2016年春新人教版九年级下册数学：27.2《相似三角形》(第2课时)课件

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人教版九年级数学下册27.2.1《相似三角形的判定(2)》课件

A' D DE A' E A' B' B'C' A'C'
又 AB BC AC , A' D AB A' B' B'C' A'C'
A
A’
B
CD
E
B’
C’
A' E A'C'
ACA' A'CA'
BD，'
DAEB BA'CB'
AB'CE AB'C'
AC A'C
A' E AC ， DE BC
②平行法：
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
A
D
D
E
B
CB
符号语言：
E A
C
具备两个条件： (1) DE∥BC； (2)两个三角形在同一图形中。
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
猜想：判定两个三角形相似有哪些简便方法？
A'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线 A
A'C '
A'
上）截取A' D AB，过点D再作
DE ∥ B'C'交A'C'交于点E，可得
A' DE ∽A' B'C '.
B
DБайду номын сангаас
E
C
∴
A'D A'E . A'B' A'C'

九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件

3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方性质，求解面积问题通过已知三角形的面积和相似比，计算另一个三角形的面积结合图形变换和面积公式，利用相似三角形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形的性质，解决涉及线段、角度和面积的复杂问题
结合多种数学方法，如代数运算、方程求解等，提高解决问题的效率
通过分析问题的条件，选择合适的相似三角形性质和定理进行求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质，即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已知的两边和夹角是对应的，避免因为数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形的性质教学课件(共19张PPT)

F
三、探究新知
1、两个相似三角形对应高的长分别是 6cm和18cm，若较大三角形的周长是 2 42cm，面积是12cm ，则较小三角形
4 2 的周长为Βιβλιοθήκη ___cm ，面积为____cm 。 14 3
2、在△ABC中，DE∥BC， EF∥AB，已知△ADE和 △EFC的面积分别为4和9， B 求△ABC的面积。
2、如图，点D、E分别是△ABC边AB、那么△ADE的周长︰△ABC的周长
＝_______ 1︰3 。
三、探究新知
知识点二相似三角形对应高的比、面积的比
知识点一
1、已知，如图，△ABC∽△A′B′C′ AD，A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的高，（1）相似三角形的对应高的比与相似比有什么关系? 写出推导过程。相等
人教版数学九年级下
讲课内容：课本35-36页
27.2.2
相似三角形的性质
一、新课引入
思考：三角形中各种各样几何量，例如三角平分线的长度，以及周长、面积等，如
果两个三角形相似，那么它们的这些几何
条边的长度，三个内角的大小，高、中线、
量之间又有什么关系呢？
二、学习目标
1 相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比；
三、探究新知
解:(1)∵△ABC∽△A′B′C′ ∴
AB BC CA k AB BC C A
∠B=∠ B′
又∵AD⊥BC A′D′⊥B′C′ ∴∠ADB=∠ A′D′B′=90° ∴△ABD∽△A′B′D′ AD AB ∴ k AD AB
结论: 相似三角形对应高的比等于相似比 _____。
三、探究新知
（2）相似三角形对应边上的中线，对应角的平分线的比值与相似比有什么关系？相等结论: 相似三角形对应边上的中线，对相似比。应角的平分线的比等于______

人教版九年级数学下册27.2.1：相似三角形的判定(共26张PPT)

使△ADE∽△ACB．又∵ A′D=AB，∠A=∠A′，
（5）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。 √
（6）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 ×
（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。 √
（8）相似的两个三角形一定大小不等。 ×
2. AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD 于F，你能从中找出几对相似三角形？
定理1：三边成比例的两个三角形相似.
的三角形与△ABC相似，想一想满足
条件的直线共有多少条？试画出图形例3 弦AB和CD相交于⊙O内一点P.
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，
∴△ABC∽△A′B′C′.
并简要说明理由. 如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，
（）所有的等边三角形都相似。 √ 平行于三角形一边的直线
（1）所有的等腰三角形都相似。
3
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
（4）所有的直角三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。
例4 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8．
×
例2 △ABC 中， D是AB上的点，且 ∠B= ∠ACD.
OP
B
C
例4 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8． E 是 AC 上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．
归纳：由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL”判定它们全等.
那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？

27.2.1相似三角形的判定(第二课时)课件(共17张PPT)

谢谢观赏
You made my day!
A D
A'
B
C B'
C'
在△A'B'C'和△DBC中，
A'B＝ ' B'C'且C'＝C DB BC 但是△ A' B' C' 和△ DBC 显然不相似 .
两边对应成比例且其中一边的对角
对应相等的两个三角形不一定相似.
例1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：（1）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
探究
请同学们在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同样的结论．
这两个三角形是相似的.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
A
A'
AB BC CAk A'B' B'C' C'A'
2. 图中的两个三角形是否相似？为什么？
（1）
15
20
25
27
40
45
（2）
A
B
45
54
C 36 E 30
D
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别
为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是
多少？你有几种制作方案？
方案(1)
k1
2 4
1 2
解：设另外两条边长分
A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝24cm

人教版数学九年级初三下册 27.2.1 相似三角形的判定(第2课时) 名师教学PPT课件

探究新知
27.2 相似三角形/
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中,A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.
求证:△ABC∽△A′B′C′.
A′
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC .
A
D
E
他简单的判断方法呢?
D
E
A ∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
B
A型
CB
C
X型
探究新知
三边对应
A
成比例
27.2 相似三角形/
A′
B
C B′
C′
A'B' B'C' A'C' AB BC AC
是否有△ABC∽△A′B′C′?
探究新知 A′
27.2 相似三角形/
A
B′
C′ B
C
通过测量不难发现 ∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,又因为两个三角形的边对应成比例,所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学的定理证明该结论.
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－4 A′C′ 2
= 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ BC=2B′C′,
B'C' BC
1 2
A'B' AB
A'C ' . AC
巩固练习
27.2 相似三角形/

春人教版数学九年级下册27.2.2《相似三角形的性质》课件2(共22张PPT)

相似三角形周长的比等于相似比。
相似多边形周长的比等于相似比。
想一想
三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
高线，角平分线，中线
高线
角平分线
中线
思考
相似三角形的相似比与对应边上高线比有什么关系？
例如： ΔABC∽ΔA/B/C/ ，AD BC于 D，
A / D / B / C /于D / ，
（3）相似三角形的对应边的比叫什么？（2）相似三角形有什么性质？
对应角平分线____ ∴∠B=∠B′
第二十七章相似
相等
对应角平分线的比等于相__似__比___
周长_相__等__
周长的比___相__似___比________
面积__相__等__
面积的比_相___似__比__的__平__方____
知识点二
全等三角形
相似三角形
三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
对应边__相__等解:由题意知△ADE∽△ABC，且相似比为，
对应高的比等于__________ ∴∠B=∠B′
对应边__成__比__例
对应角__相__等__ 相似多边形周长的比等于相似比。
∴∠ADB=∠A′D′B′=90° 定义，定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，(HL)
C
B
1 16
D
解:（1） 1 ； 3
（2）S△CDF =54cm2.
课堂小结
1.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形的对应线段的比等于相似比.
2.相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.
布置作业
完成《课时夺冠》p36“课后巩固”

27.2 相似三角形(第2课时)(课件)九年级数学下册(人教版)

符号表示：
∵在△ABC 和△A′B′C′ 中， A AB ＝ BC ＝ AC ． AB BC AC
∴△ABC∽△A′B′C′．
A′ C B
C′ B′
问题类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们证明了三边对应成比
例的两个三角形相似．那么类似于判定三角形全等的 SAS 方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？
如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，
AB ＝ BC ＝ AC ．求证 AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′．
C′
C
E
A
B A′
D
B′
证明：在线段 A′B′（或它的延长线）上截取 A′D＝AB，过点 D
作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E．
∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴
AD ＝ AB
DE BC
＝
AE AC
．
又
AB AB
＝ BC BC
＝
AC AC
，A′D＝AB，
∴
DE ＝ BC ， BC BC
AE ＝ AC
AC AC
．∴DE＝BC，A′E＝AC．
C′
∴△A′DE≌△ABC，
C
E
∴△ABC∽△A′B′C′．
A
B A′
D
B′
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．
例2 根据下列条件，判断△ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由：
∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm， ∠A′＝120°，A′B′＝3 cm ，A′C′＝6 cm．
解：∵ AB ＝ 7 ， AC ＝14 ＝ 7 ， ∴ AB ＝ AC ．

人教版数学九年级下册 27.2.1相似三角形的判定(2) 课件

C'
2 .直角三角形相似的判定
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
如图，在∆Rt和∆Rt′′′中，∠ = ∠ ′ = 90°,

=
.求证Rt∆∽Rt∆′′′.
′ ′ ′ ′
A'
A
B
C
B'
C'
证明：设 = = , 则, = ′′ , = ′ ′ .
C
于点,则图中相似三角形共有（）
A. 1对 B. 2对
C. 3对
D. 4对
分析： ∵ ∠ + ∠1 = 90°，∠ + ∠ = 90°,
∴ ∠1 = ∠
2
A
1
D
∠2 + ∠1 = 90°，
∠2 = ∠ .
又∵ ∠ = ∠ = ∠ = 90°,
∴Rt∆∽Rt∆ , Rt∆∽Rt∆ ,
∴∆∽∆ ,

即6=
10−
10
，
∴

解得 =
15
所以⊙的半径为 4 .
=
15
.
4

A
，
O
F
B
∵∥， ∴ ∠ = ∠.
∵=O， ∴ ∠ = ∠.
∴ ∠ = ∠.
∵F是⊙的直径， ∴ ∠ = ∠ = 90°.
∴∆ADC∽∆ . ∴ = .
D
连接，已知∠ = ∠， = 6， = 4，
求线段的长.
B
分析： ∠ = ∠，∠ = ∠
∆∽∆

=

求出
= −
C
A
【例题2】如图，是 ∆ 的边上一点，

人教版九年级数学下册27.2.1 第2课时相似三角形的判定(2)课件(24张ppt)

【针对练二】
4. 若∠DAE=∠BAC，( ) = ( ) ，则△ADE∽△ABC.
() ()
解： A D A E
AB =AC
5. 根据下面条件，判断△ABC与△A′B′C′ 是否相似，并说明理由． ∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm； ∠A＝120°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm．
∵A D ≠ A E AB AC
∴这两个三角形不相似. 你同意他的判断吗？请说明理由.
达标检测反思目标
解：他的判断是错误的. ∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8， ∴AD=7.8-4.8=3.
∵A D
AC
31
=6 = 2
，AA
E B
=3 .9
7 .8
1
=2
，∴ADACAE=AB．
又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB ．
解：（1）∵
AB
7 ，AC
14 7
A'B' 3 A'C' 6 3
又 ∠A＝∠A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
两三角形的相似比是多少？
（2）∵ AB 4 1 A' B' 12 3
BC 6 1
B'C' 18 3
AC 8 A'C' 21
AB BC AC A' B' B'C' A'C'
△ABC与△A'B'C'的三组对应边的比不等，它们不相似
，则△__A_D_E__∽△_A__B_C__；
2. 若一个三角形的三边长分别为6cm，9cm， 7.5cm，另一个三角形的三边长分别为12cm， 18cm，__1_5_c_m___时，这两个三角形相似．

春季人教版九年级数学下册27.2.2相似三角形应用举例(共21张PPT)

怎样测出 OA 的长？
例题解析
解：太阳光是平行光线，因此
∠BAO=∠EDF．
又 ∠AOB=∠DFE=90°，
∴ △ABO∽△DEF．
∴
BO OA EF = FD
．
∴ BO = OA EF = 201 2 =134（m）．
FD
3
因此金字塔的高度为 134 m．
小组合作分工
1号组长 2、3号记录员 4、5号汇报员 6号监督员
利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意画出___示_意__图_____;
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的__已__知__线__段__、_已__知__角______;
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出___未__知_量____; （4）写出____答_案______;
教科书习题 27.2 第 9，10 题
测高的方法一：
“在同一时刻物高与影长成正比例”
物高：杆高 = 物影：杆影或物高：物影 = 杆高：杆影
测高的方法二：
用“平面镜的反射原理”构建三角形。
比例式为：DABE＝BECC.
例题解析
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。01:37:2901:37:2901:37Sunday, September 19, 2021

人教新课标版初中数学九下27.2相似三角形(2)ppt课件

练
又∠A=∠A'，AD=A'B'
课
∴ ADE≌ A'B'C'
后练
∴ A'B'C'∽ ABC
习
复习引入探索新知反馈练习拓展提高小结作业
电
子教
归纳
案
目标
判定定理1：如果二个三角形的三组边应边的
呈现
比相等，那么这两个三角形相似。可简单说
教材分
成：三边对应成比例的两个三角形相似´。 ´ A
子教
1．根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，
案
并说明理由．
目标
（ 1） ∠ A=100°， AB=5cm， AC=15cm， ∠ A′ =100°，
呈
A′ B′ =4cm， A′ C′ =10cm．
现
（ 2）AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm；A′ B′ =10cm，B′ C′ =12cm，
案
目标
2．如中图，已知正方形 ABCD 中，P 是 BC 边上的点，BP=3PC，Q
呈
是 CD 的中点．
现
求证：（1）△ADQ∽△QCP；（2）AQ⊥QP；（3）AQ=2PQ；
教材
（4）AQ 平分∠DAP．
分析教
A
D
A
学流程
E
Q
同
D
步
演
B
CB
PC
练
3． w如ww右.cz图sx.，co点C、 D 在ww线w.c段zsxA.Bco上m.c，n △ PCD 是等边三角形．
2、(2008 黄石)如图，每个小正方形边长均为 1，则下列图

人教版九年级数学下册课件：27.2.1 相似三角形的判定(2)

∵ DE//BC，
∴∠ADE=∠B,
AD
∠AED=∠C， AB

AE . AC
过E作EF//AB交BC于F，
则 AE BF . AC BC
∵ 四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF，
AD AE DE ， AE DE ， AB AC BC AC BC
∴△ADE∽△ABC.
三、归纳小结
A
B
C
B′
A′
即：
如果
AB AB

BC BC

AC AC
,
那么 △ABC∽△A′B′C′.
C′
三、归纳小结
判定三角形相似的定理之二
边S 角A
√ 边 S
等角形，如并相果且似两角两相. 边相个应等对三的，应角夹两成形角三比的相角例两等形，组，相且对那似夹应么.边这的两比个相三
A
A1 即： AB BC k,
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AC BC
=
=
AD AE DE
A
D
E
DE ∥ BC
B
C
二、新课讲解
如图,在△ABC中， DE//BC, DE分别交AB于D，交AC于E ，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
相似
A
D
E
B
FC
二、新课讲解
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A.
B'C' 18 3 A'C ' 21
AB BC AC . A'B' B'C' A'C '
ABC与A' B'C' 的三组对应边的比不等，它们不相似.

人教版九年级下27.2.2相似三角形的应用课件(共19张PPT)

因为 ∠ACB＝∠DCE ,
A
B
∠CAB＝∠CDE=90°,
所以 △ABC∽△DEC ，
D
E
那么AB AC DE DC C
解 A 得 B D A E C 4 ( 0 3 3 0) 0 8(米 0 ) DC 30
答：池塘的宽大致为80米．
例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定 PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m， ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
古希腊数学家家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个
相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA 为201m，求金字塔的高度BO．
B
E
O
A(F)
D
例1 如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．
仰：视线在水平线以角上的夹角。
C
盲区
观察者
视线 A
视点 F
HⅠ KKK
观察者眼睛的位置。水平线H
Ⅱ
看不到的区
G 域。
B (1) D
l
例2. 已知左、右两棵并排的大树的高分别是
AB=8m 和CD=12m,两树的根部的距离BD=5,一个估
计自己眼睛距地面1.6m的人沿着正对这两棵树的
一条水平直路从左向右前进,当他与左边较低的树
解：太阳光是平行光线，由此∠BAO＝∠EDF，又
∠AOB＝∠DFE＝90°

人教版第二学期数学九年级下 27.2.1 相似三角形的判定(第2课时)课件(共15张PPT)

第二十七章相似
相似三角形的判定
第2课时
学习目标
1
理解三边成比例的两个三角形相似. （重点）
2
会利用三边成比例定理判定两个三角形相似.
新课导入
知识回顾
1.相似三角形：
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角
形叫做相似三角形.
2. 三角形相似的判定定理1：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
三角形④的三边长分别为2 5,2 10,10,则三角形④的三边比为1∶ 2∶ 5；
三角形⑤的三边长分别为2 2，4，2 10，则三角形⑤的三边比为1∶ 2∶ 5,
所以与①相似的是③④⑤.
随堂训练

2.如图，已知 =

= ,试说明∠BAD=∠CAE.
A

证明： ∵

=

=
∴ΔABC∽ΔADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
E

,

D
B
C
随堂训练
如图在正方形网格上有△A1 1 1 和△2 2 2
3. 它们相似吗？
如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由.
解:相似
相似比为2:1.
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
△A′B′C′相似．
证明： ∵
∴

=
=
,
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