河海大学材料力学第六章 平面弯曲之强度计算
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梁弯曲内力及强度计算
车削工件
材料力学
火车轮轴
材料力学
弯曲特点
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁 受力特点：外力垂直于轴线 变形特点：轴线由直线变成曲线
材料力学
常见弯曲构件截面
材料力学
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
材料力学
§6-2 受弯杆件的简 梁的载荷与支座 化
+
_
左上右下为正；反之为负 截面上的弯矩使得 梁呈凹形为正；反之为负。
+
左顺右逆为正；反之为负
_
材料力学
求图示简支梁E 截面的内力 解：1. 确定支反力
FAy
2. 用截面法研究内力
FSE ME FAy
FBy 3a Fa 2F a F 5F FBy FAy 3 3 5F F Fy 0 2 F FSE 3 FSE 3 a 5F 3a 2 F M E ME 0 2 3 2 3Fa ME 2 材料力学
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
FSE FBy
F 3
M
o
0
3a M E FBy Fa 2 3Fa ME 2
81qa2/32 M
（ +）
qa2
B点的弯矩为 -1/2×7qa/4×7a/4 +81qa2/32=qa2
材料力学
qa MA
材料力学第6章-弯曲应力分析与强度计算_4209846
静矩、形心及其相互关系 (设x轴方向单位面积上的力为1个单位)
y
z
y
zC
dA
y
C
z
yC
O
O A
z
分力之矩之和
S y zdA
A
合力之矩
S y AzC
S z AyC
S z ydA
A
（联想中值定理）
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
z
A dA
y
如果y、z轴通过图形形心C， 上述各式中的Sy＝Sz＝0
C
a O´
y1
z
b
I y1 I y b A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y z1
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 10 y
dA
dr
已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
dA 2 π rdr
z
IP 1 I y I z r 2 dA 2 2 A 4 1 d π d 2 r 2 2 π r dr 0 2 64 πd 4 IP 2I y 32
A
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
z
I y z 2 dA
材料力学基本第六章 弯曲强度
(2)当梁的跨度与横截面高度的比值较大时(如l / h >5)，纯 弯曲正应力公式对横力弯曲仍然适用。
6.3.3. 梁的弯曲正应力公式的应用于推广
在横力弯曲情况下： 横截面上既有正应力，又有切应力 横截面将发生翘曲，不再保持为平面
精确的分析表明：
当 l 5 时(细长梁) h
可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁的正应力
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
1.静矩
n
Sx
yd A
ydA
A n
A1 An n
i 1
Ai
yd A
S xi Ai yCi A yC
i 1
i 1
n
n
S y S yi Ai xCi A xC
i 1
i 1
y
xC C yC
x O
2.形心
n
Ai xCi
6.5.3 梁的弯曲强度计算机举例 例、图5-15a所示为起重设备简图。已知起重量(包含电
葫芦自重)F=30 kN，跨长l=5m。梁AB由No.20a工字钢
制成，许用应力 [σ]=170MPa，[τ]=100MPa。试校核梁
M Ey 2 dA E y2dA EI z
A
A
I z
y 2 dA
A
是梁横截面对中性轴的惯性矩。
1 M
EI z
EIz反映了梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度。
1 M
EI z
代入
σ E y ρ
σ My Iz
梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。
说明：
(1)纯弯曲正应力公式。
30
取参考坐标系 xy
6.3.3. 梁的弯曲正应力公式的应用于推广
在横力弯曲情况下： 横截面上既有正应力，又有切应力 横截面将发生翘曲，不再保持为平面
精确的分析表明：
当 l 5 时(细长梁) h
可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁的正应力
组合图形——由几个简单图形（如矩形、圆形等） 组成的平面图形
如：
1.静矩
n
Sx
yd A
ydA
A n
A1 An n
i 1
Ai
yd A
S xi Ai yCi A yC
i 1
i 1
n
n
S y S yi Ai xCi A xC
i 1
i 1
y
xC C yC
x O
2.形心
n
Ai xCi
6.5.3 梁的弯曲强度计算机举例 例、图5-15a所示为起重设备简图。已知起重量(包含电
葫芦自重)F=30 kN，跨长l=5m。梁AB由No.20a工字钢
制成，许用应力 [σ]=170MPa，[τ]=100MPa。试校核梁
M Ey 2 dA E y2dA EI z
A
A
I z
y 2 dA
A
是梁横截面对中性轴的惯性矩。
1 M
EI z
EIz反映了梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度。
1 M
EI z
代入
σ E y ρ
σ My Iz
梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。
说明：
(1)纯弯曲正应力公式。
30
取参考坐标系 xy
工程力学B(二)第11讲第六章弯曲应力-强度条件
τ σ
4 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。尽量 减小应力集中。尽量避免截面尺寸沿梁的急剧变化。 使用圆角过渡。 使用圆角过渡。
局部考虑
1.截面的放置 截面的放置 与 2.同样面积下 最大 同样面积下W最大 同样面积下
〉
〉
〉
为什么？ 为什么？
〉
〉
常见梁截面的 Wz /A 值 Wz /A 的值 大与小，哪个好？为什么？ 大与小，哪个好？为什么？
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
二、变截面梁与等强度梁
横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。 横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F
x
F
b
h(x )
z
y
l
h1
hmax
σ max =
M ( x) = [σ ] W ( x)
W ( x) =
M ( x)
[σ ]
bh 2 6 Fx M ( x ) = Fx, h = 常数，由 Wz = 知h ( x ) = 6 b[σ ]
由τ max =
hmax =
6 Fl b[σ ]
3 Fs 3F 知h1 = 2 bh 2b[τ ]
三、梁的合理受力 梁的合理受力
1.支座位置 合理布置支座位置，使 M max 尽可能小 支座位置 合理布置支座位置，
q L
qL2 40
M
2 qL 8
x
q L/5 L/5
M
2 −qL 50
x
2.加载方式 加载方式——合理布置外力作用，使 M max 尽可能小 合理布置外力作用， 加载方式 合理布置外力作用
Fl 当载荷位于梁跨度中间时， 当载荷位于梁跨度中间时，弯矩最大 Wz ≥ = 3.0 × 10 − 4 m 3 4[σ ]
弯曲变形的强度条件和强度计算
弯曲变形的强度条件和强度计算当梁受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，梁的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。
如果梁的几何形状材料性能和外力都对称于梁的纵向对称面则称为对称弯曲。
如果梁变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。
本课程中主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，如图1所示。
图1 平面弯曲一、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为F S=F S(x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。
为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图3所示。
图2 剪力的正负图3 弯矩的正负例1：试写出下图所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力=∑C M：0310126=⨯--⋅AyF，kN7=AyF=∑Y：010=-+ByAyFF，kN3=ByF（2）列内力方程剪力：⎩⎨⎧<<-<<=63kN33kN7)(S xxxF弯矩：⎩⎨⎧≤≤≤≤⋅-⋅-=633mkN)6(3mkN127)(xxxxxM（3）作剪力图和弯矩图二、梁弯曲时的正应力在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。
若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲。
本讲主要讨论纯弯曲时横截面上的应力——正应力。
梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图4所示。
图4 梁弯曲时的正应力分布图即有yIxMz)(=σ（1）中性轴把截面分成受拉区和受压区两部分，且最大拉应力和最大压应力发生在上下边缘处，其值为max max y I Mz=σ。
令max y I W z z=，即有：zW M =max σ （2）式中，W z 称为抗弯截面系数，它与横截面的几何尺寸和形状有关，量纲为[长度]3，常用单位为mm 3或m 3。
【2019年整理】平面弯曲梁的强度和刚度计算
第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时横截面的正应力一．纯弯曲试验：纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。
剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。
为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。
在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。
梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度；②纵向线（包括轴线）都变成了弧线；③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。
根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。
②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。
可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。
中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z 轴。
梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。
二．梁横截面上的正应力分布：图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。
距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为：对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性层的距离成正比。
由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得：由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴处，y=0，所以正应力也为零。
三．梁的正应力计算：在梁的横截面上任取一微面积dA，作用在这微面积上的微内力为σdA，在整个横截面上有许多这样的微内力。
微面积上的微内力σdA对z轴之矩的总和，组成了截面上的弯矩则式中称为横截面对中性轴的惯性矩，是截面图形的几何性质，仅与截面形状和尺寸有关。
学习任务6 弯曲强度计算
例2 已知悬臂梁如图，l 1.5m ，P=32kN，梁由22a工字
钢制成，自重按 q 0.33kN / m ，材料的 160 MPa
140 MPa 校核粱强度。
q
p
A
B
z
l
例3 矩形截面松木梁如图，已知 q 3.6kN / m ，材料的
10MPa 2MPa l 4m
计算：1）若截面高宽比h/b=2，设计木梁尺寸b、h。 2）若木梁采用b=140mm，h=210mm的矩形截面，计算
z
Wz1
D13
32
max
1.33 m
4Q 3A
D1
As D12 a2 , a
4
R; (R D1 / 2)
a
z
Wz 2
bh2 6
(
R)3
6
1.18Wz1
a
max 1.5 m
当 D12
4
[D2
(0.8D)2 ]时, D 4
1.67 D1
Wz3
D3
32
(1 -
0.8
4
)
2.75Wz1
z
max 2 m
0.8D D
2a1
当 D12
4
2a12时, a1
2 D1 / 4
Wz 4
bh2 6
4a13 6
1.67Wz1
max 1.5 m
z a1
2a2 1.6a2
当 D12
4
2a22
0.81.6a22时, a2
1.05D1
z 0.8a2
a2
Wz5 4.57Wz1
max 2.3 m (= Q Af )
求最大应力并校核强度
max
建筑力学(6-2章)
M=FAy x ()
弯矩M ： 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。 剪力FQ ： 构件受弯时，横截面上其作 用线平行于截面的内力。
A
FAy M
FQ C FQ C FBy M FP
第4章 弯曲杆的强度计算（2）
二、剪力和弯矩的正负号规定 剪力： 外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正
FP b (↑) l FP a FB y = (↑) l
FAy=
第4章 弯曲杆的强度计算（2）
a
FP
C
b
B
A
Fb FAy l
l
FBy Fa l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
FP b 0 x1 a FQ1＝FAy l Fb M 1＝FAy x1 P x1 0 x1 a l
0 x2 b 0 x2 b
FQ x1 M / l
0 x1 a
a A C
b B
M x1 Mx1 / l
FQ x2 M / l
M x2 Mx2 / l
0 x1 a 0 x2 b 0 x2 b
a
A
FP B
设荷载FP和支座反力FAy、
FBy均作用在同一纵向对称平
面内，组成了平衡力系使梁 处于平衡状态，欲计算任一 截面1-1上的内力。
l
A FAy FP B
FBy
第4章 弯曲杆的强度计算（2）
∑Fy=0
∑MC=0
FAy－FQ=0
－FAy x+M=0 FyA
A
1
FP
B
FQ=FAy (↓)
1 x FBy
M = 75kN· m 3 3 4 4 B
第六章扭转与弯曲强度计算
因此，各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比， 其分布规律如图所示 ：
根据横截面上切应力的分布规
律，又根据静力平衡条件，推
导出距圆心为 的切应力 计
算公式如下：
T IP
M Pa
T — 横截面上的扭矩（N.mm）
— 欲求应力的点到圆心的距离（mm）
I p — 截面对圆心的第极六章惯扭转性与弯矩曲（强度m计m算4）
16 第六章m扭a转x与弯曲强度计算
空心轴:
d/D
I
p
D4
32
d4D 414 0.1D 414
32 32
W p
Ip max
D314 0.2D314
16
第六章扭转与弯曲强度计算
例2 如图所示,已知M1=5kNm，M2=3.2kNm，M3=1.8kNm， AB=80mm，BC=50mm。求此轴的最大切应力。
解： 求AB、BC段扭矩 TAB= -5kN.m TBC= -1.8kN.m
根据切应力计算公式:
Am B a xW T TAA A BB B0 .2 5 1 86 0 3 04.88M 3 Pa
BC maxW TB BC C 第六 章0扭1.转2.与8 弯曲51 强度3 0计6 0算 7M 2 Pa
max
Tmax
IP
T
IP max
T WP
W p为抗扭截面系数( mm
3 )
M Pa
极惯性矩与抗扭截面系数表示了截面的几何性质，其大小只 与截面的形状和尺寸有关。工程上经常采用的轴有实心圆轴和空 心圆轴两种，它们的极惯性矩与抗扭截面系数按下式计算：
实心轴:
Ip
D4
32
0.1D4
W p
河海大学-材料力学-课件-力学-第六章-挠度
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tgθ=w’(x)——转角方程。顺时针 为正。
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程
1
w
( x )
1 w2
3 2
1 M(x)
<<1
( x) EI z
w M x
EI z
O
x
O
x
M
M
w
M<0
w” > 0
当F作 用 于 梁 中 点C时 ，wmax wc。
当F右移至B点时，b 0，x0 0.577l。
wmax的 位 置 距 梁 中 点 仅 0.077l。
令
b2 0,
wmax
Fbl 2 9 3 EI
0.0642 Fbl 2 。 EI
wc
Fbl 2 16 EI
0.0625 Fbl 2 。 EI
ql
qx 2
θA
M(x) x
wmax θB
Bx
l
2
2w
2o 梁的挠曲线微分方程为
EIw ql x qx2
2
2
积 分 EIw ql x2 qx3 C 2 2 23
ql x3 qx4
EIw
Cx D
2 23 234
边界条件Βιβλιοθήκη qx0: w0 xl: w0
w
xl
Fl 2 2 EI
Fl 3 wmax w xl 3EI
F
Bx
θmax
wmax
l
例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。
第六章扭转与弯曲的强度计算
第六章 扭转与弯曲的强度计算
圆轴扭转时的内力、 第一节 圆轴扭转时的内力、应力和强度计算 载荷特点： 载荷特点：受绕轴线方向力 偶作用（ 偶作用（力偶作用面平行于 横截面） 横截面） 变形特点：横截面绕轴线 变形特点： 转动 内力： 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩 扭矩T 合的一个力偶，称为扭矩
解：1)由外力偶矩的计算 1)由外力偶矩的计算 1) 公式求个轮的力偶矩：
M A = 9549 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9549 PB/n = 350 N.m M D = 9549 PD/n = 446 N.m
2)分别求1 截面上的扭矩，即为BC,CA,AD 2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD 分别求 段轴的扭矩。 段轴的扭矩。
由
T1 + M B = 0 得:T1 = -M B =-350N.m 由 M B + M C + T2 =0
=-M B -M C =-700N.m 由 M D -T 3 = 0
得 :T 3
得 :T 2
= M D = 446N.m
T 446N.m x 350N.m 700N.m
3)画扭矩图： 3)画扭矩图： 画扭矩图
WP 0.2 D1
G实心轴 G空心轴
T 1.5 ×106 D1 = 3 =3 = 53.03mm 0.2τ max 0.2 × 50.3
A1 L D12 = = 2 A2 L D − d 2
53 2 = 2 = 3.21 2 90 − 85
第三节 弯曲内力
一、平面弯曲的概念 弯曲变形是指杆的轴线由 弯曲变形是指杆的轴线由 直线变成曲线。 直线变成曲线。 以弯曲变形为主的杆件称 为梁。 梁的受力特点是在轴线平面 梁的受力特点是在轴线平面 内受到力偶矩或垂直于轴线 方向的外力的作用。 方向的外力的作用。
圆轴扭转时的内力、 第一节 圆轴扭转时的内力、应力和强度计算 载荷特点： 载荷特点：受绕轴线方向力 偶作用（ 偶作用（力偶作用面平行于 横截面） 横截面） 变形特点：横截面绕轴线 变形特点： 转动 内力： 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩 扭矩T 合的一个力偶，称为扭矩
解：1)由外力偶矩的计算 1)由外力偶矩的计算 1) 公式求个轮的力偶矩：
M A = 9549 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m M B =M C = 9549 PB/n = 350 N.m M D = 9549 PD/n = 446 N.m
2)分别求1 截面上的扭矩，即为BC,CA,AD 2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为BC,CA,AD 分别求 段轴的扭矩。 段轴的扭矩。
由
T1 + M B = 0 得:T1 = -M B =-350N.m 由 M B + M C + T2 =0
=-M B -M C =-700N.m 由 M D -T 3 = 0
得 :T 3
得 :T 2
= M D = 446N.m
T 446N.m x 350N.m 700N.m
3)画扭矩图： 3)画扭矩图： 画扭矩图
WP 0.2 D1
G实心轴 G空心轴
T 1.5 ×106 D1 = 3 =3 = 53.03mm 0.2τ max 0.2 × 50.3
A1 L D12 = = 2 A2 L D − d 2
53 2 = 2 = 3.21 2 90 − 85
第三节 弯曲内力
一、平面弯曲的概念 弯曲变形是指杆的轴线由 弯曲变形是指杆的轴线由 直线变成曲线。 直线变成曲线。 以弯曲变形为主的杆件称 为梁。 梁的受力特点是在轴线平面 梁的受力特点是在轴线平面 内受到力偶矩或垂直于轴线 方向的外力的作用。 方向的外力的作用。
材料力学第六章知识点总结
P 2 P 2
P
材料力学
y C y C1
§6-2 挠曲线的微分方程
F x 1.挠度：横截面形心沿垂直 于轴线方向的线位移。用 y 表示。向上为正，反之 为负。
一、度量梁变形的两个基本位移量
θ
θ
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用θ 表示。横截 面从变形前转动到变形后，逆时针为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为： y = y(x)
CB 段： a ≤ x 2 ≤ l
C
B
θB x
FBy
FAy x1
ymax
x2
a
b
Fb 2 F Fb 2 2 EIθ 2 = x2 − ( x2 − a ) − (l − b 2 ) 2l 2 6l Fb 3 F Fb 2 3 EIy2 = x2 − ( x2 − a ) − (l − b 2 ) x2 6l 6 6l
4）由位移边界条件确定积分常数
x 1 2 1 3 C = − Fl , D = Fl l 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EIθ = F ( x − l ) − Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIy = F ( x − l ) − Fl x + Fl 6 2 6
6）确定最大转角和最大挠度
x = 0, x = 0,
θA = 0
yA = 0
y
A
yB
F
B
θB
x
x = l,
θ max
Fl 2 = θB = − , 2 EI
ymax
Fl 3 = yB = − 3EI
材料力学
例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最 大挠度，梁的EI 已知，l=a+b，a>b。 解 1）由梁整体平衡分析得： Fb Fa F Ax = 0 , F Ay = , F By = l l 2）弯矩方程 AC 段：
P
材料力学
y C y C1
§6-2 挠曲线的微分方程
F x 1.挠度：横截面形心沿垂直 于轴线方向的线位移。用 y 表示。向上为正，反之 为负。
一、度量梁变形的两个基本位移量
θ
θ
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用θ 表示。横截 面从变形前转动到变形后，逆时针为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为： y = y(x)
CB 段： a ≤ x 2 ≤ l
C
B
θB x
FBy
FAy x1
ymax
x2
a
b
Fb 2 F Fb 2 2 EIθ 2 = x2 − ( x2 − a ) − (l − b 2 ) 2l 2 6l Fb 3 F Fb 2 3 EIy2 = x2 − ( x2 − a ) − (l − b 2 ) x2 6l 6 6l
4）由位移边界条件确定积分常数
x 1 2 1 3 C = − Fl , D = Fl l 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EIθ = F ( x − l ) − Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIy = F ( x − l ) − Fl x + Fl 6 2 6
6）确定最大转角和最大挠度
x = 0, x = 0,
θA = 0
yA = 0
y
A
yB
F
B
θB
x
x = l,
θ max
Fl 2 = θB = − , 2 EI
ymax
Fl 3 = yB = − 3EI
材料力学
例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最 大挠度，梁的EI 已知，l=a+b，a>b。 解 1）由梁整体平衡分析得： Fb Fa F Ax = 0 , F Ay = , F By = l l 2）弯矩方程 AC 段：
大学材料力学公式汇总
σ cr
=
π 2E λ2
max
;
Pcr
=
π 2 EI min
(μL)2
②中长受压杆： λp ≥ λ ≥ λs; σ cr = a − bλ
③短粗受压杆： λ ≤ λs ; σ cr =σ s 或 σ b
2、关于柔度的几个公式： 3、惯性半径公式： i = I z
A
λmax
=
⎛ ⎜⎝
μL i
⎞ ⎟⎠ max
E 1− μ2
(ε x
+
με y );
σy
=
E 1− μ2
(ε y
+
με x );
σz
=
0;
τ xy = Gγ xy
6、三向应力状态的广义胡克定律
( ) εi
=
1 E
⎡⎣σ
i
−
μ
σ j +σk
⎤⎦ ;
γ ij
=
τ ij G
;
(i, j, k = x, y, z; i ≠ j ≠ k )
7、平面应力状态下的应变分析主应变及其方位角
（1） εα
= εx
+εy 2
+ εx
−ε y 2
cos
2α
−
⎜⎜⎝⎛
−
γ
xy
2
⎟⎟⎠⎞ sin 2α
（2） ε max = ε x + ε y ±
ε min
2
⎛ ⎜ ⎝
εx
−ε 2
y
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜ ⎝
γ xy 2
⎞2 ⎟ ⎠
;
8、应变能密度分解定理体应变体弹性模量
河海大学材料力学第六章 平面弯曲之强度计算
讨论:
4.实心截面梁弯曲正应力与弯曲切应力的量级比较
一般受力情况下， 对于细长梁，若l>>d， 或l>>h，则梁内的弯 曲正应力将是弯曲切 应力的十几倍以致几 十倍。这时弯曲正应 力对梁的变形和破坏 的影响将是主要的， 弯曲切应力的影响则 是次要的。
max
M max 6FP l hA Wz
max
例: 一受载外伸梁及截面形状如图。若材料为铸铁，[σt] = 35 Mpa，[σc] = 150 Mpa。试求F的容许值。
F/2
A
F
C
2m 2m
F/2
B 0.5m
20 10
60
10
20
0.5m
0.25F
（a）
0.25F
120
y2=95
Mz
+
20 120
z
y1=45
M y t C C 1 t Iz M C y2 c C c Iz M A y2 t A t Iz M y c A A 1` c Iz
max
FS max S z max 3FP I zb 2A
*
§5 -4 梁的强度计算（容许应力法）
一、梁的强度计算
危险点：正应力最大点、切应力最大点
最大弯矩截面的上、下底处各点为正应力危险点。
最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。
切应力 最大
正应力 最大
1、等截面梁的正应力强度条件为： M max max [ ] （控制条件） Wz
∴ 胶层不脱开。
2°校核梁的正应力强度 3°校核梁的切应力强度
二、提高梁的承载能力的措施 1、选择合理截面形式
弯曲杆的强度计算
M=∑M左
或
M=∑M右
7.11
说明：梁内任意横截面上的弯矩数值等于该截面一侧所有外力 对该截面形心力矩的代数和。 规律：下凸外力距取正
子情境二
单跨静定梁弯曲时的内力图绘制方法
一、绘制内力图的第一种方法—内力方程法 1、内力方程、剪力方程和弯矩方程
梁横截面上的剪力与弯矩是随着截面的位置而发生变化的，以横坐
种梁的弯曲平面与外力作用平面
相重合的弯曲称为平面弯曲。 7.3
7.4
二
1、 截面法求内力
平面弯曲内力—剪力与弯矩
问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在 横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？ 例：欲求图示简支梁任意截面1-1 上的内力。 1.截开： 在1-1截面处将梁截分为左、右两部 分，取左半部分为研究对象。
7.17
根据理论推导，梁弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公 示为： 式中：M—横截面上的弯矩； My y—所计算应力的点到中性轴z的距离；
Iz
Iz—截面对中性轴的惯性距；
梁弯曲时横截面上任一点的正应力与弯矩和该点到中性轴的 距离成正比，与截面对中性轴的惯性距成反比，正应力沿截面 高度呈线性分布；中性轴上（y=0）各点处的正应力为零；在上、 下边缘处，正应力的绝对值最大。计算正应力时，M和y均用绝 对值代入。当截面上有正弯矩时，中性轴以下部分为拉应力， 以上部分为压应力；当截面有负弯矩时，则相反。 危险截面：产生最大正应力的截面。 危险点：危险截面上的最大应力。发生在距离中性轴最远的 上、下边缘处。
M
FAX F1 ( x a ) M 0 得
如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-1上的内力 F 和 M，但
8.平面弯曲梁的强度与刚度计算解析
试校核梁的强度。
20
§8.3 弯曲正应力强度计算
解 （1）求支座反力
FA 0.75kN
FB 3.75kN
（2）画出梁的弯矩图 最大正弯矩在截面C上
M c 0.75kN m
最大负弯矩在截面B上
M B 1kN m
21
§8.3 弯曲正应力强度计算
（3）T形截面对中性轴的截面的二次矩为
πD 4 I y Iz (1 4 ) 64
πd 4 IP I y Iz 32
πd 3 Wy Wz 32
d D
πd 4 I y Iz 2 64 I
πD 3 Wy Wz (1 4 ) 32
8
例1 受均布载荷作用的简支梁如图，求：
（1）1—1截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力；
1.2 F 185 10 6 170 106
1.85 106 170 106 [F ] N 26.2 103 N 26.2kN 1.2
19
§8.3
弯曲正应力强度计算
例3
已知T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，铸铁抗拉许
用应力 [s ] 30MPa ，抗压许用应力 [s c ] 160MPa 。 t
y
A
B
(1)
dx
（二）物理关系
y
O1 A1 dq
O2 B1
s E
Ey
(2)
x
纯弯曲梁横截面上正应力σ与点到中性轴 距离y成正比。
y
5
（三）静力学关系：
M z = A ys dA A y
公式中 即
20
§8.3 弯曲正应力强度计算
解 （1）求支座反力
FA 0.75kN
FB 3.75kN
（2）画出梁的弯矩图 最大正弯矩在截面C上
M c 0.75kN m
最大负弯矩在截面B上
M B 1kN m
21
§8.3 弯曲正应力强度计算
（3）T形截面对中性轴的截面的二次矩为
πD 4 I y Iz (1 4 ) 64
πd 4 IP I y Iz 32
πd 3 Wy Wz 32
d D
πd 4 I y Iz 2 64 I
πD 3 Wy Wz (1 4 ) 32
8
例1 受均布载荷作用的简支梁如图，求：
（1）1—1截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力；
1.2 F 185 10 6 170 106
1.85 106 170 106 [F ] N 26.2 103 N 26.2kN 1.2
19
§8.3
弯曲正应力强度计算
例3
已知T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，铸铁抗拉许
用应力 [s ] 30MPa ，抗压许用应力 [s c ] 160MPa 。 t
y
A
B
(1)
dx
（二）物理关系
y
O1 A1 dq
O2 B1
s E
Ey
(2)
x
纯弯曲梁横截面上正应力σ与点到中性轴 距离y成正比。
y
5
（三）静力学关系：
M z = A ys dA A y
公式中 即
河海大学出版社 材料力学 习题解答word
第二章 拉压变形2-11 图示一挡水墙示意图，其中AB 杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。
若AB 杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa ，试求AB 杆所需的直径。
解：2-16 试校核图示销钉的剪切强度。
已知F =120kN ，销钉直径d =30mm ，材料的容许应力［τ］=70MPa 。
若强度不够，应改用多大直径的销钉?解：MPa A F 88841049210120243./=⨯⨯⨯==-πτ 不满足强度条件46324110571810702101202-⨯=⨯⨯⨯=≥=.][τπF d A F NP3m4m2mkN b h P 40221==γkNF P F F MN N i O111104060032...:)(==⨯-⨯⨯=∑强度条件：cmd m d AF N583102861101110111142363..)/(.][≥⨯=⨯⋅⨯⨯≥≤=-πσσ以上解不合理： 柔度：7557451.)//(/=⨯==d i l μλ3.d3cm第三章 扭转变形3-3 图示组合圆轴，内部为钢，外圈为铜，内、外层之间无相对滑动。
若该轴受扭后，两种材料均处于弹性范围，横截面上的切应力应如何分布?两种材料各承受多少扭矩?dxd φργ= γτG =80120 5050F AB Cc x c r 1r 2 r 3 F M 3-10(b) F=40kN, d=20mm 解：中心c 位置 380/=c x 等效后：kNF M 936103802003.)/(=⨯-=-由F 引起的切应力MPa d kN A F 442403243.)/()/(==='πτ由M 引起的剪切力满足321r F r F r F B A c ///==Mr F r F r F B A C =++321解得kNF C 839.=C 铆钉切应力最大MPa d kN A F C 712683924.)/(./===''πτMpac 1169.=''+'=ττττγ第四章弯曲变形4-12 切应力流4-12 试画出图示各截面的弯曲中心的大致位置，并画出切应力流的流向，设截面上剪力F Q 的方向竖直向下。
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σtmax ≤ [σt ] ， σcmax ≤ [σc ]。
2、等截面梁的切应力强度条件为:
max
* FS maxS z max [ ] I zb
例： 如图一简支木梁。已知：[σt] = [σc] = 10 Mpa， [τ] = 2 Mpa。梁截面为矩形，b = 80 mm，求高度。
∴ 胶层不脱开。
2°校核梁的正应力强度 3°校核梁的切应力强度
二、提高梁的承载能力的措施 1、选择合理截面形式
（兼顾材料性能）
M max [ ] Wz
2、采用强度较高的材料
一般高强度材料的[σ]和[τ]较高。
A
F
B x l /2 （ a） l /2
3、采用变截面梁
最合理的变截面梁是等强度梁。
F 9.17 kN
0.75F
F 18.61kN F 13.03kN F 117.87 kN
（b） 若截面倒置， F的容许 值增大还是减小？
[F]=4.34kN
[F]=9.17kN
例: 一矩形截面悬臂梁，由三块木胶合而成，q = 3 KN /m， 木板的[σ] =10 Mpa，[τ] = 1MPa，胶层的[τ]胶 = 0.4 MPa，试 校核胶层是否有脱开的危险，并校核梁的正应力强度和切应 q 力强度。
F/2
A
F
C
2m 2m
F/2
B 0.5m
20 10
60
10
20
0.5m
0.25Fຫໍສະໝຸດ （a）0.25F120
y2=95
Mz
+
20 120
z
y1=45
M y t C C 1 t Iz M C y2 c C c Iz M A y2 t A t Iz M y c A A 1` c Iz
max
M max 6FP l hA Wz
max
FS max S z max 3FP I zb 2A
*
§5 -4 梁的强度计算（容许应力法）
一、梁的强度计算
危险点：正应力最大点、切应力最大点
最大弯矩截面的上、下底处各点为正应力危险点。
最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。
切应力 最大
正应力 最大
1、等截面梁的正应力强度条件为： M max max [ ] （控制条件） Wz
注：①弯曲容许正应力[σ]弯略大于轴向容许正应力[σ]轴，
一般可取[σ]弯= [σ]轴。且[σt ] = [σc ] 。 ②当[σt ] ≠ [σc ]时，需分别计算σtmax和σcmax，使
采用变截面梁，可节省材料及减少自重。
等强度梁
F
A x l /2 （ a） A x （ b） A B bmin B C l /2
设h为常量 AC段：
B
h
σmax = M(x) / Wz(x) = [σ]
M(x) = Fx/ 2 Wz(x) = b(x)h2 / 6 3Fx b( x ) [ ]h2
10kN/m
h
z
2m
b
思路：由正应力强度条件确定截面高度，
再校核切应力强度。
* M max FS maxS z max [ ] max [ ] Wz I zb
max
例: 一受载外伸梁及截面形状如图。若材料为铸铁，[σt] = 35 Mpa，[σc] = 150 Mpa。试求F的容许值。
可通过调整支座和改变结构来完成。
中国古代木结构建筑中，在上梁与柱子(图a)的连接 处，往往采用一种独具风格的斗拱结构(示意如图b)。试 分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。
思考：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的
高:宽=？才能最有效利用材料？ 以 二 分 为 厚 。 ” 随 其 广 分 为 三 分 ，
讨论:
FS S 1. I zb
2. 3.
* z
流 max一定发生在中性轴上吗？
讨论:
4.实心截面梁弯曲正应力与弯曲切应力的量级比较
一般受力情况下， 对于细长梁，若l>>d， 或l>>h，则梁内的弯 曲正应力将是弯曲切 应力的十几倍以致几 十倍。这时弯曲正应 力对梁的变形和破坏 的影响将是主要的， 弯曲切应力的影响则 是次要的。
李 诫 《 营 b 造 法 意为矩形梁木的高:宽=3:2。 式 》 试用本节理论证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上 述尺寸比例接近最佳比值。
h
d
“ 凡 梁 之 大 小 ， 各
5cm
5cm 5cm
z
解：1°校核胶层强度
胶
1.5m
10cm
3 6 FS max s * 3 10 1 . 5 ( 10 5 5 ) 10 z 1 3 8 2 I zb 10 15 10 10 10 12
0.4 106 N / m 2 0.4 MPa [ ]胶
即截面的宽度b (x) 与 x 成正比。
b(x)
（c）
二、提高梁的承载能力的措施 1、选择合理截面形式
（兼顾材料性能）
M max [ ] Wz
2、采用强度较高的材料
一般高强度材料的[σ]和[τ]较高。
3、采用变截面梁
采用变截面梁，可节省材料及减少自重。 最合理的变截面梁是等强度梁.
4、改善梁的受力状况
2、等截面梁的切应力强度条件为:
max
* FS maxS z max [ ] I zb
例： 如图一简支木梁。已知：[σt] = [σc] = 10 Mpa， [τ] = 2 Mpa。梁截面为矩形，b = 80 mm，求高度。
∴ 胶层不脱开。
2°校核梁的正应力强度 3°校核梁的切应力强度
二、提高梁的承载能力的措施 1、选择合理截面形式
（兼顾材料性能）
M max [ ] Wz
2、采用强度较高的材料
一般高强度材料的[σ]和[τ]较高。
A
F
B x l /2 （ a） l /2
3、采用变截面梁
最合理的变截面梁是等强度梁。
F 9.17 kN
0.75F
F 18.61kN F 13.03kN F 117.87 kN
（b） 若截面倒置， F的容许 值增大还是减小？
[F]=4.34kN
[F]=9.17kN
例: 一矩形截面悬臂梁，由三块木胶合而成，q = 3 KN /m， 木板的[σ] =10 Mpa，[τ] = 1MPa，胶层的[τ]胶 = 0.4 MPa，试 校核胶层是否有脱开的危险，并校核梁的正应力强度和切应 q 力强度。
F/2
A
F
C
2m 2m
F/2
B 0.5m
20 10
60
10
20
0.5m
0.25Fຫໍສະໝຸດ （a）0.25F120
y2=95
Mz
+
20 120
z
y1=45
M y t C C 1 t Iz M C y2 c C c Iz M A y2 t A t Iz M y c A A 1` c Iz
max
M max 6FP l hA Wz
max
FS max S z max 3FP I zb 2A
*
§5 -4 梁的强度计算（容许应力法）
一、梁的强度计算
危险点：正应力最大点、切应力最大点
最大弯矩截面的上、下底处各点为正应力危险点。
最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。
切应力 最大
正应力 最大
1、等截面梁的正应力强度条件为： M max max [ ] （控制条件） Wz
注：①弯曲容许正应力[σ]弯略大于轴向容许正应力[σ]轴，
一般可取[σ]弯= [σ]轴。且[σt ] = [σc ] 。 ②当[σt ] ≠ [σc ]时，需分别计算σtmax和σcmax，使
采用变截面梁，可节省材料及减少自重。
等强度梁
F
A x l /2 （ a） A x （ b） A B bmin B C l /2
设h为常量 AC段：
B
h
σmax = M(x) / Wz(x) = [σ]
M(x) = Fx/ 2 Wz(x) = b(x)h2 / 6 3Fx b( x ) [ ]h2
10kN/m
h
z
2m
b
思路：由正应力强度条件确定截面高度，
再校核切应力强度。
* M max FS maxS z max [ ] max [ ] Wz I zb
max
例: 一受载外伸梁及截面形状如图。若材料为铸铁，[σt] = 35 Mpa，[σc] = 150 Mpa。试求F的容许值。
可通过调整支座和改变结构来完成。
中国古代木结构建筑中，在上梁与柱子(图a)的连接 处，往往采用一种独具风格的斗拱结构(示意如图b)。试 分析一下这种在世界上特有的结构方式有什么优点。
思考：从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的
高:宽=？才能最有效利用材料？ 以 二 分 为 厚 。 ” 随 其 广 分 为 三 分 ，
讨论:
FS S 1. I zb
2. 3.
* z
流 max一定发生在中性轴上吗？
讨论:
4.实心截面梁弯曲正应力与弯曲切应力的量级比较
一般受力情况下， 对于细长梁，若l>>d， 或l>>h，则梁内的弯 曲正应力将是弯曲切 应力的十几倍以致几 十倍。这时弯曲正应 力对梁的变形和破坏 的影响将是主要的， 弯曲切应力的影响则 是次要的。
李 诫 《 营 b 造 法 意为矩形梁木的高:宽=3:2。 式 》 试用本节理论证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上 述尺寸比例接近最佳比值。
h
d
“ 凡 梁 之 大 小 ， 各
5cm
5cm 5cm
z
解：1°校核胶层强度
胶
1.5m
10cm
3 6 FS max s * 3 10 1 . 5 ( 10 5 5 ) 10 z 1 3 8 2 I zb 10 15 10 10 10 12
0.4 106 N / m 2 0.4 MPa [ ]胶
即截面的宽度b (x) 与 x 成正比。
b(x)
（c）
二、提高梁的承载能力的措施 1、选择合理截面形式
（兼顾材料性能）
M max [ ] Wz
2、采用强度较高的材料
一般高强度材料的[σ]和[τ]较高。
3、采用变截面梁
采用变截面梁，可节省材料及减少自重。 最合理的变截面梁是等强度梁.
4、改善梁的受力状况