2009年江西省数学中考压轴题赏析

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2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(五)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（五）49.（09年某某某某）24．已知：直角梯形OABC 的四个顶点是O (0，0)，A (32，1)， B (s ，t )，C (72，0)，抛物线y =x 2＋mx －m 的顶点P 是直角梯形OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．(1)求s 与t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC ； (2)当抛物线y =x 2＋mx －m 与直角梯形OABC 的边AB 相交时，求m 的取值X 围．（09年某某某某24题解析）（1）如图，在坐标系中标出O∵∠AO C≠90°， ∴∠ABC =90°，故BC ⊥OC ， BC ⊥AB ，∴B （72，1）．（1分，）即s =72，t =1．直角梯形如图所画．（2分）（大致说清理由即可）（2）由题意，y =x 2+mx －m 与 y =1（线段AB ）相交，得，12y =x mx m,y =.+-⎧⎨⎩ （3分）∴1＝x 2+mx －m ，由 (x －1)(x +1+m )=0，得121,1x x m ==--． ∵1x =1<32，不合题意，舍去．（4分）∴抛物线y =x 2+mx -m 与AB 边只能相交于（2x ，1）， ∴32≤－m －1≤72，∴9252m --≤≤ ． ①（5分）又∵顶点P (2424,m m m +--)是直角梯形OABC 的内部和其边上的一个动点，∴7022m ≤-≤，即70m -≤≤ ． ② （6分）∵2224(2)4(1)44211m m m m ++-+-=-=-+≤，（或者抛物线y =x 2+mx －m 顶点的纵坐标最大值是1） ∴点P 一定在线段AB 的下方．（7分）又∵点P 在x 轴的上方， ∴2440m m +-≥，(4)0,m m +≤∴0,0,4040m m m m ≤≥+≥+≤⎧⎧⎨⎨⎩⎩或者．（*8分）4(9)0. m ∴-≤≤分③（9分）又∵点P 在直线y =23x 的下方，∴242()432m m m +-≤⨯-，（10分）即(38)0.m m +≥0,0,380380.m m m m ≤≥+≤+≥⎧⎧⎨⎨⎩⎩或者（*8分处评分后，此处不重复评分） 80.3m m ∴≤-≥(11分)，或④由①②③④ ，得4-≤83m ≤-．（12分）说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理． 50.（09年某某某某）（本题答案暂缺）26．（本题满分10分）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）某某数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．51.（09年某某某某）26．如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）（09年某某某某26题解析）解：（1）CD =BE ．理由如下: 1分 ∵△ABC 和△ADE 为等边三角形∴AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠EAD =60o ∵∠BAE =∠BAC －∠EAC =60o －∠EAC ，y OxC NBPM A图9 图10 图11∠DAC =∠DAE －∠EAC =60o －∠EAC ， ∴∠BAE=∠DAC ，∴△ABE ≌△ACD 3分∴CD=BE ··································································· 4分（2）△AMN 是等边三角形．理由如下： ······················ 5分 ∵△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE =∠ACD ． ∵M 、N 分别是BE 、CD 的中点， ∴BM =1122BE CD CN == ∵AB=AC ，∠ABE=∠ACD ， ∴△ABM ≌△A ． ∴AM=AN ，∠MAB=∠NAC ．6分∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o ∴△AMN 是等边三角形．7分设AD=a ，则AB=2a ． ∵AD=AE=DE ，AB=AC ，∴CE=DE ．∵△ADE 为等边三角形， ∴∠DEC=120 o ，∠ADE=60o ， ∴∠EDC =∠ECD =30o ， ∴∠ADC =90o ．8分 ∴在Rt △ADC 中，AD=a ，∠ACD =30 o ， ∴CD．∵N 为DC 中点，∴DN =，∴AN =．9分 ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形，∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(:222===a a a 10分解法二：△AMN 是等边三角形．理由如下： ························································· 5分∵△ABE ≌△ACD ，M 、N 分别是BE 、的中点，∴AM=AN ，NC=MB ． ∵AB=AC ，∴△ABM ≌△A ，∴∠MAB=∠NAC ， ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC =60o∴△AMN 是等边三角形 ·············································································· 7分图11CNDABME设AD=a ，则AD =AE =DE = a ，AB =BC =AC =2a 易证BE ⊥AC ，∴BE =a a a AE AB 3)2(2222=-=-，∴EM =∴a a a AE EM AM 27)23(2222=+=+= ∵△ADE ，△ABC ，△AMN 为等边三角形∴S △ADE ∶S △ABC ∶ S △AMN 7:16:447:4:1)27(:)2(:222===a a a 10分52.（09年某某某某）27．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1），且P （1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．（09年某某某某27题解析）（1）设正比例函数解析式为y kx =，将点M （2-，1-）坐标代入得12k，所以正比例函数解析式为12y x 2分同样可得，反比例函数解析式为2y x3分（2）当点Q 在直线DO 上运动时，设点Q 的坐标为1()2Q m m ，， 4分于是211112224OBQ S OB BQ m m m △，而1(1)(2)12OAP S △，所以有，2114m ，解得2m =±6分所以点Q 的坐标为1(21)Q ，和2(21)Q ，7分（3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．8分因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n，，由勾股定理可得222242()4OQ n nn n，所以当22()0nn即20nn时，2OQ 有最小值4，又因为OQ 为正值，所以OQ 与2OQ 同时取得最小值，所以OQ 有最小值2．9分由勾股定理得OP OPCQ 周长的最小值是2()2(52)254OP OQ ． ···················································· 10分53.（09年某某某某）26、（本小题满分9分）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．（09年某某某某26题解析）（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ；如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：54.（09年某某某某）26．（本题满分10分）图12（1）图12（2）图12（3）24))4<≤a如图12，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．（1）当t 为何值时，四边形P ABQ 是等腰梯形，请写出推理过程；（2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．（09年某某某某26题解析）解：（1）如图4，过B 作BG OA G ⊥于，则222212151016913AB BG GA =+=+-==（）（1分）过Q 作，于H OA QH ⊥则2222212102)144(103)QP QH PH t t t =+=+--=+-（（2分）要使四边形P ABQ 是等腰梯形，则AB QP =，即,13)310(1442=-+tt ∴53=或5t =（此时PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去）（3分）（2）当2=t 时，410282OP CQ QB ==-==，，。

2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(三)

第23题图（1）第23题图（2）2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（三）（2009年某某省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么X 围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．【解】）23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．……………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -= 销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，）当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分（2009年某某省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.25．（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ······ 1分∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ··· 2分A D EBFC图4（备用）AD EBFC图5（备用）A D E BF C图1 图2 A D EBFC PNM 图3A D EBFCPN M（第25题）图1A D E BF CG∴112BG BE EG ====，即点E 到BC··········· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·························· 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ············ 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··························· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··········· 8分图2A D E BF CPNMG H当MP MN =时，如图4，这时3MC MN MP ===．此时，61353x EP GM ===--=-．当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或()53-时，PMN △为等腰三角形． ······ 10分（2009年某某某某）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(二)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（二）13.（09年某某某某）25．（本题满分10分）已知：如图，直线l ：13y x b =+，经过点104M ⎛⎫⎪⎝⎭，，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3)()n n B y B y B y B n y ，，，，，，，，（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：11223311(0)(0)(0)(0)n n A x A x A x A x ++，，，，，，，，（n 为正整数），设101x d d =<<（）．（1）求b 的值；（2分）（2）求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（4分）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当01d d <<（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．（4分）（09年某某某某25题解析）解：（1）∵104M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在13y x b =+上，∴11043b =⨯+，∴14b =．2分（2）由（1）得：1134y x =+，∵11(1)B y ，在l 上，（第25题图）∴当1x =时，111713412y =⨯+=，∴17112B ⎛⎫⎪⎝⎭，． ·············································· 3 分解法一：∴设抛物线表达式为：27(1)(0)12y a x a =-+≠，4分又∵1x d =， ∴1(0)A d ，，∴270(1)12a d =-+，∴2712(1)a d =--，5 分 ∴经过点112A B A 、、的抛物线的解析式为：2277(1)12(1)12y x d =--+-．6 分解法二：∵1x d =，∴1(0)A d ，，2(20)A d -，， ∴设()(2)(0)y a x d x d a =--+≠，4 分把17112B ⎛⎫⎪⎝⎭，代入：7(1)(12)12a d d =--+，得2712(1)a d =--，5 分 ∴抛物线的解析式为27()(2)12(1)y x d x d d =---+-．6 分（3）存在美丽抛物线．7 分由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵01d <<，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于 1．∵当1x =时，1117113412y =⨯+=<，当2x =时，21111213412y =⨯+=<，当3x =时，3111311344y =⨯+=>，∴美丽抛物线的顶点只有12B B 、． ···································································· 8分 ①若1B 为顶点，由17112B ⎛⎫⎪⎝⎭，，则7511212d =-=； ·············································· 9分 ②若2B 为顶点，由211212B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则11111211212d ⎡⎤⎛⎫=---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，综上所述，d 的值为512或1112时，存在美丽抛物线． ··········································· 10分 14.（09年某某某某）23．本题满分 11 分．（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）如图 12，已知直线L 过点(01)A ，和(10)B ，，P 是x 轴正半轴上的动点，OP 的垂直平分线交L 于点Q ，交x 轴于点M ．（1）直接写出直线L 的解析式；（2）设OP t =，OPQ △的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；并求出当02t <<时，S 的最大值；（3）直线1L 过点A 且与x 轴平行，问在1L 上是否存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．（09年某某某某23题解析）（1）1y x =- ·························································· 2分（2）∵OP t =，∴Q 点的横坐标为12t ， ①当1012t <<，即02t <<时，112QM t =-， ∴11122OPQ S t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△． ················································································ 3分L 1图12②当2t ≥时，111122QM t t =-=-， ∴11122OPQ S t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭△． ∴1110222111 2.22t t t S t t t ⎧⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩，，，≥ ··········································································· 4分当1012t <<，即02t <<时，211111(1)2244S t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，∴当1t =时，S 有最大值14． ·········································································· 6分（3）由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴，则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，． ····································· 7 分下证90PQC ∠=°．连CB ，则四边形OACB 是正方形．法一：（i ）当点P 在线段OB 上，Q 在线段AB 上（Q 与B C 、不重合）时，如图–1．由对称性，得BCQ QOP QPO QOP ∠=∠∠=∠，， ∴180QPB QCB QPB QPO ∠+∠=∠+∠=°，∴360()90PQC QPB QCB PBC ∠=-∠+∠+∠=°°． ········································ 8分（ii ）当点P 在线段OB 的延长线上，Q 在线段AB 上时，如图–2，如图–3 ∵12QPB QCB ∠=∠∠=∠，， ∴90PQC PBC ∠=∠=°．9分（iii ）当点Q 与点B 重合时，显然90PQC ∠=°．综合（i ）（ii ）（iii ），90PQC ∠=°．∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ·········· 11 分 L 123题图-1法二：由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴，则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，．7 分延长MQ 与1L 交于点N ．（i ）如图–4，当点Q 在线段AB 上（Q 与A B 、不重合）时， ∵四边形OACB 是正方形，∴四边形OMNA 和四边形MNCB 都是矩形，AQN △和QBM △都是等腰直角三角形． ∴90NC MB MQ NQ AN OM QNC QMB ====∠=∠=，，°．又∵OM MP =，∴MP QN =，∴QNC QMP △≌△， ∴MPQ NQC ∠=∠，又∵90MQP MPQ ∠+∠=°， ∴90MQP NQC ∠+∠=°．∴90CQP ∠=°． ·························································································· 8分（ii ）当点Q 与点B 重合时，显然90PQC ∠=°． ················································ 9分（iii ）Q 在线段AB 的延长线上时，如图–5， ∵BCQ MPQ ∠=∠，∠1=∠2 ∴90CQP CBM ∠=∠=°23题图-2L 123题图-1综合（i ）（ii ）（iii ），90PQC ∠=°．∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形．11分法三：由1OA OB ==，所以OAB △是等腰直角三角形，若在1L 上存在点C ，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC =，所以OQ QC =，又1L x ∥轴，则C ，O 两点关于直线L 对称，所以1AC OA ==，得(11)C ，．9分连PC ，∵|1|PB t =-，12OM t =，12t MQ =-，∴22222(1)122PC PB BC t t t =+=-+=-+，2222222211222t t t OQ OP CQ OM MQ t ⎛⎫⎛⎫===+=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴222PC OP QC =+，∴90CQP ∠=°． ························································ 10分 ∴在1L 上存在点(11)C ，，使得CPQ △是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ·········· 11分 15.（09年某某某某）28．如图9，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？23题图-4L 123题图-5BCN MA图9（09年某某某某28题解析）解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△ 68h x ∴= 34x h ∴= ······················································ 3分（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ············································ 4分②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴∥△∽△11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1△A1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<< ···························································· 6分MNCBEFAA 1综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2912248y x x =-+-，取163x =，8y =最大 86>∴当163x =时，y 最大，8y =最大 ···································································· 8分16.（09年某某某某）24．（本题满分12分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．（09年某某某某24题解析）解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°．在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． ··········································· 3分（2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，， 244x x CN -+∴=， ···························································································· 5分N DACBM第24题图NDACBM答案24题图22214114428(2)102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形，当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ································································· 7分（3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=， ··················································· 9分由（1）知AM ABMN MC=， BM MC ∴=，∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．····························· 12分（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）17.（09年某某某某）23．（本题10分）已知：Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB 与x 轴重合（其中OA<OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图11）。

2009年中考数学部分试题亮点展示与评析

2009年中考数学部分试题亮点展示与评析作者：李成康来源：《黑龙江教育·中学教学案例与研究》2009年第11期数学源于生活,生活中处处有数学.我国著名数学家华罗庚教授对数学的各种应用有着精辟阐述:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁等各个方面,无不有数学的重要贡献.”数学是社会生活和生产实践活动的产物,它来源于现实生活,又可用于指导实践活动.随着时代的发展,能用数学的眼光去看待生活,去认识世界,并综合应用数学知识和数学方法处理周围的问题,将成为每个公民的素养.2009年的数学中考试卷中涌现出了不少关注社会生活热点时事类试题,这类试题选材广泛、形式灵活、内容丰富、贴近生活、关注热点、与时俱进、情境新颖、立意独特,具有鲜明的时代特征和地方特色,展示了数学丰富的内涵与广泛的应用价值;使考生倍感亲切温馨,同时提升了学生应用数学的意识和关注社会的责任感.凸现了数学新课程倡导的教学方式,课改精神体现充分,具有较强的导向作用.这类试题重点考查学生从简单的实际问题中抽象出数学模型的能力和应用数学的意识,考查学生的阅读能力、识图能力和推理能力.解题时,需要学生通过分析,从实际问题中抽象出数学模型,转化为数学问题,综合应用数学知识、方法求解.下面我就2009年中考数学试题中的部分亮点——“社会生活热点时事”做具体的展示与评析.一、金融危机问题例1:(2009年浙江省义乌市)尽管受到国际金融危机的影响,但义乌市经济依然保持了平稳增长.据统计,截止到今年4月底,我市金融机构存款余额约为1 193亿元,用科学计数法应记为().A.1.193×1010元B. 1.193×1011元C.1.193×1012元D. 1.193×1013元分析:本例以应对国际金融危机问题作为背景,说明了中央及地方政府应对金融危机的实力,对学生既有数理的考查,又有对国家时事的关注.二、家电下乡问题例2:(2009年黑龙江省牡丹江市)某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召,计划生产A、B两种型号的冰箱100台.经预算,两种冰箱全部售出后,可获得利润不低于 4.75万元,不高于4.8万元,两种型号的冰箱生产成本和售价如下表.(1)冰箱厂有哪几种生产方案?(2)该冰箱厂按哪种方案生产,才能使投入成本最少?“家电下乡”后农民买家电(冰箱、彩电、洗衣机)可享受13%的政府补贴,那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元?(3)若按(2)中的方案生产,冰箱厂计划将获得的全部利润购买3种物品:体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学.其中体育器材至多买4套,体育器材每套6 000元,实验设备每套3 000元,办公用品每套1 800元,把钱全部用尽且3种物品都购买的情况下,请你直接写出实验设备的买法共有多少种?分析:本例是以“家电下乡”作为背景材料的方案设计题,家电下乡政策是深入贯彻落实科学发展观、积极扩大内需的重要举措,是财政和贸易政策的创新突破.对农民购买纳入补贴范围的家电产品给予一定比例(13%)的财政补贴,以激活农民购买能力,扩大农村消费,促进内需和外需协调发展.本例要求学生注意文字与表格相结合,根据题意将建立的函数表达式转换为恰当的不等式组模式,求出未知数的取值范围.然后结合实际问题取其整数解,得出方案设计的种数.选择最优的方案时,其一般解法是根据一次函数的增减性来确定最优方案或者是求出所有方案作比较.此例在考查学生综合处理实际问题能力的同时渗透了热点时事.三、甲型H1N1流感问题例3:(2009年浙江省衢州市)2009年5月17日至21日,甲型H1N1流感在日本迅速蔓延,每天的新增病例和累计确诊病例人数如下图所示.(1)在5月17日至5月21日这5天中,日本新增甲型H1N1流感病例最多的是哪一天?该天增加了多少人?(2)在5月17日至5月21日这5天中,日本平均每天新增加甲型H1N1流感确诊病例多少人?如果接下来的5天中,继续按这个平均数增加,那么到5月26日,日本甲型H1N1流感累计确诊病例将会达到多少人?(3)甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,经过两天传染后共有9人患了甲型H1N1流感,平均每天一个人传染了几个人?如果按照这个传染速度,再经过5天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感?分析:本例以“甲型H1N1流感”问题作为背景,说明了其流感病毒蔓延迅速,危害之大.此例综合考查了学生对统计知识的理解以及在现实生活中的应用.让学生在实际问题情景中,灵活运用统计的基础知识和技能,处理信息,分析和解决问题.解决问题的关键是能从折线统计图中读取数据和处理信息.四、医疗卫生领域问题例4:(2009年浙江省宁波市)2009年4月7日,国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案(2009～2011)》,某市政府决定2009年投入6 000万元用于改善医疗卫生服务,比2008年增加了1 250万元.投入资金的服务对象包括“需方”(患者等)和“供方”(医疗卫生机构等),预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%,投入“供方”的资金将比2008年提高20%.(1)该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元?(2)该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金是多少万元?(3)该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务,若从2009～2011年每年的资金投入按相同的增长率递增,求2009～2011年的年增长率.分析:本例以“改善医疗卫生服务”作为背景材料,说明了中央及各级政府对改善医疗卫生服务的重视程度.增长率问题是关于一元二次方程应用题的中考热点题型,主要考查学生的建模思想,构建方程模型即可迎刃而解.五、两免一补问题例5:(2009年青海省西宁市)为执行“两免一补”政策,某地区2007年投入教育经费2 500万元,预计2009年投入3 600万元.设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x,那么下面列出的方程正确的是().A.2 500x2=3 600B.2 500(1+x%)2=3 600C.2 500(1+x)2=3 600D.2 500(1+x)+2 500(1+x)2=3 600分析:为了“让所有的孩子都能上得起来,都能上好学”,国家自2007年起出台了一系列“资助贫困学生”的政策,其中包括向经济困难的学生免费提供教科书的政策.本例以“两免一补”作为背景材料,主要考查了学生的方程建模思想,同时也让学生了解“两免一补”政策.六、环保问题例6:(2009年湖北省黄石市)全国实施“限塑令”于今年6月1日满1年,某报三名记者当日分别在武汉三大商业集团门口,同时采用问卷调查的方式,随机调查了一定数量的顾客,在“限塑令”实施前后使用购物袋的情况.下面是这三名记者根据汇总的数据绘制的统计图.请你根据以上信息解答下列问题:(1)图1中从左到右各长方形的高度之比为2∶8∶8∶3∶3∶1,又知此次调查中使用4个和5个塑料购物袋的顾客一共24人,问这三名记者一共调查了多少人?(2)“限塑令”实施前,如果每天约有6 000人到该三大商场购物,根据记者所调查的一定数量顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数,估计这三大商业集团每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋?(3)据武汉晚报报道,自去年6月1日到去年12月底,三大商业集团下属所有门店,塑料袋的使用量与上一年同期相比,从12 927万个下降到3 355万个,降幅为(精确到百分之一).这一结果与图2中的收费塑料购物袋%比较,你能得出什么结论,谈谈你的感想.分析:本例以“限塑令”的环保问题作为背景材料,学生只要理解统计中的一些概念,读懂“双统计图(表)”,综合从两个统计图中获取的信息进行求解.考查了学生对图表的处理能力及数据的运算能力,通过对样本的分析来估计总体,会从数据中得到的结论进行合理的想象,教育学生要树立环保意识.七、海峡两岸实现“大三通”问题例7:(2009年福建省宁德市)某刊物报道:“2008年12月15日,两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动,‘大三通’基本实现.‘大三通’最直接好处是省时间和省成本,据测算,空运平均每航次可节省4小时,海运平均每航次可节省22小时,以两岸每年往来合计500万人次计算,则共可为民众节省2 900万小时……”根据文中信息,求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次.分析:本例以“海峡两岸实现大三通”作为背景材料,历经近30年磋商与努力,大陆与台湾通邮、通商、通航的直接三通构想由此基本实现,这是两岸关系发展史上具有里程碑意义的大事,掀开了中华民族历史浓墨重彩的一页.此例考查了学生的方程建模思想,构建二元一次方程组即可求解,同时还向学生渗透了人们所关注的热点大事.八、北京奥运问题例8:(2009年山东省德城市)如下图,2008年奥运火炬在云南省传递,传递路线为“昆明—丽江—香格里拉”,某校学生小明在省地图上设定的临沧市位置点的坐标为(-1,0),火炬传递起点昆明市位置点的坐标为(1,1).如图,请帮助小明确定出火炬传递终点香格里拉位置的坐标为.分析:本例以“2008年北京奥运火炬传递”为背景材料,2008年的北京奥运是众所周知的热点大事.此例能较好地把网格与平面直角坐标系完美地结合在一起,考查学生的数形结合思想,要求学生对“点的坐标”知识理解,通过观察两个已知点的坐标,确定原点,建立平面直角坐标系即可得到香格里拉位置的坐标.九、军事问题例9:(2009年湖北省襄樊市)为打击索马里海盗,保护各国商船的顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛A北偏西并距该岛海里的B处待命.位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击,船长发现在其北偏东的方向有我军护航舰(如下图所示),便发出紧急求救信号.我护航舰接警后,立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处?(结果精确到个位.分析:本例以“打击索马里海盗”为背景材料,考查了学生对“解直角三角形在实际问题中的应用”知识的理解,同时也向学生渗透了我国海军的军事实力.解决问题的关键是构建三角函数模型,把实际问题抽象为几何问题,通过B点作AC的垂线将其转化为解直角三角形的问题.十、农民工再就业问题例10:(2009年湖南省长沙市)为了提高返乡农民工再就业能力,劳动和社会保障部门对400名返乡农民工进行了某项专业技能培训,为了解培训的效果,培训结束后随机抽取了部分参调人员进行技能测试,测试结果分成“不合格”、“合格”、“良好”、“优秀”4个等级,并绘制了如下图所示的统计图,请根据统计图提供的信息,回答下列问题:(1)培训结束后共抽取了名参训人员进行技能测试;(2)从参加测试的人员中随机抽取1人进行技能展示,其测试结果为“优秀”的概率为;(3)估计这400名参加培训的人员中,获得“优秀”的总人数大约是多少?分析:本例以“返乡农民工再就业”为背景材料,体现了政府对返乡农民工的关心.这是一道概率与统计的综合题,考查学生从条形统计图(表)中获取有用的信息,共抽取的人员为40名,“优秀”的概率为,通过对样本的分析来估计总体,得到优秀的总人数为100人.十一、手足口病问题例11:(2009年山东省枣庄市)为预防“手足口病”,某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(分钟)成正比例;燃烧后,y与x成反比例(如下图所示).现测得药物10分钟燃烧完,此时教室内每立方米空气含药量为8 mg.根据以上信息,解答下列问题:(1)求药物燃烧时y与x的函数关系式;(2)求药物燃烧后y与x的函数关系式;(3)当每立方米空气中含药量低于1.6 mg时,对人体无毒害作用.那么从消毒开始,经多长时间学生才可以返回教室?分析:本例以“手足口病”作为背景材料,手足口病是一种由多种肠道病毒感染引起的,主要侵犯5岁以下儿童.2009年我国手足口病发病处于上升阶段,采用“药熏消毒”可以将其中的EVT1病毒杀灭,从而起到很大程度的预防手足口病.此例主要考查学生的函数建模思想,其中第(3)问选择哪一个函数解析式是解决问题的关键,只要学生抓住“当每立方米空气中含药量低于1.6 mg 时,”自然就知道应该选择反比例解析式来建立不等式,从而使问题得到解决.总之,2009年中考数学以社会生活热点时事为背景的试题突出了诸多亮点:背景新颖、设问巧妙,来源于生活,关注热点时事,立足本土、放眼社会,赋予其新的内涵.源于教材,又活于教材.重点考查学生的阅读能力、识图能力、建模能力、分析问题和解决问题的能力,突出了应用性和时代感,新意迭出,亮点闪烁,令人赏心悦目,堪称践行新课程理念的一朵奇葩.E-mail:hit790205@编辑/张烨。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(八)全国通用

O11xy2009年全国中考数学压轴题精选精析（八）85.（2009年某某达州）23、（9分）如图11，抛物线)1)(3(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为（-2，6）.(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式；(2)P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N.①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.（2009年某某达州23题解析）解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-21分∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x 轴交于B （-3，0）、A （1，0）设直线AC 为y=kx+b ，则有0=k+b 6=-2k+b 解得 k=-2 b=2∴直线AC 为y=-2x+23分（2）①设P 的横坐标为a(-2≤a ≤1)，则P （a,-2a+2），M （a,-2a2-4a+6）4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92∴当a=-12时，PM 的最大值为926分②M1（0，6）7分 M2-14，6789分86.（2009年某某某某）28．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO＝10。

(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；(3)过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?（2009年某某某某28题解析）87.（2009年某某凉山州）26．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．（2009年某某凉山州26题解析）解：（1）已知抛物线2y x bx c =++经过(10)(02)A B ，，，，01200b c c =++⎧∴⎨=++⎩ 解得32b c =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为232y x x =-+． ························································· 2分（2）(10)A ，，(02)B ，，12OA OB ∴==，可得旋转后C 点的坐标为(31)， ·········································································· 3分当3x =时，由232y x x =-+得2y =，可知抛物线232y x x =-+过点(32)，∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ．∴平移后的抛物线解析式为：231y x x =-+． ···················································· 5分（3）点N 在231y x x =-+上，可设N 点坐标为2000(31)x x x -+，（第26题）将231y x x =-+配方得23524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴其对称轴为32x =． ·························· 6分①当0302x <<时，如图①， 112NBB NDD S S =△△00113121222x x ⎛⎫∴⨯⨯=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭ 01x =此时200311x x -+=-N ∴点的坐标为(11)-，． ················································································ 8分 ②当032x >时，如图② 同理可得0011312222x x ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭03x ∴=此时200311x x -+=∴点N 的坐标为(31)，．综上，点N 的坐标为(11)-，或(31)，． ······························································ 10分 88.（2009年某某眉山）24．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(七)

2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（七）（2009年某某省某某市）25．（本题满分12分）如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =xk 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点．（1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)；（3分）（2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；（4分）②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）25．解：（1）21k k -； … ………………………………3分（2）①EF ∥AB ． ……………………………………4分证明：如图，由题意可得A （–4，0），B （0，3），2(4,)4k E --，2(,3)3k F ．∴PA =3，PE =234k +，PB =4，PF =243k+． ∴223121234PA k PEk ==++，224121243PB k PFk ==++∴PA PBPE PF=． ………………………… 6分又∵∠APB =∠EPF ．∴△APB ∽△EPF ，∴∠PAB =∠PEF ．∴EF ∥AB ． …………………………… 7分 ②S 2没有最小值，理由如下：过E 作EM ⊥y 轴于点M ，过F 作FN ⊥x 轴于点N ，两线交于点Q ．由上知M （0，24k -），N （23k ，0），Q （23k ，24k -）． (8)分而S △EFQ = S △PEF ，∴S 2＝S △PEF －S △OEF ＝S △EFQ －S △OEF ＝S △EOM ＋S △FON ＋S 矩形OMQN＝4321212222k k k k ⋅++ ＝222112k k + =221(6)312k +-． ………………………… 10分当26k >-时，S 2的值随k 2的增大而增大，而0＜k 2＜12． …………… 11分 ∴0＜S 2＜24，s 2没有最小值． …………………………… 12分说明：1．证明AB ∥EF 时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A 、B 两点和经过E 、F 两点的直线解析式，利用这两个解析式中x 的系数相等来证明AB ∥EF ；方法二：利用tan PAB ∠＝tan PEF ∠来证明AB ∥EF ；方法三：连接AF 、BE ，利用S △AEF ＝S △BFE 得到点A 、点B 到直线EF 的距离相等，再由A 、B 两点在直线EF 同侧可得到AB ∥EF ．2．求S 2的值时，还可进行如下变形：S 2＝ S △PEF －S △OEF ＝S △PEF －（S 四边形PEOF －S △PEF ）＝2 S △PEF －S 四边形PEOF ，再利用第（1）题中的结论．（2009年某某省某某市）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．(1)若m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．25．解：(1)设抛物线的解析式为：y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m )2－4a ．…………2分∵AC ⊥BC ，由抛物线的对称性可知：△ACB 是等腰直角三角形，又AB ＝4， ∴C (m ，－2)代入得a ＝12．∴解析式为：y ＝12(x －m )2－2．…………………………5分 (亦可求C 点，设顶点式)(2)∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y ＝12(x －m )2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 (3)由(1)得D (0，12m 2－2)，设存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形． ∵△BOD 为直角三角形，∴只能OD ＝OB ．……………………………………………9分 ∴12m 2－2＝|m ＋2|，当m ＋2＞0时，解得m ＝4或m ＝－2(舍)．当m ＋2＜0时，解得m ＝0(舍)或m ＝－2(舍)；当m ＋2＝0时，即m ＝－2时，B 、O 、D 三点重合(不合题意，舍)综上所述：存在实数m ＝4，使得△BOD 为等腰三角形．……………………………12分（2009年襄樊市）26．（本小题满分13分）如图13，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．第25题图（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数； ②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．26．（1）证明：∵MBC △是等边三角形∴60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠ ·· 1分 ∵M 是AD 中点 ∴AM MD = ∵AD BC ∥∴60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠∴AMB DMC △≌△ ······ 2分 ∴AB DC =∴梯形ABCD 是等腰梯形． ·················· 3分（2）解：在等边MBC △中，4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠ADCBP MQ60°图13ADCBPMQ60°∴120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠∴BMP QPC =∠∠ ························ 4分 ∴BMP CQP △∽△∴PC CQBM BP=················· 5分 ∵PC x MQ y ==，∴44BP x QC y =-=-， ············ 6分 ∴444x y x -=-∴2144y x x =-+ ··················· 7分（3）解：①当1BP =时，则有BP AM BP MD∥∥，则四边形ABPM 和四边形MBPD 均为平行四边形 ∴211333444MQ y ==⨯-+= ················ 8分当3BP =时，则有PC AM PC MD∥∥，则四边形MPCD 和四边形APCM 均为平行四边形∴11311444MQ y ==⨯-+=················· 9分 ∴当1314BP MQ ==，或1334BP MQ ==，时，以P 、M 和A 、B 、C 、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．此时平行四边形有4个． ··················· 10分 ②PQC △为直角三角形 ··················· 11分 ∵()21234y x =-+ ∴当y 取最小值时，2x PC == ··············· 12分 ∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ =︒∠，∴30CPQ =︒∠，∴90PQC =︒∠ ·············· 13分（2009年某某省株洲市）23．（本题满分12分）如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ．（1）求点A 的坐标（用m 表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．23．（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. ………………… 3分（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）. 又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为221y x x =-+………7分（3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2(,21)x x x -+，则2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-.∵//QM CE ∴PQM ∆∽PEC ∆∴QM PMEC PC =即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =- ∵//QN FC ∴BQN ∆∽BFC ∆∴QN BN FC BC =即234(1)4x x FC ---=，得41FC x =+ 又∵4AC = ∴444()[42(1)](22)2(1)8111FC AC EC x x x x x x +=+-=+=⋅+=+++ 即()FC AC EC +为定值8. ……………………12分本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分.（2009年某某市）26、（本小题满分9分）如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由；（2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．解：（1）设点M 的横坐标为x ，则点M 的纵坐标为－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；则：MC ＝∣－x+4∣＝－x+4，MD ＝∣x ∣＝x ；∴C 四边形OCMD ＝2（MC+MD ）＝2（－x+4+x ）＝8∴当点M 在AB 上运动时，四边形OCMD 的周长不发生变化，总是等于8；（2）根据题意得：S 四边形OCMD ＝MC ·MD ＝（－x+4）· x ＝－x 2+4x ＝－(x-2)2+4∴四边形OCMD 的面积是关于点M 的横坐标x （0<x<4）的二次函数，并且当x ＝2，即当点M 运动到线段AB 的中点时，四边形OCMD 的面积最大且最大面积为4；（3）如图10（2），当20≤<a 时，42121422+-=-=a a S ；如图10（3），当42<≤a 时，22)4(21)4(21-=-=a a S ；∴S 与a 的函数的图象如下图所示：图12（1）图12（2）图12（3）24))4<≤a25．（本小题12分）如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH （HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图12）.探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.（某某2009年某某市）25．（12分）解：（1）∵AH∶AC=2∶3，AC=6∴AH=23AC=23×6=4又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分∴AHAC =HGBC，即46=8HG，∴HG=163…………………………………2分∴S△AHG=12AH·HG=12×4×163=323……………………………………3分（2）①能为正方形…………………………………………………………………4分∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形…………………………………5分又CH=AC-AH=6-4=2∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形…………………………6分②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.…………7分过F作FM⊥DE于M，FMME =tan∠DEF=tan∠ABC=ACBC=68=34∴ME=43FM=43×2=83，HF=DM=DE-ME=4-83=43∴直角梯形DEFH′的面积为12（4+43）×2=163∴y=163………………………………………………………………8分（Ⅱ）∵当4＜t≤513时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.…………………………………………………………9分而S边形CBGH=S△ABC-S△AHG=12×8×6-323=403S矩形CDH′H=2t∴y=403-2t……………………………………………………………………10分（Ⅲ）当513＜t≤8时，如图，设H′D交AB于P. BD=8-t又PDDB =tan∠ABC=34∴PD=34DB=34（8-t）………………11分∴重叠部分的面积y=S△PDB=12 PD·DB=12·34（8-t）（8-t）=38（8-t）2=38t2-6t+24∴重叠部分面积y与t的函数关系式：y=316（0≤t≤4）403-2t（4＜t≤513）……………………………………12分3 8t2-6t+24（513＜t≤8）（注：评分时，考生未作结论不扣分）。

2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)(八)

2009年中考数学压轴题汇编（含解题过程）（八）(2009年某某省某某市)20.阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.20．解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y ··············· 1分把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ·············· 3分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··········· 4分把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中图12-2xC Oy ABD 1 1铅垂高水平宽 ha 图12-1解得：3,1=-=b k所以32+-=x y ······················· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4) 所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2 ························ 8分32321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) ················10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-= ······· 12分由S △PAB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标为)415,23( ···················· 14分（2009年某某省）25．（本题满分12分）问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．点P ，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．的点P ，并说明理由．问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出APB △的面积（结果保留根号）．DCDCDC25．（本题满分12分）解：（1）如图①，连接AC BD 、交于点P ，则90APB ∠=°．∴点P 为所求． ·············· （3分）（2）如图②，画法如下：1）以AB 为边在正方形内作等边ABP △；2）作ABP △的外接圆O ⊙，分别与AD BC 、交于点E F 、．在O ⊙中，弦AB 所对的APB 上的圆周角均为60°，EF ∴上的所有点均为所求的点P ． ···· （7分）（3）如图③，画法如下： 1）连接AC ；2）以AB 为边作等边ABE △；3）作等边ABE △的外接圆O ⊙，交AC 于点P ； 4）在AC 上截取AP CP '=．则点P P '、为所求． ··········· （9分）（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）过点B 作BG AC ⊥，交AC 于点G ．在Rt ABC △中，43AB BC ==，．5AC ∴==．125AB BC BG AC ∴==． ························ （10分）在Rt ABG△中，4AB =，165AG ∴==． DCB AP②③（第25题答案图）在Rt BPG △中，60BPA ∠=°，12tan 60535BG PG ∴==⨯=°．∴1655AP AG PG =+=+．1116122255APB S AP BG ⎛∴==⨯+⨯= ⎝⎭△． ········ （12分）（某某2009年某某市）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）26．（本题满分13分）解：（1）由抛物线C 1：()522-+=x a y 得顶点P 的为（-2，-5） ………2分∵点B （1，0）在抛物线C 1上 ∴()52102-+=a解得，a ＝59………4分（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称 ∴PM 过点B ，且PB ＝MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3∴顶点M 的坐标为（4，5） ………6分抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y ………8分（3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称由（2）得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为（m ，5）作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G 作PK ⊥NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上∴EF ＝AB ＝2BH ＝6 ∴FG ＝3，点F 坐标为（m +3，0）H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5），根据勾股定理得PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104 PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50NF 2＝52+32＝34 ………10分①当∠PNF ＝90º时，PN 2+NF 2＝PF 2，解得m ＝443，∴Q 点坐标为（193，0）②当∠PFN ＝90º时，PF 2+NF 2＝PN 2，解得m ＝103，∴Q 点坐标为（23，0）③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º图(2)综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形． ………13分（2009年某某某某市）27、（本题满分12分）如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。

2009—2012江西四年中考数学试卷考点全解全析

2009年江西省南昌市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1、（2009•南昌）在0，﹣2，1，3这四数中，最小的数是（）A、﹣2B、0C、1D、3考点：有理数大小比较。

分析：根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，可知负数最小．这四个数中，只有一个负数﹣2，所以﹣2最小．解答：解：因为在0，﹣2，1，3这四个选项中，只有﹣2小于0，故最小的数是﹣2．故选A．点评：本题比较简单，考查了有理数大小比较的方法．2、3、同4、同T6 5、同T8 6、同T7 7、同T98、（2009•南昌）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A、ac＜0B、当x=1时，y＞0C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D、存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大考点：二次函数的性质。

分析：根据抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，逐一判断．解答：解：A、抛物线开口向上，a＞0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，所以ac＞0，错误；B、由图象可知，当x=1时，y＜0，错误；C、方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根小于1，一个根大于1，错误；D、存在一个大于1的实数x0，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大，正确．故选D．点评：本题考查抛物线的形状与抛物线表达式系数的关系，涉及的知识面比较广．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）9、同T1110、（2009•南昌）计算：= ．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂。

分析：先把二次根式化简成最简二次根式后再计算．解答：解：=2﹣2+2=2．点评：先把二次根式化简，再合并同类二次根式；注意负整数指数幂的处理：=2．11、（2009•南昌）若点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为．考点：点的坐标。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(六)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（六）61.（09年某某）28．如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是秒；（3）求y 与x 之间的函数关系式．（09年某某28题解析）解：（1）6．···························································· （1分）（2）8． ································································································· （3分）（3）①当03x <≤时，2111sin 6022222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13△1·····． ······························ （5分） ②当3x <≤6时，（第28题）Q 1ABCDQ 2P 3 Q 3 E P 2 P 1 O1222222121sin 6021(12-2)22APQ y S AP P Q AP CQ x x ==︒=△=?····=2.x + ···················································································· （7分） ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ． (解法一)过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．33333212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△3361,212211(212),33CP OC x OE EQ x OC CE x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)22232x x x =-⨯-⨯--⨯·6．262x x =-+-． ··································································· （10分）（解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．,.ACB ACD OF OG ∠=∠∴=P 3OC DQ 3G H F又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-3312CQP COQ S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)32(6).6COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△··又331sin 602ACP S CP AC =△··°1(6)626).x x =-⨯=- 3AOP y S ∴=△3326)6)ACP OCP S S x x =-=--△△262x x =-+- ······································································ （10分） 62.（2009年某某）28．（本题满分12分）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值X 围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．（2009年某某28题解析）解：（1）(50)C t -，，34355P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ····················· （2分）（2）①当C ⊙的圆心C 由点()50M ，向左运动，使点A 到点D 并随C ⊙继续向左运动时，有3532t -≤，即43t ≥．当点C 在点D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线DE ，垂足为F ，则由CDF EDO ∠=∠，得CDF EDO △∽△，则3(5)45CF t --=．解得485t CF -=．由12CF ≤t ，即48152t t -≤，解得163t ≤．∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值X 围为41633t ≤≤． ······················ （5分）②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222PA PQ AQ =+221633532525t t t ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭． 2229184205t t t ∴-+=，即2972800t t -+=．解得1242033t t ==，． ······························· （7分）当PA PB =时，有PC AB ⊥，3535t t ∴-=-．解得35t =． ····················· （9分）当PB AB =时，有222221613532525PB PQ BQ t t t ⎛⎫=+=+--+ ⎪⎝⎭．221324205t t t ∴++=，即278800t t --=．解得452047t t ==-，（不合题意，舍去）． ················································ （11分）∴当PAB △是等腰三角形时，43t =，或4t =，或5t =，或203t =． ············· （12分）63.（2009年某某某某）23． (本题满分10分)已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）（2009年某某某某23题解析）解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G 为DF 的中点，∴CG =12FD ．………… 1分同理，在Rt △DEF 中， EG =12FD ． ………………2分 ∴CG =EG ．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG =CG ．…………………………4分证法一：连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．在△DAG 与△DCG 中，∵AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ， ∴△DAG ≌△DCG ．∴AG =CG ．………………………5分在△DMG 与△FNG 中，∵∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ， ∴△DMG ≌△FNG ．FBDC第23题图①BDC第23题图②BC第23题图③BDCN图 ②（一）∴MG =NG在矩形AENM 中，AM =EN ． ……………6分在Rt △AMG 与Rt △ENG 中， ∵AM =EN ， MG =NG ， ∴△AMG ≌△ENG ． ∴AG =EG ．∴EG =CG ． ……………………………8分证法二：延长CG 至M ,使MG =CG ，连接MF ，ME ，EC ， ……………………4分在△DCG 与△FMG 中，∵FG =DG ，∠MGF =∠CGD ，MG =CG ， ∴△DCG ≌△FMG ．∴MF =CD ，∠FMG ＝∠DCG ． ∴MF ∥CD ∥AB ．………………………5分 ∴EF MF ⊥．在Rt △MFE 与Rt △CBE 中， ∵MF =CB ，EF =BE ， ∴△MFE ≌△CBE ．∴MEF CEB ∠=∠．…………………………………………………6分 ∴∠MEC ＝∠MEF ＋∠FEC ＝∠CEB ＋∠CEF ＝90°． …………7分 ∴△MEC 为直角三角形． ∵MG = CG ， ∴EG =21MC ． ∴EG CG =．………………………………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG =CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分B D C图③BD C图 ②（二）64.（2009年某某）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.（2009年某某25题解析）（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ············ 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC····································· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．A D E BF C图4（备用）AD EBF C图5（备用）A D EB F C图1 图2A D EBF C PNM图3A D EBFCPNM （第25题）图1A D E BF CG∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·················································································· 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图2A D EBF CPNMG H当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分 65.（2009年某某某某）26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过(10)A -，，(30)B ，，(03)C ，三点，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B D 、重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）如果P 点的坐标为()x y ，，PBE △的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值X 围，并求出s 的最大值；（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 的垂线，垂足为F ，连接EF ，把PEF △沿直线EF 折叠，点P 的对应点为P '是否在该抛物线上．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）设(1)(3)y a x x =+-， ························ 1分把(03)C ，代入，得1a =-， ············································································· 2分∴抛物线的解析式为：223y x x =-++． ·························································· 4分顶点D 的坐标为(14)，． ··················································································· 5分（2）设直线BD 解析式为：y kx b =+（0k ≠），把B D 、两点坐标代入，得304.k b k b +=⎧⎨+=⎩，······························································································· 6分解得26k b =-=，．∴直线AD 解析式为26y x =-+． ···································································· 7分2111(26)3222s PE OE xy x x x x ===-+=-+，················································ 8分 ∴23(13)s x x x =-+<< ················································································ 9分22993934424s x x x ⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ······················································ 10分 ∴当32x =时，s 取得最大值，最大值为94． ····················································· 11分（3）当s 取得最大值，32x =，3y =，∴332P ⎛⎫⎪⎝⎭，． ··········································· 5分 ∴四边形PEOF 是矩形．作点P 关于直线EF 的对称点P '，连接P E P F ''、．法一：过P '作P H y '⊥轴于H ，P F '交y 轴于点M ．设MC m =，则332MF m P M m P E ''==-=，，在Rt P MC '△中，由勾股定理，2223(3)2m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．解得158m =． ∵CM P H P M P E '''=， ∴910P H '=．由EHP EP M ''△∽△，可得EH EP EP EM '='，65EH =． ∴69355OH =-=．∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分法二：连接PP '，交CF 于点H ，分别过点H P '、作PC 的垂线，垂足为M N 、．易证CMH HMP △∽△． ∴12CM MH MH PM ==．设CM k =，则24MH k PM k ==，． ∴352PC k ==，310k =．由三角形中位线定理，1268455PN k P N k '====，． ∴12395210CN PN PC =-=-=，即910x =-．69355y PF P N '=-=-=∴P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，．··················································································· 13分把P '坐标99105⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线解析式，不成立，所以P '不在抛物线上． ································································································66.（2009年某某某某）26．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ．（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式；（2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，），CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ．i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值X 围）；ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？（第26题图）iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）解：（1）(02)(40)A B ，，， ································· （2分）设直线AB 的解析式y kx b =+，则有240b k b =⎧⎨+=⎩ 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为122y x =-+ ···························································· （3分）（2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △．则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫===--+ ⎪⎝⎭△·· 21244x x =-+ 当E 与O 重合时，12242CE BO x ==∴<≤ ··········································· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO .OFE OAB △∽△ 1122OF OA OF OE OE OB ∴==∴=，又42OE x =-1(42)22OF x x ∴=-=-213222224CDFO x S x x x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四边形· ······································ （5分）当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为(0,0)02x ∴<< ····························································································· （6分）综合①②得22124(24)432(02)4x x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤ ··············································· （7分）ii ）①当24x <≤时，221124(2)44S x x x =-+=-∴对称轴是4x = 抛物线开口向上，∴在24x <≤中，S 随x 的增大而减小∴当2x =时，S 的最大值＝21(24)14⨯-= ················································· （8分）②当02x <<时，22334424433S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴是43x =抛物线开口向下∴当43x =时，S 有最大值为43·································································· （9分）综合①②当43x =时，S 有最大值为43 ····················································· （10分）iii ）存在，点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···················································· （14分）附：详解：①当ADE △以点A 为直角顶点时，作AE AB ⊥交x 轴负半轴于点E ，AOE BOA △∽△ 12EO AO AO BO ∴== 21AO EO =∴= ∴点E 坐标为（1-，0）∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭， ②当ADE △以点E 为直角顶点时同样有AOE BOA △∽△12OE OA AO BO == 1(10)EO E ∴=∴，∴点C 的坐标502⎛⎫⎪⎝⎭，综合①②知满足条件的坐标有302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭，．以上仅提供本试题的一种解法或解题思路，若有不同解法请参照评分标准予以评分． 67.（2009年某某某某）26．已知：如图所示，关于x 的抛物线2(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点(20)A -，、点(60)B ，，与y 轴交于点C ．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点P ，x 轴上有一动点Q ．是否存在以A M P Q 、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（2009年某某某某26题解析）26．解：（1）根据题意，得4203660a c a c -+=⎧⎨++=⎩ ···································· 1分解得143a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ········································ 3分 ∴抛物线的解析式为2134y x x =-++ ······· 4分顶点坐标是（2，4） ······················································································· 5分（2）(43)D ， ································································································· 6分设直线AD 的解析式为(0)y kx b k =+≠（第26题图）第26题图3直线经过点(20)A -，、点(43)D ，2043k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩ ······························································································ 7分 121k b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ····································································································· 8分 112y x ∴=+ ································································································· 9分（3）存在． ································································································ 10分 1(2220)Q -， ····························································································· 11分 2(222)Q --，0 ························································································ 12分 3(6260)Q -， ····························································································· 13分 4(6260)Q +，····························································································· 14分 68.（2009年某某某某）26.如图14，抛物线与x 轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1＞x2，与y 轴交于点C(0,4)，其中x1,x2是方程x2-2x-8=0的两个根.(1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE∥AC，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.69.（2009年某某某某）26．如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB OC BC x ∥，⊥轴于点(11)(31)C A B ，，、，．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P 点作PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为Q ．设P 点移动的时间为t 秒（04t <<），OPQ △与直角梯形OABC 重叠部分的面积为S ．。

2009年中考数学压轴题精选精析

2009年中考数学压轴题精选精析2022年全国中考数学压轴题精选精析（四）11.（09年广东佛山）25．一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义――定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路．当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．已知：四边形ABCD中，AB DC，且ACB DBC．（1）借助网格画出四边形ABCD所有可能的形状；（2）简要说明在什么情况下四边形ABCD具有所画的形状．（09年广东佛山25题解析）（1）四边形可能的形状有三类：图①“矩形”、图②“等腰梯形”、图③的“四边形ABCD1”．注1：画出“矩形”或“等腰梯形”，各给1分；画出另一类图形（后两种可以看作一类），给2分；等腰梯形不单独画而在后两种图中反映的，不扣分；画图顺序不同但答案正确不扣分．注2：如果在类似图③或图④的图中画出凹四边形，同样给分（两种都画，只给一种的分）．(2) （i）若BAC是直角（图②），则四边形为等腰梯形；6分（ii）若BAC是锐角（图③），存在两个点D和D1，得到等腰梯形ABCD和符合条件但不是梯形的四边形ABCD1；8分其中，若BAC是直角（图①），则四边形为矩形．9分（iii）若BAC是钝角（图④），存在两个点D和D1，得到等腰梯形ABCD和符合条件但不是梯形的四边形ABCD1；11分注：可用AC与BD或者BAC与CDB是否相等分类；只画矩形和等腰梯形并进行说明可给4分．12.（09年广东广州）25．（本小题满分14分）如图13，二次函数y x px q（p 0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点25C(0，1)，△ABC的面积为．4（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD 为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．0)，B(x2，0)，其中x1 x2．（09年广东广州25题解析）解：（1）设点A(x1，∵抛物线y x px q过点C(0，1)，∴ 1 0 P 0 q．∴q 1．∴y x px 1．∵抛物线y x px q与x轴交于A、B两点，2222∴x1，x2是方程x px 1 0的两个实根．求p的值给出以下两种方法：方法1：由韦达定理得：x1 x2 p，x1x2 1．25，41515∴OC AB ，即1 (x2 x1) ．24245∴x2 x1 ．225∴(x2 x1)2 ．4∵△ABC的面积为∵(x2 x1) (x2 x1) 4x1x2，∴(x2 x1) 4x1x2 ∴( p) 4 解得p22225．425．43．2∵p 0，∴p3．22∴所求二次函数的关系式为y x 3x 1．2方法2：由求根公式得x1，x2 ．AB x2 x15，41515∴OC AB ，即1 (x2 x1) ．__∴ 1 ．24252∴p 4 ．43解得p ．∵△ABC的面积为∵p 0，∴p3．23x 1．231（2）令x2 x 1 0，解得x1 ，x2 2．22∴所求二次函数的关系式为y x2 ∴A ，0 ，B(2，0)．125 1 2222在Rt△AOC中，AC AO OC 1 ，4 2在Rt△BOC中，BC BO OC 2 1 5，∵AB 222222221 5，2 2∴AC BC525 5 AB2．44∴ ACB 90°．∴△ABC是直角三角形．∴Rt△ABC的外接圆的圆心是斜边AB的中点．∴Rt△ABC 的外接圆的半径rAB5．24∵垂线与△ABC的外接圆有公共点，∴55≤m≤．442（3）假设在二次函数y x3x 1的图象上存在点D，使得四边形ACBD是直角梯形．22①若AD∥BC，设点D的坐标为x0，x03x0 1 ，x0 0，2过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1所示．求点D的坐标给出以下两种方法：方法1：在Rt△AED中，32x0 x0 1DE，tan DAE AE 1x02OC1在Rt△BOC中，tan CBO ，OB2∵ DAE CBO，∴tan DAE tan CBO．32x0 x0 11∴ ．1 2x0224x0 8x0 5 0．解得x0或x0 ．22∵x0 0，∴x025 53 ，此时点D的坐标为．2 2222而AD AE ED453BC2，因此当AD∥BC时在抛物线y x2 x 1上存在42 点D ，使得四边形DACB是直角梯形．方法2：在Rt△AED与Rt△BOC中，DAE CBO，∴Rt△AED∽Rt△BOC．∴53 22DEOC．AEOB32x0 x0 11∴ ．1 2x0以下同方法1．②若AC∥BD，设点D的坐标为x0，x023x0 1 ，x0 0，2过D作DF⊥x轴，垂足为F，如图2所示．32x0 x0 1DE 在Rt△DFB中，tan DBF ，FB2 x0 在Rt△COA中，tan CAO ∵ DBF CAO，∴tan DBF tan CAO．OC12，OA1232x0 x0 1∴ 2．2 x022x0 x0 10 0．解得x05或x0 2．2∵x0 0，∴x05 5 ，此时D点的坐标为，9 ．222此时BD AC，因此当AC∥BD时，在抛物线y x 得四边形DACB是直角梯形．综上所述，在抛物线y x23 59 ，使x 1上存在点D ，2 23x 1上存在点D，使得四边形DACB是直角梯形，并且点253 59 ．D的坐标为或，22213.（09年广东茂名）25．（本题满分10分）已知：如图，直线l：y1 1经过点M 0 ，一组抛物线的顶点x b，43B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，，Bn(n，yn)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，，0)A2(x2，，0)A3(x3，，0) ，An 1(xn 1，0)（n为正整数）（0 d 1）．，设x1 d（1）求b的值；（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）（2分）（4分）（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当d的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，（0 d 1）请你求出相应的d的值．（4分）（09年广东茂名25题解析）解：（1）∵M 0 在y1 4111x b上，∴ 0 b，∴3431．2分411，y1)在l上，（2）由（1）得：y x ，∵B1(1 34b∴当x 1时，y1117 73 分1 ，∴B1 1 ．3412 122解法一：∴设抛物线表达式为：y a(x 1)74分(a 0)，1277，∴a ， 5 分212(d 1)12772． 6 分(x 1) 212(d 1)120)，∴0 a(d 1)2 又∵x1 d，∴A1(d，∴经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式为：y0)，A2(2 d，0)，解法二：∵x1 d，∴A1(d，∴设y a(x d) 4 分(x 2 d)(a 0)，把B1 1 代入：71277， 5 分a(1 d) (1 2 d)，得a 212(d 1)1276 分(x d) (x 2 d)．12(d 1)2∴抛物线的解析式为y（3）存在美丽抛物线．7 分由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0 d 1，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1．1171 1，__-__当x 2时，y2 2 1，3412∵当x 1时，y1当x 3时，y31113 1 1，344∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．8分①若B1为顶点，由B1 1 ，则d 1712759分；121211 11 1 ，12 12②若B2为顶点，由B2 2 ，则d 1 2 综上所述，d的值为1112511或时，存在美丽抛物线．10分121214.（09年广东梅州）23．本题满分11 分．（提示：为了方便答题和评卷，建议在答题卡上画出你认为必须的图形）如图12，已知直线L过点A(01)，和B(1，0)，P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M．（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0 t 2时，S的最大值；（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．L1（09年广东梅州23题解析）（1）y 1 x 2分（2）∵OP t，∴Q点的横坐标为①当01t，211t 1，即0 t 2时，QM 1 t，221 13分t 1 t ．2 2∴S△OPQ②当t≥2时，QM 111t t 1，22∴S△OPQ1 1t t 1 ．2 21 10 t 2，2t 1 2t ，∴S 4分1t 1t 1 ，t≥2.2 2当01 1 111t 1，即0 t 2时，S t 1 t (t 1)2 ，2 2 442∴当t 1时，S有最大值1．6分4（3）由OA OB 1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC，所以OQ QC，又L1∥x轴，则C，7 分，．O两点关于直线L对称，所以AC OA 1，得C(11)下证PQC 90°．连CB，则四边形OACB是正方形．法一：（i）当点P在线段OB上，Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时，如图C1．由对称性，得BCQ QOP，QPO QOP，∴ QPB QCB QPB QPO 180°，∴ PQC 360° ( QPB QCB PBC) 90°．8分（ii）当点P在线段OB的延长线上，Q在线段AB上时，如图C2，如图C3 ∵ QPB QCB，1 2，∴ PQC PBC 90°．9分L1（iii）当点Q与点B重合时，显然PQC 90°．综合（i）（ii）（iii），PQC 90°．∴在L1上存在点C(11) 11 分，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．23题图-3法二：由OA OB 1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC，所以OQ QC，又L1∥x轴，则C，7 分，．O两点关于直线L对称，所以AC OA 1，得C(11)延长MQ与L1交于点N．（i）如图C4，当点Q在线段AB上（Q与A、B不重合）时，∵四边形OACB是正方形，∴四边形OMNA和四边形MNCB都是矩形，△AQN和△QBM都是等腰直角三角形．∴NC MB MQ，NQ AN OM，QNC QMB 90°．又∵OM MP，∴MP QN，∴△QNC≌△QMP，∴ MPQ NQC，又∵ MQP MPQ 90°，∴ MQP NQC 90°．∴ CQP 90°．8分（ii）当点Q与点B重合时，显然PQC 90°．9分（iii）Q在线段AB的延长线上时，如图C5，L1∵ BCQ MPQ，∠1=∠2 ∴ CQP CBM 90°综合（i）（ii）（iii），PQC 90°．∴在L1上存在点C(11) 11分，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．L123题图-5法三：由OA OB 1，所以△OAB是等腰直角三角形，若在L1上存在点C，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形，则PQ QC，所以OQ QC，又L1∥x轴，则C，O两点关于直线L对称，所以AC OA 1，得C(11) 9分，．连PC，∵PB |1 t|，OM2222t1t，MQ ，222∴PC PB BC (1 t) 1 t 2t 2，2t t t__OQ OP CQ OM MQ 1 t 1．2 2 222∴PC OP QC，∴ CQP 90°．10分∴在L1上存在点C(11) 11分，，使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．15.（09年广东清远）28．如图9，已知一个三角形纸片ABC，BC 边的长为8，BC边上的高为6，B和C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN 中，设MN的长为x，MN上的高为h．A （1）请你用含x的代数式表示h．（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM 重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？222NC（09年广东清远28题解析）解：（1）MN∥BC △AMN∽△ABChx 683x 3分h 4（2）△AMN≌△A1MN△A1MN的边MN上的高为h，①当点A1落在四边形BCNM内或BC边上时，1133y S△A1MN=MN 4分h __ x2（0 x≤4）2248②当A1落在四边形BCNM外时，如下图(4 x 8)，设△A1EF的边EF上的高为h1，则h1 2h 6A3x 6 2△A1EF∽△A1MNBNEF∥MN△A1MN∽△ABC △A1EF∽△ABC A1FCS△A1EFS△ABCh 1 621S△ABC 6 8 24 S△A1EF23 x 6 3224 x 1x26222 4y S△A1MN S△A1EF所以y32 329x x 12x 24 x2 12x 24 88 26分(4 x 8)92x 12x 248综上所述：当0 x≤4时，y 当4 x 8时，y 取x32x，取x 4，y最大6 892x 12x 24，816，y最大8 3 8 6168分当x 时，y最大，y最大8316.（09年广东汕头）24．（本题满分12分）正方形ABCD 边长为4，M、NA 分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC 上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；B（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x 的值．M第24题图（09年广东汕头24题解析）解：（1）在正方形ABCD中，，AB B CC4 ，D B 9°0CAM MN，A D AMN 90°，CMN AMB 90°．在Rt△ABM中，MAB AMB 90°，CMN MAB，3分R t△ABM∽Rt△MCN．N （2）Rt△ABM∽Rt△MCN，DN CABBM4x，，MCCN4 xCNBx2 4x，5分CN4 y S梯形ABCN1 x2 4x114 4 x2 2x 8 (x 2)2 10，2 422M答案24题图C当x 2时，y取最大值，最大值为10．7分（3）B AMN 90°，要使△ABM∽△AMN，必须有AMAB，9分MNBMAMAB，MNMCBM MC，12分当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x 2．由（1）知（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）17.（09年广东深圳）23．（本题10分）已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OAOB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图11）。

2009年全国九年级数学中考压轴题精选精析(三)全国通用

2009年全国中考数学压轴题精选精析（三）25.（09年某某贺州）28．(本题满分10分)如图，抛物线2124y x x =--+的顶点为A ，与y 轴交于点B ．（1）求点A 、点B 的坐标．（2）若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA PB-≤（3）当PB PA -最大时，求点P 的坐标．（09年某某贺州28题解析）解：（1）抛物线214y x =--令x=0得y=2． ∴B （0，2） 1分∵22112(2)344y x x x =--+=-++ ∴A （—2，3）3分（2）当点P 是 AB 的延长线与x 轴交点时，AB PB PA =-．5分当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时，在点P 、A 、B 构成的三角形中，AB PB PA <-．综合上述：PA PB AB -≤7分（3）作直线AB 交x 轴于点P ，由（2）可知：当P A —PB 最大时，点P 是所求的点 8分作AH ⊥OP 于H ． ∵BO ⊥OP ， ∴△BOP ∽△AHP ∴AH HPBO OP=9分由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2， ∴OP=4，故P （4，0） 10分注：求出AB 所在直线解析式后再求其与x 轴交点P （4，0）等各种方法只要正确也相应给分．26.（09年某某某某）26．（本题满分10分）第28题图第28题图如图11，已知抛物线b ax ax y --=22（0>a ）与x 轴的一个交点为(10)B -，，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标；（2）以AD 为直径的圆经过点C ． ①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以E F A B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．（09年某某某某26题解析）解：（1）对称轴是直线：1=x ，点A 的坐标是（3，0）．2分（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）（2）如图11，连接AC 、AD ，过D 作轴 y DM ⊥于点M ，解法一：利用AOC CMD △∽△∵点A 、D 、C 的坐标分别是A （3，0），D （1，b a --）、 C （0，b -），∴AO ＝3，MD =1．由MD OC CM AO =得13ba = ∴03=-ab 3分又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(024分∴由⎩⎨⎧=-=-0303b a ab 得⎩⎨⎧==31b a 5分图11∴函数解析式为：322--=x x y 6分解法二：利用以AD 为直径的圆经过点C∵点A 、D 的坐标分别是A （3，0）、D （1，b a --）、C （0，b -）， ∴29b AC +=，21a CD +=，2)(4b a AD --+=∵222AD CD AC =+ ∴03=-ab (3)又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02…②4分由①、②得13a b ==，5分 ∴函数解析式为：322--=x x y 6分（3）如图所示，当BAFE 为平行四边形时则BA ∥EF ，并且BA ＝EF ． ∵BA =4，∴EF =4由于对称为1=x ， ∴点F 的横坐标为5．7分将5=x 代入322--=x x y 得12=y ， ∴F （5，12）． 8分根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F ，使得四边形BAEF 是平行四边形，此时点F 坐标为（3-，12）． 9分当四边形BEAF 是平行四边形时，点F 即为点D ，此时点F 的坐标为（1，4-）． 10分综上所述，点F 的坐标为（5，12），（3-，12）或（1，4-）．（其它解法参照给分）27.（09年某某某某）26．如图14，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有图11两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？（09年某某某某26题解析）解：（1）横向甬道的面积为：()2120180150m 2x x += ··· 2分（2）依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯ ······································· 4分整理得：21557500x x -+=125150x x ==，（不符合题意，舍去） ····························································· 6分 ∴甬道的宽为5米．（3）设建设花坛的总费用为y 万元．()21201800.028******** 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦······································ 7分20.040.5240x x =-+当0.56.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． ··················································· 8分因为根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，6x ∴=当米时，总费用最少． ·········································································· 9分最少费用为：20.0460.56240238.44⨯-⨯+=万元 ··········································· 10分 28.（09年某某某某）26．（本题满分10分）图14如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是_▲_，b ＝_▲_，c ＝_▲_；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．（09年某某某某26题解析）解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3． ······················· 3分（2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）．∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5．由题意，得△BHP ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5， ∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5， ∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ． ∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）． ∴OQ ＝4t ． ·············································································· 4分 ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ······················································· 5分②当H 在O 、Q 之间时， QH ＝OQ －OH＝4t －（4－4t ）＝8t －4． ······················································· 6分综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜； ······················································ 6分（3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ················ 7分①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt， ∴t ＝732． ··············································································· 7分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484t t -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 2－1（舍去）． ·········································· 8分 ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34t t， ∴t ＝2532． ··············································································· 9分若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0．∴t 1＝t 2＝1（舍去）．································································ 10分综上所述，存在t 的值，t 1－1，t 2＝732，t 3＝2532． ···················· 10分 29.（09年某某某某）26．（本题满分12分）如图（9）-1，抛物线23y ax ax b =-+经过A （1-，0），C （3，2-）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图（9）-2，过点E （1，1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ （点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应），使点M 、N 在抛物线上，作MG ⊥x 轴于点G ，若线段MG ︰AG ＝1︰2，求点M ，N 的坐标．（09年某某某某26题解析）（1）解：把A （1-，0），C （3，2-）代入抛物线 23y ax ax b =-+ 得⎩⎨⎧-=+-=+-⨯--2990)1(3)1(2b a a b a a 1分整理得⎩⎨⎧-==+204b b a ………………2分解得⎪⎩⎪⎨⎧-==221b a ………………3分 ∴抛物线的解析式为 223212--=x x y 4分（2）令0223212=--x x 解得 1214x x =-=， ∴B 点坐标为（4，0）又∵D 点坐标为（0，2-）∴AB ∥CD ∴四边形ABCD 是梯形． ∴S 梯形ABCD ＝82)35(21=⨯+5分设直线)0(1≠+=k kx y 与x 轴的交点为H ，与CD 的交点为T ，则H （k 1-，0），T （k3-，2-）6分 ∵直线)0(1≠+=k kx y 将四边形ABCD 面积二等分 ∴S 梯形AHTD ＝21S 梯形ABCD ＝４y=kx +1图（9）-1N图（9）-2y=kx +1图(9) -1∴42)311(21=⨯-+-kk 7分 ∴34-=k 8分（3）∵MG ⊥x 轴于点G ，线段MG ︰AG ＝1︰2 ∴设M （m ，21+-m ），9分 ∵点M 在抛物线上 ∴22321212--=+-m m m 解得1231m m ==-，（舍去）10分 ∴M 点坐标为（3，2-）11分根据中心对称图形性质知，MQ ∥AF ，MQ ＝AF ，NQ ＝EF ， ∴N 点坐标为（1，3-）12分30.（09年某某黔东南州）26、（12分）已知二次函数22-++=a ax x y 。

2009年中考江西省数学试卷分析及教学建议

注重基础突出能力——2009年中考江西省数学试卷分析及教学建议九江市外国语学校车瑞屏2009年的中考江西数学试题与往年比较，注重基础，突出能力。

一、试题概况（一）试卷结构今年的中考江西数学试卷总题数仍是25小题，满分120分，考试时间120分钟。

其中选择题10小题共30分，所占的分值比例约为25%，填空题6小题共18分，所占的分值比例约为15%，解答题共72分，所占的分值比例约为60%，容易题、中档题、与较难题的分值比例约为5: 3.5: 1.5。

2009年的中考数学试卷，内容结构合理。

试卷以《数学课程标准》为依据，基本覆盖了学科知识体系的主干知识，在知识与技能、空间观念、统计观念、应用意识、运算能力、推理能力、数学思想方法的理解与运用等方面对学生进行了全面考查。

其中数与代数的分值为57分，所占的分值比例约为47.5%；空间与图形的分值为45分，所占的分值比例约为37.5%；统计与概率的分值为18分，所占的分值比例约为15%。

（二）试题特点1、试卷设计合理，简洁美观。

试卷整体布局合理，卷面美观，文字简洁，陈述准确，充分考虑了学生生活经历的差异、学生已有学科知识的储量、学生个人兴趣爱好的发展差异等因素，注意采用文字与图形、表格相结合的呈现方式，清晰、直观地表达题意，问题设置新颖，贴近实际生活，有助于考生准确理解，正确解题。

2、依据《课程标准》，注重课改理念。

试题立足课本，源于教材，着眼基础，坚持按照《课程标准》要求初中学生掌握的数学基本内容进行全面考查，在重视知识覆盖的基础上，分层分级考查了初中数学的数与代数、空间与图形、统计与概率等主干内容。

如有理数、整式、不等式、方程、函数、视图、三角形、四边形、圆、统计、概率等基础知识作了重点考查。

3、试题难易适度，体现基础性。

全卷充分体现基础知识、基本技能、基本方法，试题难度设置落差有序，层次合理，遵循“先易后难”的命题原则，注意避免试卷题目难度排列不当对考生正常发挥水平的影响。

对2009年高考江西卷压轴题的研究

，＞１。口＞
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（ ± ．＝）Ｏ）＋＝＋（（口）＿ｐ＋口）一工ｕ ‘ 一（）。、，
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证明由ａ＃ｂ，ｄ得 ≠ ± ，以６所干衄 ≠０．
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３一１
－＿ｎ
还可验证＝
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满足题设的所有条件，以所所
再对第（）１问作如下研究：
求通项＝￣１３而－
．
定１数｛满ｎ＝（，已理设列足川笔ａｄ。），是ｂ
ｄ且ｄ，的仅ｍｎ关知的复数戤一ｄ＝０的两个复数根一ａ≠０征方程＝值与＋有，丝即ａ＃Ｏ，ａ ≠ｂ），是其特（
１＜ ≤
，
（＋０）１１（＋０）一（＋ｏ）１ ‘ １（＋０）
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（）明：２证对任意ｏ存在与。，有关的常数Ａ，使得对
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2009年全国各地中考试题压轴题精选探究、操作性问题

2009年全国各地中考试题压轴题精选探究、操作性问题【知识纵横】探索研究是通过对题意的理解，解题过程由简单到难，在承上启下的作用下，引导学生思考新的问题，大胆进行分析、推理和归纳，即从特殊到一般去探究，以特殊去探求一般从而获得结论，有时还要用已学的知识加以论证探求所得结论。

操作性问题是让学生按题目要求进行操作，考察学生的动手能力、想象能力和概括能力。

【典型例题】【例1】（陕西省）问题探究（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB＝∠CP′D＝60°．请你在图③中画出符合要求的点P和P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．【例2】（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （－8，6），C （0，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA ′B′C ′，此时直线OA ′、直线B ′C ′分别与直线BC 相交于P 、Q ．（1）四边形OABC 的形状是_______________，当α ＝90°时，BQBP的值是____________；（2）①如图2，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在y 轴正半轴上时，求BQBP的值； ②如图3，当四边形OA ′B ′C ′的顶点B ′落在直线BC 上时，求ΔOPB ′的面积．（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0＜α ≤180°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使BP ＝21BQ ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（浙江省丽水市）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．（1）填空：菱形ABCD的边长是________、面积是________、高BE的长是________；（2）探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．【例4】（辽宁省大连市试测（一））如图1，平移抛物线F1：y=x2后得到抛物线F2．已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N．（1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；（2）若将已知条件中的“抛物线F1：y=x2”改为“抛物线F1：y=ax2”（如图2），“点A（2，0）”改为“点A（m，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；（3）若将已知条件中的“抛物线F1：y＝x2”改为“抛物线F1：y＝ax2＋c”（如图3），“点A（2，0）”改为“点A（m，c）”其它条件不变，求直线AB与y轴的交点C的坐标（直接写出结论）．【学力训练】1、（辽宁省大连市）如图1，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以从下面①、②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．①如图2，k＝1；②如图3，AB＝AC．（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系．2、（湖南省娄底市）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE＝90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE＝4，∠DEF＝∠CBA，AH: AC＝2: 3．（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积；（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图2）．探究1：在运动过程中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系式．3、（辽宁省十二市、丹东市）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－x ＋3（a ≠0）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且对称轴为直线x ＝－2．（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）若点P （0，t ）是y 轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设△PAD 的面积为S ，令W ＝t ·S ，当0＜t ＜4时，W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴是直线x ＝ab 2 ）4、（广东省茂名市）已知：如图，直线l ：y ＝31x ＋b ，经过点M(0，41)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，…，B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)，…，A n +1(x n +1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）．（1）求b 的值；（2）求经过点A 1、B 1、A 2的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当d （0＜d ＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．。

江西省南昌市2009年中考数学真题试卷及完整版答案解析

4 ( x > 0 ) 的图象如 x
y
y1 = x
20．经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0.25）kg 的最为畅销.为了控制西瓜的质量，农科所采用 A、两种种植技术进行试验.现从这两种技术种植的西瓜中 B 各随机抽取 20 颗，记录它们的质量如下（单位：kg）： A：4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2 5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0 B：4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9 5.4 5.5 4.6 5.3 4.8 5.0 5.2 5.3 5.0 5.3 （1）若质量为（5±0.25）kg 的为优等品，根据以上信息完成下表：优等品数量（颗） A B 平均数 4.990 4.975 方差 0.103 0.093
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（本大题共小题，四、本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）（ 21．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有 25 分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他 3 倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段 AB 、 OB 分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路．．．．．．程 S （米）与所用时间 t （分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假．设骑自行车和步行的速度始终保持不变）： S（米）（1）求点 B 的坐标和 AB 所在直线的函数关系式；（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？ A 3 600
的距离为 b ( a < b < 2a )．（1）作出点 P 关于 l1 的对称点 P ， 1 并在 PP 上 1

(甘志国)对2009年高考江西卷压轴题的研究(5页)

对2009年高考江西卷压轴题的研究甘志国(该文已发表中学数学(高中)，2009(9)：42-43)2009年高考江西卷理科压轴题(即第22题)及其参考答案是：各项均为正数的数列{}n a ，b a a a ==21,，且对满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,，都有)1)(1()1)(1(q p q p n m nm a a a a a a a a +++=+++. (1)当54,21==b a 时，求通项n a ； (2)证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有λλ≤≤n a 1.解 (1)由题意，可得)1)(1()1)(1(121211--+++=+++n n n n a a a a a a a a ，再由54,21==b a ，得1313,3111,113111,2121111+-==+-+-⋅=+-++=----nn n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ，还可验证1313+-=n nn a 满足题设的所有条件，所以所求通项1313+-=n n n a .(2)由题设)1)(1(n m nm a a a a +++的值仅与n m +有关，记为m m b +，则)1)(1()1)(1(111n nn n n a a a a a a a a b +++=+++=+. 考察函数)0()1)(1()(>+++=x x a xa x f ，则在定义域上有1,111()(),12,011a a f x g a a aa a ⎧>⎪+⎪⎪≥==⎨⎪⎪<<⎪+⎩故对∈n N *，)(1a g b n ≥+恒成立.又 )()1(222a g a a b n n n ≥+=.又21)(0≤<a g ，得)()(21)(1)()(21)(1)(21)(1)(a g a g a g a a g a g a g a g a g a g n -+-≤≤---=-+-取)()(21)(1a g a g a g -+-=λ，即有λλ≤≤n a 1.下面先给出第(2)问的简解：同参考答案，得21)(0),()1(22≤<≥+a g a g a a n n 所以2)(,)(1212212a g a a g a a a a n n n n n >≤++<；)(2,)(121222a g a a g a a a a n n n n n <≤++<,即)(22)(a g a a g n <<，所以存在正数M m ,，使得M a m n ≤≤. (也可由“0)1(2lim 2=++∞→n na a a n 与0)()1(22>≥+a g a a n n ”矛盾知存在正数M ，使得M a n ≤.)若M m 1≤，得m M a m n 1≤≤≤；若M m 1>，得M a m Mn ≤≤≤1.总之，要证结论成立.(由此知，该问即证n a 有正数的上确界和下确界.)再对第(1)问作如下研究：定理1 设数列{}n a 满足d b a baa d ba a n n n ,,(1++=+是已知的复数),02b ad ≠，αα-,是其特征方程bax d bx x ++=即02=-d ax 的两个复数根(且1,0a ±≠α)，则对于满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,，都有)())(())((α±=+++=+++x a x a x a a a x a x a a q p q p n m nm .证明由2b ad ≠，得ab±≠α，所以0≠αa b . 再证n a 不是方程02=-d ax 的根：因为1a 不是其根，所以只需证∈+n a n (1N *)不是其根.假设某个1+n a 是其根，得)(,11121b aa a ba d aa d n n n n -=-=++++由此还可得01≠-+b aa n ：否则11,++==n n ba d b aa .若01=+n a ，得0==d b ，与2b ad ≠矛盾！所以01≠+n a ，得2b ad =，也矛盾！所以01≠-+b aa n .由题设中的递推式，得)()(,111111b aa a ba d a b aa d ba ba a aa n n n n n n n n n -=-=-+=+++++++n n a a =+1由“假设某个1+n a 是其根”知n a 是方程02=-d ax 的根，进而得1a 是其根，这与题设矛盾！所以n a 不是方程02=-d ax 的根，即α±≠n a .注意，只有完成了上述证明，才能说以下证明是严格的(应时时注意分母不为零). 可证αααααα-+⋅-+=-+++n n n n a a a b a b a a 11(因为该式等价于21)(αa ba a b aa n n n +=++，而这由已知的递推式可得)，所以111-⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=-+n n n a b a b a a a a αααααααααααααααα+⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+--111111)(1n n n a b a b a a a a b a b a a 假设01111=-⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-n a b a b a a αααα，得0)(111=+⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-ααααααn a b a b a a ，所以11111-==⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-n a b a b a a αααα，这不可能，所以1)(111111-⎪⎭⎫⎝⎛-+-++⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=--n n n a b a b a a a b a b a a a αααααααααα 1)(2,12111111111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=----n n n n n a b a b a a a b a b a a a a b a b a a a αααααααααααααααα当α=x 时,2211221121))(())((-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++=+++n m n m n m nm n m n m a b a b a a a b a b a a a a a a a x a x a a ααααααααααα;当α-=x 时,ααααααα21))(())((2211-⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--+=+++-+n m n m n m n m n m a b a b a a a a a a a x a x a a .总之，当α±=x 时，))((n m nm a x a x a a +++的值仅与n m +的值有关，所以要证结论成立.定理 2 设数列{}n a 满足“对于满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,，都有),,0())(())((21a a a a a a a a a a q p q p n m nm ±±≠+++=+++ααααα且21a a ≠”，则数列{}n a 由递推公式)()()()(221212212211ααα-+--+-=+a a a a a a a a a a a n n n 确定. 证明由题设，得))(())((221111n nn n a a a a a a a a +++=+++++αααα 221221122121)()(])[(αααa a a a a a a a a a a n n n -+-=-+-+若0)(22121=-+-αa a a a a n ，得0)()(221221=-+-ααa a a a a n ，所以n n a a a a a a a a a a )()(,)(21222121221-=--=-ααα由0,21≠≠αa a ，得0≠n a ，且n n a a a a a a 22122221)()(-=-αα所以 22122221)()(a a a a -=-αα21,a a ±±=α(可以观察出以上关于α的四次方程的的四个根是21,a a ±±=α.)这与题设矛盾！所以0)(22121≠-+-αa a a a a n ，得)()()()(221212212211ααα-+--+-=+a a a a a a a a a a a n n n即定理2成立.定理3 设21,,0a a ±±≠α，21a a ≠，则数列{}n a 满足“对于满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,，都有))(())((q p q p n m nm a a a a a a a a +++=+++αααα”的充要条件是数列{}n a 由递推公式)()()()(221212212211ααα-+--+-=+a a a a a a a a a a a n n n 确定(所以其通项公式为1))(())(())(())(()(12121111212111-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+=--n n n a a a a a a a a a a a a a αααααααααααααα).证明由定理2知必要性成立，由定理1也可证充分性成立(关于通项公式的结论参见定理1的证明可得).注这道压轴题是考查特殊与一般思想、等价转化思想、函数与方程思想的一道好题，考查的主要知识点是“由递推公式11(a baa dca a n n n ++=+已知),0bc ad a ≠≠确定的数列}{n a 的通项公式的求法”，关于此，拙文[1-3]给出了很好的初等解法——待定系数法、构造等比数列法，2007年高考理科全国卷(I)压轴题、2009年高考重庆卷第14题也都有此背景.参考文献1 甘志国.两类递推数列通项的求法[J].数学通讯，2006（17）：21-222 甘志国.应对高考需要研究性备考——兼评2008年高考陕西卷(理科)压轴题[J].中学数学研究(广州)，2009（5）：28-303 甘志国.初等数学研究(I) [J].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,2008.292-298。

让智慧的礼花绽放————对江西省2009年一道中考数学题的解析

让智慧的礼花绽放————对江西省2009年一道中考数学题的解析发表时间：2011-11-18T15:32:19.740Z 来源：《少年智力开发报（课改论坛）》2011年31期作者：占慧娟[导读] 近几年的数学中考试题总体的命题思路是围绕新课改的理念，培养学生的解决问题的能力，培养学生的创新精神。

江西省贵溪三中占慧娟近几年的数学中考试题总体的命题思路是围绕新课改的理念，培养学生的解决问题的能力，培养学生的创新精神。

从这个角度出发推陈出新，设计了一批优秀试题，了解与分析这些试题有助于学生在学习数学过程中真正理解与掌握数学的基础知识与基本技能，灵活运用各种方法准确分析周围的事物，养成良好的认知观念。

2009年的江西省数学中考题就有这样的一道好题即第23题，值得我们大家研究一番。

题目如下：问题背景：在某次活动课中，甲、乙﹑丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80㎝的竹杆的影长为60㎝。

乙组：如图2，测得学校的旗杆的影长是900㎝。

丙组：如图3，测得学校景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200㎝，影长为156㎝。

任务要求：请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度。

如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式1562 +2082 =2602 ）所以景灯的半径是12㎝这一道题首先设置了一个问题情境，让学生在这个情境中思考，在解决问题的过程中综合考察了学生对相似三角形和勾股定理以及直线与圆相切的相关知识的熟练掌握程度，如果换个角度去看也考察了学生对三角函数和三角形面积这一部分知识灵活运用能力。

题目的设置上是由浅入深，第一问让大部分学生都能解答，第二问加入了直线与圆相切的知识点后增加了难度，加大了学生的思考范围，进而全面地考察学生对知识的综合运用能力。

09年中考数学压轴题分析及解题策略.ppt

[1] 陈蓉《2006年重庆中考压轴题的探究》数学教学通讯 2006（12）
2、学生对最后的压轴题既爱又恨，最主要的原因是学生在解题过程中出现了思维困惑后，不能抓住问题的本质寻找合理的突破口。压轴题对思维能力思维品质的考查要求很高。[2] [2] 卢银波《找准压轴题的“压点”，突破思维困惑》数学教学通讯 2006 （11）
E：其他（13％）
（3）探究过程中出现错误，或三番五次尝试，总是找不出正确的解答，心情往往会很急躁，甚至感到很沮丧，你经常出现这种情况吗？如何调整你的心态？
A:经常出现，特别是在考试中，越想使自己冷静下来往往心情越是烦躁，索性“跳出来”，先不管它，回头重新来一遍。（37％）
B: 经常出现，一般会重新读题,检查涉及到的公式、定理以及解题方法是否用得对，在这个过程中心情也就慢慢平静下来了,然后接着原思路或者换个角度往下摸索（34％）
4、总结：
（1）运动背景的问题还将大行其道。（2）分类讨论还将是“压点”所在。（3）函数、相似三角形知识非常关键。（4）要关注探索性问题。
三、解题策略：
（一）调适好心态：
问卷调查
（1）遇到一个无从下手的数学问题，在不选择放弃的情况下，你通常怎么办？ A:反复阅读问题，从所给中寻找可以尝试下去的“蛛丝马迹” （31％） B:回忆有没有做过类似的题目，或考虑比它简单、特殊的情况（23％） C:试试能否用上一些典型的方法。（18％） D:凭感觉写写关系式、画画图像、列出图表，说不定会有好运气。（15％） E:和老师、同学讨论，尽量能得到点提示。（9％） F:其他（19％）
（二）解压轴题的几个关键点
• 1、养成良好的的读题习惯。
2、关注题目中的特殊图形。（量化）

2009年全国中考数学压轴题精选精析

2009年全国中考数学压轴题精选精析1.（2009年四川达州）23、（9分）如图11，抛物线)1)(3(-+=x x a y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B右侧），过点A 的直线交抛物线于另一点C ，点C 的坐标为（-2，6）.(1)求a 的值及直线AC 的函数关系式；(2)P 是线段AC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交x 轴于点N.①求线段PM 长度的最大值；②在抛物线上是否存在这样的点M ，使得△CMP 与△APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.（2009年四川达州23题解析）解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)∴a=-2 ……………………………………………………1分∴抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x 轴交于B （-3，0）、A （1，0）设直线AC 为y=kx+b ，则有0=k+b 6=-2k+b 解得 k=-2 b=2∴直线AC 为y=-2x+2 ……………………………………………………3分（2）①设P 的横坐标为a(-2≤a ≤1)，则P （a,-2a+2），M （a,-2a2-4a+6）………………4分 ∴PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92 =-2a+122+92∴当a=-12时，PM 的最大值为92 ……………………………………6分 ②M1（0，6）…………………………………………………………7分 M2-14，678 ……………………………………………………………9分2.（2009年四川成都）28．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N ，且COS∠BCO ＝10。