2013年秋北师大版必修1示范教案第四章函数应用复习

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数学(北师大版)必修一教学设计：第四章函数应用复习 Word版含答案

教学设计本章复习整体设计教学分析前面学习了函数与方程、函数模型及应用等内容，通过本节学习进一步巩固前面学习的内容，突出重点总结规律，使原来的知识更系统，使原来方法更清晰，形成完整的知识结构和方法体系．我们小结的目的不仅要总结知识、归纳方法，还要让学生学会运用学过的知识方法解决现实问题，提高学生的素质．三维目标1．理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点．2．巩固常见函数模型的应用．3．通过本章学习逐步认识数学，学会用数学方法认识世界、改造世界．重点难点应用数学模型解决实际问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同教练带领下战斗力会有很大不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防具佳所向披靡，为什么呢？因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系．我们学习也是一样，需要不断归纳整理、系统总结，今天我们把第三章函数的应用进行归纳复习．思路2.(直接事例导入)大到天体运动小到细菌繁殖，无论政治现象还是经济现象，在这繁杂的世界上无不变化，怎样描述这些变化呢？我们知道可以通过函数模型来描述这些变化，本节我们来归纳复习一下函数的应用．推进新课新知探究提出问题回忆本章内容，总结本章知识结构.讨论结果：图1应用示例例1 已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图像判断f (x )有几个零点；并利用零点存在性法则确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1)．图2活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：把一个不易作出的函数图像转化为两个容易作出的图像．解：由f (x )＝0，得x －1＝－12x 2＋2，令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，其中抛物线顶点为(0,2)，与x 轴交于点(－2,0)、(2,0)．如图2所示，y 1与y 2图像有3个交点，从而函数f (x )有3个零点．由f (x )知x ≠0，f (x )图像在(－∞，0)、(0，＋∞)上分别是连续不断的，且f (－3)＝136＞0，f (－2)＝－12＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝18＞0，f (1)＝－12＜0，f (2)＝12＞0，即f (－3)·f (－2)＜0，f ⎝⎛⎭⎫12·f (1)＜0，f (1)·f (2)＜0， ∴三个零点分别在区间 (－3，－2)，⎝⎛⎭⎫12，1，(1,2)内．点评：本题考查数形结合思想和零点判断方法．2设函数f (x )＝x 3＋3x －5，其图像在(－∞，＋∞)上是连续不断的．先求值：f (0)＝__________，f (1)＝__________，f (2)＝__________，f (3)＝__________. 所以f (x )在区间__________内存在零点x 0，填下表，下结论：可参考条件：f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (1.125)＜0，f (1.187 5)＞0. 活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：利用二分法求方程近似解一般步骤求函数的零点．解：f (0)＝－5，f (1)＝－1， f (2)＝9，f (3)＝31， ∴初始区间为(1,2)．∴x 0≈1.125(不唯一)．点评：这种题型便于学生操作，是一种新考法，应特别重视．知能训练复习题四A 组1,2,3.拓展提升请同学们思考探究：函数模型的应用，并进行规律总结．活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．答案：(供参考)数学模型及其应用数学来源于实际又服务于实际，如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题？这里的关键是“问题情境的数学化”，即从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．1．数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型：(1)直接套用现成的公式；(2)利用现成的数学模型对应用题进行定量分析；(3)对于已经经过提炼加工后，各因素之间数量关系比较清楚的实际问题，建立数学模型；(4)对原始的实际问题进行分析加工，建立数学模型．2．解应用题的策略：一般思路可表示如下：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．规律总结1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够进行模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．课堂小结1．复习巩固；2.规律总结；3.思想升华．作业复习题四B组1，C组1.设计感想本节通过一个学生感兴趣的话题使学生认识到小结的重要性，然后通过最新模拟题再现了本章重点题型．本节不仅总结了有关用数学模型解决实际问题的解题规律，而且给出了本章知识结构图，使本章的知识更加系统，脉络更加清晰，使学生的认识水平和解题能力进一步升华，决不是前面知识的简单重复，因此达到了小结的目的．备课资料[备选例题]对于函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．(1)当a＝2，b＝－2时，求f(x)的不动点；(2)若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)，当a＝2，b＝－2时，f(x)＝2x2－x－4，设x为其不动点，即2x2－x－4＝x，则2x2－2x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝2，即f(x)的不动点为－1,2.(2)由f(x)＝x，得ax2＋bx＋b－2＝0.关于x的方程有相异实根，则b2－4a(b－2)＞0，即b2－4ab＋8a＞0.又对所有的b∈R，b2－4ab＋8a＞0恒成立，故有(4a)2－4·8a＜0，得0＜a＜2.(设计者：张新军)。

北师大版高中数学必修1《四章函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》优质课教案_1

§3.1函数与方程（第一课时）利用函数性质判断方程解的存在一、教材分析本节是普通高中课程标准实验教科书数学必修1的第四章第一节，是在学生学习函数的基本性质和指、对、幂三种基本初等函数基础上的后续，展现函数图象和性质的应用。

二、学情分析通过高中前两章的学习，强化了描点作图法，几种基本初等函数的图象及基本性质，具备一定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。

但是，学生对函数与方程之间的联系缺乏了解，因此我们有必要点明函数的核心地位。

三、教学目标的确定1.知识与技能：（1）能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与x轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系；（2）理解零点存在定理，能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数。

2.过程与方法：通过学生活动、讨论与探究，体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力。

3.情感态度价值观：让学生初步体会事物间相互转化以及由特殊到一般的辨证思想，充分体验数学语言的严谨性激发学生的学习热情。

意图：之所以这样确定教学目标，一方面是根据教材和课程标准的要求，另方面是想在学法上给学生以指导，使学生的能力得到提高。

四、教学重难点的确定重点：函数零点的概念、求法和函数零点存在性定理。

难点：函数零点存在性定理的掌握与运用。

依据：在高考中考察函数零点相关问题，函数零点存在性定理为“二分法”的学习奠定基础，也是能否准确掌握本节知识的关键。

五、教学方法的选择由于学生有一定的基础，是在原有知识上求新，根据学生的实际情况及培养目标，我采用“以问题为中心”的探究式的教学模式，由特殊到一般，激发学生学习兴趣，体现学生的主体地位。

所选教学方法主要是引导启发，学生的学习方法是通过活动、讨论、探究，发现并准确归纳出结论。

六、学习方法的选择在本节教学中我着重突出了教法对学法的引导，采用自主探究的学习法。

高中数学第四章函数应用教案北师大版必修1

第四章函数应用§1函数与方程1．1 利用函数性质判定方程解的存在(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(2)掌握函数零点存在的方法．(3)能结合图像求解函数零点问题．2．过程与方法通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系．●重点难点重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法．难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系．通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数．建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展．之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想．(教师用书独具)●教学建议教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成联系．教学时尽量多给学生提供探究情景，让学生自己发现并归纳结论：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标．值得注意的问题是：对于教材中给出了函数零点的判定定理，只要求学生理解并会用，而不要求学生证明．●教学流程通过实例分析：判断方程x2－x－6＝0解的存在性，引出本节课课题⇒抽象概括出函数的零点的定义，根据定义完成例1及其变式训练⇒函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过x轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解⇒导出函数零点的存在定理，并由此完成例2及其变式训练⇒根据零点存在定理，解决二次函数根的分布问题，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第63页)课标解读1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点)2．掌握函数零点存在的判定方法．(重点)3．能结合图像求解零点问题．(难点)函数的零点及判定定理【问题导思】给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：1．方程x2＋2x－3＝0的根是什么？【提示】方程的根为－3,1.2．函数的图像与x轴的交点是什么？【提示】交点为(－3,0)，(1,0)．3．方程的根与交点的横坐标有什么关系？【提示】相等．4．通过观察图像，在每一个与x轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？【提示】在每一点两侧函数值符号异号．1．函数的零点(1)定义：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)意义：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的解．2．函数零点的判定定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y ＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.(见学生用书第63页)求函数的零点(1)f(x)＝－2x－1；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝3x－9；(4)f(x)＝1－log3x.【思路探究】求函数y＝f(x)的零点，即求方程f(x)＝0的根．因此令f(x)＝0转化为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点．【自主解答】(1)因为方程－2x－1＝0无实数解，所以函数f(x)＝－2x－1无零点．(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12＜0，所以方程x 2＋2x ＋4＝0无实数解，所以函数f (x )＝x 2＋2x ＋4不存在零点．(3)令3x －9＝0，则3x ＝9即3x ＝32，则x ＝2，所以函数f (x )＝3x－9的零点是2.(4)令1－log 3x ＝0，解得x ＝3，所以函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3.1．求函数y ＝f (x )的零点，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数解，则函数f (x )存在零点，该方程的实数解就是函数f (x )的零点，否则函数f (x )不存在零点．2．求函数y ＝f (x )的零点通常有两种办法：其一是令f (x )＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．(1)函数f (x )＝4x－16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】 (1)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x ＝2，所以函数的零点为x ＝2.(2)令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2，故有两个．【答案】 (1)x ＝2 (2)C判断零点所在区间在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)【思路探究】依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解．【自主解答】 ∵f (14)＝4e －2<0，f (12)＝e －1>0，∴零点在(14，12)上．【答案】 C1．确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反． 2．有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(e,3)【解析】 ∵f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>0，∴f (2)·f (3)<0. ∴f (x )在(2,3)内有零点．【答案】 B函数零点的应用当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．【思路探究】分a ＝0，a >0，a <0三种情况讨论列出关于a 的不等式，最后求得结果．【自主解答】 (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a >0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1， ∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －2＋1<0，4a －4＋1>0，解得34<a <1.(3)当a <0时，设方程的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝1a<0，x 1，x 2一正一负不符合题意．综上，a 的取值范围为(34，1)．解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． 2．结合草图考虑三个方面： (1)Δ与0的大小；(2)对称轴与所给端点值的关系； (3)端点的函数值与零的关系． 3．写出由题意得到的不等式．4．由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性．设函数f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上存在一个零点，求实数a 的取值范围．【解】 ∵f (x )＝ax ＋3a ＋1(a ≠0)在[－2,1]上为单调函数，且存在一个零点， ∴f (－2)·f (1)≤0，即(a ＋1)(4a ＋1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，4a ＋1≤0.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤0，4a ＋1≥0，∴－1≤a ≤－14.因此，实数a 的取值范围是[－1，－14].函数与方程的思想在图像交点问题中的应用设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【思路点拨】首先构造函数f (x )＝x 3－(12)x －2，然后可转化为判断函数的零点所在的区间．【规范解答】令f (x )＝x 3－(12)x －2，由基本初等函数单调性知f (x )在R 上是增函数．∵f (0)＝－4，f (1)＝1－(12)1－2＝－1，f (2)＝8－1＝7，∴f (1)·f (2)<0，故函数f (x )的零点在区间(1,2)内，即函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2图像的交点在区间(1,2)内．【答案】 B判断两函数h (x )，g (x )图像的交点所在的区间，常通过构造函数将问题转化为求函数f (x )＝h (x )－g (x )的零点所在的区间．1．判断函数零点个数的方法有以下几种：(1)转化为求方程的根，能直接解出，如一次、二次函数零点问题；(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点；(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定；(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点．2．函数的零点的作用：(1)解决根的分布问题；(2)已知零点的存在，求字母参数的范围．(见学生用书第65页)1．函数y＝x2＋2x－3的零点和顶点的坐标为( )A．3,1；(－1，－4) B．－3，－1；(－1,4)C．－3,1；(1，－4) D．－3,1；(－1，－4)【解析】令x2＋2x－3＝0，得x＝－3或1，将y＝x2＋2x－3配方可知顶点坐标为(－1，－4)．【答案】 D2．若x0是函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点，则x0属于区间( )A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)【解析】由于f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0.且函数f(x)在[2,3]上连续，所以f(x)的零点x0所属区间是(2,3)．【答案】 B3．函数y ＝2x 2－4x －3的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定【解析】由于方程2x 2－4x －3＝0的Δ＝16＋24＝40>0，所以函数有两个零点．【答案】 C4．若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，求实数a 的值．【解】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图像与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点． (2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上所述，a 的值为0或－14.(见学生用书第121页)一、选择题1．y ＝x －1的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是( ) A ．1，(1,0) B ．(1,0)，0 C ．(1,0)，1 D ．1,1【解析】由y ＝x －1＝0，得x ＝1，故交点坐标为(1,0)，零点是1. 【答案】 C2．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1 D．a ≥1【解析】由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 【答案】 B3．(2013·延安高一检测)函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，32)D ．(32，2)【解析】 ∵f (12)＝e 12－2<0，f (1)＝e －1>0，∴f (12)·f (1)<0，∴f (x )＝e x－1x 的零点所在的区间是(12，1)．【答案】 B4．设f (x )在区间[a ，b ]上是连续的单调函数，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在闭区间[a ，b ]内( ) A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一实根【解析】由题意知，函数f (x )在[a ，b ]内与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝0在[a ，b ]内只有一个实根．【答案】 D5．已知函数y ＝f (x )的图像是连续的，有如下的对应值表：则函数y ＝f (x )在区间A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【解析】 ∵f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内至少各有一个零点，故f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．【答案】 B 二、填空题6．(原创题)函数f (x )＝kx －2x在(0,1)上有零点，则实数k 的取值范围是________．【解析】 f (0)＝－1，f (1)＝k －2，由于f (0)·f (1)<0，则－(k －2)<0.∴k >2. 【答案】 (2，＋∞)7．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．【解析】由题意知2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，令g (x )＝0得x ＝0或x ＝－12.【答案】 0，－128．方程log 2x ＋2＝x 2的实数解的个数为________．【解析】方程log 2x ＋2＝x 2可变形为log 2x ＝x 2－2，构造函数f (x )＝log 2x ，g (x )＝x 2－2，画这两个函数的图像，由交点个数可知方程解的个数为2.【答案】 2三、解答题9．求函数y ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2(a ∈R)的零点．【解】令y ＝0并化为：(ax －1)(x －2)＝0. 当a ＝0时，函数为y ＝－x ＋2，则其零点为x ＝2. 当a ＝12时，则由(12x －1)(x －2)＝0，解得x 1,2＝2，则其零点为x ＝2.当a ≠0且a ≠12时，则由(ax －1)(x －2)＝0，解得x ＝1a 或x ＝2，则其零点为x ＝1a或x ＝2.10．函数f (x )＝ln x ＋x 2－a 有一个零点在(1,2)内，求a 的取值范围．【解】函数f (x )＝ln x ＋x 2－a 在区间(1,2)上是单调递增的，由题意知f (1)·f (2)＜0，即(ln 1＋1－a )·(ln 2＋4－a )＜0，解得1＜a ＜4＋ln 2.故a 的取值范围为(1,4＋ln 2)．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m 的取值范围．【解】令g (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f 4<0，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0，解得－1913<m <0.故实数m 的取值范围为(－1913，0).(教师用书独具)若函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，求实数a 的取值范围．【思路探究】至少有一点零点包含有一个或有两个零点．【自主解答】因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在区间[0,4]上至少有一个零点，①当函数在该区间内只有一个零点时，由右图知，f(0)·f(4)<0或Δ＝4a2－8＝0，即2(18－8a)<0或a2＝2，解得a>94或a＝2；②当函数在该区间内有两个不同零点时，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，0<－－2a2<4，f0≥0，f4≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a2－4×2>0，0<a<4，2>0，18－8a≥0，解得2<a≤94.综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．1．本题易直接利用f(0)·f(4)<0，错解得a>94.2．连续函数f(x)在闭区间[a，b]上，若满足f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内至少有一个零点，反之不一定成立．已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3；f(x＋1)＝f(x)＋2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围．【解】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3.f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3，∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a＋b＝b＋2，a＋b＋3＝3，解得a＝1，b＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图像，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图像与x 轴有4个交点．由图像得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，114＋m <0，解得－3<m <－114，即实数m 的范围是(－3，－114)．人物介绍阿贝尔阿贝尔1802年8月5日出生在挪威芬德的一个小村庄里．阿贝尔的父亲是村子里的穷牧师，是一个有文化的人．阿贝尔的小学教育基本上是由父亲来完成的，因为他们没有钱，请不起家庭教师．霍姆伯厄是一个称职但决不是很有才气的数学家．阿贝尔很喜欢这个教师，他发现数学并不像以前那样枯燥无味．在短期内他学了大部分的初级数学，过了不久他自己读法国数学家泊松的作品，念德国数学家高斯的书，特别是拉格朗日的书．他已经开始研究几门数学分支，包括高斯的(算术研究)．在中学的最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负不凡的冒险——试图解决一般的五次方程．我们知道一元一次方程ax ＋b ＝0(a ≠0)的根是x ＝－ba，一元二次方程的两个根可以用公式表示，一元三次方程的根也可以用公式表示．求一元四次方程的根的公式是十六世纪的热门话题，后来被意大利的数学家Ferro.Tartaglia.Cardeno 和Ferrari 解决了．在以后的几百年里，数学家们摸索找寻一元五次或者更高次方程的根的一般方式．阿贝尔考虑后不久，他觉得得到了答案，可是教师霍姆伯厄看不懂，便去大学找他的汉斯丁教授看，在挪威没有人能了解他的东西．于是汉斯丁教授把他的手稿寄给丹麦最著名的数学家达根．达根教授也看不出阿贝尔的论证有什么错误的地方，他要求阿贝尔用一些实际的例子来说明他的方法．对阿贝尔来说，幸运的是这位数学家要求进一步的详细说明，而没有就解答是否正确提出自己的意见．阿贝尔这时发现了他的推理中的缺陷．这个想象的解答当然根本不是正确的解答．这次失败给了他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否是可能的．后来他证明了一元五次方程不可解．那时他大约十九岁．1．2 利用二分法求方程的近似解(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系．(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解．(3)培养学生探究问题的能力、合作交流的态度以及辩证思维的能力．2．过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍使学生体验逼近的思想和二分法的思想．(2)通过具体实例和具体的操作步骤体验算法的程序化思想．3．情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活实例使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣．(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．●重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解．难点：对二分法概念的理解，对精确度的理解求方程近似解一般步骤的概括和理解．本课教学重点和难点都是结合函数的图像特征、借助计算器用二分法求方程的近似实数解，这是由本课教学的首要任务决定的．突破难点的关键：明确要求，分散难点．具体做法是：对计算器的使用要求仔细、认真；对用框图表示二分法处理问题的过程要强调清晰、可执行，准确把握终止条件.(教师用书独具)●教学建议教材以求具体方程的近似解为例介绍二分法并总结其实施步骤等，体现了从具体到一般的认知过程．教学时，要注意让学生通过具体的实例来探究、归纳、概括所发现的结论和规律，并用准确的数学语言表述出来．值得注意的是在利用二分法求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具．●教学流程以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维⇒利用计算机演示用二分法思想解决实际问题，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法．⇒通过实例归纳出二分法的概念并完成例1及其变式训练⇒师生互动，归纳总结用二分法求函数的零点近似值的步骤⇒用二分法求方程的近似解，完成例2及其变式训练⇒利用二分法解决实际问题中的应用，完成例3及其变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第65页)课标解读1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(重点)2．学习利用二分法求方程近似解的过程和方法．(难点)二分法【问题导思】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)：1．维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【提示】首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.2．在有限次重复相同的步骤下，能否最快地查出故障．【提示】能．1．二分法对于图像在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．2．用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.(见学生用书第66页)二分法的理解下列函数图像与x【思路探究】解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.【答案】 B若函数y＝f(x)同时满足下列三个条件：1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续曲线；2．函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；3．f(a)·f(b)<0.则用二分法一定能够求出函数y＝f(x)的零点．下列函数中能用二分法求零点的是( )【解析】选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点．【答案】 C用二分法求方程的近似解求方程lg x－2－x＋1＝0的一个实数解(精度为0.1)．【思路探究】先构造函数f(x)＝lg x－2－x＋1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解．【自主解答】令f(x)＝lg x－2－x＋1，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点．又因为f(1)＝0.5＞0，f(0.1)≈－0.933 032 991＜0，所以方程在[0.1,1]内有唯一的一个实数解．使用二分法求解，如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0.1－0.933 032 99110.50.9第2次0.1－0.933 032 9910.550.057 342 5610.45第3次0.325－0.286 415 0250.550.057 342 5610.225第4次0.437 5－0.097 435 0150.550.057 342 5610.1125第5次0.493 75－0.016 669 3240.550.057 342 5610.056 25 至此，区间lg x－2－x ＋1＝0的近似解．例如选取0.5作为方程lg x－2－x＋1＝0的近似解．用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算．求方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个实数解．(精度为0.1)【解】记f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．利用二分法得到方程x3－x－1＝0有解区间的表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次1－1 1.50.8750.5第2次 1.25－0.296 875 1.50.8750.25第3次 1.25－0.296 875 1.3750.224 609 3750.125第4次 1.312 5－0.051 513 671 1.3750.224 609 3750.062 5 至此，我们得到，区间[1.312 5,1.375]的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．例如，选取1.33作为方程x3－x－1＝0的一个近似解．二分法的实际应用如图4－1－1的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．图4－1－1(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1)【思路探究】先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解．【自主解答】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0<x<7.5}；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150.令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图像如图所示．由图像可以看到，函数f(x)分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间[0,1]和[4,5]内各有一个解．下面用二分法求方程在[0,1]上的近似解．如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0－150119 1第2次0.5－521190.5第3次0.75－13.311190.25第4次0.75－13.310.875 3.620.125第5次0.812 5－4.650.875 3.620.062 5一个近似解，例如选取x0＝0.82作为方程的近似解．同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.72.答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.82 cm或4.72 cm.二分法在实际生活中经常用到．如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果．还可用于实验设计、资料查询等方面．在用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解．电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了．紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的感觉，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？【解】取价格区间[500,1 000]的中间值750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中间值875，否则取另一个区间[500,750]的中间值；若遇到中间值为小数，则取整数部分，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，大约经过6次可以猜中价格.函数与方程的思想在二分法中的应用(12分)用二分法求5的近似值．(精确度0.1)【思路点拨】本题要求5的近似值，可首先把5确定为某方程的解，再用二分法求方程的解的近似值．【规范解答】设x＝5，则x2＝5，即x2－5＝0，令f(x)＝x2－5.因为f(2.2)＝－0.16<0，2分f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.4分取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，则f(2.3)＝0.29.6分因为f(2.2)·f(2.3)<0，∴x0∈(2.2,2.3)8分再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5.因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25).10分由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以5的近似值可取为2.25.12分1．对精确度的理解要正确，精确度ε满足的关系为|a－b|<ε，而不是|a－b|≤ε或|f(a)－f(b)|<ε.2．解此类问题时，要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．1．二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．3．求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.(见学生用书第67页)1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B ．若x 0是f (x )在[a ，b ]上的零点，则可以用二分法求x 0近似值C ．函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根，但f (x )＝0的根不一定是函数f (x )的零点D ．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解【解析】使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B 不正确；函数f (x )的零点⇔f (x )＝0的根，C 不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A 正确．【答案】 A2．函数f (x )的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在区间为( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定【解析】由于f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．【答案】 A3．求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．【解析】令f (x )＝x 3－2x －5，由于f (2)＝8－4－5＝－1＜0，f (3)＝27－6－5＝16，f (2.5)＝458＞0，故下一个有根区间是(2,2.5)．【答案】 (2,2.5)4．求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解．(精度为0.1) 【解】令f (x )＝ln x ＋x －3，即求函数f (x )在(2,3)内的零点．因为f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次 2 －0.306 85 3 1.098 61 第2次 2 －0.306 85 2.5 0.416 29 第3次 2 －0.306 85 2.25 0.060 93 第4次 2.125 －0.121 23 2.25 0.060 93 第5次2.187 5－0.029 742.250.060 93至此，我们得到区间ln x ＋x －3＝0的一个近似解，例如，选取2.2作为方程ln x ＋x －3＝0的一个近似解．。

北师大版高中数学必修1《四章函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》优质课教案_8

《§1.1 利用函数性质判定方程解的存在》教学设计课型：新授课课时：1课时一、教材分析函数是数学的重要组成部分，初中教材安排学生在简单了解函数定义及性质后，学习了一次函数，二次函数，反比例函数等；高中教材在集合的基础上重新定义了函数，讲解了函数的单调性，奇偶性，并要求学生掌握指数函数和对数函数。

北师大版高中数学必修一第四章主要是函数的应用，让学生感觉到，我们学函数，我们用函数，函数思想可以解决很多问题，比如方程求解。

这将学生的思维提升了一个高度，应用的过程也会让学生更加深刻的去理解函数的相关性质。

本节课作为函数应用第一课时，正是起到了这样一个承上启下的作用，既是对前面内容的巩固，又是思维能力的升华。

二、学情分析笔者所带学生为我校重点班学生，学生有较强的求知欲，部分学生上课时往往比较积极，但还有部分学生由于基础稍弱，反应能慢一些，需要不断的启发和重复训练。

前面第二、三章，学生已经学习了函数的相关性质和指对函数，对函数的内容相对比较熟悉。

但函数由于比较抽象，一直是高中数学的难点，导致有些学生对函数有“畏难”情绪，所以本节课起点不宜过高，要从学生熟悉的知识入手，一步步推进，节奏不宜太快，以学生思考、发言，老师归纳、补充为主。

三、教学目标知识与技能：理解函数零点的概念，并会通过方程和图像求函数的零点；理解并能应用函数零点存在定理去判断方程解的情况。

过程与方法：从学生熟悉的一、二次方程引入，结合图像探究新知，将抽象的函数能够具体化，使学生易于理解。

情感态度与价值观: 让学生在探究活动中感受学习的乐趣；培养学生不怕困难、勇于探索的良好品质，提高学生的数学素养，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度.四、教学重难点重点：函数零点的概念和求法，函数零点存在定理的理解与应用难点：函数零点存在定理的理解与灵活应用五、教学方法及学法指导教学方法：引导探究法、情境教学法、范例教学法.学习方法：探究学习法、合作学习法.六、教学用具多媒体课件、黑板、几何画板七、教学过程观察下列函数的图像：①在区间(a,b)上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b)·f(c) _____ 0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c)·f(d) _____ 0（＜或＞）．指生归纳。

北师大版数学高一必修1学案第四章4.1函数与方程

[核心必知]1．利用函数性质判定方程解的存在(1)函数零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x)＝0的解．(2)函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．利用二分法求方程的近似解(1)二分法：在区间[a，b]上f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．(2)用二分法求方程近似解的过程(如图)：其中“初始区间”是一个两端函数值异号的区间；“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义：方程解满足要求的精确度．[问题思考]1．函数的零点是一个点吗？提示：不是，是一个使f(x)＝0的x的取值．2．函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？提示：等价关系，函数有几个零点⇔相应方程有几个根⇔相应函数的图像与x轴有几个交点．3．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)＞0，在区间(a，b)上就没有零点吗？提示：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，当f(a)·f(b)＜0时在(a，b)上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(a，b)是f(x)的单调区间时只有一个零点；当f(a)·f(b)＞0时也不一定没有零点．讲一讲1．(1)函数f (x )＝4x －16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(3)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)(4)已知函数f (x )＝2x －3x 2.问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ [尝试解答] (1)令4x －16＝0，则4x ＝42，解得x ＝2，所以函数的零点为x ＝2. 答案：2(2)选C 令f (x )＝0，而x －4x ＝0，∴x ＝±2，故有两个．(3)选C 由f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，知函数f (x )的零点在区间(0,1)内． (4)∵f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，又∵函数f (x )＝2x －3x 2的图像是连续曲线， ∴f (x )在区间[－1,0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．(1)求函数f (x )的零点的方法：令f (x )＝0，解方程f (x )＝0即可． (2)判断函数零点的个数，常用的方法有：①解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断． ②用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性．③利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像，其交点的横坐标是函数y ＝f (x )－g (x )的零点．(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f (x )＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理：①函数图像的连续性；②区间端点函数值的符号相反．练一练1．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，18 B.⎣⎡⎦⎤18，14 C.⎣⎡⎦⎤14，12 D.⎣⎡⎦⎤12，1 解析：选C f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫π4＋log 214π2＋log 212＝⎝⎛⎭⎫π4－2⎝⎛⎭⎫π2－1＜0. 2．试判断方程x 3＝2x 在区间[1,2]内是否有实数解．解：设函数f (x )＝x 3－2x ，则f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝8－4＝4＞0， ∴f (1)·f (2)＜0.又函数f (x )＝x 3－2x 的图像是连续曲线，∴函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x 3＝2x 在区间[1,2]内至少有一个实数解．讲一讲2．当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？ [尝试解答] (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a ＞0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1，因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＞0，a－2＋1＜0，4a－4＋1＞0，解得34＜a＜1.(3)当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，则x1·x2＝1a＜0，x1，x2一正一负，不符合题意．综上，当34＜a＜1时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．若将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于1，则a的取值如何？解：设f(x)＝ax2－2x＋1，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，f(1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，f(1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，a－2＋1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，a－2＋1＞0.解得0＜a＜1.解决该类问题，有两种常用途径：(1)利用零点的判定定理构建不等式求解．(2)画出符合题意的草图，转化为函数问题．数形结合构建关于参数的方程或不等式，从而求解．练一练3．已知函数f(x)＝x2－x－m在区间(－1,1)上有零点，求实数m的取值范围．解：法一：①当函数f(x)＝x2－x－m＝⎝⎛⎭⎫x －122－m －14，其对称轴x ＝12∈(－1,1)，故函数在区间(－1,1)上只有1个零点时，Δ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，f (－1)·f (1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f (1)＝0.即1＋4m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，m (m －2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，－m ＝0. 解得m ＝－14或0＜m ＜2或m ＝0.②当函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1,1)上有2个零点时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，2－m ＞0，－m ＞0.解得－14＜m ＜0.综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－14，2. 法二：函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1,1)上有零点 ⇔方程x 2－x －m ＝0在区间(－1,1)上有解 ⇔方程x 2－x ＝m 在区间(－1,1)上有解 ⇔函数y ＝x 2－x 与函数y ＝m 在区间 (－1,1)上有交点，∵函数y ＝x 2－x 在区间(－1,1)上的值域为⎣⎡⎭⎫－14，2，∴－14≤m ＜2，∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－14，2.讲一讲3．求方程lg x ＝3－x 的近似解(精确到0.1)． [尝试解答]令f (x )＝lg x ＋x －3，在同一坐标系中，作出y ＝lg x 和y ＝3－x 的图像如图所示，观察图像可以发现lg x ＝3－x 有唯一解x 0，x 0∈[2,3]，且f (2)＜0，f (3)＞0，利用二分法可列下表：计算次数左端点右端点 1 2 3 2 2.5 3 3 2.5 2.75 4 2.5 2.625 52.562 52.625由于区间(2.562 5,2.625)内的所有值若精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似零点为2.6.求方程近似解的步骤：①构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n ，n ＋1)，n ∈Z ；②利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M ；③写出方程的近似解．练一练4．求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个正数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：计算次数左端点右端点11 22 1.5 23 1.5 1.754 1.625 1.755 1.687 5 1.756 1.718 75 1.757 1.718 75 1.734 375由上表可知，区间[1.718 75,1.734 375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[解]法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．[尝试用另一种方法解题]法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图像．由图像，知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点．1．函数y ＝x 2＋2x －3的零点和顶点的坐标为( ) A ．3,1；(－1，－4) B ．－3，－1；(－1,4) C ．－3,1；(1，－4) D ．－3,1；(－1，－4) 答案：D2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析：选C 当且仅当函数f (x )在区间[a ，b ]上连续且f (a )·f (b )＜0时，才能用二分法求其零点，观察函数的图像知：选项A 中函数没有零点；选项B 和D 中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C 中函数有零点，且符合零点存在定理的条件．3．(北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B 因为y ＝在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫12x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x 在定义域内有唯一零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2，f (1)·f (2)＜0，用二分法逐次计算时，若x 0是[1,2]的中点，则f (x 0)＝________.解析：由题意知f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＝f (1.5)，代入解析式易计算得0.625. 答案：0.6255．(湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．解析：由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0＜b ＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．答案：(0,2)6．判断下列函数在给定的区间内是否存在零点． (1)f (x )＝x 2－8x ＋16，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]； (3)f (x )＝2x －3，x ∈[2,4]．解：(1)f (1)＝9，f (8)＝16，f (1)·f (8)＞0，但是f (4)＝0且4∈[1,8]，所以函数在区间[1,8]内存在零点4.(2)由于f (1)＝log 2(1＋2)－1＝log 232＞0，f (3)＝log 2(3＋2)－3＝log 258＜0，因此f (1)·f (3)＜0，又函数f (x )在区间[1,3]上的图像是连续曲线，所以函数在区间[1,3]内存在零点．(3)因为函数的定义域为(－∞，3)∪(3，＋∞)，所以函数y ＝f (x )的图像在区间[2,4]上不是一条连续曲线，故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点．函数的图像如图所示，观察图像，可得函数在区间[2,4]内不存在零点．一、选择题1．下列函数有两个零点的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝2log 2xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 012，x ＞0，x 3，x ≤0 解析：选D 易知A 只有一个零点；对于B ，方程x 2＋2x ＋3＝0无解；对于C ，令2log 2x ＝0，也无解；对于D ，y ＝0有两解x ＝2 012和x ＝0.2．(重庆高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b ) 和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a ) 和(c ，＋∞)内解析：选A 令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )·[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a <b <c 作出函数y 1，y 2的图像(图略)，由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，即函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．3．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 ( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B ∵f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，则函数f (x )的零点所在的大致区间是(1,2)．4．若方程|ax |＝x ＋a (a ＞0)有两个解，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．∅解析：选A 分三种情况，在同一坐标系中画出y ＝|ax |和y ＝x ＋a 的图像如图：结合图像可知方程|ax |＝x ＋a 有两个解时，有a ＞1.二、填空题5．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，可知，f (2)、f (3)分别等于－1、16，又因为f (2.5)＝458＞0，显然下一个有根的区间为[2,2.5)．答案：[2,2.5)6．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析：分别作出函数f (x )＝3－x 2与函数g (x )＝2－x 的图像，如图所示．∵f (0)＝3，g (0)＝1，∴从图像上可以看出它们有2个交点．答案：27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，则函数y ＝f (x )－2的零点是________．解析：当x ≤1时，y ＝3x －2，令y ＝0，得x ＝log 32≤1，当x ＞1时，y ＝－x －2，令y ＝0，得x ＝－2不合题意，综上，零点是log 32.答案：log 328．已知y ＝x (x －1)·(x ＋1)的图像如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)＋0.01，则方程式f (x )＝0①有三个实根；②当x ＜－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；③当－1＜x＜0时，恰有一实根；④当0＜x＜1时，恰有一实根；⑤当x＞1时，恰有一实根．正确的有________．解析：函数f(x)的图像如图所示，由图像易知，当x＜－1时，方程f(x)＝0恰有一实根；当－1＜x＜0时，方程f(x)＝0没有实根；当0＜x＜1时，恰有两个实根；当x＞1时，没有实根．答案：①②三、解答题9．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．解：设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数f(x)＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得f(1.25)＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22＞0，因为f(1.25)·f(1.375)＜0，所以x0∈(1.25,1.375)．同理，可得x0∈(1.312 5,1.375)，x0∈(1.312 5,1.343 75)．由于区间(1.312 5,1.343 75)内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个近似解．10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数h (x )＝f (x )－ax ，x ∈[2,3]时有唯一零点，且不是重根，求实数a 的取值范围；(3)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)h (x )＝f (x )－ax ＝x 2－(a ＋1)x ＋1，则h (2)＝3－2a ，h (3)＝7－3a . 所以h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一零点，且不是重根，只需⎩⎨⎧ h (2)≤0，h (3)≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧ h (2)≥0，h (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a ≤0，7－3a ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ≥0，7－3a ≤0，解得32≤a ≤73. 经验证，知当a ＝32时，方程h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一解x ＝2；当a ＝73时，方程h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一解x ＝3；故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，73.(3)由题意，得f (x )＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0在区间[－1,1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图像的对称轴为直线x ＝32，所以g(x)在区间[－1,1]上是减少的．所以只需g(1)＞0，即m＋1＜0，解得m＜－1. 即m的取值范围为(－∞，－1)．。

北师大版高中数学必修1第四章《函数应用》小结与复习

）；否则重复步骤2~4．
3、不同函数模型能刻画现实世界不同的变化规律。例如，指
数函数、对数函数以及幂函数就是常用的描述现实世界中不同
增长规律的函数模型。你能说说这三种函数模型的增长差异吗？
你能举例说明直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型
增长的含义吗？
5
在区间 (0 , +) 上，尽管函数 yax (a1)、ylogax(a0)
10
例3、某工厂今年一月、二月、三月生产某种产品分别为1万
件、1．2万件、1．3万件．为了估计以后每个月的产量，以
这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产
量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y
＝a·bx＋c（其中a、b、c为常数）．已知4月份该产品的产
量为1．37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？
2
（一）、本章知识结构：
（二）、回顾与思考，知识梳理
1、函数与方程的紧密联系，体现在函数 y=f(x) 的零
点与相应方程 f(x)=0 的实数根的联系上。你能说说
二次函数的零点与一元二次方程的根的联系吗？
另外，如果函数图在区间 [a , b] 上是连续不断的，
那么在什么条件下，函数在 (a , b) 内有零点？
13
（四）、课堂小结：1、复习巩固；2、规律总结；3、思想升华。（五）、作业布置：复习题四A组：1、2 B组：1 C 组：1 五、教学反思：
14
3
x 方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x) 的图象与
轴有交点函数 y f(x) 有零点．要尽量结合函数图像
进行，体会数形结合的思想。 2、二分法求方程近似解的常用方法。你能说说用二分法求方程近似解的一般步骤吗？

数学：第四章函数应用复习一教案 (北师大必修1)

普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修1第四章函数应用复习一（教案）【教学目标】１．知识与技能：（1）理解函数的零点的概念；明确“方程的根”与“函数的零点”的关系；掌握闭区间上连续函数的零点存在定理．（2）理解求方程近似解的二分法的基本思想；能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解2．过程与方法（1）通过研究一元二次方程的根与一元二次函数的图像与横轴交点的横坐标之间的关系，从中抽象出零点的概念；通过画函数图像，归纳出闭区间上连续函数的零点存在定理；通过例题掌握利用函数的性质找出函数的零点，从而求出方程的根的方法．（2）体验求方程近似解的二分法的探究形成过程；感受数学内部方程与函数之间的联系及其认识该联系的重要性和应用价值；初步认识算法化的形式表达．3．情感、态度与价值观从中体会树形结合研究函数的直观性和优越性，渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力. 通过让学生概括二分法的思想和归纳二分法的步骤培养学生的归纳概括能力．【教学重点】方程的根与函数的零点之间的关系，二分法的基本思想【教学难点】利用函数的性质找出零点找到方程的根．二分法求方程的近似解【学法指导】学生自主学习、合作探究．【教学过程】复习：1.函数的零点的判定. 2. 二分法求方程的近似解一、函数的零点例1．偶函数)(x f 在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f （0）·f （a ）<0，则方程0)(=x f在区间[－a,a ]内根的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．0 解析：因为)(x f 在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且f （0）·f （a ）<0，方程0)(=x f 在区间[0,a] 内有一根,又也是)(x f 偶函数,所以方程0)(=x f 在区间[-a,0] 内也有一根, 方程0)(=x f 在区间[－a,a ]内共有2个根,选B.答案：B练习：1：已知函数()31log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数x o 是方程()0f x =的解，且10x x <<o ，则()1f x 的值为（） A ．恒为正值 B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0 解析:因为函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3log y x =-都是单调减函数,所以函数()31log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为减函数.又因为实数x o 是方程()0f x =的解,所以()00f x =,所以当10x x <<o 时, ()1f x 的值恒为正值.故选A.答案：A2．已知函数2()1f x x =-，则函数(1)f x -的零点是__________ 二、二分法求方程的近似解例2．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是。

北师大版高中数学必修1《四章函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》优质课教案_10

4.1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教材中的地位与作用1.方程的根与函数的零点是新课程中新增的内容，选自北师版《普通高中课程标准实验教科书》必修1第四章第一节。

2. 学生已经比较系统的学习了函数的概念，性质，图像及相关的初等函数模型，本节内容能把函数的图像与方程的根能更好的结合来,使数学中的数与形联系在一起。

3.为“二分法求方程的近似解”以及之后知识的学习做好一个铺垫作用。

二、教学目标1.知识与技能(1) 结合二次函数的图像，掌握零点的概念，会求简单函数的零点。

(2) 理解方程的根和函数零点的关系。

(3) 理解函数零点存在的判定条件。

2.过程与方法(1) 观察能力：观察熟悉的一元二次方程与相应的二次函数图像得出零点定义。

以及观察函数图像来得出函数零点的存在的判定条件。

(2) 归纳能力：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。

3.情感态度与价值观(1)从易到难，顺应学生的学习心理，学生能体会到学习数学的成功感。

(2) 以学生为主体，营造学习氛围，学生产生热爱学习数学的积极心理。

三、教学重点与难点重点：函数零点与方程根之间的联系。

难点：（1）理解函数的零点就是方程的根。

（2）理解函数零点存在的判定条件。

四、学情分析本课在必修1中的最后一章内容，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图像已经有了一个比较系统的认识与理解。

特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生,刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

五、教法与学法新课程中强调以学生为主体，教师起引导作用，“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的活力”是我进行教学的指导思想，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。

北师大版高中数学必修1《四章函数应用 1 函数与方程 1.1 利用函数性质判定方程解的存在》优质课教案_0

课题：§4.1函数与方程（第一课时）北师大版必修一第四章P 115-P 116【学习目标】1.理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.2.由方程的根与函数的零点的关系，培养转化化归思想和数形结合思想.3.掌握零点存在的判定条件（零点的存在性定理）．【学习重点】：零点的概念及存在性的判定．【学习难点】：零点个数的确定．【学习过程】◆一﹑课前预习1. 复习一元二次方程与二次函数的关系2. 预习北师大版必修一第四章P 115-P 116◆二﹑学习新知1. 引入新课：给定的二次函数y= x 2－2x －3 ，其图像如下：问题1：方程x 2－2x －3=0的根是？问题2：函数y= x 2－2x －3的图像与x 轴的交点是？问题3：函数y= x 2－2x －3的图像与x 轴的交点的横坐标与方程x 2－2x －3=0 的根有什么关系？（引出概念）2.函数的零点定义：我们把函数y=f(x)的图像与x 轴的交点的称为函数y=f(x)的零点。

问题1：零点是点还是数?问题2：函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有函数y=f(x)的图象与x 轴有问题3：下列说法正确吗？1.函数的零点就是函数图像与X 轴的交点。

（）2.不存在没有零点的的函数。

（）3.函数f(x)=2x-2的零点是（1，0）（）4.对数函数的零点都是1. （）5.函数f(x)有几个零点，函数f(x)与X 轴就有几个的交点（）考点一:求函数的零点例题：求函数f （x ）=lg(x-1)的零点练习：函数223y x x =--的零点是：（）A.（-1，0），（3，0）B. x=-1C. x=3D. -1和3练习：函数y=x 2+4x-12,x ∈[0,8]的零点是 .3. 合作探究观察y= x 2－2x －3的图像：问题1：f(-2).f(1) 0,(<或>)在【-2,1】上（有或无）零点。

北师大版高中数学必修一学案函数应用复习

A B C D
练一练
为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
发送
解密
加密
明文密文密文明文
已知加密为为明文、为密文，如果明文“ ”通过加密后得到密文为“ ”，再发送，接受方通过解密得到明文“ ”，若接受方接到密文为“ ”，则原发的明文是。
例2已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2)，求的取值范围.
三巩固练习
1.函数的实数解落在的区间是（）.
A. [0，1] B. [1，2]
C. [2，3] D. [3，4]
2.下列函数关系中，可以看着是指数型函数（模型的是（）.
A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B.我国人口年自然增长率为1﹪，这样我国人口总数随年份的变化关系
教学过程
一自主学习
1如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.
复习2：二分法基本步骤.
①确定区间，验证，给定精度ε；
②求区间的中点；
③计算：若，则就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；
④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
函数应用复习课
授课时间
撰写人
学习重点
常用简单函数模型的应用。
学习难点
实际问题的函数刻画化归。
学习目标
（１）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。
（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。

高中数学第四章函数应用章末复习课学案北师大版必修1

第四章函数应用学习目标 1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用．1．对于函数y＝f(x)，x∈D，使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)，x∈D的零点．2．方程的根与函数的零点的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数的零点的存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]内若不连续，则f(a)·f(b)＜0与函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点个数没有关系(即：零点存在性定理仅对连续函数适用)．(2)连续函数y＝f(x)若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数y＝f(x)在区间(a，b)内的零点不一定有f(a)·f(b)＜0，若y＝f(x)为单调函数，则一定有f(a)·f(b)＜0.4．二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．5．解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：类型一函数的零点与方程的根的关系及应用例1 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．反思与感悟(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数进行判断．跟踪训练1 若函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)D ．(0,2)类型二用二分法求函数的零点或方程的近似解例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 反思与感悟 (1)根据f (a 0)·f (b 0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．(3)取区间中点c ，计算中点函数值f (c )，确定新的零点区间，直到所取区间(a n ，b n )中，|a n －b n |<ε，那么区间(a n ，b n )内任意一个数都是满足精度ε的近似解．跟踪训练2 已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)，当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝__________. 类型三函数模型及应用例3 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．反思与感悟在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题(如最大射程翻译成y ＝0时求x 的最大值)非常重要．另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响．跟踪训练3 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx ＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．1．已知函数f(x)＝a x－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有( )A．0个B．1个C．2个D．至少1个2.如图所示是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图像．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内4．设函数f(x)＝log3x＋2x－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．5．已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图像、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．2．函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．3．函数建模的基本过程如图：答案精析题型探究例1 x 1＜x 2＜x 3解析令x ＋2x＝0，得2x＝－x ；令x ＋ln x ＝0，得ln x ＝－x ；在同一坐标系内画出y ＝2x，y ＝ln x ，y ＝－x 的图像，如图可知x 1＜0＜x 2＜1.令h (x )＝x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0，所以x ＝1＋52，即x 3＝(1＋52)2＞1.所以x 1＜x 2＜x 3.跟踪训练1 C [显然f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f (1)·f (2)＜0，即(2－2－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，解得0＜a ＜3.]例2 C [∵f (x )是R 上的增函数且图像是连续的，且f (0)＝e 0＋4×0－3＜0，f (1)＝e ＋4－3＞0.∴f (x )在(0,1)内有唯一零点．f (14)＝e 14＋4×14－3＝e 14－2＜0，f (12)＝e 12＋4×12－3＝e 12－1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12内存在唯一零点．] 跟踪训练2 2 解析 ∵a ＞2，∴f (x )＝log a x ＋x －b 在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3)＝log a 3＋3－b .∵2＜a ＜3＜b ＜4，∴0＜log a 2＜1，－2＜2－b ＜－1.∴－2＜log a 2＋2－b ＜0. 又1＜log a 3＜2，－1＜3－b ＜0， ∴0＜log a 3＋3－b ＜2，即f (2)＜0，f (3)＞0.又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(2,3)内必存在唯一零点．例3 解 (1)令y ＝0 ，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当它的横坐标a 不超过6时，可击中目标．跟踪训练3 24解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b＝48，两式相除可得e 22k ＝14，故e 11k ＝12，故e 33k ＋b ＝e 33k ·e b＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时．当堂训练 1．D 2.D 3.A 4．(log 32,1) 5.2。

2013年秋北师大版必修1示范教案第四章函数应用复习

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