小学奥数几何篇五大模型——蝴蝶定理(附答案)

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积

是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

O

D

C

B

A

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

任意四边形、梯形与相似模型

B

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四

个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【例 2】

O

D

C

B

A

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是

123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =

任意四边形、梯形与相似模

型

B

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S ⨯=⨯，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()

【例 3】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角

小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

小学奥数几何五大模型

蝴蝶模型

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

模型三蝴蝶模型（任意四边形模

型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线

AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米

【分析】

根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是

123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =

任意四边形、梯形与相似模型

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S

⨯=⨯，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面

小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形

模

型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、

BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是

123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =

任意四边形、梯形与相似模型

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积

等于三角形BCD 的面积的13

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

小学的奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积

是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

O

D

C

B

A

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

任意四边形、梯形与相似模型

B

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米

O

D

C

B

A

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =

A B

C

D

G

321

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()

任意四边形、梯形与相似模型

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的

小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形

模

型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、

BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是

123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =

任意四边形、梯形与相似模型

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯V ，那么6BGC S =V ；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积

等于三角形BCD 的面积的13

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

A

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

B

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S ⨯=⨯，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)

任意四边形、梯形与相似模型

面积的1

3

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

A

B C D

O

H G

A B

C D O

小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系及四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到及面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

O

D

C

B

A

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

A B

C

D

G

321

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S ⨯=⨯，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)

任意四边形、梯形与相似模型

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 及BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的

小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

模型三蝴蝶模型〔任意四边形模型〕

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理〞)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规那么四边形的面积关系及四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到及面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个局部，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

O

D

C

B

A

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【稳固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

A B

C

D

G

321

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S ⨯=⨯，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)

任意四边形、梯形与相似模型

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 及BD 交于点O (如下图)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

A

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

B

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S ⨯=⨯，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)

ABCD AC O BCD

任意四边形、梯形与相似模型

面积的1

3

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

A

B C D

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)..

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

A

【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平

方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

B

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC

S ⨯=⨯，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)

任意四边形、梯形与相似模型

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的

面积的1

3

小学奥数-几何五大模型（蝴蝶模型）整理版

任意四边形、梯形与相似模型

卜亠\

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:

D

S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4

② AO : OC =[S S2 : S4 S3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是

6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ?

【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ;

⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??）

【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的

1

，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。

小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

模型三蝴蝶模型

（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个

部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【例 2】【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =⨯÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是

123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =

【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ⨯=⨯，那么6BGC S =；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． ()

【例 3】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三

角形BCD 的面积的1

3

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴

蝶模型（任意四边形模

型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

1243::S S S S =或①1324S S S S ⨯=⨯

者

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB

面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【分析】7.5平方千【解析】BGC S ⨯BGC S =):1:3AG GC =【例 2】BCD 的面

【解析】:1:3ABD

BCD

S

=是面积的关系，不3∴1

3AOD DOC S S ∆∆=，

∴1

3

AO CO =，

∴236OC =⨯=，

∴:6:32:1OC OD ==．

【例 3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、

4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ∆的面积都是1628÷=，所以

OCF △的面积为844-=；

任意四边形、梯形与相似模型

⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，

小学数学蝴蝶模型含答案

蝴蝶模型

知识框架

四边形模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

O D

C

B

A s 4

s 3

s 2

s 1

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2

a b +．

A B

C D

O b

a S 3

S 2

S 1S 4

例题精讲

一、任意四边形

【例 1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角

形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

7

6

E

D

C

B

A

7

6

【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答

【解析】在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面积比为()AE EB ⨯:()CE DE ⨯．同

理有ADE ，BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ⨯⨯．所以有ABE

S

×CDE

S

=ADE

S

×BCE

S

，也就

是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．即6ABE

S ⨯=7ADE

S

⨯，所以有ABE 与ADE

小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)

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