第十八章平行四边形全章教案
人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》教案

(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了平行四边形的基本概念、重要性质和判定方法。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平行四边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
(4)面积计算的灵活运用:学生在计算平行四边形面积时,有时难以确定底和高。
突破方法:通过讲解不同形状的平行四边形面积计算方法,让学生学会根据实际情况确定底和高,并运用到实际问题中。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《平行四边形》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过形状像梯子斜靠在墙上的图形?”(如平行四边形)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索平行四边形的奥秘。
人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》教案
一、教学内容
人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》主要包括以下内容:
1.平行四边形的定义及性质:平行四边形的定义、对边平行且相等、Байду номын сангаас角相等、对角线互相平分。
2.特殊平行四边形:矩形、菱形、正方形的性质及判定方法。
3.平行四边形的判定:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
2.提升逻辑推理能力:在学习平行四边形的判定方法及性质证明过程中,培养学生严谨的逻辑思维和推理能力。
第18章平行四边形全章教案新人教版

第十八章平行四边形18.1.1平行四边形及其性质(一)作课时间:一、教学目标:1. 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质.2. 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证.3. 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力.二、重点、难点1. 重点:平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用.2. 难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.三、例题的意图分析例1是教材P93的例1,它是平行四边形性质的实际应用,题目比较简单,其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算,讲课时,可以让学生来解答. 例2是补充的一道几何证明题,即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证,又让学生从较简单的几何论证开始,提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力,学会演绎几何论证的方法. 此题应让学生自己进行推理论证.四、课堂引入1. 我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链,想一想它们是什么几何图形的形象?平行四边形是我们常见的图形,你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗?你能总结出平行四边形的定义吗?(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)表示:平行四边形用符号" —'”来表示.如图,在四边形ABCD中,AB // DC, AD // BC,那么四边形ABCD是平行四边形.平行四边形ABCD记作“—ABCD,读作平行四边形ABCD ”.①••• AB//DC AD//BC , •••四边形ABCD是平行四边形(判定);②•••四边形ABCD是平行四边形• AB//DC , AD//BC (性质).注意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角. 而三角形对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.(教学时要结合图形,让学生认识清楚)2. 【探究】平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?我们一起来探究一下.让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形,观察这个四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以,它的边和角之间有什么关系?度量一下,是不是和你猜想的一致?(1)由定义知道,平行四边形的对边平行•根据平行线的性质可知,在平行四边形中,相邻的角互为补角.(相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角•注意和第章的邻角相区别•教学时结合图形使学生分辨清楚. )(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等.EF面证明这个结论的正确性.已知:如图二ABCD ,求证:AB = CD , CB = AD,/ B = Z D,/ BAD =Z BCD .分析:作二ABCD的对角线AC,它将平行四边形分成△ ABC和厶CDA,证明这两个三角形全等即可得到结论.(作对角线是解决四边形问题常用的辅助线,通过作对角线,可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题.)证明:连接AC ,AB // CD , AD // BC,•••/ 1 = Z 3,Z 2 = Z 4.又AC = CA,•△ ABC ◎△ CDA (ASA ).AB = CD , CB = AD,/ B=Z D.又/ 1 + Z 4 =Z 2 +Z 3,/ BAD =Z BCD .由此得到:平行四边形性质1 平行四边形的对边相等.平行四边形性质2 平行四边形的对角相等.五、例习题分析例1 (教材P93例1)例2 (补充)如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF ,求证:AF=CE .第18章-平行四边形全章教案(新人教版)分析:要证AF=CE,需证△ ADF ◎△ CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有/ D= / B , AD=BC , AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF .由“边角边”可得出所需要的结论.证明略.六、随堂练习1. 填空:(1 )在二ABCD 中,/ A= 50,则/ B= _________ 度,/ C= ____ 度,/ D= _____ 度.(2)如果-ABCD 中,/ A — / B=240,则/ A= _度,/ B= _度,/ C=_ 度,/ D= _ 度.(3)如果二ABCD 的周长为28cm,且AB : BC=2 : 5,那么AB= __________ c m, BC= ____ cm, CD= ___ cm, CD= ___ cm.2. 如图4.3 —9,在-ABCD中,AC为对角线,BE丄AC , DF 丄AC , E、F为垂足,求证:BE = DF .七、课后练习(A )对角相等(B)对角互补(C)邻角互补(D)内角和是3601. (选择)在下列图形的性质中,平行四边形不一定具有的是( ).2. 在二ABCD中,如果EF // AD , GH // CD , EF与GH相交与点0,那么图中的平行四边形一共有( ).(A) 4 个(B) 5 个(C) 8 个 (D) 9 个3. 如图,AD // BC , AE // CD, BD 平分/ ABC,求证AB=CE .板书设计教学反思18.1.1平行四边形的性质(二)作课时间一、教学目标:1. 理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分的性质.2. 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题,和简单的证明题.3. 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.二、重点、难点1. 重点:平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用.2. 难点:综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.三、例题的意图分析本节课安排了两个例题,例1是一道补充题,它是性质3的直接运用,然后对例1进行了引申,可以根据学生的实际情况选讲,并归纳结论:过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线,所得的对应线段相等.例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形,熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的.例2是教材P94的例2,这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算. 这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步,需要应用勾股定理,先求得平行四边形一边上的高,然后才能应用公式计算•在以后的解题中,还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题,在教学中要注意使学生掌握其方法.四、课堂引入1•复习提问:(1)什么样的四边形是平行四边形?四边形与平行四边形的关系是:(2)平行四边形的性质:①具有一般四边形的性质(内角和是360 ).②角:平行四边形的对角相等,邻角互补. 边:平行四边形的对边相等.2.【探究】:请学生在纸上画两个全等的二ABCD和二EFGH,并连接对角线AC、BD和EG、HF , 设它们分别交于点O.把这两个平行四边形落在一起,在点O处钉一个图钉,将二ABCD绕点O旋转180,观察它还和二EFGH重合吗?你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?结论:(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;(2)平行四边形的对角线互相平分.五、例习题分析例1 (补充) 已知:如图4 — 21, 二ABCD 的对角 线AC 、BD 相交于点 0 , EF 过点0与AB 、CD 分别相交于 点 E 、F .求证:0E = OF , AE=CF , BE=DF . 证明:在 二ABCD 中,AB // CD ,••• / 1 = Z 2. Z 3=Z 4.又 0A = 0C (平行四边形的对角线互相平分 ), • △ A0E ◎△ C0F (ASA ).•0E = 0F , AE=CF (全等三角形对应边相等).•••二ABCD , • AB=CD (平行四边形对边相等).AB — AE=CD — CF . 即 BE=FD .※【引申】若例1中的条件都不变,将 EF 转动到图b 的位置,那么例1的结论是否成 立?若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图 c 和图d ),例1的结论是否成立,说明你的理由.算公式:平行四边形的面积 =底乂高(高为此底上的高),可求得二ABCD 的面积.(平行 四边形的面积小学学过,再次强调“底”是对应着高说的,平行四边形中,任一边都可以作为“底”,“底”确定后,高也就随之确定了 .)3.平行四边形的面积计算解略(参看教材P94) 六、随堂练习1. 在平行四边形中,周长等于 48,解略例2 (教材P94的例2)已知四边形 ABCD 是平行四 边形,AB = 10cm , AD = 8cm , AC 丄 BC ,求 BC 、CD 、AC 、0A 的长以及二ABCD 的面积.分析:由平行四边形的对边相等,可得BC 、CD 的长,在Rt △ ABC 中,由勾股定理可得AC 的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得 0A 的长,根据平行四边形的面积计A. _____________①已知一边长12,求各边的长②已知AB=2BC,求各边的长③已知对角线AC、BD交于点0,A AOD与厶AOB的周长的差是10,求各边的长2 .如图,二ABCD 中,AE 丄BD,/ EAD=60°, AE=2cm , AC+BD=14cm,则△ 0BC 的周长是_ cm.3. 二ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm , 7cm的两条线段,则二ABCD的周长是__ _ cm .(4)6BCD 的周长为药沖,AB=8cm s BC=__________ ;当Z B=60 4 5时,AD, BC的距离应=___________ 上ZABCD的面积^ABCD= ____________七、课后练习1•判断对错(1) 在二ABCD 中,AC 交BD 于0,贝U AO=OB=OC=OD . ( )(2) 平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等. ( )(3) 平行四边形的两组对边分别平行且相等. ( )(4) 平行四边形是轴对称图形. ( )2.在ABCD中,AC = 6、BD = 4,则AB的范围是.3.在平行四边形ABCD中,已知AB、BC、CD三条边的长度分别为(:x+3),( x-4 )和16,则这个四边形的周长是______________4 •公园有一片绿地,它的形状是平行四边形,绿地上要修几条笔直的小路,如图,AB = 15cm , AD = 12cm , AC丄BC, 求小路BC , CD, 0C的长,并算出绿地的面积.板书设计教学反思18.1.2 (一)平行四边形的判定教学目标:1. 在探索平行四边形的判别条件中,理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法.2 .会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.3. 培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题.二、重点、难点3. 重点:平行四边形的判定方法及应用.4. 难点:平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.、例题的意图分析本节课安排了3个例题,例1是教材P96的例3,它是平行四边形的性质与判定的综合运用,此题最好先让学生说出证明的思路,然后老师总结并指出其最佳方法. 例2与例3都是补充的题目,其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题.例3是一道拼图题,教学时,可以让学生动起来,边拼图边说明道理,即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力,又可以提高学生的学习兴趣. 如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形,让学生指出图中所有的平行四边形, 并说明理由.四、课堂引入1. 欣赏图片、提出问题.展示图片,提出问题,在刚才演示的图片中,有哪些是平行四边形?你是怎样判断的?2. 【探究】:小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?让学生利用手中的学具一一硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件,思考并探讨:你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗?(2) 你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形?(3) 你能说出你的做法及其道理吗?(4)吗?能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法?你能用文字语言表述出来你还能找出其他方法吗?(5)从探究中得到:平行四边形判定方法 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
第十八章平行四边形的常见题型总结(教案)

在这次《平行四边形的常见题型总结》的教学过程中,我注意到了几个值得反思的地方。首先,我发现学生们在理解平行四边形的性质时,普遍能够快速掌握对边平行且相等这一特点,但对于对角线互相平分这一性质的理解还不够深入。在今后的教学中,我需要通过更多具体的实例和图形展示,帮助学生更好地理解这一性质。
(3)平行四边形与其他四边形的区别:学生容易混淆平行四边形与其他四边形的性质和判定方法。
突破方法:通过对比、总结,让学生明确平行四边形与其他四边形的区别,形成清晰的知识体系。
(4)实际应用问题:学生在解决实际应用问题时,难以将平行四边形的知识与实际问题相结合。
突破方法:引入实际生活中的案例,让学生学会将平行四边形知识应用于解决实际问题,提高数学应用能力。
第十八章平行四边形的常见题型总结(教案)
一、教学内容
第十八章平行四边形的常见题型总结:本章节以八年级数学教材为依据,围绕平行四边形的概念、性质及判定方法展开,主要包括以下内容:
1.平行四边形的定义及性质:对边平行且相等,对角线互相平分,对角线所分的角相等。
2.平行四边形的判定:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3.平行四边形的面积计算:底乘以高。
4.平行四边形与其他四边形(如矩形、菱形、梯形等)的关系与区别。
二、核心素养目标
本章节旨在培养学生以下核心素养:
1.培养学生的空间观念:通过探究平行四边形的性质与判定,使学生能够理解和运用空间几何图形的特征,发展其空间想象力。
2.提高学生的逻辑思维能力:在解决平行四边形相关问题时,引导学生运用逻辑推理,分析问题,培养其严密的逻辑思维。
人教版八年级数学下册第十八章18.2特殊的平行四边形(教案)

最后,我意识到教学过程中与学生的互动非常重要。通过提问和鼓励学生回答问题,我可以更好地了解他们的学习情况,并及时调整教学策略。在未来的课堂中,我会更加注重与学生的互动,创造一个更加活跃和参与感强的学习环境。
另外,小组讨论的环节似乎很受学生们的欢迎。他们在这个环节中能够积极地交流想法,互相学习。不过,我也观察到有些小组在讨论时可能会偏离主题,或者花费太多时间在非关键的问题上。为了提高讨论的效率,我考虑在下次活动中提供更明确的讨论指导,并在讨论过程中适时地给予引导。
我还发现,在讲解难点时,用简单的语言和图示来解释复杂的几何关系非常有效。学生们反馈说,这样的讲解方式更容易帮助他们理解和记忆。因此,我会在今后的教学中继续采用这种方法,并且尝试找到更多有趣且直观的教学工具。
五、教学反思
在上完这节特殊的平行四边形的课程后,我有一些想法想要记录下来。首先,我发现学生们对于矩形、菱形和正方形的性质与判定的掌握程度参差不齐。在讲授过程中,我尽量通过生动的例子和直观的图形来解释这些概念,但显然,对于一些学生来说,这些知识点还是有一定的难度。
我注意到,当涉及到实际应用问题时,学生们往往不知道如何将所学的理论知识运用到具体情境中。这可能是因为我们在教学中缺乏足够的实际案例分析和练习。在未来的课程中,我需要增加更多的实际问题,让学生们有更多的机会去实践和运用。
4.培养学生团队合作意识,提高交流表达与概括总结能力,在学习过程中形成严谨的科学态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-矩形、菱形、正方形的性质与判定:这是本节课的核心内容,学生需要掌握这三种特殊平行四边形的基本性质,并能运用这些性质进行判定。
人教版数学八年级上册第十八章《平行四边形》教案

3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
(3)平行四边形面积的计算:掌握平行四边形面积的计算公式,能够准确计算各种平行四边形的面积。
-例如:平行四边形面积等于底乘以高,特殊平行四边形如矩形、菱形、正方形等有特定的面积计算方法。
2.教学难点
(1)平行四边形性质的深入理解:学生需要理解并掌握平行四边形性质的推导过程,以及如何运用这些性质解决复杂问题。
4.通过对平行四边形的学习,培养学生的几何直观和抽象思维能力,提高数学审美素养;
5.在解决平行四边形相关问题的过程中,培养学生合作交流、自主探究的学习习惯,提升学生的综合素质。
三、教学难点与重点
1.教学重点
(1)平行四边形性质的理解与应用:熟练掌握矩形、菱形、正方形、梯形的性质,并能运用这些性质解决实际问题。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考,比如平行四边形在建筑设计中的应用。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
-难点举例:如何利用矩形性质解决实际生活中的问题,如房间面积的计算。
(2)平行四边形判定方法的选择与应用:在面对不同图形时,学生需要能够选择合适的判定方法,快速准确地判断图形类型。
【人教版】初中数学八下数学第18章《平行四边形》全章教学案(含解析)

第十八章平行四边形1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.2.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,并能运用它们进行证明和计算.3.了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离.4.探索并证明中位线定理.1.通过经历平行四边形与各特殊平行四边形之间的联系与区别,使学生进一步认识一般与特殊的关系.2.通过经历平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定的探索、证明及相关计算的过程,以及相关问题证明和计算的过程,进一步培养和发展学生合情推理、演绎推理的能力.1.通过几何问题的证明和计算,体验证法和解法的多样性,渗透转化思想.2.通过动手实践,积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲.平行四边形是特殊的四边形,它与三角形一样,既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域主要的研究对象.本章内容也是在已经学过的多边形、平行线、三角形的基础上学习的,也可以说是在已有知识的基础上做出的进一步较系统的整理和研究,它是以后我们继续学习其他几何知识的基础.本章内容主要包括:平行四边形、特殊的平行四边形.其中平行四边形主要探索平行四边形的性质和判定,特殊的平行四边形主要介绍了矩形、菱形、正方形,并根据定义探索它们的性质和判定.【重点】理解和掌握平行四边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定,掌握三角形的中位线定理,会应用平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识以及三角形中位线定理解决一些简单的实际问题.【难点】分清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系和区别,能够灵活运用平行四边形、特殊平行四边形的定义、性质和判定方法进行推理论证.1.关于平行四边形及特殊的平行四边形概念之间从属、种差、内涵与外延之间的关系.本章概念比较多,概念之间联系非常密切,关系复杂.由于平行四边形和各种特殊平行四边形的概念之间重叠交错,容易混淆,因此弄清它们的共性、特性及其从属关系非常重要.实际上,有时学生掌握了它们的特殊性质,而忽略了共同性质.如有的学生不知道正方形既是矩形,又是菱形,也是平行四边形,应用时常犯多用或少用条件的错误.教学时,不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质,还要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质.也就是在讲清每个概念特征的同时,强调它们的属概念,弄清这些概念之间的关系.在原有属概念基础上附加一些条件(种差),通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的种概念;同时在原有属概念的性质和判定方法的基础上,来研究种概念的性质和判定方法.弄清这些关系,最好是用图示的办法.在弄清这些图形之间关系的基础上,还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系,即内涵越小,外延越大;反之外延越小,内涵越大.例如,正方形的性质中,包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征,它的外延很小,而平行四边形的外延很大.弄清了各种特殊平行四边形的概念,各种平行四边形之间的从属关系也就清楚了,它们的性质定理、判定定理也就不会用错了.2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.从培养学生的推理论证能力的角度来说,本章处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上,进一步巩固和提高的阶段.本章内容比较简单,证明方法相对比较单一,学生前面已经进行了一些推理证明的训练.但这种训练只是初步,要进一步巩固和提高.教学中同样要重视推理论证的教学,进一步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力.在推理与证明的要求方面,除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外,还要求学生直接由已有的结论对有些图形的性质通过推理论证得出.另外,为了巩固并提高学生的推理论证能力,本章定理证明中,除了采用严格规范的证明方法外,还有一些采用了探索式的证明方法.这种方法不是先有了定理再去证明它,而是根据题设和已有知识,经过推理,得出结论.另外也有一些文字叙述的证明题,要求学生自己写出已知、求证,再进行证明.这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加,但能激发学生的学习兴趣,活跃学生的思维,对发展学生的思维能力有好处.教学中要注意启发和引导,使学生在熟悉“规范证明”的基础上,推理论证能力有所提高和发展.18.1 平行四边形18.1.1平行四边形的性质(2课时)5课时18.1.2平行四边形的判定(3课时)18.2 特殊的平行四边形18.2.1矩形(2课时)5课时18.2.2菱形(2课时)18.2.3正方形(1课时)单元概括整合1课时18.1平行四边形1.理解平行四边形的概念,探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.2.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形.3.掌握三角形的中位线的概念和定理.1.在运用平行四边形的性质和平行四边形的判定方法及三角形的中位线定理的过程中,进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识,通过对平行四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动,进一步培养学生动手能力及合情推理能力,使学生会将平行四边形的问题转化成三角形的问题,渗透转化与化归意识.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的性质与判定方法的探究和运用,以及三角形中位线定理的理解和应用.【难点】平行四边形的判定与性质定理的综合运用.18.1.1平行四边形的性质1.理解平行四边形的概念.2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的概念和性质的探索.【难点】平行四边形性质的运用.第课时1.理解平行四边形的定义及有关概念.2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.3.了解平行线间距离的概念.1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维.2.在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力.3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的推理能力和逻辑思维能力.在性质应用过程中培养独立思考的习惯,让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形边、角的性质探索和证明.【难点】如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想方法.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题的投影图片.【学生准备】方格纸,量角器,刻度尺.导入一:[过渡语]前面我们已经学习了许多图形与几何知识,掌握了一些探索和证明几何图形性质的方法,本节开始,我们继续研究生活中的常见图形.我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念,探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.[设计意图]通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程.导入二:(出示本章农田鸟瞰图)观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗?学生自由说出图中的几何图形,教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等,明确本章主要研究对象——平行四边形.[过渡语]下面我们来认识特殊的四边形——平行四边形.[设计意图]以农田鸟瞰图作为本章的章前图,学生可以见识各种四边形的形状,通过查找长方形、正方形、平行四边形等,为进一步比较系统地学习这些图形做准备,并明确本章的学习任务.1.平行四边形的定义思路一提问:你知道什么样的图形叫做平行四边形吗?教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质,又可以作为判定平行四边形的依据.追问:平行四边形如何好记好读呢?画出图形,教师示范后,学生结合图练习,并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序记.平行四边形用“▱”表示,平行四边形ABCD,记作“▱ABCD”.如右图所示,引导学生找出图中的对边,对角.对边:AD与BC,AB与DC;对角:∠A与∠C,∠B与∠D.进一步引导学生总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.[设计意图]给出定义,强调定义的作用,让学生结合图形认识“对角”“对边”,为学习性质做好准备.思路二请举出你身边存在的平行四边形的例子.学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏……教师点评,画出图形,如右图所示.提问:(1)你能说出平行四边形的定义吗?(2)你能表示平行四边形吗?(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗?学生阅读教材第41页,点名学生回答以上问题,教师进一步讲解:(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:①是一个四边形;②两组对边分别平行.(2)指出表示平行四边形错误的情况,如▱ACDB.(3)作为性质:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.作为判定:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.[设计意图]学生结合实例和教材中的图片,师引导学生归纳这些四边形的共同特征,即:两组对边分别平行.2.平行四边形边、角的性质思路一[过渡语]同学们回忆我们的学习经历,研究几何图形的一般思路是什么?一起回顾全等三角形的学习过程,得出研究的一般过程:先给出定义,再研究性质和判定.教师进一步指出:性质的研究,其实就是对边、角等基本要素的研究.提问:平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?教师画出图形,如右图所示,引导学生通过观察、度量,提出猜想.猜想1:四边形ABCD是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC.猜想2:四边形ABCD是平行四边形,那么∠A=∠C,∠B=∠D.追问:你能证明这些结论吗?学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠A=∠C.在学生遇到困难时,教师引导学生构造全等三角形进行证明.[过渡语]我们知道,利用全等三角形的对应边、对应角都相等是证明线段相等、角相等的一种重要方法.学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.证明:连接AC.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.引导学生归纳平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.追问:通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗?教师引导学生辨析定理的题设和结论,明确应用性质进行推理的基本模式:∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).[设计意图]让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路.[知识拓展](1)运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.(2)四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.(教材例1)如图所示,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.引导学生分析:要证明线段AE=CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的性质证明,考虑证明△ADE≌△CBF.由题意容易得到∠AED=∠CFB=90°,再根据平行四边形的性质可以得出∠A=∠C,AD=CB.在此基础上,引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=CB.又∠AED=∠CFB=90°,∴△ADE≌△CBF.∴AE=CF.[设计意图]应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.思路二1.提问:根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平行”外,它的边、角之间还有哪些关系?度量一下,是不是和你的猜想一致?AB=BC=CD=AD=猜想:∠A=∠B=∠C=∠D=猜想:小组合作完成,交流自己的猜想.教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念,再引导学生归纳:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.2.你能证明你发现的上述结论吗?已知:如图(1)所示,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:(1)AD=BC,AB=CD;(2)∠B=∠D,∠BAD=∠DCB.小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来解决.证明:(1)连接AC,如图(2)所示.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.(2)∵△ABC≌△CDA(已证),∴∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.一组代表发言后,另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠BAD=∠DCB.教师根据学生的证明情况进行评价、总结.证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等,图中没有三角形怎么办?一般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).(补充)如图,在▱ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线.(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形ABCD的四条边相等?学生认真读题、思考、分析、讨论,得出有关结论.因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠B=∠D,又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.教师根据学生回答,板书有关正确的结论.解决第(2)个问题时,学生思考、交流、讨论得出:只要添加AC平分∠DAB即可.说明理由:因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DCA=∠BAC,而∠DAC=∠BAC,所以∠DCA=∠DAC,所以AD=DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB=DC=AD=BC.[设计意图]学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.3.平行线间的距离[过渡语]距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离,那么平行线间的距离又是怎样的呢?思路一提问:在教材的例1中,DE=BF吗?学生思考,都容易发现:由△ADE≌△CBF,容易得到DE=BF.追问:如图所示,直线a∥b,A,D为直线a上任意两点,点A到直线b的距离AB和点D到直线b的距离DC 相等吗?为什么?学生讨论,发现容易证明AB∥CD,由已知得AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.学生结合图指出:a∥b,点A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的距离.教师点评,并强调:任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在两条平行线之间的最短的线段的长度.[设计意图]结合例1的进一步追问,自然引出平行线间距离的概念.思路二请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线.老师边看边指导学生画图.追问:请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?学生发现:平行线间的所有垂线段的长度相等.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.如右图所示,用符号语言表述为:∵l1∥l2,AB⊥l2,CD⊥l2,∴AB=CD.教师进一步强调:两平行线l1,l2之间的距离是指什么?指在一条直线l1上任取一点A,过A作AB⊥l2于点B,线段AB的长度叫做两平行线l1,l2间的距离.引导学生归纳:两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联系.两平行线间的距离⇒点到直线的距离⇒点与点之间的距离.l1,l2间的距离转化为点A到l2间的距离,再转化为点A到点B的距离.追问:如果AB,CD是夹在两平行线l1,l2之间的两条平行线段,那么AB和CD仍相等吗?教师引导学生思考:(出示教材第43页图18.1-5)如图所示,a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.说明:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.[设计意图]借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并注重两平行线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.[知识拓展](1)当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不随垂线段位置的变化而改变.(2)平行线之间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可以灵活选择位置.4.例题讲解(补充)在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,试求▱ABCD的周长.引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导,明确思路后学生写解答过程.〔解析〕本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用,解题的关键是分别画出符合题意的图形.设BC边上的高为AE,分AE在▱ABCD的内部和AE在▱ABCD的外部两种情况计算.解:在▱ABCD中,AB=CD=5,AD=BC.设BC边上的高为AE.(1)若AE在▱ABCD的内部,如图①所示,在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,根据勾股定理,得:BE====3;在Rt△ACE中,AC=2,AE=4,根据勾股定理,得:CE== ==2.∴BC=BE+CE=3+2=5.∴▱ABCD的周长为2×(5+5)=20.(2)若AE在▱ABCD的外部,如图②所示,同理可得BE=3,CE=2,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴▱ABCD的周长为2×(5+1)=12.综上,▱ABCD的周长为20或12.[解题策略]本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求第三条边的长度,因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外部,所以作图时应分两种情况讨论,如下图所示.本节课我们主要学习了平行四边形的定义,探索了平行四边形的两个特征,同时还学习了平行线间的距离,平行线的一些特征.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.平行线间的距离相等,两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.1.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()A.100°B.160°C.80°D.60°解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°,又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,则图中共有平行四边形的个数为()A.6B.7C.8D.9解析:图中的平行四边形有:平行四边形AEOG、平行四边形BHOE、平行四边形CHOF、平行四边形OFDG、平行四边形ABHG、平行四边形CHGD、平行四边形AEFD、平行四边形BEFC、平行四边形ABCD.故选D.3.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4B.3C.D.2解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB,∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.4.如图所示,在▱ABCD中,△ABC和△DBC的面积的大小关系是.解析:∵两平行线AD,BC间的距离相等,∴△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形,∴它们的面积相等.故填相等.5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F.(1)求∠EDF的度数;(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∴∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°.(2)在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(8+14)=44.第1课时1.平行四边形的定义2.平行四边形边、角的性质例1例23.平行线间的距离4.例题讲解例3一、教材作业【必做题】教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.【选做题】教材第50页习题18.1第8题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F等于()A.110°B.30°C.50°D.70°2.如图所示,l 1 ∥l 2,BE ∥CF ,BA ⊥l 1 于点A ,DC ⊥l 2于点C ,有下面的四个结论;(1)AB =DC ;(2)BE =CF ;(3)S △ABE =S △DCF ;(4)S 四边形ABCD =S 四边形BCFE .其中正确的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3.如图所示,点E 是▱ABCD 的边CD 的中点,AD ,BE 的延长线相交于点F ,DF =3,DE =2,则▱ABCD 的周长为 ( )A.5B.7C.10D.144.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AB =4,∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ,与DC 交于点F ,且点F 为边DC 的中点,DG ⊥AE ,垂足为G ,若DG =1,则AE 的长为 ( ) A.2 B.4 C.4 D.85.如图所示,▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等,且∠BAD =60°,∠F =110°,则∠DAE 的度数为 .【能力提升】6.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的顶点A ,B ,C 的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),则顶点D 的坐标为 .7.如图所示,在▱ABCD 中,DE 平分∠ADC ,AD =6,BE =2,则▱ABCD 的周长是 .。
人教版八年级下册数学第18章《平行四边形》教案

-特殊平行四边形的性质和判定:矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质和判定方法,以及它们在实际问题中的应用。
-平行四边形的面积计算:掌握平行四边形面积计算公式(底乘以高),并能应用于实际计算。
举例:
在讲解平行四边形性质时,可以通过实际操作教具或动态软件演示,让学生直观地看到对边平行且相等、对角相等等现象,从而加深理解。
3.提升几何直观:通过画图、观察、操作等实践活动,增强学生对几何图形的直观感知,提高几何直观能力。
4.培养数学抽象:让学生从具体实例中抽象出平行四边形的性质,培养数学抽象素养。
5.强化数学运算:在学习平行四边形面积计算过程中,提高学生的数学运算能力,特别是对特殊平行四边形的灵活运用。
三、教学难点与重点
首先,对于平行四边形判定方法的理解和应用,部分学生仍然存在困难。在接下来的教学中,我需要加强对这一部分的讲解和练习,通过更多具体的实例和图形,帮助学生更好地理解和运用。
其次,在实践活动环节,我发现学生们在分组讨论时,有些小组的讨论并不充分,部分学生参与度不高。为了提高学生的参与度,我打算在下次课堂上尝试采用更多互动性强的教学方式,如小组竞赛、角色扮演等,激发学生的学习兴趣。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与平行四边形相关的实际问题,如如何计算平行四边形的面积。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如用纸片拼出平行四边形,并测量其面积。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
第十八章平行四边形数学活动教案

1.理论介绍:首先,我们要了解平行四边形的基本概念。平行四边形是四边形的一种,其对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分。它在几何学中具有重要地位,广泛应用于日常生活和工程建筑等领域。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。通过分析矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质和应用,了解它们在实际中的使用。
-能够准确描述平行四边形的定义及性质
-能够区分矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形,并运用其性质解决问题
-能够灵活运用平行四边形的面积计算方法
2.思维与发展:通过分析、综合、推理等思维过程,提升逻辑思维和问题解决能力,培养数学抽象和推理素养。
-能够运用逻辑推理证明平行四边形的性质
-能够解决实际问题,运用平行四边形性质进行合理推理和论证
-举例:通过对比分析,让学生理解矩形、菱形、正方形在边长、角度、对角线等方面的差异。
-平行四边形的判定:学会用不同方法判断一个四边形是否为平行四边形。
-举例:通过具体例题,让学生掌握两对边平行、一组对边平行且相等、对角线互相平分等判定方法。
-平行四边形的面积计算:掌握底乘以高和菱形对角线乘积的一半两种计算方法。
在总结回顾环节,我意识到自己对学生的评价和反馈还不够具体,可能导致他们对知识点的掌握不够扎实。因此,我决定在今后的教学中,加强对学生的个别辅导,针对他们的薄弱环节进行有针对性的指导。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如用硬纸板制作平行四边形,测量并计算其面积。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
最新人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》全章教学案含解析

最新人教版数学八年级下册第18章《平行四边形》全章教学案含解析第十八章平行四边形1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系.2.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,并能运用它们进行证明和计算.3.了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离.4.探索并证明中位线定理.1.通过经历平行四边形与各特殊平行四边形之间的联系与区别,使学生进一步认识一般与特殊的关系.2.通过经历平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定的探索、证明及相关计算的过程,以及相关问题证明和计算的过程,进一步培养和发展学生合情推理、演绎推理的能力.1.通过几何问题的证明和计算,体验证法和解法的多样性,渗透转化思想.2.通过动手实践,积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲.平行四边形是特殊的四边形,它与三角形一样,既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域主要的研究对象.本章内容也是在已经学过的多边形、平行线、三角形的基础上学习的,也可以说是在已有知识的基础上做出的进一步较系统的整理和研究,它是以后我们继续学习其他几何知识的基础.本章内容主要包括:平行四边形、特殊的平行四边形.其中平行四边形主要探索平行四边形的性质和判定,特殊的平行四边形主要介绍了矩形、菱形、正方形,并根据定义探索它们的性质和判定.【重点】理解和掌握平行四边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定,掌握三角形的中位线定理,会应用平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识以及三角形中位线定理解决一些简单的实际问题.【难点】分清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系和区别,能够灵活运用平行四边形、特殊平行四边形的定义、性质和判定方法进行推理论证.1.关于平行四边形及特殊的平行四边形概念之间从属、种差、内涵与外延之间的关系.本章概念比较多,概念之间联系非常密切,关系复杂.由于平行四边形和各种特殊平行四边形的概念之间重叠交错,容易混淆,因此弄清它们的共性、特性及其从属关系非常重要.实际上,有时学生掌握了它们的特殊性质,而忽略了共同性质.如有的学生不知道正方形既是矩形,又是菱形,也是平行四边形,应用时常犯多用或少用条件的错误.教学时,不仅要讲清矩形、菱形、正方形的特殊性质,还要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质.也就是在讲清每个概念特征的同时,强调它们的属概念,弄清这些概念之间的关系.在原有属概念基础上附加一些条件(种差),通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的种概念;同时在原有属概念的性质和判定方法的基础上,来研究种概念的性质和判定方法.弄清这些关系,最好是用图示的办法.在弄清这些图形之间关系的基础上,还要进一步向学生说明概念的内涵与外延之间的反变关系,即内涵越小,外延越大;反之外延越小,内涵越大.例如,正方形的性质中,包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征,它的外延很小,而平行四边形的外延很大.弄清了各种特殊平行四边形的概念,各种平行四边形之间的从属关系也就清楚了,它们的性质定理、判定定理也就不会用错了.2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.从培养学生的推理论证能力的角度来说,本章处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上,进一步巩固和提高的阶段.本章内容比较简单,证明方法相对比较单一,学生前面已经进行了一些推理证明的训练.但这种训练只是初步,要进一步巩固和提高.教学中同样要重视推理论证的教学,进一步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力.在推理与证明的要求方面,除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外,还要求学生直接由已有的结论对有些图形的性质通过推理论证得出.另外,为了巩固并提高学生的推理论证能力,本章定理证明中,除了采用严格规范的证明方法外,还有一些采用了探索式的证明方法.这种方法不是先有了定理再去证明它,而是根据题设和已有知识,经过推理,得出结论.另外也有一些文字叙述的证明题,要求学生自己写出已知、求证,再进行证明.这些对学生的推理能力要求较高,难度也有增加,但能激发学生的学习兴趣,活跃学生的思维,对发展学生的思维能力有好处.教学中要注意启发和引导,使学生在熟悉“规范证明”的基础上,推理论证能力有所提高和发展.单元概括整合1课时18.1平行四边形1.理解平行四边形的概念,探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.2.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四边形是平行四边形.3.掌握三角形的中位线的概念和定理.1.在运用平行四边形的性质和平行四边形的判定方法及三角形的中位线定理的过程中,进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识,通过对平行四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动,进一步培养学生动手能力及合情推理能力,使学生会将平行四边形的问题转化成三角形的问题,渗透转化与化归意识.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的性质与判定方法的探究和运用,以及三角形中位线定理的理解和应用.【难点】平行四边形的判定与性质定理的综合运用.18.1.1平行四边形的性质1.理解平行四边形的概念.2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.通过观察、猜测、归纳、证明,培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生的简单推理能力和逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形的概念和性质的探索.【难点】平行四边形性质的运用.第课时1.理解平行四边形的定义及有关概念.2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.3.了解平行线间距离的概念.1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维.2.在进行性质探索的活动过程中,发展学生的探究能力.3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,培养学生的推理能力和逻辑思维能力.在性质应用过程中培养独立思考的习惯,让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.【重点】平行四边形边、角的性质探索和证明.【难点】如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想方法.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题的投影图片.【学生准备】方格纸,量角器,刻度尺.我们一起来观察下图中的小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么几何图形的形象?学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念,探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质,利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.[设计意图]通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程.导入二:(出示本章农田鸟瞰图)观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗?学生自由说出图中的几何图形,教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等,明确本找长方形、正方形、平行四边形等,为进一步比较系统地学习这些图形做准备,并明确本章的学习任务.1.平行四边形的定义思路一提问:你知道什么样的图形叫做平行四边形吗?教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.说明定义的两方面作用:既可以作为性质,又可以作为判定平行四边形的依据.追问:平行四边形如何好记好读呢?画出图形,教师示范后,学生结合图练习,并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序记.平行四边形用“▱”表示,平行四边形ABCD,记作“▱ABCD”.如右图所示,引导学生找出图中的对边,对角.对边:AD与BC,AB与DC;对角:∠A与∠C,∠B与∠D.进一步引导学生总结:四边形中不相邻的边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公共边的角,叫做对角.[设计意图]给出定义,强调定义的作用,让学生结合图形认识“对角”“对边”,为学习性质做好准备.思路二请举出你身边存在的平行四边形的例子.学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏……教师点评,画出图形,如右图所示.提问:(1)你能说出平行四边形的定义吗?(2)你能表示平行四边形吗?(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗?学生阅读教材第41页,点名学生回答以上问题,教师进一步讲解:(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:①是一个四边形;②两组对边分别平行.(2)指出表示平行四边形错误的情况,如▱ACDB.(3)作为性质:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.作为判定:∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.[设计意图]学生结合实例和教材中的图片,师引导学生归纳这些四边形的共同特征,即:两组对边分别平行.2.平行四边形边、角的性质教师进一步指出:性质的研究,其实就是对边、角等基本要素的研究.提问:平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外,还有什么特殊的性质呢?教师画出图形,如右图所示,引导学生通过观察、度量,提出猜想.猜想1:四边形ABCD是平行四边形,那么AB=CD,AD=BC.猜想2:四边形ABCD是平行四边形,那么∠A=∠C,∠B=∠D.追问:你能证明这些结论吗?学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠A=∠C.等的一种重要方法.学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.证明:连接AC.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.引导学生归纳平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.追问:通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗?教师引导学生辨析定理的题设和结论,明确应用性质进行推理的基本模式:∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).[设计意图]让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图形中没有三角形,只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为三角形问题来解决,突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路. [知识拓展](1)运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.(2)四边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.(教材例1)如图所示,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.引导学生分析:要证明线段AE=CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的性质证明,考虑证明△ADE≌△CBF.由题意容易得到∠AED=∠CFB=90°,再根据平行四边形的性质可以得出∠A=∠C,AD=CB.在此基础上,引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=CB.又∠AED=∠CFB=90°,∴△ADE≌△CBF.∴AE=CF.[设计意图]应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.思路二1.提问:根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平行”外,小组合作完成,交流自己的猜想教师强调平行四边形的对边、邻边、对角、邻角等概念,再引导学生归纳:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.2.你能证明你发现的上述结论吗?已知:如图(1)所示,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:(1)AD=BC,AB=CD;(2)∠B=∠D,∠BAD=∠DCB.小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来解决.证明:(1)连接AC,如图(2)所示.∵AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=∠2,∠3=∠4.又AC是△ABC和△CDA的公共边,∴△ABC≌△CDA.∴AD=CB,AB=CD.(2)∵△ABC≌△CDA(已证),∴∠B=∠D.∵∠BAD=∠1+∠4,∠DCB=∠2+∠3,∠1+∠4=∠2+∠3,∴∠BAD=∠DCB.一组代表发言后,另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.∵AB∥CD,∴∠BAD+∠D=180°,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∴∠B=∠D.同理可得∠BAD=∠DCB.教师根据学生的证明情况进行评价、总结.证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等,图中没有三角形怎么办?一般是连接对角线将四边形的问题转化为三角形的问题.引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∠A=∠C,∠B=∠D(平行四边形的对角相等).(补充)如图,在▱ABCD中,AC是平行四边形ABCD的对角线.(1)请你说出图中的相等的角、相等的线段;(2)对角线AC需添加一个什么条件,能使平行四边形ABCD的四条边相等?学生认真读题、思考、分析、讨论,得出有关结论.因为平行四边形的对边相等,对角相等.所以AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠B=∠D,又因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.教师根据学生回答,板书有关正确的结论.解决第(2)个问题时,学生思考、交流、讨论得出:只要添加AC平分∠DAB即可.说明理由:因为平行四边形的两组对边分别平行,所以∠DCA=∠BAC,而∠DAC=∠BAC,所以∠DCA=∠DAC,所以AD=DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB=DC=AD=BC.[设计意图]学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.3.平行线间的距离提问:在教材的例1中,DE=BF吗?学生思考,都容易发现:由△ADE≌△CBF,容易得到DE=BF.追问:如图所示,直线a∥b,A,D为直线a上任意两点,点A到直线b的距离AB和点D到直线b的距离DC相等吗?为什么?学生讨论,发现容易证明AB∥CD,由已知得AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.学生结合图指出:a∥b,点A是a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是a,b之间的距离.教师点评,并强调:任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在两条平行线之间的最短的线段的长度.[设计意图]结合例1的进一步追问,自然引出平行线间距离的概念.思路二请同学们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,过这些点作另一条直线的垂线.老师边看边指导学生画图.追问:请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么现象?学生发现:平行线间的所有垂线段的长度相等.教师引导归纳:如果两条直线平行,那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离,平行线间的距离相等.如右图所示,用符号语言表述为:∵l1∥l2,AB⊥l2,CD⊥l2,∴AB=CD.教师进一步强调:两平行线l1,l2之间的距离是指什么? 指在一条直线l1上任取一点A,过A作AB⊥l2于点B,线段AB的长度叫做两平行线l1,l2间的距离.引导学生归纳:两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联系.两平行线间的距离⇒点到直线的距离⇒点与点之间的距离.l1,l2间的距离转化为点A到l2间的距离,再转化为点A到点B的距离.追问:如果AB,CD是夹在两平行线l1,l2之间的两条平行线段,那么AB和CD仍相等吗?教师引导学生思考:(出示教材第43页图18.1-5)如图所示,a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.说明:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.[设计意图]借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并注重两平行线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.[知识拓展](1)当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不随垂线段位置的变化而改变.(2)平行线之间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可以灵活选择位置.4.例题讲解(补充)在▱ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=2,试求▱ABCD的周长.引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导,明确思路后学生写解答过程.〔解析〕本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用,解题的关键是分别画出符合题意的图形.设BC边上的高为AE,分AE在▱ABCD的内部和AE在▱ABCD的外部两种情况计算.解:在▱ABCD中,AB=CD=5,AD=BC.设BC边上的高为AE.(1)若AE在▱ABCD的内部,如图①所示,在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,根据勾股定理,得:BE====3;在Rt△ACE中,AC=2,AE=4,根据勾股定理,得:CE====2.∴BC=BE+CE=3+2=5.∴▱ABCD的周长为2×(5+5)=20.(2)若AE在▱ABCD的外部,如图②所示,同理可得BE=3,CE=2,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴▱ABCD的周长为2×(5+1)=12.综上,▱ABCD的周长为20或12.[解题策略]本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求第三条边的长度,因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外部,所以作图时应分两种情况讨论,如下图所示.本节课我们主要学习了平行四边形的定义,探索了平行四边形的两个特征,同时还学习了平行线间的距离,平行线的一些特征.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.平行线间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.平行线间的距离相等,两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.1.已知▱ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是()A.100°B.160°C.80°D.60°解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°,又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,则图中共有平行四边形的个数为()A.6B.7C.8D.9解析:图中的平行四边形有:平行四边形AEOG、平行四边形BHOE、平行四边形CHOF、平行四边形OFDG、平行四边形ABHG、平行四边形CHGD、平行四边形AEFD、平行四边形BEFC、平行四边形ABCD.故选D.3.如图所示,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4B.3C.D.2解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB,∵AD=2AB=2CD,CD=DE,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.4.如图所示,在▱ABCD中,△ABC和△DBC的面积的大小关系是.解析:∵两平行线AD,BC间的距离相等,∴△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形,∴它们的面积相等.故填相等.5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F.(1)求∠EDF的度数;(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=60°,∴∠C+∠B=180°.∵∠C=60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°. (2)在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=30°,∴AD=2AE=8,CD=2CF=14,∴平行四边形ABCD的周长为2×(8+14)=44.第1课时1.平行四边形的定义2.平行四边形边、角的性质例1例23.平行线间的距离4.例题讲解例3一、教材作业【必做题】教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.【选做题】教材第50页习题18.1第8题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F等于()A.110°B.30°C.50°D.70°2.如图所示,l1∥l2,BE∥CF,BA⊥l1于点A,DC⊥l2于点C,有下面的四个结论;(1)AB=DC;(2)BE=CF;(3)S△ABE=S△DCF;(4)S四边形ABCD=S四边形BCFE.其中正确的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个3.如图所示,点E是▱ABCD的边CD的中点,AD,BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则▱ABCD 的周长为()A.5B.7C.10D.144.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的长为()A.2B.4C.4D.85.如图所示,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为.【能力提升】6.如图所示,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(3,0),(4,2),则顶点D的坐标为.7.如图所示,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则▱ABCD的周长是.8.(2015·自贡中考)在▱ABCD中,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BH⊥EC于点H.求证CH=EH.9.如图所示,四边形ABCD是一个平行四边形,BE⊥CD于点E,BF⊥AD于点F.(1)请用图中的字母表示出平行线AD与BC之间的距离;(2)若BE=2cm,求平行线AB与CD之间的距离.10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,交其延长线于点E,AF⊥CD于点F,∠EAF=30°,AE=4cm,AF=3cm,求平行四边形ABCD的周长.11.如图所示,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连接AC,CE,AB=AC.(1)求证△BAD≌△ACE;(2)若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积.【拓展探究】12.如图所示,点E,F分别在平行四边形ABCD的边DC,CB上,且AE=AF,DG⊥AF,BH⊥AE,G,H 是垂足.求证DG=BH.【答案与解析】1.D(解析:由平行四边形的对角相等可得∠ADC=110°,再由邻补角的性质得出∠FDC=70°,所以∠E+∠F=∠FDC=70°.)2.A(解析:∵l1∥l2,BA⊥l1于点A,DC⊥l2于点C,∴AB=CD,故(1)正确;∵l1∥l2,BE∥CF,∴BE=CF,故(2)正确;根据HL可以证明Rt△ABE≌Rt△DCF,因此,S△ABE=S△DCF,故(3)正确;四边形ABCD与四边形BCFE是同底等高的两个平行四边形,∴S四边形ABCD=S四边形BCFE,故(4)正确.故选A.)3.D(解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠F=∠CBF,∠FDE=∠C.∵E为CD的中点,∴DE=CE,∴△FDE≌△BCE(AAS),∴BC=AD=FD,∵DF=3,DE=2,∴AD=3,AB=DC=4,∴▱ABCD的周长为2(AD+AB)=14.故选D.)4.B(解析:∵AE为∠DAB的平分线,∴∠DAE=∠BAE.由题意知DC∥AB,∴∠BAE=∠DFA,∴∠DAE=∠DFA,∴AD=FD.又F为DC的中点,∴DF=CF,∴AD=DF=DC=AB=2,在Rt△ADG中,根据勾股定理得AG=,则AF=2AG=2,由题意知AD∥BC,∴∠DAF=∠E,在△ADF和△ECF中,∴△ADF≌△ECF(AAS),∴AF=EF,则AE=2AF=4.故选B.)5.25°(解析:∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且CD=CD,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵∠BAD=60°,∠F=110°,∴∠ADC=120°,∠CDE=∠F=110°,∴∠ADE=360°-120°-110°=130°,∴∠DAE==25°.故填25°.)6.(1,2)(解析:A,B的坐标分别是(0,0),(3,0),则AB=3,根据平行四边形对边相等,得CD=AB=3,∵点C的坐标为(4,2),∴点D的坐标为(1,2).)7.20(解析:在▱ABCD中,AB=CD,AD∥BC,且AD=BC=6.∵BE=2,∴CE=BC-BE=6-2=4.如图所示,∵AD∥BC,∴∠1=∠3,又由题意知∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴CD=CE=4,∴▱ABCD的周长为2(AD+CD)=2×(6+4)=2×10=20.故填 20.)8.证明:如图所示,∵在▱ABCD中,BE∥CD,∴∠E=∠2.∵CE平分∠BCD,∴∠1=∠2.∴∠1=∠E.∴BE=BC.又∵BH⊥EC,∴CH=EH.。
第十八章平行四边形四边形中的动点问题(教案)人教版八年级数学下册

(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了平行四边形中动点问题的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对动点问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中,我发现同学们对平行四边形内动点问题的探究表现得非常积极。他们对于动点的运动规律和性质有了初步的认识,也尝试着将这些知识应用到实际问题中。我觉得这是一个很好的开始,但也发现了一些需要改进的地方。
首先,理论讲授部分,我发现有些同学对动点问题的基本概念掌握不够扎实。可能是我讲解得不够细致,也可能是同学们对这些概念还不够熟悉。在以后的教学中,我需要更加注意这一点,尽量用简单易懂的语言和丰富的例子来帮助他们理解。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调动点的运动规律和利用平行四边形性质解题这两个重点。对于难点部分,我会通过举例和比较来帮助大家理解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与动点问题相关的实际问题。
2.实行四边形中的运动规律和性质。
-难点二:在实际问题中,学生可能不知道如何选择合适的定理和性质来解决动点问题。教师应指导学生通过分析问题结构,识别关键信息,进而选择恰当的几何定理进行求解。
-难点三:针对不同动点问题,如路径最短、面积最大等,学生可能不知如何下手。教师应教授学生分类讨论和优化的方法,帮助学生理清思路,找到解题突破口。
4.培养合作意识和团队精神,在小组讨论和探究过程中,学会倾听、交流、表达和协作,共同解决问题。
新人教版八年级下第十八章《平行四边形》复习教案

第18章平行四边形【教学目标】1、通过对几种平行四边形的回顾与思考,使学生梳理所学的知识,系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法,三角形的中位线定理等;2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别,在反思和交流过程中,逐渐建立知识体系;3、引导学生独立思考,通过归纳、概括、实践等系统数学活动,感受获得成功的体验,形成科学的学习习惯。
【教学重点】1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形的中位线定理的知识体系及应用方法。
【教学难点】平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【教学模式】以题代纲,梳理知识-----变式训练,查漏补缺-----综合训练,总结规律-----测试练习,提高效率。
【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。
【教学过程】一、以题代纲,梳理知识(一)开门见山,直奔主题同学们,今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识,先请同学们迅速地完成下面几道练习题,请看大屏幕。
(二)诊断练习1、根据条件判定它是什么图形,并在括号内填出,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O:(1)AB=CD,AD=BC (平行四边形)(2)∠A=∠B=∠C=90°(矩形)(3)AB=BC,四边形ABCD是平行四边形(菱形)(4)OA=OC=OB=OD ,AC⊥BD (正方形)(5)AB=CD, ∠A=∠C ( ?)2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米,则菱形的边长为5厘米。
3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是菱形。
4、若正方形ABCD的对角线长10厘米,那么它的面积是50平方厘米。
5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中,轴对称图形有:矩形、菱形、正方形,中心对称图形的有:平行四边形、矩形、菱形、正方形,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是:矩形、菱形、正方形。
(三)归纳整理,形成体系1、性质判定,列表归纳2、基础练习:(1)矩形、菱形、正方形都具有的性质是(C)A.对角线相等(距、正)B. 对角线平分一组对角(菱、正)C.对角线互相平分D. 对角线互相垂直(菱、正)(2)正方形具有,矩形也具有的性质是(A)A.对角线相等且互相平分B. 对角线相等且互相垂直C. 对角线互相垂直且互相平分D.对角线互相垂直平分且相等(3)如果一个四边形是中心对称图形,那么这个四边形一定(D)A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形都是中心对称图形,A、B、C都是平行四边形(4)矩形具有,而菱形不一定具有的性质是(B)A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对边平行且相等D. 内角和为3600问:菱形的对角线一定不相等吗?错,因为正方形也是菱形。
18章平行四边形(教案)

在讲解特殊平行四边形的部分,我感觉学生们对矩形、菱形、正方形的性质还是有些混淆。可能我需要设计一些更具对比性的练习题,帮助他们更清晰地认识到这些特殊平行四边形的区别和联系。
-举例:强调平行四边形与一般四边形的区别,通过动态图示或实物模型展示性质。
-掌握特殊平行四边形(矩形、菱形、正方形)的性质及判定方法。
-举例:通过具体图形分析,让学生掌握矩形对角线相等、菱形对角线垂直平分、正方形四条边相等且垂直的特点。
-学会平行四边形的面积计算方法,特别是特殊平行四边形的面积计算。
五、教学反思
在今天的平行四边形教学中,我发现学生们对基本概念和性质的掌握程度还不错,但判定方法和实际应用方面似乎还存在一些困难。我尝试了通过案例分析和实验操作来帮助学生理解,但感觉效果并不是特别理想。
首先,我发现有些学生在判定平行四边形时,对于使用哪一种方法感到困惑。在今后的教学中,我需要更加明确地指出各种判定方法的适用场景,通过更多具体的例子来加强他们的理解。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解平行四边形的基本概念。平行四边形是四边形的一种,其对边平行且相等。它在几何图形中具有重要地位,广泛应用于日常生活和工程建筑中。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例展示了平行四边形在建筑蓝图中的应用,以及它如何帮助我们解决实际问题。
18章平行四边形(教案)
一、教学内容
本节选自八年级数学上册第18章“平行四边形”。教学内容主要包括以下部分:
1.平行四边形的定义及性质:理解平行四边形的定义,掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质。
第十八章平行四边形单元教学设计

第十八章平行四边形单元教学设计 教学目标: 1. 理解平行四边形的概念,并能够正确地辨认和描述平行四边形的性质。 2. 学会使用平行四边形的性质解决与平行四边形相关的问题。 3. 培养学生的观察力、推理能力和问题解决能力。 教学重点: 1. 平行四边形的性质。 2. 平行四边形的判定。 教学难点: 1. 平行四边形性质的运用。 2. 深入理解平行四边形的性质。 教学准备: 1. 平行四边形的图片和示意图。 2. 学生练习册。 教学过程: 一、导入(5分钟) 1. 引出平行四边形的概念:请同学们观察图片,你们能发现这些图形有什么共同之处? 2. 鼓励学生们描述图片中的图形,引导他们说出相邻边两两平行的特点。 3. 引出平行四边形的定义,并给出示意图。 二、讲解平行四边形的性质(15分钟) 1. 解释平行四边形的定义:相邻边两两平行的四边形称为平行四边形。 2. 讲解平行四边形的性质: a. 对边相等性质:平行四边形的对边相等。 b. 对角线性质:平行四边形的对角线互相平分,即相交于各自的中点。 c. 同位角性质:平行四边形的同位角相等。 d. 内角和性质:平行四边形的任一对内角之和为180度。 3. 通过示意图和实例进行讲解和说明。 三、练习与巩固(15分钟) 1. 分发练习册,让学生们进行有关平行四边形性质的练习,巩固所学知识。 2. 引导学生们分析和解决与平行四边形相关的问题,提高问题解决能力。 四、拓展与应用(10分钟) 1. 引导学生们思考一下平行四边形在我们日常生活中的应用,例如建筑设计中的运用等。 2. 让学生们分组合作,设计一幅创意海报,展示平行四边形在生活中的应用。 五、总结与反思(5分钟) 1. 回顾本节课所学的知识点和重点。 2. 整理学生们提出的问题或疑惑,并进行解答和澄清。 板书设计: 第十八章 平行四边形 - 定义:相邻边两两平行的四边形 - 性质: 1. 对边相等 2. 对角线平分 3. 同位角相等 4. 内角和为180度 教学反思: 在本节课中,通过引入图片和示意图,帮助学生们理解了平行四边形的概念和性质。通过举例和练习,学生们对平行四边形的性质有了更深的理解,并能够应用到解决问题中。帮助学生们意识到平行四边形在生活中的应用,培养了他们的创造性思维和合作能力。
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第十八章 平行四边形全章教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十八章 平行四边形 本章概述 本章分为平行四边形、特殊的平行四边形两节.是在平行线、三角形和四边形的基础上进一步研究平行四边形;并通过平行四边形角、边的特殊化,研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四边形;探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,进一步明确命题及其逆命题的关系,不断发展学生的合情推理和演绎推理能力. 第18.1节主要是研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理;在平行四边形概念和性质定理的基础上,介绍两条平行线之间距离的概念;作为性质定理和判定定理的应用,探索并证明三角形中位线定理. 第18.2节首先研究特殊的平行四边形——矩形和菱形,在此基础上,进一步研究它们的特殊情况,即同时具有两个特殊条件的平行四边形——正方形,它是有一个角是直角的特殊菱形,又是有一组邻边相等的特殊矩形,所以正方形具有各种四边形所具有的性质.最后给出了正方形的概念,并让学生自己研究它的性质和判定方法. 教学目标 1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它们之间的关系. 2.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,并能运用它们进行证明和计算. 3.了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离. 4.探索并证明三角形中位线定理. 5.通过经历平行四边形以及特殊平行四边形性质定理和判定定理的探索过程,丰富学生的数学活动经验和体验,进一步培养学生的合情推理能力. 6.通过平行四边形以及特殊平行四边形的性质定理、判定定理以及相关问题的证明和计算,进一步培养和发展学生的演绎推理能力. 7.通过分析平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别,使学生进一步认识特殊与一般的关系. 课时安排 本章教学时间约需15课时,具体安排如下: 18.1 平行四边形 7课时 18.2特殊的平行四边形 6课时 数学活动 小结 2课时 18.1 平行四边形 教案A 第1课时 教学内容 平行四边形的性质. 教学目标 1. 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质. 2. 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证. 3. 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力. 教学重点 平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用. 教学难点 运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 教学过程 一、导入新课 问题:平行四边形是常见的图形.观察下列图片,你能找出平行四边形的形象吗你还能举出其他例子吗
设计目的:通过图片,让学生感受生活中存在大量平行四边形的原型,
进而从实际背景中抽象出平行四边形,让学生经历将实物抽象为图形的过程. 过渡:那么,什么是平行四边形呢? 二、新课教学 教师引导学生回顾以前的知识,给出定义. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□ ”表示,如图,平行四边形ABCD记作“□ABCD”.
注意:教师在教学时要结合图形,让学生认识清楚什么是四边形的对边三角形中有没有对边的概念四边形中不相邻的边叫做对边;三角形中没有对边的概念,只有角所对的边.
过渡:对于平行四边形,从定义出发,你能得出它的性质吗? 探究:根据定义画一个平行四边形,观察它,除了“两组对边分别平行”外,它的边之间还有什么关系它的角之间有什么关系度量一下,和你的猜想一致吗 猜想1:两组对边分别相等. 猜想2:∠A=∠C,∠B=∠D. 教师引导学生证明猜想,体会证明思路的分析方法和把四边形问题转化成三角形问题的基本想法. 分析:上述猜想涉及线段相等、角相等.我们知道,利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等,是证明线段相等、角相等的一种重要的方法.为此,我们通过添加辅助线,构造两个三角形,通过三角形全等进行证明.
作对角线是解决四边形问题常用的辅助线,通过作对角线,可以把未知
问题转化为已知的关于三角形的问题. 证明:如右图,连接AC. ∵ AD∥BC,AB∥CD, ∴ ∠1=∠2,∠3=∠4. 又 AC是△ABC和△CDA的公共边, ∴ △ABC≌△CDA. ∴ AD=CB,AB=CD, ∠B=∠D. 同理可以证明∠BAD=∠DCB. 平行四边形具有以下性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等. 三、实例探究 例 如下图,在□ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证AE=CF.
证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ ∠A=∠C,AD=CB. 又 ∠AED=∠CFB=90°, ∴ △ADE≌△CBF. ∴ AE=CF. 四、课堂小结 你学习了什么,还有那些问题? 五、布置作业 1. 教材第43页练习第1题. 2. 习题18.1第1、2题. 第2课时 教学内容 平行四边形的性质. 教学目标 1. 掌握两条平行线之间的距离.
2. 能运用平行四边形的性质解决有关平行四边形的计算问题. 教学重点 平行四边形性质的灵活应用. 教学难点 平行四边形性质的灵活应用. 教学过程 一、导入新课
什么叫做四边形?什么叫平行四边形平行四边形的对边和对角有什么性质 通过复习导入新课的教学. 二、新课教学 我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离.在此基础上,我们介绍两条平行线之间的距离. 如下图,a∥b,c∥d,c,d与a,b分别相交于A,B,C,D四点.由平行四边形的概念和性质可知,四边形ABDC是平行四边形,AB=CD.也就是说,两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
由此,我们可以知道,如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到
另一条直线的距离都相等,从而得出概念: 两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离.如图,a∥b,A 是 a上的任意一点,AB⊥b,B是垂足,线段AB的长就是 a,b之间的距离.
问题:两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线之间的距离有什么联系和区别呢? 学生思考、师生共同归纳:点与点之间的距离是定义到点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础.它们本质上是点与点之间的距离. 三、实例探究 例 已知:如下图,四边形ABCD是平行四边形,且∠EAD=∠BAF,
(1)证明△CEF是等腰三角形; (2)若CE=8,求四边形ABCD的周长. 证明:(1)∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB∥EC,∠E=∠FAB. 又∵ AD//BC, ∴ ∠F=∠EAD. ∵ ∠EAD=∠BAF(已知), ∴ ∠E=∠F, △CEF是等腰三角形. (2)∵∠E=∠F=∠EAD, ∴AD=ED. ∵CE=8, ∴AD+DC=8, C□ABCD=2×8=16.
四、课堂小结 任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 五、布置作业 教材第43页练习第2题.
第3课时 教学内容 平行四边形的性质. 教学目标 1. 掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2. 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题. 3. 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力. 教学重点 平行四边形对角线互相平分的性质,以及性质的应用. 教学难点 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 教学过程 一、导入新课
1.什么叫平行四边形我们已经学习了它的哪些性质 2.什么叫做两条平行线间的距离它有什么性质 过渡:在证明“平行四边形对角相等”这一性质时,是通过连结一条对角线,把它分成两个全等三角形来证明的.如果把平行四边形的两条对角两条对角线都连结起来,那么这两条对角线之间又有什么关系呢?下面来研究这个问题.
二、新课教学 上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质,下面我们研究平行四边形对角线的性质. 1. 平行四边形的性质3:平行四边形的对角线互相平分. 探究:如下图,在□ABCD中,连接AC,BD,并设它们相交于点O,OA与OC,OB与OD有什么关系你能证明发现的结论吗
教师先引导学生观察图形,获得对角线互相平分的感性认识,然后引导学生写出已知、求证和证明.
我们猜想,在□ABCD中,OA=OC,OB=OD. 与证明平行四边形的对边相等、对角相等的方法类似,我们也可以通过三角形全等证明这个猜想.请你结合下图完成证明. 由此我们又得到平行四边形的一个性质:平行四边形的对角线互相平分. 11
2. 平行四边形性质,定理的综合应用 同学们已经掌握了平行四边形的边、角、对角线的性质,这是解决平行四边形有关问题的基础,灵活应用则是关键. 例 如下图,在□ABCD中,AB=10,AD=8,AC⊥BC.求BC,CD,AC,OA的长,以及□ABCD的面积. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ BC=AD=8,CD=AB=10. ∵ AC⊥BC, ∴ △ABC是直角三角形. 根据勾股定理, .68102222BCABAC 又OA=OC,
∴ OA=2
1AC=3,
S□ABCD=BC·AC=8×6=48.
三、课堂小结 1. 性质定理及其他新知识的灵活应用,防止思维定势,方法僵化.