2.6拉压超静定问题

例 图示杆系结构中AB杆为刚性杆，①、②杆刚 度为EA，荷载为P，求①、②杆的轴力。
2.6.2 装配应力和温度应力
1．装配应力
例 图示为超静定杆系结构，1，3杆的拉伸刚度为E1A1，2杆 的为E2A2，已知中间杆2加工制作时短了△，试求三杆在D点 铰接在一起后各杆的内力。
解：图中实线为装配前情况， 虚线为装配后情况，由变形知 1、3杆的轴力N1 及N3 为压力， 2杆的N2 为张力，D点的受力 图如图b。
3）物理方程
FN 1 FN 2
FN 1 l FN 3 l l1 l 2 l3 EA E 3 A3 得补充方程 FN 3 l FN 1 l e E3 A3 EA
2．温度应力
对于超静定结构因温度变化会引起物体的膨胀或收缩，由于 胀缩变形受到约束，则会产生内应力。因温度变化而引起的 内应力，称为温度应力。 例：由于蒸汽管两端不能自由伸缩，故简化为图b所示固定端 约束，此时若温度上升，则A，B端分别有约束力 RA，RB。
（2）变形协调方程
l AC lCB 0
（3）物理方程 由胡克定律
N AC a R A a l AC EA EA N BC b RBb l BC EA EA
得补充方程 RA a RB b （4）求解得
Pa Pb RB RA ab ab
例 如图，已知等截面直杆的EA，求Aห้องสมุดไป่ตู้B处的约束反力。
解：此结构的约束力个数为2，独立平衡方程数为1，属于一 次超静定问题 （1）静力平衡方程 解除B处约束，即得相 应基本结构，代之约束 力，基本静定系或相当 系统：
X 0
RA P RB 0
（1）静力平衡方程
X 0 RA P RB 0
1）由静力平衡方程
( N 1 N 3) cos N 2 l 1 l 3 2）变形协调方程 l 2 l 1/ cos N 2l N 1l l 2 3）物理方程 l 1 E 2 A2 E 1A1 cos
得补充方程
N 1 N 3
当△T= 40°C时:
T 100 MPa
1）由静力平衡方程 RA RB R 2）变形协调方程 3）物理方程
l lT
RB l l EA
lT T l
Rl T l EA
R T T E A
对于钢杆，
1.2 10 5 1 / C
E 210 10 3 MPa
例 已知l=200mm,Δe=0.11mm.钢 杆直径d=10mm,弹性模量E＝ 210GPa。铜杆截面面积为 20mm*30mm， E＝100GPa 。 求各杆的装配应力。
1）由静力平衡方程
FN 3 ( FN 1 FN 2 ) 0 2）变形协调方程 l1 l 2 l 3 e l1
2.6 超静定问题
超静定问题的概念
静定问题:
超静定问题: 超静定次数:
2.6.1 拉（压）杆超静定问题解法
1）解除“多余”约束，使超静定结构变 为静定结构（称基本结构），建立静力 平衡方程。
2）根据“多余”约束性质，建立变形协 调方程。 3）建立物理方程（如胡克定律，热膨胀 规律等）。 4）联解静力平衡方程以及2）和3）所建 立的补充方程，求出未知力（约束力或 内力）。
1）由静力平衡方程
( FN 1 FN 2 )cos FN 3 F 0
FN 1 FN 2
2）变形协调方程
l1 l 2 l1 l 3 cos
3）物理方程
FN 1 l FN 3 l cos l1 l 2 l3 EA E 3 A3 得补充方程 EA FN 1 FN 3 cos 2 E3 A3
E 2 A2 E 2 A2 N 2 2 l E 1A1 cos
N 1 N 3
1 E 2 A2 2 cos ( 1 ) 3 E 1 A 1 2 cos
E 2 A2 l
N 2
E A 1 2 2 E 2 A2 l 1 E 1 A 1 2 cos 3
压 （拉）