第二届全国大学生数学竞赛数学类预赛试卷

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第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

⎧x − y = 0 x − 2 y −1 z − 3 （5）求直线 l1 : ⎨ 与直线 l2 : 的距离. = = 4 −2 −1 ⎩z = 0
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注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效 . 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记 . 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号 . 得分一、（本题共 5 小题，每小题各 5 分，共 25 分）计算下列各题（要求写出重要步骤）. （ 1）设 x n = (1 + a ) ⋅ (1 + a 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (1 + a 2 ), 其中 a < 1, 求 lim x n .
年级：
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得
分
三、（本题共 15 分）设函数
y = f ( x) 由参数方程
评阅人
2 ⎧ d2 y 3 ⎪ x = 2t + t , 其中ψ ( t ) 具有 (t > −1) 所确定，且 2 = ⎨ dx 4(t + 1) ⎪ ⎩ y = ψ (t )

第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）

22,x y +x x 2t te2111))[n n s s s s s14解：（简要过程）（简要过程）二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

的值。

将f(x)二阶泰勒展开二阶泰勒展开'''2()()(0)(0)2f f x f f x x x =++因为二阶倒数大于0，所以，所以lim ()x f x ®+¥=+¥，lim ()x f x ®-¥=-¥证明完成。

证明完成。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t y ì=+>-í=î所确定，其中()t y 具有二阶导数，曲线()y t y =与22132t u y e du e -=+ò在1t =出相切，求函数()t y 。

解：（这儿少了一个条件22d y dx = ）由()y t y =与22132t u y e du e-=+ò在1t =出相切得出相切得3(1)2ey =，'2(1)e y ='//()22dy dy dt dx dx dt t ty ==+ 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t y y ==++-=。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设10,,nn n k k a S a =>=å证明：证明：（1）当1a >时，级数1nn na S a +¥=å收敛；收敛；（2）当1a £且()ns n ®¥®¥时，级数1nn na S a +¥=å发散。

历届全国大学生数学竞赛预赛试题

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =____________.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. 二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A xx f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.五、（10分）已知xxe xe y 21+=，xxexe y -+=2，xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=L ，且neu n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（3）设0s >，求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==⎰L .（4）设函数()f t有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂.（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在一点0x ，使得0()0f x <.证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切，求函数()t ψ. 四、（15分）设10,nn n kk a S a=>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0L xy x x y x y ϕ+=+⎰Ñ的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰Ñ；（2）求函数()x ϕ；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x y x y ϕ++⎰Ñ.2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭；（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d d y x .二、（本题10分）求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=.四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c ∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面，(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦.计算：（1）()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；（2）()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰ 六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满足(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤⎰?请说明理由.2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）. （1）求极限21lim(!)n n n →∞.（2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π，使其中一个平面过点(4,3,1)-.（3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y∂=∂∂.确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. （4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关，求(,)u x y . （5）求极限1lim x xx t +.二、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、（本题10分）求方程21sin 2501x x x=-的近似解，精确到0.001.四、（本题12分）设函数()y f x =二阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330()lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、（本题12分）求最小实数C ，使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x 都有10f dx C ≤⎰.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >.区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面 2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分.定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛；（2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散.2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34，求点A 的坐标. 二、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且()lim0x f x x→=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. 四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、（满分14分）设∑是一个光滑封闭曲面，方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑，使积分I 的值最小，并求该最小值.六、（满分14分）设22d d ()()a a C y x x yI r x y -=+⎰，其中a 为常数，曲线C 为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和. 2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（共有5小题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是.2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L .则与L 平行的S 的切平面方程是.3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y xt x t π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x ==.4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则=→20)(lim x x f x . 二、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤.证明：对任意]1,0[∈x ，有22|)('|BA x f +≤. 四、（本题14分）（1）设一球缺高为h ，所在球半径为R .证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠面积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，方向指向球外，求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、（本题15分）设f 在],[b a 上非负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得⎰-=b a nn n dx x f ab x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim . 六、（本题15分）设2222212n n n nA n n n n =++++++L ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题6分，共5小题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭L . （2）设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z zxy x y∂∂+=∂∂. （3）曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是.（4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是. （5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=⎰，则()u x 的初等函数表达式是.二、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程.三、（12分）设()f x 在(),a b 内二次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ∀∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内无穷次可导.四、（14分）求幂级数()()30211!n n n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()110,1f x dx xf x dx ==⎰⎰.试证：（1）[]00,1x ∃∈使()04f x >；（2）[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤.若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2016年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，满分30分） 1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪= ⎪⎪⎝⎭__________.2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若zz x∂=∂，求()f x 在0x >的表达式.4、设()sin 2x f x e x =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2n n k k n f x dx fn n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰. 五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()1d 0I f x x =≠⎰，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、1.已知可导函数f (x )满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x =_________.2．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3.设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数.则21xx yy w w c -=_________. 4.设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →=____.5.不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰=________. 6.记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰=___________.二、（本题满分14分)设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数.对任何角度α，定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>.证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、(本题满分14分)设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段.求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，2()2bab a f x dx -+≤⎰. 五、(本题满分15分)设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。

第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类).docx

第二届（2010年）全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)(150分钟)一、(25分，每小题5分)(1)设£ = (1 +。

)(1 + /)•••(】 + a，")，其中|a|< 1,求limxn->xi、L(2)求lime"A 1+— o"I x)(3)设5>0 ,求/ = f X e^xx x ll dx(n = 1,2,.. j oJo（4）设函数/（/）有二阶连续导数，r = y/x2 + y2,y） = f一\r）⑸求直线述了。

与直线A字二宁弓的距离。

解：(1) £=(1 +。

)(1 + /)…(1 +旷)=兀=(1一。

)(1 + 0)(1 + /)・・・(1 + 旷)/(1-6/)=(1—cr)(1 + )・・・(1+)/(1—a)=・・・=(1—)/(1—a)・•. liinx 1HII(1 - ah) / (1 - a) = 1 / (1 - a) /?-^x⑵lim厂A->X 1+丄I X)f 1 2lnr"* (1+—)r x2 ln<l+—) -x =lim^ -r = limeA->X .V->X令x=l/t,则UnU+f)-f)原式=lime z： = lime 21 fTO fTO =lin* 丽77 =产/TO(3)/” = f 宀”故=(-|)f x"de~sx =(-》[x”严I； -J；严X]=（4）略（不难，难得写）（5）用参数方程求解。

答案好像是二、（15分）设函数/（X）在（-8,乜）上具有二阶导数，并且f\x） > 0, lim f\x） = a > 0, lun f\x） = 0 v 0,且存在一点x0,使得/（x0） < 0。

A->-X证明：方程/(x) = 0在(YO、*O)恰有两个实根。

解：(简要过程) 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题每小题5分,共20分1．计算()ln(1)d yx y x y ++=⎰⎰____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(x f 是连续函数,且满足220()3()d 2f x x f x x =--⎰,则()f x =____________.3．曲面2222x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、15分设函数)(x f 连续,10()()g x f xt dt =⎰,且A xx f x =→)(lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly yx ye y xe.五、10分已知xxe xe y 21+=,xxe xe y -+=2,xx x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.七、15分已知)(x u n 满足1()()1,2,n x nn u x u x x e n -'=+=,且neu n =)1(,求函数项级数∑∞=1)(n nx u之和.八、10分求-→1x 时,与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、25分,每小题5分 1设22(1)(1)(1)nn x a a a =+++,其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.3设0s >,求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==⎰.4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂.5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离. 二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0f x ''>,lim ()0x f x α→+∞'=>,lim ()0x f x β→-∞'=<,且存在一点0x ,使得0()0f x <. 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,且22d 3d 4(1)y x t =+,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ. 四、15分设10,nn n kk a S a=>=∑,证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c++≤其中0c b a <<<,密度为1绕l 旋转. 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值.六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰的值为常数.1设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=,证明422d ()d 0L xy x x yx y ϕ+=+⎰；2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422d ()d C xy x x y x y ϕ++⎰.2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 3已知()2ln 1arctan tt x e y t e⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d d y x .二、本题10分求方程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、本题15分设函数()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()0,0,0f f f '''均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h →++-=.四、本题17分设2221222:1x y z a b c ∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.五、本题16分已知S 是空间曲线22310x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z ≥取上侧,∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平面,(,,)x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦. 计算：1()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰；2()3d Sz x y z S λμν++⎰⎰六、本题12分设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x '<,其中01m <<,任取实数0a ,定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==,证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ,满足(0)(2)1f f ==,()1f x '≤,2()d 1f x x ≤⎰请说明理由.2012年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、本大题共5小题,每小题6分,共30分解答下列各题要求写出重要步骤. 1求极限21lim(!)n n n →∞.2求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩的两个互相垂直的平面1π和2π,使其中一个平面过点(4,3,1)-.3已知函数(,)ax byz u x y e+=,且20ux y∂=∂∂. 确定常数a 和b ,使函数(,)z z x y =满足方程20z z zz x y x y∂∂∂--+=∂∂∂∂. 4设函数()u u x =连续可微,(2)1u =,且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++⎰在右半平面与路径无关,求(,)u x y .5求极限1lim x xx t +.二、本题10分计算20sin d x e x x +∞-⎰.三、本题10分求方程21sin 2501x x x=-的近似解,精确到.四、本题12分设函数()y f x =二阶可导,且()0f x ''>,(0)0f =,(0)0f '=,求330()lim ()sin x x f u f x u →,其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、本题12分求最小实数C ,使得满足10()d 1f x x =⎰的连续函数()f x都有1f dx C ≤⎰.六、本题12分设()f x 为连续函数,0t >. 区域Ω是由抛物面22z x y =+和球面2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分. 定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++⎰⎰⎰,求()F t 的导数()F t ''.七、本题14分设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数,证明：1若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->,则级数1n n a ∞=∑收敛； 2若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<,且级数1n n b ∞=∑发散,则级数1n n a ∞=∑发散.2013年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、解答下列各题每小题6分,共24分,要求写出重要步骤 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明广义积分0sin d xx x+∞⎰不是绝对收敛的. 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定,求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34,求点A 的坐标. 二、满分12分计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.三、满分12分设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f '',且()0lim0x f x x →=.证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛.四、满分12分设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤,证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 五、满分14分设∑是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑,使积分I 的值最小,并求该最小值.六、满分14分设22d d ()()a a C y x x yI r x y -=+⎰,其中a 为常数,曲线C 为椭圆222x xy y r ++=,取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、满分14分判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑的敛散性,若收敛,求其和.2014年第六届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题共有5小题,每题6分,共30分1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是 .2.设有曲面22:2S z x y =+和平面022:=++z y x L . 则与L 平行的S 的切平面方程是 .3.设函数()y y x =由方程21sin d 4y x t x t π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰所确定.求d d x y x == .4.设1(1)!nn k kx k ==+∑,则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1xx f x x e x →⎛⎫++= ⎪⎝⎭,则=→20)(lim x x f x . 二、本题12分设n 为正整数,计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰. 三、本题14分设函数()f x 在]1,0[上有二阶导数,且有正常数,A B 使得()f x A ≤,|"()|f x B ≤. 证明：对任意]1,0[∈x ,有22|)('|B A x f +≤. 四、本题14分1设一球缺高为h ,所在球半径为R . 证明该球缺体积为2)3(3h h R -π,球冠面积为Rh π2；2设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平面6:=++z y x P 所截的小球缺为Ω,记球缺上的球冠为∑,方向指向球外,求第二型曲面积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++⎰⎰.五、本题15分设f 在],[b a 上非负连续,严格单增,且存在],[b a x n ∈,使得⎰-=b ann n dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim .六、本题15分设2222212n n n nA n n n n =++++++,求⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题每小题6分,共5小题,满分30分1极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+++ ⎪⎝⎭. 2设函数(),z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所决定,其中(),F u v 具有连续偏导数,且0u v xF yF +≠则z zxy x y∂∂+=∂∂ . 3曲面221z x y =++在点()1,1,3M -的切平面与曲面所围区域的体积是 .4函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅立叶级数在0x =收敛的是 . 5设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=⎰,则()u x 的初等函数表达式是 .二、12分设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程.三、12分设()f x 在(),a b 内二次可导,且存在常数,αβ,使得对于(),x a b ∀∈,有()()()f x f x f x αβ'=+,则()f x 在(),a b 内无穷次可导.四、14分求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、16分设函数()f x 在[]0,1上连续,且()()110,1f x dx xf x dx ==⎰⎰. 试证：1[]00,1x ∃∈使()04f x >； 2[]10,1x ∃∈使()14f x =.五、16分设(),f x y 在221x y +≤上有连续的二阶偏导数,且2222xx xy yy ff f M ++≤. 若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===,证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤⎰⎰.2016年第八届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、填空题每小题5分,满分30分1、若()f x 在点x a =可导,且()0f a ≠,则()1lim nn f a n f a →∞⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪= ⎪⎪⎝⎭__________.2、若()10f =,()1f '存在,求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数,且()12f =,记()2x z f e y =,若zz x∂=∂,求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2x f x e x =,求02n a π<<,()()40f .5、求曲面22 2x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程.二、14分设()f x 在[]0,1上可导,()00f =,且当()0,1x ∈,()01f x '<<,试证当()0,1a ∈,()()()230d d aaf x xf x x >⎰⎰.三、14分某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++,密度函数为222x y z ++,求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++⎰⎰⎰.四、14分设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数,()00f =,()11f =, 证明：()10111lim 2nn k k n f x dx fn n →∞=⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰.五、14分设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,且()1d 0I f x x =≠⎰,证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ,使得()()12112f x f x I+=. 六、14分设()f x 在(),-∞+∞可导,且()()(2f x f x f x =+=.用Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类一、1. 已知可导函数f (x )满足⎰+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ,则()f x =_________.2．求⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n n 22sin lim π.3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数,且==+u x cy v x cy -，,其中c 为非零常数. 则21xx yy w w c-=_________. 4. 设()f x 有二阶导数连续,且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===,则240(sin )lim x f x x →=____.5. 不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-⎰=________. 6. 记曲面222z x y =+和z =围成空间区域为V ,则三重积分Vzdxdydz ⎰⎰⎰=___________.二、本题满分14分设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数. 对任何角度α,定义一元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>. 证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值. 三、本题满分14分设曲线Γ为在2221x y z ++=,1x z +=,0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段. 求曲线积分⎰Γ++=xdz zdy ydx I .四、本题满分15分设函数()0f x >且在实轴上连续,若对任意实数t ,有||()1t x e f x dx +∞---∞≤⎰,则,()a b a b ∀<,2()2bab a f x dx -+≤⎰. 五、本题满分15分设{}n a 为一个数列,p 为固定的正整数;若()lim n p n n a a +→∞-=λ,其中λ为常数,证明limn n a n pλ→∞=.。

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令，则，，（*）令，则，，，2．设是连续函数，且满足, 则____________.解: 令，则，,解得。

因此。

3．曲面平行平面的切平面方程是__________.解: 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。

4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.解: 方程的两边对求导，得因，故，即，因此二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.解 :因故因此三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.解 : 由和函数连续知，因，故，因此，当时，，故当时，，这表明在处连续.四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：（1）；（2）.证 :因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知（1）而关于和是对称的，即知因此（2）因故由知即五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和，知，二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线过原点，故，于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令，得即因此,,.七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和.解，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知，，于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令，得，因此级数的和八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.解令，则因当，时，，故在上严格单调减。

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算yx y xx yy xDd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.解:令v xu yx,，则v uyv x,，v u vu yx d d d d 1110detd d ，102d 1u uu（*）令ut1，则21t u dt 2d t u，42221ttu，)1)(1()1(2t t t u u ，2．设)(x f 是连续函数，且满足2022d )(3)(xx f xx f ,则)(x f ____________.解:令20d )(x x f A，则23)(2Axx f ，A Ax A xA24)2(28d )23(202,解得34A。

因此3103)(2xx f 。

3．曲面2222yxz 平行平面022z y x 的切平面方程是__________.解:因平面022z y x 的法向量为)1,2,2(，而曲面2222yxz在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000y x z y x z y x 与)1,2,2(平行，因此，由xz x，yz y 2知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ，即1,200y x ，又5)1,2(),(00z y x z ，于是曲面022zyx在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2zy x ，即曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是0122z yx。

4．设函数)(x y y由方程29ln )(yy f e xe 确定，其中f 具有二阶导数，且1f ，则22d d xy ________________.解:方程29ln )(yy f e xe 的两边对x 求导，得因)(29ln y f yxee ，故yyy f x)(1，即))(1(1y f x y，因此二、（5分）求极限xenxxxx neee)(lim 20，其中n 是给定的正整数.解:因故因此三、（15分）设函数)(x f 连续，10d )()(t xt f x g ，且A xx f x )(lim，A 为常数，求)(x g 并讨论)(x g 在0x 处的连续性.解:由A x x f x)(lim和函数)(x f 连续知，)(lim lim )(lim )0(000xx f x x f f x x x 因10d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10f t fg ，因此，当0x 时，x u u f xx g 0d )(1)(，故当0x时，xx f uu f xx g x )(d )(1)(02，这表明)(x g 在0x 处连续.四、（15分）已知平面区域},0|),{(yxy x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）LxyLxyx yey xexyeyxe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d Lyy xyeyxe .证:因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知（1）yx yeyxexxyey xe DxyLxyd d )()(d d sin sin sin sin 而D 关于x 和y 是对称的，即知因此（2）因故由知即2sin sin 25d d Lyyxyey xe五、（10分）已知xxexey 21，xxexey 2，xxxeexey 23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设xxexey 21，xxexey 2，xxxeexey 23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，则xxeey y 212和xey y 13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解，因此0cyyb y的特征多项式是0)1)(2(，而0cyyb y的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02yyy，由)(2111x f y y y 和xxxexeey 212，xxxe xe e y 2142知，1112)(y y y x f )(2)2(42222xxxxxxx x e xee exeeexe二阶常系数线性非齐次微分方程为六、（10分）设抛物线c bxaxyln 22过原点.当10x 时,0y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bxaxyln 22过原点，故1c，于是即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即令0)1(278)21(3152)(a a aa V ，得即因此45a,23b,1c .七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1ne xx u x u xn n n ,且ne u n )1(,求函数项级数1)(n n x u 之和.解xn n n exx u x u 1)()(，即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由)1()1(nCe u nen 知，0C ，于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0x，得CS )0(0，因此级数1)(n n x u 的和八、（10分）求1x时,与2n nx等价的无穷大量.解令2)(tx t f ，则因当10x，(0,)t时，2()2ln 0tf t tx x，故xt text f 1ln22)(在(0,)上严格单调减。

第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案(非数学类)

f' ( x ) 在区间 [ξ1 , ξ 2 ] 上使用洛尔定理，则至少存在一点 η(ξ1 < η < ξ 2 ) ，使 f" ( η) = 0 . 此与条件 f ′′( x) > 0 矛盾 . 从而方程 f ( x ) = 0 在 (−∞,+∞ ) 不能多于两
( x > a)
当 x → +∞ 时， f (+∞ ) + f ′( a )( x − a ) → +∞ . 故存在 b > a ，使得
f (b ) > f ( a ) + f ′( a )(b − a ) > 0 ……………… （6 分）
1 ⎡ ⎛1 1 1 ⎞ ⎤⎞ − − 2 + ο ( 2 ) ⎟ − 1⎥ ⎟ = e 2 . x ⎠ ⎦⎠ ⎣ ⎝ x 2x
(3) 设 s > 0 ，求 I n = ∫ e− sx x n dx ( n = 1, 2, ) .
0
+∞
解因为 s > 0 时， lim e− sx x n = 0 ，所以，
x →+∞ x →−∞
证明：方程 f ( x ) = 0 在 ( −∞ ,+∞ ) 恰有两个实根. 证 1. 由 lim f ′( x) = α > 0 必有一个充分大的 a > x 0 ，使得 f ′(a ) > 0 .
x →−∞
f ′′( x ) > 0 知 y = f ( x) 是凹函数，从而 f ( x) > f (a) + f ′(a)( x − a)
d=
a ⋅ (l1 × l2 ) l1 × l2

历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类)

第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2009一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=10210d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u uv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=，dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)t t t⎰+-=1042d )21(2t t t 151651322153=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(22-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

大学生高等数学竞赛试题汇总与答案

=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且()
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
ss
n1
，而
a
n
s
1
收敛，所以
a
n
s
n
收敛；
当
n1
a发散时，lim
n
解：
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性，
（2）abc
当1时，
4
22
Iabc(ab)
max
15
当1时，
4
22
Iabc(bc)
min
15
六、(15分)设函数(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的
简单闭曲线C上，曲线积分
c
2xydx(x)dy
42
xy
的值为常数。
（1）设L为正向闭曲线
1kk...
12
使得
k
i
1a1
n
2
s
kn
i
成立，所以
k
N
1
a
n
s
n
N
1
2
当n时，N，所以
a
n
s
nn
1
发散
五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

全国大学生数学竞赛大纲及历年预赛试卷

全国大学生数学竞赛大纲及历年预赛试卷一、引言全国大学生数学竞赛是一项旨在培养和提升大学生数学能力和思维水平的竞赛活动。

该竞赛由教育部主办，自年开始，每年一届，吸引了越来越多的学生参与其中。

本文将详细介绍全国大学生数学竞赛的大纲以及历年预赛试卷，帮助参赛者更好地了解和准备竞赛。

二、全国大学生数学竞赛大纲全国大学生数学竞赛大纲是竞赛命题的基础和指导，它涵盖了数学领域的多个方面，包括代数、几何、分析、概率统计等。

竞赛大纲不仅规定了竞赛的形式和内容，还为参赛者提供了学习和复习的方向。

三、历年预赛试卷分析预赛试卷是参赛者了解竞赛题型和难度的重要途径。

通过对历年预赛试卷的分析，参赛者可以了解竞赛题目的命题规律、题型分布以及解题技巧。

以下是对历年预赛试卷的分析：1、题型分布：预赛试卷主要包括选择题、填空题和解答题三种题型。

其中，选择题和填空题主要考察学生对基础知识的掌握程度，而解答题则更注重学生的综合运用能力和解题技巧。

2、难度分布：预赛试卷的难度分布较为均匀，难度适中。

在解答题中，通常会有一道相对较难的题目作为压轴题，以考察学生的数学能力和解题技巧。

3、命题规律：预赛试卷的命题规律较为稳定，通常会按照竞赛大纲的要求进行命题。

每年的预赛试卷都会有一部分题目与当年的数学热点问题相关联，以展示数学的应用价值。

四、总结通过对全国大学生数学竞赛大纲及历年预赛试卷的分析，我们可以了解到竞赛的命题规律、题型分布、难度分布以及解题技巧等方面的信息。

这有助于参赛者更好地了解和准备竞赛，提升自身的数学能力和思维水平。

我们也应该注意到，数学竞赛只是一种学习和交流的方式，参赛者应该以积极的心态参与其中，享受数学学习的乐趣。

全国大学生数学竞赛，作为一项广泛参与的学术竞赛活动，旨在提高大学生们对数学学科的热爱，增强他们的数学应用能力，以及培养优秀的数学人才。

此次预赛是竞赛的重要环节，将从基础知识、解题能力、创新思维等多个方面对参赛者进行全面考察。