3.2.4 立体几何中的向量方法 课件2
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高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
3.2.4立体几何中的向量方法求夹角
C
个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角 D
Al
的大小就是向量A B C与D 的夹角(如图
(1))
n1 , n2
l
,
②设 是二面角n 1 n 2 的法向量,则向量 与
的两个面 的夹角(或其补
n 1 (1)
n2
角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))
l
(2)
例2 正三棱柱 ABC A 1B1C1中，D是AC的 中点，当AB1 BC 1时，求二面角DBC 1C 的余弦值。
因为△ABC是正三角形，所以AO⊥ BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， 所以AO⊥平面BCC1B1.2分 取B1C1中点为O1，以O为原点， O→B ， O→O1 ， O→A 为x，y，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0).4分
C1
B1
A1
C D
B A
以C为原点建立空间直角坐标系 C-x yz CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B的法向量
设面 C1BD 的一个法向量为m(x, y,z) 同法一，可求 B(0,1,0)
31
2
D(
4
, ,0) 4
C1 (0,0,
) 2
∴
C1D(
3,1, 44
空间“角度”问题
ZPZ
复习引入
1.异面直线所成角
设直线l,m的方向向量分别为a,b
ab
若两直线l , m
所成的角为(0≤ ≤ ), 则
2
cos
ab
l
高中数学3.2立体几何中的向量方法第2课时空间向量与垂直关系课件新人教A版选修2_1
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α 与平面的法向量是平行向
量
面面 垂直
对于直线l，m和平面α，β (1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β. (2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则 α⊥β. (3)若平面α与β相交所成的二面 角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量 互相垂直
当堂达标 固双基
1．若直线l的方向向量a＝(8，－12，0)，平面α的法向量μ＝
(1)证明两直线所成的角为90°. 两直线的方向向量互相
(2)若直线与平面垂直，则此直 垂直
线与平面内所有直线垂直
线面 垂直
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)证明直线的方向向量
对于直线l，m，n和平面α 分别与平面内两条相交直
(1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂ 线的方向向量垂直．
α，m与n相交，则l⊥α.
(2)证明直线的方向向量
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1，4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用 两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化 为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂 直，得面面垂直．
[解] 由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA， BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)， E0，0，12，
则A→A1＝(0，0，1)，A→C＝(－2，2，0)，A→C1＝(－2，2，1)，A→E ＝(－2，0，12)．
因为B→C·A→D＝－2＋2＋0＝0，B→C·A→A1＝0＋0＋0＝0， 所以B→C⊥A→D，B→C⊥A→A1，所以BC⊥AD，BC⊥AA1， 又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所 以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
3.2--立体几何中的向量方法(全)ppt课件
PB (1,1,1)
故PB DE 0 1
DE 1
(0,1 2
0
,1) 2
P
22 所以PB DE
F
E
由已知 EF PB,
且EF DE E,
所以PB 平面EFD A
X
D
C
Y
B
30
第30页，共70页。
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方
形, PD 底面ABCD, PD DC ,点E是PC的中点,
A
证1 立体几何法
M
B
D
N C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线， 故异面直线AB与CD的距离就是MN.
26
第26页，共70页。
例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2 向量法
A
ＭＮ＝MA AD DN
M
1 AB AD 1 DC
⑴设平面的法向量为 n ( x, y,
r 习惯上取n
z);
(
x,
y,1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
6
第6页，共70页。
z
作EF PB交PB于点F . 2 求证 : PB 平面EFD.
证2：立体几何法
P
PD 面ABCD
BC
面ABCD
PD PC
BC BC,
E
PD PC P
3.2立体几何中的向量方法 第2课时 空间向量与垂直关系 课件
研一研· 问题探究、课堂更高效
3.2 第2课时
例 2 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中 点．求证：A1O⊥平面 GBD.
证明 方法一 如图取 D 为坐标原点， DA、DC、DD1 所在的直线分别作 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 设 正 方 体 棱 长 为 2 ， 则 O(1,1,0) ， A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)， → → → ∴OA1＝(1，－1,2)，OB＝(1,1,0)，BG＝(－2,0,1)， → → → → 而OA1· OB＝1－1＋0＝0，OA1· BG＝－2＋0＋2＝0. → → → → ∴OA1⊥OB，OA1⊥BG，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG， 而 OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面 GBD.
角坐标系．则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC1＝0.∴AC⊥BC1.
小结 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系 →写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直．
解析 ∵(1,2,0)· (2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从 而两平面垂直．
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
4.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，AP＝AB＝ 2， BC＝2 2， E， F 分别是 AD， PC 的中点． 证 明： PC⊥平面 BEF.
练一练· 当堂检测、目标达成落实处
3.2 第2课时
又 E，F 分别是 AD，PC 的中点，
课件2：3.2立体几何中的向量方法（四）
故
cos
→→
θ＝
DG·EF →→
＝
|DG||EF|
22，θ＝4π，
即二面角 E－PC－D 的大小为π4.
跟踪训练
3.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中
点．设AA1＝AC＝ 2 AB，求二面角A1
－AD－C1的大小．
解析：如图建立空间直角坐标系O－xyz，
sin
θ＝2
42 21 .
跟踪训练
2．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，
侧棱长为 2 a，求AC1与侧面AA1B1B所成的角．
解析：建立如下图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、
B(0，a,0)、A1(0,0， 2a)、C1－ 23a，a2， 2a，取 A1B1 中 点 M，则 M0，a2， 2a，连结 AM、MC1，有M→C1＝－ 23a，0，0，
又E→F＝－13，23，1，E→F·A→C1＝－13，23，1·(1,1,1)＝43，
|E→F|＝ 314，|A→C1|＝ 3.
以 φ 为E→F与A→C1之间所成的角，
→→
则：cos
φ＝
EF·AC1 →→
＝
|EF||AC1|
4 3
314×
＝2
42 21 .
3
以 θ 记 EF 与平面 A1BD 所成之角，
∴A→C1·A→M＝0＋a42＋2a2＝94a2.
而|A→C1|＝
34a2＋a42＋2a2＝ 3a，
|A→M|＝
a42＋2a2＝32a， 9a2
∴
A→C1，A→M
＝
3a4×32a＝
3 2.
∴ A→C1，A→M ＝30°，即 AC1 与侧面 AA1B1B 所成的角为 30°.
立体几何中的向量方法ppt课件
6z
（5，4，6）
1
O1
5
4
y
x 5
练习
2、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中， |OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于 点P.分别写出点C，B`，P的坐标.
z
D` 3 P
C`
A`
B`
4
3O
A
P` C
B
y
x
6
练习
3、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对 角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA， OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1时，a 与 b 反向； （3）当cos a , b 0 时，a b 。
18
练1：在空间直角坐标系中，已知
a (3,2,5), b (1,5,1),.
a b 求 与 所成的角的余弦值.
16
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
8
练1：在空间直角坐标系中，已知A=（2，1， 3），B=（1，—2，5），则
AB _____ BA ______
练2：在空间直角坐标系中，已知A=（2，x，
y），AB （1，- 2，5） 则B=________
9
3 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，棱长为 2，E ，
立体几何中的向量方法2-PPT精选
2 2x
x
①
∵ x2 y2 z2 1 ②∴由①②得 x 1 3
∴平面 ABC 的单位法向量为(1， 2，2）或( 1，2， 2）.
3 33
33 3
思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,
BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
分析:
z
若用几何法本题不太好处
2
x
4
y
2
0
r n
1 (
1 ,
,1)
xD
C
d|nv3 nvB u3uEur| 21111
F A
评 注 :
E
B
ry
若 平 面 的 斜 线 AO交 于 点 O,e是 单 位 法 向 量 ,
uuur r
则 A到 平 面 的 距 离 为 d|AOe|
作业:课本 P120 练习 2,3 P121 习题 3
ur
设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),
1答案
方法小结
思 BC考=题2.如,求图二,P面A角⊥平A-面PBA-BCC的,A余C⊥弦B值C.,zPA=AC=1,
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
y
uuur AP
=(0,0,1),
co s A 1A C |u A u A A u u A r 11 ||A u A C u C u r|1 3
sinA1AC
6 3
A 1HA1A si nA 1AC 36∴ 所求的距离是
6. 3
如何用向量法求点到平面的距离?
高中数学 立体几何中的向量方法 (2).ppt
本节目录
教
考
名
知
材
点
师
能
回
探
讲
演
顾
究
坛
练
夯
讲
精
轻
实
练
彩
松
双
互
呈
闯
基
动
现
关
教材回顾夯实双基
基础梳理
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一___非__零___向量作
为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内
两不共线向量，n为平面α的法向
的计算问题，了解向量方法在研 究立体几何问题中的作用.
从近几年的高考试题来看， 利用空间向量证明平行与 垂直，以及求空间角是高 考的热点，题型主要为解 答题，难度属于中等偏高， 主要考查向量的坐标运算， 以及向量的平行与垂直的 充要条件，如何用向量法 解决空间角问题等，同时 注重考查学生的空间想象 能力、运算能力.
【证明】 以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在 直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐 标系Cxyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2 3，PB＝4. ∴D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，
第7课时 立体几何中的向量方法
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考纲展示
备考指南
1.理解直线的方向向量与平面的法 向量．
2.能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、平面与平面的垂直、 平行关系．
3.能用向量方法证明有关直线和平 面位置关系的一些定理(包括三垂 线定理)． 4.能用向量方法解决直线与直线、 直线与平面、平面与平面的夹角
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分析:钢板所受重力的大 小为 500kg ，垂直向下作用在 三角形的中心 O ，如果能将各 顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 A 向量形式表示，求出其合力， x 就能判断钢板的运动状态.
z F1
F3
F2
O
C
B
500kg
y
解： 如图， 以点 A 为原点,平面 ABC 为 xAy 坐标平面，AB 方向为 y 轴正方向, AB
P F
D A X B
E
C
Y
1 1 2 又点 E的坐标为 (0, 1 , 1 ) 点F的坐标为 ( ， ， ) 2 2 3 3 3
1 1 1 所以 FE ( , , ) 3 6 6
因为cosEFD FE FD FE FD
1 1 1 1 1 2 1 ( , , ) ( , , ) 1 3 6 6 3 3 3 6 1 2 6 6 3 6 3
2 2 2 2 l EA A A AF 2EA AF m2 d 2 n2 2mn cos
当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
d l 2 m2 n2 2mn cos
A X
E
C B
Y
1 1 且 PA (1,0,1), EG ( ,0, ) 所以PA 2EG ，即PA// EG 2 2
而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB
所以，PA // 平面EDB
(2)求证：PB⊥平面EFD
Z
P F
D
E
C
G
A X
Y
B
（2）证明：依题意得 B(1,1,0), PB (1,1,1)
同法可求得 F2 200(
1 2 , ) , F3 200( 2 3 2 1 1 2 ) ( , , ) ( 3 12 2 3 ,
这说明，作用在钢板的合力方向向上,大小为 200 6kg ,作用点为 O . 由于 200 6 500 ,所以钢板仍静止不动 500 要提起这块钢板,设 F1 F2 F3 = x ,则需 6 x 500 ,解得 x ， 6 500 kg ． 因此,要提起这块钢板, F1 、 F2 、 F3 均要大于 6
500kg， 例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 在它的顶点处分别受力 F1 、 F2 、 F3 ，每个力与同它相邻的 三角形的两边之间的夹角都是60，且 F1 F2 F3 200kg . 这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小 为多大时，才能提起这块钢板？
1 2 ,0 , ) 3 3 1 2 , 0 , ) 200(0,0, 6) 3 3
F2
F3
F1 A
F1
F3 F2 O C
B
500kg
F2 F3 F1
合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点， 作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。
P F
D A
E
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2ZΒιβλιοθήκη P FDG
因为底面ABCD是正方形， 所以点G是此正方形的中心， 1 1 故点G的坐标为( , ， 0) 2 2
（1）求MN的长； （2）a 为何值时？MN的长最小？ （3）当MN的长最小时， 求面MNA与面MNB所成 二面角的余弦值。 A D
C
M
B
N
E
F
AA EA, AA AF
2 2 EF ( EA A A AF ) 2 2 2 EA A A AF 2( EA A A EA AF A A AF )
所以EFD 60 ,即二面角C PB D的大小为 60 .
练习 1．如图，已知两条异面直线所成的角为θ ， 在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 A’E=m，AF=n， EF=l，求公垂线 A A′的长 d.
解： EF EA A A AF
为 y 轴的单位长度，建立空间直角坐标系 A─xyz ,则正三角形的顶点坐标分别为 3 1 A(0,0 , 0) , B(0,1, 0) , C ( , , 0) 设 F1 方向上的单位向量坐标为 ( x , y , z ) ， 2 2
1 3 1 cos 60 ( x , y , z ) ( , , 0)① 2 2 2 ∴ cos 60 1 ( x , y , z ) (0,1 , 0) ② 2
设点F的坐标为 ( x, y, z),则PF ( x, y, z 1) 因为PF k PB
所以( x, y, z 1) k (1,1, 1) (k , k , k )
Z
即x k , y k , z 1 k
因为PB DF 0
所以(1,1,1) (k , k ,1 k ) k k 1 k 3k 1 0 1 所以 k 3
由于 F1 与 AB , AC 的夹角均为 60 ，
又∵ x 2 y 2 z 2 1 ③
1 1 2 1 1 2 ∴由①②③可解得 x , y ,z . ∴ F 200( , , ) 1 2 12 3 12 2 3
1 12 1 1 , , 合力 F1 F2 F3 200 ( 12 2
10 角为 ，且 cos ，求四面体DABC的体积。 10
z
D
B
A
y
C
E
x
4.在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1， 且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N 分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的 长度保持相等，记CM=BN= a(0 a 2).
1 1 1
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
1
C
在两直线上各取点C , A, C A (1,0,0). | n CA | 2 3 CE与AB1的距离d . |n| 3
A
B
x
E
y
3.如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且 AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成
< EA, AF >=π —θ （或θ ），
异面直线间的距离
已知a,b是异面直线，n为的 法向量
b
n
a
C A
CD为a,b的公垂线
A，B分别在直线a,b上 则 | CD |
D
B
n AB |n|
即 l1 , l 2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长，
2.已知直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中,
AC BC 2, BCA 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), z C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2x 2 y 4z 0 n AB 0
1 1 1 1 又 DE (0, , ), 故 PB DE 0 0 2 2 2 2
所以PB DE
由已知EF PB, 且EF DE E ,
所以PB 平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
Z
P F
D A X B
E
C
Y
（3）解：已知PB EF,由（2）可知PB DF , 故EFD是二面角C PB D的平面角。
第三章 空间向量与立体几何
3.2.4 立体几何中的向量方法
复习引入
向量法解立体几何问题的优点: 1.思路容易找,甚至可以公式化； 一般充分结合图形发现向量关系或者求出 (找出)平面的法向量、直线的方向向量，利用这 些向量借助向量运算就可以解决问题. 2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.