第八章(阻抗和导纳)
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电路分析第8章 阻抗与导纳
复数Ａ可用几种形式表示
b
A
r
0
幅角
a
+1
复数可用有向线段表示
A=a+jb =r(cos +jsin ) =rej =r
代数式 指数式 极坐标式
a=rcos b=rsin
r = a2+b2
设A1 = a1+ jb1 = r1 1 复数运算 A = a + jb = r 2 2 2 2 2 A1 · 2 = r1 ·2 (1+2) 极坐标式 A r
t(s)
t (rad)
i (t)= Imcos (t+) 正弦交流电的三要素： （1）幅值 Im （2）角频率 （3）初相位 0
i T/2 T 2 t(s)
t (rad)
1. 频率与周期
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；
频率 f ：正弦量每秒内变化的次数； i 1 Im f T 2 t 交流电每交变一个周期便变 0 Ｔ t 化了2弧度，即 T = 2 T –Im 2π 角频率 : 2πf T ［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+)
由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) i(t) = Imcos(t+) = Re[Imej(t+) ]=Re[Imej ejt] = Re[Im ejt] 式中 Im = Imej =Im / = Imcos+jImsin —
b
A
r
0
幅角
a
+1
复数可用有向线段表示
A=a+jb =r(cos +jsin ) =rej =r
代数式 指数式 极坐标式
a=rcos b=rsin
r = a2+b2
设A1 = a1+ jb1 = r1 1 复数运算 A = a + jb = r 2 2 2 2 2 A1 · 2 = r1 ·2 (1+2) 极坐标式 A r
t(s)
t (rad)
i (t)= Imcos (t+) 正弦交流电的三要素： （1）幅值 Im （2）角频率 （3）初相位 0
i T/2 T 2 t(s)
t (rad)
1. 频率与周期
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；
频率 f ：正弦量每秒内变化的次数； i 1 Im f T 2 t 交流电每交变一个周期便变 0 Ｔ t 化了2弧度，即 T = 2 T –Im 2π 角频率 : 2πf T ［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+)
由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) i(t) = Imcos(t+) = Re[Imej(t+) ]=Re[Imej ejt] = Re[Im ejt] 式中 Im = Imej =Im / = Imcos+jImsin —
第八章 阻抗和导纳(a)
20
2. 基尔霍夫定律的相量形式
时域形式 KVL） （KVL）
相量形式
& ΣUkm =0
Σu=0
Σi =0
KCL） （KCL）
& ∑I
km
=0
21
§8.5
1、电阻
三种基本电路元件VCR的相量形式 三种基本电路元件VCR的相量形式 VCR
相量
时域
i(t) = Im cos(ω +ϕi ) t
u(t) = ImRcos(ω +ϕ ) t i =Um cos(ω +ϕu) t
17
3
振幅相量——正弦量的相量表示法 振幅相量——正弦量的相量表示法
u(t) =Um cos(ω +ϕu ) t
（1） 可用： 可用：
.
一个正弦电压量
& =U ejϕu =U ∠ Um m m ϕu
有欧拉公式的关系： 有欧拉公式的关系：
的振幅相量， 称 Um 为u的振幅相量，简称相量 因为： 因为：
7
（1）加减运算（续） 加减运算（
加减运算的平行四边形法则
复数的加、减可以在复平面上用作图法完成。 复数的加、减可以在复平面上用作图法完成。如 (a)所示作一个平行四边形 所示作一个平行四边形， (b)将两个 图 (a)所示作一个平行四边形，或图 (b)将两个 矢量首尾相连， 矢量首尾相连，都可以得到两个矢量的相加之和
2. 基尔霍夫定律的相量形式
时域形式 KVL） （KVL）
相量形式
& ΣUkm =0
Σu=0
Σi =0
KCL） （KCL）
& ∑I
km
=0
21
§8.5
1、电阻
三种基本电路元件VCR的相量形式 三种基本电路元件VCR的相量形式 VCR
相量
时域
i(t) = Im cos(ω +ϕi ) t
u(t) = ImRcos(ω +ϕ ) t i =Um cos(ω +ϕu) t
17
3
振幅相量——正弦量的相量表示法 振幅相量——正弦量的相量表示法
u(t) =Um cos(ω +ϕu ) t
（1） 可用： 可用：
.
一个正弦电压量
& =U ejϕu =U ∠ Um m m ϕu
有欧拉公式的关系： 有欧拉公式的关系：
的振幅相量， 称 Um 为u的振幅相量，简称相量 因为： 因为：
7
（1）加减运算（续） 加减运算（
加减运算的平行四边形法则
复数的加、减可以在复平面上用作图法完成。 复数的加、减可以在复平面上用作图法完成。如 (a)所示作一个平行四边形 所示作一个平行四边形， (b)将两个 图 (a)所示作一个平行四边形，或图 (b)将两个 矢量首尾相连， 矢量首尾相连，都可以得到两个矢量的相加之和
电路课件第8章阻抗与导纳
导纳的应用还包括在通信系统中， 用于描述信号的传输和接收特性。
阻抗与导纳的实验研究
实验目的：通过实验研究阻抗与导 纳的基本性质和特点
实验目的与原理
实验设备：电阻箱、电容箱、电感 箱、信号源、示波器等
添加标题
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添加标题
添加标题
实验原理：基于电路理论，通过测 量电路中的电压、电流等参数，分 析阻抗与导纳的关系
添加标题
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导纳是电导和电感的矢量和
添加标题
添加标题
导纳是交流电路中的一个重要参数
阻抗与导纳的物理意义
阻抗的物理意义
阻抗是电路中电压与电流 之间的相位差
阻抗是电路中能量的转换 与传输的物理量
阻抗是电路中元件或系统 对电流的阻碍作用
阻抗是电路中元件或系统 对电压的响应
导纳的物理意义
导纳是阻抗的倒数，表示元件在电路中的导电能力 导纳与阻抗的关系是互为倒数，一个元件的导纳等于其阻抗的倒数 导纳是复数形式，包含实部和虚部，实部表示电阻，虚部表示电感和电容 导纳的大小取决于元件的材料、结构、频率等因素
感谢观看
汇报人：PPT
阻抗是电路中电阻、电感和电容对交流电的阻碍作用的总和。 阻抗的大小取决于电路元件的电阻、电感和电容的值。 阻抗是交流电路中的重要参数，它对电路的性能和稳定性有着重要的影响。 在交流电路中，阻抗的大小和相位角是两个重要的参数，它们可以用来描述电路的特性。
8第八章(阻抗和导纳)
VCR相量形式：
du iC wCU m cos(wt y u 90) wCU m y u 90o dt o w CU y 90 I m y i m u I m cos(wt y i )
m m
U e jy U y 其中：U m m m
包含了正弦电压u(t)的振幅和初相两种信息，所以 U m
称为正弦电压u(t)的电压振幅相量，同样也有电流振幅相 I m 。为了与普通复数相区别，在表示相量的字母上加 量 一点。
如正弦电压： u(t ) 100cos(314 t 600 )
而： i3 (t ) 44.72 cos(wt 33.430 ) o I 44.7233.43
3m
I I I 1m 2m 3m
由此可知，采用相量的代数运算比采用繁琐的三角运算更为 简便，并得出下面的结论： (1)线性性质 表示若干个同频率正弦量线性组合的相量等于表示各个正 弦量的相量的同一线性组合。
2 s域模型 ②
→适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯 变换。 1 、 2 两种模型均与电阻模型作类比，从而得 类比 以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一 种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时 域响应。
上一章曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是通过待 定系数法求解微分方程的特解得出答案，即使电路简单，但 也显得麻烦。如果把时间的正弦函数变换为相应的复数(相量) 后，解微分方程特解的问题将可化作解代数方程的问题，且 可运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就 是本章的主要内容。 本章分为两个部分，第一部分在引入阻抗、导纳的基础上 再引入相量模型，强调类比运用已熟悉的电阻电路的解法， 重点在求解电压、电流的瞬时值；第二部分引入相量图法， 重点在求解电压、电流的有效值和相位。
du iC wCU m cos(wt y u 90) wCU m y u 90o dt o w CU y 90 I m y i m u I m cos(wt y i )
m m
U e jy U y 其中：U m m m
包含了正弦电压u(t)的振幅和初相两种信息，所以 U m
称为正弦电压u(t)的电压振幅相量，同样也有电流振幅相 I m 。为了与普通复数相区别，在表示相量的字母上加 量 一点。
如正弦电压： u(t ) 100cos(314 t 600 )
而： i3 (t ) 44.72 cos(wt 33.430 ) o I 44.7233.43
3m
I I I 1m 2m 3m
由此可知，采用相量的代数运算比采用繁琐的三角运算更为 简便，并得出下面的结论： (1)线性性质 表示若干个同频率正弦量线性组合的相量等于表示各个正 弦量的相量的同一线性组合。
2 s域模型 ②
→适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯 变换。 1 、 2 两种模型均与电阻模型作类比，从而得 类比 以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这是一 种手段，较简便地得到客观存在的动态电路时 域响应。
上一章曾求解过简单电路的正弦稳态问题，当时是通过待 定系数法求解微分方程的特解得出答案，即使电路简单，但 也显得麻烦。如果把时间的正弦函数变换为相应的复数(相量) 后，解微分方程特解的问题将可化作解代数方程的问题，且 可运用电阻电路的分析方法来处理正弦稳态分析问题，这就 是本章的主要内容。 本章分为两个部分，第一部分在引入阻抗、导纳的基础上 再引入相量模型，强调类比运用已熟悉的电阻电路的解法， 重点在求解电压、电流的瞬时值；第二部分引入相量图法， 重点在求解电压、电流的有效值和相位。
第8章 阻抗和导纳
ɺ I1m
600 －1200
+1
ɺ I3m
ɺ I2m = 10∠ 0 A 150
（3） i 3 ( t ) = − 4 cos( 314 t + 60 0 ) A
相量图
ɺ I3m = −4∠600 A = 4∠−1200 A
第八章 阻抗和导纳
§8-3 振幅相量
例 8-3 .
P11
电路分析基础
ɺ ɺ U 1 m = 50 ∠ − 30 0 V 、U 2 m = 220 ∠150 0 V 、 f = 50 Hz
相量形式 Im∠ψ i = ωCUm∠(ψ u + 900 )
+j
即
振幅关系
相位关系
ɺ ɺ Im = jωCUm
Im = ωCUm
ɺ Im
ψu
ɺ Um
ψi =ψu + 900
+1
（电容的电流超前电压900） 电容的电流超前电压
第八章 阻抗和导纳
三种基本电路元件VCR的相量形式 §8-5 三种基本电路元件 的相量形式
§8-3 振幅相量
设
则
电路分析基础
u(t) = Um cos(ωt +ψ ) u(t) = Re[Um cos(ωt +ψ ) + jUm sin( ωt +ψ )]
第八章-阻抗和导纳
5.用相量法分析正弦稳态电路响应；
6.相量模型的网孔分析法、节点分析法；
7.有效值、有效值相量。
8-1 变换方法的概念
1、变换方法的思路
原来的 问题 变换域中较 容易的问题 原来问题 的解答 变换域中问 题的解答
2、变换方法的三个步骤
1）把原来的问题变换为一个较容易处理的问题； 2）在变换域中求解问题； 3）把变换域中求得的解答反变换为原来问题的 解答。
iC
uC
2I C cos(t i )
2U CΒιβλιοθήκη Baiducos(t u )
iC C
du C dt
3、相量图 相量在复平面上的有向线段。
Um Um
+j
Um
Um
O
+1
例：画出 i1 10 cos(t 30 )A
i 2 5 cos(t 45 )A 和 i 3 12.5 cos( t 120 )A
相对应的相量图 .
+j
I3m
120
I1m
3、变换方法实例
1）对数运算实例
x
2 .3 5
5 0 .6 9 8 9 2 .3 5 0 .2 9 7 4
2 .3 5 lg x lg 5 lg x lg x lg
1 5 2 .3 5
CA1-chapter08第八章：阻抗与导纳
= ∑ ik
•
k 1= k 1 =
= Re I e ∑
km jθ k n • k =1
0
KVL可表示为
I km I km e , =
I = ∑
km
0
∑U
k =1
n
•
km
=0
在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电流相量和电 压相量写出，也可直接用电流振幅相量和电压振幅相量写 出
三种基本元件V-A关系的相量表示
Z= U I
• •
=
2U 2I
•
•
=
Um Im
•
•
把阻抗的倒数定义为导纳，记为Y，即
导纳的单位为西门子(S)。电阻、电容和电感的导纳分别 为 1 1 1 = −j YR = = G YC = jωC YL = R jωL ωL
1 Y= Z
Y=
I U
•
•
引入了相量、复阻抗和导纳的概念后，克西霍夫定律、欧 姆定律和电阻网络的形式完全相同，差别仅在于用电压和 电流相量代替原来的电压和电流，用阻抗和导纳代替原来 的电阻和电导。使用这一替换，计算电阻电路时的公式和 方法就可以完全用到正弦稳态电路上来。
第八章：阻抗与导纳
正弦电压和电流 正弦RC电路的分析 正弦量的相量表示法 基尔霍夫定律的相量表示 三种基本元器件V-A特性的相量表示 复阻抗 正弦稳态电路分析
第八章阻抗和导纳
如：Um、Im
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电 表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效 值。标准电压220V，也是指供电电压的有效值。
有 效 值 概 念
交流电流 i通过电阻R 在一个周期T内产生的 T 热量与一直流电流I通 过同一电阻在同一时 间T内产生的热量相等， 0 则称I的数值为i的有效 值
3
6
)
3 t1＝ 3 ＝1.047ms 10
当 10 t1 3 有最大值
例3
100
i
50
已知余弦电流波形如图，＝ 103rad/s，（1）写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1 t 3
t1
0
解: i ( t ) 100 cos(10 t ) t 0 50 100 cos
u i j
O
t
j <0， i 领先(超前) uj 角，或u 落后(滞后) i j 角(i 比 u 先到达最大值)。
特殊相位关系：
u, i u i
j = 0， 同相
0
t
u, i i u
j = ( 180 ) ，反相
o
0
t
u, i u i O
t
j= /2： 正交 u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3/2； i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3/2。
电路分析第八章阻抗和导纳
jωt )= 0 Σi k ( t ) =Σi km cos(ωt +θk) =Σ Re (Í kme
KCL相量形式：在任一节点， I km 0
k 1
k
.
k 1
Ik 0
k
.
k 1
(2) KVL
沿任一回路， Σu k( t ) = 0
k .
KVL相量形式：沿任一回路， U km 0 U k 0
8-1 变换方法的概念
基本思路
原来的 问题 直接求解 原来问 题的解 答
变换
反变换
变换域 中较易 的问题
求解
变换域 中问题 的解答
8-3振幅相量
1.正弦稳态电路 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征:振幅，角频率ω，初相角θ
������
正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅 变换的思想 正弦量 复数
2. 振幅相量
欧拉恒等式: ejθ=cosθ+jsinθ
正弦波: u(t)= Umcos(ωt+θ) Ùm������
u(t)=Re[ Um ej(ωt+ θ) ] =Re[ Um ejθ ejωt ]
=Um e jθ =Um ∠θ
在确定频率下, 正弦波都有唯一与其对应的复数-----相量。
KCL相量形式：在任一节点， I km 0
k 1
k
.
k 1
Ik 0
k
.
k 1
(2) KVL
沿任一回路， Σu k( t ) = 0
k .
KVL相量形式：沿任一回路， U km 0 U k 0
8-1 变换方法的概念
基本思路
原来的 问题 直接求解 原来问 题的解 答
变换
反变换
变换域 中较易 的问题
求解
变换域 中问题 的解答
8-3振幅相量
1.正弦稳态电路 正弦波 u(t)= Umcos(ωt+θu) i(t)= Imcos(ωt+θi)
三特征:振幅，角频率ω，初相角θ
������
正弦稳态电路各电压电流响应与激励均为同频率正弦波。 对于正弦稳态电路，只需确定初相位和振幅 变换的思想 正弦量 复数
2. 振幅相量
欧拉恒等式: ejθ=cosθ+jsinθ
正弦波: u(t)= Umcos(ωt+θ) Ùm������
u(t)=Re[ Um ej(ωt+ θ) ] =Re[ Um ejθ ejωt ]
=Um e jθ =Um ∠θ
在确定频率下, 正弦波都有唯一与其对应的复数-----相量。
第八章_阻抗和导纳
14
例1:
i1 ( t ) = 5 2 cos( ω t + 53 .1 ° )
i2 (t ) = 10 2 cos(ωt 36.9°)
i( 求:t ) = i1 (t ) + i2 (t )
解: 正弦量以相量表示,有 正弦量以相量表示,
i1 ( t )
i(t)
I 1 = 5∠ .1° = 3 + j4 53
u=i+90 感抗) X L = ωL(感抗)
3
3 复数的运算
(2)复数的乘除 (2)复数的乘除
两个复数进行乘除运算时,可将其化为指数式或极坐标式来进行. 两个复数进行乘除运算时,可将其化为指数式或极坐标式来进行. 如: Z =a +jb = r1∠θ1 1 1 1 Z2=a2+jb2 = r2∠θ2
Z1 r1∠θ1 r1 = = ∠(θ1 θ2 ) Z2 r2∠θ2 r2
i2 (t ) (t
I 2 =10∠ 36.9° = 8 j6
I = I 1 + I 2 =11 j2 =11.18∠10.3°
∴
i(t) =11.18 2 cos(ωt 10.3°)
15
例2
图示电路,已知 图示电路,已知:
+ u1(t) u3(t) u2(t) +
u1 (t ) = 6 2 cos( ω t + 30 °)
例1:
i1 ( t ) = 5 2 cos( ω t + 53 .1 ° )
i2 (t ) = 10 2 cos(ωt 36.9°)
i( 求:t ) = i1 (t ) + i2 (t )
解: 正弦量以相量表示,有 正弦量以相量表示,
i1 ( t )
i(t)
I 1 = 5∠ .1° = 3 + j4 53
u=i+90 感抗) X L = ωL(感抗)
3
3 复数的运算
(2)复数的乘除 (2)复数的乘除
两个复数进行乘除运算时,可将其化为指数式或极坐标式来进行. 两个复数进行乘除运算时,可将其化为指数式或极坐标式来进行. 如: Z =a +jb = r1∠θ1 1 1 1 Z2=a2+jb2 = r2∠θ2
Z1 r1∠θ1 r1 = = ∠(θ1 θ2 ) Z2 r2∠θ2 r2
i2 (t ) (t
I 2 =10∠ 36.9° = 8 j6
I = I 1 + I 2 =11 j2 =11.18∠10.3°
∴
i(t) =11.18 2 cos(ωt 10.3°)
15
例2
图示电路,已知 图示电路,已知:
+ u1(t) u3(t) u2(t) +
u1 (t ) = 6 2 cos( ω t + 30 °)
电路分析第八章 阻抗和导纳
I I i
相量关系：
-
j L
U L LI i π 2
相量模型
U L j L I jX L I
8.5 三种基本电路元件的VCR相量形式
3.电容元件VCR的相量形式
iC(t)
时域形式：
u(t ) U cos(t u )
+ u(t) IC
1 f T
单位：秒s
单位：赫(兹)Hz
8.3 振幅相量
2.正弦量的三要素 i(t)=Imsin( t+y) (1)幅值(振幅、最大值)Im 0 t i T
反映正弦量变化幅度的大小 (2)角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢
(3)初相位y
2π f 2π T
单位： rad/s ，弧度/秒
jt
u (t ) 1u1 (t ) 2u2 (t ) Re[(1U 1 2 U 2 )e jt ]
相量关系为：
U 1U1 2U 2
8.4 相量线性性质与Kirchhoff Law相量形式
u1 (t ) 6cos(314t 30 ) V u2 (t ) 4cos(314t 60o ) V
j( t+ )
]
Re[U m e e ] Re[U m e e ] e j t ] Re[U m U e j U Um m m
相量关系：
-
j L
U L LI i π 2
相量模型
U L j L I jX L I
8.5 三种基本电路元件的VCR相量形式
3.电容元件VCR的相量形式
iC(t)
时域形式：
u(t ) U cos(t u )
+ u(t) IC
1 f T
单位：秒s
单位：赫(兹)Hz
8.3 振幅相量
2.正弦量的三要素 i(t)=Imsin( t+y) (1)幅值(振幅、最大值)Im 0 t i T
反映正弦量变化幅度的大小 (2)角频率ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢
(3)初相位y
2π f 2π T
单位： rad/s ，弧度/秒
jt
u (t ) 1u1 (t ) 2u2 (t ) Re[(1U 1 2 U 2 )e jt ]
相量关系为：
U 1U1 2U 2
8.4 相量线性性质与Kirchhoff Law相量形式
u1 (t ) 6cos(314t 30 ) V u2 (t ) 4cos(314t 60o ) V
j( t+ )
]
Re[U m e e ] Re[U m e e ] e j t ] Re[U m U e j U Um m m
第八章课件 阻抗和导纳
KVL 及VAR
2、掌握阻抗、导纳的概念
3、正弦稳态的基本分析方法
第八章 阻抗和导纳
§8－1 §8－2 §8－3 §8－4 §8－5 §8－6 §8－7 复数 振幅向量 有效值向量 两类约束条件的相量形式 阻抗与导纳 分析正弦稳态电路的相量法 串并联电路分析 复杂电路分析举例
郑州大学信息工程学院
1 I I m 0.707 I m 2
电压振幅相量和有效值相量的关系为：
Байду номын сангаас 1 U U m 2
同理，电流的振幅相量和有效值相量的关系为：
1 I I m 2
第八章 阻抗和导纳
§8－1 §8－2 §8－3 §8－4 §8－5 §8－6 §8－7 复数 振幅向量 有效值向量 两类约束条件的相量形式 阻抗与导纳 分析正弦稳态电路的相量法 串并联电路分析 复杂电路分析举例
若渐近稳定的线性非时变电路中电源 是单一频率的正弦电源，则过渡过程完成 之后，电路中的电流和电压均是与电源同 频率的正弦量。称这种电路为正弦稳态电 路（有时又称为正弦电路或交流电路）， 相量法是分析正弦稳态电路的数学手段。
郑州大学信息工程学院
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第八章 阻抗和导纳
• 本章重点：
1、掌握相量形式的KCL
jw t
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re( U 1m e ) Re( U 2 m e jwt ) Re( U 1m e
阻抗和导纳-电路分析基础
给定正弦波的标准形式，可根据振幅和初相直接写出其振幅相量
I 1m 560
2019年2月23日星期六 信息学院
结束 结束
6
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
2、i2 (t ) 10sin(314t 60 ) A
给定正弦波不是标准形式，按照三角函数的变换关系，化成
标准形式后再写其振幅相量。
2019年2月23日星期六 信息学院
结束 结束
5
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
两者wenku.baidu.com间用
表示
三、相量图
相量在复平面上的图，称为相量图。 相量与 度 逆时针旋转。
e jt 的乘积在复平面上表示，该相量以恒定的角速
例8-2，写出各电流的振幅相量，并绘相量图
1、i1 (t ) 5 cos(314t 60 ) A
i1 (t ) 10cos(t 60 ) A i2 (t ) 5 sin(t ) A
求i3 (t )
解：为了利用KCL的相量形式，应首先写出i1、i2的振幅相量
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8-2 复数 一、表示形式 二、复数的四则运算 8-3 振幅相量 正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。 正弦波，以正弦电压为例，可表示为
u(t ) U m cos(t )
I 1m 560
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结束 结束
6
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
2、i2 (t ) 10sin(314t 60 ) A
给定正弦波不是标准形式，按照三角函数的变换关系，化成
标准形式后再写其振幅相量。
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5
第8章 阻抗和导纳
电路分析基础
两者wenku.baidu.com间用
表示
三、相量图
相量在复平面上的图，称为相量图。 相量与 度 逆时针旋转。
e jt 的乘积在复平面上表示，该相量以恒定的角速
例8-2，写出各电流的振幅相量，并绘相量图
1、i1 (t ) 5 cos(314t 60 ) A
i1 (t ) 10cos(t 60 ) A i2 (t ) 5 sin(t ) A
求i3 (t )
解：为了利用KCL的相量形式，应首先写出i1、i2的振幅相量
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8-2 复数 一、表示形式 二、复数的四则运算 8-3 振幅相量 正弦激励下电路的稳定状态称为正弦稳态。 正弦波，以正弦电压为例，可表示为
u(t ) U m cos(t )
阻抗和导纳
频率一经确定，即激励正弦信号频率一经确定，单口网络的阻 抗也就被确定，且仅由元件参数和网络拓扑所决定，并不随端 口电压或电流的变化而变化。当电路参数变化时，阻抗也随之 而变，那么 当激励是电流 I S ，根据
将随阻抗Z的变化而变化； 当激励是电压 U ，根据 S 也将随阻抗Z的变化而变化
U S ，响应 I பைடு நூலகம் Z
I
US
R
j L
UL
UR
1/ jC
UC
相量模型（符号电路）
欧姆定律的相量形式，称复数欧姆定律
US 1 R j( L ) R j( X L X C ) I C 1 L 1 2 C R2 ( X X )2 tan 1 X L X C Z R2 ( L ) tan 1 L C C R R Z
U
I
jB
G
其中 Y 导纳的模 Y 导纳角，约定 90 剟Y G 电导，B 电纳。 对同一端口，在同一频率下
90
1 Y Z
4
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
根据基尔霍夫定律的相量形式
U S U R U L U C RI j LI [ R j( L 1 )]I ZI C 1 I j C
Z Z Z U mS u i Im
输入阻抗
5
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
第八章 阻抗和导纳
正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
Im
•
I2
•
I2
2 1
•
•
I1 I2
i1= 2I1cos(wt1)
•
I1
i2= 2I2cos(wt2)
Re
•
•
I1 I2
•
I1=I11
•
I2=I22
第27页，共79页。
(2) 正弦量的微分，积分运算
iI
1)
di dt
j ωI
2) idtj1ωI
证明：
u, i u
O
哪个超前？？ j = ？？
i
wt
j = /2, 正交 j = /2：u 超前 i /2, 不说 u 滞后 i 3/2
第10页，共79页。
四、有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量
其大小工程上采用有效值来衡量。
1. 有效值(effective value)定义
定义： 若周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内产生的热 量，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内产生的热量，则称 电流I 为周期性电流 i 的有效值。
角随时间变化的速度。
相关量：
频率f (frequency) ：每秒重复变化的次数。
周期T (period) ：重复变化一次所需的时间。
Im
•
I2
•
I2
2 1
•
•
I1 I2
i1= 2I1cos(wt1)
•
I1
i2= 2I2cos(wt2)
Re
•
•
I1 I2
•
I1=I11
•
I2=I22
第27页，共79页。
(2) 正弦量的微分，积分运算
iI
1)
di dt
j ωI
2) idtj1ωI
证明：
u, i u
O
哪个超前？？ j = ？？
i
wt
j = /2, 正交 j = /2：u 超前 i /2, 不说 u 滞后 i 3/2
第10页，共79页。
四、有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了确切的衡量
其大小工程上采用有效值来衡量。
1. 有效值(effective value)定义
定义： 若周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内产生的热 量，等于一直流电流I 流过R , 在时间T 内产生的热量，则称 电流I 为周期性电流 i 的有效值。
角随时间变化的速度。
相关量：
频率f (frequency) ：每秒重复变化的次数。
周期T (period) ：重复变化一次所需的时间。
第八章 阻抗和导纳
由线性性质得
其中: 为流出该节点的第k条支路正弦电流ik的振幅相量，K为该节 点处的支路数。
• 同理：在正弦稳态电路中，沿任一回路，KVL可表示为：
0 (8 14) U km
k 1
K
为回路中第k条支路的电压振幅相量 U ，K为该回路的支路数。 km
如果复数用极坐标形式 表示，例如 A a a , B b b，则 A ae ja a j (a b ) a jb e ( a b ) B be b b
注意：一般来说，复数的乘、除运算用极坐标形式进行 较为简便，但在作理论分析、公式推导时往往需要用直角坐 标形式来进行乘除运算。
A a cos ja sin a(cos j sin )
(8 7) (8 8)
(8 6)
e j cos j sin j A ae （8-6）式可进一步写作
又根据欧拉恒等式
（8-7）式可简写作 A a 可读为“a在一角度θ”。
二、复数的四则运算
解得
借助对数表就能顺利地进行解算。 上述计算过程大家并不陌生。实际上，它就是一种变换方 法，对照图8-1，这一计算过程可表如图8-2所示。
x2.35=5
取对数 （变换）
？
x=1.983
求反对数 （反变换）
（8-2）式
求解
（8-3）式
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§2 相量（解析）法
8-3
相量法可分为解析法和图解法，前者是主要 的，后者只是子方法。基础在于把正弦函数变换 为相量，相量实际上就是一个复数。
§2-1 正弦函数与相量的互换
§2-2 KCL、KVL的相量形式 §2-3 阻抗(impedance)—相量法的核心
§2-4 相量模型（phasor model）
(c)相量图代替波形图，表明振幅和初相，简便直观！
（4）正弦函数变换为相量的理论根据是欧拉恒等式。
§2-2 KCL、KVL的相量形式
8-7
（1）sss电路的某节点如图所示，已知
i2
i3
i1
i1 (t) 20 cos(t 30)mA, i2 (t) 40 cos(t 60)mA,
未知量i3可根据KCL求得。
同频率正弦量之和仍为一同频率的正弦量
由此可设想：i1、i2和i3的关系也可用相量表示，即
I1m I2m I3m
i1
检验：20 30 4060 (17.32 j10) (20 j34.64)
37.32 j24.64 44.7233.43 I3m
因此，对sss电路KCL可表为
Ikm 0
(8—13)
(2) 对sss电路KVL可表为
Ukm 0 (8—14)
8-9
(3) 例题 已知 uab 10 cos(t 60)V, ubc 8sin( t 120)V,
求： u acBaidu Nhomakorabea
解一 uac uab ubc
运用三角方法求解，类似(1)，从略。
解二 运用KVL相量形式， Uac Uab Ubc
§2-1 正弦函数与相量的互换
（1）复数的两种形式
A a1 ja2 直角坐标形式
+j
A ae j a 极坐标形式
a2
A
a
θ
0
a1
+1
例1
解
例2
解
（2）正弦稳态电路的特点
8-4
正弦稳态(sinusoidal steady state，简作sss)电路的 特点—振幅相量的引入
所有电压、电流均为与激励同频率的正弦函数， 因此在sss电路中所有响应与激励仅在振幅、初相方面 有差别。在规定参考方向后，所有响应、激励均可用一 个极坐标形式的复数来表征---模a表明正弦量的振幅；
第三篇 动态电路的相量分析法和s域分析法
重提基本结构
一个假设→集总模型（电阻电路和动态电路） 两类约束→VCR + KCL、KVL 三大基本方法
1.叠加方法 2.分解方法
模型的化简
3.变换域方法 ---模型的类比(第三篇)
变换与类比
变换
动态电路的时域模型 变 换为
①1 相量模型 →适用于正弦稳态分析
②2 s域模型 →适用于线性动态电路的一般分析
模型变换的数学理论基础: 1 欧拉恒等式 2 拉普拉斯变换
类比 1 、2 两种模型均与电阻模型作类比，从而
得以充分利用熟知的电阻电路分析方法。这 是一种手段，较简便地得到客观存在的动态 电路时域响应。
第八章 阻抗和导纳
8-1
§1 变换方法的概念 §2 相量（解析）法 §3 相量图（解）法
（3） 例题
求 i(t) 5cos(314t 60)A
的(振幅)相量及相量图示。
8-6
解 ： 5cos(314t 60)A 560A +j
注意
即 i(t) Im
相量图（示）如右。
(a) 解中“→”不得写作“=”。
5 60。
5
。
60
0
+1
(b)ω=314rad/s，相量本身并不包含ω这一因素。sss电路 中所有正弦量的ω都是一样的，毋需表明。必要时，可 以把它视为相量以逆时针方向旋转的角速度。
m
② u i （相位关系）
包含①、②两关系
①、②—R在sss电路的特点来自u与i成比例
(b) C
VCR时域形式
8-12
在sss电路中，设 u U m cos(t u )
省略下标m。分三步： (a)、 (b)、 (c)。
(a) 把已知正弦量变换为对应的相量。
8-10
若选定以cos为标准, sin必须先化为cos，即
Asin( t ) A 90
得 uab Uab 1060 (5 j8.66)V ubc Ubc 8120 90 (6.93 j4)V
(b)复数运算
Uac Uab Ubc 1.93 j4.66 5.04 67.3V
(c) 反变换
5.04 67.3V 5.04cos(t 67.3)V
变换与反变换均极为容易！原来的三角运算→复数的代数运算。
更大的好处还在后面！！！
§2-3 阻抗（impedance）—相量法的核心 8-11
§1 变换方法的概念
8-2
变换方法举例----并不陌生！
求解 x 2.35 5
解： ⑴ 取对数（变换） 2.35 lg x = lg 5 ⑵ 运算（除法） lg x lg 5 0.6989 0.2974 2.35 2.35
⑶答案（反变换） x lg 1 0.2974 1.983
由此例可知： （a）变换方法可使运算简化； （b）与直接求解不同，需经三个步骤； （c）要知道如何“变换”和“反变换”。
i1(t) 20 cost cos 30 20sin t sin 30 i2 (t) 40 cost cos 60 40sin t sin 60
i3 (t) i1(t) i2 (t) 37.32cost 24.6sin t 44.72cos(t 33.43)mA
❖ sss电路的主定理（main theorem） 8-8
（1）基本元件VCR的相量形式
(a) R
u=Ri
VCR时域形式
在sss电路中，设 i I m cos(t i )
时域特点：
VCR相量形式：
u Ri RI m cos(t i )
U m cos(t u )
u、i同频率正弦波，且
RI m i U m u
即 Um RIm
①
Um
RI
（振幅关系）
辐角θ表明正弦量的初相。赋予这一物理意义的复数，
称为表征正弦函数的（振幅）相量。以电压u(t)为例
Um cos(t ) Um Um
Um —称为u(t)的（振幅）相量。
（2）正弦稳态电路的特点(续)
8-5
直流电阻电路中，在规定参考方向后所有 响应、激励均可用一个实数（正数、负数或零） 来表示。实数可以用直线上的点来表示；复数 则要用复平面上的点来表示。故复数可用以表 示物理量的两个“特征”。