2.4.1+2 导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则课件(北师大版选修2-2)

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北师大版高中数学选择性必修第二册2.4 导数的四则运算法则【课件】

得x＝0或2(x＝0舍去)，
所以切线方程为x＋y－4＝0.
方法归纳
关于函数导数的应用及其解决方法
应用
方法
求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉
及切线问题的综合应用．
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；
若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件
求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)．
(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a，b为常
数．
(3) 函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即
[u(x)v(x)×…×w(x)]′ ＝ u ′(x)v(x)×…×w(x) ＋ u(x)v ′(x)×…×w(x) ＋ … ＋
(g(x)≠0)
语言叙述
两个函数的和(差)的导数，等于这两
个函数的导数的和(差)．
两个函数的积的导数，等于第一个函
数的导数乘以第二个函数，加上第一
个函数乘以第二个函数的导数．
两个函数的商的导数，等于分子的导
数乘以分母，减去分子乘以分母的导
数，再除以分母的平方．
状元随笔法则1：函数的和(差)的导数
u(x)v(x)×…×w ′(x).
法则3：函数的商的导数
f x
(1)注意[
g x
f ′(x)
]′≠
.
g ′(x)
f x
(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，
g x
1

导数的四则运算法则课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

高中数学
选择性必修第二册
北师大版
二求导法则在实际中的应用
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知
5284
将1t水进化到纯净度为%所需费用（单位：元），为() = 100− (80 < < 100).
求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
（1） 90% ；（2） 98%
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；
′ ()
=
5284 ′ 5284’ ×(100−)−5284 (100−)’
(100−) =
(100−)2
（1）因为 ′ (90) =
5284
100−90 2
=
0×(100−)−5284 ×(−1)
(100−)2
（2） ’ = (2 + cos)’ = (2 )’ +(cos)’ = 2 ln2 − sin.
（3） ’ = ( 3 e )’ = ( 3 )’ e + 3 (e )’ = 3 2 e + 3 e .
（4） ’
=
2sin ’ (2sin)’ 2 − 3 ( 2 )’
北师大版
随堂小测
1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( A )
A．1
B． 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．－1
D．0
3
2.已知物体的运动方程为s＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( D )
19
A. 4
17
B. 4
15
C. 4
13
D. 4

2.4导数的四则运算法则(课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第二册)

(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
5：求下列函数的导数： (1)y＝x5－3x3－5x2＋6； (3)y＝xx－＋11；
(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (4)y＝x·tan x.
[ f (x) g(x)] f (x) g(x).
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)]
[ f (x x) f (x)] [g(x x) g(x)] f g
y f g x x x
lim
x0
y x
lim
x0
f x
(2)方法一：∵y＝2·x－2＋3·x－3， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ ＝－4x－3－9x－4＝－x34＋－x49＝－x43－x94. 方法二：y′＝x22＋x33′＝x22′＋x33′ ＝2′x2－x4x2′·2＋3′·x3－x6x3′·3＝－x43－x94.
解：(3)y′＝(xx2＋＋33)′＝x＋3′x2＋3x2－＋3x＋ 2 3x2＋3′
＝x2＋3－x2＋x＋332×2x ＝－xx2－ 2＋63x＋2 3.
小结
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差), 即:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
探究导数的乘法与除法法则
思考： [f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)对吗？

2.4.1《导数的加法与减法法则》课件(北师大版选修2-2)

答案：〒2
3.（5分）若曲线y=x3-x+1上动点P处切线的倾斜角为α ，则角
α 的取值范围是_________.
【解析】∵y=x3-x+1, ∴y′=3x2-1, 设切点为P(x0,y0), 则k=tanα=3x02-1≥-1,
又∵α∈［0,π),
∴0≤α< 或 3 ≤α<π, 2 4 答案：{α|0≤α< 或 3 ≤α<π} 2 4
2.已知三次函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)=0,
f′(2)=3,f′(3)=12,则f(x)-f(0)=__________.
【例3】已知曲线方程为y=x3+1，试求该曲线在点（1，2）处
的切线与坐标轴所围成的三角形的面积.
思路点拨：解答本题时可先利用导数求切线方程，进而确定切线与坐标轴围成的三角形的特点，最后求其面积.
(B)-cosx-sinx
(D)cosx-sinx

2.曲线运动方程为S= 1-t +t 2 , 则t=2时的速度为（ t2 （A）4 （B）8 （C）10 （D）12
）
【例2】设y=f(x)是二次函数，方程f(x）=0有两个相等的实
根，且f′（x)=2x+1.求y=f(x）的函数表达式.
思路点拨：解答本题先根据f′(x)设出f(x)的表达式，再利用根的判别式为0求常数项.
课程目标设置
主题探究导学
2.利用导数的和（差）公式进行导数运算的前提条件是什么？提示：应用的前提条件是：①必须是有限个函数和(差)的形式； ②其中每个函数的导数都存在且利用公式能容易求出.
典型例题精析
【练一练】1.若y=sinx-cosx，则y′=（

(教师用书)高中数学 4.1 2 导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则同步课件北师大版选修22

§ 4 4．1 4．2
导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生发现两函数和、差、积、商的求导法则； (2)运用两函数和、差、积、商的求导法则计算函数的导数．
2．过程与方法通过对特殊的两个函数的和、差、积、商的导数与两函数导数的和、差、积、商的关系的探究学习，培养学生发现数学规律的方法与能力；通过法则的应用，提高学生化归转化的意识和能力． 3．情感、态度与价值观 (1)通过两函数和、差、积、商的求导法则的探索及推广，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探究归纳意识和能力；
【思路探究】仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣导数的四则运算法则，联系基本初等函数的导数公式求解．
【自主解答】
(1)法一
y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2
＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)· 3＝18x2－8x＋9. 法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x2－8x＋9. (2)y′＝(2xcos x－3xln x)′＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－ 1 3[x′ln x＋x(ln x)′]＝2 ln 2cos x－2 sin x－3(ln x＋x· x)＝
f′xgx－fxg′x fx 2 两个函数的商的导数 [ ]′＝______________________ [ g x ] gx
导数的四则运算
求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (2)y＝2xcos x－3xln x； x－1 (3)y＝ . x＋1
2
fx －1，[f(x)· g(x)]′＝3x ，[ ]′＝1. gx

2.4导数的四则运算法则(教学课件)高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册

北师大版
随堂小测
1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( A )
A．1
B． 2
C．－1
D．0
3
2.已知物体的运动方程为s＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( D )
19
A. 4
17
B. 4
15
C. 4
13
D. 4
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
解 (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
2 +1−2 2 ln
(3)y′＝ 2+1 2 .

1
(4)∵y＝x2－sin 2 cos 2 ＝x2－2sin x，
1
2
∴y′＝2x－ cos x.
高中数学
选择性必修第二册
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课堂小结
高中数学
选择性必修第二册
北师大版
二求导法则在实际中的应用
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知
5284
将1t水进化到纯净度为%所需费用（单位：元），为() = 100− (80 < < 100).
求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题
的综合应用；(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先
设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的

新教材适用高中数学第2章导数：导数的乘法与除法法则pptx课件北师大版选择性必修第二册

对点训练❶ 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x＋lg x； (3)y＝x＋ex 1.
[解析] (1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝3x2－2x＋1. (2)y′＝(3x)′＋(lg x)′＝3xln 3＋xln110. (3)y′＝ex′x＋x1＋－12x＋1′ex ＝exxx＋＋11－2 ex＝x＋xex12.
关键能力•攻重难
题|型|探|究
题型一
利用导数的运算法则求函数的导数
典例 1 求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝xx22－＋xx＋＋11；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝xl2n＋x1.
[分析] 若所给函数解析式较为复杂，可先对函数解析式进行适当的变化与化简，再用相关公式和法则求导．
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] 求导得 f′(x)＝1x－2f′(1)x＋2，
所以 f′(1)＝1－2f′(1)＋2，解得 f′(1)＝1，
则 f(x)＝ln x－x2＋2x－1，
所以 f(1)＝ln 1－1＋2－1＝0.
2．函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( D )
A．1
题型二
求导法则的综合应用
典例 2 已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是 13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值； (2)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 l：y＝－14x＋3 垂直，求切点
坐标与切线的方程． [分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到
＝(3e)xln(3e)－2xln 2.

2.4.2《导数的乘法与除法法则》课件(北师大版选修2-2,)

x 在点（-1，-1）处 x+2
(B)y=2x-1 (D)y=-2x-2
2 , 所以，在点（-1，-1）处的 2 (x+2) 2 切线斜率k=y′｜x=-1= , =2,所以，切线方程为 2 (-1+2)
【解析】选A.因为y′=
y+1=2(x+1),即y=2x+1,故选A.
3.下列求导运算正确的是（
【解题提示】本题是导数与三角知识的综合，首先应熟练运用导数公式，其次要综合运用三角知识，特别应注意角的范围对三角函数值的影响.
【解析】
答案：
【解析】
答案：
【解析】
=sinx+cosx.
令f(x)+f′(x)=0即
f(x)+f′(x)=sinx+cosx+cosx-sinx
=2cosx=0,
课程目标设置
主题探究导学
典型例题精析
【例3】设函数f(x)=ax - b , 曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线 x 方程为7x-4y-12=0 (1)求f(x)的解析式； (2)证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.已知曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行，则
a=________.
【解析】f′(1)=2a×1=2 a=1. 答案：1
5.已知f(x)=x2+2xf′(1)，则f′(0)=_____.
【解析】f′(x)=［x2+2xf′(1)］′
1.（5分）已知函数f(x)=(x+2a)(x-a)2,则f′(x)=（ (A)2(x2-a2) (C)3(x2-a2) (B)3(x2+a2) (D)2(x2+a2)

高中数学北师大版选修1-1第三章《导数的乘法与除法法则》ppt课件

② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
是f (
f
(xx)和)gg(x()xgf),((我xx))f们(x有)ggf:(x(()xx)) .
f
(x)
g ( x),

f (x)

g(x)

f (x)g(x) f (x)g(x)
பைடு நூலகம்
g 2(x)
.
特别地,当g(x) k时,有: kf (x) kf (x).
解 : (1)函数y x2 (ln x sin x)是函数f (x) x2与 g(x) ln x sin x的积.由导数公式表及和函数的求
导法则可得: f (x) 2x, g(x) 1 cosx,
由求导的乘法法则可得:
x
x2 (ln
x

sin
x)

2x(ln
g(x) ln x之商,根据导数公式表分别得出:
f (x) 2x, g(x) 1 , x
由求导的除法法则得:

x ln
2
x

2x ln x x2 (ln x)2
1 x

x(2 ln x 1) ln 2 x .
例5求下列函数的导数:
(1) y x2 (ln x sin x); (2) y cos x x . x2

高中数学第二章变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则 2.4.2 导数的乘法与除法法则学

2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.4.1 导数的加法与减法法则2.4.2 导数的乘法与除法法则学案（含解析）北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.4.1 导数的加法与减法法则2.4.2 导数的乘法与除法法则学案（含解析）北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第二章变化率与导数2.4.1 导数的加法与减法法则2.4.2 导数的乘法与除法法则学案（含解析）北师大版选修2-2的全部内容。

2.4。

1 导数的加法与减法法则2。

4.2 导数的乘法与除法法则1。

理解导数的四则运算法则.（重点）2.能利用导数的四则运算法则求导。

(重点、难点）［基础·初探］教材整理1 导数的加法与减法法则阅读教材P42部分内容,完成下列问题。

两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和(差)，即［f(x)＋g（x）]′＝f′(x)＋g′(x)，[f（x）－g(x）]′＝f′(x）－g′(x)。

教材整理2 导数的乘法与除法法则阅读教材P44“练习"以下至P45“例3”以上部分，完成下列问题。

一般地，若两个函数f(x）和g（x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f（x）g（x)］′＝f′(x）g(x)＋f(x）g′（x)，错误!′＝错误!(g(x)≠0）.特别地，当g（x)＝k时,有［kf(x)］′＝kf′(x）.若f（x)＝错误!，则f′（x）＝________.【解析】f′（x)＝错误!错误!＝错误!＝错误!.【答案】错误!［质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1:解惑:疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型］导数的四则运算（1)函数y＝（2x2＋3)（3x－2）的导数是________；(2）函数y＝2x cos x－3x ln x的导数是________；(3）函数y＝错误!的导数是________。

高中数学第二章变化率与导数24导数的四则运算法则第12课时导数的加法与减法法则作业课件北师大版选修

解之，得x0＝32， ∴k＝3×322－6×32＋2＝－14. 综上所述，k＝2或k＝－14.
谢谢观赏！
Thanks!
结束
语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
解析：∵f(x)＝ex＋3x，∴f′(x)＝(ex)′＋(3x)′＝ex＋3.若 f′(x0)>5，则ex0＋3>5，即ex0>2，∴x0>ln2，即实数x0的取值范围是(ln2，＋∞)．
2 11．已知f(x)＝x2＋2f′－13x，则f′－13＝____3____.
解析：因为f(x)＝x2＋2f′－13x，所以f′(x)＝2x＋2f′－13. 所以f′－13＝2×－13＋2f′－13，所以f′－13＝－2×－13＝23.
15．(15分)若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，求k的值．
解：设切点坐标为(x0，y0)，y′＝3x2－6x＋2.将x＝x0代入导函数得k＝3x02－6x0＋2.
若x0＝0，则k＝2.若x0≠0，则k＝yx00， ∴3x02－6x0＋2＝yx00，即3x02－6x0＋2＝x30－3xx020＋2x0，
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1.掌握导数的加法与减法的运算法则. 2.会用法则求简单函数的导数.
——基础巩固—— 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知f(x)＝ A．12 C．5
，则f′(2 2)＝( D ) B． D．－12
解析：∵f′(x)＝选D.
1 A.3
B．－13
7 C.3
D．－13或53

2021年高中数学第二章变化率与导数2.4.1导数的加法与减法法则课件1北师大版选修2_2

yax(a0,a1)
y ex
ylogax y lnx
ysinx
y 0
y x1
y ax lna
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
ycoxs
ycoxs ytanx ycoxt
ysinx
y
1 cos2
x
y
1 sin2
x
？？
问题：
我们前面学习了求单个函数的导数的方法，如果给出两个函数并它们的导数，如何求它们的和、差的导数呢？
（1） yx2 2x
解：(1)
设 f(x)x2 ， g（ x）2x
由函数和的求导法那么
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
可得：
(x22x)2x2xln2
（2） y xlnx
〔2〕
设 f（x）x和 g（ x） ln x
由函数差的求导法那么
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
同理
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
概括
两个函数和〔差〕的导数，等于这两个函数导数的和〔差〕，即
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
例1 求以下函数的导数：
可得： ( xlnx)( x)(lnx)11
2x x
例2.求曲线
y
x3
1 x
在点〔1,0〕处切线方程。
解)
1 x
，
及求导公式可得：
(x 3 1 x ) (x 3 ) (1 x ) 3 x 2 ( x 1 2)
将 x 1 代入上式得：

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易错易误辨析当堂双基达标
●重点难点重点：和、差、积、商的求导法则的运用．难点：法则的提出与推导．教学时从具体实例出发，引导学生分析实例中函数的结构与基本初等函数的关系，并引导学生提出问题，然后利用导数的定义解决问题，从而从具体问题中化解难点，再通过对法则的适用，突出重点．
【问题导思】 1．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x，试求f′(x)和g′(x)．
【提示】 f′(x)＝2x，g′(x)＝1.
fx 2．分别求函数f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)· g(x)，的 gx 导数．【提示】 [f(x)＋g(x)]′＝2x＋1，[f(x)－g(x)]′＝2x
课时作业
教师备课资源
BS·数学选修2-2
教学教法分析教学方案设计课前自主导学课堂互动探究菜单易错易误辨析当堂双基达标
课时作业
演示结束
教师备课资源
BS·数学选修2-2
教学教法分析教学方案设计课前自主导学课堂互动探究菜单易错易误辨析当堂双基达标
2
课时作业
fx －1，[f(x)· g(x)]′＝3x ，[ ]′＝1. gx
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fx 3．你能发现f(x)± g(x)，f(x)· g(x)，的导数与f′(x)， gx g′(x)的关系吗？并请你再举例说明．
【提示】
[f(x)± g(x)]′＝f′(x)± g′(x)，
[f(x)· g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， f′xgx－fxg′x fx [ ]′＝ . 2 gx g x
课标解读
1.理解导数的四则运算法则．(难点) 2.能利用导数的四则运算法则求导．(重点)
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导数的四则运算
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§ 4 4．1 4．2
导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则
教师用书独具演示
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●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生发现两函数和、差、积、商的求导法则； (2)运用两函数和、差、积、商的求导法则计算函数的导数．
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(2)通过法则的应用实践，体会数学中“化繁为简”这一基本的解题策略，体会数学在认识世界、改变世界中的价值．
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●教学流程设计
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2．过程与方法通过对特殊的两个函数的和、差、积、商的导数与两函数导数的和、差、积、商的关系的探究学习，培养学生发现数学规律的方法与能力；通过法则的应用，提高学生化归转化的意识和能力． 3．情感、态度与价值观 (1)通过两函数和、差、积、商的求导法则的探索及推广，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探究归纳意识和能力；
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●教学建议本节内容安排在学生学习了导数的定义和基本初等函数的求导公式之后，是对上述知识的应用和升华．因此，通过具体实例的分析和探索，让学生从联系与转化的角度提出问题、解决问题是本节课教学的关键．故本节课宜采用“探究→发现→应用”式教学模式，即在具体实例及教师的引导下，经过学生的探究发现问题，揭示规律并运用规律解决问题．