有限元教案_薄板问题(2014)

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薄板弯曲的基本方程 4. 弹性曲面的曲率和扭率
2w 2 x
——弹性曲面在x方向的曲率kx ——弹性曲面在y方向的曲率ky
2w 2 y
2w 2 xy
——弹性曲面在x和y方向的扭率kxy
Z平面的应变可以表示为：{ } z{k}
其中：
k x {k} k y k xy
位移函数
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（2）位移函数中的二次项代表单元的均匀变形状态。
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（3）位移函数能够保证相邻单元在公共边界上挠度的连续 性。 （4）位移函数不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的 连续性。 （5）关于有限元解的收敛性。
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薄板单元刚度矩阵 由虚功原理知：
F d
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薄板弯曲的基本方程
三、应力与应变的关系——物理方程 应用弹性方程求薄板的应力。
D
{ } z{k}
zDk
弹性矩阵
表明正应力和剪应力沿板的厚度为直线分布。
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薄板弯曲的基本方程
微小六面体上的应力分布情况
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薄板矩形单元位移插值函数 一、节点位移与节点力 １、单元的自由度 （比较梁）
w v z y
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薄板弯曲的基本方程 3. Z平面的应变分量： 薄板中与中面相距为 Z的平行面，称为z平面。 由几何方程可知
u w x z 2 x x 2 v w y z 2 y y
2
xy
u v w 2 z y x xy
w 1 2 x 3 y 4 x 5 xy 6 y
2
7 x 8 x y 9 xy 10 y 11 x y 12 xy
3 2 2 3 3


2


3

w x y w y x
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平面三角形单元及其位移函数 位移函数的性质
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薄板弯曲的基本方程 二、薄板问题中位移与应变的关系——几何方程 挠度是薄板运动的基本参数。 1. 弹性曲面沿x，y方向的倾角 弹性曲面沿x方向的倾角：
w百度文库x
弹性曲面沿y方向的倾角：
微小矩形ABCD变形前后
w y
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薄板弯曲的基本方程 2. 沿x，y方向的位移分量u、v
w u z x
T T
应用于板单元，节点力作为外力，以节点位移 （虚位移）表示式中有关量并整理即可。
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薄板位移约束
1、几种典型约束（设约束边平行于x轴） (a)简支型约束 (b)固支型约束
w 0， x不受限制； ( y如何？ )
2、对称性约束（设对称轴平行于y轴） (a)对称性约束 (b)反对称性约束
w 0, x 0
y 0
w0
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作业
作业：设板的对称边平行x轴，分别就对称和 反对称情况写出对称边上的位移约束。
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薄板问题的有限元法
薄板弯曲的基本方程 薄板矩形单元位移插值函数 薄板的单元刚度矩阵
薄板位移约束
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薄板弯曲的基本方程
一、基本假设
平分板厚的中间面为平面，称作板的中面。
板厚远小于中面尺寸— 薄板。
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薄板弯曲的基本方程 薄板小挠度问题，主要采用以下假设（对比梁）： （1）直法线假设——变形前的中面法线在变形后仍 然是弹性曲面的法线。 （2）板弯曲时，中面不产生应变。也就是说，中面 是板的中性层。
每一节点有三 个自由度：
挠度w 绕x轴的转角 x 绕y轴的转角 y
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2．节点力
垂向力Wi (对应挠度wi ) 绕x轴的力偶Txi (对应转角 xi ) 绕y轴的力偶T (对应转角 ) yi yi
节点力与节点位移 按做功方式对应。
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二．位移函数的选择 基本未知量是板中面挠度w。