2017_2018学年高中数学章末小结教学案苏教版选修4_2(含答案)

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2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2

ax＋by＝m 2．方程组写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝， B ＝，当 ________ A 可逆时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1，－x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ，所以矩阵可逆，逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的．矩阵 A 不是一个数，而是 4 个数按顺序排列成的一个数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解．此方程组有_______
5．二阶矩阵＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d

2017_2018学年高中数学全一册教学案(打包15套)苏教版选修4_2

2．1.1 矩阵的概念[对应学生用书P1]1．矩阵在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3m 3 －24，⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 9065 85这样的矩形数字(或字母)阵列称作矩阵，一般地，我们用大写黑体拉丁字母A ，B ，…或者(a ij )来表示矩阵，其中i ，j 分别表示元素所在的行和列．同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，记为0.2．行矩阵，列矩阵一般地，我们把像[a 11 a 12]这样只有一行的矩阵称为行矩阵，而把像⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母α，β，…来表示．平面上向量α＝(x ，y )的坐标和平面上的点P (x ，y )都可以看做是行矩阵[x ，y ]，也可以看做是列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .因此，我们又称[x y ]为行向量，称⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 为列向量，在本书中，我们把平面向量(x ，y )的坐标写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的形式．3．矩阵相等对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .[对应学生用书P1][例1] 画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 43 1 －11所表示的三角形，并求该三角形的面积．[思路点拨] 写出平面图形顶点的坐标即可．[精解详析]矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 3 1 －11所表示的三角形的三个顶点分别为(－1,1)，(4，－1)，(3,1)．所求三角形的面积为4.1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 43 1 －11可以表示点A (－1,1)，B (4，－1)，C (3,1)或由它们构成的三角形；2．表示同一个三角形的矩阵不唯一，如本例三角形，可用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 4 －1 3 1等表示；3．空间图形也可以用矩阵表示，不过需注意空间中点的坐标是由3个实数构成的有序数组．1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2所表示的以坐标原点为起点的向量．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2所表示的以坐标原点为起点的向量对应的坐标分别为(1,2)，(－1,2)，(1，－2)，(0，－2)．按要求画出相应向量即可．2．已知A (0,0)，B (2,3)，C (6,3)，D (4,0)，写出表示四边形ABCD 的一个矩阵．解：表示四边形ABCD 的矩阵可以为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2 6 40 3 3 0或⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 02 36 34 0等．[例2] 已知甲、乙、丙三人中，甲与乙相识，甲与丙不相识，乙与丙相识．用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系(规定每个人和自己相识)．[思路点拨] 先列出一个表格表示他们之间的相识关系，然后利用表格再用矩阵表示即可．[精解详析] 将他们之间的相识关系列表如下：故用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 01 1 10 1 1.用矩阵表示实际问题时，要注意元素的次序，矩阵中元素的次序不一样，表示的实际问题可能就不一样．3．某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A ，B ，C 送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A ，B ，C 送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．解：列表如下(单位：万吨)：记M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 200 150150 150 300，则矩阵M 就是上述数据关系的一个表示．4．两类药片有效成分如下表所示：试用矩阵表示A 、B 两种药品每片中三种成分所含的质量．解：表示A 、B 两种药品成分的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 5 11 7 6.[例3] 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2 d －76－c 2a －4，若A ＝B ，试求a ，b ，c ，d 的值．[思路点拨] 我们说两个矩阵是相等的，是指两个矩阵的行数和列数相同，并且相应位置的元素也分别相等，本题考查对矩阵相等定义的理解．[精解详析]因为A ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋2 d －76－c 2a －4，由矩阵相等的意义可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋2，c －d ＝d －7，c ＋d ＝6－c ，b ＝2a －4，由此解得a ＝2，b ＝0，c ＝1，d ＝4.两个同行同列的矩阵，只要有一个对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 423≠⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 －3两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：[0,0]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等．这好比，现在有甲、乙两支球队进行足球比赛，前一个零矩阵可表示他们之间进行了一场比赛，比赛结果为0∶0，而后者可表示他们之间进行了两场比赛，两场比赛的结果均为0∶0.5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋y 0 0 －2－y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 00 x －2y ，若A ＝B ，求x 与y 的值．解：∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝x ，－2－y ＝x －2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.6．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 54，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋n 3x －y x ＋y m －n ，且A ＝B ，求x ，y ，m ，n 的值．解：由矩阵相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝x ，3x －y ＝y ，x ＋y ＝5，m －n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，m ＝3，n ＝－1.[对应学生用书P3]1．设A 为二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，且规定元素a ij ＝i ＋j (i ＝1,2，j ＝1,2)，试求A .解：由题意可知a 11＝2，a 12＝3，a 21＝3，a 22＝4，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 334.2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 31 3 1表示平面中三角形ABC 的顶点坐标，问三角形是什么三角形？解：由A (1,1)，B (1,3)，C (3,1)，画图可得△ABC 是等腰直角三角形．3．已知二元一次方程组的系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －23 1，方程组右边的常数项矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，试写出该方程组．解：⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝3，3x ＋y ＝2.4．营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同．“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡＝4 187 焦耳)、30 g 、10 g ；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20 g 、19 g ；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15 g 、3 g ，试将上述结果用矩阵表示出来．解：每千克各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：所以可用矩阵M 表示为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤649 30 10258 20 19131 15 3.5．已知平面上正方形ABCD (顺时针)的四个顶点可以用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a 0 b 0 c 4 d ，求a ，b ，c ，d 的值及正方形ABCD 的面积．解：由题意知正方形ABCD 的四个顶点的坐标依次为A (0,0)、B (a ，c )、C (0,4)、D (b ，d )，从而可求得a ＝－2，b ＝2，c ＝d ＝2.∴|AB |＝22，正方形ABCD 的面积为8.6．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x7－1 y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －1 m ＋n m －n 2，若A ＝B ，试求x ，y ，m ，n 的值．解：由于A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －1，y ＝2和⎩⎪⎨⎪⎧7＝m ＋n ，－1＝m －n ，解得x ＝1，y ＝2，m ＝3，n ＝4.7．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 cos α＋sin αcos β－sin β －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 22 －1，若A ＝B ，求α、β.解：由矩阵相等的充要条件得⎩⎨⎧cos α＋sin α＝2，cos β－sin β＝ 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋π4 ＝1，cos β＋π4＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝π4＋2k π k ∈Z ，β＝－π4＋2k π k ∈Z .8．设M 是一个3³3的矩阵，且规定其元素a ij ＝2i ＋j ，i ＝1，2,3，j ＝1,2,3，试求M .解：由题意可知，a 11＝3，a 12＝4，a 13＝5，a 21＝5，a 22＝6，a 23＝7，a 31＝7，a 32＝8，a 33＝9.故矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 4 55 6 77 8 9.2．1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法1．二阶矩阵与平面列向量的乘法规则(1)行矩阵[]a 11 a 12与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[]a 11 a 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[]a 11³b 11＋a 12³b 21；(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11³x 0＋a 12³y 0a 21³x 0＋a 22³y 0.一般地，前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义(1)一个列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 左乘一个2³2矩阵M 后得到一个新的列向量，如果列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示一个点P (x ，y )，那么列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 左乘矩阵M 后的列向量就对应平面上的一个新的点．(2)对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应唯一的一个点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为：T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.(3)一般地，对于平面向量变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的矩阵形式，反之亦然(a 、b 、c 、d ∈R )．(4)由矩阵M 确定的变换，通常记为T M ，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在T M 的作用下得到一个新的图形．[对应学生用书P4][例1] 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1，Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，Y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求AZ 和AY .[思路点拨] 利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解． [精解详析] AZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，AY ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y －x ＋y .若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，列向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，其结果仍是一个列向量，同时应注意，给出点的坐标可写成列向量的形式．1．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；(4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1²x ＋0²y 0²x ＋1²y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0²x ＋1²y 1²x ＋0²y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y x ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ²0＋b ²0c ²0＋d ²0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 111 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1²x ＋1²y 1²x ＋1²y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y x ＋y . 2．给定向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01，D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，计算A α，B α，C α，D α.解：根据矩阵与向量的乘法，得A α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， C α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2，D α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.[例2] (1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 21 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ，试将它写成矩阵的乘法形式．[思路点拨] 直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定．[精解详析] (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y x ＋5y .故它表示的坐标变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋2yy ′＝x ＋5y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .对于⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，再由向量相等，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy .3．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3yy ′＝y ，试将它写成二阶矩阵与平面向量相乘的形式．解：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝0²x ＋1²y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋3y 0²x ＋1²y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．解下列用矩阵表达式表示的方程组．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －42 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －26 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 16. 解：(1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －42 －3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －4y 2x －3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝2，2x －3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －26 5 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 16，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －2y 6x ＋5y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 16，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－1，6x ＋5y ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.[例3] 已知变换T ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0,5)，求变换矩阵A .[思路点拨] 由题意可知，变换矩阵A 为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法，可列出方程组，解方程组即可求出二阶矩阵中的各元素．[精解详析] 设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd .依题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－12.求变换矩阵的常用方法是待定系数法，要正确利用条件，合理准确计算．5．若点A (1,1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 b a1对应变换的作用下得到的点为B (－1,1)，求矩阵M .解：由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋b a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝－1，a ＋1＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，a ＝0，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1.6．设矩阵M 对应的线性变换把点A (1,2)变成点A ′(2,3)，把点B (－1,3)变成点B ′(2,1)，那么这个线性变换把点C (－5,10)变成什么？解：设变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， ∴M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2b c ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23. M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3b －a 3d －c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝2，c ＋2d ＝3，3b －a ＝2，3d －c ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝45，c ＝75，d ＝45.∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45. M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤61. ∴该线性变换把点C (－5,10)变成了点C ′(6,1)．[对应学生用书P5]1．给定向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量α分别变成了什么向量．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000. 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 10. (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0. 2．求点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2对应的变换作用下对应点的坐标．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ x 2y ，所以点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的变换作用下对应点的坐标为(x,2y )．3．(1)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 2x －y ，试将它写成矩阵的乘法形式．解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1³x ＋1³y 0³x ＋2³y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 2x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，并解释计算结果的几何意义．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1.几何意义：表示点(3,1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1对应的变换作用下变成点(5，－1)．5．已知在一个二阶矩阵M 对应的变换作用下，点A (1,2)变成了点A ′(7,10)，点B (2,0)变成了点B ′(2,4)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤710，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝7，c ＋2d ＝10，2a ＝2，2c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，c ＝2，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1324.6．已知点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1012对应的变换作用下变为点(－1,1)，试求x ，y 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，x ＋2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.7．已知矩阵T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ac b0，O 为坐标原点，点A (1,0)在矩阵T 的变换下得到点P .设b ＞0，当△POA 的面积为3，∠POA ＝π3时，求a ，b 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，得点P 坐标为(a ，b )．又b ＞0，所以S △POA ＝12³1³b ＝ 3.所以b ＝2 3.又∠POA ＝π3，所以a ＝2.即a ＝2，b ＝2 3.8.已知图形F 表示的四边形ABCD 如图所示，若由二阶矩阵M 确定的变换T ，使F 上点的纵坐标变为原来的一半而横坐标不变．求矩阵M.解：图形F 对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2 2 00 1 3 2，变换后的图形F ′对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 2 00 12 32 1，设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤212＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12. 2．2.1～2.2.2 恒等变换伸压变换1．恒等变换矩阵和恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，都把自己变成自己．我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E )，所实施的对应的变换称作恒等变换．2．伸压变换矩阵和伸压变换像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y 或x 轴的垂直伸压变换矩阵；对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．[说明](1)线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例．(2)将平面图形F 作沿x 轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001(k >0)，沿y 轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k (k >0)．[对应学生用书P8][例1] 在直角坐标系xOy 内矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 2对应的坐标变换公式是什么？叙述这个变换的几何意义，并求出点P (4，－3)在这个变换作用下的象P ′.[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P 在此变换下的象．[精解详析] 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝x ′，2y ＝y ′.对应的坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝2y ，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的2倍；当x ＝4，y ＝－3时，x ′＝2，y ′＝－6，故点P 在这个变换下的象为P ′(2，－6)．把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象)．1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤300 12，求出点A (3，12)在矩阵M 对应变换作用下的象A ′.解：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 00 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤914 ∴A ′(9，14)．2．研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换作用下得到的几何图形，其中O (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)．解：矩阵M 为恒等变换矩阵，O 、B 、C 、D 在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为O ′(0,0)，B ′(2,0)，C ′(2,2)，D ′(0,2)，仍然是正方形OBCD .[例2] 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．[思路点拨] 求曲线F 的方程即求F 上的任意一点的坐标(x ′0，y ′0)满足的关系式． [精解详析] 设P (x 0，y 0)是椭圆上的任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点为P ′(x ′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0，y ′0＝y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0，又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以4x 20＋y 20＝1，从而有x ′20＋y ′20＝1，所以曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P (x 0、y 0)与P ′(x ′0，y ′0)的关系找出，再利用已知曲线的方程即可得到所求的方程．3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹．解：设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任意一点，而P 1(x ′，y ′)是P (x ，y )在矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的伸压变换下的曲线上的对应点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′.代入x 2＋y 2＝4得x ′24＋y ′2＝4，所以方程x 216＋y 24＝1即为所求的曲线方程，其表示的曲线的轨迹为椭圆．4．已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (a >0，b >0)对应的变换下变为椭圆x 2＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝ax 0，y ′0＝by 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0a，y 0＝y′b .又因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 2＋y 20＝1，所以 x ′0 2a 2＋ y ′2b2＝1，即圆C 在矩阵A 对应的变换下的象为x 2a 2＋y 2b2＝1.由已知条件可知，变换后的椭圆方程为x 2＋y 24＝1，所以a 2＝1，b 2＝4，又因为a >0，b >0，所以a ＝1，b ＝2.5．已知矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为圆上的任意一点，在M 1的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在M 2的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 0，y 1＝y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1，y 2＝12y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 0，y 2＝12y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x 2，y 0＝2y 2.∵P 0在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ∴14x 22＋4y 22＝1，故所求曲线的方程为x 24＋4y 2＝1.[对应学生用书P9]1．求圆x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换作用后所得图形的面积．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001所对应变换是恒等变换，在它的作用下，圆x 2＋y 2＝9变成一个与原来的圆恒等的圆，故所求图形的面积为9π.2．已知点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3对应的变换作用下变为点(－1,3)，试求x ，y 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.3．在平面直角坐标系中，已知线性变换对应的二阶矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 0 12.求： (1)点A (15，3)在该变换作用下的象；(2)圆x 2＋y 2＝1上任意一点P (x 0，y 0)在该变换作用下的象．解：(1)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0 0 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1532，得点A (15，3)在该变换作用下的象为(15，32)；(2)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 02，得点P (x 0，y 0)在变换作用下的象为(x 0，y 02)．4．求出如图所示的图形在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的变换作用下所成的图形，并画出示意图，其中点A (1,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (3,1)，E (3,2)，F (0,2)，G (0,1)，H (1,1)．解：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的是沿y 轴的伸压变换，保持横坐标不变，而纵坐标变成原来的1.5倍．在此变换下，A →A ′(1,0)，B →B ′(2,0)，C →C ′(2,1.5)，D →D ′(3，1.5)，E →E ′(3,3)，F →F ′(0,3)，G →G ′(0,1.5)，H →H ′(1,1.5)．变换后的图形如图所示．5．求椭圆C ：x 24＋y 29＝1先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线C ′的方程．解：因为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1对应的变换是恒等变换，所以曲线C ′是椭圆C ：x 24＋y 29＝1在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应变换下得到的曲线，设椭圆C 上任意一点P (x ，y )在矩阵N 对应的变换下得到曲线C ′上的点P (x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝13y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝3y ′.因为x 24＋y 29＝1，所以x ′24＋3y ′ 29＝1，即x ′24＋y ′2＝1.故曲线C ′的方程为x 24＋y2＝1.6.如图，一个含有60°角的菱形ABCD ，试求变换矩阵M ，使得只变换四个顶点中的两个顶点后，菱形即变成为正方形．试问该变换矩阵唯一吗？若不唯一，写出所有满足条件的变换矩阵．解：由题设知，这里的变换是伸压变换，且变换不唯一．由题设知，AC ∶BD ＝3∶1，若只变换A ，C 两点，则必须将A ，C 的横坐标进行压缩，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 0 1.若只变换B ，D 两点，则应把B ，D 的纵坐标伸长到原来的3倍，于是变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3，所以满足条件的所有变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.7．求出梯形OABC 先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的变换作用下的图形，其中O (0,0)，A (2,0)，B (1,1)，C (0,1)．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍．而矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的12倍，也就是说梯形OABC 先后两次变换，横、纵坐标不变，即图形保持不变．8．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线C ：y ＝sin x 在矩阵M 、N 对应的变换先后两次作用下得到的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为曲线C 上的任意一点，在T M 的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在T N 的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 0，y 1＝2y 0，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝12x 1，y 2＝y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝12x 0，y 2＝2y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 2，y 0＝12y 2.∵P 0在曲线C 上， ∴y 0＝sin x 0. ∴12y 2＝sin 2x 2，即y 2＝2sin 2x 2.∴所求曲线的方程为y ＝2sin 2x .2．2.3 反射变换1．反射变换矩阵和反射变换像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．2．线性变换二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况．[对应学生用书P11][例1] (1)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01将点A (2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换．(2)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110将点A (2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换．[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换．[精解详析](1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 5，即点A (2,5)经过变换后变为点A ′(－2,5)，它们关于y 轴对称，所以该变换为关于y 轴对称的反射变换(如图1)．(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤72，即点A (2,7)经过变换后变为点A ′(7,2)，它们关于y ＝x 对称，所以该变换为关于直线y ＝x 对称的反射变换(如图2)．(1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1表示关于原点对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1表示关于x 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1表示关于y 轴对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤110表示关于直线y ＝x 对称的反射变换矩阵，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0表示关于直线y ＝－x 对称的反射变换矩阵．1．计算下列各式，并说明其几何意义．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53. 解：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－3；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35. 三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于x 轴反射变换、关于原点的中心反射变换以及关于直线y ＝x 的轴反射变换，得到的点分别是(5，－3)，(－5，－3)和(3,5)．2．求出△ABC 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下的几何图形，并画出示意图，其中A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)．解：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1,2)；在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(2,0)，C →C ″(1，－2)；在M 3下，A →A (0,0)，B →B (－2,0)，C →C (－1，－2)．图形分别为曲线在反射变换作用下的象[例2] 椭圆x 29＋y 2＝1在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0对应的变换后所得的曲线是什么图形？[思路点拨] 先通过反射变换求出曲线方程，再通过方程判断图形的形状．[精解详析] 任取椭圆x 29＋y 2＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)．则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x ′0x 0＝y ′0.因为点P 在椭圆x 29＋y 2＝1上，所以x 209＋y 20＝1，∴y ′209＋x ′ 20＝1；因此x ′ 20＋y ′209＝1.从而所求曲线方程为x 2＋y 29＝1，是椭圆．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110把一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．3．求曲线y ＝1x (x >0)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下得到的曲线．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点对称的变换，因此，得到的曲线为y ＝1x (x <0)． 4．求直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换所得的图形．解：任取直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换所得的图形上的一点P (x ，y )，一定存在变换前的点P ′(x ′，y ′)与它对应，使得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y ′，y ＝－x ′.(*)又点P ′(x ′，y ′)在直线y ＝4x 上，所以y ′＝4x ′，从而有y ＝14x ，从而直线y ＝4x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0作用下变换成直线y ＝14x .根据(*)，它们关于直线y ＝－x 对称．如图所示．[对应学生用书P13]1．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，并说明其几何意义．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y －x ，其几何意义是：由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0确定的变换是关于直线y ＝－x 的轴反射变换，将点(x ，y )变换为点(－y ，－x )．2．在矩阵变换下，图(1)，(2)中的△ABO 变成了△A ′B ′O ，其中点A 的象为点A ′，点B 的象为点B ′，试判断相应的几何变换是什么？解：(1)对应的是关于原点的中心反射变换，矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.(2)对应的是关于y 轴的轴反射变换，矩阵形式为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01. 3．求△ABC 在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换后所得图形的面积，其中A (1,0)，B (－2,0)，C (5,4)．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1确定的变换是关于y 轴的轴反射变换，它将点(x ，y )变换为点(－x ，y )．所以平面△ABC 在经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换后所得图形是与原图形全等的三角形，故只需求出△ABC 的面积即可．所以所求图形的面积为6.4．求出曲线y ＝e x先在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换，后在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换作用下形成的曲线，并说明两次变换后对应的是什么变换？解：因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1对应的变换是关于y 轴的轴反射变换，变换后曲线为y ＝e －x.又因为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1对应的变换是关于原点O 的中心反射变换，变换后曲线为－y ＝e x，即y＝－e x.两次变换对应的变换是关于x 轴的轴反射变换．5．变换T 使图形F ：y ＝x 2－1变为F ′：y ＝|x 2－1|，试求变换T 对应的变换矩阵A .解：当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1；当x ∈[－1,1]时，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1.6．若曲线x 24＋y 22＝1经过反射变换T 变成曲线x 22＋y 24＝1，求变换T 对应的矩阵．(写出两个不同的矩阵)解：T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110或T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0. 7．求关于直线y ＝3x 对称的反射变换所对应的矩阵A .解：在平面上任取一点P (x ，y )，令点P 关于y ＝3x 的对称点为P ′(x ′，y ′)．则⎩⎪⎨⎪⎧ y －y ′x －x ′³3＝－1，y ＋y ′2＝3³x ＋x ′2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－45x ＋35y ，y ′＝35x ＋45y .∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－45 35 35 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . ∴关于直线y ＝3x 对称的反射变换对应的矩阵为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－45 3535 45. 8．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在变换T M ，T N 先后作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．解：∵T M 是关于直线y ＝x 对称的反射变换， ∴直线2x －y ＋1＝0在T M 的作用下得到直线F ′： 2y －x ＋1＝0.设P (x 0，y 0)为F ′上的任意一点，它在T N 的作用下变为P ′(x ′，y ′)，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′，y 0＝－x ′.∵点P 在直线F ′上， ∴2y 0－x 0＋1＝0，即－2x ′－y ′＋1＝0.∴所求曲线F 的方程为2x ＋y －1＝0.2．2.4 旋转变换[对应学生用书P14]1．旋转变换将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ′的变换称为旋转变换．其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角．2．旋转变换矩阵像⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ这样的矩阵，称为旋转变换矩阵．旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状．[对应学生用书P14][例1] 在直角坐标系xOy 内，将每个点绕原点O 按逆时针方向旋转135°的变换称为旋转角是135°的旋转变换．(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵； (2)求点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象A ′.[思路点拨] 根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解． [精解详析] (1)该变换的坐标变换公式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos 135°－y sin 135°y ′＝x sin 135°＋y cos 135°，该变换对应的矩阵为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 135° －sin 135°sin 135° cos 135°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22－22 22 －22. (2)由(1)知，当x ＝4，y ＝8时，x ′＝－62，y ′＝－22，所以点A (4,8)在这个旋转变换作用下的象为A ′(－62，－22)．由旋转角θ的大小，写出旋转变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ是解决这类问题的关键．逆时针旋转时，θ为正值，顺时针方向旋转时，θ为负值．1．求出△ABC 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22对应的变换作用下的图形这里A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)．解析：在M 1下，A →A ′(0,0)，B →B ′(－2,0)，C →C ′(－1，－1)．在M 2下，A →A ″(0,0)，B →B ″(0,2)，C →C ″(－1,1)．在M 3下，A →A (0,0)，B →B (2，2)，C →C (0，2)．图形分别为2．在直角坐标系xOy 内，将每个点绕坐标原点O 按顺时针方向旋转60°的变换称为旋转角为－60°的旋转变换，求点A (－1,0)在这个旋转变换作用下得到的点A ′的坐标．解：由题意得旋转变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos －60° －sin －60° sin －60° cos －60° ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－3212，故对应的坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ＋32y y ′＝－32x ＋12y .令x ＝－1，y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－12y ′＝32.所以所求的点A ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.[例2] 已知曲线C ：x 2＋y 2＝2，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转60°后，求得到的曲线C ′的方程．[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程． [精解详析] 旋转变换对应的矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－323212，设P (x 0，y 0)为曲线C 上任意的一点，它在矩阵M 对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)．则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12 x ′＋3y ′0 ，y 0＝12 y ′0－3x ′0 .因为点P (x 0，y 0)在曲线C ：x 2＋y 2＝2上，所以x 20＋y 20＝2，即 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 x ′0＋3y ′0 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 y ′0－3x ′0 2＝2， ∴x ′ 20＋y ′ 20＝2.从而曲线C ′的方程为x 2＋y 2＝2.理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也可根据数形结合直接得出，如本例中，曲线C 是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身．3．将双曲线C ：x 2－y 2＝1上的点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C ′，试求C ′的方程．解：根据题意，得旋转变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22，任意选取双曲线x 2－y 2＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在变换作用下变为P ′(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22x 0－22y 0，y ＝22x 0＋22y 0，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝22 x ＋y ，y 0＝22y －x ，又因为点P 在曲线x 2－y 2＝1上，所以x 20－y 20＝1，即有12(x ＋y )2－12(y －x )2＝1，整理可得2xy ＝1，所以所求C ′的方程为xy ＝12.4．已知椭圆Γ：x 24＋y 23＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图．解：设椭圆与坐标轴的交点分别为A (－2,0)，B (0，－3)，C (2,0)，D (0，3)(如图所示)．因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0. 故点A ，B ，C ，D 在旋转变换M 的作用下分别变为点A ′(0，－2)，B ′(3，0)，C ′(0,2)，D ′(－3，0)，从而椭圆曲线Γ：x 24＋y 23＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ ′：x 23＋y 24＝1.[对应学生用书P15]1．若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到的点为(1,0)，求α.解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2222＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，得⎩⎪⎨⎪⎧22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22cos α＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ α－π4＝－π2＋2k π，α＋π4＝k π.(k ∈Z )∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝－π4＋2k π，α＝－π4＋k π.(k ∈Z )∴α＝－π4＋2k π(k ∈Z )．2．设点P 的坐标为(1，－2)，T 是绕原点逆时针旋转π3的旋转变换，求旋转变换T 对应的矩阵A ，并求点P 在旋转变换T 作用下得到的点P ′的坐标．解：由题意知旋转变换矩阵 A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos π3 －sin π3sin π3 cos π3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12 设P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12＋3，y ′＝32－1.即P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3，32－1.3．已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针方向旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程； (2)求曲线C ′的焦点坐标和渐近线的方程．解：(1)由题设知，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤co s 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－222222. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－222222 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22x －22y 22x ＋22y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22 x －y ，y ′＝22x ＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22 x ′＋y ′ ，y ＝22y ′－x ′ ，代入xy ＝1，得曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.(2)由(1)知曲线C ′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为y ＝±x . 4．求直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的方程．解：直线y ＝3x 的倾斜角为π3，绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的倾斜角为π2，故所求的直线方程为x ＝0.5．将抛物线E ：y 2＝4x 绕它的顶点逆时针旋转60°，得到曲线E ′.求曲线E ′的焦点坐标和准线方程．解：已知抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程l ：x ＝－1.旋转变换对应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12. 设点P (x ，y )为变换前坐标系中任意一点，经变换后得到P ′(x ′，y ′)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x －32y ，y ′＝32x ＋12y ，(1)将x ＝1，y ＝0代入(1)式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝32.由(1)消去y ，并将x ＝－1代入，得x ′＋3y ′＝－2.∴曲线E ′仍为抛物线，它的焦点坐标F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，准线方程l ′：x ＋3y ＋2＝0.6．已知椭圆x 24＋y 23＝1经过矩阵M 对应的变换作用下变为椭圆x 23＋y 24＝1，求变换矩阵M .解：将椭圆x 24＋y 23＝1变换为椭圆x 23＋y 24＝1，可以伸压变换，可以是反射变换(关于原点成中心反射或关于直线y ＝x 与y ＝－x 成轴对称)，还可以是旋转变换(绕原点旋转90°)，其中反射与旋转较为方便，所以矩阵M 可以是⎣⎢⎡⎦⎥⎤110或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0或⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－10等． 7．已知椭圆C ：x 2＋y 2＋xy ＝3，将曲线C 绕原点O 顺时针旋转π4，得到椭圆C ′.求：(1)椭圆C ′的标准方程； (2)椭圆C 的焦点坐标．解：(1)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－22 22，设椭圆C 上的点P (x ，y )变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22 x ′－y ′ ，y ＝22 x ′＋y ′ .代入x 2＋y 2＋xy ＝3中，得12(x ′－y ′)2＋12(x ′＋y ′)2＋12(x ′2－y ′2)＝3. ∴椭圆C ′的方程为x 22＋y 26＝1.(2)∵椭圆C ′的焦点坐标为(0，±2)，∴椭圆C 的焦点坐标为F 1(－2，2)，F 2(2，－2)．8．已知点A (3,4)，点A 绕原点逆时针旋转60°后得到的对应点为B ，求点B 的坐标，并求出线段OA 旋转过程中所扫描过的图形的面积．解：由题意可得旋转变换矩阵为。

2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案：第2章章末小结小结与测评 Word版含答案

一、平面向量的概念 1．向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量． 2．表示方法用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示．3．模向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 4．零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是任意的． 5．单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝±a|a |.6．平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量．7．相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量．[说明] 向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．二、平面向量的线性运算1．向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法则：三角形法则．[说明] 要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．3．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有λa与a平行．(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.三、两个定理1．向量共线定理(1)如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)向量平行的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.2．平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．[说明] 零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．四、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念及意义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．[说明] b在a方向上的投影|b|cos θ是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.2．平面向量数量积的性质设a与b是非零向量，e是单位向量，〈a，e〉＝θ.(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2，或|a|＝a·a.(3)a⊥b⇔a·b＝0.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.[说明](1)数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不一定能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.(2)若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[说明] 数量积的运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．4．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝x21＋y21；(3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[说明] x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的条件，后者是它们垂直的条件．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．AB ＋AC －BC ＋BA 化简后等于________．解析：原式＝(AB ＋BA )＋(AC －BC ) ＝(AB －AB )＋(AC ＋CB )＝0＋AB ＝AB . 答案：AB2．已知向量a ＝(1,3x )，b ＝(－1,9)，若a 与b 共线，则实数x 的值为________．解析：∵a 与b 共线，∴9＋3x ＝0，∴x ＝－3. 答案：－33．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________ 解析：(m ＋n )⊥(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝－(2λ＋6)＝0，所以λ＝－3. 答案：－34．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．解析：AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，这样同方向的单位向量是15AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN ＝λ(AC －AB )成立，则λ＝________.解析：∵M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点， ∴MN BC ＝13，即MN ＝13BC . 又MN ＝λ(AC －AB )＝λBC ， ∴λ＝13.答案：136．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于________．解析：∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋36＝34， ∴|a ＋b |＝34. 答案：347．已知向量OB ＝(2,0)，OC ＝(2,2)，CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为________．解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)，则|OA |＝2，|OB |＝2，OA ·OB ＝2， ∴cos 〈OA ，OB 〉＝OA ·OB | OA ||OB |＝22.又0≤〈OA ，OB 〉≤π，∴〈OA ，OB 〉＝π4.答案：π48．在梯形ABCD 中，AB ＝2DC ，AC 与BD 相交于O 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则OC ＝________.解析：依题意得AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，OC AO ＝DC AB ＝12，OC ＝13AC ，又AC ＝AD ＋DC ＝b＋12a ，因此OC ＝13b ＋16a .答案：13b ＋16a9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18.答案：1810．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )cos 2π3－2＝2k －52.又a·b ＝0， ∴2k －52＝0，∴k ＝54.答案：5411．下列5个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a ·b )c ＝a (b ·c )； ⑤(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 其中正确的是________．解析：共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．答案：③⑤12．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝12. ∴|a ×b |＝2×2×12＝2.答案：213．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为____________；DE ·DC 的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD ＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ·CB ＝λAB －AD－AD )＝－λAB ·AD ＋AD 2,＝－λ×0＋1＝1. 又DC ＝AB ，所以DE ·DC ＝λAB －AD AB＝λAB 2－AD ·AB ,＝λ×1－0＝λ≤1，,即DE ·DC 的最大值为1. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令E 点坐标为t ，t 可得DE ·CB＝t ，－，－＝1，, DE ·DC ＝t ，－，＝t ≤1，,∴DE ·CB＝1，DE ·DC 最大值为1.答案：1 114．(上海高考)已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则()a i ＋a j ·()c k ＋c l 的最小值是________．解析：根据对称性，当向量()a i ＋a j 与()c k ＋c l 互为相反向量，且它们的模最大时，()a i ＋a j ·()c k ＋c l 最小．这时a i ＝AC ，a j ＝AD ，c k ＝CA ，c l ＝CB ，()a i ＋a j ·()c k ＋c l ＝－||a i ＋a j 2＝－5.答案：－5二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在四边形ABCD (A 、B 、C 、D 顺时针排列)中，AB ＝(6,1)，CD ＝(－2，－3)，若有BC ∥DA ，又有AC ⊥BD ，求BC 的坐标．解：设BC ＝(x ，y )，则AC ＝AB ＋BC ＝(6＋x,1＋y )，AD ＝AC ＋CD ＝(4＋x ，y －2)， DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y )，BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)．又BC ∥DA 及AC ⊥BD ， ∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，① (6＋x )(x －2)＋(1＋y )(y －3)＝0.②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴BC ＝(－6,3)或(2，－1)．16．(本小题满分14分)已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 的内部，且∠AOC ＝30°，若OC ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，求mn的值．解：∵OA ·OB ＝0，∴OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，又∵∠AOC ＝30°，且点C 在∠AOB 内部， ∴∠BOC ＝60°.∴OA ·OC ＝OA ·(m OA ＋n OB )＝m ＝|OA ||OC |·cos ∠AOC ＝32|OC |， OB ·OC ＝OB ·(m OA ＋n OB )＝3n ＝|OB ||OC |·cos ∠BOC ＝32|OC |. ∴m ＝3n ，即m n＝3.17．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )·(2a －b )＝0，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)，∴2x －y ＝0，即y ＝2x .②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0,2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.③ ∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入③式，得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：a ·b ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19．(本小题满分16分)已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(0＜α＜π)． (1)若|OA ＋OC |＝7(O 为坐标原点)，求OB 与OC 的夹角； (2)若AC ⊥BC ，求tan α的值．解：(1)∵OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)， |OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，∴cos α＝12.又α∈(0，π)，∴α＝π3，即∠AOC ＝π3，又易知∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝π2，∴OB 与OC 的夹角为π6.(2)AC ＝(cos α－2，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－2)，由AC ⊥BC ，知AC ·BC ＝0，可得cos α＋sin α＝12.①∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34，∵α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin α cos α＝74，cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，从而tan α＝－4＋73.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16.又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k，当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k；由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)，所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。

高中数学苏教版必修四教学案：第2章章末小结小结与测评 Word版含答案

一、平面向量的概念 1．向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量． 2．表示方法用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示．3．模向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 4．零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是任意的． 5．单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝±a|a |.6．平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量．7．相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量．[说明] 向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．二、平面向量的线性运算1．向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法则：三角形法则．[说明] 要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．3．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有λa与a平行．(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.三、两个定理1．向量共线定理(1)如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)向量平行的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.2．平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．[说明] 零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．四、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念及意义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．[说明] b在a方向上的投影|b|cos θ是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.2．平面向量数量积的性质设a与b是非零向量，e是单位向量，〈a，e〉＝θ.(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2，或|a|＝a·a.(3)a⊥b⇔a·b＝0.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.[说明](1)数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不一定能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.(2)若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[说明] 数量积的运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．4．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝x21＋y21；(3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[说明] x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的条件，后者是它们垂直的条件．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．AB ＋AC －BC ＋BA 化简后等于________．解析：原式＝(AB ＋BA )＋(AC －BC ) ＝(AB －AB )＋(AC ＋CB )＝0＋AB ＝AB . 答案：AB2．已知向量a ＝(1,3x )，b ＝(－1,9)，若a 与b 共线，则实数x 的值为________．解析：∵a 与b 共线，∴9＋3x ＝0，∴x ＝－3. 答案：－33．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________ 解析：(m ＋n )⊥(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝－(2λ＋6)＝0，所以λ＝－3. 答案：－34．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．解析：AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，这样同方向的单位向量是15AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN ＝λ(AC －AB )成立，则λ＝________.解析：∵M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点， ∴MN BC ＝13，即MN ＝13BC . 又MN ＝λ(AC －AB )＝λBC ， ∴λ＝13.答案：136．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于________．解析：∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋36＝34， ∴|a ＋b |＝34. 答案：347．已知向量OB ＝(2,0)，OC ＝(2,2)，CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为________．解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)，则|OA |＝2，|OB |＝2，OA ·OB ＝2，∴cos 〈OA ，OB 〉＝OA ·OB | OA ||OB |＝22.又0≤〈OA ，OB 〉≤π，∴〈OA ，OB 〉＝π4.答案：π48．在梯形ABCD 中，AB ＝2DC ，AC 与BD 相交于O 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则OC ＝________.解析：依题意得AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，OC AO ＝DC AB ＝12，OC ＝13AC ，又AC ＝AD ＋DC ＝b＋12a ，因此OC ＝13b ＋16a .答案：13b ＋16a9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18.答案：1810．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )cos 2π3－2＝2k －52.又a·b ＝0， ∴2k －52＝0，∴k ＝54.答案：5411．下列5个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a ·b )c ＝a (b ·c )； ⑤(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 其中正确的是________．解析：共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．答案：③⑤12．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝12. ∴|a ×b |＝2×2×12＝2.答案：213．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为____________；DE ·DC 的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD ＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ·CB ＝λAB －AD·－AD )＝－λAB ·AD ＋AD 2,＝－λ×0＋1＝1. 又DC ＝AB ，所以DE ·DC ＝λAB －AD ·AB＝λAB 2－AD ·AB ,＝λ×1－0＝λ≤1，,即DE ·DC 的最大值为1. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令E 点坐标为t ，00≤t ≤1可得DE ·CB＝t ，－1·0，－1＝1，, DE ·DC ＝t ，－1·1，0＝t ≤1，,∴DE ·CB＝1，DE ·DC 最大值为1.答案：1 114．(上海高考)已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则()a i ＋a j ·()c k ＋c l 的最小值是________．解析：根据对称性，当向量()a i ＋a j 与()c k ＋c l 互为相反向量，且它们的模最大时，()a i ＋a j ·()c k ＋c l 最小．这时a i ＝AC ，a j ＝AD ，c k ＝CA ，c l ＝CB ，()a i ＋a j ·()c k ＋c l ＝－||a i ＋a j 2＝－5.答案：－5二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在四边形ABCD (A 、B 、C 、D 顺时针排列)中，AB ＝(6,1)，CD ＝(－2，－3)，若有BC ∥DA ，又有AC ⊥BD ，求BC 的坐标．解：设BC ＝(x ，y )，则AC ＝AB ＋BC ＝(6＋x,1＋y )，AD ＝AC ＋CD ＝(4＋x ，y －2)，DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y )， BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)．又BC ∥DA 及AC ⊥BD ， ∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，① (6＋x )(x －2)＋(1＋y )(y －3)＝0.②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴BC ＝(－6,3)或(2，－1)．16．(本小题满分14分)已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 的内部，且∠AOC ＝30°，若OC ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，求mn的值．解：∵OA ·OB ＝0，∴OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，又∵∠AOC ＝30°，且点C 在∠AOB 内部， ∴∠BOC ＝60°.∴OA ·OC ＝OA ·(m OA ＋n OB )＝m ＝|OA ||OC |·cos ∠AOC ＝32|OC |， OB ·OC ＝OB ·(m OA ＋n OB )＝3n ＝|OB ||OC |·cos ∠BOC ＝32|OC |. ∴m ＝3n ，即m n＝3.17．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )·(2a －b )＝0，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)，∴2x －y ＝0，即y ＝2x .② 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0,2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.③ ∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入③式，得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：a ·b ＝(3，－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19．(本小题满分16分)已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(0＜α＜π)． (1)若|OA ＋OC |＝7(O 为坐标原点)，求OB 与OC 的夹角； (2)若AC ⊥BC ，求tan α的值．解：(1)∵OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)， |OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，∴cos α＝12.又α∈(0，π)，∴α＝π3，即∠AOC ＝π3，又易知∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝π2，∴OB 与OC 的夹角为π6.(2)AC ＝(cos α－2，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－2)，由AC ⊥BC ，知AC ·BC ＝0，可得cos α＋sin α＝12.①∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34，∵α∈(0，π)，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin α cos α＝74，cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，从而tan α＝－4＋73.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ，所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线，所以t ＝－2k sin θ＋16.又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k，当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k；由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)，所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。

2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案：第3章章末小结小结与测评 Word版含答案

一、两角和与差的正弦、余弦、正切S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.[注意] 如两角和与差的正切公式可变形为： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．二、二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [注意] 余弦二倍角公式有多种形式，即cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，变形公式sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．化简：cos 4－sin 22＋2＝________. 解析：原式＝1＋cos 22＋2cos 22－1 ＝3cos 22＝－3cos 2. 答案：－3cos 22．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝________.解析：∵sin αsin β＝1，∴sin α＝－1且sin β＝－1或sin α＝1，sin β＝1.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝0.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1. 答案：13．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(β－2α)的值为________．解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－tan α＋tan α－β1－tan αtan α－β＝－12－251－12² －25＝－112.答案：－1124．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：a ＝ 2 sin 59°，b ＝2sin 61°，c ＝2sin 60°，所以a <c <b . 答案：a <c <b5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝________.解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝725.答案：7256．f (sin x )＝cos 2x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫32＝________. 解析：f (sin x )＝cos 2x ＝1－2sin 2x ∴f (x )＝1－2x 2∴f ⎝⎛⎭⎪⎫32＝1－2³⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12. 答案：－127．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －32图象的对称轴方程为________．解析：∵y ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ∴由2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．答案：x ＝k π2＋π12，k ∈Z 8．化简sin α＋30° ＋sin 30°－αcos α＝________.解析：原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°＋sin 30°cos α－cos 30°sin αcos α＝2cos αsin 30°cos α＝1.答案：19．tan 19°＋tan 41°＋3tan 19°tan 41°的值为________．解析：tan 19°＋tan 41°＝tan 60°(1－tan 19°tan 41°) ＝3－3tan 19°tan 41°.∴原式＝3－3tan 19°tan 41°＋3tan 19°tan 41°＝ 3. 答案： 310.sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan x ²tan x 2化简结果为________．解析：原式＝sin 2x2cos x ²tan x －tanx2tan x －x2＝2sin x cos x2cos x ²sinx2cos x cos x 2²tanx2＝sin xcos x＝tan x . 答案：tan x11.2cos 5°－sin 25°cos 25°＝________.解析：原式＝ sin 85°－sin 25° ＋cos 5°cos 25°＝2cos 55°sin 30°＋cos 5°cos 25°＝cos 55°＋cos 5°cos 25°＝2cos 30°cos 25°cos 25°＝2³32＝ 3. 答案： 312．函数y ＝tan x 2－1sin x的周期是________．解析：∵y ＝sin x2cos x 2－12sin x 2cos x 2＝2sin 2x2－12sin x 2cosx 2＝－cos x sin x ＝－1tan x ，∴T ＝π.答案：π13．已知sin(α－β)＝1010，α－β是第一象限角，tan β＝12，β是第三象限角，则cos α的值为________．解析：∵sin (α－β)＝1010，α－β是第一象限角， ∴cos(α－β)＝3 1010.∵tan β＝12，β是第三象限角，∴sin β＝－55，cos β＝－2 55. 则cos α＝cos[β＋(α－β)]＝cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β) ＝－2 55³3 1010＋55³1010＝－5 5050＝－22.答案：－2214．已知(sin x －2cos x )(3＋2sin x ＋2cos x )＝0，则sin 2x ＋2cos 2x1＋tan x 的值为________．解析：∵3＋2sin x ＋2cos x ＝3＋2 2sin(x ＋π4)>0，∴sin x －2cos x ＝0.∴tan x ＝2.∴原式＝2cos x sin x ＋cos x 1＋sin x cos x ＝2cos 2x sin x ＋cos x cos x ＋sin x ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ＝1＋1－tan 2x 1＋tan 2x ＝1＋1－41＋4＝25. 答案：25二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知cos α－sin α＝3 25，且π<α<32π，求sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值．解：因为cos α－sin α＝3 25，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725.又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－4 25，所以sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α cos αcos α－sin α＝2sin αcos α cos α＋sin α cos α－sin α＝725³⎝ ⎛⎭⎪⎫－4 253 25＝－2875.16．(本小题满分14分)求函数y ＝2＋2sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最大值和最小值．解：设sin x ＋cos x ＝t ，t ＝sin x ＋cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以|t |≤ 2.函数化为y ＝t 2＋t ＋1，－2≤t ≤2，配方，得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，－2≤t ≤ 2.当t ＝2时，y max ＝3＋2；当t ＝－12时，y min ＝34.17．(本小题满分14分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝4，且－π<θ<－π2，求sin 2θ－2sin θcos θ－cos 2θ的值．解：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝4，得：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2 cos θ－sin θ cos θ＋sin θ ＝2cos 2θ－sin 2θ＝4. 则cos 2θ＝34.∵－π<θ<－π2，∴cos θ＝－32，sin θ＝－12，∴sin 2θ－2sin θ²cos θ－cos 2θ＝－1＋32.18．(本小题满分16分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－2 77，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝12且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos α＋β2； (2)tan(α＋β)．解：(1)∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝217，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 32.∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2 － α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2²sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝⎛⎭⎪⎫－2 77³32＋217³12＝－2114.(2)∵π4<α＋β2<34π，∴sin α＋β2＝1－cos2α＋β2＝5 714， ∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－5 33，∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan2α＋β2＝5 311.19．(本小题满分16分)求y ＝sin 3x sin 3x ＋cos 3x cos 3xcos 22x ＋sin 2x 的最小值．解：∵sin 3x ²sin 3x ＋cos 3x ²cos 3x＝(sin x ²sin 3x )sin 2x ＋(cos x ²cos 3x )cos 2x＝12[(cos 2x －cos 4x )sin 2x ＋(cos 2x ＋cos 4x )cos 2x ]＝12[(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x ＋(cos 2x －sin 2x )cos 4x ]＝12(cos 2x ＋cos 2x ²cos 4x )＝cos 2x 1＋cos 4x 2＝cos 32x ， ∴y ＝cos 32xcos 22x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∴当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－1，即2x ＋π4＝2k π－π2，x ＝k π－3π8(k ∈Z )时，y min ＝－ 2.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，x ∈R (其中ω>0)．(1)求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小正周期为π2，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的单调递减区间．解：(1)f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx ²32＋cos ωx ²12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin ωx ²cos π6＋cos ωx ²sin π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.∵x ∈R ，∴f (x )的值域为[－2,2]． (2)∵f (x )的最小正周期为π2，∴2πω＝π2，即ω＝4.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6， ∴2k π＋π2≤4x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z .即12k π＋π12≤x ≤12k π＋π3，k ∈Z . ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π12≤x ≤π3.∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3.。

2017_2018学年高中数学章末小结教学案苏教版选修4_2

[例1] 求矩阵A＝的逆矩阵．
[解]设A－1＝，依照可逆矩阵的概念，
则＝，
即＝，
依照矩阵相等得和
解得a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1，
因此A－1＝ .
[例2] 设矩阵A＝，X＝，B＝，试解方程AX＝B.
[解] 由于A＝，
而det(A)＝＝2×2－1×3＝1≠0，
系数矩阵A可逆，
[解] (1)观看图形可知，M1对应的变换为横坐标不变，纵坐标缩短为原先的的伸缩变换，M2对应的变换为逆时针方向旋转的旋转变换，
故M1＝，M2＝ .
(2)M＝＝，
设直线x－y－1＝0上任意一点P(x0，y0)在矩阵M对应的变换作用下的对应点P′(x，y)，
则＝＝，
∴
因x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0.
＝4(M2020e1)－3(M2020e2)＝4(λ e1)－3(λ e2)
＝4×32020 －3×(－1)2020 ＝ .
现在方程组有唯一解，
而A－1＝＝，
因此X＝A－1B
＝＝＝ .
即
求曲线在平面变换下的方程
把握平面变换与对应矩阵之间的彼此转化关系，明白得矩阵乘法与复合变换之间的关系．
[例3] 二阶矩阵M1和M2对应的变换对正方形区域的作用结果如以下图．
(1)别离写出一个知足条件的矩阵M1和M2；
(2)依照(1)的结果，令M＝M2M1，求直线x－y－1＝0在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程．
因此2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，
即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，
故所求的逆矩阵M－1＝ .
(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下取得点P′(x′，y′)，

苏教版数学高二选修4-2学案章末分层突破

章末分层突破一、矩阵的特征值与特征向量的求解与应用设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，λ是矩阵A 的一个特征值，α是属于λ的一个特征向量.欲求λ及α，可令A 的特征多项式等于0，即可求出λ的值，将λ的值代入方程组⎩⎨⎧（λ－a ）x －by ＝0，－cx ＋（λ－d ）y ＝0，得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量.求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221的特征值及其对应的特征向量. 【解】矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝(λ－1)(λ－1)－4＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1和3. 当λ＝－1时，联立⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0－2x －2y ＝0，解得x ＋y ＝0所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ＝3时，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0－2x ＋2y ＝0，解得x ＝y所以矩阵M 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.二、A n α的表示(计算)设λ1，λ2是二阶矩阵M 的两个不同特征值，矩阵M 的属于特征值λ1，λ2的特征向量分别为α1，α2，则平面上任一非零向量β可表示为β＝s α1＋t α2(其中s ，t 为实数)，则M n β＝M n (s α1＋t α2)＝sλn 1α1＋tλn 2α2(n ∈N *).若矩阵A 有特征值λ1＝2，λ2＝－1，它们所对应的特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(1)求矩阵A 和其逆矩阵A －1； (2)已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，试求A 100α.【解】 (1)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，其特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d . ∵当λ1＝2时，其特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，∴⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）×1－b ×0＝0，（－c ）×1＋（2－d ）×0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝0. 同理当λ2＝－1时，其特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1－a ）×0－b ×1＝0，（－c ）×0＋（－1－d ）×1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，d ＝－1. ∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 －1，det(A )＝－2， ∴A －1＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0－1.(2)设α＝s α1＋t α2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 116＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ∴s ＝1，t ＝16. ∴A100α＝1×2100×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋16×(－1)100×⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100 0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 016＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210016. 三、函数方程思想的应用本章不论是由矩阵求特征值，还是已知矩阵的特征值与特征向量求该矩阵，都需要解方程(组)或构建方程(组)求解.已知二阶矩阵A 的属于特征值－3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值8的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，求矩阵A .【导学号：30650054】【解】设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤65＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－3，c －d ＝3，6a ＋5b ＝48，6c ＋5d ＝40.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，c ＝5，d ＝2.∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 65 2. 章末综合检测(五)1.求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量. 【解】矩阵M 的特征多项式 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 0－5 λ－6＝(λ＋1)(λ－6). 令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧（λ＋1）x ＋0·y ＝0，－5x ＋（λ－6）y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5为属于λ1＝－1的一个特征向量.将λ2＝6代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧（λ＋1）x ＋0·y ＝0，－5x ＋（λ－6）y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤01为属于λ2＝6的一个特征向量.综上所述，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5，属于λ2＝6的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.2.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.【导学号：30650055】【解】矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4 因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0得x ＝－y令x ＝1，则y ＝－1.所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.3.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24. (1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象； (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗？为什么？【解】 (1)因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2，所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18，所以向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 8－18. (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量.理由如下：Mγ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3－7，向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3－7与向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不共线，所以向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量. 4.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值. 【解】矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3. 当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1， ∴A 5β＝A 5(3α1＋α2) ＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.5.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量. 【解】 (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3， ∴a ＝－4.(2)∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－4 1， ∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量.对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3，属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.6.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵.【解】由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以c ＋d ＝6， ①由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，所以3c －2d ＝－2. ②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 324，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12－1312. 7.已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.(1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ； (2)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3324，求M 的特征值和特征向量； (3)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50β.(结果用指数式表示)【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2－1 0； B ＝A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1120. (2)设M 的特征值为λ，则由条件得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －3 －2 λ－4＝0，即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0. 解得λ1＝1，λ2＝6. 当λ1＝1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得M 属于1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2；当λ2＝6时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得M 属于6的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(3)由Bα＝β，得β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4，设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4＝m α1＋n α2＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3m ＋n －2m ＋n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝－1，－2m ＋n ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.所以β＝－α1＋2α2. 所以M 50β＝M 50(－α1＋2α2) ＝－M 50α1＋2M 50α2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋2×650×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×650－32×650＋2. 8.已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程. 【解】 (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2)由(1)知矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f (λ)＝0，解得矩阵M 的另一个特征值λ＝2.设矩阵M 的属于特征值2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Mα2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程并化简得x ′－y ′＋2＝0，即直线l ′的方程为x －y ＋2＝0.9.给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2及向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(1)求证M 和N 互为逆矩阵；(2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量.【导学号：30650056】【证明】 (1)因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵. (2)向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1313＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α1和α2都是M 的特征向量. 10.给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 561及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9. (1)求矩阵M 的特征值及与其对应的特征向量α1，α2；(2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a α1＋b α2；(3)利用(2)中的表达式计算M 3α，M n α；(4)从(3)中的运算结果，你能发现什么？【解】 (1)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －5－6 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4).令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－4，λ2＝7.易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6，属于特征值λ2＝7的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2)由(1)可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得a ＝1，b ＝3，所以α＝α1＋3α2. (3)M 3α＝M 3(α1＋3α2)＝M 3α1＋3M 3α2＝(－4)3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×73×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤43×5＋3×73－43×6＋3×73. M n α＝M n (α1＋3α2)＝M n α1＋3M n α2＝(－4)n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×7n ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（－1）n ＋1×4n ×5＋3×7n （－4）n ×6＋3×7n . (4)在M n α的结果中，随着n 的增加，特征向量α1对结果的影响越来越小.。

苏教版数学高二选修4-2学案 2.1 章末分层突破

章末分层突破一、矩阵的概念矩阵是数学中一个极其重要而又应用广泛的概念，很多实际问题都可以归结成矩阵来解决.某物流公司负责从甲、乙两个城市向三个受灾地区A，B，C运送救灾物资，即：从甲城市向城市A，B，C送救灾物资的量分别是250万吨，210万吨，180万吨；从乙城市向城市A，B，C送救灾物资的量分别是400万吨，350万吨，630万吨.试用矩阵表示甲、乙两个城市向A，B，C三个受灾地区送救灾物资的数量.【解】设甲、乙两个城市分别向A，B，C三个受灾地区运送救灾物资的量组成行向量α，β，250210180，则α＝[]400350630.β＝[]故甲、乙两个城市向A ，B ，C 三个受灾地区运送救灾物资的量用矩阵表示为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤250 210 180400 350 630. 二、矩阵相等对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 21＋y 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 p ＋12 1－q ，且A ＝B ，求x ，y ，p ，q 的值. 【解】由矩阵相等的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，1＋y ＝2，p ＋1＝2，1－q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，p ＝1，q ＝0.三、二阶矩阵与平面列向量的乘法二阶矩阵与平面列向量的乘法是矩阵运算与矩阵变换的关键，应熟练掌握.计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，并解释计算结果的几何意义. 【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×3＋2×10×3＋（－1）×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1，其几何意义是在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1对应变换的作用下，列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤31变为列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1或表示平面上的点P (3，1)变为点P ′(5，－1).四、函数与方程思想函数与方程思想就是解决某些问题时，通过构造函数或方程，然后通过研究函数的有关性质或解方程(组)达到解决问题的目的.本章中函数与方程的思想应用广泛.已知点P (x ，y )在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1 1 3对应的变换下变成点P ′(3－1，1＋3)，求点P 的坐标.【解】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －1 1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x －y x ＋3y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－11＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝3－1，x ＋3y ＝1＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故P 点坐标为(1，1).章末综合检测(一)1.已知二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝4，2x ＋3y ＝2，试用矩阵表示它的系数和常数项.【解】系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 3，常数项矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 2.写出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 120 01所表示的三角形的各顶点坐标. 【解】设三角形的三个顶点分别为A ，B ，C ，则A (0，0)，B (1，0)，C (2，1).3.(1)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0132⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y ，试将它写成矩阵的乘法形式. 【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0＋y 3x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 3x ＋2y . (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4.设M 是一个3×3矩阵，且规定其元素a ij ＝i ＋3j (i ＝1，2，3；j ＝1，2，3)，试求M .【导学号：30650009】【解】由题意可知a 11＝4，a 12＝7，a 13＝10，a 21＝5，a 22＝8，a 23＝11，a 31＝6，a 32＝9，a 33＝12，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 7 1058 1169 12. 5.设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 －2，P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －31 －4. (1)若矩阵M ＝N ，求x ，y ，z ，w ； (2)若矩阵M ＝P ，求x ，y ，z ，w .【解】 (1)∵M ＝N ，∴x ＝3，y ＝0，z ＝2，w ＝－2. (2)∵M ＝P ，∴x ＝3，y ＝－3，z ＝1，w ＝－4. 6.计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×x ＋0×y 0×x ＋1×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ×0＋b ×0c ×0＋d ×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×x ＋1×y 1×x ＋1×y ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y x ＋y . 7.求使⎣⎢⎡⎦⎥⎤a23b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13成立的实数a ，b ，c ，d 的值. 【解】 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，∴⎩⎪⎨⎪⎧2d ＝2，bd ＝4，ac ＝1，3c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，c ＝1，d ＝1.8.如果矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 2对应的变换把点A 变成点A ′(2，1)，求点A 的坐标. 【解】设A (x ，y )，由题意知 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －y x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝－13，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－13. 9.设矩阵M 对应的变换把点A (1，6)变成A′(4，3)，把点B (－1，2)变成点B ′(2，5)，求矩阵M .【导学号：30650010】【解】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由已知，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6b ＝4，c ＋6d ＝3.①②又由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，得⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝2，－c ＋2d ＝5.③④由①③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝34.由②④得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－3，d ＝1.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1234－31. 10.在△ABC 中，A (3，2)，B (3，－2)，C (6，4)，若矩阵M 对应的变换把点A 变成A′(2，－3)，把点B 变成B ′(1，2)，点C 变成C ′，求变换后直线A ′C ′所在直线方程.【解】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝2，3c ＋2d ＝－3，3a －2b ＝1，3c －2d ＝2.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝12，b ＝14，c ＝－16，d ＝－54.∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 14－16 －54. ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 14－16 －54⎣⎢⎡⎦⎥⎤64＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－6. ∴C ′(4，－6).∴直线A ′C ′的方程为y ＋3＝－6＋34－2×(x －2)，即3x ＋2y ＝0.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 复习题》

教学设计一、教学目标：1了解矩阵的概念，矩阵的乘法法则，并能熟练的进行矩阵的乘法运算。

2掌握恒等变换，压缩变换，反射变换，旋转变换，投影变换，切变变换等几种常见变换的概念及其矩阵表示，并能用几何意义解释矩阵的变换。

3理解逆矩阵的概念，并能用待定系数法，公式法，矩阵变换几何意义角度求解逆矩阵。

4理解矩阵特征值与特征向量的概念，会用行列式求特征值与特征向量并进行矩阵的幂运算。

二、教学重点：1学生能熟练的进行矩阵的乘法运算。

2学生会用行列式求特征值与特征向量并进行矩阵的幂运算。

三、教学难点：用特征值与特征向量进行幂的运算。

四、课前准备：教师根据本章教学目标及教学重难点选择适当的题目制成学案，提前一天发给学生，学生提前复习知识要点，完成基础训练部分。

五、教学过程：1复习矩阵的概念学生1：阐述矩阵乘法的运算法则，教师在黑板上书写。

学生2：阐述6种常见的变换矩阵并举例。

恒等变换矩阵：[1001] 压缩变换矩阵：如：[k 001] 反射变换矩阵：如：[100−1] 旋转变换矩阵：[cosθ−sinθsinθcosθ] 投影变换矩阵：如：[1010] 切变变换矩阵：如：[1k 01]，[10k 1]问题1：点通过矩阵M 1=[10012]和M 2=[10013]的变换效果相当于另一变换是？学生3：[10016]教师总结：我们既可以通过矩阵的乘法，也可以从矩阵变换的角度得到结果。

问题2：给出一个矩阵[1−102]，怎么求这个矩阵的逆矩阵？学生4：法一：用待定系数法，设出矩阵，并带入计算求解。

法二：直接根据公式[d ad−bc −b ad−bc −c ad−bc a ad−bc]求解。

问题3：非常好，那还有没有其他想法学生5：还可以从矩阵变换几何角度出发，但是这个矩阵不怎么容易理解。

问题4：复习矩阵的特征值与特征向量（学生板演）已知二阶矩阵A =[350−2] 1求直线:2x +y =1在矩阵A −1对应的变换下得到的直线l ′的方程； 2求矩阵A 的特征值和特征向量； 3设向量β⃗=[1−1],求A 10β⃗学生练习：（2021江苏） 1已知矩阵A =[3122]1求A 2；2求矩阵A 的特征值；六、教学反思：1矩阵乘法与逆矩阵这两部分花的时间比较多，导致后面学生板演时间比较紧。

2018学年高中数学选修4-2学案：2.2 章末分层突破含解

章末分层突破本章在高考中主要考查对六种特殊变换的理解，以及在六种变换前后的点的坐标及曲线方程的求法，掌握六种特殊变换的特点.一、求在某种变换作用下得到的图形(表达式)求在某种变换作用下所得到的图形(表达式)是考查变换知识的热点题型，通常用代入法(相关点法)求解.下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变换？(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－10，点A (2，1)； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，直线y ＝2x ＋2. 【解】 (1)矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－10对应的坐标变换公式为⎩⎨⎧x ′＝y ，y ′＝－x ，把A (2，1)代入即得A 的对应点为A ′(1，－2)，该变换把列向量OA →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21按顺时针方向旋转90°.故该变换为旋转变换，如图所示.(2)设直线y ＝2x ＋2上任意一点P (x ，y )按矩阵所表示的坐标变换对应的点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y ，即⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝－y ，∴⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝－y ′，代入y ＝2x ＋2，得－y ′＝2x ′＋2，即直线y ＝2x ＋2经过变换得到的图形为直线y ＝－2x －2，如图所示，此变换为关于x 轴的反射变换.二、求变换矩阵根据变换的结果求变换矩阵的一般方法：找到前后点的坐标间的关系，由点的坐标间的关系即可求出变换矩阵.求把△ABC 变换成△A ′B ′C ′的变换对应的矩阵，其中A (－2，1)，B (0，1)，C (0，－1)；A ′(－2，－3)，B ′(0，1)，C ′(0，－1).【解】设变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由已知，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－3， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1，即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝－2，－2c ＋d ＝－3，⎩⎨⎧b ＝0，d ＝1，⎩⎨⎧－b ＝0，－d ＝－1.即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2，d ＝1，∴变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤102 1. 三、函数方程思想本章求矩阵变换下曲线的方程广泛应用了函数方程思想.试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，图形的方程为：x 2＋y 2＝4； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 021，图形的方程为：y ＝－2x ＋6. 【解】 (1)所给方程表示的是以原点为圆心，2为半径的圆.设A (x ，y )为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， ∴2x ＝x 1，y ＝y 1，即x ＝x 12，y ＝y 1将其代入x 2＋y 2＝4可得到方程x 214＋y 21＝4，此方程表示椭圆.所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换.(2)所给方程表示的是一条直线.设A (x ，y )为直线上的任意一点，经过变换后的点为A 1(x 1，y 1).∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 021⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02x ＋y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， ∴x 1＝0，y 1＝2x ＋y .又由y ＝－2x ＋6得2x ＋y ＝6， ∴A 1(0，6)为定点.通过变换将一条直线变为一点，该变换是投影变换.如图2-2-6所示，对反比例函数图象C ：y ＝4x 经过旋转变换将其方程改写为标准形式.图2-2-6【解】设P (x ，y )为曲线C 上任意一点，它在变换T 作用下的象P ′(x ′，y ′)，其中变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos π4 －sin π4sin π4 cos π4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝22x －22y ，y ′＝22x ＋22y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋y ′2，y ＝y ′－x ′2，故xy ＝y ′2－x ′22＝4，y ′2－x ′2＝8，因此旋转后的方程为y 28－x 28＝1.章末综合检测(二)1.当k >0时，你能猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 表示的变换吗？并对你的猜想作出证明. 【解】猜想⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k 表示的变换是将平面图形作沿y 轴方向伸长(k >1)或压缩(0<k <1)或恒等(k ＝1)变换，证明如下：对于平面上任意一点P (x ，y )，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 k 的作用下，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍.2.若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应的变换作用下得到点为B (1，0)，求α的值.【导学号：30650022】【解】由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2222＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，所以⎩⎪⎨⎪⎧22cos α－22sin α＝1，22sin α＋22cos α＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝22，sin α＝－22，从而可知，α＝2k π－π4，(k ∈Z ).3.已知直线l 与直线3x ＋5y ＋6＝0平行，且过点(5，6)，求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15将直线l 变成了什么图形？并写出方程.【解】由已知得直线l 的方程为3x ＋5y －45＝0，设P (x ，y )为l 上的任意一点，点P 在矩阵对应的变换下对应点P ′(x ′，y ′).则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 15y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝15y .∴⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝5y ′.代入3x ＋5y －45＝0，得3x ′＋25y ′－45＝0，∴直线l 变换成直线3x ＋25y －45＝0. 4.求直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301确定的变换作用下得到的图形的表达式. 【解】设点(x ，y )为直线y ＝2x 上的任意一点，其在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1301确定的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋3y y ，即⎩⎨⎧x ′＝x ＋3y ，y ′＝y ，所以⎩⎨⎧x ＝x ′－3y ′，y ＝y ′，将其代入y ＝2x ，并整理得2x ′－7y ′＝0，所以直线y ＝2x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301确定的变换作用下得到的图形的表达式是2x －7y ＝0.5.切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1把直线x ＋y ＝1变成什么几何图形？【解】设P (x ，y )在该变换下的象为P ′(x ′，y ′)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1y ，故⎩⎨⎧x ′＝1，y ′＝y ，所以切变变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤110 1把直线x ＋y ＝1变成与y 轴平行的直线x ＝1.6.若曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b1的作用下变换成曲线x 2－2y 2＝1，求a ，b 的值.【解】设(x ，y )为曲线x 2＋4xy ＋2y 2＝1上的任意一点，其在矩阵M 的作用下变换成点(x ′，y ′)，则(x ′，y ′)在曲线x 2－2y 2＝1上，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ay bx ＋y ，即⎩⎨⎧x ′＝x ＋ay ，y ′＝bx ＋y ，将其代入x 2－2y 2＝1，并整理，得(1－2b 2)x 2＋(2a －4b )·xy ＋(a 2－2)y 2＝1，比较系数得⎩⎨⎧1－2b 2＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝0.7.点(2，2x )在旋转变换矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 m 32 n 的作用下得到点(y ，4)，求x ，y ，m ，n .【导学号：30650023】【解】因为矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 m 32 n 是旋转变换矩阵，所以m ＝－32，n ＝12.由题意知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 4，所以⎩⎨⎧1－3x ＝y ，3＋x ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝4－3，y ＝4－4 3 .8.二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)，(－2，1)均变为点(1，1). (1)求矩阵M ；(2)直线l ：2x ＋3y ＋1＝0在变换T 作用下得到什么图形？说明理由. 【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则由题设得 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎨⎧a －b ＝1，c －d ＝1，－2a ＋b ＝1，－2c ＋d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3，c ＝－2，d ＝－3.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3. (2)设P (x ，y )是l ：2x ＋3y ＋1＝0上任一点P ′(x ′，y ′)是对应的点，则由 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －3－2 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －3y －2x －3y ，得⎩⎨⎧x ′＝－2x －3y ，y ′＝－2x －3y ，即2x ＋3y ＝－x ′＝－y ′. 又2x ＋3y ＋1＝0，所以x ′＝y ′＝1. 故在l 在变换T 作用下变为点(1，1).9.求直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.【解】⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－222222.设直线y ＝－2x ＋1上任意一点为(x 0，y 0)，其在旋转变换作用下得到点(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝22（x 0－y 0），y ′0＝22（x 0＋y 0），解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝22（x ′0＋y ′0），y 0＝－22（x ′0－y ′0）.因为点(x 0，y 0)在直线y ＝－2x ＋1上，所以2x 0＋y 0－1＝0，所以2×22(x ′0＋y ′0)－22(x ′0－y ′0)－1＝0，整理得22x ′0＋322y ′0－1＝0.所以直线y ＝－2x ＋1绕原点逆时针旋转45°后所得的直线的方程是22x ＋322y －1＝0.10.如图1所示的是一个含有60°角的菱形ABCD ，要使只变换其四个顶点中的两个顶点后，菱形变为正方形，求此变换对应的变换矩阵M .该变换矩阵惟一吗？若不惟一，写出所有满足条件的变换矩阵.【导学号：30650024】图1【解】由题设知AC ∶BD ＝3∶1.若只变换A ，C 两个顶点，则应把A ，C 两个顶点的横坐标压缩为原来的33，纵坐标不变，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33 0 0 1；若只变换B ，D 两个顶点，则应把B ，D 两个顶点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.所以满足条件的变换矩阵M 为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 003.。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.5 特征值与特征向量》1

特征值与特征向量教学案班级学号姓名学习目标1.掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量；3.利用M的特征值、特征向量给出nMα的简单表示。

重点难点重点：求二阶矩阵的特征值与特征向量难点：从几何变换的角度说明特征向量的意义问题情境（一）：根据下列条件试判断是否Mα与α共线：（1）3003⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，非零向量xy⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；1223-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，非零向量32⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α；（2）1012⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M，非零向量1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，1⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

意义建构（一）：数学理论（一）：特征值与特征向量的定义：特征多项式定义:数学运用（一）：例1. 求出矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A的特征值和特征向量。

随堂反馈（一）求出下列矩阵的特征值和特征向量：（1）1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A；（2）1001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B；（3）1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C。

思考：怎样从几何直观的角度加以解释？数学理论（二）：线性变换的性质：数学运用（二）：例2. 已知1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M，17⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，试计算50Mβ。

随堂反馈（二）求投影变换矩阵0001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M的特征值和特征向量，并计算20023⎡⎤⎢⎥⎣⎦M的值，解释它的几何意义。

巩固练习班级学号姓名1.从几何变换的角度，直接给出下列矩阵的特征值和特征向量。

（1）1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的特征值为，相应的特征向量分别为；（2）1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值为，相应的特征向量分别为； 2. 向量10⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵1003⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下（） A 方向改变，长度不变 B 长度改变，方向不变C 方向和长度都不变D 以上都不对3. 下列对于矩阵A 的特征值λ的描述中错误的有（1）存在向量α，使得λ=A αα；（2）对任意向量α，有λ=A αα；（3）对任意非零向量α，λ=A αα成立；（4）存在一个非零向量α，有λ=A αα。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.4.1 逆矩阵的概念》1

逆变换与逆矩阵学习目标:1通过图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件, 能通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在;2会证明逆矩阵的唯一性和AB-1=B-1A-1等简单性质;的逆矩阵;4会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律;学习重点：会判别逆矩阵是否存在,如何求逆矩阵;学习难点：熟练运用公式求逆矩阵学习过程：1复习与回忆复习：〔1〕矩阵乘法的法那么是:〔2〕矩阵乘法MN的几何意义：对向量连续实施的两次几何变换先TN,后TM的复合变换〔3〕矩阵乘法不满足交换律师这可能是第一次遇到乘法不满足交换律的情况此时,可以从几何变换角度进一步明确乘法一般不满足交换律而在适当时候,有些特殊几何变换如两次连续旋转变换可满足交换律练一练〔1〕矩阵A=，矩阵B=，试求：①AB; ②BA〔2〕矩阵A=，矩阵B=，试求：①AB; ②BA2创设情境由前面学习我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点〔，〕变换到点〔′，′〕反过来:假设知道变换后的结果〔′，′〕,能否“找到回家的路〞,再让它变回到原来的〔，〕呢？如图示：〔，〕〔′，′〕情境分析〔1〕从变换结果来看，虽然经历了“走过去〞又“回过来〞的两次变换，但是最终还是回到了原地，变回了“自己〞〔2〕从矩阵变换的角度来看：“走过去〞对应变换矩阵A，“回过来〞对应着变换矩阵B，先后两次连续的变换对应着两个矩阵的乘积，即BA〔3〕再从变换结果来看，上述问题就变成了：对于以下给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换〔先TA后TB〕的结果与恒等变换的结果相同引例分析例1 对于以下给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换〔先T A后T B〕的结果与恒等变换的结果相同？〔1〕；〔2〕；〔3〕．解：〔1〕对于反射变换TA，满足条件的变换即为其自身，即B=A；对于旋转变换TA，存在旋转变换TB，即B为绕原点顺时针旋转600的变换矩阵；〔3〕对于投影变换T A，不存在满足条件的变换矩阵B原因：投影变换不是一一映射；3数学建构在数的运算中，当数a≠0时，ab=ba=1,其中b=a−1,b称为a的倒数〔或称a的逆〕在矩阵运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,有AB=BA=E，那么称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，通常记做A-1逆矩阵的概念〔1〕定义：在矩阵运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A,如果存在一个矩阵B,有AB=BA=E，那么称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，通常记A的逆矩阵为A-1有了逆矩阵的定义，我们自然会去想：对于一个任意的二阶矩阵M，满足什么条件，它是可逆的？如果它是可逆的，如何求出它的逆矩阵呢？例2 求矩阵A=的逆矩阵解：设矩阵A 的逆矩阵为，那么有故解得a =38, b =−18, c =−78, d =58,一般的，对于二阶可逆矩阵A=〔ad -bc ≠0〕,1它的逆矩阵为A -1=2矩阵A 可逆的充要条件：ad -bc ≠0求一个矩阵的逆矩阵常用的方法有三种：〔1〕几何变形法〔2〕待定系数法〔3〕公式法逆矩阵的性质性质1：假设二阶矩阵A 是可逆矩阵，那么 A 的逆矩阵A -1是唯一的。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.4.1 逆矩阵的概念》7

逆变换与逆矩阵教学目标、重难点：1理解逆矩阵的概念，了解逆变换的概念2能判断一个矩阵是否存在逆矩阵，掌握六种变换除了投影变换不存在逆变换，其他的都有逆变换的结论。

3能求一个二阶矩阵以及两个二阶矩阵乘积的逆矩阵。

4理解二阶矩阵消去律的条件。

一、新课引入1．逆矩阵的定义对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为A－12．逆矩阵的性质1若二阶矩阵A、B均可逆，则AB也可逆，且AB－1＝B－1A－12已知A、B、C为二阶矩阵且AB＝AC，若A存在逆矩阵，则B＝C3．逆矩阵的求法1待定系数法．2公式法：对于二阶矩阵A＝错误!，若ad－bc≠0，则A必可逆，且A－1＝错误!3逆变换法．二、典型例题[例1]求矩阵A＝错误!的逆矩阵．[思路点拨]设出逆矩阵，利用待定系数法求解或直接利用公式法求解．[精解详析]法一：待定系数法：设A－1＝错误!，则错误!错误!＝错误!即错误!＝错误!，故错误!错误!解得＝－1，＝2，＝2，w＝－3，从而A 的逆矩阵为A －1＝错误!法二：公式法：若⎢⎣⎡=c a A ⎥⎦⎤d b （ad －bc ≠0），则 A －1＝错误!∴A －1＝错误!用待定系数法求逆矩阵时，先设出矩阵A 的逆矩阵A －1，再由AA －1＝E 得相等矩阵，最后利用相等矩阵的概念求出A －1例2（1）已知矩阵A ＝错误!，求A －1解：矩阵A 对应的变换是旋转变换R 240°，它的逆变换是R －240°∴A －1＝错误!＝错误!（2）已知矩阵A ＝错误!，求A －1解：因矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝错误!例2是通过几何变换来求解二阶矩阵的逆矩阵。

这些矩阵是我们已学过的六种矩阵。

例3 若矩阵A ＝错误!，B ＝错误!，求矩阵AB 的逆矩阵．[思路点拨] 根据公式AB －1＝B －1A －1，先求出B －1、A －1，再利用矩阵乘法求解．[精解详析] 因为矩阵A 所对应的变换为伸缩变换，所以A －1＝错误!而矩阵B 对应的变换为切变变换，其逆矩阵B －1＝错误!，∴AB －1＝B －1A －1＝错误!错误!＝错误!1要避免犯如下错误AB －1＝A －1B －12此题也可以先求出AB 再求其逆．三、高考集锦1．江苏高考已知矩阵A ＝错误!，B ＝错误!，求矩阵A －1B 解：设矩阵A 的逆矩阵为错误!，则错误! 错误!＝错误!，即错误!＝错误! 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝错误!，从而A 的逆矩阵为A －1＝错误!，所以A －1B ＝错误! 错误!＝错误!2 （2021年高考题）：已知矩阵⎢⎣⎡=12A ⎥⎦⎤23 (1) 求A 的逆矩阵1-A(2) 若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点)1,3(P '，求点P 的坐标。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.5 特征值与特征向量》4

第41课时特征值与特征向量班级____________姓名_____________学习目标（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；（2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量；（3）利用矩阵A的特征值、特征向量给出A nα简单表示．自主研习（一）问题情境根据下列条件试判断Mα是否与α共线：⑴3003M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，非零向量xyα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；⑵1223M-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，非零向量32α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；⑶1012M⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，非零向量1α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（二）建构数学1．特征值和特征向量：设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个_____向量α，使得_______________，则λ称为A的一个____________，而α称为A的属于_____________的一个___________2 特征多项式：设a bAc d⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是一个二阶矩阵，Rλ∈，我们把行列式称为A的特征多项式3．矩阵a bMc d⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量的计算方法：1构造；2解方程；3将λ代入，求出对应的一个特征向量．注：如果向量α是属于λ的特征向量, 那么tαt∈R , t≠0也是属于λ的特征向量．活动一：会求二阶矩阵的特征值和特征向量例1．求出矩阵1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值和特征向量．例2．已知α是矩阵M 属于特征值λ=3的特征向量, 其中2a m M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 15α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 且abm =3 , 求a , b , m ．活动二：利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α简单表示例3．已知1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，17β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算50M β．例4．若矩阵A 有特征向量10i ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦和01j ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 且它们所对应的特征值分别为12λ=，21λ=-．1求矩阵A 及其逆矩阵1A -； 2求逆矩阵1A -的特征值及特征向量；3对任意向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 求100A α及1A α-．1．求出下列矩阵的特征值和特征向量：（1）1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（2）1001B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；（3）3241C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值2λ=-的特征向量, 其中11a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 23α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 则a =____ , b =_______．3已知矩阵12532A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，向量β＝416⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求3A β．＝错误!．（1）求矩阵M 的逆矩阵M －1；（2）求矩阵M 的特征值．－1＝错误!，求矩阵A 的特征值．6．已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e＝错误!，并且矩阵M对应的变换将点－1，2变换成9，15．求矩阵M7．已知矩阵A＝错误!，向量α＝错误!1求A的特征值λ1，λ2和特征向量α1，α2；2计算A5α的值．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 复习题》2

《向量的数量积》教学设计授课人：谢身一．教学目标：知识与技能目标：1. 掌握平面向量的数量积；2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3. 掌握向量垂直的条件情感与价值目标：培养学生的自学与巩固意识，激发学生学习兴趣，让学生体验和感受知识的求解过程过程与方法目标：培养学生主动思考的学习习惯二．重点难点：教学重点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的简单应用教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的简单应用突破难点，突出重点的方法是：引导学生主动分析问题，启发学生，讲练结合，突破难点三．教法分析对本节课的教学，要使学生掌握与巩固有关向量的基础知识，并能熟练地运用向量的数量积运算在教学中，我采用“学生展示，教师适时点拨”的教学方法，把整个教学分为学生自己解决问题、教师点拨提高、学生对比总结三个个阶段．达到学生能熟练应用知识的目的，并利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学的相关内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．四．学法分析要使学生积极主动的参与到课堂的教学过程，要充分的发挥他们思维的优势。

启发引导学生将已知条件与所求问题联系起来，自觉主动地思考问题五．教学过程一．【自学质疑】1 知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则有 ①b a ⋅＝▲，其中夹角θ的取值范围是▲规定a ⋅0＝▲；向量的数量积的运算结果是一个▲（填实数或向量） ②若a ⊥b ⇔b a ⋅＝▲；③当a 与b 同向时，b a ⋅＝▲；当a 与b 反向时，b a ⋅＝▲；特别地，a a ⋅＝▲；＝▲；④θcos ＝▲；（用不等号填空）2．平面向量数量积的坐标表示：已知a ＝1，1，b ＝2，2，则b a ⋅＝▲；记a 与b 的夹角为θ= ▲θcos ＝▲ 则b ⊥a ⇔ ▲设计意图：以填空的方式以及通过学生自学质疑的过程，使学生加强对基础知识的掌握并提高对知识的理解学生活动：学生板演展示，教师适时点拨二．【基本题型回顾】1,21==a 与b 的夹角为 60，求b a ⋅2已知()()()c a b a a a c b a ⋅⋅⋅-=-==,,,1,2,2,3,2,1求3 设向量b a ,12,38=⋅==b a ,求向量a 与b 的夹角4 已知()()求，，,313-1,11+==b a 向量a 与b 的夹角设计意图：通过基础题目的设置，巩固学生的基础知识，并熟练应用与向量有关的计算，达到夯实基础以及提高计算能力的目的学生活动：学生板演展示，教师适时点拨三．【例题解析】例1已知向量a 与向量b 的夹角为θ,32==分别在下列条件下求b ⋅a（1） 135=θ；（2）b a //；（3）b a ⊥例2 已知条件与基本题型1相同，求（1（2）()b a a +⋅（3）()()b a b a 32+⋅- 变题1：已知()()b a b a ⋅=-=,)1(,3,1-,1,0求（2）求()()b a b a 23-⋅-变题2:()33,1b ,1=+-==，求向量a 与b 的夹角变题3：,,21b a c +===且a c ⊥，求向量a 与b 的夹角变题4：()1,3b ,31=+==a设计意图：通过例题向学生展示向量的数量积的的一些求模和坐标的运算，培养学生分析问题，解决问题的能力例题题组练习，变题训练的形式层层推进，加深学生知识理解。

2017_2018学年高中数学模块综合检测教学案苏教版选修4_2

因此△ABC在矩阵MN的作用下变换所取得的图形与△ABC全等，
从而其面积等于△ABC的面积，即为 ×2×1＝1.
6．(本小题总分值10分)已知矩阵A＝，B＝ .
(1)计算AB；
(2)假设矩阵B把曲线：x2－y2＝1变成曲线C′，求曲线C′的方程．
解：(1)AB＝ .
(2)任取直线l上一点P(x，y)，经矩阵B变换后为点P′(x′，y′)，
2．(本小题总分值10分)二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)别离变换成点(－1，－1)与(0，－2)．
(1)求矩阵M；
(2)设直线l在变换M作用下取得了直线m：x－y－4＝0，求l的方程．
解：(1)设M＝，
那么有＝，＝，
因此且解得
因此M＝ .
(2)因为＝＝，
且x′－y′－4＝0，因此(x＋2y)－(3x＋4y)－4＝0，
因此所求曲线的方程是x2＋y2＝1.
5．(本小题总分值10分)在直角坐标系中，已知△ABC的极点坐标为A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所取得的图形的面积．那个地址M＝，N＝ .
解：在矩阵N＝的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°取得的图形，
在矩阵M＝的作用下，一个图形变换为与之关于直线y＝x对称的图形．
整理得x＋y＋2＝0，
因此直线l的方程为x＋y＋2＝0.
3．(本小题总分值10分)已知M＝，N＝，求二阶方阵X，使MX＝N.
解：设X＝，
据题意有＝，
依照矩阵乘法法那么有
解得因此X＝ .
4.(本小题总分值10分)变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝ .

苏教版数学高二选修4-2学案 2.3 章末分层突破

章末分层突破一、矩阵的乘法运算矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点.已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，求M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.【解】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，所以a ＝1，c ＝0.由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a ＋bc ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，所以b ＝1，d ＝2. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2. 所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4. 所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2－4.二、矩阵的乘法与变换的复合问题以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点.在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O (0，0)，A (2，0)，B (1，2)，求 △OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1， N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 22.【导学号：30650030】【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122022＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×1＋0×0 1×22＋0×220×1＋（－1）×0 0×22＋（－1）×22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22. 又因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1，所以O ，A ，B 三点在矩阵MN 的作用变换下所得点分别为O ′(0，0)，A ′(2，0)，B ′(2，－1)，所以S △O ′A ′B ′＝12×2×1＝1.故△OAB 在矩阵MN 的作用变换下所得图形的面积为1.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求抛物线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程.【导学号：30650031】【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 在曲线y 2＝x 上任取一点P (x ，y )，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2y ，y ′＝x ，即⎩⎨⎧x ＝y ′，y ＝－12x ′，代入y 2＝x ，得y ′＝14x ′2，所以曲线y 2＝x 经过矩阵AB 作用下变换得到的曲线方程为y ＝14x 2.三、数形结合思想我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法，矩阵变换是数学中变换的一种方法，利用矩阵的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算，使具体的问题抽象化，把某些方法进行统一.在解决代数问题时，矩阵方法主要是对运算过程的一种简化，也是对运算本质的一种提炼.因此本章中始终贯穿数形结合的思想.已知矩形ABCD ，其中A (0，0)、B (2，0)、C (2，1)、D (0，1)，将矩形绕原点逆时针旋转90°，再将所得图形作关于y 轴的反射变换.(1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M ；(2)求点A 、B 、C 、D 在连续两次变换后所得到的结果；(3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形，并验证(2)中的结论. 【解】 (1)绕原点逆时针方向旋转90°的变换矩阵为Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，而关于y轴的变换矩阵为P＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001，则连续两次变换所对应的变换矩阵M由矩阵乘法可得.M＝PQ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110.(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.所以点A、B、C、D分别变换成点A″(0，0)、B″(0，2)、C″(1，2)、D″(1，0).如图所示.(3)从几何变换角度，先作绕原点逆时针旋转90°的变换T1，再将所得图形作关于y轴的轴反射变换T2，所得结果与(2)一致，如图所示.章末综合检测(三)1.计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－2312；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos φ－sin φsin φcos φ.【解】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×0＋2×31×（－2）＋2×123×0＋4×33×（－2）＋4×12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－112－4.(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos φ －sin φsin φ cos φ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θcos φ－sin θsin φ －cos θsin φ－sin θcos φsin θcos φ＋cos θsin φ －sin θsin φ＋cos θcos φ ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （θ＋φ）－sin （θ＋φ）sin （θ＋φ） cos （θ＋φ）. 2.已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，计算AB ，并从变换的角度解释.【导学号：30650032】【解】AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－3232 －32＋12. AB 所对应的变换为复合变换，即由旋转变换和切变变换连续变换得到的.3.已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22－2222 22，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且MN ＝A ，求二阶矩阵N . 【解】设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22（a －c ）22（b －d ）22（a ＋c ） 22（b ＋d ）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧22（a －c ）＝1，22（b －d ）＝0，22（a ＋c ）＝0，22（b ＋d ）＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝22，b ＝22，c ＝－22，d ＝22.∴N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222. 4.设E 为二阶单位矩阵，试证明对于任意二阶矩阵M ，ME ＝EM ＝M . 【证明】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，a ，b ，c ，d 均为实数，则 ME ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M ， EM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝M . 所以等式得证.5.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，试求A 2，A 3，并据此猜想A n (n ∈N *).【导学号：30650033】【解】因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α sin α－sin α cos α，所以A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos α sin α－sin α cos α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α sin α－sin α cos α＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos αcos α－sin αsin α cos αsin α＋sin αcos α－cos αsin α－sin αcos α －sin αsin α＋cos αcos α ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α， A 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos 2α sin 2α－sin 2α cos 2α⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos α sin α－sin α cos α ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 3α sin 3α－sin 3α cos 3α，所以据此猜想A n ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos n α sin n α－sin n α cos n α. 6.根据如图1所示的变换，你能将其分解为已知的一些变换吗？图1【解】 (1)先施以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 －1对应的关于原点的中心反射变换，再往以矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的伸压变换得到. (2)先施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的伸压变换，再施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的伸压变换得到.7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1. (1)计算AB ，BA ；(2)设M ＝AB ，N ＝BA ，若矩阵M ，N 分别把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l 1，l 2，求直线l 1，l 2的方程.【解】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×1＋1×0 2×（－2）＋1×1－1×1＋2×0 －1×（－2）＋2×1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 4， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×2＋（－2）×（－1） 1×1＋（－2）×2 0×2＋1×（－1） 0×1＋1×2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －3－1 2. (2)任取直线l 上一点P (x ，y )经矩阵M 变换后为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2x －3y －x ＋4y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －3yy ′＝－x ＋4y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45x ′＋35y ′y ＝15x ′＋25y ′，把上式代入x ＋y ＋2＝0得： 45x ′＋35y ′＋15x ′＋25y ′＋2＝0，即x ′＋y ′＋2＝0，∴直线l 1的方程为x ＋y ＋2＝0，同理可求l 2的方程为3x ＋7y ＋10＝0.8.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0，0)，B (1，1)，C (0，2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 【解】由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2，可知A ，B ，C 三点在矩阵MN 作用下变换所得到的点分别是A ′(0，0)，B ′(1，－1)，C ′(0，－2).计算得△A ′B ′C ′的面积为1.所以△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积为1. 9.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 20d ，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 0－2 0. (1)求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象.【导学号：30650034】【解】由题设得⎩⎪⎨⎪⎧c＋0＝22＋ad＝0bc＋0＝－22b＋d＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1b＝－1c＝2d＝2.(2)设直线y＝3x上的任意点(x，y)，在矩阵M所对应的线性变换作用下的象是点(x′，y′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x－y－x＋y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x2x得y′＝－x′，即点(x′，y′)必在直线y＝－x上.由(x，y)的任意性可知，直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为y＝－x.10.假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格，每个男性与女性分别对这两种水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量，并用矩阵表示如下：利用A，B，C，按下列要求求出矩阵乘积：(1)计算乘积BA，并说明该乘积矩阵表示的是什么量表；(2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量？并计算出这个量表.【解】(1)BA＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232⎣⎢⎡⎦⎥⎤1.5 1.22.83.0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7.17.210.19.6.打印版高中数学由于7.1＝1×1.5＋2×2.8，表示男性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费7.1元；10.1＝3×1.5＋2×2.8，表示女性每日在A 店买苹果和香蕉共需消费10.1元.故BA 表示男、女在A ，B 两店每日需消费的金额，用量表表示如下：(2)C与B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量：CB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 5080 120⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤350 500440 400，故量表为。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.2.1 恒等变换》

课题：反射变换讲授人：顾修炼学习目标：1、理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。

2、掌握反射变换的几何意义及其矩阵表示。

3、从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线（或点）。

学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题：求圆C ：()()22222x y -+-=在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦作用下变换所得的几何图形。

反思：两个几何图形有何特点？归纳：利用求轨迹思想，设所求图形上任一点（,），通过矩阵变换到圆C 上去。

问1：若将一个平面图形F 在矩阵M 1的作用变换下得到关于轴对称的几何图形F ＇，则如何来求出这个矩阵M 1呢？问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？归纳：通过点间关系，确定矩阵。

练习1、求出曲线2y x =在矩阵M=1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下变换所得的图形。

2、求出曲线()lg 0y x x =在矩阵M=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到的曲线。

（二）知识介绍1反射变换2反射变换矩阵 3基本概念（轴反射、反射轴、反射点）实质：对称（三）例题求直线:270x y +-=在矩阵M=3011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦作用下变换得到的曲线。

思考1：若矩阵M=3011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦改为矩阵A=3111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，则变换得到的曲线是什么？思考2：我们从中能猜想什么结论？归纳：利用以点盖线思想，将抽象的线的问题转化到具体的点来研究。

3、变式训练：设a,b∈R，若M=1ab⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所定义的线性变换把直线：270x y+-=变换成另一直线＇：70x y+-=，求a，b的值。

（四）课堂小结1知识：反射变换，反射变换矩阵，反射点，反射轴；2思维：以点盖线思想；3实质：反射变换实质是对称变换；（五）作业教材P34 6、9。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-2 2.2.5 投影变换》

二阶矩阵与平面列向量的乘法教学目标：1会用矩阵表示一些实际问题，了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示2掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则，理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射知识要点：1矩阵的有关概念在数学中，我们把形如错误!，错误!，错误!这样的数字或字母称做矩阵，一般地，我们用或者a i来表示矩阵，其中i，分别表示元素a i所在的行与列；2矩阵的相等对于两个矩阵A，B，只有当A，B的与分别，并且的元素也分别时，A和B才相等，此时记作A＝B与列矩阵错误!的乘法规则错误!错误!＝错误!与列向量错误!的乘法规则错误!错误!＝错误!5平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点向量，，按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点向量′，′，则称T 为一个变换，简记为：T：，→′，′或T：错误!→错误!6由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：错误!→错误!＝错误!，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T：错误!→错误!＝错误!错误!的矩阵形式，反之亦然a，b，c，d∈R由矩阵M确定的变换T，通常记作T M根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射当α＝错误!表示某个平面图形F上的任意一点时，这些点就组成了图形F，它在T M的作用下，将得到一个新的图形F′——原象集F的象集F′典例分析：类型一用矩阵表示图形例1 用矩阵表示如图2-1-1中的直角△ABC，其中A－4，0，B0，2，C1，0若像例1中那样用矩阵M＝错误!表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？【解】矩阵M＝错误!表示由点0，0，1，2，3，2，2，0四个点构成的一个平行四边形类型二矩阵相等例2 已知A=342x-⎡⎤⎣⎦, B=12yz-⎡⎤⎣⎦，若A=B,试求,,类型三二阶矩阵与平面列向量的乘法运算例3 1错误!错误!；2错误!错误!；3错误!错误!；4错误!错误!本例中123运算结果所表示的几何意义是什么？【解】1在矩阵错误!作用下，列向量错误!变成错误!，此时点P5，7变成了关于轴对称的点P′5，－7 2在矩阵错误!作用下，列向量错误!保持不变3在矩阵错误!作用下，列向量错误!变成了向量错误!类型四矩阵的变换例4 1已知变换错误!→错误!＝错误!错误!，试将它写成坐标变换的形式；2已知变换错误!→错误!＝错误!，试将它写成矩阵的乘法形式分析：1将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可2将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵错误!，使错误!＝错误!错误!已知变换错误!→错误!＝错误!，试将它写成矩阵的乘法形式类型五在二阶矩阵对应的变换作用下点的坐标的确定与应用例5已知变换T：平面上的点P2，－1，Q－1，2分别变换成P15，－6，Q12，0，求变换矩阵A巩固练习：课本P10-11 课堂小结：1矩阵概念；2乘法法则；3平面变换。