高一数学变化率与导数PPT教学课件

h
时间内的平均速度粗略地
描述其运动状态,那么
o
t
分析一下: h(t)=-4.9t2+6.5t+10
• 当t从0增加到0.5时,平均速度为
vh(0.5)h(0)4.05(m /s) 0.50
• 当t从1增加到2时,平均速度为
vh(2)h(1)8.2(m /s) 21来自hot
思考? h(t)=-4.9t2+6.5t+10
当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
h(t2 ) h(t1) t2 t1
2.平均变化率的定义
上述问题中的变化率可用式子
f(x2) f (x1)表示 x2 x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ; Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
x1
x2
例、 设函数f(x)=2x, 当ｘ从2变到1.9时, 求△x和 △ y.
解 △x＝1.9－２＝0.1
△y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2
例 位 移 s ( t ) ( 单 位 : m ) 与 时 间 t ( 单 位 :s ) 的 关 系 为 :s (t) 3 t 1 ,求 t从 2 到 4 的 平 均 速 度 v .
解vss(4)s(2) t 42
(341 )(321 )3 2
例、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
解y xf( x0xx )f( x0)
(x 0+ △ △ x x )2 x 0 2=2 x 0 △ x
练习
1、 过y=x3上两点P（1，1)、Q(1+Δx,1+Δy) 作割线，当Δx=2时, 求
1.1.1 变化率问题
1.变化率
一个变量相对于另一个变量的变化
而变化的快慢程度叫做变化率．
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,
可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球 的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述
这种现象呢?
问题1 气球膨胀率
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm) 之间的函数关系是
则平均变化率为
y =f(x2)-f(x1) x x2 -x1
=f(x1+x)-f(x1) x
3.平均变化率的几何意义
思考?
化率
观察函数f(x)的图象，平均变
yf(x2)f(x1)
x
x2x1
表示什么?
y
f(x2)
Y=f(x) B
割线AB 的斜率
f(x1) O
f(x2)-f(x1)=△y
A
x2-x1=△xx
6
思考? r(V ) 3 3V
4
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r(V2) r(V1) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存 在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如果用运动员在某段
解 vhh (2t) h (2 )
t
t
t [ － 4 . 9 ( ２ + t ) 2 + 6 . 5 ( 2 + ) 1 0 ] － [ － 4 . 9 2 2 + 6 . 5 2 + 1 0 ]
=
t
=－4.9△t－13.1
V(r)= 4πr3 3
如果将半径r表示为体积V的函数, 那么
r(V) = 3 3V 4π
分析一下:
r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r ( 1 ) r (0 ) 0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm /L)
10
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2 ) r ( 1 ) 0 .1 6 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(2 2 ) 1 r(1)0.16(dm /L 0)显.62然>0.1
(1) 点Q的坐标; (2) Δy的值; (3) 割线PQ的斜率.
解 (1) Q(3, 27)，(2) y26 (3)kPQ13
练习
2、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒) 存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
当t从2 变到2+△t 时,求运动的平均速度.