最新人教版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》课前导引

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人教版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》说课课件

（1）复习圆的定义：
O
A
a
·
引导一：把一定点变为
两定点，到两定点的距离等于定长的动点的轨迹是什么？
F1
F2
F1
F2
以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验。
引导二

1、在画图的过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有变?

2、根据画椭圆的过程，类比圆的定义，你能归纳概括出椭圆的定义吗？
3、情感、态度和价值观：
通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生自主学习的能力，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识，扩展学生的数学视野.
3、教学重点、难点

重点：椭圆的定义及其标准方程
难点：椭圆的定义中常数加以限制的原因和标准方程的推导关键：掌握建立坐标系与根式化简的方法。
方案1：以F1、F2所在的直线为x轴，F1F2的中点为原点建
立直角坐标系由椭圆定义知： MF1 MF2 2a
y M F1 0 x
(x c )2 y 2 (x - c )2 y 2
2a
F
2
引导五：如何化简方程？
( x c ) y 2 ( x - c)2 y 2 2a
2 2
x y r
2 2
2
1.建系
2.设点
3.限制条件
4.坐标代入
4.化简
简记为：建设现（限）代化
♦ 小组探讨建立平面直角坐标系的方案并求出椭圆的标准方程 | MF 1 | | MF 2 | 2a(2a | F 1F 2 | 2c)
y M y
M
O

人教A版高中数学选修1-1教案：2.2.1椭圆及其标准方程

三、学习者特征分析
以探究问题为中心，感受推导椭圆方程的必要性和实际意义.通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风，通过椭圆标准方程的推导化简，体会数学的“对称美”和“简洁美”.通过师生、生生的合作学习，增强小组协作能力的培养，形成学习数学知识的积极态度.
四、教学过程
（一）创设情境，认识椭圆．
将圆心从一点“分裂”成两点，将细绳的两端固定在这两点，用笔挑起细绳并绷紧，移动笔，可画出什么图形？
(1)取一条细绳；
(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点、；
(3)用笔尖（）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？
通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力
六、教学评价设计
1．知识点：椭圆的定义及其标准方程
2．数学方法：用坐标法求动点轨迹方程
3．数学思想：数形结合思想、化归思想、不怕困难的思想
（设计意图：在总结时采用“知识点、方法、思想”的方式，目标明确，重点清晰，易于掌握所学内容，构建知识链。）
七、教学板书
椭圆及其标准方程
一．椭圆的定义三.例题
四.小结
课题名称：椭圆及其标准方程
姓名
工作单位
年级学科
高二数学
教材版本
人教A班2-1
一、教学难点内容分析
经历椭圆概念的探求过程，体会从形象到抽象、从具体到抽象的过程，培养学生的动手能力、合作学习能力以抽象概括能力，掌握推导椭圆方程的一般方法．
二、教学目标
掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．通过对椭圆的标准方程的探求，能根据椭圆方程和实际问题求a,b,c.
二．椭圆的标准方程五.作业

人教A版高中数学选修1-1第二章《椭圆及其标准方程》(第一课时)说课稿-PPT精品文档

2.椭圆的定义：平面内与两个定点 F 1 ， F 2的的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的，叫做椭圆的焦距。投影展示椭圆的定义。
以活动为载体，让学生在 “做”中学数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验。
小组代表归培养学生抽象思纳椭圆的定义。维和归纳概括的能力。
4.写出推导椭圆标准方程的过程。建系：(如右图) 设点：限制条件：代入：化简：预习课本，简单说明推导椭圆标准方程整理出推导椭的基本过程。圆方程的基本步骤。
让学生体会建、设、限、代、化求轨迹方程的基本步骤。
教学内容
5.椭圆的标准方程. 焦点在 x轴上焦点在 y轴上
教学活动设计意图教师活动学生活动
复习旧知，引入新课实践操作，自主学习质疑探究，解疑释惑典例探究，学以致用课堂训练，巩固提高归纳小结，布置作业
教学内容《预习案》
（探究课本内容，熟记基础知识，提升理解能力）
教学活动设计意图教师活动学生活动
3、教学重点与难点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程。
难点：椭圆的定义中常数限制条件的原因及椭圆的标准方程的推导。
二、学情分析
第一，在此之前，学生已学过运用坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够。第二，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在一定障碍. 第三，在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这在初中代数中没有详细介绍。
2、教学目标
(1)知识目标：
掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，会根据条件确定椭圆的标准方程，用待定系数法求椭圆的标准方程。

人教版高二数学选修1-1《椭圆及标准方程、几何性质》

椭圆及标准方程、几何性质一、椭圆定义及标准方程【知识要点】 1. 椭圆的定义第一定义：平面内,到两定点21,F F 距离之和等于定长（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆. 第二定义：平面内与一定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数))1,0((∈e e 的点的轨迹叫椭圆. 2. 椭圆的方程(1)标准方程: )0(12222>>=+b a b y a x 或 )0(12222>>=+b a by a y(2)一般方程：),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+ 【基础训练】1．已知点)2,0(1-F ,)2,0(2F ，动点P 满足621=+PF PF ，则动点P 的轨迹是（） A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A.2B.3C.4D.53．到两定点)0,2(),0,2(B A -的距离之和为8的动点的轨迹方程为。

4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)3,2(的椭圆的标准方程是。

【典例精析】例1．【标准方程的识别】方程13522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的范围是（）A.53<<-mB.51<<mC.13<<-mD.43<<-m 例2．【求标准方程】根据下列条件分别求出椭圆的的方程. (1)和椭圆364922=+y x 有相同的焦点,经过点)3,2(-Q .(2)中心在原点,焦点在x 轴上,从一个焦点看短轴的两端点的视角为直角且这个焦点到长轴上较近的顶点的距离为510-.例3．（2011全国）在平面直角坐标系中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22 过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为。

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆及其标准(第1课时)》教学设计

2.1.1 椭圆及其标准方程（第1课时）一、教学目标 1．核心素养发展数学抽象、直观想象素养，培养解析法解题能力，提高数学运算素养． 2.学习目标（1）了解椭圆的实际背景，熟悉从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义．（2）椭圆标准方程的推导与化简过程，掌握椭圆的标准方程的两种形式．（3）能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法,定义法求椭圆的标准方程． 3.学习重点椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式． 4.学习难点椭圆标准方程的建立和推导．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1预习教材3234P P -，思考平面内满足什么条件的动点轨迹是椭圆? 观察椭圆的形状，如何建立坐标系才能使椭圆的方程简单? 求椭圆的方程时，应该怎样列式? 列式时需要哪些量?任务2 预习教材3436P P -完成36P 相应练习题1,2 2．预习自测1. 椭圆22116925x y +=的焦点坐标是（） A ．(5,0)± B ．(0,5)± C ．(0,12)±D ．(12,0)± 解：D2. 设1F 、2F 为椭圆221259y x +=的焦点，P 为椭圆上一点，则△12PF F 的周长为（）A ．16B ．18C ．20D ．不能确定解：B（二）课堂设计 1．知识回顾(1)已知点()111222,,(,)P x y P x y 则12PP =(2)我们预习本课的椭圆的标准方程得两种形式是怎样的? 2．问题探究问题探究一椭圆的定义 ●活动一取一根定长的无弹性细绳,把它的两个端点固定在图板上,套上铅笔,移动笔尖,按照以下要求试一试看能画出什么图形?想一想笔尖到两个端点的距离在移动的过程中满足什么条件?①把两个端点固定在同一处； ②把两个端点拉开一段距离．(平面内两个定点分别是12,F F ，且该两点之间的距离是2c ，点M 是平面内任意一点，M 到两点1F 和2F 的距离之和是2a ，显然2a >2c )又阅读教材32P 的探究．试猜想平面内M 到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？ ●活动二平面内与两个定点12,F F 的距离的__和____等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__焦点______，___两焦点__间的距离叫做椭圆的焦距．问题探究二椭圆的标准方程建立与推导 ●活动一. 推导过程给定椭圆，它的焦点为12,F F ，焦距()1220F F c c =>，设椭圆上任意一点到焦点之和等到于()2a a c >.（1）建系：以经过椭圆两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则焦点12,F F 的坐标分别为()(),0,,0c c -.（2）列式：设点(),P x y 是椭圆上任意一点，由椭圆的定义得122PF PF a +=，()()2222x c y x c y a ++-+=.（3）化简：上式化简可得222221x y a a c +=-.由a c >得220a c ->，令222b ac =-（其中0b >），可得()222210x y a b a b+=>>.●活动二椭圆的两种标准方程焦点在x 轴上的椭圆标准方程为()222210x y a b a b +=>>焦点在y 轴上的椭圆标准方程为 ()222210y x a b a b+=>>其中a ，b ，c 的关系为 222a b c =+★▲问题探究三根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法,定义法求椭圆的标准例1已知12,F F 为椭圆2212516x y +=的两个焦点，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若2212AF BF +=，则AB =______8_________【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，数学思想：数形结合】详解：112220AF F B AF BF +++=，又2212AF BF +=，故：8AB = 点拨：椭圆定义可双向运用，即若()121222PF PF a a F F +=>,则点P 的轨迹为椭圆，反之，椭圆上的任意一点到两焦点的距离之和必为2a ，因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题，应先考虑是否能够使用椭圆定义求解．例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是 (3,0),(3,0)-，椭圆经过点 (5,0)；(2)两个焦点坐标分别是 ()0,5,(0,5)-，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程】详解： (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为()222210x y a b a b +=>>．2(510,?26a c ===222225,3,5316a c b a c ∴==∴=-=-=∴所求椭圆的方程为：2212516x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为：()222210y x a b a b+=>>222226,210,13,5,144a c a c b a c ==∴==∴=-=∴所求椭圆方程为：221169144y x +=. 点拔在椭圆的标准方程22221x y a b +=和22221y x a b+=中，一般规定0a b >>.如果给出具体的方程可由22,x y 的分母的大小确定焦点所在的坐标轴．2x 的分母大时，焦点在x 轴上，2y 的分母大时，焦点在y 轴上；反过来，如果焦点在x 轴上，则2x 的分母大，如果焦点在y 轴上，则2y 的分母大．例3 根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)经过两点1(0,2),(2A B .(2)经过点()2,3-且与椭圆229436x y +=有共同的焦点．【知识点：待定系数法求椭圆的标准方程】详解：(1)设所求椭圆的方程为221(0,0)mx ny m n m n +=>>≠，，∵椭圆过1(0,2),(2A B∴041314n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得114m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，即所求椭圆方程为2214y x += (2)∵椭圆229436x y +=的焦点为(0,，则可设所求椭圆方程为()22105x y m m m +=>+，又椭圆经过点()2,3-，则有4915m m +=+，解得10m =或 2m =- (舍去)，即所求椭圆的方程为2211015x y +=. 点拔：求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为221(0,0)mx ny m n m n +=>>≠，．将点的坐标代入解方程组求得系数. 3.课堂总结【知识梳理】1.平面内点M 到两定点12,F F 的距离和为常数，即122MF MF a += 当122a F F >时，点M 的轨迹是椭圆；当122=a F F 时，点M 的轨迹是一条线段12F F ；当122a F F <时，点M 的轨迹不存在2.椭圆()222210x y a b a b +=>>，()222210y x a b a b+=>>的相同点为它们的形状、大小都相同，都有222a b c =+，不同点为它们在坐标系中位置不同，焦点坐标也不相同．3.求椭圆标准方程的常用方法(1)待定系数法：先由题目的条件确定方程得类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数，这种方法叫做待定系数法．(2)定义法：利用椭圆的定义先求出a,再由222=-，求出b，从而得出方程．b a c【重点难点突破】(1)．推导椭圆的标准方程是本节学习的一个关键环节．应重点理解下述方面：一是如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单．二是在方程的推导过程中无理方程的化简，这类方程的化简方法：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方．(2)．椭圆的两种标准方程中，总是a>b>0，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．a、b、c始终满足c2＝a2－b2，焦点总是在长轴上．如果焦点在x轴上，焦点坐标是(－c,0)，(c,0)；如果焦点在y轴上，焦点坐标是(0，－c)，(0，c)．(3)．用待定系数法求椭圆的标准方程时，要首先进行“定位”，即确定焦点的位置；其次是进行定“量”，即求a、b的大小，a、b、c满足的关系有：①a2＝b2＋c2；②a>b>0；③a>c>0. 若不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．(4)．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点的问题时，要结合图形看能否运用定义．4.随堂检测1. 椭圆22+=的两焦点之间的距离是( )2312x yA．B.C.D．答案：D解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】2. 已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |＝4，则11||||AF BF +等于( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．16 答案：A解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，数学思想：数形结合】3．已知椭圆上一动点到两定点1F 、2F 的距离之和为20，1216F F =，则椭圆的方程为（）A ．22110036x y += B ．22110036y x += C ．221106x y +=或221610x y += D ．22110036x y +=或22110036y x +=．答案：D解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】（三）课后作业基础型自在突破1．椭圆2255x ky +=的一个焦点是( ()0,2，那么k 的值为( ) A ．－1 B ．1C.D ．答案：B解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】2. 平面上到两点()()5,05,0A B -、距离之和为8的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．轨迹不存在答案：D解析：【椭圆的定义】3．若△ABC 的两个顶点坐标为()()4,04,0A B -、，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．221259x y += B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠ D ．221(0)259x y y +=≠ 答案：D解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】8,10AB AC BC AB =+=>，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.4.椭圆2214x y m +=的焦距等于2，则m 的值为（） A ．5或3 B ．8 C ．5 D ．16 答案：A解析：【椭圆的标准方程的两种形式】考虑焦点分别在两个数轴上. 5. 动点到P 两定点()()3,0,3,0A B -距离之和为10，则点P 的轨迹方程为________．答案：2212516x y += 解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】∵ 610AB =<，∴所求轨迹为以,A B 为焦点的椭圆，由定义知5,3,4a c b ==∴=， ∴方程为2212516x y += 6. 椭圆221259x y +=上的点P 到焦点1F 的距离为2，Q 是1PF 的中点，则OQ 的值为．答案：4解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】考虑线段OQ 是线段2PF 的中位线. 能力型师生共研7. 过点()3,2-且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（） A ．2211510x y += B ．221225100x y += C ．2211015x y += D ．221100225x y += 答案：A解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】8．“0mn >”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C .充分而必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【椭圆的标准方程】9. 已知椭圆过3,45P ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点 4,35Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则此椭圆的标准方程是( )A. 22125y x += B. 22125x y += 或22125y x += C. 22125x y += D ．以上都不对答案：A解析：【椭圆的标准方程】10. 椭圆2214x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 的值为（）．A ．B ．C ．72D ．4 答案：C解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的通径，思想方法：数形结合】探究型多维突破11. 已知P 点在以1F 、2F 为焦点的椭圆上，点P 和3，2PF ⊥坐标轴，求椭圆的标准方程．答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的通径，思想方法：数形结合】由题意得：1PF =，2PF =2a a == 当焦点在x 轴上时，由2PF ⊥坐标轴可设(P c ，此时椭圆的方程为222155x y c +=-，把(,3P c代入方程得222155c c ⎝⎭+=-，解之得：2253c =（舍去）或253c = 所以2103b =，即椭圆的方程为2211053x y +=．同理可得，焦点在y 轴上时，椭圆的方程为2211053y x +=，所以椭圆的方程为2211053x y +=或2211053y x +=． 12.已知椭圆22:12516x y C +=内有一点()2,3M ，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的一点，求：（1）1PM PF -的最大值与最小值；（2）1PM PF +的最大值与最小值. 答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】（1）由椭圆方程知()125,3,0,(3,0)a F F =-.由于三角形两边之差小于第三边，连接1MF 并延长交椭圆于点1P ，则1P 是使1PM PF -取得最大值的点，于是1max 1)=PM PF MF -==（.1=PM PF -1()PF PM --则求1PM PF -的最小值，即求1PF PM -的最大值，连接1F M 并延长交椭圆于点2P ，则2P 是使1PF PM -取得最大值的点，即1PM PF -取得最小值的点，于是1min 1)= =PM PF MF -（－（2）由椭圆的定义知12210PF PF a +==，则12=10PF PF －，所以1221010()PM PF PM PF PM PF +=+-=+-，由（1）知2PM PF ≤-≤所以1min 10PM PF +=（），1max 10PM PF +=（）四、自助餐1. 椭圆22:1925x y C +=的焦点坐标是（） A ．(4,0)± B ．(0,4)± C ．(0,5)± D ．(5,0)± 答案：B解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】2. 设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两个焦点1F 、2F 的距离之差为2，则△12PF F 是（）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形．答案：B解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】3. 已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=> ，它的两个焦点分别为1F 、2F ，且128F F =弦AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为（）． A ．10 B ．20CD．答案：D解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】4. 已知方程221259x y m m +=-+ 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．925m -<<B ．825m <<C ． 1625m <<D ．8m > 答案：B解析：【椭圆的标准方程】由题意得90250925m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得825m <<.5. 已知椭圆的两个焦点分别是12,,F F P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．射线 D ．直线答案：A解析：【椭圆的定义，圆的定义,数学思想：等价转化】 ∵ 212,2PQ PF PF PF a =+=，∴12PQ PF a += 又∵1,,F P Q 三点共线，∴11PQ PF FQ +=，∴12FQ a =，即Q 在以1F 为圆心，以2a 为半径的圆上6. 我们把由半椭圆()22122:10x y C x a b +=≥与半椭圆()22222:10y x C x b c+=<合成的曲线称作“果圆”（其中222,0a b c a b c =+>>>），设点0F 是椭圆1C 的右焦点，12,F F 是椭圆2C 的上下焦点，12,A A 和12,B B 是“果圆”与x 轴和y 轴的交点，若012F F F ∆是边长为1的等边三角形，则,a b 的值分别为（）2AB.5,3C.5,4D答案：A解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】7.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．答案： 22143x y += 解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】由题意可得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，∴21a c =⎧⎨=⎩，故2223b a c =-=，所以椭圆方程为22143x y += 8. 点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上第二象限的一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P 点的坐标为____________答案： ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】9.已知椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆两焦点1F 、2F 连线的夹角为直角，则12PF PF = ．答案： 48解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】10．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程．答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】由题意216c =，291524a =+=， ∴280b =．又焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，∴所求方程为：22114480x y +=或22114480y x +=． 11．已知椭圆的中心在原点，且经过点()3,03P a b =，，求椭圆的标准方程．答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程】当焦点在x 轴上时，设其方程为()222210x y a b a b +=>>．由椭圆过点()3,0P ，知22901a b+=，又3a b =，解得221,9b a ==，故椭圆的方程为2219x y +=. 当焦点在y 轴上时，设其方程为()222210y x a b a b+=>>．由椭圆过点()3,0P ，知22091a b+=，又3a b =，联立解得229,81b a ==，故椭圆的方程为221819y x +=.故椭圆的标准方程为2219x y +=或221819y x +=.12.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，12112121,F F DF F F DF F DF ⊥=∆，求椭圆的标准方程. 答案：见解析解析：【椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】设()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =-，由121F F DF =得12DF c =，又1221121222DF F S DF F F ∆===，所以1c =且12DF =由112DF F F ⊥，得222211292DF DF F F =+=，所以22DF =122a DF DF =+=2221a b a c ==-=所求椭圆标准方程为2212x y +=。

《椭圆及其标准方程》教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计霞浦第一中学郑德松一、概述1．课名是《椭圆及其标准方程》，是高中数学选修1-1（人教版）2.1.1中的内容。

2．分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。

本节是第一课时.3．主要学习内容是运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。

4．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。

二、教学目标分析知识与技能：（1）学生能够归纳椭圆的定义，理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式；（2）明确焦点、焦距的概念；（3）学生能根据条件求出椭圆的标准方程。

过程与方法：（1）学生通过对椭圆概念的学习，达到提高观察分析、动手操作、概括能力，同时能养成分类讨论的数学思想方法；（2）学生通过亲身经历椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并学会处理比较复杂根式化简的思想方法。

情感态度与价值观：（1）通过对椭圆的学习，感受数学的对称、简洁、和谐美；（2）通过查找“神舟7号”有关材料，增强数学应用意识；（3）通过主动探究，讨论交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强对物理学习的兴趣。

三、学习者特征分析1．在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍.3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。

高中数学新人教B版选修1-1课件：2.1.1椭圆及其标准方程

且关于原点对称时,椭圆的方程才是标准形式).在椭圆的标准方程
中,a 表示椭圆上的点 M 到两焦点的距离的和的一半,可借助图形帮
助记忆,如图,a,b,c 恰能构成一个直角三角形,且都是正数,a 是斜边,
所以 a>b,a>c,且 a2=c2+b2,其中 c 是焦距的一半,叫做半焦距.
重难聚焦
名师点拨方程 Ax +By =C(A,B,C 均不为
(3)经过点 P(-2 3,1),Q( 3,-2).
分析:应用待定系数法求椭圆的标准方程,要注意“定位”与“定量”.
解:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,
2
∴设它的标准方程为2
+
2

2 =1(a>b>0).
∴2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10.
∴a=5,∴a2=25.又 c=4,
5- > 0,
错解由
得 3<k<5.
-3 > 0,
错因分析错解中没有注意到椭圆方程中 a>b>0 这一条件,当
a=b 时,方程并不表示椭圆.
5- > 0,
< 5,
正解由题意,得 -3 > 0, ⇒ > 3,
≠ 4.
5- ≠ -3
所以 k 的取值范围是 3<k<4 或 4<k<5.
名师点拨在椭圆的定义中 ,当定长等于|F1F2|时,动点的轨迹是线
段F1F2;当定长小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在.
知识梳理
【做一做1-1】到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M
的轨迹是(
)

高中数学2.1椭圆及其标准方程教案文新人教版选修1_1

课题：椭圆及其标准方程课时：08课型：新授课一、教学目标：1.知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标.2.过程与方法：让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题.3.情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.二、教学重点与难点重点：椭圆的标准方程难点：椭圆标准方程的推导三、教学过程：（一）讲授新课1．演示定义：【ppt演示】我们把叫做椭圆，这两个定点F1、F2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的，通常用2c （c>0）表示，而这个常数通常用2a表示,椭圆用集合表示为。

问题（1）定义应注意哪几点（2）定长和两个定点之间的距离大小还有哪些情况?.2．椭圆的标准方程（1）回顾求圆的标准方程的的基本步骤： yM1F 0 2Fx（2）椭圆标准方程的推导观察：你能从中找出a, c,22c a 表示的线段吗？我们推导出焦点在X 轴的椭圆的标准方程为:思考：焦点在Y 轴上椭圆的标准方程？ . 小结：同学们完成下表椭圆的定义图形标准方程焦点坐标a,b,c 的关系焦点位置的判断（二）例题讲练:例1： 1. 【2015高考广东，文8】已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．2.如果方程1my 4x 22=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是．例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程1.a=4,b=1,焦点在x 轴上.2.a=4,c=15,焦点在坐标轴上例3：1.已知两定点（-3，0），（3，0），若点P 满足1021=+PF PF ，则点P 的轨迹是，若点P 满足621=+PF PF ，则点P 的轨迹是 .2.P 为椭圆1162522=+y x 上一点,P 到一个焦点的距离为4,则P 到另一个焦点的距离为3.椭圆191622=+y x ,过焦点F 1的直线交椭圆于A,B 两点,则2ABF ∆的周长为例4：1.如果点M(x,y)在运动过程,总满足关系式:10)3()3(2222=-++++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.2.已知△ABC 的一边长6=BC ，周长为16，求顶点A 的轨迹方程.（三）课堂小结：1．椭圆的定义，应注意什么问题？2．求椭圆的标准方程，应注意什么问题？（四）布置作业：1．已知椭圆两个焦点1F （-2，0），F 2（2，0），并且经过点P )23,25(-，求它的标准方程.2．椭圆的两个焦点F 1（-8，0），F 2（8，0），且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，求此椭圆的标准方程.3．若B （-8，0），C （8，0）为ABC ∆的两个顶点，AC 和AB 两边上的中线和是30，求的重心G 的轨迹方程.。

人教课标版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程(第2课时)》教学设计

2.1.1 椭圆及其标准方程（第2课时）一、教学目标 1.核心素养发展直观想象素养，培养解析法解题、数形结合，等价转化的能力，提高数学运算素养 2.学习目标（1）进一步掌握椭圆的定义、标准方程；（2）会求与椭圆有关的点的轨迹和方程；（3）初步掌握利用椭圆定义及方程解决综合问题的方法． 3.学习重点椭圆的定义和与椭圆方程有关的综合问题． 4.学习难点与椭圆定义与方程有关的综合问题．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1 默写椭圆的定义和椭圆的两种标准方程及相应的焦点坐标． 2.预习自测1. 已知椭圆222116x y m+=的焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( )A ． 44m -≤≤B ． 44m -<<且0m ≠C ．4m <-或4m >D ．04m << 答案：B解析：考查椭圆定义2.已知椭圆22149x y +=的上下两个焦点分别为12,F F ，点P 为该椭圆上一点，若12,PF PF 为方程2250x mx ++=的两根，则m =_____________ 答案：3-解析：考查椭圆方程与定义 3. 已知12,F F 是两点，12=8F F ，(1)动点M 满足1210MF MF +=，则点M 的轨迹是____________． (2)动点M 满足128MF MF +=，则点M 的轨迹是__________．答案：（1）以12,F F 为焦点，焦距为8的椭圆，（2）线段12F F 解析：考查椭圆定义（二）课堂设计 1.知识回顾（1）已知两点()()111222,,,P x y P x y ，则其中点坐标为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭ （2）余弦定理：ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对边分别为,,a b c ，则2222cos c a b ab C =+-∠（3）椭圆的定义：平面内点M 到两定点12,F F 的距离和为常数，即122MF MF a +=当122a F F >时，点M 的轨迹是椭圆．（4）椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆标准方程为()222210x y a b a b +=>>焦点在y 轴上的椭圆标准方程为()222210y x a b a b+=>>其中a ，b ，c 的关系为 222a b c =+ 2.问题探究问题探究一进一步掌握椭圆标准方程例1．若方程为22153x y k k+=---表示椭圆，则实数k 的取值范围是_________. 【知识点：椭圆的标准方程】详解：方程表示椭圆须满足50k ->，30k ->，且53k k -≠-，即35k <<，且4k ≠．点拔：本题需注意椭圆标准形式的表示．问题探究二求与椭圆有关的点的轨迹和方程例2.已知圆A ：22(3)100x y ++=，圆A 内一定点B （3，0），动圆P 过B 点，且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程】详解：设PB r =，∵圆P 与圆A 内切，圆的半径为10，∴两圆的圆心距10PA r =-，即：10PA PB +=（大于AB ）．∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．∴210a =，26c AB ==， ∴ 5a =，3c = ，22216b a c =-=．即点P 的轨迹方程为：2212516x y +=．点拔：（1）本例的解决抓住两圆内切的特点，得出10PA PB +=，所以点P 的轨迹方程是以A 、B 为焦点的椭圆的标准方程，这就是用椭圆的定义求轨迹方程，把求点P 的轨迹方程的问题转化成了求22,a b 的问题．（2）转化题中的条件，利用定义判断出点的轨迹，再根据轨迹方程特征（类似于公式）用待定系数求出常数，简便快捷．在条件转化过程中，要充分利用其几何性质．例3.已知点M 在椭圆221369x y +=上，1MP 垂直于椭圆两焦点所在的直线，垂足为1P ，且M 为线段1PP 的中点，求点P 的轨迹方程.【知识点：椭圆的标准方程，用转移法求轨迹方程】详解：设点(),P x y ，点()00,M x y ，则()10,0P xM在椭圆221 369x y+=上，则22001369x y+=……①又02x xyy=⎧⎪⎨=⎪⎩，则2241369yx+=，即2213636x y+=P∴点的轨迹方程为()22366x y x+=≠±点拔：求未知动点的轨迹方程，利用已知点与未知动点的关系，代入已知点的轨迹方程求轨迹方程方法叫相关点代入法．问题探究三初步掌握利用椭圆定义及方程解决综合问题的方法例4.如图所示，已知点P是椭圆22154y x+=上的点，12,F F是椭圆的左右焦点，1230F PF︒∠=，求12F PF∆的面积．【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程】详解：在椭圆22154y x+=中，225,2,1a b c a b==∴=-=又∵点P在椭圆上，∴12225PF PF a+==由余弦定理知2221212122cos304PF PF PF PF F F︒+-⋅==②由①平方可得221212220PF PF PF PF++=③③－②得((12122316,1623PF PF PF PF+=∴=-，12121S=sin308432PF FPF PF︒∆∴⋅=-.点拔：椭圆上一点P与两焦点12,F F构成的12PF F∆，我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用到椭圆定义，又能用到正、余弦定理．上述解答过程中还运用了整体思想直接求出12PF PF⋅，没有单独求12PF PF、，以减少运算量.一般地，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点12,P F F 、为椭圆的焦点，若12F PF θ∠=，求12PF F ∆的面积．由椭圆的定义，有122PF PF a += 而在12PF F ∆中，由余弦定理有22221212122cos 4PF PF PF PF F F c θ+-⋅==()2221212121222cos 4PF PF PF PF PF PF F F c ∴+--⋅==θ，即()22124421cos a c PF PF θ-=+1222121sin sin tan 21cos 2PF F S PF PF b b ∆∴=⋅=⋅=+θθθθ 3.课堂总结【知识梳理】（1）方程22(,,Ax By C A B C +=均不为零，且A B ≠）只有,,A B C 同号，且A B ≠时，表示椭圆.当C C A B >时，椭圆的焦点在x 轴上；当C CA B<时，椭圆的焦点在y 轴上（2）定义法、相关点代入法是求动点的轨迹常用方法.（3）椭圆上一点P 与两焦点12,F F 构成的12PF F ∆我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中，既可运用到椭圆定义，还可以运用正、余弦定理解决综合问题．一般地，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点12,P F F 、为椭圆的焦点，若12F PF θ∠=，则12PF F ∆的面积1222121sin sin tan 21cos 2PF F S PF PF b b θθθθ∆=⋅=⋅=+．【重难点突破】（1）椭圆的两种标准方程中，总是a >b >0，即椭圆的标准方程中，哪个项的分母大焦点就在相应的那个轴上；反过来，焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．（2）椭圆上一点P 与两焦点12,F F 构成的焦点三角形12PF F ∆中，要充分运用椭圆定义，或运用正、余弦定理及三角形内相关结论．常常运用整体思想直接求出12PF PF ⋅，不用单独求12PF PF 、，以减少运算量.（3）与椭圆有关的综合问题，常常涉及平面几何、函数、向量、不等式的相关内容，一定注意条件的等价转化，才能展开思路，减少运算量． 4.随堂检测1.已知椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．以上都不对答案：C解析：【知识点：椭圆的标准方程】方程表示椭圆时，分母都大于0，又未指出焦点在哪个轴上，故应分类讨论，依据焦距为4列方程求解．当焦点在y 轴上时，2100m m ->->,∴610m << ∵焦距为4，∴()()24,2104c m m =∴---=， ∴8m =.同理，当焦点在x 轴上时，4m =.2. 已知)M，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点A B 、，则ABM∆的周长为（） A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 答案：B解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程】3. 已知圆221x y +=，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP '，则线段PP '的中点M 的轨迹方程是（） A ．2241x y +=B ．22114y x += C ．2214x y +=D ．2214y x += 答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程】（三）课后作业基础型自在突破1. 若方程22216x y a a +=+表示焦点在轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（）A. 3a >B. 2a <-C. 2a <-或3a >D. 62a -<<-或3a > 答案：D解析：【知识点：椭圆的标准方程】2.已知A （0，－1）、B （0，1）两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的方程是（）A ．22143x y +=B ．221(2)43x y y +=≠±C ．221(0)43y x x +=≠D ．221(0)43y x y +=≠答案：C解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程】3.曲线221259x y +=与()22109925x y k k k+=<<--的关系是（） A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有相等的焦距，不同的焦点 C.有不等的焦距，不同的焦点 D. 以上均不对答案：B解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程】4.若关于,x y 的方程22148sin x y α+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是（）A. 32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C. 62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. 62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，答案：C解析：【知识点：椭圆的标准方程，三角函数】5.椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的______倍． A.7 B.6 C.5 D.4 答案：A.解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】6.已知1F 、2F ,是椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则b =_______________ 答案：3解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】能力型师生共研7．已知椭圆221169y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若1P F 、、2F 是一个直角三角形的三个顶点,P 为直角顶点,则点P 到x 轴的距离为( ) A.95 B.3D.94答案：C解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】由题意122212847PF PF PF PF ||+||=⎧⎨||+||=⨯⎩ ∴|12||||18PF PF =.又12111822PF F S h =⨯=⋅（其中h 为P 到x 轴的距离),∴h =. 8. 若AB 为过椭圆2212516y x +=中心的弦1F ,为椭圆的焦点,则△1F AB 面积的最大值为( ) A.6 B.12 C.24 D.48 答案：B解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】由椭圆的标准方程可知a =5,b =4,∴3c ==.如图所示,由于111ABF BOF AOF S S S ∆∆∆=+,根据椭圆的对称性可知,当且仅当△1BOF 面积取最大值时,1ABF S ∆取最大值,这时B 为短轴的端点,∴1BOF S ∆的最大值为1122c b ⋅=⨯3⨯4=6．∴△1F AB 面积的最大值为12.9. 已知椭圆x 29＋y 24＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程为________．答案： (22536x y ++=解析：【知识点：椭圆的标准方程】10. 已知是椭圆()222210y x a b a b+=>>上的任意一点，12,F F 是它的两焦点，O 为坐标原点，求动点Q 的轨迹方程. 答案：见解析解析：【知识点：平面向量，相关点代入法】设()()()()1200,,,0,,0,,Q x y F c F c P x y -，由题意可知2200221x y a b +=①又12OQ PF PF =+即()()()0000,,,x y c x y c x y =---+--0022x x y y =-⎧∴⎨=-⎩则0022x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入①中得2222144y x a b +=即为Q 点的轨迹方程.探究型多维突破11. 已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．答案：x 2＋43y 2＝1解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合、等价转化】如图所示由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34. ∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.12.已知P 是2214x y +=上的任意一点，12,F F 是它的两焦点（1）求12PF PF ⋅的最大值. （2）求2212+PF PF 的最小值. （3）求12F PF ∠的最大值. 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，重要不等式，余弦定理】（1）由12+4PF PF =知 ()121244PF PF PF PF +∴⋅≤=12=PF PF ∴时，12max =4PF PF ⋅（）（2）()222121212+=2PF PF PF PF PF PF +-21222212=4242282PF PF a PF PF a a ⎛+⎫-⋅≥-== ⎪⎝⎭当且仅当12=PF PF ，等号成立2212min +8PF PF ∴=（）（3）22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅21212122122PF PF PF PF PF PF +-⋅-=⋅（） 121212422=12PF PF PF PF PF PF -⋅=-⋅⋅∵1204PF PF <⋅≤，121cos 2F PF ∴∠≥-且120F PF π<∠<，12F PF ∠的最大值为23π （四）自助餐1. 若方程22(0,0)ax by c ab c +=≠> 表示焦点在x 轴上的椭圆，则（） A ．0a b >>B ．0,0a b >>C ．0b a >>D ．a b c c > 答案：C解析：【知识点：椭圆的标准方程】2. 椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF 的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 答案：B解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准】由题设条件知2ABF 的周长为1212||||||||416AF AF BF BF a +++==3. 设定点()()120,3,0,3F F -，动点P 满足条件129||||(0)PF PF a a a+=+>，则点P的轨迹是( ) A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段答案：D解析：【知识点：椭圆的定义，思想方法：数形结合】4. 已知椭圆()222210y x a b a b+=>>的焦点分别是()()120,1,0,1F F -，且2234a b =.设点P 在这个椭圆上，且12||||1PF PF -=，则12F PF ∠的余弦值为（）A ．15B ．25C ．35D ．45答案：C解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程】5. 已知椭圆221123y x +=的一个焦点1F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点M 在轴y 上，那么点M 的纵坐标是（）A ．4±B ．±C ．4±D ．34±答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程】6. 已知圆229x y +=，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段1PP ，垂足为1P，点M 线段1PP 上，且12PM MP =，则 M 的轨迹是（） A ．椭圆 B ．线段 C ．圆D ．直线答案：A解析：【知识点：椭圆的定义】7. 已知动圆C 和定圆1C ：22(4)64x y +-=内切而和定圆2C ：22(4)4x y ++=外切，设(,)C x y ，则22259x y += ．答案：225解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】8. 如图所示，12,F F 分别为椭圆()222210y x a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为3的正三角形，则2b 的值是________．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】由题意2233OPF S==242c c =⇒=，即(3P ，代入椭圆方程222214x y b b +=+，得221314b b+=+，解得223b =9.在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆顶点()4,0A -和()4,0B ，顶点B 在椭圆221259y x +=上，则sin sin sin A C B+=_______________ 答案：54解析：【知识点：椭圆的定义，正弦定理，思想方法：数形结合、等价转化】10.已知()2222:10y x C a b a b+=>>上一点 ()123,4,,P F F 为椭圆的左右焦点，且12PF PF ⊥，求椭圆的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：椭圆的标准方程】 ∵ ()()12,0,,0F c F c -1244133PF PF k k c c∴⋅=⋅=-+-，则5c = 可设椭圆的标准方程为2222125y x a a +=-，又过点()3,4P 则22916125a a +=-得2245,20a b ==，所求椭圆的标准方程为2214520y x += 11.设12,F F 分别是椭圆2214x y +=的左右焦点，若P 是该椭圆上第一象限内的一点，且1254PF PF ⋅=-，求点P 的坐标.答案：见解析解析：【知识点：平面向量，椭圆的标准方程】设()())12,0,0,P x y x y F F >>，，，则()()123,,PF x y PF x =+=(2222125=31,144x PF PF x x y x x ∴⋅=++-+-=-∴=又P 为第一象限的点，1P ⎛∴ ⎝12. 已知12,F F 是椭圆22110064x y +=的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若123F PF π∠=，求12F PF 的面积．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的标准方程，思想方法：数形结合】设12||,||PF m PF n ==. 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在12F PF 中，由余弦定理得2222cos123m n mn π+-=，∴22144m n mn +-=，∴()23144m n mn +-=，∴2563mn =，∴12121211256||||sin 22323F PF SPF PF F PF =∠=⨯⨯=.。

最新人教版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》示范教案(第1课时)

2．2椭圆2．2.1椭圆及其标准方程整体设计教材分析本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线. 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一．因此这一节的教学既可以对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其他两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义．我们在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：(1)通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到椭圆的定义及其应注意的条件，提高学生的综合分析能力．(2)由演示出发，经过问题思考→研究讨论→点拨引导→抽象概括，得到椭圆标准方程．教师边演示边提出问题，充分调动学生学习的自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦．一位教育学家说过：“不能只向学生奉献真理，而应教给学生发现和探求真理的方法．”本节课的教学，正是本着这样的教学思想去设计的．课时分配本节内容分两课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法．第1课时教学设计(一)整体设计教学目标知识与技能掌握椭圆的定义及其标准方程；能正确推导椭圆的标准方程；明确焦点、焦距的概念．过程与方法培养学生的动手能力和合作学习能力；渗透类比推理、分类讨论和数形结合思想．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．重点难点教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导．教具准备多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．教学过程引入新课1．通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片(PPT)，让学生从感性上认识椭圆．2．通过动画设计(几何画板演示)，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹．探究新知探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？下面请同学们在绘图板上作图，并思考以下问题：在作图时，因为笔尖M运动，所以为动点，两个图钉F1、F2不动，所以为定点．1．在这一过程中，你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件吗？其轨迹是什么曲线？2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？4．两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？5. 当绳长满足什么条件时，动点M形成的轨迹是椭圆？活动设计：两个学生一组，合作操作画图过程，并思考上述问题，必要时，允许合作、讨论、交流．教师巡视指导，及时发现问题，解决问题．活动成果：1.|MF1|＋|MF2|＝绳长(定值)；椭圆；2.不是椭圆，是线段F1F2；3.不能；4.以F1(F2)为圆心，以绳长的一半为半径的圆；5.当两图钉F1、F2之间的距离不为0且绳长大于两图钉F1、F2之间的距离时．提出问题：类比平面几何中圆的定义，给出椭圆的定义．活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在学生的不断补充、纠正下，会趋于完善．活动成果：师生共同概括出椭圆定义：平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于常数(大于|F1 F2 | )的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．(在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离之和等于常数、常数大于|F1F2|)设计意图：通过上述操作、思考问题使学生建立起对椭圆的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力．下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆方程．为今后通过方程研究椭圆的性质做好准备．提出问题：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．(学生回答，教师板书)提出问题：如图，已知椭圆的两焦点为F1，F2，且|F1F2|＝2c，对椭圆上任一点M，有|MF1|＋|MF2|＝2a，尝试建立椭圆的方程．提出问题：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，必要时，允许合作讨论．教师巡视指导．学情预测：学生的建系方法应当会有很多种．活动结果：教师将各个学生或学习小组的建立坐标系的方案一一画图表示．然后，提醒全班学生应当类比利用圆的对称性建立圆的标准方程时的建立坐标系的方法，根据椭圆的几何特征(主要是对称性)，选择适当的坐标系，才可能使建立的椭圆方程简单．这样，师生就会达成一致意见，选定以下两种方案：方案一：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy.方案二：如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系xOy.方案一方案二提出问题：请同学们按方案一具体求出椭圆的方程．活动设计：学生独立解决．必要时，为顺利完成教学，教师应当介入，加以指导、提示．设点：设椭圆上任一点M的坐标为(x，y)，列式：|MF1|＋|MF2|＝2a，∴(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝2a.①化简：(这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎样化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？)(x＋c)2＋y2＝2a－(x－c)2＋y2，两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a(x－c)2＋y2＋(x－c)2＋y2，即a2－cx＝a(x－c)2＋y2，两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2(x－c)2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．(※)学情预测：一般情况下，得到方程(※)即告结束．提出问题：设方案一中的椭圆与x轴的交点分别为A1，A2，与y轴的交点分别为B1，B2，同学们都知道a，c的含义，你能从图形中找到长度分别等于a，c的线段吗？活动设计：学生先独立思考，必要时，可以重复开始的画椭圆的过程，并可合作交流．学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题．提出问题：当动点M 移动到B 1或B 2点时，根据椭圆的定义及坐标系的建立方式，你还能发现新的结论吗？学情预测：学生会发现：|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ＝|B 1F 1|＝|B 1F 2|.教师：这样，因为△B 2OF 2为直角三角形，且|B 2F 2|＝a ，|OF 2|＝c ，所以，a 2－c 2＝|OB 2|2.因此，方程(※)中的a 2－c 2有明显的几何意义．为此，令|OB 2|＝b ，则a 2－c 2＝b 2.于是，方程(※)可以进一步化简为：b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2.(☆)学情预测：一般情况下，得到方程(☆)，本题求解也即告结束．提出问题：非常好．这个方程两边次数一致，非常工整，类似这种结构的方程在哪儿见过，怎么处理的呢？活动设计：学生可以互相讨论、启发，必要时教师可以提示．活动结果：直线的截距式方程x a ＋yb ＝1就是由bx ＋ay ＝ab 化得的．因此，方程(☆)可以进一步整理成：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)(这种形式“美”)．指出：方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)，且c 2＝a 2－b 2.提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1(0，－c)，F 2(0，c)，椭圆的方程又如何呢？教师：列式：|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，即x 2＋(y ＋c )2＋x 2＋(y －c )2＝2a.② 试比较①②两式，它们有何区别与联系？发现只需交换①式中x 和y 的位置，即得②式，反之也成立．所以，易知，只需将x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)中的x 和y 的位置互换，即得焦点在y轴上的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)．教师指出：我们所得的两个方程x 2a 2＋y 2b 2＝1和y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)都是椭圆的标准方程．提出问题：已知椭圆的标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论也允许．活动结果：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．理解新知1．观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳：(1)椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； (2)椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；(3)椭圆标准方程中三个参数a ，b ，c 满足关系式：b 2＝a 2－c 2(a>b>0)； (4)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；(5)求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．b 2＝a 2－c 2 b 2＝a 2－c 2 (±c,0) (0，±c) 在x 轴上在y 轴上运用新知1已知一个贮油罐横截面的外轮廓是一个椭圆，它的焦距为2.4 m ，外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3 m ，求这个椭圆的标准方程．思路分析：巩固椭圆的标准方程，通过学生熟悉的实际模型，体会圆锥曲线应用的广泛性．解题思路是寻找两个定值a ，c.用待定系数法求出椭圆的标准方程．解：以两焦点F 1、F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则这个椭圆的标准方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)．根据题意知2a ＝3,2c ＝2.4，即a ＝1.5，c ＝1.2，所以 b 2＝a 2－c 2＝1.52－1.22＝0.81，因此，这个椭圆的标准方程为 x 22.25＋y 20.81＝1. 点评：(1)进一步熟悉椭圆的焦点位置与标准方程之间的关系；(2)掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程，解题时强调“二定”即定位定量； (3)培养学生运用知识解决问题的能力．2求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10.(2)两焦点坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)．(教材例题改编)(3)a ＋b ＝10，c ＝2 5. 思路分析：(1)根据题设容易知道c ＝4,2a ＝10且椭圆焦点在x 轴上；(2)思路1：利用椭圆定义(椭圆上的点(－32，52)到两个焦点(0，－2)、(0,2)的距离之和为常数2a)求出a 值，再结合已知条件和a 、b 、c 间的关系求出b 2的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，再将椭圆上点的坐标(－32，52)代入此方程，并结合a 、b 、c 间的关系求出a 2、b 2的值，从而得到椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(3)利用已知条件得a 2－b 2＝20，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝10，a 2－b 2＝20，解得a ，b.然后根据焦点位置分别写出焦点在x 轴和y 轴上的椭圆方程．答案：(1)x 225＋y 29＝1 (2)y 210＋x 26＝1 (3)x 236＋y 216＝1或y 236＋x 216＝1.点评：加深学生对椭圆的焦点位置与标准方程之间关系的理解，加深对定义的理解和对分类讨论数学思想方法的运用．教学时采用在教师引导下学生自主完成的方法．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知椭圆x 225＋y 216＝1，则你可以得到哪些结论？(把你能得到的结论都写出来)2．已知a ＝5，c ＝4，则你可以得到哪些结论？(把你能得到的结论都写出来) 3．已知a ＝4，______，可以求得椭圆的标准方程为x 29＋y 216＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流．学情预测：1.a ＝5，b ＝4，c ＝3，两焦点为(－3,0)，(3,0)．2．b ＝3，椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1等．3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝7，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为(0，7)；或椭圆上有一点(3,0)(答案很多)．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．达标检测1．椭圆x 264＋y 29＝1上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是______．2．动点P 到定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离的和是10，则动点P 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．线段F 1F 2 C ．直线F 1F 2 D ．不能确定3．如图所示，若AB 是过椭圆x 29＋y 225＝1的下焦点F 1的弦，则△F 2AB 的周长是______．4．椭圆4x 2＋3y 2＝12的焦点坐标是______．5．简化方程：x 2＋(y ＋3)2＋x 2＋(y －3)2＝10.(学生分组比赛，每组抽2位同学的作业用幻灯演示，教师订正．) 答案：1.10 2.B 3.20 4.(0,1)，(0，－1) 5.y 225＋x 216＝1课堂小结知识整理，形成系统(由学生归纳，教师完善) 1．椭圆的定义．(注意定义中的三个条件)2．椭圆的标准方程．(注意焦点的位置与方程形式的关系) 3．标准方程中a ，b ，c 的关系．4．注意体会运动变化、类比推理、抽象概括、数形结合等数学思想方法在数学学习中的运用．5．若有时间或机会，可以引导学生得出推导椭圆标准方程更为简单的解法：同前得，(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＝2a ，①对①式左边分子有理化，得4cx ＝2a((x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2)．即(x ＋c )2＋y 2－(x －c )2＋y 2＝2ca x.③①＋③，并整理，得(x ＋c )2＋y 2＝a ＋ca x.以下从略．布置作业教材习题 2.2.A 组 1,2. 补充练习基础练习 1．填空题：(1)x 252＋y 232＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； (2) x 242＋y 262＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ；(3)x 29＋y 24＝1，则a ＝______ ，b ＝______ ； 2．求下列椭圆的焦点坐标： (1)x 29＋y 24＝1 (2)16x 2＋7y 2＝112. 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4 ，b ＝3，焦点在x 轴上；(2)b ＝1 ，c ＝15，焦点在y 轴上； (3)经过点P(－2 , 0)和Q(0 , －3)．答案或提示或解答：1.(1)5 3 (2)6 4 (3)3 2 2．(1)(5，0)，(－5，0) (2)(0,3)，(0，－3) 3．(1)x 216＋y 29＝1 (2)y 216＋x 2＝1 (3)y 29＋x 24＝1拓展练习4．设定点A(6,2)，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．解法剖析：①(代入法求伴随轨迹)设M(x ，y)，P(x 1，y 1)；②(点与伴随点的关系)∵M为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y －2，③(代入已知轨迹求出伴随轨迹)，∵x 2125＋y 219＝1，∴点M 的轨迹方程为(x －3)225＋(y －1)29＝14；④伴随轨迹表示的范围．设计说明本节借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到椭圆的轨迹的特征．多媒体创设问题情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新．学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关．本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究．在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯，在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围．在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美．在对教材中“令a 2－c 2＝b 2”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当M 为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换．例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，照顾到各个层次的学生，目的是强化基本技能训练和基本知识的灵活运用．备课资料 1平面内两个定点的距离是8，写出到两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程．思路分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F 1，F 2表示．取过点F 1，F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴．∵2a ＝10,2c ＝8，∴a ＝5，c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.若焦点放在y 轴上，则椭圆的标准方程为y 225＋x 29＝1.点评：对定义的深刻理解是解决此题的关键．当然还要注意全面讨论． 2已知△ABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．思路分析：三角形一边长为定值6(可看成这条边的两个端点为定点)，则另外两边之和为定值10，联想椭圆定义即可解决，当然还要注意坐标系的建立．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点A(x ，y)，根据已知条件得|AB|＋|AC|＝10.再根据椭圆定义得顶点A 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1(特别强调检验)．因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件．点评：主要考查学生对定义的理解及运用．3已知定圆x 2＋y 2－6x －55＝0，动圆M 和已知圆内切且过点P(－3,0)，求圆心M 的轨迹及其方程．思路分析：如图所示，从两个圆相切不难发现|MQ|＝8－|MP|，变形为|MQ|＋|MP|＝8，又因为|PQ|＝6＜8，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆．点评：此题有一定难度，主要问题是如何引导学生发现|MQ|＝8－|MP|.(设计者：吕强王文清)教学设计(二)整体设计教材分析(一)教材的地位与作用：1．从知识上说，它是利用坐标法研究曲线几何性质的又一次实际演练；2．从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；因此，本课题无论从教学内容，还是从数学方法上，都起着承上启下的作用．(二)重点、难点根据本节在整个数学知识中的地位及学生的思维水平，确定教学重难点如下：教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；教学难点：椭圆标准方程的建立和推导．教学目标分析根据课程标准要求和教材内容，结合学生实际，制定三维教学目标如下：知识与技能1．掌握椭圆定义及其标准方程；2．通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法．过程与方法通过自我探究操作、数学思想方法的运用，提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力．情感、态度与价值观在教学中充分揭示“数与形”的内在联系，体会数、形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生敢于探索，勇于创新的精神．教学方法与教学手段(一)教学方法：根据“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”的基本理念，本节教学方法主要采用引导发现法、探索讨论法，题组教学法．1．引导发现法：(1)是符合教学原则的；(2)能充分调动学生的主动性和积极性．2．探索讨论法：(1)有利于学生对知识进行主动建构．(2)有利于突出重点，突破难点．3．题组教学法：能发展学生等价转化、数形结合等思想，培养学生综合利用知识解决问题的能力．(二)教学手段：为调动学生多种感官，教学中主要采用自制教具、幻灯片、几何画板等辅助手段．学法指导根据考纲及教学内容在学习方法上指导学生：1．椭圆定义要注意条件；2．用待定系数法求方程要注意两定，即定位、定量；3．研究圆锥曲线要注重掌握一般方法．教学评价(一)本节课安排了导入新课、探索交流、问题点拨、巩固训练等几个教学环节．它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探求，从而实现教学目的的要求，完成教学任务．(二)在整个教学过程中，采用引导发现法、探索讨论法、题组教学法等教学方法实施教学，注重化归、数形结合等数学思想的渗透，通过探索，有利于培养学生的创新能力，体现教育改革的创新精神．(三)教学中采用多媒体等手段，画面丰富生动，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善知识结构．(设计者：刘明，本教学设计获山东省优质课评比二等奖．)。

高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》教案

课题：椭圆及其标准方程（第一课时）教材：人教版普通高中课程标准试验教科书——数学（选修1-1）第二章第一节 1、教学目标知识目标——理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；会根据条件写出椭圆的标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求曲线方程的一般方法．能力目标——提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力，体会数形结合的基本思想。

情感目标——在形成知识、提高能力的过程中，让学生体验数学发现和创造是历程，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

2、教学重点与难点教学重点——椭圆的定义及其标准方程教学难点——椭圆标准方程的推导 3、教法与学法教学方法——探究式教学教学手段——使用多媒体辅助教学与自制教具相结合学习方法——动手实践、自主探索与合作交流教具准备圆形白纸、硬纸板、图钉、细绳（10cm ） 4教学过程思路：具体一般一般抽象环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境引入阶段 10 分钟情境引入：生活中充满美，各种各样不同的形状将生活变得多姿多彩。

（图片展示）有些形状我们很容易就能画出来，而有些则不然。

同学们能只用尺子画出椭圆吗？今天我教大家用纸折出一个椭圆来。

折纸游戏：（5分钟）几何画板展示：将圆周上的点增多，让学生进一步确认。

请学生将圆形纸片拿出来，并按如下步骤进行操作： 1．将圆心记作点1F ，然后在圆内任取一定点2F ，如图 2．在圆周上任取10个点记作12310N N N N 、、…… 3．折叠圆形纸片，使点1N 与点2F 重合，将折痕画出来；依此类推，直至点10N 与点2F 重合。

4．观察折痕围成的形状，你有何发现？问题：这个椭圆实际上是由折痕上的点围成，这些点又是怎么形成的呢？请大家将圆周上的点与圆心连接，看看。

跟着老师完成折纸，并观察所得图形，得到：围成的形状近似一个椭圆。

根据教师提示进行连线，并发现围成椭圆的点是折痕与相应圆半径的交点。

高中数学选修1-1《椭圆的标准方程》教案共5页文档

课题：椭圆的标准方程教材：人教版高中选修1-1（一）教材分析一．教材地位《椭圆的标准方程》是继学习必修2圆以后又一个二次曲线的实例.从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础；从方法上说，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法.椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用.二．教材特点1、由于本章节难度教大，学生普遍觉得比较困难.特别是缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题.2、本章节的概念比较多，性质又比较相似，容易互相干扰而影响学习效果.三.教学重点、难点教学重点：掌握椭圆的定义及其标准方程；求椭圆标准方程的方法.教学难点：椭圆标准方程的推导和应用.（二）目的分析1．知识与技能目标：学习椭圆的标准方程及其应用；培养学生的数形结合的思想.2．过程与方法目标：通过椭圆定义，学生自主推导标准方程；通过观察图形逐渐培养学生对称的思想.3．情感态度与价值观：引导学生积极参与学习活动,培养学生的好奇心和学习兴趣；体验学习数学的成功与快乐，增强自信心.（三）、教法分析1、教法及设计目的应用实物模型导入新课，目的是要激发学生学习的兴趣，让他们观察椭圆的由来.在推导椭圆的标准方程时利用演示板来进行演示，先给学生直观的感性的认识.接着进行标准方程的推导，这样有利于培养学生的数形结合的能力.本课主要采用探究式教学方法，即“观察对象－问题引导－讨论探究－得出结论”的探究式教学方法.在教学上是以多媒体和演示板作为教学手段，始终坚持启发式教学，以学生为主体，引导学生思考并自己动手分析.2、学法及设计目的由于高二的学生思维比较活跃，又有了相应的知识基础，所以他们乐于探索新知识，虽然学习热情时起时落，但能在老师的引导下开展学习活动.在学习过程中可以安排学生进行小组讨论，注意要多利用定义来理解，要习惯动手画图，可以用类比法来记忆知识点.（四）、过程分析椭圆方程的推导5、合理建系，推导方程让学生回忆求圆的标准方程的步骤：建系——设点——列式——化简.①建系：让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．②设点：设椭圆上任意一点(),P x y.③列式：根据椭圆定义知12||||2MF MF a+=，代人坐标得()()22222x c y x c y a+++-+=④化简：为使方程简单、对称，引入字母b，令222b a c=-，得标准方程为()222210x ya ba b+=>>请学生归纳焦点在y轴上椭圆的标准方程为：()222210x ya bb a+=>>引导学生推导椭圆的标准方程，给学生较多思考问题的时间.虽然化简式子会感到有困难，但我先让学生尝试，适当提示学生：化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，为了简洁应该先移项再平方.逐步尝试求出焦点在x轴上的椭圆标准方程.椭圆性质总结6、区别焦点在不同坐标轴上的椭圆标准方程图形标准方程()222210x ya ba b+= >>()222210x ya bb a+= >>焦点坐标()()120,0F c F c- ,、()()120,0,F c F c-、定义|MF1|+|MF2|=2 a (2a>2c>0)a、b、c的关系222a b c=+焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上把两种类型的椭圆方程推导出来，那这两类方程有什么相同点，有什么不同点呢？先让学生进行小组讨论，找出性质，再列出表格让学生填空.这样通过表格的对比可以对知识深化理解.7、例题分析，讲练结合例1.根据下列方程，分别求出a、b、c(1)椭圆标准方程为161022=+yx，则a= ,b= , =c；(2)椭圆标准方程为1522=+yx，则（五）、评价分析这节课我使用了多媒体、演示板教学，激发学生的学习兴趣，使学生动手操作，学会探索.在教学中要关注到学生的基础薄弱，必须扎实基础，突出重点。

人教版高中数学选修1-1《椭圆及其标准方程》教学设计

《椭圆及其标准方程》教学设计教学目标：（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的应用．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．教学过程（一）设置情景，引出课题:对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.提问：点M运动时，F1、F2移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？.（二）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？2、研讨探究问题：如图已知焦点为的椭圆，且=2c,对椭圆上任一点M，有，尝试推导思考：如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？列式：∴化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）：令，则方程可简化为：整理成：指出：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，焦点是讨论：如果以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，椭圆的方程又如何呢？让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单．引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？讨论得出：看，的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．选定方案二建立坐标系，由学生完成方程化简过程，可得出+=1，同样也有a2－c2 = b2 ( b > 0 )。

椭圆及其标准方程_人教版选修1-1 教学设计

首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.
此方程形式还不够简捷，还有变形的必要。
教师给出
令
联想到截距式方程，两边同时除以
观察老师演示，就坐标系的建立方式，踊跃发言
让学生明确思维的目的，通过复习旧知，为下一步学习搭桥铺路.
调动学生的积极性
[问四]怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
利用几何画板，拖动直角坐标系，让学生观察，坐标系建在什么地方，才能充分表现图形的对称性。
由教师给出| F1F2| = 2 c(c>0)
常数2 a( a > 0 ) .
为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.
加深对椭圆定义的理解及记忆。
推导椭圆的
标准方程
10分钟
由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究.根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.
[问三]
1.求曲线方程的一般步骤是什么？
得出
椭圆
的
定义
10分钟
(二)自主探究，形成概念
[问二]一个定点和一个定长，可以形成一个圆，那么，如果老师在圆内再加一个点，会怎样呢？
教师通过几何画板演示椭圆的形成过程
学生结合初中学习的“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出椭圆的初步定义
[设计意图]“思维从疑问开始”，由于学生熟知“到定点距离等于定长的点的轨迹是圆”，通过创设情景，激发了学生的求知欲.。使学生急于想知道两个点和一个定长，能形成什么样的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，激发学生求知欲.

高中数学选修1-1人教A教案导学案：2.1.1椭圆及其标准方程

2. 1.1椭圆的标准方程一预习目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．二预习内容1.什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？．2.圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？3．椭圆的定义：---------------------------------------------------------------- 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的-------------，两焦点的距离叫做 ----------------。

4. 椭圆标准方程的推导：①建系；以-----------为轴，----------- 为轴，建立直角坐标系，则的坐标分别为：--------------------②写出点集；设P（）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知： ------------------------------③坐标化；④化简（注意根式的处理和令a2-c2=b2）类似的，焦点在----- 轴上的椭圆方程为：-------------------------- 其中焦点坐标为：--------------------------三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1..通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。

2通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．重点：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆难点：椭圆标准方程的推导二、学习过程1.思考：(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？得出结论：在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为2．推导椭圆的标准方程．1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F2(c，0)，2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，思考：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．b2=a2-c2得：() 222210 x ya ba b+=>>3.例题例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．设椭圆的标准方程为--------------------，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，代入化简可得标准方程。

人教版数学选修1-1《椭圆的标准方程)》教案

第一课时椭圆的标准方程一、教学目标1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2．根据条件确定椭圆的标准方程；3．熟练运用这两个公式解决问题二、教学重点、难点重点：椭圆的标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导；三、教学过程1．复习回顾上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

注：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？(1)平面内；若把“平面内”去掉，则轨迹是什么？(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞F1F2思考：（1）2a= F1F2，则轨迹是什么？(线段F1F2)（2）2a< F1F2,则轨迹是什么？(无轨迹)2．椭圆的标准方程的推导问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？（建系、设点、列式、化简）问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，它们之间的距离为2c ，椭圆上任意一点到F 1、F 2的距离的和为2a ( 2a > 2c )．方案1：如图，焦点落在x 轴上⑴建系：以F 1、F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ．⑵设点：设点P （x ，y ）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为()()120,0F c F c - , 、．⑶列式：依据椭圆的定义式PF 1 + PF 2 = 2a 列方程，并将其坐标化为()()22222x c y x c y a +++-+=．这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？⑷化简：通过移项、两次平方后得,()()22222222a c x a y a a c -+=-，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b ，令222b a c =-，可的椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+= >>．总结含有根式的化简步骤：（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方．方案2：类似地，如图，焦点落在y 轴上试想：推断此时椭圆的标准方程又是什么？焦点()()120,0,F c F c - 、，焦距为2c ，椭圆的方程为()222210x y a b b a+= >> 根据所学知识让同学们完成下表注：①是0a b >>；②是222ab c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）；③是定方程“型”与曲线“形”．3．典型例题：例1．化简（1）2222(3)(3)10x y x y ++++-= 化简（2）2222(3)(3)6x y x y ++++-=例2．（1）已知5a =,3c =，求焦点分别在x 、y 轴上的椭圆的标准方程（2）已知椭圆的焦点坐标是()14,0F -，()24,0F ，椭圆上的任意一点到1F 、2F 的距离之和是10，求椭圆的标准方程．例3．标准方程 ()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 不同点图形焦点坐标()()120,0F c F c - , 、()()120,0,F c F c - 、相同点定义平面内到两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于F 1F 2）的点的轨迹a 、b 、c 的关系 222a b c =+焦点位置的判断分母哪个大，焦点就在哪个轴上（1）平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。