信 号 与 系 统 (3)
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信号与线性系统第3章
由于激励加入系统前，系统未储能，所以有y(j)(0-)=0。
但是由于在t=0时刻激励的加入，可能使得yf(j)(0+)不为 零。 因此需要根据激励来确定yf(j)(0+)，从而确定零状态响应中 齐次解系数的值。
用δ(t)函数匹配法求0+初始值
若激励f(t)在t=0时刻接入系统，则确定待定系数Ci时用 t=0+ 时刻的值，y(j)(0+)(j=0,1,2,……n-1).
激励为0，因此令方程右端为0：
y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +L+ a1y′(t) + a0 y(t) = 0
可知，零输入响应与经典解法中的齐次解形式相 同。 由于对yx(t)而言，t ≥0时，f(t)=0
所以： { yx(k)(0+) }= { yx(k)(0-) } 因此：零输入响应的系数Ci（i=1,2,…,n)可以由系统的起
y(t) = yx (t) + yf (t)
其中： yx (t) = T[x1(0− ), x2 (0− ),L xn (0− ),0] = T[{x(0− )},0] yf (t) = T[0, f1(t), f2 (t),L, fn (t)] = T[0,{ f (t)}]
求解零输入响应yx(t)
¾ 在每次平衡低阶冲激函数项时，若方程左端所有同阶次δ(t) 函数项不能和右端平衡，则应返回到y(t)的最高阶次项进行补 偿，但已平衡好的高阶次δ(t)函数项系数不变。
系统全响应 y(t) = yx (t) + yf (t)
yf’(0+) = 2+ yf’(0-) = 2 代入初始值求得： yf(t) = -7e-t+4e-2t+3, t>0
信号与系统第三章
例3.1-2 描述一阶LTI系统的常系数微分方程如 式（3.1-3）所示
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
设 f (t) 2 a 2, b 1 则有
dy(t) 2 y(t) 2 dt
已知初始值 y(0) 4 求 t 0时系统的响应 y(t)
解：第一步，由方程可知系统的特征方程为 2 0
2 由此可得系统的齐次解为
2
处理教研室
第三章 连续信号与系统的时域分析
教学重点：
1、常微分方程的建立及其解的基本特点； 2、阶跃响应和冲激响应的概念； 3、卷积及其在系统分析中的应用。
2020/6/7
信号
3
处理教研室
应用实例：汽车点火系统
汽车点火系统主要由电源（蓄电池和发电机）、电阻、 点火开关、点火线圈、分压器等组成。
系数 a,b都是常量。系统的阶数就是其数学模型——
微分方程的阶数。
而 n 阶常系数线性微分方程的一般形式为
an
dn y(t) dt n
an1
dn1 y(t) dt n1
L
a1
dy(t) dt
a0
y (t )
bm
dm f (t) dt m
bm1
dm1 f (t) dt m1
L
b1
df (t) dt
b0
即yf’(0+) = yf’(0-) = 0，yf(0+) = yf(0-) = 0
对t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数3，
于是有
yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得
信号与系统(第3版)课件1.1
➢ 信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没 有孤立存在的信号。
x(t)
系统
0
t
信号发生器
信号与系统是相互依存的关系。
2.信号与系统课程主要内容
➢ 信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没 有孤立存在的信号。
系统 系统
语音 发送图像
文字
语音 接收图像
文字
信号与系统是相互依存的关系。
若学生仅满足于记忆这些书本内容，则难以获得真知卓见，创新更 无从谈起，势必会培养大批知而无识，学而无用之人。学生应该在现有 知识基础上深思熟虑，透过字里行间，心领神会学以致用，从而形成自 己的学识和能力，成为“知而有识、学而善用”的优秀人才。
6.当代工程教育的教学理念
大学教育应从注重书本内容的传授，逐步转变为以教学内容为载体， 启发引导学生
变换（傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换）的数学概念、物 理概念和工程概念； ※ 掌握信号表示与系统描述的基本思想，为进一步学习后续课程 奠定坚实的理论基础； ※ 锻炼学生分析与解决问题能力，以及自主性学习与探究能力。
5. 信号与系统课程教学资源
主教材 高等教育“十二五”国家级规划教材 信号与系统 陈后金，胡健，薛健 高等教育出版社，2015
通
信
工
程
自 动 化
信号与控制信轨道交通号与系与技术统
电 子 科 学
1. 电子信息类专业课程体系
语音信号处理 生物信号处理
图像信号处理
地震信号处理
雷达信号处理 通信信号处理
信号与系统
声纳信号处理 轨道交通信号处理 ……
2.信号与系统课程主要内容
输入信号x(t)
系统H
输出信号y(t)
x(t)
系统
0
t
信号发生器
信号与系统是相互依存的关系。
2.信号与系统课程主要内容
➢ 信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没 有孤立存在的信号。
系统 系统
语音 发送图像
文字
语音 接收图像
文字
信号与系统是相互依存的关系。
若学生仅满足于记忆这些书本内容，则难以获得真知卓见，创新更 无从谈起，势必会培养大批知而无识，学而无用之人。学生应该在现有 知识基础上深思熟虑，透过字里行间，心领神会学以致用，从而形成自 己的学识和能力，成为“知而有识、学而善用”的优秀人才。
6.当代工程教育的教学理念
大学教育应从注重书本内容的传授，逐步转变为以教学内容为载体， 启发引导学生
变换（傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换）的数学概念、物 理概念和工程概念； ※ 掌握信号表示与系统描述的基本思想，为进一步学习后续课程 奠定坚实的理论基础； ※ 锻炼学生分析与解决问题能力，以及自主性学习与探究能力。
5. 信号与系统课程教学资源
主教材 高等教育“十二五”国家级规划教材 信号与系统 陈后金，胡健，薛健 高等教育出版社，2015
通
信
工
程
自 动 化
信号与控制信轨道交通号与系与技术统
电 子 科 学
1. 电子信息类专业课程体系
语音信号处理 生物信号处理
图像信号处理
地震信号处理
雷达信号处理 通信信号处理
信号与系统
声纳信号处理 轨道交通信号处理 ……
2.信号与系统课程主要内容
输入信号x(t)
系统H
输出信号y(t)
信号与系统第三章习题部分参考答案
（5） t f (3t)；
（7） (1 − t) f (1 − t) ；
（2） [1 + m f (t)]cosω0 t
（4） (t + 2) f (t)； ( ) （6） e− jω0 t df t
dt
（8） f (t)∗ f (t − 3)；
t
（9） ∫τ f (τ )dτ −∞
1−t / 2
（11） ∫ f (τ )dτ −∞
2π (sin π t )2 ↔ 2π (1− ⎜w⎜)[ε(w + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
即 (sin π t )2 ↔ (1− ⎜w⎜)[ε(ω + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
（3）双边指数信号
∵ e−a⎜t⎜
↔
2a a2 + w2
(−∞
<
t
<
+∞)
∴ 2a a2 + w2
（13） f (t)∗ Sa(2t) （15） t df (1 − t)
dt
t+5
（10） ∫ f (τ )dτ −∞
（12） df (t) + f (3t ) − 2 e− jt ；
dt
（14） f (t) u(t)
（16） (t − 2) f (t)e j2(t−3)
解：（1） f 2 (t) + f (t) = f (t). f (t) + f (t) ↔ 1 [F (w}* F (w)] + F (w)
又 f (t) = 2 + cos⎜⎛ 2πt ⎟⎞ + 4sin⎜⎛ 5πt ⎟⎞
⎝3⎠
（7） (1 − t) f (1 − t) ；
（2） [1 + m f (t)]cosω0 t
（4） (t + 2) f (t)； ( ) （6） e− jω0 t df t
dt
（8） f (t)∗ f (t − 3)；
t
（9） ∫τ f (τ )dτ −∞
1−t / 2
（11） ∫ f (τ )dτ −∞
2π (sin π t )2 ↔ 2π (1− ⎜w⎜)[ε(w + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
即 (sin π t )2 ↔ (1− ⎜w⎜)[ε(ω + 2π ) − ε(w − 2π )]
πt
2π
（3）双边指数信号
∵ e−a⎜t⎜
↔
2a a2 + w2
(−∞
<
t
<
+∞)
∴ 2a a2 + w2
（13） f (t)∗ Sa(2t) （15） t df (1 − t)
dt
t+5
（10） ∫ f (τ )dτ −∞
（12） df (t) + f (3t ) − 2 e− jt ；
dt
（14） f (t) u(t)
（16） (t − 2) f (t)e j2(t−3)
解：（1） f 2 (t) + f (t) = f (t). f (t) + f (t) ↔ 1 [F (w}* F (w)] + F (w)
又 f (t) = 2 + cos⎜⎛ 2πt ⎟⎞ + 4sin⎜⎛ 5πt ⎟⎞
⎝3⎠
第一章 信号与系统概论(3)
• 信号正交分解的核心是把信号分解为完备、正交、 把信号分解为完备、正交、 把信号分解为完备 能量归一的基信号集合中的各个基信号的加权和， 能量归一的基信号集合中的各个基信号的加权和 它非常有益于信号分析和理解。 • 原则上有无穷多个 无穷多个这样的正交分解。 无穷多个 • 最常用的是傅里叶级数分解、傅里叶变换和拉普 傅里叶级数分解、 傅里叶级数分解 拉斯变换。 拉斯变换 • 傅里叶级数是把周期信号分解成无穷多个谐波正 弦信号的加权和；傅里叶变换就是把非周期信号 分解成无穷多个频率间隔无穷小的复正弦信号的 加权和；而拉普拉斯变换就是把信号分解成无穷 多个复指数信号的加权和。 • 其它的典型例有小波分解，主分量分析 小波分解， 小波分解 主分量分析等。
因果系统的判断
向右平移（即延迟）是因果的，而向左平移 1. 向右平移（即延迟）是因果的 （即超前）、翻转（即时间倒转）和尺度运算 都是非因果的，因为超前和时间倒转都会使将 来发生的事情先于现在出现； 乘法和加法运算是因果的； 2. 乘法和加法运算是因果的 3. 微分是非因果的，因为它与将来时刻的信号值 有关；下限为的积分运算是因果的，因为它与 下限为的积分运算是因果的， 下限为的积分运算是因果的 将来时刻的信号值无关；但正如例1-5f所证， 将来时刻的信号值无关 下限为零的积分却是非因果的； 所有即时映射都是因果的； 4. 所有即时映射都是因果的 5. 电路和描述实际物理系统的微分方程都是因果 因为它们都是物理可实现的。 的，因为它们都是物理可实现的。
1. 2. 3. 4.
系统稳定性
• 一般的稳定性判断相当复杂，它与所讨论 问题有关，往往需使用特定领域中的特定 判断方法。 • 本书仅限于讨论其中最简单系统的，尤其 是LTIV LTIV系统的稳定性。 LTIV • 我们将在第二章和第四章分别证明，LTIV LTIV 系统稳定的充要条件是： 系统稳定的充要条件是：系统冲激响应绝 对可积， 对可积，或等价地，系统传递函数的极点 系统传递函数的极点 都在左半S平面。 都在左半S平面
因果系统的判断
向右平移（即延迟）是因果的，而向左平移 1. 向右平移（即延迟）是因果的 （即超前）、翻转（即时间倒转）和尺度运算 都是非因果的，因为超前和时间倒转都会使将 来发生的事情先于现在出现； 乘法和加法运算是因果的； 2. 乘法和加法运算是因果的 3. 微分是非因果的，因为它与将来时刻的信号值 有关；下限为的积分运算是因果的，因为它与 下限为的积分运算是因果的， 下限为的积分运算是因果的 将来时刻的信号值无关；但正如例1-5f所证， 将来时刻的信号值无关 下限为零的积分却是非因果的； 所有即时映射都是因果的； 4. 所有即时映射都是因果的 5. 电路和描述实际物理系统的微分方程都是因果 因为它们都是物理可实现的。 的，因为它们都是物理可实现的。
1. 2. 3. 4.
系统稳定性
• 一般的稳定性判断相当复杂，它与所讨论 问题有关，往往需使用特定领域中的特定 判断方法。 • 本书仅限于讨论其中最简单系统的，尤其 是LTIV LTIV系统的稳定性。 LTIV • 我们将在第二章和第四章分别证明，LTIV LTIV 系统稳定的充要条件是： 系统稳定的充要条件是：系统冲激响应绝 对可积， 对可积，或等价地，系统传递函数的极点 系统传递函数的极点 都在左半S平面。 都在左半S平面
信号与系统课后答案第三章作业答案
初始为 0， C2 -4
y f (t) -4e3tu(t) 4e2tu(t)
全响应= yx (t)+y f (t) 4e2tu(t)-2e3tu(t)
3-2 描述某 LTI 系统的微分方程为
d2 y(t) dt 2
3dy(t) dt来自2y(t)
df (t) dt
6
1
1
(2e1 e1 et ) u(t)
e1(2 et ) u(t)
（2）
f
(t)
a[u(t
s) 2
u(t
2)]
h(t) b[u(t 2) u(t 3)]
f
(t)
h(t)
ab[(t
1 2
)
u(t
1 2
)
(t
1 2
)
u(t
1) 2
tu(t)
1 4
(et
e3t
)u(t)
1 2
t
e3tu(t)
[
1 4
et
(
1 2
t
1 4
)e3t
]u
(t)
3-19 一 个 LTI 系 统 ， 初 始 状 态 不 祥 。 当 激 励 为 f (t) 时 其 全 响 应 为
(2e3t sin 2t)u(t) ；当激励为 2 f (t) 时其全响应为 (e3t 2sin 2t)u(t) 。求
（1） 初始状态不变，当激励为 f (t 1) 时的全响应，并求出零输入相应、
零状态响应； （2） 初始状态是原来的两倍、激励为 2 f (t) 时系统的全响应。
信号与系统第三章习题答案
d (t - 1) « e- jw
\ e-2( t -1)d (t - 1) « e- jw
(8) U (t ) - U (t - 3) Q 根据傅里叶变换的线性性质可得： 1 U (t ) « p d (w ) + jw 1 U (t - 3) « e - j 3w (p d (w ) + ) jw \ U (t ) - U (t - 3) « ( 1- e - j 3w )(p d (w ) + 1 ) jw
U (t - 1) « e - jw (pd (w ) +
t 1 U ( - 1) « 2e - j 2w (pd (2w ) + ) 2 j 2w Q d (aw ) = 1 d (w ) a
\ 2e- j 2wpd (2w ) = 2pd (2w )w =0 = pd (w ) \ 2e - j 2w (pd (2w ) +
e - jtd (t - 2 ) « e - j 2(w +1)
(6) e -2( t -1)d (t - 1) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 可得： e -2( t -1)d (t - 1) = d (t - 1) d (t ) « 1 (t = 1)
d F ( jw ) - 2 F ( jw ) dw
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t ) y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
（1） 求系统的频率响应 H（jw）和冲激响应 h（t） ； （2） 若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，求系统的零状态响应 y f (t ) 。 解： 方程 1：
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
4 / 75
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台
于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
《信号与系统》课件第1章 (3)
41
4. 指数信号 指数信号的一般数学表达式为
f(t)=Aest
根据式中s的不同取值，可以分下列两种情况讨论： (1) s=σ时，此时为实指数信号，即
(1-23)
f(t)=Aeσt
(1-24)
当σ>0时，信号呈指数规律增长；当σ<0时，信号随指数规律
衰减；当σ=0时，指数信号变成恒定不变的直流信号，如图1-
16所示。
42
图1-16 实指数信号
43
(2) s=σ+jω，此时为复指数信号。利用欧拉公式，可以进 一步表示为
(1-25) 可见，复指数信号的实部和虚部都是振幅按指数规律变化的 正弦振荡，当σ>0(σ<0)时，其实部和虚部的振幅按指数规律增 长(衰减)；当σ=0时，复指数信号变为虚指数信号
(1-26) 此时信号的实部和虚部都是等幅振荡的正弦波。复指数信号 虚部的波形如图1-17所示。
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
若f(t)在t=t0时连续，则有
f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)
(1-16) (1-17)
36
对上面两式取积分，可得到下面两个重要的积分结果: (1-18) (1-19)
式(1-19)说明，δ(t)函数可以把信号f(t)在某时刻的值采样(筛选) 出来，这就是δ(t)的筛选性。
11
图1-4 非周期能量信号
12
图1-5 非周期功率信号
13
图1-6 非功率非能量信号
14
1.2.2 几种常用的基本信号 1. 单位斜变信号 斜变信号是指从某一时刻开始随时间成正比例增加的信
号。斜变信号也称斜坡信号。若斜变信号增长的变化率为1， 斜变的起始点发生在t=0时刻，就称其为单位斜变信号(如图 1-7所示)，其数学表达式为
4. 指数信号 指数信号的一般数学表达式为
f(t)=Aest
根据式中s的不同取值，可以分下列两种情况讨论： (1) s=σ时，此时为实指数信号，即
(1-23)
f(t)=Aeσt
(1-24)
当σ>0时，信号呈指数规律增长；当σ<0时，信号随指数规律
衰减；当σ=0时，指数信号变成恒定不变的直流信号，如图1-
16所示。
42
图1-16 实指数信号
43
(2) s=σ+jω，此时为复指数信号。利用欧拉公式，可以进 一步表示为
(1-25) 可见，复指数信号的实部和虚部都是振幅按指数规律变化的 正弦振荡，当σ>0(σ<0)时，其实部和虚部的振幅按指数规律增 长(衰减)；当σ=0时，复指数信号变为虚指数信号
(1-26) 此时信号的实部和虚部都是等幅振荡的正弦波。复指数信号 虚部的波形如图1-17所示。
f(t)δ(t)=f(0)δ(t)
若f(t)在t=t0时连续，则有
f(t)δ(t－t0)=f(t0)δ(t－t0)
(1-16) (1-17)
36
对上面两式取积分，可得到下面两个重要的积分结果: (1-18) (1-19)
式(1-19)说明，δ(t)函数可以把信号f(t)在某时刻的值采样(筛选) 出来，这就是δ(t)的筛选性。
11
图1-4 非周期能量信号
12
图1-5 非周期功率信号
13
图1-6 非功率非能量信号
14
1.2.2 几种常用的基本信号 1. 单位斜变信号 斜变信号是指从某一时刻开始随时间成正比例增加的信
号。斜变信号也称斜坡信号。若斜变信号增长的变化率为1， 斜变的起始点发生在t=0时刻，就称其为单位斜变信号(如图 1-7所示)，其数学表达式为
信号与系统课后习题与解答第三章
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为Te jE e jE e jEe jEt f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛==n tjn n tjn ne n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω 将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
信号与系统第三版课后习题答案
信号与系统第三版课后习题答案信号与系统第三版课后习题答案信号与系统是电子信息类专业中一门重要的基础课程，它是研究信号的产生、传输、处理和识别的学科。
在学习这门课程时，课后习题是非常重要的，它可以帮助我们巩固所学的知识，并且提高解决问题的能力。
下面是信号与系统第三版课后习题的答案。
第一章：信号与系统的基本概念1. 信号是指随时间、空间或其他独立变量的变化而变化的物理量。
系统是指能够对输入信号进行处理并产生输出信号的物理设备或数学模型。
2. 连续时间信号是在连续时间范围内定义的信号，可以用连续函数表示。
离散时间信号是在离散时间范围内定义的信号，可以用数列表示。
3. 周期信号是指在一定时间间隔内重复出现的信号，具有周期性。
非周期信号是指不具有周期性的信号。
4. 奇对称信号是指关于原点对称的信号，即f(t)=-f(-t)。
偶对称信号是指关于原点对称的信号，即f(t)=f(-t)。
5. 系统的线性性质是指系统满足叠加原理，即对于输入信号的线性组合，输出信号也是这些输入信号的线性组合。
6. 系统的时不变性质是指系统对于不同时间的输入信号，输出信号的特性是不变的。
7. 系统的因果性质是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号，而不依赖于未来的输入信号。
第二章：连续时间信号与系统的时域分析1. 奇偶分解是将一个信号分解为奇对称和偶对称两个部分的过程。
奇偶分解的目的是简化信号的处理和分析。
2. 卷积是信号处理中常用的一种操作，它描述了两个信号之间的相互作用。
卷积的定义为：y(t) = ∫[x(τ)h(t-τ)]dτ。
3. 系统的冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。
冲激响应可以用来描述系统的特性和性能。
4. 系统的单位阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。
单位阶跃响应可以用来描述系统的稳定性和响应速度。
5. 系统的单位斜坡响应是指系统对于单位斜坡信号的输出响应。
单位斜坡响应可以用来描述系统的积分特性。
信号与系统第三章
T
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
内，对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交 函数集。这里
sin x S a ( x) x
称为抽样函数。
15
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
三角函数的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 函数的对称性与傅里叶系数的关系
设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个实变函数
(信号)，若在(t1, t2)区间上有
t2
t1
f1 (t ) f 2 (t )dt 0
则称 f1(t)和f2(t) 在(t1, t2)内正交。
8
诸燕平
2015年春
X
信号与系统—signals and systems
若f1(t)，f2(t), …, fn(t)定义在(t1, t2)区间上，并且在 (t1, t2) 内有
这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级 数收敛的充分条件。相当广泛的信号都能满足这 两组条件中的一组，因而用傅里叶级数表示周期 信号具有相当的普遍适用性。
Signals that violate the Dirichlet conditions
(b) the periodic signal of eq. x(t)=sin(2π/t) which violates the second Dirichlet condition
（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间 断点的数目应该是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应 是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的，即 t T t f (t ) dt 等于有限值（T1为周期）
信号与系统第3章习题和重点
ZB
3-26
已知 f (t) = f1(t) + f2(t)的频谱密度函数 F(ω) = 4Sa(ω) − j
4
ω
，
为偶函数， 为奇函数， 且 f1(t)为偶函数， f2(t)为奇函数，试求 f1(t)和 f2(t) 。 解：由题意知
f1(t) ↔4Sa(ω) = AτSa( 2 ∴f1(t) = 2g2(t)
F = n 1 T 1 T
∫ ∫
3T 4 T 4
f (t)e− jnω0tdt
L − 2 L 2 2 2 −2T −T 0 T 2T t
() 1
− jnω0 T 2 ) = 1 (1−e− jnπ )
−
=
T 1 δ (t) −δ (t − )e− jnω0tdt = (1−e T 2 T − 4
0
T
ZB
3-4 已知周期信号 f (t)的前四分之一周期的波形如图所 且其余每一段四分之一周期的波形要与之相同， 示，且其余每一段四分之一周期的波形要与之相同，试 整个周期的波形。 就下列情况分别画出 f (t)整个周期的波形。 为偶函数， 解：(1) f (t)为偶函数，且只含偶次谐波
f (t)
∞
F(ω) =
∫ = e e ∫
=
−∞ 0 2t − jωt
e2tε(−t)e− jωtdt dt
−∞ (2− jω)t 0 e
2 − jω −∞
ZB
1 = 2 − jω 《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
3-19 设 f (t) ↔F(ω) ，试证： 试证： （1） ∫ ∞ f (t)dt = F(0) ） −
解： (2) 为非周期信号 T →∞
信号与系统-第三章习题讲解
E
[Sa2 (
0
)e
j
( 0 2
)
Sa2 (
0
)e
j
( 0 2
)
]
4
4
4
3 39决 定 下 列 信 号 的 最 低 抽 样 频 率 与 奈 奎 斯 特 间 隔 ： (1) : S a (1 0 0 t ); ( 2 ) : S a 2 (1 0 0 t )； (3 ) : S a (1 0 0 t ) S a (5 0 t ); ( 4 ) : S a (1 0 0 t ) S a 2 (6 0 t )
故 f ( t ) 2 E 1 s i n ( n t ) 2 E 1 s i n ( n 2 t )
n n 1 . 3 . 5 . . .
n n 1 . 3 . 5 . . .
T
= 2 E [sin ( t) 1 sin (3 t) 1 sin (5 t) ...]
1 2
[ (
0 ) (
0 )]* [
1 j
( )]
11
[
2 j( 0 )
j(
1
] 0)
2
[
(
0)
(
0 )]
j
2 0
2
2
[
(
0)
(
0 )]
单边正弦函数的傅立叶变换为：
F [sin( 0t)u (t)]
1 2
F T [sin( 0t)]* F T [u (t)]
1 2
0
b n
2 T1
T1 0
f
(t ) s in ( n 1t ) d t
2[
T 2
E
sin (n t)d t
信号与系统第二章(3)卷积积分
y(t) 1 f1(τ ) f2( t - ) τ y(3)
0 (e) t >3
3
t
τ
0 (f )
3
t
例2 求下图所示函数 f1(t )和 f2 (t )的卷积积 分.
2
f1 (t ) f 2 (t )
3 4
2
0 2
2
f1 (τ )
t
0
2
f 2 ( τ )
3 4
t
解(1) )
2
0
2
τ -2
0
τ
(2) )
由前面分析知: 由前面分析知:
y zs (t ) = ∫ f (τ )h(t τ )dτ
0
tHale Waihona Puke = f (t ) h(t )
这是求解零状态响 应的另一种方法. 应的另一种方法
二,卷积的图示法
第一步, 波形,将波形图中的t轴 第一步,画出 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 波形,将波形图中的 轴 ) 改换成τ轴 的波形. 改换成 轴,分别得到 f1 ( τ) f 2 ( τ的波形. 和 第二步, 波形以纵轴为中心轴翻转180° 第二步,将 f 2 (τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°, 波形. 得到 f 2 ( τ)波形. 第三步,给定一个t值 波形沿τ轴平移 轴平移|t|. 第三步,给定一个 值,将 f 2 ( τ) 波形沿 轴平移 . 在t<0时, 波形往左移;在t>0时,波形 时 波形往左移; 时 往右移. 的波形. 往右移.这样就得到了 f 2 ( t τ) 的波形.
2
2
-1
0
t
f2 (t )
1
-1
0
1
《信号与系统》第3章
信号与系统讲稿
• 这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一 些特殊情形下应用的三角级数方法发展 成内容丰富的一般理论，三角级数后来 就以傅里叶的名字命名。 • 《热的解析理论》影响了整个19世纪分 析严格化的进程。
信号与系统讲稿
3.1
周期性信号的频域分析
教学目标：掌握周期性信号频谱的概念， 会用傅里叶级数表示周期信号。
或 E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa 2 n 1
Cos( n1t )
若将展开指数形式的傅里叶级数，由式（8）可得：
1 Fn T1
T1 2 T 1 2
Ee
ห้องสมุดไป่ตู้
jn1t
E n1 dt Sa T1 2
幅度谱cn和相位谱 见书P104页。
特别注意：书P103 1． 2． 3． P105 “对称方波信号有两个特点： （1）它是正负交替的信号，其直流分量（a0 等于零。 （2） 它的脉宽等于周期的一半，即 ”
信号与系统讲稿 第三章
）
信号与系统讲稿
二． 三． 四． 五．
周期锯齿脉冲信号（书P106，自学） 周期三角脉冲信号（书P106，自学） 周期半波余弦信号（书P108，自学） 周期全波余弦信号（书P108，自学）
n 1
a0 d0 2 dn
2 2 an bn 1
n tg
an bn
n次谐波的初相角
信号与系统讲稿
三． 频谱的概念
f ( t )为时间函数，而c0、cn、n为频率函数， 所以，信号从用时间函数来表达过渡到用频率函 数来表达。 1. 幅度频谱：cn 随频率变化的情况用图 来表示就叫幅度频谱。 2. 相位频谱：n随频率变化的情况用图 来表示就叫相位频谱。
信号与系统第三章(陈后金)3.
离散时间LTI系统的响应
3. 卷积法: 系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应
y[k] yzi [k] yzs [k] yzi [k] x[k]* h[k]
✓ 求解齐次差分方程得到零输入响应
✓ 利用信号分解和线性非时变特性可求出 零状态响应
一、零输入响应
定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系 统的初始状态单独作用而产生的输出响应。
离散时间LTI系统的响应
1. 迭代法
n
m
ai y[k i] bj x[k j]
i0
j0
已知 n 个初始状态{ y[1], y[2], y[2],∙∙∙∙, y[n] } 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。
n
m
y[k] ai y[k i] bj x[k j]
C2
1 2
解得 C1=1，C2= 2
yzi [k] (1)k 2(2)k k 0
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+4y[k1]+4y[k2]=x[k]
解： (2) 求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] =x[k]的特解yp[k]
由输入x[k]的形式，设方程的特解为
yp[k] Ak2k , k 0
将特解带入原差分方程即可求得常数A= 2。
[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程
y[k]5y[k1]+6y[k2] = x[k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = 1，输入信号 x[k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。
1) 若初始条件不变，输入信号 x[k] = sin0 k u[k]，
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• ②取样频率不能过低，必须满足ωs≥2ωm即 (fs≥2fm)；或者说取样间隔不能太长，必须 满足 ，否则将发生混叠。
图3.42 矩形脉冲取样
• (2)矩形冲激取样信号 • 若单位周期矩形脉冲为：
• 3.5.2 时域取样定理
图3.43 由取样信号恢复连续信号
图3.32 线性失真
图3.33 非线性失真
• (2)无失真传输条件 y(t)=Kf(t-td)
(3.98)
• ①在全部频率范围内，系统的幅频特性|H(jω) 应为一常数，即系统的通频带应为无穷大；
• ②系统相频特性θ(ω)应为通过原点的直线， 即θ(ω)应与ω成正比，如图3.34所示。
图3.34 无失真传输的条件
• 3.3.3 非周期信号频谱 • (1)傅立叶变换的定义
图3.19
• (2)典型信号的频谱分析 • 1)矩形脉冲频谱图
• 其相位频谱函数为
图3.20 三角形脉冲频谱
• 2)三角形脉冲
• 3)单边实指数脉冲
图3.21 单边实指数脉冲频谱
• 4)双边实指数脉冲
图3.22 双边指数脉冲及其频谱
• ③简谐信号容易产生、传输和处理。 • ④三角函数 ( 或指数函数 ) 信号通过线性时 不变系统后，仍为三角函数 ( 或指数函数 ) 信号，其重复频率不变，只是幅度和相位 发生变化，给计算和处理带来方便。 • ⑤三角函数和指数函数的加、减、乘、微 分和积分运算后仍然是三角函数和指数 函数。
• 3.2.3 奇、偶函数的傅立叶系数 • (1)f(t)为偶函数
图3.28 单位阶跃信号及其频谱
图3.29 高斯脉冲及其频谱
• (3)傅立叶变换的性质及其应用 • 1)线性性质
• 2)奇偶性
• 3)对称性
• 4)尺度变换
• 5)时移性
• 6)频移性
• 7)卷积定理 • ①时域卷积定理 若 • 则 • 上式表明，在时域中两函数的卷积积分对 应于频域中就是两函数频谱的乘积。 • 即 • ②频域卷积定理 若
• 则 • 8)时域微分和积分性质 • ①时域微分性质
• ②时域积分性质
图3.30 梯形信号及其求导波形
• 9)频域微分和积分 • ①频域微分性质
• ②频域积分性质
• 3.4 LTI系统的频域分析 • 3.4.1 系统的频率响应
图3.31 时域和频域分析图
• 3.4.2 信号的无失真传输 • (1)失真的概念
• 5)符号函数
• 6)单位冲激函数
图3.23 符号函数及其频谱
• 单位冲激函数频谱函数为 F(ω)=1
• 7)直流信号
Байду номын сангаас
图3.24 单位冲激函数及其频谱
图3.25 直流信号及其频谱
• 8)虚指数信号
图3.26 虚指数信号的频谱
• 9)单位阶跃信号
图3.27 正弦和余弦函数的频谱
• 10)高斯脉冲
图3.35 理想低通滤波器幅频、相频特性
• 3.4.3 理想低通滤波器的 特性
• 3.4.4 物理可实现系统对 系统函数的要求
图3.36 理想低通滤波器的冲激响应
图3.37 二阶低通滤波器及其频谱函数、冲激响应、阶跃响应
• 该二阶低通滤波器的冲激响应为
• 该二阶低通滤波器的阶跃响应为
• 佩利-维纳准则表明： • ①幅频特性可以在某些孤立点上为零，但不 能在某一段有限频带内为零。因为，如果在 此频带范围内|ln|H(jω)||→∞,从而不满足式 (3.104),这样的系统是非因果的。可见，所有 的理想滤波器都是物理不可实现的。
第3章 连续信号与系统的频域分析
• 3.1 信号在正交函数空间的分解 • 3.1.1 矢量的正交与分解 • (1)矢量的正交
图3.1 两矢量正交
图3.2 矢量的近似表示
• (2)矢量的分解
图3.3 矢量的分解
图3.4 误差矢量
• 3.1.2 正交函数集
• 3.1.3 信号的正交函数分解
• 3.2 周期信号的连续时间傅立叶级数 • 3.2.1 三角型傅立叶级数
• (2)周期矩形脉冲的频谱
图3.14 周期矩形脉冲信号
图3.15 周期矩形脉冲频谱(T=4τ )
图3.16 脉冲宽度与频谱的关系
图3.17 周期与频谱的关系
• • • • •
综上可得，周期信号的频谱具有如下特点： ①离散性 ②谐波性 ③收敛性 3.3.2 周期信号的功率谱分析
图3.18 矩形脉冲信号的频谱
• ②如果|H(jω)|比指数阶函数衰减得更快，则 式(3.104)将为无限大，这种幅频特性的滤波 器也是物理不可实现的。 • 3.5 取样定理 • 3.5.1 信号取样
图3.38 信号取样的实际过程
图3.39 信号的取样
• (1)冲激取样信号
图3.40 冲激取样
图3.41 混叠现象
• ①f(t) 必须是带限信号，即在 |ω|>ωm 时其频 谱F(jω)=0；
图3.9 偶函数
• (2)f(t)为奇函数
图3.10 奇函数
图3.11 奇谐函数
• (3)f(t)为奇谐函数 • 3.3 周期信号与非周期信号的频谱分析
图3.12 电压信号
• 3.3.1 周期信号的频谱分析 • (1)周期信号的频谱
图3.13 周期信号的频谱
• 绘制信号频谱图时必须注意下面几点： • 1)F0=A0, 但当n≠0时，|Fn|= ; • 2)三角形傅立叶级数必须统一用余弦函数来 表示； • 3)由于An表示振幅，故An≥0； • 4)当f(t)是实信号时，双边幅度频谱|Fn|是nω0 的偶函数，双边相位频谱φn是nω0的奇函数； • 5)为了使图形清晰，采用竖线代替点的办法 来表示相应幅度或相位的数值，称为谱线， 谱线只在基波的整倍数处出现。
图3.5 方波信号
• 3.2.2 指数型傅立叶级数
图3.6 方波信号的合成
图3.7 周期矩形脉冲信号
图3.8 抽样函数Sa(x)
• 对于某给定信号，可以选择各种可能的完 备正交函数集来表示。但三角函数集和虚 指数函数集是最重要、最方便的，这是因 为它们具有以下一些显著的优点。 • ①三角函数和指数函数是自然界中最常见、 最基本的函数。 • ②三角函数和虚指数函数是简谐函数，用 它们表示信号，就自然建立了时间和频率 这两个基本物理量之间的联系。很多系统 (例如滤波器、信息传输信道等)的特性主要 是由频域特性来描述的。