微积分上册习题课用题

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《微积分》上册部分课后习题答案

《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 d x x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。

微积分课后题答案习题详解

第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。

微积分作为数学中的基础学科，更是如此。

本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。

课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。

答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。

答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。

大学一年级上学期-微积分课后练习及答案-4-4-定积分的计算

dx x2 + 5x +1
t
3
− ∫1
1
t2
dt + 5t
+
1
=
3
−∫1
d(t + 5) 2
(t + 5 )2 − 21 24
1
= − ln t + 5 + t 2 + 5t + 1 3 = ln( 7 + 7 ) − ln 9 = ln 7 + 2 7
2
1
2
2
9
π
(8) ∫0 sin3 x − sin5 xdx
解:
e2
∫1 x
dx 1 + ln x
=
e2
∫1
d(1 + ln x) 1 + ln x
=2
e2
1 + ln x = 2(
1
3 − 1)
(3)
∫ 2ln 2 dx
ln 2 e x − 1
解:
∫ 2ln 2 ln 2
e
dx x−
1
=
∫ 2ln 2 ln 2
1
−ex +e ex −1
x
=
∫ 2ln 2 ln 2
《微积分 A》习题解答
1
(6) ∫ (1 − x 2 )3 dx 0
1
解: ∫ 0
π
(1 − x 2 )3 dx = ∫ 2 0
(1 − sin 2
t)3
cos tdt
π
=∫ 2 0
cos 4
tdt
=
3⋅ 4
1 2
⋅π 2
=
3π 16

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

微积分上册试题及答案

dy
dt dx
பைடு நூலகம்
t4 ln t
2
t
2t
t 4 ；
dx ln t
d 2 y 4t3 4t2 ln t ； dx2 t
d 2 y 4e2 dx 2
t e
ln t
2、求不定积分 I
x2 dx .
x 1
I
3
1
1
[( x 1) 2 2(x 1) 2 (x 1) 2 ]dx 或（令
x 1 u）I 2
(u4 2u2 1)du
2 (x
5
1) 2
4
(x
3
1) 2
2( x
1
1) 2
C
5
3
1、求定积分 I
2
(|
x
|
x)
sin 2
xdx
2
I
2
|
x
|
sin 2
xdx
2
2 x sin 2 xdx
0
2
2
x2
2 0
x(1
cos2x)dx
2
0
2
x 2
sin
2x
1 4
c
os2x
0
2
解：设直杆长为 x ，则目标函数 L x 2 (16 x)2 36 （ 0 x 16 ）
dL 1 2 x 16 ，
dx
(16 x)2 36
令
dL dx
0 ，得驻点 x0
16 2
3
比较： L(0) 4 73 ， L(x0 ) 16 6 3 ， L(16) 28
故直杆长为16 2 3 ，斜臂长为 4 3 时， L 有最小值.

微积分练习100题及其解答

x 0 t x
2
1
x2
．
1
解： lim x e
x 0
2
1
lim
x2
et ． t t
17．求极限： lim sin x ln x ．
x 0
解： lim sin x ln x lim
x 0 x 0
1 ln x tan x sin x x lim lim 0． x 0 csc x x 0 csc x cot x x 1 x 2 1 x ． 1 x2 lim x 1 1 x tan 2 1 x x
cos 2x 1 2 sin 2x lim 2 x 0 sin x 2 x sin 2 x x cos 2 x 2 sin 2x 6x cos 2x 2x2 sin 2x ； 2 sin 2x 1 2 x lim x 0 2 sin 2x 3 4 cos 2 x x sin 2 x 2x lim

2．求极限： lim
e x e sin x ． x 0 x sin x
( x 0) ，∴ lim
解：∵ e x 1 ~ x
e x e sin x e x sin x 1 lim e sin x 1． x 0 x sin x x0 x sin x
x 0
2
13．求极限： lim
x1
1 1 ． 1 x ln x
1 1 1 1 ln x 1 x x lim lim lim x 1 1 x x 1 x 1 1 x ln x (1 x) ln x ln x ；解： x 1 x 1 1 lim lim x 1 1 x x ln x x 1 1 ln x 1 2

《微积分》上册部分课后习题答案

微积分上册一元函数微积分与无穷级数第2章极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )．证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim．解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→．解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限．证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解：原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→．解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =．解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1）原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2）原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='．解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=，又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解：令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '；（3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy．解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =．解（1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足（1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解（1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。

微积分上学期答案

1微积分答案第一章函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ；３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4；（2）25；（3）1；（4）5；（5）2.2、（1）3；（2）0；（3）2；（4）5e -；（5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。

第二章极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1；（4）0；（5）12．四、略。

高等数学一元微积分学课后练习题含答案

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在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。

因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。

练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。

题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。

答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。

对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。

首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。

题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。

答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。

首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。

当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。

当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。

当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。

因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。

微积分上册部分课后习题答案

《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 dx x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。

微积分第一章课外习题参考答案

若 f (a b) 0,则. a b为 f (x)的一个零点; 若 f (a b) 0,则 (0,ab) 使 f () 0. 综上所述, (0,ab],使 f () 0.
p1 4 . 三 .3 .证明 : 设 M m a x{ f ( x i ) | 1 i n },
m m in{ f ( xi ) | 1 i n}, 则有 m f ( xi ) M ,1 i n,
p2. 四 . 证明: f (x) f (2a x)
f (2b 2a x) f [2(b a) x] 周期 T 2|b a |.
五 . 证明 f ( x) loga( x x2 1)
loga
x2
1 1
x
loga( x
x2 1)
f ( x).
§1.1, §1.2数列极限(3-4)
ak ).
例如:
lim n 1n 2n 8n 8.
n
p15. 三 .由导数定义知 :
1. lim e xh e x . h0 h
tan( x x) 1
2. lim
x 0
x
cos2 x .
p16. 3.解 : 原式 lim [(1
6
3 x2 6 x1
) ] 6 3 x 2 2
p 4 . 2 . 解 :由题意 ,设 P1 P2 1
P1 Pn
1
1 2
1 22
1 23
( 1)n2 2 n2
1 ( 1 )n1 2 2( 1 )n1
2 1 1
2 3
2
lim
n
P1 Pn
2 2( 1 )n1
lim
2
n
3
2 3
p4.3.证明 : { xn }有界, M 0,使得

微积分(一)同步练习

§1.1 函数与映射一、指出下列函数是由那些简单初等函数复合而成：1.2arcsin y x =；2.x y ln ln ln =. 、设)(x f 的定义域为](1,0，求下列函数的定义域：1.)(2x f ；2.)(cos x f ；3.)(ax f )0(>a .三、设⎩⎨⎧=,,2)(x x x f 00≥<x x ，⎩⎨⎧-=,3,5)(x x x g 00≥<x x ，求)]([x g f 及)]([x f g .四、用x x f sin )(=的图形作下列函数图形：1.)2(+=x f y ；2.)(2x f y =；3.)2(x f y =.五、已知(sin )1cos 2x f x =+，求(cos )2xf .六、设定义在(,)-∞+∞的函数()f x 严格递增，且有[()]()f f x f x =，求()f x .七、证明：241()1x f x x+=+在(,)-∞+∞内有界. §1.2数列与极限 §1.3函数的极限一、根据数列极限的定义证明：1.0sin lim =∞→n n n ；2.21)21(lim 222=+++∞→nn n n n . 二、若lim 0n n x a →∞=≠，证明||||lim a x n n =∞→.反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出反例.三、根据函数极限的定义证明：1.8)13(lim 3=-→x x ； 2.2)4(lim 2-=--+∞→x x x x .四、设31,1()2, 1x x f x x x ->⎧=⎨<⎩，试求：1.)(lim 1x f x →； 2.)(lim 2x f x →； 3.)(lim 0x f x →.五、设函数||35||3)(x x x x x f -+=，试求：1.)(lim x f x +∞→；2.)(lim x f x -∞→；3.0lim ()x f x +→； 4.0lim ()x f x -→； 5.)(lim 0x f x →. §1.4无穷大与无穷小 §1.5极限运算法则一、下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量：1.ln x )1(→x 及)0(+→x ；2.)21(sin +xx )0(→x .二、证明函数x x y cos =在),0(+∞内无界，但当+∞→x 时，这函数不是无穷大. 三、计算下列极限：1.)2141211(lim n n ++++∞→ ； 2.12lim ++++∞→x x x x x ；3. 2231lim 9x x x x →---； 4. 232121lim 1x x x x x x →-+--+.四、计算下列极限：1. 10515(1)(21)lim (32)x x x x →∞+-+ ； 2 53153lim()11x x x→--- 3 x →∞ 五、已知 22lim 222=--++→x x bax x x ，求常数,a 和b . §1.6极限存在准则 §1.7无穷小的比较一、计算下列极限：1.x x x csc 20)sin 31(lim -→； 2.x x x x x x )cos 1(1sin3sin lim20++→；3. 6lim sin()tan 26x x x ππ→-； 4. 1lim()1x x x x →∞+-.二、利用夹逼准则证明：1. 1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n n ； 2. 01lim []1x x x+→=.三、设01>=a x ，)2(211nn n x x x +=+ ,3,2,1=n ，利用单调有界准则证明：数列}{n x 收敛，并求其极限.四、确定α的值，使αx x x 41~sin 1tan 1+-+ （)0→x .§1.8 函数的连续性与间断点 §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10闭区间上连续函数的性质一、判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续.1.23122+--=x x x y 1,2x x ==；2.tan x yx= x k π=,)2,1,0(2 ±±=+=k k x ππ.二、讨论函数nnn x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判断其类型.三、求下列极限：1.0e 1x →-； 2.11031lim 31xx x+→-+.四、设函数2(),1[ln ln()],f x b x x x x=⎨⎪⎪-+⎪⎩ 02002x x x ππ-<<=<<，问b a ,为何值时，)(x f 在(,)22ππ-内连续五、证明方程135=-x x 至少有一个根介于1和2之间.第一章习题课一、计算下列极限：1.)1311(lim31xx x ---→； 2.)11(lim 22--+∞→x xx ； 3.()0lim 1cos x x x →-； 4. 0lim x +→；5.xx arctan 3lim ∞→ ； 6.limx ．二、已知 1)11(lim 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b ．三、设0x →时，()12511ax+-与ln cos x 是等价无穷小，求常数a 的值．四、设a b c <<，证明：方程1110x a x b x c++=---在(),a b 与(),b c 内各至少有一实根．五、设()f x 在[]0,2a 上连续，()()02f f a =，证明：存在[]0,a ξ∈使得()()f f a ξξ=+． §2.1导数概念 §2.2函数的求导法则（一）一、下列各题中均假定)(0x f '存在，按照导数的定义，A 分别表示什么？1.000()()lim x f x x f x A x∆→-∆-=∆，则A = ；2.A xx f x =→)(lim0，且)0(f '存在，则A = ； 3.000()()lim h f x h f x h A h→+--= 则A = ．二、讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性：1.x y sin = ；2.21sin ,00, 0x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩．三、设函数2, 1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，若函数()f x 在1x =处可导，b a ,应取什么值？四、设sin ,(),x f x x ⎧=⎨⎩ 0≤>x x ,求)(x f '. 五、已知函数)(x f 可导，且对任何实数y x ,满足：（1）()e ()e ()x y f x y f y f x +=+；（2）(0)e f '=，证明：1()()e x f x f x +'=+. 六、求下列函数在给定点处的导数：1.x x y cos sin -=，求6π='x y ； 2.23()5x f x x =+，求)0(f '和)2(f '§2.2函数的求导法则（二） §2.3高阶导数一、求下列函数的导数：1.23253++-=x x e x y ；2.23e 2x x y +-=⋅；3.3)(arcsin x y = ；4.)ln(22x a x y -+= ；5.)1ln(ln ln 2+=x y ；6.xx y +-=11arcsin ；7.y =； 8.xy 1arcsin = ．二、设)(x f 可导，求d d y x： 1.()(e )e x f x y f =⋅ ； 2.)(cos )(sin 22x f x f y +=.三、求下列函数的二阶导数：1.21sin e x y x -=⋅；2.)1(ln 2x x x y ++=.四、设6)10()(+=x x f ，求)2(f '''、)2()6(f及)2()20(f .五、求2234x y x x =--的n 阶导数.§2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 §2.5 函数的微分一、求由下列方程所确定的隐函数的导数d d yx：1.y x y x ln cos )sin(=+ ；2.y x x y =.二、用对数求导法求下列函数的导数：1. xx y tan )(sin =； 2.54)1()3(2+-+=x x x y .三、求下列参数方程所确定的函数的导数d d y x，22d d yx ：1. ⎪⎩⎪⎨⎧==32bty at x ； 2. ⎩⎨⎧=-=θθθθcos )sin 1(y x .四、求曲线在所给参数值相应的点处的切法线方程：1.⎩⎨⎧==t y t x cos sin ， 4t π=处；2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t aty t at x ，2t =处.五、求下列函数的微分：1.21arcsin x y -=；2.x yy x arctan ln 22=+.六、求||y x x =的微分.第二章习题课一、设3e ,0()sin ,0x b x f x ax x ⎧+≤=⎨>⎩，且)(x f 在0=x 处可导，求b a ,的值．二、求下列函数的导数：1.x x arc y 2cot 2-=；2.ln(e x y = ．三、设)2002(sin )22)(sin 12(sin )(2002---=t t t t f πππ，求)1(f '.四、设))((y x g f u +=，其中)(x y y =由方程2e sin()y y x y +=+确定，且g f ,一阶可导，求d d u x .五、设()f x 在e x =处有连续的一阶导数，且2(e)e f '=，求0d lim (e d x f x+→.六、已知⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos ln ，求224d d ,|d d t y yx x π=.七、设x y 3cos =，求)(n y .§3.1中值定理一、验证函数32()4710f x x x x =+--在[1,2]-上满足罗尔定理的条件，并确定ξ的值．二、设()f x 在(,)a b 内可导，且lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==，证明：在(,)a b 内存在一点c ，使得()0f c '=．三、证明：1≥x 时，有π≡++212arcsin arctan 2xxx ．四、设01210=++++n a a a n ，证明：方程010=+++n n x a x a a 在)1,0(内必有一个零点．五、设1,0><<p x y ，证明：)()(11y x px y x y x py p p p p -≤-≤---．六、若()f x 在(,)-∞+∞内满足关系式()(),f x f x '=-且(0)1f =，则()e x f x -=．七、设()f x 在[,]a b 上二阶可导，123,,x x x 为[,]a b 上的三个点，123x x x <<，且123()()()f x f x f x ==，证明：存在一点ξ，使得()0f ξ''=．§3.2罗必达法则 §3.3泰勒公式一、求下列极限：1.20)1ln(lim xx x x +-→； 2.)32(lim 11x x x x -∞→ ；3.)ln 11(lim 1xx x x --→； 4.110(1)lim[]e xx x x →+；5.xx x 1)(ln lim +∞→ ； 6.22lim (tan )x x x ππ--→．二、若30sin 6()lim 0x x xf x x →+=，求206()lim x f x x→+．三、求x +1的3阶麦克劳林展开式．四、求12-=x y 在20=x 处的3阶泰勒公式．五、利用泰勒公式求下列极限：1.21lim[ln(1)]x x x x →+∞-+ ；2.x xx x x 30sin cos sin lim -→ ．§3.4函数单调性和曲线的凹凸性 §3.5函数的极值与最大值（1）一、求下列函数的单调区间：1.69323+--=x x x y ； 2.xxy 2ln = ．二、证明下列不等式：1.x x x 1321->>时，；2.02x π≤≤时，2sin x x π≥．三、讨论方程x x 2ln =的实根数目．四、求下列函数的凹凸区间及拐点：1.123+=x x y ； 2.e x y x = ．五、已知点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，求b a ,．六、求下列函数的极值：1.x x y ln 2=；2.|)1(|2-=x x y ．§3.5函数的极值与最大值（2） §3.6函数图形的描绘一、求函数x x y 2+=在区间]4,0[上的最大值和最小值．二、已知船航行一昼夜的费用由两部分组成：一为固定部分a 元；另一为变动部分，它与速度的立方成正比.试问当船的航程为s 时，船应以怎样的速度v 行驶，费用最省？三、过平面上点(1,4)P 作一直线，使得它在两坐标轴上的截距都是正的，且它们的和最小，求此直线的方程．四、求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点．五、试作函数241x xy +=的图形．六、作函数e xy x=的图形．第三章习题课一、求下列极限：1.1ln sin1xx x→--； 2.2lim tan4nn nπ→∞⎛⎫+⎪⎝⎭；3.11lim cotsinxxx x→⎛⎫⋅-⎪⎝⎭； 4.xxxxxcba1)3(lim++→．二、证明下列不等式：1. 设0x >，证明：()()221ln 10x x x ++-<；2.01x <<时，2e sin 12xx x -+<+．三、求椭圆22334x xy y -+=上离原点O 最远及最近的点.四、求数列中最大的一项.五、设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)1(=f ，则必有ξξξξ)()()1,0(f f -='∈使得.六、设]0[)(c x f ，在上有定义，)(x f '存在且单调减少，0)0(=f ，试用拉格朗日定理证明：对)()()(,0b f a f b a f c b a b a +≤+≤+≤≤≤有.§4.1不定积分的概念和性质 §4.2换元积分法一、下列不定积分：1.2d x⎰； 2.21()d x x x -⎰；3.422d 1x x x-+⎰； 4.2332d 5x x x x ⋅-⋅⎰；5.22d sin cos x x x ⎰；6.cos 2d sin cos xx x x+⎰；⎰．7.cot(sin csc)d-x x x x(e,3)，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线的二、一曲线过点2方程．三、设1)0(,sec )(tan 22=='f x x f ，求)(x f ．§4.2换元积分法（续）求下列不定积分：1. x ⎰； 2.；3. x ；4.d e e x x x-+⎰；5. 3cos d sin x x x ⎰；6.3sin d x x ⎰；7. arcsin xx ； 8. sin cos d 2xx x ⎰；9.1lndlnxxx x+⎰；10.3222d()xa x-⎰；11. x；12.§4.3分部积分法 §4.4有理函数的积分求下列不定积分：1.2ln ()d x x x ⎰； 2.2sin d x x x ⎰；3.1e d x x x +⎰；4.x ⎰；5.22arctan d 1x x x x +⎰； 6.22d (1)(1)xx x -+⎰；7.5d (1)x x x +⎰； 8.2sin d 2cos x x x -+⎰；9.dsin tan xx x +⎰； 10.；11. ．第四章习题课一、求下列不定积分：1. 4sin cos d 2sin x x x x +⎰； 2. x ；3.⎰； 4.2d 12tan xx +⎰；5.6.2cos sin d x x xx x-⎰；7. x； 8.1182d (1)x xx +⎰ ．二、设e ,0()2ln(1) ,2x x x f x x x x x -⎧≤=<<-≥⎪⎩，计算()d f x x ⎰.三、设)()(x f x F ='，0≥x 时成立x x F x f 2sin )()(=，且1)0(,0)(=≥F x F ，求)(x f .§5.1定积分的概念与性质 §5.2微积分基本公式（1）（2）一、用定积分定义，计算() (1)d ba x x ab +<⎰．二、利用定积分的几何意义，说明下列等式成立的理由．1311.d 0x x -=⎰； 2 0 02.sin d 2sin d 22x x x x ππ=⎰⎰； 03.x π=⎰．三、设()f x 在[],a b 上连续非负，且有()[]000,,f x x a b >∈，证明() d 0ba f x x >⎰．四、不计算比较大小 24 1d x x ⎰还是 25 1d x x ⎰，并说明严格不等式成立的原因．五、计算下列函数的导数：221.x x ⎰； 382.x t ⎰； 3 cos22 e3.sin d xxx x ⎰．六、求下列极限：22 02cos d 1.limx x x x x →⎰； ()2222 0e d 2.lim e d xt xx t t t t-→⎰⎰．七、设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导且()0f x '≥，令()() 1d xaF x f x x x a =-⎰，证明在(),a b 内有()0F x '≥．§5.2微积分基本公式（3） §5.3定积分的换元法和分部积分法（1）一、计算下列各定积分：11.1d x ⎰； 2 02.cos d x x π⎰；23 43.tan d x x ππ⎰； 24.()d f x x ⎰，其中()21,11,12x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩．二、计算下列各定积分：2 01.sin d 4x x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； 22 02.sin d x x π⎰；3e 13.⎰14.5. 36.x x ⎰．三、设()f x 是连续函数，求证：220()()(2)a a a af x dx f x dx f a x dx =+-⎰⎰⎰，并求2sin 1cos x xdx xπ+⎰．§5.3定积分的换元法和分部积分法（2） §5.4反常积分一、计算下列各定积分：201.e d xx x ⎰；2 02.sin d t t t πωω⎰，ω为非零常数；4 03.e cos 2d x x x π⎰； 4.x ．二、计算120ln(1)(2)x I dx x +=-⎰．三、求20|sin |I x x dx π=⎰．四、判定下列反常积分的敛散性，若收敛，计算广义积分的值.() 01.e cos d ,0pt t t p ωω+∞->⎰； 2 d 2.46x x x +∞-∞++⎰；12 0d 3.1x xx -⎰； 2 04.x ⎰．五、证明：2440011dx x dx x x +∞+∞==++⎰⎰第五章习题课一、设 2 02tan()sec d x y x x y t t ---=⎰，求d d y x .二、设sin ,0(),()20 ,x x f x x g x π⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩其他，当0≥x 时，求 0()()()d x F x f t g x t t =-⎰.三、计算下列定积分： 1. 2 2x ππ-⎰； 2. 0d x x ⎰；3. ln 0x ⎰；4. 3 0[]d x x x ⎰，其中[]x 为不超过x 的最大整数．四、计算 3|| 3(||)e d x x x x --+⎰.五、证明： 2 0sin 1d 2xx x ππ<<⎰.六、已知 1ln ()d 1x t f x t t =+⎰，求)21()2(f f +.七、设n 为自然数，求 4 0tan d n n I x x π=⎰.§6.1定积分的元素法 §6.2定积分在几何学上的应用（1）（2）一、求由下列各曲线所围成的图形的面积：2221.2y x x y =+=与（两部分都要计算）； 2.ln ,y x y =轴与直线ln 2,ln 4y y ==．二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：()1.2sin 0a a ρθ=>； ()2.sin ,(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤．三、把抛物线()()2002 0 0y px p x x x =>=>及所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积．四、求由曲线32,0,4y x y x ===所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积．五、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积．六、记()V ξ为曲线2,0,0,1y y x x x ξ====+所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积，求lim ()V ξξ→+∞．§6.2定积分在几何学上的应用（3）第六章习题课一、求曲线ln cos 02y x x a π⎛⎫=≤≤< ⎪⎝⎭的弧长．二、在摆线()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩上求分摆线第一拱成3:1的点的坐标．三、设曲线0 , [0,]y t xπ=∈⎰，求曲线之长.四、求1yx=与直线3y x x==及所围图形的面积．五、求双纽线22cos 2r a ϕ=所围图形的面积．六、求()sin ,00y x y x π==≤≤所围图形分别绕x 轴、y 轴旋转所得旋转体的体积．§7.1 微分方程的基本概念 §7.2 可分离变量的微分方程一、判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：1.1cot ,21cos dy x y y dx x=-=- 2.2121,ln cos()y y y C x C ''=+=-+二、确定下列各题的函数关系式中的参数，使函数满足所给的初始条件：1.2202,|3x x y C y =-==2.1222cos sin ,|1,|2x x y C x C x y y ππ=='=+==三、设曲线在点(,)x y 处切线的斜率等于该点纵坐标的立方，写出该曲线满足的微分方程。

微积分（上）习题200题及答案

填空题：（30题）1.()___________2则20102sin 设函数设函数2=÷÷øöççèæîíì<£+<<-=p f x xx x x f f代入函数可得答案,220££p答案：412p+2._________的定义域是24函数2--=x x y即可得到答案且由02-04-2¹³x x答案：](()¥+È-¥-,22, 3.()[]()的定义域求,1,0的定义域是设2x f x fy =[]的范围，进而得到的范围是者函数由原函数定义域知道后x x 1,02 答案：[]1,1-4.()()()[]______则1,ln 1已知=+=+=x g f x x g x x f()()[][]()1ln 11,1++=+=+=x x f x g f x x g5.()()()x f d c b a dcx bax x f 1求反函数为常数,,,设-++= ()可知反函数,--,--,0--,a cy dyb x dy b x a cy b ax dy cxy d cx bax y ===+++=答案：acx dxb --6._________1sin lim 3310=®xx x答案：07.______sinlim =+¥®xx x x答案:是有界的由于x xxx x sin 1sin lim=+¥®8.()0______1lim 0>=-®a xa x x 答案:a a a xa x x x x ln 1ln lim 1lim 00==-®® 9.()_____1lim 1=-®x x x答案：1-e10._____则,22sin sin lim 若0==®m xmx x答案：411.()()_____则在其定义域内连续若函数011sin 00sin 1设=ïïïîïïïíì>+=<=k x f x x x x k x xx x f 解：因为()在其定义域内连续函数x f ，所以1sin lim k 0==®xx x12.()()_____的间断点是412函数+++=x x x y 答案：1-=x 13._____的连续区间是321函数2--=x x y答案：()()()¥+È-È-¥-,33,11,14.__________,则,14lim设21===+++-®b a b x ax x x 解：()34lim 145lim ,5,04lim 12121=+=+++===++-®-®-®x x x x b a ax x x x x 。

清华大学微积分习题课参考答案(微分法、方向导数与梯度、泰勒公式)

(x
+
y)
+
f
(x
−
y)
+
∫ x+y x− y
g (t )dt
其中函数
f
具有二阶导数
g
具有一阶导
数，求，． ∂2u , ∂2u ∂x2 ∂y2
∂2u ∂x∂y
解：因为， ∂u ∂x
=
f
′(x +
y) +
f
′(x
−
y) +
g(x
+
y) −
g(x −
y)
， ∂u
∂y
=
f ′(x +
y) −
f ′(x −
． x(z
+
y)x
−1
(
∂z ∂y
+ 1)
=
x
所以． ∂z ∂y
(1,2)
=
0
（）设函数由方程确定，求． 2
z = z(x, y)
x + y − z = ez
∂z
∂x（1,0）
解：将 y 看作常数， z 看作是 x 的函数，在 x + y − z = ez 两端关于 x 求导，得
． 1 −
r2 cos2 θ
−
∂f ∂x
r
cosθ
−
∂f ∂y
r sinθ
， ∂2u = ∂2 f
∂z2 ∂z2
微积分 B(2)
第 2 次习题课（By ） Huzm
6 / 12
所以
∂2u ∂r 2
+
1 r2
∂2u ∂θ 2
+
1 r

微积分上册练习题

之间的线性关系。
02
微分计算
通过求导数的方式计算微分，需要注意自变量的增量方向和大小。
03
微分的应用
微分在各个领域都有广泛应用，如最优化问题中的梯度下降算法、经济
学中的边际分析、物理学中的微元法等。同时，微分也是研究函数性质
和形态的重要工具之一。
微分及其应用
01
微分定义
微分是函数在某一点处的局部变化量，可以表示为函数值与自变量增量
柯西中值定理
如果两个函数在闭区间上连续，开区间内可导，且分母函数的导数在该区间内不为零，则至少存在一点使得两个函数在该点的导数之比等于区间两端点函数值之比。
洛必达法则
0/0型未定式
01
当两个函数在某点的极限都为0时，可以通过求导的方式求解该
点的极限值。
∞/∞型未定式
02
当两个函数在某点的极限都为无穷大时，可以通过求导的方式
分部积分法
分部积分法的定义
将两个函数乘积的不定积分转化为两个函数分别求不定积分的方法。
分部积分法的公式
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。
分部积分法的应用
适用于被积函数是两个不同类型函数的乘积的情况，如幂函数与三角函数、幂函数与指数函数等。
PART 02
导数与微分
REPORTING
WENKU DESIGN
PART 02
导数与微分
REPORTING
WENKU DESIGN
导数概念及计算
导数定义
导数的几何意义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢程度。

大学一年级上学期-微积分课后练习及答案-4-3-不定积分

《微积分 A》习题解答
1．求下列不定积分.
(1) ∫ x xdx
习题 4.3(P236)
解: ∫ x
xdx
=
∫
3
x 2 dx
=
2 5
5
x2
+C
10x 3 + 3
(2) ∫ x 4 dx
解:
∫
10 x 3 + x4
3
dx
=
∫ (10 x −1
+
3 x −4 )dx
=
10 ln
x
−
x −3
+
C
(3) ∫ (1 − x)2 dx
∫
sin 1+
x cos x cos2 x
dx
=
−
1 2
∫
d(1 + cos2 x) 1 + cos2 x
=
−
1 2
ln(1 +
cos 2
x)
+
C
(12)
∫ cos2
x 2
dx (与本节习题
6(4)题目完全一样)
解： ∫ cos2
x 2
dx
=
1 2
∫ (1 +
cos x)
dx
=
1 (x 2
+
sin
x) +
∫
t
3
t3 −
t
2
6t 5dt
=
6∫
t6 dt
t −1
=
6∫
(t
6
− 1) + t −1
1
dt
= 6∫ (t 5
+ t4

大学一年级上学期-微积分课后练习及答案-3-3泰勒公式

f (−1) = −1 ， f ′(−1) = −1 ， f ′′(−1) = −2 ， f ′′′(−1) = −3! ，… f (n) (−1) = −n! ，
所以
f (x) =
1 x
在点
x0
= −1 处的带拉格朗日余项的泰勒公式为
1 x
=
−[1 +
(x
+
1) +
(x
+ 1)2
+
... +
(x
+ 1)n ] +
2．求下列函数在点 x0 处的带皮亚诺余项的泰勒公式.
(1)
f ( x) = xe− x2 ， x = 0 0
解：因为 e x
= 1+
x+ 1!
x2 2!
+L+
xn n!
+ o( x n ) ，所以
xe − x2
=
x⎜⎜⎝⎛1 +
− x2 1!
+
(− x2 )2 2!
+L +
(− x2 )n n!
+
o((− x 2 )n )⎟⎟⎠⎞
第 3 章微分中值定理及其应用第 3 节泰勒公式 2/8
《微积分 A》习题解答
=
x−
x3 1!
+
x5 2!
+ L + (−1)n
x 2n+1 n!
+ o( x 2n+1 )
(2) f ( x) = ln x ， x0 = 1
解： ln x = ln(1 + ( x − 1))
1+

微积分上册习题答案PPT学习教案

aim
x0
x2
arctan udu lim
0
x0
2x
lim
x0
2(1
x2)
2
第14页/共20页
9.计算下列定积分。
(1)
9
xdx
1
27 1
(2)
dx 1 3x
解: (1)
9
xdx
2
3
x2
9
2
9
3 2
2
3
12
18
2
17
1
1
3
3
3
32
1
(2)
27
1
dx
3
2
x3
27
3
(2) 在区间 [1,2]上x x2
12 xdx 12 x2dx
(3) 在区间[0,1] 上 x ln(1 x)
01 xdx 01ln(1 x)dx (4) 在区间[0,1] 上xex ln(1 x)
01 xexdx 01ln(1 x)dx
第8页/共20页
4.下列定积分哪些有意义，哪些没有意义？为什么
1
x)
e
1
1
e0
e
2
1
0
2
2
2
0
第17页/共20页
(7) (2sin x 3cosx)dx 2
(8)
e1 ( x)dx
1x
(7)
(2
sin
x
3
cos
x
)dx
(2
cos
x
3
sin
x
)
2 3 1
2
2
e1
x2 e