基于忆阻元件的五阶混沌电路研究

是
a1 a3 0 0
1 Hk = 0
a2 a1
a4 a3
0 >0
0
（9）
0 1 a2 a4
式中 k =1, 2, 3, 4，即有
H1 = a1 > 0 H 2 = a1a2 − a3 > 0 H 3 = a1 (a2a3 − a1a4 ) − a32 > 0 H4 = a4H3 > 0
（10）
由上式可得 c 的稳定范围为
（12）
所对应的平衡点集 A 是不稳定的，由此出发的系统（4）的解是不稳定的，趋于极限环或者混沌轨或
者无穷发散。
4 依赖于初始状态的动力学特性
对于上述确定的参数值，选择初始
状态(0, 0, 0.0001, 0, u(0))中的 u(0)为可
变参数，利用 Lyapunov 指数谱、分岔
图和相轨图对图 1 所示的五阶忆阻混沌
(a) 周期 5(c=–0.73)
u u
(b) 混沌(c=–0.65)
5 结论
忆阻混沌电路有着与一般混沌系 统所不同的动力学特性，除了随电路参
(c) 混沌(c=0.65)
(d) 周期 2(c=0.34)
图 5 不同初始状态时 y–u 平面上的相轨图
数变化外，还极端依赖于忆阻器的初始状态，这正是忆阻元件具有记忆性这一其它元件不具备的独特
（1. 常州大学 信息科学与工程学院，江苏 常州 213164； 2. 常州信息职业技术学院 电子与电气工程学院，江苏 常州 213164；3. 西南交通大学 电气工程学院，四川成都 610031）
摘要：采用一个有源磁控忆阻器替换四阶蔡氏振荡器中的蔡氏二极管，导出了一个基于忆阻元件的五阶混沌电路，
建立了相应电路状态变量的微分方程组。理论分析表明该忆阻混沌电路具有一个平衡点集，其稳定性随忆阻器初始状
的。此外，在图 4(b)中 0.88<|c|<0.92 区间内，系统（4）随着时间序列的演变，其运行轨道发生了从一
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包伯成等：基于忆阻元件的五阶混沌电路研究
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个有界点到一个极限环的状态转移。在 三个混沌带之间，系统运行轨道从稳定 的汇过渡到极限环，经倍周期分岔通向 混沌；而在三个混沌带之外，随着|c|的 减小，系统运行轨道从稳定的汇直接经 Hopf 分岔通向混沌。系统（4）在混沌 带中还存在着周期窗现象。系统（4） 的几个典型运行轨道如图 5 所示。图 5(a) 和 5(d)分别描述了混沌带中周期窗内的 周期 5 极限环和倍周期分岔后的周期 2 极限环；图 5(b)和 5(c)显示了 u(0)位于 正负值区间内的两个混沌吸引子，其拓 扑结构具有复合结构，且关于坐标原点 形成中心对称。
性所致。采用一个具有光滑特性曲线的有源磁控忆阻电路替换四阶蔡氏混沌振荡器中的蔡氏二极管，
得到了一个新的忆阻混沌电路，建立了相应电路状态变量的微分方程组。理论分析表明基于忆阻元件
的五阶混沌电路具有一个平衡点集，且平衡点集的稳定性取决于忆阻器的初始状态。采用 Lyapunov
指数谱、分岔图、相轨图、庞加莱映射和时域波形等动力学分析手段，详细地研究了在忆阻器初始状
文献[10,11]所采用的忆阻器特性曲线均是非光滑的分段线性函数，导致它的忆阻或忆导均是不连 续的非线性函数，在物理上实现这类忆阻元件是不现实的。此外，文献[10,11]只是简单地对所提出的 混沌电路进行相应的动力学特性分析。高阶混沌电路由于其吸引子具有难以识别的拓扑结构，更适宜 于保密通信等工程应用[13]。基于此，在四阶蔡氏混沌电路[12]基础上，提出了一个五阶的基于忆阻元件 的混沌电路，并利用混沌动力学理论和分析方法，对其依赖于初始状态的复杂特性，进行详细的理论 演绎分析和数值仿真研究。
曲线没有画出；分岔图所选择的庞加莱截面 y=0 是一个在五维相空间中垂直于 y 轴的过原点的平面。
图 4 数值仿真结果与上述理论分析结果只在 0.37<|c|<0.41 区间存在差异，在此区间内系统（4）
是一个稳定的汇。该差异主要是系统(4)的平衡点集 A 除了四个非零特征根外还有一个零特征根所导致
一个忆阻等五个动态元件组成，它们所
对应的五个状态变量分别是 v1, v2, i3, i4 和 φ，其中 φ 是忆阻元件的状态变量。
由基尔霍夫定律和元件的伏安特性，可 得图 1 电路的状态方程为五个联立的一 阶微分方程组[11]
Байду номын сангаас(a) x–y
(b) z–w
⎧dv1 dt = [i3 − W (ϕ)v1] C1
# 通信作者：E-mail：mervinbao@
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q(φ) = –aφ + bφ3
（1）
式中 a, b > 0，由此可得忆导 W(φ)为 W(φ) = dq(φ)/dφ = –a + 3bφ2 （2）
图 1 电路由两个电容、两个电感和
y
态变化而变化。采用常规的动力学分析手段研究了忆阻器初始状态发生变化时电路的动力学特性。数值仿真结果验证
了理论分析的正确性。
关键词：混沌电路；忆阻器；平衡点集；初始状态
中图分类号：TN918
文献标识码：A
1 引言
忆阻器（Memristor）是电路中的四个基本元件之一，具有其它三种基本元件的任意组合都不能复 制的特性[1,2]。自该元件在物理上成功实现之后[3]，基于忆阻元件的理论深入和应用推广掀起了研究人 员的研究热潮。忆阻器的出现，使电路设计的基础元件由电阻、电容和电感增加到了四个，忆阻器为 电路设计提供了全新的发展空间[4~11]，这里既包括忆阻元件的电路建模[4]、SPICE 宏建模[4~6]、伏安特 性分析[1,3,7]，也包括含有忆阻元件的各种应用电路设计和系统特性的理论分析和数值仿真[8~11]。
态发生变化时的动力学特性。数值仿真结果与理论分析结果有着较好的一致性。
参考文献：
[1] L O Chua. Memrister—the missing circuit element [J]. IEEE Trans. on Circuit Theory, 1971, CT-18(5): 507-519. [2] L O Chua, S M Kang. Memristive devices and systems [J]. Proceeding of the IEEE, 1976, 64(2): 209-223. [3] D B Strukov, G S Snider, D R Stewart, R S Williams. The missing memristor found [J]. Nature, 2008, 453: 80-83. [4] G Martinelli. Circuit modeling of nano-devices [J]. Electronics Letters, 2008, 44(22): 1294-1295. [5] S Benderli, T A Wey. On SPICE macromodelling of TiO2 memristors [J]. Electronics Letters, 2009, 45(7): 377-379. [6] Z Biolek, D Biolek, V Biolková. SPICE Model of Memristor with Nonlinear Dopant Drift [J]. Radioengineering, 2009, 18(2): 210-214. [7] Y N Joglekar, S J Wolf. The elusive memristor: properties of basic electrical circuits [J]. European Journal of Physics, 2009, 30(4): 661-675. [8] T A Wey, S Benderli. Amplitude modulator circuit featuring TiO2 memristor with linear dopant drift [J]. Electronics Letters, 45(22):
电路进行动力学分析。系统（4）随初 始状态 u(0)=c 变化的 Lyapunov 指数谱 和状态变量 u 的分岔图分别如图 4(a)和
(a) Lyapunov 指数
(b) 分岔图
图 4 初始状态 u(0)变化时 Lyapunov 指数谱和分岔图
4(b)所示。为了图示清晰，图 4(a)中第 4 根 Lyapunov 指数曲线只给出了部分，第 5 根 Lyapunov 指数
(c) y–u
(d) v–i
图 2 五阶忆阻电路的混沌吸引子
的状态方程可以重写为
⎧x = α (z −W (u)x)
⎪⎪⎪⎨zy
= =
− β
z+w (y− x
−
z)
⎪⎪⎪⎩uw ==
−γy x
（4）
因此，图 1 所示的忆阻混沌电路是一个
五维系统，它的动力学特性由（4）式 描述，基于该式的代数方程可以进行相
第 16 卷 第 2 期 2011 年 4 月
文章编号：1007-0249 (2011) 02-0066-05
电路与系统学报 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS
基于忆阻元件的五阶混沌电路研究*
Vol.16 No.2 April，2011
包伯成 1#， 王其红 2， 许建平 3
2 忆阻混沌电路
一个基于忆阻元件的五阶混沌电路如图 1 所示，它是通过采 用一个有源磁控忆阻电路替换四阶蔡氏振荡器[12]中的蔡氏二极 管来实现的。这里定义有源磁控忆阻电路由一个无源二端口光滑 磁控忆阻器和一个负电导构成，其特性可用一个光滑三次非线性 函数来描述，即有
图 1 五阶忆阻混沌电路