(滕州市北辛中学陈一强)1.1探索勾股定理(1)
北师大版初二数学上册§1.1探索勾股定理(1)
漳州市第五中学教案高雅云教学过程:一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
教材P3:看书中图1 一2,并回答：1•图1 一2,正方形A中有—个小方格，即A的面积为—个面积单位。
正方形B中有 ___________________ 个小方格•即B的面积为___________ 个面积单位。
正方形C中有________ 个小方格，即C的面积为___________ 个面积单位。
2•你是怎样得出上面结果的？3•图I 一2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？( A + B = C)4.图1 一3中A B C的关系呢？从图1 一2、1 一3中你发现了什么？总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
二、议一议：1. 图1 一2、1 一3中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2. 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
这就是著名的“勾股定理”。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a b，2 2 2 斜边为c。
那么a b二c我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来.3 •分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边为13）请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立。
）三、巩固练习、精选练习，掌握应用：勾股定理的应用是本节教学的重点，一定要让学生熟练地掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法，为此，可设计下列具有梯度性的练习：1 •练习1（填空题）已知在Rt△ ABC中，/ C=90。
《探索勾股定理》八年级(上)
1.1探索勾股定理（一）教学设计李兴林铁厂中学八年级 2013年11月11日一、教材分析本节课所学内容是北师大版八年级数学上册第一章第1节《探索勾股定理》第一课时。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。
本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。
此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
二、教学目标1、知识与技能目标：掌握勾股定理，并学会用符号表示；会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用；进一步发展学生的动手操作能力和简单的推理能力。
2、过程与方法目标：让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的探索过程，领悟“数形结合”的思想方法，体验“从特殊到一般”的逻辑推理过程。
3、情感态度与价值观目标：在勾股定理的探索过程中中穿插勾股定理的数学史和数学故事，激发学生学数学、爱数学、做数学的情感；感受数学之美，探究之趣。
三、教学重点、难点1、重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
2、难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。
四、教学方法以“学生主体，教师为主导”的自主探究、小组合作学习。
五、教学准备多媒体课件、三角板、导学案。
六、教学过程本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业。
（一）创设情境，引入新课：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。
那勾股定理到底是一个什么样的定理呢？今天我们就来一同探索勾股定理。
（板书课题） （二）探索发现：1、等腰直角三角形观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A 、正方形B 和已计算的正方形C 的面积填入下表，它们的面积有什么关系？发现：正方形A 面积 + 正方形B 面积 = 正方形C 面积 问题：你是怎样得到的呢？（数格子） 2、一般直角三角形观察图6，对于一般直角三角形，正方形A 、正方形B 、正方形C 面积又有什么关系呢？发现：正方形A 面积 + 正方形B 面积 = 正方形C 面积 问题：你是怎样得到的呢？（分割法）3、正方形面积与直角三角形三边的关系（分组讨论，交流并发言）若我们设两条直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？结论：由于 正方形A 面积 + 正方形B 面积 = 正方形C 面积，所以222c b a =+．即：两条直角边的平方和等于斜边的平方。
滕州北辛中学2.3公式法教案
滕州市优秀教案评选 九年级数学教案课题：第二章 第三节 公式法 课型：新授课授课人: 滕州市北辛中学 陈一强授课时间：2012年9月28日，星期五，第一节课 教学目标：1. 掌握一元二次方程求根公式的推导（难点）并会用求根公式解一元二次方程（重点）． 2．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．3．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．教法与学法指导：这节课主要采用“自主探究--合作竞学”型教学模式.引导学生利用配方法自主探究出解一元二次方程的公式法，让学生经历知识形成的过程动并主动进行知识建构，同时培养了学生合作探究、分析问题及解决问题的能力. 教学中出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，营造小组竞学的氛围. 提升强化技能，注重课堂反馈.课前准备：制作课件，学生完成课前预习 (课本53页). 教学过程： 一、 感悟导入[师]我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．(课件展示)1．用配方法解方程2x 2-7x +3＝0． [生]解：2x 2-7x +3＝0，两边都除以2，得x 2-27x +23＝0．移项，得；x 2-27x =-23．配方，得x 2-27x +(-47)2＝-23+(-47)2．两边分别开平方，得x-47＝±45即x -47=45或x -47=-45．∴x 1=3，x 2=21．[设计意图]:为了检测学生用配方法解一元二次方程的掌握情况,针对出现的问题及时弥补,为本节课的学习作好铺垫.]二、自主探究[师]同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．(课件展示)试一试，肯定行： 1．用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2+ax ＝1；(2)x 2+2bx +4ac ＝0． [生](1)解x 2+ax ＝1，配方得x 2+ax +(2a )2＝1+(2a)2，(x+2a )2=442a +．两边都开平方，得x +2a ＝±242a +，即x +2a ＝242a +，x +2a =-242a +.∴x 1=242a a ++-， x 2＝242a a +--[生](2)解x 2-2bx +4ac ＝0， 移项，得x 2+2bx ＝-4ac ．配方，得x 2-2bx +b 2＝-4ac +b 2， (x +b )2=b 2-4ac ． 两边同时开平方，得x +b ＝±ac b 42-，即 x +b ＝ac b 42-，x +b ＝-ac b 42- ∴x 1=-b +ac b 42-，x 2＝-b -ac b 42-[生]老师，我觉得做错了，他通过配方得到(x +b )2＝b 2-4ac ．根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b 2-4ac ≥0时，才可以用开平方法解出x 来．所以，在这里应该加一个条件：b 2-4ac ≥0．[师]噢，同学们来想一想，讨论讨论，说得有道理吗?[生齐声]同学说得正确．因为负数没有平方根，所以，解方程x 2+2bx +4ac ＝0时，必须有条件：b 2-4ac ≥0，才有求出的解．否则，这个方程就没有实数解． [师]同学们理解得很正确，那解方程x 2+ax ＝1时用不用加条件呢? [生齐声]不用． [师]那为什么呢?[生齐声]因为把方程x 2+ax ＝1配方变形为(x +2a )2=442a + ，右边442a +就是一个正数，所以就不必加条件了．[师]好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．[设计意图]:学生自主获得把新知识转化为旧知识的这种解决问题的过程，提高了解决问题的能力，为公式法的推导做好铺垫．三、合作竞学[师]刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)呢?大家可参照解方程2x 2-7x +3＝0的步骤进行．[生]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a ，得02=++acx a b x [生]因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，需要说明a ≠0．[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两边都除以a 时，必须说明a ≠0． 好，接下来该如何呢?[生]移项，得acx a b x -=+2配方，得22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x , 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. [师]这时，可以直接开平方求解吗?[生]不，还需要讨论．因为a ≠0，所以4a 2>0．当b 2-4ac ≥0时，就可以开平方．[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求04422≥-a acb ．因为4a 2>0恒成立，所以只需b 2-4ac 是非负数即可． 因此，方程222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的两边同时开方，得22442a acb a b x -±=+.大家来想一想，讨论讨论：a acb a ac b 2444222-±=-±吗? ……[师]当b 2-4ac ≥0时，a acb aac b a b x 24442222-±=-±=+ 因为式子前面有双重符号“±”，所以无论a >0还是a <0，都不影响最终的结果：aacb 242-±所以22442a acb a b x -±=+,a acb b aac b a b x 24442222-±-=-±-= 好，我们来看推导过程．(课件展示)这样，我们就得到一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的求根公式：aac b b x 242-±-= (b 2-4ac ≥0)， 即(课件展示)一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)，当b 2-4ac ≥0时，它的根是aacb b x 242-±-= [师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solving by formular )由此我们可以看到：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b 2-4ac ≥0的前提条件下，把各项系数a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根．注：(1)在运用求根公式求解时，应先计算b 2-4ac 的值；当b 2-4ac ≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了． (2)把方程化为一般形式后，在确定a 、b 、c 时，需注意符号．[设计意图]: 让学生经历知识形成的过程动并主动进行知识建构，发挥学生主体作用，培养学生分析问题、解决问题的能力．−−−−→−a两边都除以−−→−配方−−→−≥-如果42ac b四、巩固训练[例题]解方程x 2-7x -18＝0．分析：要求方程x 2-7x -18＝0的解，需先确定a 、b 、c 的值．注意a 、b 、c 带有符号． 解：这里a ＝1，b ＝-7，c ＝-18． ∵b 2-4ac =(-7)2-4×1×(-18)＝121＞0， ∴x =2117121217±=⨯±, 即x 1＝9，x 2＝-2．[设计意图]:加深对所学知识的理解，通过例题及练习引导学生归纳出公式法解一元二次方程的步骤．五、课堂小结[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤． [师生共析]其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a 、b ，c 的值．(注意符号) (2)求出b 2-4ac 的值．(先判别方程是否有根)(3)在b 2-4ac ≥0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式，求出aac b b 242-±-的值，最后写出方程的根．[师]接下来我们来巩固用公式法求解一元二次方程的方法． [设计意图]:培养学生语言表达归纳的能力，形成完整的知识体系．六、测试评价1．用公式法解下列方程：(1)2x 2-9x +8＝0；(2)9x 2+6x +1＝0．2．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长． [设计意图]:运用所归纳的知识解决问题，提高学生的解决问题的能力．七、 板书设计一、解：2x 2-7x +3＝0， 二、求根公式的推导 三、解方程x 2-7x -18＝0八、教学反思在教学过程中,我多给学生展示的机会，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智，激发学生的学习兴趣，并通过分析，引导，练习，使得学生掌握用求根公式解一元二次方程的方法.但由于学生第一次接触求根公式,可以说非常陌生,所以容易出现以下错误1. a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号，2. 求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多.其实在做题过程中检验一下判别式这一步单独提出来做并不麻烦,直接用公式求值也要进行,提前做这一步在到求根公式时可以把数值直接代入.在今后的教学中注意详略得当,不该省的地方一定不能省,力求达到更好的教学效果.。
(滕州市滕南中学郭效萍八年级)探索勾股定理(1)
八年级第一章第一节探索勾股定理(1) 教学过程比较真实，能看出学生、老师的互动作用课型：新授课主备人：滕州市滕南中学郭效萍授课时间：2012年9月3日星期一第一节课教学目标：（1）探索直角三角形的三边关系，进一步发展学生的说理合简单推理的意识合能力.（重点）（2）经历用测量和数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步提高学生的合情推理意识，培养主动探究的思想.（难点）（3）培养数形结合的思想，体会数学与现实的紧密联系，感受其价值.教法及学法指导：本节应用“自主学习——合作探究”的教学模式，引导学生对设计的问题进行仔细观察、主动思考、小组讨论、主动探索，最后小组得出结论，并且学会解决问题的办法.“探索勾股定理”是本节的重点知识，因此处理时采用测量和数格子、转化的方法，强化探索的过程，显得尤为重要，同时也培养了学生的动手操作能力、合作探究能力、分析问题能力及解决问题的能力.课前准备：制作课件，学生课前预习工作.教学过程一、情景导入引入新课：出示引例：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处. 大树在折断之前高多少米？让学生思考,如何把实际问题转换成数学问题？引导学生画出数学图形，再发问：要求树的高，只要求出什么就可以了?（由此引出课题）师：对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.二、自主学习合作探究：探究活动1——用测量的方法探索勾股定理动手画画、动手算算、动脑想想在纸上任意作出两个直角三角形，分别测量它们的三边长，且动笔算一下，三条边长的平方有什么样的关系，你能猜想一下吗？四人一组进行合作交流、讨论.老师组织学生分组合作，适当地加以指导.师提问各组的学生代表说出各组的探索结论：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.探究活动二————用数格子的方法探索勾股定理1.组织学生观察第三页图1一2，并完成下列填空正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位.正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位.正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位.师：你是怎样得出上面结果的？组织学生分两组交流见解.生：正方形A、B可以用数格子的方法，但正方形C不占整数格，所以我们没有填出来. 师：哪一组解决出来正方形C的面积？生：我们采用拼合法得到结论.师：这组的同学善于动脑，采用了“转化”的方法把复杂的问题转化为简单的问题，这种方法是我们数学最重要的方法.2.图 l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书: S A+S B=S C3.图1一3中的两个直角三角形中，是否仍满足这样的关系？若能，试说明你是如何求出正方形的面积的？组织学生分两组分别对前后两个图形探索结论.师：哪一组探索出了结论?请举手回答.生：结论仍成立.正方形A、B可以用数格子的方法得到，正方形C采用“转化”的方法（割、补）得到.4. 从图 1一2 、1一3 中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
2020-2021学年度山东省滕州市张汪二中第一学期课堂达标八年级数学第一章：1.1探索勾股定理(无答案)
2020-2021学年度山东省滕州市张汪二中第一学期课堂达标八年级数学第一章：1.1探索勾股定理一、单选题1．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，4，5 D．5，12，132．一直角三角形两直角边长分别为和，则斜边长为（）A．B．C．D．3．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为（）A．3 B．6 C．8 D．54．如图所示，是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6㎝，BC＝8㎝，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则AD的长为（）A．4㎝B．5㎝C．6㎝D．㎝5．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )A．6cm2B．8 cm2C．10 cm2D．12 cm26．如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A．48 B．60C．76 D．807．如图：图形A的面积是( )A．225 B．144 C．81 D．无法确定8．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了( )A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm9．现在人们锻炼身体的意识日渐増强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC’于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB＝40米，BC＝30米，他们踩坏了___米的草坪，只为少走___米路（）A．20、50 B．50、20 C．20、30 D．30、2010．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．51 B．49 C．76 D．无法确定11．如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为（）A．1 B．C．D．12．如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则等于( )A．B．C．D．二、填空题13．若直角三角形的三边分别为，8，10，则__________.14．如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出，，公里，公里，若每天凿通隧道0.3公里，问_________天才能把隧道AC凿通．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______16．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_____.17．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为_____．18．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为______．19．如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，且与点重合，为折痕，则______．20．如图，在等腰中，，，以为直角边作等腰△，以为直角边作等腰△，则的长度为__．三、解答题21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC+AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．22．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．（1）当∠B＝28°时，求∠CAE的度数；（2）当AC＝6，AB＝10时，求线段DE的长．。
1.1.1探索 勾股定理
大隗一初中导学案总第课时年级八年级学科数学课题探索勾股定理（１）主备人侯岭春审核人八年级备课组课型新授时间一、学习目标1.能用数格子与割、补等办法探索勾股定理,会用符号表示直角三角形三边之间的数量关系.2.会熟练运用勾股定理进行简单的计算.二、重、难点1.用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
2.计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。
三、学前导入相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。
在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。
原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。
主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。
原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。
你知道他发现的三个正方形之间存在着怎样的关系吗？本节课我们共同来探究这个问题.四、学习任务（二）自主探索，合作交流探究活动一：议一议在如图的正方形网格中，你还能数出图中正方形A、B、C各占多少个小格子吗? 完成表格,探究规律. 图2图1正方形A 的面积 （单位面积）正方形B 的面积 （单位面积）正方形C 的面积 （单位面积）观察、探究图1 观察、探究图2正方形A 、B 、C 面积关系直角三角形 三边数量关系 得出结论：直角边长为整数的直角三角形的三边也满足a 2＋b 2＝c 2的数量关系探究活动二：看一看利用几何画板在网格纸上画出直角边长分别为整数个单位长度和非整数个单位长度的直角三角形，测量出斜边的长度，前面所得到的直角三角形三边之间的数量关系仍然成立吗？归纳结论归纳总结上面得到的直角三角形三边之间的数量关系，并学会用数学符号表示这种关系实践应用,应用定理1、在△ABC 中，∠C=90°。
若a=6，b=8，则c= 。
2、在△ABC 中，∠C=90°。
第一章 探索勾股定理
第一章探索勾股定理（二）课型：新授课授课人：滕州市某某中学某某授课时间：2013年9月3日，星期二，第1节教学目标：1．掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2．在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想3．在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.教学重点用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点验证勾股定理.教法与学法：引导——探究——应用.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.教学过程：一．复习设疑，激趣引入师：勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）生:.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
师：上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.设计意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.二．小组活动，拼图验证.活动1： 教师导入，小组拼图.师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.师：下面我们请小组代表展示出本小组的活动成果(投影展示) 生1：我们通过小组讨论得到这样的图形：(展示图1)图1图2生2：我们小组的拼图与图1不同（展示图2）师：如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；生1：由正方形的面积公式得：(a+b)2生2：也可以用四个全等的三角形面积加上中间的小正方形面积：4×21ab+c 2师：这两种表示大正方形面积的式子都正确，所以可以用等号把它们连接起来。
1.1探索勾股定理(第1课时)教学设计 (3)
第一章勾股定理1. 探索勾股定理（第1课时）洪庄杨乡中张献超一、学生起点分析八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．为此本节课的教学目标是：1．用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．2．让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．3．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．4．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习．三、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标： 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育. 效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：结论 1 意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.2．探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）学生的方法可能有：方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，13132214=+⨯⨯⨯=C S ． 方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ．方法三：如图3，正方形C 中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ．（4）分析填表的数据，你发现了什么？学生通过分析数据，归纳出：结论 2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2.3．议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三弦股勾角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力.第三环节：勾股定理的简单应用内容：例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程）练习：1．基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2．生活中的应用：小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容. 第四环节：课堂小结内容：教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；（2）“割、补、拼、接”法.3．思想：（1） 特殊—一般—特殊；（2） 数形结合思想．意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：布置作业：1．教科书习题1.1.2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+？意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．五、教学设计反思（一）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．。
2024-2025学年度北师版八上数学1.1探索勾股定理(第一课时)【课外培优课件】
2
由（1）知， AE ＝ AD － DE ＝8－3＝5.
因为 AG ＝4， GE ＝ DE ＝3，
·
4×3
12
所以 GM ＝
＝
＝ .
5
5
1
1
12
18
所以 S△ GED ＝ DE ·GM ＝ ×3× ＝ .
2
2
5
5
答图
数学 八年级上册 BS版
பைடு நூலகம்
12. 如图，在△ ABF 中，已知点 E 是边 AF 的中点，点 C 在边 BF
11. 如图，把一张长为8，宽为4的长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠
起来，使其对角顶点 C 与点 A 重合，点 D 落在点 G 处.
（1）求 DE 的长；
（2）连接 DG ，求△ GED （阴影部分）的面积.
数学 八年级上册 BS版
解：（1）由题意和折叠的性质，得 DE ＝ GE ， AG ＝ CD ＝4，
所以（3 x ）2＋（4 x ）2＝152.
解得 x ＝3（负值舍去）.
所以 b ＝4 x ＝4×3＝12.
数学 八年级上册 BS版
（2）在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得
c2＝ a2＋ b2＝36＋64＝100.
所以 c ＝10（负值舍去）.
1
1
因为 S△ ABC ＝ AC ·BC ＝ AB ·CD ，
D. 12
（第3题图）
数学 八年级上册 BS版
4. 在Rt△ ABC 中，已知斜边 AB 的长为2，则 AB2＋ AC2＋ BC2的
值为 8 .
5. 如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°， AC ＝2， BC ＝4.以
1.1探索勾股定理(第1课时)
2
（3）你能发现两图中三个
3 正方形1，2，3的面积之间
图1-1 1
有什么关系吗？
2
图1-2
S1+S2=S3
（图中每个小方格代表一个单位面积）
1.阅读课本 回答问题
3 2
1
图2-3
山东星火国际传媒集团
S1= 9 = 32 S2= 16 = 42 S3=25 = 52
S1+S2=S3 32+42= 52
山东星火国际传媒集团
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
山东星火国际传媒集团
学习目标
1.知识目标 (1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法. (2)已知直角三角形两边的长，会利用勾股定理求第三边. 2.教学重点
勾股定理的探索与应用. 3.教学难点
勾股定理实际生活中的应用.
1.阅读课本 回答问题
理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
C
B
=0.49，
所以BC=0.7.
求CD的长.
A
解：∵ ∠ACB=90°，AC=3，
D
BC=4，
3
∴ AB=AC+BC=25，
即AB=5.
C
4
B
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
山东星火国际传媒集团
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.
想 想 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和 一 46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是
AB 169 13 .
Ca
B
答：斜边AB的长度为13厘米
1.1探索勾股定理(1) 枣庄六中--秦晓菲
课题： 1.1 探索勾股定理(1)主备人：枣庄六中秦晓菲课型：新授课教学目标：1．引导学生经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2．引导学生探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力．教学重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题．教学难点：勾股定理的发现．教法学法指导：本课运用“探究式”的教学方法，勾股定理是本节课的重点，如何引出勾股定理和勾股定理的应用时难点.所以我打算通过学生的的预习，直接引导学生重点研究直角三角形三边的平方之间有什么关系，让学生明确方向，避免走弯路，产生混淆.在勾股定理的应用方面，我准备先引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等，鼓励学生积极思考并实现合作学习．课前准备：多媒体课件、三角板．教学过程：一、创设情境，自然引入师：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500多年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理．师：（板书课题）1.1探索勾股定理（1）（设计意图：问题的设计有一定的挑战性，目的是激发学生的探究欲望，老师要注意引导学生将实际问题转化为数学问题。
学生会感到一些困难，从而老师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决了。
这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了“数学来源于生活”，学习数学是为更好“服务于生活”．）二、设问质疑，合作探究探究一师：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？等腰直角三角形都有上述性质吗？观察下图，并回答问题：（1）观察图1．（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有______个小方格，即A的面积是______个单位面积；正方形B中含有______个小方格，即B的面积是______个单位面积；正方形C中含有______个小方格，即C的面积是______个单位面积．（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？生：我们从上面的图中更进一步验证了等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方．学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C．师：原来著名的哲学家毕达哥拉斯，他在朋友家地板砖的启发下，也发现了这个结论．并且还做了更为深入的研究，你知道是什么吗？生：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢？师：的确如此，想知道结果吗？我们不妨寻着大哲学家的足迹，也做更深入的探究．（设计意图：通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．）探究二师：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论．生1：从图中不难观察出A、B两个正方形分别含有4个小方格和9个小方格；A′、B′两个正方形分别含有9个小方格和25个小方格．生2：正方形C的面积可看作虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即5×5-4×12×2×3=13．所以正方形A的面积＋正方形B的面积等于正方形C的面积，即4+9=13．生3：用同样的方法计算C′的面积可得8×8-4×12×3×5=64-30=34．所以正方形A′的面积＋正方形B′的面积＝正方形C′的面积．师：三个正方形之间的面积关系能用直角三角形的三边关系表示吗？在同学的交流回答的基础上，师板书：勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．（设计意图：意在让学生在上面面积结论的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.并能用自己的语言叙述出来.使学生感受方法的技巧获得掌握知识的快感，这对于学生良好思维品质的形成有重要作用．）数学小史：（投影出示）师：当时大哲学家也发现并进一步深入探究的也正是这个结论，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理．我们也应该向大哲学家学习，认真体验生活，努力发现生活中存在的各种奥秘．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案如右图证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．（设计意图：此处主要是让学生对数学的一些历史有所了解，并让他们知道，我国在数学的发展史上占有非常重要的作用，培养学生的爱国热情，激励他们更加努力的学习，争取长大后也能为国争光）三、思维训练，应用新知例1：（投影出示）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m处折断倒下，树顶落在离树根12m处. 大树在折断之前高多少？?225100解：设树倒下部分的面积为x m∵树倒下后与地面正好构成一个直角三角形 ∴222912x=+225811442=+=x ∴15=x （m ）∴大树在折断前的高度为：24915=+(m )例2：（投影出示）小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法 吗？你能解释这是为什么吗？解：我们通常所说的29英寸和74厘米的电视机，是指其荧屏的对角线的长度，而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差．（设计意图：例题学习其目的是巩固新知，通过老师的扳演，强调格式步骤．通过引例的探究，让学生知道勾股定理在现实生活中的应用非常多，同时也让学生明白如何利用勾股定理来解题，尤其是解题过程如何书写.）基础题型练习：1．求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）2．（13安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从 一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米3．如图，在△ABC 中，cm AC AB 10==，AC BD ⊥于点D 且cm CD 2=，则BC 的长是 （ ）A ．cm 6B ．cm 5 C．cm D ． 8cm4．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是 cm 2．(设计意图：通过练习，进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用，也让学生知道了如何运用所学知识服务于解题中来. 在这里通过具体的实际问题，使学生学数学、用数学的意识得到强化.使学生创造性的将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼. ）四、交流心得，学习反思1．你这节课的主要收获是什么？2．在探索和验证定理的过程中，我们运用了哪些方法？（设计意图：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节知识的理解．让学生在总结 的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识，再通过排忧 解难让学生对知识形成正向迁移 .从而构建出合理的知识体系，养成良好的学习习惯. ）五、达标检测，反馈矫正1. （2012•广西）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③5，12，13．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有 ．（填序号） 2．如图，△ABC 是等边三角形，cm AB 4 ，则BC 边上的高AD 等于 ． 3.（2011•金华）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为 A ．600mB ．500mC ．400mD ．300m4．（2013•黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长的平方为（ ）A ．25B ．7C ．5D ．25或75．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．（设计意图：本节课主要任务是探索勾股定理，所以检测设计三个较为简单的题目，可以提升学生学习信心，培养学生的学习兴趣．及时反馈，了解学生对本节课知识的掌握情况，让学生在独立自主解答问题的过程中，进一步巩固所学的知识，夯实基础，同时培养学生发现问题，解决问题的能力.教师要及时巡视，根据学生的完成情况有针对性的进行讲解.）六、布置作业，落实目标A组：P7 1、2、3B组：印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．注:花离原位二尺远指两花之间的距离.（设计意图：Ａ组题目为必做题，一方面可以了解学生对本节课所学内容的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力. Ｂ组问题为学有余力的同学设计，努力使每个学生在课堂上都有所发展，也充分利用课堂时间提高了优秀生解决问题的能力，如课上不能完成，可作为课后作业 ,分层次布置作业，使不同层次的学生得到不同的发展．）七、板书设计教学反思：勾股定理在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
探索勾股定理(一)
2013-2014学年度第一学期七年级数学导学案 编号 编制：张健萌 审核：牛梦伊 备课组长:张健萌 班级： 小组： 姓名：会宁县老君中学 第1页，共4页会宁县老君中学 第2页，共4页1.1、探索勾股定理（一）学习目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探 究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
学习重点了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
学习难点以直角三角形为边的正方形面积的计算 学习过程一、预习自学我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。
探索：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和与以斜边为边的正方形面积有什么关系呢？（用方格纸来研究） 看课本（书中 P2 图1一2）并回答：1、观察图1一2，正方形A 中有 个小方格，即A 的面积为个 面积单位。
正方形 B 中有 个小方格．即B 的面积为 个面积单位。
正方形 C 中有 个小方格，即C 的面积为个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？3、图 l 一2 中，A 、B 、C 之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。
A + B ＝C ，接着提出图1一1中A 、B 、C 的关系呢？4做一做看课本（书中P2 图1一2，)提问：（1）、图1一 2中，A 、B 、C 之间有什么关系？ （ 2）、图1 一 3中，A 、 B 、C 之间有什么关系？（3）、 从图 1一2 、1一3 、中你发现了什么？ 在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
1.1.1探索勾股定理第一课时,要焱焱
课时课题：第一章第二节探索勾股定理（第一课时）课型：新授课授课人：西王庄中学要焱焱教学目标：1、经历探索直角三角形三边间的数量关系，培养学生的说理和简单推理的意识和能力.2、通过探索过程，使学生理解并掌握勾股定理，并能利用勾股定理解决一些实际问题. 教法与学法指导：如何发展学生的推理能力是初中阶段数学老师需要重点关注的地方之一，所以我打算采用“引导—探究—发现”法来进行教学.在如何得到新知识这一问题，是学生能否很好的掌握并理解新知识的关键，我认为，现阶段最适合学生的方法就是“自主探究与合作交流相结合”这一方法。
勾股定理是本节课的重点，如何引出勾股定理和勾股定理的应用时难点.所以我打算通过学生的的预习，直接引导学生重点研究直角三角形三边的平方之间有什么关系，让学生明确方向，避免走弯路，产生混淆.在勾股定理的应用方面，我准备先引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等. 课前准备：带网格的小黑板、直尺、三角板.学生进行课前预习并准备一些网格纸. 教学过程：一、创设情境，引入新课同学们知道，我们学校的洗手池与篮球场之间被草坪隔开了，体育课后，个别打完篮球的同学为了少走一些路就直接从草坪中间穿到水池洗手.这个行为肯定是不对的，为了弄清楚他们到底会少走多少路，我让同学们进行了测量.不知道结果如何？学生纷纷回答.下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答.(1)、根据测量，那么他们将要少走多少米？（2）、分别以这三条边为边作三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？（3）、根据课前预习，试计算在直角三角形C BAABC中，三条边之间有什么样的数量关系？【意图：紧扣课题，自然引入，同时教育学生平时就要养成好的行为习惯.效果：从课堂上来看还不错，学生能根据题目自然的想到三边平方间的关系.建议：以后再用的老师最好能把图形画的完整一些，这样更能引起学生积极性.】那么请同学们猜想，刚才得到的数量关系，在所有的直角三角形都是适用的吗？今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）二、探究新课过程：1、探索发现勾股定理⑴做一做：①拿出准备的网格纸，画出一些格点三角形，分别测量它们的三条边，结合引例看看三边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流.②上面猜想的关系是否适用于全部的直角三角形？【意图：有个别到一般，通过一个联想到全体，进而得到需要的新知识，可以锻炼学生，由特殊到一般的思想，也可以提高学生的猜想归纳能力.效果：从课堂上来看大多数学生都能根据自己的理解得到正确的结论.建议：下次再用时，要求学生画直角三角形时，最好尽可能的沿着网格线画，这样方便测量.困扰：此处的问题问的好像不太合适，到底该如何问才能发挥出更好的引导作用？与课本上一样？】⑵探究与发现：①观察下面两幅图：_A_B _C_C_B _A②填表：③分析填表的数据，你发现了什么？【本题的困难之处在于学生如何计算两个图形中正方形C的面积.在这里教师简单介绍两种常见的方法，一是小的加小的，二是大的减小的.利用投影或带网格的小黑板画出图形，学生很容易的就能弄明白到底该如何计算，这类题在以后会经常出现，所以最好能讲解清楚.免得以后麻烦】学生通过分析数据，归纳出：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．【意图：此题意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论.建议：在教学中教师最好能把本节课需要用到的辅助工具比如：刚才求正方形C的面积需要的投影或小黑板上事先要画好图形。
1.1.1探索勾股定理第一课时,要焱焱
课时课题：第 一 章 第 二 节 探索勾股定理（第 一 课时） 课型：新授课 授课人：西王庄中学 要焱焱 授课时间：2012 年9 月3 号，星期一 ，第2,3 节课 教学目标：1、经历探索直角三角形三边间的数量关系，培养学生的说理和简单推理的意识和能力.2、通过探索过程，使学生理解并掌握勾股定理，并能利用勾股定理解决一些实际问题.教法与学法指导：如何发展学生的推理能力是初中阶段数学老师需要重点关注的地方之一，所以我打算采用“引导—探究—发现”法来进行教学.在如何得到新知识这一问题，是学生能否很好的掌握并理解新知识的关键，我认为，现阶段最适合学生的方法就是“自主探究与合作交流相结合”这一方法。
勾股定理是本节课的重点，如何引出勾股定理和勾股定理的应用时难点.所以我打算通过学生的的预习，直接引导学生重点研究直角三角形三边的平方之间有什么关系，让学生明确方向，避免走弯路，产生混淆.在勾股定理的应用方面，我准备先引导学生进行自主探究，若仍有疑问可以相互间交流得到需要的结果，这样可以锻炼学生的探究能力、交流能力等.课前准备：带网格的小黑板、直尺、三角板.学生进行课前预习并准备一些网格纸. 教学过程：一、 创设情境，引入新课同学们知道，我们学校的洗手池与篮球场之间被草坪隔开了，体育课后，个别打完篮球的同学为了少走一些路就直接从草坪中间穿到水池洗手.这个行为肯定是不对的，为了弄清楚他们到底会少走多少路，我让同学们进行了测量.不知道结果如何？学生纷纷回答.下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答.(1)、根据测量， 那么他们将要少走多少米？（2）、分别以这三条边为边作三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？CBA（3）、根据课前预习，试计算在直角三角形ABC中，三条边之间有什么样的数量关系？【意图：紧扣课题，自然引入，同时教育学生平时就要养成好的行为习惯.效果：从课堂上来看还不错，学生能根据题目自然的想到三边平方间的关系.建议：以后再用的老师最好能把图形画的完整一些，这样更能引起学生积极性.】那么请同学们猜想，刚才得到的数量关系，在所有的直角三角形都是适用的吗？今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）二、探究新课过程：1、探索发现勾股定理⑴做一做：①拿出准备的网格纸，画出一些格点三角形，分别测量它们的三条边，结合引例看看三边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流.②上面猜想的关系是否适用于全部的直角三角形？【意图：有个别到一般，通过一个联想到全体，进而得到需要的新知识，可以锻炼学生，由特殊到一般的思想，也可以提高学生的猜想归纳能力.效果：从课堂上来看大多数学生都能根据自己的理解得到正确的结论.建议：下次再用时，要求学生画直角三角形时，最好尽可能的沿着网格线画，这样方便测量.困扰：此处的问题问的好像不太合适，到底该如何问才能发挥出更好的引导作用？与课本上一样？】⑵探究与发现：①观察下面两幅图：_A_B _C_C_B _A②填表：③分析填表的数据，你发现了什么？【本题的困难之处在于学生如何计算两个图形中正方形C的面积.在这里教师简单介绍两种常见的方法，一是小的加小的，二是大的减小的.利用投影或带网格的小黑板画出图形，学生很容易的就能弄明白到底该如何计算，这类题在以后会经常出现，所以最好能讲解清楚.免得以后麻烦】学生通过分析数据，归纳出：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．【意图：此题意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论.建议：在教学中教师最好能把本节课需要用到的辅助工具比如：刚才求正方形C的面积需要的投影或小黑板上事先要画好图形。
探索勾股定理(一)
《探索勾股定理（一）》教学设计与反思南京梅园中学陆艳探究性学习是新课程提倡的一种重要的学习方式。
探究性教学的运行机制是：在教师的循循善诱下，让学生在生活中“找”数学，使数学生活化；在实践中“做”数学，使数学活动化；在游戏中“玩”数学，使数学趣味化；在“情境”中“问”数学，使数学问题化。
在这个学习过程中，学生始终处于认识客观世界从而获得自身发展的主体地位。
本课力图以“探索勾股定理”为载体，贯彻探究性教学的基本操作过程，使学生的知识被建构，数学思想方法被激活，创新意识被唤起。
【设计理念】本节课是九年制义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级第一章第一节探索勾股定理第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用。
它能结合实际生产和生活中的问题，对增强学生“用数学的意识”、体验“数学化”的过程和提高数形结合、数学表示、语言表达、抽象与概括、类比与归纳等能力有重要作用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
为实现上述综合化、多元化的教学目标，针对初二年级学生的知识结构和心理特征，在教学策略上本节课选择利用生活中的问题作为教学资源来创设情境，让学生在情境中活动，在活动中体验，在体验中领会。
使学生通过自主探究、合作交流、研讨式的学习方式，经历“提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结”完整学习过程。
教师由浅入深，由特殊到一般的内容设计有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
让学生学会思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
【教学设计过程与分析】教学目标：1．2．探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
教学重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
教学难点：学生自主发现勾股定理。
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滕州市八年级数学教案课题：第一章第一节探索勾股定理（1）课型：新授课授课人: 滕州市北辛中学陈一强授课时间：2013年9月3日星期二第二节课教学目标：1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用.（重点）2.让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.（难点）教法与学法指导：这节课主要采用“自主探究--合作竞学”型教学模式.引导学生利用用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程，让学生经历知识形成的过程动并主动进行知识建构，同时培养了学生合作探究、分析问题及解决问题的能力. 教学中出问题让学生想，设计问题让学生做，方法与规律让学生归纳，营造小组竞学的氛围. 提升强化技能，注重课堂反馈. 课前准备：多媒体课件、导学案教学过程：一.感悟导入师：请教大家一个问题：宇宙中有没有外星人？生：有……生：没有……师：同学们是众说纷纭.这个问题一直困扰着我们地球人.请大家拿出导学案，阅读第一部分内容。
找一个同学读，其他同学看大屏幕.（生读的同时，师演示动画）生（读导学案）：一个神奇的图形世界的许多科学家都曾试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法.早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命.我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形（见右图），并发射到太空中去.师：这个图形究竟有何神奇之处？这里面又包含着什么玄机和奥妙呢？这就是我们今天要研究的课题——1.1 探索勾股定理.（板书）设计意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.实际效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.二.探索定理师：我们还是从这个神奇的图形开始吧.请同学们完成导学案第二块内容.有不明白的地方可以讨论一下.探索内容：直角三角形的三边数量关系如图所示：图中每个小方格代表一个单位面积.问题2：你能发现四个图形中的正方形的面积S A、S B、S C有什么关系吗？问题3：若直角三角形三边长为a、b、c, 你能说出正方形A、B、C的面积和a、b、c 之间的关系吗？S A=_______, S B=_______, S C=_______.问题4：在以上问题的基础上，你能找出直角三角形三边a、b、c之间的数量关系吗？（生讨论并完成以上的导学案内容，师提问并评议学生答案.）设计意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.实际效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C的面积计算这一难点后得出结论.三.验证定理师：经过探索，我们找到了以上四个图形中直角三角形的三边满足a2+b2=c2，是不是所有的直角三角形都具有这种关系呢？生：是.师：肯定吗？生：肯定.（少数同学说不一定）师：刚才的直角三角形的直角边长都是整数，如果变成小数，还成立吗？生：成立.师：我还是有点不放心.我们用几何画板来验证一下吧.（师操作几何画板，通过拖动改变直角三角形边长，并利用几何画板的测量及计算功能，验证a2+b2=c2）设计意图：多媒体动态演示,由特殊到一般,使学生更直观、更深刻理解勾股定理.实际效果：既掌握了勾股定理,又激发了学数学的兴趣..四.得出定理师：任意改变三角形的各边长度，只要直角不变，都存在a2+b2=c2，这就是今天我们所要学习的定理，大家说，它叫什么名字？答：勾股定理.师：请同学们完成导学案第三部分内容.（生填空，师板书定理内容）定理内容1.内容：直角三角形_____________的平方和等于________的平方.2.表达式_____________________.（a，b为直角边，c为斜边）设计意图：进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.实际效果：让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.五.勾股史话师：勾股定理的实质是直角三角形三边的关系，那为什么不叫三边定理，或直角三角形定理，而是叫勾股定理呢？这还要从很久很久以前说起.请同学们看一段动画.（课件演示介绍勾股定理的动画片段，加深学生的理解.）师：现在知道为什么叫勾股定理了吧？勾股定理有着悠久的历史.下面我找四个同学，分别读一下讲学稿第四部分内容：勾股史话.生1：公元前1世纪的《周髀算经》中记载：公元前11世纪，周公与商高的对话中提出“勾三、股四、弦五”.勾股定理的名称由此而来.勾股定理又称“商高定理”.生2：公元前600年左右，古希腊的毕达哥拉斯学派也发现了勾股定理，命名为“毕达哥拉斯定理” （又称“百牛定理” ），而且给出了证明.师：毕达哥拉斯是在朋友家做客时通过观察地板上的正方形图案，悟出了直角三角形三边的关系，从而得到了勾股定理.为什么又称“百牛定理”呢？据说毕达哥拉斯发现了勾股定理后，欣喜若狂，杀了一百头牛，大摆宴席，以示庆贺，所以又称“百牛定理”.生3：中国最早给出定理证明的是公元3世纪三国时的吴国数学家赵爽.师：看屏幕，这就是赵爽证明勾股定理时所用到的勾股圆方图，2002年世界数学家大会的会标就b ac使用了这个图案.生4：勾股定理从提出到现在的两千多年中，已经找到证明400多种，由鲁密斯搜集整理的《毕达哥拉斯》一书中就给出370种不同证法.师：勾股定理真的可以成为数学之最了，它的历史最悠久，证法最多，名称最多，甚至是争议也最大，现在还有一些国家都争着说勾股定理是他们首先发现的.设计意图：了解勾股定理的历史,体会勾股定理的价值.实际效果：对勾股定理的发展史有了很深的理解.六.应用定理师：俗话说，学以致用.勾股定理有哪些用处呢？请同学们完成导学案第五部分.例:如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.请问：旗杆折断之前有多高?设计意图：及时巩固勾股定理,体会勾股定理在生活中的应用.实际效果：能用勾股定理解决实际问题..七.拓展延伸师：刚才同学们学的都不错。
作为奖励，我做了一棵美丽的树，送给大家。
（展示课件：美丽的勾股树，按动“+，-”键，可以改变迭代的次数，拖动控制点，可以改变勾股树的形状和颜色.）师：你能看懂以上两幅图的构造吗？你会画吗？你能从中发现什么规律？（图中的正方形之间有什么关系？）（生讨论，口答.）2.小明妈妈买了一部29 英寸(74厘米)的电视机,小明量了屏幕的长是58 厘米宽是46 厘米,他觉得一定哪里搞错了?你能帮助小明解释这是为什么吗?（生讨论，口答.）设计意图：体会数学给我们的生活带来的美感.. 实际效果：增强学生学习数学的信心和决心. 八.测试评价1.求下图中字母所代表的正方形的面积.2.已知直角三角形两边，求第三边.（1）（2）已知△ABC ，∠C =90O ，a =5，c =13，求b .设计意图: 通过达标检测及时反馈学生对本节课知识点的掌握程度, 以便有的放矢进行后续教学.实际效果：能够熟练运用勾股定理解决问题九.反思回顾师：通过本节课的学习，你都知道了哪些知识？生1：我知道了勾股定理的内容，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 生2：勾股定理用式子表示就是a 2+b 2=c 2.生3：我还知道了勾股定理历史非常悠久，并且非常神奇，甚至可以用它联系外星人. 生4：勾股定理的用途很大，可以已知两边求第三边. 师：是否任意三角形已知两边都可以求第三边呢？ 生5：必须是直角三角形.生6：我还知道了勾股定理是中国最早发现的.师：我们在以前的学习中知道了很多著名的发现和发明都起源于中国.在这方面你们有什么感想呢？生7：我为我们的祖国而感到骄傲和自豪.生8：但是现在我们国家在许多方面落后于发达国家.我们要努力赶上. 师：这几位同学说的真是太好了，掌声鼓励一下！ （生鼓掌。
）86x师：中国是四大文明古国之一，有着悠久的历史和灿烂的文化.从万里长城到四大发明，从祖冲之的圆周率到商高的勾股定理，无不体现了我们中国人民的聪明才智。
但是，我们不能总拿着祖先的成就作为炫耀的资本.目前的中国在许多方面还很落后.实现我们中华民族伟大复兴的重任落在了我们的肩头.我们应该怎么办？生：好好学习，报效祖国！师：最后，送给大家一句话.（课件播放：同学们，无数的数学奥妙等待着你们去探索.努力吧，未来伟大的数学家可能就坐在你们的中间！）师：祝大家成功！谢谢同学们！设计意图:培养学生语言表达归纳总结的能力和反思意识，总结研究数学问题的一般方法,形成完整的知识体系实际效果:学生语言表达归纳总结的能力和反思意识得以提高.十.作业布置1.习题1.1 第1、2、4题2.查阅资料，思考证明勾股定理的方法.教学反思：本节课使用的是“学案导学”教学模式，以“导学、诱思”为特点，发挥学生的主体作用，强化能力培养，让每一个学生都动起来，有事可干，有本可依.导学案是学生的学与教师的教之间的中介，借助导学案，可以有效地改进教学过程中的师生互动模式，引导学生正确地确立学习目标和和适合自己的学习策略，增强学生学习的主动性和积极性，培养学生的主动探索精神和自主学习能力.导学案还可以省下学生记笔记的时间，增加思考的空间，并最终提高学习效率和教学效果.这节课还充分发挥了现代信息技术的优势，多媒体课件的使用贯穿始终.如在“导入”环节中的“神奇的图形”的动画演示；在“探索定理”环节中利用几何画板的拖动、测量及计算功能验证勾股定理；在“勾股史话”环节中展示的大量图文及动画信息；在“拓展延伸”环节中用几何画板制作的变化多端的动态勾股树；等等.大量的多媒体信息使学生手、脑、眼、耳并用，使学生有新颖感、惊奇感、独特感、直观感，唤起学生的学习激情，激发他们的兴趣，弥补了传统教学难以克服的重点、难点问题，达到事半功倍的效果.在练习的设计上，立足于巩固，着眼于发展，同时兼顾差异，既注重了基础，又满足了部分学生知识拓展的需要.通过定理的应用，让学生从解决问题中体会到成功的喜悦，增强了用数学的意识.。