矩阵及其运算

k 1
k 1
A* A D (di j ) (| A | ji ) | A | ( ji ) | A | E 。
六、共轭矩阵
A ai j 为复矩阵，aij 为aij 的共轭复数，则称 A aij A为
显然，
的共轭矩阵。
① A B A B ，② A A ，③AB AB 。
§１ 矩阵
一、矩阵的定义
称 m 行、 n 列的数表
第二章 矩阵及其运算
a11 a12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa1n
a21 a22
a2n
am1 am2
a mn
为 m n 矩阵，或简称为矩阵；表示为
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
或简记为 A (ai j )mn , 或 A (ai j ), 或 Amn ；其中 ai j 表示 A 中第 i 行，第 j 列的元素。
a11 a12 注：第一章中行列式 D a21 a21
a1n a2n 为按行列式的运算规则所得到的一个数，而
am1 am2
amn
m n 矩阵是m n 个数的整体，不对这些数作运算。
例如，公司的统计报表，学生成绩登记表等，都可写出相应的矩阵。
设 A (ai j )mn , B (bi j )mn , 都是m n 矩阵，当
x3 b31t1 b32t2
变量 x1, x2 , x3 到变量 y1, y2 的线性变换为
y1 y2
a11x1 a12 x2 a13 x3 a21x1 a22 x2 a23 x3
那么，变量t1, t2 到变量y1, y2 的线性变换应为
y1 y2
a11 a21
mn
线性变换由 个 元函m数组n成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。
上式的系数可构成一个
矩阵
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2 n
amn
称之为线性变换的系数矩阵。 线性变换和系数矩阵是一一对应的。
齐次线性方程组 与系数矩阵 也是一一对应的。 非齐次线性方程组 与增广矩阵 也是一一对应的。
a12 a22
am 2
a1n
a2 n
amn
① () A () A ，② ( ) A A A ，③( A B) A B
三、乘法
乘法运算比较复杂，首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为
x1 x2
b11t1 b12t2 b21t1 b22t2
例：设
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
记
A11 A21
A*
A12
A22
An1
An
2
，
AA1n An2
Ann
其中 Ai j 是 ai j 的代数余子式， A* 称为 的伴随阵。
证明： AA* A* A | A | E 。
证：设 AA* C (ci j )
,
bn
a2b1
a2b2
a1bn
a2bn
aAm m n
E
amb1 m
amb2
aEmAbn A E
3．若 为
矩阵， 是 阶单位阵，则
；若
1． 线性变换的矩阵表示：
n
AE A
是 阶单位阵，则
。
y1 a11x1 a12 x2
设
y2
a21 x1
a22 x2
ym am1x1 am2 x2
ai j bi j
i 1, 2, , m ; j 1, 2, , n
AB
AB
则称矩阵 与 相等，记成
。
二、特殊形式
n 阶方阵： n n 矩阵 行矩阵：1 n 矩阵（以后又可叫做行向量），记为
A a1, a2 , , an
列矩阵： m 1 矩阵（以后又可叫做列向量），记为
b1
B
b2
① ( AB)C A(BC ) ，②( AB) ( A)B A(B) ，
③ A(B C ) AB AC ，(B C) A BA CA
几个运算结果：
1． a1, a2 ,
b1
,
an
b2
a1b1
a2b2
bn
anbn
a1
a1b1 a1b2
2．
a2
b1, b2 ,
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
bm O
零矩阵：所有元素为 0 的矩阵，记为
对角阵：对角线元素为1, 2 , , n ，其余元素为 0 的方阵，记为
1
2
diag
1 ,
2
,
n
单位阵：对角线元素为１，其余元素为 0 的方阵，记为
1
E
1
1
, n
三、线性变换的系数矩阵
线性变换的定义：设变量 y1, y2 , , ym 能用变量x1, x2 , , xn 线性表示，即
这 里 ai j (i 1, 2,
y1 a11x1 a12 x2
y2
a21x1
a22 x2
ym am1x1 am2 x2
a1n xn a2n xn
amn xn
, m ; j 1, 2, , n) 为 常 数 ． 这 种 从 变 量 x1, x2 ,
, xn 到 变 量
y1, y2 , , ym 的变换称为线性变换，
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
a11 a12
B
a21
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn ， B (bi j )mn 都是m n 矩阵，则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
显然，
AB B A
①
，②( A B) C A (B C)
a1n b1n
a2 n
b2n
amn bmn
二、数乘
设 是数， A (ai j )mn 是m n 矩阵，则数乘定义为
显然
a11
A
a21
am1
a12 a22
按以上方式定义的乘法具有实际意义。由此推广得到一般定义
a13 a23
b11 b21 b31
b12
b22
b32
设 A (ai )j ms ， B (bi j )sn ，则乘法定义为 AB C
其中
C (ci j )mn
ci j ai1b1 j ai2b2 j
s
aisbs j aikbk j ， k 1
cos
sin
k
sin k
cos
k
cos cos k sin cos k
sin sin k cos sin k
cos sin k sin cos k
sin
sin
k
cos
cos
k
cos(k 1) sin(k 1)
sin(k
1)
cos(k
1)
从而结论成立。
cos 由于 n sin
定义矩阵
的乘积为
a11
a21
a12 a22
a13 a23
和
b11 b21 b31
b12
b22
b32
a11b11 a12b21 a13b31
a21b11
a22b21
a23b31
a11b12 a21b12
a12b22 a22b22
a13b32 a23b32
a11 a21
A11 A21
A12
A22
矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。
矩阵分块法的运算性质： 1． 加法：
A11
设
A
As1
A1r
B11
，B
Asr
Bs1
显然，
① ( AT )T A ，② ( A B)T AT BT ，③( A)T AT ，④( AB)T BT AT
A
对称矩阵的定义：若矩阵
满足 AT
A
（即ai j
aji
A
），则称
是对称阵
例：设A 是m n 矩阵，证明AT A 是n 阶对称阵， AATm是 阶对称阵。 例：设 x (x1, x2 , , xn )T ，且 xT x 1 ，E 为n 阶单位阵， H E 2 xxT ， 证明：① H 是对称阵，② H 2 E 。 证： H T (E 2 xxT )T E T 2( xxT )T E 2 xxT H ，故H 是对称阵。
sin
cos
是直角坐标旋转
cos
角度变换的系数矩阵，故而
sin
转了 角度变换的系数矩阵。
sin
n
cos
是旋
四、转置
a11 a12
设
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a11 a21
a2n
，记
AT
a12
a22
amn
a1n an2
则称
AT
A
是
的转置矩阵。
am1
am 2
amn
b11t1 b12t2 b11t1 b12t2
a12 a22
b21t1 b22t2 b21t1 b22t2
a13 b31t1 b32t2 a23 b31t1 b32t2
即
y1 y2
a11b11 a12b21 a13b31 t1 a11b12 a12b22 a13b32 t2 a21b11 a22b21 a23b31 t1 a21b12 a22b22 a23b32 t2
2． 即使 Amn ， Bnm ，则Amn Bnm 是m 阶方阵，而Bnm Amn 是n 阶方阵；
3． 如 果 A ， B
都 是n
阶
方
阵
，
例
如
2
A
1
4
2
，
B
2
3
4
6
，则
16
AB
8
32 16
，而BA
0 0
0
0
；
AB BA
综上所述，一般
（即矩阵乘法不满足交换率）。
但是下列性质显然成立：
cos sin
sin n cos n
cos
sin
n
sin n
cos
n
证：用归纳法：n 1 时，显然成立，假定n k 时成立，则n k 1 时
cos sin k1 cos sin cos sin k
sin
cos
sin
cos
sin
cos
cos sin
sin cos k
ci j ai1 Aj1 ai2 Aj2
n
ain Ajn aik Ajk | A | i j k 1
AA* C (ci j ) (| A | i j ) | A | (i j ) | A | E
设 A* A D (di j )
di j A1ia1 j A2ia2 j
n
n
Anianj Akiakj akj Aki | A | ji
a1n xn b1 a2n xn b2 ，
amn xn bm
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
b1
a2n
，x
x2
，
b
b2
amn
xn
bm
则
Ax b
矩阵的幂：
A2 AA ， A3 AA2 ， ， An AAn1 。
例：证明
§4 矩阵分块法
a11 a12 a13 a14
例
设
A
a21
a22
a23
a24
a31 a32 a33 a34
可按以下方式分块，每块均为小矩阵：
A11
a11 a21
a12 a22
，
A12
a13
a23
a14 a24
， A21
a31
a32 ， A22 a33
a34
则
A
i 1, 2, , m
j
1, 2,
,
n
注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个i 矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个 矩i 阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第 行，第j 列元素为前一个矩阵的第
行元素与后一个矩阵的第j 行元素对应相乘再相加。
一个必须注意的问题：
1． 若 Ams ， Bsn ，则 Ams Bsn 成立，当m n 时，Bsn Ams 不成立；
a1n xn a2n xn ，
amn xn
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
x1
y1
a2n
，x
x2
，
y
y2
，
amn
xn
ym
则
y Ax
1． 线性方程组的矩阵表示：
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 am1x1 am2 x2
H 2 (E 2 xxT )2 E 4 xxT 4 xxT xxT E 4 xxT 4 x( xT x) xT E 4xxT 4xxT E 。
五、方阵的行列式
A 为 n 阶方阵，其元素构成的n 阶行列式称为方阵的行列式，记为| A | 或detA 。
显然，
①| AT || A | ，②| A | n | A | ，③| AB || A || B | 。