小学奥数几何篇 五大模型——蝴蝶定理(附答案)

五大模型——蝴蝶模型
例1. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，如果三角形ABD
1，且AO=2，DO=3，那么CO的长的面积等于三角形BCD的面积
3
度是DO的长度的倍
例2. 如图,平行四边形ABCD的对角线交与点O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6 求：（1）△OCF 的面积；（2）求△GCE的面积
例3.如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=3EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。

例4. 如图，边长为1的正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD 中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积
例5. 如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知AOB于BOC的面积分别为25平方厘米于35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米
例6.梯形ABCD的对角线AC与BD交与点O，已知梯形上底为2，
2，求三角形AOD与且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的
3
三角形BOC的面积之比。

例7. 如下图，一个长方形一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH 的面积。

例8. 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米
例9. 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知期中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米
例10. 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？
蝴蝶模型习题
1、如图，长方形ABCD中，BE：EC=2：3，DF：FC=1:2，三角形DFC面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.
2、梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？
3、如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4：5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为
4、如图，长方形ABCD中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9，那么四边形OECD的面积是多少？
5、如图，△ABC是等腰三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相较于K点，已知正方形DEFG的面积48，AK：KB=1:3，则△BKD的面积是多少？
答案【例1】
因为AO : OC =S
∆ABD : S
∆BDC
= 1: 3 ，
所以OC = 2⨯3 = 6 ，
所以OC : OD = 6: 3 = 2:1．
解法二：作AH ⊥BD于H ，CG ⊥BD 于G ．
因为S
所以S ∆ABD
=
1
S
3
=
1
S
∆BCD
，所以AH =1 CG ，
3
，
∆AOD 3 ∆DOC
AO =1
CO ，
3
OC = 2⨯3 = 6 ，
OC : OD = 6: 3 = 2:1．
C
【例2】
⑴⑴BCD 的面积为2 + 4 + 4 + 6 =16 ，
⑴BCO 和∆CDO 的面积都是16 ÷ 2 = 8 ，所以⑴OCF 的面积为8 - 4 = 4 ；
⑴由于⑴BCO 的面积为8，⑴BOE 的面积为6，所以
⑴OCE 的面积为8 - 6 = 2 ，
根据蝴蝶定理，EG : FG =S
∆COE : S
∆COF
= 2 : 4 = 1: 2
所以S
∆GCE : S
∆GCF
=EG : FG = 1: 2 ，
S
∆GCE =
1
1+ 2
S
∆CEF
=
1
⨯ 2 =
2 ．
33
【例3】
A D
F
B E
C 连接EF ．
因为BE = 2EC ，CF =FD ，所以S
∆DEF = (
1
⨯
1
⨯
1
)S
2 3 2ABCD
=
1
S
12ABCD
．
因为S
∆AED =
1
S
2ABCD
，由蝴蝶定理，AG : GF =1 : 1
2 12
= 6 :1 ，
所以S
∆AGD = 6S
∆GDF
=
6
S
7∆ADF
=
6
⨯
1
S
74ABCD
=
3
S
14ABCD
．
所以S
∆AGE =S
∆AED
-S
∆AGD
=
1
S
2ABCD
-3 S
14ABCD
=
2
S
7ABCD
=
2
，
7
【例4】
A E D
B C
设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．由蝴蝶定理EO : OC =S BED : S BCD ，
而S
BED =
1
S
4ABCD
，S
BCD
=
1
S
2ABCD
，
所以EO : OC =S
BED : S
BCD
= 1: 2 ，故EO =
1
EC ．
3
F 为CE 中点，所以EF =1 EC ，
2
故EO: EF = 2: 3，FO : EO =1: 2 ．
由蝴蝶定理S
BFD : S
BED
=FO : EO = 1: 2 ，
所以S
BFD =
1
S
2BED
=
1
S
8ABCD
，
S
BGD =
1
S
2BFD
=
1
S
16ABCD
=
1
⨯10⨯10 = 6.25
16
AOB BOC AOB DOC 梯形蝴蝶定理
B
① S 1 : S 3 C
= a 2 : b 2
② S : S : S : S = a 2 : b 2 : ab : ab ； 1 3 2 4 ③ S 的对应份数为(a + b )2
【例 5】
由梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 : ab = 25 : 35 ， 可得 a : b = 5: 7 ，
再根据梯形蝴蝶定理， S : S = a 2 :
b 2 = 52 : 72 = 25 : 49 ， 所以S DOC = 49
梯形 ABCD 的面积为25 + 35 + 35 + 49 =144
【例 6】
由蝴蝶定理， S AOB : S BOC = ab : b 2 = 2 : 3
得a : b = 2: 3，
S AOD : S BOC = a 2 : b 2 = 22 : 32 = 4 : 9
O
∆OCD ∆OCD
【例 7】
A
F B
D
E C
如图，连结 EF ，显然 ADEF 和 BCEF 都是梯形， 于是 EFG 的面积等于三角形 ADG 的面积
三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积所以四边形 EGFH 的面积是11+ 23 = 34．
【例 8】
A D
B C
连接 AE ．由于 AD 与 BC 平行，
所以 AECD 也是梯形，那么S ∆OCD = S ∆OAE ．
据蝴蝶定理， S ∆OCD ⨯ S ∆OAE = S ∆OCE ⨯ S ∆OAD = 2 ⨯ 8 = 16 故 S 2 = 16 ，所以S = 4
另解：在平行四边形 ABED 中， S ∆ADE =
1 S
2 ABED = 1 ⨯(16 + 8) = 12 2 所以S ∆AOE = S ∆ADE - S ∆AOD = 12 - 8 = 4
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8⨯ 2 ÷ 4 = 4
【例 9】
A E
B
D
连接 DE 、CF ． EDCF 为梯形，所以S ∆EOD = S FOC ， 又根据蝴蝶定理， S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD 所以S ∆EOD = 4 ， S ∆ECD = 4 + 8 = 12
ABCD 面积为12⨯2 = 24
S ∆EOD ⋅ S ∆FOC = S ∆EOF ⋅ S ∆COD = 2 ⨯ 8 = 16 ，
四边形OFBC 的面积为24 - 5 - 2 -8 = 9 (平方厘米)．
【例 10】
连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半
根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把六边形分为 18 份 阴影部分占了其中 8 份，所以阴影部分的面积 8 ⨯ 6 = 8 ．
18
3
∆ AOD ∆ AOD ∆BOC
1
2
3
作业题答案
1.
A
D F
B
E
C
连接 AE ， FE ．
因为 BE : EC = 2: 3 ， DF : FC =1: 2 ，所以S = (3 ⨯ 1 ⨯ 1)S = 1
S
． DEF 5 3 2
长方形ABCD
10 长方形ABCD 因为S
= 1 S ， A G : GF = 1 : 1
= 5 :1，所以S = 5S = 10 平方厘米，所
AED
2 长方形ABCD 2 10
AGD GDF 以 S = 12 平方厘米．
因为S = 1
S ，所以长方形 ABCD 的面积是72 平方 AFD
厘米．
2.
AFD
A D
6 长方形ABCD
B
C
根据梯形蝴蝶定理， a : b =1:1.5 = 2: 3 ， S : S = a 2
:
b 2 = 22 : 32 = 4 : 9 ， 所以S = 4(cm 2 ) ．
3.
O 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等
于三角形 1 和三角形 3，所以 1 的面积就是36 ⨯
4
4 + 5
= 16 ，3 的面积就是 36 ⨯
5
4 + 5
= 20 ．
4.
A
D
B
E
C
因为连接 ED 知道⑴ABO 和⑴EDO 的面积相等即为54 ，又因为OD ⑴OB =16⑴9 ,所以 ⑴AOD 的面积为54 ÷ 9⨯16 = 96 ，根据四边形的对角线性质知道：⑴BEO 的面积为：
54⨯54 ÷ 96 = 30.375 ，所以四边形OECD 的面积为： 54 + 96 - 30.375 =119.625 (平方厘米).
5.
B
M C
由于 DEFG 是正方形，所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形．在梯形
ADBC 中，∆BDK 和∆ACK 的面积是相等的．而 AK : KB =1: 3 ，所以∆ACK 的面积是
∆ABC 面积的 1 = 1 ，那么∆BDK 的面积也是∆ABC 面积的 1
．
1+ 3 4 4
由于∆ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线，M 为垂足，那么 M 是BC 的中点，而且 AM = DE ，可见∆ABM 和∆ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以∆ABC 的面积与正方形 DEFG 的面积相等，为 48． 那么∆BDK 的面积为48⨯ 1
= 12 ．
4。