上海市中考数学一模试卷G卷
上海市中考数学一模试卷含答案解析
上海市中考数学一模试卷含答案解析第一节选择题1. 选出下列各组数中加点数的和为100的一组。
A. 51和49B. 39和61C. 48和53D. 67和33答案：A解析：由题意可得，加点数和为100，只有A选项中的51和49的和为100。
2. 下列既是偶数，又是5的倍数的是（____）。
A. 25B. 36C. 49D. 60答案：D解析：偶数的个位数只能是0、2、4、6、8，由此得D选项的60符合条件。
3. 已知一个二位数的个位数比十位数小2，且这个二位数是6的倍数，那个二位数是（____）。
A. 48B. 54C. 60D. 66答案：B解析：设十位数为x，则个位数为x-2。
又因为这个二位数是6的倍数，所以十位数和个位数的和能被3整除。
根据选项可得出B选项的十位数为5，个位数为3，符合条件。
4. 小明拿去购物的100元中的一半花在书店买书，然后花去剩下的40元中的一半在超市买文具，剩下的钱他放进了零钱包。
他在购物中共花了（____）元。
A. 50B. 60C. 70D. 80答案：D解析：小明购买书本的钱为100/2=50元，剩下的钱为100-50=50元，购买文具的钱为40/2=20元，剩下的钱为40-20=20元。
所以小明在购物中共花了50+20=70元。
5. 某种商品在特定的市场环境下，其售价是成本价格的1.5倍，如果成本价格上涨了20%，那么售价将上涨多少？（____）A. 10%B. 15%C. 20%D. 30%答案：D解析：售价是成本价格的1.5倍，即成本价格的150%，上涨20%后为170%，所以售价将上涨的百分比为170%-150%=20%。
第二节计算题1. 请计算以下分式的值：4/5 + 2/3 - 1/10 = （____）。
答案：19/15解析：通分后：12/15 + 10/15 - 1/10 = 19/15。
2. 一个矩形的长是15厘米，宽是8厘米，那么它的面积是（____）平方厘米。
2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷(含答案解析)
2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，．下列四个选项，正确的是（）A ．3tan 4B =B ．4cot 3B =C ．4sin 5B =D ．4cos 5B =2．下列命题中假命题是（）A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似3．如图，a b c ∥∥，若32AD DF =，则下面结论错误的是（）A ．35AD AF =B ．32BC CE =C ．23AB EF =D ．35BC BE =4．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，点P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，下列选项中正确的是（）A ．0a >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．0b <5．将抛物线212y x =-经过下列平移能得到抛物线()21132y x =-+-的是（）A ．向右1个单位，向下3个单位B ．向左1个单位，向下3个单位C ．向右1个单位，向上3个单位D ．向左1个单位，向上3个单位6．如图，点D 在ABC 边AB 上，ACD B ∠=∠，点F 是ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且2AF EF =，则下列选项中不正确的是（）A ．23AD AC =B ．23CF BE =C ．23DC BC =D ．23AD DB =二、填空题7．已知43x y =，则=x y x y-+________________．8．计算：()()3213a b a b ---=__________________．9．两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，则这两个三角形面积之比为_____________．10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．11．如图，已知G 为ABC ∆的重心，过点G 作BC 的平行线交边AB 和AC 于点D 、E 设GB a = 、GC b = ．用xa yb +（x y 、为实数）的形式表示向量=DE ____________．12．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD 为6.6米，小明到凉亭的距离BD 为12米，凉亭与观景台底部的距离DF 为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为________________米．13．已知点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，则m _____________n （填“>”、“=”或“<”）．三、解答题14．小球沿着坡度为1:1.5i =的坡面滚动了13m ，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m ．四、填空题15．计算：cos60sin 60cot 30tan 45︒-︒=︒-︒_________________16．如图，在由正三角形构成的网格图中，、、A B C 三点均在格点上，则sin BAC ∠的值为___________．17．如图，点E 是矩形ABCD 纸片边CD 上一点，如果沿着AE 折叠矩形纸片，恰好使点D 落在边BC 上的点F 处，已知36cm tan 4BF BAF =∠=，，那么折痕AE 的长是_____________cm ．18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt ABC △中，90,C CA CB ∠=︒=，CD 是斜边AB 上的高，其中ACD 是等腰三角形，且BCD △和ABC 相似，所以ABC 是“和谐三角形”，直线CD 为ABC 的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F ∠的度数是_______________（写出所有符合条件的情况）五、解答题19．如图，在ABC 中，已知590,sin 13C A ∠=︒=．点D 为边AC 上一点，45,7BDC AD ∠=︒=，求CD 的长．20．如图，点E 在平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上，且2CE BC =，AE 与CD 交于点F ．设,AB a AD b ==．(1)用向量a 、b 表示向量DE；(2)求作：向量EF 分别在向量EC 、ED方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21．已知二次函数2369y x x =-++．(1)用配方法把二次函数2369y x x =-++化为()2y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标；(2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与x 轴交于点A B 、（点A在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，求四边形DACB 的面积．22．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高AB 为5cm ，宽MN 为10cm ，点A 是MN 的中点，连杆BC CD 、的长度分别为18.5cm 和15cm ，150CBA ∠=︒，且连杆BC CD 、与AB 始终在同一平面内．(1)求点C 到水平桌面的距离；(2)产品说明书提示，若点D 与A 的水平距离超过AN 的长度，则该支架会倾倒．现将DCB ∠调节为80︒，此时支架会倾倒吗？（参考数据∶tan 200.36,cot20 2.75,sin 200.34,cos 200.94︒≈︒≈︒≈︒≈）23．如图，已知ABC 是等边三角形，D E 、分别是边BC AC 、上的点，且BC CE BD DC ⋅=⋅．在DE 的延长线上取点F ，使得DF AD =，联结CF ．(1)求证：60ADE ∠=︒；(2)求证：CF AB ∥．24．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A -、()4,0B 与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线PD x ⊥轴，垂足为点D ，直线PD 与直线BC 相交于点E ．①当CP CE =时，求点P 的坐标；②联结AC ，过点P 作直线AC 的平行线，交x 轴于点F ，当BPF CBA ∠=∠时，求点P 的坐标．25．如图1，已知菱形ABCD ，点E 在边BC 上，BFE ABC ∠=∠，AE 交对角线BD 于点F ．(1)求证ABF DBA ∽△△；(2)如图2，联结CF ．①当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小；②如图3，联结DE ，当DE FC ⊥时，求cos ABD ∠的值．参考答案：1．C【分析】先利用勾股定理求出3BC =，再根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：∵在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，，∴3BC ==，∴4343tan cot sin cos 3455AC BC AC BC B B B B BC AC AB AB ========，，，故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，熟知对应的三角函数的定义是解题的关键．2．B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B.任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C.等边三个角都相等，故两三角形相似；D.任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．C【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可【详解】 ADDF ＝32，35AD AF ∴=,故A 选项正确，不符合题意；l 1∥l 2∥l 3，且ADDF ＝32，32AD BC DF CE ∴==,故B 选项正确，不符合题意；32BC CE = 35BC BE ∴=故D 选项正确，不符合题意；根据已知条件不能求出ABEF的值，故C 选项不正确，故选C ．【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键．4．D【分析】根据开口方向，即可判断A ；根据与y 轴的交点，即可判断B ；把1x =代入，即可判断C ；根据对称轴的位置，即可判断D ．【详解】解：A 、∵函数图象开口向下，∴a<0，故A 不正确，不符合题意；B 、∵函数图象与y 轴交于正半轴，∴0c >，故B 不正确，不符合题意；C 、把1x =代入得y a b c =++，∵1OP =，∴当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故C 不正确，不符合题意；D 、∵函数对称轴在y 轴左侧，a<0，∴0b <，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质，会根据函数的开口，对称轴，与坐标轴的交点判断各个系数的符号．5．B【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵212y x =-的顶点坐标为()0,0，()21132y x =-+-的顶点坐标为()1,3--，∴将抛物线212y x =-向左平移1个单位，再向下平移3个单位，可得抛物线()21132y x =-+-．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6．D【分析】证明ACD ABC∽，得出AD DC AC AFAC BC AB AE===，利用2AF EF =判断选项A 、C ，证明ACF ABE ∽△△得出23CF AC BE AB ==判断选项B ，分别用AB 表示出AD 和BD ，判断选项D ，即可得出结论．【详解】 ACD B ∠=∠，CAB CAB ∠=∠，∴ACD ABC∽，∴AD DC AC AFAC BC AB AE ===，AF EF AE += 且2AF EF =，∴32AF AE =，23AF AE ∴=，∴23AD DC AC AF AC BC AB AE ====，故选项A 、C 正确；∴23AC AB =，23AD AC =，49AD AB ∴=，AD BD AB += ，∴4599BD AB AD AB AB AB =-=-=，449559ABAD BD AB ∴==，故选项D 错误； AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE ∠=，ACD B ∠=∠，ACF ABE ∴△∽△，23CF AC BE AB ∴==，故选项B 正确；故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．7．17【分析】设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，代入求解即可得到答案；【详解】解：设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，∴431=437x y k k x y k k --=++，故答案为17．【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是设出公比表示出x ，y ．8．53a b- 【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：原式1=223a b a b--+53a b=- 故答案为53a b -．【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键．9．16:25##1625【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】 两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，∴两个相似三角形的相似比为4:5，∴两个相似三角形的面积之比为16:25，故答案为：16:25．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，熟练掌握其性质是解题的关键．10．（4）cm【分析】利用黄金分割的定义计算出AP.【详解】P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，()118422AP AB cm ∴==⨯=故答案为：（4）cm..11．2233a b -+ 【分析】由于G 是三角形ABC 的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，可得到:2:3AG AM =，再根据平面向量加减运算可求得答案．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于点M ：∵DE BC ∥∴AG AD DE AM AB BC ==∵点G 是ABC 的重心，∴23AG AM =∴23DE BC =∴23DE BC =∵BC GC GB b a =-=- ∴()23DE b a =- ∴2233DE a b =-+ 故填：2233a b -+ ．【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键．12．22.3##32210##22310【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：过点A 作AM EF ⊥于点M ，交CD 于点N ，由题意得，12AN =， 6.6 1.65CN =-=，42MN =，E CN M ∥，∴ACN AEM ∽ ，∴CN AN EM AM =，∴5121242EM =+，∴22.5EM =，∵ 1.6AB MF ==，∴22.5 1.6 1.822.3+-=（米）．故答案为：22.3．【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．13．<【分析】根据抛物线的解析式得到对称轴为直线12b x a=-=-，由抛物线开口向下，可得在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，即可得到答案．【详解】解： 点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，∴对称轴为直线12b x a=-=-， 抛物线开口向下，∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，32-<- ，m n ∴<，故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象及其性质，熟练掌握知识点是解题的关键．14．【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =，故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．15．12-##0.5-【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【详解】解：原式1122=-，故答案为：12-．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．16【分析】根据等边三角形的性质可得90ACB ∠=︒，然后设正三角形构成的网格线段长为1，分别求出直角边AC ，BC ，然后根据勾股定理求出AB ，最后根据三角函数定理即可求出sin BAC ∠．【详解】解：由正三角形的性质可知16060902ACB ∠=︒+⨯︒=︒，设正三角形构成的网格线段长为1，在Rt ABC △中，2AC =，BC =，根据勾股定理，可得AB，sin 7BC BAC AB ∠==，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．17．【分析】由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，由矩形的性质得到90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，先解Rt ABF 求出8cm 10cm AB AF ==，，进而得到10cm AD BC ==，则4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，由勾股定理得到()22248x x =+-，解方程求出5cm DE =，则AE ==．【详解】解：由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，∵四边形ABCD 是矩形，∴90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，∵在Rt ABF 中，36cm tan 4BF BAF =∠=，，∴8cm tan BF AB BAF ==∠，∴10cm AF ==，∴10cm AD AF BC ===，∴4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，在Rt CEF △中，由勾股定理得：222EF CF CE =+，∴()22248x x =+-，解得5x =，∴5cm DE =，∴AE ==，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解直角三角形，正确求出AD DE ，的长是解题的关键．18．54 46 32 27︒︒︒︒、、、【分析】分类讨论，①EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =；②DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =；③DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =；④FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =；根据等腰三角形的性质，相似三角形的性质即可求解．【详解】解：DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，EG 是DEF 的“和谐分割线”，①根据题意，如图所示，EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =，∴42D DEG GEF ∠=∠=∠=︒，∴在DEG △中，180180424296DGE D DEG ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵DGE ∠是EGF △的外角，∴964254F DGE GEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②如图所示，DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =，∴DEG F FEG ∠=∠=∠，设F a ∠=，则DEG F FEG a ∠=∠=∠=，1802EGF a ∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF D DEG ∠=∠+∠，即180242a a ︒-=︒+，解得，46a =︒，∴46∠=︒F ；③如图所示，DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =，∴FE FG =，F GED ∠=∠，FEG FGE ∠=∠，设F x ∠=，则F GED x ∠=∠=，1(180)2FEG FGE x ∠=∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF GED D ∠=∠+∠，即1(180)422x x ︒-=+︒，解得32x =︒，∴32F ∠=︒；④如图所示，FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =，∴42D GEF ∠=∠=︒，1(18042)692DEG DGE ∠=∠=︒-︒=︒，∵DGE ∠是EFG 的外角，∴DGE F GEF ∠=∠+∠，即6942F ︒=∠+︒，∴694227F ∠=︒-︒=︒；综上所述，DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F∠的度数是54463227︒︒︒︒、、、，故答案为：54463227︒︒︒︒、、、．【点睛】本题主要考查等腰三角形，相似三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．19．5【分析】解直角三角形ABC ，表示出AB AC ，的长，再根据Rt BCD △是等腰直角三角形，求得CD 即可．【详解】解：在Rt ABC △中，590,sin 13BC C A AB Ð=°==，设5,13BC k AB k ==，∴12AC k ===，在Rt BCD △中，90,45C BDC ∠=︒∠=︒，∴45CBD BDC ∠=∠=︒，∴5BC CD k ==．∴7AD AC CD k =-=，∵7AD =，∴77k =，∴1k =，∴55CD k ==【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练进行解直角三角形是解题的关键．20．(1)2a b+ (2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC =，根据三角形法则得出2DE DC CE a b =+=+ ；（2）作FM AD ∥，EN FM =，根据平行四边形法则，得出向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量，即可求解．【详解】（1）解：∵ABCD Y ，∴AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC=∵2CE BC =，∴2CE AD =，∴22CE AD b == ，∴=DC AB a = ，∴2DE DC CE a b =+=+ ；（2）解：如图所示，作FM AD ∥,EN FM =，根据平行四边形法则，向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键．21．(1)()23112y x =--+，开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12(2)54【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可；（2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A B C D 、、、坐标即可求解．【详解】（1）解：()()()2222369329321123112y x x x x x x x =-++=--+=--++=--+∴该二次函数的顶点式为()223693112y x x x =-++=--+，函数图像的开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12；（2）解：平移后的新抛物线的解析式为()23312y x =--+，得到顶点()3,12D ，当0y =时，由()23312=0x --+得：11x =，25x =，即点()()1,05,0A B 、，即4AB =，当0x =时，由=15y -即点()0,15C -，∴四边形DACB 的面积1141241524305422ABD ABC S S =+=+创=+=【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．22．(1)点C 与水平桌面的距离为20cm 4+(2)支架不会倾倒【分析】（1）过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ，由题意得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，解Rt BFC △求出cm 4CF =，则20cm 4CE CF EF +=+=；（2）过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．先解Rt CDH △求出14.1cm CH FK ==，再解在Rt BFC △求出9.25cm BF =，即可得到 4.85cm BK =，由此即可得到答案．【详解】（1）解：过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ．由题意可得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，在Rt BFC △中，906018.5cm BFC CBF BC ∠=︒∠=︒=，，，∴sin sin 602CF CBF BC ∠==︒=，即3722CF =，∴CF =∴CE CF EF =+=，∴此时点C与水平桌面的距离为20cm 4．（2）解：过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．由题意可知，在Rt CDH △中，90CDH ∠=︒，20DCH ∠=︒，15cm CH FK CD ==，，∴cos CH DCH CD ∠=，即0.9415CH =∴14.1cm CH FK ==，在Rt BFC △中90BFC ∠=︒，60CBF ∠=︒，18.5cm BC =，∴cos BF CBF BC ∠=，即1218.5BF =，∴9.25cm BF =，∴ 4.85cmBK KF BF CH BF =-=-=∵ 4.855BK =<，∴支架不会倾倒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明ABD DCE ∽△△，得到BAD CDE ∠=∠，根据ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，即可证明60ADE B ︒∠=∠=；（2）联结AF ，先证明ADF △是等边三角形，得到60AFD ︒∠=，进而证明AEF DEC ∽△△，AED FEC △∽△，从而得到60FCA ADF ︒∠=∠=，180B FCB ︒∠+∠=，即可证明CF AB ∥．【详解】（1）证明：∵ABC 是等边三角形，∴60B ACB ︒∠=∠=，AB BC=∵BC CE BD DC = ，∴BC BD DC CE=∴AB BD DC CE =，∴ABD DCE ∽△△，∴BAD CDE ∠=∠，∵ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，∴60ADE B ︒∠=∠=；（2）证明：如图，联结AF ，∵DF AD =，且60ADF ︒∠=，∴ADF △是等边三角形，∴60AFD ︒∠=，∵60AFD ACB ∠=∠=︒，AEF DEC ∠=∠，∴AEF DEC ∽△△，∴AE EF DE EC =，∴AE DE EF EC=，又∵AED FEC ∠=∠，∴AED FEC △∽△，∴60FCA ADF ︒∠=∠=，∵60B ︒∠=，120FCB FCA ACB ︒∠=∠+∠=，∴180B FCB ︒∠+∠=，∴CF AB ∥．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，熟知相似三角形的判定定理和性质定理，根据题意添加适当辅助线是解题关键，24．(1)239344y x x =-++(2)①922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；②()33P ，【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H ，根据三线合一的性质，得出PH HE =，再根据平行线的判定，得出CH OB ∥，再根据平行线的性质，得出HCE CBO ∠=∠，再根据正切的定义，得出34EH OC CH OB ==，然后设4CH k =，则3PH EH k ==，再根据线段之间的数量关系，得出33PD k =+，进而得出点P 坐标为()433k k +，，再把点P 的坐标代入239344y x x =-++，计算即可得出点P 的坐标；②根据相似三角形的判定，得出PFB BAC ∽，再根据两点之间的距离和勾股定理，得出5AB BC ==，再根据相似三角形的性质，得出PF PB =，再根据三线合一的性质，得出12FD BD FB ==，然后设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >，再根据正切的定义，得出tan tan CAB BFP ∠=∠，进而得出23934434x x x-++=-，解出即可得出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线23y ax bx =++经过点()()1,04,0A B -、∴可得：0301643a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得39,44a b =-=，∴239344y x x =-++；（2）解：①如图，过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H，∵CP CE =，CH PE ⊥，∴PH HE =，∵()0,3C ，()4,0B ，∴3OC =，4OB =，∵CH PD ⊥，PD OB ⊥，∴CH OB ∥，∴HCE CBO ∠=∠，∴tan tan HCE CBO ∠=∠，∴34EH OC CH OB ==，设4CH k =，则3PH EH k ==，∴33PD HD HP OC HP k =+=+=+，∴点P 坐标为()433k k +，，又∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，∴()()2393344344k k k +=-⨯+⨯+，解得：12k =，0k =（舍去），∴14422k =⨯=，19333322k +=+⨯=，∴92,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．②如图，∵PF AC ∥，∴CAB PFB ∠=∠，又∵BPF CBA ∠=∠，∴PFB BAC ∽，∵()415AB =--=，5BC ==，∴5AB BC ==，∴PF PB =，又∵PD OB ⊥，∴12FD BD FB ==，∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >．∵CAB BFP ∠=∠，∴tan tan CAB BFP ∠=∠，∴3PD CO FD AO==．即23934434x x x-++=-，解得：3x =，4x =（舍去），∴223939333334444x x -++=-⨯+⨯+=，∴()3,3P ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三线合一的性质、平行线的判定与性质、正切的定义、坐标与图形、解一元二次方程、两点之间的距离、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．25．(1)见解析(2)①60︒或45︒【分析】（1）由菱形的性质和平角的性质得180ABC BAD ∠+∠=︒，180BFE AFB ∠+∠=︒，已知ABC BFE ∠=∠，等量代换得AFB BAD ∠=∠，公共角ABF DBA ∠=∠，即可得证；（2）①设ABD α∠=，由菱形的性质2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，由（1）ABF ABD ∽，根据相似三角形的性质得ADB BAF α∠=∠=，故3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，根据菱形的性质易得ABF CBF ≌，再由全等三角形的性质得BCF BAF α∠=∠=，再分情况讨论当CEF △为直角三角形时，ABC ∠的大小；②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、，由菱形的性质得AC BD ⊥，根据直角三角形的性质得90BCO OBC ∠+∠=︒，由DE CF ⊥，得90DEC FCE ∠+∠=︒，根据相似三角形的性质和菱形的性质得FCE FAB OBC ∠=∠=∠，由等角的余角相等得DEC BCO ∠=∠，由等角对等边及平行线分线段成比例可得四边形AECD 为等腰梯形，易得FEC BAD ∠=∠，EF EC =，由DE FC ⊥，可得DC DF BC ==，设设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，由相似三角形的性质解得BF ，由菱形的性质求得BO ，即可求解．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是菱形，∴180ABC BAD ∠+∠=︒，又 180BFE AFB ∠+∠=︒且ABC BFE ∠=∠，∴AFB BAD ∠=∠．又ABF DBA ∠=∠，∴ABF DBA ∽△△．（2）解：①设ABD α∠=，四边形ABCD 是菱形，∴AB AD =，BD 平分ABC ∠．∴ADB ABD α∠=∠=，CBD ABD α∠=∠=，∴2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，ABF ABD ∽，∴ADB BAF α∠=∠=，∴3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，BA BC =，CBD ABD ∠=∠，BF BF =，∴ABF CBF ≌，∴BCF BAF α∠=∠=，在CEF △中，BCF αÐ=，3AEC α∠=，故1804EFC α∠=︒-，CEF △是直角三角形，∴有以下三种可能的情形：一、90BCF α∠==︒，此时2180ABC α∠==︒，不符合题意，应舍去；二、390AEC α∠==︒，此时260ABC α∠==︒；三、180490EFC α∠=︒-=︒，此时490α=︒，245ABC α∠==︒；综上所述，当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小为60︒或45︒．②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、．四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴90BOC ∠=︒，∴90BCO OBC ∠+∠=︒，DE CF ⊥，∴90EGC ∠=︒，∴90DEC FCE ∠+∠=︒，ABF ABD ∽，∴ADB FAB OBC ∠=∠=∠，∴FCE FAB OBC ∠=∠=∠，∴DEC BCO ∠=∠，∴HE HC =．AD BC ∥，∴HEHCDE AC =，∴DE AC =，∴四边形AECD 为等腰梯形．∴FEC ECD ∠=∠．又 BAD ECD ∠=∠，∴FEC BAD ∠=∠．又 CFE ECF ∠=∠，∴EF EC =．又 DE FC ⊥，∴DC DF BC ==，设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，ABF ABD ∽，∴BF AB AB BD=，即111x x =+，解得BF =，∴11122BO OD BD ⎫===⨯=⎪⎪⎝⎭∴1cos 4BO ABD AB +∠==．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．。
上海市松江区2024年中考数学一模试卷和参考答案
松江区2024届第一学期期末质量监控试卷初三数学（满分150分，完卷时间100分钟） 2024.01考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题.2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列函数中，属于二次函数的是（▲）（A ）2y x =−；（B ）2y x =； （C ）221)y x x =−+（； （D ）22y x =． 2. 在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，∠A =α， BC =a ，那么AB 的长为（▲）（A ）a sin α; （B ）cos aα; （C ）a sin α; （D ）a cos α.3.关于二次函数22(1)y x 的图像，下列说法正确的是（▲）（A ）开口向上； （B ）经过原点；（C ）对称轴右侧的部分是下降的； （D ）顶点坐标是（1，0）．4. 下列条件中，不能判定a ∥b 的是（▲）（A ）a ∥c ，b ∥c ，其中0c ≠；（B ）a c =−，2b c =；（C ）2a b =− ；（D ）||3||a b =. 5. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，斜边BC 上的高AH =3， 矩形DEFG 的边DE 在边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上， 如果GF 正好经过△ABC 的重心，那么BD ·EC 的积等于（ ▲ ） （A ）4; （B ）1; （C ）1625; （D ）925.6. 某同学对“两个相似的四边形”进行探究.四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，点A 与点A 1、点B 与点B 1、点C 与点C 1、点D 与点D 1分别是对应顶点，已知k B A AB=11.(第5题图)H G F AE CB D该同学得到以下两个结论：①四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的面积比等于2k ；②四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1的两条对角线的和之比等于k . 对于结论①和②，下列说法正确的是（ ▲ ） （A ）①正确，②错误； （B ）①错误，②正确； （C ）①和②都错误；（D ）①和②都正确.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 若12y x = ，则y x y =+ ▲ . 8.A 、B 两地的实际距离AB =250米,画在地图上的距离A ′B ′=5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是 ▲ .9. 某印刷厂一月份印书50万册,如果第一季度从2月份起,每月印书量的增长率都为x ，三月份的印书量为y 万册,写出y 关于x 的函数解析式是 ▲ .10.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，如果AB =5，那么AP = ▲ . 11.在直角坐标平面中，将抛物线2(1)2y x =−++，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ▲ .12.如果一个二次函数图像的顶点在x 轴上，且在y 轴的右侧部分是上升的.请写出一个符合条件的函数解析式： ▲ .13.如图，一辆小车沿着坡度为1: 2.4的斜坡从A 点向上行驶了50米，到达B 点，那么此时该小车上升的高度为 ▲ 米.14.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且43AB CD =，若AB m =， AD n =．请用m ，n 来表示AC = ▲ .15.如图，已知直线l 1、l 2、l 3分别交直线m 于点A 、B 、C ，交直线n 于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，AB =2BC ，DF =6,那么EF = ▲ .16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,点E 是AD 的中点，BE 、CD 的延长线交于点F ，如果AD :BC =2:3,那么:EDF AEB S S △△= ▲ .nmA DE BCF（第15题图）l 3l 2 l 1 DBA(第18题图)(第14题图) C BAD （第16题图）(第13题图)水平面ABACB15° (第22题图)30°M17.在△ABC 中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BE 与CD 相交于点O ，如果△OBC 是等边三角形，那么tan ∠ABC = ▲ .18.如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，将边AB 绕点A 逆时针旋转，点B 落在B '处，联结BB '、CB '，若90BB C ∠'=︒，则BB '= ▲ . 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表．x … 0 1 2 3 4 … y…3-1?3…（1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D 的坐标；（2）如果该二次函数图像与y 轴交于点A ，点P （5，t ）是图像上一点，求△P AD 的面积.20.（本题满分10分）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，联结DE 、EF ．已知ED BC ∥，EF AB ∥，AD =3，9DB =．（1）求BFFC的值； （2）若△ABC 的面积为16，求四边形BFED 的面积．21.（本题满分10分）已知：如图，△ABC 中，AB =15，BC =14， 4sin 5B =，AD ⊥BC 于D . （1）求AC 的长；（2）如果点E 是边AC 的中点，求cot ∠EBC 大小．22.（本题满分10分）如图，A 处有一垂直于地面的标杆AM ，热气球沿着 与AM 的夹角为15°的方向升空，到达B 处，这时 在A 处的正东方向200米的C 处测得B 的仰角为30° （AM 、B 、C 在同一平面内）.求A 、B 之间的距离．（结果精确到1米，2 1.414)≈(第20题图)(第19题图)y xO (第21题图)CA23.（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，∠BDC =∠DEC ． 求证：（1）△ADE ∽△ACD ；（2）AC AEBCCD =22．24.（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx+c a =+>的图像经过原点O （0, 0）、点A （1，3a ），此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ． （1）求抛物线的对称轴；（2）如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且∠ADC 的正切值为2，求a 的值； （3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结P A ，如果点P 在y 轴上，P A ∥x 轴，且∠EP A =∠CBO ，求新抛物线的表达式．25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题第5分、第(3)题5分）在△ABC 中，AC =BC ．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB =⋅. （1）如图，如果点D 在AC 的延长线上. ①求证：DE BD =；②联结CE ,如果CE ∥BD ，CE =2，求EF 的长． （2）如果DF :DE =1:2，求：AE :EB 的值．（第23题图）AD BCE (第24题图)yxO DAB C EF（第25题图）（第25题备用图）BCA2023届第一学期九年级期末数学练习卷参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B 2. A 3. C 4. D 5. B 6. D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.13； 8. 1:5000； 9. 250(1)y x =+； 10. 5552−； 11. 2(2)y x =−+； 12. 2=y x （答案不唯一）； 13. 2501314. 34+m n ； 15. 2； 16. 12；17. 33 ； 18. 125.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：（1）∵图像过（0,3）、（4,3）∴该二次函数图像的对称轴为直线x =2, ∴顶点坐标为D （2，-1），设该二次函数的解析式为2(2)1y a x =−−， ∵当x =1时，y =0，∴0=a -1，得a =1.∴二次函数的解析式为2(2)1y x =−−，顶点D 的坐标为（2，-1）. (2)当x =5时，y =8, ∴点P （5,8）, 当当x =0时，y =3，∴A （0,3）分别过点P ,D 作y 轴的垂线，垂足分别为点B 、点C ，则16325922PBCD S =+⨯=梯形（）12442ACD S =⨯⨯=△;1255522ABP S =⨯⨯=△∴6325415.22APD S =−−=△ 20．解：（1）∵DE ∥BC ,∴=AD AE BD EC∵AD =3,BD =9,∴31.93==AE EC ∵EF ∥AB , ∴1.3AE BF EC FC ==（2）∵DE ∥BC ，∴ADE ABC △∽△ ∴2()ADE ABC S AD S AB=△△， ∵△ABC S =16，∴21().164ADE S =△ 1.ADE S =△ (第19题图)yxO DPAB C(第20题图)同理可得23().164EFC S =△∴9.EFC S =△ ∴1619 6.BFED S =−−=21．解：(1)∵AD ⊥BC, AB =15，4sin 5B =，∴AD =15sin B=12. ∴BD =9， ∵BC =14，∴CD =5 ∴AC =13(2)联结BE ,过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ∵ E 为AC 的中点 EH ∥AD ，∴.EH EC CH ADACCD==∴ EH =6, CH =DH =2.5，∴BH =11.5∴ cot ∠EBC =11.523.612==BH EH 22（本题满分10分）解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H .∵ ∠C =30°，AC =200，∴ AH =12AC =100∵AM ⊥AC ，∠BAM =15°∴ ∠BAC =105°, ∠ABC =45° ∴AB =°1002141sin 45AH =≈米答：A 、B 之间的距离约为141米.23. 证明：（1）∵∠BDC =∠DEC ∴∠ADC =∠AED ∵∠A =∠A ∴△ADE ∽△ACD (2)∵DE ∥BC ∴∠EDC =∠DCB ∵∠BDC =∠DEC ∴△BDC ∽△CED∴22=△△CDE BDC S CD S BC ∵DE ∥BC ∴=△△CDE BDC S DE S BC , =DE AE BC AC ∴ 22=CD AEBC AC24. 解（1）∵抛物线2(0)y ax bx+c a =+>的图像经过原点O （0, 0）、点A （1，3a ），CB AD EH ACB15° (第22题图)30°MH（第23题图）AD BCE∴3⎧⎨++=⎩c =0a b c a ∴2=⎧⎨⎩b ac =0∴抛物线的表达式22=+y ax ax ∵2122−=−=−b aa a∴抛物线的对称轴是：直线x =-1 （2）∵O （0, 0）对称轴是直线x =-1 ∴D （-2,0）过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，则AH =3a ，DH =3∴t a n ∠ADC =323==AH aDH∴ a =2（3）过点E 作EF ⊥P A ，垂足为F 当x =-1时，y =-a ，∴B （-1，-a ） ∵P A ∥x 轴 ∴P （0,3a ）点B 到P 向右平移1个单位向上平移4a 个单位， ∴ PF =2,EF =4a∵tan ∠CBO =1=OC BC a tan ∠EP A =422==EF aa PF∵∠EPA =∠CBO∴12,=a a2=a∴新抛物线的表达式是2=+y 25．（1）①∵2CD CF CB =⋅ ∴=CF CDCD CB又∵∠DCB =∠FCD ∴△DCB ∽△FCD ∴∠DBC =∠FDC题图))DABCEF（第25题图）∵AC =BC ，∴∠A =∠CBA∠DEB =∠A +∠EDA ∠DBA =∠CBA +∠DBC ∴∠DEB = ∠DBA ∴DE =BD（1）②∵CE ∥DB ∴∠BDF =∠DEC 又∵DB =DE ,∠DBF =∠EDC ∴△DBF ≌△EDC ∴CE =DF =2 DE =DB =2+EF ∵=CE EF BD DF ∴222=+EFEF EF1− （EF=1舍去） （2）1º当点D 在AC 延长线上时 过点D 作DH ∥AB 交BC 的延长线于点H∵DH ∥AB DF :DE =1:2 ∴DH =EB ∠H =∠HBA =∠A 又∵∠DBH =∠EDA BD =DE ∴△BHD ≌△DAE ∴DH =AE =EB AE :EB =1 2º当点D 在边AC 上时过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G同理△DCB ∽△FCD ∴∠DBC =∠FDC =∠EDA ∵∠CBA =∠CAB =∠E +∠EDA ∴∠E =∠DBA =∠GDB ∴DE =DB △BGD ≌△DAE ∴DG =AE又∵DF :DE =1:2，13==DG DF BE EF ∴AE :EB=13DABCE F （第25（2）题图）H（第25题备用图）BC ADFEG。
上海市2024届黄浦区中考数学一模
（满分：150分，考试时间：100上海市2024届黄浦区中考数学一模分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．下列命题中，真命题是（ ▲ ）（A ）如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似； （B ）如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似； （C ）如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似； （D ）如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似．2．已知：△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2∽△A 3B 3C 3，如果△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为2，△A 2B 2C 2与△A 3B 3C 3相似比为4，那么△A 1B 1C 1与△A 3B 3C 3的相似比为（ ▲ ） （A ）2；（B ）4；（C ）6；（D ）8．3．如图，△ABC 三边上点D 、E 、F ，满足DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么下列等式中，成立的是（ ▲ ）（A ）=EF EC DE AE； （B ）； （C ）； （D ）=DB BCAD BF． 4．已知G 是△ABC 的重心，记a GB GC =+，b AB AC =+，那么下列等式中，成立的是（ ▲ ） （A ）b a =；（B ）2b a =；（C ）3b a =； （D ）4b a =．5．将二次函数和的图像画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图 像都是上升的部分，所对应自变量x 的取值范围是（ ▲ ） （A ）；（B ）；（C ）；（D ）或．=DB FC AD BF=EF BC DE AB=++y x x 232=−+−y x x 232≥x 1≤−x 1−≤≤x 11≥x 1≤−x 1EDFCBA 第3题图6．如图，过矩形ABCD 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，依次联结四个垂足，可得到矩形EFGH ．设对角线AC 与BD 的夹角为，那么矩形EFGH 与矩形ABCD 面积的比值为（ ▲ ） （A ）； （B ）； （C ）； （D ）αcot 2．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知=b a 52，那么+=−b a b a▲ ． 8．已知向量a 与b 是互不平行的非零向量，如果23n a b =+，11m a b =−−23，那么向量n 与m 是否平行？答： ▲ ．9．已知抛物线=++y ax bx c 2顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ▲ ．10．已知抛物线=++y ax bx c 2开口向上，且经过点（3,4）和（−2,4），如果点y 1,1)(与y 2,2)(在此抛物线上，那么y 1 ▲ y 2．（填“＞”、“＜”或“＝”）11．已知点A （1，4）、B （−2，0），那么直线AB 与x 轴夹角的正弦值是 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝6，CO 是边AB 上的中线，G 为△ABC 的重心，过点G 作GN ∥BC 交AB 于点N ，那么△OGN 的面积是 ▲ ．13．已知等腰三角形的腰与底边之比为3︰2，那么这个等腰三角形底角的余弦值为 ▲ ．14．如图，N 是线段AB 上一点，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，NM ⊥AB ，联结CM 并延长交AB 于点P ，联结DM并延长交AB 于点Q ．已知AB ＝4，AC ＝3，BD ＝2，MN ＝1，PN ＝1.2，那么QN = ▲ ．<<︒αα090)(αsin2αcos 2αtan 2DCBAHGF E第6题图NO CBAG第12题图第14题图NMDCBA QP15．在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC ，它的底边AB 长20厘米．要截得的矩形DEMN 的边MN 在AB 上，顶点D 、E 分别在边AC 、BC 上，设DE 的长为x 厘米，矩形DEMN 的面积为y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是 ▲ ．（不必写定义域） 16．如图，点D 、E 分别位于△ABC 边BC 、AB 上，AD 与CE 交于点F ．已知AF ︰FD ＝1︰1， EF ︰FC ＝1︰4，则BD ︰CD = ▲ ．17．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，将△ABC 绕点B 旋转到△DBE 的位置，其中点D 与点A 对应，点E 与点C 对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么∠CBE 的正切值是 ▲ ．18．为了研究抛物线L 1：=++y ax bx c 2与L 2：=−+−y ax bx c 2在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数a 、b 、c 的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现L 1与L 2的位置特征，你的发现是： ▲ ；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧.理由是： ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒−︒︒+−︒cot 45tan 602sin 60cos 3022.DCBAEFEDCBA第15题图第16题图第17题图NM DCBAE已知抛物线的顶点为A ，它与y 轴的交点为B ． （1）求线段AB 的长；（2）平移该抛物线，使其顶点在y 轴上，且与x 轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式．21．（本题满分10分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，对角线AC 、BD 交于点E ． （1）设，=BC b ，试用、的线性组合表示向量． （2）如果∠ABC ＝90°，AC ⊥BD ，求四边形ABCD 的面积．=++y x x 232AC a =a b CD EDCBA第21题图在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN ，树根部为B 、树顶端为A ，其中MN =1.5m ，视线MB 的仰角为α（已知=α6tan 1），视线MA 的仰角为β（已知=β4tan 3）． （1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH 的长度，就可以了．”设NH =a ，请你用含有a 的代数式表示松树（AB ）的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH 的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树（AB ）的高度．23．（本题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AD ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，再过点C 作CF ⊥CD 交直线AE 于点F ．（1）求证：⋅=⋅CA CD CB CF ； （2）联结CE ，求证：∠ACE ＝∠F ．DCAFE 第22题图第23题图24．（本题满分12分）如图，直线=−+y x 3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B .对称轴为直线x =1的抛物线经过点A 、B ，其与x 轴的另一交点为C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB 上点P 处，得到新抛物线L ，其与直线=−+y x 3的另一个交点为Q ．①如果抛物线L 经过点A ，且与x 轴的另一交点为D ，求线段CD 的长；②试问：△CPQ 的面积是否随点P 在线段AB 上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出△CPQ 面积．25．（本题满分14分）如图，O 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，BH ⊥CO 交AC 于D ，垂足为H ，联结OD ． （1）求证：=C •BC AC D 2；（2）如果△ODH 与△ABC 相似，求其相似比； （3）如果BH ∶DH ＝4∶1，求∠ADO 的大小．=++y ax bx c 2HDOCBAOBAy第24题图一、选择题：（本大题6小题，每小题4分，满分24参考答案分）1.A ；2.D ；3.B ；4.C ；5.C ；6.B . 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．73； 8．否； 9．=+−y x 2112)(等； 10．<； 11．54； 12．21； 13．31； 14．1.6； 15．=−y x x 21012； 16．2︰3； 17.139； 18．两者关于原点中心对称，如果点（s ，t ）在L 1上，那么点（-s ，-t ）在L 2上；反之亦然.注：第1空，只要给出一个不错的结论，可得1分；第2空，能言之有理，也可得1分. 第18题得分为0、1、2、3、4，其余均为0、4.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．原式=⎝⎭⎪ ⎪⨯⎛⎫2222————————（1+1+1+1）−413)————————（1+2+1） =−47————————（2）20. （1）顶点−A 1,2)(，交点B 0,3)(，————————（2+1）AB————————（2）（2）由题意知：x 轴上两交点为2,0)(与−2,0)(，————————（2） 则抛物线的表达式为=+−y x x 22)()(，————————（2） 即=−y x 42.————————（1）21.解：（1）1AD b =3，————————（2） =CD CA AD =+————————（2） =1a b −+3；————————（1） （2）证：△DAB ∽△ABC ，————————（3）得：=AB （1）所以，四边形ABCD 面积为（1）22.解：（1）过M 作MT ∥NH 交AH 于T . ————————（1）在△MAT 中，可得：=⋅∠=AT MT AMT a 4tan 3，————————（2） 在△MBT 中，可得：=⋅∠=BT MT BMT a 6tan 1，————————（1） 所以，=AB a 127；————————（1） （2）将2米的直尺一端放置于松树底边B 处，另一段靠在树干上点C 处，继续用测角仪测出点C 的仰角，记为γ，————————（2）在△MCT 中，可得：=⋅∠=⋅γCT MT CMT a tan tan ，————————（1）由⋅−=γa a 6tan 21，————————（1） 得：−=γa 6tan 112则−=γAB 6tan 17.————————（1）23.（1）证：∠ACF =∠BCD ，————————（2） 证：∠F =∠BDC ，————————（2） 证：△ACF ∽△BCD ，————————（1）证：⋅=⋅CA CD CB CF .————————（1） （2）记对角线AC 与BD 的交点为O .证：△AOE ∽△DOA ，————————（2） 证：△OCE ∽△ODC ，————————（2） 得：∠OCE =∠ODC ，————————（1） 得：∠ACE =∠F .————————（1）24.（1）由直线=−+y x 3，得：点A （3,0）、B （0,3）. ————————（1）由题意得：⎩−=⎪⎪⎨=++⎪=⎪⎧ab a bc c 210933，————————（2）得：=−++y x x 232；————————（1）（2）①令−+P s s ,3)(，则抛物线L ：=−−−+y x s s 32)(，——————（1）由过点A ，得抛物线L ：=−+−y x x 432，————————（1）得：D （1,0），————————（1）即CD =2；————————（1）②由⎩⎪=−+⎨⎪=−−−+⎧y x y x s s 332)(，————————（1） 得+−+Q s s 1,2)(，————————（1） 所以面积不变，面积为2. ————————（2）25.（1）证：∠OCA =∠OAC ，————————（1）证：∠OCD =∠CBD ，————————（1） 得：∠A =∠CBD ，证：△BCD ∽△CAB ，————————（1） 得：=⋅BC AC CD 2————————（1）（2）当∠DOH =∠A 时，可得∠A =30°，————————（1）则相似比为6，————————（2） 当∠ODH =∠A 时，可得D 为边AC 中点，————————（1）————————（1） 注：两种情况顺序无关.（3）由BH ∶DH =4∶1，得：BC ∶CD =2∶1，————————（2） 过O 作OT ⊥AC ，垂足为T . ————————（1）证：DT =OT , ————————（1） 得：∠ADO =45°. ————————（1）。
2024年上海市青浦区中考一模 数学 试题(学生版+解析版)
2024年上海市青浦区中考一模数学试题（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）］下列图形中，一定相似的是(A.两个等腰三角形B.两个菱形C.两个正方形D两个等腰梯形2.已知，在Rtt.ABC中，乙C=90°,BC=l2, AC=5,则cosA的值是()厂二5 12 5A— B - C.— D.旦12 5 13 133如图，在＂田C中，点D、E分别在边AB、AC上，LADE=LC,则下列判断错误的是() AB CA.啤D＝乙BB.DE-AC=BC-AF,C.AD·AB=AE·AC4.下列说法中，正确的是()A.a+（－句＝0C.如果lal=I叶，那么ii=bD. 1二＝（告）2B如果e是单位向量，那么e=lD如果a非零向量，且b=-2a,那么all b5.如图，在"ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上，点F,G在边BC上，且E F II AB,EG II AC,则下列结论一定正确的是（AEF AC..BF DG _ DF DCB. BD ACA.—=——=—C.—=—D.—=—A B EC FD GC DE DA FD EC6.如图，二次函数y＝釭2+bx+c(a-#0)的图像的顶点在第一象限，且过点(0,1)和(-1,0)，下列结论：CDc=l;＠动<0:@a-h+c=O:＠当x>-1时，y>O．其中正确结论的个数是（） ｀｀A.l个B.2个C.3个D.4个二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）a 4 a-b7.如果一＝－，那么——-＝b 3 b8.已知线段AB=2,点P是AB的黄金分割点，且AP<BP.那么BP=.9已知向量d与单位向量e方向相同，且I a 1=3,那么a=.（用向矗e的式千表示）10如果两个相似三角形的周长的比等千1:3,那么它们的面积的比等千11.如果抛物线y=x i +bx+2的对称轴是直线x=2,那么b的值等千．12如果点A(2,y1)和点B(3,y2)是抛物线y=x2+m(m常数）上的两点，那么Y1Y2.（填">”、"="、“<”)13如图，某人沿养斜坡AB方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡AB的坡比i=A/14如果抛物线y= ax2 +bx+c(a :;c 0)的顶点在x轴的正半轴上，那么这条抛物线的表达式可以是．（只需写一个）15如图，点G为等腰臼角三角形ABC重心，乙ACB=90°,连接CG,如果AC=3✓2,那么CG=cABl6如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、8、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交千点O,那么sin乙BOD 的值为．c\勹l7如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD =4,点E 在边AD 上，将..CDE沿直线CE翻折，点D的对应点为点G.延长DG 交边AB千点F,如果BF=1,那么DE的长为A“~B(..18规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图＠当乙P.MN>90时，线段RM 的长度是点R 到线MN 的距离，当乙PiGN =90°时，线段PiG 的长度是点P2到线段MN的距离如图＠，在__ ABC中，L.C=90°,A C=3✓5, tanB=2,点D 为边AC 上一点，6石AD =2DC ,如果点Q为边AB 上一点，且点Q 到线段D C 的距离不超过－－，设A Q 的长为d,那么d的取值范围为\b A 三二三、解答题（本大题共7题，满分78分）19计算[厂言言严玉叩沪伶顷寸＋l tan 60°一石＇20.如图，梯形ABCD中，ADIi BC,对角线AC、BD相交千点o,BC=2AD, OD=l.二c(I)求BD的长；(2)如果A B=a,B C=b,试用a,b表示向量oB.321如图，在－ABC中，AB=AC=5,tanC=－，乙BAC的平分线AD交边BC于点D,点E在边AC4上，且E C=2AE,BE与AD相交千点F.cD(I)求BC的长；(2)求EF:BF的值22.北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量”浦仓路桥顶部到水面的距离＂的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取B、C两点，在B处测得浦仓路桥顶部点A的仰角为22°，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至C处，在C处测得点A的仰角为37°,在D处测得地面BD到水面EF的距离DE为1.2米（点B、C、D在一条直线上，BD/1EF, DE..l EF, AF..l EF)，求浦仓路桥顶部A到水面的距离AF.（精确到0.1米）（参考数据：sin22° � 0.37, cos 22° � 0.93, tan 22° � 0.40 ; siJ137° � 0.60, cos 37° � 0.80, tan37°：：：：。
2023上海普陀区中考初三一模数学试题及答案
2023年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）下列函数图象中，与y 轴交点的坐标是(0,1)的是()A ．2y x =B ．21y x =-C ．221y x =+D ．22(1)y x =+2．（4分）在Rt ABC ∆中，已知90ACB ∠=︒，2tan 3B =，4AC =，那么BC 的长是()A ．6B ．3C ．D ．3．（4分）如果二次函数2()y x m k =-+的图象如图所示，那么下列说法中正确的是()A ．0m >，0k >B ．0m >，0k <C ．0m <，0k >D ．0m <，0k <4．（4分）如图，已知D 是AB 的中点，EA AB ⊥，CB AB ⊥，2AE AB BC ==，那么下列结论中错误的是()A ．ED AC =B ．EDAC ∠=∠C ．ED AC ⊥D ．30CAB ∠=︒5．（4分）已知k 为实数，a 是非零向量，下列关于ka 的说法中正确的是()A ．如果0k =，那么0ka = B ．如果k 是正整数，那么ka 表示k 个a 相加C ．如果0k ≠，那么||||ka k a = D ．如果0k ≠，ka 与a 的方向一定相同6．（4分）在ABC ∆和DEF ∆中，已知AB AC =，DE DF =，如果从下列条件中增添一个条件，ABC ∆与DEF ∆仍不一定相似，那么这个条件是()A ．A D ∠=∠B ．B E ∠=∠C ．A E ∠=∠D ．AB DE BC EF=二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知32x y =，10x y +=，那么x y -=．8．（4分）已知反比例函数(0)k y k x =≠的图象在第一、三象限，如果120x x <<，那么1y 2y （填“>”、“<”或“=“)9．（4分）已知二次函数2(1)31y a x x =-+-的图象有最高点，那么a 的取值范围是．10．（4分）已知抛物线2(2)y mx m x =-+的对称轴是直线1x =，那么m 的值等于．11．（4分）已知点(1,)A a 在抛物线221y x =-+上，将此抛物线沿着y 轴向上平移3个单位，点A 随之平移到点A '的位置，那么点A '的坐标是．12．（4分）已知C 是线段AB 的中点，设AB a = ，那么AB BC +=.（用向量a 表示）13．（4分）在ABC ∆中，5AC =，12BC =，13AB =，那么sin B =．14．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，BAC ADC ∠=∠，如果2AD =，5BC =，那么AC =．15．（4分）如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点A 、B 、C 、D 都在小正方形顶点的位置上，AD 与BC 交于点E ，那么BE 的长是．16．（4分）如图，ABC ∆中的一边BC 与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边AB 、AC 分别与刻度尺的另一边交于点D 、E ，点B 、C 、D 、E 在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么ABC ∆的面积是．17．（4分）如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，BAD C ∠=∠，B EAC ∠=∠，如果4BD =，3EC =，那么AB AC 的值是．18．（4分）如图，在ABC ∆中，AD 为边BC 上的中线，2BC AC =，6BC =，2AD =．将ADC ∆绕点D 以逆时针方向旋转得到△A DC ''，点A '、C '分别与点A 、C 对应．联结BC '，BC '与线段AD 交于点G ．如果点A '、A 、C '在同一条直线上，那么C G '=．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：22sin 604cot 30cos 302sin 45tan 45︒-︒⋅︒︒+︒．20．（10分）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，E 是BC 上一点，//AE CD ，AE 、BD 相交于点F ，:1:3EF CD =．（1）求BE AD的值；（2）联结FC ，设AB a = ，FE b = ，那么BF =，FC = .（用向量a 、b 表示）21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数(0)y kx k =≠的图象与反比例函数3(0)y x x=>的图象交于点(3,)A a ．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图象向上平移(0)m m >个单位，新函数的图象与反比例函数3(0)y x x=>的图象交于点B ，如果点B 的纵坐标是横坐标的3倍，求m 的值．22．（10分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD 射到池底点D处，入射角30∠=︒；入射光线AC射到水池的水∠=︒，折射角22DBNABM面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角60ACM∠'=︒，折射角DE BC，MN、M N''为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE ∠'=︒．//40.5ECN及法线MN、M N''都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；（结果保留根号）（2）如果8.72DE=米，求水池的深．取1.41取1.73，sin22︒取0.37，cos22︒取0.93，tan22︒取0.4，sin40.5︒取0.65，cos40.5︒取0.76，tan40.5︒取0.85)⋅=⋅，ABE AED∠=∠．（1）求证：ABE ECD∆∆∽；（2）如果F 、G 、H 分别是AE 、DE 、AD 的中点，联结BF 、HF 、HG 、CG ．求证：BF HF CG HG ⋅=⋅．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，其中点A 的坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的表达式，并写出点D 的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一点M ，且点M 在第二象限，如果点M 到x 轴的距离与它到直线BD 的距离相等，求点M 的坐标；（3）抛物线上有一点N ，直线ON 恰好经过OBD ∆的重心，求点N 到x 轴的距离．25．（14分）如图，在矩形ABCD 中，3tan 4ABD ∠=，E 是边DC 上一动点，F 是线段DE延长线上一点，且EAF ABD∠=∠，AF与矩形对角线BD交于点G．（1）当点F与点C重合时，如果6AD=，求DE的长；（2）当点F在线段DC的延长线上，①求AGAE的值；②如果3DE CF=，求AED∠的余切值．参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）下列函数图象中，与y 轴交点的坐标是(0,1)的是()A ．2y x =B ．21y x =-C ．221y x =+D ．22(1)y x =+【分析】把(0,1)代入解析式，解答即可．解：A ．当0x =时，2001y =⨯=≠，不符合题意；B ．当0x =时，20111y =⨯-=-≠，不符合题意；C ．当0x =时，2011y =⨯+=，符合题意；D ．当0x =时，22(01)21y =⨯+=≠，不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点都在该函数的图象上．2．（4分）在Rt ABC ∆中，已知90ACB ∠=︒，2tan 3B =，4AC =，那么BC 的长是()A ．6B ．3C ．D ．【分析】根据三角函数中正切值的定义解决此题．解：如图．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2tan 3B =，4AC =，42tan 3AC B BC BC ∴===．6BC ∴=．故选：A ．【点评】本题主要考查正切值，熟练掌握正切值的定义是解决本题的关键．3．（4分）如果二次函数2()y x m k =-+的图象如图所示，那么下列说法中正确的是()A ．0m >，0k >B ．0m >，0k <C ．0m <，0k >D ．0m <，0k <【分析】根据解析式知，m ，k 是抛物线的顶点坐标，再根据函数图象得出结论．解：2()y x m k =-+ ，顶点坐标为(,)m k ，由图象可得，0m >，0k <，故选：B ．【点评】本题考查了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是能根据图象找出二次函数的顶点存在的特点、性质．4．（4分）如图，已知D 是AB 的中点，EA AB ⊥，CB AB ⊥，2AE AB BC ==，那么下列结论中错误的是()A ．ED AC =B ．EDAC ∠=∠C ．ED AC ⊥D ．30CAB ∠=︒【分析】用SAS 证明EAD ABC ∆≅∆，得ADE C ∠=∠，可证90AFD ∠=︒，从而说明A 、B 、C 正确．解：设AC 交DE 于点F ．点D 是AB 的中点，AD DB ∴=，2AE AB BC == ，AD BC ∴=，EA AB ⊥ ，CB AB ⊥，90EAD B ∴∠=∠=︒，在EAD ∆和ABC ∆中，90AE BA EAD B AD BC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()EAD ABC SAS ∴∆≅∆，ED AC ∴=，ADE C ∠=∠，90A C ∠+∠=︒ ，90A ADE ∴∠+∠=︒，AC DE ∴⊥，故选项A ，B ，C 正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30︒角的直角三角形的性质等知识，证明DAE ABC ∆≅∆是解题的关键．5．（4分）已知k 为实数，a 是非零向量，下列关于ka 的说法中正确的是()A ．如果0k =，那么0ka = B ．如果k 是正整数，那么ka 表示k 个a 相加C ．如果0k ≠，那么||||ka k a = D ．如果0k ≠，ka 与a 的方向一定相同【分析】若0k =，则0ka = ；当0k <时，||||ka k a =- ；当0k <时，ka 与a 的方向相反，由此可得答案．解：A ．若0k =，则0ka = ，故A 选项错误，不符合题意；B ．若k 是正整数，则ka 表示k 个a 相加，故B 选项正确，符合题意；C ．当0k <时，||||ka k a =- ，故C 选项错误，不符合题意；D ．当0k <时，ka 与a 的方向相反，故D 选项错误，不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．6．（4分）在ABC ∆和DEF ∆中，已知AB AC =，DE DF =，如果从下列条件中增添一个条件，ABC ∆与DEF ∆仍不一定相似，那么这个条件是()A ．A D ∠=∠B ．B E ∠=∠C ．A E ∠=∠D ．AB DE BC EF=【分析】利用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定解决问题即可．解：A 、由A D ∠=∠，可以根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选项不符合题意；B 、由B E ∠=∠，可以推出A D ∠=∠根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选项不符合题意；C 、由A E ∠=∠，不能判定两三角形相似．本选项符合题意；D 、由AB DE BC EF =，可以推出AB AC BC DE DF EF==，根据三边成比例两三角形相似，本选项不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知32x y =，10x y +=，那么x y -=2．【分析】直接利用已知代入求出y 的值，即可得出x 的值，进而得出答案．解： 32x y =，10x y +=，32x y ∴=，则3102y y +=，解得：4y =，故6x =，那么642x y -=-=．故答案为：2．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．8．（4分）已知反比例函数(0)k y k x =≠的图象在第一、三象限，如果120x x <<，那么1y >2y （填“>”、“<”或“=“)【分析】先根据反比例函数(0)k y k x=≠的图象在第一、三象限可知0k >，故在每一象限内y 随x 的增大而减小，据此可得出结论．解： 反比例函数(0)k y k x=≠的图象在第一、三象限，0k ∴>，在每一象限内y 随x 的增大而减小．120x x << ，12y y ∴>．故答案为：>．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数的增减性是解题的关键．9．（4分）已知二次函数2(1)31y a x x =-+-的图象有最高点，那么a 的取值范围是1a <．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．解：由题意可知：10a -<，1a ∴<，故答案为：1a <．【点评】本题考查二次函数图象与系数关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．10．（4分）已知抛物线2(2)y mx m x =-+的对称轴是直线1x =，那么m 的值等于2．【分析】由对称轴公式可得到关于m 的方程，可求得答案．解：2(2)y mx m x =-+ 的对称轴是直线1x =，(2)12m m -+∴-=，解得：2m =．故答案为：2．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即2y ax bx c =++的对称轴为2b x a=-．11．（4分）已知点(1,)A a 在抛物线221y x =-+上，将此抛物线沿着y 轴向上平移3个单位，点A 随之平移到点A '的位置，那么点A '的坐标是(1,2)．【分析】确定平移后得顶点坐标，再根据顶点式写出最后抛物线的解析式，进而解答即可．解：抛物线221y x =-+上，将此抛物线沿着y 轴向上平移3个单位，得到的抛物线是2213y x =-++，即224y x =-+，把1x =，y a =代入221y x =-+中，可得：21a -+=，解得：1a =-，∴点A '的坐标是(1,2)，故答案为：(1,2)．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，关键是根据平移的规律解答．12．（4分）已知C 是线段AB 的中点，设AB a = ，那么AB BC += 12a .（用向量a 表示）【分析】由题意得12BC a =- ，则11()22AB BC a a a +=+-= ．解：C 是线段AB 的中点，AB a = ，∴12BC a =- ，∴11()22AB BC a a a +=+-= ．故答案为：12a ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加法运算法则是解答本题的关键．13．（4分）在ABC ∆中，5AC =，12BC =，13AB =，那么sin B =513．【分析】首先根据题意得出ABC ∆为直角三角形，再画出图形，其中5AC =，12BC =，13AB =；然后根据sin AC B AB=计算即可．解：5AC = ，12BC =，13AB =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，如图所示：在Rt ABC ∆中，5AC =，12BC =，13AB =，则5sin 13AC B AB ==．【点评】本题考解直角三角形，牢记锐角三角函数的定义是解题关键．14．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，BAC ADC ∠=∠，如果2AD =，5BC =，那么AC =【分析】先根据平行线的性质得到DAC ACB ∠=∠，加上BAC ADC ∠=∠，则利用相似三角形的判定方法可判断ABC DCA ∆∆∽，然后利用相似比可求出AC 的长．解：//AD BC ，DAC ACB ∴∠=∠，BAC ADC ∠=∠ ，ABC DCA ∴∆∆∽，::AC AD BC AC ∴=，即:25:AC AC =，解得AC =，即AC ．．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．15．（4分）如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点A、B、C、D都在小正方形顶点的位置上，AD与BC交于点E，那么BE的长是 2.5．【分析】先根据勾股定理，得5BC=，再根据比例线段求出BE．解：连接BD，根据勾股定理，得5BC==，//AB CD，ABE DEC∴∆∆∽，∴AB BE CD EC=，∴245BE =，解得： 2.5BE=，故答案为：2.5．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，掌握两个知识点的应用，推出比例线段是解题关键．16．（4分）如图，ABC∆中的一边BC与双边平行且单位相同的刻度尺的一边重合，边AB、AC分别与刻度尺的另一边交于点D、E，点B、C、D、E在刻度尺上的读数分别为0、5、1、3，如果刻度尺的宽度为3，那么ABC∆的面积是252．【分析】过点A作AF DE⊥，垂足为G，并延长AG交BC于点H，根据题意得：2DE=，5BC=，3GH=，//DE BC，从而可得ADE ABC∠=∠，AED ACB∠=∠，然后证明A字模型相似三角形ADE ABC∆∆∽，从而利用相似三角形的性质求出AH的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．解：过点A作AF DE⊥，垂足为G，并延长AG交BC于点H，由题意得：2DE=，5BC=，3GH=，//DE BC，ADE ABC∴∠=∠，AED ACB∠=∠，ADE ABC∴∆∆∽，∴DE AG BC AH=，∴23 5AHAH-=，解得：5AH =，ABC ∴∆的面积112555222BC AH =⋅=⨯⨯=，故答案为：252．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．（4分）如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，BAD C ∠=∠，B EAC ∠=∠，如果4BD =，3EC =，那么AB AC 的值是233．【分析】由BAD C ∠=∠，B B ∠=∠，得BAD BCA ∆∆∽，有2AB BC BD =⋅，同理可得2AC BC CE =⋅，故2243AB BC BD BD AC BC CE CE ⋅===⋅，即可得答案．解：BAD C ∠=∠ ，B B ∠=∠，BAD BCA ∴∆∆∽，∴AB BD BC AB=，2AB BC BD ∴=⋅，B EAC ∠=∠ ，C C ∠=∠，ACE BCA ∴∆∆∽，∴AC CE BC AC=，2AC BC CE ∴=⋅，∴2243AB BC BD BD AC BC CE CE ⋅===⋅，∴3AB AC =，故答案为：3．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．18．（4分）如图，在ABC ∆中，AD 为边BC 上的中线，2BC AC =，6BC =，2AD =．将ADC ∆绕点D 以逆时针方向旋转得到△A DC ''，点A '、C '分别与点A 、C 对应．联结BC '，BC '与线段AD 交于点G ．如果点A '、A 、C '在同一条直线上，那么C G '=7．【分析】以D 为原点，DC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，过A 作AH DC ⊥于H ，设A C ''交y 轴于M ，由AD 为边BC 上的中线，2BC AC =，6BC =，可得3BD CD AC ===，(3,0)B -，设DH m =，由22222AD DH AH AC CH -==-，可得23m =，故23DH =，423AH =，2(3A ，423，直线DA解析式为y =，根据将ADC ∆绕点D 以逆时针方向旋转得到△A DC ''，可证//A C DC ''，得四边形AMDH 是矩形，从而求得7(3C '，423，直线BC '解析式为23244y x =+，联立44y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得3(7G ，62)7，即可得到答案．解：以D 为原点，DC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，过A 作AH DC ⊥于H ，设A C ''交y 轴于M，如图：AD 为边BC 上的中线，2BC AC =，6BC =，3BD CD AC ∴===，(3,0)B ∴-，设DH m =，则3CH m =-，22222AD DH AH AC CH -==- ，222223(3)m m ∴-=--，解得23m =，23DH ∴=，423AH =，2(3A ∴，423，由(0,0)D ，2(3A ，3得直线DA 解析式为y =， 将ADC ∆绕点D 以逆时针方向旋转得到△A DC ''，AD A D '∴=，CAD C A D ''∠=∠，AA D A AD ''∴∠=∠，CAD A AD '∴∠=∠，AC CD = ，CAD ADC ∴∠=∠，A AD ADC '∴∠=∠，//A C DC ''∴，∴四边形AMDH 是矩形，23AM DH ∴==，423DM AH ==，AD A D '= ，23A M AM '∴==，27333C M A C A M ''''∴=-=-=，7(3C '∴，由(3,0)B -，7(3C '得直线BC '解析式为y =+联立23244y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得37627x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3(7G ∴，)7，7C G '∴==，故答案为：7．【点评】本题考查三角形中的旋转问题，解题的关键是建立直角坐标系，求出相关点的坐标．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：22sin 604cot 30cos 302sin 45tan 45︒-︒⋅︒︒+︒．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：原式34=-==-=．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（10分）如图，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，E 是BC 上一点，//AE CD ，AE 、BD 相交于点F ，:1:3EF CD =．（1）求BE AD的值；（2）联结FC ，设AB a = ，FE b = ，那么BF =2b a -，FC = .（用向量a 、b 表示）【分析】（1）根据题意可证明四边形AECD 为平行四边形，得到AE CD =，则:1:3EF AE =，:1:2EF AF =，易证明BEF DAF ∆∆∽，由相似三角形的性质即可求解；（2）由2AF EF =得2AF b =，3AE b =，由三角形法则求出BF 和BE ，再求出BC ，最后利用三角形法则即可求出FC ．解：//AD BC ，//AE CD ，∴四边形AECD 为平行四边形，AE CD ∴=，:1:3EF CD = ，:1:3EF AE ∴=，:1:2EF AF =，//AD BC ，BEF DAF ∴∆∆∽，∴12BE EF AD AF ==；（2）联结FC ，如图，由（1）可得2AF EF =，FE b = ，∴2AF b =，3AE b =，∴2BF AF AB b a =-=-，3BE AE AB b a =-=-，12BE AD =，AD EC =，∴2(3)62EC b a b a =-=-，∴36293BC BE EC b a b a b a =+=-+-=-，∴93272FC BC BF b a b a b a =-=--+=-．故答案为：2b a -，72b a -．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平面向量，熟练三角形法则是解题关键．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数(0)y kx k=≠的图象与反比例函数3(0)y xx=>的图象交于点(3,)A a．（1）求这个正比例函数的解析式；（2）将这个正比例函数的图象向上平移(0)m m>个单位，新函数的图象与反比例函数3(0)y xx=>的图象交于点B，如果点B的纵坐标是横坐标的3倍，求m的值．【分析】（1）将点(3,)A a代入反比例函数3yx=，求出a的值，再待定系数法求正比例函数解析式即可；（2）设点B横坐标为t，则纵坐标为3t，根据点B的纵坐标是横坐标的3倍，列方程求出t的值，即可确定点B坐标，再将点B坐标代入13y x m=+，即可求出m的值．解：（1）根据题意，将点(3,)A a代入反比例函数3 yx =，得33a=，解得1a=，∴点A坐标为(3,1)，将点(3,1)A代入正比例函数y kx=，得31k=，解得13 k=，∴正比例函数解析式为13y x =；（2）这个正比例函数的图象向上平移(0)m m>个单位，得13y x m =+，设点B横坐标为t，则纵坐标为3 t，点B的纵坐标是横坐标的3倍，∴33t t=，解得1t=或1t=-（舍)，∴点B坐标为(1,3)，将点B坐标代入13y x m =+，得133m =+，解得83 m=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．22．（10分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD 射到池底点D处，入射角30ABM∠=︒，折射角22DBN∠=︒；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角60ACM∠'=︒，折射角40.5ECN∠'=︒．//DE BC，MN、M N''为法线．入射光线AB、AC和折射光线BD、CE 及法线MN、M N''都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；（结果保留根号）（2）如果8.72DE =米，求水池的深．取1.41取1.73，sin 22︒取0.37，cos 22︒取0.93，tan 22︒取0.4，sin 40.5︒取0.65，cos 40.5︒取0.76，tan 40.5︒取0.85)【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得CF 和BF 的值，然后即可计算出BC 的值；（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深．解：（1）作AF BC ⊥，交CB 的延长线于点F ，则////AF MN M N ''，ABM BAF ∴∠=∠，ACM CAF ∠'=∠，30ABM ∠=︒ ，60ACM ∠'=︒，30BAF ∴∠=︒，60CAF ∠=︒，6AF = 米，tan 3063BF AF ∴=⋅︒=⨯=（米)，tan 606CF AF =⋅︒==（米)，BC CF BF ∴=-=-=)，即BC 的长为米；（2）设水池的深为x 米，则BN CN x ='=米，由题意可知：22∠'=︒．8.72DE=米，ECN∠=︒，40.5DBNN E CN x'='⋅︒≈（米)，∴=⋅︒≈（米)，tan40.50.85DN BN xtan220.4，+=+'DN DE BC N E∴+=+，0.48.720.85x x解得4x≈，即水池的深约为4米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，E为BC上一点，AB DE AE EC⋅=⋅，∠=∠．ABE AED（1）求证：ABE ECD∽；∆∆（2）如果F、G、H分别是AE、DE、AD的中点，联结BF、HF、HG、CG．求证：BF HF CG HG⋅=⋅．【分析】（1）将AB DE AE EC ⋅=⋅变形为AB AE EC DE=，由ABE AED ∠=∠，根据三角形的内角和定理推导出BAE CED ∠=∠，即可证明ABE ECD ∆∆∽；（2）根据三角形的中位线定理得//HF ED ，12HF ED =，12EG ED =，2AE AF =，2DE EG =，可证明四边形EFHG 是平行四形，则AF EF HG ==，再证明ABF ECG ∆∆∽，得BF AF HG CG EG HF==，所以BF HF CG HG ⋅=⋅．【解答】证明：（1）如图1，AB DE AE EC ⋅=⋅ ，∴AB AE EC DE =，ABE AED ∠=∠ ，180180ABE AEB AED AEB ∴︒-∠-∠=︒-∠-∠，180BAE ABE AEB ∠=︒-∠-∠ ，180CED AED AEB ∠=︒-∠-∠，BAE CED ∴∠=∠，ABE ECD ∴∆∆∽．（2）如图2，F 、G 、H 分别是AE 、DE 、AD 的中点，//HF ED ∴，12HF ED =，12EG ED =，2AE AF =，2DE EG =，//HF EG ∴，HF EG =，∴四边形EFHG 是平行四形，AF EF HG ∴==， 22AB AE AF AF EC DE EG EG===，BAF CEG ∠=∠，ABF ECG ∴∆∆∽，∴BF AF CG EG=，∴BF HG CG HF=，BF HF CG HG ∴⋅=⋅．【点评】此题重点考查三角形的内角和定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、平行线边形的判定等知识，证明四边形EFHG 是平行四形及ABF ECG ∆∆∽是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），抛物线22(0)y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，其中点A 的坐标为(1,0)，与y 轴交于点(0,3)C -．抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的表达式，并写出点D 的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一点M ，且点M 在第二象限，如果点M 到x 轴的距离与它到直线BD 的距离相等，求点M 的坐标；（3）抛物线上有一点N ，直线ON 恰好经过OBD ∆的重心，求点N 到x 轴的距离．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点(1,)M m -，则MH m MN ==，在Rt BDH ∆中，21tan 42BH BDH DH ∠===，则sin4m BDH m ∠=+，即可求解；（3）直线ON 恰好经过OBD ∆的重心，则ON 为BD 边上的中线，由点B 、D 的坐标得BD 的中点坐标为(2,2)--，进而求解．解：（1）由题意得：320c a c =-⎧⎨++=⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：223y x x =+-，则抛物线的对称轴为1x =-，则点(1,4)D --；（2）设抛物线的对称轴交x 轴于点R ，过点M 作MR BC ⊥于点R ，设点(1,)M m -，则MH m MR ==，在Rt BDH ∆中，21tan 42BH BDH DH ∠===，则sin 4MR m BDH MD m ∠==+，解得：1m =+，即点M的坐标为：(1)-+；（3） 直线ON 恰好经过OBD ∆的重心，则ON 为BD 边上的中线，由点B 、D 的坐标得BD 的中点坐标为(2,2)--，则直线ON 的表达式为：y x =，联立223y x x =+-和y x =并解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点N 的坐标为113(2-，1132+-，故点N 到x轴的距离为：12+．【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到重心的定义、解直角三角形、一次函数的应用等知识点，数形结合是本题解题的关键．25．（14分）如图，在矩形ABCD 中，3tan 4ABD ∠=，E 是边DC 上一动点，F 是线段DE 延长线上一点，且EAF ABD ∠=∠，AF 与矩形对角线BD 交于点G ．（1）当点F 与点C 重合时，如果6AD =，求DE 的长；（2）当点F 在线段DC 的延长线上，①求AG AE的值；②如果3DE CF =，求AED ∠的余切值．【分析】（1）设DE x =，根据矩形的性质即解直角三角形推出8CD AB ==，8AE CE x ==-，根据勾股定理得到2226(8)x x +=-，据此求解即可；（2）①AE 交BD 于点M ，连接EG ，根据相似三角形的判定与性质推出AMG DME ∆∆∽，AMD GME ∆∆∽，ABD GAE ∆∆∽，根据相似三角形的性质得出AB AG BD AE=，设3AD a =，则4AB a =，根据勾股定理求出5BD a =，据此求解即可；②设3AD a =，则4CD AB a ==，设CF x =，且0a >，0x >，则4DF a x =+，根据锐角三角函数得到cot DE x AED AD a∠==，根据勾股定理求出AE =，AF =DGF BGA ∆∆∽，根据相似三角形的性质得AG AB FG DF =，进而求出13x a =，据此即可得解．解：（1）如图，当点F 与点C 重合时，设DE x =，四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，AC BD =，12DG BD =，12CG AC =，90ADC BAD ∠=∠=︒，AB CD =，ABD BDC ∴∠=∠，DG CG =，683tan 4AD CD AB ABD ====∠，ACD BDC ∴∠=∠，EAF ABD ∠=∠ ，EAF ACD ∴∠=∠，8AE CE x ∴==-，90ADC ∠=︒ ，222AD DE AE ∴+=，即2226(8)x x +=-，74x ∴=，74DE ∴=；（2）①如图，AE 交BD 于点M ，连接EG ，由（1）得，EAF BDC ∠=∠，AMG DME ∠=∠ ，AMG DME ∴∆∆∽，∴AM GM DM EM=，又AMD GME ∠=∠ ，AMD GME ∴∆∆∽，ADB GEA ∴∠=∠，ABD EAF ∠=∠ ，ABD GAE ∴∆∆∽，∴AB AG BD AE=，3tan 4AD ABD AB ∠== ，∴设3AD a =，则4AB a =，5BD a ∴===，∴4455AG AB a AE BD a ===；②如图，连接EG ，3tan 4AD ABD AB ∠== ，∴设3AD a =，则4CD AB a ==，设CF x =，且0a >，0x >，则4DF a x =+，3DE CF = ，3DE x ∴=，3cot 3DE x xAED AD a a ∴∠===，AE ==，AF ，//AB CD ，DGF BGA ∴∆∆∽，∴AG ABFG DF =，44aa x =+，AG ∴=，由①得，45 AGAE=，54AG AE∴=，54∴=，两边平方并整理得，22(3)(7)(3287)0x a x a x ax a-+++=，a>，0x>，30x a∴- ，2232870x ax a++>，30x a∴-=，∴13xa=，1 cot3AED∴∠=，即AED∠的余切值1 3．【点评】此题是相似综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键．。
2023上海宝山区中考数学一模试卷及答案
2023年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是()A ．23a b=B ．5a b +=C ．52a b a +=D ．312a b +=+2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:1:3AD BD =，那么下列条件中能判断//DE BC 的是()A ．14AE AC =B ．14AE EC =C ．14AD AB =D ．14DE BC =3．（4分）已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中，能判定向量a与向量b 方向相同的是()A ．//a c，//b cB ．||2||a b =C ．0a b +=D ．3,2a c b c== 4．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是()A ．2B ．12C ．5D 5．（4分）将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()A ．2y x =B ．23y x =-C ．(y =23)3x ++D ．(y =23)3x -+6．（4分）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是()A ．1205R <<B ．125R <C ．1235R < D ．1245R < ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段2a =，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c =．8．（4分）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为厘米．9．（4分）计算：2()3()a b a b --+=．10．（4分）如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是．11．（4分）抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是．12．（4分）正六边形的一个外角的度数为︒．13．（4分）已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是．14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为．（不要求写出定义域）15．（4分）如图，在ABC ∆中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，//EF AB ，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC ∆的面积为2cm ．16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于．17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为．18．（4分）如图，已知ABC ∆中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF 的长为．三、解答题（共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan 452cos 60|1cot 30|sin 601︒︒--︒+︒-．20．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．21．（10分）如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．22．（10分）如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C ．（1）写出“图象U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF ∆与ABC ∆相似，求点P 的坐标．25．（14分）如图1，在ABC ∆中，15,cot2BC AB ABC ==∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF ∆是等腰三角形时，求:DF FB 的值．参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．（4分）已知线段a 、b ，如果:2:3a b =，那么下列各式中一定正确的是()A ．23a b=B ．5a b +=C ．52a b a +=D ．312a b +=+【分析】根据比例的性质进行判断即可．解：A 、由:2:3a b =，得32a b =，故本选项错误，不符合题意；B 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是10a b +=，故本选项错误，不符合题意；C 、由:2:3a b =，得52a b a +=，故本选项正确，符合题意；D 、当4a =，6b =时，:2:3a b =，但是3728a b +=+，故本选项错误，不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．2．（4分）在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果:1:3AD BD =，那么下列条件中能判断//DE BC 的是()A ．14AE AC =B ．14AE EC =C ．14AD AB =D ．14DE BC =【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．解：:1:3AD BD = ，∴14AD AB =，∴当14AE AC =时，AD AEAB AC=，//DE BC ∴，故A 选项能够判断//DE BC ；而C ，B ，D 选项不能判断//DE BC ．故选：A ．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．3．（4分）已知非零向量a 、b 、c ，下列条件中，能判定向量a 与向量b 方向相同的是()A ．//a c，//b cB ．||2||a b =C ．0a b +=D ．3,2a c b c== 【分析】由//,//a c b c，可得//a b ，则a 与b 的方向相同或相反；由||2||a b = 可知，a 与b 的方向相同或相反；由0a b += ，可得a b =- ，则a 与b 的方向相反，由3ac = ，2b c =，可得1132c a b == ，则a与b 的方向相同，即可得出答案．解：对于A 选项，由//,//a c b c，可得//a b ，∴a与b 的方向相同或相反，故A 选项不符合题意；对于B 选项，a与b 的方向相同或相反，故B 选项不符合题意；对于C 选项，由0a b += ，可得a b =-，∴a与b 的方向相反，故C 选项不符合题意；对于D 选项，由3a c = ，2b c =，可得1132c a b == ，∴a与b 的方向相同，故D 选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．4．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为β，那么tan β的值是()A ．2B ．12C ．5D 【分析】过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，根据垂直定义可得90ABO ∠=︒，根据已知可得2OB =，1AB =，然后在Rt ABO ∆中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．解：如图：过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，90ABO ∴∠=︒， 点(2,1)A ，2OB ∴=，1AB =，在Rt ABO ∆中，1tan 2AB OB β==，故选：B ．【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（4分）将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为()A ．2y x =B ．23y x =-C ．(y =23)3x ++D ．(y =23)3x -+【分析】根据左加右减的平移规律求解即可．解：将抛物线23y x =+向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为2(3)3y x =-+，故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．6．（4分）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =、4BC =．以C 为圆心作C ，如果圆C 与斜边AB 有两个公共点，那么圆C 的半径长R 的取值范围是()A ．1205R <<B ．125R <C ．1235R < D ．1245R < ．【分析】作CD AB ⊥于D ，由勾股定理求出AB ，由三角形的面积求出CD ，由AC BC >，可得以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点；若C 与斜边AB 有两个公共点，即可得出R 的取值范围．解：作CD AB ⊥于D ，如图所示：90ACB ∠=︒ ，3AC =，4BC =，5AB ∴==，ABC ∆ 的面积1122AB CD AC BC =⋅=⋅，125AC BC CD AB ⋅∴==，即圆心C 到AB 的距离125d =，AC BC < ，∴以C 为圆心，4R =为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，∴若C 与斜边AB 有两个公共点，则R 的取值范围是1235R < ．故选：C ．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知线段2a =，8b =，如果线段c 是a 、b 的比例中项，那么c =4．【分析】根据线段比例中项的概念::a c c b =，可得216c ab ==，即可求出c 的值．解： 线段c 是a 、b 的比例中项，22816c ab ∴===，解得：4c =±，又 线段是正数，4c ∴=．故答案为：4．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．8．（4分）已知一个三角形的三边之比为2:3:4，与它相似的另一个三角形ABC 的最小边长为4厘米，那么三角形ABC 的周长为18厘米．【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2:3:4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．解：所求三角形的三边的比是2:3:4，设最短边是2x 厘米，则24x =，解得2x =，因而另外两边的长是36x =厘米，48x =厘米．则三角形的周长是68418++=（厘米）．故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键．9．（4分）计算：2()3()a b a b --+= 5a b -- ．【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．解：2()3()a b a b --+ 2233a b a b=--- 5a b =-- ．故答案为：5a b -- ．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解答本题的关键．10．（4分）如果抛物线2y ax =的开口方向向下，那么a 的取值范围是0a <．【分析】由抛物线的开口方向与a 的关系求解．解： 抛物线2y ax =的开口方向向下，0a ∴<，故答案为：0a <．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握抛物线开口方向与a 的符号的关系．11．（4分）抛物线2(1)2y x =--+的对称轴是直线1x =．【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．解：2(1)2y x =--+ ，∴抛物线顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线1x =，故答案为：直线1x =．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．（4分）正六边形的一个外角的度数为60︒．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．解： 正六边形的外角和是360︒，∴正六边形的一个外角的度数为：360660︒÷=︒，故答案为：60．【点评】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．13．（4分）已知圆O 的半径为1，A 是圆O 内一点，如果将线段OA 的长记为d ，那么d 的取值范围是01d < ．【分析】根据点在圆内，0d r <，可得结论．解： 点A 在圆内，01d ∴< ，故答案为：01d <．【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP d =，则有：①点P 在圆外d r ⇔>②点P 在圆上d r ⇔=．③点P 在圆内d r ⇔<．14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为y 平方米，那么y 关于x 的函数解析式为(122)y x x =-．（不要求写出定义域）【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为(122)x -米，再利用矩形的面积公式，即可得出y 关于x 的函数解析式．解： 篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为x 米，∴花圃平行于墙的一边长为(122)x -米．根据题意得：(122)y x x =-．故答案为：(122)y x x =-．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 关于x 的函数解析式是解题的关键．15．（4分）如图，在ABC ∆中，已知线段EF 经过三角形的重心G ，//EF AB ，四边形ABFE 的面积为215cm ，那么ABC ∆的面积为272cm ．【分析】连接CG 并延长交AB 于H ，由G 为ABC ∆的重心，可得23CG CH =，而//EF AB ，有CEF CAB ∆∆∽，23CE CG CA CH ==，故224()39CEF CAB S S ∆∆==，设ABC S x ∆=2cm ，有1549x x -=，即可解得答案．解：连接CG 并延长交AB 于H ，如图：G 为ABC ∆的重心，2CG GH ∴=，∴23CG CH =，//EF AB ，CEF CAB ∴∆∆∽，23CE CG CA CH ==，∴23EF CE CG AB AC CH ===，∴224(39CEF CAB S S ∆∆==，设ABC S x ∆=2cm ，则2(15)CEF S x cm ∆=-，∴1549x x -=，解得27x =，故答案为：27．【点评】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于7．【分析】设另一个圆的半径长为r，根据两圆内切得出25-=，再求出r即可．rr-=或25解：设另一个圆的半径长为r，内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，r-=，∴-=或25r25解得：7r=-（半径不能为负，舍去），r=或3所以另一个圆的半径长是7．故答案为：7．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为a，()b a b>，两圆的圆心距为d，那么当a b d-=时，两圆的位置关系是内切．17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为11或21．【分析】设半径长分别为13和20的A、B相交于点E、点F，24EF=，连接AE、BE，则13BE=，再分两种情况讨论，一是点A、点B在直线EF的同侧，延长BA交AE=，20EF于点C，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得90CE CF==，BCE∠=︒，12可由勾股定理求得16=-=；二是点A、点B在直线EF的AB BC ACBC=，5AC=，则11异侧，BA 交EF 于点D ，则16BD =，5AD =，21AB BD AD =+=．解：半径长分别为13和20的A 、B 相交于点E 、点F ，24EF =，连接AE 、BE ，则13AE =，20BE =，如图1，点A 、点B 在直线EF 的同侧，延长BA 交EF 于点C ，AB 垂直平分EF ，90BCE ∴∠=︒，11241222CE CF EF ===⨯=，16BC ∴===，5AC ===，16511AB BC AC ∴=-=-=；如图2，点A 、点B 在直线EF 的异侧，BA 交EF 于点D ，90BDE ADE ∠=∠=︒ ，11241222DE DF EF ===⨯=，16BD ∴==，5AD ===，16521AB BD AD ∴=+=+=，综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，故答案为：11或21．【点评】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18．（4分）如图，已知ABC ∆中，2AB AC ==，36A ∠=︒．按下列步骤作图：步骤1：以点B 为圆心，小于BC 的长为半径作弧分别交BC 、AB 于点D 、E ；步骤2：分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧交于点M ；步骤3：作射线BM 交AC 于点F ．那么线段AF 的长为1．【分析】由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，可得36ABF CBF ∠=∠=︒，进而可得AF BC =，设BC AF x ==，则2CF x =-，结合已知条件证明BCF ACB ∆∆∽，则BC CF AC BC =，即22x x x-=，求出x 的值，即可得出答案．解：由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，ABF CBF ∴∠=∠，AB AC = ，36A ∠=︒，72ABC C ∴∠=∠=︒，36ABF CBF ∴∠=∠=︒，AF BF ∴=，18072BFC C CBF ∠=︒-∠-∠=︒，BC BF ∴=，AF BC ∴=，设BC AF x==，则2CF x=-，A CBF∠=∠，BCF ACB∠=∠，BCF ACB∴∆∆∽，∴BC CFAC BC=，即22x xx-=，解得1x=或1（舍去），1AF∴=-．1-．【点评】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan452cos60|1cot30|sin601︒︒--︒+︒-．【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．解：原式12|1|2=⨯-11)=-+112)=-+-24=---2=--．【点评】本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A 、(2,3)B -、(0,3)C -．（1）求抛物线的表达式；（2）点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D 的横坐标为2-，试求点E 的坐标．【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．（2）根据二次函数图象的对称性求得E 的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得E 的坐标．解：（1）由题意得，930a b c ++=，423a b c ++=-，3c =-．1a ∴=，2b =-．∴这个抛物线的表达式为223y x x =--．（2）由（1）得，223y x x =--．∴该抛物线的对称轴是直线1x =．点D 与点E 是抛物线上关于对称轴对称的两点，点D 的横坐标为2-，E ∴的横坐标是4．∴当4x =时，16835y =--=．(4,5)E ∴．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．21．（10分）如图，已知圆O 的弦AB 与直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ．（1）已知6AB =，2EC =，求圆O 的半径；（2）如果3DE EC =，求弦AB 所对的圆心角的度数．【分析】（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，先根据垂径定理得到3AE BE ==，CD AB ⊥，在Rt OAE ∆中利用勾股定理得到2223(2)r r +-=，然后解方程即可；（2）连接OB ，如图，先利用3DE EC =得到OE CE =，即12OE OA =，再利用正弦的定义得到30A ∠=︒，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算AOB ∠即可．解：（1）连接OA ，如图，设O 的半径为r ，则OA r =，2OE r =-，CD 平分AB ，3AE BE ∴==，CD AB ⊥，在Rt OAE ∆中，2223(2)r r +-=，解得134r =，即O 的半径为134；（2）连接OB ，如图，3DE EC = ，3OC OE EC ∴+=，即3OE CE OE CE ++=，OE CE ∴=，1122OE OC OA ∴==，在Rt OAE ∆中，1sin 2OE A OA == ，30A ∴∠=︒，OA OB = ，30B A ∴∠=∠=︒，180120AOB A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，即弦AB 所对的圆心角的度数为120︒．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．22．（10分）如图，某小区车库顶部BC 是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯AB ．已知平台斜坡CD 的坡度i =，坡长为6米．在坡底D 处测得灯的顶端A 的仰角为45︒，在坡顶C 处测得灯的顶端A 的仰角为60︒，求灯的顶端A 与地面DE 的距离．（结果保留根号）【分析】过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由坡度的定义及斜坡CD的坡长为6米，可得DG =米，3CG BF ==米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC ∆中，tan 60AB AB BC x︒===，解得AB =，则(3)AF =+米，在Rt ADF ∆中，45ADF ∠=︒，可得AF DF =，即3x =+，求出x 的值，进而可得答案．解：过点B 作BF DE ⊥于点F ，过点C 作CG DE ⊥于点G ，由题意得，6CD =米，45ADF ∠=︒，60ACB ∠=，CG BF =，BC FG =，斜坡CD 的坡度i =∴CG DG =，即DG =，在Rt CDG ∆中，由勾股定理得222)6CG +=，解得3CG =，DG ∴=米，3BF =米，设BC FG x ==米，则(DF x =+米，在Rt ABC ∆中，tan 60AB AB BC x ︒===，解得AB ，(3)AF ∴=+米，在Rt ADF ∆中，45ADF ∠=︒，AF DF ∴=，即3x +=+解得3x =，(3AF ∴=+米．∴灯的顶端A 与地面DE 的距离为(3+米．【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 、ACED 都是平行四边形，M 是边CD 的中点，联结BM 并延长，分别交AC 、DE 于点F 、G ．（1）求证：2BF FM BG =⋅；（2）联结CG ，如果AB =，求证：BGC BAC ∠=∠．【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到//AB CD ，AB CD =，则2AB CM =，CM DM =，再证明ABF CMF ∆∆∽，利用相似比得到2BF AB FM CM ==，同理方法证明CMF DMG ∆∆∽，则1FM CM MG DM==，所以22BF FM MG ==，然后利用224BF FM =，24FM BG FM ⋅=可得到结论；（2）先利用AB CD =得到CD =，22CM =，则22CG CM CD CG ==，加上MCG GCD ∠=∠，则可判断CMG CGD ∆∆∽，所以MGC DEC ∠=∠，然后利用平行线的性质得到EDC ACD BAC ∠=∠=∠，从而得到结论．【解答】证明：（1） 四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，M 是边CD 的中点，2AB CM ∴=，CM DM =，//AB CM ，ABF CMF ∴∆∆∽，∴2BF AB FM CM==， 四边形ACED 为平行四边形，//AC DE ∴，CMF DMG ∴∆∆∽，∴1FM CM MG DM==，22BF FM MG ∴==，224BF FM = ，244FM BG FM FM FM ⋅=⋅=，2BF FM BG ∴=⋅；（2）AB = ，AB CD =，CD ∴=，CM =，∴CG CD =，CM CG =，∴CG CM CD CG=，MCG GCD ∠=∠ ，CMG CGD ∴∆∆∽，MGC DEC ∴∠=∠，//AC CD ，EDC ACD ∴∠=∠，//AB CD ，BAC ACD ∴∠=∠，BAC BGC ∴∠=∠．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(1,0)A -、(2,0)B ，将该抛物线位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折，得到的新图象记为“图象U ”，“图象U ”与y 轴交于点C ．（1）写出“图象U ”对应的函数解析式及定义域；（2）求ACB ∠的正切值；（3）点P 在x 轴正半轴上，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，交“图象U ”于点F ，如果CEF ∆与ABC ∆相似，求点P 的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由1122ABC S AB CO AC BH ∆=⨯⨯=⨯⨯，求出BH =（3）因为45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF ∆与ABC ∆相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，即可求解；②当ECF CAO ∠=∠时，同理可解．解：（1）由题意得：2(1)(2)2y x x x x =-+-=-++，则翻折后的函数表达式为：22y x x =--，即()222212(12)x x x x y x x x ⎧-++-=⎨---<<⎩或 ；（2）过点B 作BH AC ⊥于点H ，则1122ABC S AB CO AC BH ∆=⨯⨯=⨯⨯，即32BH ⨯=，解得：BH =则sin BH ACB BC ∠==，则tan 3ACB ∠=；（3）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：2y x =-，设点(,0)P m ，在点(,2)E m m -，点2(,2)F m m m --或2(,2)m m m -++，则CE =，22FE m m =-+或24m -，如下图45E ABC ∠=︒=∠，故当CEF ∆与ABC ∆相似时，ECF ACB ∠=∠或BCA ∠，①当ECF ACB ∠=∠时，即tan tan 3ECF ACB ∠=∠=，在CEF ∆中，过点F 作FH CE ⊥于点H，设：CH t =，则3HF t HE ==，则4t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：12m =或3414+（不合题意的值已舍去）；②当ECF CAO ∠=∠时，则tan tan 2ECF CAO ∠=∠=，同理可得：3t CE ==且22EF m m ==-+或24m -，解得：23m =或23+（不合题意的值已舍去）；综上，点P 的坐标为：1(2，0)或3(4+，0)或2(3，0)或2(3+，0)．【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．25．（14分）如图1，在ABC ∆中，15,cot2BC AB ABC ==∠=．点D 、E 分别在边AC 、AB 上（不与端点重合），BD 和CE 交于点F ，满足ABD BCE ∠=∠．（1）求证：2CD DF DB =⋅；（2）如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；（3）当CDF ∆是等腰三角形时，求:DF FB 的值．【分析】（1）作CG AB ⊥于G ，解直角三角形BCG ，求得BG 和CG ，进而解直角三角形ACG ，求得AC ，从而得出AC AB =，进一步得出DCF CBD ∠=∠，从而CDF BDC ∆∆∽，进一步得出结论；（2）作DG CE ⊥于G ，解直角三角形BEG ，求得112EF BE ==，3CF CE EF =-=，解Rt DCG ∆，得出3tan 4DG AE DCF CG CE ∠===，进而设3DG a =，4CG a =，5CD a =，从而32a FG =，进而由CG FG CF +=得，3432a a +=，进一步得出结果；（3）由两种情形：当CF DF =时，可推出CD BC ==作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，进而证明DCK CBG ∆≅∆，从而2CK BG ==，4DK CG ==，进而求得BD ，根据（1）：2CD DF BD =⋅，求得DF ，进而求得BF ，进一步得出结果；当CD CF =时，可推出BD BC ==，作BH AC ⊥于H ，可得出4CD =，同样根据（1）2CD DF BD =⋅求得5DF =，进一步得出结果．【解答】（1）证明：如图1，作CG AB ⊥于G ，1cot 2BG ABC CG ∴∠==，cos ABC ∴∠=，2BG ∴=，24CG BG ==，3AG AB BG ∴=-=，5AC ∴=，AC AB ∴=，ACB ABC ∴∠=∠，ABD BCE ∠=∠ ，DCF CBD ∴∠=∠，CDF CDF ∠=∠ ，CDF BDC ∴∆∆∽，∴DF CD CD BD=，2CD DF DB ∴=⋅；（2）解：如图2，作DG CE ⊥于G ，CE AB ⊥ ，//DG AB ∴，FDG ABD BCE ∴∠=∠=∠，1tan tan tan 2EF BE FDG ABD BCE BE CE ∴∠=∠==∠==，112EF BE ∴==，3CF CE EF ∴=-=，在Rt DCG ∆中，3tan 4DG AE DCF CG CE ∠=== ，∴设3DG a =，4CG a =，5CD a =，32a FG ∴=，由CG FG CF +=得，3432a a +=，611a ∴=，30511CD a ∴==；（3）解：如图3，当CF DF =时，CDF ACF ∠=∠，ACF CBD ∠=∠ ，CDF CBD ∴∠=∠，CD BC ∴==，作CG AB ⊥于G ，作DK BC ⊥于K ，90DKC CGB ∴∠=∠=︒，DCB ABC ∠=∠ ，()DCK CBG AAS ∴∆≅∆，2CK BG ∴==，4DK CG ==，2BK BC CK ∴=-=，BD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，2DF ∴==BF BD DF ∴=-=:5DF BF ∴=+如图4，当CD CF =时，CDF CFD BCD ∠=∠=∠，BD BC ∴==，作BH AC ⊥于H ，22CD DH CH ∴==，4BH CG ==，2DH BG ==，4CD ∴=，由（1）知：2CD DF BD =⋅，24DF ∴=，DF ∴=852555BF BD DF ∴=-==，:4:1DF FB ∴=，综上所述：DF ；5FB =+或4:1．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．。
上海市2024届长宁区中考数学一模
考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本调研卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤上海市2024届长宁区中考数学一模.一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每小题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．在Rt △ABC 中，∠C =90º，如果∠A =α，BC =a ，那么AC 等于 （A ）a ⋅tan α； （B ）a ⋅cot α；（C ）asin α； （D ）acos α． 2．下列关于抛物线y x x =+−223的描述正确的是（A ）该抛物线是上升的； （B ）该抛物线是下降的；（C ）在对称轴的左侧该抛物线是上升的； （D ）在对称轴的右侧该抛物线是上升的． 3．已知点C 在线段AB 上，且满足2=⋅AC BC AB ,那么下列式子成立的是（A ）AC BC =−512； （B ）AC AB =−512； （C ）BC AB =−512； （D ）BC AC =−352． 4．已知a 为非零向量，且=−3b a ，那么下列说法错误的是 （A ）=−13a b ； （B ）=b a ||3||；（C ）b a +=30； （D ）//b a ．5．如果点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，由下列哪一组条件可以推出DE ∥BC （A ）AD BD = 23 ，CE AE = 23 ； (B) AD AB = 23 ，DE BC = 23 ； （C ） AB AD = 32 ，EC AE = 12 ； (D) AB AD = 43 ，AE EC = 43 ．6．已知在△ABC 与△A'B'C'中，点D 、D'分别在边BC 、B'C'上，（点D 不与点B 、C 重合， 点D'不与点B'、C'重合）．如果△ADC 与△A D C '''相似，点A 、D 分别对应点A'、D'， 那么添加下列条件可以证明△ABC 与△A'B'C'相似的是 ①AD 、A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的角平分线； ②AD 、A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的中线； ③AD 、A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的高．（A ）①②； （B ）②③； （C ）①③； （D ）①②③．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．如果=x y 53（x 、y 均不为零），那么+x x y :()的值是 ▲ ． 891011 ．12 ． 13．已知向量a 与单位向量e 方向相反，且a =||3，那么a = ▲ ．（用含向量e 的式子表示）14．已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为 15．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，且BC = 5，AD =3，矩形EFGH 的顶点F 、G 在边BC 上，顶点E 、H 分别在边AB 和如果EH =2EF ，那么EH = ▲ ．16．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，点G 是△ABC 的重心，联结GA 、GC ，如果AC =3，AG =53，那么∠GCA 的余切值为 ▲ ． 17．我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在△ABC 中，AB =AC =10，点D 、E 都在边BC 上，AD =AE =5， 如果△ABC 与△ADE 是友好三角形，那么BC 的长为 ▲ ．18．如图，在矩形ABCD 中，AD =8，AB =4，A C 是对角线，点P 在边BC 上，联结DP ，将△DPC 沿着直线DP 翻折，点C 的对应点Q 恰好 落在△ADC 内，那么线段BP 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知抛物线y x x =++2241．（1）用配方法把y x x =++2241化为=++y a(x m)k 2的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；ABCD EF第11题图、 G ACBHFED 第15题图A B C G第16题图ABCD第18题图（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点14（，），求平移后的抛物线的顶点坐标．20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 、AC 相交于点F ． （1）设AB a =，AD b =，试用a 、b 表示EF ；（2）先化简，再求作：32)(2)a b a b +−+（2（直接作在图中）．21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AC ⊥BC ，DE ⊥AC ， 垂足为点E ，AC =4，DE =3． （1）求:AD AB 的值；（2）联结BD 交AC 于点F ，如果BAC ∠=tan 12，求CF 的长．22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题8分）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在P 点观察所测物体最高点C ，量角器零刻度线上A 、B 两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O ．当铅锤静止时，测得视线PC 与铅垂线OD 所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF 的高度．他先站在水平地面的点H 处，视线为GE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R 处，视线为QE ，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45︒．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH 、QR 、EF 在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF 的高度．（结果保留根号）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在△ABC 中，点、D E 分别是、BC AD 的中点，AFE DCB第20题图 AE DC B 第21题图AF E图1 第22题图 A B O CP βαD 图2Q R 图3且=AD AC ，联结CE 并延长交AB 于点F ． （1）证明：△ABC ∽△DCE ； （2）证明：=4BF EF ． 24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线122=++y x bx c 与x 轴交于、A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线y x =−−6经过点A 与点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果、C F 两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当⊥DF CF 时，求∠PDF 的正切值； ②如果PD :DE=3:5，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知△ABC 中，∠=∠ABC C 2，BG 平分∠ABC ，=AB 8，=AG 316，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点（点D 不与点B 、C 重合)，且∠=∠ADE ABC ，AD 、BG 相交于点F ．（1）求BC 的长；（2） 如图1，如果=BF CE 2，求BF :GF 的值； （3）如果△ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，求BD 长．ABCGA BC G DEFA BC G AOB yC x第24题图AOB yC x备用图7一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．D ；3．B ；4．C ；5．C ；6．A ．二．填空题：（本大题共12题，满分48参考答案分）．38； 8．−31； 9．23； 10．4:9； 11．6； 12．−11； 13．3e −→；14．1:2.4； 15．3011； 16．32； 17．85； 18．<<BP 46． 三、解答题（本大题共7题, 满分78分）19. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）=+−y x 2112)( (2分)开口方向向上，对称轴直线=−x 1，顶点坐标−−1,1)(； (3分)（2）设平移后的解析式为 =+−+y x m 2112)( (1分)代入点1,4)( ，得 =−+m 481，=−m 3 (2分)∴平移后的解析式为： y x （）=+−2214(1分) ∴平移后的顶点坐标为−−1,4)(. (1分) 20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）解：（1）∵平行四边形ABCD ， ∴AD BC //，=AD BC (1分)∵E 是AD 的中点，∴=12AE AD ，∴AE BC =12∵AD BC //， ∴==FB BC EF AE 21 ∴=EF EB 31 (1分) ∵ 、EF EB →→方向相同 ∴13EF EB =→→(1分) ∵E 是AD 的中点，且EA →与EB →反向，∴12EA AD =−→→， (1分)∵AB a =，AD b =，∴1=EB EA AB b a +=−+2 (1分)∴111EF EB a b ==−336(1分)（2）原式=2332a b a b +−−→→→→=12a b −−→→ (2分) 作图 (1分) 结论 (1分)21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）∵⊥DE AC ∴∠=︒AED 90 ∴，中∆∠∠=︒Rt AED ADE EAD +90∵∠=∠+∠=︒BAD BAC EAD 90 ∴∠=∠ADE BAC (1分)∵⊥AC BC ∴ ACB 90∠=︒ ∴∠=∠ACB AED (1分) ∴∽∆∆AED BCA ， ∴=AD AB DEAC(2分) ∵DE AC ，==34， ∴AD AB =34(1分) （2）∵ 在∆Rt ABC 中，ACB 90∠=︒，∴tan ∠=BAC BCAC∵BAC AC ，∠==tan 124 ∴BC =2 (1分)∵∽∆∆AED BCA ∴AE BC DE AC ==34 ∴AE =32(1分) ∴CE AC AE =−=52(1分) ∵⊥⊥DE AC BC AC , ∴DE BC // ∴EF FC DE BC ==32(1分)∴ =25CF CE ∴=CF 1 (1分)22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题8分） 解：（1）90︒−α(2分)（2）延长GQ 交EF 于点M.由题意可知∠EGM=30°，∠EQM=45°， GQ =10米 ， MF=1.6米 (2分) 设EM =x ，则QM =x ， GM =10+x ， (1分) ∵在∆Rt EGM 中，∠EMQ=90︒ ，∴ tan ∠=EGM EM GM ， ∴ xx ︒=+tan 3010 ， (1分)∴ x =+535 (2分)∴ =+=++=+EF EM MF ..535165366米 (1分) 答: 大楼房EF 的高度为+53 6.6米. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵=AD AC ∴∠=∠ADC ACD 即 ∠=∠EDC ACB （1分） ∵D 、E 分别是BC 、AD 的中点 ∴==AC AD ED ED 21，=BC CD 21（2分）∴=AC BCED CD（1分） ∴∆ABC ∽∆DCE （1分）（2）∵=AD AC ∴∠=∠ADC ACD∵∆ABC ∽∆DCE ∴∠=∠ECD B ∴=CF BF （2分） ∵∠=∠+∠ADC B FAE ，∠=∠+∠ACD ECD ACF∴∠=∠FAE ACF （1分） ∵∠=∠AFE CFA ∴∆AFE ∽∆CFA （1分）∴===AF CF AC EF AF AE 21（1分） ∴=⋅=CF AF CF EF EF AF 41（1分） ∴=BF EF 41∴=BF EF 4 （1分） 24．（本题满分12分，每小题4分）（1）解：由=−−y x 6过x 轴上点A ，又过y 轴上点C ，令=y 0，得=−x 6，∴−A 6,0)( （1分） 令=x 0，得=−y 6，∴−C 0,6)( （1分）由于抛物线=++y x bx c 212过点A 、C ， ∴⎩−+=⎨⎧=−b c c 18606，⎩=−⎨∴⎧=c b 62（1分）∴=+−y x x 22612（1分） （2）① 解：已知抛物线y x x =+−21226与轴交于、A B 两点（点A 在点B 的左侧） 令 =y 0，得=−x 6或=x 2，∴B 2,0)( （1分）(0,6)C −、点F 关于直线=−x 2对称， ∴−−F 4,6)( （1分）∴⊥CF CO DF CF ⊥ ∴DF CO // ∴∠=∠FDC OCD //PD BC ∴∠=∠PDC BCD∴∠−∠=∠−∠PDC FDC BCD OCD 即∠=∠PDF BCO （1分） ∴∠=∠==CO PDF BCO BO 3tan tan 1（1分） ②解：分别过点、D P 作⊥DG y 轴，⊥PH y 轴，垂足为、G H//PE BC ∴∠=∠DEG OCB ∴∠=∠=DEG OCB 3tan tan 1（1分）在∆Rt DEG 中，∠==EG DEG DG 3tan 1∴设==DG t EG t 5,15在∆Rt DCG 中，∠==CGDCG DGtan 1 ∴ =CG t 5⊥DG y 轴，⊥PH y 轴，∴DG PH //∴===PH EH EP DG EG ED 85∴==PH t EH t 8,24，∴=−=CH EH EC t 4，∴=+OH t 64 （1分）∴−−−P t t 8,64)( （1分） 把−−−P t t 8,64)(代入=+−y x x 22612得−−=−+⨯−−t t t 264(8)2(8)612解得：=t 83，去舍=t 0()，⎝⎭ ⎪∴−−⎛⎫P 23,15 （1分）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）（1）解： ABC C ∠=∠2， BG 平分∠ABC∴∠=∠=∠ABG CBG CBAG CAB ∠=∠ ABG ACB ∴∆∆（1分）∴==AB AC BC AG AB BG GBC C ∠=∠ =BG CG （1分）8,AB AG ==316 +∴==CG BC CG38163816∴=CG 320=BC 10（2分） （2）解： 过点G 作GH BC // ，交 AD 于HADC ABD BAD ∠=∠+∠，∠=∠+∠ADC ADE EDC ，∠=∠ABD ADE ∴∠=∠BAD EDC ABG C ∠=∠， ABF DCE ∴∆∆ （1分）∴=AB BF CD CE2,8BF CE AB ==，∴=CD 4 10BC =∴=BD 6 （1分）162033AG CG ==, ， ∴=+=AC AG CG 12//GH CD ∴=CD AC GH AG 即 =GH412316∴=GH 916 （1分）//GH BD ∴==GF GH BF BD 827（1分）（3）解：①当=AD AE 时，∠=∠ADE AEDADE ABC C ∠=∠=∠2，∠=∠+∠AED EDC C∴∠=∠EDC C BAD EDC ∠=∠ ∴∠=∠BAD C（1分） ABD CBA ∠=∠ ABD CBA∴∆∆（1分） ∴=AB BC BD AB =BD 8108 =BD 532 （1分） ②当=AD DE 时，在BC 上在取点M ，使得∠=∠CEM C ，则=ME MC DME C CEM C ∠=∠+∠=∠2 ∠=∠ABD C 2 ∴∠=∠DME ABDBAD EDM ∠=∠ =AD DE ∴∆≅∆ABD DME（1分）∴==AB DM 8 ==BD ME MC （1分） BC BD DM MC =++ =++BD BD 108 ∴=BD 1（1分） 综上，325BD =或1。
上海市2024届宝山区中考数学一模
考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤上海市2024届宝山区中考数学一模．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ▲ ）（A ）2cm ，3cm ，4cm ，5cm ； （B ）2cm ，3cm ，4cm ，6cm ； （C ）1cm ，2cm ，3cm ，2cm ； （D ）3cm ，2cm ，6cm ，3cm ． 2. 已知线段AB ＝2，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，则AP 的长是（ ▲ ） （A ）−352； （B ）−35； （C ）−512； （D ）−51. 3. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图1，AB 的长为50米，AB 与AC 的夹角为24°，则高BC 是（ ▲ ）（A ）sin 5024 米； （B ）cos 5024 米； （C ）sin 5024︒米； （D ）cos 5024︒米. 4. 在四边形ABCD 中，如果=23AD BC ，|+DA AB |＝|−DC DA |，那么四边形ABCD 是（ ▲ ）（A ）矩形； （B ）菱形； （C ）正方形； （D ）等腰梯形. 5. 二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像如图2所示，则一次函数y ＝ax ＋b 的图像不．经过（ ▲ ） （A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限.图2图3图16. 如图3，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与△AMN 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC ；②△ABD .关于这两个三角形，下列判断正确．．的是( ) （A ）只有①是； （B ）只有②是； （C ）①和②都是； （D ）①和②都不是．二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 已知线段a ＝2，b ＝4，如果线段c 是a 和b 的比例中项，那么c ＝ ▲ .8. 比例尺为1:100000的地图上，A 、B 两地的距离为2cm ，那么A 、B 两地的实际距离为 ▲ km . 9. 计算：sin 30°－sin 45°．cos 45°＝ ▲ .10. 二次函数=++≠y ax bx c a 02)(图像上部分点的坐标（x ，y ）对应值如表1所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ▲ .11. 直径是2的圆，当半径增加x 时，面积的增加值s 与x 之间的函数关系式是 ▲ . 12. 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 为重心，联结AG 并延长，交BC 于点F ，如果BC ＝6，那么GF 的长是 ▲ .13. 如图4，斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，如果坡比i ＝1:3，那么这个斜坡的长度AB ＝ ▲ m .14. 在△ABC中，如果=BC=AB =AC 3，那么=A cos ▲ .15. 如果二次函数2y a x a =−<(2)(0)的图像上有两点y 941（，）和y 732（，）， 那么y 1 ▲ y 2.（填“>”、“=”或“<”）16. 如图5，已知正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝ 6，△ABC 的面积为12，那么EF 的长为 ▲ .17. 平面直角坐标系中，在x 轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与y 轴的交点的距离之和．．．．最小的点，称为这条抛物线与x 轴的“亲密点”．那么抛物线=++y x x 2452与x 轴的“亲密点”的坐标是 ▲ . 18. 已知AC 和BD 是矩形ABCD 的两条对角线，将△ADC 沿直线AC 翻折后，点D 落在点E 处，三角形AEC 与矩形的重叠部分是三角形ACF ，联结DE ．如果AB ＝6，BF ＝2，那么∠BDE 的正切值是 ▲ .图5表1图419. （本题满分10分）如图6，在△ABC 中，∠C ＝90︒，sinB ＝45，AB ＝10，点D 是AB 边上一点，且BC ＝BD ．（1）求BD 的长；（2）求∠ACD 的余切值．20.（本题满分10分）如图7，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝4，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E .（1）求DE 的长；（2）联结CE 交BD 于点F ，设AB =a ，AD =b ，用a 、b 的线性组合表示向量 BD ＝▲， BF ＝▲．21.(本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =x 2+bx +c 的图像经过点A (1,0)和B (0,3).（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点E (4,m )在该函数图像上，求△ABE 的面积．图6三、解答题：（本大题共7题，满分78图7分）22. （本题满分10分）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高.测高仪ABCD 为矩形，CD ＝30cm ，顶点D 处挂了一个铅锤H .图8是测量塔高的示意图，测高仪上的点C 、D 与塔顶G 在一条直线上，铅垂线DH 交BC 于点M .经测量，点D 距地面1.9m ，到塔EG 的距离DF ＝13m ，CM ＝20cm .求塔EG 的高度(结果精确到1m )．23. （本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分）如图9，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，且CE ＝BF ，DF 分别交 AE 、AC 于点P 、Q ． （1）求证：AE ⊥DF ；（2）求证：2⋅=⋅AQ BF PQ DF ．图8图924.（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线=y x 122平移，使平移后的抛物线仍经过原点O ，新抛物线的顶点为M （点M 在第四象限），对称轴与抛物线=y x 122交于点N ，且MN ＝4.（1）求平移后抛物线的表达式；（2）如果点N 平移后的对应点是点P ，判断以点O 、M 、N 、P 为顶点的四边形的形状，并 说明理由； （3）抛物线=y x122上的点A 平移后的对应点是点B ，BC ⊥MN ，垂足为点C ，如果△ABC是等腰三角形，求点A 的坐标.25.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）如图11，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝1，D 是边AC 上一点，且BD ＝AD ，过点C 作CE ∥AB ，并截取CE ＝AD ，射线AE 与BD 的延长线交于点F .（1）求证：2=⋅AF DF BF ；（2）设AD ＝x ，DF ＝y ，求y 与x 的函数关系式； （3）如果△ADF 是直角三角形，求DF 的长.图11图10一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分参考答案）1.B ；2.D ；3.A ；4.D ；5.C ；6.B .二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 22； 8. 2； 9. 0； 10. x ＝2 ； 11. S ＝πx 2+2πx ； 12. 1；13. 3010； 14.73； 15. >； 16. 2.4 17. −(580，）； 18. 13或33.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 解：（1）∵在Rt △ABC 中，sinB ＝ AC AB，又∵sinB ＝45，AB ＝10， ∴AC ＝8，…………………………………………………………………………2分 ∵∠C ＝ 90︒，∴+=AC BC AB 222，∴BC ＝6，…………………………………………………………………………2分 ∵BC ＝ BD ，∴BD ＝6.………………………………………………………………………… 1分（2）过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E .………………………………………………………1分又由∠C ＝ 90︒，可得DE ∥BC ， ∴=DE BC AD AB， ∵BC ＝6，A D ＝4，AB ＝10，∴DE ＝2.4， ………………………………………………………………………1分 同理可得EC ＝4.8，………………………………………………………………1分 ∵在Rt △DEC 中，cot ∠ACD ＝ EC DE ， …………………………………………1分∴cot ∠ACD ＝ 2. …………………………………………………………………1分20. 解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2，∵DE ∥BC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3， ………………………………………………………………………1分 ∴DE ＝BE ， ………………………………………………………………………1分 设DE ＝BE ＝x ，则AE ＝5-x , ……………………………………………………1分 ∵DE ∥BC ，∴=DE BC AE AB ， ……………………………………………………1分∴=−x x 455， ………………………………………………………………………1分 解得x =209，所以，DE =209. …………………………………………………1分（2）BD ＝b a −， ……………………………………………………………………2分BF ＝99.b a −1414…………………………………………………………………2分21. 解：（1）由图像经过点B (0,3)，可知c ＝3， ………………………………………2分再由图像经过点A (1,0)，可得b ++=2130，解得b ＝－4， ……………………2分所以，该二次函数的表达式为y x x =−+24 3. …………………………………1分 （2）把x ＝4代入y x x =−+243，得y ＝3，……………………………………1分由B (0,3)、E (4,3)可知BE ∥x 轴，……………………………………………1分 于是BE ＝4，BE 边上的高为3,…………………………………………………2分 ∴S ABE ∆=⋅−⋅=12(40)3 6.…………………………………………………1分22. 解：在Rt △CDM 中，cot ∠CDM ＝ CD CM， ……………………………………………1分又∵CD ＝30cm ，CM ＝20cm ， ………………………………………………………1分 ∴cot ∠CDM ＝ 32， ……………………………………………………………………1分∵DF ⊥EG ，∴∠DGF +∠GDF ＝90°，……………………………………………………………1分 又由题意可得∠CDM +∠GDF ＝90°，∴ ∠CDM ＝∠DGF ， …………………………………………………………………1分在Rt △DGF 中，cot ∠DGF ＝ GF DF ，…………………………………………………1分又∵DF ＝13m ，∴GF ＝392m ， ………………………………………………………………………1分∴EG ＝GF+EF ＝+≈392 1.921m ， ……………………………………………………2分答：塔EG 的高度约为21m . …………………………………………………………1分23. 证明：（1）∵在正方形ABCD 中，∴CD ＝BC ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°， …………………………………1分 又∵CE ＝BF ，∴CD -CE ＝BC -BF ，即DE ＝CF ， …………………………………………………………………………1分 ∴△ADE ≌△CDF ，∴∠1＝∠2， …………………………………………………………………………1分 ∵∠ADE ＝90°∴∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3＝90°， ……………………………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝∠2+∠3，∴∠APQ ＝90°，………………………………………………………………………1分 ∴AE ⊥DF.（2）过点E 作EG ⊥AC ,垂足为点G . ………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝90°， ∴∠APQ ＝∠AGE ， 又∵∠PAQ ＝∠EAG ，∴△APQ ∽△AEG ，……………………………………………………………………1分∴=AQ PQ AEEG，…………………………………………………………………………1分 ∵在正方形ABCD 中，∴DCF ∠=∠=41245 ，在Rt △CDM 中，cot ∠4＝ EG CE =22，∴=22EG CE ， ………………………………………………………………………1分∵CE ＝BF ，∴=22EG BF ，………………………………………………………………………1分∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝DF ， …………………………………………………………………………1分 ∴=22AQ PQDF BF ， ∴2⋅=⋅AQ BF PQ DF .……………………………………………………………1分24. 解：（1）N t t t >2(12)(0)设，，则，M t t −2(124)，……………………………………………………1分于是平移后抛物线的表达式是y x t t =−+−2212()124， ………………………………1分由平移后抛物线经过原点O (0，0)，可得t ＝2(负值不合题意舍去），………………1分 所以，平移后抛物线的表达式是y x =−−212(2)2. ……………………………………1分 （2）四边形OMPN 是正方形.根据题意可得O (0，0)，M (2，-2)，N (2，2)，P (4，0)， …………………………1分 记MN 与OP 交于点G ，则G (2，0)，∴OG ＝GP ＝2，MG ＝NP ＝2，MN ＝OP ＝4，NO NP ==22，∴四边形OMPN 是平行四边形， ……………………………………………………1分 ∵MN =OP =4，∴四边形OMPN 是矩形， ……………………………………………………………1分 ∵NO NP ==22，∴四边形OMPN 是正方形. ……………………………………………………………1分 （3）A a a 2(12)设，，B a a +−2(2122)则，，，C a −2(2122)，可得，==−+=AB AC a BC a 22(2)2,222，……………………………………1分==−+−===AB AC a a a a a A 22211,22(2)2,40,4,0),(48)①（舍去，； …………1分 AB BC a a a A A ====−−211,22,22,22,(224)(224)②，或，； ………………1分=−+==AC BC a a a A 222(2)2,2(22)③，，，； ……………………………………1分所以，点A 的坐标是−、，、，、(4,8)(224)(224)(2,2).25.（1）证明：∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠2，………………………………………………………………………………1分又∵AB ＝AC ，CE ＝AD ，∴△ABD ≌△AEC ，………………………………………………………………………1分 ∴∠3＝∠4， 又∵∠AFB ＝∠AFD ，∴△ABF ∽△ADF ，………………………………………………………………………1分 ∴=AF DF BF AF， ∴2=⋅AF DF BF .…………………………………………………………………………1分 解：（2）过点D 作DG ∥AB ，交AE 于点G. ………………………………………………1分又∵CE ∥AB ，∴DG ∥CE ，∴=DG CE ADAC ，……………………………………………………………………………1分由AD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝1-x ，∴=DG x 2，………………………………………………………………………………1分∵DG ∥AB ，∴=DG AB DFBF ，……………………………………………………………………………1分∴21=+x y x y ，∴=−y x x 132. ……………………………………………………………………………1分（3）①∠DAF ＝ABD ≠90°，………………………………………………………………1分 ②如果∠AFD ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3+∠4＝90°，可得∠3＝∠4＝30°，……………………1分设DF ＝m ，则AD ＝BD ＝2m ， 在Rt △ABF 中，cos ∠3＝BFAB， ∴m m +=2132，m =36.………………………………………………………………1分③如果∠ADF＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°，可得∠3＝∠4＝45°，……………………………1分设DF＝m，AD＝BD＝m，在Rt△ABF中，cos∠3＝AB BF，∴m m+=122，m=22. ………………………………………………………………1分所以,当△ADF是直角三角形时，DF的长为36或22.。
上海市2024届金山区中考数学一模
上海市2024届金山区中考数学一模考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线=y x 22向左平移1个单位后得到的新抛物线的表达式是（ ▲ ）（A ）=−y x 212； （B ）=+y x 212； （C ）=−y x 212)(； （D ）=+y x 212)(． 2．已知点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，联结CE 和BD 相交于点F ，如果 AE ∶ED =1∶2，那么DF ∶FB 为（ ▲ ）（A ）1∶2； （B ）1∶3； （C ）2∶3； （D ）2∶5． 3．在直角坐标平面的第一象限内有一点A （a ，b ），如果射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列各式正确的是（ ▲ ） （A ）b=a ·tan α；（B ）b=a ·cot α；（C ）b=a ·sin α；（D ）b=a ·cos α． 4．抛物线=++y ax bx c 2的图像如图所示，下列判断中不正确的是（ ▲ ）（A ）a <0； （B ）b <0； （C ）c >0； （D ）a +b +c <0．5．将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形较长边和较短边的比是（ ▲ ）（A ）2∶1；（B 1； （C ）3∶1；（D ∶1． 6．如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC 就是一个格点三角形，现从△ABC 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与△ABC 相似的有（ ▲ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果）（=≠b a b 530，那么=−ba b▲ ． 8．化简：2(3)6a b b −+−= ▲ ．9．已知两个相似三角形的相似比为2︰3，那么这两个三角形的周长比为 ▲ ． 10．点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），AB =2，那么线段AP 的长是 ▲ ．y xO 1（第4题图） A B C （第6题图）11．抛物线=−y x 3322的顶点坐标是 ▲ ． 12．如果点A （2，a ）、B （3，b ）在二次函数=−y x x 32的图像上，那么a ▲ b （填“>”“<”或“=”）．13．如果α是直角三角形的一个锐角，sin α=54，那么tan α= ▲ ． 14．如图，已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ， △ADE 、△EFC 的面积分别为1、4，四边形BFED 的面积为 ▲ ． 15．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是4米，斜坡的坡度i =1∶2，那么相邻两树间的坡面距离为 ▲ 米．16．如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A 处向北偏东60° 的方向行驶8海里到B 处，再从B 处向南偏东45°方向行驶到发点A 正东方向上的C 处，此时这艘船距离出发点A 处 ▲ 海里．17. 把矩形ABCD 绕点C 按顺时针旋转90°得到矩形A ´B ´CD ´，其中点A 的对应点A ´在BD的延长线上，如果AB=1，那么BC= ▲ ．18．在△ABC 中，AC=6，P 是AB 边上的一点，Q 为AC 边上一点，直线PQ 把△ABC 分成面积相等的两部分，且△APQ 和△ABC 相似，如果这样的直线PQ 有两条，那么边AB 长度的取值范围是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：︒+︒⋅︒︒−tan 45cot 60cos30sin 4512． 20．（本题满分10分）1 y xO2 B4P1AA B C D E F （第14题图） （第15题图） A B C 北 北 （第16题图） 60° 45°21．（本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分10分）已知：如图，AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，四边形BEGD 是平行四边形．（1）求证DE ∥AC ；（2）设BA a =，BC b =，用向量a 、b 表示DE =22．（本题满分10分）随着人民生活水平的日益提高，许多农村的房屋普遍进行了改造，小明家改造时在门前安装了一个遮阳棚，如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为4米，与墙面AD 的夹角 ∠BAD=75.5°，靠墙端A 离地高AD 为3米，当太阳光线BC 与地面DE 的夹角为45°时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin75.5°≈0.97，cos75.5°≈0.25，tan75.5°≈3.87）23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，∠BAC =∠BDC ． （1）求证：△AOD ∽△BOC ；（2）过点A 作AE ∥CD ，AE 交BD 与点E ，求证：⋅=⋅AB AD AE BC ．AB CD O ABC DEA BD E GM24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线=++y ax bx c 2经过点A (-1，0)、B (3，0)、C （0，-3）.(1) 求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；(2) 点D 在抛物线对称轴上，∠P AD=90°，求点D 的坐标；（3）抛物线的对称轴和x 轴相交于点M ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q ，QB=QM ，QO 的延长线交原抛物线为E ，QO=OE ，求新抛物线的表达式.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠CAD=∠ABC ，DC ⊥AC ，AD 与边BC 相交于点P .（1）求证： =⋅AB AD BC 212； （2）如果sin ∠ABC=54，求BP ∶PC 的值；（3）如果△BCD 是直角三角形，求∠ABC 的正切值.O 11 y x A B C DP一、选择题（本大题6小题，每小题4分，满分24参考答案分）1.D ；2.C ；3.A ；4.D ；5.B ；6.C. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．32； 8．a −2； 9．2∶3； 101； 11．（0，-3）； 12．<； 13．34； 14．4； 15．16. 4 ； 17；18．且AB AB ≤≤≠32626． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=⎝⎭ ⎪−⎛⎫1212，-----------------------------------------------------------（8分） =0.----------------------------------------------------------------------------------------（2分） 20．解： 设抛物线的解析式为=++≠y ax bx c a 02)(-------------------------------------（1分）由题意得，抛物线经过A （0，2）、B （4，0），顶点P 的横坐标为1，∴⎝−= ++== ⎛a ba b c c 2116402-----------------------------------------------------------------------------（3分）解得：=−==a b c 42,,211，.-------------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的解析式是=−++y x x 422112，顶点P 坐标为（1，2.25）.---------（2分）∴抛物线形水柱的最高处距离地面的高度是2.25米.-----------------------------------（2分） 21.（1）证明：∵AM 是△ABC 的中线，点G 是重心，∴AG=2GM ，---------------------（1分）∵四边形BEGD 是平行四边形，∴DG ∥BE ，EG ∥BD ，∴==BA MA BD MG 31，==BM MA BE AG 32-------------------------------------------------------（2分）∵BM=MC ，∴=BC BE 31--------------------------------------------------------------------------（1分） ∴=BC BABE BD --------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE ∥AC ------------------------------------------------------------------------------------------（1分）（2）11DE b a =−33-----------------------------------------------------------------------------------（4分） 22. 解：作BM ⊥ED ，BN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ，-----------------------------------------（1分）在△ABN 中，∠ANB =90°， ∴AN=AB ·cos ∠BAD =4×0.25=1，-----------------------------------------------------------（2分） BN=AB ·sin ∠BAD =4×0.97=3.88，--------------------------------------------------------（2分） ∴ND=2，-------------------------------------------------------------------------------------------（1分） 在四边形BMDN 中，∠BMD=∠MDA=∠DNB=90°， ∴在四边形BMDN 是矩形，∴BM=ND =2，BN= MD=3.88，---------------------------（1分） 在△ABN 中，∠ANB =90°，∠BCM =45°， ∴BM=MC=2，------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴CD=MD -MC=1.88≈1.9（米）.-------------------------------------------------------------（1分） 答：阴影CD 的长是1.9米.-------------------------------------------------------------------（1分） 23.证明：（1）∵∠BAC =∠BDC ，∠AOB =∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ，-----------（2分）∴=BO COAO DO，-----------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵∠AOD =∠BOC ，------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴△AOD ∽△BOC . ------------------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AOB ∽△DOC ，∠BAO =∠CDO ， ∵AE ∥CD ，∴∠AED =∠CDO ，-------------------------------------------------------------（1分） ∴∠AED =∠BAC ，--------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵△AOD ∽△BOC ，∴∠ADE =∠BCA ，-----------------------------------------------------（1分） ∴△AED ∽△BAC ，------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴=BA BCAE AD，∴⋅=⋅AB AD AE BC ．--------------------------------------------------------（2分） 24.解：（1）由题意得：⎩=−⎪⎨++=⎪⎧−+=c a b c a b c 39300,解得：a =1，b =1，c =4，∴抛物线的表达式为=−−y x x 232.-------------------------（2分）∵=−−=−−y x x x 231422)(，∴顶点P 的坐标是（1，-4）.----------------------（2分） （2）抛物线的对称轴为直线x =1，--------------------------------------------------------------（1分） 设点D 的坐标为（1，m ），∵∠P AD=90°，∴+=PA AD PD 222，∴+=222，-----------（1分）解得，=m 1，点D 的坐标为（1，1）-----------------------------------------------------（2分） （3）由题意，点M 坐标是（1，0），作MH ⊥x 轴，垂足为点H ，∵QB=QM ，∴MH=HB ，∴点H 的坐标为（2，0），点Q 的横坐标为2，---------（1分） 设点Q 的坐标是（2，t ）， ∵QO=OE ，∴点Q 和点E 关于原点O 对称，∴点E 的坐标为（-2，-t ），--------（1分）∴−−⨯−−=−t 22232)()(，解得=−t 5，点Q 的坐标是（2，-5），-------------------（1分）∴新抛物线的表达式是=−−y x 252)(，即=−−y x x 412.-------------------------------（1分） 25.（1）证明：∵∠CAD=∠ACB ，∠ACP=∠BCA ，∴△ACP ∽△BCA ，∴=BC AC AC CP ，∴=⋅AC CP BC 2.----------------------------------------------------------------（1分） ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∵∠CAD=∠ABC ，∴∠CAD=∠ACB ，∴P A=PC ，--------------------------------------（1分） ∵DC ⊥AC ，∴∠ACD=90°，∴∠CAD+∠ADC=90°，∠ACB+∠PCD=90°， ∴∠ADC=∠PCD ，∴PD=PC ，∴===AP PD PC AD 21，-------------------------------（1分）∴=⋅AB AD BC 212-------------------------------------------------------------------------------（1分） （2）作AH ⊥BC ，垂足为点H ，在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，sin ∠ABC ==AB AH 54， 设AH=4k ，AB=5k ，则BH=3k .---------------------------------------------------------------（1分） ∵AB=AC ，∴BH=HC=3k ，∴BC=6k ， ∵=⋅AB CP BC 2，∴=CP k 625，-------------------------------------------------------------（1分） ∴=BP k 611，∴BP ∶PC=2511.-----------------------------------------------------------------（2分） （3）显然∠BCD ≠90°，如果∠CBD =90°，∵∠AHB =90°，∴AH ∥BD ，∴=BP PDPH AP，∵AP=PD ，∴PH=BP ，设PH=BP=m ， ∴BH=CH=2m ，CP=3m ，BC=4m ，----------------------------------------------------------（1分）∵=⋅AB CP BC 2，∴=AB ，-----------------------------------------------------------（1分）在Rt △ABH 中，∠AHB=90°，∴=AH ，∴tan ∠ABC ==BH AH，即∠ABC （1分） 如果∠CDB =90°，∵∠ACD =90°，∴AC ∥BD ， ∴=CP APBP PD，∵AP=PD ，∴BP=PC ，-------------------------------------------------------（1分） ∵AB=AC ，∴四边形ABDC 是正方形，----------------------------------------------------（1分） ∴∠ABC=45°，∠ABC 的正切值为1.---------------------------------------------------------（1分）综上所述，如果△BCD 是直角三角形，∠ABC 1.。
2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷及答案解析
2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列函数中，二次函数是（）A．y＝x+1B．y＝x（x+1）C．y＝（x+1）2﹣x2D．2．（4分）已知点A（1，2）在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为（）A．B．2C．D．3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．2米C．米D．9米5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD＝∠B，下列结论中，错误的是（）A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACG C．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：cot30°＝．8．（4分）计算：＝．9．（4分）如果函数f（x）＝2x2﹣3x+1，那么f（2）＝．10．（4分）如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．11．（4分）已知点P是线段MN的黄金分割点（MP＞NP），如果MN＝10，那么线段MP ＝．12．（4分）已知在△ABC中，AB＝13，BC＝17，tan B＝，那么AC＝․13．（4分）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，那么a的取值范围是．14．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x+3向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m ＝．15．（4分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝﹣x2+6x（0≤x≤4）．水珠可以达到的最大高度是（米）．16．（4分）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左右两个最高位置时，细绳相应所成的角为74°，那么小球在最高和最低位置时的高度差为厘米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）17．（4分）如图，已知在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝CB，点E、F分别在线段AB、AD上．如果CE⊥BF，那么的值为．18．（4分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点B′处，点A、D分别落在点A′、D′处，边A′B′、A′C分别与边AD交于点M、N，那么线段MN的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+2上．（1）如果m＝n，那么抛物线的对称轴为直线；（2）如果点A、B在直线y＝x﹣1上，求抛物线的表达式和顶点坐标．20．（10分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G．（1）设，＝（用向量表示）；（2）如果∠ACD＝∠B，AB＝9，求边AC的长．21．（10分）如图，某条道路上通行车辆限速为60千米/小时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路的AB段为监测区．在△ABP中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速？（精确到0.1秒）（参考数据：＝1.732）22．（10分）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：＝；sin∠ABC＝；（1）S△ABC＝S△ABC．（不要求写作法，（2）请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP但保留作图痕迹，写出结论）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AC、BD、BC上，AB2＝AD•AC，∠BAE＝∠CAF．（1）求证：△ABE∽△ACF；（2）联结EF，如果BF＝CF，求证：EF∥AC．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH＝AH，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结AP，试问点B关于直线CD对称的点E是否恰好落在直线AP上？请说明理由．25．（14分）已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE ＝DF．（1）如图，如果∠EBF＝60°，求线段DE的长；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：；②设BD的中点为点O，如果OH＝1，求的值．2023年上海市杨浦区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【解答】解：A、y＝x+1是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝x（x+1）是二次函数，故此选项符合题意；C、y＝（x+1）2﹣x2可化为y＝2x+1，不是二次函数，故此选项不合题意；D、y＝不是二次函数，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的定义，一次函数、反比例函数定义．2．【分析】根据题意，画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理可以得到OA的长，从而可以计算出cosα的值．【解答】解：连接OA，作AB⊥x轴于点B，则∠ABO＝90°，∵点A（1，2）∴OB＝1，AB＝2，∴OA＝＝＝，∵射线OA与x轴正半轴的夹角为α，∴cosα＝＝＝，故选：C．【点评】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出OA的长．3．【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【解答】解：A、得出的是向量n的方向不是单位向量，故不符合题意；B、符合向量的长度及方向，故符合题意；C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故不符合题意；D、左边得出的是向量m的方向，右边得出的是向量n的方向，两者方向不一定相同，故不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了向量的性质．注意：平面向量既有大小，又有方向．4．【分析】由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．【解答】解：∵BC：AC＝1：3，∴3：AC＝1：3，∴AC＝9，∴AB＝＝＝3，∴物体从A到B所经过的路程为3，故选：A．【点评】本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．5．【分析】根据题意，易证明△ADC∽△ACB，△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质即可选择．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，故A、B选项正确，不符合题意；故C选项错误，符合题意；∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，故D选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．6．【分析】根据相似三角形的判定逐一判定即可．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，故A正确；∵△ACD∽△ABC，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠BAG＝∠CAE，∴△ADE∽△ACG，故B正确；∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAE，又∵∠ACD＝∠B，∴△ACE∽△ABG，故C正确；由已知条件无法证明△ADE∽△CGE，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可．【解答】解：根据特殊角的三角函数值知：cot30°＝，故答案为：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键．8．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：（﹣2）+＝﹣+＝+．故答案为：+．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．9．【分析】计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：把x＝2代入f（x）＝2x2﹣3x+1得：f（2）＝2×22﹣3×2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．10．【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答案．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的对应高的比为：2：3，故答案为：2：3．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关键．11．【分析】由黄金分割的定义得PM＝MN，即可得出结论．【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，MN＝10，∴PM＝MN＝×10＝5﹣5，故答案为：5﹣5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．12．【分析】过A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出BD和AD，求出CD，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∵tan B＝，AB＝13，BC＝17，∴设AD＝5x，则BD＝12x，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝132，解得x＝1（负值舍去），∴AD＝5x＝5，BD＝12x＝12，∴CD＝BC﹣BD＝17﹣12＝5，由勾股定理得：AC＝＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理，能熟记锐角三角形函数的定义和勾股定理解此题的关键．13．【分析】由题意可得抛物线开口向上，进而求解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是下降的，∴抛物线开口向上，∴a＞0，故答案为：a＞0．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．14．【分析】利用平移的性质得出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向下平移2个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在x 轴上，∴m＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数的平移以及图形的旋转以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，正确记忆二次函数平移规律是解题关键．15．【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．【解答】解：∵y＝﹣x2+6x，＝﹣（x2﹣4x），＝﹣[（x﹣2）2﹣4]，＝﹣（x﹣2）2+6，∴当x＝2时，y有最大值6，∴水珠可以达到的最大高度为6米．故答案为：6．【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．16．【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．【解答】解：如图：过A作AB⊥OC于B．Rt△OAB中，OA＝50厘米，∠AOB＝74°÷2＝37°，∴OB＝OA•cos37°＝50×cos37°．∴BC＝OC﹣OB＝50﹣50×cos37°＝50（1﹣cos37°）≈50×0.2＝10（厘米）．故答案为：10．【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．17．【分析】连接AC，过C作CG⊥AB于G，由AB＝BC，∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，即可得＝＝，根据∠DAB＝90°，CE⊥BF，可证△ABF∽△GCE，故＝＝．【解答】解：连接AC，过C作CG⊥AB于G，如图：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AG＝AC＝AB，∴CG＝＝AG，∴＝＝，∵∠DAB＝90°，CE⊥BF，∴∠AFB+∠AEC＝180°，∵∠AEC+∠CEG＝180°，∴∠AFB＝∠CEG，∵∠FAB＝90°＝∠CGE，∴△ABF∽△GCE，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．18．【分析】过点A′作A′E⊥AD于点E，先根据勾股定理求出AC＝10，再根据旋转的性质可得BC＝B′C＝8，AB＝A′B'＝6，∠B＝∠AB′M＝∠A′B′C＝90°，则AB′＝2，再证明△AB′M∽△ADC，由相似三角形的性质求出B′M＝，AM＝，则A′M＝，再证明△A′ME∽△AMB′，由相似三角形的性质求出A′E＝，ME＝，则DE＝，设EN＝x，则DN＝，易证明△A′NE∽△CND，相似三角形的性质列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点A′作A′E⊥AD于点E，∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝，∵将矩形ABCD绕点C旋转，使点B恰好落在对角线AC上的点B′处，∴BC＝B′C＝8，AB＝A′B′＝6，∠B＝∠AB′M＝∠A′B′C＝90°，∵AB′＝AC﹣B′C＝10﹣8＝2，∵∠AB′M＝∠D，∠B′AM＝∠CAD，∴△AB′M∽△ADC，∴，即，∴B′M＝，AM＝，∴A′M＝A′B′﹣B′M＝，∵A′E⊥AD，∴∠A′EM＝∠AB′M，∵∠A'ME＝∠AMB′，∴△A′ME∽△AMB′，∴，即，∴A′E＝，ME＝，∴AE＝AM+ME＝，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣＝，设EN＝x，则DN＝，∵∠A′EN＝∠D＝90°，∠A′NE＝∠CND，∴△A′NE∽△CND，∴，即，解得：x＝，∴EN＝，∴MN＝ME+EN＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查矩形的性质、旋转的性质、勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】（1）当m＝n时，则点A和点B为抛物线上的对称点，然后利用抛物线的对称性确定对称轴；（2）先利用一次函数解析式确定点A、B的坐标，再把点A、B的坐标分别入y＝ax2+bx+2得a、b的方程组，则解方程可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵A（1，m）、B（3，n），m＝n，∴点A和点B为抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；故答案为：x＝2；（2）把A（1，m）、B（3，n）分别代入y＝x﹣1得m＝0，n＝2，∴A（1，0）、B（3，2），把A（1，0）、B（3，2）分别代入y＝ax2+bx+2得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，∵y＝x2﹣3x+2＝（x﹣）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．20．【分析】（1）连接AG并延长交BC于M，由G是△ABC的重心，DE∥BC，可得＝＝＝，而＝，即得＝；（2）证明△ACD∽△ABC，可得AC2＝AB•AD，即得AC＝3．【解答】解：（1）连接AG并延长交BC于M，如图：∵G是△ABC的重心，∴AG＝2MG，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABM，△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，∴DE＝BC，∵＝，DE∥BC，∴＝；故答案为：；（2）∵AB＝9，由（1）知＝，∴AD＝6，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即AC2＝AB•AD，∴AC2＝9×6，解得AC＝3（负值已舍去），∴边AC的长为3．【点评】本题考查平面向量和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．21．【分析】过P作PH⊥AB于H，由已知可得，PH＝50米，在Rt△APH中，AH＝PH＝50米，在Rt△BPH中，BH＝＝50≈86.6米，可得AB＝AH+BH≈136.6米，而136.6÷＝8.196（秒），即可得到答案．【解答】解：过P作PH⊥AB于H，如图：由已知可得，PH＝50米，在Rt△APH中，∵∠PAH＝45°，∴∠APH＝∠PAH＝45°，∴AH＝PH＝50米，在Rt△BPH中，tan30°＝，∴BH＝＝50≈86.6米，∴AB＝AH+BH≈136.6米，∵60千米/小时＝米/秒，而136.6÷≈8.2（秒），∴车辆通过AB段的时间在8.2秒以内时，可认定为超速．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．22．【分析】（1）由正方形面积减去三个直角三角形面积可求S△ABC，过A作AD⊥BC于D，用面积法可求AD的长，在Rt△ABD中可得sin∠ABC；（2）取格点E，F，连接EF交AB于P，由AE＝BF可知AP＝BP，从而AP＝AB，＝S△ABC，故P是满足条件的点．即可得S△ACP【解答】解：（1）由图可得：S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×3×1﹣×2×2＝4，过A作AD⊥BC于D，如图：∵וAD＝4，∴AD＝，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：4，；（2）如图：点P即为所求点．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，设计三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理．23．【分析】（1）由AB2＝AD•AC可得△ABC∽△ADB，有∠ACB＝∠ABD，又∠BAE＝∠CAF，故△ABE∽△ACF；（2）由△ABC∽△ADB，△ABE∽△ACF，可得＝，＝，即得＝，而BF＝CF，可得＝，△EBF∽△DBC，从而∠BEF＝∠BDC，EF∥AC．【解答】证明：（1）如图：∵AB2＝AD•AC，∴＝，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴∠ACB＝∠ABD，∵∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF；（2）如图：由（1）知△ABC∽△ADB，△ABE∽△ACF，∴＝，＝，∴＝，∵BF＝CF，∴＝，即＝，∵∠EBF＝∠DBC，∴△EBF∽△DBC，∴∠BEF＝∠BDC，∴EF∥AC．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）用待定系数法可得y＝﹣x2﹣x+3；（2）由A（﹣4，0），C（0，3）可得直线AC解析式为y＝x+3，AC＝＝5，设P（m，﹣m2﹣m+3），可得PH＝﹣m2﹣3m，由△AHG∽△ACO，可得AH＝m+5，故﹣m2﹣3m＝m+5，即可解得P（﹣，）；（3）作B关于直线CD的对称点E，过E作EW⊥x轴于W，设BE交CD于K，由y＝﹣x2﹣x+3得抛物线对称轴为直线x＝﹣，B（1，0），证明△BDK∽△CDO，可得BK＝，DK＝，从而BE＝2BK＝2，又△EWB∽△DKB，即可得EW＝2，BW ＝4，E（﹣3，2），由A（﹣4，0），P（﹣，）得直线AP解析式为y＝2x+8，故E 在直线直线AP上．【解答】解：（1）把A（﹣4，0），C（0，3）代入x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）如图：由A（﹣4，0），C（0，3）可得直线AC解析式为y＝x+3，AC＝＝5，设P（m，﹣m2﹣m+3），则H（m，m+3），∴PH＝（﹣m2﹣m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，HG＝m+3，∵∠HAG＝∠CAO，∠AGH＝90°＝∠AOC，∴△AHG∽△ACO，∴＝，即＝，∴AH＝m+5，∵PH＝AH，∴﹣m2﹣3m＝m+5，解得m＝﹣或m＝﹣4（与A重合，舍去），∴P（﹣，）；（3）点B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上，理由如下：作B关于直线CD的对称点E，过E作EW⊥x轴于W，设BE交CD于K，如图：由y＝﹣x2﹣x+3得抛物线对称轴为直线x＝﹣，B（1，0），∴D（﹣，0），BD＝，∵C（0，3），∴CD＝，∵B，E关于直线CD对称，∴∠BKD＝90°＝∠DOC，BK＝EK，∵∠CDO＝∠BDK，∴△BDK∽△CDO，∴＝＝，即＝＝，∴BK＝，DK＝，∴BE＝2BK＝2，∵∠EWB＝90°＝∠DKB，∠WBE＝∠DBK，∴△EWB∽△DKB，∴＝＝，即＝＝，∴EW＝2，BW＝4，∴OW＝BW﹣OB＝3，∴E（﹣3，2），由A（﹣4，0），P（﹣，）得直线AP解析式为y＝2x+8，在y＝2x+8中，令x＝﹣3得y＝2，∴E在直线直线AP上，即B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．25．【分析】（1）可推出△BEF是等边三角形，从而BE＝EF，设DE＝DF＝x，从而表示出EF和BE，进一步得出结果；（2）①延长EG，交BC于T，作CR∥ET，可证得△BCF≌△CDR，进而得出BE＝ET，根据AD∥BC得出，从而得出；②作EQ⊥BD于Q，设DE＝2a，从而AE＝2﹣2a，EQ＝DQ＝a，在Rt△ABE 中可表示出BE2＝4a2﹣8a+16，在Rt△EQH中，EH2＝EQ2+HQ2＝4a2﹣6a+9，由①知，，从而，从而得出，求得a的值，从而得出EQ，BE，EH，根据△BHG∽△EHQ可得出BG＝，进一步得出结果．【解答】（1）解：如图1，连接EF，∵四边形ABCD是正方形，BD＝4，∴AB＝AD＝CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵BE＝BF，∴△ABE≌△CBF（HL），∴BE＝BF，AE＝CF，∴DE＝DF，∵∠EBF＝60°，∴BE＝EF＝BF，设DE＝DF＝x，则AE＝2﹣x，EF＝x，∴BE2＝（2）2+（2﹣x）2＝x2+16﹣4x，∴（x）2＝x2+16﹣4x，∴x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴DE＝2﹣2；（2）①证明：如图2，延长EG，交BC于T，作CR∥ET，∵ET⊥BF，∴CR⊥BF，∴∠RCD+∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∴四边形CTER是平行四边形，∠DRC+∠RCD＝90°，∴CR＝ET，∠BFC＝∠DRC，∴△BCF≌△CDR（AAS），∴CR＝BF，∴ET＝BF，∵BE＝BF，∴BE＝ET，∵AD∥BC，∴，∴；②如图3，作EQ⊥BD于Q，设DE＝2a，则AE＝2﹣2a，EQ＝DQ＝a，在Rt△ABE中，BE2＝AB2+AE2＝（2）2+（2﹣2a）2＝4a2﹣8a+16，在Rt△EQH中，HQ＝BD﹣DQ﹣BH＝3﹣a，EH2＝EQ2+HQ2＝（）2+（3﹣a）2＝4a2﹣6a+9，由①知，，∴，∴，∴a1＝0（舍去），a2＝，∴EQ＝＝，EH2＝4×＝，BE2＝4×＝，∴EH＝，BE＝，∵∠EQH＝∠HGB＝90°，∠EHQ＝∠BHG，∴△BHG∽△EHQ，∴，∴，∴BG＝，∵BF＝BE＝，∴FG＝BF﹣BG＝＝，∴＝．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．。
2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷及答案解析
2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷一、选择题1．（3分）下列实数中，无理数是（）A．B．C．（π+2）0D．2．（3分）计算x3•x2的结果是（）A．x B．x5C．x6D．x93．（3分）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．C．D．4．（3分）如图，已知△ABC与△DEF，下列条件一定能推得它们相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．∠A＝∠D且C．∠A＝∠B，∠D＝∠E D．∠A＝∠E且5．（3分）如果0°＜∠A＜60°，那么sin A与cos A的差（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定6．（3分）如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE．下列结论成立的是（）A．B．C．D．二、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．（3分）的倒数是．8．（3分）计算：＝．9．（3分）已知，则的值是．10．（3分）抛物线y＝（x+1）2﹣2与y轴的交点坐标是．11．（3分）请写出一个以直线x＝3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）12．（3分）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面AB宽20米，拱桥的最高点O距离水面AB为3米，如图建立直角坐标平面xOy，那么此抛物线的表达式为．13．（3分）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）14．（3分）已知△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2，△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC 与△A2B2C2的相似比为，那么△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．15．（3分）在矩形ABCD内作正方形AEFD（如图所示），矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P．如果点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），且PE＝2，那么PF＝．16．（3分）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D、E分别在边AB、AC上，当AD＝4，∠ADE ＝∠C时，＝．17．（3分）如图，△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△DEC，如果点B、D、E在一直线上，且∠BDC＝60°，BE＝3，那么A、D两点间的距离是．18．（3分）定义：把二次函数y＝a（x+m）2+n与y＝﹣a（x﹣m）2﹣n（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数y＝x2+bx﹣2与y＝﹣x2﹣cx+c（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点P（b，c）的坐标．三、解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）计算：．20．（8分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求证：DE∥BC；（2）设，，试用向量、表示向量．21．（10分）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B＝，AB＝13，BC＝21．（1）求AC的长；（2）求∠BAC的正弦值．22．（10分）有一把长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）．一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．23．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、F，且AD•AC＝AE•BC．（1）求证：AB∥FD；（2）点G在底边BC上，BC＝10，CG＝3，联结AG，如果△AGC与△EFC的面积相等，求FC的长．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx−6（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，∠ABC的余切值为，AB ＝8，点P在抛物线上，且PO＝PB．（1）求上述抛物线的表达式；（2）平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．①求新抛物线的对称轴；②点F在新抛物线对称轴上，且∠EOF＝∠PCO，求点F的坐标．25．（10分）在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，点D为射线CB上一动点（点D 不与点B、C重合），以AD为腰且在AD的右侧作等腰直角△ADF，∠ADF＝90°，射线AB与射线FD交于点E，联结BF．（1）如图所示，当点D在线段CB上时，①求证：△ACD∽△ABF；②设CD＝x，tan∠BFD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当AB＝2BE时，求CD的长．2023年上海市静安实验中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A．＝4，4是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是无理数，故本选项符合题意；C．（π+2）0＝1，1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．2．【分析】根据同底数的幂相乘的法则即可求解．【解答】解：x3•x2＝x5．故选：B．【点评】本题主要考查了同底数的幂的乘方的计算法则，正确理解法则是关键．3．【分析】非零向量、互为相反向量，则非零向量、大小相等，方向相反．【解答】解：∵非零向量、互为相反向量，∴∥且＝﹣且||＝||，∴+＝．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量，注意理解平面向量有关的定义是关键．4．【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以判断两个三角形相似，本选项符合题意；B、由∠A＝∠D且，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；C、由∠A＝∠B，∠D＝∠E，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；D、由∠A＝∠E且＝，无法判断个三角形相似，本选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．5．【分析】根据锐角三角函数的增减性，分三种情况讨论即可得出结论，【解答】解：当0°＜∠A＜45°时，45°＜90°﹣∠A＜90°，∴sin A＜sin（90°﹣A），∴sin A＜cos A，∴sin A﹣cos A＜0，当∠A＝45°时，90°﹣∠A＝45°，∴sin A＝sin（90°﹣A），∴sin A＝cos A，∴sin A﹣cos A＝0，当45°＜∠A＜60°时，30°＜90°﹣∠A＜45°，∴sin A＞sin（90°﹣A），∴sin A＞cos A，∴sin A﹣cos A＞0，∴当0°＜∠A＜60°时，那么sin A与cos A的差不能确定．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，理解定义是解题的关键．6．【分析】由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：AD，BE是△ABC的中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△DEG∽△ABG，∴DG：AG＝DE：AB＝1：2，BG：EG＝AB：DE，＝＝，∴DG＝AG，∵BG：EG＝AB：DE＝2：1，∴GB：BE＝2：3，：S△AEB＝2：3，∴S△AGB∵AE＝EC，＝S△ABC，∴S△AEB＝S△ABC，∴S△AGB∵△CDE∽△CBA，∴＝＝，＝S△ABC，∴S△CDE∴＝，结论成立的是＝，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．二、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）7．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵×3＝1，∴的倒数是3．故答案为：3．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数．8．【分析】利用同分母的分式的加法法则解答即可．【解答】解：原式＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．9．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．故答案为：．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．10．【分析】把x＝0代入函数解析式求解．【解答】解：把x＝0代入y＝（x+1）2﹣2得y＝1﹣2＝﹣1，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0是解题的关键．11．【分析】可根据顶点式求抛物线解析式，只需要对称轴为x＝3，开口向上即可．【解答】解：满足题意的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+2．本题答案不唯一．故答案为：y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质．当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧，y随x 的增大而减小．12．【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是y＝ax2，再结合图象，只需把（10，﹣3）代入求出a的值即可．【解答】解：该抛物线的解析式是y＝ax2，由图象知，点（10，﹣3）在函数图象上，代入得：100a＝﹣3，a＝﹣．∴该抛物线的解析式是y＝﹣x2；故答案为：y＝﹣x2．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式是此题的考查点．13．【分析】根据坡度坡角的定义和三角函数的增减性即可得到结论．【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，∴tan A＝，tan D＝，∵＞，∴∠A＞∠D，即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角，故答案为：大于．【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣坡度坡角，熟练掌握三角函数的增减性是解题的关键．14．【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为，△ABC与△A2B2C2的相似比为，∴AB：A1B1＝1：5，AB：A2B2＝2：3，设AB＝2x，则A1B1＝10x，A2B2＝3x，∴A1B1：A2B2＝10：3，∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为．故答案为：．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A2B2的比值，也就是两三角形的相似比．15．【分析】先根据黄金分割的定义可得＝，再利用正方形的性质可得：DF∥AE，DF＝AE，从而可得＝，然后证明8字模型相似三角形△CFP∽△AEP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵点F恰好是边CD的黄金分割点（DF＞FC），∴＝＝，∵四边形AEFD是正方形，∴DF∥AE，DF＝AE，∴＝，∵DC∥AB，∴∠FCP＝∠PAE，∠CFP＝∠AEP，∴△CFP∽△AEP，∴＝＝，∵PE＝2，∴PF＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，黄金分割，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．16．【分析】首先判定△ADE∽△ACB，然后利用该相似三角形的对应边成比例解答．【解答】解：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB．∴＝．∵AC＝5，AD＝4，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．17．【分析】过点C作CF⊥BE于F，由旋转的性质得出∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE，由直角三角形的性质可得出答案．【解答】解：过点C作CF⊥BE于F，∵△ABC绕点C逆时针旋转90°后得△DEC，∴∠ACD＝∠BCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE，∴CF＝BE＝，∵∠BDC＝60°，∴∠FCD＝30°，∴DF＝CF＝，∴CD＝2DF＝，∴AD＝CD＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．18．【分析】根据旋转函数的定义得到：，从而解得b＝﹣，c＝2．【解答】解：根据题意得，解得．∴点P的坐标为（﹣，2），故答案为：（﹣，2）．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与几何变换，正确理解新定义是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分66分）19．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝+（）2＝+1﹣+＝﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明；（2）由三角形法则求得，然后由AE与EC的比例关系求得向量．【解答】（1）证明：BD＝2AD，AE＝EC，∴＝＝．∴DE∥BC；（2）解：∵，，∴＝﹣＝﹣．∴＝﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，掌握平行线的判定，三角形法则即可解答该题，属于基础题．21．【分析】（1）由∠B的余弦求出BD长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题；（2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．【解答】解：（1）∵cos B＝＝，AB＝13，∴BD＝13×＝5，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣5＝16，∵AD＝＝＝12，∴AC＝＝＝20；（2）作CH⊥AB于H，∵△ABC的面积＝AB•CH＝BC•AD，∴13CH＝21×12，∴CH＝，∴∠BAC的正弦值是＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，关键是过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长．22．【分析】（1）由∠α的余弦求出∠α的度数，即可解决问题；（2）由∠DEO的正弦求出∠DEO，即可解决问题．【解答】解：（1）∵cosα＝＝≈0.417，∴α≈65°，∵50°≤65°≤75°，∴此时人能安全地使用这架梯子；（2）此时人不能安全使用这架梯子，理由如下：梯子顶端A离开地面最高时，∠ABO＝75°，∵sin∠ABO＝，∴AO＝AB•sin75°＝6×sin75°≈5.82（米），梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点，OD＝AO﹣AD＝5.82﹣1.5＝4.32（米），∵sin∠DEO＝＝＝0.72，∴∠DEO≈46°，∵46°＜50°，∴此时人不能安全使用这架梯子．【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是由锐角的三角函数定义求出梯子与地面的夹角．23．【分析】（1）根据题意可证明，△AED∽△CAB，所以∠AED＝∠CAB，则AB∥FD；（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD•AC＝AE•BC，∴AD：AE＝BC：AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴AB∥FD；（2）根据题意可得，＝＝，∵EF∥FD，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∵△AGC和△EFC面积相等，∴＝，解得CF＝．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键．24．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①用待定系数法求出函数表达式，即可求解；②由新抛物线的表达式：y＝x2﹣4x，得到直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，进而求解．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx−6＝﹣6，即点C（0，﹣6），OC＝6，∵∠ABC的余切值＝＝，即OB＝2，则点B（2，0），∵AB＝8，则OA＝6，即点A（﹣6，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x﹣2）（x+6）＝a（x2+4x﹣12），即﹣12a＝﹣6，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣6；（2）①∵PO＝PB，则点P在OB的中垂线上，故xP＝1，当x＝1时，y＝x2+2x﹣6＝﹣，故点P（1，﹣）；设新抛物线的表达式为：y＝x+bx，将点P的坐标代入上式得：﹣＝+b，解得：b＝﹣4，故新抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x，如下图，延长CP交x轴于点H，该函数的对称轴为x＝4；②由①知点E（4，0），则OE＝4，设直线CP的表达式为：y＝kx﹣6，将点P的坐标代入上式得：﹣＝k﹣6，解得：k＝，故直线CP的表达式为：y＝x﹣6，即tan∠OHC＝，则tan∠PCO＝＝tan∠EOF，而tan∠EOF＝＝＝，则EF＝，则点F（4，）或（4，﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、图形的平移，学会构建一次函数，利用数形结合是解题的关键．25．【分析】（1）①利用等腰直角三角形的性质和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可；②过点E作EH⊥BD于点H，设BH＝HE＝m，利用相似三角形的拍等于性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）利用分类讨论的思想方法，画出图形，列出关于x的方程，解方程即可得出结论．【解答】（1）①证明：∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF；②解：过点E作EH⊥BD于点H，如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝m，则BE＝m，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝4﹣x﹣m．∵∠ADF＝90°，∴∠ADC+∠FDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠FDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴m＝，∴BH＝HE＝．由①知：△ACD∽△ABF，∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵∠ADF＝90°，∴∠ADF＝∠ABF＝90°．∵∠AED＝∠BEF，∴∠BFD＝∠DAE．∴tan∠BFD＝tan∠DAE＝．∵△ACD∽△DHE，∴，∴y＝tan∠BFD＝＝，∴y关于x的函数解析式y＝，x的取值范围：0＜x＜4；（2）①解：当点D在线段CB上时，如图，由（1）②知：BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝AC＝4，∴4＝2ו，∴8+2x＝4x﹣x2，∴x2﹣2x+8＝0．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×8＝4﹣32＝﹣28＜0，∴此方程没有实数根，∴当点D在线段CB上时，不存在AB＝2BE；②当点D在线段CB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥BD于点H，∵△ABC和△ADF是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AF＝AD，∠CAB＝∠DAF＝45°．∴，∠CAD＝∠BAF，∴△ACD∽△ABF．∴∠ACD＝∠ABF＝90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠EBH＝∠ABC＝45°．∵EH⊥BD，∴BH＝HE．设BH＝HE＝n，则BE＝n，∴DH＝BC﹣CD﹣BM＝x﹣4﹣n．∵∠ADF＝90°，∴∠ADE＝90°，∴∠ADC+∠EDH＝90°，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠EDH．∵∠ACD＝∠DHE＝90°，∴△ACD∽△DHE，∴，∴，∴n＝．∴BH＝HE＝．∴BE＝BH＝•．∵AB＝2BE，AB＝4，∴4＝2ו．∴8+2x＝x2﹣4x，∴x2﹣6x﹣8＝0，解得：x＝＝3±，∵x＞0，∴x＝3+．∴CD＝3+．综上，当AB＝2BE时，CD的长为3+．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，一元二次方程的解法，本题是相似三角形的综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。
2023年上海市长宁区中考数学一模试卷及答案解析
2023年上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8B．6C．4D．12．（4分）下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰梯形B．两个矩形C．两个直角三角形D．两个等边三角形3．（4分）将抛物线y＝﹣x2+4向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝﹣（x+1）2+4C．y＝﹣x2+5D．y＝﹣x2+34．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝3，AB＝5，那么∠A的余弦值为（）A．B．C．D．5．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A．B．C．D．6．（4分）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（）A．﹣3B．﹣4C．0D．﹣1二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）已知，那么的值为．8．（4分）计算：＝．9．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．10．（4分）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为．11．（4分）小杰沿着坡度i＝1：2.4的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．12．（4分）已知抛物线y＝（1+m）x2在y轴左侧的部分是上升的，那么m的取值范围是．13．（4分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．14．（4分）如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝15，那么EF的长等于．15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G为△ABC的重心，若AC＝6，tan∠ABG ＝，那么AG的长等于．16．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，正方形EFGH的边FG在△ABC的边AB上，顶点E、H分别在边AC、BC上，如果其面积为24，那么AF•BG的值为．17．（4分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，∠ABE的平分线交边AD于点F，联结EF，如果正方形ABCD的面积为12，且CE＝2，那么cot（∠BEF﹣∠DFE）的值为．18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，2），点C为图示中正方形网格交点之一（点O除外），如果以A、B、C为顶点的三角形与△OAB相似，那么点C 的坐标是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知D是△ABC边AC上一点，且AD：DC＝2：3，设，．（1）试用、表示；（2）直接在图中作出向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21．（10分）已知y关于x的函数﹣2tx﹣3是二次函数．（1）求t的值并写出函数解析式；（2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．22．（10分）某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动．小杰所在小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示：无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，测得大楼顶部D 的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D 的俯角为45°．已知A、C两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大楼的高度．（结果保留根号）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD＝AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G．（1）求证：△BDG∽△CBA；（2）如果△ADC的面积为180，且AB＝18，DG＝6，求△ABG的面积．24．（12分）已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P、D分别在射线CB、射线AC上，且满足∠APD＝∠ABC．（1）当点P在线段BC上时，如图1．①如果CD＝4.8，求BP的长；②设B、P两点的距离为x，AP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）当BP＝1时，求△CPD的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）25．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y 轴交于点C，O为坐标原点，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ．当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．2023年上海市长宁区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【分析】根据成比例线段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故选：B．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．2．【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，等腰梯形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个等腰梯形、两个矩形都不一定是相似形，故选：D．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．3．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2+4向右平移1个单位向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4．故选：A．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．4．【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴cos A＝＝，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．【分析】假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案．【解答】解：假设三点（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函数图象上，把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函数解析式得：，解得，函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝﹣2时，y＝5，故选：D．方法二：解：假设函数经过（0，﹣3），（2，﹣3），则对称轴为直线x＝1，此时y＝﹣4，函数值最小，∴函数开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，而表格中，x＝﹣2时，y＝﹣1，由题意不符，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．【分析】直接利用已知变形，进而得出b＝4a，进而带入计算得出答案．【解答】解：∵，∴b＝4a，∴＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．8．【分析】先去括号，然后计算加减法．【解答】解：＝﹣+2﹣3＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了平面向量的知识，乘法分配率同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．9．【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得结论．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴两个三角形的相似比为，1：3，∴它们的周长比是1：3，故答案为：1：3．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长之比等于相似比．10．【分析】根据平面向量的定义即可解决问题．【解答】解：∵向量与单位向量的方向相反，且，∴＝﹣5．故答案为：＝﹣5．【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．11．【分析】设坡度的高为x米，根据勾股定理，列方程求解．【解答】解：设坡度的高为x米（x＞0），则水平距离为：2.4x米，则：x2+（2.4x）2＝1302，解得：x＝50，故答案为：50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡脚问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键．12．【分析】由抛物线在y轴左侧的部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解．【解答】解：∵抛物线y＝（1+m）x2在y轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴1+m＜0，∴m＜﹣1，故答案为：m＜﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．13．【分析】由a＞0可得抛物线开口方向，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y＝ax2﹣2ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∵1﹣（﹣1）＞2﹣1，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．14．【分析】由AD∥BE∥CF，可得＝，即＝，可解得DF＝18，从而EF＝DF ﹣DE＝12．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝5，DE＝6，AC＝15，∴＝，解得DF＝18，∴EF＝DF﹣DE＝18﹣6＝12，故答案为：12．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，列出比列式．15．【分析】延长BG交AC于F，过G作GD⊥AB于G，直线DG交BC于E，证明△DBE∽△ABC，得＝，同理可得＝＝＝，即有＝，根据G为△ABC 的重心，AC＝6，得DE＝4，DG＝GE＝2，又tan∠ABG＝，可得BD＝6，有AD＝3，由勾股定理可得答案．【解答】解：延长BG交AC于F，过G作GD⊥AB于G，直线DG交BC于E，如图：∵GD⊥AB，∠BAC＝90°，∴DE∥AC，∠BDE＝∠BAC＝90°，∵∠DBE＝∠ABC，∴△DBE∽△ABC，∴＝，同理可得＝＝＝，∴＝，∵G为△ABC的重心，∴AF＝CF，＝，∴DG＝GE，＝，∵AC＝6，∴DE＝4，∴DG＝GE＝2，∵tan∠ABG＝，∴＝，即＝，∴BD＝6，∵＝＝2，∴AD＝3，∴AG＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．16．【分析】由正方形EFGH面积为24，可得EF＝GH＝2，∠EFG＝∠HGF＝90°＝∠EFA＝∠HGB，又∠C＝90°，即可得∠AEF＝∠B，故△AEF∽△HBG，有＝，从而AF•BG＝24．【解答】解：∵正方形EFGH面积为24，∴EF＝GH＝2，∠EFG＝∠HGF＝90°＝∠EFA＝∠HGB，∴∠A+∠AEF＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠AEF＝∠B，∴△AEF∽△HBG，∴＝，∴＝，∴AF•BG＝24，故答案为：24．【点评】本题考查正方形性质和相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明△AEF∽△HBG．17．【分析】过E作EG∥AD交AB于G，由正方形ABCD的面积为12，CE＝2，可得cot∠EBC＝＝＝，即可得cot∠BEG＝，而∠BEF﹣∠DFE＝∠BEF﹣∠FEG ＝∠BEG，故cot（∠BEF﹣∠DFE）＝．【解答】解：过E作EG∥AD交AB于G，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∵正方形ABCD的面积为12，∴BC＝2，∵CE＝2，∴cot∠EBC＝＝＝，∵EG∥AD，AD∥BC，∴EG∥BC，∴∠BEG＝∠EBC，∴cot∠BEG＝，∵EG∥AD，∴∠DFE＝∠FEG，∴∠BEF﹣∠DFE＝∠BEF﹣∠FEG＝∠BEG，∴cot（∠BEF﹣∠DFE）＝．故答案为：．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及锐角三角函数，解题的关键是作辅助线，把∠BEF﹣∠DFE转化为∠BEG．18．【分析】△AOB是两条直角边的比为1：2的直角三角形，分别以A，B，C为直角顶点，画出两条直角边的比为1：2的直角三角形即可得到答案．【解答】解：由图可知，△AOB是两条直角边的比为1：2的直角三角形，在方格中画出与△OAB相似的三角形，如图：∴点C的坐标是（1，2）或（4，4）或（5，2），故答案为：（1，2）或（4，4）或（5，2）．【点评】本题考查相似三角形及图形与坐标，解题的关键是分类讨论思想的应用．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、分母有理化分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式＝+＝+（2﹣）＝+﹣＝﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．20．【分析】（1）利用三角形法则求出，再求出，根据＝+，可得结论；（2）利用三角形法则作出图形即可．【解答】解：（1）∵＝+，∴＝+，∵AD：DC＝2：3，∴＝AC＝+，∴＝+＝﹣++＝﹣+；（2）如图，，即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．21．【分析】（1）根据二次函数的定义得到t+2≠0且t2﹣2＝2，然后解关于t的方程可得到满足条件的t的值，从而得到抛物线解析式；（2）利用配方法把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）根据题意得t+2≠0且t2﹣2＝2，解得t＝2，所以抛物线解析式为y＝4x2﹣4x﹣3；（2）y＝4x2﹣4x﹣3＝4（x﹣）2﹣4，∵a＝4＞0，∴该二次函数图像的开口向上，顶点坐标为（，﹣4），对称轴为直线x＝．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．22．【分析】由已知可得：∠CBG＝30°，∠DBG＝∠FED＝45°，BE＝50米，设BG＝EF＝x米，可得2x＝50，解得BG＝DG＝25米，在Rt△BGC中，CG＝，即得CD＝CG+DG＝（+25）米．【解答】解：如图：由已知可得：∠CBG＝30°，∠DBG＝∠FED＝45°，BE＝50米，设BG＝EF＝x米，则DG＝DF＝x米，∴GF＝2x米，∵GF＝BE，∴2x＝50，解得x＝25，∴BG＝DG＝25米，在Rt△BGC中，tan∠CBG＝，∴CG＝×25＝，∴CD＝CG+DG＝（+25）米，答：大楼的高度为（+25）米．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．23．【分析】（1）由AB＝AD得到∠ABD＝∠ADB，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，则∠EBC＝∠C，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；（2）由（1）知△BDG∽△CBA，可得＝，而AB＝18，DG＝6，即可得＝，＝180，故S△ABD＝90，因AG＝12，＝，即得S△ABG＝S△＝，又S△ADCABD＝×90＝60．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵EF垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵∠GBD＝∠C，∠BDG＝∠CBA，∴△BDG∽△CBA；（2）解：由（1）知△BDG∽△CBA，∴＝，∵AB＝18，DG＝6，∴＝＝，∴＝，∴＝，＝180，∵S△ADC＝90，∴S△ABD∵AC＝AB＝18，DG＝6，∴AG＝12，∴＝，∴＝，＝S△ABD＝×90＝60．∴S△ABG【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）①证明△ABP∽△PCD，得＝，即＝，可解得BP的长为4或12；②由△ABP∽△PCD，有＝，可得CD＝，AD＝AC﹣CD＝10﹣，而△PAD∽△CAP，知PA2＝AC•AD，故y2＝10×[10﹣]＝100﹣16x+x2，即可得到答案；（2）过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，由AH⊥BC，AB＝AC，BH＝8，AH ＝＝6，结合（1）知当BP＝1，即x＝1时，CD＝＝，CP＝BC﹣BP＝15，证明△AHC∽△DGC，可得DG＝，故△CPD的面积为，当P在CB延长线上时，同理可得△CPD的面积为．【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠B+∠BAP，且∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∵CD＝4.8，AB＝10，∴＝，BC＝16，解得x＝4或x＝12，∴BP的长为4或12；②由（1）△ABP∽△PCD，∴＝，∵B、P两点的距离为x，∴＝，∴CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣，∵∠B＝∠C，∠APD＝∠ABC，∴∠C＝∠APD，∵∠PAD＝∠CAP，∴△PAD∽△CAP，∴＝，∴PA2＝AC•AD，∴y2＝10×[10﹣]＝100﹣16x+x2，∴y＝，∵16﹣x＞0，∴x＜16，∴y＝（0＜x＜16）；（2）过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，当P在边BC上时，如图：∵AH⊥BC，AB＝AC，∴BH＝BC＝8＝CH，∴AH＝＝6，由（1）知当BP＝1，即x＝1时，CD＝＝，CP＝BC﹣BP＝15，∵AH⊥BC于H，DG⊥BC，∴∠AHC＝90°＝∠DGC，∠C＝∠C，∴△AHC∽△DGC，∴＝，∴＝，∴DG＝，∴△CPD的面积为×15×＝，当P在CB延长线上时，如图：由△ABP∽△PCD可得CD＝，由△AHC∽△DGC可得DG＝，∴△CPD的面积为×17×＝，综上所述，△CPD的面积为或．【点评】本题考查三角形综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，三角形面积，动点问题等，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理及应用．25．【分析】（1）求出C（0，4），用待定系数法可得y＝x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m+4），由OC＝PQ，有﹣m2+4m＝4，即可解得Q（2，﹣2）；（3）可得直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，知A在直线DQ上，AD＝，AC＝，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，根据∠DQE＝2∠ODQ，可得直线AQ和直线QE关于直线QH对称，有∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝1，G（3，0），从而可得直线QE的表达式为y＝2x﹣6，点E的坐标为（5，4），即得△EKB ∽△COA，∠EBK＝∠CAO，故∠DAC＝∠GEB，△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为（t，2t﹣6），当△BEF∽△CAD时，有＝，解得F（4，2）；当△BEF∽△DAC时，＝，解得F（1.6，﹣2.8）．【解答】解：（1）∵B（4，0），OB＝OC，∴C（0，4），把A（1，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴y＝x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m+4），则Q（m，m2﹣5m+4），∴PQ＝﹣m+4﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m，∵OC∥PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC＝PQ，∴﹣m2+4m＝4，解得m＝2，∴Q（2，﹣2）；（3）在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，理由如下：∵D是OC的中点，点C（0，4），∴点D（0，2），由（2）知Q（2，﹣2），∴直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，∵A（1，0），∴A在直线DQ上，AD＝，AC＝，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，如图：∵QH∥CO，故∠AQH＝∠ODQ，∵∠DQE＝2∠ODQ，∴∠HQA＝∠HQE，∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称，∴∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝1，∴G（3，0），由点Q（2，﹣2），G（3，0）可得直线QE的表达式为y＝2x﹣6，联立，解得或，∴点E的坐标为（5，4），∵B（4，0），∴BK＝1，EK＝4，BE＝，∴＝＝，∵∠EKB＝90°＝∠COA，∴△EKB∽△COA，∴∠EBK＝∠CAO，∴∠CAO﹣∠DAO＝∠EBK﹣∠EGB，即∠DAC＝∠GEB，∴△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为（t，2t﹣6），则EF＝，当△BEF∽△CAD时，有＝，∴＝，解得t＝4或t＝6（在E右侧，舍去），∴F（4，2）；当△BEF∽△DAC时，＝，∴＝，解得t＝8.4（舍去）或t＝1.6，∴F（1.6，﹣2.8），综上所述，F的坐标为（4，2）或（1.6，﹣2.8）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，相似三角形等知识，解题的关键是证明∠DAC＝∠GEB，从而得到△BEF与△ADC相似，点E与点A 是对应点．第16页（共16页）。
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上海市中考数学一模试卷G卷
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分）实数，，，3.1415，，0中，无理数的个数为（）
A . 2个
B . 3个
C . 4个
D . 5个
2. （2分）可以改写成（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）下列说法正确的是（）
A . 某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票一定会中奖
B . 为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
C . 一组数据3，5，4，5，5，6，10的众数和中位数都是5
D . 若甲数据的方差s=0.05，乙数据的方差s=0.1，则乙数据比甲数据稳定
4. （2分）若一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y=mx2-mx （）
A . 有最大值
B . 有最大值-
C . 有最小值
D . 有最小值-
5. （2分）下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）
A . 等边三角形
B . 正方形
C . 正六边形
D . 圆
6. （2分）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）
A . 5cm
B . 15cm
C . 20cm
D . 25cm
7. （2分）一个几何体的主视图和左视图都是正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（）
A . 长方体
B . 正方体
C . 圆锥
D . 圆柱
8. （2分）抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）
A . 直线x=﹣1
B . 直线x=1
C . 直线x=﹣2
D . 直线x=2
二、填空题 (共10题；共11分)
9. （1分）海原大县城建设，县政府投资20000000000元的用来城镇化建设，如果用科学记数法表示20000000000，应为________元．
10. （1分）函数y= 中自变量x的取值范围是________．
11. （1分）分解因式：4x2﹣16=________ ．
12. （1分）已知反比例函数的图象经过点和，则的值是________．
13. （1分）小聪对本班同学进行一次调查，他向同学提出问题“你早恋过吗？”这样问法________ （填“合理”或“不合理”）
14. （1分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为________；
15. （1分）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠2=55°，则∠1=________．
16. （1分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=________．
17. （2分）如图，直线l经过平面直角坐标系的原点O，且与x轴正方向的夹角是30°，点A的坐标是（0，1），点B在直线l上，且AB∥x轴，则点B的坐标是________，现将△ABO 绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线l上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线l上，顺次旋转下去…，则点A6的横坐标是________．
18. （1分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°, ∠B＝30°，BC＝＋1，点E、F 分别是BC、AC边上的动点，沿EF所在直线折叠∠C，使点C的对应点C′始终落在边AB上，若△BEC′是直角三角形时，则BC′的长为________．
三、解答题 (共10题；共112分)
19. （5分）计算：32﹣20150+tan45°．
20. （5分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x是不等式组
的整数解．
21. （13分）九（1）班同学为了解2011年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行如下整理．请解答以下问题：
（1）把下面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
月均用水量x（t）频数（户）频率
0＜x≤560.12
5＜x≤10________ 0.24
10＜x≤15160.32
15＜x≤20100.20
20＜x≤254________
25＜x≤3020.04
________
（2）求该小区用水量不超过15t的家庭占被调查家庭总数的百分比；
（3）若该小区有1000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过20t的家庭大约有多少户？
22. （15分）今年西宁市高中招生体育考试测试管理系统的运行，将测试完进行换算统分改为计算机自动生成，现场公布成绩，降低了误差，提高了透明度，保证了公平．考前张老师为了解全市初三男生考试项目的选择情况（每人限选一项），对全市部分初三男生进行了调查，将调查结果分成五类：A、实心球（2kg）；B、立定跳远；C、50米跑；D、半场运球；E、其它．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）假定全市初三毕业学生中有5500名男生，试估计全市初三男生中选50米跑的人数有多少人？
（3）甲、乙两名初三男生在上述选择率较高的三个项目：B、立定跳远；C、50米跑；
D、半场运球中各选一项，同时选择半场运球、立定跳远的概率是多少？请用列表法或画树形图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
23. （20分）某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，
（1）补全求证部分；
（2）补全求证部分；
（3）请你写出证明过程．
（4）请你写出证明过程．
24. （5分）某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．
25. （15分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．
（1）如图1，求证：KE=GE；
（2）如图2，连接CA ，BG，若∠FGB= ∠ACH，求证：CA∥FE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE= ，AK= ，求CN的长．
26. （15分）如图，已知点A（﹣3，0），二次函数y=ax2+bx+ 的对称轴为直线x=﹣1，其图象过点A与x轴交于另一点B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式，写出顶点坐标；
（2）动点M，N同时从B点出发，均以每秒2个三位长度的速度分别沿△ABC的BA，BC 边上运动，设其运动的时间为t秒，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连结MN，将△B MN沿MN翻折，若点B恰好落在抛物线弧上的B′处，试求t的值及点B′的坐标；
（3）在（2）的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由．
27. （11分）综合题。
（1）问题发现：
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为________（2）拓展探究：
在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE、CE、AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决：
当正方形CDEF旋转到B、E、F三点共线时候，直接写出线段AF的长．
28. （8分）现有一生产季节性产品的企业，有两种营销方案，经测算：方案一，一年中获得的每月利润y（万元）和月份x的关系为；方案二，一年中获得的每月利润y（万元）与月份x的关系为．两个函数部分图象如图所示：
（1）请你指出：方案一，月利润对应的图象是________；方案二，月利润对应的图象是________；（填序号）
（2）该企业一年中月利润最高可达________万元；
（3）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会立即停产，企业原计划全年使用营销方案二进行销售,
则①该企业一年中应停产的月份是几月？
②为了使全年能获得更高利润，企业应该如何改进其营销方案，使全年总利润最高？并
算出全年最高总利润比原计划多多少？
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共10题；共11分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共10题；共112分) 19-1、
20-1、
21-1、21-2、21-3、
22-1、22-2、
22-3、23-1、23-2、
23-3、
23-4、24-1、
25-1、25-2、
25-3、
26-1、
26-2、
26-3、
27-1、
27-2、
27-3、28-1、
28-2、
28-3、。