2019_2020学年高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点应用案巩固提升新人教A版必修1
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1
[典例 2] 已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝
g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )
A.0，12 C．(1,2)
B.12，1 D．(2，＋∞)
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图 所示，方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象 有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大于坐 标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题 意，故12＜k＜1.
答案：连续不断 f(a)·f(b)＜0 f(c)＝0
[想一想] 1．函数 y＝f(x)的零点是点吗？为什么？
答案：不是．函数的零点的本质是方程 f(x)＝0 的实数根，因 此，函数的零点不是点，而是一个实数，当函数的自变量取这个 实数时，函数值为零．
2．任何函数都有零点吗？ 答案：并非所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x无零点，因 为方程1x＝0 无实根．
[巧归纳] 函数零点的求法 (1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根； (2)几何法：对于不能用求根公式的方程 f(x)＝0，可以将它 与函数 y＝f(x)的图象联系起来．图象与 x 轴的交点的横坐标即为 函数的零点．
[练习 1]若函数 f(x)＝ax－b 有一个零点是 3，那么函数 g(x) ＝bx2＋3ax 的零点是________．
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
[填一填] 一、函数的零点 1．零点的定义 对于函数 y＝f(x)，我们把使________叫做函数 y＝f(x)的零 点．
2．方程的根与函数的零点的关系 答案：1.f(x)＝0 的实数 x 2.有交点 零点
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点课件
2.函数y=f(x)的图象与方程f(x)=0的实根及函数f(x) 的零点有何关系？ 提示：方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有 交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.若f(a)·f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内 一定没有零点吗？ 提示：不一定.如y=x2-1在区间(-2，2)上有两个零点， 但f(2)·f(-2)>0.
【解析】由题意知，抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的 交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，如图，观察图象 可得：
f 1 2 0,
f(x)=lgx- 1 的零点所在的大致区间是(1，10). x
【规律总结】判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断. (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则 在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该 区间内至少有一个零点.
(2)图象法：由f(x)=g(x)-h(x)=0，得g(x)=h(x)，在 同一坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象，根据两 个图象交点的个数来判定函数零点的个数.
(3)定理法：函数y=f(x)的图象在区间[a，b]上是一条 连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y=f(x) 在区间(a，b)内至少有一个零点.若函数y=f(x)在区间 (a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只 有一个零点.
【解析】(1)选C.因为f(x)=ex-(x+2)，由题设知f(1)
≈-0.28<0，f(2)≈3.39>0，故有一个根在区间(1，2)
内，故选C.
(2)因在第一象限内y=lgx的图象与y= 的图象只有一
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的
由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln
x只有一个零点.
2
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,f(2)=-1+ln 2=ln e <0,
所以f(3)·f(2)<0,说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原函数只有一个零点.
h(x)与g(x)的图象如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点, 即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2 判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数. 解:(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如 图所示.
解得 ������ = -2, ������ = 2.
所以函数 y=logn(mx+1)的解析式为 y=log2(-2x+1). 令 log2(-2x+1)=0,得 x=0. 所以函数 y=log2(-2x+1)的零点为 0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究二判断函数零点的个数
【例 2】求函数 f(x)=2x+lg(x+1)-2 的零点个数.
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究三判断函数的零点所在的大致区间
3.1.1方程的根与函数的零点2
函数的应用
方程的根与函数的零点2
1. ①函数 y =f(x)的零点：
对于函数 y =f(x), 我们把 f(x)=0的实数x
叫做函数 y =f (x)的零点。
②方程f(x)=0有实数根
函数 y=f(x)的图象与x轴有交点
函数 y=f(x)有零点
2.方程、函数两者间的关系： 转化
①方程
函数
②利用图象法研究函数注意： 数形结合，以点为主
判断函数零点步骤 判断函数零点个数的一般步骤：
1．用计算器或计算机列出x、f（x）的对应值表；
2．用描点法作出函数的图象；
可直接用 计算机画 函数图象
3．取区间[a，b]，判断f(a)· f(b)<0是否成立；
4．判断函数f(x)的单调性；5．结合图象和单调性Fra bibliotek定函数零点的个数；
3. 解无理不等式 x 2 x
1 方程2| x| x 2的实数根个数有 ____ 个
2 k为何值时, 关于x的方程 | 3 1 | k
x
无解？有一解？有两解 ？
如果函数y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连 续不断的一条曲线, 并且f(a) · f(b)<0,
那么函数y=f(x)在区间(a, b)内有零点,
2
{x/ 1 x 2}, 求m, n的值. 2、、 关、关于x的 ax a 1 0有有
2
号两两实根 则a的取值范围是什么?
即存在c∈(a, b), 使得f(c)=0, 这个c也就
是方程f(x)=0的根， c也是函数y=f(x)的
一个零点。
函数零点性质
1.函数 y＝f（x）的方程的图象在区间（a，b） 上必须是连续曲线，才能用上述方法判定．我们所研 究的大部分函数，其图象都是连续曲线．
3.1.1方程的根与函数的零点
这个结论反过来，还成立吗？
本类相交型零点成立
二、零点存在性结论 观察课本P86的图
"结论"f(a)f(b)<0则存在零点 成立 "反面"存在零点则f(a)f(b)<0 成立 “结论”在两种零点中都对。 只有相交型零点中，"结论"的 正反面均成立。
"结论"f(a)f(b)<0则存在零点
不满足条件f(a)f(b)<0，是对的 "反面"存在零点则f(a)f(b)<0 满足条件有零点，但是错的
二、零点存在性结论 观察课本P86的图
相切型零点呢？
f(-2) > 0 f(0) < 0
f(2) > 0 f(a)f(b) < 0 f(4) < 0 如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是
连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0 ，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0 C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0 D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0
二、零点存在性结论 注意点小结
各函数分别有几个零点？ 2个；1个；0个
它们的零点形成方式有什么不同？ (1)穿过x轴形成；(2)与x轴相切形成。 给它们取个名字 (1)相交型(2)相切型
人教版高中数学必修1第三章函数的应用-《3.1.1方程的根与函数的的零点》教案(4)
§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标知识与技能：理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握函数零点存在的判定条件．情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的数形结合思想，转化思想和近似思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
二、教学重点（1）对函数零点的概念理解； （2）函数零点存在性的判定三、教学难点函数零点的存在性的确定【教学过程】一、创设情景：1.引导学生阅读课本P86-P87的内容：阅读教材回答：①:一元二次方程与相应的二次函数的图像之间有怎样的关系？②:什么是函数的零点？ 设计意图：这部分内容比较简单，学生自学基本能看懂，可以培养学生的自学能力和抽象概括能力，领会从特殊到一般的数学思想。
2.学生回答，老师引导点拨。
二、引导探究：1.函数的零点函数的零点：对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． 加深对概念的理解：零点是平时说的点吗？巩固练习：求下列函数的零点①：1+=x y ； ②：xy 1=； ③：x y 2=； ④：x y 2log =； 设计意图：使学生熟悉零点的两种求法（代数法和几何法）。
2.归纳小结函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．问：函数533+--=x x y 的零点存在吗？若存在，求出零点的大致区间，若不存在，请说明理由。
设计意图：在不能用代数法求零点时，势必要想到用函数的图像和性质来解决，引导学生思考如何判断函数是否存在零点以及如何求出函数的零点。
教师引导学生结合函数32)(2--=x x x f 图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．学生结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．三、归纳应用：1.函数的零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间a [，]b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且满足)(a f ·)(b f 0<，那么函数)(x f y =在区间(a ，)b 内有零点，即存在(c a ∈，)b ，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
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(3)令 2x－3＝0， 解得 x＝log23， 所以函数 f(x)＝2x－3 的零点是 log23. (4)令 1－log3x＝0， 解得 x＝3， 所以函数 f(x)＝1－log3x 的零点是 3.
函数零点的求法 求函数 y＝f(x)的零点通常有两种方法：一是令 f(x)＝0，根据解 方程 f(x)＝0 的根求得函数的零点；二是画出函数 y＝f(x)的图 象，图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．
判断函数零点个数的三种方法 (1)方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通 过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数． (2)图象法：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一平面 直角坐标系内作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图象，根据两个图象交 点的个数来判定函数零点的个数． (3)定理法：函数 y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断 的曲线，由 f(a)·f(b)＜0 即可判断函数 y＝f(x)在区间(a，b)内至 少有一个零点．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则 函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
1．若 2 是函数 f(x)＝x2－m 的一个零点，则 m＝________．
解析：因为 2 是函数 f(x)＝x2－m 的一个零点， 所以 f(2)＝0， 即 22－m＝0， 所以 m＝4. 答案：4
2．函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，求函数 g(x)＝bx2－ax 的 零点． 解：由于函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2， 得 2a＋b＝0，则 g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax， 令－2ax2－ax＝0， 可得 x＝0 或－12， 故 g(x)的零点为 0 和－12.
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1
【警示】零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ； 二 是 f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那 么就不能使用该定理.如本例 f(x)＝x＋1x在[－1,1]上不连续，故 不能在区间[－1,1]上直接使用零点存在性定理.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点坐标.( ) (2)函数y＝f(x)的零点即为对应方程f(x)＝0的根.( ) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内满足f(a)·f(b)>0，则该函 数在区间(a，b)内可能没有零点.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)√
【方法规律】求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程 f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可 以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出 零点.
1.判断下列说法是否正确. (1)函数f(x)＝x2－2x的零点为(0,0)，(2,0)； (2)函数f(x)＝x－1(2≤x≤5)的零点为x＝1. 【解析】(1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所 以函数f(x)＝x2－2x的零点为0和2，故(1)错. (2)虽然f(1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f(x)＝x－1的定义 域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错.
两个函数的图象有两个不同的交点，
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点.
高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1
思考(完成下表)：一元二次方程的根与相应二次函数的图 象关系？
△ =b2－4ac
△＞0
△= 0
△＜ 0
ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
两个不相等 实数根 x1, x2
y
y= ax2 +bx+c (a>0)的图象 x1 0 x2
x
两个相等 实数根 x1= x2
y
0 x1 x
看图填空
在区间(a，b)上
y
___(有/无)零点；
a
f(a)·f(b) ___ 0
b x （“＜”或
“＞”）．
函数零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上
的图象是连续不断的一条曲线，
并且有f(a)·f(b)<0，
那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，
即存c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也
解法2（估算）：估计f(x)在各
整数处的函数值的正负，可得 如下表格：
x
1234
f(x) － － ＋ ＋
解法3（函数交点法）
将函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数转 化为函数g(x)=lnx与h(x)=-2x+6的
图象交点的个数。
y
6
h(x)=-2x+6
1
0
1 23
g(x)=lnx x
练一练：
没有实数根 y
0
x
函数的图象 与点 x 轴的交
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
探究归纳
规律：
方程如果有实数根，那么方程
的实数根就是函数的图象与x轴交
2019-2020高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课件新人教A版必修1
解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得 x＝－2.所以函数的零点为 x＝－2.
(2)令x－1xx－2－34x＋3＝0，解得 x＝1.所以函数的零点为 x ＝1.
(3)令 4x＋5＝0，则 4x＝－5<0，而 4x＞0，所以方程 4x＋5 ＝0 无实数根．所以函数不存在零点．
(4)令 log3(x＋1)＝0，解得 x＝0.所以函数的零点为 x＝0.
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐 标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点： (1)函数是连续的； (2)定理不可逆； (3)至少存在一个零点．
3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种： (1)用定理； (2)解方程； (3)用图象． 4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化 为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是 函数与方程思想的基础．
1．函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数 值等于零．
2．根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝ 0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判 断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点 ⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(2)令 x2＋2x＋4＝0， 由于 Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程 x2＋2x＋4＝0 无实数根． 所以函数 f(x)＝x2＋2x＋4 不存在零点． (3)令 2x－3＝0，解得 x＝log23. 所以函数 f(x)＝2x－3 的零点是 x＝log23. (4)令 1－log3x＝0，解得 x＝3，所以函数 f(x)＝1－log3x 的 零点是 x＝3.
人教版高中数学2019-2020学年 必修一第三章 3.1.1方程的根与函数的零点(共15张PPT)
零点存在的探索：
y
.
.
观察函数f ( x) x2 2x 3的图像
2
1
.
.
在 区 间[2,1]上 ，f (2) __ 0, f (1) __ 0,
－2 －1 0 1
－1
2
34
x
则f (2) f (1) __ 0.
－2 －3
. －4
在在区区间间（（2， 21，）1）上上，,x函 数1y是方x程2 2x 3
a
b
零点存在的定理：
如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0， 那么，函数y =f(x)在区间(a,b) 内有零点，即： 存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程 f(x)=0的根。
思考3：若f(a)·f(b)>0，是否在(a,b)内 函数就没有零点？
－2
.y
.
21. . ..5. .4 . 3.2 1
象
－3
. －4
－1 0 1 2 x
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1 1, x2 3 x1 x2 1
函数的图象 与x轴的交点
(1,0),(3,0)
(1,0)
无实数根 无交点
引入：
结论:
1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
A.a 1 B.a 1 C. 1 a 1 D.0 a 1
练习五：
1个
1.判断方程ln x x2 3的实根个数。
2.若 二次 方 程x2 (k 2)x 2k 1 0的 两个 根
一 个 在 （0，1） 之 间 ， 一 个 在 （1，2） 之 间 ， 求k
2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教A版必修1
3．1.1 方程的根与函数的零点[目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系；2.会求函数的零点；3.掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．[重点] 函数零点的概念以及函数零点的求法．[难点] 对函数零点的判断方法的理解及应用.知识点一函数的零点[填一填]对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．[答一答]1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．2．当二次函数通过零点时，函数值一定变号吗？提示：不一定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．方程的根、函数的零点、图象知识点二之间的关系[填一填]方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[答一答]3．怎样理解方程的根、函数的零点、图象之间的关系？提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图象与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．知识点三函数零点的存在性定理[填一填]如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[答一答]4．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？提示：不一定．如f(x)＝x3－x在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)<0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1，0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)<0，在(－2，0)内只有一个零点－1.5．若函数y＝f(x)满足在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)>0，是不是说函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点？提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.类型一求函数的零点[例1] (1)求函数f(x)＝x2－x－2的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．[解] (1)因为f (x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)． 令f (x )＝0，即(x ＋1)(x －2)＝0.解得x ＝－1或x ＝2.所以函数f (x )的零点为－1和2. (2)由已知得f (3)＝0即3a －b ＝0，即b ＝3a . 故g (x )＝3ax 2＋ax ＝ax (3x ＋1)．令g (x )＝0，即ax (3x ＋1)＝0，解得x ＝0或x ＝－13.所以函数g (x )的零点为0和－13.(1)求函数f (x )的零点就是求方程f (x )＝0的解，求解时注意函数的定义域. (2)已知x 0是函数f (x )的零点，则必有f (x 0)＝0.[变式训练1] 已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点．解：由题意知f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2， 则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两个实根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝2.所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为y ＝log 2(－2x ＋1)．令log 2(－2x ＋1)＝0，得x ＝0.所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0.类型二 判断函数零点所在区间[例2] (1)方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(2)根据表格中的数据，可以判定方程e x－x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N )，则k 的值为________.[[解析] (1)令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (1)＝log 31＋1－3＝－2<0，f (2)＝log 32＋2－3＝log 323<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0，f (4)＝log 34＋4－3＝log 312>0，则函数f (x )的零点所在的区间为(2,3)，所以方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．(2)记f (x )＝e x－x －2，则该函数的零点就是方程e x－x －2＝0的实根．由题表可知f (－1)＝0.37－1<0，f (0)＝1－2<0，f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，f (3)＝20.09－5>0.由零点存在性定理可得f (1)f (2)<0，故函数的零点所在的区间为(1,2)．所以k ＝1.判断函数零点所在区间的三个步骤： (1)代.将区间端点代入函数求出函数的值. (2)判.把所得函数值相乘，并进行符号判断.(3)结.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.[变式训练2] 函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( B )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1e，1)和(3,4)D ．(e ，＋∞)解析：∵f (1)＝－2<0, f (2)＝ln2－1<0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数， ∴在(1,2)内f (x )无零点．又∵f (3)＝ln3－23>0，∴f (2)·f (3)<0.∴f (x )在(2,3)内有一个零点．∴选B.类型三 函数零点个数的有关问题命题视角1：判断函数零点的个数[例3] 求函数f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2的零点个数． [解] 方法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，∴f (x )在(0,2)上必定存在零点．又显然f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f (x )有且只有一个零点． 方法二：如图，在同一坐标系中作出h (x )＝2－2x和g (x )＝lg(x ＋1)的图象．由图知，g (x )＝lg(x ＋1)和h (x )＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f (x )＝2x＋lg(x ＋1)－2有且只有一个零点．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一坐标系中作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，利用图象判定方程根的个数.[变式训练3] 函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：易知函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点个数．两个函数的图象如图所示，可知两个函数图象有两个交点，故选B.命题视角2：由函数的零点求参数的取值范围[例4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1[解析] 画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同交点，由图易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.此类题关键是画出图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围. [变式训练4] 若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是(0,2)． 解析：令|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b ，由题意可知函数y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0<b <2.1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是( B )A．(－2,3) B．2,3C．(2,3) D．－2，－3解析：令－x2＋5x－6＝0.解得x1＝2，x2＝3，故函数零点为2,3.2．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0所在的区间是( C )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：设f(x)＝ln x＋x－4，则f(1)＝－3<0，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4>0，则x0∈(2,3)．3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(1，＋∞)．解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数解，所以Δ＝4－4a<0，即a>1.4．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为2.解析：由2|x|＋x＝2，得2|x|＝2－x.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2|x|与函数y＝2－x的图象，如图，图象有2个交点，即方程有2个实根．5．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.画出两个函数的大致图象，如图所示．有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．——本课须掌握的三大问题1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．学习至此，请完成课时作业23二次函数的零点问题开讲啦二次函数零点的分布问题又称为一元二次方程根的分布问题，求解此类问题，一定要注意数形结合方法的应用，从各个方面去考虑使结论成立的所有条件，如判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值的大小、开口方向等．[典例] 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．[分析] 本题首先要确定二次项系数的取值，故应分类讨论．[解] (1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m <0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m >0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，3－m2m >0，m >0，解得0<m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．[对应训练] 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则f (x )的图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1,2)内，画出示意图(如图所示)，观察图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0，解得－56<m <－12.所以m 的取值范围是(－56，－12)．。
2019-2020学年高一数学人教A版必修1课件：3.1.1 方程的根与函数的零点
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3.1.1 方程的根与函数的零点
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课课前前篇篇 自自主主预预习习
课堂篇 探究学习
一二三
5.判断正误: 函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上连续的曲线,若f(a)·f(b)>0,则 f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( )
5.做一做:
函数f(x)=x2-1的零点是( )
A.(±1,0) B.(1,0)
C.0
D.±1
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
答案:D
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3.1.1 方程的根与函数的零点
一二三
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二、方程、函数、图象之间的关系 1.考察下列一元二次方程与对应的二次函数:
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3.1.1 方程的根与函数的零点
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探究一
探究二
探究三 思想方法 当堂检测
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
探究二判断函数零点的个数 例2判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.
分析:(方法一)计算 f(0)与 f(2)
确定 f(x)在区间(0,2)内有
零点 判断 f(x)的单调性 确定 f(x)的零点个数 (方法二)重新构造函数 h(x)=2-2x 与 g(x)=lg(x+1) 在同一平面
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x2-2x+1=0 y=x2-2x+1
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课堂篇 探究学习
x2-2x+3=0 y=x2-2x+3
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3.1.1 方程的根与函数的零点
[A 基础达标]
1．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
则函数f (x )A ．(－∞，1) B ．(1，2) C ．(2，3)
D ．(3，＋∞)
解析：选C.若f (x )在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0则f (x )在(a ，b )上一定存在零点．因为f (2)>0，f (3)<0，所以f (x )在(2，3)上一定存在零点．
2．函数f (x )＝log 2x －1
x
的零点所在的区间为( )
A ．(1，2)
B ．(2，3)
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1
解析：选A.函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )单调递增，因为f (1)＝log 21
－1＝－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝1
2
>0，
所以在区间(1，2)内，函数f (x )存在零点，故选A.
3．函数f (x )＝x 3
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．无数个
解析：选B.作出y ＝x 3
与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f (x )只有一个零点．故选B.
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
－1，x ≤1，
1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )
A.12，0 B ．－2，0 C.12
D ．0
解析：选D.当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x
－1＝0，所以x ＝0.当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝1
2
，不成立，所以函数的零点为0.
5．(2019·烟台高一检测)已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是函数f (x )的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是( )
A ．a <α<b <β
B ．a <α<β<b
C ．α<a <b <β
D ．α<a <β<b
解析：选C.因为α，β是函数f (x )的两个零点，
所以f (α)＝f (β)＝0.又f (a )＝f (b )＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a ，
b 必在α，β之间．
6．若函数f (x )＝ax 2
－x ＋2只有一个零点，则实数a 的取值集合是________． 解析：当a ＝0时，f (x )＝－x ＋2，令f (x )＝0，解得x ＝2， 所以函数只有一个零点2，符合题意；
当a ≠0时，由函数只有一个零点可得Δ＝(－1)2
－4×a ×2＝0，即1－8a ＝0，解得a ＝18
. 综上a ＝1
8
或a ＝0.
答案：
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫0，18 7．已知函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，则k ＝________． 解析：由题意知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数． 且f (9)＝lg 9＋9－10＝lg 9－1<0，
f (10)＝l
g 10＋10－10＝1>0，
即f (9)f (10)<0，
所以函数f (x )在(9，10)内存在唯一的零点，
因为函数f (x )＝lg x ＋x －10的零点在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，所以k ＝9. 答案：9
8．若方程x 2
－(k ＋2)x ＋1－3k ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，则实数k 的取值范围是________．
解析：因为方程x 2
－(k ＋2)x ＋1－3k ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2， 所以设f (x )＝x 2
－(k ＋2)x ＋1－3k ，画出函数f (x )的大致图象如图所示．
结合图象知f (0)＝1－3k >0，且f (1)＝－4k <0，且f (2)＝1－5k >0，所以0<k <15
.
故实数k 的取值范围为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
k |0<k <15.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，15
9．关于x 的方程mx 2
＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．
解：设f (x )＝mx 2
＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，
依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f （4）<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，
f （4）>0.
相应有，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，26m ＋38<0①或⎩
⎪⎨⎪
⎧m <0，26m ＋38>0.②
解①得，无解； 解②得，－19
13
<m <0.
所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1913，0. 10．已知函数f (x )＝cx －1
x ＋1
(c 为常数)，若1为函数f (x )的零点． (1)求c 的值；
(2)证明函数f (x )在[0，2]上是单调增函数； (3)已知函数g (x )＝f (e x
)－13，求函数g (x )的零点．
解：(1)因为1为函数f (x )的零点， 所以f (1)＝0，即c ＝1. (2)证明：设0≤x 1<x 2≤2， 则f (x 2)－f (x 1)＝
x 2－1x 2＋1－x 1－1
x 1＋1。