[农学]第22章 一元二次方程
第二十二章一元二次方程
（ 2）
x2 x1 x1 x2
（5）
x2 x1 x1 x2
（6） x1 x 2 2
（3）
1 1 x1 x 2
（4） x1
1 x2
1 x2 x 1
3.已知方程 5 x 2 kx 6 0 的一个根是 2，求它的另一个根 和 k 的值
典型例题 例 3、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边 跟踪训练 ，另三边用木栏围成，木栏长 35m。①鸡 1. 我市某企业为节约用水，自建污水净化站.7 月份净化污 靠墙（墙长 18m） 场的面积能达到 150m2 吗？②鸡场的面积能达到 180m2 水 3000 吨，9 月份增加到 3630 吨，求这两个月净化污水 吗？ 如果能， 请你给出设计方案； 如果不能， 请说明理由。 量的平均每月增长的百分率.
（4） x 2 7 x 2 0
- 10 -
跟踪训练
用配方法解下列方程： （1） x 2 4 x 2 （2） x 2 8 x 1 0
例 3.用配方法解下列方程： （1）2x2－8x+1=0 （2）3x +6x =2
2
（3） 2 x 2 6 x 2 0 （3） x 2 3x 4 （4） x 2 5 x 6 0
2.某钢铁厂今年 1 月份钢产量为 4 万吨，第一季度共生产 钢 13.24 万吨,问 2、3 月份平均每月的增长率是多少?
跟踪训练
要建成一面积为 130 ㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽 16 m ） ，并在与墙平行的一边开一个宽 1 m 的门，现有能 围成 32 m 的木板。求仓库的长与宽各是多少？ 3．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价 格．•某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
第二十二章一元二次方程单元知识结构图
第二十二章 一元二次方程小结与复习（分3课时完成）一、知识结构二、知识点归纳1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；（•4）•求根公式法，•求根公式是3．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．4.一元二次方程的根与系数的关系：（根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么： 结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ． 5.一元二次方程应用题．三、典型习题(一)一元二次方程概念1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．方程2x 2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）．A ．2，3，-6B ．2，-3，18C ．2，-3，6D ．2，3，6 3．方程x （x-1）=2的两根为（ ）．acx x a b x x =⋅-=+2121,5xA ．x 1=0，x 2=1B ．x 1=0，x 2=-1C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=-1，x 2=2 4．已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0），则（ ）． A ．1B ．-1C ．0D ．25．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 6．一元二次方程的一般形式是 ．7．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________． 8．已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．9．a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）x-（x+1）是一元二次方程？10．关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？11．如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．（二）解一元二次方程的方法：1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）．A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-3 2．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-11 3．方程x 2+4x-5=0的解是________．4．代数式的值为0，则x 的值为________． 5．无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数． 6．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．7．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 8．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．9．已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实数，则p 与q 的关系是________．10．已知b ≠0，不解方程，试判定关于x 的一元二次方程x 2-（2a+b ）x+（a+ab-2b 2）•=0的根的情况是________． 11．如果x 2-4x+y 2+13=0，则（xy ）z •=2221x x x ---12.某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元一次方程m 是否存在？若存在，请求出．13.用直接开平方法解下列方程（1）3x 2+9=0 （2）8x 2-16=0 （3）（x-）2=2（x-3）2=7214．用配方法解下列方程 （1）x 2-8x+1=0 （2）x 2-2x-=0 （3）9y 2-18y-4=0 （4）x 215.用公式法解下列方程．（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5=-3x (3) x 2x+=0 （4）4x 2-3x+2=016．用因式分解法解下列方程．（1）3y 2-6y=0 （2）25y 2-16=0 （3）x 2-12x-28=0 （4）x 2-12x+35=017.不解方程，判定方程根的情况（1）16x 2+8x=-3 （2）9x 2+6x+1=0 （3）2x 2-9x+8=0 （4）x 2-7x-18=0 18.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：22m x+13891212013)1(2=--x x 0532)2(2=-+x x 02231)3(=-x x。
第22章一元二次方程
22.1 一元二次方程一、知识点总结1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的一般形式3、一元二次方程的解（根）二、题型总结题型一：一元二次方程的概念问题1、下列方程中，一元二次方程共有（）．①②③④⑤A．2个B．3个C．4个D．52、下列方程中是关于x的一元二次方程的是…………………………（）A．B．C． D.3、下列方程中，是一元二次方程的是（）．A．B．C．D．4、若5x2=6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是A、5，6，－8B、5，－6，－8C、5，－6，8D、6，5，－85、一元二次方程3x2-4x=5的二次项系数是（）A．3 B．-4 C．5 D．-56、若方程是关于的一元二次方程，则m的值为（）A．±3 B．3 C．-3 D．以上都不对7、若关于x的一元二次方程的常数项是0，则m的值是（）A．1 B．2 C．1或2 D．08、一元二次方程的二次项系数是一次项系数是常数项是10、关于x的方程(a＋1)＋x－5＝0是一元二次方程，则a＝_______．11、把一元二次方程(x+1)2-x=3(x2-2)化成一般式是______________．12、一元二次方程3x(x+1)－2x2+1的一般形式是___________________．13、一元二次方程2x2-3=5x的二次项系数是______、一次项系数是______、常数项是______.14、方程的一般形式是.15、把一元二次方程化简为一般形式是.16、若方程（m－2）x m2－5m+8+(m+3)x+5=0是一元二次方程，求m的值17、已知关于x的方程．当m为何值时，该方程是一元二次方程?18、已知关于x的方程（1）当a为何值时，方程是一元二次方程；（2）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值．题型二：一元二次方程的解（根）1、若x=2是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（）A．6 B．5 C．2D．-62、如果x＝4是一元二次方程的一个根，那么常数a的值是（）．A.2B.－2C.±2D.±43、已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（）A．1 B．C．2 D．4、若x=-1是关于x的方程的一个实数根，则a的值为( )A．0 B．-2 C．1 D．-2或15、关于的一元二次方程有一个根是0，则值为（）A．1 B．C．1或D．6、已知关于x的方程的一个根是1，则k= ．7、若方程的一个根，则=8、已知一元二次方程的一根为1，则a-b的值是_____.9、已知a是方程x－2x－1＝0的一个根，则a-2a＋3的值是；10、若是方程的一个根，则=________．题型三：利用一元二次方程巧求代数式的值1、已知ｍ是方程ｘ2－ｘ－１＝０的一个根，则代数ｍ2－ｍ的值等于（）A、１B、－１C、0D、22、已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( )A．－１B．0 C．1 D．23、若关于的一元二次方程为,那么的值是（）A.4B.5C.8D.104、在方程中，若有，则方程必有一根为( )。
第二十二章一元二次方程
一、知识性专题 专题1一元二次方程的定义【专题解读】 涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为 题目中的隐含条件. 例1已知（m — 1） x|m|+1+3x — 2= 0是关于X 的一元二次方程，求 m 的值.专题2 一元二次方程的解法【专题解读】 解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配 方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法 例2用配方法解一元二次方程 2X 2+I = 3 X.【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方.例3 一元二次方程3X 2— x = 0的解是（）11C. X 1 = 0, X 2 = —D. x= —33【解题策略】 方程易转化为两个一次式乘积为 0的形式，可采用因式分解法来解方程 2 例4解方程X 2— 2x — 2= 0.分析结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解 .【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法 .专题3与方程的根有关的问题【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式 相联系的问题. 例5关于X 的一元二次方程（k — 2）X 2 + X + k 2— 4= 0的一个根是0,贝U k 的值为例6如果关于X 的一兀二次方程X + px + q = 0的两根分别为X i = 2, X 2= 1,那么P , q 的值分别是 ________ •例7若a 是关于X 的方程x 2+bx+a = 0的根，且a 工0,则由此可得求得下列代数式的值恒为 常数的是（）例9已知关于X 的一元二次方程X 2+ （2nr — l ）x + m = 0有两个实数根X I 和X 2.（ 1） 求实数m 的取值范围；（2）当^1^2= 0时，求m 的值.0，不要忽略某些 B.X 1 = 0, X 2= 3 A.x = 0A. ab.例8若一元二次方程 bB.-ax 2—(a + 2) x + 2a = 0的两个实数根分别是3, b ,则a + b C.a+b D. a 一 b.专题6 一元二次方程根的判别式 例10关于x 的一元二次方程一X 2+ (2m ^ 1) x + 1 — m = 0无实数根，则m 的取值范围是 _________ .二、规律方法专题专题7 一元二次方程的解法技巧【专题解读】 除了常见的几种一元二次方程的解法外， 对于特殊类型的方程， 可采用特殊的 方法.1.换元法例 11 如果(2m+2n+1) (2m+2n — 1 )= 63,那么 m+n 的值是 ______________ . 例 12 解方程(X+2) (X+3) (X — 4) (X — 5)= 44.分析 解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程 本题是一个一元四次方程， 我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解(方程的右边为0).先用配方法说明：无论 X 取何值，代数式 X 2— 6X+10的值部大于0;再求出当X 取何 代数式X 2— 6X+10的值最小，最小值是多少.例14 A. — 1 中考真题精选 一、 选择题1. 关于X 的一元二次方程 A 、一 1 若实数 m , n , p 满足 m — n = 8, mn+p 2+16= 0，则 m+ n+p 的值为( )B. 0C.1D.2B、 2. 若一元二次方程式 + 4b|之值为何( A . 2 B . ax ) 5 2 (a — 1) X +x + |a|— 1= 0的一个根是0，则实数a 的值为()C 、1D 、— 1 或 1 (x + 1 ) + (x + 1) (x +2)+ bx (x + 2)= 2 的两根为 0. 2，则 |3aC . 7D . 8 X 2 + 5x=0的较大根，b 是X 2-3X + 2=0较小根，那么a + b ( )3. 设a 是一元二次方程 的值是 (A ) -4 ( B ) -3 (C ) 14. 关于X 的方程a(x+ m)2+b=0的解是X 1= — 2, 程 a(x+m+2)2 +b=0 的解是 ___________________ . 25. 已知1是关于X 的一元二次方程(m - 1) X +x+1=0的一个根，则 m 的值是( A 、1B 、- 1C 、0D 、无法确定 6.下列方程中是关于 X 的一元二次方程的是()21 A . X +右=0 B .X二、 填空题1.已知关于X 的方程(D )2 X 2=1 (a , m , b 均为常数，aM 0),则方 2 2 2ax +bx + c = 0C . (xT)(x +2)=1 D . 3x -2xy-5y =02X +mx - 6=0的一个根为 2，则m= ______ ，另一个根是2.配方法 例13 值时，2 22.方程x -3x-6=0与方程x -6x + 3 = 0的所有根的乘积是 23. 一元二次方程 X +5x+6=0的根是 综合验收评估测试一、选择题 1. 将方程3x （ x+2） — 4x+6=6x 2+4化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数和一次系数 分别为（ ） A. 一 3, 一 6 2. 方程 2x （x — 3）=5 5 A. X =— 2 B.3 ，6 （X — 3）的根是（ C.3 D.3 5 C. X"! =3,卷=— 12 3. 若关于x 的一元二次方程kx 2— 2x — 1=0有两个不相等的实数根， A.kv — 1 B.k>— 1,且 kM0 C. k< 1 D. 4. 右 B x=3 5 D.为=——,X 2 = —3 2 2k 的取值范围是（）k < 1,且 kM 02元二次方程 ax +bx+c=0（a 丰0）中的a+b+c=0，则该方程必有一根为（ ） C. — 1 D. ± 1 A.0 B.1 5. 下列方程没有实数根的是（ ） 2 2 2 A.4 （x +2） =3x B.5（x — 1） — x=0 C.x — x=100 6. 若代数式x 2+8x+m 是一个完全平方式，则 m 的值为（ A.4 B. — 4 C.16 7. 三角形两边的长分别是 8和6,第三边的长是一元二次方程 则该三角形的面积是（ ） A.24 B.24 或 8^5C.482D.9x 2— 24x+16=0 D. —16 x 2— 16x+60=0的一个实数根, D. 8/58.实数b ±J b2-4ac 是方程2a 的根（A ） ax 2 +bx +c = 0 （B ） ax 2 -bx+c = 0 （C ） ax 29..已知acv 0，则方程ax 2— bx+c=0的根的情况是（ A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 10.若x 2+ 6x + m 是一个完全平方式，则 m 的值是（ 2 -bx-c = 0 (D ) ax +bx-c = 0 ) C.没有实数根D.只有一个实数根A . 3B . — 3C . ± 3 二、填空题 11. ____________________________ 方程x 2—2x — 3=0的根是 _____________________ 2 212. __________ x +6x+ =（x+3）. 13. 已知方程mx 2— mx+2=0有两个相等的实数根，则 以上都不对 m 的值为 14.当 x= ___ 时，分式2 X +2x-3砧/古斗C---------- 的值为0.X-1cm 的直角三角形，则两直角边长分别15. 要用一条长 30 cm 的铁丝围成一个斜边长为 13为 __________ . 216. 若关于x 的一元二次方程 x+（k+3）x+k=0的一个根是—2,则另一个根是 2 2 17.两个不相等的实数 m,n 满足m -6m=4 ,n -6n=4，则mn 的值为三、解答题18.请用两种不同的方法解方程(X+3)( X+1) =2x+6.19.已知关于X 的一元二次方程ax 2+bx+ 1=0(aH0)有两个相等的实数根，求2X+(m — 2)x — m — 1=0 ,试说明无论 m 取何值，这个方程总有J a 2 -6a +9 +b +4 +(c-1)2 =0，求方程 ax 2+bx+c=0 的22.设Xi,X 2是关于X 的一元二次方程 x 2+px + q =0的两个根，为+1, x 2 +1是关于X 的一元二次方程X 2+qx + P =0的两个根，则p,q 的值分别等于多少?ab 2(a -2)2 +b 2 -4 的值。
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1）把方程化成二次项系数是1的形式
2）移项整理使方程左边仅有二次项和一次项，右边仅有 常数项。 3）配方：方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方。
4）再把方程左边化成完全平方式
5）最后用直接开平方法求方程的解。
h
12
例4：解方程22x2 -33x -110解方程：1 x222x -550
否为一元二次方程？如果不是，说明 理由；如果是，指出它的二次项、一
次项系数及常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8. 移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.
合并同类项，得 3x2-5x-12=0.
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３，
一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.
h
7
按照流程我们了解了一元二次方程的定义,下面来看看一元二次方程的解法
解：两边同除以 2 ，得：
x2 3x1 0
移项，得： x2 3 x 12 2
22
配方，得： x23x(3)21(3)2
2 42 4
解：移项，得： x22x5
配方，得：
x22x(2)25(2)2
2
2
即 (x2)22241(5)6
2
22
即 (x3)2(3)242(1)17
4
422 16
x22241( 5)6
一般形式 a x2 + b x + c = 0 (a ≠0)
二次项 一次项 常数项
二次项系数 一次项系数
当b≠0,c ≠0时， 方程ax2+b x+c=0 (a≠0)叫一般的～ 当b=0或c =0时，方程ax2+c=0 (a≠0)或ax2+b x=0都叫
特殊的～h .(～是一元二次方程)3
下面给出一些常见的一元二次方程
x2 5x150 x25x150 (x3)2 7 x26x20
3x25x0 1 x2 1 0
2 4x2 0
h
4
下面给出一些常见的方程,不是一元二次方程(一元二次方程是整式方程)
2 x2
5
3
（不是整式方程）
x x5
（不是整式方程）
x22y30（不是一元方程）
2xx32x21
去括2号 x2： 6x2x21
∴当b2-4ac≥0时,
x + =±
解得 x= - ±
即
x=
用求根公式解一元二次方程的h第三种方法叫做 公式法。 15
用公式法解一元二次方程的
求根公式 : X=
一般步骤：
(a≠0, b2-4ac≥0)
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
例5.用公式法解方程2x2+5x-3=02、求出b2-4ac的值。
用公式法解下列方程： 1、x2 +2x =5
（x1=-1+ ，x2=-1- ）
b2-4ac= 52-4×3×(-2)
= 49. 2、 6t2 -5 =13t
h
9
练习1：解下列方程 （1） 5x2-4=0 （2）-7x2+7=0
练习2：解下列方程
（1）（1-x）2=9
可以变成（x-1）2=9
（2）4（1+2hx）2-49=0
10
例 3 、 9 (2 x 3 )2 4 (2 x 5 )20
解： 9(2x3)24(2x5)2
[3(2x3)2][2(2x5)2]
解: a=2 b=5 c= -3 ∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
3、代入求根公式 : X=
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
h
16
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
3x2+5x-2=0 解：a= 3 ，b= 5 ，c = -2.
4. 用直接开平方法解方程（P2 4q0）
(x+ )2= h -q
14
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
解:把方程两边都除以 a,得x2 + x+ = 0
移项，得
x2 + x= -
配方，得 x2 + x+( )2 =- +( )2
即 ∵4a2＞0
( x + )2 =
2aa
13
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
注意:以下内容请不要当公式来背,可以多推导几次熟悉一下 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。 2.移项整理 得 x2+px=-q
3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。
x2+px+( )2 = 2( 1 )17
4
22
4
x22 24 1 ( 5 ) 16
2
2 1
2 2 1 -5 x3( 3)242( 1 )317
4
22
44 即
x2 2241(5)
即 x( -33)(- 33)242 2( -11)
21 1
22 2
一般式： a ax2b b xcc0h
xbb
b24aacc
合并同 类 6x项 1.：
h
5
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
ax2+bx+c=0
(a≠0)
特殊的
(a≠0, b≠0, c≠0)
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
一元二次方程 ax2+c=0 (a≠0,c≠0)
ax2=0 (a≠0)
h
6
例１、方程 3 x x 1 2 x 2 8是
一元二次方程的第一种解法:直接开方法
形如 ax2c0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
ax2 c.
x2 c .
a
当ac<0时 ， x
c. a
当ac＞0时 ，此h 方程无实数解. 8
例2：解方程 3x2-27=0
解：
移项，得 3x2=27 两边同除以3，得 x2=9 由平方根定义，得 x=±3 即原方程的根为x = 3或x = -3
授课人：张小龙 2008-10-11
h
1
一元二次方程的定义
我
们
直接开平方法
将
按 一元二次方程的解法 配方法
此 流
公式法
程
因式分解法
复
习 一
一元二次方程的根的判别式
元 二
一元二次方程的应用
一元二次方程的根与系数的关系
次
二次三项式的因式分解
方
程
列方程解应用题
h
2
一元二次方程
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高 次数是2的方程
直 3 (2x3 ) 2 (2x 5 )
接 3(2x3)2(2x5)
开
平 方 法
或3(2x3)2(2x5)
19 1
x1
2,xh 2
10
11
一元二次方程的第二种解法:配方法 1 ) 3 x 2 27 0 2 ) x 2 x 12 0 3) x2 2 x 5 0 4)2 x2 3x 1 0