第2章 线性方程组与向量组
3-2向量组的线性关系
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
线性代数-第2章
第2章对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。
矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。
任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。
通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。
考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。
总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。
因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。
矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。
满秩矩阵的行列式不等于零。
非满秩矩阵的行列式必为零。
既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，r<n，有无穷多解。
齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。
当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。
通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。
非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。
在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。
矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。
矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。
即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。
矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。
如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。
高等代数Ⅰ第二章 线性方程组测试题
η1,η2 ,",ηn−1 线性无关。（10 分）
八、已知α1
=
(0,1,0),α 2
=
⎧
(−
3,2,2)
是方程组
⎪ ⎨
x1 − x2 + 2x3 = −1 3x1 + x2 + 4x3 = 1
的两个解，求此方程的
⎪⎩ax1 + bx2 + cx3 = d
一般解。（10 分）
九、设α1,α2 ,",αt 是齐次方程组②的基础解系， β1 = α2 + α3 + "+ αt , β2 = α1 + α3 +
β4
= α4
− α1 ，那么，
β
1
,
β
2
,
β
3
,
β
必线相关
4
。
⒉等价的向量组有相同的极大关组。
（） （）
⒊设 A是n级方阵, 那么A的行向量线性无关当且仅当 A 的列向量线性无关。（ ）
⒋如果非齐次线性方程组①的系数矩阵的秩小于 n ，那么①的基础解系一定存在，但未
必是唯一的。
（）
⒌非齐次线性方程组的任意两个解向量的和仍是它的解。
⒊设齐次线性方程组
⎪⎪⎨a21x1 ⎪
+
a22 x2 + "+ a2n xn """"
=
0
②
⎪⎩a s1 x1 + as2 x2 + "+ asn xn = 0
只有零解, A 表示其系数矩阵,那么( )
(A) A 的列向量线性相关;
(B) A 的列向量性无关;
线性代数第2章矩阵PPT课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
《高等代数与解析几何》教学大纲
《咼等代数与解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）2、课程编号：03030001/23、课程类别：学科基础课4、总学时/学分：160/105、适用专业：信息与计算科学6、开课学期：第一、二学期二、课程与人才培养标准实现矩阵说明掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。
三、课程的地位性质与目的本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。
高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。
主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。
四、学时分配表五、课程教学内容和基本要求总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。
本课程各章的教学内容和基本要求如下：第一章向量代数【教学内容】1、向量的线性运算2、向量的共线与共面3、用坐标表示向量4、线性相关性与线性方程组5、n维向量空间6、几何空间向量的内积7、几何空间向量的外积8、几何空间向量的混合积【基本要求】理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。
【教学重点及难点】重点：向量的概念，向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；用坐标进行向量的运算。
难点：向量间垂直、共线、共面的条件。
第二章行列式【教学内容】1、映射与变换2、置换的奇偶性3、矩阵4、行列式的定义理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克拉默法则。
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
第二章 线性方程组习题答案与解答
第二章 线性方程组习题答案与解答习题二对于数字计算题，仅给出Maple 程序与答案.证明题答案仅供参考。
1.用消元法解下列方程组(1)1221231231321,22,353,22x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪--=⎪⎨-+=⎪⎪-++=-⎩ > A:=[[1,-1,2],[1,-2,-1],[3,-1,5],[-1,0,2]]: b:=[1,2,3,-2]:linsolve(A,b);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,107-17-271234512245123452322,(2)3536,2228.x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-+=⎨⎪++--=⎩> A:=[[1,-2,3,-1,2],[3,-1,5,-3,1],[2,1,2,-2,-1]]: b:=[2,6,8]: linsolve(A,b);(3) >A:=[[1,2,3],[3,5,7],[2,3,4]]:b:=[4,9,5]:linsolve(A,b,'r',c);[],,- + 2c 1 - 32c 1c 1(4)> A:=[[2,-2,1,-1,1],[1,-4,2,-2,3],[3,-6,1,-3,4],[1,2,-1,1,-2]]:b:=[2,3,5,-1]: linsolve(A,b,'r',c);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,, + 1313c 1c 20- - + 432c 253c 1c 1 (5) > A:=[[1,1,2,3],[2,3,5,2],[3,-1,-1,-2],[3,5,2,-2]]:b:=[1,-3,-4,-10]: linsolve(A,b,'r',c);[],,,-1-101(6)> A:=[[2,-4,5,3],[3,-6,4,2],[4,-8,17,11]]: b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,, - 2c 125c 2c 1c 2-75c 2(7)> A:=[[1,3,-2,-1],[2,6,-3,0],[3,9,-9,-5]]: b:=[3,13,8]:linsolve(A,b,'r',c);[],,, - 23c 1c 1-35(8)> A:=[[1,-1,2,-3,1],[2,-2,7,-10,5],[3,-3,3,-5,0]]: b:=[2,5,5]:linsolve(A,b,'r',c);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,, + - + 53c 2c 353c 1c 2c 3c 1- + + c 343c 1132.当k 取何值时,下面的齐次线性方程组有非零解,并求出此非零解.> A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,k]]); E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]); k1:=solve(det(A)=0,k);A:=matrix([[2,-1,3],[3,-4,7],[-1,2,-3]]); b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);:= A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥2-133-47-12k := E ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥100010001 := k1-3 := A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥2-133-47-12-3 [],,-c 1c 1c 13. 当k 取何值时,下面的线性方程组无解?有解?,在方程组有解时,求出它的解..4.当a 取何值时,线性方程组1231231231,233,32x x x x x ax x ax x +-=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有解时,求出它的解. 111111112330121.1320141a a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1.1⎫⎪⎭123210,1,111111110131013100410011/41105/410010101/40101/4.0011/40011/41,1/4,1/4.10,1,111111110121012101410062a a x x x a a a a a a a a -==--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-≠≠--⎛⎫⎛ ⎪ +→+ ⎪ ⎪---+-⎝⎭⎝11110121.00(2)(3)2(2)(3)0,23,111111110121012100(2)(3)2003111111104/(3)01210101/(3)0011/(3)0011/(3)a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎭-⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭-+≠≠≠---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+→+ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭-+⎛⎫⎛ ⎪ →+→+ ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝即且时1231003/(3)0101/(3),0011/(3)3/(3),1/(3),1/(3).a a a x a x a x a ⎫⎪⎪⎪⎭+⎛⎫ ⎪→+ ⎪ ⎪+⎝⎭=+=+=+唯一解2a =时,312111111110121014100(2)(3)200001111105001410141.00000000,5,14.a a a a x c x c x c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-3,111111110121011100(2)(3)20005a a a a a =---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭时 方程组无解.5.已知向量(2,1,0,1),(1,4,2,3),αβ=-=-计算 (1)2αβ-;(2)1(3)2αβ+.> alpha:=[2,-1,0,1];beta:=[-1,4,2,3];2*alpha-beta;(1/2)*(alpha+3*beta);:= α[],,,2-101 := β[],,,-1423[],,,5-6-2-1 ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,-12112356.设2(2,1,2,3),2(1,4,2,2),αβαβ+=+=--求,.αβ 求向量,.αβ解2(2,1,2,3),(1)2(1,4,2,2)(2).(1)224(4,2,4,6)(3),αβαβαβ+=⎧⎨+=--⎩⨯+= (3)(2)3(3,6,6,4),(1,2,2,4/3),(2,1,2,3)2(1,2,2,4/3)(0,3,2,1/3).(0,3,2,1/3),(1,2,2,4/3).ββααβ-===-⨯=--=--=7.已知向量123(3,2,0,1),(0,4,3,3),(1,6,5,8)ααα=-==-,而向量β满足1232()3(),βαβααβ-++=-求向量β. 解> alpha1:=[3,2,0,-1]; alpha2:=[0,4,3,3]; alpha3:=[-1,6,5,8];beta:=(1/6)*(2*alpha1-3*alpha2+alpha3);:= α1[],,,320-1 := α2[],,,0433:= α3[],,,-1658 := β⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,56-13-23-128.把向量β表示为其余向量的线性组合.(1) > beta:=[4,5,6];alpha1:=[3,-3,2]; alpha2:=[-2,1,2]; alpha3:=[1,2,-1];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,bet a);:= β[],,456 := α1[],,3-32 := α2[],,-212:= α3[],,12-1:= A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥3-21-31222-1 [],,234123234.βααα=++(2)> beta:=[-1,1,3,1]; alpha1:=[1,2,1,1]; alpha2:=[1,1,1,2]; alpha3:=[-3,-2,1,-3];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,bet a);:= β[],,,-1131:= α1[],,,1211 := α2[],,,1112 := α3[],,,-3-21-3:= A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥11-321-211112-3 无法表示.(3)> beta:=[1,0,-1/2]; alpha1:=[1,1,1]; alpha2:=[1,-1,-2]; alpha3:=[-1,1,2];A:=transpose(matrix([alpha1,alpha2,alpha3]));linsolve(A,bet a,'r',c);:= β⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,10-12 := α1[],,111:= α2[],,1-1-2 := α3[],,-112:= A ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥11-11-111-22 ⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,12 + 12c 1c 1取10c =得特解123121111,,0..2222x x x βαα====+9.向量β可由向量12,,,m ααα线性表示,但不能由向量组(I):121,,,m ααα-线性表示.记向量组121(II),,,,.m αααβ-试证m α不能由(I)线性表示,但可由(II)线性表示.证 如果m α可由(I)线性表示,那么12,,,m ααα就可以用(I)线性表示,又β可由向量12,,,m ααα线性表示,则β可由(I)线性表示,此与假设矛盾.故m α不能由(I)线性表示.由于β可由向量12,,,m ααα线性表示,故存在数1,,,m k k 使得1122.m m k k k βααα=+++(*)其中的0.m k ≠否则, 0,m k =将有112211.m m k k k βααα--=+++于是β可由121,,,m ααα-线性表示,与假设矛盾.故必有0.m k ≠由上面的(*),得1121211,m m m m mmk k k k k k k αβααα-=---- 即m α可由(II)线性表示.10.判定下列向量是线性相关,还是线性无关? (1)12(3,2,0),(1,2,1).αα==-123123(2)(1,1,1,1),(1,1,2,1),(3,1,0,1).(3)(2,1,3),(3,1,1),(1,1,2).αααααα=-=--===-=-解 (1)线性无关.因为两个向量线性相关,必对应分量成比例. (2) 用123,,ααα做行向量组成矩阵,把矩阵用初等行变换化成阶梯形,非零行的行数如果小于向量数,则线性相关,等于行数,则线性无关.111111111121023231010232--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 11110232,()2 3.0000r A -⎛⎫⎪→--=< ⎪⎪⎝⎭线性相关.(3)213112112311213017112311045112017,() 3.0023r A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→-= ⎪⎪⎝⎭线性无关.11.已知向量组123(,2,1),(2,,0),(1,1,1).a a ααα===-试求a 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?线性无关?解 向量个数等于向量维数时,如果有字母出现,可考虑用相应行列式是否等于零,判断线性相关和线性无关.1221111111202002211121021111022003(2)(3)0.2, 3.a a a a a a a a aa a a a --=-=-+--+--=-+--=+-==-=2a =-或3时线性相关,否则线性无关.12.证明定理2.4:n 个n 维向量11112122122212(,,,),(,,,),,(,,,),n n n n n nn a a a a a a a a a ααα===线性相关的充分必要条件是行列式111212122120.n n n n nna a a a a a a a a =证 方程1122n n x x x o ααα+++=相当于齐次线性方程组1112121121222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(注意j x 的系数是第j 个向量的分量,而第i 个方程的系数是各个向量的第i 个分量)而此方程组有非零解的充分必要条件是行列式1121111121122222122212120.n n n n nnnnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a ==13.证明定理2.5: 定理 n +1个n 维向量线性相关. 证明 n +1个n 维向量都有线性表示121122(,,,),1,, 1.i i i in i i in n a a a a a a i n αεεε==+++=+1n +个向量用n 个向量线性表示，根据定理“若s 个向量用t个向量线性表示，s t >，则前面s 个向量向量必定线性相关”，(11)i i n α≤≤+线性相关. 14.如果向量组1,,s αα线性无关,试证向量组12sααα+++线性无关.证法一 第一个向量组记作I,第二个向量组记作II.II 显然可用I 线性表示,又111()()i i i ααααα-=++-++,I 可用II 线性表示,I~II,(II)(I).r r s ==II 的秩等于其向量个数,故II 线性无关. 证法二. 用PPT 文件中的下例中的方法.15.已知向量组123,,ααα线性无关,设1123(1)3,m βααα=-++21233123(1),(1)(1).m m m βαααβααα=+++=--++-试问当m 为何值时,向量组123,,βββ线性无关,?线性相关?解 由13题证法二得一般结论:当s 个向量的向量组I 可用s 个线性无关向量的向量组II 表示时,向量组I 线性相关的充分必要条件是表示对应的矩阵的行列式等于零.于是考察m 满足的方程 1311110.111m m m m -+=---- 13100111m m m m ----- 2123(4)(2)(2)0.0,2, 2.m m m m m m m m =--+=-+====-当0m =或2m =或2m =-时,123,,βββ线性相关,当0m =且2m =且2m =-时, 123,,βββ线性无关.16.已知向量123,,βββ可由向量组123,,ααα: (1)试把向量组123,,ααα由向量组123,,βββ线性表示. (2)这两个向量组是否等价. 解112321233123112112223223313313112223313,(1),(2).(3)11(1)(2),2,,2211(2)(3),2,,2211(1)(3),2,.2211,2211,2211.22βαααβαααβααααββαββαββαββαββαββαββαββαββ=-+⎧⎪=+-⎨⎪=-++⎩+=+=++=+=++=+=+⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩17.设n 维向量组11(1,0,0,,0),(1,1,0,,0),,(1,1,1,,1)n ααα===.试证:向量组12,,,n ααα与n 维单位向量组12,,,n εεε等价.证 已经知道12,,,n εεε线性无关,根据14题, 12,,,n ααα线性无关,1n +个n 维向量12,,,,n i αααε线性相关, 12,,,n ααα线性无关,故i ε可用12,,,n ααα线性表示, 已知12,,,n ααα可用线性表示,故两个向量组等价.18.证明:如果n 维基本单位向量组12,,,n εεε可以用n 维向量组12,,,n ααα线性表示,则向量组12,,,n ααα线性无关.证 向量组12,,,n εεε可以用n 维向量组12,,,n ααα线性表示,12,,,n ααα也可以用12,,,n εεε线性表示,二者等价,它们的秩相同, 12,,,n εεε线性无关,其秩为n ,故12,,,n ααα的秩为n ,从而12,,,n ααα线性无关.19.设向量组12,,,s ααα的秩为r ,证明: 12,,,s ααα中任意r 个线性无关的向量都是它的一个极大线性无关组. 证 不妨设12,,,r ααα是12,,,s ααα的一个线性无关向量组.任取i α,向量组12,,,,r i αααα线性相关,因否则, 12(,,,)s r ααα1,r ≥+与假设矛盾. 12,,,,r i αααα线性相关,而12,,,r ααα线性无关,故i α用12,,,r ααα线性表示.故12,,,r ααα是12,,,s ααα的一个极大线性无关组.20.已知向量组123(I):,,;ααα1234(II):,,,αααα和1235(III):,,,.αααα如果各向量组的秩分别为(I)(II)3,(III) 4.r r r ===证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4.证 (I)的秩是3,等于向量个数,表明(I)线性无关,(II)的秩是3,其部分组线性无关,说明4α是(I)的线性组合.(III)的秩是4,表明(III)线性无关,从而5α不是(I)的线性组合,结合4α是(I)的线性组合,得54αα-不是(I)的线性组合,否则5544()αααα=-+将是(I)的线性组合,矛盾.由于(I)线性无关, 54αα-又不是(I)的线性组合,故12354,,,ααααα-线性无关,从而其秩为4.21.如果向量组12,,,s ααα可以由向量组12,,,t βββ线性表示.证明1212(,,,)(,,,).s t r r αααβββ≤证 设12(,,,),t r l βββ=并且12,,,l βββ是其极大线性无关组.设12(,,,),s r m ααα=并且12,,,m ααα是其极大线性无关组.12,,,m ααα可以由向量组12,,,l βββ线性表示, 12,,,mααα线性无关,故,.m l ≤因为如果m l >,根据有关定理将有线性相关. 22.证明121212121212(1)(,,,)(,,,,,,,);(2)(,,,)(,,,,,,,).s s t t s t r r r r ααααααββββββαααβββ≤≤证 (1) 12,,,s ααα可用1212,,,,,,,)s t αααβββ线性表示,由上题得(1).(2)的证明雷同.23.判断下述命题是否正确.如果命题成立,请简述理由,否则请举出反例.(1)若存在全为零的数120,s k k k ====使得11220,s s k k k ααα+++=则向量12,,,s ααα线性无关.错误.对于全为零的数120,s k k k ====总有11220,s s k k k ααα+++=岂不任何向量组都线性无关.正确说法是若11220,s s k k k ααα+++=必有120.s k k k ====(2)如果向量组12,,,s ααα线性相关,则其任一部分组也线性相关.错误 如(1,1),(2,2)线性相关,但(1,1)线性无关.正确说法是如果向量组12,,,s ααα线性无关,则其任一部分组也线性无关.(3) 如果向量组12,,,s ααα线性相关,则其任一向量都可以由其余向量线性表示.错误 例如(0,0),(1,1)线性相关,(11)不能用(0,0)线性表示.正确说法是:如果向量组12,,,s ααα线性相关,则其中某一向量可以由其余向量线性表示. (4) 向量组12,,,s ααα线性无关的成分必要条件是其中任一向量都不能由其余1s -个向量线性表示. 正确. 证明如下. 如果12,,,s ααα线性无关,而某一向量,不妨设可以由其余s α可以由其余1s -个向量线性表示,即存在数121,,,,s k k k -使得112211,s s s k k k αααα--=+++,于是112211(1)0,s s s k k k αααα---++++=10,-≠12,,,s ααα线性相关,矛盾.如果12,,,s ααα中任一向量都不能由其余1s -个向量线性表示,则12,,,s ααα线性无关,否则如果12,,,s ααα线性相关,则存在不全为零的数12,,,,s k k k 不妨设0s k ≠,使得1122110,s s s s k k k k αααα--++++=于是112211(/)(/)(/)0.s s s s s s k k k k k k αααα--=-+-++-=(5)如果两个向量组等价,则它们含有的向量数相同.错误.例如(1,1)和(2,2),(3,3)等价,但含有的向量数分别为1和2. (6)如果12(,,,)s r r ααα=,则12,,,s ααα中任意r 个向量都线性无关.错误.例如向量组(1,1),(0,0)的秩为1,但(0,0)作为一个线性组,线性相关.正确说法是: 如果12(,,,)s r r ααα=,则12,,,s ααα中存在r 个向量线性无关,并且其余向量都可以由它们线性表示. (7) 如果12(,,,)s r r ααα=,则12,,,s ααα中任意1r +个向量都线性相关.正确. 因为如果12,,,s ααα中存在1r +个向量线性无关,12,,,s ααα的秩将大于或等于1r +.(8) 如果12(,,,)s r s ααα=,则向量组12,,,s ααα中任意部分都线性无关. 正确. 因为12(,,,)s r s ααα=表明12,,,s ααα线性无关,如果一个部分组线性相关,整个组将线性相关,矛盾. 24.把下列矩阵化为等价标准形,并且求矩阵的秩.21211211(1).42000000() 1.123123123(2)3120570152310150571231231200150150100018001001100010001r A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→ ⎝⎭.() 3.23111111(3)11230501121201001001.() 2.0011111111112032102501(4)1361202501426430220111111025010r A r A =⎪⎪---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭---→111110250100000010000700000001111111011015/201/20100200100001000000000000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭10013100000100201000.() 3.00100001000000000000r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪→→= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭25.已知矩阵33021430.1562A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭(1)计算A 的所有三阶子式; (2)利用(1)的结果求矩阵A 的秩.解 > D1:=det([[3,3,0],[-1,-4,3],[1,-5,6]]);D2:=det([[3,3,2],[-1,-4,0],[1,-5,-2]]);D3:=det([[3,0,2],[-1,3,0],[1,6,-2]]); D4:=det([[3,0,2],[-4,3,0],[-5,6,-2]]);:= D10:= D236 := D3-36 := D4-36(2)根据(1),() 3.r A =26.把下列矩阵化成阶梯形矩阵,求矩阵的秩.1121011210(1)206010222115252044421121002221.() 2.00000r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→-= ⎪ ⎪⎝⎭2121111102111221211(2)2542925429331183311811102111020341303413066380021200212002121110203413.()00212000r A --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪----⎪⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪---⎪⎪--⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪-- ⎪→= ⎪-⎪⎝⎭3.27.求下面向量组的一个极大无关组,并且把其余向量用此极大无关组线性表示.123(1)(1,2,5),(3,2,1),(3,10,17).ααα=-=-=-解 用向量123,,ααα为行向量组成矩阵,旁边标上向量记号,对矩阵做出等行变换,把它化成阶梯形,并且注意用旁边的向量记号表示对应的初等行变换.最后的零行给出相应的线性表示,再结合秩确定一个极大无关组.12311221332121123(1)(1,2,5),(3,2,1),(3,10,17).1251253210816331017081612508163() 2.00032r A ααααααααααααααααα=-=-=---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→--= ⎪ ⎪-+⎝⎭12331232,32.o αααααα-+==-+12,αα线性无关,并且31232ααα=-+.1234(2)(1,1,0,4),(2,1,5,6),(1,1,2,0),(3,0,7,14).αααα=-==--=解 以所给向量作为列向量组成矩阵,对于矩阵进行初等行变换,这样做不改变列向量的线性关系,即如果原来有关系112233440,k k k k αααα+++=则初等行行变换后所得列向量123,,,s αααα''''仍保持关系 112233440.k k k k αααα''''+++= 反之亦然.注意前后两个等式的系数是同样的.121312131213111003301010527052705274601402420121121312131001010101010101.00220011001100220000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是()3,r A =,并且123,,ααα线性无关, 4123.αααα=+-28.求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并且用此基础解系表示方程组的一般解.123412341240,(1)20,30.x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪++=⎩> A:=[[1,1,-1,1],[1,-1,2,-1],[3,1,0,1]]: b:=[0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);[],,,c 1- - 3c 1c 2-2c 1c 2基础解系12(1,3,2,0),(0,1,0,1).ηη=--=-一般解1122.c c ηηη=+12341234123420,(2)24530,4817110.x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ > A:=[[1,-2,-1,-1],[2,-4,5,3],[4,-8,17,11]]:b:=[0,0,0]: linsolve(A,b);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,, - 2_t 125_t 2_t 1_t 2-75_t 2基础解系:12[2,1,0,0],[2,0,5,7].ηη==--一般解1122,c c ηηη=+12,c c 为任意常数.⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,, - 2_t 125_t 2_t 1_t 2-75_t 21234512345123451234520,20,(3)333340,455570.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪-++-=⎪⎨+--+=⎪⎪+--+=⎩> > A:=[[2,1,-1,-1,1],[1,-1,1,1,-2],[3,3,-3,-3,4],[4,5,-5,-5,7]]:b:=[0,0,0,0]:linsolve(A,b,'r',c);⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥,,,,13c 3 + - c 1c 253c 3c 1c 2c 3基础解系123(0,1,1,0,0),(0,1,0,1,0),(1,5,0,0,3),ηηη===-一般解112233c c c ηηηη=++29.判断下列线性方程组是否有解.若方程组有解,试求其解[在有无穷多解时,用基础解系表示其一般解].123124234124244,24,(1)321,33 3.x x x x x x x x x x x x --=⎧⎪---=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩A:=[[2,-4,-1,0],[-1,-2,0,-1],[0,3,1,2],[3,1,0,3]]: b:=[4,4,1,-3]: rankxsh:=rank(A);rankzg:=rank([op(A),b]); linsolve(A,b);:= rankxsh 3 := rankzg 4方程无解.12341341231342434,3,(2)31,773 3.x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩Maple 解> A:=[[2,-1,4,-3],[1,0,1,-1],[3,1,1,0],[7,0,7,-3]]: b:=[-4,-3,1,3]:linsolve(A,b,'r',c);[],,, - 3c 1- + 82c 1c 16特解:0η=[3, −8,0,6],导出组基本解系:η=(−1,2,1,0) . 一般解0.c ηηη=+12345123452345123451,3235,(3)2262,54337.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩Maple 解> A:=[[1,1,1,1,1],[3,2,1,1,-3],[0,1,2,2,6],[5,4,3,3,-1]]:b:=[-1,-5,2,-7]:linsolve(A,b,'r',c);[],,,,- + + + 3c 1c 25c 3 - - - 22c 12c 26c 3c 1c 2c 3特殊解0η=[−3,2,0,0,0],导出组:1η=[1, −2,1,0,0],2η=[1, −2,0,1,0],3η=[5, −6,0,0,1].1234123412341342352,22,(4)5,323 4.x x x x x x x x x x x x x x x x +--=-⎧⎪+-+=-⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ Maple 解> A:=[[2,3,-1,-5],[1,2,-1,1],[1,1,1,1],[3,1,2,3]]:b:=[-2,-2,5,4]:linsolve(A,b,'r',c);[],,,-335030.已知线性方程组123412341213412342231,3613,3151,51012.x x x x x x x x x x k x x x x x x k +++=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩ 当12,k k 取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程有无穷多解的情况下,试求其一般解.Maple 解1111112311231123136102*********1504660466151012061292431123012166(2)0, 2.00220001kk k k k k --==---------------=-=-==-+-12k ≠时方程有唯一解. 12k =时,2222112311123113613024223121530486015101206129111231112310121101211024300001206129100001k k k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21k ≠时无解. 21k =时,12341123111205012110120300012000120000000000100088,01203.32,00012 2.000x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫=-⎧ ⎪⎪⎪→=-⎨ ⎪⎪= ⎪⎩⎝⎭特解0γ=(-8,3,0,2),导出组基础解系η=(0,-2,1,0),一般解0.c γγη=+c 为任意常数.31.设有三维向量2123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(0,,).T T T T αλαλαλβλλ=+=+=+=问λ为何值时(1)β可由123,,ααα线性表示,且表达式是唯一的. (2) (1)β可由123,,ααα线性表示,但表达式不是唯一的. (3) (β不能由123,,ααα线性表示. 解 对应线性方程组的系数行列式212111111111(3)111111111111(3)00(3)0,0, 3.00λλλλλλλλλλλλλ++=++++=+=+===-0λ≠且3λ≠-时(1)成立.0λ=时对应线性方程组的增广矩阵1110111011100000.11100000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时出现情形(2).3λ=-时对应线性方程组的增广矩阵2110211012131213.11290009--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭此时(3)成立. 32.证明:线性方程组121232343454515,,,,x x a x x a x x a x x a x x a -=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎪-=⎩ 有解的充分必要条件是510.i i a ==∑证设方程有解,各个方程相加得510.i i a ==∑设条件510.i i a ==∑满足.对于增广矩阵进行行初等变换令112233445123423434411000110000110001100001100011000011000111000100000010001010010010100011000000a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→-⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-+++⎛⎫⎪-++ ⎪⎪→-+⎪- ⎪ ⎪⎝⎭令5x c =得112342234334445,,,,.x a a a a c x a a a c x a a c x a c x c =++++=+++=++=+=前四个方程显然满足,而第五个方程51123412345()().x x c a a a a c a a a a a -=-++++=-+++=33.证明:如果线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵()ij n n A a ⨯=与矩阵1221121222212120n n n n nn n na a ab a a a b C a a a b bb b ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩相等，则此线性方程组有解.证 设系数矩阵A 的秩为r ,前不妨设r 个列向量线性无关,C 的前r 列也线性无关,C 的秩为r ,故C 的最后一列的列下列可以用前r个列向量线性表示,于是向量12(,,,)T n b b b 可以用A 的前r 个向量线性表示,从而可以用C 的列向量线性表示,即方程组有解. 34.设齐次方程组111122121122221122000n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵()ij n n A a ⨯=的秩为1n -.试证此方程的一般解为12,()i i in A Ac c A η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数其中(1)ij A j n ≤≤是ij a 的代数余子式,且至少有一个0.ij A ≠ 证 由于系数矩阵的秩为1,r -故系数行列式为0.由于系数矩阵的秩为1r -,必存在一个1n -阶代数余子式不等于0.由于至少有一个0,ij A ≠112(,,,).T i i in A A A o η=≠再证1η是齐次方程组的一个解.把1η代入第k 个方程得10,nkj ij ki j a A D δ===∑D 为系数行列式,其值为0. 35.设线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ (1)证明:若1234,,,a a a a 两两不等,则此线性方程组无解.(2)设1324,(0),a a k a a k k ====-≠且已知12,ββ是该方程的两个解,其中12(1,1,1),(1,1,1)T T ββ=-=-.求此方程组的全部解.(1)增广矩阵为范德蒙行列式,当1234,,,a a a a 两两不等时其值非0,故增广矩阵的秩等于4,但系数矩阵的秩最大为3,故方程组无解. (2)当1324,(0)a a k a a k k ====-≠时,方程组的增广矩阵为232323232323233111110000100010********0000,()() 2.kk k k k k k k k kk k k k kkk k k k k k k k r A r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭≠==12(1,1,1),(1,1,1)T T ββ=-=-是解，表明方程有一个特解01(1,1,1),ηβ==-基础解系含有321n r -=-=个解向量21(1,1,1)(1,1,1)(2,0,2)2(1,0,1),T T ηββ'=-=---=-=-取基础解系(1,0,1).η=-一般解0.c γηη=+。
线性代数课件2-4(1)
至少有一个 3 阶子式不为零 即不为零 子式的最高阶数 是3， 而所有的 4 阶子式 全为零
∴r( A) = 3 .
10
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
例题与讲解
3 3 0 − 2 例2: 设 A = − 1 − 4 3 0 , 1 − 5 6 − 2
0 0 0 1 1 0 0 0 列向量组 : β 1 = 0 , β 2 = 0 , β 3 = 0 , β 4 = 1 , 0 0 0 0
行向量组为 :
α 1 = (1, 0, 0, 0) , α 2 = ( 0, 1, 0, 0 ) , α 3 = ( 0, 0, 0, 1) , α 4 = ( 0, 0, 0, 0 ) ,
α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性 相关, α 1 , α 2 , α 3 线性无关,
∴ r (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3 , 即A的行秩是 3;
初等行变换
1 2 s 1 2 s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
5
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
定理3 矩阵的行秩和列秩相等 . 证明: 当 A = O 时, 显然. 当 A ≠ O 时, 即A的元素不全为零 , 则
线性代数-向量与线性方程组
(1)、 ( 2)用矩阵分别表示： Ax b
Ax 0
b1 x1 x b b x n n 解向量
0 0 0
2
x1 2 x 2 x 3 2 3 x1 x 2 2 x 3 1 x x x 0 1 2 3
R( A) n Ax 0有非零解 又 R( A) min( m, n) 若m n, 则R( A) n Ax 0有非零解
9
B (A 0 )
R( B)＝R( A)
求解线性方程组的步骤： 写出增广矩阵，对于齐次线性方程组写出系数矩阵 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵 根据增广矩阵与系数矩阵秩的关系判断是否有解 如果有解，进一步化为行最简形矩阵 行最简形矩阵首非零元素1对应的未知量为非自由未知量， 其余未知量为自由未知量 令自由未知量为c,从而得到方程组的通解（一般解）
(1)
线性方程组的解有下列三种情况： ( n为未知量的个数 ) 无解 有惟一解 有无穷解
r ( B) r ( A)
r ( B)＝r ( A)＝n r ( B)＝r ( A) n
4
定理： 若线性方程组 Ax
b 增广矩阵为（A b）记为B
Ax b无解
A ( A b)
则有下列结论： R( B ) R( A)
r ( B ) ＝r ( B1 )
d1 d2 dr
r ( A) ＝r ( A1 ) ＝r
c1n c 21 cr n 0 0 0
其中：ci i 0 d r 1 0 0
( i 1,2,, r )
5
c11 0 r R( B1 ) r 1 0 不妨设 B1 0 其中：ci i 0 ( i 1,2,, r ) 0 0
线性代数-第二章-向量和向量空间
n维单 位坐标 向量组
所以，称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
向量组的应用—线性方程组解的结构
b1,nr xn 0 ， b2,nr xn 0 ，
br,nr xn 0 ，
其中，xr1 ，xr2 ， ，xn 是 n r 个自由未知数。特别取
xr1 1 0 0
xr
2
0
， 1
，
， 0
，
xn 0 0 1
（2-17）
可得齐次线性方程组的 n r 个解
x r 1 1 r 1 2 nnr
综合（1），（2）知，1 ，2 ， ，nr 是齐次线性方程的一组 基础解系，它所含线性无关的解向量的个数恰等于 n r（方程组 中未知数个数减去系数矩阵的秩）。矩阵的秩是确定的，所以通 解中所含任意常数的个数也是确定的。
例1
求齐次线性方程组
2x1x1x52
推论
设 m n 矩阵 A 的秩 R(A) r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的 解集 S 的秩 R(S) n r 。
例2
设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解，证明R(A) R(B) 。
证
由于方程组 Ax 0与 Bx 0 有相同的解集，设为 S，解集为秩 为 R(S) ，则有 R( A) n R(S) ，R(B) n R(S) ，因此R( A) R(B)。
经济数学
向量组的应用—线性方程组解的结构
齐次线性方程 组 Ax 0 解的 结构
非齐次线性方程 组 Ax b解的结 构
1.1 齐次线性方程组Ax=0 解的结构
齐次线性方程组 Ax 0 的解具有以下性质：
性质1 如果1 ，2 是齐次线性方程组的解，则 1 2 也是齐次线
性方程组的解。
证 因为A(1 2 ) A1 A2 0 0 0 ，所以 1 2是齐次线
1.2 非齐次线性方程组Ax=b 解的结 构
线性代数第二章1
第五节向量空间为了解决无穷多个解的表示问题，我们先来研究由无穷多个向量构成的向量组.设V n 定义1是元实向量的集合,若V 非空且对于向量的线性运算封闭（即对任意12v ,v ,R,V V k ∈∈∈都有121v v ,v ),V k V +∈∈则称V 元实向量空间.n 是显然，R n元实向量空间.n 是向量空间一定含有零向量.仅含有零向量的向量空间叫做零空间，其它向量空间叫做非零空间.零空间仅含有一个向量，非零空间含有无穷多个向量.定义2设21,V V 是两个实向量空间,若21V V ⊆则称1V 是2V 的子空间;若1V 是2V 的子空间且是2V 1V 的子空间，则称这两个空间相等,记作.21V V =元实向量空间，则是V 的子空间.是V n 若的子空间. R n 0的子空间.}{的子空间. 是V例1集合是向量空间.对任意0)0)R k {(,,)|,R,0}TV v x y z x y z ==∈=证明T111222(,,0),(,,0),T Tv x y v x y V ==∈R,∈有,)0,,(212121V y y x x v v ∈++=+111(,,0),Tkv kx ky V =∈因此，集合是一个向量空间.V 例2集合不是向量空间.(10)(01)TT{(,)|0}TV v x y xy ===证明而,)1,1(21V v v T∉=+12(1,0),(0,1),v v V ==∈即加法运算不封闭.所以集合不是向量空间.Vu v 是x 0A =的解,12u ,u设是x b A =的解,12v ,x 0A =的解集是向量空间，称为解空间.x b A =的解集不是向量空间,齐+非齐=非齐非齐-非齐=齐1212(u u )u u 0A A A +=+=11(u )u 0A k kA ==不含零向量+v =(v -v )x 0A =11(u v )x bA 11()基（基底）:向量空间的一个极大无关组.向量空间的维数:向量空间的基所含向量的个数,维向量空间:dim .V r dim .V r =记作向量空间的基是正交向量组.正交基:标准正交基:向量空间的基是标准正交向量组.零空间{0}没有基.规定零空间的维数是0.线性无关；任意向量12e ,e ,,e n "n α∈\可以由e ,e ,e "e ,e ,e "n 线性表示，所以，12,,,n 是12,,,n \的基，dim ,nn =\是标准正交基.12e ,e ,,e n "设维向量空间的一个基底,则对是12v ,v ,,v n "V n 任意向量存在唯一一组数使得v ,V ∈12,,n x x x "1122v v v v n nx x x =+++"x x x "2v v v "称为向量在基下的坐标.12,,n v 12x (,,)Tn x x x ="称为向量在基下的1,,,n 12v ,v ,,v n "v 坐标向量.解一个线性方程组.求一个向量在某个基下的坐标或坐标向量，实质上是121212v [v ,v ,,v ][,,,][v ,v ,,v ]xTn n n x x x =="""例4求中的向量在下面基下的坐标向量为列构成的矩阵进行初等行变换解对123,,,αααβ1011⎡⎤1011⎡⎤1011⎡⎤01100114⎢⎥⎢⎥⎢⎥−01100024⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎦01100012⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎣1001−⎡⎤01020012⎢⎥→−⎢⎥⎢⎥在此基下的坐标向量为则⎣⎦β(1,2,2).T−−定义3设和是维向量空间n 12 a ,a ,,a n "12b ,b ,,b n "的两个基底，则存在矩阵V P 使得b b ][]到基称为由基P a ,a ,a "1212[b ,b ,,b ]=[a ,a ,,a n n P""b ,b ,b "这里易知，P 是可逆阵.12,,,n 12,,,n 的过渡阵.是b b a a 11212[a ,a ,,a ][b ,b ,,b ]n n P−=""到的过渡矩阵.1P −12b ,b,,b n "12a ,a ,,a n "同一个向量在不同基下的坐标向量一般是不同的，但是这两个不同的坐标向量之间却有必然的联系.定理1中向量在基设维向量空间n V 12a ,a ,,a n "v 下的坐标向量分别为和和x y.若P 是x P =12b ,b ,,b n "a "b ,b ,b "到的过渡矩阵，y.12 a ,a ,,a n 12,,,n 则证明由已知1212[b ,b ,,b ][a ,a ,,a ]nnP=""1212v [a ,a ,,a ]x=[b ,b ,,b ]yn n =""b b ][]从而1212v [b ,b ,,b ]y=[a ,a ,,a y,n n P =""即下的坐标，因为一个向量在12a ,a ,,a n "y P v 是在基一个基底下的坐标是唯一的，所以x y.P =例5在中基123I :[1,0,0],[0,1,1],[1,1,1]T T Tααα==−=和基123II :[0,1,1],[1,1,1],[2,1,1]TTTβββ==−=−（1）求从I 到II 的过度矩阵P（2）已知向量I [421]v 在基下的坐标向量[4,2,1]Tx =II 下的坐标向量求v 在基y123123[,,][,,]Pβββααα=解因为101012011111⎡⎤⎢⎥−⎥101012011111⎡⎤⎢⎥→−⎢⎥011111⎢⎢⎥−−⎣⎦002200⎢⎥⎣⎦1010121⎡⎤1001120−⎡⎤→01111001100⎢⎥→−⎢⎥⎢⎥⎣⎦010********⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦112−⎡⎤⎢⎥011100P =−⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以x Py=（2）因为⎡⎤⎤1411240112−⎢⎥−11240112−⎡⎢⎥→−⎢120112−⎡⎤⎢⎥→−⎢1001⎢⎥⎢⎥⎣⎦0125⎥⎢⎥⎣⎦0033⎥⎢⎥⎣⎦1124−⎡⎤⎢⎥−10010−−⎡⎤⎢⎥→⎢10010⎡⎤⎢⎥→⎢01120011→⎢⎥⎢⎥⎣⎦0130011⎥⎢⎥⎣⎦0130011⎥⎢⎥⎣⎦(1,3,1)Ty =所以第六节线性方程组解的结构与解的表示线性方程组解的结构是指其解集是怎样构成的，它的所有解是怎样表达的.型线性方程组所有解的一般表m n ×x b A =达式叫做这个方程组的通解或一般解.=解空间：型齐次线性方程组的解集.基础解系：齐次线性方程组的解空间的基.m n ×x 0A x 0A =定理1设型齐次线性方程组的解空间m n ×x 0A =为,S 则dim ().S n r A =−的任意个线性无关的解是()n r A −x 0A =x 0A =的基础解系.例1解方程组解对系数矩阵进行初等行变换得行的最简形：−−⎡0−−0−−111111231⎤⎢⎥−−⎢⎥11100120⎡⎤⎢⎥→−⎢⎥1110012⎡⎤⎢⎥→−⎢⎥113⎢⎥−−⎣⎦024⎢⎥−⎣⎦0000⎢⎥⎣⎦行的最简形对应的齐次线性方程组为：1240x x x −−=⎧124x x x =+⎧变形为3420x x ⎨−=⎩342x x ⎨=⎩令2142,,x k x k ==则方程组的所有解为：⎤⎡⎤10⎡⎢⎥⎢⎥12x x ⎢⎥⎢⎥=121k k k +⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢11k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=221k +⎢⎥⎢⎥3x x x ⎢⎥⎢⎥22k k ⎥⎢⎥100⎢⎥⎢⎥⎣⎦4⎣⎦2⎣⎦⎣⎦系数矩阵的秩为2,基础解系含有2个解.是方程组的基础解系.一般解为12,αα1122.k k αα+12,k k 是任意实数.。
大学数学-线性代数-向量组
向量组的线性组合
向量组的线性组合是指 通过给定向量组中的向 量以及标量系数的线性 运算得到的新向量。
线性组合的系数可以是 实数或复数，也可以是 标量或向量。
线性组合的结果是一个 新的向量，其分量是原 向量分量与系数的线性 组合。
线性组合满足交换律、 结合律和分配律。
秩的性质
定理
若矩阵A经过有限次初等行变换 得到矩阵B，则矩阵A和B的秩相 等。
若向量组中的向量个数等于向 量的维数，则该向量组线性无 关；若向量组中的向量个数小 于向量的维数，则该向量组线 性相关。
05
向量组的正交性
正交向量的定义
正交向量的定义
两个向量$vec{a}$和$vec{b}$是正交 的，如果它们的点积为0，即$vec{a} cdot vec{b} = 0$。
向量组线性相关的充要条件是该向量组构成的矩阵的 秩小于向量的个数。
如果向量组中任何一个向量是其余向量的线性组合， 则该向量组线性相关。
04
向量组的秩
向量组的秩的定义
秩的定义
向量组的秩是指该向量组中线性无关向量的最大数量。
线性无关的定义
如果向量组中的向量个数等于向量的维数，则该向量组线性无关。
向量组中线性无关向量的判断
02
向量组的定义与表示
向量组的定义
向量组是由一组有序数列构成的集合，每个数列称为一个向量， 每个向量由若干个数（分量）组成。
向量组中向量的个数称为向量组的维数，所有向量中分量的个数 必须相同。
向量组的表示方法
通常使用黑体字母表示向量，如 $mathbf{a}$、$mathbf{b}$、 $mathbf{c}$等。
向量组和线性方程组的区别和联系
向量组和线性方程组的区别和联系向量组与线性方程组的关系是密切的，它们之间有着密不可分的关系，同时也有一定的区别。
首先，我们从定义上来看向量组与线性方程组都是数学中一类结构化的数据，通常用来描述一系列问题。
向量组是一组由二维或多维向量所组成的集合，它表示两个或多个变量之间的依赖关系，并通过给定向量与向量之间的线性组合来描述。
线性方程组是一组线性方程所组成的集合，每个方程都是由一系列的未知量和一个常数组成的。
通常情况下，这些未知量是一组相互独立的变量，而常数只是一个数字，其值是固定不变的。
看起来，向量组和线性方程组之间没有太大的区别，但实际上，它们是有区别的。
首先，向量组是一组由二维或多维向量构成的集合，而线性方程组是一组线性方程的集合。
其次，向量组可以用来描述两个或多个变量之间的依赖关系，而线性方程组则是通过给定的未知量和常数来解决特定问题。
两者之间的最大的联系在于，向量组可以解决线性方程组。
简而言之，向量组是一种更为简单的数学工具，用于求解应用到线性方程组中的线性系统方程问题。
通常，向量组只适用于二维和三维向量。
为了解决更高维度的线性方程组，则需要使用线性代数工具。
此外，向量组在解决线性方程组中也用于确定某类问题的解决方案。
它可以用来解决许多直线上或面上的问题，比如求解优化问题的最优解，解决图形的几何变换问题，及最小二乘法的最优解等。
总之，向量组与线性方程组有着密不可分的关系，它们之间是紧密联系的，而且也有一定的差异性。
向量组更多的是表示变量之间的依赖关系，而线性方程组则是用来解决特定问题的数学结构；但是无论何种情况，向量组都可以被用于线性方程组，这种关系是不可分割的。
向量组、线性方程组的区别与联系
向量组、线性方程组的区别与联系
Vector group 和 linear equation group 被广泛应用于互联网行业。
它们都
是用来表达和表示特定事物的数学结构，它们之间有着差异性，但又有着一定的联系。
首先，让我们先来说说向量组。
向量组是用它们的内积和表达式来表示一组数据。
向量组在互联网行业中声明上扮演着强大的作用，它们主要用来描述实体间的关系，例如近似计算以及物种的比较。
此外，这些实体间的关系可以利用向量组来定位和处理特定的场景，例如互联网搜索引擎，这会使搜索过程更加有效率。
其次，让我们来谈谈线性方程组。
它是用方程式中的系数乘以一个量，然后再
运用算术运算符来表达结果。
在互联网领域，线性方程组具有很多应用，例如用来解决特定类型的问题，并帮助工程师和开发者进行关键决策。
用线性方程组可以准确地估计出重要的变量，例如用户的行为模式和不同信息的市场价值，从而推动整个互联网行业的发展。
从上述可以看出，向量组和线性方程组有着不同的特点，但它们之间仍存在着
一定的联系。
二者都能用来表示不同类型的数据，并可以应用在不同的场景中。
例如，线性方程组有助于描述和估计特定类型的数据，而向量组则可以用来搜索和比较相关实体。
这就是关于向量组和线性方程组的区别与联系。
我们可以清楚地看到，这两种数学结构在互联网行业中，特别是搜索和分析领域都占据了很重要的地位。
线性代数向量
例. 设 1 1 , 4 , 0 , 2 ,2 3 , 1 , 2 , 5 ,
如 果 4 维 向 量 满 足 3 1 2 2 o , 求 .
解： 由 题 意 3 1 2 2 2 o ,
则 1 2(2 2 3 1) 22 31
( 3, 1,2,5)3( 1,4,0, 2) 2
1 1 , 0 ,, 0 , 2 0 , 1 ,, 0 ,, n 0 , 0 ,, 1
证明:设有数 k1,k2, ,kn使得 k 1 1 k 2 2 k n n o ,
k1(1,0, ,0)k2(0,1, ,0) kn(0,0, ,1) (k1,0, ,0)(0,k2, ,0) (0,0, ,kn) (k1,k2, ,kn)o
表可 明 1 ， 由 2 ， ， n 线性表示
x 1 1x 2 2 .. .x n n有解
是 1， 2， ， n的线性组合 是 1， 2， ， n的线性组合
? x 1 1x 2 2 .. .x n n有解
于 是 线 x1性 1x2 方 2.. 程 .xnn 组 有 解
是 1， 2， ， n的线性组合
由此可知，当且仅当 k 1 k 2 k n 0 时，才有
k 1 1 k 2 2 k n n o ,
所以向量组 1,2, ,n线性无关．
例 如果向量 1,2,3 线性无关，则向量组
1 2 ,2 3 ,3 1 也线性无关．
证明： 设有数 k1,k2,k3, 使得 k 1 ( 1 2 ) k 2 ( 2 3 ) k 3 ( 3 1 ) o , 即 k 11 k 12 k 22 k 23 k 33 k 31 (k 1 k 3)1 (k 1 k 2)2 (k 2 k 3)3 o ,
线性代数习题2
第2章 线性方程组 练习题1、已知1 = ( 1 , 1 , 0 , 1 )T，2 = ( 2 , 1 , 3 , 1 )T ，3 = ( 1 , 1 , 0 , 0 )T ，4 = ( 0 , 1 , 1 ,1 )T ， = ( 0 , 0 , 0 , 1 )T ，（1）求向量组 1，2 ，3，4 的秩，（2）判定 是否可以表为1，2 ，3 ，4 的线性组合，说明理由。
（ 4，可以 ）2、设向量组1 = ( 1 , 1 , 1 )T，2 = ( 1 , 2 , 3 )T ，3 = ( 1 , 3 , t )T ，求（1）当 t 为何值时，1 ，2 ，3 线性无关（2）当 t 为何值时，1，2，3 线性相关此时将 3表为 1 与2的线性组合。
（ t5 时，1，2 ，3 线性无关；t = 5时，1 ，2 ，3 线性相关，且 3 = 1+ 22 ）3、确定 为何值时，向量 = ( 0 , 1 , )T 可以表为向量组1 = (1 ,2 ,3 )T ，2 = ( 2 , 1 ,1 )T ，3 = ( 1 ,1 ,2 )T ，4 = ( 2 , 1 , 1 )T 的线性组合，并求出一个具体表达式。
（ =1； =1 +2 +3 +4）{4、设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112k α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k 113α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=223k β，讨论 k 为何值时，（1） 不能由1 ，2 ，3 线性表出；（2） 能由 1 ，2 ，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1 ，2，3线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。
（ （1） 2；（2）k1且 k2 ；（3）1 ，=21）5、已知向量组 1 = ( 1 , 0 , 2 , 3 )T ，2 = ( 1 , 1 , 3 , 5 )T，3 = ( 1 , 1 , a+2 , 1 )T ，4 = ( 1 ,2 , 4 , a+8 )T 及= ( 1 , 1 , b+3 , 5 )T ，求（1）a 、b 为何值时， 不能表示成1，2 ，3 ，4的线性组合；（2）a 、b 为何值时， 有 1，2 ，3 ，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。
线性代数-知识点总结part 2
线性代数知识点总结—part 2三、向量组的线性相关与线性方程组（1）n 维向量记为a=(a 1,a 2……a n )第i 个a i 称为a 的得i 个分量或坐标有几个向量就是几维向量。
（2）向量加减法按照对应项相加减。
（3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组0 ,0 ,,,;,0 ,,,,,,, 3.42122112122112121。
可以推出称为线性无关，如果由一向量组则称该向量组线性相关使全为零的数如果存在不给定向量组定义=====+++=+++m m m m mm m m k k k k k k k k k k k k ΛρΛΛρΛΛΛαααααααααααα（4）向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向量线性表示。
（5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。
（6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。
唯一表示。
可由线性相关，则，线性无关，而设mm m αααββαααααα,,,,,,,,, 212121ΛΛΛ向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎛=n n T T a a aa a a A M MML L M 222211121121αα（7）若（8）若向量组A 和B 能相互线性表示就称A 和B 等价；(9)一个向量组T ，从中选出r 个向量a 1，a 2，…..a r 满足它们线性无关，并且T 中任意一个向量都可以用a 1，a 2…..a r 线性表示 那么我们就称a 1，a 2，…..a r 是T 的最大向量无关组（10）向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩. （11）矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩 （12）设向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且(I)能由(II)线性表示，则r1<=r2(13)等价的向量组有相同的秩。
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2.1.2 线性方程组的求解与解的存在性 加减消元法的运算，不会改变方程组的解，故对系数矩阵 A施行初等变换，不会改变齐次方程组的解，也就是说：
A B Ax = o 与 Bx = o 同解
此即
行初
A B Ax = o 与 Bx = o 同解
类似地，对非齐次线性方程组
r
A | b B | d Ax = b 与 Bx = d 同解
1 2 1 1 0 1 1 2 r1 r3 2 r2 0 0 0 1 0 0 r1 r2 ( 1) r4 0 0 0 0 0 0
因此有
1 1 1 0 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0
并且与原方程组等价.当未知量 x3 , x4 , x5 取定某一组值时, x1 , x2 的值也随之确定,即得到方程组的一组解,因此对于
未知量 x3 , x4 , x 的任意一组取值 ,均能得到方程组的解,我 5
们称满足这样条件的未知量为自由未知量. 设自由未知量 x3 k1, x4 k2 , x5 k3 ,得
(其中 k1 , k2 为任意常数)
注意：自由未知数的个数=未知数的个数-系数矩阵的秩
（2）非齐次线性方程组的解
对于非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
的情况,我们有如下定理
a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 A1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 r2 2 r3 r2
与 A1 对应的方程组的同解方程组为
x1 x2 x4 , x3 2 x4 .
x1 2k1 k2 2k3 2 1 2 x2 k1 3k2 k3 1 3 1 x3 k1 1 k2 0 k3 0 k1 k2 x4 0 1 0 0 0 1 x k 3 5
所以
R( A) 3
因此该方程组只有零解. 例3 解方程组.
x1 x2 x3 x4 0, x1 x2 x3 3 x4 0, x x 2 x 3 x 0. 2 3 4 1
解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换
1 1 1 1 1 1 1 1 r2 r1 A 1 1 1 3 0 0 2 4 r3 r1 1 1 2 3 0 0 1 2
1 1 1 x1 2 x2 2 x3 2 , x x2 , 2 x3 x3 , 0, x4
令 x2 k1 , x3 k2得
1 1 1 1 1 1 x1 k1 k2 2 2 2 2 2 2 x 2 k1 k1 1 k2 0 0 x3 0 1 0 k 2 x4 0 0 0 0
a11 a21 am1 a12 a22 am 2
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
若设 A (a ) ij mn
b1 x 1 a1n b a2 n , x ( x ) x2 , b (b j ) m1 2 j m1 bm amn mn xn
A | b B | d Ax = b 与 Bx = d 同解
上述结论就是书P90的命题1.1 命题1.1：等价同解
r
行初
（1）齐次线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn 0, a2 n xn 0, amn xn 0
R( A) n
R( A) n
（证明略，只以下面例子说明）
例1 求解方程组
x1 x 1 2 x1 3 x1
1 1 1 1 A 2 1 3 1
x2 x3 4 x4 3 x5 0, x2 3 x3 2 x4 x5 0, x2 3 x3 5 x4 5 x5 0, x2 5 x3 6 x4 7 x5 0.
1 1 0 1 r2 r3 0 2 0 2
1 1 0 1 r3 2 r2 r4 2 r2 0 0 0 0
1 4 3 1 3 1 2 6 2 2 6 2
1 4 3 1 3 1 0 0 0 0 0 0
%Matlab求基础解系实现命令
a=[1 1 1 4 -3;1 -1 3 -2 -1;2 1 3 5 -5;3 1 5 6 -7]; r=rank(a); x=null(a,'r') ！计算结果：
x= -2 -1 1 -3 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 1
例2 解方程组
x1 2 x2 x3 0, 4 x1 5 x2 2 x3 0, 7 x 8 x 4 x 0. 2 3 1
(其中 k1 , k2 , k3 为任意常数).
注意：自由未知数的个数=未知数的个数-系数矩阵的秩= n-r=任意常数的个数；上面右边的三个向量显然是齐次方 程组的解（该三个向量称为齐次方程组的基础解系）；基 础解系中所含向量的个数=n-r;齐次线性方程组的任一一个 解可以表示成基础解系中n-r个向量的线性组合(通解)。
第三个方程就变为0=0，故把第三个方程看作多余方程 （冗余方程）
（5）增广矩阵为：A = A| b
a11 a12 a21 a22 A A | b am1 am 2
a1n b1 a2 n b2 amn bm
（6）对齐次线性方程组而言，第i个与第j个方程互换位置， 对应着对系数矩阵做第一种行初等变换；第i个方程乘以非 零常数k，对应着对系数矩阵做第二种行初等变换；第i个 方程的k倍加到第j个方程上去，对应着对系数矩阵做第三 种行初等变换。 对非齐次线性方程组而言，第i个与第j个方程互换位置， 对应着对增广矩阵做第一种行初等变换；第i个方程乘以非 零常数k，对应着对增广矩阵做第二种行初等变换；第i个 方程的k倍加到第j个方程上去，对应着对增广矩阵做第三 种行初等变换。
1 4 3 1 1 1 4 3 2 r1 3 2 1 r 0 2 2 6 2 r3 2 r1 3 5 5 r4 3 r1 0 1 1 3 1 5 6 7 0 2 2 6 2
解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换（相当于消元处理）
则其矩阵形式为
Ax b
1 几个概念： （1）齐次线性方程组： b o
bo （2）非齐次线性方程组：
（3）非齐次线性方程组相容：指的是其有解；无解时称为 不相容 （4）冗余方程：即多余的方程，在解方程用加减消元时就 就可把它去掉不考虑，如
x1 2 x2 3 2 x1 3 x2 5 2 x 4 x 6 2 1 E3 2 E1
（1）
必有零解,但我们关心其在什么条件下具有非零解,为此我们给出 书定理1.2 齐次线性方程组(1)有非零解 齐次线性方程组(1)只有零解 其中 A 为其系数矩阵.
x1 x2 0 2 x1 x2 0 x 2x 0 2 1
2 x1 x2 0 4 x1 2 x2 0
1 0 r1 r2 3 1 B 0 0 0 0
因为R( A) R( B) 2 5 ,所以方程组有非零解.与矩阵 B
对应的方程组为
x1 2 x3 x4 2 x5 , x2 x3 3x4 x5 ,
第2章 线性方程组与向量组
§ § § 内容 § § 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 线性方程组求解问题 向量的线性组合与线性表示 向量的线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间
§ 2.1 线性方程组求解问题
2.1.1 线性方程组的一般概念 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换得
1 2 1 1 2 1 r2 4 r1 A 4 5 2 0 3 2 r3 7 r1 7 8 4 0 6 3
1 2 1 r3 2 r2 0 3 2 0 0 1
k1 k2 , k1 , 2k 2 , k2 ,
令 x2 k1 , x4 k2 ,则得
x1 x 2 x3 x4
(其中 k1 , k2 为任意常数)
也即
x1 k1 k2 1 1 x k 1 2 1 k k 0 x3 2k2 1 0 2 2 0 1 x4 k2
b1 b2 b o b m
(2)
书P93 定理1.1 非齐次线性方程组(2)有解 R( A) R( A) （1）非齐次线性方程组(2)有唯一解 R( A) R( A) n
（2）非齐次线性方程组(2)有无穷多组解 R( A) R( A) r n
且自由未知数的个数=n-r （证明略，只以下面例子说明）