文档答案：解析：，根据鸟头模型，，同理．，因此、5作业点的四等分AAC边上靠近EAB如图所示，D是边上靠近A点的三等分点，是，那么三C是FBC边上靠近点的五等分点．如果三角形ABC的面积是24点，．的面积是DEF__________角形答案：5.6精品文档．精品文档解析：，由鸟头模型可得，，，所以．、作业6是的三等分点，边靠近CF是是如图，三角形ABC中，DAB边的中点，EAC 的面积是多少？三角形ABC边靠近BCB的四等分点，三角形的面积为1．DEF答案：解析：，，同理根据鸟头模型，．的面积是：DEF，所以三角形精品文档．精品文档7、作业如CE中，AF的长度是FD的2倍，的长度等于ED．ABCD如图，在平行四边形的面积是多少平方厘果平行四边形ABCD的面积为FDE120平方厘米，那么△米？答案：10解析：．由鸟头模型可知，，由题意知，AC连接，平方厘米．8、作业点的三等分点，边上靠近DAD96长方形ABCD的面积是平方厘米，E是如图，平方厘米．__________CCDF是边上靠近点的四等分点．阴影部分的面积是精品文档．精品文档答案：平方厘米40解析：，分别求出它们的面积．，△考虑空白△AEB，△BFCEDF，AD的；它的高为AB首先求△AEB的面积．它的底为AE，是长方形的长与长方形的宽相等．的面积是长方形面积的，即AEB所以△平方厘米．，BF 同样可求得平方厘米的面积是长方形面积的平方厘米．，即△EDF的面积是长方形面积的，阴影部分的面积为所以空白部分的总面积为作业9、精品文档．精品文档ACF2，三角形ADBADEF如图，已知长方形的面积是16，三角形的面积是ABC的面积是4．请问：三角形的面积是多少？答案：7解析：，；；，；因此，；．精品文档．。

4几何五大模型——鸟头模型

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

（2 ）如图在△ABC 中，D 在 BA 的延长线上，E 在在 AC 上，且 AB:AD=5:2 ，AE:EC=3:2, △ADE 的面积是的面积是 12 平方厘米，求△ABC 的面积。

已知△DEF 的面积为12 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

几何五大模型——鸟头模型一两点都在边上：鸟头定理：（现出“鸟头模型” 。

然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。

最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。

最后按一下，出公式。

）S △ADE = AD×AE S △ ABC AB ×AC一点在边上，一点在边的延长线上：S △ CDE = CD×CE S △ ABC BC ×AC如图，AD=DB，AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5 平方厘米，△ ABC的面积是方厘米．例2例2 （1）如图在△ ABC中，D、E 分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7, △ABC 的面积是16 平方厘米，求△ ABC的面积。

2）如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2, △ADE 的面积是12 平方厘米，求△ ABC的面积。

例3例4三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2 倍到E，CA延长3 倍到F，问三角形DEF的面积为多少BE=CE,AD=2BD,CF=3AF求, △ ABC的面积。

长方形ABCD面积为120，EF 为AD上的三等分点，G、H、I 为DC上的四等分点，阴影面积是多大例6如图，过平行四边形ABCD内的一点 P作边 AD、BC的平行线 EF、GH ，若 PBD的面积为8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米H C1. 如下左图，在 △ ABC 中， D 、E 分别是 BC 、AB 的三等分点，且 △ ABC 的面积是 54，求△CDE 的面积。

12. 如图，长方形 ABCD 的面积是 1，M 是 AD 边的中点， N 在 AB 边上，且AN 1BN ．那 2 么，阴影部分的面积等于．B图1 C3. 如图以 △ABC 的三边分别向外做三个正方形 ABIH 、 ACFG 、 BCED ,连接 HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形 DEFGHI 的面积是 77 平方厘米，三个正方形的面积分别是 9、 16、 36 平方厘米，则三角形 ABC 的面积是多少4. 如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使BD AB ；延长 BC 至 E ，使 CE 2BC ；延长 CA 至F ，使 AF 3AC ，求三角形 DEF 的面积。

几何五大模型之二：鸟头定理(共角定理)模型讲课教案

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型证明：例题1：例题2：现行用拉丁文为生物命名的体系是由林奈（Carl von Linne，通常用其笔名Linnaeus）250年前提出来的。

他的《植物种志》（Species Plantarum）1735年出版。

这个体系称作林奈双名命名体系（Linnaean binomial system of nomenclature），其中生命，如植物，采用两个拉丁化的名字（拉丁双名）来命名。

第一个名代表“属”（genus）名，第二个名代表“种加”（specific epithet）词。

由属名（generic name）和种加词组合起来构成了物种名（species name）。

科、属、种是最常用到的分类单位。

采用拉丁化名字和拼写的习惯一个是源于中世纪的学者，另一个是因为直到19世纪中叶多数植物学出版物仍然使用拉丁语。

“种”以上的分类单位是“属”，再往上是“科”，依次各个分类阶元构成植物分类的阶层系统。

由高到低，植物分类的阶层系统表示如下：--------------------------------------------------------------------------------植物界vegnum vegetable(拉丁名),vegetable kingdom(英文名)门divisio, phylum纲classis, class目ordo, order科familia, family属genus, genus种species, species--------------------------------------------------------------------------------在其中还可以插入亚门、亚纲、亚目、族(tribus, tribe)、亚族、亚属、组(sectio, section)、亚组、系(series, series)、亚种、变种(varietas, variety)、变型(forma, form)等更细的分类阶元。

鸟头模型推导过程

鸟头模型推导过程
鸟头模型是这六大模型中稍微有点难度的模型，初学者一定要从概念入手，充分理解其内涵，准确区分出所给图形中是否存在鸟头模型，并用鸟头定理解决面积与边之间的比例关系问题。

那么什么是鸟头模型(鸟头定理)呢?
一、定义
★两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.这个模型就叫鸟头模型。

其中存在的比例关系就叫做共角定理。

举例:如图在S△ABC中D,E分别是AB,AC上的点或D在BA 的延长线上，E在AC上。

则S△ABC：S△ADE=(ABXAC)：(ADXAE)
记忆方法:?先判断是否是鸟头模型(角相等或互补)
如果是鸟头模型，找到角(相等角或互补角)所对应的两组
夹边，则两个三角形面积之比等于两夹边的乘积之比。

二、主要类型
鸟头模型主要有以下4种类型
三、鸟头原理的证明方法
四、利用鸟头模型解题步骤
第1步：观察：看图中是否有鸟头模型
第2步：构造：通过添加辅助线构造等角或补角，建立起鸟头模型
第3步：假设：根据题目要求，假设所求的线段长度或图形面积
第4步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型的比例关系中计算。

五、例题。

鸟头模型

例题讲解
例6：如图，三角形ABC的面积是1，D、E、F分别在BA、CA、CB的延长线上，且AD=AB， AE=2AC，BF=3BC，求三角形DEF的面积.
例题讲解
练一练6：如图，三角形ABC的面积是2，D、F分别在AB、BC的延长线上，且BD=BA，CB=2CF， E是AC的中点，求三角形DEF的面积.
主讲老师：匠心
日期：2020.02.02
目录
专题解析例题讲解总结归纳巩固提升
专题解析
专题解析
鸟头模型鸟头模型（共角模型）作为比例模型中基础的一种，可以通过等高模型进行推导，其主要研究的是三角形面积比与对应线段乘积比之间的关系.
基本要求存在公共角或互补角，总共有四种基本形式，下面分类列出，并进行证明.
巩固提升
作业3：如图，平行四边形ABCD的面积是2，E、F、G、H分别在BA、CB、DC、AD的延长线上，且AE=3AB，BF=BC，CG=2CD，DH=DA，求四边形EFGH的面积.
巩固提升
作业4：如图，以正十二边形的每条边为边长向外作正方形，求图中两种阴影的面积比.
巩固提升
作业5：如图，正六边形ABCDEF的面积是2020，将其各边向外延长两倍，求六边形GHIJKL的面积.
例题讲解
练一练2：如图，三角形ABC中，D、G分别是AB、AC的中点，E、F为BC的三等分点，已知阴影部分的面积是5，求三角形ABC的面积.
例题讲解
例3：如图，四边形ABCD、DEFG是正方形，试判断三角形CDE与三角形ADG面积的大小关系，并说明原因.
例题讲解
练一练3：如图，以三角形ABC的三条边分别为边长作正方形，已知AB=8厘米，AC=6厘米，求图中阴影面积的总和.

鸟头模型公式推导过程

鸟头模型公式推导过程嘿，咱今儿个就来唠唠鸟头模型公式的推导过程哈！你说这鸟头模型，就好像是数学世界里的一个神秘小城堡，要想进去瞧瞧，那可得费点心思呢！咱先从最基础的开始。

想象一下，有两个三角形，它们就像是两个形状各异的小伙伴。

一个大三角形里有个小三角形，它们之间的关系可微妙着呢！我们要找到它们之间的联系，就像是在解开一个神秘的密码。

咱开始推导啦！先看看这两个三角形的对应边和对应角。

哎呀，这就像是在给它们配对一样。

然后呢，通过一些巧妙的比例关系，慢慢地就能发现其中的门道啦。

你看啊，这比例关系就像是一条神奇的线索，带着我们一点点地深入到鸟头模型的核心。

我们不断地摆弄这些边和角，就像在玩一个有趣的拼图游戏。

有时候会遇到一些小阻碍，别急呀，咱慢慢来。

就像爬山一样，一步一步地往上爬，总能爬到山顶看到美丽的风景。

这推导过程不也是这样嘛，一点点地克服困难，最后就能揭开那神秘的面纱。

咱再仔细瞧瞧，这其中的规律慢慢就显现出来啦。

那些边的比例，角的关系，都变得清晰起来。

就好像黑暗中的灯突然亮了，一切都豁然开朗。

嘿，你说这是不是很神奇呀！从看似杂乱无章的图形中，居然能找出这么美妙的公式来。

这就像在茫茫人海中找到了那个特别的人一样令人惊喜呢！经过一番努力，哇塞，鸟头模型公式就被我们推导出来啦！这感觉，就像是打了一场胜仗，心里那叫一个美呀！总之呢，鸟头模型公式的推导过程虽然有点小复杂，但只要咱有耐心，有毅力，就一定能攻克它。

就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人嘛！大家也都去试试吧，相信你们也能感受到这其中的乐趣和奇妙哦！。

鸟头模型证明过程

鸟头模型证明过程
《鸟头模型证明过程》
嘿，大家好呀！今天咱来唠唠鸟头模型的证明过程哈。

先给大家讲个事儿哈，有一天我去公园玩，看到好多鸟儿在树上叽叽喳喳的。

我就盯着一只特别漂亮的鸟看呀看，突然我就想到了鸟头模型。

咱说鸟头模型哈，其实就是一种几何模型啦。

就好像那只鸟的头和身子的比例关系一样。

比如说有两个三角形，它们有对应的角相等，那它们的面积之比就等于对应边之比的乘积。

这就好比那只鸟的头和身子，虽然大小不一样，但它们之间有个固定的比例关系呢。

咱就拿具体例子来说哈，就像公园里的那棵大树和旁边的小树，它们虽然大小不一样，但如果从某个角度看过去，它们的形状之间也有类似鸟头模型的那种比例关系哟。

哎呀，说这么多，其实就是想让大家明白鸟头模型是咋回事。

就像我看到那只鸟，一下子就联想到了这个有趣的模型。

嘿嘿，是不是还挺有意思的呀。

总之呢，鸟头模型就是这么个神奇的东西，通过观察和思考，就能发现它在好多地方都有体现呢。

就像公园里那些鸟儿和树木一样，到处都藏着奇妙的数学奥秘哟！好了，今天就说到这啦，下次再和大家分享其他好玩的数学知识哈！
咋样，这下大家对鸟头模型有点感觉了吧！哈哈！。

等积变形与鸟头模型

第二讲等积变形与鸟头模型【例1】（难度等级 ※）在三角形ABC 中，已知BC = 6BD ，AC = 5EC ，DG = GH = HE ，AF = FG 。

请问三角形FGH 与三角形ABC 的面积比为何？【分析与解】【例2】（难度等级 ※※）（2008年第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级初赛）如图所示，三角形ABC 中， D 是AB 边的中点， E 是AC 边上的一点，且AE = 3EC ，O 为DC 与BE 的交点。

若∆CEO为a方厘米，BDO−∆的面积为b平方厘米。

且b a是的面积为2.5 平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 ________【分析与解】（2005 第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛）如图所示，四边形ABCD 是长方形，E,F分别为AB,DA的中点，G 是BF 和DE 的交点，四边形BCDG 的面积是40 平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是_______ 平方厘米。

【分析与解】【例4】（难度等级 ※※※）如右图, P 为平行四边形ABCD 外一点，已知三角形P AB 与三角形PCD 的面积分别为7平方厘米和3平方厘米，那么平行四边形ABC 的面积为_______ 平方厘米。

【分析与解】在图中，三个小三角形的面积分别为 5 、8 和10 。

试问四边形ADOE 的面积X 是多少？【分析与解】【例6】（难度等级 ※※※）图中的长方形的长和宽分别是 6 厘米和 4 厘米，阴影部分的总面积是10 平方厘米，四边形 ABCD 的面积是________平方厘米。

【分析与解】如图，四边形ABCD 面积是1，E,F,G,H 分别是四边形的三等分点，即AE=2EB,HD=2AH,CG=2GD,BF=2CF,那么四边形EFGH 面积是多少？【分析与解】连结AD,BC ，在三角形ABD 中运用鸟头定理，122339S AEH S ABD ∆×==∆×，即29S AEH S ABD ∆=∆ 同理，29S AEH S ABD ∆=∆29S HDG S ADC ∆=∆ 29S FCG S BDC ∆=∆29S EFB S ABC ∆=∆ 把四个式子加起来就得到空白部分面积S=2()9S ABD S ACD S ABC S BCD ∆+∆+∆+∆=49,那么四边形EFGH 面积是59【例8】（难度等级 ※※※※）如图，ABCD 是一个梯形，其中A B 与CD 平行，M 是AD 的中点， N 是AB 上的点，周围三个三角形的面积分别是1平方厘米、 2平方厘米、 3平方厘米。

几何五大模型

几何五大模型之二：鸟头定理（共角定理）模型鸟头定理（共角定理）模型=两个三矗中有一个角相同或互补，这两个三角形叫做其角三角形，共角三角形的面积比等于对应角《相同角或互补角）两夫讪的乘积之比.如下图在么ABC中，D, E分别是AK AC上的点（或D在:EA的延长线上，E£A C 上），则S^ABC：S^ADE=（-AB x AC）:（AD X AE）证明:身头定理（共角定理）证明，连接BE*在AAEB *1S AADE _ AD -Si ABE A3在乙皿中，5—E _ ABS AAEC AC将（。

X （?）有.S-ADE _ AExAD^AAfiC AQxAB证毕。

如上图，在AABC 中，D, E 分别是AF 官。

上的点，EC=g, 虹=2DB, S”BC =L 求 A ADE 的面积。

题一解法一*^iADE ARXAD AE AD 12 1&AB C ACxAB AC AB 4 3 6，所以 S AAJ *= 2b本题也可以不用鸟头定理，而用等积变换。

连接EE,在ZlAEE 中，^AAED: S AAEB —AD: AB=2:3S AAED =(2/3)S ZIAEB在AABC 中，S AAEE ： S AABC ~AE:AC-1:4$心场日。

4)£二强由⑴，(2)式可得L _l 2 s _L 例题1:利用鸟头定理有: 题一解法二、(幻通过观察题一的解往二我们可以找到一个证明如模型图一中鸟头定理的方法. A连接匪，在乙淄中，S—ADE _ AP勿ABE AB^A ABC中，S—AEE _ 竺S AAEC AC 将(1) X(2)有：S.RDE _ AExADS^ABC ACXAB 证毕。

例题2:如上图，在&ABC中，E是AC上的点，L>BA^长线卜的一点，苴中;EC=2AE, &B=2虹，S孕腕二L 求ANDE的面超题二解法利用鸟头定理有：蛙=蛭竺=华乂竺=岑'土1 S AAB c ACXAB AC AB 236 所以 S AADE = ~ b本题依然可以不用鸟头定理，而用等积变换。