第2章 线性方程组与向量组
线性代数-第2章
第2章
对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。
矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。
任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩
=A的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。
通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。
考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。
矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。
满秩矩阵的行列式不等于零。非满秩矩阵的行列式必为零。
既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，r<n，有无穷多解。
齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。
通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。
非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。
在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还
线性代数第2章矩阵PPT课件
3
对角矩阵
除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的方 阵。
对角化与相似变换的性质
01 相似变换不改变矩阵的特征值和特征向量。
02 对角化矩阵后，其特征值和特征向量与原 矩阵相同。
03
相似变换保持矩阵的秩不变。
04
对角化矩阵后，其秩等于对角线上非零元 素的个数。
对角化与相似变换的计算方法
计算特征值和特征向量 通过求解特征多项式，得到特征 值和对应的特征向量。
感谢您的观看
THANKS
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
04
矩阵的特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征值，x为A的对 应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征值与特征向量的性质
01
特征值和特征向量的定义具有唯 一性，即对于给定的矩阵A和特 征值λ，其对应的特征向量x是唯 一的。
线性代数第2章第3节向量间的线性关系
T T 1 , 2 , 1T
4 2 1 3 1 1 1 5 1 11 1 2
1
4 0 5 5 0 3 3 0 9 9 2
1 3 2 4 k1 3 k2 2 k3 5 11 2 1 1 3
由此可得线性方程组
k1 3k2 2k3 4 3k1 2k2 5k3 11 2k k k 3 1 2 3
( 2, 10, 8)T ;
( 2) 1 ( 2, 1, 0, 1)T , 2 (1, 3, 2, 4)T , 3 ( 5, 0, 1, 7)T ,
4 (1, 6, 2, 6)T , (8, 9, 5, 0) ;
(3) 1 (1, 1, 2, 2)T , 2 (1, 2, 1, 3)T , 3 (1, 1, 4, 0)T ,
(1, 0, 3, 1) .
( 4) 1 (1, 0, 1), 2 (1, 1, 1), 3 ( 0, 1, 1),
A 1 2 1 2 4 7 0 1 2 3 0 3 1 10 1 b a 4 0 3 1 0 2 1 0 1 1 a 2 0 1 0 1 1 0 3 2 b 2
线性代数第2章第6节Rn的标准正交基 卢刚版课件
向量α与β的内积也记为(α,β)，即有(α,β) =αTβ.
例如，设 α = (0,1,5,−2)T , β = (−2, 0,− 1,3)T . 则
αT β = (α, β ) = 0⋅ (−2) + 1⋅ 0+ 5⋅ (−1)+ (−2)⋅ 3 = −11.
11
向量内积的性质
(1) αT β = βT α ;
第二章 线性方程组
第六节 Rn的标准正交基
一、Rn的标准正交基的概念 二、Schmidt正交化法
1
我们学过如下内容： 向量组的极大无关组与向量组等价．只要找到
向量组的一个极大无关组，就等于掌握了这个向量 . 如果已知一个向量组的秩为 r ，则其任意 r个线
性无关的向量都可以成为该向量组的极大无关组． 任意 n + 1 个n 维向量一定线性相关，即任意一
求与α1,α2,α3 都正交的单位向量．
解：设 β = ( x1, x2, x3 )T 与α1,α2, α3都正交，则
(α
i
,
β
)
=
α
T i
β
=0
(i = 1, 2, 3)
即
⎧α1T β = x1 − x2 + 5x3 = 0
⎪⎨α
T 2
β
=
x1
+ 3x2
向量组及其线性组合(2)
坐
向量空间:向量的集合
标
代数形象:向量
系
空间中的平面
{r = ( x, y,z)T ax by cz = d }
点(x, y, z)的集合——平面
P( x, y, z) 一一对应
向量(x, y, z)T的集合
r = ( x, y, z)T
当 n > 3 时, 向量不再有“几何”意义, 仍沿用几
证明: 根据定理2, 向量组E: e1, e2, ···, en能由 向量组A线性表示的充分必要条件是R(A)=R(A,E).
而 R(A,E)R(E)=n, 又因矩阵(A,E)仅有n行, 故R(A,E) n, 因此R(A)=R(A,E)=n.
本例的结论用矩阵方程的方式可描述为:
矩阵方程AnmX=E有解的充分必要条件是R(A)=n.
定理2: 向量组B: 1, 2, ···, s能由向量组A: 1, 2, ···, m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, ···, m)的秩与矩阵(A,B)=(1, 2, ···, m, 1, ···, s) 的秩相等, 即R(A)=R(A,B).
推论: 向量组A: 1, 2,···, m与向量组B: 1, 2, ···, s等价的充分必要条件是
在日常工作, 学习和生活中, 有许多问题都需要用向量来 进行描述.
三、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的 集合叫做向量组.
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
§3.1 线性方程组解的判定
1.
定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2n
a m1a m2a mn
),
x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )
(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；
(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.
注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。有解时再化为行最简形求解。 (2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。 2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0
(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .
注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组
例1. {4x 1+2x 2?x 3=2
3x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8
例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =1
4x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1
例3. 求解齐次线性方程组
{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0
第二章 线性方程组习题答案与解答
第二章 线性方程组习题答案与解答
习题二
对于数字计算题，仅给出Maple 程序与答案.证明题答案仅供参考。 1.用消元法解下列方程组
(1)1221231231321,22,353,22
x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪
--=⎪⎨-+=⎪⎪-++=-⎩ > A:=[[1,-1,2],[1,-2,-1],[3,-1,5],[-1,0,2]]: b:=[1,2,3,-2]:linsolve(A,b);
⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥
,,107-17-27
12345122451
23452322,
(2)3536,2228.
x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪
-+-+=⎨⎪++--=⎩
> A:=[[1,-2,3,-1,2],[3,-1,5,-3,1],[2,1,2,-2,-1]]: b:=[2,6,8]: linsolve(A,b);
(3) >
A:=[[1,2,3],[3,5,7],[2,3,4]]:b:=[4,9,5]:linsolve(A,b,'r',c);
[],,- + 2c 1 - 32c 1c 1
(4)
> A:=[[2,-2,1,-1,1],[1,-4,2,-2,3],[3,-6,1,-3,4],[1,2,-1,1,-2]]:
b:=[2,3,5,-1]: linsolve(A,b,'r',c);
⎡⎣⎢⎢⎤⎦
⎥⎥,,,, + 1313c 1c 20- - + 432c 253c 1c 1 (5) > A:=[[1,1,2,3],[2,3,5,2],[3,-1,-1,-2],[3,5,2,-2]]:
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
定义 2.2.2 记向量组
a11 a12 a1m a a a α1 = 21 , α 2 = 22 ,⋯ , α m = 2 m , ⋯ ⋯ ⋯ an1 an 2 anm a11 a A = 21 ⋯ an1 ⋯ a1m a22 ⋯ a2 m ⋯ ⋯ ⋯ an 2 ⋯ anm a12
1 1 2 2
m +1
≠0 k
m m
，若不然，由条件知， α ,α ,⋯,α 线性无关，所以 =0 中 k , k ⋯ k 全为零，矛盾。于是有
1
1 2 m
β =-
k k1 k α1 − 2 α 2 − ⋯ − m α m k m+1 km +1 km +1
1 2 m
即， β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出。 设 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 有两种线性表示：
∵ α1，α 2，α 3
线性无关
x1 + x3 = 0 ∴ x1 + x2 = 0 x + x = 0 2 3
易解得该方程组只有零解 x = x = x = 0 ∴ 向量组 b , b , b 线性无关.
1 2 3 1 2 3
解二 记
1 0 1 x1 A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ), K = 1 1 0 , x = x2 0 1 1 x3 1 0 1 ∵ (b1 , b2 , b3 ) = (a1 , a2 , a3 ) 1 1 0 0 1 1
第2章 线性方程组与向量组
R( A) n
R( A) n
（证明略，只以下面例子说明）
例1 求解方程组
x1 x 1 2 x1 3 x1
1 1 1 1 A 2 1 3 1
x2 x3 4 x4 3 x5 0, x2 3 x3 2 x4 x5 0, x2 3 x3 5 x4 5 x5 0, x2 5 x3 6 x4 7 x5 0.
1 2 1 1 0 1 1 2 r1 r3 2 r2 0 0 0 1 0 0 r1 r2 ( 1) r4 0 0 0 0 0 0
因此有
1 1 1 0 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0
则其矩阵形式为
Ax b
1 几个概念： （1）齐次线性方程组： b o
bo （2）非齐次线性方程组：
（3）非齐次线性方程组相容：指的是其有解；无解时称为 不相容 （4）冗余方程：即多余的方程，在解方程用加减消元时就 就可把它去掉不考虑，如
x1 2 x2 3 2 x1 3 x2 5 2 x 4 x 6 2 1 E3 2 E1
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 A1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 r2 2 r3 r2
线性代数课件2精编版
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
一个线性方程组与其增广矩阵相对应，方程组中的每个方 程与增广矩阵的一行相对应，因而方程组的三种初等变换 对应于矩阵的下述三种行初等变换： （1）将矩阵的一行乘以一个非零常数， （2）将矩阵的两行互换； （3）将矩阵一行的倍数加到另一行上。
矩阵经初等变换可化为阶梯形矩阵。所谓行阶梯阵，即为满 足以下两个条件的矩阵： （1）该矩阵如果有零行（元素全为零的行），那么零行位 于最下方； （2）非零行的非零首元（自左至右第一个不为零的元素） 的列标随行标递增。
第二节 n维向量
线性代数
第二章 线性方程组
第2节 n维向量
定义 设a1, a2 ,..., an为n个数，则由这n个数组成的有序数
组（a1, a2 ,..., an）称为n维向量，记作 a1, a2 ,L , an ，
数a1, a2 ,..., an为该向量的分量。 注：分量均为0的n维向量(0,L ,0)称为n维零向量。
第二章 线性方程组
Gauss消元法用于齐次线性方程组：
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0
.a..2.1.x.1
a22 x2
...
a2n xn
0 (**)
as1x1 as2 x2 ... asn xn 0
显然dr1 0，故一定有解， 且当r n时，有唯一解；
线性代数-向量与线性方程组
(1)、 ( 2)用矩阵分别表示： Ax b
Ax 0
b1 x1 x b b x n n 解向量
0 0 0
2
x1 2 x 2 x 3 2 3 x1 x 2 2 x 3 1 x x x 0 1 2 3
B ( A b)
初等行变换
不妨设
c11 0 B1 0 0 0 0
B1 ( A1 b1 ) r R( B1 ) r 1
c12 c 22 0 0 0 0 c1r c2r cr r 0 0 0
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10
例1 判断非齐次线性方程组
x1 2 x 2 3 x 3 x4 1, 3 x1 x 2 5 x 3 3 x4 2, 2 x x 2 x 2 x 3. 2 3 4 1
是否有解，若有求出方程组的解
2 1 1 1 1 1 1 2
也线性相关维向量组线性相关则维向量组也线性无关维向量组也线性无关维向量组b由定理5与已知矛盾也线性相关维向量组线性无关线性无关线性相关线性相关57维向量组线性无关线性无关线性相关线性相关线性无关向量组线性无关部分向量组线性无关线性相关线性相关向量组向量组线性无关减少向量的个数增加向量的维数向量组线性相关向量组线性相关增加向量的个数减少向量的维数58练习1及行向量组线性相关性的列向量组判断矩阵个向量的行向量组含有3
线性代数-第二章-向量和向量空间
例如： 2
1
0
0
0
5 3
,
1
0 0
,
2
1 0
,
3
0 1
,
4
0
0
0
0
0
0
1
2 1 0 0 0
有
5
2
0
5
1
3
0
0
0
3 0 0 1 0
0
0
0
0
1
即 =21 5 2 3 3 0 4
x4
0
即
x1 x3
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
定义10 设n维向量组为1,2，,m (m 2),
如果其中存在一个向量可以由其余向量线
性表
出，
则称向量组1
,
2，,
线性
m
相关
；
向量组与方程组
2014级数学辅导学案（七）：线性方程组与向量组
2015.1.8
一、知识梳理：
（一）线性方程组的解
1.利用矩阵的秩判断线性方程组解的情况：对于含有n 个未知数的m 个线性方程的方程组Ax b =，有
.a 无解()(,)R A R A b ⇔<； .b 有唯一解()(,)R A R A b n ⇔==；
.c 有无穷限多解()(,)R A R A b n ⇔=<.
2.线性方程组解的结构
（1）齐次方程组解向量的性质：对于0Ax =，
.a 若1122,x x ξξ==是方程组的解，则12x ξξ=+也是方程组的解；
.b 若11x ξ=是方程组的解，则1()x k k R ξ=∈也是方程组的解；
（2）非齐次方程组与对应齐次方程组解的关系：若*x η=为Ax b =的一个解，0Ax =的通解为11n r n r x k k ξξ--=+
+，则Ax b =的通解为11*n r n r x k k ξξη--=+++.
（二）向量组
1.向量组的线性表示与线性相关性
特性 对象
定义
等价命题
判定（充要条件）
线性表示
向量与向量组
若
12,,,m R
λλλ∃∈，使
1122m m b a a a λλλ=++
+，
则b 能由A ：12,,
,m a a a 线性表示.
方程组
Ax b =有解
()(,)R A R A b =
向量组与向量组 若向量组B 中每个向量都能由向量组A 线性表示，则B 能由A 线性
表示.
矩阵方程AX
B =有解
()(,)
R A R A B =（必要条件：()()R A R B ≥）
等价
向量组与向量组
线性方程组与向量的线性相关性
d
r
1
0
有m-r行
0 00 0 0 0
有r列
有n-r列
14
理学院数学科学系
推论1 线性方程组AX=b无解的充分必要条件是
R( A) R( A, b).
推论2 n元线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是
R( A) R( A,b) n.
推论3 n元线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件是
00
1
2 2 1 1
10
1
11
22
02
r2 2r3 r1 r3
r1 r2
11
0
0 0
01 1 0 0
00 0 1 0
36
3
2 0
x1 x2
6, 3,
x3 2.
10
例2.3 求解非齐次线性方程组
3
x1 x1
x2 x2
3x3 3x3
x4 1, 4x4 4,
x1
§3.2 线性方程组的一般理论
在本节将介绍线性方程组有解的条件，以及齐次线性方 程组有非零解的条件. 一、非齐次线性方程组解的研究 二、齐次线性方程组解的研究
8
理学院数学科学系
一、非齐次线性方程组解的研究
例2.1 求解非齐次线性方程组
一般地，对于方程3x组x11A2Xxx2=2b，53xx若33R3(xxA44)12,R, ( A, b) ，则是不是
线性代数 线性方程组
同解。
aj1 x1+aj2 x2+…+ajn xn = bj …… … … … … …
第 i 个方程乘以(-r)倍加 到第 j 个方程,即返回.
…… … … … … …
ai1 x1+ai2 x2+… +ain xn = bi …… … … … … …
(aj1+rai1) x1+…+ (ajn+rain) xn= bj+rbi …… … … … … …
初等行变换
行最简形 高斯-约当消元
线性方程组
初等变换
(标准)阶梯形方程组
回代
解 高斯消元
例2
求解方程组
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 10 x2 + 2x3 + 3x4 = 6
解: 增广矩阵为
1 2 3 4 10 012 3 6
1 0 1 2 2 012 3 6
x1= 2 + s +2t
2 (x, y) (3 3t , t), t R.
2. 消元法求解线性方程组（等价、初等变换）
变换 1: 交换第 i 和第 j 个方程.
…… … … … … … ai1 x1+ai2 x2+… +ain xn = bi …… … … … … … aj1 x1+aj2 x2+…+ajn xn = bj …… … … … … …
第二节线性方程组的解法
5 x1 2 x3 x4 , 3 由此即得 4 x 2 2 x 3 x4 , 3
( x3 , x4 可任意取值).
a11 a12 a1n b1 a 21 a 22 a 2n b2 向量的线性表示 x1 x 2 xn (3) a a a b m1 m2 mn m
a11 a12 a1n b1 a 21 a 22 a 2n b2 x1 x 2 x n a a a b m1 m2 mn m
原方程组与以下方程组是同解方程组
d11x1 d12 x 2 d 22 x 2 d1r xr -d1(r 1) xr 1 d1n xn d 2r xr d 2(r 1) xr 1 d 2n xn drr xr dr(r1) xr 1 drnxn
5 1 0 2 1 2 2 1 3 r3 r2 4 r1 2r2 4 0 1 2 0 1 2 3 r2 ( 3) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 即得与原方程组同解的方程组
5 x1 2 x3 3 x4 0, 4 x 2 2 x 3 x 4 0, 3
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1 2 1 1 0 1 1 2 r1 r3 2 r2 0 0 0 1 0 0 r1 r2 ( 1) r4 0 0 0 0 0 0
因此有
1 1 1 0 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0
%Matlab求基础解系实现命令
a=[1 1 1 4 -3;1 -1 3 -2 -1;2 1 3 5 -5;3 1 5 6 -7]; r=rank(a); x=null(a,'r') ！计算结果：
x= -2 -1 1 -3 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 1
例2 解方程组
x1 2 x2 x3 0, 4 x1 5 x2 2 x3 0, 7 x 8 x 4 x 0. 2 3 1
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 A1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 r2 2 r3 r2
与 A1 对应的方程组的同解方程组为
x1 x2 x4 , x3 2 x4 .
（1）
必有零解,但我们关心其在什么条件下具有非零解,为此我们给出 书定理1.2 齐次线性方程组(1)有非零解 齐次线性方程组(1)只有零解 其中 A 为其系数矩阵.
x1 x2 0 2 x1 x2 0 x 2x 0 2 1
2 x1 x2 0 4 x1 2 x2 0
A | b B | d Ax = b 与 Bx = d 同解
上述结论就是书P90的命题1.1 命题1.1：等价同解
r
行初
（1）齐次线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn 0, a2 n xn 0, amn xn 0
k1 k2 , k1 , 2k 2 , k2 ,
令 x2 k1 , x4 k2 ,则得
x1 x 2 x3 x4
(其中 k1 , k2 为任意常数)
也即
x1 k1 k2 1 1 x k 1 2 1 k k 0 x3 2k2 1 0 2 2 0 1 x4 k2
a11 a21 am1 a12 a22 am 2
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
若设 A (a ) ij mn
b1 x 1 a1n b a2 n , x ( x ) x2 , b (b j ) m1 2 j m1 bm amn mn xn
1 1 1 x1 2 x2 2 x3 2 , x x2 , 2 x3 x3 , 0, x4
令 x2 k1 , x3 k2得
1 1 1 1 1 1 x1 k1 k2 2 2 2 2 2 2 x 2 k1 k1 1 k2 0 0 x3 0 1 0 k 2 x4 0 0 0 0
第三个方程就变为0=0，故把第三个方程看作多余方程 （冗余方程）
（5）增广矩阵为：A = A| b
a11 a12 a21 a22 A A | b am1 am 2
a1n b1 a2 n b2 amn bm
（6）对齐次线性方程组而言，第i个与第j个方程互换位置， 对应着对系数矩阵做第一种行初等变换；第i个方程乘以非 零常数k，对应着对系数矩阵做第二种行初等变换；第i个 方程的k倍加到第j个方程上去，对应着对系数矩阵做第三 种行初等变换。 对非齐次线性方程组而言，第i个与第j个方程互换位置， 对应着对增广矩阵做第一种行初等变换；第i个方程乘以非 零常数k，对应着对增广矩阵做第二种行初等变换；第i个 方程的k倍加到第j个方程上去，对应着对增广矩阵做第三 种行初等变换。
第2章 线性方程组与向量组
§ § § 内容 § § 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 线性方程组求解问题 向量的线性组合与线性表示 向量的线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间
§ 2.1 线性方程组求解问题
2.1.1 线性方程组的一般概念 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换得
1 2 1 1 2 1 r2 4 r1 A 4 5 2 0 3 2 r3 7 r1 7 8 4 0 6 3
1 2 1 r3 2 r2 0 3 2 0 0 1
2.1.2 线性方程组的求解与解的存在性 加减消元法的运算，不会改变方程组的解，故对系数矩阵 A施行初等变换，不会改变齐次方程组的解，也就是说：
A B Ax = o 与 Bx = o 同解
此即
行初
A B Ax = o 与 Bx = o 同解
类似地，对非齐次线性方程组
r
A | b B | d Ax = b 与 Bx = d 同解
b1 b2 b o b m
(2)
书P93 定理1.1 非齐次线性方程组(2)有解 R( A) R( A) （1）非齐次线性方程组(2)有唯一解 R( A) R( A) n
（2）非齐次线性方程组(2)有无穷多组解 R( A) R( A) r n
所以
R( A) 3
因此该方程组只有零解. 例3 解方程组.
x1 x2 x3 x4 0, x1 x2 x3 3 x4 0, x x 2 x 3 x 0. 2 3 4 1
解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换
1 1 1 1 1 1 1 1 r2 r1 A 1 1 1 3 0 0 2 4 r3 r1 1 1 2 3 0 0 1 2
则其矩阵形式为
Ax b
1 几个概念： （1）齐次线性方程组： b o
bo （2）非齐次线性方程组：
（3）非齐次线性方程组相容：指的是其有解；无解时称为 不相容 （4）冗余方程：即多余的方程，在解方程用加减消元时就 就可把它去掉不考虑，如
x1 2 x2 3 2 x1 3 x2 5 2 x 4 x 6 2 1 E3 2 E1
(其中 k1 , k2 , k3 为任意常数).
注意：自由未知数的个数=未知数的个数-系数矩阵的秩= n-r=任意常数的个数；上面右边的三个向量显然是齐次方 程组的解（该三个向量称为齐次方程组的基础解系）；基 础解系中所含向量的个数=n-r;齐次线性方程组的任一一个 解可以表示成基础解系中n-r个向量的线性组合(通解)。
(其中 k1 , k2 为任意常数)
注意：自由未知数的个数=未知数的个数-系数矩阵的秩
（2）非齐次线性方程组的解
对于非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
的情况,我们有如下定理
a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm
且自由未知数的个数=n-r （证明略，只以下面例子说明）
例3 解方程组
2 x1 x2 x3 x4 1, 4 x1 2 x2 2 x3 x4 2, 2 x x x x 1. 2 3 4 1
解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 r2 2 r1 A 4 2 2 1 2 0 0 0 1 0 r3 r1 2 1 1 1 1 0 0 0 2 0
1 4 3 1 1 1 4 3 2 r1 3 2 1 r 0 2 2 6 2 r3 2 r1 3 5 5 r4 3 r1 0 1 1 3 1 5 6 7 0 2 2 6 2
解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换（相当于消元处理）
1 0 r1 r2 r2 ( 1) 0 0
0 2 1 1 0 0 0 0
1 2 3 1 B 0 0 0 0
因为R( A) R( B) 2 5 ,所以方程组有非零解.与矩阵 B
对应的方程组为
x1 2 x3 x4 2 x5 , x2 x3 3x4 x5 ,
并且与原方程组等价.当未知量 x3 , x4 , x5 取定某一组值时, x1 , x2 的值也随之确定,即得到方程组的一组解,因此对于
未知量 x3 , x4 , x 的任意一组取值 ,均能得到方程组的解,我 5
们称满足这样条件的未知量为自由未知量. 设自由未知量 x3 k1, x4 k2 , x5 k3 ,得
x1 2k1 k2 2k3 2 1 2 x2 k1 3k2 k3 1 3 1 x3 k1 1 k2 0 k3 0 k1 k2 x4 0 1 0 0 0 1 x k 3 5
1 1 0 1 r2 r3 0 2 0 2
1 1 0 1 r3 2 r2 r4 2 r2 0 0 0 0
1 4 3 1 3 1 2 6 2 2 6 2
1 4 3 1 3 1 0 0 0 0 0 0
R( A) n
Байду номын сангаас
R( A) n
（证明略，只以下面例子说明）
例1 求解方程组
x1 x 1 2 x1 3 x1
1 1 1 1 A 2 1 3 1
x2 x3 4 x4 3 x5 0, x2 3 x3 2 x4 x5 0, x2 3 x3 5 x4 5 x5 0, x2 5 x3 6 x4 7 x5 0.