有限元教案_薄板问题(2014)
有限元教案_壳单元2014
薄壳问题有限元法的基本思路 薄壳单元节点的自由度 薄壳问题的位移约束
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薄壳问题有限元法的基本思路
薄壳中面为曲面, 受载荷作用时，既产生平行 于中面的变形，还产生弯曲变形。（与拱相类似） 薄壳的中面曲面可以用足够小平面拼接而成的 折曲面替代（类似于以折线代替曲线）。平行于中 面的变形分析属于平面应力问题，弯曲变形分析属 于薄板弯曲问题 。 在有限元方法中，复杂的薄壳问题可以分解为 平面应力问题和薄板弯曲问题的组合。
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作业
作业：分别给出xoy坐标面为对称面和反对称 面时，薄壳问题在xoy 面上的位移约束，并辅 以简要说明。
8
整体坐标系中节点位移向量为：
U ,V ,W ,
i i i
Xi
, Yi , Zi
6
T
薄壳问题的位移约束 薄壳问题的约束总是在整体坐标系下给出的。
1、对称性约束 以xoz坐标面为对称面。
V i 0, Xi 0, Zi 0
2、反对称性约束
以xoz坐标面为反对称面。
U i 0,W i 0, Yi 0
2
薄壳单元节点的自由度
1、在单元局部坐标系中节点的自由度 (a)平行于中面的变形部分（平面应力） 薄壳中面内 x方向位移u i 和y方向位移vi ,
两个线位移自由度。
(b)弯曲变形部分（薄板弯曲） 垂直于中面的挠度 w i，绕x轴转角 xi 和绕y轴转角 yi，
一个线位移和两个角位 移
3
4
薄壳单元节点的自由度
单元局部坐标系中节点位移向量
u , v , w ,
e i i i i
, xi yi
T
5
薄壳单元节点的自由度
第五章 薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。
c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。
(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。
在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。
二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。
这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。
有限元(平面问题)2014版
平面问题的基本概念与基本方程 平衡的普适表达方法—虚功原理 平面问题有限元位移插值函数 单元刚度矩阵 约束处理 载荷处理
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平面问题基本概念与基本方程
平面问题的分类：平面应力问题和平面应变问题。
1、平面应力问题 一个例子：薄板平行板中面
均匀承受载荷 特点：只有与板中面平行的
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平面问题有限元位移插值函数 单元位移插值函数一般可以用多项式表示:
u a1 + a2 x + a3 y + a4 x2 + a5 xy + a6 y2 + ...
v b1 + b2 x + b3 y + b4 x2 + b5 xy + b6 y 2 + ...
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平面三角形单元及其位移插值函数 1、三节点三角形单元
y k
为三角形面积
注意：为保证Ａ＞０，在右手系中ｉ，ｊ，ｋ编号 按逆时针方向．
同理可以推导出其他三个系数．
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平面三角形单元及其位移插值函数
将系数带入式（4-3）得单元任一点位移u，v的表达式 ：
u
1 2A
[(ai
+
bi
x
+
ci
y)ui
+
(a
j
+
bj
x
+
c
j
y)u j
+
(ak
+
bk
x
+
ck
y)uk
Xu + Yv dxdy + pxu + pyv ds
x
x
+
薄板弯曲问题有限元法
T
wl xl yl
Fzl M zl M yl T
j
xj
yj
wj
7
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薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v 等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y) 的选取。注意单元有12个自由度，则
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
1 2
(w,
Ljj
w, Ljm
),
a5
1 2
(w,Lii
w, Lim
),
6
1 2
(w,Lii
w, Lij
w, Lji
w,Ljj
),
7
wj
wm
1 2 (w,Ljj
w, Ljm
)
8
wi
wm
1 2
(w,Lii
w, Lim
)
w,Lij 表示w对Li的 偏导数在j点的值。
9
wi
wj
1 2
(w,Lii
角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点
，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一
个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
节点位移分量和节点力分量
i
xi
yi
wi
q e wi xi yi F e Fzi M xi M yi
w(x, y) c1 c2 x c3x2 c4 x3
四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定 ；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。
实验四薄板圆孔的有限元分析
（2） 生成一个圆孔 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Circle>Solid Circle，弹出如图所示的 【Solid Circular Area】对话框。分别在【WP X】、【WP Y】和【Radius】文本框中输入“0”、 “0”、“5”。单击 OK 按钮，生成结果如下左图所示。 （3） 执行面相减操作 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Booleans>Subtract>Areas，弹出一个拾取 框。拾取编号为 A1 的面，单击 OK 按钮。然后拾取编号为 A2 的圆面，单击 OK 按钮。生 成结果如下右图所示。
泊松比=0.3 拉伸载荷：
P=1000Pa 几何参数：
平板厚度 t=0.1m。 单元类型：
Structural Solid Quad 8node 82 1. 定义工作文件名和工作标题 （1） 定义工作文件名 Utility Menu>File>Change Jobname，输入文件名，选择【New log and error files】复选框， 单击 OK 按钮。 （2） 定义工作标题 Utility Menu>File>Change Title，输入工作标题，单击 OK。 （3） 重新显示 Utility Menu>Plot>Replot （4） 关闭三角坐标符号 Utility Menu>PlotCtrls>Window Controls>Window Options，弹出【Windows Options】对
单击 Add 按钮，弹出如图所示的【Library of Element Types】对话框。选择“Structural Solid” 和“Quad 8node 82”选项，单击 OK 按钮，然后单击 Close 按钮。
ANSYS 有限元分析 平面薄板
v1.0 可编辑可修改《有限元基础教程》作业二：平面薄板的有限元分析班级：机自101202班 姓名：韩晓峰 学号：0210一．问题描述：P Ph1mm R1mm10m m 10mm条件：上图所示为一个承受拉伸的正方形板，长度和宽度均为10mm ，厚度为h 为1mm ，中心圆的半径R 为1mm 。
已知材料属性为弹性模量E=1MPa ，泊松比为，拉伸的均布载荷q ＝1N/mm 2。
根据平板结构的对称性，只需分析其中的二分之一即可，简化模型如上右图所示。
二．求解过程：1 进入ANSYS程序 →ANSYS →ANSYS Product Launcher →File management →input job name: ZY2→Run2设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural → OK3选择单元类型ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add →selectSolid Quad 4node 42 →OK → Options… →select K3: Plane Strs w/thk →OK →Close 4定义材料参数ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural→Linear →Elastic →Isotropic →input EX: 1e6, PRXY: → OK5定义实常数以及确定平面问题的厚度ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constants …→Add/Edit/Delete →Add →Type 1→OK →Real Constant Set ,THK:1→OK →Close6生成几何模型a 生成平面方板ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Rectangle →By 2 Corners →WP X:0,WP Y:0,Width:5,Height:5→OKb 生成圆孔平面ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Circle →Solid Circle→WPX=0,WPY=0,RADIUS=1→OKb 生成带孔板ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling→Operate →Booleans → Subtract →Areas →点击area1→OK→点击area2→OK7 网格划分ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) Global: Set →SIZE: →OK →iMesh →Pick All → Close8 模型施加约束a 分别给左边施加x和y方向的约束ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement → On lines →拾取左侧边→OK →select UX,UY→ OKb 给斜边施加x方向均布载荷Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取右侧边；OK →VALUE:-10→OK9 分析计算ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS →OK→Close10 结果显示ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results →Deformed Shape…→ select Def + Undeformed →OK→Contour Plot →Nodal Solu…→select: DOF solution, Displacement vector sum, Def + Undeformed , Stress ,von Mises stress, Def +v1.0 可编辑可修改Undeformed→OK11显示整体效果Utility Menu→PlotCtrls→Style>Symmetry Expansion>Periodic/Cyclic Symmetry Expansion→1/4Dihedral Sym→OK10 退出系统ANSYS Utility Menu: File→Exit…→ Save Everything→OK三．结果分析：图1 建模、网格划分、加载图图2 变形图图3 整体应力。
有限元_4-薄板弯曲问题
第4章
弹性薄板弯曲问题的有限元法
板和壳是指厚度比其他尺寸要小得多的平面或曲面构件。由于它的这种几何特点，三维单 元并不适合用来分析它们的变形。因为三维单元在三个方向的尺寸应尽量接近，否则求解精度 由于“剪切自锁”(shear locking)或系统矩阵病态而大大降低，甚至得到错误的结果。所以 必须采用很细密的网格来适应板和壳的几何特征，但是这将导致有限元模型的自由度疯狂地增 长。 仿照根据梁理论建立梁单元的思路，自然想到根据板理论建立板单元。这里讨论两种板理 论，一是薄板理论，也被称为Kirchhoff 板理论，它忽略了板的横向剪切变形；另一种是Mindlin 板理论，它考虑了板的横向剪切变形的影响，适合于板的厚跨比较大的情形。后者也常被称为 Reissner 板理论[8]或中厚板理论。根据这两种理论可以建立不同的板单元。 薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平 板理论》）。象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题 很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。故工程设计中以往多采用简 化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。 在板的分析中，常取板的中面为xoy平面(如图)。平板结构按其厚度t与短边a的比值大小 而分为: 厚板（Thick plate）和 薄板（Thin plate)两种。
阵
[S]的显式：
五、单元刚度矩阵
由一般公式得:[K]=
t[B] [D] [B]dxdy。将几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]的表达式代入，积分可
a b T -a -b
得薄板弯曲问题矩形单元的单元刚度矩阵的显示：
8
《有限元》讲义
六、荷载等效变换
由荷载等效变换的一般公式可得
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。
本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。
有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。
通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。
为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。
薄板有限元分析
板中圆孔的应力集中问题：如图所示为一个承受单向拉伸的无限大板，在其中心位置有一个小圆孔。
材料属性为弹性模量E= Pa泊松比为0.3,拉伸载荷q=1000Pa平板厚度t=0.1.201、定义工作名和工作标题（1）定义工作文件名：在弹出的Cha nge Job name对话框中输入Plate。
选择New log and error files复选框，单击OK按钮。
（2）定义工作标题：在弹出的的Change Title对话框中输入The analysis of plate stress with small circle单击OK按钮。
（3）重新显示：执行replot命令。
2、定义单元类型和材料属性（1）选择单元类型：在弹出的Element Type中，单击Add按钮，弹出所示对话框，选择Structural Solid 和Quad 8node 82选项，单击OK ,然后 单击close 。
(2) 设置材料属性：在弹出的 defi ne material models behavior 窗口中，双 击 structural/linear/elastic/isotropic 选项，弹出 linear isotropic material properties for material number 1 对话框，EX 和 PRXY 分别输入 2e11 和0.3,单击OK,执行exit 命令Lintar Isotropic f^lattrial Proptrtits for f^lattrial Numbtr 1Add Temperature Delete Temperature□K（3）保存数据：单击SAVE_DB 按钮。
3、创建几何模型PRXYCancel Linejr Isotropic Properties for Material Nuinbcr 1T1Help（1）生成一个矩形面：执行相应操作弹出create recta ngle by dime nsio ns对话框，输入数据，单击OK,显示一个矩形。
有限元-圆孔薄板
有限元方法的优点和局限性
优点
有限元方法具有广泛的适用性，可以处理复杂的几何形状、 材料属性和边界条件。它能够处理非线性问题，并且可以模 拟大规模系统。此外，有限元方法还具有高精度和灵活性。
局限性
有限元方法需要大量的计算资源和时间，尤其对于大规模系 统。此外，对于某些特殊问题，可能需要开发特定的有限元 模型和求解算法。
Abaqus
功能强大的有限元分析软件，广泛应用于各 种工程领域。
有限元分析的精度和误差分析
精度
误差来源
误差分析方法
提高精度措施
有限元分析的精度取决于模 型的离散程度、方程求解的 算法以及数值计算的舍入误 差等。
主要包括离散误差、舍入误 差和模型误差等。离散误差 是由于模型离散化引起的， 舍入误差是由计算机浮点运 算引入的，而模型误差是由 于对实际问题的简化引起的 。
结果评估
对求解结果进行后处理和可视 化，评估分析的精度和可靠性。
有限元分析的软件工具
ANSYS
提供广泛的多物理场仿真功能，包括结构、 流体、电磁等。
COMSOL Multiphysics
多物理场仿真软件，支持多种物理现象的耦 合分析。
SolidWorks Simulation
基于SolidWorks平台的有限元分析工具， 适用于各种工程应用。
几何模型需要考虑孔 洞和平板的形状、尺 寸以及相互之间的连 接关系。
圆孔薄板的有限元网格划分
有限元网格划分是将几何模型离 散化为有限个小的单元，以便进
行数值计算。
对于圆孔薄板，常用的有限元网 格划分方法包括四边形网格、六
面体网格等。
网格的密度和分布对计算精度和 稳定性有重要影响，需要根据实
第五章薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元讲义第五章薄板弯曲问题有限元法第⼀节薄板弯曲问题的有关概念⼀、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平⾏的表⾯所构成的⽚状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的⾯为中⾯，当中⾯为平⾯时，称为平板，当中⾯为曲⾯时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪⼒）作⽤下，发⽣弯扭⽽使薄板中⾯上各个点沿垂直中⾯⽅向发⽣的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平⾯应⼒板问题，载荷作⽤于板⾯内—（薄膜单元）；在拉、压⼒和⾯内切⼒作⽤下，板内将产⽣薄膜内⼒，从⽽使板产⽣⾯内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) ⼏何尺⼨：板的厚度远较长与宽的⼏何尺⼨为⼩(⼀般厚度与板⾯最⼩尺⼨之⽐⼩于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中⾯的横向载荷作⽤。
c) ⼩挠度条件；即挠度与板厚之⽐值较⼩，⼀般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中⾯为xoy平⾯，厚度⽅向为z轴⽅向，3．板的⼀般问题：⼀般情况下，板既可承受横向载荷作⽤，也可同时承受平⾏于板中⾯的膜载荷作⽤。
(1) 薄板：在⼩挠度情况下，当两种载荷同时作⽤时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作⽤可按平⾯应⼒问题进⾏处理，⽽横向载荷的作⽤则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内⼒和弯曲内⼒的叠加便是⼀般载荷综合作⽤的结果。
（2）厚板：当1⼆．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中⾯的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲⾯，且法线线段没有伸缩，板的厚度⽆变化。
这样，垂直于中⾯的正应变便可忽略，即εz=0根据⼏何⽅程，可得因此挠度只是x,y的函数，表⽰为w=w(x,y)，也即薄板中⾯上法线的各点都有相同位移。
2．正应⼒假设在平⾏于中⾯的截⾯上，应⼒分量ζz、τzx及τyz远⼩于其他三个应⼒分量，可忽略不计。
3．⼩挠度假设板中⾯只发⽣弯曲变形⽽没有⾯内变形，即中⾯内各点没有平⾏于中⾯的位移，表⽰为：在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应⼒都可⽤挠度w表⽰。
ANSYS有限元分析平面薄板
ANSYS有限元分析平面薄板ANSYS是全球领先的工程仿真软件公司，提供一系列强大的有限元分析工具，用于解决各种工程问题。
在工程设计中，平面薄板的有限元分析是一项非常重要的工作，可以帮助工程师了解结构的强度和稳定性，优化设计方案，提高产品性能和安全性。
平面薄板是一种常见的结构，广泛应用于建筑、航空航天、汽车、船舶等领域。
在设计和分析平面薄板时，工程师通常需要考虑多个因素，如外载荷、边界条件、材料性能等。
有限元分析可以有效地模拟这些复杂情况，帮助工程师预测结构的行为和性能。
在使用ANSYS进行平面薄板的有限元分析时，通常需要按照以下步骤进行：1.几何建模：首先需要使用ANSYS的几何建模工具创建平面薄板的几何模型。
可以选择不同的几何形状和尺寸，以满足设计要求。
2.网格划分：接下来需要对几何模型进行网格划分，将其分割成小的单元，以便进行有限元分析。
网格的划分对分析结果的准确性和计算效率有着重要影响，需要进行适当的网格优化。
3.材料定义：在进行有限元分析之前，需要定义平面薄板的材料性能，如弹性模量、屈服强度、密度等。
在ANSYS中可以选择不同的材料模型，如线弹性、非线性弹性等。
4.加载和边界条件：根据设计要求和实际工况，设定平面薄板的外载荷和边界条件。
可以对板材施加不同的力、压力、温度等载荷，以模拟实际工作环境。
5.分析求解：进行有限元分析求解，计算平面薄板在给定载荷下的应力、应变、变形等物理量。
可以通过不同的分析类型，如静力分析、动力分析、热力分析等，获取不同的结构响应。
6.结果后处理：分析求解完成后，需要对结果进行后处理，查看和分析平面薄板的应力分布、变形情况、破坏状态等。
通过可视化工具和图表，可以直观地了解结构的性能和问题。
通过以上步骤，工程师可以利用ANSYS进行平面薄板的有限元分析，评估结构的稳定性和安全性，优化设计方案，提高产品性能和寿命。
有限元分析是一种强大的工程设计工具，可以为工程师提供准确、可靠的数值模拟结果，帮助他们做出更好的决策。
有限元教案_薄板问题
已知：
对位移函数求导得：
28
因为：
−1 (e ) 所以： {k} = [ Bα ][ A] {δ }
或：
{k} = [ B]{δ }( e )
29
−1 其中： [ B ] = [ Bα ][ A]
四、由弹性方程求内力 {M} 已知： 因为： 得： 或： 其中：
{M } = [ D f ]{k}
{k} = [ B]{δ }
将四个结点的坐标值带入位移函数，可得
{δ }
(e )
= [ A](12×12) {α }(12×1)
26
将上式求逆转得：
将上式带入位移函数可得单元内部点的挠度与结点位移 之间的转换关系：
形函数
27
三、由几何方程求弯扭变形 {k}
∂ 2ω − 2 k x ∂x ∂ 2ω {k} = k y = − 2 ∂y2 k xy ∂ω −2 ∂x∂y
23
薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚） 薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）
用虚功原理来推导薄板矩形单元的单刚。
24Biblioteka 薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚） 薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）
一、虚功原理（Virtual Work Principle） 虚功原理（ ）
由虚功原理知：
{δ∆}T {F } = ∫∫∫Ω {δε }T {σ } dΩ
1
薄板弯曲的基本方程 一、基本假设
平分板厚的中间平面，称作板的中面。 平分板厚的中间平面，称作板的中面。 当板的厚度t远小于中面尺寸时， 当板的厚度 远小于中面尺寸时， 远小于中面尺寸时 这种板称为薄板。 这种板称为薄板。 薄板在垂直中面载荷作用 下的变形和受力状态有如下 特点： 特点： 轴方向产生挠度ω。 （1）中面上任一点沿 轴方向产生挠度 。 ）中面上任一点沿z轴方向产生挠度 （2）中间弯成曲面，叫做弹性曲面。弹性曲面发生双向 ）中间弯成曲面，叫做弹性曲面。 弯曲变形，并伴随有扭曲变形。 弯曲变形，并伴随有扭曲变形。 （3）在板的任一横截面上产生横剪力、弯矩和扭矩。 ）在板的任一横截面上产生横剪力、弯矩和扭矩。
有限元经典算例2正方形薄板平面应力问题的求解.docx
算例2:正方形薄板平面应力问题的求解已知图示正方形薄板， 沿其对角线承受压力作用, 设泊松比u=0,板厚t=1m ，求此薄板应力。
_v j 「-32.52]V 2-12.52 U 3-0.88V 3-3.72 U 51.76屮6_1.76 一应力:「fl「-0.881J = -20.0 (kN/m 2)； \.4.40 一F 面用Pantran/Nastran 软件计算:新建一数据库文件，[File]汎 File J-New -文件名-% ne_stess_square_plate.课本第42页3.7节计算结果如下:变形：i m卜〕「-0.88] 胡 =-3.72(kN/m 2)； L zx J - 3.08 _jL T xy山1IL-1.32(kN/m 2)载荷沿厚度为均匀分布，P=20kN/m 。
_1.76 1—12.52 (kN/m 2)；0 一|0K|. Analysis Code —*MSC Niisiran^Analysis Type *Structurallo^ds/BCs4.施加边界条件 ------ ---1）施加HI 加约朿■: /Xution —YeatCt Object —^Displacement. Type —*Nodal»New set name • di ,山二「‘ g" — 丁]厂丁「GeometryZ 创建几何廡型 _____ 1〉创建几何点;Action-K'rcaic, Object ->Pt ）int ・ Mcthcd ->XYZ ，Point I <0 0 0]f Appl^ Point * Point — [0 1000 0] i[2000 0 0]3-划分有限元网格】）建".网格冲了 土 Action —*Create* Ohjcu —»Mesh Seed, Type —''Uni Ibrm + Number of Element +，人HI 昭口心 h 「I Surface 1.2 1.3 1.4 （按住 shift 键，可tria ,连续选取三条边），八巴监P2）划分网格：Action —>Creme. Object —>Mesh> Type —*sur f ace , e |em shaped_4I i K fu.mesher Isomesh , Topology tria3 , surface -------------------------- s urface 1, 划分网格如下：2）创建曲线=Action ■+（ reales Object -+Curvcj Method —>Points Option —*2 Point- Curve 1, Startinglist * curve 3,Curve2,ii ■-■ ■■ ■!'3stiirting Point Listm '： :J —edge,option ——* 3edge , Autoexecute , surface edge 1 list curve 1, surface edge 2 list k curve 2, surface edge 3 Point List —*point t > Endin,g Point List point , Ending Point Lisi ― poinl2 3,-^poim 2icurve3,・ Ending Poim Lisi —►point 〔Elements〔Add ，|OK |. |Applyb 即在面的左上两个节点处施加x 方向约束。
10.2 薄板问题的有限元法
薄板拟协调元与广义协 调元 ∂ w ∂ w ∂ w
(ε) =
w2
2 2 2
∂x
2
∂y
2
( q ) = w1
w3
∂w ∂n 12
∂x∂y T ∂w ∂w ∂n 23 ∂n 31 2
3 ∂w
薄板拟协调元与广义协 调元 同样为了解决协调性问题， 同样为了解决协调性问题，龙驭球院士提出了广义协
调元，在其《新型有限元论》中介绍了大量广义协调单 调元，在其《新型有限元论》 元， 下面就其基本思想作一介绍 。
广义协调元与常规位移元的作法差别很小， 广义协调元与常规位移元的作法差别很小， 以广义坐标法建立单元位移模式为例， 以广义坐标法建立单元位移模式为例，仅是在 确定广义坐标上有所不同。 确定广义坐标上有所不同。 薄板常规位移元的作法： 1） 薄板常规位移元的作法： ） 第一步，选定单元结点位移向量， 第一步，选定单元结点位移向量，并构造单元位 移场（挠度）的多项式： 移场（挠度）的多项式： 位移模式 2 2 w = a1 + a2 x + a3 y + a4 x + a5 xy + a6 y + L = Fa
y
θy1
x 3
1、直角坐标系下的位移模式方案
z
w1 2
三角形单元有9个结点位移， 三角形单元有9个结点位移， 由帕斯卡三角形 可知，要达到完整三次多项式要10 10项 可知，要达到完整三次多项式要10项，而舍去 任意一三次项将无法保证坐标不变性。 任意一三次项将无法保证坐标不变性。 监克维奇) 2、 Zienkiewicz(监克维奇)提出了面积坐标位 移模式
薄板方孔的有限元分析.
2012 级系专业学号学生姓名指导教师完成日期2014年7月16日摘要ANSYS是目前在工业上常使用的计算机辅助分析软件包。
当物体的模型在软件中建立完成并网格化后，只需附加适当的条件，即可直接利用有限元素法来计算，进而了解所建立的模型或产品的特性。
本课题以含一个方孔的薄板为研究对象，利用ANSYS软件，对其内力分布进行了研究与分析[2]。
首先，设置单元类型、材料性质等，并建立薄板的实体模型，然后建立出相应的三维模型，对薄板进行划分网格，再对该模型设置边界条件、施加约束，最后进行求解，就可以得到薄板分布图、变形图、应力云图。
设计工程师可在计算机上模拟物体在收到外力影响后所产生的应力及应变情形，从所分析出来的特性数据中，可判断出此产品设计的可行性[1]。
本文结果在将来的工程中也具有一定的参考价值。
关键词：ANSYS 薄板应力图均布力有限元目录第1章绪论 (1)1.1课题研究的背景和意义 (1)1.2ANSYS软件的初步了解 (1)1.2.1前处理模块PREP7 (1)1.2.2 分析计算模块SOLUTION (1)1.2.3 后处理模块POST1和POST26 (2)ANSYS软件的后处理过程包括两个部分：通用后处理模块POST1和时间历程后处理模块POST26。
通过有好的用户界面，可以很容易获得求解过程的计算结果并对其进行显示。
这些结果可能包括位移、温度、应力、应变、速度以及热流等，输出形式可以有图形显示和数据列表两种[5]。
(2)第2章论文研究的内容和过程 (3)2.1主要研究内容 (3)2.2ANSYS内力分析过程 (3)2.2.1 建立薄板的有限元 (3)2.2.2 ANSYS求解器：施加荷载并执行求解 (4)第3章创新扩展 (5)第4章心得体会 (11)参考文献 (12)第1章绪论1.1课题研究的背景和意义简支T字梁是比较基础也是比较常见的模型，因此，对其在承受各种荷载的情形下，进行正确的应力和应变分析都是十分有必要和有意义的，在实际工程更为复杂的情况下，也可以简化成熟悉的模型，便于工程师分析该工程的实用性。
有限元教案_壳单元
x cos( x , x) cos( x , y ) cos( x , z ) x x y = cos( y , x) cos( y , y ) cos( y , z ) y = φ y z cos( z , x) cos( z , y ) cos( z , z ) z z
16
4节点单元的节点位移变换公式为：
{δ }
(e)
= [T ]{δ }
(e)
[T]为变换矩阵，表达式为：
λ 0 0 0 0 λ 0 0 [T ] = 0 0 λ 0 0 0 0 λ
17
同理有单元节点力变换公式：
{F }
(e)
= [T ]{ F }
(e)
壳的整体坐标下的单元刚度方程：
δ ep = (δ 1pT
δ i p = (ui
δ 2pT
δ 3pT
δ 4pT )T
v i )T
7
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
对平板弯曲状态单元刚度方程为：
方程中角标b代表平板弯曲，其他矩阵符号的含义与平面应 力状态相似。
8
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
4
5
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
在平面壳体单元变形和受力可看作两状态叠加的基本 假定下,平面的单元刚度矩阵,角标p代表平面应力
k δ
ep
ep
=F +F
ep
ep E
平面应力状态的单元 结点位移
单元结点力 单元等效结点荷载矩阵
6
单元分析（局部坐标系下） 单元分析（局部坐标系下）
薄板弯曲问题的有限元求解
薄板弯曲问题的有限元求解1.问题描述如图所示，已知悬臂矩形薄板，其几何尺寸为20m×10m×1m,左边固定，右上角节点上作用有向下垂直于板中面的集中载100N。
材料的弹性模量为Ex=300GPa,泊松比μ=0.3，求薄板的位移、应力及固定端反力。
2.分析步骤（1）进入Ansys（设定工作目录和工作文件）；（2）设置计算类型为Structural；（3）选择单元类型shell63，选择与厚度有关，在Real constants中定义厚度参数为1；（4）定义材料参数弹性模量为EX:3e11;泊松比PRXY：0.3；（5）建立几何模型生成节点和单元。
此题结构简单，受力也简单，因此可用4个单元来分析。
首先创造节点，节点的坐标是：1（0，0，1）2（0，5，1）3(0,10,1) 4(10,0，1) 5(10,5,1) 6(10,10,1) 7(20,0,1) 8(20,5,1) 9(20,10,1)，操作如下：GUI：Preprocessor>Modeling>Create>Nodes>In Active CSGUI：Preprocessor>Modeling>Create>Elements>AutoNumbered>ThruNodes，逆时针方向依次连接这几个点形成4个4节点四边形单元（6）施加载荷与约束加载与施加边界条件板的左边完全被固定，其自由度为0；右边第9节点施加了一个垂直方向的集中力（7）求解 （8）查看结果 1）变形结果可得最大变形为51011.0-⨯m 2）查看节点位移3）查看等效应力可以看出3节点受最大应力1248Pa，节点7所受应力最小。
4）查看节点力及力矩可以看出节点1、2、3既受到Z轴的集中力又受到X、Y的弯矩。
节点9只受外载作用。
3.如果将例题中的受力作如下图的改变，则此时单元的计算应为薄壳问题。
按照前面的计算方法可得出节点的线位移、角位移及力和力矩。
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6
薄板弯曲的基本方程 4. 弹性曲面的曲率和扭率
2w 2 x
——弹性曲面在x方向的曲率kx ——弹性曲面在y方向的曲率ky
2w 2 y
2w 2 xy
——弹性曲面在x和y方向的扭率kxy
Z平面的应变可以表示为：{ } z{k}
其中：
k x {k} k y k xy
3
薄板弯曲的基本方程 二、薄板问题中位移与应变的关系——几何方程 挠度是薄板运动的基本参数。 1. 弹性曲面沿x，y方向的倾角 弹性曲面沿x方向的倾角：
w x
弹性曲面沿y方向的倾角：
微小矩形ABCD变形前后
w y
4
薄板弯曲的基本方程 2. 沿x，y方向的位移分量u、v
w u z x
T T
应用于板单元，节点力作为外力，以节点位移 （虚位移）表示式中有关量并整理即可。
16
薄板位移约束
1、几种典型约束（设约束边平行于x轴） (a)简支型约束 (b)固支型约束
w 0， x不受限制； ( y如何？ )
2、对称性约束（设对称轴平行于y轴） (a)对称性约束 (b)反对称性约束
w 0, x 0
位移函数
13
（2）位移函数中的二次项代表单元的均匀变形状态。
14
（3）位移函数能够保证相邻单元在公共边界上挠度的连续 性。 （4）位移函数不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的 连续性。 （5）关于有限元解的收敛性。
15
薄板单元刚度矩阵 由虚功原理知：
F d
每一节点有三 个自由度：
挠度w 绕x轴的转角 x 绕y轴的转角 y
10
2．节点力
垂向力Wi (对应挠度wi ) 绕x轴的力偶Txi (对应转角 xi ) 绕y轴的力偶T (对应转角 ) yi yi
节点力与节点位移 按做功方式对应。
11
二．位移函数的选择 基本未知量是板中面挠度w。
7
薄板应用弹性方程求薄板的应力。
D
{ } z{k}
zDk
弹性矩阵
表明正应力和剪应力沿板的厚度为直线分布。
8
薄板弯曲的基本方程
微小六面体上的应力分布情况
9
薄板矩形单元位移插值函数 一、节点位移与节点力 １、单元的自由度 （比较梁）
w 1 2 x 3 y 4 x 5 xy 6 y
2
7 x 8 x y 9 xy 10 y 11 x y 12 xy
3 2 2 3 3
2
3
w x y w y x
12
平面三角形单元及其位移函数 位移函数的性质
y 0
w0
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作业
作业：设板的对称边平行x轴，分别就对称和 反对称情况写出对称边上的位移约束。
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薄板问题的有限元法
薄板弯曲的基本方程 薄板矩形单元位移插值函数 薄板的单元刚度矩阵
薄板位移约束
1
薄板弯曲的基本方程
一、基本假设
平分板厚的中间面为平面，称作板的中面。
板厚远小于中面尺寸— 薄板。
2
薄板弯曲的基本方程 薄板小挠度问题，主要采用以下假设（对比梁）： （1）直法线假设——变形前的中面法线在变形后仍 然是弹性曲面的法线。 （2）板弯曲时，中面不产生应变。也就是说，中面 是板的中性层。
w v z y
5
薄板弯曲的基本方程 3. Z平面的应变分量： 薄板中与中面相距为 Z的平行面，称为z平面。 由几何方程可知
u w x z 2 x x 2 v w y z 2 y y
2
xy
u v w 2 z y x xy