wjf生物统计学-第三章

e
−
( x − µ ) 2 σ 2
2
正态分布的特征
正态分布密度曲线是以 x = µ 为对称轴 的单峰、对称的悬钟形； 2f(x)在 x = µ 处达到极大值，极大值为
f (µ ) = 1
σ
2π
正态曲线（ 正态曲线（normal curve） ）
正态分布 密度函数曲线
分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：
P6 (2) = C62 (0.85) 2 (0.15) 6− 2 = 15(0.85) 2 (0.15) 4 = 0.00548648
3 P6 (3) = C6 (0.85)3 (0.15) 6−3 = 20(0.85)3 (0.15)3 = 0.04145344
P6 (4) = C64 (0.85) 4 (0.15) 6− 4 = 15(0.85) 4 (0.15) 2 = 0.17617711
概率计算
二项分布的概率计算，可以直接利用二项概率公式进行。 把时间A发生的次数k代入公式即可求得对应的概率。 [例]有一批种蛋，其孵化率为0.85，今在该批种蛋中 任选6枚进行孵化，试给出孵化出小鸡的各种可能情况的 概率。 这个问题属于贝努里模型，其中 q = 1 − 0.85 = 0.15 ，孵化6枚 种蛋孵出的小鸡数x服从二项分布 B ( 6 , 0 . 85 ) ，其中
P (21 . 64 ≤ x < 32 . 98 )
= 5 . 10 2 的正态分布，试 。
二项分布（ distribution的概率 二项分布（binomial distribution的概率
在n重贝努利试验中，事件A发生k次的概率恰好等于 （q+p）n二项展开式中的第k+1项，因此也将
Pn ( k ) = C nk p k q n − k , k = 0 ,1, 2 , ⋯ , n
称作二项概率公式。 二项概率公式。 二项概率公式 二项分布的意义及其性质 定义 设随机变量x所有可能取的值为零和正整数： 0,1,2,…,n,且有
P ( x = k ) = Pn ( k ) = C p q
k n k
n−k
, k = 0 ,1, 2 , ⋯ , n
（其中p>0,q>0,p+q=1）,则称随机变量x服从参数为n和p 的二项分布，记为 x ~ B ( n , p )
( pq ) / n
泊松分布(Possion
distribution）
泊松分布是描述小概率事件的，因而二项分布中， 当p很小，n很大时，可用泊松分布逼近。
泊松分布的意义 泊松分布的意义 （一）定义
若随机变量x(x=k)只取零和正整数值，且其概率 分布为
P(x = k) =
λk
k!
e
−λ
其中k=0，1，…；λ＞0;e=2.7182…是自然对数 的底数，则称X服从参数为λ的泊松分布记为x～ x P(λ)。 P(λ)
∑
m
k =0
C nk p k q n − k
m2
k P(m1 ≤ x ≤ m2 ) = Pn (m1 ≤ k ≤ m2 ) = ∑Cn p k q n−k (m1 ≤ m2 ) k =m1
P ( x ≥ m ) = Pn ( k ≥ m ) =
k =m
∑
n
C nk p k q n − k
二项分布的概率计算及其应用条件
2
令u=(x-30.26)/5.10,则u服从标准正态分布，故
21.64 − 30.26 x − 30.26 32.98 − 30.26 P(21.64 ≤ x < 32.98) = P( ≤ < ) 5.10 5.10 5.10 = P(−1.69 ≤ u < 0.53) = Φ(0.53) − Φ(−1.69) = 0.6564
5 P6 (5) = C6 (0.85) 5 (0.15) 6−5 = 6(0.85) 5 (0.15)1 = 0.39933478
P6 ( 6 ) = C 66 ( 0 . 85 ) 6 ( 0 . 15 ) 6 − 0 = ( 0 . 85 ) 6 = 0 . 37714952
思考：求 1、至少孵出3只小鸡的概率是多少？ 2、孵出的小鸡数在2-5只之间的概率是多大？
= 1 2π
1 2π
∫
u2
u1
e
u2 − 2
du
du
∫
u2
−∞
e
u2 − 2
1 du − 2π
∫
u1
−∞
e
u2 − 2
= Φ (u 2 ) − Φ (u1 ) 而 Φ （ u 2）与 Φ (u1 )可查表得出
一般正态分布的概率计算
将区间的上下限标准化，服从正态分布的随机变量x落在 将区间的上下限标准化 〔x1,x2〕内的概率，等于服从标准正态分布的随机变量u落 在 [( x1 − µ ) / σ , ( x2 − µ ) / σ ) 的概率。 然后查标准正态分布的概率表 查标准正态分布的概率表 [例]若x服从 µ = 30 . 26 , σ 求
（二）特征
泊松分布作为一种离散型随机变量的概率分布有 一个重要的特征，即泊松分布的平均数 方差 平均数和方差 平均数 方差相 等，都等于常数λ， 都等于常数λ 都等于常数 即μ=σ2=λ μ=σ =λ。 利用这一特征， 可以初步判断一个随机变量是否服 从泊松分布。
n = 6 , p = 0 . 85
， x的可能取值为0，1，2，3，4，5，6。
其中
0 P6 (0 ) = C 6 ( 0.85 ) 0 ( 0.15 ) 6 = ( 0.15 ) 6 = 0.00001139 1 P6 (1) = C 6 (0.85)1 (0.15) 6 −1 = 6(0.85)1 (0.15) 5 = 0.00038728
即减平均数 u 后再除以标准差 减平均数 后再除以标准差，将其变换为服从标准 正态分布的随机变量。对不同的u值编成函数表，称 为正态分布表，从中可以查到任意一个区间内曲线下 的面积，即为概率。
正态分布的概率计算
标准正态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则u落在[u1, u2)内的概率
P (u1 ≤ u < u 2 ) =
标准正态分布的概率密度函数及分布函数如下
ϕ (u ) =
1 e 2π
−
µ2
2
, Φ (u ) =
1 2π
∫
µ
−∞
e
−
1 2 µ 2
dµ
若随机变量u服从标准正态分布，记作
u ~ N (0,1)
标准化的方法 对于任何一个服从正态分布 N （ µ ， σ 2） 的随机变量 x，都可以通过标准化变换：
u = (x − µ ) /σ
− 1 P ( −∞ < x < +∞ ) = ∫ e −∞ σ 2π +∞ ( x− µ )2 2σ
2
dx
σ相同而μ不同的三个正态总体 µ相同而 不同的三个正态总体 相同而μ 相同而σ不同的三个正态总体 相同而
标准正态分布 distribution） （standard normal distribution）
概率分布( 概率分布(probability distribution)
若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可 能结果及各种结果发生的概率，即试验结果的 概率分布。
正态分布（normal distribution） （ distribution）
正态分布是一种很重要的特殊的连续型随机变量的概率 连续型随机变量的概率 分布。 分布 1、生物现象中有许多变量是服从或接近正态分布的； 2、许多统计分析方法都是以正态分布为基础的； 3、此外，还有不少随机变量在一定条件下以正态分布为其极 限分布。 因此，正态分布无论对理论研究还是实际应用，在统计学 中均占有重要的地位。
二项分布的平均数与标准差
统计学证明，服从二项分布B(n,p)的随机变量之 平均数μ、标准差σ与参数n、p有如下关系： 当试验结果以事件A发生次数k 1、当试验结果以事件A发生次数k表示时 µ = np
σ =
µp = p σp =
npq
当试验结果以事件A发生的频率k 2、当试验结果以事件A发生的频率k／n表示时
正态分布的定义及其特征 （一）定义
若连续性随机变量x的概率分布密度函数为

f ( x ) =
其中，µ 为平均数， 为方差，则称随机变量x服从正态分 布,记为 x ~ ( µ , σ 2 ) 相应的概率分布函数为
F ( x ) = 1
σ σ
2
1 2 π
e
−
( x − µ ) 2 σ
2
2
σ
2π
∫
x − ∞
二项分布的性质
二项分布具有概率分布的一切性质，即 1、 P ( x = k ) = Pn ( k ) ≥ 0 （k=0,1,2,…,n）
2、二项分布的概率之和等于1，即
∑
n
C
k = 0
k n
p
k
q
n − k
= (q + p )
n
= 1
在运算中经常要根据题目要求运算时要应用 到的，要注意理解。
P ( x ≤ m ) = Pn ( k ≤ m ) =
第三章 几种常见的概率分布律
生物学研究中三种常用的概率分布，即 正态分布、 正态分布、 二项分布 泊松分布，样本平均数的抽样分布与 分布 泊松分布 样本平均数的抽样分布与t分布。 样本平均数的抽样分布
probability） 概 率（probability）
（一）定义 设在同一条件组下进行了n次试验，事件A 发生了m次。当随着n的增大，如果事件A发生的的频率 频率m 频率 ／n稳定地接近某一数值p，则称p为随机事件A在条件组 下发生的概率，记为P(A)=p。当n 充分大时， P( A) = m ／ n 。 （二）小概率事件与小概率原理 当事件A的概率与0非常接近时， 称此事件为小概率事件 小概率事件。 小概率事件 小概率事件虽然不是不可能事件，但通常认为在一次试 验中实际上是不可能发生的，称之为“小概率事件实际 “ 不可能性原理” 这是统计假设检验的基础 这是统计假设检验的基础。 不可能性原理”。这是统计假设检验的基础。