第2章 线性方程组与向量组

1 2 1 1 0 1 1 2 r1 r3 2 r2 0 0 0 1 0 0 r1 r2 ( 1) r4 0 0 0 0 0 0
因此有
1 1 1 0 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0
%Matlab求基础解系实现命令
a=[1 1 1 4 -3;1 -1 3 -2 -1;2 1 3 5 -5;3 1 5 6 -7]; r=rank(a); x=null(a,'r') ！计算结果：
x= -2 -1 1 -3 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 1
例2 解方程组
x1 2 x2 x3 0, 4 x1 5 x2 2 x3 0, 7 x 8 x 4 x 0. 2 3 1
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 A1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 r2 2 r3 r2
与 A1 对应的方程组的同解方程组为
x1 x2 x4 , x3 2 x4 .
（1）
必有零解,但我们关心其在什么条件下具有非零解,为此我们给出 书定理1.2 齐次线性方程组(1)有非零解 齐次线性方程组(1)只有零解 其中 A 为其系数矩阵.
x1 x2 0 2 x1 x2 0 x 2x 0 2 1
2 x1 x2 0 4 x1 2 x2 0
A | b B | d Ax = b 与 Bx = d 同解
上述结论就是书P90的命题1.1 命题1.1：等价同解
r
行初
（1）齐次线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2 a1n xn 0, a2 n xn 0, amn xn 0
k1 k2 , k1 , 2k 2 , k2 ,
令 x2 k1 , x4 k2 ,则得
x1 x 2 x3 x4
(其中 k1 , k2 为任意常数)
也即
x1 k1 k2 1 1 x k 1 2 1 k k 0 x3 2k2 1 0 2 2 0 1 x4 k2
a11 a21 am1 a12 a22 am 2
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
若设 A (a ) ij mn
b1 x 1 a1n b a2 n , x ( x ) x2 , b (b j ) m1 2 j m1 bm amn mn xn
1 1 1 x1 2 x2 2 x3 2 , x x2 , 2 x3 x3 , 0, x4
令 x2 k1 , x3 k2得
1 1 1 1 1 1 x1 k1 k2 2 2 2 2 2 2 x 2 k1 k1 1 k2 0 0 x3 0 1 0 k 2 x4 0 0 0 0
第三个方程就变为0=0，故把第三个方程看作多余方程 （冗余方程）
（5）增广矩阵为：A = A| b
a11 a12 a21 a22 A A | b am1 am 2
a1n b1 a2 n b2 amn bm
（6）对齐次线性方程组而言，第i个与第j个方程互换位置， 对应着对系数矩阵做第一种行初等变换；第i个方程乘以非 零常数k，对应着对系数矩阵做第二种行初等变换；第i个 方程的k倍加到第j个方程上去，对应着对系数矩阵做第三 种行初等变换。 对非齐次线性方程组而言，第i个与第j个方程互换位置， 对应着对增广矩阵做第一种行初等变换；第i个方程乘以非 零常数k，对应着对增广矩阵做第二种行初等变换；第i个 方程的k倍加到第j个方程上去，对应着对增广矩阵做第三 种行初等变换。
第2章 线性方程组与向量组
§ § § 内容 § § 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 线性方程组求解问题 向量的线性组合与线性表示 向量的线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间
§ 2.1 线性方程组求解问题
2.1.1 线性方程组的一般概念 线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换得
1 2 1 1 2 1 r2 4 r1 A 4 5 2 0 3 2 r3 7 r1 7 8 4 0 6 3
1 2 1 r3 2 r2 0 3 2 0 0 1
2.1.2 线性方程组的求解与解的存在性 加减消元法的运算，不会改变方程组的解，故对系数矩阵 A施行初等变换，不会改变齐次方程组的解，也就是说：
A B Ax = o 与 Bx = o 同解
此即
行初
A B Ax = o 与 Bx = o 同解
类似地，对非齐次线性方程组
r
A | b B | d Ax = b 与 Bx = d 同解
b1 b2 b o b m
(2)
书P93 定理1.1 非齐次线性方程组(2)有解 R( A) R( A) （1）非齐次线性方程组(2)有唯一解 R( A) R( A) n
（2）非齐次线性方程组(2)有无穷多组解 R( A) R( A) r n
所以
R( A) 3
因此该方程组只有零解. 例3 解方程组.
x1 x2 x3 x4 0, x1 x2 x3 3 x4 0, x x 2 x 3 x 0. 2 3 4 1
解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换
1 1 1 1 1 1 1 1 r2 r1 A 1 1 1 3 0 0 2 4 r3 r1 1 1 2 3 0 0 1 2
则其矩阵形式为
Ax b
1 几个概念： （1）齐次线性方程组： b o
bo （2）非齐次线性方程组：
（3）非齐次线性方程组相容：指的是其有解；无解时称为 不相容 （4）冗余方程：即多余的方程，在解方程用加减消元时就 就可把它去掉不考虑，如
x1 2 x2 3 2 x1 3 x2 5 2 x 4 x 6 2 1 E3 2 E1
(其中 k1 , k2 , k3 为任意常数).
注意：自由未知数的个数=未知数的个数-系数矩阵的秩= n-r=任意常数的个数；上面右边的三个向量显然是齐次方 程组的解（该三个向量称为齐次方程组的基础解系）；基 础解系中所含向量的个数=n-r;齐次线性方程组的任一一个 解可以表示成基础解系中n-r个向量的线性组合(通解)。
(其中 k1 , k2 为任意常数)
注意：自由未知数的个数=未知数的个数-系数矩阵的秩
（2）非齐次线性方程组的解
对于非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
的情况,我们有如下定理
a1n xn b1 , a2 n xn b2 , amn xn bm
且自由未知数的个数=n-r （证明略，只以下面例子说明）
例3 解方程组
2 x1 x2 x3 x4 1, 4 x1 2 x2 2 x3 x4 2, 2 x x x x 1. 2 3 4 1
解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 r2 2 r1 A 4 2 2 1 2 0 0 0 1 0 r3 r1 2 1 1 1 1 0 0 0 2 0
1 4 3 1 1 1 4 3 2 r1 3 2 1 r 0 2 2 6 2 r3 2 r1 3 5 5 r4 3 r1 0 1 1 3 1 5 6 7 0 2 2 6 2
解 对方程组的系数矩阵进行初等行变换（相当于消元处理）
1 0 r1 r2 r2 ( 1) 0 0
0 2 1 1 0 0 0 0
1 2 3 1 B 0 0 0 0
因为R( A) R( B) 2 5 ,所以方程组有非零解.与矩阵 B
对应的方程组为
x1 2 x3 x4 2 x5 , x2 x3 3x4 x5 ,
并且与原方程组等价.当未知量 x3 , x4 , x5 取定某一组值时, x1 , x2 的值也随之确定,即得到方程组的一组解,因此对于
未知量 x3 , x4 , x 的任意一组取值 ,均能得到方程组的解,我 5
们称满足这样条件的未知量为自由未知量. 设自由未知量 x3 k1, x4 k2 , x5 k3 ,得
x1 2k1 k2 2k3 2 1 2 x2 k1 3k2 k3 1 3 1 x3 k1 1 k2 0 k3 0 k1 k2 x4 0 1 0 0 0 1 x k 3 5
1 1 0 1 r2 r3 0 2 0 2
1 1 0 1 r3 2 r2 r4 2 r2 0 0 0 0
1 4 3 1 3 1 2 6 2 2 6 2
1 4 3 1 3 1 0 0 0 0 0 0
R( A) n
Байду номын сангаас
R( A) n
（证明略，只以下面例子说明）
例1 求解方程组
x1 x 1 2 x1 3 x1
1 1 1 1 A 2 1 3 1
x2 x3 4 x4 3 x5 0, x2 3 x3 2 x4 x5 0, x2 3 x3 5 x4 5 x5 0, x2 5 x3 6 x4 7 x5 0.