初三月考试题(二次函数,相似形)
成功学校月考初三数学12月月考试卷 相似 二次函数类题型
成功学校2012-2013学年度第一学期12月素质测试初三数学命题人：施佑新 审核人：范宏业(满分：150，时间：120分钟)一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、下列图形中即是轴对称图形，又是旋转对称图形的是 （ ）A ．（l ）（2）B ．（l ）（2）（3）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3（4） 2、下列说法正确的是 （ ）A ．三点确定一个圆B ．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为 ( ) A ．7sin55° B.7cos35°C ．7cos55°D ．7tan55°4、如果两个相似三角形的面积之比为9∶4，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ）A ．9∶4B ．3∶2C ．2∶3D ．81∶16 5、如图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转35 o，得到△C B A '''，B A ''交AC 于点D ，若∠DC A ' =90o，则∠A 的度数是 （ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，D 、C 是劣弧EB 的三等分点，∠BOC =40°，那么∠AOE =（ ）A ．36 cmB ．34 cmC ．24 cmD ．32 cm7、如图，在□ ABCD 中，AD=10cm ，CD=6cm ，E 为AD 上一点，且BE=BC ，CE=CD ，则DE 的长为 （ ） A ．3.6 cm B ．4 cm C ．2.4 cm D ．3.2 cm8、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120o ，BC ＝10 cm ，则△ABC 的外接圆半径为（ ）A ．6B ．3310C ．365D ．35题图第6'B题图第59、在⊙O中AB，AB=2CD，那么（）A．AB=2CD B．AB>2CDC．AB<2CD D．AB与CD的大小关系不定。
精品 九年级数学下册 相似与二次函数 综合练习题
相似与二次函数综合练习题1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=5,AD=2,BC=8,∠MEN=∠B,∠MEN的顶角E在边BC上移动，一条边始终经过点A,另一边与CD交与点F,连接AF.(1)设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数自变量x的取值范围；(2)若△AEF为等腰三角形，求出BE的长。
2.在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),点B(0,3),点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发。
(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；(2)当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；(3)过点A作AC AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点，在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时tan∠ABC的值；若不存在，请说明理由。
3.如图，将一块直角三角纸板的直角顶点C(1,0.5)处，两直角边分别是x 、y 轴平行，纸板的另两个顶点A 、B 恰好是直线29+=kx y 与双曲线)0(>=m x m y 的交点，(1)求m 和k 的值；(2)设双曲线)0(>=m xm y 在A 、B 之间的部分为L,让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于M 、N 两点，请探究是否存在点P 使得MN=AB 21，写出你的探究过程。
4.把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中∠ABC=∠DEF=900,∠C=∠F=450,AB=DE=4,把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q.(1)如图1，当射线DF 经过点B,即点Q 与点B 重合时，易证△APD ∽△CDQ,此时AP ·CQ= (2)将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中00900<<α，问AP ·CQ 的值是否改变？说明你的理由。
初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与相似三角形附答案
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与相似三角形附答案1．如图①，已知直线443y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2y ax bx c=++经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线=1x-，D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)过点D向y E，是否存在点D，使CDE与AOC相似？若存在，请求出点D横坐标m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2-11ax+c(a>0)与x轴交于点A(3,0)和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且ABC的面积为15.（1）试求抛物线的解析式；（2）点D是线段OC上一点，连接BD交AC于点E，若ABE与ABC相似，试求点D的坐标和∠DBC的正切值；（3）若抛物线对称轴上的点P，满足∠APB=∠ACB，请直接写出点P的坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是（5，4），⊙M 与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A ，B 两点．（1）请直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E ，求证：直线EA 与⊙M 相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数的图像过点(0,0)O ,(8,4)A ,与x 轴交于另一点B ,且对称轴是直线3x =.（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作//MN AB 交OA 于N ,当ANM 面积最大时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ x ⊥轴，与抛物线交于Q ,过A 作AC x ⊥轴于C .当以O 、P 、Q 为顶点的三角形与O 、A 、C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标.5．二次函数24y ax bx =++的图象与轴交于两点A 、B ，与y 轴交于点C ，且()()1040A B -，、，．(2)如图1，抛物线的对称轴m 与x 轴交于点E ，CD m ⊥，垂足为D ，点706F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，动点N 在线段DE 上运动，连接CF 、CN 、FN ，若以点C 、D 、N 为顶点的三角形与FEN 相似，求点N 的坐标；(3)如图2，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标是1，将射线MA 绕点M 逆时针旋转45︒，交抛物线于点P ，求点P 的坐标．6．如图1，抛物线y =ax 2-6ax +6(a ≠0)与x 轴交于点A (8,0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E (m ,0)(0＜m ＜8)，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）分别求出直线AB 和抛物线的函数表达式；（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，若S 1：S 2=36：25，求m 的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E A '、E B '．①在x 轴上找一点Q ，使OQE OE A ''△∽△，并求出Q 点的坐标；②求12BE AE ''+的最小值．7．如图，抛物线y=x 2+bx+c 交y 轴于点A （0，﹣8），交x 轴正半轴于点B （4，0）．（1）抛物线的函数关系式为___________________；（2）有一宽度为1的直尺平行于y 轴，在点A 、B 之间移动，直尺两长边所在直线被线段AB 和抛物线截得两线段MN （M 在N 上方）、PQ （P 在Q 上方），设M 点的横坐标为m ，（0＜m ＜3）①若连接MQ ，求以M 、P 、Q 为顶点的三角形和△AOB 相似时，m 的值；②若连接NQ ，请直接写出m 为何值时，四边形MNQP 的面积最大．8．如图，抛物线经过三点A （1，0），B （4，0），C （0，﹣2）．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以B ，P ，M 为顶点的三角形与△OBC 相似（相似比不为1）？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知直线y ＝kx ﹣3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C ，动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOC 相似；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大．若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A 的坐标为()2,4-，且经过坐标原点，与x 轴负半轴交于点B ．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B 的坐标；(2)过点A 作AC x ⊥轴于点C ，若点D 是y 轴左侧的抛物线上一个动点（点D 与点A 不重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ，连接AO ，DO ，当以A ，O ，C 为顶点的三角形与以D ，O ，E 为顶点的三角形相似时，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，当点D 在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F ，在第三象限交于点G ，且点A ，点B ，点D ，到直线FG 的距离都相等，请直接．．写出线段FG 的长．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ＝6OA ＝6，点P 是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC 与OP ，交于点D ，当PD ：OD 的值最大时，求点P 的坐标；(3)点P 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点P 、点N ．使∠CPN ＝90°，且△CPN 与△BOC 相似，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．12．综合与探究如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，C ，与x 轴的另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标．(2)连接CD ，BD ，求点D 到BC 的距离h ．(3)P 为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q ，使得PDQ 与BOC 相似？若存在，13．如图，已知抛物线26y ax bx =+-与x 轴的交点A （-3，0），B （1，0），与y 轴的交点是点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上一点，当PB ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M ，N ，使得90CMN ∠= 且以点C ，M ，N 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，求出点M 和点N 的坐标；若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，经过点()2,9的抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()0,1A ，直线l 为该抛物线的对称轴，点B 为点A 关于对称轴l 的对称点，连接AB 、OB ．(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；(2)点P 为对称轴l 左侧抛物线上的点，过点P 作PD l ⊥于点D ，作PC x ⊥轴于点C ，连接CD ，问是否存在点P ，使得 PCD 与 AOB 相似？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y ax x =++与x 轴交于,A B 两点（B 在A 右侧），与y 轴交于点C ，点A 坐标为()1,0-，连接AC ，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，且横坐标为m ．过点,A P 分别作直线BC 的垂线段,AD PE ，垂足分别为D 和E ，连接,PD AE ．（2）求出四边形AEPD 是平行四边形时的m 值；（3）请直接写出PED V 与ADC △相似时的m 值．16．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于两点A ，B ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知二次函数245y ax ax a =--（a 为常数，且0a >）的顶点为P ，图象与x 轴交点为A ，B ，且点A 在点B 左侧．（1）求A ，B 两点的坐标．（2）当27PAB S =△时，求a 的值．（3）在（2）的情况下，将x 轴下方的图象沿x 轴向上翻折，与y 轴交于点C ，连接BC ，记BC 上方（含点B ，C ）的抛物线为N ．①设点M 为N 上一动点，当BCM S △取最大值时，求点M 的坐标．②在N 上是否存在点Q ，使以点B ，C ，Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，请18．已知抛物线y=12x 2－x +k 与x 轴有两个交点．（1）求k 的取值范围；（2）设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，点D 是抛物线的顶点，如果△ABD 是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线与y 轴交于点C ，点E 在y 轴的正半轴上，且以A 、O 、E 为顶点的三角形和以B 、O 、C 为顶点的三角形相似，求点E 的坐标．19．如图，已知拋物线()()24y k x x =+-（k 为常数，且k ＞0）与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，经过点B 的直线12y x b =-+与抛物线的另一个交点为D ．(1)若点D 的横坐标为4x =-，求这个一次函数与抛物线的解析式；(2)若直线m 平行于该抛物线的对称轴，并且可以在线段AB 间左右移动，它与直线BD 和抛物线分别交于点E 、F ，求当m 移动到什么位置时，EF 的值最大，最大值是多少？(3)问原抛物线在第一象限是否存在点P ，使得APB ABC ∽△△？若存在，请求出这时k 的值；若不存在，请说明理由．20．如图1，矩形ABCD 的边AD 在y 轴上，抛物线243y x x =-+经过点A 、点B ，与x 轴交于点E 、点F ，且其顶点M 在CD 上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A ，B ，C ，D ；（2）若点P 是抛物线上一动点（点P 不与点A 、点B 重合），过点P 作y 轴的平行线l 与直线AB 交于点G ，与直线BD 交于点H ，如图2．①当线段PH =2GH 时，求点P 的坐标；②当点P 在直线BD 下方时，点K 在直线BD 上，且满足△KPH ∽△AEF ，求△KPH 面积的最大值．图1图2备用图参考答案：1．(1)抛物线表达式为248433y x x =--+(2)四边形ABCD 面积最大值为252，点D 的坐标为3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，m 的值是2316-或–1或4116-【分析】（1）先求出A C 、的坐标，根据对称轴为=1x -，列方程组，求解即可；（2）连接OD ，由题意可得：点D 的坐标为(m ，248433m m --+)，根据OAD OCD OBC ABCD S S S S ∆∆∆=++四边形求得ABCD S 四边形与m 的关系，利用二次函数的性质，求解即可；（3）根据相似三角形的性质，求得D 点坐标，再代入抛物线解析式，求解即可．【解析】（1）解：把0x =代入443y x =+中，得4y =．∴点C 坐标为(0)4，．把0y =代入443y x =+中，得3x =-．∴点A 坐标为(30)-，．∵抛物线对称轴为直线1x =-，∴12b a-=-，即2b a =．由题意列方程组，得93024.a b c b a c -+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，解得43834.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，∴抛物线表达式为248433y x x =--+．（2）解：连接OD ，∵点B 与点(30)A -，关于直线=1x -对称，∴点B 的坐标为(10)，．由题意，点D 的坐标为(m ，248433m m --+)．∴OAD OCD OBC ABCD S S S S ∆∆∆=++四边形2148113(4)4()1423322m m m =⨯⨯--++⨯⨯-+⨯⨯=2268m m --+=23252(22m -++∵20-<，∴当32m =-时，四边形ABCD 面积最大值为252．224383()(45323248433m m ⨯--⨯-+=--+=．∴此时点D 的坐标为3(,5)2-．（3）解：存在由题意可得：3OA =，4OC =，DE m =-，∵CDE 与AOC 相似，90AOC CED ∠=∠=︒∴CDE ACO ∽△△或CDE CAO∽∴34CE OA DE OC ==或43CE OC DE OA ==∴34CE m =-或43m -∴点D 的坐标为34)4(,m m -+或34)4,(m m +或44)3(,m m -+或4(,4)3m m +把34)4(,m m -+代入248433y x x =--+，得：248433443m m m -=--++解得2316m =-；把34)4,(m m +代入248433y x x =--+，得：248433443m m m =+--+解得4116m =-；把44)3(,m m -+代入248433y x x =--+，得：248434433m m m -=--++解得1m =-；把4(,4)3m m +代入248433y x x =--+，得：248434433m m m =+--+解得3m =-，舍去；∴m 的值是2316-或–1或4116-．【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和相似三角形的性质．2．(1)2111 6.44y x x =-+(2)点D 的坐标为()0,4.2tan .11DBC ∴∠=(3)点P 的坐标为：1155,22⎛+ ⎝⎭或11555,.22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】()1设点(),0,B x ()3,0A ,则11311,a x a-+=-=则8,x =即点B ()8,0.5,AB =根据ABC 的面积即可求出点C 的坐标，用待定系数法即可求出函数解析式.（2）,AEB ABC ∽根据相似三角形的性质，可得,AE AB AB AC=即可求出AE 的长度，过点E 作EH OA ⊥于H,根据平行线分线段成比例，即可求出点E 的坐标，即可求出直线BE 的解析式，即可求出点D 的坐标.根据正切的和差公式即可求出∠DBC 的正切值；（3）根据∠APB =∠ACB ，则,,,A B C P 四点共圆，即可求出点P 的坐标.【解析】()1设点(),0,B x ()3,0A ,则11311,a x a-+=-=则8,x =即点B ()8,0.5,AB =115.2ABC S AB h =⋅= 解得： 6.h =即点()0,6.C 把点,A C 代入解析式，得93306,a a c c -+=⎧⎨=⎩解得：146,a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩即抛物线的解析式为：2111 6.44y x x =-+（2）22223635,6810,5,AC BC AB =+==+==,AEB ABC ∽根据相似三角形的性质，可得,AE AB AB AC =解得：55.3AE =过点E 作EH OA ⊥于H,则：.EH AH AE OC AO AC ==解得：510,.33AH HE ==4.3OH OA AH ∴=-=点410,.33H ⎛⎫ ⎪⎝⎭又点()8,0.B 直线BD 的解析式为：1 4.2y x =-+当0x =时，4,y =即点D 的坐标为()0,4.3tan ,4OBC ∠=1tan ,2OBD ∠=()tan tan 2tan tan .1tan tan 11OBC OBD DBC OBC OBD OBC OBD ∠-∠∴∠=∠-∠==+∠⋅∠()3点P 的坐标为：11555,22⎛+ ⎝⎭或1155,.22⎛- ⎝⎭【点评】属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性比较强，难度较大.3．(1)2115(2)(8)4442y x x x x =--=-+;(2)见解析;(3)存在，点P 的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．理由见解析.【分析】（1）连接AM ，MC ，设ME 交x 轴于点D ，由M 点的坐标可求得MC 、MD 的长，可求得C 点坐标，在Rt △ADM 中可求得AD ，则容易求得A 、B 坐标；（2）由A 点坐标可求得抛物线解析式，则可求得ME 的长，由勾股定理的逆定理可判定△AME 为直角三角形，则可证得结论；（3）可设P 点坐标为（5，t ），则可表示出PB 、CP 、结合BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时，则有PB=BC ，CP=BC ，PC=PB 三种情况，分别求解即可；【解析】解：（1）A ，B ，C 的坐标分别是A （2，0），B （8，0），C （0，4）；设抛物线解析式为()()28y a x x =--，将（0,4）代入得416a =即14a =∴()()2115284442y x x x x =--=-+.（2）证明：把215442y x x =-+化为y=（x ﹣5）294-，∴E （5，﹣），∴DE=，∴ME=MD+DE=4+=，EA 2=32+（）2=，∵MA 2+EA 2=52+=，ME 2=，∴MA 2+EA 2=ME 2，∴∠MAE=90°，即EA ⊥MA ，∴EA 与⊙M 相切；（3）解：存在；点P 坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：由勾股定理得：BC===4，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）；②当BP=BC=4时，如图2所示：∵PD===，∴P（5，）；③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，∴PD=4+，∴P（5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．点评：本题为二次函数的综合应用，涉及切线的性质、垂径定理、待定系数法、勾股定理及其逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中确定出利用切线的性质容易求得C点坐标，利用垂径定理求得AD的长是解题的关键，在（2）中求得E点的坐标，求得ME、AE的长是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出PB、PC的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．4．（1）y=14x 2﹣32x ；（2）M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为y=12x ，直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ，再通过解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N （43t ，23t ），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM 得到S △AMN =12•4•t ﹣12•t•23t ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ），根据相似三角形的判定方法，当PQ OC =PO AC 时，△PQO ∽△COA ，则|14m 2﹣32m|=2|m|；当PQ AC =PO OC 时，△PQO ∽△CAO ，则|14m 2﹣32m|=12|m|，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标．【解析】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax （x ﹣6），把A （8，4）代入得a•8•2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x （x ﹣6），即y=14x 2﹣32x ；（2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y=12x ，设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得212k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x+n ，把M （t ，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ，解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则N （43t ，23t ），∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =12•4•t ﹣12•t•23t=﹣13t 2+2t =﹣13（t ﹣3）2+3，当t=3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ），∵∠OPQ=∠ACO ，∴当PQ OC =PO AC 时，△PQO ∽△COA ，即PQ 8=PO 4，∴PQ=2PO ，即|14m 2﹣32m|=2|m|，解方程14m 2﹣32m=2m 得m 1=0（舍去），m 2=14，此时P 点坐标为（14，28）；解方程14m 2﹣32m=﹣2m 得m 1=0（舍去），m 2=﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，4）；∴当PQ AC =PO OC 时，△PQO ∽△CAO ，即PQ 4=PO 8，∴PQ=12PO ，即|14m 2﹣32m|=12|m|，解方程14m 2﹣32m=12m 得m 1=0（舍去），m 2=8（舍去），解方程14m 2﹣32m=﹣12m 得m 1=0（舍去），m 2=2，此时P 点坐标为（2，﹣1）；综上所述，P 点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、运用相似比表示线段之间的关系等，熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．5．(1)234y x x =-++(2)364322252⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或(3)()40，【分析】（1）先求得点C 的坐标，设抛物线的解析式为()()=14y a x x +-，将点C 的坐标代入求得a 的值，从而得到抛物线的解析式；（2）先求得抛物线的对称轴，然后求得CD ，EF 的长，设点N 的坐标为()0a ，则4ND a =-，NE a =，然后依据相似三角形的性质列出关于a 的方程，然后可求得a 的值；（3）过点A 作AD y ∥轴，过点M 作DM x ∥轴，交点为D ，过点A 作AE AM ⊥，取AE AM =，作EF x ⊥轴，垂足为F ，连结EM 交抛物线与点P ．则AME △为等腰直角三角形，然后再求得点M 的坐标，从而可得到2MD =，6AD =，然后证明ADM AFE ≌，于是可得到点E 的坐标，然后求得EM 的解析式为28y x -+＝，最后求得直线EM 与抛物线的交点坐标即可．【解析】（1）解：∵当0x =时，4y =，∴()04C ，．设抛物线的解析式为()()=14y a x x +-，将点C 的坐标代入得：44a -=，解得1a =-，∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2）解：∵对称轴322b x a =-=，706F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴32CD =，83EF =．设点N 的坐标为32a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4ND a =-，NE a =．当CDN FEN △∽△时，EN EF DN CD =，即1649a a =-，解得6425a =，∴点N 的坐标为364225⎛⎫ ⎪⎝⎭，．当CDN NEF ∽时，CD DN EN EF =，即83342a a =-，解得：2a =．∴点N 的坐标为322⎛⎫ ⎪⎝⎭，．综上所述，点N 的坐标为364225⎛⎫ ⎪⎝⎭，或322⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）解：如图所示：过点A 作AD y ∥轴，过点M 作DM x ∥轴，交点为D ，过点A 作AE AM ⊥，取AE AM =，作EF x ⊥轴，垂足为F ，连结EM 交抛物线与点P．∵90AM AE MAE =∠=︒，，∴45AMP ∠=︒．将1x =代入抛物线的解析式得：6y =，∴点M 的坐标为()16，．∴26MD AD ==，．∵9090DAM MAF MAF FAE ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴DAM FAE ∠=∠．在ADM △和AFE △中，90D AFE DAM FAE AM AE∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM AFE ≌．∴26EF DM AF AD ====，．∴()5,2E -．设EM 的解析式为y kx b =+．将点M 和点E 的坐标代入得：652k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得28k b =-=，，∴直线EM 的解析式为28y x =-+．将28y x =-+与234y x x =-++联立，解得：1x =或4x =．将4x =代入28y x =-+得：0y =．∴点P 的坐标为()40，．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点E 的坐标是解题的关键．6．（1）239684y x x =-++；364y x =-+；（2）4；（3）①(2,0)Q ，②10．【分析】（1）把点A （8，0）代入抛物线y =ax ²-6ax +6，可求得a 的值，从而可得到抛物线的解析式，然后由抛物线解析式可求得点B 的坐标，最后利用待定系数法可求得直线AB 的解析式；（2）由题意可得N （m ，-34m +6），P （m ，23984m m ++6），则可得PE 、EN 、PN 的长，然后由△ANE ∽△ABO ，可求得AN 的长，再由△NMP ∽△NEA ，依据相似三角形的性质可得到65PN AN =，从而可求得PN =12-32m ，然后依据PN =38m ²+3m ，然后列出关于m 的方程求解即可；（3）①在（2）的条件下，m =4，则OE '=OE =4，依据OQE OE A ''△∽△可得到OQ OE OE OA ''=，从而可求得OQ 的值，于是可得到点Q 的坐标；②由①可知，当Q 为（2，0）时，△OQE ′∽△OE ′A ，且相似比为2142OQ QE OE AE '===''，于是得到BE ′+12AE ′=BE ′+QE ′，当点B 、Q 、E ′在一条直线上时，BE ′+QE ′最小，最小值为BQ 的长．【解析】（1）把点()8,0A 代入抛物线266y ax ax =-+中，得064486a a =-+，∴38a =-，∴抛物线解析式为239684y x x =-++，在239684y x x =-++中，令0x =，得6y =，∴()0,6B ．设直线AB 的表达式为y kx b =+，把()8,0A ，()0,6B 两点坐标分别代入y kx b =+中，∴380466k b k b b ⎧+==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，∴直线AB 的表达式为364y x =-+．（2）∵过E 作x 轴垂线交AB 于N ，交抛物线于P ，且(),0E m (0＜m ＜8)，∴3,64N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，239,684P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴239684PE m m +=-+，364NE m =-+，∴2239336+638448PN PE NE m m m m m ⎛⎫=-=-++--=-+ ⎪⎝⎭，∵//PE OB ，∴ANE ABO ∽，∴AN ABNE OB =，∵OA =8，OB =6，∴由勾股定理得：AB =10，∴535610344ABAN NE m m OB ⎛⎫=⨯=-=- ⎪⎝⎭，∵PM AB ⊥，∴90PMN NEA ∠=∠=︒，又∵PNM ANE ∠=∠，∴NMP NEA ∽，∴212 3625SPN S AN ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴65PN AN =，∴665310125542PN AN m m ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，∴23312328m m m -=-+，整理得：212320m m -+=，解得：14m =，28m =，∵08m <<，∴4m =．（3）①在（2）的条件下，4m =，∴()4,0E ，设(),0Q d ，由旋转性质得：4OE OE '==，若OQE OE A ''△∽△，则OQ OE OE OA''=，∵090α︒<<︒，∴0d >，∴448d =，∴2d =，∴()2,0Q ．②由①可知，当Q 为()20,时，OQE OE A ''△∽△，且相似比为2142OQ QE OE AE'===''，∴12AE QE '='，∴12BE AE BE QE '''++'=，∴当E '旋转到BQ 所在直线上时，BE QE '+'最小，即为BQ 长度，∵()0,6B ，()2,0Q ，∴36410BQ =+=，∴12BE AE ''+的最小值为210．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，列出关于m 的方程是解答题问题（2）的关键，明确当点B 、Q 、E '在一条直线上时12BE AE ''+′取得最小值是解题的关键和难点．7．（1）y=x2﹣2x﹣8；（2）+1或+1；②．【解析】试题分析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c交y轴于点A（0，﹣8），∴c=﹣8．∵将B（4，0）代入y=x2+bx﹣8得：16+4b﹣8=0，解得：b=﹣2．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．故答案为y=x2﹣2x﹣8；（2）①如图1所示：连接MQ．设AB的解析式为y=kx+b．将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=2，b=﹣8．∴直线AB的解析式为y=2x﹣8．∵PQ∥OA，∴∠MPQ=∠OAB．当△AOB∽△PQM时．则∠AOB=∠PQM=90°．∴MQ∥OB．设点M的坐标为（m，2m﹣8），则点Q的坐标为（m+1，m2﹣9）．∵MQ∥OB，∴2m﹣8=m2﹣9，解得m=+1或m=﹣+1（舍去）．∴当m=+1时，△AOB∽△PQM．当△PMQ∽△AOB时，如图1所示：过点M作MN⊥PQ．∵△PMQ∽△AOB，∴∠PMQ=∠AOB=90°，∠PQM=∠ABO．∴∠MQN=∠ABO．∵MN⊥PQ，∴∠MNQ=90°．∴∠MNQ=∠AOB．∴△MNQ∽△AOB．∴=．∵MN=1，∴NQ=．设点M的坐标为（m，2m﹣8），则点Q的坐标为（m，m2﹣9）．∴NQ=﹣m2+2m+1．∴﹣m2+2m+1=．解得：m=+1或m=﹣+1（舍去）．综上所述，m的值为+1或+1．②设点M的坐标为（m，2m﹣8），则点N（m，m2﹣2m﹣8）、P（m+1，2m﹣6），Q（m，m2﹣9）．四边形MNQP的面积=×1×（MN+PQ）=（﹣2m2+6m+3）=﹣m2+3m+．当m==时，四边形MNQP的面积有最大值．考点：二次函数综合题．8．（1）此抛物线的解析式为．（2）存在．符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）.【解析】试题分析：（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx ﹣2，再根据过A，B两点，即可得出结果．（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当=时和时，当P，C重合时，△APM≌△ACO，分别求出点P的坐标即可．解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．将A（1，0），B（4，0）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为．（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为﹣m2+m﹣2，当1＜m＜4时，AM=4﹣m，PM=﹣﹣m2+m﹣2，又∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当=时，∵C在抛物线上，∴OC=2，∵OA=4，∴==2时，∴△APM∽△ACO，即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），解得m1=2，m2=4（舍去），∴P（2，1）．②当时，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）∴当1＜m＜4时，P（2，1），当m＞4时，AM=m﹣4，PM=m2﹣m+2，①，②=时，把P（m，﹣m2+m﹣2），代入得：2（﹣m2+m﹣2）=m﹣4，2（m﹣4）=﹣m2+m ﹣2，解得：第一个方程的解是m=﹣2﹣2＜4（舍去）m=﹣2+2＜4（舍去），第二个方程的解是m=5，m=4（舍去）求出m=5，=﹣m2+m﹣2=﹣2，则P（5，﹣2），当m＜1时，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，①，②=时，则：2（m2﹣m+2）=4﹣m，2（4﹣m）=m2﹣m+2，解得：第一个方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二个方程的解是m=4（舍去），m=﹣3，m=﹣3时，﹣m2+m﹣2=﹣14，则P（﹣3，﹣14），综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14），考点：二次函数综合题．9．(1)直线的解析式为y=34x-3，抛物线解析式为2315344y x x =-+-；(2)①t=53,②t=136；(3)存在，理由见解析.【解析】试题分析：（1）将A 点坐标代入直线的解析式中，即可求得k 的值，从而确定该直线的解析式；将A 、C 的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m 、n 的值，从而确定抛物线的解析式．（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B 的坐标，根据P 、Q 的运动速度，可用t 表示出BP 、CQ 的长，进而可得到AQ 、AP 的长，然后分三种情况讨论：①∠APQ=90°，此时PQ ∥OC ，可得到△APQ ∽△AOC ，根据相似三角形所得比例线段即可求得t 的值；②∠AQP=90°，亦可证得△APQ ∽△ACO ，同①的方法可求得此时t 的值；③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的．（3）过D 作y 轴的平行线，交直线AC 于F ，设出点D 的横坐标，根据抛物线和直线AC 的解析式可表示出D 、F 的纵坐标，进而可求得DF 的长，以DF 为底，A 点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC 的面积表达式（或由△ADF 、△CDF 的面积和求得），由此可求出关于△ADC 的面积和D 点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC 的面积最大值及对应的D 点坐标．试题解析：∵直线y=kx-3过点A （4，0），∴0=4k-3，解得k=34．∴直线的解析式为y=34x-3．由直线y=34x-3与y 轴交于点C ，可知C(0，-3)．∴2344304m -⨯+-=，解得m=154．∴抛物线解析式为23153.44y x x =-+-（2）对于抛物线，令y=0，则，解得x 1=1，x 2=4．∴B(1，0).∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t ，AQ=5-2t.①若∠Q 1P 1A=90°,则P 1Q 1∥OC （如图1），∴△AP 1Q 1∽△AOC.∴22AP AQ AC AO =,∴35254t t --=．解得t=53；②若∠P 2Q 2A=90°,∵∠P 2AQ 2=∠OAC ，∴△AP 2Q 2∽△AOC.∴,∴．解得t=136；综上所述，当t 的值为53或136时，以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．（3）答：存在．过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为E ，交AC 于点F （如图2）.∴S △ADF =DF·AE ，S △CDF =DF·OE ．∴S △ACD =S △ADF +S △CDF =DF×(AE+OE)=32×4(DE+EF)=2×()=．∴S △ACD =（0<x<4）．又0<2<4且二次项系数，∴当x=2时，S △ACD 的面积最大．而当x=2时，y=．∴满足条件的D 点坐标为D(2,)．考点：二次函数综合题．10．(1)24y x x =--，点B （-4，0）；(2)()6,12--或99,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或77,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．(3)5532【分析】（1）设该抛物线解析式为()()2240y a x a =++≠，把点（0，0）代入，即可求解；（2）根据题意得25,2,4,OA OC AC ===设点()2,4D x x x --，则24DE x x =--，OE x =-，根据∠ACO =∠DEO =90°，可得当以A ，O ，C 为顶点的三角形与以D ，O ，E 为顶点的三角形相似时，∠AOC =∠ODE 或∠AOC =∠DOE ，分两种讨论，即可求解；（3）分别过点A 、D 、B 作AM 、DP 、BQ 垂直直线FG ，垂足分别为M 、P 、Q ，连接AB ，AD 分别交FG 于点S 、T ，则∠AMP =∠BQP =∠ADP =90°，可得到点S 为AB 的中点，点T 为AD 的中点，利用中点坐标公式可得点()11233,2,,48S T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而得到直线FG 的解析式为72522y x =+，联立方程组，得到点F 、G 的坐标，即可求解．（1）解：∵抛物线顶点A 的坐标为()2,4-，∴可设该抛物线解析式为()()2240y a x a =++≠，把点（0，0）代入得：()20024a =++，解得：a =-1，∴该抛物线解析式为()22244y x x x =-++=--，令y =0，则240x x --=，解得：124,0x x =-=，∴点B （-4，0）；（2）解：如图，∵AC ⊥x 轴，点A （-2，4），∴点C （-2，0），∴2,4,OA OC AC ===设点()2,4D x x x --，则24DE x x =--，OE x =-，∵∠ACO =∠DEO =90°，∴当以A ，O ，C 为顶点的三角形与以D ，O ，E 为顶点的三角形相似时，∠AOC =∠ODE 或∠AOC =∠DOE ，当∠AOC =∠ODE 时，OE DEAC OC=，∴2442x x x ---=，当40x -≤<，即()40x x -+>时，2442x x x ---=，解得：72x =-或0（舍去），∴点77,24D ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当<4x -，即()40x x -+<时，2442x x x-+=，解得：92x =-或0（舍去），∴点99,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当∠AOC =∠DOE 时，AC OCDE OE=，∴2||244x x x---=，当40x -≤<，即()40x x -+>时，2442x x x---=，解得：2x =-（舍去）或0（舍去），当<4x -，即()40x x -+<时，2442x x x+-=，解得：6x =-或0（舍去），∴点()6,12D --；综上所述，当以A ，O ，C 为顶点的三角形与以D ，O ，E 为顶点的三角形相似时，点D 的坐标为()6,12--或99,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或77,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）解：如图，分别过点A 、D 、B 作AM 、DP 、BQ 垂直直线FG ，垂足分别为M 、P 、Q ，连接AB ，AD 分别交FG 于点S 、T ，则∠AMP =∠BQP =∠ADP =90°，根据题意得：AM =DP =BQ ，且AM ∥DP ∥BQ ，∴∠MAS =∠BSQ ，∴△ASM ≌△BSQ ，∴AS =BS ，即点S 为AB 的中点，同理点T 为AD 的中点，∵点A （-2，4），B （-4，0），77,24D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴点()11233,2,48S T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设直线FG 的解析式为()0y mx n m =+≠，把点()11233,2,48S T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入得：32112348m n m n -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：72252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线FG 的解析式为72522y x =+，联立，得：2725224y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1221552,5154x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，∴点515(,24F -，点()5,5G --，∴2FG ==．【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．11．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6(2)点P 的坐标为315(,)22(3)存在，点P 的坐标分别为(3，0)或(1，8)或939(,)48或755(,48【分析】（1）由已知条件可得出A 、B 、C 的坐标，再代入解析式，根据待定系数法求解即可；（2）过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，先证明△PDH ∽△ODC ，求出直线BC 的表达式，设点P 的坐标为（m ，﹣2m 2+4m +6），则点H （m ，﹣2m +6），根据相似三角形的性质求解即可；（3）过点P作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点G，交过点N与x轴的平行线于点H，证明△CGP∽△PHN，再分类讨论，当△CPN∽△BOC时，即∠PNC＝∠OCB，当△CPN∽△CBO时，即∠PNC＝∠OBC，再解直角三角形求解即可．（1）∵OC＝2OB＝6OA＝6，∴点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，6），由题意得：9306a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得246abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，∴∠PHD＝∠OCD，∠DPH＝∠DOC ∴△PDH∽△ODC，∴PD PH OD OC=设BC的表达式为y=kx+b，把（3，0）、（0，6）两点代入得：03 6k b b=+⎧⎨=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的表达式为y＝﹣2x+6，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点H（m，﹣2m+6），则PH＝（﹣2m2+4m+6）﹣（﹣2m+6），＝﹣2m2+6m，∵OC＝6，∴222663 PD m m m m OD-+==-+∵﹣13＜0，故PD ：OD 存在最大值，此时m ＝1312223b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，﹣2m 2+4m +623315246222⎛⎫=-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭故点P 的坐标为（32，152）；（3）存在，点P 的坐标分别为（3，0）或（1，8）或（94，398）或（74，558）．理由：过点P 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点G ，交过点N 与x 轴的平行线于点H ，∴∠CGP=∠PHN ＝90°，∴∠PCG+∠CPG ＝90°，∵∠CPN ＝90°，∴∠CPG+∠PNH ＝90°，∴∠PCG ＝∠PNH ，∴△CGP ∽△PHN ，∴GP CP HN PN=，在Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝6，∴tan ∠CBO =2或tan ∠OCB 12=，∵∠CPN=∠BOC ＝90，∴当△CPN ∽△BOC 时，即∠PNC ＝∠OCB ，tan ∠PNC=12CP PN =，即12GP HN =，设点P 的坐标为（m ，﹣2m 2+4m +6），则点G （m ，6），∴GP =|6-（﹣2m 2+4m +6）|，HN =m ，∴22262461241241222m m m m m m m m m -++-+===（﹣）﹣即或，解之得：m ＝0（舍去）或m =94或m =74，∵∠CPN=∠BOC ＝90°，∴当△CPN ∽△CBO 时，即∠PNC ＝∠OBC ，tan ∠PNC=2CP PN =即2GP HN =，设点P 的坐标为（m ，﹣2m 2+4m +6），则点G （m ，6），∴GP =|6-（﹣2m 2+4m +6）|，HN =m ，∴22262462424222m m m m m m m m m-++-+===（﹣）﹣即或解得：m ＝0（舍去）或m =3或m =1，∴m 的值为3或1或94或74，∴﹣2m 2+4m +6对应的值为0或8或398-或558∴点P 的坐标分别为（3，0）或（1，8）或（94，398）或（74，558）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．12．(1)223y x x =-++，顶点D (1，4)(2)2h =(3)Q （0，3）或（2，3）【分析】（1）求出直线与x 轴，y 轴的交点代入即可求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点D 作DM y 与对称轴交于点M ，求出DM 的长用分割法求出DCB △的面积，再求出BC 从而求得D 到BC 的距离h ；（3）BOC 为等腰直角三角形，PDQ 为等腰直角三角形求出Q 的坐标.（1）解：直线与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，令0x =，3y =，即点C （0，3）；令0y =，30x -+=，3x =，即点B （3，0）将点C （0，3），B （3，0）代入2y x bx c=-++3930c b c =⎧⎨-++=⎩解得23b c =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =-++；∴222314y x x x =-++=--+（），∴顶点D (1，4)（2）过点D 作DM y 与对称轴交于点M ，当1x =时，32y x =-+=，点M （1，2），∴2DM =，在Rt COB 中，由勾股定理得BC ===11()23322DCB DMC DMB B C S S S DM x x =+=-=⨯⨯=△△△，。
最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．如图，抛物线2y x bx c=-++与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（﹣1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标；（3）如图2，过点C作CF∠x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知，抛物线23y ax bx=++（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=12．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求证：直线DE是∠ACD外接圆的切线；（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使12PAC ACDS S∆∆=，求点P的坐标；（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与∠ACD相似，直接写出点M的坐标．3．如图∠，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P 从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，∠APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使∠PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图∠，点N的坐标为（﹣32，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．4．在平面直角坐标系中，函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于A (－3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q 是直线AC 上方的抛物线上一动点，过点Q 作QE 垂直于x 轴，垂足为E ．是否存在点Q ，使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；(4)点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．5．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ．（1）=a ；b = ；（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ， ∠求线段PQ 的最大值；∠若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．6．如图：已知正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点B 坐标为（4，4）．二次函数216y x bx c =-++的图象经过点A 、B ，且与x 轴的交点为E 、F ．点P 在线段EF 上运动，过点O 作OH⊥AP 于点H ，直线OH 交直线BC 于点D ，连接AD ． （1）求b 、c 的值；（2）在点P 运动过程中，当∠AOP 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似时，求点P 的坐标；（3）在点P运动到OC中点时，能否将∠AOP绕平面内某点旋转90°后使得∠AOP的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．7．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∠y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．∠连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，∠PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；∠连结PB，过点C作CQ∠PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．8．已知点A（-1，1），B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F的坐标为(0,m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证FH∥AE；(3)如图2，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．9．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得∠POC∠∠MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A ，(1,0)B -，(0,3)C -，顶点为D ．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标．（2）在y 轴上找一点P （点P 与点C 不重合），使得90APD ∠=︒，求点P 坐标． （3）在（2）的条件下，将APD △沿直线AD 翻折，得到AQD ，求点Q 坐标．11．如图1，二次函数y=ax 2A （3，0），G （﹣1，0）两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）若点M 时抛物线在第一象限图象上的一点，求∠ABM 面积的最大值；（3）抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E （0，x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得∠FEQ∠∠BEP ？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线()222=-+-（其中m＞1）顶点为P，与y轴相交于点A（0，y a x m mm-1）．连接并延长P A、PO分别与x轴、抛物线交于点B、C，连接BC，将∠PBC绕点P逆时针旋转得PB C''△，使点C′正好落在抛物线上．(1)该抛物线的解析式为__________（用含m的式子表示）；(2)求证：BC∥y轴；(3)若点B′恰好落在线段BC'上，求此时m的值．13．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C （0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．∠若M在y轴右侧，且△CHM∠∠AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；∠若∠M M的坐标．14．如图，已知抛物线2y ax bx c=++的对称轴为直线1x=，（0a≠），且经过(1,0)A-、(0,3)C-两点，与x轴交于另一点B，设D是抛物线的对称轴1x=上的一动点，且90DCB∠=︒．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点D的坐标．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得P、A、C为顶点的三角形与BCD△相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线24 3y ax x c=++与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D 在抛物线上，且A（-1,O），D(2，2)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与∠AOC相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)小明在探索该图时提出了这样一个猜想：“直线AD平分∠CAB"，你认为小明的猜想正确吗？请说明理由．，16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE∠x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与∠DEH 相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．17．如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E 两点,且D点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得∠PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与∠ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．18．如图，已知直线y=﹣x+3的图象分别交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B两点，并与x轴交于另一点D，顶点为C．（1）求C、D两点的坐标；（2）求tan∠BAC；（3）在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、D三点为顶点的三角形与∠ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．19．已知：如图1，直线364y x=+与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2．(1)求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；(2)点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD＝2S△P AD，求点P的坐标；(3)如图2，另有一条直线y＝－x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN＝∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q 的坐标．20．已知如图1，抛物线y＝﹣38x2﹣34x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC(1)如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；(2)如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出CP的值．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++；（2）Q 的坐标为（1，1）或（1，14）；（3）N的坐标为（12）或（12）或（1+2）或（12）或（1，4）．2．（1）2y x 2x 3=-++，顶点D （1，4）；（3）P352，；（4）（0，0）或（9，0）或（0，﹣13）． 3．（1）b=13 ，c=4；（2）∠APQ 不可能是直角三角形，（3）（4）Q′（67 ，227）． 4．(1)224233y x x =--+； (2)P (32-，52)； (3)Q 点坐标为(−2，2)或 (−34，218)； (4)1Q (−5，0)，2Q (−1，0)，3Q0)，4Q0)．5．（1）1322a b =-=，； （2）∠PQ∠P 的坐标为()3,2或325,28⎛⎫ ⎪⎝⎭ 6．（1）234b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩(2)P 1（2，0）；P 2（0）；P 3（2﹣0）．（3）（2，2），（1916 ，3116），（﹣116，4116）； 7．（1）2318355y x x =-+；（2）∠ 102940；∠ 存在，（（2，95）或（349，5527-）．8．(1)y =12x 2-12x秒9．（1）y=2x 2﹣3x ；（2）C （1，﹣1）；（3）（4564，316）或（﹣316，4564）． 10．(1) D 的坐标为(1,4)-;(2) (0,1)P -;(3) (4,3)Q -11．（1）抛物线的解析式为y=2（2）∠ABM 面积的最大值是8；（3）存在； Q 的坐标为（﹣2323）． 12．(1)221()22m y x m m m -=-+-(3)2m =13．（1）y=x 2﹣x ﹣2；（2）32；（3）∠M （1，﹣2），M′（73，109）；②（2，0）或（﹣3，10）．14．（1）223y x x =--；（2）(1,4)D -；（3）(0,0)，10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，(9,0) 15．(1)224233y x x =-++ ;(2)()()330,0,0,60,622⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、、 ； (3)小明的猜想不正确，理由见解析.16．（1）y=﹣43x 2﹣83x+4；（2）PG=﹣43m 2﹣83m+4﹣4=﹣43m 2﹣83m （﹣2＜m ＜0）；（3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与∠DEH 相似，此时m 的值为﹣1或﹣2316． 17．（1）解析式为：213122=-+y x x ； （2）t =1或3；（3）当a 时,∠APQ 与∠ABD 相似 18．（1）D （﹣1，0）（2）13（3）存在P （0，0），（0，﹣13） 19．(1)A （－8，0），C （0，6），239684y x x =--+； (2)（163-，0） (3)（167-，0）或（967-，0）． 20．(1)N 点的横坐标为：-2115；(2)CP 的值为：1034245−4．。
中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)
中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx经过点A（2，0）和点B(−1,m)，顶点为点D．(1)求直线AB的表达式；(2)求tan∠ABD的值；(3)设线段BD与x轴交于点P如果点C在x轴上且△ABC与△ABP相似求点C的坐标．2．如图在平面直角坐标系中点A(1,2)B(5,0)抛物线y=ax2−2ax(a>0)交x轴正半轴于点C连结AO AB．(1)求点C的坐标和直线AB的表达式(2)设抛物线y=ax2−2ax(a>0)分别交边BA BA延长线于点D E．①若△CDB与△BOA相似求抛物线表达式②若△OAE是等腰三角形则a的值为______（请直接写出答案即可）．3．如图拋物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点．(1)求出抛物线的解析式(2)若在直线AC上方的抛物线上有一点D使得△DCA的面积最大求出点D的坐标(3)若P是抛物线上一动点过P作PM⊥x轴垂足为M使得以A,P,M为顶点的三角形与△OCA相似请直接写出符合条件的点P的坐标．x2+bx+c与x轴交于A B(4,0)两点与y轴交于点C(0,2)连4．如图抛物线y=−12接BC交抛物线的对称轴于点D连接AC．(1)求抛物线的表达式(2)若点E在对称轴上①当AE+CE的值最小时求点E的坐标②以C D E为顶点的三角形与△ABC相似时求点E的坐标．5．如图已知A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)．点P是第一象限内抛物线上的一点连接AC BC．M为OB上的动点过点M作PM⊥x轴交抛物线于点P交BC于点Q．(1)求抛物线的函数表达式(2)过点P作PN⊥BC垂足为点N设点M的坐标为(m,0)请用含m的代数式表示线段PN的长并求出当m为何值时PN有最大值最大值是多少？(3)试探究M在运动过程中是否存在这样的点Q使得以O M Q为顶点的三角形与△AOC相似．若存在请求出此时点Q的坐标若不存在请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点B(4,0) D(5,3)设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧）且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标（2）求∠DAB的度数（3）若抛物线与y轴相交于点C直线CD交x轴于点E点P在线段AD上当△APE与△ABD相似时求AP的长．7．如图抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C连接BC．(1)求点A B C的坐标(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t过点P作直线PN⊥x轴交抛物线于点N交直线BC于点M．①当点P在线段AB上时设MN的长度为s求s与t的函数关系式②当点P在线段OB上时是否存在点P使得以O P N三点为顶点的三角形与△COB相似？若存在请求出点P的坐标若不存在请说明理由．8．如图在同一直角坐标系中抛物线L1：y=ax2+bx+8与x轴交于A(−8,0)和点C 且经过点B(−2,12)若抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称点A的对应点为A′点B的对应点为B′．（1）求抛物线L2的表达式（2）现将抛物线L2向下平移后得到抛物线L3抛物线L3的顶点为M 抛物线L3的对称轴与x轴交于点N 试问：在x轴的下方是否存在一点M 使△MNA′与△ACB′相似？若存在请求出抛物线的L3表达式若不存在说明理由．9．抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于A(−3,0),B(1,0)两点与y轴交于点C点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标S△ACD求点P的坐标（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P使S△ACP=12（3）在坐标轴上找一点M使以点B C M为顶点的三角形与△ACD相似直接写出点M 的坐标．(x+2)(ax+b)的图象过点A(−4，3)，B(4，4)．10．如图已知二次函数y=148(1)求二次函数的解析式(2)请你判断△ACB是什么三角形并说明理由．(3)若点P在第二象限且是抛物线上的一动点过点P作PH垂直x轴于点H试探究是否存在以P H D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在求出P点的坐标．若不存在请说明理由．11．如图直线y=−x+4与x轴交于点A与y轴交于B抛物线y=−x2+bx+c经过A B两点与x轴负半轴交于点C连接BC抛物线对称轴与x轴交于点F P为y轴右侧抛物线上的动点直线BP交对称轴于点D．(1)求抛物线的解析式(2)当BD=3PD时求点P的坐标(3)作PQ⊥AB垂足为Q当△BPQ与△BCO相似时直接写出点Q的坐标．12．在平面直角坐标系中二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（－3 0）B （1 0）两点与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的解析式(2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点过点Q作QE垂直于x轴垂足为E．是否存在点Q使以点B Q E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在求出点Q的坐标若不存在说明理由(3)点M为抛物线上一动点在x轴上是否存在点Q使以A C M Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点Q的坐标若不存在说明理由．13．如图① 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−4,0)点B(2,0)和点C(0,−4)它的对称轴为直线l顶点为D．（1）求该抛物线的表达式（2）如图② 点P是直线AC下方该抛物线上的一个动点连接AP CP AC当△APC的面积取得最大值时求点P的坐标（3）如图③ 点E是直线AD下方该抛物线上的一个动点过E点作EF⊥直线l于F连接DE当以D E F为顶点的三角形与△BOC相似时求点E的坐标．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3 0）B（1 0）两点与y轴交于点C（0 ﹣3m）（m＞0）顶点为D．(1)如图1 当m＝1时①求该二次函数的解析式②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点连接AC OP相交于点Q求PQ的最大值OQ(2)如图2 当m取何值时以A D C为顶点的三角形与∠BOC相似．15．如图1 在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,0)B(8,0)C(0,4)三点．(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式(2)如图2 设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B C重合）过点P作PD⊥BC 垂足为点D点P在运动的过程中以P D C为顶点的三角形与△AOC相似时求点P 的坐标(3)在y轴负半轴上是否存在点N使点A绕点N顺时针旋转后恰好落在第四象限抛物线上的点M处且使∠ANM+∠ACM=180°若存在请求N点坐标若不存在请说明理由．（请在备用图中自己画图）16．抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点（A在B的左边）C是抛物线的顶点．(1)当m=2时直接写出A B两点的坐标：(2)点D是对称轴右侧抛物线上一点∠COB=∠OCD①如图（1）求线段CD长度②如图（2）当m>2T(t,0)(t>0)P为线段OC上一点．若△PCD与△POT相似并且符合条件的点P有2个求t和m之间的数量关系．17．如图1 抛物线y=−x2+bx+c经过A(0,3)和B(72,−94)两点直线AB与x轴相交于点C P是直线AB上方的抛物线上的一个动点PD⊥x轴交AB于点D抛物线与x轴的交点为F G．(1)求该抛物线的表达式．(2)当点P的坐标为(2，3)时求四边形APGO的面积．(3)如图2 若PE∥x轴交AB于点E且点P在直线AB上方求PD+PE的最大值．(4)若以A P D为顶点的三角形与△AOC相似请直接写出所有满足条件的点P的坐标．18．如图1 抛物线y=ax2+23x+c(a≠0)与x轴交于A(−2，0)B两点与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式(2)若点D是第一象限内抛物线上的一点AD与BC交于点E且AE=5DE求点D的坐标(3)如图2 已知点M(0，1)抛物线上是否存在点P使锐角∠MBP满足tan∠MBP=1若2存在求出点P的坐标若不存在说明理由．19．如图1 平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)B(2,0)和C(0,2)连接BC点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M交x 轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式(2)如图2 连接OM当△OCM为等腰三角形时求m的值(3)当P点在运动过程中在y轴上是否存在点Q使得以O P Q为顶点的三角形与以B C N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应）若存在直接写出点P和点Q的坐标若不存在请说明理由．20．如图（1）在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C点A的坐标为(−1,0)且OC=OB点D和点C关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a b的值和直线AD的解析式(2)直线AD下方的抛物线上有一点P过点P作PH⊥AD于点H作PM平行于y轴交直线AD 于点M交x轴于点E求△PHM的周长的最大值(3)在（2）的条件下 如图2 在直线EP 的右侧 x 轴下方的抛物线上是否存在点N 过点N 作NG ⊥x 轴交x 轴于点G 使得以点E N G 为顶点的三角形与△AOC 相似？如果存在 请直接写出点G 的坐标 如果不存在 请说明理由．参考答案1．（1）解：∠抛物线y =x 2+bx 经过点A （2 0） ∠22+2b =0 解得：b =−2 ∠抛物线解析式为y =x 2−2x 当x =−1 时 y =3 ∠点B 的坐标为B (−1,3)设直线AB 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 把A （2 0） B (−1,3) 代入得： {2k +m =0−k +m =3 解得：{k =−1m =2 ∠直线AB 的解析式为y =−x +2 （2）如图 连接BD AD∠y =x 2−2x =(x −1)2−1 ∠点D 的坐标为D (1,−1) ∠A （2 0） B (−1,3)∠AB 2=(−1−2)2+32=18,AD 2=(2−1)2+(−1)2=2,BD 2=(−1−1)2+(−1−3)2=20∠AB 2+AD 2=BD 2 ∠∠ABD 为直角三角形 ∠tan∠ABD =ADAB =√2√18=13（3）设直线BD 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0) 把点D (1,−1) B (−1,3)代入得：{k 1+b 1=−1−k 1+b 1=3 解得：{k 1=−2b 1=1∠直线BD 的解析式为y =−2x +1当y =0 时 x =12 ∠点P 的坐标为P (12,0) 当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠ABC =∠APB如图 过点B 作BQ ∠x 轴于点Q 则BQ =3 OQ =1∠∠ABP ∠∠ABC∠∠ABD =∠BCQ由（2）知tan∠ABD =13∠tan∠BCQ =13 ∠BQ CQ =13∠CQ =9∠OC =OQ +CQ =10∠点C 的坐标为C (−10,0)当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠APB =∠ACB 此时点C 与点P 重合∠点C 的坐标为C (12,0)综上所述 点C 的坐标为C (−10,0)或(12,0)．2．（1）解：∠x =−b 2a =1∠O C 两点关于直线x =1对称∠C (2,0)设直线AB ：y =kx +b (k ≠0)把A (1,2) B (5,0) 代入得{k +b=25k +b=0解得{k =−12b =52则y =−12x +52 （2）①设D 的坐标为(p,q ) 则BD AB =q 2 若△CDB 与△BOA 相似 则BD AB =BC BO∠q 2=BC BO =35∠q =65 ∠D (p,q )在直线AB 上∠D (135,65) 代入抛物线解析式可得a =1013∠抛物线解析式为y =1013x 2−2013x ．②∠A (1,2) B (5,0) O (0,0)∠OA =√5 OB =5 AB =2√5∠OA 2+AB 2=OB 2∠∠OAB=90°∠∠OAE=90° 设E 的坐标为(m,n )∠△OAE 是等腰三角形∠AE =AO =√5∠BE =3√5∠S △BEO =12BE ⋅OA =12BO ⋅n ∠12×3√5×√5=12×5n∠n =3∠E (m,n )在直线AB 上∠3=−12m +52 ∠m =−1又∠E (−1,3)在抛物线上∠3=a +2a故答案为：1．3．解：（1）设抛物线的解析式为y =a (x −4)(x −1)∵点C (0,−2)在抛物线上∴−4×(−1)a =−2∴a =−12∴抛物线的解析式为y =−12(x −4)(x −1)=−12x 2+52x −2（2）如图当点D 在抛物线上 且使△DCA 的面积最大 必有平行于直线AC 的直线DE且和抛物线只有一个交点设直线AC 解析式为y =kx +m∵A (4,0) C (0,−2)∠{4k +m =0m =−2解得{k =12m =−2∴直线AC 解析式为y =12x −2设直线DE 解析式为y =12x +b ①∵抛物线的解析式为y =−12x 2+52x −2②联立①②化简得 x 2−4x +4+2b =0∴ Δ=16−4(4+2b )=0∴b =0∴x 2−4x +4=0∴x =2∴D (2,1)过点P 作PM ⊥OAA (4,0) C (0,−2)∴OA =4 OC =2∴ OA OC =2设点P (p,ℎ)∴AM =|4−p|．PM =|ℎ| ℎ=−12p 2+52p −2③∵∠APM =∠AOB =90°∵以A P M 为顶点的三角形与△OAC 相似∴ PM AM=OA OC =2 ① ∴ |ℎ||4−p|=2④联立③④解得{p =4ℎ=0 （舍)或{p =5ℎ=−2或{p =−3ℎ=−14 ∴P (−3,−14)或(5,−2)②PM AM=OC OA =12 ∴ |ℎ||4−p|=12⑤联立③⑤解得 {p =2ℎ=1 或{p =4ℎ=0 （舍)或{p =0ℎ=−2∴P (2,1)或(0,−2)综上 得到点P (−3,−14)或(5,−2)或(2,1)或(0,−2)．4．（1）解：将点B C 的坐标代入抛物线表达式得：{c =2−12×16+4b +c =0解得：{b =32c =2故抛物线的表达式为：y =−12x 2+32x +2（2）解：①∵B 是点A 关于抛物线对称轴的对称点 连接BC 交抛物线对称轴于点E 则点E 为所求点则点D E 重合设BC 的解析式为y =kx +b将B(4,0) C(0,2)代入解析式可得{0=4k +b b =2解得{k =−12b =2∴直线CB 的表达式为：y =−12x +2 由y =−12x 2+32x +2知 点D 的横坐标为−b 2a =32把x =32代入y =−12x +2 可得y =54∴E (32,54)②令y =−12x 2+32x +2=0 解得：x =−1或4 则点A(−1,0)由点A B C 的坐标得 AB =5 AC =√5 BC =√20∵AB 2=AC 2+BC 2∴△ABC 为直角三角形 且∠ACD =90°∵以C D E 为顶点的三角形与△ABC 相似则△CDE 为直角三角形当∠CE ′D 为直角时 如图则点E ′的坐标为E ′(32,2)当∠ECD 为直角时 如图∵∠ACB 为直角∴A,C,E 三点共线设AC 的解析式为y =k 1x +b 1把A (−1,0),C (0,2)代入可得{2=b 0=−x +b 解得{k =2b =2∴直线AC 的表达式为：y =2x +2当x =32时 y =2x +2=5即点E(32,5)综上点E的坐标为：(32,2)或(32,5)．5．（1）解：∵A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)∴c=4{4a−2b+4=016a+4b+4=0解得{a=−12 b=1∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b1∵点C的坐标为(0,4)B点坐标为(4,0)∴{4k1+b=0b=4∴{k1=−1b=4∴直线BC的解析式为y=−x+4∴点P的坐标为(m,−12m2+m+4)点Q的坐标为(m,−m+4)∴PQ=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m=−12(m−2)2+2∵OC=OB=4∴∠B=45°∠BQM=∠PQN=45°∴PN=√22PQ=−√22m2+√2m=−√22(m−2)2+√2∴当m=2时PN有最大值√2（3）解：存在Q(43,83)或Q(83,43)理由：如图所示OC=4OA=2Q的坐标为(m,−m+4)∠COA=∠OMQ=90°当△OAC∽△MOQ时MQOM =OCOA=2即−m+4m=2解得m=43此时Q的坐标为(43,83)当△OAC∽△MQO时MQOM =OAOC=12即−m+4m=12解得m=83此时Q的坐标为(83,43)综上Q点坐标为(43,83)或(83,43)．6．解：（1）设A(m,0)∵B(4,0),D(5,3)∴AB=4−m AB边上的高为3则由ΔABD的面积是3可得：12(4−m)×3=3解得m=2∴A(2,0)设抛物线解析式为y=a(x−2)(x−4)将D(5,3)代入得：3a=3解得a=1∴y=(x−2)(x−4)=x2−6x+8∵y=x2−6x+8=(x−3)2−1∴顶点坐标为(3,−1)故该抛物线的表达式为y=x2−6x+8顶点坐标为(3,−1)（2）如图过点D作DF⊥x轴于点F∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴DF =3,AF =5−2=3,AB =4−2=2∴DF =AF∴∠DAB =∠DAF =45°（3）如图∵抛物线的表达式为y =x 2−6x +8令x =0 则y =8∴ C(0,8)设直线CD 解析式为y =kx +b将C(0,8),D(5,3)代入得{b =85k +b =3解得{k =−1b =8直线CD 解析式为：y =-x +8当y =0时 −x +8=0 解得x =8∴E(8,0)∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴AB =4−2=2 AD =√(5−2)2+32=3√2,BD =√(5−4)2+32=√10 ①若ΔADB ∽ΔAPE 则AP AE =AD AB∴AP =AE⋅AD AB =3√2×62=9√2>AD∵点P 在线段AD 上∴此种情形不存在 不合题意②若ΔADB ∽ΔAEP 则AP AB =AE AD∴AP =AE ⋅AB AD =3√2=2√2 综上所述 AP 的长为2√2．7．（1）解：当x =0时 y =2当y =0时 即−12x 2+32x +2=0 解得：x 1=−1 x 2=4∠A(−1，0) B(4，0) C(0，2)（2）解：①设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)把B(4，0) C(0，2)代入 得{4k +b =0b =2解得：{k =−12b =2∠直线BC 的解析式为y =−12x +2 ∠点P 的横坐标为t∠M (t,−12t +2) N (t,−12t 2+32t +2) 当点P 在y 轴的左侧 即−1≤t <0时由题意得：s =−12t +2−(−12t 2+32t +2)=−12t +2+12t 2−32t −2=12t 2−2t 当点P 在y 轴的右侧（包含原点） 即0≤t ≤4时 由题意得：s =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+32t +2+12t −2=−12t 2+2t 综上 s ={12t 2−2t (−1≤t <0)−12t 2+2t (0≤t ≤4)②如图 当△OP 1N 1∽△COB 时可得OP 1CO =N 1P 1BO 即t 2=−12t 2+32t+24∠−t 2+3t +4=4t整理得：t 2+t −4=0 解得：t 1=−1+√172 t 2=−1−√172（不合题意 舍去）当△OP2N2∽△BOC时可得OP2BO =N2P2CO即t4=−12t2+32t+22∠−2t2+6t+8=2t整理得：t2−2t−4=0解得：t3=1+√5t4=1−√5（不合题意舍去）综上点P的坐标为(−1+√172,0)和(1+√5,0)．8．解：（1）将A(−8,0)B(−2,12)分别代入y=ax2+bx+8中得{a×(−8)2−8b+8=0a×(−2)2−2b+8=12解得{a=−12 b=−3∴抛物线L1的解析式为y=−12x2−3x+8=−12(x+3)2+252则：顶点为(−3,252)∵抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称顶点也关于y轴对称开口方向及大小均相同即二次项系数相同∴抛物线L2的顶点为(3,252)∴抛物线L2的解析式为y=−12(x−3)2+252=−12x2+3x+8．故抛物线L2的解析式为y=−12x2+3x+8．（2）如图存在点M 使△MNA′与△ACB′相似．由题意得：A′(8,0) B′(2,12) C (2,0) N (3,0) ∴ AC =10 B′C =12 A′N =5 ∵ ∠A′NM =∠ACB′=90°∴ △A′MN 与△AB′C 相似 可以分两种情况： ①当△AB′C ∽△A′MN 时 则MNNA′=B′C AC=1210=65∴ MN =6 即点M (3,−6)此时 抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−6=−12x 2+3x −212．②当△AB′C ∽△MA′N 时 同理可得：点M (3,−256)此时 抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−256=−12x 2+3x −263故：函数L 3的解析式为：y =−12x 2+3x −212或y =−12x 2+3x −263．9．解：（1）将A(−3,0),B(1,0)代入抛物线解析式中得：{9a −3b +3=0a +b +3=0解得：{b =−2c =3∠抛物线解析式为y =−x 2−2x +3=−(x 2+2x)+3 =−(x 2+2x +1−1)+3=−(x +1)2+4 当x =−1时 y =4 ∠顶点D(−1,4)（2）当x =0时 ∠点C 的坐标为(0,3)∠AC =√32+32=3√2,CD =√12+12=√2,AD =√22+42=2√5 ∠AC 2+CD 2=AD 2∠△ACD 为直角三角形 ∠ACD =90°． 设直线AC 的解析式为y =kx +b 根据题意得：{−3k +b =0b =3解得：{k =1b =3∠直线AC 的解析式为y =x +3 ∠A(−3,0) D(−1,4)∠线段AD 的中点N 的坐标为(−2,2) 过点N 作NP//AC 交抛物线于点P 设直线NP 的解析式为y =x +c 则−2+c =2 解得：c =4 ∠直线NP 的解析式为y =x +4由y =x +4,y =−x 2−2x +3联立得：−x 2−2x +3=x +4 解得：x 1=−3−√52,x 2=−3+√52∠P (−3−√52,5−√52)或(−3+√52,5+√52)（3）分三种情况： ①△CMB ∽△ACD∴CM CB =ACAD ∴CM √10=3√22√5∴CM =3此时M 恰好为原点 M(0,0) ②△MCB ∽△ACD∴MC AC =CBCD∴3√2=√10√2 ∴CM =3√10设M(x,0)∵OM 2+OC 2=CM 2 ∴x 2+32=(3√10)2∴x 2=81∴x =−9或x =9（舍去） 此时M(−9,0) ③△CBM ∽△ACD∴CB AC =CM AD∴√103√2=CM2√5 ∴CM =103设M(x,0)∴|CM −OC |=103−3=13∴x =−13或x =13（舍去）此时M 在y 轴负半轴上 M (0,−13)综上所述 点M 的坐标为(0,0)或(−9,0)或(0,−13)．10．（1）解：由题意得 函数图象经过点A （﹣4 3） B （4 4） 故可得：{3=148（−4+2）（−4a +b ）4=148（4+2）（4a +b ）解得：{a =13b =−20故二次函数关系式为： y =148(x +2)(13x −20)=1348x 2+18x −56．故答案为：y =1348x 2+18x −56．（2）解：△ACB 是直角三角形 理由如下： 由（1）所求函数关系式y =1348x 2+18x −56当y =0时 0=1348x 2+18x −56解得x 1=−2 x 2=2013∠点C 坐标为（﹣2 0） 点D 坐标为（2013 0） 又∠点A （﹣4 3） B （4 4） ∠AB =√(4+4)2+（4−3）2=√65 AC =√(−2+4)2+（0−3）2=√13BC =√(4+2)2+（4−0）2=2√13∠满足AB 2=AC 2+BC 2 ∠△ACB 是直角三角形． （3）解：存在 点P 的坐标为（−50133513）或（−1221328413）．设点P 坐标为（x 148（x +2）（13x ﹣20）） 则PH ＝148（x +2）（13x ﹣20） HD ＝﹣x +2013 若∠DHP ∠∠BCA 则PH AC＝DH BC即148(x+2)(13x−20)√13＝−x+20132√13解得：x =−5013或x =2013（因为点P 在第二象限 故舍去） 代入可得PH =3513即P 1坐标为（−50133513）若∠PHD ∠∠BCA 则PH BC＝HD AC即148(x+2)(13x−20)2√13＝−x+2013√13解得：x =−12213或 x =2013（因为点P 在第二象限 故舍去）． 代入可得PH =28413即P 2坐标为：（−1221328413）．综上所述 满足条件的点P 有两个 即P 1（−50133513）或P 2（−1221328413）．11．（1）解：∠直线y =−x +4与x 轴交于点A 与y 轴交于B ∴当x =0时 y =4 当y =0时 ∴A (4,0) B (0,4)又抛物线y =−x 2+bx +c 经过A B 两点 把A (4,0) B (0,4)代入得：{−16+4b +c =0c =4解得：{b =3c =4∠抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 （2）解：作PE ⊥AC 垂足为E 如图所示∠∠DFA =∠PEA =∠BOA =90° ∠DF ∥PE ∥BO由（1）得：抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 抛物线对称轴是x =−b2a =−32×(−1)=32 ∠BD =3PD①当P 在对称轴右侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶4 点P 的横坐标是2 y =−4+6+4=6 ∠点P 的坐标是(2,6)②当P 在对称轴左侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶2 点P 的横坐标是1 y =−1+3+4=6 ∠点P 的坐标是(1,6)∠点P 的坐标是(2,6)或(1,6)（3）解：∠抛物线对称轴与x轴交于点F对称轴是x=−b2a =−32×(−1)=32∠F(32,0)∠点A C关于对称轴对称∠CF=AF=4−32=52∠C(−1,0)∠A(4,0)B(0,4)∠OC=1OA=OB=4∠△ABO是等腰直角三角形∠∠BAO=∠ABO=45°设P(t,−t2+3t+4)过点P作PM∥y轴交直线AB于点M过点M作MN⊥y轴于点N 当点P在AB上方点Q在点B的右侧时如图所示则M(t,−t+4)MN=t∠PM=−t2+3t+4−(−t+4)=−t2+4t∠△BMN是等腰直角三角形∠BM=√2MN=√2t∠∠PMQ=∠ABO=45°∠PQM=90°∠△PMQ是等腰直角三角形∠PQ=MQ=√22PM=√22(−t2+4t)∠BQ=BM−MQ=√2t−√22(−t2+4t)=√22t2−√2t若△BPQ∼△BCO则PQOB =BQOC∠√22(−t 2+4t )4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=125当t 2=125时 −t 2+3t+4=−(125)2+3×125+4=13625∠P (125,13625) M (125,85) ∠PM =13625−85=9625过点Q 作QK ⊥PM 轴于点K 则QK =12PM =12×9625=4825∠点Q 的横坐标为125−4825=1225 纵坐标为−1225+4=8825 ∠Q (1225,8825)若△BPQ ∼△CBO 则PQ OC =BQOB ∠√22(−t 2+4t )1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=185当t 2=185时 −t 2+3t+4=−(185)2+3×185+4=4625∠P (185,4625) M (185,25) ∠PM =4625−25=3625 同理可得：Q (7225,2825)当点P 在AB 上方 点Q 在点B 的左侧时 如图所示则M (t,−t+4) MN =t∠PM =−t 2+3t+4−(−t+4)=−t 2+4t同理可得：PQ =MQ =√22PM =√22(−t 2+4t ) BM =√2MN =√2t∠BQ =BM −MQ =−√22t 2+√2t 若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22(−t 2+4t )4=−√22t 2+√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43当t 2=43时 −t 2+3t+4=−(45)2+3×43+4=569∠P (43,569)同理可得：Q (−49,329) 若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22(−t 2+4t )1=−√22t 2+√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍去）当点P 在AB 下方 对称轴左侧的抛物线上时 则t <0 如图所示∠PM =−t+4−(−t 2+3t+4)=t 2−4t ME =−t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =−√2t∠BQ =MQ −BM =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍） 若△BPQ ∼△BCO 则PQOC =BQOB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当点P 在AB 下方 对称轴右侧的抛物线上时 则t>4 如图所示∠PM =t 2−4t ME =t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =√2t∠BQ =BM+MQ =√22t 2−2√2t+√2t =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB=BQ OC∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍） 若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当t 2=143时 −t 2+3t+4=−(143)2+3×143+4=−349∠P (143,−349)同理可得：Q (569,−209)综上所述：点Q 的坐标为Q 1(7225,2825),Q 2(1225,8825),Q 3(569,−209),Q 4(−49,409) 12．解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +2过点A （－3 0） B （1 0）∠{9a −3b +2=0a +b +2=0 解得：{a =−23b =−43∠二次函数的关系解析式为y =−23x 2−43x +2．（2）存在点Q （-2 2）或(−34,218)使以点B Q E 为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：如图①设点E 的横坐标为c 则点Q 的坐标为（c −23c 2−43c +2）∠BE =1-c QE =−23c 2−43c +2①OA 和BE 是对应边时 ∠∠BEQ ∠∠AOC ∠OA BE=OC QE即31−c =2−23c 2−43c+2整理得 c 2+c -2=0 解得c 1=-2 c 2=1（舍去）此时 −23×(−2)2−43×(−2)+2=2点Q （-2 2）②OA 和QE 是对应边时 ∠∠QEB ∠∠AOC ∠OA QE=OC BE 即3−23c 2−43c+2=21−c整理得 4c 2-c -3=0解得c 1=−34 c 2=1（舍去）此时−23×(−34)2−43×(−34)+2=218点Q(−34,21 8)综上所述存在点Q（-2 2）或(−34,218)使以点B Q E为顶点的三角形与∠AOC相似．（3）①如图2当MC//AQ且MC=AQ时M与C关于对称轴x=-1对称∠AQ=MC=2∠Q1（-1 0）Q2（-5 0）②如图3当AC//MQ且AC=MQ时因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上所以点M到x轴的距离为2．设M（m23m2−43m+3）∠2 3m2−43m+3=-2∠m2+2m-6=0∠m=-1±√7∠QG=3∠Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．综上所述 满足条件的点Q 的坐标为：Q 1（-5 0） Q 2（-1 0） Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．13．解：（1）将点A (−4,0) 点B (2,0) 点C (0,−4)代入y =ax 2+bx +c得{c =−416a −4b +c =04a +2b +c =0∠{a =12b =1c =−4∠y =12x 2+x −4（2）如图 过P 点作x 轴垂线交AC 于点Q设直线AC 的解析式为y =kx +b∠{−4k +b =0b =−4∠{k =−1b =−4∠y =−x −4设P (t,12t 2+t −4) 则Q (t,−t −4) ∠PQ =−t −4−12t 2−t +4=−12t 2−2t∠S △ACP =12×4×(−12t 2−2t)=−t 2−4t =−(t +2)2+4∠当t =−2时 S △ACP 有最大值∠P (−2,−4)（3）抛物线的对称轴为x =−1 顶点D (−1,−92)设E (m,12m 2+m −4) 则F (−1,12m 2+m −4)∠EF =−1−m DF =12m 2+m −4+92=12m 2+m +12∠点E 是直线AD 下方该抛物线上的一个动点∠−4<m <−1∠B (2,0) C (0,−4)∠OB =2 OC =4∠tan∠OCB =12当∠EDF =∠OCB 时 △EDF ∼△BCO∠EF FD =12∠2(−1−m)=12m 2+m +12解得m =−1（舍）或m =−5（舍）当∠FED =∠OCB 时 △EDF ∼△DBO∠EF FD =2∠2(12m 2+m +12)=−1−m解得m =−1（舍）或m =−2∠E (−2,−4)综上所述：当以D E F 为顶点的三角形与△BOC 相似时 E 点坐标(−2,−4)．14．（1）解：①由m ＝1可知点C （0 ﹣3）∵抛物线与x 轴交点为A(−3,0) B(1,0)∴抛物线解析式为：y =a(x +3)(x −1)将点C(0,−3)代入上式 得a ×3×(−1)=−3∴a =1∴抛物线的解析式为：y =(x +3)(x −1)=x 2+2x −3②由①可知抛物线解析式为y =x 2+2x −3 则设P(x,x 2+2x −3) 设直线AC 的解析式为y =kx +b由题意可得{−3k +b =0b =−3解得{k =−1b =−3∴直线AC 的解析式为y =−x −3如图1 过点P 作PN ⊥x 轴 交AC 于N 则PN//OC∴点N(x,−x −3)∴PN =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x∵PN//OC∴△PQN ∽△OQC∴ PQ OQ =PN OC∴ PQ OQ =−x 2−3x 3=−(x+32)2+943 ∴当x =−32时 PQ OQ 的最大值为34 （2）解：∵y =mx 2+2mx −3m =m(x +1)2−4m∴顶点D 坐标为(−1,−4m)如图2 过点D 作DE ⊥x 轴于点E 则DE =4m OE =1 AE =OA −OE =2 过点D 作DF ⊥y 轴于点F 则DF =1 CF =OF −OC =4m −3m =m由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9CD2=CF2+DF2=m2+1AD2=DE2+AE2=16m2+4∵ΔACD与ΔBOC相似且ΔBOC为直角三角形∴ΔACD必为直角三角形i)若点A为直角顶点则AC2+AD2=CD2即：(9m2+9)+(16m2+4)=m2+1整理得：m2=−12∴此种情形不存在ii)若点D为直角顶点则AD2+CD2=AC2即：(16m2+4)+(m2+1)=9m2+9整理得：m2=12∵m>0∴m=√2 2此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√3CD=√62AC=3√62ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3√22BC=√222两个三角形对应边不成比例不可能相似∴此种情形不存在iii)若点C为直角顶点则AC2+CD2=AD2即：(9m2+9)+(m2+1)=16m2+4整理得：m2=1∵m>0∴m=1此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√5CD=√2AC=3√2ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3BC=√10∵ADBC =ACOC=CDOB=√2∴满足两个三角形相似的条件∴m=1．综上所述当m=1时以A D C为顶点的三角形与ΔBOC相似．15．（1）解：将A(−2,0),B(8,0),C(0,4)三点坐标代入y=ax2+bx+c中得{4a−2b+c=0c=464a+8b+c=0解得{a=−14b=32c=4所以抛物线表达式为：y=−14x2+32x+4．（2）解：根据题意得：∵A(−2,0),B(8,0),C(0,4)∠OA=2,OB=8,OC=4∴AOOC=COBO=12又∠AOC=∠COB=90°∴△AOC∽△COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°当△AOC∽△PDC时∴∠ACO=∠PCD∵∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCD+∠OCB=90°∴PC⊥OC∴点P的纵坐标为4当y=4时有−14x2+32x+4=4解得x=6或x=0（舍）∴点P的坐标为(6,4)当△AOC∽△CDP时∠P′CD′=∠CAO作P′G⊥y轴于点G过点P′作P′H∥y轴交BC于点H如图∴∠P′HC=∠BCO∵AOOC=COBO=12,∠AOC=∠BOC=90°∴△AOC∽△COB∴∠OCB=∠OAC∴∠P′CH=∠P′HC∴P′C=P′H设直线BC的解析式为y=k′x+b′把点B(8,0),C(0,4)代入得：{8k ′+b′=0b′=4解得：{k′=−12b′=4∠直线BC的解析式为y=−12x+4设P′(m,−14m2+32m+4)则H(m,−12m+4)∴P′C=P′H=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m在Rt△P′GC中由勾股定理得P′C2=P′G2+GC2即(−14m2+2m)2=m2+(−14m2+32m)2解得m=3∴P′(3,254)综上点P的坐标为：(6,4)或(3,254)．（3）解：过N作NF⊥MC交MC于点F过N点作NG⊥AC交CA的延长线于点G则∠G=∠CFN=90°∴∠ACM+∠GNF=180°设CM与x轴交于K由旋转得：AN=MN∵∠ANM+∠ACM=180°∴∠ANM=∠GNF∴∠ANG=∠MNF∵∠G=∠MFN=90°∴△NGA≌△NFM∴NG=NF∴NC平分∠ACM∵CO⊥AB ∴OK=OA=2∴K(2,0)∴CK的解析式为：y=−2x+4∴−2x+4=−14x2+32x+4解得：x1=0,x2=14∴M(14，−24)设N(0,n)∵AN=MN∴(−2)2+n2=142+(−24−n)2解得：n=−16所以点N坐标为(0,−16)．16．解：（1）∠抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点∠当m=2∠y=−x2+4x∠x1=0x2=4∠A(0,0)B(4,0)．（2）①∠y=−x2+2mx−m2+2m∠对称轴x=−b2a=m∠顶点坐标C(m,2m)延长CD交x轴于点E设点E(a,0)a>m∠∠COB=∠OCD∠|OE|=|CE|∠a2=(a−m)2+(2m)2解得：a=52m∠点E的坐标为：(52m,0)设直线CE的解析式为：y=k1x+b1(k≠0)∠{2m=km+b 0=52mk+b解得：{k=−43b=103m∠y=−43x+103m∠−43x+103m=−x2+2mx−m2+2m解得：x1=m（舍）x2=m+43∠点D(m+43,2m−169)∠CD=209．②设直线OC的解析式为：y=k1x(k≠0)∠y=2x∠设点P(b,2b)∠OP=√b+24b2=√5b CP=√(m−b)2+(2m−2b)2=√5(m−b)当△OPT∼△CDP∠OP CD =OTCP∠√5b×920=√5(m−b)整理得：9b2−9mb+4t=0∠Δ>0∠81m2−4×9×4t>0∠9m2−16t>0当△OTP∼△CDP∠OT CD =OPCP∠t×920=√5b√5(m−b)整理得：b =9tm 20+9t∠仅存在一个点P∠不符合题意∠综上 t 和m 之间的数量关系为：9m 2−16t >0．17．（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (0,3)和B (72,−94)两点∴将A (0,3)和B (72,−94)代入y =−x 2+bx +c 得{c =3−(72)2+72b +c =−94 解得{b =2c =3 ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3（2）解：在 y =−x 2+2x +3中 当y =0时 −x 2+2x +3=0 解得x =3或x =−1 ∠G(3，0)∠OG =3∠A(0，3)，P(2，3)∠OA =3，AP =2，AP ∥x 轴∠S 四边形APGO =AP+OG 2⋅OA =2+32×3=7.5（3）解：设直线AB 的解析式为y =kx +n 把A (0,3)和B (72,−94)代入得{n =372k +n =−94解得{k =−32n =3∴直线AB 的解析式为y =−32x +3 在y =−32x +3 当y =0时 −32x +3=0 解得x =2 ∴C (2,0)联立{y =−x 2+2x +3y =−32x +3 解得x 1=0 x 2=72 ∵PD ⊥x 轴 PE ∥x 轴∴∠ACO =∠DEP∴Rt △DPE ∽Rt △AOC∴ PD PE =OA OC =32 即PE =23PD∴PD +PE =53PD设点P (a,−a 2+2a +3) 0<a <72 则D (a,−32a +3)∴PD =(−a 2+2a +3)−(−32a +3)=−(a −74)2+4916 ∴PD +PE =−53(a −74)2+24548∵−53<0 抛物线开口向下 PD +PE 有最大值 0<a <72 ∴当a =74时 PD +PE 有最大值为24548（4）解：∵PD ⊥x 轴∴PD ∥y 轴 即∠OAC =∠PDA根据题意 分两种情况：①当△AOC ∽△DPA 时∴∠DPA =∠AOC =90°∵PD ⊥x 轴 ∠DPA =90° A (0,3)∴点P 纵坐标是3 横坐标x >0 即−x 2+2x +3=3 解得x =2∴点D 的坐标为(2,0)∵PD ⊥x 轴∴点P 的横坐标为2∴点P (2,3)②当△AOC ∽△DAP 时∴ ∠APD =∠ACO过点A 作AG ⊥PD 于点G 如图所示：∴△APG ∽△ACO∴ PG AG =OC AO设点P (n,−n 2+2n +3) 则D (n,−32n +3) 则−n 2+2n+3−3n =23 解得n =43 ∠P (43,359)综上所述 P (2,3)或P (43,359)．18．（1）解：把点A(−2，0) C(0，4)代入y =ax 2+23x +c (a ≠0)得：{4a −43+c =0c =4 解得：{a =−23c =4 ∠抛物线的解析式为y =−23x 2+23x +4 （2）解：过点D 作DF∥AB 交BC 于点F当y =0时 有−23x 2+23x +4=0 解得x 1=−2,x 2=3∠B (3,0)设直线BC 的解析式为：y =kx +b代入B (3,0) C(0，4)得：{3k +b =0b =4解得{k =−43b =4∠直线BC 的解析式为：y =−43x +4 设点D 的横坐标为t 则D (t ，−23t 2+23t +4) ∠F (12t 2−12t,−23t 2+23t +4) ∠DF =t −(12t 2−12t)=−12t 2+32t∠A(−2，0) B(3，0)∠AB =5∠DF∥AB∠△DEF∽△AEB∠DF AB =DE AE∠−12t 2+32t 5=DE 5DE =15 ∠−12t 2+32t =1解得：t 1=1 t 2=2∠点D 的坐标为(1，4)或(2,83)（3）解：存在点P 使tan∠MBP =12 ①当PB 在MB 上方时 过点M 作IM ⊥PB 交PB 于I 过I 作IJ ⊥y 轴于J则tan∠MBI =MI MB =12∠∠JMI +∠JIM =90° ∠JMI +∠OMB =90°∠∠JIM =∠OMB又∠∠IJM =∠MOB =90°∠△MIJ∽△BMO∠IJ MO=JM OB =IM MB ∠IJ 1=JM 3=12 ∠IJ =12 JM =32∠OJ =JM +OM =52∠I (12,52)设直线BI 的解析式为：y =mx +n代入B(3，0) I (12,52)得：{3m +n =012m +n =52 解得：{m =−1n =3∠直线BI 的解析式为：y =−x +3联立{y =−23x 2+23x +4y =−x +3解得：{x =−12y =72或{x =3y =0 （不合题意 舍去）∠此时点P 的坐标为(−12,72)②当PB 在MB 下方时 过点M 作KM ⊥P ′B 交P ′B 于K 过K 作KL ⊥y 轴于L 同理可得 点P 的坐标为(−3114,−7398)综上所述 点P 的坐标为(−12,72)或(−3114,−7398)．19．（1）解：∠抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (−1,0) B (2,0)∠抛物线的表达式为y =a (x +1)(x −2)将点C (0,2)代入y =a (x +1)(x −2) 得：2=−2a解得：a =−1∠抛物线的表达式为y =−(x +1)(x −2) 即y =−x 2+x +2设直线BC 的表达式为y =kx +t 过点B (2,0) C (0,2)∠{2k +t =0t =2解得：{k =−1t =2∠直线BC 的表达式为y =−x +2（2）∠点M 在直线BC 上且P (m,n )(m >0) PN ⊥x 轴 C (0,2)∠M (m,−m +2) OC =2∠CM 2=(m −0)2+(−m +2−2)2=2m 2 OM 2=m 2+(−m +2)2=2m 2−4m +4 当△OCM 为等腰三角形时①若CM =OM 则CM 2=OM 2即2m 2=2m 2−4m +4解得：m =1②若CM =OC 则CM 2=OC 2即2m2=4解得：m=√2或m=−√2（舍去）③若OM=OC则OM2=OC2即2m2−4m+4=4解得：m=2或m=0（舍去）综上所述m=1或m=√2或m=2（3）∠B(2,0)C(0,2)∠COB=90°∠OC=OB=2∠∠OCB=∠OBC=45°CB=√OC2+OB2=√22+22=2√2∠点P与点C相对应P(m,n)(m>0)∠△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB①若点P在点B的左侧则∠CBN=45°BN=2−m CB=2√2∠CNB=∠CON+∠OCN=90°+∠OCN>90°如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=45°时∠P(m,m)此时直线OP的表达式为y=x∠直线OP：y=x与抛物线y=−x2+x+2交于点P(m,m)(m>0)∠−m2+m+2=m解得：m=√2或m=−√2（负值舍去）∠OP=√(√2)2+(√2)2=2∠OP BC =OQBN即2√2=2−√2解得：OQ=√2−1∠P(√2,√2)Q(0,√2−1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=45°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−m2+m+2∠PQ=KPsin∠PQO =msin45°=√2m OQ=KQ−KO=m−(−m2+m+2)=m2−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−22−m解得：m=1+√133或m=1−√133（负值舍去）∠P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)②若点P在点B的右侧则∠CBN=135°BN=m−2如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠P(m,−m)此时直线OP的表达式为y=−x PK=KQ=m KO=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠m2−m−2=m解得：m=1+√3或m=1−√3（负值舍去）∠OP=PKsin∠POK =msin45°=√2m=√2(1+√3)=√2+√6∠OP BC =OQBN即√2+√62√2=1+√3−2解得：OQ=1∠P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠PQ=KPsin∠PQK =msin45°=√2m OQ=KO−KQ=m2−m−2−m=m2−2m−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−2m−2m−2解得：m=1+√5或m=1−√5（负值舍去）∠P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)综上所述P(√2,√2)Q(0，√2−1)或P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)或P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)或P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)．20．解：（1）∵点A的坐标为(−1,0)∴OA=1．令x=0则y=−4∴C(0,−4)OC=4∵OC=OB∴OB=4∴B(4,0)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−4)∵将x=0y=−4代入得：−4a=−4解得a=1∴抛物线的解析式为y=x2−3x−4∴a=1b=−3∵抛物线的对称轴为x=−−32×1=32C(0,−4)∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称∴D(3,−4)设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A(−1,0)D(3,−4)代入得：{−k+b=03k+b=−4解得k=−1b=−1∴直线AD的解析式y=−x−1（2）∵直线AD的解析式y=−x−1∴直线AD的一次项系数k=−1∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴∴∠AEP=90°∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+√22MP+√22PM=(1+√2)PM．设P(a,a2−3a−4)则M(a,−a−1)则PM=−a−1−(a2−3a−4)=−a2+2a+3=−(a−1)2+4．∴当a=1时PM有最大值最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×(1+√2)=4+4√2（3）在直线EP的右侧x轴下方的抛物线上存在点N过点N作NG⊥x轴交x轴于点G使得以点E N G为顶点的三角形与△AOC相似理由如下：设点G的坐标为(a,0)则N(a,a2−3a−4)①如图2.1若OAOC =EGGN时△AOC∠△EGN．则a−1−a2+3a+4=14整理得：a2+a−8=0．得：a=−1+√332(负值舍去)∴点G为(−1+√332,0)②如图2.2若OAOC =GNEN时△AOC∠△NGE则a−1−a2+3a+4=4整理得：4a2−11a−17=0得：a=11+√3938(负值舍去)∴点G为(11+√3938,0)综上所述点G的坐标为(−1+√332,0)或(11+√3938,0)．。
中考数学专题复习《二次函数中的相似三角形问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《二次函数中的相似三角形问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如题 在平面直角坐标系xOy 中 抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A - 点()4,0B 与y 轴交于点C 连接AC BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点 当ACD 周长最小时 求点D 的坐标．(3)点E 是OC 的中点 射线AE 交抛物线于点F P 是抛物线上一动点 过点P 作y 轴的平行线 交射线AF 与点G 是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在 求出点P 的坐标 若不存在 请说明理由．2．如图 二次函数()220y ax bx a =+-≠的图象经过点()()2010A B -，，， 与y 轴交于点C 点P 为第四象限内抛物线上一点 连接BP AC 、 交于点Q ．(1)求二次函数的表达式(2)连接BC 线段BC 的垂直平分线交x 轴于点M 求点M 的坐标 (3)探究：PQQB是否有最大值 如有请求出最大值 如没有请说明理由．3．如图 已知抛物线2y ax c =+过点(2,2)A -- 其顶点为D 过点A 作x 轴的平行线l 点12(,)(,)P p y Q q y 、是抛物线上位于点A 右侧和l 两侧的动点 直线l 始终平分∠P AQ ．(1)若点(0,2)D 求抛物线的函数表达式 (2)在（1）的条件下 若1P = 求q 的值(3)在点P Q 、的运动过程中 试判断p q +的值是否变化 并说明理由．4．已知抛物线212y x bx c =++．经过()2,0A - ()0,4B - 与x 轴交于另一个点C 连接BC ．(1)求抛物线的函数表达式(2)若点Q在抛物线上的对称轴上那么在抛物线上是否存在一点N使得A B Q N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点的坐标∥交BC于点E过点D作(3)点D为直线BC下方抛物线上一动点过点D作DE AB∥轴交BC于点F求EF的最大值DF y(4)在抛物线上是否存在点P直线BP交x轴于点M使ABM与以A B C M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在请直接写出点P的坐标若不存在请说明理由．5．如图抛物线223=-++交x轴于A B两点交y轴于点C连接AC BC．y x x(1)求ABC 的面积(2)点M 为y 轴上一点 是否存在点M 使得MBC 与ABC 相似？若存在 请求出点M 的坐标 若不存在 请说明理由(3)点P 为抛物线上一点（点P 与点B 不重合） 且使得PAC △中有一个角是45︒ 请直接写出点P 的坐标．6．如图所示 已知抛物线21y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A - ()1,0B 两点 与y 轴交于点C ．(1)求此二次函数得解析式(2)过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P 求四边形ACBP 的面积(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M 过M 作MG x ⊥轴于点G 使以A M G 三点为顶点的三角形与PCA 相似？若存在 请求出M 点的坐标 否则 请说明理由．7．如图1 平面直角坐标系xOy 中 抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A - ()2,0B 和()0,2C 连接BC 点()(),02P m n m <<为抛物线上一动点 过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M 交x 轴于点N ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式(2)如图2 连接OM 当OCM 为等腰三角形时 求m 的值(3)当P 点在运动过程中 在y 轴上是否存在点Q 使得以O P Q 、、为顶点的三角形与以B C N 、、为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应） 若存在 直接写出点P 的坐标若不存在 请说明理由．8．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于 ()1，0B (30)C ，-两点 与y 轴交于A 点．(1)求抛物线的表达式(2)如图1 连接AC 在y 轴的负半轴是否存在点Q 使得12OQC OAC ∠∠=？若存在 求Q 点的坐标 若不存在 请说明理由．(3)如图2 点P 是抛物线上的一个动点 且点P 在第三象限内． ∠连接PO 与直线AC 交于点D 求PDOD的最大值 ∠过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点M 若ABO PAM △△ 求此时点P 的横坐标．9．如图 抛物线223(0)y ax ax a a =-->与x 轴交于A B 两点（点A 在点B 的左侧） 与y 轴交于点C 且OB OC =．(1)求抛物线的解析式(2)若P 是线段BC 上一动点（不与点B C 重合） 过点P 作垂直于x 轴的垂线交抛物线于点M 连接CM 当PCM △与ABC 相似时 求此时点P 的坐标．10．如图 已知直线24y x =-+分别交x 轴 y 轴于点A B 抛物线过A B 两点 点P 是线段AB 上一动点 过点P 作PC x ⊥轴于点C 交抛物线于点D ．(1)若抛物线的解析式为2224y x x =-++ 设其顶点为M 其对称轴交AB 于点N ． ∠求点M 和点N 的坐标∠在抛物线的对称轴上找一点Q 使AQ BQ -的值最大 请直接写出点Q 的坐标 ∠是否存在点P 使四边形MNPD 为菱形？并说明理由(2) 当点P 的横坐标为1时 是否存在这样的抛物线 使得以B P D 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在 求出满足条件的抛物线的解析式 若不存在 请说明理由．11．如图 直线22y x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B ．把AOB 沿y 轴翻折 点A 落到点C 过点B 的抛物线2y x bx c =-++与直线BC 交于点(34)D -，．(1)求直线BD 和抛物线的解析式(2)在第一象限内的抛物线上 是否存在一点M 作MN 垂直于x 轴 垂足为点N 使得以M O N 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在 求出点M 的坐标． 若不存在 请说明理由．12．抛物线223y x x =--+与x 轴交于A B 两点 与y 轴交于C 点．(1)直接写出A B C 三点的坐标(2)如图1 连接BC 点P 在抛物线上 且PAB BCO ∠=∠ 求P 点坐标．(3)如图2 点D 为抛物线顶点．点H 为AD 中点 过点H 作直线MN （异于直线AD ）交抛物线于M N 两点 直线AM 与直线DN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是 求该直线的解析式 若不是 请说明理由．13．如图 在平面直角坐标系中 已知抛物线2y x bx c =＋＋与x 轴交于点A B 两点 其中()0A 1， 与y 轴交于点()03C ，．(1)求抛物线解析式(2)如图 连接AC BC 、 过点B 作x 轴垂线 在该垂线上取点P 使得PBC 与ABC 相似（包括全等） 请求出点P 坐标．14．如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 抛物线26y ax ax a =--交x 轴负半轴于点A 交x 轴正半轴于点B 交y 轴正半轴于点C 且OB OC =．(1)如图1 求抛物线的解析式(2)如图2 点P 为第四象限的抛物线上一点 其横坐标为t 设OD d = 求d 于t 之间的函数关系(3)如图3 在（2）的条件下 过D 作DE AP ⊥ 过点A 作AF AB ⊥交ED 于F 延长PB 交DE 于点E 连接BF 并延长 连接PG 使EF PG = 若EFB PGB =∠∠ 求：点F 的坐标．15．如图 抛物线()222y x nx n =-+>与x 轴正半轴交于点A 点P 为线段OA 上一点 过P作PB x ⊥轴交抛物线()222y x nx n =-+>于点B 过B 作BC x ∥轴交抛物线()222y x nx n =-+>于点C 连接AC 交PB 于点D(1)如图1 若点A 的横坐标为92∠求抛物线的解析式：∠当45BCA ∠=︒时 求点P 的坐标：(2)若1AP = 点Q 为线段CD 上一点 点N 为x 轴上一点 且90PQN ∠=︒ 将AQP △沿直线PQ 翻折得到,A QP A Q ''所在的直线交x 轴于点M 且17PM MN = 求点Q 的纵坐标 参考答案： 1．(1)213222y x x =-++ (2)35,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在 点P 的坐标为()1,32．(1)二次函数的表达式2y x x 2=--(2)M 的坐标302⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)PQQB 有最大值 最大值为133．(1)22y x =-+(2)3q =(3)p q +的值不变化 是定值44．(1)2142y x x =--(2)存在 53,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)存在 ()8,205．(1)6(2)存在 点M 的坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为(2,3) 57(,)246．(1)21y x =-(2)4(3)存在 ()2,3- 47,39⎛⎫⎪⎝⎭ ()4,157．(1)2y x =-+(2)1m =(3)P8．(1)223y x x =+-(2)(0,3--(3)∠912∠73- 9．(1)2=23y x x --(2)P 的坐标为5433⎛⎫- ⎪⎝⎭,10．(1)∠19,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1,32N ⎛⎫ ⎪⎝⎭∠1,62Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∠不存在 (2)存在 2224y x x =-++或25342y x x =-++．11．(1)直线BD 的解析式为：22y x =-+ 抛物线解析式为：22y x x =-++．(2)存在 1(12)M ， 2133133(M ++，．12．(1)()()()3,0,1,0,0,3A B C - (2)211,39⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 在一条定直线上 该直线的解析式为28y x =+13．(1)243y x x =-+(2)()39，14．(1)211322y x x =-++ (2)3d t =-(3)(29),F --15．(1)∠292y x x =-+ ∠7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)22+。
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -和()1,0B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直线43y x h =-+经过点B ，交抛物线于另一点C ．P 是线段BC 上一点，过点P 作直线PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，且PB PQ =，求点P 的坐标；(3)M ，N 是抛物线上的动点（不与点B 重合），直线BM ，BN 分别交y 轴于点E ，F ，若EBF EOB ∽△△，求证：直线MN 经过一个定点．2．如题，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点，当ACD 周长最小时，求点D 的坐标．(3)点E 是OC 的中点，射线AE 交抛物线于点F ，P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交射线AF 与点G ，是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线l x ⊥轴于点(),0M m ，交BC 于点N ，连接CM PB PC ，，．PCB 的面积记为1S ，BCM 的面积记为2S ，当12S S 时，求m 的值；(3)在（2）的条件下，点Q 在抛物线上，直线MQ 与直线BC 交于点H ，当HMN △与BCM 相似时，请直接写出点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线214y x bx c =-++与x 轴分别相交于()2,0A -，()8,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE BF +的最大值；①若G 是AC 的中点，以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 求点D 的坐标． 5．如图 抛物线223y x x =-++交x 轴于A B 两点 交y 轴于点C 连接AC BC ．(1)求ABC 的面积；(2)点M 为y 轴上一点 是否存在点M 使得MBC 与ABC 相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由；(3)点P 为抛物线上一点（点P 与点B 不重合） 且使得PAC △中有一个角是45︒ 请直接写出点P 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中 把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图 抛物线1L ：245y x x =-++的顶点为D 交x 轴于点A B （点A 在点B 左侧） 交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线” 其顶点为P ．(1)若抛物线2L 经过点()38-，求抛物线L 1对应的函数关系式； (2)连接BC ．设点Q 是抛物线1L 上且位于其对称轴右侧的一个动点 若DPQ 与BOC 相似 求其“共根抛物线”2L 的顶点Р的坐标．7．如图 直线23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 抛物线243y x bx c =-++经过点A B ．(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)(),0M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N ．①点M 在线段OA 上运动 若以B P N 为顶点的三角形与APM ∆相似 求点M 的坐标； ①点M 在x 轴上自由运动 若三个点M P N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） 则称M P N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M P N 三点成为“共谐点”的m 的值．8．如图 二次函数2y ax bx c =++（0a <）的图象与x 轴交于()1,0A - B 两点 与y 轴交于点C 已知3OB OA = OC OB =．(1)求该二次函数的表达式；(2)点M 为抛物线对称轴上一动点 是否存在点M 使得BM CM -有最大值 若存在 请直接写出其最大值及此时点M 坐标 若不存在 请说明理由．(3)连接AC P 为第一象限内抛物线上一点 过点P 作PD x ⊥轴 垂足为D 连接PA 若PDA 与COA 相似 请求出满足条件的P 点坐标：若没有满足条件的P 点 请说明理由．9．如图 在平面直角坐标系中 二次函数的图象交坐标轴于()20A -，()40B ， ()08C ，三点 点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时 PBC 的面积最大 求此时P 点坐标及PBC 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q 使以O B Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在 请直接写出点Q 的坐标；若不存在 请说明理由．10．如图 已知抛物线经过()40A ，()10B ， ()02C -，三点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若P 是直线4x =右侧的抛物线上一动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以A P M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在 请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在 请说明理由11．综合与探究：如图 在平面直角坐标系中 抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A - ()3,0B 与y 轴交于点C 连接BC ．若在第四象限的抛物线上取一点M 过点M 作MD x ⊥轴于点D 交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)试探究抛物线上是否存在点M 使ME 有最大值？若存在 求出点M 的坐标和ME 的最大值；若不存在 请说明理由；(3)连接 CM 试探究是否存在点M 使得以M C E 为顶点的三角形和BDE △相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由．12．综合与探究如图 抛物线213222y x x =-++的图象与x 轴交于A B 两点 点A 在点B 的左侧 与y 轴交于点C 连接BC ．(1)求点B C 的坐标．(2)C '是点C 关于抛物线对称轴的对称点 D 是BC 线段上一点 已知25BD BC = 求直线C D '的解析式．(3)若C 关于x 轴的对称点为M 连接BM N 是线段AB 上的动点 过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P 交直线BM 于点Q 当以B P Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 请直接写出点P 的坐标．13．如图 抛物线26y ax bx =+-与y 轴交于点A 与x 轴交于点()3,0B - ()1,0C P 是线段AB 下方抛物线上的一个动点 过点Р作x 轴的垂线 交x 轴于点H 交AB 于点D ．设点P 的横坐标为()30t t -<<．(1)求抛物线的解析式．(2)用含t 的式子表示线段PD 的长 并求线段PD 长度的最大值．(3)连接AP 当DPA 与DHB △相似时 求点P 的坐标．14．如图 抛物线经过点()2,0A - ()3,3B -和坐标原点O 顶点为C ．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：BOC 是直角三角形；(3)若点P 是抛物线上第一象限内的一个动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在 求出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．15．在平面直角坐标系中 抛物线()26160y ax ax a a =--≠与x 轴的两个交点分别为A B 、与y 轴相交于点C 连接BC 已知点()04C ，．(1)求A B 、两点坐标和抛物线的解析式；(2)设点P 是抛物线上在第一象限内的动点（不与C B 、重合） 过点P 作PD BC ⊥ 垂足为点D ．①点P 在运动过程中 线段PD 的长度是否存在最大值？若存在 求出最大值以及此时点D 的坐标；若不存在 请说明理由：①当以P D C 、、为顶点的三角形与COA 相似时 求点P 的坐标．参考答案：1．（1）解：将()2,0A - ()1,0B 代入2y x bx c =++得：()2202201b c b c⎧=--+⎪⎨=++⎪⎩ 解得：12=⎧⎨=-⎩b c ∴抛物线的函数表达式为：22y x x =+-；（2）解：将()1,0B 代入43y x h =-+ 得：4013h =-⨯+ 解得：43h = ∴直线BC 的解析式为：4433y x =-+ 联立直线BC 与抛物线得：244332y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩ 解得：103529x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩ 1052,39C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭设44,33P m m⎛⎫-+⎪⎝⎭则()2,2Q m m m+-PB PQ=()()2224444123333m m m m m⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22257101933m m m-=--+即()257101333m m m--=--+或()257101333m m m-=--+解得：1m=或53m=-或5m=-P是线段BC上一点()1,0B1052,39C⎛⎫-⎪⎝⎭53m∴=-532,39P⎛⎫∴-⎪⎝⎭；（3）解：设()()()2211122212,2,,21,1 M x x x N x x x x x+-+-≠≠直线MN的解析式为y kx n=+即2111222222x x kx nx x kx n⎧+-=+⎨+-=+⎩解得：()121212k x xn x x=++⎧⎨=-+⎩∴直线MN的解析式为：()()121212y x x x x x=++-+直线BM的解析式为y k x n''=+即21112x x k x nk n⎧+-=+'=+'''⎨⎩解得：()1122k xn x=+⎧⎨=-+''⎩∴直线BM的解析式为：()()1122y x x x=+-+当0x=时()12y x=-+()10,2E x∴--直线BN的解析式为y k x n''''=+即222220x x k x n k n '''⎧+-=+⎨=+'''''⎩解得：()2222k x n x =+⎧⎨=-+''''⎩∴直线BN 的解析式为：()()2222y x x x =+-+当0x =时 ()22y x =-+()20,2F x ∴--12EF x x ∴=-EBF EOB ∽△△EF BE BE OE∴= 112BE OE x ==+()21121122x x x x ∴++=-⋅+即()221111212542x x x x x x x ++=+-- ∴()121252x x x x =--+∴()()()()()()121212121212125223y x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+=++---+=++++⎣⎦ ∴当2x =-时 1y =∴直线MN 经过一个定点()2,1-．2．（1）解：把点()1,0A - ()4,0B 分别代入22y ax bx =++得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①抛物线的解析式为213222y x x =-++． （2）①()1,0A - ()4,0B①对称轴为直线14322x -+== 点A 关于对称轴的对称点为点B 连接BC 交对称轴于点D 连接AD 此时AD CD +最小当0x =时 2y =①点()0,2C ．设直线BC 的解析式为2y kx =+ 代入()4,0B 得420k += ①12k =- ①直线BC 的解析式为122y x =-+ 当32x =时 54y = ①点35,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）存在．①()0,2C E 是OC 的中点∴()0,1E ．又()1,0A -①直线AE 的解析式为1y x =+ 1OE OA ==． 联立2132221y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩得2132122x x x -++=+． 解得12x = 21x =-（舍）．当2x =时 3y =．①()2,3F ． 设213,222P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则(),1G n n +． ①2213112112222PG n n n n n =-++--=-++． 分以下两种情况：①如图2 若FPG AOE ∽△△ 则90FPG PF PG =．①PF x ∥轴．①2PF n =-． ①2112122n n n -=-++．解得1n =或2n =（舍）．①()1,3P ．①如图3 若PFG AOE ∽△△ 则90PFG ∠=︒ PF FG =．过点F 作FH PG ⊥于点H 则2PG FH = 即()21112222n n n ⎛⎫--++=- ⎪⎝⎭．解得3n =或2n =（舍）．①()3,2P ．综上 点P 的坐标为()1,3或()3,2．3．（1）解：抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于()20A -，()40B ，两点 ∴()221220214402b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得：14b c =⎧⎨=⎩①抛物线的函数表达式为2142y x x =-++； （2）解：抛物线2142y x x =-++与y 轴交于点C ∴()0,4C∴4OC =设直线BC 的解析式为y kx d =+ 把()4,0B ()0,4C 代入 得： 404k d d +=⎧⎨=⎩解得14k d =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为4y x =-+直线l x ⊥轴 (),0M m21,42P m m m ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭(),4N m m -+ ()221144222PN m m m m m ∴=-++--+=-+ 221111244222B C S PN x x m m m m ⎛⎫∴=⋅-=⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭()4,0B ()0,4C (),0M m()211448222C S BM y m m ∴=⋅=⨯-⨯=- 12S S2482m m m ∴-+=-解得2m =或4m =（P 与B 重合 舍去）m ∴的值为2；（3）解：()4,0B ()0,4COB OC ∴= BOC ∴是等腰直角三角形45CBO ∴∠=︒BMN ∴是等腰直角三角形45BNM MBN ∴∠=∠=︒HMN 与BCM 相似 且45MNH CBM ∠=∠=︒H ∴在MN 的右侧 且NH MN BC BM=或NH MN BM BC = 设(),4H t t -+ 由（2）知()2,0M ()2,2N ()4,0B ()4,0CBC ∴= 2BM = 2MN =2NH - 当NHMNBC BM =时 如图：∴222242t -=解得6t =或2t =-（此时H 在MN 左侧 舍去）()6,2H ∴-由()2,0M ()6,2H - 同（2）得直线MH 解析式为112y x =-+2112142y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①点Q 的坐标为⎝⎭或⎝⎭；当NH MNBM BC =时 如图：∴222242t -=解得32t =（舍去）或52t =5322H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 由()2,0M 5322H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同（2）得直线MH 解析式为36y x =- 236142y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩解得261266x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩2261266x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩①点Q 的坐标为(226,1266-+-+或(226,1266----．综上所述 点Q 的坐标为333133+-⎝⎭或333133-+⎝⎭或(226,1266-+-+或(226,1266----． 4．（1）将()2,0A - ()8,0B 代入抛物线214y x bx c =-++ 得()221220418804b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴该抛物线的解析式为213442y x x =-++． （2）①由抛物线的解析式为213442y x x =-++ 得()0,4C ．设直线BC 的解析式为y kx t =+ 将()8,0B ()0,4C 代入得80,4,k t t +=⎧⎨=⎩解得1,24,k t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 设第一象限内的点D 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 则1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2213114424224DE m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8BF m =- ()()2211282944DE BF m m m m ⎛⎫∴+=-++-=--+ ⎪⎝⎭． 104-< ∴当2m =时 DE BF +有最大值 为9．①()2,0A - ()8,0B ()0,4C2OA ∴= 8OB = 4OC = 10AB =22220AC OA OC ∴=+= 22280BC OB OC =+= 2210100AB == 222AC BC AB ∴+=90ACB ∴∠=︒90CAB CBA ∴∠+∠=︒．DF x ⊥轴于点F90FEB CBA ∴∠+∠=︒CAB FEB DEC ∴∠=∠=∠．以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 只需OA AG DE CE =或OA AG CE DE =． G 是AC 的中点 ()2,0A - ()0,4C()1,2G ∴- 2OA =12AG AC == 由①知2124DE m m =-+ 1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭CE ∴=． 当OA AG DE CE =时22124m m =-+解得4m =或0m =（舍去） ()4,6D ∴． 当OAAGCE DE =时 251524m m m -+解得3m =或0m =（舍去） 253,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．综上所述 以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似点D 的坐标为()4,6或253,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 5．（1）解：对于抛物线223y x x =-++ 当0x =时 可有3y = 即(0,3)C 当0y =时 可有2230x x -++= 解得11x =- 23x =即(1,0)A - (3,0)B①3OC = 3(1)4AB =--= ①1143622ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=；（2）解：存在 点M 的坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或()01M -，理由如下：①(1,0)A - (3,0)B (0,3)C ①221310AC =+= 4AB = 223332BC =+如下图 当BCA CMB ∽时则有BCABCM BC = 3232①92CM = ①93322OM CM OC =-=-= ①30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当BAC CMB ∽时 如图：则有BC ABCM BC = 4CM =①4CM =①1OM CM OC =-=则()01M -， 综上：30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或()01M -，（3）解：根据题意 点P 与点B 不重合；且45APC ∠=︒ 如图结合二次函数的对称性 且=45ABC ∠︒ ①45BAP ∠=︒①CP AB ∥则3P C y y ==①223y x x =-++①对称轴()2121x =-=⨯- 则()112C P x x += 则2P x =①P 的坐标为()23，当45PAC ∠=︒时 如下图设AP 交y 轴于点H 过点H 作HN AC ⊥于点N ①45PAC ∠=︒①9045NHA PAC PAC ∠=︒-∠=︒=∠ ①HN NA =①(1,0)A - (0,3)C①1OA = 3OC = ①1tan 3NH OA ACO CN OC ∠=== 设HN NA t == 则3CN t = 2AH t = ①310AC t t =+解得10t =①52AH t = ①2212OH AH OA =-=①10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AH 的解析式为111(0)y k x b k =+≠ 将点(1,0)A - 10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入 可得111012k b b =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得111212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①直线AH 的解析式为1122y x =+ 联立直线AH 的解析式1122y x =+与抛物线解析式223y x x =-++ 可得2112223y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩ 解得=1x -（舍去）或52x =①点57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当45ACP ∠=︒时 如下图 设CP 交x 轴于点T 过点T 作TK BC ⊥于点K ①(3,0)B (0,3)C ①3OB OC == ①190452OCB CBT ∠=∠=⨯︒=︒ ①45ACP OCB ∠=∠=︒ 即ACO OCP OCP PCB ∠+∠=∠+∠①ACO PCB ∠=∠ ①1tan tan 3TK BCP ACO CK ∠==∠= ①45KBT ∠=︒①9045KTB KBT KBT ∠=︒-∠=︒=∠①KB KT =设KT KB t == 则3CK t = 2BT t ①332BC t t =+=解得32t = ①322BT t ==①3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 设直线CT 的解析式为222(0)y k x b k =+≠ 将点(0,3)C 3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入 可得2223302b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩解得2223k b =-⎧⎨=⎩ ①直线CT 的解析式为23y x =-+联立直线CT 的解析式23y x =-+与抛物线解析式223y x x =-++可得22323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得0x =（舍去）或4x =①点(4,5)P -．综上所述 点P 坐标为(2,3) 57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,5)-． 6．（1）解：在抛物线1L ：245y x x =-++中令0y = 则2450x x -++=解得11x =- 25x = 即()10A -， ()50B ， 根据题意 设抛物线L 2的函数关系式为()()15y a x x =+-将点()38-，代入得()()83135a =-+-- 解得12a = ①抛物线2L 的函数关系式为()()2115152222y x x x x =+-=--；（2）解：由题意得 5OB OC ==①BOC 为等腰直角三角形①抛物线1L ：()224529y x x x =-++=--+①顶点()29D ，由题意可知PDQ ∠不可能为直角①当90DPQ ∠=︒时 如图 DPQ BOC ∽或DPQ COB ∽ 则DP QP =设Q 2()45m m m -++，①2QP m =- ()2945DP m m =--++①()22945m m m -=--++ 解得12m =（舍去） 23m = ①当3m =时 2458m m -++=①()28P ，①当90DQP ∠=︒时 如图 DPQ BCO ∽或DPQ CBO ∽ 过点Q 作QM DP ⊥垂足为点M 则DM QM MP ==由①可知()28M ，①1MP DM ==①()27P ，综上所述：点P 的坐标为()28P ，或()27P ，．7．（1）解：23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 02c 解得2c =(0,2)B ∴抛物线243y x bx c =-++经过点A B ∴12302b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2410233y x x =-++； （2）解：①由（1）可知直线解析式为223y x =-+ (,0)M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N2,23P m m ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 223PM m 3AM m 22410242243333PN m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭BPN △和APM △相似 且BPN APM ∠=∠90BNP AMP 或90NBP AMP ∠=∠=︒当90BNP ∠=︒时 则有BN MN ⊥N ∴点的纵坐标为224102233m m ∴-++= 解得0m =（舍去）或52m = 502M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，； 当90NBP ∠=︒时 过点N 作NC y ⊥轴于点C则90NBC BNC ∠+∠=︒ NC m = 22410410223333BC m m m m =-++-=-+ 90NBP ∠=︒90NBC ABO ∴∠+∠=︒ABO BNCRt Rt NCB BOA ∴∽△△ ∴NC CB OB OA= ∴24103323m m m -+= 解得0m =（舍去）或118m = 1108M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，； 综上可知当以B P N 为顶点的三角形与APM △相似时 点M 的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1108⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ①由①可知(,0)M m 2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭M P N 三点为“共谐点”∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点当P 为线段MN 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或0.5m =；当M 为线段PN 的中点时 则有22410220333m m m ⎛⎫-++-++= ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或1m =-；当N 为线段PM 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或14m =-； 综上可知当M P N 三点成为“共谐点”时m 的值为0.5或1-或14-． 8．（1）解：(1,0)A -1OA ∴=3OB OA = OC OB =3OB OC ∴==．(3,0)∴B (0,3)C二次函数()2<0y ax bx c a =++的图象经过点A B C∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴该二次函数的表达式为223y x x =-++；（2）解：①()222314y x x x =-++=--+①抛物线对称轴为直线1x =延长AC 交对称轴于点M 此时BM CM AM CM AC -=-=有最大值①()1,0A - (0,3)C ①221310AC =+=设直线AC 的解析式为3y mx =+ 代入()1,0A -得03m =-+ 解得3m =①直线AC 的解析式为33y x =+①当1x =时 336y =+=①点M 坐标为()16，；答：BM CM - 点M 坐标为()16，； （3）解：设2(,23)P m m m -++PD x ⊥轴 P 为第一象限内抛物线上一点 0m ∴> OD m = 223PD m m =-++ 1AD OA OD m ∴=+=+ PDA 与COA 相似 ∴OA AD OC PD =或OA PD OC AD= ∴211323m m m +=-++或212331m m m -++=+． 解得：10m = 21m =-或31m =- 483m =．0m >83m ∴=． PDA ∴与COA 相似 满足条件的P 点坐标为81139⎛⎫⎪⎝⎭，． 9．（1）解：①(0,8)C 则设抛物线解析式为28y ax bx =++把A 、B 两点坐标代入可得428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩①抛物线解析式为228y x x =-++；（2）解：①点P 在抛物线上①可设()228P t t t -++，过P 作PE x ⊥轴于点E 交直线BC 于点F 如图①(40)B ，(08)C ， 设直线BC 解析式为8y kx =+则048k =+解得2k =-①直线BC 解析式为28y x =-+①(28)F t t -+，①()2228(28)4PF t t t t t =-++--+=-+ ①1111()2222PBC S PF OE PF BE PF OE BE PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅△ ()221442(2)82t t t =-+⨯=--+ ①当2t =时 PBC S 最大值为8 此时2288t t -++=①当P 点坐标为(2,8)时 PBC 的最大面积为8； （3）解：设(0)Q m ，①=90AOC ︒∠①分AOC QOB ∽△△和AOC BOQ ∽△△两种情况 当AOC QOB ∽△△时①OA OC OQ OB= 即284m = 解得1m =±①点Q 的坐标为()01，或()01-，； 当AOC BOQ ∽△△时 ①OA OC OB OQ= 即284m = 解得16m =±①点Q 的坐标为()016，或()016-，； 综上 点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，． 10．（1）解：①该抛物线过点()02C -，①可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将()40A ，()10B ，代入 得1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩解得1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①此抛物线的解析式为215222y x x =-+-； （2）解：存在；设P 点的横坐标为m 则P 点的纵坐标为215222m m -+- 由题意 4m > 如图 4AM m =- 215222PM m m =-+①90COA PMA ∠=∠=︒ ①12PM OC AM OA ==或①2PM OA AM OC ==当12PM OC AM OA ==时 则21522422m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ 解得：1224m m ==， （都不符合题意 舍去）； 当2PM OA AM OC==时 则()21522422m m m -+=- 解得：1254m m ==，（4m =不符合题意舍去）此时 2152222m m -+-=- 则()52P -， 综上所述 符合条件的点P 为()52-，． 11．（1）解：把点()1,0A - ()3,0B 代入24y ax bx =+-中得：409340a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：4383a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则抛物线的表达式为则抛物线的表达式为：248433y x x -=-； （2）存在 理由如下：由抛物线解析式可知：点()0,4C - 设BC 的表达式为：4y kx =-将点B 的坐标代入上式得：034k =- 解得：43k = 则直线BC 的表达式为：443y x =- 设点4,43E x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 则点248,433M x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则224484(4)(4)43333ME x x x x x =----=-+ ①403-< 故ME 有最大值 当32x =时 ME 的最大值为3 此时 点3,52M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）存在 理由如下：DEB CEM M C E ∠=∠，，，为顶点的三角形和BDE △相似 ①当CME ∠为直角时则点C 、M 关于抛物线对称轴对称 而抛物线的对称轴为32x =则点()3,4M -；①当90ECM ∠=︒时 如图：由（1）得()0,4C - 设直线BC 的解析式为： 14y k x =- 把()3,0B 代入得1340k -=143k ∴= 设直线CM 的解析式为：24y k x =- 易知：121k k234k ∴=- 故直线CM 的表达式为：344y x =-- 联立抛物线表达式和上式得：248344334x x x --=-- 解得：0x =（舍去）或2316x =即点23325(,)1664M -； 综上 点M 的坐标为：23325,1664⎛⎫-⎪⎝⎭或()3,4-12．（1）解：令2132022x x -++= 解得11x =- 24x =①点A 在点B 的左侧①()10A -，()40B ， 将0x =代入213222y x x =-++ 可得：2y =①()02C ，； （2）证明：如图 过点D 作DD x '⊥轴于点D根据题意 可得：DD OC '∥①BDD BCO '∽ ①25BD DD BD BO CO BC ''=== ①()40B ，()02C ， ①4BO = 2CO =①2425BD DD ''== 解得85BD '= 45DD '= ①125OD BO BD ''=-=①12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线213222y x x =-++ 可知对称轴为直线32x = ①点C 、C '关于抛物线对称轴对称①()32C '，设直线C D '的解析式为()0y kx b k =+≠把()32C '，、12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式 可得：3212455k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：24k b =⎧⎨=-⎩ ①直线C D '的解析式为24y x =-；（3）解：①()02C ，①点C 关于x 轴的对称点M 的坐标为()02-，设直线BM 的解析式为()0y ax n a =+≠把()40B ，()02M -，代入解析式 可得：402a n n +=⎧⎨=-⎩ 解得：122a n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ①直线BM 的解析式为122y x =- 设点N 的坐标为()0m ， 则213222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，、()12142Q m m m ⎛⎫--≤≤ ⎪⎝⎭， ①PQ x ⊥轴①OM PQ ∥①BMO BQP ∠=∠①90BOM ∠=︒ 而90BQP ∠<︒①可分以下两种情况：①如图2 连接BP 当90QBP MOB ∠=∠=︒时 PBQ BOM ∽①BPQ QBN ∠=∠①90BNP QNB ∠=∠=︒①BNP QNB ∽ ①PN NBBN NQ = ①21324221422m m mm m++-=-- ①()21324221442m m mm m ++-=-- ①21322224m m m ++=-解得：4m =或3m =检验：当4m =时 40m -= 等式不成立 且点B 、P 、Q 重合 BPQ 不存在此情况舍去；将3m =代入213222y x x =-++ 可得2y =①()32P ，； ①如图3 当90BPQ MOB ∠=∠=︒时 此时点P 与点A 、点N 重合 BOM BPQ ∽此时1m =- 点P 的坐标为()10-，； 综上所述 以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 点P 的坐标为()32，或()10-，．13．（1）解：①抛物线26y ax bx =+-与x 轴交于点()3,0B -()1,0C ①936060a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：24a b =⎧⎨=⎩①抛物线为：2246y x x =+-；（2）解：①2246y x x =+-当0x =时 y =-6①()0,6A -设直线AB 为y kx n =+①630n k n =-⎧⎨-+=⎩ 解得：26k n =-⎧⎨=-⎩①直线AB 为26y x =--设点P 的横坐标为()30t t -<<．①()2,246P t t t +- (),26D t t --①222624626PD t t t t t =----+=--当()63222t -=-=-⨯-时 PD 的最大值为：233926222⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）解：如图 连接AP①BDH ADP ∠=∠ 而DPA 与DHB △相似①分两种情况讨论：当DPA DHB ∽时 ①DP AP DH BH= 90APD BHD ∠=∠=︒ ①AP x ∥轴 OH AP =①A P 关于抛物线的对称轴对称①()3,0B - ()1,0C①抛物线的对称轴为直线3112x -+==- 而()0,6A - ①()2,6P --；如图 当DHB DAP ∽时 过A 作AQ PH ⊥于Q①AQ OH = 6AO QH ==设AQ OH n ==①DHB DAP ∽①90DHB DAP ∠=∠=︒①90ADP APD APQ QAP ∠+∠=∠+∠=︒①PAQ ADP ∠=∠由PH y ∥轴 可得ADP BAO ∠=∠①PAQ BAO ∠=∠ ①31tan tan 62PAQ BAO ∠=∠== ①12PQ AQ 即12PQ n = ①1,62P n n ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ①()()2124662n n n -+⨯--=-- 解得：74n =（0n =舍去） ①755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 综上：()2,6P --或755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 14．（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠ 将点(2,0)A - (3,3)B - (0,0)O 代入可得：4209330a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：120a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以函数解析式为：22y x x =+；（2）证明：①()22211y x x x =+=+-①抛物线的顶点C 的坐标为()1,1--①()0,0O ()3,3B -①()()22303018OB =--+-= ()()2210102OC =--+--=()()22313120BC =---+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ①222OB OC BC +=①BOC 是直角三角形；（3）解：假设存在点P 使以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似 如图设(,)P x y 由题意知0x > 0y > 且22y x x =+由（2）知 BOC 为直角三角形 90COB ∠=︒ 且:1:3OC OB = ①若PMA COB ∽ 则AM PM BO CO= 即223(2)x x x +=+ 得 113x = 22x =-（舍去） 当13x =时 79y = 即1(3P 7)9； ①若PMA BOC ∽AM PM OC BO= 即：223(2)x x x +=+ 得：13x = 22x =-（舍去）当3x =时 15y = 即(3,15)P ．①存在 当点P 坐标为17,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3,15) 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似． 15．（1）解：①2616y ax ax a =--经过()04C ，①164a -= 解得14a =- ①213442y x x =-++； 令0y = 即2134=042x x -++ 解得：122,8x x =-=①()()2,0,8,0A B -（2）设直线BC 的关系式为y kx b =+ ()8,0B ()04C ，①408b k b =⎧⎨=+⎩解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ①直线BC 的方程为142y x =-+． 如图 过点P 作PG x ⊥轴于点G PG ，交CB 于点E①PG CO ∥①PED OCB ∠=∠又90PDE COB ∠=∠=︒①PDE BOC ∽△△ ①PD PE BO BC= ①8,4BO CO ==①BC =①BO PD PE PE BC =⨯ ①当线段PE 最长时 PD 的长度最大． 设213(4)42P t t t -++， 则1(,4)2E t t -+． 即213442PG t t =-++ 142EG t =-+． ①22112(4)444PE PG EC t t t =-=-+=--+()08t <<． 当4t =时 PE 有最大值是4 此时P 点坐标为()46，．①25854PD == 设1,42D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ①()2221854462m m ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得12125m m == ①111214442255m -+=-⨯+= 即点D 的坐标为121455⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ①①284OA OB OC ===，，①2222420AC =+= ()2228100AB =+= 2224880BC =+=． 可得222AC BC AB =＋．①90ACB ∠=︒．①COA BOC ∽．故当PDC △与COA 相似时 则PDC △与BOC 相似． ①PCD CBO ∠∠＝或PCD BCO ∠∠＝．（i ）如图 当PCD CBO ∠=∠时即PDC COB ∽①PCD CBO ∠=∠①CP AB ∥①()04C ，①4P y =． ①2134442t t -++= 解得1260x x ==，（舍）即PDC COB ∽时 (64)P ，； （ii ）当PCD BCO ∠=∠时 即PDC BOC ∽如图 过点P 作PG x ⊥轴于G 与直线BC 交于F①PF OC ∥①PFC BCO ∠=∠①PCD PFC ∠=∠①PF PC =. 设213(4)42P n n n -++， 则2124PF n n =-+ 过点P 作y 轴的垂线 垂足为N在Rt PNC △中 22222243213131344421644PC PN NC n n n n n n ⎡⎤=+=+-++-=-+⎢⎥⎣⎦（） ①22PF PC = 即2243211313(2)41644n n n n n -+=-+ 解得120=3=n n ， (舍)．即PDC BOC ∽时 25(3)4P ，． ①当PDC △与COA 相似时 点P 的坐标为(64)P ，或2534P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．。
中考数学专题训练二次函数与相似三角形
中考专题训练：二次函数与相似三角形1．如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C （0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y=2x2﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x 2+bx+c ．点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB 的面积．（3）连接BE ，是否存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求此点D 坐标；若不存在，说明理由．4．如图，抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．5．如图，直线AB 的解析式为y=2x+4，交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，以A 为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F，①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；②记平移后抛物线与AB另一个交点为G，则S△EFG与S△ACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标．6．如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA 的度数．8．如图，抛物线y=ax2+4x+c过点A(6，0)、B(3，32)，与y轴交于点C．联结AB并延长，交y轴于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)求△ADC的面积；(3)点P在线段AC上，如果△OAP和△DCA相似，求点P的坐标．9．在平面直角坐标系中，抛物线y14=x2沿x轴正方向平移后经过点A（x1，y2），B（x2，y2），其中x1，x2是方程x2﹣2x＝0的两根，且x1＞x2，（1）如图．求A，B两点的坐标及平移后抛物线的解析式；（2）平移直线AB交抛物线于M，交x轴于N，且14ABMN=，求△MNO的面积；（3）如图，点C为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点C作直线交抛物线于E、F，交x轴于点D，探究CD CDCE CF+的值是否为定值？如果是，求出其值；如果不是，请说明理由．10．如图，已知二次函数y＝x2﹣4的图象与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），C 为顶点．一次函数y＝mx+2的图象经过点A，与y轴交于点D．（1）求直线AD的函数表达式；（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，且当1≤x≤3时，新抛物线对应的函数值有最小值为﹣1，求新抛物线对应的函数表达式；（3）如图，连接AC、BC，在坐标平面内，直接写出使得△ACD与△EBC相似（其中点A 与点E是对应点）的点E的坐标．11．如图，抛物线y＝﹣234x+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE⊥线段AC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，求线段DE的最大值；（3）如图2，连接CD、BC，当△BOC与以C、D、E为顶点的三角形相似时，求点D的横坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，AO=AB，OB=4，tan∠AOB=2，点C是线段OA的中点．（1）求点C的坐标；（2）若点P是x轴上的一个动点，使得∠APO=∠CBO，抛物线y=ax2+bx经过点A、点P，求这条抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点M是抛物线图象上的一个动点，以M为圆心的圆与直线OA相切，切点为点N，点A关于直线MN的对称点为点D．请你探索：是否存在这样的点M，使得△MAD∽△AOB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，已知：抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过B，C两点的直线是y=12x-2，连结（1）求出抛物线的函数关系式；（2）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．（3）点P（t，0）是x轴上一动点，P、Q两点关于直线BC成轴对称，PQ交BC于点M，作QH⊥x轴于点H．连结OQ，是否存在t的值，使△OQH与△APM相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．14．如图，已知二次函数1y(x2)(ax b)48=++的图像过点A(－4，3），B(4，4).（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P 、H 、D 、为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，二次函数y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A(﹣2，0)、与y 轴交于点C(0，4)，过点A 的直线y ＝12x+1与抛物线的另一个交点为B ，D 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式并直接写出顶点D 的坐标；(2)如图1，点P 是线段AB 上方抛物线上一动点，求点P 运动到什么位置时，△ABP 的面积最大，最大面积是多少？(3)如图2，设直线AB 与y 轴交于点E ．点M 是直线AB 上的一个动点(不与点A 、B 重合)，当△MEC 与△AOE 相似时，请直接写出点M 的坐标．16．如图，已知直线y ＝﹣3x +c 与x 轴相交于点A （1，0），与y 轴相交于点B ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ，与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）点P 是第二象限抛物线上一点，且S △PAB ＝2S △AOB 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AP 交y 轴于点D ，若点Q 是第二象限内抛物线上一动点，连接QE 交CD 于点F ，求以C 、E 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似时点Q 的坐标．17．抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （1，0）和点B （5，0），与y 轴交于点C （0，3）．该抛物线与直线y=35x c 相交于C ，D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M ，N ．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）连结PC ，PD ，如图1，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；（3）连结PB ，过点C 作CQ ⊥PM ，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得△CNQ 与△PBM 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，已知抛物线y=ax 2-4x+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0），B 两点，与y 轴交于点C（1）求抛物线解析式；（2）若点P 为抛物线上点，当PB=PC 时，求点P 坐标；（3）若点M 为线段BC 上点（不含端点），且△MAB 与△ABC 相似，求点M 坐标．19．如图，抛物线C 1：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3m(m ＜0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，顶点为M ，另一条抛物线C 2与x 轴也交于A 、B 两点，且与y 轴的交点是C(0，32-)，顶点是N ．(1)求A ，B 两点的坐标．(2)求抛物线C 2的函数表达式．(3)是否存在m ，使得△OBD 与△OBC 相似？若存在，请求出m 的值；若不存在请说明理由．20．如图1，抛物线1C ：22(0)y ax ax c a =-+<与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC =3OA ，抛物线1C 的顶点为G ．（1）求出抛物线1C 的解析式，并写出点G 的坐标；（2）如图2，将抛物线1C 向下平移k （k ＞0）个单位，得到抛物线2C ，设2C 与x 轴的交点为A '、B '，顶点为G '，当△A B G '''是等边三角形时，求k 的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为x 轴正半轴上一动点（介于O 与B 之间），过点M 作x 轴的垂线分别交抛物线1C 、2C 于P 、Q 两点，是否存在M 点，使得以A 、Q 、M 为顶点的三角形与以P 、M 、B 为顶点的三角形相似，若存在，求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵点A （1，0）和点C （0，1）在抛物线y=ax 2+b 上，∴a b 0{b 1+==，解得：a 1{b 1=-=．∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+1．∴抛物线的对称轴为y 轴．∵点B 与点A （1，0）关于y 轴对称，∴B （﹣1，0）．（2）设过点A （1，0），C （0，1）的直线解析式为y=kx+b ，可得：k b 0{b 1+==，解得：k 1{b 1=-=．∴过点A ，C 的直线解析式为y=﹣x+1．∵BD ∥CA ，∴可设直线BD 的解析式为y=﹣x+n ．∵点B （﹣1，0）在直线BD 上，∴0=1+n ，得n=﹣1．∴直线BD 的解析式为：y=﹣x ﹣1．将y=﹣x ﹣1代入抛物线的解析式，得：﹣x ﹣1=﹣x 2+1，解得：x 1=2，x 2=﹣1．∵B 点横坐标为﹣1，则D 点横坐标为2，∴D 点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3．∴D 点坐标为（2，﹣3）．如图①所示，过点D 作DN ⊥x 轴于点N ，则DN=3，AN=1，BN=3，在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：．在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：∴四边形ABCD的周长为：+=+（3）存在．假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：（I）若△BPE∽△BDC，如图②所示，则有，即，∴PE=3BE．设OE=m（m＞0），则E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m）．∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，∴3﹣3m=﹣（﹣m）2+1，解得m=1或m=2．当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．因此，此种情况不存在．（II）若△EBP∽△BDC，如图③所示，则有，即，∴BE=3PE．设OE=m（m＞0），则E（m，0），BE=1+m，，∴点P的坐标为（m，）．∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，∴，解得m=﹣1或m=5 9．∵m＞0，故m=﹣1舍去，∴m=5 9．点P的纵坐标为：．∴点P的坐标为（5 9，）．综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（5 9，）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到．（2）求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度．（3）本问为存在型问题．先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．2．解：（1）∵y=2x2﹣2，∴当y=0时，2x2﹣2=0，x=±1．∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2．又当x=0时，y=﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2），OC=2．∴S△ABC=12AB•OC=12×2×2=2．（2）将y=6代入y=2x2﹣2，得2x2﹣2=6，x=±2，∴点M的坐标为（﹣2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4．∵平行四边形的面积为8，∴MN边上的高为：8÷4=2．∴P点纵坐标为6±2．①当P点纵坐标为6+2=8时，2x2﹣2=8，∴点P8）或（8）．②当P点纵坐标为6﹣2=4时，2x2﹣2=4，∴点P4）或（4）．综上所述，当平行四边形的面积为8时，点P8）或（84）或（，4）．（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴OB=1，OC=2．∵∠QDB=∠BOC=90°，∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，则OB OCDB DQ=，即12m1DQ=-，解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2．②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则OB OCDQ DB=，即12DQ m1=-，解得m1 DQ2-=．综上所述，线段QD的长为2m﹣2或m1 2-．【解析】（1）在二次函数的解析式y=2x2﹣2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0时，求出y=﹣2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．（2）先将y=6代入y=2x2﹣2，求出x=±2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4．分两种情况讨论：①当P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x2﹣2，求出x的值，得到点P的坐标；②当P点纵坐标为4时，将y=4代入y=2x2﹣2，求出x的值，得到点P的坐标．（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①OB与BD边是对应边，②OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可．考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积公式，平行四边形的判定，相似三角形的判定，分类思想的应用．3．（1）y=﹣x2﹣3x+4．（2）12（3）存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式．（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO，可以简化计算．（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况讨论．【解析】解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴164b c0{c4--+==，解得：b3{c4=-=．∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4．（2）设点C 坐标为（m ，0）（m ＜0），则OC=﹣m ，AC=4+m ．∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°．∴△ACD 为等腰直角三角形．∴CD=AC=4+m ．∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m ．∴点E 坐标为（m ，8+m ）．∵点E 在抛物线y=﹣x 2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m 2﹣3m+4，解得m=﹣2．∴C （﹣2，0），AC=OC=2，CE=6．∴S 四边形CAEB =S △ACE +S 梯形OCEB ﹣S △BCO =12×2×6+12（6+4）×2﹣12×2×4=12．（3）设点C 坐标为（m ，0）（m ＜0），则OC=﹣m ，CD=AC=4+m ，m ，则D （m ，4+m ）．∵△ACD 为等腰直角三角形，若△DBE 和△DAC 相似，则△DBE 必为等腰直角三角形．i ）若∠BED=90°，则BE=DE ，∵BE=OC=﹣m ，∴DE=BE=﹣m ．∴CE=4+m ﹣m=4．∴E （m ，4）．∵点E 在抛物线y=﹣x 2﹣3x+4上，∴4=﹣m 2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3．∴D （﹣3，1）．ii ）若∠EBD=90°，则BE=BD=m ，在等腰直角三角形EBD 中，BD=﹣2m ，∴CE=4+m ﹣2m=4﹣m ．∴E （m ，4﹣m ）．∵点E 在抛物线y=﹣x 2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m 2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2．∴D （﹣2，2）．综上所述，存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似，点D 的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．4．（1）抛物线的解析式为248y x 433=-++；（2）PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）；（3）存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形．【分析】（1）将A （3，0），C （0，4）代入2y ax 2ax c =-+，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长．（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC ∽△AEM ，②△CFP ∽△AEM ；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．【解析】解：（1）∵抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4），∴，解得4a {3c 4=-=．∴抛物线的解析式为248y x x 433=-++．（2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，∵A （3，0），点C （0，4），∴3k b 0{b 4+==，解得4k {3b 4=-=．∴直线AC 的解析式为4y x 43=-+．∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m ，4m 43-+）．∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线248y x x 433=-++上，∴点P 的坐标为（m ，248m m 433-++）．∴PM=PE －ME=（248m m 433-++）－（4m 43-+）=24m 4m 3-+．∴PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）．（3）在（2）的条件下，连接PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=4m 43-+，CF=m ，PF=248m m 4433-++-=248m m 33-+，若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况：①若△PFC ∽△AEM ，则PF ：AE=FC ：EM ，即（248m m 33-+）：（3－m ）=m ：（4m 43-+），∵m≠0且m≠3，∴m=2316．∵△PFC ∽△AEM ，∴∠PCF=∠AME ．∵∠AME=∠CMF ，∴∠PCF=∠CMF ．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．∴△PCM 为直角三角形．②若△CFP ∽△AEM ，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3－m ）=（248m m 33-+）：（4m 43-+），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为2316或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形．5．（1）y=﹣（x+2）2；（2）①（12-，3）；②S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，﹣60）、（0，3）、（0，5）．【解析】试题分析：（1）求出点A的坐标，利用顶点式求出抛物线的解析式；（2）①首先确定点E为Rt△BEF的直角顶点，相似关系为：△BAO∽△BFE；如答图2-1，作辅助线，利用相似关系得到关系式：BH=4FH，利用此关系式求出点E的坐标；②首先求出△ACD的面积：S△ACD=8；若S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，则S△EFG=64或S△EFG=1；如答图2-2所示，求出S△EFG的表达式，进而求出点F的坐标．试题解析：（1）直线AB的解析式为y=2x+4，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-2．∴A（-2，0）、B（0，4）．∵抛物线的顶点为点A（-2，0），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2，点C（0，-4）在抛物线上，代入上式得：-4=4a，解得a=-1，∴抛物线的解析式为y=-（x+2）2．（2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4），则平移后抛物线的解析式为：y=-（x-m）2+2m+4，∴F（0，-m2+2m+4）．①∵点E为顶点，∴∠BEF≥90°，∴若△BEF与△BAO相似，只能是点E作为直角顶点，∴△BAO∽△BFE，∴OA OBEF BE=，即24EF BE=，可得：BE=2EF．如答图2-1，过点E作EH⊥y轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4）．∵B（0，4），H（0，2m+4），F（0，-m2+2m+4），∴BH=|2m|，FH=|-m2|．在Rt△BEF中，由射影定理得：BE2=BH•BF，EF2=FH•BF，又∵BE=2EF，∴BH=4FH，即：4|-m2|=|2m|．若-4m2=2m，解得m=-12或m=0（与点B重合，舍去）；若-4m2=-2m，解得m=12或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，∠BEF为锐角，故此情形不成立．∴m=-12，∴E（-12，3）．②假设存在．联立抛物线：y=-（x+2）2与直线AB：y=2x+4，可求得：D（-4，-4），∴S△ACD=12×4×4=8．∵S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，∴S△EFG=64或S△EFG=1．联立平移抛物线：y=-（x-m）2+2m+4与直线AB：y=2x+4，可求得：G（m-2，2m）．∴点E与点G横坐标相差2，即：|x G|-|x E|=2．当顶点E在y轴左侧时，如答图2-2，S△EFG=S△BFG-S△BEF=12BF•|x G|-12BF|x E|=12BF•（|x G|-|x E|）=BF．∵B（0，4），F（0，-m2+2m+4），∴BF=|-m2+2m|．∴|-m2+2m|=64或|-m2+2m|=1，∴-m2+2m可取值为：64、-64、1、-1．当取值为64时，一元二次方程-m2+2m=64无解，故-m2+2m≠64．∴-m2+2m可取值为：-64、1、-1．∵F（0，-m2+2m+4），∴F坐标为：（0，-60）、（0，3）、（0，5）．同理，当顶点E在y轴右侧时，点F为（0，5）；综上所述，S△EFG与S△ACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，-60）、（0，3）、（0，5）．考点：二次函数综合题．6．（1）直线BD的解析式为：y=﹣x+3．抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．（2）满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（3）存在，理由见解析．【分析】（1）由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式．（2）首先确定△MCD为等腰直角三角形，因为△BND与△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N有3个．（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD面积的表达式，然后根据S△PBD=6的已知条件，列出一元二次方程求解．【解析】解：（1）∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣1，0），B（0，3）．∵把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，∴C（1，0）．设直线BD的解析式为：y=kx+b，∵点B（0，3），D（3，0）在直线BD上，∴330bk b=⎧⎨+=⎩，解得13kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y=﹣x+3．设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），∵点B（0，3）在抛物线上，∴3=a×（﹣1）×（﹣3），解得：a=1．∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M，令x=2，得y=1，∴M（2，1）．设对称轴与x轴交点为点F，则CF=FD=MN=1，∴△MCD为等腰直角三角形．∵以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，∴△BND为等腰直角三角形．如答图1所示：（I）若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，∴N1（0，0）．（II）若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，∵OB=OD=ON2=3，∴N2（﹣3，0）．（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，∵OB =OD =ON 3=3，∴N 3（0，﹣3）．∴满足条件的点N 坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（3）存在，假设存在点P ，使S △PBD =6，设点P 坐标为（m ，n ），（I ）当点P 位于直线BD 上方时，如答图2所示，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则PE =n ，DE =m ﹣3，S △PBD =S 梯形PEOB ﹣S △BOD ﹣S △PDE =12（3+n ）•m ﹣12×3×3﹣12（m ﹣3）•n =6，化简得：7m n +=①．∵P （m ，n ）在抛物线上，∴n =m 2﹣4m +3，代入①式整理得：m 2﹣3m ﹣4=0，解得：m 1=4，m 2=﹣1．∴n 1=3，n 2=8．∴P 1（4，3），P 2（﹣1，8）．（II ）当点P 位于直线BD 下方时，如答图3所示，过点P 作PE ⊥y 轴于点E ，则PE =m ，OE =﹣n ，BE =3﹣n ，S △PBD =S 梯形PEOD +S △BOD ﹣S △PBE =12（3+m ）•（﹣n ）+12×3×3﹣12（3﹣n ）•m =6，化简得：1m n +=-②．∵P （m ，n ）在抛物线上，∴n =m 2﹣4m +3．代入②式整理得：m 2﹣3m +4=0，70∆=-<，此方程无解．∴此时点P 不存在．综上所述，在抛物线上存在点P ，使S △PBD =6，点P 的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．【点评】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，三角形面积的求解，解题的关键是掌握二次函数性质、相似三角形的判定与性质，学会利用分类讨论的思想求解问题．7．（1）抛物线的解析式为：y=-12x 2+32x+2．（2）存在．E 点坐标为（0，2），（3，2）．（3）∠ADB=45°．【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C 点，设出该抛物线的解析式为y=ax 2+bx+2，再根据过A ，B 两点，即可得出结果；（2）由图象可知，以A 、B 为直角顶点的△ABE 不存在，所以△ABE 只可能是以点E 为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E 的坐标；（3）如图2，连结AC ，作DE ⊥x 轴于点E ，作BF ⊥AD 于点F ，由BC ∥AD 设BC 的解析式为y=kx+b ，设AD 的解析式为y=kx+n ，由待定系数法求出一次函数的解析式，就可以求出点D 坐标，由勾股定理就可以求出BD 的值，由勾股定理的逆定理就可以得出∠ACB=90°，由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°，就可以得出四边形ACBF 是矩形，就可以得出BF 的值，由勾股定理求出DF 的值，而得出DF=BF 而得出结论．【解析】（1）∵该抛物线过点C （0，2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax 2+bx+2．将A （-1，0），B （4，0）代入，得20{16420a b a b -+++＝＝解得12{32a b =-=，∴抛物线的解析式为：y=-12x 2+32x+2．（2）存在．由图象可知，以A 、B 为直角顶点的△ABE 不存在，所以△ABE 只可能是以点E 为直角顶点的三角形．在Rt △BOC 中，OC=2，OB=4，∴=在Rt △BOC 中，设BC 边上的高为h，则114222⨯=⨯⨯∴．∵△BEA ∽△COB ，设E 点坐标为（x ，y ），∴y AB BC =，∴y=±2将y=2代入抛物线y=-12x 2+32x+2．得x 1=0，x 2=3．当y=-2时，不合题意舍去．∴E 点坐标为（0，2），（3，2）．（3）如图2，连结AC ，作DE ⊥x 轴于点E ，作BF ⊥AD 于点F，∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．设BC 的解析式为y=kx+b ，由图象，得2{04b k b+＝＝∴1{22k b -＝＝y BC =-12x+2．由BC ∥AD ，设AD 的解析式为y=-12x+n ，由图象，得0=-12×（-1）+n∴n=-12，y AD =-12x-12．∴-12x 2+32x+2=-12x-12，解得：x 1=-1，x 2=5∴D （-1，0）与A 重合，舍去；∴D （5，-3）．∵DE ⊥x 轴，∴DE=3，OE=5．由勾股定理，得．∵A （-1，0），B （4，0），C （0，2），∴OA=1，OB=4，OC=2．∴AB=5在Rt △AOC 中，Rt △BOC 中，由勾股定理，得∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，∴AC2+BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°．∵BC∥AD，∴∠CAF+∠ACB=180°，∴∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，∴四边形ACBF是矩形，∴在Rt△BFD中，由勾股定理，得∴DF=BF，∴∠ADB=45°．考点：二次函数综合题．8．(1)y=-12x2+4x-6；(2)S△ADC=27；(3)点P的坐标为(2，-4)或(32，-92)．【分析】(1)将A(6，0)，B(3，32)代入y=ax2+4x+c，即可求出a，c值，进一步写出抛物线解析式；(2)分别求抛物线，直线与坐标轴交点D，C的坐标，可直接求出△ADC的面积；(3)先求出∠OAC=∠OCA=45°，再分类讨论△OAP和△DCA相似的两种情况，求出AP长度，可利用特殊角进一步求出相关线段的长度，即可写出点P的坐标．【解析】解：(1)将A(6，0)，B(3，32)代入y=ax2+4x+c，得，362403 9122a ca c++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得，a=-12，c=-6，∴该抛物线解析式为：y=-12x2+4x-6；(2)将A(6，0)，B(3，32)代入y=kx+b，得，603 32 k bk b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得，k=-12，b=3，∴y AB=-12x+3，当x=0时，y=3，∴D(0，3)，OD=3，在抛物线y=-12x2+4x-6中，当x=0时，y=-6，∴C(0，-6)，OC=6，∴DC=OC+OD=9，∵A(6，0)，∴OA=6，∴S△ADC=12DC•OA=27；(3)由(2)知，OC=OA=6，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠OAC=∠OCA=45°，，如图所示，连接OP，过点P作PH⊥OA于H，则△PHA为等腰直角三角形，①当△DCA ∽△OAP 时，DC OA =CA AP，即96，∴，∴HP=HA=2AP=4，OH=OA-HA=2，∴P(2，-4)；②当△DCA ∽△PAO 时，DC PA =CA AO，即9PA∴PA=2，∴HP=HA=92，∴OH=OA-AH=32，∴P(32，-92)，综上所述，点P 的坐标为(2，-4)或(32，-92)．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，在二次函数图象中求三角形的面积，三角形相似的判定等，解题的关键是对于两个三角形在只有一组角相等时要分类讨论相似情况．9．（1）点A 坐标为（2，0），点B 坐标为（0，1），21(2)4y x =-;（2）12或28；（3）CD CD CE CF +为定值，定值为1．【分析】（1）解方程x 2﹣2x ＝0得x 1＝2，x 2＝0．即可求得点A 坐标为（2，0），抛物线解析式为()2124y x =-，把x ＝0代入抛物线解析式得y ＝1，即可得点B 坐标为（0，1）；（2）如图，过M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，由AB ∥MN ，即可得△ABO ∽△MHN ，根据相似三角形的性质可得14BO HN AB MH AO MN ===，由此求得MH ＝4，HN ＝8，将y ＝4代入抛物线()2124y x =-求得x 1＝﹣2，x 2＝6，所以M 1（﹣2，4），N 1（6，0），M 2（6，4），N 2（14，0）,由此求得△MNO 的面积即可；（3）设C （2，m ），求得CD 解析式为y ＝kx +m ﹣2k ，令y ＝0得kx +m ﹣2k ＝0，由此求得点D 为（2k m k -，0）；把CD 的解析式与抛物线的解析式联立221(2)4y kx m k y x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得，kx +m ﹣2k ＝14（x ﹣2）2．化简得x 2﹣4（k +1）x +4﹣4m +8k ＝0，由根与系数关系得，x 1+x 2＝4k +4，x 1•x 2＝4﹣4m +8k ．过E 、F 分别作EP ⊥CA 于P ，FQ ⊥CA 于Q ，由AD ∥EP ，AD ∥FQ ，可得CD CD CE CF +＝AD AD EP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅＝（2k m k-﹣2）×()()121212424x x x x x x +-⋅-++＝()()()4444482444k m k m k k +--⋅-+-++＝1，由此可得CD CD CE CF+为定值，定值为1．【解析】（1）解方程x 2﹣2x ＝0得x 1＝2，x 2＝0．∴点A 坐标为（2，0），抛物线解析式为()2124y x =-．把x ＝0代入抛物线解析式得y ＝1．∴点B 坐标为（0，1）．（2）如图，过M 作MH ⊥x 轴，垂足为H∵AB ∥MN∴△ABO ∽△MHN ∴14BO HN AB MH AO MN ===∴MH ＝4，HN ＝8将y ＝4代入抛物线()2124y x =-可得x 1＝﹣2，x 2＝6∴M 1（﹣2，4），N 1（6，0），M 2（6，4），N 2（14，0）,∴11164122M N O S ∆=⨯⨯=221144282M N O S ∆=⨯⨯=（3）设C （2，m ），设直线CD 为y ＝kx +b将C （2，m ）代入上式，m ＝2k +b ，即b ＝m ﹣2k ．∴CD 解析式为y ＝kx +m ﹣2k ，令y ＝0得kx +m ﹣2k ＝0，∴点D 为（2k m k-，0）联立221(2)4y kx m k y x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得，kx +m ﹣2k ＝14（x ﹣2）2．化简得，x 2﹣4（k +1）x +4﹣4m +8k ＝0由根与系数关系得，x 1+x 2＝4k +4，x 1•x 2＝4﹣4m +8k ．过E 、F 分别作EP ⊥CA 于P ，FQ ⊥CA 于Q ，∴AD ∥EP ，AD ∥FQ ，∴CD CD CE CF+＝AD AD EP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅＝（2k m k-﹣2）×()()121212424x x x x x x +-⋅-++＝()()()4444482444k m k m k k +--⋅-+-++＝1∴CD CD CE CF+为定值，定值为1．【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数与二次函数图象的交点问题，解决第（3）问的关键是确定CD CD CE CF+＝AD AD EP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅，再利用根与系数的关系解决．10．（1）y ＝x +2；（2）y ＝（x +1）2﹣5或y ＝（x ﹣3）2﹣1；（3）点E 坐标为：（﹣23，﹣2）或（2，﹣103）或（0，﹣23）或（83，﹣2）．【分析】（1）令二次函数y ＝x 2﹣4=0，求出点A,B 的坐标，把点A 的坐标代入一次函数y ＝mx +2，即可求出直线AD 的函数表达式；（2）求出顶点C 的坐标，根据CC '∥AD ，求出CC '解析式，设C '（t ，t ﹣4），则新抛物线对应的函数表达式为：()24y x t t =-+-，分1t <，1≤t ≤3，3t >三种情况进行讨论.（3）分△ACD ∽△EBC 和△ACD ∽△ECB 两种情况进行讨论.【解析】解：（1）当y ＝0时，0＝x 2﹣4，∴x 1＝2，x 2＝﹣2，∴A （﹣2，0），B （2，0）∵直线AD 过点A ，∴0＝﹣2m +2，∴m ＝1∴直线AD 的函数表达式为：y ＝x +2（2）当x ＝0时，y ＝0﹣4＝﹣4∴C （0，﹣4）∵CC '∥AD∴CC '解析式为：y ＝x ﹣4∴设C '（t ，t ﹣4），则新抛物线对应的函数表达式为：y ＝（x ﹣t ）2+t ﹣4①当t ＜1时，1≤x ≤3对应的新抛物线部分位于对称轴右侧，且y 随x 的增大而增大，∴当x ＝1时，y 最小＝（1﹣t ）2+t ﹣4＝﹣1∴t 1＝2（舍去），t 2＝﹣1∴y ＝（x +1）2﹣5②当1≤t ≤3时，∴x ＝t 时，y 最小＝t ﹣4＝﹣1∴t ＝3∴y ＝（x ﹣3）2﹣1③当t ＞3时，1≤x ≤3对应的新抛物线部分位于对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小∴x ＝3时，y 最小＝（3﹣t ）2+t ﹣4＝﹣1∴t 1＝2（舍去），t 2＝3（舍去）综上所述：新抛物线对应的函数表达式为y ＝（x +1）2﹣5或y ＝（x ﹣3）2﹣1（3）△ACD 与△EBC 相似∵点A （﹣2，0），点D （0，2），点C （0，﹣4），点B （2，0）∴62CD AD AC BC ====，设点E 坐标为（x ，y ）,若△ACD ∽△EBC ∴,AC AD CD BE EC BC ===∴10,,33BE CE ==∴（x ﹣2）2+（y ﹣0）2＝100,9（x ﹣0）2+（y +4）2＝40,9∴解得：232,x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩210,3x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩∴点E 坐标2,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭或102,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭若△ACD ∽△ECB ∴,AC AD CD EC BE BC ==BE ==∴10,3EC BE ==∴x 2+（y +4）2＝100,9（x ﹣2）2+y 2＝40,9解得：02,3x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩832,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点E 坐标20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或82,.33⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：点E 坐标为：2,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭或102,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭或20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或82,.33⎛⎫- ⎪⎝⎭【点评】考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想在解题中的应用.11．（1）y ＝﹣34x 2﹣94x +3；（2）当x ＝﹣2时，DE 取得最大值，最大值为125；（3）当△BOC 与以C 、D 、E 为顶点的三角形相似时，点D 的横坐标为2713-或319-．【分析】（1）根据A 点和B 点坐标求出解析式（2）先求直线AC 的解析式，再设点D 的坐标，结合△DME ∽△AMF 的性质即可得到结果（3）分情况讨论，设点D 的坐标，当△DEC ∽△COB 时和当△CED ∽△COB 时，得到不同的一元二次方程，求解即可.【解析】解：（1）将A （﹣4，0），B （1，0）代入y ＝﹣234x +bx +c ，得：1240304b c b c --+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得：943b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为y ＝﹣234x ﹣94x +3．（2）在图1中，过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，DF 交AC 于点M ．当x ＝0时，y ＝﹣234x ﹣94x +3＝3，∴点C 的坐标为（0，3）．设直线AC 的解析式为y ＝kx +d （k ≠0），将A （﹣4，0），C （0，3）代入y ＝kx +d ，得：403k d d -+=⎧⎨=⎩解得：343k d ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为y ＝34x +3．设点D 的坐标为（x ，﹣34x 2﹣94x +3）（﹣4＜x ＜0），则点M 的坐标为（x ，34x +3），∴DM ＝﹣34x 2﹣94x +3﹣（34x +3）＝﹣34x 2﹣3x ．在Rt △AOC 中，OA ＝4，OC ＝3，∴AC5．∵DF⊥x轴，DE⊥AC，∴∠DEM＝∠AFM．∵∠DME＝∠AMF，∴△DME∽△AMF，∴45 DE AF AO DM AM AC===∴DE＝45DM＝﹣35x2﹣125x＝﹣45（x+2）2+125，∴当x＝﹣2时，DE取得最大值，最大值为12 5．（3）设点D的坐标为（x，﹣34x2﹣94x+3）（﹣4＜x＜0），则DE＝﹣35x2﹣125x，DC1 4x -⨯∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），∴OB＝1，OC＝3，BC．①当△DEC∽△COB时，DE CODC CB=，即23125514X XX-=∴13x2+14x﹣27＝0，解得：x1＝﹣2713，x2＝1（舍去），经检验，x＝﹣2713是原方程的解，且符合题意；②当△CED∽△COB时，DE BODCBC=，即23125514X XX-=∴243x2+2034x+4123＝0，解得：x1＝﹣319，x2＝﹣39981（舍去），经检验，x＝﹣319是原方程的解，且符合题意．综上所述：当△BOC与以C、D、E为顶点的三角形相似时，点D的横坐标为﹣2713或﹣319．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质以及解无理方程.12．（1）C的坐标为（1，2）；（2）y=﹣13x2+83x或y=13x2+43x；（3）存在这样的点M（6，4）或（10，-203）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得△MAD∽△AOB【分析】（1）过点A作AD⊥OB于点D，过点C作CE⊥OB于点E，由等腰三角形的性质可得OD=12OB=2，根据tan∠AOB=2，可得AD=4，根据中位线的性质即可求出C点坐标；（2）由（1）可得A点坐标和∠CBE的正切值，进而可得∠APO的正切值，即可求出PD 的长，根据PD=|x﹣2|，可求出P点坐标，把A、P两点坐标代入y=ax2+bx即可求出a、b 的值，即可得抛物线解析式；（3）若△MAD∽△AOB，则∠MAN=∠AOB，由于（2）中由两个抛物线解析式，所以分两种情况讨论，由于切点N的不确定性，所以点N的位置由两种，一种是点N在点A的上方，另一种是点N在点A的下方．【解析】（1）过点A作AD⊥OB于点D，过点C作CE⊥OB于点E，∵AO=AB，∴AD是△AOB的中线，∴OD=12OB=2，∵tan∠AOB=2，∴ADOD=2，∴AD=4，∵CE∥AD，点C是AO的中点，。
2019-2020年九年级数学二次函数月考测试题(附答案)
2019-2020年九年级数学二次函数月考测试题（附答案） 一、填空题（36）1、若y=（a －1）231ax-是关于x 的二次函数，则a=_______．2、将抛物线221xy =先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式为_________________;3、抛物线()42)2(22-++-=m x x m y 的图象经过原点，则=m . 4、将(21)(2)1y x x =-++化成()y a x m n 2=++的形式为 .5、若抛物线2(1)(3y x m x m =+-++）的顶点在y 轴上，则m= 。
6、如果一条抛物线的形状与y ＝－13x2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，－2)，则它的解析式是_____。
7、直线y=2x+2与抛物线y=x2+3x 的交点坐标为________． 8、抛物线y=x2－4x+3•的顶点及它与x•轴的交点三点连线所围成的三角形面积是_______．9、不论x 取何值，二次函数y=－x2+6x+c 的函数值总为负数，•则c•的取值范围为_______．10.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.11.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()P a bc ，在第 象限．12.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示， 则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．二、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列函数中属于二次函数的是（ ） A 、12y x =B 、211y x x =++ C 、221y x =- D 、23y x =+ 2、抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A 、直线1x = B 、直线3x = C 、直线1x =- D 、直线3x =- 3、下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax2与y ＝ax ＋b 的图象是( )4、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( ) A 、123y y y << B 、213y y y << C 、312y y y << D 、132y y y <<5、抛物线221y x x =--+的顶点在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限6、二次函数221y x x =+-的图象与x 轴的交点的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、37．对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ） （A ）开口向下，顶点坐标(53)， （B ）开口向上，顶点坐标(53)， （C ）开口向下，顶点坐标(53)-， （D ）开口向上，顶点坐标(53)-，8．烟花厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）（Ａ）3s （Ｂ）4s （Ｃ）5s （Ｄ）6s9.如图所示是二次函数2122y x =-+的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x（ ） （A ）4（B ）163 （C ）2π （D ）810.二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示,下列结论正确的是( )A.ac ＜0B.当x=1时,y ＞0C.方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有两个大于1D.存在一个大于1的实数x0,使得当x ＜x0时,y 当x ＞x0时,y 随x 的增大而增大. 三、解答题（共54分）1、已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+m+1的图象与x 轴总有交点，•求m的取值范围．2、已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（1，-4）.求这个解析式。
新华中学初三月考试题(二次函数,相似形)
新华中学初三月考试题（二次函数，相似形）一：选择（本大题共10个小题，满分20分。
） 1.抛物线y=x 2向上平移两个单位后，抛物线的解析式变化为（ ） A y=x 2-2 B y=(x-2) 2 C y=x 2+2 D y=(x+2) 2 2.已知点（1，2）在抛物线y=ax 2+b 上，则下列各点也在此抛物线上的点是( ) A (2,1) B (-1,2) C (1,-2) D (-2,1) 3.把y=21x 2-2x+１写成y=a(x-h)2+k 的形式是（ ） Ａy=21 (x-2)2-1 Ｂ y=21 (x-1)2+2 Ｃ y=21 (x-1)2+21 Ｄ y=21 (x-2)2-3 4.抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=-2，且它与x 轴的一个交点是（-3，0）则它与x 轴的另一个交点是（ ） Ａ （-4，0）Ｂ （-1，0）Ｃ （1，0）Ｄ （0，0） 5.抛物线y=ax 2+c 与直线y=ax+c 中同一坐标系中的图象是（ ） A B C D 6.有长24cm 的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xcm 面积是s, 则s 与x 的关系式是（ ） A s= -3x 2+24x B s= -2x 2+24x C s=-3x 2-24x D s= -2x 2+24x 7.如图，ＡＢ是斜靠在墙壁是的长梯，梯脚Ｂ距墙1.6m,梯上点Ｄ距墙1.4m 则梯子的长是（ ）m.。
Ａ 3.85 Ｂ 4.00 Ｃ 4.40 Ｄ 4.508.如图，ＤＥ∥ＢＣ，Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ四边形ＢＣＤＥ，则ＡＤ∶ＢＤ的值是（ ）Ａ 1 Ｂ 22 Ｃ 2+1 Ｄ 2-19.如图，在正方形网格上有6个斜三角形，○1△ＡＢＣ○2△ＢＣＤ○3△ＢＤＥ○4△ＢＦＧ○5△ＦＧＨ○6△ＥＦＨ，其中， ○2-○6中与○1△ＡＢＣ相似的是（ ） Ａ○2○3○4 Ｂ ○3○4○5 Ｃ○4○5○5 Ｄ ○2○3○6 10.△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＢＣ>ＡＣ，Ｄ是ＡＣ的中点，过点Ｄ做直线l,使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线L 有（ ）条。
初三数学(二次函数.相似三角形)测试卷
初三数学(二次函数.相似三角形)测试试题一.选择题(每小题3分,共24分)1.下列函数:①13+=x y ②132+=x y ③2323x x y -=④x mx y 22-= ⑤4)1(22-+=x a y ,其中二次函数的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 如图,函数a ax y ax y +==与2在同一坐标系内的图象大致是( )3.下列四组立体图形中,不相似的一组是( )4.如图,小正方形的边长均为1,则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )5.如图,已知B ∠=∠=∠21则图中相似三角形共有( ) 对 对 对 对6.抛物线3)2(212+-=x y 的图象先向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得抛物线的关系式为( )A. 1)5(212--=x yB. 7)1(212++=x yC. 1)1(212-+=x yD. 7)5(212+-=x y7.如图,已知△ABC 中,AD ⊥BC 于点D,E 为BC 的中点,EF ⊥BC 于点E,交AB 于F,BD=6,DC=4,AB=8,则BF 的长为( )A.324 B. 8 C. 325 D. 320 8.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则点),(bc ac A 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二.填空题(每小题4分,共20分)9.若m x m y )2(-=是二次函数(x 是自变量),且图象的开口向下,则m 的值为______ 10.小李存入银行人民币500元,年利率为x ,两年到期,本息和为y 元(不考虑利息税), 则y 与x 之间的函数关系式是_________,若年利率为6%,则两年到期的本息和是____ 11.已知点),(),(m b B m a A 和是抛物线3522-+=x x y 上的两个点,则______=+b a 12,如图,一个直立的油桶高米,在顶部的一个开口中将一根长为1米的木棒斜插入桶内,上端正好与桶面相平,抽出后看到棒上油浸到部分长为米,则桶内油面的高度为________.13.若抛物线4322+-=x x y 与轴y 交于点C,与直线23-=x y 相交于A,B 两点,则_______=∆ABC S三.解答题(每小题6分,共30分)14.如图,已知△ABC ∽△ADE.求证: △ABD ∽△ACE15. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1, 求证: △ABC ∽△EFD16. 如图,已知△ABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC. 求证:CD AC BC AB ⋅=⋅17.已知抛物线的顶点是(-2,1),且经过点(1,6),求此抛物线的解析式.18.已知二次函数n m x m y +--=4)2(22的图象的对称轴是直线2=x ,且顶点在直线121+=x y 上,求这个二次函数的的表达式. 四.解答题(每小题7分,共21分)19.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,且AD=AC,DE ⊥BC,交AB 于E,EC 与AD 相交于F (1)求证: △ABC ∽△FCD(2)若,10,5==∆BC S FCD 求DE 的长.20. 如图,已知△ABC 中,AF:FC=1:2,G 是BF 的中点.求BE:EC 的值.21.某商场以每件20元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量)(件m 与每件的销售价x m x 2140:)(-=之间满足关系式元 (1)写出这种商品每天的销售利润)()(元与每件的销售价元x y 之间的函数关系式 (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价应定为多少元最合适最大利润是多少元22.已知抛物线n x x y ++-=52经过点A(1,0),与y 轴交于点B (1)求抛物线的解析式(2)若P 是y 轴上一点,且△PAB 是等腰三角形,求P 点的坐标五.解答题(每小题9分,共27分)23. 抛物线)3,(,1222m x y n x y 交于点与直线-=+= (1)求的值和n m(2)写出抛物线n x y +=22的顶点坐标和对称轴(3)抛物线n x y +=22与12-=x y 直线的图象是否还有其他交点?若有,请求出来;若没有,请说明理由.24. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=4,BC=3,E 为AB 上一动点(不与A,B 重合),F 是AC 上一动点(不与A,C 重合),当点E 自点B 沿BA 方向作匀速移动时,点F 自点A 沿AC 方向作匀速移动,移动速度均为1cm/s,设E,F 移动的时间为t s(1)写出△EAF 的面积S(cm 2)与时间t(s)之间的函数关系式并写出自变量的取值范围. (2)当t 为何值时, △EAF 为等腰三角形?初三数学(二次函数.相似三角形)测试答卷班级________姓名__________座号_____分数_______题号12345678答案,,三.解答题(每小题6分,共30分)14.15.16.17.18.四.解答题(每小题7分,共28分)19.20.21.22.五.解答题(每小题9分,共18分)23.24.。
中考数学复习《二次函数压轴题(相似三角形问题)》专项检测卷(附答案)
中考数学复习《二次函数压轴题（相似三角形问题）》专项检测卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，抛物线212y x bx c =＋＋与y 轴交于点()0,4C -，与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为()2,0．(1)求该抛物线的解析式．(2)若点P 是AB 上的一动点，过点P 作PE AC ∥，交BC 于E ，连接CP ，求PCE 面积的最大值．(3)若点D 为OA 的中点，点M 是线段AC 上一点，且OMD 为等腰三角形，求M 点的坐标．2．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,C 连接BC ．点P 沿AO 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点О运动，到达点О后再以同样的速度沿y 轴正半轴运动，同时，点Q 沿CB 以每秒54个单位长度的速度由点C 向点B 运动，当点Q 停止运动时，点P 也随之停止运动，连接PQ ．过点P 作PM x⊥轴，与抛物线交于点,M 连接MQ ．设点P 的运动时间为0(t t >）秒，已知点A 、点B 的坐标分别为()()2,0,4,0-．（1）求抛物线的解析式．（2）①直接写出点Q 的坐标（用含t 的代数式表示，结果需化简）；①当点P 在线段AO 上运动，且满足PQ MQ =时，求t 的值．（3）试探究：在点,P Q 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得PQ 的中点落在坐标轴上？若存在，请直接写出此时t 的值与点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，经过（1，0）和（2，3）两点的抛物线y ＝ax 2+c 交x 轴于A 、B 两点，P 是抛物线上一动点，平行于x 轴的直线l 经过点（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，y 轴上有点C （0，34-），连接PC ，设点P 到直线l 的距离为d ，PC ＝t ．童威在探究d ﹣t 的值的过程中，是这样思考的：当P 是抛物线的顶点时，计算d ﹣t 的值；当P 不是抛物线的顶点时，猜想d ﹣t 是一个定值．请你直接写出这个定值，并证明；（3）如图2，点P 在第二象限，分别连接P A 、PB ，并延长交直线l 于M 、N 两点．若M 、N 两点的横坐标分别为m 、n ，试探究m 、n 之间的数量关系．4．如图，抛物线：2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 和()30B -，两点，与y 轴交于()03C -，，直线y x m =+经过点B ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．(1)求抛物线的解析式和E 点坐标；(2)在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与BOD 相似，若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，试说明理由．5．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+2bx +c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的右侧），且与y 轴交于点C ，已知点A （3，0），O 为坐标原点(1)当B 的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，以A 为圆心，OA 长为半径画①A ，以C 为圆心，AB 长为半径画①C ，通过计算说明①A 和①C 的位置关系；(3)如果①BAC 与①AOC 相似，求抛物线顶点P 的坐标6．如图，在平面直角坐标系中，A 是抛物线212y x =上的一个动点，且点A 在第一象限内．AE①y 轴于点E ，点B 坐标为（0，2），直线AB 交x 轴于点C ，点D 与点C 关于y 轴对称，直线DE 与AB 相交于点F ，连结BD ．设线段AE 的长为m ，①BED 的面积为S ．（1）当2m S 的值．（2）求S 关于()2m m ≠的函数解析式．（3）①若S 3AF BF 的值； ①当m ＞2时，设AF k BF=，猜想k 与m 的数量关系并证明．7．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，AB =8，BE =BC =10，动点P 在线段BE 上（与点B 、E 不重合），点Q 在BC 的延长线上，PE =CQ ，PQ 交EC 于点F ，PG ①BQ 交EC 于点G ，设PE =x .（1）求证：①PFG ①①QFC（2）连结DG .当x 为何值时，四边形PGDE 是菱形，请说明理由；（3）作PH ①EC 于点H .探究：①点P 在运动过程中，线段HF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求HF 的长度； ①当x 为何值时，①PHF 与①BAE 相似8．已知在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，直线y=x+4经过A ，C 两点（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P ，Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），且PQ①AO ，PQ=2AO ，求P ，Q 的坐标； （3）动点M 在直线y=x+4上，且①ABC 与①COM 相似，求点M 的坐标．9．已知抛物线21322y x x c =-+与x 轴有两个交点．(1)求实数c 的取值范围；(2)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21322y x x c =-+与x 轴交于A B 、两点(点A 在原点O 的左边，点B 在原点O 的右边)，与y 轴的负半轴交于点C ，连接AC BC 、，且满足ABC ACO ∠=∠，求抛物线的解析式；(3)如图2，在（2）的条件下，直线l BC ，直线l 交抛物线21322y x x c =-+于D E 、两点(点D 在点E 的左边)，直线AD 交y 轴于点M ，直线AE 交y 轴于点N ，设M N 、的纵坐标分别为M y 和N y ，试问M N y y +是否为定值？若是定值，求出其定值，若不是定值，请说明理由．10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 和()3,0B 两点，与y 轴交于()0,2C -，对称轴为直线54x =，连接BC ，在直线BC 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线交二次函数的图像于点N ，交x 轴于点M(1)求抛物线与直线BC 的函数解析式；(2)设点M 的坐标为()0m ,，求当以PN 为直径的圆与y 轴相切时m 的值： (3)若点P 在线段BC 上运动，则是否存在这样的点P ，使得CPN △与BPM △相似，若存在请直接写出点P 的坐标，若不存在，请写出理由．11．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，点E 在x 轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F 在抛物线上并且和点E 关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH ，其中点G 、H 都在x 轴上．(1)用配方法求顶点D 的坐标；(2)设点F 横坐标为m①用含有m 的代数式表示点E 的横坐标为______（直接填空）；①当矩形EFGH 为正方形时，求点G 的坐标；①连接AD ，当EG 与AD 垂直时，直接写出点G 的坐标；(3)过顶点D 作DM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP AD ⊥于点P ，直接写出DFP △与DAM △相似时点F 的坐标．12．如图．在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上，连接OD 、BD 、①BOD 的外心I 在中线BF 上，BF 与AD 交于点E ．（1）求证：①OAD①①EAB ；（2）求过点O 、E 、B 的抛物线所表示的二次函数解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P ，其关于直线BF 的对称点在x 轴上？若有，求出点P 的坐标； （4）连接OE ，若点M 是直线BF 上的一动点，且①BMD 与①OED 相似，求点M 的坐标．13．在平面直角坐标系中，已知抛物线()2803y ax x c a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点B ，与y 轴交于点()0,4C -．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作PD x ⊥轴，垂足为D ，连接PC ．①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；①直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E '落在y 轴上时，请直接写出四边形PECE '的周长．14．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y x c =-+与y 轴交于点()0,4P ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线2y x c =-+向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q ，平移后的抛物线与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．判断以,,B C Q 三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．(3)直线BC 与抛物线2y x c =-+交于,M N 两点（点N 在点M 的右侧），当x 轴上存在一点T ，能使以,,B N T 三点为顶点的三角形与ABC 相似时，请直接写出点T 的坐标．15．已知抛物线()230y ax ax c a =-+≠与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点C 是直线()0y x b b =+>上的一个动点．(1)求该抛物线的对称轴．(2)若点C 是抛物线的顶点，且34c b -=，求a ． (3)已知0c ，a 为大于0的常数，抛物线上有两点M 、N ，且90MBN ∠=︒，连接MN 交y 轴于点Q ，点Q 的位置是否发生变化，若不变，请求出Q 点坐标；若变化，请说明理由．参考答案：1．(1)2142y x x =+- (2)3 (3)()22--，或()13，--2．（1）233384y x x =--；（2）①33()4Q t t -+，；①当点Р在线段AO 上运动，且满足PQ MQ =时，t 的值是2；（3）存在．1t =时91,4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；207t =时206,77Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3．（1）y ＝x 2﹣1；（2）d ﹣t ＝34；（3）mn ＝﹣1 4．(1)223y x x =+- () 2E ，5(2)() 0，5或() 0，75．(1)2215y x x =--+(2)相离(3)P 425,39⎛⎫ ⎪⎝⎭6．（1；（2）()0,?2S m m m =>≠；（3）①34；①21k m 4=．7．（1）证明略；（2）当x =4时，四边形PGDE 是菱形；（3）①不变化，HF ①当154x =或203x =时，①PHF 与①BAE 相似8．（1）2142y x x =-+（2）P 点坐标（﹣5，﹣72），Q 点坐标（3，﹣72）（3）M 点的坐标为（﹣83，43），（﹣3，1）9．(1)98c <； (2)213222y x x =--； (3)是定值，-2．10．(1)抛物线解析式为2410233y x x =--，直线BC 解析式为223y x =-(2)32或92(3)存在，51,23⎛⎫- ⎪⎝⎭或1113,812⎛⎫- ⎪⎝⎭11．(1)点D 的坐标为()1,4；(2)①2m -；①()5,0；①G 117+，0）； (3)F 点坐标为（73，209）12．解：（1）11 （2） 22y 2x =（3） P （2，0） 222 （4） M （2-2，（12﹣1） 13．(1)248433y x x =+- (2)①1377,816P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①353或85314．(1)抛物线的解析式为24y x =-+(2)BCQ △是直角三角形(3)点T 的坐标125T ⎫+⎪⎝⎭或335⎫+⎪⎝⎭15．(1)抛物线的对称轴为直线32x =； (2)13a =-(3)点Q 的坐标不变，为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭。
九年级数学二次函数与相似月考题
AE CBD第26、27章综合练习题一、选择题：1．下列函数是二次函数的是（ ）A ．21xy -= B ．12++=xz x y C ．0122=-+y x D ．y x xy -=22．若12)1(+-=m xm y 是二次函数，则m 的值为（ ）A ．0 B ．-1 C ．-1或2 D ．2 3.如图AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）A 、 1对B 、 2对 C 、 3对 D 、 4对4．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点（a+b, ac ）在平面直角坐标中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 如图示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A 、 CEBCDF AD = B 、AD DF CE BC = C 、 BEBCEF CD =D 、AFADEF CD =6．函数y=x 2-1的图象与坐标轴交点的个数为（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．二次函数21222y x x =--的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________． 8.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )9、．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ）A ．2)1(-=x y B.2)1(2--=x y C.1)1(2++=x y D ．2)1(2-+=x y10.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b 和二次函数y=ax 2+bx 的图象可能为( )二、填空题：11．已知函数 y =(m +3)24m m x +-，当m=_______时，它的图象是一条抛物线，且当x=_____时，函数y 有最_______值.12、请选择一组你喜欢的a b c ，，的值，使二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当2x <时，y 随x 的增大而增大；当2x >时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是 _____________． 13、若二次函数2223m m x mx y -+-=的图象经过原点，则m ＝_________； 14．二次函数212y x =的图象向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________．15、在比例尺1∶1000的地图上，1cm 2所表示的实际面积是_____m ． 16．抛物线y ＝2x 2+4x+5的对称轴是_________．17．如图，D ，E 两点分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE 与BC 不平行，当满足__________条件(写出一个即可)时ADE ACB △∽△．18．若3232=--x y y x ，那么x y 为_________19、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是 米.20. 如图所示，把△ABC 沿AB 平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若2AB =，则此三角形移动的距离AA'是三、解答题:21．如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ．(1)求证：△ADE ∽△BEF ；AB C第5第3题ABCD EO(2)设正方形的边长为4， AE = x ，BF = y ．当x 取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值．22．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 上的点O 为圆心，OB 的长为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．（1）求证：BC ＝CD ；（2）求证：∠ADE ＝∠ABD ；（3）设AD ＝2，AE ＝1，求⊙O 直径的长．23．工艺商场按标价200元销售某种进价为155元的工艺品，每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?24、在∆ABC 中，AB=8cm,BC=16cm,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以4cm/秒的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经几秒钟∆BPQ 与∆BAC 相似？25．如图，某工厂的大门是一条抛物线型水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面3米高各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离为6米, (1)求大门的高度(2)若有一辆高为4米,宽为4米的车子能否通过大门,若能,请说明理由26．如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(5，0)两点， 与y 轴交于点B(0，5)． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求三角形EDB 的面积．。
九年级数学上册(二次函数相似锐角函数解直角三角形)练习卷 试题
轧东卡州北占业市传业学校县三仙坳初级九年级数学上册<二次函数+相似+锐角函数+解直角三角形>练习卷 教一、填空题1．分别用定长为L 的线段围成矩形和圆,_________的面积大。
2．矩形的周长为36cm ，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽分别为_______时圆柱的侧面积最大。
3．在周长为定值p 的扇形中，半径是 时扇形的面积最大。
4．在菱形ABCD 中，∠A=30，假设菱形边长xcm ，菱形面积ycm 2那么y 与x 的关系是_________.二、解答题5. 某环保器材公司销售一种场需求较大的新型产品，每件产品的进价为40元，经销过程中测出销售量y 〔万件〕与销售单价x 〔元〕存在如下列图的一次函数关系，每年销售该种产品的总开支z 〔万元〕〔不含进价〕与年销售量y 〔万件〕存在函数关系1042.5z y =+．〔1〕求y 关于x 的函数关系式；〔2〕试写出该公司销售该种产品年获利w 〔万元〕关于销售单价x 〔元〕的函数关系式；〔年获利=年销售总金额-年销售产品的总进价-年总开支金额〕当销售单价x 为何值时，年获利最大？最大值是多少？〔3〕假设公司希望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元，请你利用〔2〕小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围．在此条件下要使产品的销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？6．某企业信息部进行场调研发现： 么所获利润A y 〔万元〕与信息一：如果单独HYA 种产品，那HY 金额x 〔万元〕之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当HY5万元时，可获利润2万元． 信息二：如果单独HY B 种产品，那么所获利润B y 〔万元〕与HY 金额x 〔万元〕之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当HY2万元时，可获利润万元；当HY4万元时，可获利润万元．〔1〕请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； 〔2〕如果企业同时对A B ，两种产品共HY10万元，请你设计一个能获得最大利润的HY 方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？7.光明公司生产某种产品,每件本钱是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x( 万元)时,产品的年销售量是原销售量的y 倍,且y=277101010x x -++. 如果把利润看作是销售总额减去本钱和广告费:(1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大?最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金HY 新工程,现有6个工程可供选择,各工程每股HY 金额和预计年收益如下表:工程 A B C D E F 每股(万元) 5 2 6 4 6 8 收益(万元)0.550.40.60.50.91如果每个工程只能投一股,且要求所有HY 工程的收益总额不得低于1.6万元, 问有几种符合要求的方式?写出每种HY 方式所选的工程.8． 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度20AB =米，顶点M 距水面6米〔即6MO =米〕，小孔顶点N 距水面4.5米〔即 4.5NC =米〕．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF ．9．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s•的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、CEMF NCB DOA y x正常水两点后就停止移动．〔1〕设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积是Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；〔2〕t为何值时，S最小？最小值是多少？相似三角形的判定练习一、知识回忆：两个三角形相似的判定方法有哪些?归纳:1、如果____________________________________，那么它们相似。
最新九年级中考数学复习：二次函数综合题(相似三角形问题)专题训练
2023年九年级中考数学复习：二次函数综合题（相似三角形问题）专题训练1．已知抛物线2y x =．(1)如图1，抛物线2y x =与直线=2+3y x -交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．①求A 、B 的坐标；①点E 在直线=69y x --上，且在第四象限，过E 点作ED ①x 轴交抛物线于D 点，交AB 于C 点，连接BD ，过E 点作EF BD ∥交AB 于F ，求CF 的长．(2)如图2，直线3y kx =+交抛物线于P 、F 两点，EF x ∥轴，连接PE ，求证：直线PE 过定点．2．如图，直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把AOB ∆沿y 轴对折，点A 落到点C 处，过点A 、B 的抛物线2y x bx c =-++与直线BC 交于点B 、D ．（1）求直线BD 和抛物线的解析式；（2）在直线BD 上方的抛物线上求一点E ，使BDE ∆面积最大，求出点E 坐标；（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M ，作MN 垂直于x 轴，垂足为点N ，使得以M 、O 、N 为项点的三角形与BOC ∆相似？若存在，求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线行2y x bx c =-++经过点() 10A -，和点4(0)C ，，交x 轴正半轴于点B ，连接AC ，点E 是线段OB 上动点(不与点O B ，重合)，以OE 为边在x 轴上方作正方形OEFG ，接FB ，将线段FB 绕点F 逆时针旋转90°，得到线段FP ，过点P 作//PH y 轴，PH 交抛物线于点H ，设点()0E a ，．（1）求抛物线的解析式；（2）若AOC ∆与FEB ∆相似求a 的值；（3）当2PH =时，求点P 的坐标．4．如图，抛物线2y 2ax x c =++经过(1,0)A -，B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C ，抛物线与直线1y x =--交于A ，E 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q ，使得AQE ∆是以AE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）P 点在x 轴上且位于点B 的左侧，若以P ，B ，C 为顶点的三角形与ABE ∆相似，求点P 的坐标．5．如图①，在平面直角坐标系中，Rt AOB ∆的顶点(),2,4A B 在抛物线2y x bx c =-++上，90AOB ∠=︒，tan 2BAO ∠=.（1）求抛物线的表达式；（2）动点C 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，过点C 作//CD x 轴交OB 于点D ，当15CD AB =时，求出运动时间t 的值； （3）如图2，过点C 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，连接MA 、MB ，求四边形OAMB 的面积的最大值，并求出面积最大时点M 的坐标.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ①OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果①P AB ＝45°．求证：①PQA ①①ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．7．如图，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于1,0A ，C 两点，与y 轴交于点()0,3B ，点D 在y 轴正半轴上，且OD OA =，连接CD 并延长交抛物线于点E ，连接BE ，BC ．（1）求抛物线的解析式及点E 的坐标；（2）点P 是线段BC 上方抛物线上一动点，当75PBC ∠=︒时，求点P 的坐标；（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点()1,Q t -是对称轴上一点，若以点Q ，O ，F 为顶点的三角形与BDE ∆相似，求t 的值.8．如图，二次函数 y = ax 2- 2ax + c (a < 0) 与 x 轴交于 A 、C 两点，与 y 轴交于点 B ，P 为抛物线的顶点，连接 AB ，已知 OA ：OC =1:3．（1）求 A 、C 两点坐标；（2）过点 B 作//BD x 轴交抛物线于 D ，过点 P 作 //PE AB 交 x 轴于 E ，连接 DE ，①求 E 坐标；①若 tan ①PED =25，求抛物线的解析式．9．如图，已知直线y ＝﹣12x +2与x 轴，y 轴交于B ，A 两点，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）点P 为线段OB 上一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点N ，交直线AB 于点M ． ①点C 是直线AB 上方抛物线上一点，当△MNC ①①BPM 相似时，求出点C 的坐标．①若①NAB ＝60°，求点P 的坐标．10．如图，抛物线212y x mx n =++与直线132y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知(0,3)A ，(3,0)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为项点的三角形与ACB∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA A后停止，当点E的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？11．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A(0，4)，交x轴于点B(4，0)，点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP．(1)求抛物线的函数表达式和点C的坐标；(2)若①AQP①①AOC，求点P的横坐标；(3)如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将①APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标．12．综合与探究：已知二次函数y＝﹣12x2+32x+2的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）求证：△ABC为直角三角形；（3）如图，动点E ，F 同时从点A 出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F AC 方向运动．当点F 停止运动时，点E 随之停止运动．设运动时间为t 秒，连结EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．当点F 在AC 上时，是否存在某一时刻t ，使得△DCO ①①BCO ？（点D 不与点B 重合）若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接P A 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．已知顶点P 的坐标为（-3，-4），线段PC 之长为(1)求二次函数解析式。
中考数学总复习《二次函数与相似三角形》专项测试题
中考数学总复习《二次函数与相似三角形》专项测试题1．如图所示，已知以M 为顶点的抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)连接AC ，在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若ABD ACO ∠=∠，求点D 的坐标；(3)若点P 为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P 作PQ BC ⊥，求PQ 的最大值；(4)在x 轴上是否存在一点N ，使得以A ，C ，N 为顶点的三角形与BCM 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，经过原点的抛物线的顶点是()1,1-，与x 轴交于另一点A ，与直线4y x =+交于点B 和C （B 在左侧），点P 是直线BC 下方抛物线上不与O ，A 重合的一动点，过点P 作BC 的平行线交x 轴于点Q ，设点P 的横坐标为m ．(1)请直接写出解析式和点A ，B ，C 的坐标；(2)如图，若抛物线的对称轴为直线l ，点P 在直线l 的右侧，PQ 与直线l 交于点M ，当M 为PQ 的中点时，求m 的值；(3)线段PQ 的长记为d ．①求d 关于m 的函数解析式；①若2d ≥d 关于m 的函数图象，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线2134y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A ，D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为()4,3-．(1)请直接写出A ，B 两点的坐标及直线l 的函数表达式；(2)若点P 是抛物线上的点，点P 的横坐标为()0m m ≥，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，PM 与直线l 交于点N ．当PN MN =时，求点P 的坐标；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线F ：2y x bx c =-++经过点(3,1)A --，与y 轴交于点(02)B ，．(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AB 上方抛物线上有一动点C ，连接OC 交AB 于点D ，求CD OD 的最大值及此时点C 的坐标． 5．如图，抛物线21382y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ，连接AC BC BC ，，与抛物线的对称轴交于点E ．(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)若点P 是第四象限内抛物线上一动点，当三角形PAB 的面积为60时，求点P 的坐标．(3)若点Q 是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线ED 上是否存在一点H ，使以H ，Q ，E 为顶点的三角形与BOC 相似．若存在，直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．6．综合探究如图（1）所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B ，C ，D 在二次函数²y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上，且AD y ⊥轴，BC 与y 轴交于点E 23BC =(1)求AE 的长．(2)求a 的值．(3)如图（2）所示，F 是射线BA 上的一动点，点C ，D 同时绕点F 按逆时针方向旋转90︒得点C D ''，，当AC D ''△是直角三角形时，求BF 的长．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，()2,0B 和()0,2C ，连接BC ，()(),0P m n m >为抛物线上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图1，连接CP CN ，，当CPN △是直角三角形时，求m 的值；(3)如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m 的值；(4)点P 在第一象限内运动过程中，若在y 轴上存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以B ，C ，N 为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应），请直接写出m 的值．8．如图，抛物线23y ax bx =--与x 轴交于A ，B 两点，且3OB OA =，与y 轴交于点C ，连接AC ，抛物线对称轴为直线=1x -，D 为第三象限内抛物线上一动点，过点D 作DE OB ⊥于点E ，与BC 交于点F ，设点D 的横坐标为m ．(1)求抛物线的表达式；(2)当线段DF 的长度最大时，求D 点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与AOC △相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线22y ax x c =-+（a 、c 为常数，0a ≠）与x 轴交于A 、()2,0B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，OA=4，连接AC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 是抛物线第二象限上的动点，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交线段AC 于点F ，连接CD ，若AEF △与CDF 相似（含全等），求点D 的坐标．10．如图，已知抛物线2()20y ax x c a =++≠，与x 轴交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC 、PB 、BC ，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PBC △是以点C 为直角顶点的直角三角形；(3)如图2，过抛物线顶点E 作EF x ⊥轴于F ，若(,0)M m 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若90MNC ∠=︒，请求出实数m 的取值范围．11．综合与探究如图，抛物线21382y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴交于点E ．(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)若点P 是第四象限内抛物线上一动点，连接PB ，PC ，当35PBC ABC S S =时，求点P 的坐标．(3)若点Q 是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线ED 上是否存在一点H ，使以H ，Q ，E 为顶点的三角形与BOC 相似．若存在，直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ．已知()3,0A ，()0,3C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P ，使得以A D P 、、为顶点的三角形与OBC △相似，求出点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接MC ，MA ．设ACM △的面积为S ，试求S 的最大值．13．如图，直线1y x 42=-与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，经过点A ，B 的抛物线218y x bx c =-++与x 轴另一个交点为C ，连接BC ．平行于x 轴的动直线EF 从点B 开始，以每秒1个单位长度的速度向y 轴正方向平移，同时动点P 从点A 出发，在线段AO 上以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动．(1)求抛物线的表达式；(2)设点P 运动的时间为t 秒，是否存在某一时刻，使APF 与ABC 相似？若存在，试求出t 值；若不存在，简述你的理由；(3)点D 在直线1y x 42=-上，横坐标为11，M 为x 轴上一动点，N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，简述理由．14．已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线=-3y x +与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =-++经过B 、C 两点，与x 轴的另一交点为点A ．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点D 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接AC CD 、，设直线BC 交线段AD 于点E ，CDE 的面积为1S ACE ，的面积为2S ，当12S S 最大值时，求点D 的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，连接CD BD 、，将BCD △沿BC 翻折，得到BCF （点D 和点F 为对应点），直线BF 交y 轴于点P ，点S 为BC 中点，连接PS ，过点S 作SP 的垂线交x 轴于点R ，在对称轴TH 上有一点Q ，使得PQB △是以PB 为直角边的直角三角形，求直线RQ 的解析式．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数24y ax bx =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()20-，，点B 的坐标为()80，．(1)求此二次函数的解析式；(2)动点D从点C5CB上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，连接CE和OD，若OCD与CDE的面积相等，求t的值．(3)点D在直线CB上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由．。
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初三月考试题（二次函数，相似形）
一：选择（本大题共10个小题，满分20分。
）
1.抛物线y=x2向上平移两个单位后，抛物线的解析式变化为（）
A y=x2-2
B y=(x-2) 2
C y=x2+2
D y=(x+2) 2
2.已知点（1，2）在抛物线y=ax 2+b上，则下列各点也在此抛物线上的点是( )
A(2,1) B (-1,2) C (1,-2) D (-2,1)
3.把y=
2
1
x2-2x+１写成y=a(x-h)2+k的形式是（）
Ａy=
2
1
(x-2)2-1Ｂy=
2
1
(x-1)2+2Ｃy=
2
1
(x-1)2+
2
1
Ｄy=
2
1
(x-2)2-3
4.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-2，且它与x 轴的一个交点是（-3，0）则它与x
轴的另一个交点是（）
Ａ（-4，0）Ｂ（-1，0）Ｃ（1，0）Ｄ（0，0）
5.抛物线y=ax2+c与直线y=ax+c中同一坐标系中的图象是（）
A B C D
6.有长24cm的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的
宽为xcm面积是s, 则s与x的关系式是（）
A s= -3x2+24x
B s= -2x2+24x
C s=-3x2-24x
D s= -2x2+24x
7.如图，ＡＢ是斜靠在墙壁是的长梯，梯脚Ｂ距墙1.6m,梯上点Ｄ距墙1.4m
0.55m,则梯子的长是（）m.。
Ａ 3.85Ｂ 4.00Ｃ 4.40 Ｄ 4.50
8.如图，ＤＥ∥ＢＣ，Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ四边形ＢＣＤＥ，则ＡＤ∶ＢＤ的值是（）
Ａ 1 Ｂ
2
2
Ｃ2+1 Ｄ2-1
9.如图，在正方形网格上有6个斜三角形，
○1△ＡＢＣ○2△ＢＣＤ○3△ＢＤＥ○4△ＢＦＧ○5△ＦＧＨ
○6△ＥＦＨ，其中，○2-○6中与○1△ＡＢＣ相似的是
（）
Ａ○2○3○4Ｂ○3○4○5Ｃ○4○5○5Ｄ○2○3○6
10.△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＢＣ>ＡＣ，Ｄ是ＡＣ的中点，过点Ｄ做直线l,使截得的
三角形与原三角形相似，这样的直线L有（）条。
Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 4 。
二：填空（本大题共8个小题，满分24分）
11.抛物线y=2x2+4x-6与x轴的交点坐标是，
与y 轴的交点坐标是。
12.抛物线y=x2-2bx+4的顶点在x上，则b的值是。
13. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的
一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为
米。
14.某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，每月可售出500
个。
根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果售价提高x元，
那么每月可获利元（用含有x的式子表示）
15.两个位似图形的对应边的比是2∶3，则位似中心到这两个位似图形一组对应
边的距离的比是。
16.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，点Ｄ在ＡＣ上，（Ｄ不与ＡＣ重合），若再增加
一个条件就能使△ＡＢＤ∽△ＡＣＢ，则这个条件可以是。
17. 已知抛物线y=-2(x-3)2，抛物线的位置不动，将x轴向上平移２个单位，将
y轴向左平移３个单位，在新坐标系中，原抛物线的解析式
为。
18.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝24，ＡＣ＝18，Ｄ是ＡＣ上一点，ＡＤ＝１２，在ＡＢ
上取一点Ｅ，使Ａ、Ｄ、Ｅ三点组成的三角形与△ＡＢＣ相似，那么ＡＥ的长
是。
学
校
班
级
考
场
考
号
密
封
线
内
不
得
答
题
三．本大题共76分。
19．小王用下面的方法来测量某发射塔的高度，如图，在地面上放一面镜子，她刚好从镜子里面看到塔的顶端，她的眼睛离地面的距离ＡＢ是1.25米，他与镜子的距离是1.50米，与塔底部的距离是181.5米，求塔高。
20.小杰和小华分别叙述了某抛物线的特征。
（1）小杰：抛物线与x轴只有一个交点。
（2）小华：抛物线过点（2，3）和（3，12）
你能求出该抛物线的解析式吗？21.一块等腰直角三角形的废料如图，ＡＣ＝ＢＣ＝８cm, ∠C=90º,用这块废料剪出一个矩形ＣＤＥＦ，其中点ＤＥＦ分别在ＡＣ、ＡＢ、ＢＣ、上，要使剪出的矩形的面积最大，点Ｅ应在何处？
22.观察下面由火柴搭成的几何图案和对应的火柴根数。
每边上的火柴根数图形每个图形的火柴棒总数
1
4
2 12
3
24
440
（1）当每边上的火柴数为5根时，火柴总数是。
（2）用n表示各个图形中边上的火柴数，s表示每个图形的火柴总数，s与n的关系式是什么？
23.在一次篮球比赛中，队员大风正在投篮，已知球出时离地面高
9
20米，与篮
圈的中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时达到最大高度为4米，设篮球的运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米。
（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否投中？
（2）若此时对方队员正好在大风前面的1米处跳起封盖，已知该队员的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
24.如图，平等四边行ＡＢＣＤ中，E 是ＡＤ上一点，连接ＣＥ交ＢＤ与Ｆ。
（1）当Ｅ是ＡＤ中点时，求出BCD
DEF S S 的值。
（2）当DE=
3
1ＡＤ时，
BCD
DEF S S = .
当DE=
4
1ＡＤ时，
BCD
DEF S S = .
（3）当DE=n
1ＡＤ时，求出
BCD
DEF S S 的值。
学校 班级 考场 考号
密 封 线 内 不 得 答 题
25.有一种葡萄，从树上摘下来以后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质。
设保鲜期内的个体重量基本保持不变，现有经营者，按市场价收购了这种葡萄２00千克，如果市场价此时是每千克2元，据估计，此后每天每千克葡萄价格会上涨0.2元，但存放一天需要各种费用20元，平均每天还有一千克变质丢弃。
（1）设x天后每千克葡萄的价格为p元，写出p与x之间的函数关系式。
（2）若存放x天后将葡萄一次性售出，设销售总金额为y元，写出y与x之间的函数关系式。
（3）该经营者将这批葡萄存放多少天后售出，可以获得最大利润，最大利润是多少？
26.矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２厘米，ＢＣ＝６厘米，点Ｐ沿ＡＢ边从点Ａ开始向Ｂ以2厘米/秒的移动，点Ｑ沿ＤＡ边从点Ｄ开始向Ａ以2厘米/秒的移动，如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t表示运动时间（0≤t≤6秒）
（1）当t为何值时，△ＰＡＱ是等腰直角三角形。
（2）求四边形ＱＡＰＣ的面积。
（3）当t为何值时，以ＱＡＰ三点为顶点的三角形和△ＡＢＣ相似。