新高一数学下期末试卷(及答案)

17．已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y＝0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
18．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
19．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是．
新高一数学下期末试卷(及答案)
一、选择题
1．已知 是公差为 的等差数列，前 项和是 ，若 ，则（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．设集合 ， ．若 ，则 ( )
A． B． C． D．
3．在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，且 为锐角，若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
【解析】
【分析】
先利用指数函数的单调性得 ，再解一元二次不等式即可．
【详解】
．
故答案为
【点睛】
本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．
15．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；
20．若两个向量 与 的夹角为 ，则称向量“ ”为向量的“外积”，其长度为 .若已知 ， ， ，则 .
三、解答题
21．已知
（1）求函数 的对称轴方程；
（2）求函数 在 ， 上的单调递增区间.
22．已知： 是同一平面内的三个向量，其中
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ，且 与 垂直，求 与 的夹角 .
13．【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得：【点睛】本题主要考查四棱锥
解析：
【解析】
【分析】
由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.
【详解】
由题意可得，底面四边形 为边长为 的正方形，其面积 ，
解析：
【解析】
【分பைடு நூலகம்】
利用换元法，令 ， ，然后利用配方法求其最小值．
【详解】
令 ， ，则 ，
当 时，函数有最小值 ，故答案为 .
【点睛】
求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成 的形式利用配方法求最值；②形如 的可化为 的形式性求最值；③ 型，可化为 求最值；④形如 可设 换元后利用配方法求最值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论.
【详解】
， ， ， ， .
， .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用等差数列的前 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
A． B． C． D．
10．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
11．设函数 的最小正周期为 ，且 ，则（ ）
A． 在 上单调递增B． 在 上单调递减
C． 在 上单调递减D． 在 上单调递增
12．如图，在△ 中, , 是 上的一点,若 ,则实数 的值为( )
A． B． C． D．
7．C
解析：C
【解析】
当 时，不等式 可化为 ，显然恒成立；当 时，若不等式 恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与 轴无交点，则 解得： ，综上 的取值范围是 ，故选C.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
首先运用 求出通项 ，判断 的正负情况，再运用 即可得到答案．
【详解】
当 时， ；
当 时， ，
故 ；
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
7．当 时，不等式 恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（0，4）
8．已知 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ，若 ，则 的外接圆面积为（ ）
四边形ABCD的面积S＝| AC|•|BD| 10×4 20 ．
故答案为20 ．
【点评】
考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力，掌握对角线垂直的四边形的面积计算方法为对角线乘积的一半．
18．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答
所以，当 时， ，当 时， .
因此， .
故选：B．
【点睛】
本题考查了由数列的前 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分 和 两种情形，第二要掌握 这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.
9．D
解析：D
【解析】
解析：A
【解析】
由 得： ，当 时，函数的图象如图：
，再由关于 的方程 有六个不同的根，则关于 的方程 有三个不同的根，可得 ，解得 ，故选A.
点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于 的不等式，解得即可.
解析：
【解析】
【分析】
【详解】
解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；
其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；
则其概率为 ；
故答案为 ．
解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．
19．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点：三视图
所以在 中，由余弦定理可得： ，故 （负数舍去）
故答案选D
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
4．C
解析：C
【解析】
试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和． ， ，所以几何体的表面积为 ．
考点：三视图与表面积．
5．A
A． B． C． D．
5．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x-4）=f（x），且在区间[0，2]上f（x）=x，若关于x的方程f（x）=loga|x|有六个不同的根，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．（2，4）
6．已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是( )
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
将f(x)化简，求得 ，再进行判断即可.
【详解】
∵最小正周期为 得 ，
又 为偶函数，所以 ,
∵ , k=-1, ,
当 ,即 ,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意，
故选A.
【点睛】
本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.
（3）若 ，且 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
23．已知二次函数 满足 且 .
（1）求 的解析式；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
24．已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
25．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， ， .
2．C
解析：C
【解析】
∵集合 ， ，
∴ 是方程 的解，即
∴
∴ ，故选C
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简 ，再利用三角形面积公式，即可得到 ，由 ，求得 ，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】
由于 ，有正弦定理可得： ，即
由于在 中， ， ，所以 ，
联立 ，解得： ，
由于 为锐角，且 ，所以
二、填空题
13．已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 的体积为__________.
14．不等式 的解集是______．
15．函数 的最小值为________.
16．已知定义在实数集 上的偶函数 在区间 上是减函数,则不等式 的解集是________.
（1）求 的面积；
（2）若 ，求角 .
26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在 之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:
(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;
(2)学校从参加调查的年龄在 和 的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在 的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在 的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.
顶点 到底面四边形 的距离为 ，
由四棱锥的体积公式可得： .
【点睛】
本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题
解析：
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据共线关系用基底 表示 ，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数 的值.
【详解】
如下图，∵ 三点共线，∴ ，∴ ，即 ,
∴ ①,又∵ ，∴ ，∴ ②，
对比①，②，由平面向量基本定理可得： ．
【点睛】
本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.
二、填空题
16．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为
解析：
【解析】
由定义在实数集 上的偶函数 在区间 上是减函数,可得函数 在区间 上是增函数,所以由不等式 得 ,即 或 ,解得 或 ,即不等式 的解集是 ;故答案为 .
17．20【解析】【分析】根据题意可知过（35）的最长弦为直径最短弦为过（35）且垂直于该直径的弦分别求出两个量然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可【详解】解：圆的标准方程为（x﹣
6．D
解析：D
【解析】
把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2，
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函数 ；函数 是偶函数 ；函数 是奇函数 ；函数 是偶函数 .
解析：20
【解析】
【分析】
根据题意可知，过（3，5）的最长弦为直径，最短弦为过（3，5）且垂直于该直径的弦，分别求出两个量，然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出即可．
【详解】
解：圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝52，
由题意得最长的弦|AC|＝2×5＝10，
根据勾股定理得最短的弦|BD|＝2 4 ，且AC⊥BD，
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
x>1时, 在(1,+∞)恒成立，
故a⩽x2在(1,+∞)恒成立，
故a⩽1，
而1+a+1⩾1，即a⩾−1，
综上,a∈[−1,1]，
本题选择C选项.
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
【分析】
先化简得 ，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得 的外接圆面积.
【详解】
由题得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ,
所以 .
由正弦定理得 ,
所以 的外接圆面积为 .
故选D
【点睛】
本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10．C
解析：C
【解析】
x⩽1时,f(x)=−(x−1)2+1⩽1，