九年级数学知识点归纳：整式的除法
整式的乘除知识点归纳
整式的乘除知识点归纳整式是数学中常见的一类代数表达式，包含了整数、变量和基本运算符（加、减、乘、除）。
一、整式的定义整式由单项式或多项式组成。
单项式是一个数字或变量的乘积，也可以包含指数。
例如，3x^2是一个单项式，其中3和x表示系数和变量，2表示指数。
多项式是多个单项式的和。
例如，2x^2 + 3xy + 5是一个多项式，其中2x^2，3xy和5分别是单项式，+表示求和运算符。
二、整式的乘法整式的乘法遵循以下几个重要的法则：1.乘积的交换法则：a×b=b×a，即乘法运算符满足交换定律。
2.乘积的结合法则：(a×b)×c=a×(b×c)，即乘法运算符满足结合定律。
3.乘积与和的分配法则：a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，即乘法运算符对加法运算符满足分配律。
在进行整式的乘法运算时，要注意变量之间的乘积也需要按照乘法法则进行处理。
例如，(2x^2)×(3y)=6x^2y。
三、整式的除法整式的除法是乘法的逆过程。
除法运算中，被除数除以除数得到商。
以下是几个重要的除法规则：1.除法的整除法则：若a能被b整除，则a/b为整数。
例如，6除以3得到22.除法的商式法则：若x为任意非零数，则x/x=1、例如，2x^2/2x^2=13.除法的零律：任何数除以0都是没有意义的，即不可除以0。
例如，5/0没有意义。
在进行整式的除法运算时，要注意约分和消去的原则。
例如，(4x^2+ 2xy)/(2x) 可以约分为2x + y。
四、整式的运算顺序在解决整式的复杂运算问题时，需要遵循一定的运算顺序。
常见的运算顺序规则如下：1.先解决括号内的运算。
2.然后进行乘法和除法的运算。
3.最后进行加法和减法的运算。
五、整式的因式分解因式分解是将一个整式拆解为多个因式的乘积的过程。
对于给定的整式，可以通过以下步骤进行因式分解：1.先提取其中的公因式。
整式的除法整式的除法运算与应用
整式的除法整式的除法运算与应用整式的除法是代数学中的一种运算，它涉及到多项式之间的除法。
在整式的除法运算中，我们需要掌握整式的基本概念和运算规则，并对其应用进行深入理解。
本文将介绍整式的除法运算及其应用，并探讨它们在实际问题中的作用。
1. 整式的基本概念和运算规则整式是由常数、变量和它们的乘积所组成的代数式，例如：3x²+2xy-5。
整式的除法运算是指将一个整式除以另一个整式，从而得到商式和余式。
在整式的除法运算中，我们要遵循以下运算规则： - 除法的被除式与除数都只能是整式。
- 除数不能为零。
- 除法的结果可以表示为商式和余式的形式。
- 余式的次数小于除数的次数。
2. 整式的除法运算步骤整式的除法运算通常需要通过长除法的方法进行计算，具体步骤如下：a) 将除数和被除式按照次数从高到低排列。
b) 将被除式的首项与除数的首项相除，得到商式的首项。
c) 将商式的首项与除数的各项相乘，然后将乘积与被除式相减，得到新的被除式。
d) 重复步骤b)和c)，直到被除式的次数小于除数的次数为止。
最终，所得到的商式就是整式的商式，而新的被除式就是整式的余式。
3. 整式除法的应用整式的除法在实际问题中具有广泛的应用，主要体现在以下方面：a) 多项式因式分解：整式的除法可以用来进行多项式的因式分解，通过将多项式除以其中一个因式，得到另一个因式和余式的形式，从而简化多项式的表达和计算。
b) 方程求解：整式的除法可以用来解决一些方程问题，通过将方程两边进行整式的除法运算，得到方程的解。
c) 函数图像的研究：整式的除法可以用来研究函数的性质和图像，通过对函数的整式表达进行除法运算，得到函数的特征，例如函数的极限、零点等。
4. 整式除法运算的例子为了更好地理解整式的除法运算，我们来看一个例子：整式除法运算：(3x²+2xy-5) ÷ (x-1)a) 首先，将被除式和除数按照次数从高到低排列：3x²+2xy-5-----------x-1b) 将被除式的首项3x²与除数的首项x相除，得到商式的首项3x：3xc) 将商式的首项3x与除数x-1相乘，得到3x²-3x。
整式的除法
整式的除法1. 什么是整式在代数中，整式是由数字常数、变量和运算符组成的代数表达式。
它包括多项式和有理函数。
其中，多项式是整数次幂的变量和常数乘积的代数表达式。
2. 整式的除法概述整式的除法是指对两个或多个整式进行相除的运算。
这种运算在代数中非常常见，是解决实际问题和简化代数表达式的重要方法之一。
在整式的除法中，我们会遇到除数、被除数和商三个概念。
被除数是要被除的整式，除数是用来除被除数的整式，商则是除法运算的结果。
3. 整式的除法步骤整式的除法一般需要按照以下步骤进行：步骤一：整理被除数和除数首先，需要对被除数和除数进行整理，使其按照降幂排列，并且确保各项的变量次数相同。
步骤二：确定商的首项商的首项是指商中的第一项，需要根据被除数和除数的首项来确定。
首先取被除数的首项，然后除以除数的首项，得到商的首项。
步骤三：用商的首项乘以除数，并减去被除数用商的首项乘以除数，并将其结果减去被除数，得到一个新的多项式。
步骤四：重复上述步骤重复步骤二和步骤三，直到无法进行下去为止。
每一次重复都会得到一个新的多项式，其中商的项数增加一项，直到整个被除式被除尽。
步骤五：写出最终的商和余数经过重复步骤四后，最后得到的多项式为商，而剩下的无法再进行除法运算的多项式为余数。
4. 整式的除法示例下面通过一个示例来说明整式的除法步骤：被除数：3x^3 + 5x^2 + 2x + 1除数：x + 1首先，整理被除数和除数，它们都已经按照降幂排列，并且各项的变量次数相同。
然后，确定商的首项，根据被除数的首项3x3和除数的首项x计算得到商的首项为3x2。
接下来，用商的首项乘以除数，在这个例子中，3x^2乘以x + 1得到3x^3 + 3x2。
然后，将得到的结果减去被除数，即(3x3 + 3x^2) - (3x^3 + 5x^2 + 2x + 1)，得到-2x^2 - 2x - 1。
经过第一次除法运算，得到的商为3x2，余数为-2x2 - 2x - 1。
整式的除法与余式定理的应用
整式的除法与余式定理的应用整式的除法是数学中的一项基本运算，它在代数学习中起着重要的作用。
除法的目的是将一个多项式除以另一个多项式，并求得商和余数。
在这篇文章中，我们将探讨整式的除法以及余式定理的应用。
一、整式的除法整式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，并求得商和余数。
在进行除法运算时，我们通常使用长除法的方法。
下面我们通过一个例子来说明整式的除法过程。
假设我们要计算多项式$P(x) = 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$除以多项式$Q(x) = x - 1$的结果。
首先，我们将$P(x)$的最高次项与$Q(x)$的最高次项相除，即$\frac{3x^3}{x} = 3x^2$。
然后，我们将$3x^2$乘以$Q(x)$，得到$3x^3 - 3x^2$。
接下来，我们将$P(x)$减去$3x^3 - 3x^2$，得到$5x^2 - 4x + 1$。
接下来，我们将$5x^2 - 4x + 1$除以$x - 1$。
同样地，我们将$5x^2$除以$x$，得到$5x$。
然后，我们将$5x$乘以$x - 1$，得到$5x^2 - 5x$。
将$5x^2 - 4x + 1$减去$5x^2 - 5x$，得到$x + 1$。
现在，我们已经无法再进行除法运算了，因为$x + 1$的次数小于$x - 1$的次数。
所以，我们得到了最终的结果：$P(x) = (x - 1)(3x^2 + 5x + 1) + (x + 1)$。
二、余式定理的应用余式定理是整式除法的一个重要应用。
它指出，如果将一个多项式$P(x)$除以$x - a$，所得的余数等于将$a$代入$P(x)$中所得的值。
例如，我们要计算多项式$P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4$除以$x - 2$的余数。
根据余式定理，我们将$a = 2$代入$P(x)$中，得到$P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 4 = 16 - 20 + 6 - 4 = -2$。
整式的运算知识点
整式的运算知识点在数学的学习中，整式的运算可是一个重要的板块。
让我们一起来深入了解一下整式运算的相关知识点吧。
首先，咱们得明白啥是整式。
整式简单来说，就是由数和字母的积组成的代数式，单独的一个数或者一个字母也叫整式。
比如 3x、5、a 等等。
整式的运算主要包括整式的加减、整式的乘法和整式的除法。
先说整式的加减。
整式的加减本质上就是合并同类项。
啥是同类项呢？就是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
比如 3x 和5x 就是同类项，可以合并成 8x。
在进行整式加减的时候，要先找到同类项，然后把它们的系数相加，字母和字母的指数不变。
再来说说整式的乘法。
单项式乘以单项式，就把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
比如 2x×3y ＝ 6xy。
单项式乘以多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如，2x(3x ＋ 5) ＝ 6x²＋ 10x 。
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
比如说（x ＋ 2)（x ＋ 3) ，就等于 x²＋ 3x ＋ 2x ＋ 6 ，也就是 x²＋ 5x ＋ 6 。
接下来是整式的除法。
单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如，10x²y ÷ 5xy ＝ 2x 。
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
整式的乘法中还有两个重要的公式，一个是平方差公式：（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²；另一个是完全平方公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²。
平方差公式的特点是两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，结果是相同项的平方减去相反项的平方。
整式的除法法则
整式的除法法则整式的除法法则是指在代数学中，对两个整式进行除法运算的规则。
整式的除法法则是代数学中的基本概念，它是解决代数问题的重要工具。
本文将介绍整式的除法法则的基本概念、步骤和相关例题。
一、整式的基本概念在代数学中，整式是由数字、变量和它们的乘积与幂的和构成的式子。
例如，3x^2+2xy-5是一个整式。
整式的除法是指对两个整式进行除法运算，得到商式和余式的过程。
在整式的除法中，被除式和除数都是整式，它们的系数可以是实数，也可以是复数。
二、整式的除法法则整式的除法包括长除法和短除法两种方法。
下面分别介绍这两种方法的具体步骤。
1. 长除法长除法是一种逐步相除的方法，适用于任意整式的除法运算。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项。
（3）用商式的最高次项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
2. 短除法短除法是一种简化的除法方法，适用于除数为一次式的情况。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）用被除式的首项除以除数的首项，得到商式的首项。
（3）用商式的首项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
三、相关例题下面通过一些例题来演示整式的除法法则的具体应用。
例题1：计算多项式(3x^3-5x^2+2x-1)÷(x-2)。
解：按照长除法的步骤进行计算，首先将被除式和除数按照同类项排列：3x^3-5x^2+2x-1÷ x-2然后将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项3x^2。
用3x^2乘以除数x-2，得到一个中间结果3x^3-6x^2。
将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式x^2+2x-1。
初中数学 如何计算整式的除法
初中数学如何计算整式的除法整式的除法是初中数学中的重要内容，它涉及到多项式的运算和化简。
在学习整式的除法时，我们需要掌握一些基本的步骤和方法。
本文将详细介绍如何计算整式的除法，并给出一些例题进行说明。
一、整式的定义首先，我们回顾一下整式的定义。
整式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式。
例如，3x^2-2x+1就是一个整式。
其中，3x^2、-2x和1都是单项式，它们相加得到整式3x^2-2x+1。
二、整式的除法步骤整式的除法可以分为以下几个步骤：1. 确定被除式和除式：被除式是我们要进行除法运算的整式，除式是我们用来除以被除式的整式。
2. 规范被除式和除式的次序：将被除式和除式按照降幂的次序排列，确保最高次项在前。
3. 比较最高次项：将被除式和除式的最高次项进行比较。
a) 如果被除式的最高次项的次数小于除式的最高次项的次数，那么商式为0，余式为被除式。
b) 如果被除式的最高次项的次数大于或等于除式的最高次项的次数，那么继续进行下一步骤。
4. 计算商式的最高次项：将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的最高次项。
5. 用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果。
6. 将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式。
7. 重复步骤4-6，直到被除式的次数小于除式的次数。
8. 最后得到的商式即为整式的商式，被除式除以除式得到的余式即为整式的余式。
三、整式的除法例题现在，我们通过一些具体的例题来演示整式的除法计算。
例题1：计算(3x^3-5x^2+2x-1) ÷ (x-2)解：首先，我们将被除式和除式按照降幂的次序排列：被除式：3x^3-5x^2+2x-1除式：x-2比较最高次项：被除式的最高次项是3x^3，除式的最高次项是x。
被除式的最高次项的次数大于除式的最高次项的次数，我们可以继续进行计算。
计算商式的最高次项：将被除式的最高次项3x^3除以除式的最高次项x，得到3x^2。
用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果：(3x^2)(x-2) = 3x^3-6x^2将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式：(3x^3-5x^2+2x-1) - (3x^3-6x^2) = x^2+2x-1现在，我们将新的被除式x^2+2x-1 作为被除式，继续进行下一步骤。
初中数学 什么是整式的除法
初中数学什么是整式的除法整式的除法是指对两个整式进行除法运算，其中被除数除以除数得到商式和余式的过程。
首先，我们来了解一些整式的基本概念。
整式是由常数项、变量项和它们之间的运算符（加法和减法）组成的代数表达式。
常数项是只包含常数的项，变量项是包含变量和常数的项。
例如，3x² + 2xy - 5 是一个整式，其中3x²是变量项，2xy 是变量项，-5 是常数项。
在整式的除法中，被除数通常是一个多项式，除数通常是一个一元多项式（只有一个变量的多项式）。
我们的目标是找到一个商式和余式，使得被除数等于除数乘以商式加上余式。
让我们通过一个例子来说明整式的除法过程：假设我们要计算(2x³ + 5x² - 3x + 1) ÷ (x - 1)。
首先，我们将被除数和除数按照降幂排列，即按照变量的指数从高到低排列。
在这个例子中，被除数已经按照降幂排列，除数为x - 1。
接下来，我们将除数的第一项x 与被除数的第一项2x³进行除法运算。
x 除以2x³等于(1/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(1/2)x³ - (1/2)x²。
然后，我们将这个结果与被除数进行减法运算，得到(2x³ + 5x² - 3x + 1) - ((1/2)x³ - (1/2)x²) = (3/2)x³ + (5/2)x² - 3x + 1。
接下来，我们重复上述步骤。
将除数的第一项x 与新的被除数的第一项(3/2)x³进行除法运算，得到(3/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(3/2)x³ - (3/2)x²。
然后，我们将这个结果与新的被除数进行减法运算，得到(3/2)x³+ (5/2)x²- ((3/2)x³ - (3/2)x²) = 8x² - 3x + 1。
整式的除法(一)
02
CHAPTER
整式除法的基本操作
约分
01
02
03
约分定义
约分是整式除法中的一种 简化运算的方法，通过约 简多项式的分母，将多项 式化为最简形式。
约分步骤
首先识别多项式中的最大 公因式，然后将其约去， 使分母变为最小公倍式。
多定理的证明需要 用到整式除法。例如，证明多项 式函数的根的性质、证明不等式
等。
在物理问题中的应用
求解物理方程
在物理中，许多方程可以通过整式除法化简为一元一次方程 或一元二次方程，方便求解。例如，弹性力学中的应力-应变 关系、电路分析中的欧姆定律等。
计算物理量
在物理中，许多物理量的计算需要用到整式除法。例如，计 算速度、加速度、角速度等物理量时，需要用到整式除法来 计算单位换算和公式变换。
注意事项
约分时要注意保持等式的 等价性，即约分前后多项 式的值不变。
通分
通分定义
通分是将两个或多个分数 的分母统一，以便进行加 减运算的方法。
通分步骤
首先找到各个分数的最小 公倍数，然后将各个分数 化为具有相同分母的形式。
注意事项
通分时要注意保持等式的 等价性，即通分前后各分 数值不变。
乘法与除法的关系
公式法
总结词
公式法是利用整式除法的公式进行计 算的方法，适用于一些特定类型的多 项式除法，可以简化计算过程。
详细描述
公式法是通过使用特定的公式来计算整 式除法。例如，在计算$frac{x^3 - 1}{x - 1}$时，可以利用公式法，得到 $frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$， 进一步化简得到$x^2 + x + 1$。
初中数学 整式的除法规则是什么
初中数学整式的除法规则是什么整式的除法规则是指在代数中，将一个整式除以另一个整式的运算规则。
下面是对整式的除法规则的详细解释：1. 除法的定义：对于两个整式f(x) 和g(x)，其中g(x) ≠ 0，我们可以定义它们的除法为q(x) 与r(x) 的形式，满足f(x) = g(x) * q(x) + r(x)，其中q(x) 是商式，r(x) 是余式，且r(x) 的次数小于g(x) 的次数。
2. 短除法：短除法是一种用来简化整式除法的方法。
它适用于除式为一元一次式的情况。
具体步骤如下：a) 将除式和被除式按照次数从高到低排列。
b) 将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的最高次项。
c) 用商式的最高次项乘以除式，然后将结果减去被除式。
d) 重复步骤b) 和c)，直到无法继续进行短除。
3. 长除法：长除法是一种适用于任意次数的整式除法的方法。
具体步骤如下：a) 将除式和被除式按照次数从高到低排列。
b) 从被除式的最高次项开始，将除式的最高次项乘以一个适当的多项式，使得乘积的次数与被除式的最高次项一致或稍低。
c) 用乘积减去被除式，得到一个新的多项式。
d) 重复步骤b) 和c)，直到无法继续进行长除。
4. 带余除法：带余除法是整式除法中的一种特殊情况，其中被除式的次数小于等于除式的次数。
具体步骤如下：a) 将除式和被除式按照次数从高到低排列。
b) 将除式的最高次项乘以一个适当的多项式，使得乘积的次数与被除式的最高次项一致或稍低。
c) 用乘积减去被除式，得到一个新的多项式。
d) 当新的多项式的次数小于除式的次数时，此时的新多项式为余式。
以上是整式除法的基本规则和方法。
通过短除法、长除法和带余除法，我们可以将整式除法问题简化，从而更方便地进行计算和求解。
在实际应用中，整式的除法规则经常被用于解决方程、简化表达式等问题。
希望以上内容能够对你的学习有所帮助。
初中数学整式的除法(含答案)
1.3 整式的除法◆赛点归纳整式的除法包括单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式．多项式恒等定理：（1）多项式f（x）=g（x），•需且只需这两个多项式的同类项的系数相等；（2）若f（x）=g（x），则对于任意一个值a，都有f（a）=g（a）．余数定理：多项式f（x）除以x－a所得的余数等于f（a）．特别地，当f（x）•能被x－a整除时，有f（a）=0．◆解题指导例1设a、b为整数，观察下列命题：①若3a+5b为偶数，则7a－9b也为偶数；②若a2+b2能被3整除，则a和b也能被3整除；③若a+b是质数，则a－b不是质数；④若a3－b3是4的倍数，则a－b也是4的倍数．其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个以上【思路探究】对于①看7a－9b与3a+5b的和或差是不是偶数．对于②根据整数n的平方数的特征去判断．对于③、④若不能直接推导是否成立，也可举出反例证明不成立．例2 若2x3－kx2+3被2x+1除后余2，则k的值为（）．A．k=5 B．k=－5 C．k=3 D．k=－3【思路探究】要求k的值，须找到关于k的方程．由2x3－kx2+3被2x+1除后余2，可知2x3－kx2+1能被2x+1整除，由此就可得关于k的一次方程．例3计算：（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）．【思路探究】被除式是一个6次六项式，除式是一个4次四项式，直接计算比较复杂，应列竖式计算．例4若多项式x4－x3+ax2+bx+c能被（x－1）3整除，求a、b、c的值．【思路探究】由条件知x4－x3+ax2+bx+c能被x3－3x2+3x－1整除，列竖式可知x4－x3+ax2+bx+c的商式和余式．根据一个多项式被另一个多项式整除，余式恒为零可求a、•b、c的值．【拓展题】设x1，x2，…，x7都是整数，并且x1+4x2+9x3+16x4+25x5+36x6+49x7=1，①4x1+9x2+16x3+25x4+35x5+49x6+64x7=12，②9x1+16x2+25x3+36x4+49x5+64x6+81x7=123，③求16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7的值．◆探索研讨整式除法的综合运用大多与多项式除以多项式相关．多项式除法运算实际上是它们的系数运算．在进行多项式乘除法恒等变形时，它们对应项系数是相等的，由此列方程可求解待定系数．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．下列四个数中，对于任一个正整数k，哪个数一定不是完全平方数（）．A．16k B．16k+8 C．4k+1 D．32k+42．要使3x3+mx2+nx+42能被x2－5x+6整除，则m、n应取的值是（）．A．m=8，n=17 B．m=－8，n=17C．m=8，n=－17 D．m=－8，n=－173．（2001，武汉市竞赛）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）．A．7 B．8 C．15 D．214．对任意有理数x，若x3+ax2+bx+c都能被x2－bx+x整除，则a－b+c的值是（）．A．1 B．0 C．－1 D．－25．满足方程x3+6x2+5x=27y3+9y2+9y+1的正整数对（x，y）有（）．A．0对B．1对C．3对D．无穷多对6．（2003，四川省竞赛）若（3x+1）4=ax4+bx3+cx2+dx+e，则a－b+c－d+e=________．7．（2004，北京市竞赛）用正整数a去除63，91，129所得的3个余数的和是25，则a 的值为________．8．已知多项式3x3+ax2+bx+1能被x2+1整除，且商式是3x+1，那么（－a）b的值是_____．9．若多项式x4+mx3+nx－16含有因式（x－1）和（x－2），则mn=________．10．多项式x135+x125－x115+x5+1除以多项式x3－x所得的余式是_______．11．计算：（1）（6x5－7x4y+x3y2+20x2y3－22xy4+8y5）÷（2x2－3xy+y2）；（2）（41m－m3+15m4－70－m2）÷（3m2－2m+7）．12．已知a、b、c为有理数，且多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x－4整除．（1）求4a+c的值；（2）求2a－2b－c的值；（3）若a、b、c为整数，且c≥a>1，试确定a、b、c的大小．13．（2000，“五羊杯”，初二）已知x6+4x5+2x4－6x3－3x2+2x+1=[f（x）] 2，其中f（x）是x的多项式，求这个多项式．14．已知一个矩形的长、宽分别为正整数a、b，其面积的数值等于它的周长数值的2倍，求a+b的值．15．（2004，北京市竞赛）能将任意8个连续的正整数分为两组，使得每组4•个数的平方和相等吗？如果能，请给出一种分组法，并加以验证；如果不能，请说明理由．答案:解题指导例1 C [提示：命题①成立．因为（7a－9b）－（3a+5b）=2（2a－7b）是偶数；命题②也成立．因为整数n的平方被3除余数只能为0或1，3整除a2+b2，表明a2、b2被3除的余数都是0，所以a和b都能被3整除；命题③不成立．如5+2=7和5－2=3都是质数；命题④也不成立．例如a=2，b=0．]例2 C [提示：∵2x3－kx2+3被2x+1除后余2，∴2x3－kx2+1能被2x+1整除．令2x+1=0，得x=－12．代入2x3－kx2+1=0，得2×（－12）3－k（－12）2+1=0，即－14－14k+1=0，解得k=3．]例3（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）=3x2－2x+1……x+5．例4 x4－x3+ax2+bx+c=（x3－3x2+3x－1）（x+2）+（a+3）x2+（b－5）x+（c+2）．由余式恒等于0，得a+3=0，b－5=0，c+2=0．∴a=－3，b=5，c=－2．【拓展题】设四个连续自然数的平方为：n2、（n+1）2、（n+2）2、（n+3）2，则（n+3）2=a（n+2）2+b（n+1）2+cn2．整理得n2+6n+9=（a+b+c）n2+（4a+2b）n+4a+b．∴a+b+c=1，4a+2b=6，4a+b=9．解得a=3，b=－3，c=1，∴16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7=③×3－②×3+①=123×3－12×3+1=334．能力训练1．B [提示：16k+8=8（2k+1）．因2k+1是奇数，8•乘以一个奇数一定不是完全平方数．] 2．D [提示：∵3x3+mx2+nx+42=（x2－5x+6）（3x+7）+（m+8）x2+（n+17）x．∴80,8,170,17.m mn n+==-⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得．]3．D [提示：∵（x+1）（x+2）=x2+3x+2，∴x3+ax2+bx+8=（x2+3x+2）（x+4）+（a－7）x2+（b－14）x．∴70,7,140,14.a ab b-==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩∴a+b=21．]4．A [提示：∵x3+ax2+bx+c=（x2－bx+c）（x+1）+（a+b－1）x2+（2b－c）x，∴10,(1)20.(2)a bb c+-=⎧⎨-=⎩（1）－（2），得a－b+c=1．]5．A [提示：原方程可变形为x（x+1）（x+5）=3（9y3+3y2+3y）+1．①如果有正整数x、y使①成立，那么由于x，x+1，x+5=（x+2）+3这3个数除以3所得余数互不相同，所以其中必有一个被3整除，即①的左边被3整除，而①的右边不被3整除，这就产生矛盾．所以原方程没有正整数解．]6．16 [提示：令x=－1，得a－b+c－d+e=16．]7．43 [提示：由题意，有63=a×k1+r1，91=a×k2+r2，129=a×k3+r3．（0≤r1、r2、r3<a）相加得63+91+129=a（k1+k2+k3）+（r1+r2+r3）=a（k1+k2+k3）+25．故258被a整除．由于258=2×3×43，a大于余数，且3个余数的得25，所以a>8．•又a不超过63、91、129中的最小者63，故258的因数中符合要求的只有a=43．]8．－1 [提示：∵（x2+1）（3x+1）=3x3+x2+3x+1，∴3x3+ax2+bx+1=3x3+x2+3x+1．∴a=1，b=3，即（－a）b=（－1）3=－1．]9．－100 [提示：∵（x－1）（x－2）=x2－3x+2，x4+mx3+nx－16=（x2－3x+2）[x2+（m+3）x－8]+（3m+15）x2+（n－2m－30）x，∴3150,5,2300,20.m mn m n+==-⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩解得∴mn=－100．]10．2x+1 [提示：设x135+x125－x115+x5+1=（x3－x）f（x）+ax2+bx+c，其中f（x）为商式．取x=0，得c=1；取x=1，得a+b+c=3．取x=－1，得a－b+c=－1．解得a=0，b=2，c=1．故所求余式为2x+1．]11．（1）商式为3x3+x2y+12xy2+34133,44y余式为xy4－94y5．（2）商式为5m2+3m－10，余式为0．12．（1）∵（x－1）（x+4）=x2+3x－4，令x－1=0，得x=1；令x+4=0，得x=－4．当x=1时，得1+a+b+c=0；①当x=－4时，得－64+16a－4b+c=0．②②－①，得15a－5b=65，即3a－b=13．③①+③，得4a+c=12．（2）③－①，得2a－2b－c=14．（3）∵c≥a>1，4a+c=12，a、b、c为整数，∴a≥2，c≥2，则a=2，c=4，又a+b+c=－1，∴b=－7．13．设f（x）=±（x3+Ax2+Bx+1）或±（x3+Ax2+Bx－1）．先设f（x）=x3+Ax2+Bx+1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB+2）x3+（2A+B2）x2+2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB+2=－6，2A+B2=－3，2B=2，无解．再设f（x）=x3+Ax2+Bx－1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB－2）x3+（B2－2A）x2－2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB－2=－6，B2－2A=－3，－2B=2．解得A=2，B=－1．故所求的多项式为±（x3+2x2－x－1）．14．由题意得ab=2（2a+2b）．∴ab－4a=4b，∴a=416444bb b=+--．∵a、b均为正整数，且a>b．∴（b－4）一定是16的正约数．当（b－4）分别取1、2、4、8、16时，代入上式，得b－4=1时，b=5，a=20；b－4=2时，b=6，a=12；b－4=4时，b=8，a=8（舍去）；b－4=8时，b=12，a=6（舍去）；b－4=16时，b=20，a=5（舍去）．∴只有a=20，b=5或a=12，b=6符合题意，把a+b=25或18．15．能设任意8个连续的正整数为a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7．将其分为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}即满足要求．验证如下：先将任意8个连续的正整数按如下分为等和的两组，满足a+（a+1）+（a+6）+（a+7）=（a+2）+（a+3）+（a+4）+（a+5）则[（a）+（a+1）]·[（a+6）+（a+7）]·1=[（a+2）+（a+3）]·1+[（a+4）+（a+5）]·1 即[（a）+（a+1）][（a+1）－（a）]+[（a+6）+（a+7）][（a+7）－（a+6）]=[（a+2）+（a+3）][（a+3）－（a+2）]+[（a+4）+（a+5）]·[（a+5）－（a+4）]．故（a+1）2－a2+（a+7）2－（a+6）2=（a+3）2－（a+2）2+（a+5）2－（a+4）2．也就是（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．于是，分任意8个连续的正整数为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}．则满足（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．。
求整式的除法公式
求整式的除法公式整式的除法公式是指两个整式相除所得的结果的表达式。
在整式的除法中，被除数除以除数所得的商及余数叫做整式的商和余数。
设有两个整式 f(x) 和 g(x)，其中g(x) ≠ 0。
若存在整式 q(x) 和 r(x)，使得 f(x) = g(x)·q(x) + r(x)，且 r(x) = 0 或 r(x) 的次数小于 g(x) 的次数，则可以说 f(x) 可以被 g(x) 整除。
其中，整式 f(x) 是被除数，g(x) 是除数，q(x) 是商，r(x)是余数。
例如，有整式 f(x) = 2x³ - 3x² + 5x + 4 和 g(x) = x² - 2x + 3，现在求f(x) 除以 g(x) 的商和余数。
首先，我们比较 g(x) 的最高次项 x²和 f(x) 的最高次项 2x³，可以得知商 q(x) 的最高次数应为 2x³ / x² = 2x。
所以我们可以将 q(x) 的表达式设为 q(x) = 2x。
然后，我们将 g(x) 和 2x 相乘，得到 2x·(x² - 2x + 3) = 2x³ - 4x² + 6x。
接下来，我们将 f(x) 减去这个结果，得到 f(x) - 2x³ + 4x² - 6x = (-7x² +11x + 4)。
此时，我们需要再次比较 g(x) 和 (-7x² + 11x + 4) 中的最高次项，即g(x) 的最高次项 x²和 (-7x² + 11x + 4) 的最高次项 -7x²。
可以得知商 q(x) 的次数应为 -7x² / x² = -7。
将 q(x) 更新为 q(x) = 2x - 7，并将 g(x) 与 q(x) 相乘得到 (2x - 7)·(x² - 2x + 3) = 2x³ - 11x² + 20x - 21。
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。
2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。
3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。
4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。
二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。
2.用辗转相除法进行整式的除法计算。
三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。
2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。
4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。
5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。
根据这一定理可以找到多项式的因式。
四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。
3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。
4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。
数学知识点整式的乘法和除法
数学知识点整式的乘法和除法整式是数学中的一个概念，是指由常数和变量及它们的乘积通过加法和减法运算而得到的代数表达式。
整式的乘法和除法是数学中的重要内容，本文将详细介绍整式的乘法和除法。
一、整式的乘法：整式的乘法是指将两个整式相乘并化简的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的乘法运算。
例子：将整式(2x + 3)(4x + 5)用乘法方式展开并化简。
解答：首先，我们可以利用分配律将两个整式相乘：(2x + 3)(4x + 5) = 2x * 4x + 2x * 5 + 3 * 4x + 3 * 5接下来，根据乘法的法则，我们可以将每一项相乘并合并同类项：= 8x^2 + 10x + 12x + 15最后，将结果进行合并化简，得到最简整式：= 8x^2 + 22x + 15这样，我们就完成了整式的乘法运算。
二、整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式，并求得商式和余式的过程。
下面以一个具体的例子来说明整式的除法运算。
例子：计算整式5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除以整式x + 2的商式和余式。
解答：首先，我们需要按照除法的步骤进行演算。
Step 1: 将被除式和除式按照降幂排列。
被除式：5x^3 + 4x^2 - 3x + 7除式：x + 2Step 2: 将除式的首项与被除式的首项进行除法运算，并将结果作为商式的首项。
首项相除：(5x^3) / x = 5x^2Step 3: 将商式的首项乘以除式，并将结果与被除式相减，得到一个新的多项式。
计算：(5x^2)(x + 2) = 5x^3 + 10x^2被除式减去：(5x^3 + 4x^2 - 3x + 7) - (5x^3 + 10x^2) = -6x^2 - 3x + 7 Step 4: 重复以上步骤，直到被除式的次数小于除式的次数为止。
继续进行除法运算：次项相除：(-6x^2) / x = -6x计算：(-6x)(x + 2) = -6x^2 - 12x被除式减去：(-6x^2 - 3x + 7) - (-6x^2 - 12x) = 9x + 7再次进行除法运算：次项相除：(9x) / x = 9计算：(9)(x + 2) = 9x + 18被除式减去：(9x + 7) - (9x + 18) = -11由于被除式的次数小于除式的次数，停止除法运算。
整式的除法概念及法则
整式的除法概念及法则一、整式的定义整式是代数式的一种形式，它由若干个代数式按照加法和减法运算符连接而成，且每个代数式都是整数或有理数的乘积。
整式通常用字母表示未知数，也可以用具体数字表示。
二、整式的除法概念整式的除法即将一个整式除以另一个整式的运算。
整式的除法可以简化代数式的表达，使得计算更加简便。
1. 一般的除法过程整式的除法过程与算术中的除法类似，主要包括以下步骤： - 将除式与被除式按照一定规则对齐。
- 依次将被除式里的每一项与除式的首项进行除法运算。
- 求商的步骤需要使用乘法和减法运算。
- 直至被除式的所有项都进行了除法运算，最后的余数项可以保留或继续进行进一步的合并化简。
2. 整式的除法的结果若整式A除以整式B的结果为整式C，则满足等式：A = B * C。
其中，整式C称为A除以B的商，若除法运算有余数，则余数也是整式。
三、整式除法的基本法则整式的除法具有一些基本的法则，我们可以根据这些法则进行整式的除法运算。
1. 除法的可逆性对于任意非零的整式A、B和C来说，若A除以B的商为C，则A除以C的商等于B，即：A / B = C，则 A / C = B。
2. 除法的唯一性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，同时A除以B的商为D，则C和D相等，即：如果 A / B = C 且 A / B = D ，那么 C = D。
3. 除法的分配性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A加上C乘以B的结果等于A乘以D的商，即： A / B = C 那么 A + C * B = A / D4. 除法的消去性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A乘以D除以B乘以D的商等于C，即：如果 A / B = C ，那么 A * D / B * D = C。
四、整式除法的具体步骤整式除法的具体步骤如下： 1. 根据除法的定义，对于被除式和除式进行合理的排列，确保每一项按照幂次降序排列。
《整式的除法》整式的运算
与方程式的解法的综合应用
代数方程的解法
利用整可以找到方程的根 。
方程的根的性质
通过整式除法，可以进一步研究方程的根的性质，例如根的乘积、根的加法、根的减法等。
与因式分解的综合应用
因式分解与整除
整式除法中的整除与因式分解有着密切 的联系，通过整除可以将一个多项式分 解为若干个一次因式的乘积。
逆用公式
在解决复杂的整式除法问 题时，可以逆用一些基本 公式，简化计算过程。
借助工具
使用一些数学工具，如因 式分解、三角函数等，来 解决复杂的整式除法问题 。
如何进行一题多解的整式除法练习
尝试不同的解法
01
对于同一道整式除法题目，尝试使用不同的解法来解决，开拓
思路。
总结各种解法的优缺点
02
在尝试不同的解法之后，总结各种解法的优缺点，找出最优解
整式除法的应用举例
多项式除以单项式
将一个多项式除以一个单项式，得到商和余数。
多项式除以多项式
将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
整式的约分
通过约分简化整式的计算。
整式的通分
通过通分将不同的分母变为相同的分母，便于计算。
03
整式除法的计算技巧
提公因式法
总结词
提公因式法是一种通过提取多项式中的公因式来简化计算的 方法。
分组分解法
总结词
分组分解法是一种通过分组来分解多项式的方法。
详细描述
分组分解法基于多项式的结构特点，将多项式分成若干组，然后分别对每组进行因式分解。在整式除法中，分组 分解法可以用于分解被除式和除式，从而得到商和余数。使用分组分解法需要熟练掌握因式分解的方法和技巧， 以及对多项式结构的识别能力。
整式的乘除与因式分解知识点全面
整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
乘法的结果称为“积”。
-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。
除法的结果称为“商”和“余数”。
-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。
-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。
次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。
4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。
-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。
5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。
-两个正整数相乘，结果为正数。
-两个负整数相乘，结果为正数。
-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。
二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。
可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。
2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。
3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。
4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。
7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。
整式的除法的公式
整式的除法的公式整式的除法，这可是数学世界里一个挺有趣的小领域呢！咱们先来说说整式除法中最基础的公式，就像打开这扇知识大门的钥匙。
单项式除以单项式，那规则就像是一场巧妙的配对游戏。
比如说，有个式子 6x³ ÷ 3x，先看系数，6÷3=2，再看字母，x³÷x = x²，所以结果就是 2x²。
这就好比你有 6 个苹果要平均分给 3 个人，每个人能拿到2 个。
多项式除以单项式，这可稍微有点复杂啦，但别怕，咱们一步步来。
就像 (9x² + 6x)÷3x，先把多项式的每一项分别除以单项式，9x²÷3x = 3x，6x÷3x = 2，所以结果就是 3x + 2。
这感觉就像是把一大包零食分成几份，每份都分得明明白白。
我记得有一次给学生们讲整式除法的时候，有个小家伙一直皱着眉头，怎么都搞不明白。
我就打了个比方，说这整式除法就像是分蛋糕。
一个大蛋糕（多项式），要平均分给几个小朋友（单项式），得先把蛋糕切成小块（把多项式的每一项拆开），然后再一个一个地分给小朋友，看每个小朋友能拿到多少（分别做除法）。
嘿，这小家伙一下子就眼睛亮了，嘴里还念叨着“分蛋糕，分蛋糕”，然后就把题做对啦！再说说整式除法中的一些小窍门。
要特别注意符号问题，就像走在路上要注意交通信号灯一样。
负号可不能丢了，不然答案就跑偏啦。
还有，做除法的时候要细心，就像绣花一样，一针一线都不能马虎。
总之，整式的除法虽然看起来有点小复杂，但只要掌握了公式和方法，再加上多多练习，就一定能轻松应对。
就像学会了骑自行车，想怎么骑就怎么骑，自由自在！希望同学们在面对整式除法的时候，都能像勇敢的小战士，不怕困难，勇往直前，把这些难题一个个都攻克掉！。
整式的乘法与除法
整式的乘法与除法在初中数学中，整式的乘法与除法是一个重要的知识点。
它不仅涉及到数学运算的基本技巧，还能帮助我们解决实际问题。
本文将以实际问题为背景，通过举例、分析和说明来介绍整式的乘法与除法的应用。
一、整式的乘法整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
它的应用非常广泛，例如在代数表达式的化简、方程的解法、图形的面积计算等方面都有应用。
举例一：化简代数表达式假设有一个代数表达式：(3x + 2)(x - 5)。
我们可以使用整式的乘法运算将其展开化简。
首先，将括号中的每一项与另一个括号中的每一项相乘，得到以下结果：3x * x + 3x * (-5) + 2 * x + 2 * (-5)。
然后，将同类项相加合并，得到最简形式的代数表达式：3x^2 - 15x + 2x - 10。
最后，将同类项合并得到最终结果：3x^2 - 13x - 10。
通过整式的乘法运算，我们成功地将代数表达式化简为最简形式，从而更方便地进行后续计算或分析。
二、整式的除法整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
它的应用也非常广泛，例如在多项式的因式分解、方程的解法、函数的图像绘制等方面都有应用。
举例二：因式分解假设有一个整式：x^3 - 8。
我们希望将其进行因式分解，以便更好地理解和分析。
首先，我们可以观察到这个整式是一个立方差式，即一个立方数减去另一个立方数。
根据立方差公式，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x^2 + 2x + 4)。
通过整式的除法运算，我们成功地将整式进行了因式分解，得到了更简洁的表达形式。
这样，我们可以更方便地研究整式的性质和特点。
三、实际问题的应用整式的乘法与除法不仅仅是数学中的一种运算，它还能帮助我们解决实际问题。
例如，在几何中，我们可以使用整式的乘法来计算图形的面积或体积；在经济学中，我们可以使用整式的乘法来计算成本、利润等。
举例三：计算图形的面积假设有一个矩形，长为2x + 3，宽为3x - 4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学知识点归纳：整式的除法1．单项式除法单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式;
2．多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
分解因式2x3－8x＝。
计算：（1）2·a÷
（2）6x3-x
（3）
（4）2-
计算：满分
按下列程序计算,最后输出的答案是
A．B．．D．
若则的关系是（）
A．B．．D．
分解因式：=．
若x=12，=4，则x－=_______
等于（）
A．B．．D．
先化简再求值：
其中，
（）
A、
B、
、
D、​​​​​​​。