例谈圆锥曲线定义在解题中的运用

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圆锥曲线中的定点问题及解决方法

圆锥曲线中的定点问题及解决方法1. 引言1.1 背景介绍圆锥曲线是几何学中一个重要的概念，指的是由一个平面与一个圆锥体相交而得到的曲线。

在数学中，圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。

这些曲线在几何学和代数学中有着广泛的应用，涉及到许多重要的定理和性质。

圆锥曲线中的定点问题是指关于曲线上或曲线与其他几何图形的交点位置和性质的问题。

这些问题在实际应用中具有重要意义，例如在天文学中描述行星轨道的形状，或在工程学中设计湖面上的浮标位置等。

研究圆锥曲线中的定点问题不仅可以加深对这些曲线的理解，更可以拓展数学知识的应用范围。

通过研究不同的解决方法，可以进一步提高解决问题的能力和技巧，为数学领域的发展贡献力量。

深入探讨圆锥曲线中的定点问题具有重要的研究意义和价值。

1.2 问题提出圆锥曲线中的定点问题是一个重要而复杂的数学问题，其研究有着深远的理论和应用意义。

在圆锥曲线中，定点问题是指在已知曲线的情况下，找到曲线上满足一定条件的点的位置。

这种问题涉及到几何、代数和分析等多个数学领域，需要综合运用不同的数学方法来求解。

定点问题在圆锥曲线中具有广泛的实际应用。

比如在工程领域中，定点问题可以帮助我们确定某个位置的几何特性，从而设计出更加精确的结构。

在物理学中，定点问题可以帮助我们分析物体的运动轨迹和速度方向。

在计算机图形学和机器人领域中，定点问题也有着重要的应用价值。

研究圆锥曲线中的定点问题不仅有助于深化数学理论，还能推动相关领域的发展和创新。

在本文中，我们将介绍不同的解决方法来解决圆锥曲线中的定点问题，探讨其适用场景和未来研究方向，以期为相关领域的研究工作提供一定的参考和启发。

1.3 研究意义在圆锥曲线中，定点问题具有重要的研究意义。

通过对定点问题的研究，我们可以深入理解圆锥曲线的性质和特点，进一步探索其数学规律和几何意义。

定点是曲线上的固定点，对于圆锥曲线而言，定点的位置和性质对曲线的形状和特征具有决定性影响。

如何利用定义法解答圆锥曲线最值问题

定义法是用圆锥曲线的定义解题的方法.圆锥曲线的定义是解题的重要依据.在解答圆锥曲线最值问题时，灵活运用椭圆、双曲线、抛物线的定义，可简化运算，有效提升解题的效率.下面结合实例，谈一谈运用圆锥曲线定义解答最值问题的一些技巧.一、利用椭圆的定义求最值若平面内一个动点M 与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于|F 1F 2|），则该点的轨迹叫做椭圆，这两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，常用|F 1F 2|或2c 表示.由椭圆的定义可得：|MF 1|＋|MF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c ，其中c 2=a 2-b 2，a ＞0，c ＞0，且a 、c 为常数.运用椭圆的定义求最值，需先确定两个定点的位置；然后根据椭圆的定义，建立关于动点到定点的距离的关系式.例1.已知椭圆x 24+y 23=1上有一动点P ，圆()x -12+y 2=19上有一动点Q ，圆()x +12+y 2=49上有一动点R ，则||PQ +||PR 的最大值为（）.A.3 B.5C.8D.9解：由椭圆的方程x 24+y 23=1得a =2,b =3,c =1，所以其焦点为F 1()-1,0,F 2()1,0，由圆的方程()x -12+y 2=19可得其圆心为F 2()1,0，半径为r 1=13，由圆的方程()x +12+y 2=49可得其圆心为F 1()-1,0，半径为r 2=23，则P 点到圆F 1上动点R 的最大值为||PR max =||PF 1+r 2=||PF 1+23，P 点到圆F 2上动点Q 的最大值为||PQ max =||PF 2+r 1=||PF 2+13，所以()||PQ +||PR max=||PQ max +||PR max =||PF 1+||PF 2+1，由椭圆的定义知||PF 1+||PF 2=2a =4，得()||PQ +||PR max=5.故选B 项．此题中涉及了三个动点，需根据圆的性质：圆外一点M 到圆上一点的最大距离为圆心到M 的距离加上半径，求得P 点到圆F 1上动点R 的最大值||PR max =||PF 1+r 2，以及P 点到圆F 2上动点Q 的最大值||PQ max =||PF 2+r 1，进而得到()||PQ +||PR max =||PF 1+||PF 2+1.而F 1、F 2是两个定点，P 为动点，即可根据椭圆的定义，求得||PF 1+||PF 2的值，从而求得最值.解答本题的关键在于结合图形，明确两圆、椭圆、动点的位置关系，以根据圆的性质、椭圆的定义求得最值.例2.已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E :()x -42+()y -32=1上任意一点，则||MN -||MF 1的最小值为______．解：因为N 为圆E :()x -42+()y -32=1上的任意一点，所以||MN min =||ME -r ，由圆E :()x -42+()y -32=1，得其圆心为E ()4,3，半径为r =1，所以()||MN -||MF 1min=()||MN min-||MF 1min =()||ME -r -||MF 1min=()||ME -||MF 1-1min，根据椭圆的定义知||MF 1+||MF 2=2a =4，由三角形的三边关系知()||ME -||MF 1-1min=()||ME +||MF 2-5min=||EF 2-5，由椭圆C :x 24+y 23=1得其焦点为F 2()1,0，则||EF 2=()4-12+()3-02=32，所以||MN -||MF 1的最小值为32-5.此最值问题中涉及了两个动点和一个定点，需根据圆的性质：圆外一点P 到圆上一点的最小距离为圆心到P 的距离减去半径，求得M 点到圆E 上的动点N 的最小值||MN min =||ME -r .然后根据椭圆的定义和三角形三边之间的关系，将求||MN -||MF 1的最小值转化为求焦半径||EF 2的值.解答此类题，需灵活运用数形结合思想和转化思想.二、利用双曲线的定义求最值平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F 1F 2|）的点M 的轨迹叫做双曲线.这两个定46点之间的距离|F 1F 2|叫做双曲线的焦距.由双曲线的定义可得||MF 1|-|MF 2||=2a ，|F 1F 2|=2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0.在运用双曲线的定义求最值时，要注意：（1）明确动点与两定点距离之间的关系；（2）确保a ＜c .例3.已知点P 在曲线C 1:x 216-y 29=1上，点Q 在曲线C 2:()x +52+y 2=1上，点R 在曲线C 3:()x -52+y 2=1上，则||PQ -||PR 的最大值是（）.A.6B.8C.10D.12解：画出如图1所示的图形.由曲线C 2:()x +52+y 2=1，得其圆心为C 2()-5,0，半径为1，由曲线C 3:()x -52+y 2=1，得其圆心为C 3()5,0，半径为1，则||PQ max =||PC 2+1，||PR min =||PC 3-1，则()||PQ -||PR max =||PC 2-||PC 3+2，由曲线C 1:x 216-y 29=1可知其左右焦点分别为F 1()-5,0,F 2()5,0，根据双曲线的定义得||PF 1-||PF 2=2a =8，所以()||PQ -||PR max=||PC 2-||PC 3+2=||PF 1-||PF 2+2=8+2=10.故答案选C 项．此问题中的三个动点分别在两个圆和双曲线上，需先根据圆的性质确定||PQ max =||PC 2+1，||PR min =||PC 3-1，将求||PQ -||PR 的最大值转化为求||PC 2-||PC 3的值.而C 2()-5,0、C 3()5,0为定点，于是根据双曲线的定义建立关系式，求得||PC 2-||PC 3的值，即可求得最值.例4.已知A ()-4,0，B 是圆()x -12+()y -42=1上的一点，点P 在双曲线x 29-y27=1的右支上，则||PA +||PB 的最小值为（）.A.9B.25+6C.10D.12解：由题意画出如图2所示的图形，由圆()x -12+()y -42=1，得其圆心为C ()1,4，半径为1，所以||PB min =||PC -r =||PC -1，因此()||PA +||PB min =||PA +||PC -1，由双曲线x 29-y 27=1得其左右焦点为F 1()-4,0，F 2()4,0，根据双曲线定义可知||PF 1-||PF 2=2a =6，因为A ()-4,0，所以||PA -||PF 2=6，所以()||PA +||PB min =()||PA +||PC -1min=()6+||PF 2+||PC -1min=()5+||PF 2+||PC min，根据三角形三边之间的关系，()||PF 2+||PC min=||CF 2=()1-42+()4-02=5，所以()||PA +||PB min =10．故答案选C 项．我们根据题意画出图形，即可明确问题中两个动点和一个定点的位置，于是根据圆的性质，将求||PA +||PB 转化为求()5+||PF 2+||PC min.而F 1()-4,0、F 2()4,0为定点，便联想到双曲线的定义，得到||PF 1-||PF 2=2a =6，将问题转化为求焦半径||CF 2的值.为了确定最值，往往需根据P 、A 、B 三点的位置关系，利用圆的性质和三角形三边关系确定取得最值的临界情形.三、利用抛物线的定义求最值平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.直线l 叫作抛物线的准线.利用抛物线的定义解题时，应将抛物线上的点到焦点的距离与其到准线距离进行等价转化，以确定取得最值时的临界情形.例5.已知抛物线y 2=4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点.若点B ()3,2，则||PB +||PF 的最小值为_____．解：由抛物线C 2:y 2=4x 知其焦点为F ()1,0，准线为x =-1，由抛物线定义可知，||PF =||PA ，则()||PB +||PF min =()||PB +||PA min =||AB ，而B ()3,2,则||AB =3+1=4，所以()||PB +||PF min =4．故答案为4．本题中P 为动点，B 、F 为定点，要求||PB +||PF 的最小值，需先确定其临界的情形.因为F 为抛物线的焦点，由抛物线的定义，得||PF =||PA ，于是将||PB +||PF 转化为||PB +||PA .显然当P 、B 、F 三点共线时，||PB +||PA 最小，此时||PB +||PA =||AB ，求得||AB 的值，即可求得最值.总之，运用圆锥曲线的定义解题，需先确定动点与定点之间距离的关系：相等、和为定值、差为定值；然后根据椭圆、双曲线、抛物线的定义建立焦半径之间的关系式；再结合图形将最值问题进行转化，以快速确定取得最值的情形，求得最值.（作者单位：江苏省淮北中学）图1xy图247。

圆锥曲线定义在解题中的应用

圆锥曲线定义在解题中地应用-中学数学论文圆锥曲线定义在解题中地应用山东惠民县第一中学吴淑娟圆锥曲线是平面解析几何中地重点和难点，是高考必不可少地考试内容.圆锥曲线地定义揭示了圆锥曲线最本质地数形关系.灵活运用圆锥曲线地定义，有助于快速解答关于圆锥曲线地各种问题.比如求点地轨迹、求离心率、求最值、判断曲线类型等各方面地题目都可以应用到圆锥曲线地定义来解题.而利用圆锥曲线定义解题地关键和第一步是：识别出可用圆锥曲线定义解题地题目.本文以若干例题为例，分析在解题过程中应用圆锥曲线定义地各种思路和具体方法，希望能给大家一定地启发.一、圆锥曲线定义在求离心率方面地应用离心率是圆锥曲线几何性质地一个方面，也是常见地基本问题.不少离心率问题与圆锥曲线地定义密切相关，我们可以用圆锥曲线地定义进行求解.解析：灵活地运用圆锥曲线地定义，将使有关圆锥曲线地问题地解题过程变得简单快捷.一般而言，当题目涉及准线方程、焦点、离心率、圆锥曲线上地点这四个条件中地三个甚至两个时，我们就可以尝试通过圆锥曲线地定义解题了. 二、圆锥曲线定义在求值方面地应用解析：在这道题目里，如果通过联立方程组求两曲线地交点P地坐标，再通过两点间距离公式来计算｜PF1｜、｜PF2｜，其过程将十分繁琐.而通过圆锥曲线地定义出发，巧用椭圆和双曲线地定义解题，其过程将十分简单.三、圆锥曲线定义在求最值方面地应用四、圆锥曲线定义在求动点轨迹方程方面地应用求动点轨迹方程也是考试中常见地题型.如果在审题过程中发现动点运动轨迹或几何约束条件符合圆锥曲线地定义时，我们可根据定义确定其标准方程和待定系数之值，从而直接得出结果.例5：过原点地椭圆地一个焦点为F1(1,0),长轴长为4，求椭圆中心地轨迹．解析：本题用常规解法会比较难，因为题目中地条件不能很快得出结论，但我们可以换一种思路，用圆锥曲线地定义来求解.用定义法求轨迹方程有五个步骤：1.定性：根据题设条件找到动点M地运动轨迹与已知条件之间所保持地不变地地方，并判断动点M地轨迹是否符合某种圆锥曲线地定义，从而得到初步地解题方向；2.定位：根据题设条件确定圆锥曲线对称中心、顶点地位置；3.定量：求出相关参数地值；4.定方程：确定动点M 地轨迹方程；5.定范围：确定动点地运动范围.总之，巧妙地运用圆锥曲线地定义解题，一方面使我们能迅速抓住问题地本质，通过数形结合，避开复杂地运算，解开题目；另一方面使我们进一步理解和掌握圆锥曲线地定义，将圆锥曲线和相关地知识融会贯通，为进一步学习更高深地数学知识打下坚实地基础.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.b5E2R。

圆锥曲线统一定义的应用

圆锥曲线统一定义的应用一、圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，在解题过程中，我们经常用到它们的统一定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当01e <<时，轨迹是椭圆；当1e >时，轨迹是双曲线；当1e =时，轨迹是抛物线．其中，点F 是曲线的焦点，直线l 是对应于焦点F 的曲线的准线，e 为离心率．圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来，在解相关的题目时，巧妙运用统一定义，能起到化繁为简的作用，使问题简洁明快的得以解决．二、圆锥曲线统一定义的应用1．求距离问题例1 椭圆22110036x y +=上一点P 到左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离是多少？解：由第一定义，点P 到右焦点的距离为2614a -=，再由统一定义，得14810e d ==， ∴352d =，所以点P 到右准线的距离为352． 2．求最值问题例2 已知椭圆方程为2211612x y +=，右焦点为F ，(21)A ，为其内部一点，P 为椭圆上一动点，求P 点坐标，使2PA PF +最小．解：如图，由题意得4a =，b =，∴2c =，12c e a ==，由统一定义知2PF 即为P 到右准线的距离，因此，要使2PA PF +最小，P 点除了应在y 轴的右侧外，还要使AP 与过P 点且与准线垂直的线共线即可，由22111612y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，，解得P 点坐标为13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 3．求轨迹方程例3 点M 与点(02)F -，的距离比它到直线:30l y -=的距离小1，求点M 的轨迹方程．解：由题意可知，点M 与点(02)F -，的距离和它到直线2y =的距离相等，根据定义知，轨迹是抛物线．因此22p =，∴28p =，故点M 的轨迹方程是28x y =-．4．求参数范围问题例4 在平面直角坐标系中，若方程222(21)(23)m x y y x y +++=-+表示的曲线为椭圆，则m 的取值范围为（）．Ａ．(01)，Ｂ．(1)+∞，Ｃ．(05)，Ｄ．(5)+∞，=，此式可看成点()x y ，到定点(01)-，的距离与到直线230x y -+=由统一定义<，所以51m>，故答案为Ｄ．。

圆锥曲线统一定义在解题中的应用

迹方Leabharlann 。＼、０Ｊ；
＼
解：圆锥曲线上的任意点Ｍ（，）由统一定义知：设ｘｙ，
ＩＭＦＩＩＦＪＡ
：１＿
－
解：如上图，设椭圆的左准线与抛物线的准线分别为ｌｌ，。２、
即
业
～
，
过Ｐ点作ｌｌ的垂线，垂足分别为Ａ、，由圆锥曲线统一定义。ｚ、Ｂ
所以ＩＦＩ＝ＪＢＪｚＰ ②。Ｐ将①、 ②代人条件ｅ＝
为：Ｘ＝一３．ｃ
碍ＪＡＩ＝ＪＢＪＰ，Ｐ
即椭圆的左准线与抛物线的准线重合．易求得准线方程
例ｌ过椭圆的左焦点Ｆ作直线与椭圆交于ＡＢ两点（、见下
圆锥曲线统一定义：面内动点Ｍ（，Ｙ到定点Ｆ的距离平ｘ）与它到定直线ｌ的距离的比是常数ｅｅ）的点的轨迹，当０（＞０（：ｅＩｌ时是椭圆；ｅ时是抛物线；ｅ当：ｌ当＞ｌ是时双曲线，ｅ是离心率，Ｆ是焦点。下面说明圆锥曲线统一定义的应用。
维普资讯
Ｖｏ．４ｏ６Ｎｏ１１２２Ｄ．０
学生普通话考前剖ＩＩ之我见
李孝英
（兰州交通大学铁道校区，甘肃兰州７００）３００
摘要：针对学生普通话考前培训中存在的问结合自题，身多年的培训实践，从理论和实践２方面进行探讨，提出了以人为本、科学培训的理念和有效培训等５个步骤。
ＩＣｌＩＤＩ＾Ｂ
ＩＩＩＤＩＡＣ — Ｂ
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ＩＢＩｍ４ｏＡｅ５．５

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】圆锥曲线的七种常见题型题型一：定义的应用圆锥曲线的定义包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用中，可以寻找符合条件的等量关系，进行等价转换和数形结合。

适用条件需要注意。

例1：动圆M与圆C1：(x+1)+y=36内切，与圆C2：(x-1)+y=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：方程表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断圆锥曲线焦点位置时，需要将方程化成标准方程，然后判断。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

例1：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是什么？例2：当k为何值时，方程是椭圆或双曲线？题型三：圆锥曲线焦点三角形问题在圆锥曲线中，可以利用定义和正弦、余弦定理求解焦点三角形问题。

PF，PF2=n，m+n，m-n，mn，m+n四者的关系在圆锥曲线中有应用。

例1：椭圆上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求△F1PF2的面积。

例2：已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求该双曲线的标准方程。

题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在圆锥曲线中，可以利用a、b、c三者的相等或不等关系式，求解离心率和渐近线的值、最值或范围。

在解题时需要注重数形结合思想和不等式解法。

例1：已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：双曲线的两个焦点为F1、F2，渐近线的斜率为±1/2，求双曲线的标准方程。

题型五：圆锥曲线的参数方程在圆锥曲线的参数方程中，需要注意参数的取值范围，可以通过消元或代数运算求解。

例1：求椭圆x^2/4+y^2/9=1的参数方程。

例2：求双曲线x^2/9-y^2/4=1的参数方程。

题型六：圆锥曲线的对称性圆锥曲线具有对称性，可以通过对称性求解问题。

圆锥曲线的定义在解题中的应用

倍数外学习
Ｎｏ．０４．２０１３
ＹｕＳｈｕＷ＿ａｉＸｕｅＸｉ
２０１３年第４期
圆锥曲线的定义在解题中的应用
方树丽
（信阳市息县第二高级中学，河南信阳４６４３００）
摘要：深刻领会圆锥曲线的定义是进一步学习圆锥曲线的标准方程，几何性质和应用的基础，但在教学中发现，刚开始学习时，
５，ｃ：３，所以６＝４，所以椭圆的标准方程是＋＝１。
ｆＭ
（２）ｌ肼Ｉ＋ ÷ｌＰＦ２Ｉ：Ｉ肌ｌ＋：ｌ删Ｉ＋ｌ朋Ｉ ≥
（其中ｌＰ日Ｉ为Ｐ到右准线ｌ的距离）。
（２）设到椭圆右准线的距离为ｄ，则— ＩＭＧＩ＝了３
例２：已知Ａ（一７，Ｏ）、Ｂ（７，０）、ｃ（２，一１２），椭圆过Ａ、Ｂ两点且以ｃ为其一个焦点，求椭圆另一焦点的轨迹。
（＿ｃ，ｏ）
（ｃ＇ｏ），若双曲线上存在一点Ｐ使
＝ａ，
２２
厶ＪＪＵ
（１）ＩＰＭＩ＋Ｊｌ的最小值；（２）ＩＰＭＩ＋ ÷ｆＰＩ的最小值。
分析：（１）和式 “ ｌＰＭＩ＋ＩＰＦ２Ｉ ” 与双曲线第一定义有质的区
别，巧妙地运用双曲线的第一定义，ｌＰＦ。ｆ —ＩＰＦ：ｌ＝２实现音＋＝】解：设动圆的半径为ｒ，由动圆与圆Ｂ内切ＩＰＭｌ＋ｌＰＦ２『＿ＩＰＭｌ＋ＩＰＦ。｝一２的转化，则找到了解题突破

高三数学：圆锥曲线中的新定义解析

“九省联考”新题型圆锥曲线中的新定义问题新定义题目简介题型特点“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

解题策略求解“新定义”题目，主要分如下几步：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。

一、单选题1已知曲线Γ的对称中心为O，若对于Γ上的任意一点A，都存在Γ上两点B，C，使得O为△ABC的重心，则称曲线Γ为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．则()A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①②都是假命题D.①②都是真命题【答案】B【分析】设出椭圆、双曲线方程及点A,B,C的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点A的坐标求出直线BC 方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.【详解】椭圆是“自稳定曲线”.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a2≠b2,a2>0,b2>0)，令A(x0,y0)，则b2x20+a2y20=a2b2，设B(x1,y1),C(x2,y2)，由O是△ABC的重心，知x1+x2=-x0y1+y2=-y0，直线BC过点M-x02,-y02，当y 0=0时，若A (a ,0)，直线y =-a2与椭圆有两个交点B ,C ，符合题意，若A (-a ,0)，直线y =a2与椭圆有两个交点B ,C ，符合题意，则当y 0=0，即A (±a ,0)时，存在两点B ,C ，使得△ABC 的重心为原点O ，同理，当x 0=0，即A (0,±b )时，存在两点B ,C ，使得△ABC 的重心为原点O ，当x 0y 0≠0时，b 2x 21+a 2y 21=a 2b 2b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2 ，两式相减得b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0，直线BC 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 0a 2y 0，方程为y +y 02=-b 2x 0a 2y 0x +x 02 ，即y =-b 2x 0a 2y 0x -b 22y 0，由y =-b 2x 0a 2y 0x -b 22y 0b 2x 2+a 2y 2=a 2b2消去y 并整理得：x 2+x 0x +a 24-a 2b 2y 20=0，Δ=x 20-a 2+4a 2b 2y 20=-a 2b 2y 20+4a 22b 2y 20=3a 2b2y 20>0，即直线BC 与椭圆交于两点，且O 是△ABC 的重心，即当x 0y 0≠0时，对于点A ，在椭圆上都存在两点B ,C ，使得O 为△ABC 的重心，综上，椭圆上任意点A ，在椭圆上都存在两点B ,C ，使得O 为△ABC 重心，①为真命题；双曲线不是“自稳定曲线”.由对称性，不妨令双曲线方程为x 2m 2-y 2n2=1(m >0.n >0)，令A (t ,s )，则n 2t 2-m 2s 2=m 2n 2，设B (t 1,s 1),C(t 2,s 2)，假设O 是△ABC 的重心，则t 1+t 2=-t s 1+s 2=-s，直线BC 过点-t 2,-s2，当s =0时，直线x =-m 2或直线x =m 2与双曲线x 2m 2-y 2n2=1都不相交，因此s ≠0，n 2t 21-m 2s 21=m 2n 2n 2t 22-m 2s 22=m 2n2 ，两式相减得n 2(t 1-t 2)(t 1+t 2)-m 2(s 1-s 2)(s 1+s 2)=0，直线BC 的斜率s 1-s 2t 1-t 2=n 2t m 2s ，方程为y +s 2=n 2t m 2s x +t 2 ，即y =n 2t m 2s x +n 22s ，由y =n 2t m 2sx +n 22sn 2x 2-m 2y 2=m 2n2消去y 并整理得：x 2+tx +m 24+m 2n 2s 2=0，Δ =t 2-a 2-4m 2n 2s 2=m 2n 2s 2-4m 2n 2s 2=-3m 2n2s 2<0，即直线BC 与双曲线不相交，所以不存在双曲线，其上点A 及某两点B ,C ，O 为△ABC 的重心，②是假命题.故选：B【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.2数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e =ω(其中ω=5-12)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1，(a >b >0)，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作⊙O ,P 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ,B ，直线AB 与x ,y 轴分别交于M ,N 两点，则b 2|OM |2+a 2|ON |2=()A.1ωB.ωC.-ωD.-1ω【答案】A【分析】根据题意O 、A 、P 、B 四点在以OP 为直径的圆上，可设点P 坐标为P x 0,y 0 ，从而得出四点所在圆的方程为x x -x 0 +y y -y 0 =0，利用两圆方程之差求得切点A 、B 所在直线方程，进而求得M 、N 两点坐标即可解决本题.【详解】依题意有OAPB 四点共圆，设点P 坐标为P x 0,y 0 ，则该圆的方程为：x x -x 0 +y y -y 0 =0，将两圆方程：x 2+y 2=b 2与x 2-x 0x +y 2-y 0y =0相减，得切点所在直线方程为l AB :xx 0+yy 0=b 2，解得M b 2x 0,0 ，N 0,b 2y 0，因为x 20a 2+y 20b2=1，所以b 2|OM |2+a 2|ON |2=b 2b 4x 20+a 2b 4y 2=b 2x 20+a 2y 2b 4=a 2b 2b 4=a 2b 2=11-ω2=25-1=1ω.故选：A3小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F 1-1,0 、F 21,0 是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论：①曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P 的横坐标的取值范围是-3,3 ；③OP 的取值范围是1,3 ；④△PF 1F 2的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为()A.1 B.2C.3D.4【答案】D【分析】设P (x ,y )，由题设可得曲线C 为(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入即可判断①；令t =y 2≥0，由f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P 的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，进而求范围判断③；由基本不等式、余弦定理确定∠F 1PF 2范围，再根据三角形面积公式求最值判断④.【详解】令P (x ,y )，则(x +1)2+y 2⋅(x -1)2+y 2=2，所以[(x +1)2+y 2][(x -1)2+y 2]=4，则(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入上述方程后，均有(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，所以曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；令t =y 2≥0，则t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4=0，对于f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，对称轴为x =-(x 2+1)<0，所以f (t )在[0,+∞)上递增，要使f (t )=0在[0,+∞)上有解，只需f (0)=(x 2-1)2-4≤0，所以-1≤x 2-1≤2，即0≤x 2≤3，可得-3≤x ≤3，②正确；由OP 2=x 2+y 2，由f (t )=0中，Δ=4(x 2+1)2-4(x 2-1)2+16=16(x 2+1)，所以t =y 2=-2(x 2+1)+Δ2=2x 2+1-(x 2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，又0≤x 2≤3，即1≤x 2+1≤4，所以OP 2∈[1,3]，则OP ∈[1,3]，③正确；由PF 1 +PF 2 ≥2PF 1 ⋅PF 2 =22，仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，△PF 1F 2的面积S =12PF 1 PF 2 sin ∠F 1PF 2=sin ∠F 1PF 2，而cos ∠F 1PF 2=PF 1 2+PF 2 2-F 1F 222PF 1 PF 2 ≥0，所以0°<∠F 1PF 2≤90°，所以△PF 1F 2的面积的最大值为1，④正确.综上，正确结论的个数为4个.故选：D【点睛】关键点点睛：②③通过换元t =y 2≥0，构造f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，利用根的分布求P 的横坐标、OP 的取值范围.4在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=max x 1-x 2 ,y 1-y 2 为两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)的“切比雪夫距离”，并对于点P 与直线l 上任意一点Q ，称d P ,Q 的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作d P ,l ，给定下列四个命题：p 1：对于任意的三点A ，B ，C ，总有d C ,A +d C ,B ≥d A ,B ；p 2：若点P 3,1 ，直线l :2x -y -1=0，则d P ,l =43；p 3：满足d (O ,M )=C C >0 的点M 的轨迹为正方形；p 4：若点F 1(-c ,0)，F 2c ,0 ，则满足d P ,F 1 -d P ,F 2 =2a 2c >2a >0 的点M 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点；则其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；②设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q (x ,2x -1)，可得d (P ,Q )=max {|x -3|，|2-2x |}，讨论|x -3|，|2-2x |的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；④讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．【详解】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，如图，结合三角形的相似可得d (C ,A )，d (C ,B )，d (A ,B )为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则d (C ，A )+d (C ，B )=d (A ，B )；若B ，C 或A ，C 对调，可得d (C ，A )+d (C ，B )>d (A ，B )；若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，d (C ，A )+d (C ，B )≥d (A ，B )；则对任意的三点A ，B ，C ，都有d (C ，A )+d (C ，B )≥d (A ，B )；故①正确；设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q (x ,2x -1)，可得d (P ,Q )=max {|x -3|，|2-2x |}，由|x -3|≥|2-2x |，解得-1≤x ≤53，即有d (P ,Q )=|x -3|，当x =53时，取得最小值43；由|x -3|<|2-2x |，解得x >53或x <-1，即有d (P ,Q )=|2x -2|，d (P ,Q )的范围是3,+∞ ∪43,+∞ =43,+∞ ，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故②正确；③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于C 的点设为x ,y ，则max x ,y =C ，若y ≥x ，则|y |=C ；若|y |<|x |，则|x |=C ，故所求轨迹是正方形，则③正确；④定点F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)，动点P (x ,y )满足|d (P ，F 1)-d (P ，F 2)|=2a (2c >2a >0)，可得P 不y 轴上，P 在线段F 1F 2间成立，可得x +c -(c -x )=2a ，解得x =a ，由对称性可得x =-a 也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足|d (P ，F 1)-d (P ，F 2)|=2a ，即为x +c -y =2a ，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点．故④正确；综上可得，真命题的个数为4个，故选：D .【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于对新定义“切比雪夫距离”的理解，“切比雪夫距离”即是两点横坐标之差绝对值与纵坐标之差绝对值中的最大值；理解新定义的基础上，结合曲线与方程的有关性质，即可求解.5定义：若直线l将多边形分为两部分，且使得多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a，b为常数)和其左右焦点F1,F2，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形AF1BF2与三角形PF1F2有相同的“等线”l．则对于下列四个结论：①PA=PB；②等线l必过多边形的重心；③l始终与3x2a2-3y2b2=1相切；④l的斜率为定值且与a，b有关．其中所有正确结论的编号是()A.①②B.①④C.②③④D.①②③【答案】D【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点P x0,y0的切线方程，再与渐近线方程联立可求出A,B的横坐标，然后与x0比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心的定义可知四边形AF1BF，其重心H必在△AF1F2与△BF1F2重心连线上，也必在△AF1B与△AF2B重心连线上，△PF1F2重心设为G，则l即为直线GH，然后由重心的性质可证得GH∥AB，从而可得结论.【详解】解：①：设P x0,y0，当y0>0时，设y>0，则由x2a2-y2b2=1，得y=bax2-a2，所以y =bxa x2-a2，所以切线的斜率为k=bx0a x20-a2，所以切线方程为y-y0=bx0a x20-a2(x-x0)，因为点P x0,y0在双曲线上，所以x20a2-y20b2=1，得x20-a2=aby0，b2x20-a2y20=a2b2，所以y-y0=bx0a⋅aby0(x-x0)=b2x0a2y0(x-x0)，所以a2y0y-a2y20=b2x0x-b2x20，所以b2x0x-a2y0y=b2x20-a2y20=a2b2，所以x0xa2-y0yb2=1，同理可求出当y0<0时的切线方程为x0xa2-y0yb2=1，当y0=0时，双曲线的切线方程为x=±a，满足x0xa2-y0yb2=1，所以过P点切线方程为x0xa2-y0yb2=1，渐近线方程为y=±b a x联立两直线方程得x A=ax0a-y0b，x B=ax0a+y0b故有x A+x B=2x0x02a2-y02b2=2x0，故PA=PB②：设多边形顶点坐标为x i,y i，其中i=1,2,3⋯n设“等线”方程为y -kx -b =0，则x i ,y i 到等线的距离为：d i =y i -kx i -b1+k 2又因为等线将顶点分为上下两部分，则有d 上部分=y i -kx i -b1+k 2d 下部分=-y i -kx i -b1+k 2d 上部分= d 下部分从而ni =1y i -kx i -b1+k2=0整理得1n ni =1y i =k ⋅1n ni =1x i +b即等线l 必过该多边形重心．③④：考察△PF 1F 2重心，设P x 0,y 0 ，则重心G x 03,y 03．对于四边形AF 1BF ，其重心H 必在△AF 1F 2与△BF 1F 2重心连线上，也必在△AF 1B 与△AF 2B 重心连线上，则l 即为直线GH ．设△AF 1F 2与△BF 1F 2重心分别为E ,F ，则OE EA=OF FB =12，所以EF ∥AB ，因为G 为△PF 1F 2的重心，所以OE EA=OGGP ，所以EG ∥AB ，所以E ,F ,G 三点共线，因为H 在EF 上，所以GH ∥AB ，过G x 03,y 03，因为直线AB 为x 0x a 2-y 0y b 2=1，所以直线AB 的斜率为k =b 2a 2⋅x0y 0，所以直线GH 的方程为y -y 03=b 2a 2⋅x 0y 0x -x 03 ，整理得3x 0x a 2-3y 0y b 2=1，所以直线l 方程3x 0xa 2-3y 0yb 2=1，由①的求解过程可知该方程为3x 2a 2-3y 2b2=1切线方程，所以③正确，④错误，故①②③正确．故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的性质和导数的几何意义的应用，考查新定义，解题的关键是对“等线”定义的正确理解和重心的找法，考查计算能力，属于难题.二、多选题6古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为2α时，用一个与旋转轴所成角为β的平面γ(不过圆锥顶点)去截该圆锥面，则截口曲线(圆锥曲线)的离心率为e =cos βcos α．比如，当α=β时，e =1，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系Oxyz 中放置一个圆锥，顶点S (0,0,2),M (0,1,1)，底面圆O 的半径为2，直径AB ，CD 分别在x ，y 轴上，则下列说法中正确的是()A.已知点N (0,0,1)，则过点M ,N 的平面截该圆锥得的截口曲线为圆B.平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分C.若E (-2,-2,0),F (2,2,0)，则平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分D.若平面γ截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则平面γ不经过原点O 【答案】BCD【分析】根据情境，由题可知cos α=cos π4，再对每个选项，求出过点M 的平面与旋转轴OS 所成角的余弦，即cos β的值，代入e =cos βcos α求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可．【详解】对于A ：只有过点M ，N 且与底面平行的平面截该圆锥得的截口曲线才是圆，其他情况均不是圆，故A 不正确；对于B ：由题得底面圆O 的半径为2，则OD =2，OS =2，则M 为SD 中点，易知AB ⊥平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，所以SD ⊥AB ，又SD ⊥OM ,OM ∩AB =O ,OM ⊂平面MAB ，AB ⊂平面MAB ，所以SD ⊥平面MAB ，又易知OM =SM =MD ，所以平面MAB 与旋转轴OS 所成角为∠SOM =π4，∠OSD =π4，即β=π4,α=π4，所以e =cos βcos α=1，所以平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分，故B 正确；对于C ：E (-2,-2,0),F (2,2,0),M (0,1,1)，则EF =22,22,0 ,MF=2,2-1,-1 ，设平面MEF 的一个法向量为m=x ,y ,z ，则EF ⋅m =22x +22y =0MF ⋅m=2x +2-1 y -z =0，取x =1，则y =-1,z =1，故m=(1,-1,1)，所以sin β=cos m ,OS =m ⋅OSm OS =23×2=33,∴cos β=63，故e =cos βcos α=63cos π4=6322=233∈(1,+∞)，所以平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分，故C 正确；对于D ：若平面γ截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则cos βcos α=cos β22=2,∴cos β=1,∵β∈0,π2 ,∴β=0，所以平面γ⎳OS ，故平面γ不经过原点O ，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线(圆锥曲线)的离心率的定义，结合空间向量法即可得解.7法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=a 2+b 2，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为e =12,P 为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是()A ．过点P 作椭圆C 的两条切线PA ,PB ，则有PA ⊥PB .B ．过点P 作椭圆的两条切线，交椭圆于点A ,B ,O 为原点，则OP ,AB 的斜率乘积为定值k OP ⋅k AB =-43.C ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则S △APB 的取值范围97,167.D ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ,O 为原点，则S △AOB 的最大值为3.【答案】ACD【分析】对于A ，由题意求出蒙日圆的方程，讨论切线斜率是否存在，结合联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系化简，即可判断；对于B ，求出切点弦AB 的方程即可得其斜率，化简即可判断；对于C ，D ，联立切点弦AB 的方程和椭圆方程，求出弦长|AB |，求出相应三角形的高，即可求得三角形面积的表达式，结合函数的单调性或者不等式知识即可求得最值或范围.【详解】由题意知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为e =12，故a =2,c a =12,∴c =1,b 2=a 2-c 2=3，则椭圆方程为x 24+y 23=1，“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=7；对于A ，假设有一条切线斜率不存在，不妨假设PB 斜率不存在，则不妨设PB 过椭圆的右顶点，则PB 方程为x =2，则P 点坐标为P (2,±3)，显然此时A 点取椭圆的短轴顶点(0,±3)，则PA 方程为y =±3，此时满足PA 与椭圆相切，且PA ⊥PB ；当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为y =kx +m ,(k ≠0)，设P x 1,y 1 ，则m =y 1-kx 1,x 21+y 21=7，联立y =kx +mx 24+y 23=1，整理得4k 2+3 x 2+8kmx +4m 2-12=0，则Δ=64k 2m 2-44k 2+3 4m 2-12 =0，即m 2=4k 2+3，将m =y 1-kx 1代入上式，得关于k 的方程x 21-4 k 2-2x 1y 1k +y 21-3=0，则Δ=4(3x 21+4y 21-12)>0，(P 在椭圆x 24+y 23=1外)，k PA ,k PB 为该方程的两个根，故k PA ⋅k PB =y 21-3x 21-4=7-x 21-3x 21-4=-1，即PA ⊥PB ，A 正确；对于B ，设A (x 2,y 2),B (x 3,y 3)，则PA 的方程为x 2x4+y 2y 3=1，PB 的方程为x 3x4+y 3y 3=1，两切线过点P x 1,y 1 ，故x 2x 14+y 2y 13=1，x 3x14+y 3y 13=1，即点A ，B 在直线xx 14+yy 13=1上，因为两点确定一条直线，故直线AB 的方程为xx 14+yy 13=1，则k AB =-3x14y 1，而k OP =y 1x 1，故k OP ⋅k AB =-34，B 错误；对于C ，由于直线AB 的方程为xx 14+yy 13=1，联立x 24+y 23=1，得3x 21+4y 21 x 2-24x 1x +48-16y 21=0，Δ =24x 1 2-43x 21+4y 21 48-16y 21 =64y 213x 21+4y 21-12 >0，则x 2+x 3=24x 13x 21+4y 21,x 2x 3=48-16y 213x 21+4y 21，故|AB |=1+(k AB )2⋅(x 2+x 3)2-4x 2x 3=1+9x 2116y 21×8|y 1|3x 21+4y 21-123x 21+4y 21=29x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又点P 到直线AB 的距离为d =|3x 21+4y 21-12|9x 21+16y 21，故S △APB =12|AB |d =9x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21⋅|3x 21+4y 21-12|9x 21+16y 21=(3x 21+4y 21-12)3x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又x 21+y 21=7，故令t =3x 21+4y 21-12=y 21+9，t ∈[3,4]，则S △APB =t 3t 2+12=11t+12t3，令f (t )=1t +12t 3，显然f (t )在[3,4]上单调递减，故y =11t+12t3在[3,4]上单调递增，则(S △APB )min =1f (3)=2721=97,(S △APB )max =1f (4)=6428=167，即S △APB 的取值范围97,167，C 正确；对于D ，由C 的分析可知|AB |=29x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21，而点O 到直线AB 的距离为d =|-12|9x 21+16y 21,故S △AOB =12|AB |d =9x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21⋅|-12|9x 21+16y 21=123x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又x 21+y 21=7，故令t =3x 21+4y 21-12=y 21+9，t ∈[3,4]，则S △AOB =12t t 2+12=12t +12t，而t +12t ≥212=43，当且仅当t =12t，即t =23∈[3,4]时等号成立，故S △AOB =12t +12t ≤1243=3，即S △AOB 的最大值为3，D 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆的相关知识，涉及到蒙日圆的问题，综合性强，计算量大，难点在于计算相关三角形的面积，要注意切线方程的应用，计算需要十分细心.8小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F 1-1,0 、F 21,0 是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为()A.曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B.动点P 的横坐标的取值范围是-3,3C.OP 的取值范围是1,2D.△PF 1F 2的面积的最大值为1【答案】ABD【分析】设P (x ,y )，由题设可得曲线C 为(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入即可判断A ；令t =y 2≥0，由f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P 的横坐标的取值范围判断B ；由②分析可得OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，进而求范围判断C ；由基本不等式、余弦定理确定∠F1PF 2范围，再根据三角形面积公式求最值判断D .【详解】令P (x ,y )，则(x +1)2+y 2⋅(x -1)2+y 2=2，所以[(x +1)2+y 2][(x -1)2+y 2]=4，则(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入上述方程后，均有(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，所以曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，A 正确；令t =y 2≥0，则t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4=0，对于f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，对称轴为x =-(x 2+1)<0，所以f (t )在[0,+∞)上递增，要使f (t )=0在[0,+∞)上有解，只需f (0)=(x 2-1)2-4≤0，所以-1≤x 2-1≤2，即0≤x 2≤3，可得-3≤x ≤3，B 正确；由OP 2=x 2+y 2，由f (t )=0中，Δ=4(x 2+1)2-4(x 2-1)2+16=16(x 2+1)，所以t =y 2=-2(x 2+1)+Δ2=2x 2+1-(x 2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，又0≤x 2≤3，即1≤x 2+1≤4，所以OP 2∈[1,3]，则OP ∈[1,3]，C 错误；由PF 1 +PF 2 ≥2PF 1 ⋅PF 2 =22，仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，△PF 1F 2的面积S =12PF 1 PF 2 sin ∠F 1PF 2=sin ∠F 1PF 2，而cos ∠F 1PF 2=PF 1 2+PF 2 2-F 1F 222PF 1 PF 2 ≥0，所以0°<∠F 1PF 2≤90°，所以△PF 1F 2的面积的最大值为1，D 正确.故选：ABD .【点睛】关键点点睛：B ,C 通过换元t =y 2≥0，构造f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，利用根的分布求P 的横坐标、OP 的取值范围.9如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β【答案】BC【分析】由截口曲线的含义可判断A ；过N 作NG ⊥PC 1于点G ，求出而|C 1N |=a sin (α+β)cos α，|C 2N |=a sin (β-α)cos α，即可判断B ；根据图形的几何性质求得椭圆的a ,c 之间的关系式，即可求得离心率，可判断C ，D .【详解】由截口曲线知，当β<α时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A 错.对于B ，过N 作NG ⊥PC 1于点G ，而∠C 1A 1N =α+β,NA 1 =a ，所以|NG |=a sin α+β ，而∠C 1NG =α,∴|C 1N |=a sin (α+β)cos α，同理过N 向PC 2作垂线，可得|C 2N |=a sin (β-α)cos α，∴|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin (β+α)sin (β-α)cos 2α，B 正确；对于C ，D ，设圆锥上部球O 1与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆O 1，半径为r ，球O 1与A 1A 2的切点为椭圆左焦点F ，设∠O 1A 2F =θ,∠O 1A 1F =φ,∴θ=β-α2①，φ=π-(α+β)2,|A 1F |=a -c =r tan φ，|A 2F |=a +c =r tan θ,∴a +c a -c =tan φtan θ=1+e1-e ,解得e =tan φ-tan θtan φ+tan θ=sin (φ-θ)sin (φ+θ)，而φ-θ=π2-βφ+θ=π2-a，故e =sin π2-β sin π2-α =cos βcos α，故C 正确，D 错误，故选：BC【点睛】难点点睛：求解椭圆的离心率时，要能根据图示求得a ,c 之间的关系，这是解答的难点，也是关键之处，因此通过设∠O 1A 2F =θ,∠O 1A 1F =φ，结合图形的几何性质，得到|A 1F |=a -c =rtan φ，|A 2F |=a +c =r tan θ，即可求解.102021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o .设计师的灵感来源于曲线C ：x |n + y |n=1.其中星形线E ：x 23+y 23=1常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是()A.E 关于y 轴对称B.E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过18C.E 上的点到原点距离的最小值为14D.曲线E 所围成图形的面积小于2【答案】ABD【分析】A 由(x ,y )、(-x ,y )均在曲线上即可判断；B 应用基本不等式x 23+y 23≥2|xy |23即可判断；C 由x 2+y 2=x 23 3+y 23 3，结合立方和公式及B 的结论即可判断；D 根据x 23+y 23与|x |+|y |图形的位置关系判断.【详解】若(x ,y )在星形线E 上，则(-x ,y )也在E 上，故E 关于y 轴对称，A 正确；由x 23+y 23=1≥2|xy |23=2|xy |13，则|xy |≤18当且仅当|x |=|y |时等号成立，B 正确；由x 2+y 2=x 23 3+y 23 3=x 23+y 23 x 23+y 23 2-3(xy )23 =1-3(xy )23≥14，当且仅当|x |=|y |时等号成立，故E 上的点到原点距离的最小值为12，C 错误；曲线E 过(±1,0)，(0,±1)，由|x |+|y |≥x 23+y 23=1，则x 23+y 23在|x |+|y |所围成的区域内部，而|x |+|y |=1所围成的面积为2，故曲线E 所围成图形的面积小于2，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有x 23+y 23≥2|xy |23，由x 2+y 2=x233+y 233及立方和公式求两点距离，利用x 23+y 23与|x |+|y |图形的位置判断面积大小.11曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 上点P x 0,y 0 处的曲率半径公式为R =a 2b 2x 2a 4+y 20b432，则下列说法正确的是()A.对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最大值为aC.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最小值为b 2a D.对于椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 上点12,y 0 处的曲率半径随着a 的增大而减小【答案】AC【分析】利用曲率半径公式的定义，A 中有圆上任一点R=R4R 2R 432=R ；B 、C 中由椭圆在(±a ,0)，(0,±b )处分别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围；D 中由公式得R =a -834+a 43-a-23432，构造f (a )=a -834+a 43-a-234，利用导数研究其单调性即可，进而可确定正确选项.【详解】A ：由题设知：圆的方程可写为x 2R 2+y 2R 2=1，所以圆上任一点P x 0,y 0 曲率半径为R =R4x 20+y 2R 432=R4R 2R 432=R ，正确；B 、C ：由x 2a 2+y 2b 2=1a >0,b >0 弯曲最大处为(±a ,0)，最小处为(0,±b )，所以在(±a ,0)处有R =a 2b 2a 2a 4+0b432=b 2a ，在(0,±b )处有R =a 2b20a 4+b 2b432=a 2b，即R ∈b 2a ,a 2b ，故B 错误，C 正确；D ：由题意，12,y 0 处的曲率半径R =a 214a 4+y 232，而y 20=1-14a 2，所以R =a 214a 4-14a 2+132=a -834+a 43-a -23432，令f (a )=a -834+a 43-a -234，则在a >1上有f (a )=a-1136(8a 4+a 2-4)>0恒成立，故R 在a >1上随着a 的增大而增大，错误；故选：AC .【点睛】关键点点睛：由曲率半径公式，结合曲线方程写出相应点的曲率半径，根据圆、椭圆的性质，构造函数并应用导数研究其单调性，判断各项的正误.三、填空题12在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为点A x 1,y 1 到点B x 2,y 2 的“折线距离”．点O 是坐标原点，点P 在圆x 2+y 2=1上，点Q 在直线2x +y -25=0上．在这个定义下，给出下列结论：①若点P 的横坐标为-35，则d (O ,P )=75； ②d (O ,P )的最大值是2③d (O ,Q )的最小值是2； ④d (Q ,P )的最小值是52其中，所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】对于①，求出点P 的纵坐标，利用“折线距离”的定义即可判断；对于②，结合基本不等式即可判断；对于③，设Q x ,25-2x ，表示出d (O ,Q )=x +2x -25 ，分段讨论，去掉绝对值，可求得最小值，即可判断；对于④，利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出d (Q ,P )，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可判断.【详解】对于①，若点P 的横坐标为-35，点P 在圆x 2+y 2=1上，则点P 的纵坐标为±45，则d (O ,P )=0-35 +0±45 =75，①正确；对于②，设点P (x ,y )，则x 2+y 2=1，d (O ,P )=|x |+|y |，因为(|x |+|y |)2=x 2+y 2+2|xy |≤1+x 2+y 2=2，故d (O ,P )=|x |+|y |≤2，当且仅当|x |=|y |=22时等号成立，即d (O ,P )的最大值是2，②正确；对于③，设直线2x +y -25=0上的一点为Q x ,25-2x ，则d (O ,Q )=x +2x -25 ；当x ≤0时，d (O ,Q )=-3x +25，此时d min =25；当0<x ≤5时，d (O ,Q )=-x +25，此时dmin =5；当x>5时，d=3x-25，此时d(O,Q)>5；∴当x=5时，d取得最小值5，即d(O,Q)的最小值为5，故③错误；对于④，设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π]，Q x,25-2x，则d(Q,P)=|x-cosθ|+|25-2x-sinθ|，当x≥5-12sinθ时，x>1>cosθ，d(Q,P)=x-cosθ-25+2x+sinθ=3x-cosθ-25+sinθ≥35-12sinθ-cosθ-25+sinθ=5-12sinθ+cosθ=5-52sinθ+α≥52，(α为辅助角，sinα=255,cosα=55)，当θ+α=π2时取得等号；当5-12sinθ>x>cosθ时，d(Q,P)=x-cosθ+25-2x-sinθ=-x-cosθ+25-sinθ≥-5-12sinθ-cosθ+25-sinθ=5-12sinθ+cosθ=5-52sinθ+α≥52，(α为辅助角，sinα=255,cosα=55)，当θ+α=π2时取得等号；当x≤cosθ时，d(Q,P)=cosθ-x+25-2x-sinθ=-3x+cosθ+25-sinθ≥-3cosθ+cosθ+25-sinθ=-2cosθ-sinθ+25=25-5sin(θ+β)≥5，(β为辅助角，sinβ=255,cosβ=55)，当θ+β=π2时取得等号；综上可知d(Q,P)的最小值是52，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查直线和圆的关系中新定义问题，解答时要根据新的定义去解答，难点在于④的判断，解答时要利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出d(Q,P)，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可求解.13卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：x2x+2+y24=1x>-2，O为坐标原点，点A(1,0)，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是.①卵圆C关于x轴对称②卵圆上不存在两点关于直线x =12对称③线段PO 长度的取值范围是[1,2]④△OAP 的面积最大值为1【答案】①③④【分析】利用点x ,y 和x ,-y 均满足方程，即可判断①；设x 0,y 0 和1-x 0,y 0 都在卵圆C 上，再解x 20x 0+2+y 204=11-x 0 1-x 0+2+y 204=1即可判断②；利用两点间的距离公式表示OP 2，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出S △OAP ，然后利用导数研究其最值，即可判断④.【详解】对于①，设x ,y 是卵圆C 上的任意一个点，因为x 2x +2+-y 24=x 2x +2+y 24=1，所以点x ,-y 也在卵圆C 上，又点x ,y 和点x ,-y 关于x 轴对称，所以卵圆C 关于x 轴对称，故①正确；对于②，设x 0,y 0 在卵圆C 上，x 0,y 0 关于直线x =12对称的点1-x 0,y 0 也在卵圆C 上，则x 2x 0+2+y 204=11-x 0 1-x 0+2+y 204=1，解得x 0=-1y 0=0 或x 0=2y 0=0 ，所以卵圆上存在-1,0 ,2,0 两点关于直线x =12对称，故②错误；对于③，由x 2x +2+y 24=1，得x 2x +2=1-y 24，所以x2x +2≤1，又x >-2，所以-1≤x ≤2，设点P x ,y ,x ∈-1,2 ，则OP 2=x 2+y 2=x 2+41-x 2x +2 =x 3-2x 2x +2+4，令f x =x 3-2x 2x +2+4,x ∈-1,2 ，则fx =2x x 2+2x -4 x +2,x ∈-1,2 ，令f x =0，则x =0或-1±5，当-1<x <0或-1+5<x <2时，f x >0，当0<x <-1+5时，f x <0，所以函数f x 在-1,0 ,-1+5,2 上递增，在0,-1+5 上递减，又f -1 =1,f 0 =4,f -1+5 =26-105,f 2 =4，且26-105>1，所以f x min =1,f x max =4，即OP 2∈1,4 ，所以OP ∈1,2 ，故③正确；对于④，点P x ,y ,x ∈-1,2 ，S △OAP =12OA ⋅y =12×21-x 2x +2=1-x 2x +2，令g x =x 2x +2,-1≤x ≤2，则g x =x x +4 x +22,-1≤x ≤2，当-1<x <0时，g x <0，当0<x <2时，g x >0，所以g x 在-1,0 上递减，在0,2 上递增，所以g x min =g 0 =0，此时△OAP 的面积取得最大值1，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.14城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义d P ,Q =x 1-x 2 +y 1-y 2 为两点P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 之间的“出租车距离”.给出下列四个结论：①若点O 0,0 ，点A 1,2 ，则d O ,A =3；②到点O 0,0 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点A 1,2 ，点B 是抛物线y 2=x 上的动点，则d A ,B 的最小值是1；④若点A 1,2 ，点B 是圆x 2+y 2=1上的动点，则d A ,B 的最大值是3+2.其中，所有正确结论的序号是.【答案】①③④【分析】利用题中定义可判断①；作出平面区域并计算平面区域的面积可判断②；利用题中定义以及二次函数的性质可判断③；设点B cos θ,sin θ ，利用题中定义结合正弦型函数的有界性可判断④.【详解】对于①，d O ,A =1-0 +2-0 =3，①对；对于②，设点P x ,y 满足d O ,P ≤1，即x +y ≤1.对于方程x +y =1，当x ≥0，y ≥0时，x +y =1；当x ≤0，y ≥0时，-x +y =1；当x ≤0，y ≤0时，-x -y =1；当x ≥0，y ≤0时，x -y =1.作出集合x ,y x +y ≤1 所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示：平面区域是边长为2的正方形，该区域的面积为2 2=2，②错；对于③，设点B x ,y ，则d A ,B =x -1 +y -2 =y 2-1 +y -2 ，令f y =y 2-1 +y -2 .当y ≤-1时，f y =y 2-1+2-y =y 2-y +1=y -12 2+34≥3，当-1<y <1时，f y =1-y 2+2-y =-y 2-y +3=-y +12 2+134∈1,134 ；当1≤y <2时，f y =y 2-1+2-y =y 2-y +1=y -12 2+34∈1,3 ；当y ≥2时，f y =y 2-1+y -2=y 2+y -3=y +12 2-134≥3.综上所述，d A ,B ≥1，③对；对于④，设点B cos θ,sin θ ，则d A ,B =1-cos θ +2-sin θ =3-sin θ+cos θ =3-2sin θ+π4，所以，d A ,B 的最大值是3+2，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线中的新定义，在判断③时，要注意去绝对值，结合二次函数的基本性质求解；在判断④时，在涉及圆或椭圆上的点相关的最值问题时，可充分将点的坐标利用三角函数的形式表示，利用三角函数的有界性与三角恒等变换求解，简化计算.15已知点A 1,-1 ．若曲线G 上存在两点B 、C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Ψ型曲线，给定下列四条曲线：①y =x +3-3≤x ≤0 ； ②y =x 2x ≥0 ；③y =2-x 20≤x ≤2 ； ④y =1xx <0 ．其中，属于Ψ型曲线的是(写出序号即可)【答案】①④【分析】线段y =x +3-3≤x ≤0 的端点为E -3,0 、F 0,3 ，计算出cos ∠EAF 的值可判断①；设过点A 且与曲线y =x 2x ≥0 相切时切点为M ，计算出tan ∠OAM 可判②；记曲线y =2-x 20≤x ≤2 的端点为P 0,2 、Q 2,0 ，计算出cos ∠PAQ 的值可判断③；数形结合可判断④.【详解】对于①，线段y =x +3-3≤x ≤0 的端点为E -3,0 、F 0,3 ，则EF =32，AE =AF =17，cos ∠EAF =AE2+AF 2-EF 22AE ⋅AF=817<12，故∠EAF >π3，所以，线段y =x +3-3≤x ≤0 上存在B 、C 使得△ABC 为正三角形，故y =x +3-3≤x ≤0 是Ψ型曲线；对于②，设过点A 且与曲线y =x 2x ≥0 相切的直线的方程为y +1=k x -1 ，联立y =x 2y =kx -k -1k >0，可得x 2-kx +k +1=0，Δ=k 2-4k -4=0，因为k >0，解得k =2+22，设切点为点M ，则tan ∠OAM =k AO -k AE 1+k AO k AE =-3-221-2+22 =3+2222+1<3，故0<∠OAM <π3，所以，曲线y =x 2x ≥0 上不存在点B 、C ，使得△ABC 为正三角形，曲线y =x 2x ≥0 不是Ψ型曲线；对于③，由y =2-x 20≤x ≤2 可得x 2+y 2=2，曲线y =2-x 20≤x ≤2 表示圆x 2+y 2=2在第一象限内的圆弧(包括端点)，曲线y =2-x 20≤x ≤2 的端点为P 0,2 、Q 2,0 ，。

例谈圆锥曲线知识在高考中的综合应用

程是在以线将原段ＧＨ为直径的圆内” 化为代数形式是此题的难转点．
“ 一列一解 ” 设的程序化运算的基础上，现解析体几何设而不求的求简意识；
（）一步融合圆锥曲线与其他知识板块的２进交叉，用向量几何与代数的 “ 重身份 ” 导数几利双、何意义的 “ 线问题 ” 装圆锥曲线的几何性质，切包体现向量法和导数法的应用；（）值、值问题依然为高考的热点之一，３最定将函数思想、方程思想、分类讨论思想、数运算能代力、理论证能力、象概括能力等贯穿于一道试推抽
通了形与数的关系，过形的代数化找到韦达定理通的结构，是解决此类问题的通行之路．这例１如图１已知ｍ＞１直线￡一ｍ，，：ｙ一
２２
掌握椭圆与抛物线的定义、何图形、准方几标程；了解双曲线的定义；握双曲线的几何图形和掌
（）出解析几何知识的横向联系（如直线１突譬
与圆锥曲线的位置关系，圆、物线与圆的相互椭抛
结合等）提高运用函数和方程的思想，遵循，在
点评明确求解目标，立关于参数ｍ的方建
Ｇ为直径的圆内，Ｈ求实数ｍ的取值范围．（００年浙江省数学高考理科试题）２１考点分析本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆、与圆的位置关系等基础知识硐时考点查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．（解题过程请参见本刊２１００年第８期第２８

圆锥曲线定义在解题中的应用

圆锥曲线中有大量的最值问题其中有一部分最值间题需用圆
焦 A和B是以为心, 以I } 点, 圆鱿
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 , 且 ! 凡妞是等边三角形, 则双曲线的离心率为 (
A C
锥曲线的定义转化后才能较好解决 , 因此, 巧用定义将问题进行转化是解决这类最值问题的关键
例3: 已知A (4 , o )
关键词 : 圆锥曲线; 离心率; 最值 ; 轨迹中图分类号 : 0 187 .1 文献标识码 : A
最
文章编号 : 10 8 一 75 7 0 6
20 10 ) 0 1一 9 3一 0 02
现行高中教材中的圆锥曲线包括椭圆双曲线和抛物线 , 三种圆锥曲线的定义既是教材的重要的基本内容 , 也是解决许多问题的
(a > b > 0 ) 的左焦点F 的直线交椭圆于P Q 两点 , 在椭圆
入浑
的左准线上存在一点 R , 使 !P Q R 为正三角形 , 求椭圆离
心率的取值范围
& 析 l: 如图所示 , 取 P Q 解
的中点M , 作P P I M M . Q Q : 垂直于左准线 , 垂足分别为
.} ∀ A引一引一即( l 一 } 注 2 a 万一 2 )
答案 : D
#! AI} BJ M + M 的最大值为12 点评 : 此题的解法很多, 以上解法最为简捷
可见, 熟悉圆锥
点评 : 求离心率的值关键是得出a与c的关系, 这里只需用双曲线的第一定义便可得出a与c 的关系, 进而求出双曲线的离J 曲线的离心率
C H E N G S e n 一w a n g
( W uyuan T i anyou H i Sohool, W uyuan Ji gh an罗i 33320 , China ) , 0

回归本源用定义求解圆锥曲线问题

已３）求拿Ｉ最知（，．ｌｌｌ１Ｐ＋Ｐ的ＡＦ
小值．网３
２．求面积
２
例如１ＦＦ是圆２图，－椭去没，
分析根据题设条件画出图３这是发现解题思路的前，
提， √ ，。＝３ｂ＝１．ｃ２ｅ，．＝，＝｛． ‘
中运用余弦定理，ｃｓ０＝ — ＝。６。１
（１＋ｒ）ｒ２一２ｌ２一（ｃｒｒ２）
２２ｌ
＋；（ｃｒ一２）
２２ｌ
点Ｐ的轨迹．
（若双曲线的两个分支分别过Ａ，两点，以ｃ为２）口且
一
１０—２ｌ２—６０ｒｒ４
２１２
个焦点，另一个焦点９的轨迹．求
故Ｓｍ，＝ √ ．，３３
３．求最值
例３（０９年四川卷－第９题）２０如图２，知直线ｆ４已：ｘ一３＋６＝０和ｙ直线Ｚ＝一ｌ抛物线Ｙ：，＝４上一动ｘ
义，ｌＰＩＩＣＩＩＰｌＩ得Ｊ＋Ａ＝＋ＢＣＩ，
即ＩＢＰＩ— ｌＩ＝【ＡＰＡＣＩ— １日ＣＩ．
’ ．
点Ｐ到直线ｚ直线Ｚ距离之和的和，的
最小值是（分析）．
图２
‘
ＩＣＩ— ＩＡＢＣＩ＝２．
ｃｓ０。：—１。６
：
２１２
利用给

例谈巧用圆锥曲线定义求最值问题

例谈巧用圆锥曲线定义求最值问题在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 通常是利用函数的观点, 建立函数表达式进行求解。

但是, 一味的强调函数观点, 有时会使思维陷入僵局。

这时, 若能考虑用圆锥曲线的定义来求解, 问题就显得特别的简单。

下面就列举一些例子加以说明。

以说明。

例1、2008年福州市数学质检文科、理科的选择题第12题：题：如图，M 是以A 、B 为焦点的双曲线222x y -=右支上任一点，若点M 到点C （3，1）与点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是（的取值范围是（）A 、)262,é++¥ëB 、)2622,é-+¥ëC 、)2622,2622é-+ëD 、)262,é-+¥ë分析：此题的得分率很低，此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。

用函数观点求解困难重重。

若能利用双曲线的第若能利用双曲线的第一定义，则势如破竹。

解法如下：一定义，则势如破竹。

解法如下：连结MA ，由双曲线的第一定义可得：2MB MC MA a MC +=-+ 22222622MA MC AC =+-³-=- 当且仅当A 、M 、C 三点共线时取得最小值。

时取得最小值。

如果此题就到此为止，如果此题就到此为止，如果此题就到此为止，未免太可惜了！未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作如下的探究：作如下的探究：（1）如果M 点在左支上，则点M 到点C （3，1）与点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是多少？的取值范围是多少？（2）如果M 是以A 、B 为焦点的椭圆22143x y +=上任一点，若点M 到点1,12C æöç÷èø与点B 的距离之差为S ，则S 的最大值是多少？的最大值是多少？（3）如果M 是以A 、B 为焦点的椭圆22143x y +=上任一点，若点M 到点1,12C æöç÷èø与点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是多少？的取值范围是多少？分析：连结MA ，由椭圆的第一定义可得：，由椭圆的第一定义可得：()22MB MC a MA MC a MA MC +=-+=--，当且仅当A 、M 、C 三点共线时取得最大、最小值，如上图所示。

例谈用圆锥曲线的定义解题

（）假设当＝时．２
】】】】
设２＝
ｓｎｉ】
】
瓦而
则当ｎ＝ｋ＋】，时
】ｌ】
‘了一
】
丌’
ｓｎ（＋１ｉ１）
Ｉ＋ｆ
１ｉ１＋１一（ｌ＋１ｓｎｌｎ（ｓ））ｉｘ
４即ｌＭＰｌｌ＾口ｌ＿４故＾， — ｒ，ｒ点的轨迹是以Ｐ、为口
焦点，轴长为４的双曲线的右支实
综合得＾的轨迹方程为ｒ
一
￡：Ｉ＿
１２
的三角形称为焦点三角彤．近几年的竞赛题和高在
考题中它一直是考查圆锥曲线的典登代表，用曲利线的定义和棠弦定理不赡推得下述结论（导过程推
迹方程
分析
由于相切
包含内切和外切，两而者的数量关系又不同，故须分类解之如图１，０【），Ｏ的半径为４Ｏ圆
Ｙ＝
４设动圆圆心Ｍ（Ｙ，）其半径为ｒ＝１ＭＰ１
维普资讯
２００２年第】期
可能．
数学教学研究
ｆｎＮＥＪ
７引参设元产生辅助增设日进增量可以分解复杂的结构增设参与证明ｆ的关系，时产生一个动态过程，运动观点，数同为参
支；
２００２年第１期一般情况下，涉及到圆锥曲线上的点凡

浅谈圆锥曲线的性质及其应用

2322文教研究文|牛倩倩浅谈圆锥曲线的性质及其应用摘要：本篇论文简单叙述了圆锥曲线的由来与成长过程，通过对圆锥曲线进行某个程度进行分类，简单地对圆锥曲线的各个方面的性质进行了罗列和归纳，并且对于在生活中以及解题中的部分应用进行了罗列。

关键词：圆锥曲线；圆锥曲线的性质；圆锥曲线的简单应用一、圆锥曲线的由来与成长圆锥曲线在古代早就有学者开始了研究，2000余年前，希腊几何学者Menachmus 以前用垂直于圆锥上面的某条母线的平面从不同方位拦截圆锥面，又因为圆锥面最顶端的角存在差别，那么就会出现三种不同形状的曲线，根据角度的不同进行定义。

随后阿波罗尼通过搜集了以前研究人员的成果，有了自己的一些独特的研究成果，他认为只要改变截面与母线之间的倾斜角的大小，就可以使得同一个圆锥面截出这三种不同类型的曲线，给这三种常态二次曲线取下了名称，但是他并没有用焦点和准线之类的观点来准确的定义出圆锥曲线。

到公元340年左右，巴卜发现抛物线的焦点和准线，但是他只研究了彼此之间的孤立性质。

关于焦点。

以后由于坐标的建立、代数的方法、射影的方法代替了初等的方法，圆锥曲线的理论才逐渐完备起来。

二、圆锥曲线的分类和性质1）圆锥曲线的分类。

如果平面里面的一个运动的点到一个固定点与一条固定的直线的间隙之比是一个常数，则这个点的运动迹象称为圆锥曲线，这个固定的点称为交点，相应的固定的直线称为准线，这个数叫做离心率。

2）圆锥曲线的性质。

①定理：圆锥曲线上任意一点Q 到定点的间隙与到一条直线l 的间隙之比等于。

②曲线的焦点所在位置的判断。

双曲线的焦点位置通常是取决于x 2项的系数和y 2项的系数,哪个项的系数为正，那么焦点就会出现在系数为正的未知数所对应的坐标轴上面;在椭圆中x 2项和y 2项中,两个分母比较大小，分母相对大的焦点点就会出现在未知量对应的坐标轴上面。

3）椭圆的性质。

定理1：对于椭圆，经过任意一个焦点任意的做一条直线为AD,同时在坐标轴上做出相对应的准线，准线会与焦点所在的坐标轴有公共点，记为M，那么就会得出结论。

学生论文：圆锥曲线在解题中的应用

玉林师范学院本科生毕业论文（设计）院系玉林师范学院数学与计算机科学系专业数学与应用数学学生班级2000级本科班姓名指导教师单位指导教师姓名指导教师职称副教授中文摘要本文指出了圆锥曲线在解题中的作用，总结论证了圆锥曲线的第二定义、切线方程、参数方程及公共焦点的一些规律，利用这些规律，通过具体应用实例，阐述了圆锥曲线在解题中的应用。

关键词：圆锥曲线；公共焦点；参数方程；切线方程。

AbstrctThis text pointed out the cone curve at solve a function in, Summary argument curvilinear the second in cone definition, Square distance in square distance, parameter in tangent and public and focal and some regulation, Make use of these regulationses,Pass concrete applied solid example, Expatiated the cone curve at solve a function in.Key words：Cone curve；public focus；square distance in parameter；square distance in tangent.引言圆锥曲线是研究曲线的基础，更是探索曲线的重点，在科学技术上已被广泛地应用，如光学、航海、航空、天体运动等。

而圆锥曲线在中学是平面解析几何的重要内容之一，在每年高考中约占全卷15%左右，求圆锥曲线轨迹方程又是重点考查问题。

本人试从圆锥曲线在解题中的应用作一初步探讨，希望得到读者的批评指正。

平面内与定点距离等于定长的点的轨迹叫圆；平面内与两定点的距离的和等于常数（大于这两点之间的距离）的点的轨迹叫椭圆；平面内与两顶点的距离之差的绝对值是常数（小于这两点之间的距离）的点的轨迹叫做双曲线；平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。