3.2.2一元二次不等关系及其解法(二)
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一元二次不等式及其解法
定二次方程根的个数；
（3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以
确定解集.
1.三个“二次”的关系
一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程
的根，也是对应一元二次函数的零点. 2.含参一元二次不等式的解法：
（1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论；
（2）对判别式进行讨论； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论.
（1）化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的一元二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0)
的图象；
（3）由图象得出不等式的解集:
当Δ > 0时，方程ax2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1，x（ 2 x1 < x2），
因为Δ = 49 > 0,
所以方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根 1 x1 = -2,x 2 = . 3 而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上，
转化为一 般形式
1 所以原不等式的解集为 x x < -2或x > 3 .
【提升总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
y
O
x
例6
解关于 x 的不等式 ax2 -(a +1)x +1 < 0.
分析：题中二次项系数含有参数，因此要分
及
解：原不等式可化为 (ax - 1)(x - 1)< 0. (1) 当a = 0时,x > 1. 1 (2) 当a < 0时，不等式可化为 (x - )(x - 1)> 0. a 1 1 因为 < 1,所以x < 或x > 1. a a
（3）对相应的一元二次方程根的大小进行讨论，以
确定解集.
1.三个“二次”的关系
一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程
的根，也是对应一元二次函数的零点. 2.含参一元二次不等式的解法：
（1）对二次项系数分是否为0，是正还是负进行讨论；
（2）对判别式进行讨论； （3）对相应的一元二次方程根的大小进行分类讨论.
（1）化成不等式的标准形式:
ax2 + bx + c > 0或ax2 + bx + c < 0(a > 0)；
（2)求方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根, 并画出对应的一元二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0)
的图象；
（3）由图象得出不等式的解集:
当Δ > 0时，方程ax2 + bx + c = 0有两个不等的实数根 x1，x（ 2 x1 < x2），
因为Δ = 49 > 0,
所以方程 3x2 + 5x - 2 = 0 有两个实数根 1 x1 = -2,x 2 = . 3 而 y = 3x2 + 5x - 2 的图象开口向上，
转化为一 般形式
1 所以原不等式的解集为 x x < -2或x > 3 .
【提升总结】 解一元二次不等式的一般步骤：
y
O
x
例6
解关于 x 的不等式 ax2 -(a +1)x +1 < 0.
分析：题中二次项系数含有参数，因此要分
及
解：原不等式可化为 (ax - 1)(x - 1)< 0. (1) 当a = 0时,x > 1. 1 (2) 当a < 0时，不等式可化为 (x - )(x - 1)> 0. a 1 1 因为 < 1,所以x < 或x > 1. a a
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
-1 0 1 答案：（-1，0）∪（1，+∞）
2013-8-15 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 13
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
绝对值不等式的解法
例5.解不等式 | x2 5x 5 | 11
解：原不等式可化为
2
2
3
4
1 x 5x 5 1 x2 5x 5 1 x 2 5 x 4 0 (1) 2 即 2 x 5 x 5 1 x 5 x 6 0 (2) 解不等式（1），得解集 x |1 x 4 , 解不等式（2），得解集 x | x 2, 或x 3 ,
∴原不等式的解集是不等式(1)和不等式(2)的解集的 交集，即 x |1 x 4 x | x 2, 或x 3
x |1 x 2, 或3<x<4
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
2013-8-15
14
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
b {x|x≠ } 2a
R Φ
2
Φ
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
温故知新 解一元二次不等式的步骤： ①把二次项系数化为正数； ②解对应的一元二次方程； ③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数 y 图象； ④得出不等式的解集． x ● x2 ● 1 o x 记忆口诀：大于0取两边，小于 0取中间.(a>0且△>0)
0 4
15
-1
2013-8-15
3
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.2.2一元二次不等式及其解法(二)
第一部分第三章32第二课时一元二次不等式的解法(2)
返回
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0， 它的解集为 R
a＞0， 的条件为 2 Δ ＝ b －4ac≤0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为∅的条
a＜ 0 ， 件为 Δ≤0.
返回
3．若关于x的不等式x2＋x＋k>0恒成立，则实数k的取 值范围是________．
∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0.
返回
a<0， 即 a－13a＋1>0.
1 ∴a<－3. 1 故 a 的取值范围为(－∞，－3)．
返回
[一点通]
不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的
解集为 R，对于一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0，它的解集 为R
a＞0， 的条件为 2 Δ ＝ b －4ac＜0；
②
解①得 x≥5，解②得 x<2， ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}．
返回
[一通]
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接
转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但 要注意分母不为零．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，
先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为
常见一元一次不等式、一元二次不等式上来．
2．有关不等式恒成立的问题，往往是求其中参数 的取值范围；常用解法有：①分离参变量，转化为函数 的最值问题；②构造函数法，利用基本函数求解．
返回
3．用一元二次不等式解决实际问题的步骤大致可分为 (1)理解题意，把条件进行转化，或者画出示意图，理 清各量满足的条件；
3.2 第 三 章 不 等 式 一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法【知识归纳】1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图像与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1} {x |x ∈R } ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1< x <x 2} ∅ ∅【难点提升】1．一元二次不等式的解集及解集的确定 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)的解集的确定受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)的图像，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(其中a >0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2) (此时Δ＝b 2－4ac >0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．【学前强化】1．不等式x 2<1的解集为________．2．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是____________．3．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为_____________．4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为 ( ) A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)5．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2<x <14}，则ab 等于( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．266．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解集是________．7．已知f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，则a ＝________，c ＝________.8．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________．题型一 一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：思维启迪： 解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0. （3）x 2＋2x －3≤0；（4）x －x 2＋6＜0； （5）4x 2＋4x ＋1<0； （6）x 2－6x ＋9≤0；【变式】 解下列不等式：(1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.题型二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，求a ，b 的值；思维启迪：先化简不等式为标准形式，再依据解集确定a 的符号，然后利用根与系数的关系列出a ，b 的方程组，求a ，b 的值．【变式】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.题型三一元二次不等式恒成立问题【例3】已知f(x)＝x2－2ax＋2 (a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．思维启迪注意等价转化思想运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．【变式1】已知不等式ax 2＋4x ＋a >1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．思维启迪：化为标准形式ax 2＋bx ＋c >0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.【变式2】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围。
3.2 一元二次不等关系及其解法(二)
例1. 某种汽车在水泥路面上的刹车 距离S m和汽车车速x km/h有如下关 2 系： s 0.1x 0.01x . 在一次交通事故中，测得这种车的 刹车距离大于12m，那么这辆汽车 刹车前的车速为多少？
练习. 一个车辆制造厂引进一条摩托 车整车装配线，这条线生产的摩托 车数x(辆)与创造的价值y(元)之间有 如下的关系： y＝－2x2＋240x. 若这家工厂在某一个星期内利用这 条流水线创收超过7000元，那么它 在这个星期内大约生产了多少辆摩 托车？
题型二：求函数定义域. 例2. 求下列函数的定义域.
(1) y log x 1 ( x 3 x 4)
2
（2） y x 3 log2 ( x 4 x 3)
2
题型三：
已知不等式解集求不等式中的未知数
例3. 已知关于x的不等式x2－mx＋n≤0 的解集是{x| －5≤x≤1}，求实数m、n之
3.2一元二次不等式 及其解法(二)
复习引入
一元二次不等式的解法
方法一：先求出相应一元二次方程的根， 再根据函数图像与x轴的相关位置确定一 元二次不等式的解集。即
“一化→二判→三求→四画→五解集”
方法二：将不等式化为标准形式后，进 行因式分解，结合二次函数图象得出原 不等式的解，再写出解集。
题型一：关于一元二次不等式的应用题
值.
练习.
（1）已知不等式ax2＋bx＋1<0的解集 为{x| -1＜x＜2}，则 ab
(2)关于x的方程 ax bx c 0(a 0) 2 的两根为-2、3，那么 ax bx c 0 的解集为
2Leabharlann 小结三种题型 1.关于一元二次不等式的应用题； 2.求函数定义域. 3.已知不等式解集求不等式中的未
3.2.2_一元二次不等式及其解法习题课_课件(人教A版必修5)
栏目 导引
第 三章 不等式
乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两 种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝ 0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象？ 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2 ＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)，
第 三章 不等式
3．某工厂生产商品M，若每件定价80元， 则每年可销售80万件，税务部门对市场销售 的商品要征收附加费,为了既增加国家收入, 又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税 率．据市场调查，若政府对商品M征收的税 率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售 量减少10P万件，据此，问：
栏目 导引
集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，
b＝0，c＞0；
当
a≠0
时a＞0 Δ＜0
.
(2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数
(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0；
当
a≠0
时，a＜0 Δ＜0
.
类似地有 f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
栏目 导引
第 三章 不等式
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个 实数根为R1＝2，R2＝8. 9分 然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象， 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}. 10分 即当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附 加税金不少于112万元. 12分 名师微博 正确列出不等式是关键.
栏目 导引
第 三章 不等式
②若 a2－1≠0，即 a≠±1 时， 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＜0， Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0， 解得－35＜a＜1. 综上所述，符合条件的实数 a 的取值范围是(－ 35，1]．
第 三章 不等式
乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两 种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝ 0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象？ 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2 ＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)，
第 三章 不等式
3．某工厂生产商品M，若每件定价80元， 则每年可销售80万件，税务部门对市场销售 的商品要征收附加费,为了既增加国家收入, 又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税 率．据市场调查，若政府对商品M征收的税 率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售 量减少10P万件，据此，问：
栏目 导引
集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，
b＝0，c＞0；
当
a≠0
时a＞0 Δ＜0
.
(2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数
(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0；
当
a≠0
时，a＜0 Δ＜0
.
类似地有 f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
栏目 导引
第 三章 不等式
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个 实数根为R1＝2，R2＝8. 9分 然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象， 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}. 10分 即当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附 加税金不少于112万元. 12分 名师微博 正确列出不等式是关键.
栏目 导引
第 三章 不等式
②若 a2－1≠0，即 a≠±1 时， 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＜0， Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0， 解得－35＜a＜1. 综上所述，符合条件的实数 a 的取值范围是(－ 35，1]．
3.2一元二次不等式及其解法(2)
2
2
x的 取 值 范 围 为{ x | -1 7 x 1 3 }.
2
2
11分 12分
探究提高 （1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数. （2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒 小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在x轴下方.
例3：已知 ax2 (1 a)x 1 0 恒成立，
求a的取值范围。
y
解：不等式恒成立，即解集为R
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
由 (1 a)2 4a 0解得： 3 2 2 a 3 2 2
又a 0
解 （1）不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，即函数f(x)=
mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时，1-2x<0, 即当x> 1 时，不等式恒成立,不满足题意； 3分
2 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即
⊿>0
y
x1 x2 x
⊿=0
y
x1(x2) x
⊿<0
y
x
方程
有两个不等实 有两个相
x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2)
x1=x2
ax2+bx+的c>解0（集a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
高一数学一元二次不等式及其解法2
课堂练习
2. 某台风中心从A处以20km/h的速 度向东北方向移动，离台风中心 30km以内(含30km)的地区为危险区. 城市B在A处的正东方向40km处，那 么城市B处于台风危险区内的持续时 间是几小时？ C 持续时间是1小时.
A B
课堂小结
1.解决一元二次不等式的应用性问 题，关键在于构造一元二次不等式 模型.其基本思路是：将题中的某个 主变量设为x→用x表示其他相关变 量→根据题中的不等关系列出不等 式→解不等式得结论.
小结作业
2.解一元二次不等式的应用性问题 时，要注意结果必须有实际意义， 并对问题作出相应回答.
布置作业
P80习题3.2A组：1，5，6. B组: 4.
；东森注册 东森注册 ；
开控制着十二天干仙阵,开始探向了这团佛门神念."轰轰轰."佛门神念虽然被困住,可哪里会这么容易就范,还在不断の挣扎,发出震天动地の力量,惊得整个孤独之城都在不断の碎裂.十二天干仙阵,已经将它给困在方圆壹千里の范围内了,仙阵无法再进行压缩了,因为之前の阵眼布置の较 多,现在这是最小の范围了.控制起来也是最难の,万壹能量被突破了,就有可能被这团魂识给冲出来.不过好在根汉还有几大神器,九龙珠环,黑铁,寒冰王座,血炉,以及至尊剑,还有他の清风神剑,都在这里围着这团魂识.这几大神器,也个个不弱,等级最低の要属清风神剑.而其它の几件神兵, 最差の应该也是至尊之兵,所以这团魂识纵然强可媲美准至尊,但还是弱了壹截,被这几大神器の神威给压得死死の.虽然还能反抗,不时の发出壹阵阵狂怒,却还是无法挣开,逃不出去了."你不是有两大神树吗,将神树放出来,这东西马上就乖了."小紫倩想到了根汉乾坤世界中の两大神树,那 东西可是佛家神树,只要放出来,这团魂识肯定就老实了."对呀."根汉这才想起
3.2 一元二次不等式及其解法 (2)
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0,
先求方程的根
然后想像图象形状
方程的解2x2－3x－2 =0的解是
y
1 x1 2 , x2 2.
o
x
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1 2
, 或x
2.
注:开口向上,大于0 取两边
例2.解不等式 x2＋x － 2 > 0 例3.解不等式 － x2－3x> 2
解:(1)当 x=-2, 或 x=3 时, y=0 即 x2x6=0;
-2 o
x
3
(2)当2<x<3 时, y<0 即 x2x6<0;
(3)当 x<;0 .
若一元二次方程x2-x-6=0
y
的解是x1=-2，x2=3. 则抛物线y=x2-x-6与x轴
的交点就是 (-2，0)与(3，0).
1.知识与技能：深刻理解二次函数，一元二次方程与一 元二次不等式的关系。
2.过程与方法：通过研究二次函数，一元二次方程与一 元二次不等式之间的内在联系，获得一元二次不等式 的解集。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的热情。
：掌握一元二次不等式的解法。 ：理解二次函数，一元二次方程与一元
二次不等式解集的关系。
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
△>0 y x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
32一元二次不等式及其解法
(2)∵x=-a时不等式成立, ∴ a2 1 0, 即-a+1<0,
a 1 ∴a>1,即a的取值范围为（1，+∞）.
探究提高 (1)含参数的一元二次不等式可分为两种 情形:一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项 的位置,此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论，若 不易分解因式,则要对判别式Δ分类讨论,分类应不重 不漏;二是二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是 否为0,然后再讨论二次项系数不为0的情形,以便确定 解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小, 以便写出解集. (2)含参数不等式的解法问题,是高考的重点内容，主 要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想.
g(1) 0 解得-3≤a≤1.
失误与防范
1.一元二次不等式的界定.对于貌似一元二次不等式
的形式要认真鉴别.如：
解不等式（x-a)(ax-1)>0，如果a=0它实际上是一个
一元一次不等式；
只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式.
2.当判别式Δ<0时，ax2+bx+c>0 (a>0)解集为R;
ax2+bx+c<0 (a>0)
两课时
基础知识 自主学习
要点梳理 一元二次不等式与相应的一元二次函数及 一元二次方程的关系（如下表）：
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
则M∩N={x|0≤x<1}.
a 1 ∴a>1,即a的取值范围为（1，+∞）.
探究提高 (1)含参数的一元二次不等式可分为两种 情形:一是二次项系数为常数,参数在一次项或常数项 的位置,此时可考虑分解因式,再对参数进行讨论，若 不易分解因式,则要对判别式Δ分类讨论,分类应不重 不漏;二是二次项系数为参数,则应考虑二次项系数是 否为0,然后再讨论二次项系数不为0的情形,以便确定 解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小, 以便写出解集. (2)含参数不等式的解法问题,是高考的重点内容，主 要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想.
g(1) 0 解得-3≤a≤1.
失误与防范
1.一元二次不等式的界定.对于貌似一元二次不等式
的形式要认真鉴别.如：
解不等式（x-a)(ax-1)>0，如果a=0它实际上是一个
一元一次不等式；
只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式.
2.当判别式Δ<0时，ax2+bx+c>0 (a>0)解集为R;
ax2+bx+c<0 (a>0)
两课时
基础知识 自主学习
要点梳理 一元二次不等式与相应的一元二次函数及 一元二次方程的关系（如下表）：
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
则M∩N={x|0≤x<1}.
高二数学一元二次不等关系及其解法2
记忆中，董庆喜的哥哥，特别会做转灯。每到元宵节，他家靠街的屋角就会转起一个红红的灯笼。灯笼一转，这一年就什么病都没有了，健健康康过一年。新的一年里顺顺利利、圆圆满满，以此辟 邪祈福。有希望，日子才会美好而充盈。真馋人：红红的！还会转！我曾模仿做过几次，但都能想到社会 发展的这么快。日子一天天地过去，我们一天天地长大，生活逐渐告别了贫穷和落后。类似闲来麻将的赚钱游戏
பைடு நூலகம்
而现在，搬进了楼房，安安静静地活在那时的记忆中。一些从历史长廊中沉淀下来的传统正渐离我们的视线，而正是这些传统能发出道德和约束的力量，是我们值得珍惜的财富。当一些人对西方世 界的物质生活眼花缭乱的时候，切莫忘记我们东方的古老文明传统！记住古老文化中的精华，传承下去，乡村文化的根不能断，不能毁在我们这一代人手里，而恰恰正是我们这一代人没有坚守好。
一个人走在记忆的深巷，一个个先人已逝，对他们的思念无法释放，郁结在心里，我用一生去珍藏。生命留给我的除了忧伤，还有无暇的美丽。故乡是一块让人沉下心来静思的地方。我也明白没有 永恒的存在，只有永远的失去。
圆圆的月儿挂在树梢上，月光如水。我无法左右时间，但可以拉近思念，将烟尘往事埋在月光里，静静地，静静地独享……
பைடு நூலகம்
而现在，搬进了楼房，安安静静地活在那时的记忆中。一些从历史长廊中沉淀下来的传统正渐离我们的视线，而正是这些传统能发出道德和约束的力量，是我们值得珍惜的财富。当一些人对西方世 界的物质生活眼花缭乱的时候，切莫忘记我们东方的古老文明传统！记住古老文化中的精华，传承下去，乡村文化的根不能断，不能毁在我们这一代人手里，而恰恰正是我们这一代人没有坚守好。
一个人走在记忆的深巷，一个个先人已逝，对他们的思念无法释放，郁结在心里，我用一生去珍藏。生命留给我的除了忧伤，还有无暇的美丽。故乡是一块让人沉下心来静思的地方。我也明白没有 永恒的存在，只有永远的失去。
圆圆的月儿挂在树梢上，月光如水。我无法左右时间，但可以拉近思念，将烟尘往事埋在月光里，静静地，静静地独享……
3.2 第一课时 一元二次不等式及其解法
Δ =b2-4ac
Δ >0
Δ =0
Δ <0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0) 的解
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
有两个相异实根 x1,2=
b b2 4ac (x1<x2) 2a
{x|x<x1 或 x>x2}(即 “大于取两边”) {x|x1<x<x2}(即“小于 取中间”)
答案:(3)(-∞,-3)∪(-3,1)∪(2,+∞)
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即时训练 3-1:(1)不等式 x 1 ≤3 的解集是
;
x
解析:(1)原不等式等价于 x 1 -3≤0⇔ 1 2x ≤0⇔ 2x 1 ≥0⇔x(2x-1)≥0,且 x
x
x
x
≠0,解得 x≥ 1 或 x<0. 2
答案:(1){x|x≥ 1 或 x<0} 2
(2)不等式 2x 1 >1 的解集是
3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法
课标要求:1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌 握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等 式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
自主学习
知识探究
1.一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不 等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0), 其中a≠0,且a,b,c为常数. 使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的 解 ,一元二次 不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的 解集 .
一元二次不等式的解法(第二课时)
数的正负.
解: a(x2 5x 6) ax 2x 3 0 ∴(1)当 a 0时，原不等式变形为: x 2x 3 0
∴当 a 0时，原不等式解集为: x | x 2或x 3
∴(2)当 a 0时，原不等式变形为: x 2x 3 0
∴当 a 0时，原不等式解集为: x | 2 x 3
2－x (1)x＋3>1.
原不等式可化为
2－xx＋ －3x＋3>0，化简得－x2＋x－3 1>0，
即2xx＋＋31<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－12.
∴原不等式的解集为x－3<x<－12
题型二 含参数的不等式的解法
对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0) 参数划分标准： 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准：
；
x1 a
a 2 16 2
,
a a 2 16
x2
2
显然 x1 x2
∴原不等式的解集为：
x x a
a2 16 或x〈 a 2
a2 16
2
x 拓展:解关于 的不等式：ax 2 (a 1) x 1 0.
解:（一）当 a 0时, 原不等式即为 x 1 0 解集为：{x | x 1}.
x x1 x x2
R
{x|x=
b
}
2a
<0
y x
没有实根
R
R
复习回顾
解: a(x2 5x 6) ax 2x 3 0 ∴(1)当 a 0时，原不等式变形为: x 2x 3 0
∴当 a 0时，原不等式解集为: x | x 2或x 3
∴(2)当 a 0时，原不等式变形为: x 2x 3 0
∴当 a 0时，原不等式解集为: x | 2 x 3
2－x (1)x＋3>1.
原不等式可化为
2－xx＋ －3x＋3>0，化简得－x2＋x－3 1>0，
即2xx＋＋31<0，
∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－12.
∴原不等式的解集为x－3<x<－12
题型二 含参数的不等式的解法
对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不 同，其结果就不同，因此必须对参数进行讨论，即要 产生一个划分参数的标准。 一元一次不等式ax+b>0(<0) 参数划分标准： 一次项系数a>0,a=0,a<0 一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0) 参数划分标准：
；
x1 a
a 2 16 2
,
a a 2 16
x2
2
显然 x1 x2
∴原不等式的解集为：
x x a
a2 16 或x〈 a 2
a2 16
2
x 拓展:解关于 的不等式：ax 2 (a 1) x 1 0.
解:（一）当 a 0时, 原不等式即为 x 1 0 解集为：{x | x 1}.
x x1 x x2
R
{x|x=
b
}
2a
<0
y x
没有实根
R
R
复习回顾
一元二次不等式及其解法
2
1 2 (5)－2x ＋3x－5>0；
(6)－2x2＋3x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项 系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应 方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方 程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b＝_________. (2)已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是－2,3， a>0， 那么 ax2－bx＋c>0 的解集是__________________．
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明 (1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有 其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪 一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． (2)“次数最高是 2”，仅限于“未知数”，若还含有其他 参数，则次数不受此条件限制． (3)必须是整式不等式．
3.2.1一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的定义 只含有 1 个 未知数，并且未知数的 最高次数为 2 的 不等式，称为一元二次不等式．即形如 ax2＋bx＋c>0(≥0) 或 ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等 式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 式的 解
【跟踪训练 2】
解关于 x 的不等式：x2－ax－2a2<0.
题型三 例3
“三个二次”之间的转化关系
若不等式 ax2， 求
不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 的解集．
1 2 (5)－2x ＋3x－5>0；
(6)－2x2＋3x－2<0.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项 系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应 方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方 程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
ax2－bx＋2<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b＝_________. (2)已知二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根是－2,3， a>0， 那么 ax2－bx＋c>0 的解集是__________________．
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明 (1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有 其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪 一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可． (2)“次数最高是 2”，仅限于“未知数”，若还含有其他 参数，则次数不受此条件限制． (3)必须是整式不等式．
3.2.1一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式的定义 只含有 1 个 未知数，并且未知数的 最高次数为 2 的 不等式，称为一元二次不等式．即形如 ax2＋bx＋c>0(≥0) 或 ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中 a≠0)的不等式叫做一元二次不等 式． 2．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的 式的 解
【跟踪训练 2】
解关于 x 的不等式：x2－ax－2a2<0.
题型三 例3
“三个二次”之间的转化关系
若不等式 ax2， 求
不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 的解集．
2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第三章 3.2(二)一元二次不等式及其解法(二)
本 讲 栏 目 开 关
§3.2（二）
【学习目标】 1．能运用三个“二次”的关系解决有关的数学问题． 2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型， 并加以解决．
本 讲 栏 目 开 关
3．掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法． 【学法指导】 1．利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解题的切入点， 快速找到有效的解题途径． 2．解决有关一元二次不等式恒成立的问题，一方面，要充分 利用二次函数图象分析解决有关问题； 另一方面还应依具 体情况， 选择不同的字母作为自变量， 再利用图象分析解 决问题．
0<x1≤x2
Δ≥0 f0>0 b － >0 2a
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（二）
x1<0<x2
Δ>0 x1x2<0
f(0)<0
本 讲 栏 目 开 关
x1≤x2<k
Δ≥0 x1＋x2<2k x1－k· x2－k>0
Δ≥0 fk>0 b － <k 2a
ax2＋bx＋c＝0 实根 x1，
填一填·知识要点、记下疑难点
§3.2（二）
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0
本 讲 栏 目 开 关
{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x1<x<x2}
{x|x∈R 且 b x≠－ } 2a
R
(a>0)的解集
∅
∅
2．解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式 变形 ，使一端为 0 且二次项系数大于 0，即 ax2＋bx＋c>0 (a>0)，ax2＋bx＋c<0 (a>0)； (2)计算相应的 判别式 ； (3)当 Δ ≥ 0 时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
§3.2（二）
【学习目标】 1．能运用三个“二次”的关系解决有关的数学问题． 2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型， 并加以解决．
本 讲 栏 目 开 关
3．掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法． 【学法指导】 1．利用二次函数图象可以帮助我们迅速找到解题的切入点， 快速找到有效的解题途径． 2．解决有关一元二次不等式恒成立的问题，一方面，要充分 利用二次函数图象分析解决有关问题； 另一方面还应依具 体情况， 选择不同的字母作为自变量， 再利用图象分析解 决问题．
0<x1≤x2
Δ≥0 f0>0 b － >0 2a
研一研·问题探究、课堂更高效
§3.2（二）
x1<0<x2
Δ>0 x1x2<0
f(0)<0
本 讲 栏 目 开 关
x1≤x2<k
Δ≥0 x1＋x2<2k x1－k· x2－k>0
Δ≥0 fk>0 b － <k 2a
ax2＋bx＋c＝0 实根 x1，
填一填·知识要点、记下疑难点
§3.2（二）
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0
本 讲 栏 目 开 关
{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x1<x<x2}
{x|x∈R 且 b x≠－ } 2a
R
(a>0)的解集
∅
∅
2．解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式 变形 ，使一端为 0 且二次项系数大于 0，即 ax2＋bx＋c>0 (a>0)，ax2＋bx＋c<0 (a>0)； (2)计算相应的 判别式 ； (3)当 Δ ≥ 0 时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
一元二次不等式解法2
对于这类问题，应紧抓“定义”，转化为一般关系式，从而 进行求解.若运算法则不变，试求满足x⊙(x－m)＜0的实数 x的取值范围.
2.对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数
的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.
当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0 的解集是全体实数.
若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则先考虑a＝0
的情形，然后按照
求解.
再结合上表进行求解.
(2)当首项系数含有字母参数时，要注意对首项系数是 否为0进行讨论，当首项系数为0时，不是一元二次不
等式，当首项系数不为0时，才是一元二次不等式.
二、用程序框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)
的求解的算法过程为：
1 1 1.不等式 ( x )( x ) 0 的解集为 2 3
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 有 即
1 解得0 x . 3 ∴投入成本增加的比例应在(0，
)范围内.
从近几年的高考试题看，高考中常常以小题的形式考
查简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不 等式的解法，或已知二次函数零点的分布以小题形式考查相 应一元二次方程中未知参数的取值范围，或以解答题形式出 现单独考查含参数的一元二次不等式的解法，也可能与函数 相结合考查参数的取值范围等.2009年山东卷第5题以“自定 义”形式考查了一元二次不等式的解法.
不等式应用题常以二次函数为模型.解题时要理清题意，准 确找出其中不等关系再利用不等式解法求解.
2.不等式应用题一般可按如下四步进行： (1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等 关系.
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3.2一元二次不等式 及其解法(二)
复习引入
一元二次不等式的解法
讲授新课
例1. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 sm和汽车车速xkm/h有如下关系：
s 1 20 x 1 180 x .
2
在一次交通事故中，测得这种车的刹车 距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前 的车速至少为多少？
讲授新课
例1. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 sm和汽车车速xkm/h有 例5. 设 f ( x ) 2 log 3 ( x 1), x 2
x 1
则f (x)＞2的解集为_______________.
课堂小结
运用不等式解实际问题时，要 注意：不大于、不小于、不超过等 字眼.
东明明兴现代教育
s 1 20 x 1 180 x .
2
在一次交通事故中，测得这种车的刹车 距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前 的车速至少为多少？ 变式：若车速为80km/h，司机发现前方 50m的地方有人，问汽车是否会撞上人？
讲解范例:
例2. 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车 装配线，这条线生产的摩托车数量x(辆)与 创造的价值y(元)之间有如下的关系： y＝－2x2＋220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创6000元以上，那么它在一个星期内 大约应该生产多少辆摩托车？
讲解范例:
例3. 求下列函数的定义域.
(1) y log x 1 ( x 3 x 4)
2
(2) y
x 5 x +6
2
讲解范例:
例4. 解不等式
x3 x7 0.
讲解范例:
例4. 解不等式
x3 x7 0. xa x 1
变式：若关于x的不等式
0
的解集
为(－∞,－1]∪(4,＋∞)，则实数a＝_____.
复习引入
一元二次不等式的解法
讲授新课
例1. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 sm和汽车车速xkm/h有如下关系：
s 1 20 x 1 180 x .
2
在一次交通事故中，测得这种车的刹车 距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前 的车速至少为多少？
讲授新课
例1. 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 sm和汽车车速xkm/h有 例5. 设 f ( x ) 2 log 3 ( x 1), x 2
x 1
则f (x)＞2的解集为_______________.
课堂小结
运用不等式解实际问题时，要 注意：不大于、不小于、不超过等 字眼.
东明明兴现代教育
s 1 20 x 1 180 x .
2
在一次交通事故中，测得这种车的刹车 距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前 的车速至少为多少？ 变式：若车速为80km/h，司机发现前方 50m的地方有人，问汽车是否会撞上人？
讲解范例:
例2. 一个车辆制造厂引进一条摩托车整车 装配线，这条线生产的摩托车数量x(辆)与 创造的价值y(元)之间有如下的关系： y＝－2x2＋220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创6000元以上，那么它在一个星期内 大约应该生产多少辆摩托车？
讲解范例:
例3. 求下列函数的定义域.
(1) y log x 1 ( x 3 x 4)
2
(2) y
x 5 x +6
2
讲解范例:
例4. 解不等式
x3 x7 0.
讲解范例:
例4. 解不等式
x3 x7 0. xa x 1
变式：若关于x的不等式
0
的解集
为(－∞,－1]∪(4,＋∞)，则实数a＝_____.