2019届高三数学备考冲刺140分问题06三角形中的不等问题与最值问题(含解析)

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高中数学。三角形中的最值、范围问题。练习题(含答案)

高中数学。

三角形中的最值、范围问题。

练习题(含答案)解三角形问题是高考高频考点。

主要利用三角形的内角和定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识解题。

在解题过程中，需要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”。

另外，要注意a+c。

ac。

a+c三者的关系。

高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题。

如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。

而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式。

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。

其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。

如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。

例如：（1）sinA+sinB-sinAsinB=sinC。

可化为a+b-ab=c；（2）bcosC+ccosB=a 可化为sinBcosC+sinCcosB=sinA（恒等式）；（3) bcsinBsinC/2=asinA/2.余弦定理为a²=b²+c²-2bccosA。

变式为a=(b+c)-2bc(1+cosA)。

此公式在已知a,A的情况下，配合均值不等式可得到b+c和bc的最值。

在三角形中，任意两边之和大于第三边。

在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。

在求最值时使用较少。

另外，在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系。

例如a>b则A>B，则sinA>sinB，cosAB 则cosAB则sinA>sinB仅在一个三角形内有效。

解三角形中处理不等关系的几种方法包括：（1）转变为一个变量的函数；（2）利用均值不等式求得最值。

例如，已知四边形面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4的最大值为多少？答案】1) $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；2) $a+b+c$ 的最大值为 $2\sqrt{3}+\sqrt{6}$。

2019届高三数学小专题复习--与不等式相关的三角函数问题(有答案)

与不等式相关的三角函数问题1. 判断下列命题是否正确，并说明理由（1）βα，为第一象限角，且βα>，则βαsin sin >（2）在ABC ∆中，”“B A >是“B A sin sin >”的充要条件小结：考察了哪些知识三角函数的知识解决问题2.证明：αααtan sin <<法一、构造了几何模型解决.法二、设()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=20sin παααα，，f构造函数利用单调性3.若n n n b a c +=，判断三角形的形状易知：n n n n b c a c >>,（苏教版必修5第102页第11题）如图，有一幅画，最高点离地面4m ，最低点B 出离地面2m,实际问题转化成数学问题，角转化成三角函数，取正切值比较的方便，化斜为直角例题1.在ABC ∆中，角所对的边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，则BA sin sin 的取值范围.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21521-5，法一、ba B A =sin sin abc ac b 22,== ⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+b c a a c b c b a 消去c 得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+>+>+b a b a a a b b a b b a 222小结：消元 3元消成2元，再减元变成1元法二、设三边为2,,aq aq a法三、设y b c x b a ==,，则1=xy例题2.（苏教版必修5第24页第7题改编）在ABC ∆中，角C B A ,,，对应的边为c b a ,,，若3,32π==A a ，求ABC ∆面积的最大值.法一、利用正弦定理边转化角，化成一个角的三角函数.法二、角化边，用不等式法三、建系，构造几何模型变式1：求周长的范围.变式2：求⋅的最大值.变式3：22c b +的最大值.变式4：求中线长的最大值同组评价构造几何模型，构造不等式等方法来研究在ABC ∆中，24,3222=+=c b a 求ABC ∆面积的最大值.法一、bc A 6cos =，22361sin cb A -= A bc S sin 21==362122-c b法二、建立直角坐标系根据2422=+c b 找到A 点的轨迹引申：在ABC ∆中，82222=++c b a 求ABC ∆面积的最大值.直接用三角函数知识转化与化归构造函数模型解决，构造几何模型解决，构造不等式模型解决.。

高三数学备考冲刺140分问题19数列中的最值问题(含解析)(最新整理)

。
(1）求 an 的通项公式；
（2)设 bn
1 an an 1
,数列bn的前 n
项和为 Tn
，若对
恒成立，求实数 t 的最大值。
【分析】(1）首先求得 a1 的值,然后利用 an 与 Sn 的关系推出数列{an}为等差数列，由此求得an
的通项公式；(2）首先结合（1）求得 bn 的表达式,然后用裂项法求得Tn ，再根据数列Tn的单
Sn
，若对任意的正整数
n
，不等
式
恒成立,则常数 m 所能取得的最大整数为
。
【答案】5
【解析】要使
恒成立,只需
。
因
,
所以
,
，
数列
为等差数列，首项为
,
，
,
，,
在数列中只有， , 为正数
的最大值为
故选
5．【湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考】已知数列的前项和为，通项公式
，则满足不等式
∵n 为正数,故当 n=3 时原式取最小值 37 ,故选 D．
8
11 ．已知等差数列 an 的通项公式为 an n , 前 n 项和为 Sn ，若不等式
恒成立，则 M 的最小值为__________．
7
【答案】 6 259
2019 届高三数学备考冲刺 140 分问题 19 数列中的最值问题（含解析）
【例 3】【贵州省凯里市第一中学 2018 届高三下学期一模】已知an的前 n 项和为
，
且 a1, a4 , a5 2 成等差数列，
，数列 bn 的前
n
项和为 Tn
,则满足 Tn
2017 2018

高考数学解三角形中的不等问题基础知识与练习题(含答案解析)

高考数学解三角形中的不等问题基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识： 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。

其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。

如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +−=⇔+−= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+−变式：()()2221cos a b c bc A =+−+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高）（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和：A B C π++=，从而可得到：（1）正余弦关系式：()()sin sin sin A B C B C π=−+=+⎡⎤⎣⎦ ()()cos cos cos A B C B C π=−+=−+⎡⎤⎣⎦ （2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式：()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=± ()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=6、辅助角公式：()sin cos a A b B A ϕ+=+，其中tan b aϕ=7、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。

完整版)解三角形中的最值问题

完整版)解三角形中的最值问题解三角形中的最值问题1.在三角形ABC中，已知角A,B,C所对边长分别为a,b,c，且a²+b²=2c²，求cosC的最小值。

解析：由余弦定理知cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入已知条件得cosC≥-1/2.因此cosC的最小值为-1/2.2.在三角形ABC中，已知角B=60°，AC=3，求AB+2BC的最大值。

解析：根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC·BCcosB，代入已知条件得AB²=9+BC²-6BC·1/2，即AB²=BC²-3BC+9.由于AB+2BC=AB+BC+BC，因此可将其转化为求AB+BC的最大值。

设x=BC，则AB²=x²-3x+9，求导得x=3/2时，AB+BC取得最大值，即AB+2BC的最大值为9/2.3.在三角形ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a≥b，sinA+3cosA=2sinB。

（1）求角C的大小；（2）求(a+b)/c的最大值。

解析：（1）由sinA+3cosA=2sinB得2sin(A+π/3)=2sinBsinA/3，因此sin(A+π/3)=sinB/3.由于a≥b，因此A≥B，所以A+π/3=B/3，即A=π/3-B/3.由正弦定理得c/sinC=2b/sinB，代入已知条件得c=2b(sinA+3cosA)/sinB=6b/√3=2√3b，因此角C的大小为π/3.2）由正弦定理得(a+b)/c=sinA+sinB/sinC，代入已知条件得(a+b)/c=2sinB/sinC，即sinC=2sinB(a+b)/c。

由于sinC≤1，因此(a+b)/c≤1/2.当且仅当A=π/2时，(a+b)/c取得最大值1/2.4.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=___。

【高考数学大题精做】专题06 三角形中的最值问题(第一篇)(含答案详解)

1 / 26第一篇三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域．【思路引导】（1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】2 / 26在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】3 / 26已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】4 / 26已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-u r ，(2,0)n =r. （1）若23B π=，求m u r 与n r 的夹角θ；（2）若||1,m b ==r，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】（1）将23B π=代入可求得m u r .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅u r r ,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =r 及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】5 / 26如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）；（2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】6 / 26已知ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ；（2）设b =ABC V 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 22A C C =⋅⋅-，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】7 / 26ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值；（2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.8 / 261. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC V 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ；（2）已知3C π=，当ABC V 的面积取得最大值时，求ABC V 的周长.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ；（2）若a =b c +的最大值.5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-r ，(1,cos cos )n a C c A =+r，且//m n r r.（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.9 / 26（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD V 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r ，求a 的最小值．9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=．（1）求角B 的值；（2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆o的面积为（1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=o ，求DEF ∆面积的最小值.10 / 26第一篇三角函数与解三角形专题08 三角形与平面向量结合问题【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2cos cos cos sin sin A A C B B C +-=（Ⅰ）求角A ；（Ⅰ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅u u u v u u u v的值最小时，求ABC ∆的面积．【思路引导】（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1cos 2A =；结合()0,A π∈可求得结果；11 / 26（Ⅰ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b c a +-=入余弦定理中可得到b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果.解：（Ⅰ）()()()2cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦Q()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++= 2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=(),0,B C π∈Q ，sin sin 0C B ∴≠ ，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈Q ，3A π∴=。

专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版)

专题24 解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行学/科-+网例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）（3）22sin sin sin bc B Ca A= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【经典例题】例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可．点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角A,B,C所对的边分别为，则实数a的取值范围是____________.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以的范围是.例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．【答案】2例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．【答案】【解析】由的三边分别为，，可得：，可知：，，，例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长. 【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知(Ⅱ)由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当时，由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．（1）求A ．（2）若4a =，求22b c +的取值范围．【答案】（1）3A π=；（2）(]16,32.221616b c bc +=+>，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得()()a b a b +- ()c c b =-，即222a b c bc -=-，则222122b c a bc +-=，即1cos 2A =，由于0πA <<，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos 44x x m ⎛⎫= ⎪⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设函数()f x m n =⋅．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．【答案】(1) 424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈．(2) ⎛ ⎝⎦. 【解析】试题分析：（1）由题()13cos ,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，根据正弦函数的性质222262x k k πππππ-≤+≤+可求其单调增区间；（2）由题2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤，6263B πππ<+≤，由此可求 ()f B 的取值范围．（当且仅当a c =时取等号），所以03B π<≤， 6263B πππ<+≤， ()1f B <≤，综上， ()f B的取值范围为⎛ ⎝⎦．例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，()()()222sin cos ba c B C A C --+=+（1）求A 的大小；（2）求代数式b c a +的取值范围.【答案】（1）3π（22b ca+<≤ 【解析】试题分析：（1）由()()()222sin cos b a c B C A C --+=+及余弦定理的变形可得2cos sin B A B -，因为cos 0B ≠，故得sin A =ABC ∆中3A π=．（2）利用正弦定理将所求变形为2sin sin 32sin sin 6B B b c B a A ππ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭==+ ⎪⎝⎭，然后根据6B π+的取值范围求出代数式b ca+的取值范围即可．试题解析：（1）∵2222cos b a c ac B --=-， ()()()222sin cos b a c B C A C --+=+，∴()()2cos sin cos ac B B C A C -+=+ ， ∴()()2cos sin ,B A B ππ--=-∴2cos sin B A B -=，∴23sin sin sin sin sin 3222sin sin sin 6sin 3B B B Bb c B C B a A A πππ⎛⎫+++ ⎪++⎛⎫⎝⎭====+ ⎪⎝⎭,∵ABC ∆为锐角三角形，且3A π=∴02{02B C ππ<<<<，即02{ 2032B B πππ<<<-<, 解得62B ππ<<，∴2,363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭．2b c a +<≤．故代数式b c a +的取值范围2⎤⎦．点睛：（1）求b ca+的取值范围时，可根据正弦定理将问题转化为形如()sin y A x ωϕ=+的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x ωϕ+的范围．（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B π+的范围，然后结合函数的图象可得sin 6B π⎛⎫+⎪⎝⎭的范围，以达到求解的目的．例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆的外接圆半径为2ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (]4,6 【解析】试题分析：（1）由//m n ，得62)0c c o s A a c o s B-+=（，利用正弦定理统一到角上易得1cos 2A =；（2）根据题意，得2sin 2a R A ==，由余弦定理，得()223a b c bc =+-，结合均值不等式可得()216b c +≤，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，从而得到ABC ∆周长的取值范围.得1cos 2A =.又()0,A π∈，所以3A π=.（2）根据题意，得2sin 2a R A ===.由余弦定理，得()22222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-，即()223432b c bc b c +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，整理得()216b c +≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4.又2b c a +>=，所以24b c <+≤，所以46a b c <++≤. 所以ABC ∆的周长的取值范围为(]4,6.【精选精练】1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】，，，，又，，，，故选C.3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD 的值. 4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.【答案】5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,且2cos 2,2a C c b a +==,则ABC ∆的最大值为__________．即4bc ≤，所以ABC ∆的最大值为max 11sin 422S bc A ==⨯= 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7．【2018届宁夏石嘴山市高三4月适应性测试（一模）】已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且sin cos b A B =.（1）求角B ；（2）若b =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）3B π=；（2）.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan B =（2）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 2212a c ac =+-结合222a c ac +≥即可得最值.试题解析：（1）∵sin cos b A B =，∴由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即ABC ∆面积的最大值为.8．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（Ⅰ）求角；（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得A 的值. （II ）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到m 的取值范围，再写出S 的函数表达式求其最大值.详解：(Ⅰ)由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉m=2这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9．【衡水金卷信息卷（二）】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a C A =. （1）求角A 的大小；（2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.【答案】(1) 3A π=；(2) 1⎡⎤⎣⎦.在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b c B C=，∴22sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.10．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S满足222a b c =+-．（1）求角C 的值；（2）求()cos2cos A A B +-的取值范围．【答案】（1）23π；（2）(tan C =0C π<<， 23C π∴=.（2）()3cos2cos =cos2cos 2cos232A A B A A A A π⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭0,2333A A ππππ<<∴<+<(203A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 11．【2018届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三4月联考】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =.（1）求b 的值；（2）若4B π=， S 为ABC ∆的面积，求cos S A C +的取值范围.【答案】(1) 4b =(2) (【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理， sin cos 3cos sin A C A C =可转化为2222b ac -=，又222a c b -=，从而得到b 的值；（2）由正弦定理1sin sin 2S bc A A C ==，故324S AcosC A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭限制角A的范围，求出cos S A C +的取值范围.（2）由正弦定理sin sin b c B C =得114sin 4sin sin sin 22sin4S bc A A C A C π==⋅⋅=()324S AcosC A C A π⎛⎫∴+=-=-⎪⎝⎭，在ABC ∆中，由3040{ 202A A C A C πππ<<<<<<> 得3,82A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 320,44A ππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，3cos 24A π⎫⎛⎫∴-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(S AcosC ∴+∈.12．【衡水金卷信息卷（五）】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围. 【答案】(1) 3A π=(2) (3+(3.试题解析：（1）∵252224B C sin A sin π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，∴()15224cos B C cos A -+-=-， ∴2152124cosA cos A +--=-，整理，得28210cos A cosA --=，∴14cosA =-或12cosA =， ∵02A π<<，∴12cosA =，即3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为r，则22a r sinA===，∴1r =. ∴()2b c r sinB sinC +=+ 223sinB sin B π⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ABC ∆周长的取值范围是(3+.。

解三角形中的最值与范围问题(解析版)

专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理设220CDBD m ==>，则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形(含解析).doc

(高考冲刺押题)2019高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形（含解析）【考点导读】1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化、【基础练习】1、在△ABC 中，BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，那么AC ＝.2、在ABC ∆中，假设sin :sin :sin 5:7:8A B C=，那么B ∠的大小是______________. 3、在ABC △中，假设1tan 3A =，150C =，1BC =，那么AB4、在△ABC 中，假设22tan tan b a B A =，那么△ABC5、在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，那么边AC 上的高为、6、△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.如果a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b【范例解析】例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，20a c +=，2CA =，3cos 4A =、〔1〕求ca的值；〔2〕求b 的值、分析：利用2C A =转化为边的关系、解：〔1〕由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====、〔2〕由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩、由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：218800b b -+=，解得：8b =或10b =，假设8b =，那么A B =，得4A π=，即3cos 4A =≠矛盾，故10b =、点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论、例2.在三角形ABC 中，2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状、分析一：边化角解法一：由得：22[sin()sin()][sin()sin()]aA B A B b A B A B --+=---+，π21化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =，即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sinsin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=、又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形、分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b abc ac+-+-=，整理得：22222()()0ab c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形、点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状、例3.如图，△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α〔233ππα≤≤〕、〔1〕试将△AGM 、△AGN 的面积〔分别记为S 1与S 2〕表示为α的函数；〔2〕求221211y S S =+的最大值与最小值、分析：利用正弦定理建立目标函数、解：〔1〕因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以AG＝23，∠MAG ＝6π，由正弦定理GM GAsinsin 66πππα＝（－－）得GM那么S 1＝12GM ∙GA ∙sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）、〔2〕221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72〔3＋22cos sin αα〕因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240； ABCNM G αD 例3当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216、点评：此题关键是选取变量，建立目标函数，根据目标函数求最值、例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β.〔1〕证明：sin cos 20αβ+=；〔2〕假设AC，求β、分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. 〔1〕证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，sin cos 20αβ∴+=〔2〕解：AC，2sin 2βαββ∴===(0,)2πβ∈，sin β∴=，3πβ∴=.点评：此题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值. 【反馈演练】1、在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 那么BC=_____________、2、ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，假设a，b ，c 成等比数列，且2c a =，那么cos B=_____、3、ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，、假设A ∠是钝角，那么c 的取值范围___________、 4、ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为、 5、在ABC ∆中，假设2a b c =+，2sin sin sin A B C =的形状是____等边___三角形、6、假设ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，那么sin cos A A +=、 7、ABC ∆的三个内角为A B C 、、，那么cos 2cos 2B C A ++的最大值为、 8、在ABC ∆中，C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断：①tan 1tan AB= ；②1sin sin A B <+≤B DCαβA例433- 3425(,)3+∞ 32③1cos sin 22=+B A ； ④C B A 222sin cos cos =+、12、在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =、〔Ⅰ〕求角C 的大小；〔Ⅱ〕假设ABC ∆最大边的边长为，求最小边的边长、解：〔Ⅰ〕π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯、又0πC <<，3π4C ∴=、〔Ⅱ〕34C =π，AB∴边最大，即AB =、又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边、由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C== 所以，最小边BC =。

高考数学解三角形中的最值专题

（2）由已知结合正弦定理将边转化角，再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求的取值范围.
【详解】
（1）由，可得，
整理得，
所以 .
（2）由（1）得， , ，,
，，
由正弦定理得，
∴
，
∵ ,∴ ，，
，∴
∴ 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
3．（1）；（2）．
【详解】
（1）
原式
（2），
时等号成立.
周长的最大值为
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，周长的最大值，意在考查学生解决问题的能力.
14．（1）；（2） .
【解析】
试题分析：（1）根据题意，由正弦定理得到关于角的三角函数关系
利用：，得到，再利用两角和的正弦定理，化简为：，利用辅助角公式得到：，进而求得：；（2）根据余弦定理得到关于的关系式：，利用基本不等式得，所以三角形的周长的取值范围为 .
12．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理，并结合，可将原式转化为，由，可求出，进而可求出；
（2）由，可求出，再结合余弦定理，可求得的值，结合，可求出的值，进而可求出的周长.
【详解】
（1）由正弦定理可得，，
由，则，
因为，所以，
又，所以 .
（2）由题意，，解得，
（2）根据向量数量积的定义可得，再利用余弦定理以及基本不等式可得，由三角形的面积公式即可求解.
【详解】
解：（1）因为，所以，
由正弦定理，，即
（2）若，则，

2019届高三数学备考冲刺140分问题29立体几何中的最值问题含答案解析

问题29立体几何中的最值问题一、考情分析立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值.纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法；有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如最小角定理所建立的不等关系等等.(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易.(5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法. 除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在.2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径三、题型分析(一) 距离最值问题1.空间中两点间距离的最值问题A C与BD上,求MN的最小【例1】正方体的棱长为1,M、N分别在线段11值.【分析】方法一,该题可以结合正方体的结构特征,将其转化为两异面直线的距离来求；方法二,可设出变量,构建相应的函数,利用函数的最值求解；方法三,建立空间直角坐标系,利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数,然后利用函数方法求解最值.【解析】方法一（定义转化法）因为直线11A C 与BD 是异面直线,所以当MN 是两直线的共垂线段时,MN 取得最小值.取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.下证明之.在矩形11BDD B 中,PQ 为中位线,所以1//PQ BB , 又因为1BB ⊥平面ABCD ,所以PQ ⊥平面ABCD 又因为BD ⊆平面ABCD , 所以PQ BD ⊥. 同理可证11PQ A C ⊥, 而,,所以线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段,且1PQ =. 由异面直线公垂线段的定义可得,故MN 的最小值为1.方法二：（参数法）如图,取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.由正方体的棱长为1可得1PQ =.连结AC ,则11//AC A C ,所以BQC ∠为两异面直线11A C 与BD 所成角. 在正方形ABCD 中,AC BD ⊥,所以.过点M 作MH AC ⊥,垂足为H ,连结NH ,则//MH PQ ,且.设PM m =,QN t =,则QH m =. 在Rt QNH ∆中, ,在Rt MHN ∆中,.显然,当0m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.方法三：（向量法）如图,以D 为坐标原点,分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设DN m =,1A M n =.则,即；,即.所以,故当22m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵活运用.【小试牛刀】【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。

专题2.6 三角形中的不等和最值问题(测)-2019年高考数学(理)二轮复习讲练测 Word版含解析

2019高三二轮精品【新课标理科】热点六三角形中的不等和最值问题（一）选择题（12*5=60分）1．在非直角ABC ∆中 “B A >”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】在非直角ABC ∆中，由“B A >”不能推出“”，如此时满足A B >，但，不满足，所以不充分；反之，当时，也不能推出B A >，如A 为锐角，B 为钝角时有，但A B <，所以也不必要．故选D ．2.【齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】在中，角所对的边分别为，若,则当取最小值时， =（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由正弦定理得 , ,,当，即时取最小值.故答案为：C.3.【2018届江西省赣州市第一学期期末】在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足，且4b c +=，则a 的最小值为（）A. 2B. 【答案】A4.【2018届重庆市九校联盟高三上学期第一次联考】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，，当4b c +=时， ABC ∆面积的最大值为（）【答案】C【解析】由，故（当且仅当2b c ==时取等号），故选：C ．5.【2018届河南省郑州市高中毕业班第一次质量检测（模拟）】在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且，若ABC 的面积为S =，则ab 的最小值为（）A. 28B. 36C. 48D. 56 【答案】C【解析】由条件及余弦定理的推理得，整理得，∴，可得23C π=．又，可得4ab c =． ∵，当且仅当a b =时等号成立．∴22316a b ab ≥，解得48ab ≥．故ab 的最小值为48．选C ．6 .【吉林省高中2019届高三上期末】已知在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则面积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C7 .在中，，则的最大值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】∵B=60°，A+B+C=180°，∴A+C=120°，由正弦定理，得，∴AB=2sinC，BC=2sinA ．∴AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA=2（sin120°c osA﹣cos120°sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中tanφ=）所以AB+2BC的最大值为2．故选：A8.【山东省日照一中2019届高三上学期第二次检测】已知M是△ABC内的一点，且=4，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，则的最小值是（）A．20 B．18 C．16 D．9【答案】D【解析】因为=4，∠BAC=30°，所以.所以.因为△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，所以，所以 .所以.当且仅当即时，上式取“=”号.所以，时，取最小值9.故选D.9.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝，S为△ABC的面积，则S＋cos Bc os C的最大值为( )A. 1B. ＋1C.D. 3【答案】C【解析】∵a2＝b2＋c2＋bc，∴cos A＝∴A＝23.设△ABC外接圆的半径为R，则2R＝＝2，∴R ＝1，∴S ＝12bcsinA cos Bcos C ＝cos(B －C)，故S cos Bcos C 故选C10.在ABC ∆中，角A B C 、、所对边的长为a b c 、、，设AD 为BC 边上的高，且AD a =，则b cc b+的最大值是（）A ．2B D ．4 【答案】B 【解析】，,选B.11.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知，，，设ABC ∆的面积为S ，，则p 的最小值为（）A. 8-B. 8-C. 9-D. 9-【答案】B【解析】由正弦定理得因为，所以13a ≤≤ ，，当且仅当94a =时取等号所以选B.12.【河南省郑州市2019届高三1月预测】抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最小值为A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b．由余弦定理得，|AB|2＝a2+b2﹣2ab cos60°＝a2+b2﹣ab配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2得到|AB|（a+b）＝|CD|．∴1，即的最小值为1．故选：B．二、填空题（4*5=20分）13.【安徽省黄山市2019届高三11月“八校联考”】在中，,，则当取最大值时=__________ .【答案】【解析】由余弦定理设，即代入上式可得，故，当时，此时，符合题意故由正弦定理得，解得故答案为14.【贵州省2019届高三上学期测评卷（一)】设的内角的对边分别为，若，且的面积为25，则周长的最小值为__________．【答案】【解析】在中，由余弦定理可得：，即，即，即，所以三角形的面积为，则的周长为，当时取得等号，所以的周长最小值为.15.【贵州省2019届高三11月37校联考】在中，内角的对边分别为，且，若为锐角，则的最大值为_____．【答案】【解析】由题知，，则，，因为为锐角，所以，因为，所以，，所以的最大值为.16.已知一个圆柱内接于半径为4的球，点为圆柱上底面圆周上一动点，是圆柱下底面圆的内接三角形，，则三棱锥体积的最大值为_______【答案】【解析】设圆柱高为h，底面圆的半径为r，∵∴，由勾股定理可得：，解得，由余弦定理,可得：，即当且仅当时等号成立三棱锥体积∴三棱锥体积的最大值为三、解答题（6*12=72分）17.【2018届安徽省亳州市高三第一学期期末】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，满足.（1）求C ；（2）若2c =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）3C π=（218.已知ABC ∆的角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，设向量(,)m a b =，，(1,1)p =.（I ）若m ∥n ，求角B 的大小；（II ）若4m p ⋅=，边长2=c ，求ABC ∆的面积的最大值．【答案】（1）4π=B ；（2【解析】（1）∵m ∥n，（2）由4m p ⋅=得4=+b a ，由均值不等式有（当且仅当2a b ==时等号成立），又,所以(0,]3πC ∈,从而（当且仅当2a b ==时等号成立），于是，即当2a b ==时，ABC ∆19.【陕西省榆林市2019届高考模拟第一次测试】西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形，其中三角形区域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所，，为运动小道（不考虑宽度），，千米.（1）求小道的长度；（2）求球类活动场所的面积最大值.【答案】（1）（2）【解析】如解图所示，连接，（1）在三角形中，千米，，由余弦定理得：，所以∵，，∴∵，∴在中，（千米）∴小道的长度为千米；（2）如图所示，设，∵，∴在三角形中，由正弦定理可得：，∴，，∴，，，∵，∴，故当时，取得最大值，最大值为.∴球类活动场所的面积最大值为平方千米.20.【河北省唐山一中2019届高三上期中】已知函数（1）求函数的对称轴；对称中心；单调递增区间；（2）在中，分别是所对的边，当时，求内切圆面积的最大值. 【答案】（1）对称轴为，对称中心为，单调递增区间为；（2）.【解析】(1)对称轴为对称中心为单调递增区间为(2) 由由得由余弦定理,即由基本不等式得，内切圆面积最大值为21.如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200．(1)求线段BD的长与圆的面积．(2)求四边形ABCD的周长的最大值．【答案】（1），圆的面积为；（2）．【解析】(1)由于四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠BCD+∠BAD=1800，由题设知∠BCD=1200，所以∠BAD=600，在中由余弦定理得，．．由正弦定理得，，．(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600，在中有正弦定理得，，，四边形ABCD的周长=5+=，由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200，所以θ+600=900，即所以θ=300时，四边形ABCD的周长取得最大值．解法二：设，，在中由余弦定理得，，，，．．四边形ABCD的周长，当且仅当时上式取等号，四边形ABCD的周长最大值为．22．【2018届四川省广元市高三第一次高考适应性统考】设函数.（1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取最大值时x 的集合；（2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()32f A =， 2b c +=，求a 的最小值.【答案】(1) ()f x 的最大值为2, x 的集合为；【解析】（1）由题意得，∵，∴，∴()f x 的最大值为2．此时，即，所以x 的集合为.学-科网（2）由题意得，∴，∵()0,A π∈∴，∴，∴23A π=在ABC ∆中， 2b c +=， 1cos 2A =，由余弦定理得又，∴，当且仅当1b c ==时取等号，∴a。

江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题07平面向量中最值范围问题含解析

问题7平面向量中最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.2．四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(1,y 1),b ＝(2,y 2),则a ·b ＝12＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则的最小值是_______．【答案】【分析】由题意，以点A 为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【解析】由题意，以点A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点，其中，则向量，所以又由，则，整理得，又由，设，整理得，解得，所以，所以的最小值为.【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求解【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______．【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以,又,即,解得,故.(二) 平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为4π,,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设；以OA 所在直线为,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,∵a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （,y ）∵,∴2+y 2-6-2y+9=0,即（-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量,且,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,,如图,取AB 中点D ,则,12OD =,,由可得, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32. (三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________.【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【解析】由题意知,,,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以322πθπ<<. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．（四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=,()5,3-=,且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是．【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于与的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且与不共线同向,由,解得310<λ,当向量与共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中,.（1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）.（2）建立如图所示的平面直角坐标,则.设,由,得.所以.所以..因为,所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1；当或即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知点P 在圆M：(-a)2 +(y－a+2)2＝1 上，A，B 为圆C：2 +(y-4)2＝4 上两动点，且AB ＝2, 则的最小值是____．【答案】【解析】取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，所以，＝.C（0,4），M（a，a－2）当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.故答案为：.3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m的取值范围为.故答案为：4．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D为AB的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则.6．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】4【解析】以A 坐标原点,AB,AD 所在直线为,y 轴建立直角坐标系,设所以AP AQ ⋅因为,所以因为,所以因此7．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P是边长为形ABC内切圆上的一点,则PA PB⋅的取值范围为_______.-【答案】[]3,1【解析】以正三角形ABC的中心为原点,以AB边上的高为y轴建立坐标系,则,正三角形ABC内切圆的方程为221+=,所以可设,则x y,-.8．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为A B C D四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B的位置所图所示, 1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,则AB CD⋅的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD⋅取最大值时,即AB CD⋅9．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________．【解析】∴2a xb -的最小值为.10．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________．【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时,则：,当且仅当时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 11．已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是．【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：,而,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-12．在ABC ∆中, ,则角A 的最大值为_________.【答案】6π 【解析】试题分析由题设可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以6max π=A ,应填答案6π. 13．在平面内,定点,,,A B C D 满足,动点,P M 满足,则BM 的最大值是__________.【答案】1 【解析】试题分析设,则.由题设可知,且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.14．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC ,CD 上运动（包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为,y 轴建立直角坐标系,则,设,因为,所以33xb -=,则,故,所以,故填[1,9].15.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0- 【解析】因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈, 因为,所以()2,0x ∈-.16．已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________．【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅,即,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．17．在ABC ∆中,已知AB =3C π=,则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 .【答案】32【解析】,由余弦定理得：,所以32C A C B ⋅≤uu r uu r ,当且仅当a b =时取等号18．已知△ABC 中,4AB =,2AC =,（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是．【答案】94-【解析】令()f λ＝＝216λ＋24(22)λ-＋＝,当cos 0A =时,()f λ＝,因为2>,所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当c o s 0A ≠时,()f λ＝＋1cos ]2A+≥,解得1c o s 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以P B P C⋅＝＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。

江苏省2019届高三数学备考冲刺140分问题06三角形中的不等问题与最值问题(含解析)

问题6 三角形中的不等问题与最值问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问. 二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为π这一限制条件．(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围．三、知识拓展(1)若△ABC 是锐角三角形,则,、(2)若△ABC 中,若A 是锐角,则222a b c +>；若A 是钝角,则222a b c +<(3) △ABC 中,若π3A =,则, ,=.(4)若,,a b c 成等差数列,则π3B ≤. 四、题型分析(一) 角或角的三角函数的范围或最值【例1】【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟】在中，若，则的最大值为______. 【答案】【分析】先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值. 【解析】在△ABC 中，有, 所以==,当即时取等.故答案为：【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.【小试牛刀】【2018江苏省南京市多校第一次段考】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，4ab=，则的最小值是__________．【答案】4 2【解析】，4ab=， , ()0,Cπ∈,,当且仅当时成立.(二) 边的范围或最值【例2】在△ABC中,若,点E,F分别是AC,AB的中点,则BECF的取值范围为．【分析】先得出,设bta=,转化为函数求值域.【解析】设分别是,AC AB的中点,, 所以由正弦定理得,114-,设b t a =,结合23c b =,由,a b ca cb bc a+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩可得.,故答案为17(,)48.【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有 ①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间 ,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BECF表示为关于t 的函数,再根据方法⑤解答的.【小试牛刀】【江苏省如皋中学2018-2019学年高三第一学期期中】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．（1）若当时，，求此时的值；（2）设，且．（i ）试将表示为的函数，并求出的取值范围；（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，即．（2）（i ）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即．又，解得，所以所求关系式为，．（ii ）当观赏角度的最大时，取得最小值．在中，由余弦定理可得，因为的最大值不小于，所以，解得，经验证知，所以．即两处喷泉间距离的最小值为．(三) 周长的范围或最值【例3】在锐角ABC ∆中, 2c =,.（1）若ABC ∆,求a 、b ；（2）求ABC ∆的周长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长,利用三角函数的有界性求解即可．【解析】（1）由及正弦定理得：,又sin 0A ≠,.又C 为锐角,故3C π=,又, 4ab ∴=由得,所以由解得2{2a b ==.（2）由正弦定理得,,记ABC ∆周长为l ,则,又23A B π+=,,ABC ∆为锐角三角形,.【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径. 【小试牛刀】C ∆AB 中,角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ,且．（1）求角A ；（2）若2a =,求C ∆AB 的周长的最大值．【答案】（1）60A =︒；（2）6．【解析】（1）,解得60A =︒．（2）,周长,,△ABC 的周长的最大值为6． (四) 面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ 中,∠POQ ＝90°,OP ＝,点M 在线段PQ 上．(1)若OM =求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上,且∠MON ＝30°,问：当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】第(1)题利用余弦定理求MP 的长,难度不大；第(2)题求△OMN 的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM 为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN 的面积表示为∠POM 的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM 和ON 的长表示为∠POM 的函数是关键.【解析】(1)在OMP ∆中, ,OM =OP =由余弦定理得, ,得, 解得1MP =或3MP =．(2)设,,在OMP ∆中,由正弦定理,得,所以, 同理故因为, ,所以当30α=︒时,的最大值为1,此时OMN ∆的面积取到最小值．即时,△OMN 的面积的最小值为8-【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式,将其转化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解.【小试牛刀】【江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考】如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇形的半径，，OB 与OM 之间的夹角为．Ⅰ将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成的函数．Ⅱ若，求当为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？精确到【解析】Ⅰ由题意可知，点M 为的中点，所以．设OM 于BC 的交点为F ，则，．．所以，．Ⅱ因为，则．所以当，即时，S 有最大值．．故当时，矩形ABCD 的面积S 有最大值．(五) 与其它知识点的综合问题【例5】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6，且,,BC CA AB 成等比数列，则BA BC ⋅的取值范围是______．【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列，所以，从而02b <≤，所以，又，即，解得，故.【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题. 【小试牛刀】如图,已知平面上直线12//l l ,A ,B 分别是1l ,2l 上的动点,C 是1l ,2l 之间的一定点,C到1l 的距离1CM =,C 到2l 的距离CN =ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为a ,b ,c ,a b >,且.（Ⅰ）判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）记ACM θ∠=,,求()f θ的最大值.【答案】（Ⅰ）ABC ∆是直角三角形；（Ⅱ）()f θ. 【解析】（I ）由正弦定理得：,集合,得,又a b >,所以A B >,且,所以,∴2C π=,所以ABC ∆是直角三角形；（II ）ACM θ∠=,由（I ）得,则1cos AC θ=,sin BC θ=, ,所以6πθ=时,()f θ. 五、迁移运用1．【江苏省如皋市2018-2019学年高三年级第一学期期末】在△锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知，则的最小值是_______．【答案】6【解析】根据题意，已知，由余弦定理得，化简得由正弦定理：即（正弦平方差）整理可得：即设因为为锐角三角形，所以此时即所以=令当，f(x)递增；当，f(x)递减；所以故的最小值是6故答案为62．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为___．【答案】【解析】由正弦定理，得：，如图，作BD⊥AC于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，因为，所以，，化简，得：，解得：x＝3y，，，＝＝＝＝，当且仅当时取得最小值.故答案为：.3．【江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研】已知的三边长，，成等差数列，且，则实数的取值范围是_______.【答案】 .【解析】【解析】设公差为d，则有a＝b﹣d，c＝b+d，代入a2+b2+c2＝63，化简可得3b2+2d2＝63，当d＝0时，b有最大值为，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即a+b＞c，整理得：b＞2d，可得：3b2+2（）2＞63，解得：b＞3，则实数b的取值范围是（3，]．故答案为：（3，]．4．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以故答案为：5．【江苏省镇江市2019届高三上学期期中】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tanA ＋tanB)＝＋，则cosC的最小值为__________．【答案】【解析】∵4（tanA+tanB）=则4（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB，即4sin（A+B）=sinA+sinB，又∵A+B=π﹣C，∴4sinC=sinA+sinB，由正弦定理得，4c=a+b．由余弦定理得cosC=,∵4c=a+b，∴cosC=，∴cosC的最小值为．故答案为：．6．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D为AB的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.7．【江苏省扬州中学2019届高三10月月考】在中，若则的最大值为_______. 【答案】【解析】已知等式即，，即可得，即，即．所以，．∴sinA故答案为：8．【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】设ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,D 为AB的中点,若且CD =,则ABC 面积的最大值是_____．1【解析】因为,所以,即,即sin cos A A =,即π4A =,又因为D 为AB 的中点,且CD =,所以,即,即,则,则ABC 面积的最大值是9．【百校联盟2018届TOP20一月联考】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若， 2b =，则ABC ∆外接圆面积的最小值为__________．【答案】98π【解析】由条件及正弦定理得，∴，整理得3ac =．在ABC ∆中，由余弦定理得，∴1cos 3B ≥，当且仅当a c ==时等号成立．∴sin 3B ≤．设ABC ∆外接圆的半径为r ，则，故4r ≥． ∴．故ABC ∆外接圆面积的最小值为98π．答案： 98π10．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若不等式对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为________．【答案】100 【解析】由正弦定理得因此100k ≥ ，即k 的最小值为10011．【山东省德州市2018届高三上学期期中考试】在ABC ∆中， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，，则ABC ∆面积的最大值为__________．【解析】∵，∴,由余弦定理得，∴2b a c -=，即2a c b +=。

江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题07平面向量中最值范围问题含解析2019042627

问题7平面向量中最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.2．四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是_______．【答案】【分析】由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【解析】由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点，其中，则向量，所以又由，则，整理得，又由，设，整理得，解得，所以，所以的最小值为.【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求解【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______．【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以,又,即,解得,故.(二) 平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为4π,,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,∵a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ）∵,∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量,且,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,,如图,取AB 中点D ,则,12OD =, ,由可得, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32. (三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________.【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【解析】由题意知,,,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以322πθπ<<. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即, （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是．【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与共线同向的情形．【解析】由于与的夹角为锐角,0>⋅∴,且与不共线同向,由,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中,.（1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）.（2）建立如图所示的平面直角坐标,则.设,由,得.所以.所以..因为,所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1；当或即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知点 P 在圆 M： (x-a)2 +(y－a+2)2＝1 上， A，B 为圆 C：x2 +(y-4)2＝4 上两动点，且 AB ＝2, 则的最小值是____．【答案】【解析】取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，所以，＝.C（0,4），M（a，a－2）当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.故答案为：.3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m 的取值范围为.故答案为：4．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC 中，D 为AB 的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D 为AB 的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则.6．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】4【解析】以A 坐标原点,AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,设所以AP AQ ⋅因为,所以因为,所以因此7．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______.【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设,则,,故答案为[]3,1-.8．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时,即AB CD ⋅9．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________．【解析】∴ 2a xb-10．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________．【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<,故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时,则：,当且仅当时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 11．已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是．【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：,而,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-12．在ABC ∆中, ,则角A 的最大值为_________.【答案】6π 【解析】试题分析:由题设可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以6m a x π=A ,应填答案6π. 13．在平面内,定点,,,A B C D 满足,动点,P M 满足,则BM 的最大值是__________.【答案】1 【解析】试题分析:设,则.由题设可知,且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.14．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则,设,因为,所以33xb -=,则,故,所以,故填[1,9].15.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0- 【解析】因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈,因为,所以()2,0x ∈-.16．已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________．【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．17．在ABC ∆中,则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 .【解析】,由余弦定理得：,所以当且仅当a b =时取等号18．已知△ABC 中,4AB =,2AC =,（R λ∈）若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是．【解析】令()f λ＝＝216λ＋24(22)λ-＋＝,当cos 0A =时,()f λ＝,因为2,所以,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当c o sA ≠时,()f λ＝＋≥,解得,所以,则建立直角坐标系,(0,0)A ,,设(,0)P x (04)x <<,则, ,所以P B P C ⋅＝＝259()24x --,,PB PC ⋅取得最小值。

2019届高三数学备考冲刺140分问题29立体几何中的最值问题含解析

问题29立体几何中的最值问题一、考情分析立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值.纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法；有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如最小角定理所建立的不等关系等等.(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易. (5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法.除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在.2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径三、题型分析(一) 距离最值问题1.空间中两点间距离的最值问题【例1】正方体的棱长为1,M 、N 分别在线段11A C 与BD 上,求MN 的最小值.【分析】方法一,该题可以结合正方体的结构特征,将其转化为两异面直线的距离求；方法二,可设出变量,构建相应的函数,利用函数的最值求解；方法三,建立空间直角坐标系,利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数,然后利用函数方法求解最值.【解析】方法一（定义转化法）因为直线11A C 与BD 是异面直线,所以当MN 是两直线的共垂线段时,MN 取得最小值.取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.下证明之.在矩形11BDD B 中,PQ 为中位线,所以1//PQ BB ,又因为1BB ⊥平面ABCD ,所以PQ ⊥平面ABCD又因为BD ⊆平面ABCD ,所以PQ BD ⊥.同理可证11PQ A C ⊥,而, ,所以线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段,且1PQ =.由异面直线公垂线段的定义可得,故MN 的最小值为1.方法二：（参数法）如图,取11A C 的中点P ,BD 的中点Q .则线段PQ 就是两异面直线11A C 与BD 的共垂线段.由正方体的棱长为1可得1PQ =.连结AC ,则11//AC A C ,所以BQC ∠为两异面直线11A C 与BD 所成角.在正方形ABCD 中,AC BD ⊥,所以.过点M 作MH AC ⊥,垂足为H ,连结NH ,则//MH PQ ,且. 设PM m =,QN t =,则QH m =.在Rt QNH ∆中,, 在Rt MHN ∆中,.显然,当0m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.方法三：（向量法）如图,以D 为坐标原点,分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设DN m =,1A M n =.则,即；,即.所以,故当2m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵活运用.【小试牛刀】【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】设正方体的棱长为，为的中点，为直线上一点，为平面内一点，则，两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形结合题意可知OE是三角形中位线，题目计算距离最短，即求OE与两平行线的距离，，所以距离d，结合三角形面积计算公式可得，解得，故选B。

江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题07平面向量中最值范围问题含解析

问题7平面向量中最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.2．四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(1,y 1),b ＝(2,y 2),则a ·b ＝12＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则的最小值是_______．【答案】【分析】由题意，以点A 为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【解析】由题意，以点A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点，其中，则向量，所以又由，则，整理得，又由，设，整理得，解得，所以，所以的最小值为.【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求解【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______．【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以,又,即,解得,故.(二) 平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为4π,,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围.【解析】设；以OA 所在直线为,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,∵a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （,y ）∵,∴2+y 2-6-2y+9=0,即（-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量,且,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,,如图,取AB 中点D ,则,12OD =,,由可得, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32. (三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________.【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【解析】由题意知, , ,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以322πθπ<<. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．（四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且与的夹角为锐角,则λ的取值范围是．【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由,解得310<λ,当向量与共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中,.（1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）.（2）建立如图所示的平面直角坐标,则.设,由,得.所以.所以..因为,所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1；当或即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知点P 在圆M：(-a)2 +(y－a+2)2＝1 上，A，B 为圆C：2 +(y-4)2＝4 上两动点，且AB ＝2, 则的最小值是____．【答案】【解析】取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，所以，＝.C（0,4），M（a，a－2）当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.故答案为：.3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m的取值范围为.故答案为：4．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D为AB的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则.6．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】4【解析】以A 坐标原点,AB,AD 所在直线为,y 轴建立直角坐标系,设所以AP AQ ⋅因为,所以因为,所以因此7．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设,则,,故答案为[]3,1-.8．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时,即AB CD ⋅9．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________．【解析】∴2a xb -的最小值为.10．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________．【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得, 此时,则：,当且仅当时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 11．已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是．【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：,而,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-12．在ABC ∆中, ,则角A 的最大值为_________.【答案】6π 【解析】试题分析由题设可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以6m a x π=A ,应填答案6π. 13．在平面内,定点,,,A B C D 满足,动点,P M 满足,则BM 的最大值是__________.【答案】1 【解析】试题分析设,则.由题设可知,且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点P在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.14．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC ,CD 上运动（包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为,y 轴建立直角坐标系,则,设,因为,所以33xb -=,则,故,所以,故填[1,9].15.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0- 【解析】因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈, 因为,所以()2,0x ∈-.16．已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________．【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．17．在ABC ∆中,已知AB =3C π=,则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 .【答案】32【解析】,由余弦定理得：,所以32CA CB ⋅≤uu r uu r ,当且仅当a b =时取等号18．已知△ABC 中,4AB =,2AC =,（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是．【答案】94-【解析】令()f λ＝＝216λ＋24(22)λ-＋＝,当cos 0A =时,()f λ＝,因为2>,所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当c o s 0A ≠时,()f λ＝＋1cos ]2A+≥,解得1c o s 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以P B P C⋅＝＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。

江苏专版2019届高三数学备考冲刺140分问题05应用三角函数的性质求解参数含答案解析

问题5应用三角函数的性质求解参数问题一、考情分析利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意. 二、经验分享(1) 三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元,转换成二次函数求值域．(2)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错．(3)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解． (4)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断．(5)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(6)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(8)求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0,ω>0)解析式的步骤①求A ,B ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则A ＝M －m2,B ＝M ＋m2.②求ω,确定函数的周期T ,则ω＝2πT .③求φ,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．ii.五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π. 三、知识拓展 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0),则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．3．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2,k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π,k ∈Z 确定其横坐标．四、题型分析(一) 与函数最值相关的问题【例1】已知函数．（1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；（2）若时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值．【分析】（1）()f x 化为,可得周期22T ππ==,由可得单调递增区间；（2）因为,所以,进而()f x 的最大值为,解得12m =.【解析】（1）,则函数()f x 的最小正周期T π=, 根据,k Z ∈,得,k Z ∈,所以函数()f x 的单调递增区间为,k Z ∈．（2）因为,所以,则当262x ππ-=,3x π=时,函数取得最大值0, 即,解得12m =．【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值. 【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程在[)0,2π上有且只有两解，则实数m 的取值范围_____．【答案】【解析】所以当时， y m = 与22y t t =+ 只有一个交点，当3m =时1t =，方程解所以要使方程在[)0,2π上有且只有两解，实数m 的取值范围(二) 根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.【例2】已知ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减,则ω的取值范围是________．【分析】根据y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组【解析】由π2＜x ＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4, 又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数sin y x ω=在区间[]0,2π上单调递增，则实数ω的取值范围是________．【答案】10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得，所以5．(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围【例3】已知函数．(1)若函数)(x f y =的图像关于直线对称,求a 的最小值;(2)若存在使成立,求实数m 的取值范围.【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将)(x f 化为,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出a 的最小值即可； (2)根据的范围求出320π+x 的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f (x 0)的值域,从而可求出m ＝00021()20()sin(2)3mf x m f x x π-=⇒==+的取值范围．【解析】(1)首先将函数)(x f y =的解析式化简为：,又因为函数)(x f y =的图像关于直线对称,所以,即,又因为0>a ,所以a 的最小值为12π． (2)故．【点评】对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断．【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,所得的图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值是【答案】8π【解析】函数的图象向左平移()0ϕϕ>个单位,得到图象关于y 轴对称,即,解得,又0ϕ>,当0k =时, ϕ的最小值为8π. (四) 等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围. 【例4】已知不等式对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数m 的取值范围是【答案】22m ≤【解析】因为＝,所以原不等式等价于在,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立．因为,所以∈22]2,所以22m ≤,故选B ．【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数[]0,m β∈,使,则实数m 的最小值是__________．【答案】2π【解析】函数,若对任意的实数,则：f （α）∈[3由于使f （α）+f （β）=0,则：f （β）∈3]．,,β=2π,所以：实数m 的最小值是2π．故答案为： 2π(五) 利用三角代换解决范围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.【例5】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________．A .33 B .33C .3D .2 【解析】设椭圆方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0),双曲线方程为222211x y a b -=(a ＞0,b ＞0),其中a ＞a 1,半焦距为c ,于是|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|PF 1|－|PF 2|＝2a 1, 即|PF 1|＝a ＋a 1,|PF 2|＝a －a 1, 因为,由余弦定理：4c 2＝(a ＋a 1)2＋(a －a 1)2－2(a ＋a 1)(a －a 1)即4c 2＝a 2＋3a 12,即令ac ＝2cos θ13a c＝2sin θ 所以【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁.【小试牛刀】已知实数,x y 满足221x y +=,则的最小值为【答案】43【解析】由221x y +=,可设,则=.五、迁移运用1.【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数是偶函数，点是函数图象的对称中心，则最小值为________.【答案】【解析】∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）是偶函数， ∴φ＝,∵点（1，0）是函数y ＝f （x ）图象的对称中心 ∴sin （ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k 2π，k 2∈Z ， ∴ω＝k 2π﹣φ＝（k 2﹣k 1）π﹣．又ω＞0，所以当k 2﹣k 1＝1时，ω的最小值为．故答案为：．2．【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】设函数，其中．若函数在上恰有个零点，则的取值范围是________．【答案】【解析】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，所以满足，解得：3.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.【答案】【解析】将函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y＝sin（ωx）的图象，再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπkπ，k ∈Z，∴当k＝0时，ω取得最小值为，故答案为：．4．【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知函数，若，且，则的最大值为______．【答案】【解析】令＝1，，则，＝＝＝，m，n，k都是整数，因为，所以，所以，的最大值为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图像与x 轴的交点A ， B ， C 满足，则ϕ=________.【答案】34π 【解析】不妨设0x ωϕ+=， πx ωϕ+=，，得，由，得，解得3π4ϕ=. 6．【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】若函数的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π， 3π， 23π，则实数ω的值为____．【答案】4 【解析】，所以4ω=。