高考数学母题题源系列专题10分段函数的应用文(含解析)

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高考数学函数专题训练《分段函数》含答案解析

高考数学函数专题训练分段函数一、选择题1.已知函数21,1()11,1x x f x x x x -⎧<⎪=+⎨⎪-⎩…，若()f a 3=，则实数a 的值为( )A ．2B ．2-C ．2±D ．2或3-【答案】C【解析】Q 函数21,1()11,1x x f x x x x -⎧<⎪=+⎨⎪-⎩…，()3f a =，∴当1a <时，1()31a f a a -==+，解得2a =-；当1a …时，2()13f a a =-=，解得2a =或2a =-（舍)．综上，实数a 的值为2±．故选C ． 2. 若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( )A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】由于函数()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数，则函数()34y a x a =--在(),1-∞上是增函数，所以，30a ->，即3a <；且有()23141a a -⨯-≤，即351a -≤，得25a ≥，因此，实数a 的取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选A.3. 若函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(),4-∞- B ．(),2-∞-C ．()2,2-D ．(),0-∞【答案】B【解析】依题意得：函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1x m m ∈+上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．4. 已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,0)(1,)-⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(1,0)(0,1)-UD ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数()f x 为奇函数，则不等式()()f m f m >-即()()f m f m >-，即()0f m >，由此可得可得实数m 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞.故选A.5. 已知函数1,0,()ln(),0,kx x f x x x -≥⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围为（） A ．(,0)-∞ B ．1(0,)2C ．(0,)+∞D ．(0,1)【答案】D【解析】要使函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，只需函数()()ln 0y x x =--<的图象关于原点对称的函数()ln 0y x x =>的图象与直线()10y kx x =->的交点个数为2即可.如图,可作出函数()()ln 0y x x =--<关于原点对称的函数()ln 0y x x =>的图象，当直线1y kx =-与ln y x =的图象相切时,设切点为(),ln m m ,又ln y x =的导数为1'y x =，则1ln 1km mk m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得11m k =⎧⎨=⎩，可得切线的斜率为1，结合图象可知()0,1k ∈时,函数ln y x =的图象与直线1y kx =-有2个交点,即函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对,故选D.6. 已知函数f(x)=2-(0),0(0),()(0)x ax b xxg x x⎧+>⎪=⎨⎪<⎩在区间24,-4a b ba⎛⎫++⎪⎝⎭上满足f(-x)+f(x)=0,则g(-2)的值为()A．-22B．22C．-2D．2【答案】B【解析】由题意知f(x)是区间24,-4a b ba⎛⎫++⎪⎝⎭上的奇函数,∴a+4a-b2+4b=0,由于()224244b b b-+=--+≤，由对勾函数的性质，当0a>时，44aa+≥，故a<0,∴(b-2)2+2---aa⎛⎪⎝⎭=0,解得b=2,a=-2.∴g(-2)=-f(2)=-2-2a+b=-2+22+2=22.故选B.7. 已知函数()22log042708433x xf xx x x⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，若a b c d,,,互不相同，且满足，()()()()f a f b f c f d===则abcd的取值范围是（）A．()3233，B．()3234，C．()3235，D．()3236，【答案】C【解析】由题意，可画出函数()f x图象如下：由题意，,,,a b c d Q 互不相同，∴可不妨设a b c d ＜＜＜．∵()()f a f b =，由图象，可知22log a log b -=．即：220log a log b +=．∴20log ab =，∴1ab =．又∵()()()()f a f b f c f d ===，∴依据图象，它们的函数值只能在0到2之间， ∴4578c d ＜＜，＜＜．根据二次函数的对称性，可知：2612c d +=⨯=．∴()()2·121245abcd cd c c c c c ，＜＜==-=-+则可以将abcd 看成一个关于c 的二次函数．由二次函数的知识，可知：212c c -+在45c ＜＜上的值域为()3235，． abcd ∴的取值范围即为()3235，，故选C ． 8. 已知函数（，且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由函数()f x 的解析式可知函数在区间上单调递增，当时，函数单调递减，由复合函数的单调性法则可知：，且函数在处满足：，解得：，故，方程恰有两个不相等的实数解，则函数与函数的图像有且仅有两个不同的交点，绘制函数的图像如图中虚线所示，令可得：，由可知，，则直线与函数的图像在区间上存在唯一的交点，原问题转化为函数与二次函数在区间上存在唯一的交点，很明显当，即时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为，亦即，由函数的解析式可得：，故：，则，切点坐标为，从而：，即.据此可得：的取值范围是.故选D .9. 已知函数11ln ,01()1,12x x x f x x -+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 A ．)0,(-∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)【答案】D【解析】2()(1)()0f x a f x a -++=可变形为[()][()1]0f x a f x --=，即()a x f =或()1=x f ，由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当(]0,1x ∈时，函数()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，画出函数()f x 的大致图象，如图所示，当且仅当1x =时，()1=x f ，因为方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根，所以()a x f =恰有两个不同的实数根，即(),y f x y a ==的图象有两个交点，由图可知10<<a 时，(),y f x y a ==的图象有两个交点，所以实数a 的取值范围为(0,1)，故选D ．10. 已知函数()2,02()211,0x x f x x f x x ⎧≤≠-⎪=+⎨⎪-+>⎩且若关于x 的方程()f x kx =都有4个不同的根，则k 的取值范围是( ) A ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．75,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．75,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】()f x kx =都有4个不同的根，等价于(),,y f x y kx ==的图象有四个交点，因为()2,02()211,0x xf x x f x x ⎧≤≠-⎪=+⎨⎪-+>⎩且，所以，若01x <≤，则110x -<-≤，则2()(1)111f x f x x =-+=++；若12x <≤，则2Bq mRυυ=，则2()(1)12f x f x x=-+=+；若23x <≤，则112x <-≤，则2()(1)131f x f x x =-+=+-；若34x <≤，则213x <-≤，则2()(1)142f x f x x =-+=+-；若45x <≤，则314x <-≤，则2()(1)153f x f x x =-+=+-； ...，作出()f x 的图象如图，求得()()4,7,2,5A B ，则75,42OAOB kk ==，由图可知，7542k ≤<时，(),,y f x y kx ==的图象有四个交点，此时，关于x 的方程()f x kx =有4个不同的根，所以，k 的取值范围是75,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C .11. 已知函数1,03 ()lg(6),36gx a xf xx a x⎧-<≤⎪=⎨--<<⎪⎩，（其中a R∈），若()f x的四个零点从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则4121iix x x=+∑的值是（）A．16 B．13 C．12 D．10【答案】B【解析】由题意可知，()f x有四个零点等价于函数lg,03()lg(6),36x xg xx x⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩图象与函数y a=有四个交点，如图所示，由图形可知，1lg x a-=，2lg x a=，3lg(6)x a-=，4lg(6)x a--=，∴110ax-=，210ax=，3610ax-=，4610ax--=，即110ax-=，210ax=，3610ax=-，4610ax-=-，所以121x x=，41101061061012a a a aiix--==++-+-=∑，故412113iix x x=+=∑，故选B．12. 已知函数ln,1()1(2)(),1x xf xx x a xe≥⎧⎪=⎨+-<⎪⎩（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点(),1A e处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，求实数a 的取值范围是（） A．33a --<<-+B．233a -+<<C．3a <--233a -+<< D．3a -+<【答案】C【解析】由()ln f x x =，1x ≥，得()1f x x '=，()1'f e e= ()f x ∴在点(),1A e 处的切线方程为1y x e=，① 函数()()()12y f x x x a e==+-，1x <② ∴由①②联立方程组可得：11(2)()y x ey x x a e ⎧=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，其中1x <,化简得：2(1)20x a x a +--=，③Q 切线与该函数的图象在(),1A e 点有一个交点，∴只需要满足③在当1x <时有两个不相同的交点，很明显2x =-不是函数的零点，整理方程可得：()222322x x a x x x +==++-++，问题转化为函数y a =与平移之后的对勾函数()2232y x x =++-+有两个不同的交点，绘制函数()2232y x x =++-+的图像如图所示，结合均值不等式的结论可知，当2x >-时，()2232232y x x =++-≥+，当2x <-时，()2232232y x x =++-≤-+，且当1x =时，()222323y x x =++-=+，结合函数图像可知，实数a 的取值范围是：322a <--或23223a -+<<. 故选C . 二、填空题13．函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为____________．【答案】(,2)-∞【解析】当1x <时，()2xf x =，其值域为()0,2，当1x ≥时，()2log f x x =-，其值域为(],0-∞所以函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为(]()(),00,2,2-∞⋃=-∞14. 函数223,0,(),0,x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是________．【答案】[)1-+∞，【解析】设()()f a f b t ==，作出函数()f x 的图象，由图象可得0t ≥时，由()2f a a t ==，解得a t =，由()23f bb t =--=，解得32tb --=，则23131(1)12222t a b t t t t --+=+=-+-=---，因为0t ≥，则0t ≥，设m a b =+，则21(1)112m a b t =+=---≤-，此时()()23231f a b f m m +==--≥-=-，所以()f a b +的取值范围是[1,)-+∞.15. 设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】当(]0,2x ∈时，()2()11,f x x =--即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f xg x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点；当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为12211k k k +=+，得24k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 16. 已知函数()()ln ,02,2x x e f x f e x e x e⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，函数()()F x f x ax =-有4个零点，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设2e x e <<，则02e x e <-<，故()()ln 2f x e x =-，即()()ln ,0ln 2,2x x e f x e x e x e ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，绘制函数图像如图所示，函数()()F x f x ax =-有4个零点则函数()f x 与函数y ax =有4个交点，如图所示，考查临界情况，当直线与函数相切时，设切点坐标为()00,x ax ，由题意可得：0001ln a x x ax ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：01x e a e =⎧⎪⎨=⎪⎩. 则直线与函数相切时斜率为1e，数形结合可知实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

分段函数的几种常见题型和解法

函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩5．作分段函数的图像yx例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）ACD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.9．解分段函数的方程例10．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（）.(1,1)A -.(1,)B -+∞.(,2)(0,)C -∞-⋃+∞.(,1)(1,)D -∞-⋃+∞例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值围是( )A ．(－∞，0]B.(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．05．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,166．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．7．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．函数的概念和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==,当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）y xACD解析：在定义围讨论，当0<x<1时，11y x x=+-；当x>1时1y =，故选D 6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值围是（）x.(1,1)A -.(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述,2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则xy1-11a 的取值围是( )A ．(－∞，0]B.(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.答案：D2．（2013，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 3．（2013，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)4．（2012，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.答案：B5．（2011，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15(1)，所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.答案：D6．（2012，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－12)，且f (－1)＝f (1)，故f (12)＝f (－12)，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2. ① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a . ②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－107．（2011，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34. 答案：－34。

分段函数的几种常见题型及解法--学生版

分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.2．求分段函数的函数值3．例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）22(10).()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）y xACD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃必修一测试题一. 选择题（每题4分，共64分）：1. 若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =⋃的集合B 的个数是（） A. 1 B. 2 C. 7 D. 82.方程062=+-px x 的解集为M,方程062=-+q x x 的解集为N,且M ∩N={2},那么p+q 等于（） A.21 B.8 C.6 D.73. 下列四个函数中,与y=x 表示同一函数的是（）A.()2x y = B.y=33x C.y=2x D.y=x x 24.已知A={x|y=x,x ∈R},B={y|2x y =,x ∈R},则A ∩B 等于（） A.{x|x ∈R}B.{y|y ≥0}C.{(0,0),(1,1)}D.∅5.32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)1(-f ，)2(-f ，)3(f 的大小关系为（） A. )1()2()3(->->f f f B. )1()2()3(-<-<f f fC. )1()3()2(-<<-f f fD. )2()3()1(-<<-f f f6. 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(2x x x x f x ，则)]41([f f 的值是（） A. 91 B. 9 C. 9- D. 91-7. 已知A ba ==53，且211=+b a ，则A 的值是（）A. 15B. 15C. 15±D. 2258、f(x)=(m-1)x 2+2mx+3为偶函数，则f(x)在(2，5)上是( ) A.增函数 B.减函数 C.有增有减 D.增减性不确定9.函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（） A . ),2[+∞ B .[2,4] C .(]2,∞- D. [0,2]10. 设10<<a ，在同一直角坐标系中，函数xa y -=与)(log x y a -=的图象是（）11.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)= （）A. 0B.1C. -1D.不存在 12.已知f(x)=3X －x1则f(x)是（） A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数也不是偶函数二. 填空题（每题5分：共20分）13．函数()23log 32-=x y 的定义域为______________14.24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则__________；若00()8,f x x ==则_________15. 函数xa y =（0>a ，且1≠a ）在]2,1[上的最大值比最小值大2a，则a 的值是__________16、函数xy 3log =（x>0），则其反函数是三. 解答题（21、22各10分：23、24各12分；25、26各14分） 17.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1+x1，求：f(x)，g(x)解析式（10分）18. 函数x x y 22+= x ∈[2, 3].求：函数的最大值和最小值（10分）19. 设集合}023|{2=+-=x x x A ，}02|{2=+-=mx x x B ，若A B ⊆，求:实数m 的值组成的集合（12分）20. 已知全集U=}60|{≤<∈x N x ，集合A=｛}51|<<∈x N x ，集合B ＝{}62|<<∈x N x求（1）B A ⋂ (2) (A C U )B ⋃ (2) )()(B C A C U U ⋂ (12分)21.设244)(+=x xx f ，若10<<a ，试求：（1）)1()(a f a f -+的值；（2）)40114010()40113()40112()40111(f f f f ++++ 的值； (13分)22. 已知1222)(+-+⋅=x x a a x f )(R x ∈，若)(x f 满足)()(x f x f -=-，（1）求实数a 的值；（2）判断函数的单调性，并加以证明。

高中常见分段函数题型归纳

分段函数常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．1．求分段函数的定义域和值域例1.求函数的定义域、值域.解析：作图, 利用“数形结合”易知的定义域为, 值域为（-1，2]U ｛3｝.例2.求函数的值域.解析：因为当x≥0时，x 2+1≥1；当x<0时，-x 2<0.所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).2．求分段函数的函数值例1.已知函数求. 解析：因为, 所以. 例2.已知函数，求f{f[f(a)]} (a<0)的值.分析: 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a ，又0<2a<1,,，所以，.注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．练1.设则__________练2.设则__________3．求分段函数的最值1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩()f x [1,)-+∞2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩12[()]f f 311222()|1|2f =--=-312223214[()]()1()13f f f =-==+-,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩1(())2g g =1232(2),()(1)(2).log x x f x x e x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩[(2)]f f =例1.求函数的最大值.解析：当时, , 当时, , 当时,, 综上有.例2.设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1,x ∈R,求f(x)的最小值. 分析：因为原函数可化为所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.解：当x<a 时，函数f(x)=x 2-x+a+1,所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a 2+1.若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；当x≥a 时，函数；若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且.若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当时，函数f(x)的最小值是；当时，函数f(x)的最小值是a 2+1；当时，函数f(x)的最小值是.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的. 4．求分段函数的解析式例1.在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩0x ≤max ()(0)3f x f ==01x <≤max ()(1)4f x f ==1x >5154x -+<-+=max ()4f x =()y f x =()yg x =y x =()y g x =x y的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（）解析：当时,, 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式为, 所以, 当时,, 将其图象沿轴向右平移2个单位, 再沿轴向下平移1个单位, 得解析式, 所以, 综上可得, 故选A.例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：(I)写出图l 表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t)； (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?解析：(I)由图l 可得市场售价与时间的关系为由图2可得种植成本与时间的函数关系为（0≤t≤300）。

“分段函数”的应用案例

“分段函数”的应用案例在平常数学教学中展示出来的书本世界抽象性太强，与真实的世界有着不少的差距，因此许多不爱数学的学生就常常会把数学与生活剥离开来。

事实上，数学与生活是密不可分的。

以下是我们生活中常见的几个例子。

案例一：目前杭州市出租车的运价标准为：起步价是前4公里10元，基本单价每公里2元，在运送途中因红灯或乘客原因停车时，累计5分钟以1公里计。

太原市出租车的运价标准为：日间起程价前4公里7元，基本单价每公里1元；夜间起程价前4公里7.8元，基本单价1.2元／公里；停车等待计费标准为累计5分钟以1公里计。

案例二：近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，浙江省2004年8月1日抄见电量开始执行新的居民生活用电价格。

一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用电量低于50千瓦时（含50千瓦时）部分不调整；月用电量在50千瓦时—200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.03元；月用电量超过200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.10元。

执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进行计算。

居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元。

双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。

对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。

案例三：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分全月应纳税款按下述标准分段累计：不超过500元的部分税率为5%；超过500元至2000元的部分税率为10%；超过2000元至5000元的部分税率为15%；超过5000元至20000元的部分税率为20%；超过20000元至40000元的部分税率为25%；超过40000元至60000元的部分税率为30%；超过60000元至80000元的部分税率为35%；超过80000元至100000元的部分税率为40%；超过100000元的部分税率为45%。

高考数学热点问题专题练习——分段函数的性质与应用知识归纳及典型例题分析

分段函数的性质与应用一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

典型例题例1：已知函数2211()1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()04f f a =⎡⎤⎣⎦，则实数a =_____思路：从里向外一层层求值，()00212f =+= ()()()0242f f f a ∴==+ 所以4242a a a +=⇒= 答案：2a =例2：设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩，则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 思路：由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。

高考数学母题题源系列专题10 分段函数的应用文(含解

分段函数的应用【母题来源】2015湖北卷文—7【母题原题】设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（） A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x = D ．||sgn x x x =【答案】D .【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属中档能力题.【试题解析】利用排除法逐项验证求解.当0x <时，x x=-，|sgn |x x x =，sgn ||x x x =，||sgn ()(1)x x x x =-⋅-=，排除A ，B ，C ，故选D .【命题意图】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，不仅新颖别致，而且能综合考查学生信息获取能力、逻辑推理能力以及知识运用能力.【方法、技巧、规律】在具有新定义前提下，要善于准确把握、深入理解题意所给的新定义，要注意灵活地将分类讨论的思想运用在分段函数问题中.【探源、变式、扩展】对于某些以新定义为背景的试题，尤其是分段函数问题，不仅需要准确理解其含义，还要求能合理地运用分类讨论的思想对其进行分类. 【变式】定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则不等式：(1)sgn 2x x +>的解集是________．【答案】{3x x <-或1}x >.③当0x <时，此时不等式(1)sgn 2x x +>转化为12x -->解得3x <-，取交集得：3x <-. 综上所述，不等式(1)sgn 2x x +>的解集是{3x x <-或1}x >.【扩展】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C.1、【2013—2014学年广东汕头市金山中学高一10月月考数学试卷】定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设1211sgn()1sgn()122()()(),[0,1]22x x f x f x f x x -+-+=⋅+⋅∈，若121(),()2(1)2f x x f x x =+=-，则()f x 的最大值为（） A ．3 B ．1C ．12-D ．12【答案】B .2.【2015届湖南省怀化市中小学课改质量检测高三第一次模考理科数学试卷】定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x ，则下列结论中错误的是A ．||)sgn(x x x ⋅=B ．)0(||)sgn(≠=x x xx C ．)sgn()sgn()sgn(y x xy ⋅= D ．)sgn()sgn()sgn(y x y x +=+ 【答案】D .3.【2012届广东省韶关市高三下学期第二次调研考试理科数学试卷】定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，设111sgn()1sgn()122()()22x x f x f x -+-+=⋅+2()f x ⋅，[0,1]x ∈，其中1()f x =12x +, 2()f x ⋅=2(1)x -, 若1[()][0,)2f f a ∈，则实数a 的取值范围是（）A. 1(0,]4B. 11(,)42C. 11(,]42D. 3[0,]8【答案】B .4．【2015届湖北省黄冈中学等八校高三12月第一次联考文科数学试卷】已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为 A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C.5．【高考数学第三轮复习精编模拟题】定义符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩, 则不等式：xx x sgn )12(2->+的解集是. 【答案】}34333|{<<+-x x }34333|{<<+-x x . 6．【2012-2013学年四川省雅安中学高二10月月考理科数学试卷】高等数学中经常用到符号函数，符号函数的定义为⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1x x x y ，试编写算法，画出流程图，写出程序输入x 的值，输出y 的值。

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设集合A=，函数，当且时，的取值范围是。

【答案】【解析】,解得,【考点】分段函数2.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.3.设，则f（6）的值( )A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】.【考点】分段函数的函数值.4.已知函数.若，则的取值范围是 .【答案】【解析】当时，，∴；当时，，∴，综上所述的取值范围是.【考点】1、分段函数；2、一元二次不等式的解法.5.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知得，函数的最大值是，所以要使得不等式存在实数解，则，解得或.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.解不等式6.已知函数，则= .【答案】【解析】这是分段函数的函数值计算问题，计算时一定要分清楚自变量的范围．．【考点】分段函数．7.,则 .【答案】【解析】,.【考点】分段函数求值.8.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.9.已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为( )A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】画出函数的图像如图.将的值代入解析式，然后画出图像，可知符合题意 .【考点】1.分段函数；2.数形结合.10.已知函数，则满足方程的所有的的值为 .【答案】0或3【解析】当时，，解得；当时，，解得.综上.【考点】1.分段函数；2.指数、对数函数的求值11.已知函数的图像在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；（Ⅲ）若曲线上存在两点使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时在[-1，2]上的最大值为2，当时在[-1，2]上的最大值为；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）由题意先对时的函数进行求导，易得，解得；（Ⅱ）因为函数为分段函数，要求在区间上的最大值，需分别求区间和上的最大值，当时，应对函数进行求导，求函数的单调性，从而求区间上的最大值；当时，应对函数分两种情况讨论，可得结论；（Ⅲ）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，得的范围是.试题解析：（I）当时，因为函数图象在点处的切线方程为，所以切点坐标为且解得. 4分（II）由（I）得，当时，令，可得或在和上单调递减，在上单调递增，所以在上的最大值为，当时，,当时，恒成立此时在[-1，2]上的最大值为；当时在[1，2]上单调递增，且，令则，所以当时在[-1，2]上的最大值为，当时在[-1，2]上的最大值为，综上可知，当时在[-1，2]上的最大值为2，时当时在[-1，2]上的最大值为. 9分（III）根据条件可知的横坐标互为相反数，不妨设，其中，若，则，由是直角，得，即，即此方程无解；若，则由于中的中点在轴上，且，所以点不可能在轴上，即同理有，，令由于函数的值域是所以实数的取值范围是 14分【考点】1、分段函数；2、利用导数求函数的单调性及最值；3、函数与导数的综合应用.12.已知函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于复合函数的定义域为，即，所以，故函数的定义域为，故选C.【考点】复合函数的定义域13.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】当时，，此时函数单调递减，则有，，当，，此时，则函数在上单调递增，，即，故函数在上的值域为，，所以，所以，由于，，，故有或，解得.【考点】1.函数的值域；2.存在性命题14.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．[1，2]B．[0，4]C．（0，4]D．[，4]【答案】D【解析】依题意，得，即，故 .【考点】1.抽象函数的定义域；2.不等式的解法.15.某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A．608元B．574.1元C．582.6元D．456.8元【答案】C【解析】根据题意，应付款付款176元时没有折扣.付款432元时标价为432÷0.9=480（元）.故两次购物的标价为176+480=656（元）.500×0.9+（656-500）×0.85=582.6(元).【考点】分段函数.16.设函数，若是奇函数，则 .【答案】2【解析】依题意，由于是奇函数，，.【考点】分段函数，函数的奇偶性.17.已知.①若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；②若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数，求实数m的取值范围.【答案】① ;②.【解析】①根据复合函数中的对数函数和二次函数的图像和性质解题确定m的取值；②由复合函数的性质，结合二次函数的图像解题，判断区间端点与对称轴的位置关系，注意复合函数单调性的判断是本题的关键.试题解析：①设,要使得函数的值域为R，则能取遍所有的正数, 2分则有, 4分解得; 6分②函数的底数是，那么若函数f(x)在区间（－∞，1－）上是增函数,函数在区间上是减函数, 8分则有, 10分解得. 12分【考点】复合函数的性质，对数函数和二次函数的图像和性质的应用.18.已知函数则______.【答案】【解析】 , ,所以.【考点】分段函数求函数值.19.设函数则关于x的方程的根的情况，有下列说法：①存在实数k，使得方程恰有1个实数根②存在实数k，使得方程恰有2个不相等的实数根③存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实数根④存在实数k，使得方程恰有4个不相等的实数根其中正确的是（）A．①③B．①②C．②④D．③④【答案】B【解析】因为所以，当时，，，所以当时，关于x的方程的恰有一个实根，则①正确.当时，，所以当时，关于x的方程的恰有2个不相等实根，则②正确；③④错误.【考点】分段函数，方程的根的判断.20.已知函数，则满足的的取值范围是______．【答案】【解析】解不等式组得，解不等式组得，综上得的取值范围是【考点】分段函数的意义、解不等式.21.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】排除法：令，则不等式变为，又因为函数是定义在R上的偶函数，所以有，成立，故排除B；令，则不等式变为，即，，而已知函数在区间单调递增，所以不成立，排除A、D，故选C.【考点】本小题主要考查抽象函数的性质（单调性、奇偶性）等基础知识，考查分析问题与解决问题的能力.3)＝22.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log2 A．B．C．D．【答案】A.3)＝，【解析】因为，所以f(2＋log2又，所以.【考点】分段函数的应用．点评：本题考查分段函数求值及指数对数的性质，对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高．23.已知函数若，则实数x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画出该分段函数的简图可知，该函数在R上单调递增，所以.【考点】本小题主要考查函数单调性的应用和一元二次函数的解法.点评：解决此类问题，关键是求出已知函数的单调性，而分段函数不论分成几段，始终是一个函数.24.若且，在定义域上满足，则的取值范围是（）A．（0,1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]【答案】B【解析】根据分段函数单调性是增函数，则说明每一段都是增函数，同时在x=0处的函数值，3a ,故可知，同时要满足,然后求其交集得到为[，1），故选B.【考点】函数单调性点评:解决的关键是理解已知中表示的含义是说函数在定义域内是递增的，属于基础题。

高中常见分段函数题型归纳.doc

匕5(osxia(小,求 f{f[f(a)]} (avO)的值.分析：求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由a<0, f(a)=2a,又0<2a<l,怎又声〉所以,分段函数常见题型及解法分段函数是指口变量在两个或两个以上不同的范围內，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，非儿个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材小只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明, 因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法.1.求分段函数的定义域和值域= xw (o,2);例1・求函数xw[2,+oo);的定义域、值域. 解析：作图，利用“数形结合”易知门兀)的定义域为[一1，+°°),值域为(-1, 2JU {3}.例2.求函数X®的值或解析：因为当沦0时，x 2+l>l ；当x<0时,-x 2<0.所以，原函数的值域M[1,4-OO )U(-oo,0).2.求分段函数的函数值例1.已知函数(I 兀 1> 1)/[/({)]解析：因为 /(i )=li-i|-2 = -14I 所以皿处心例2.(2知函数注：求分段函数值的关键是根据口变量的取值代入相应的函数段.g(x) = 练1 •设e\x<0. Inx, x > 0.练2.设2广Sv 2), log3(x2-i)3.求分段函数的最值4x + 3 (x<0)/(%) = * x-t-3(0<x< 1)例1.求函数卜小(X>1)的最大值.解析：当兀<° 吋，人ax (X )= /(°)= 3,当° VxWl 时，ZnaxS) = '(」)= ",当 X > 1 吋,~x + 5<-1 + 5 = 4综 |-有 f nax (") — °例2.设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x ・a|+l,xWR,求f(x)的最小值. 分析：因为原函数可化为所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.1+<!*■ —解：当 x<a 吋，函数 f(x)=x 2-x+a+l 才4,a < —所以若 S 则函数f(x)在(ga ］上单调递减，从而f(x)在(・oo,a ］上的最小值为f(a)=a 2+l.<i > —/(^ ■三*a若 2,贝ij 函数f (x )^(-oo,a ］上的最小值为24<ji-lJ(-!)---« b _若 2 ,则函数f (x )在［a,+s)上的最小值为丫 4 ，且 2*若 2 ,则函数f(x)^E ［a,+co)±的最小值为f(a)=a2+1.*丄综上，当 3时，函数f(x)的最小值是'；当2 2时，函数f(x)的最小值是a'+l ；当 2时，函数f(x)的最小值是 4.注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比鮫，从I 何达到求解的冃的.4.求分段函数的解析式当x>a 时，函数例1.在同一平面直角坐标系中，函数y = 和y = 的图彖关于直线>, = x对称，现将-v =巩兀)的图彖沿兀轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图彖是由两条线段组成的折线(如图所示)，则函数/(X )的表达式为()解析：当"[-2,0]时，尸和+ 1,将其图象沿兀轴向右平移2个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得解析式为)=+(兀-2) + 1-1 = *兀-1,所以 f(x) = 2x + 2 (XG [-1,0])?当"[0,1]时， y = 2x + l,将其图彖沿x 轴向右平移2个单位，再沿)'轴向下平移1个单位，得解析式y = 2(x-2) +1 -1 = 2x-4所以 /(x) = y% + 2 (尢c[0,2]),综上可得故选A.例2•某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2刀1 H 起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一•条折线表示；西红柿的种植成木与上市时间的关系用图2的抛物线段表示： ⑴写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t),写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g(t); (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？解析：⑴由图I 可得市场售价与时间的关系为300 r (0£/£200))B. C.f(x) =fM =2x + 2 于+ 2 2x-2 7-2[2x-2D. f(x) =2x-6 f-3(-l<x<0)(0 < x < 2)(-l<x<0) (0<x<2) (l<x<2) (2<x<4)(l<x< 2) (2 < x < 4)-• 333 、・、、--- JI/' ■ / i:: ・200 300°图1V23工 153 1 、■、』1 1 11- •十： 1 11 1 • • 1 ill 0】53 :刃 300 t图22«-300 C200<«<?iJO) 山图2可得种植成本与吋间的函数关系为(0<t<300)o(II)设t 吋间的纯收益为h(t),由题意得丄尸丄“直(pit^2Da ).200 2 2-1^5(200 <Zi300X 2002 2再求h(t)的最大值即可。

2021高考数学常见题型解法归纳《第10招指数函数、对数函数和分段函数》

【知识要点】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．三、三种增长型函数的增长速度的比较1、指数函数(1)xy a a =>与幂函数(0)ny x n =>在区间(0,)+∞，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定范围内x a 会小于nx ，但由于xy a =的增长速度快于ny x =的增长速度,因而总存在一个0x ,当0x x >时有x na x >.2、对数函数log (1)a y x a =>与幂函数(0)ny x n =>对数函数log (1)a y x a =>的增长速度，不论a 与n 值的大小如何总会慢于n y x =的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数0x ,当0x x >时有log n a x x >.3、由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上,因此在(0,)+∞上，总会存在一个实数0x ,当0x x >时有log (1)x n a a x x a >>>.四、分段函数在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.分段函数书写时，注意格式规范，一般在左边的区间写在上面，每一段自变量的取值范围的交集为空集.五．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：六．解应用题的一般程序（1）读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；（2）建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3）解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；（4）答：将数学结论还原给实际问题的结果．七、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等.学科.网【方法讲评】函数的模型一指数函数模型解题步骤先建立指数函数模型，再解答.【例1】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）．（1015161.0121.127,1.012 1.196,1.012 1.210===）【点评】（1）增长率（降低率）的问题一般是指数模型或幂函数模型，如果已知增长率（降低率）求时间，多是指数函数模型.（2）解指数方程或不等式，一般利用对指互化.【反馈检测1】1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000对数lg N0.00430.00650.00730.11730.3010数N 3.000 5.00012.4813.1113.78对数lg N0.47710.6990 1.0962 1.1176 1.1392【反馈检测2】(1)某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y (元)与所存月数x 之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)．(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？函数的模型二对数函数模型解题步骤先建立对数函数模型，再解答.【例2】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数25log 10QV =，单位是/m s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？【点评】对数函数模型的应用题一般模型为log (0,1,0)a y m x n a a x =+>≠>且.【反馈检测3】长春亚泰足球俱乐部准备为救助失学儿童在吉林省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数lg 2xy =，则这三种门票的张数分别为万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.函数的模型三分段函数模型解题步骤先建立分段函数模型，再解答.【例3】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用下图中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图中（2）的抛物线表示．（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =；写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式()Qg t =；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg ，时间单位：天）（2）设t 时刻的纯收益为()h t ，则由题意得()()()h t f t g t =-，即()2211175,0200,20022171025,200300.20022t t t h t t t t ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩当0200t ≤≤时，配方整理得()()2150100200h t t =--+，所以，当50t =时，()h t 取得区间[]0,200上的最大值100；当200300t <≤时，配方整理得()()21350100200h t t =--+，【点评】（1）由于市场售价与时间的函数关系是分段函数，所以t 时刻的纯收益()h t 也为分段函数.（2）数学中的分类的根本原因是由于某些数学因素的不确定性.【反馈检测4】在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当020x ≤≤时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）高中数学常见题型解答归纳及反馈检测第10讲：函数（指数函数、对数函数和分段函数）模型及其应用参考答案【反馈检测1答案】每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.【反馈检测2答案】（1）101.8元；（2）1117.68元.学科.网【反馈检测2详细解析】(1)利息＝本金×月利率×月数．y ＝100＋100×0.36%·x ＝100＋0.36x ，当x ＝5时，y ＝101.8，∴5个月后的本息和为101.8元．(2)已知本金为a 元，1期后的本利和为1y ＝a ＋a ×r ＝a (1＋r )，2期后的本利和为2y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝2)1(r a +；3期后的本利和为3y ＝3)1(r a +；……所以x 期后的本利和为y ＝xr a )1(+.将a ＝1000，r ＝2.25%，x ＝5代入上式得y ＝1000×(1＋2.25%)5由计算器算得y ＝1117.68(元)．答：复利函数式为y ＝(1)xa r +,5期后的本利和为1117.68元．【反馈检测3答案】0.6,1,0.8【反馈检测3详细解析】设3元、5元、8元门票的张数分别为b c a 、、，则 2.4(1)0.6(2)358(3)a b c ab x a b c ++=⎧⎪=⎨⎪=++⎩（1）代入（3）有19.2(53)19.213.2x a b =-+≤-=（万元），当且仅当530.6a bab =⎧⎨=⎩时等号成立，解得0.6,1a b ==，所以0.8c =.由于lg 2xy =为增函数，即此时y 也恰有最大值.【反馈检测4答案】（1）()60,0201200,2020033x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约3333辆/小时.（2）由题意知()()260,0201200,2020033x x f x x v x x x x ≤≤⎧⎪=⋅=⎨-+<≤⎪⎩，当020x ≤≤时，()60f x x =，则函数()f x 在区间[]0,20上单调递增，此时()f x 在20x =处取最大值，即()()max 2060201200f x f ==⨯=；当20200x <≤时，()2120033f x x x =-+，函数图象开口朝上，对称轴为直线100x =，此时函数()f x 在100x =处取得最大值，即()()2max 120010000100100100333f x f ==-⨯+⨯=，1000012003> ，故当[]0,200x ∈时，()()max 100001003f x f ==，即当车流密度为100辆/千米时，车流量达到最大，且最大值约3333辆/小时.。

(天津专版)高考数学母题题源系列专题10 导数的基本运算文-人教版高三全册数学试题

母题十导数的基本运算【母题原题1】【2018某某，文10】已知函数()()e ln ,xf x x f x ='为()f x 的导函数，则()1f '的值为__________．【答案】e【解析】试题分析：首先求导函数，然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果．试题解析：由函数的解析式可得：()11e ln e e ln x xx f x x x x x ⎛⎫'=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭，则()111e ln1e 1f ⎛⎫'=⨯+= ⎪⎝⎭．即()1f '的值为e ．【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【母题原题2】【2017某某，文10】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为．【答案】1()()000y y f x x x '-=-．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点．【母题原题3】【2016某某，文10】已知函数()(2+1),()x f x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________．【答案】3 【解析】()(2+3),(0) 3.x f x x e f ''=∴=【名师点睛】求函数的导数的方法(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导； (4)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导；(5)不能直接求导的：适当恒等变形，转化为能求导的形式再求导．【母题原题4】【2015某某，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．【答案】3【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==．【考点定位】本题主要考查导数的运算法则．【名师点睛】本题考查内容单一,求出()()1ln f x a x '=+由,再由()13f '=可直接求得a 的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心．【命题意图】主要考查导数的运算、导数的几何意义，考查代数式化简与变形能力、运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力．【命题规律】导数的基本运算几乎是每年高考的必考内容，考查题型以选择题、填空题，有时出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)求导函数值；(2)求切线方程；(3)求参数的值．【答题模板】解答本类题目，以2018年高考题为例，一般考虑如下两步：第一步：求导数得()11e ln e e ln xxx f x x x x x ⎛⎫'=⨯+⨯=+ ⎪⎝⎭，第二步：把1x =代入上式，得()111e ln1e 1f ⎛⎫'=⨯+= ⎪⎝⎭，即()1f '的值为e ．【方法总结】一、导数的代数意义及其几何意义1．代数意义：函数y =f （x ）在x =x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆叫做y =f （x ）在0x x =处导数，记作0000000()()()|,()lim limx x x x f x x f x yf x y f x x x =∆→∆→+∆-∆'''==∆∆或即 2．几何意义：函数f （x ）在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y =f （x ）上点00(,())x f x 处的切线的斜率．相应地，切线方程为'000()()()y f x f x x x -=-．二、导数的四则运算1．熟记基本初等函数的导数公式 2．导数的运算法则（1）''[()]()cf x cf x =；（2）[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±；（3）[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±；（4）[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦． 3．函数求导应先注意函数的定义域．4．对复杂函数求导时应注意先对函数进行化简．1．【2018某某某某5月模拟】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【名师点睛】本题需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数．2．【2018某某三模】设函数的导函数记为，若，则（）A． -1 B． C． 1 D． 3【答案】D【名师点睛】该题涉及到的知识点有正余弦的求导公式，同角三角函数关系式，还有就是函数在某点处的导数就是导函数在相应的点处的函数值，利用公式求得结果．3．【2018某某某某二模】已知函数在处取极值10，则A． 4或 B． 4或 C． 4 D．【答案】C【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵，∴．由题意得，即，解得或．当时，，故函数单调递增，无极值．不符合题意．∴．故选C．【名师点睛】（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值． 4．【2018某某豫南九校模拟】已知函数是函数的导函数，（其中为自然对数的底数），对任意实数，都有，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【名师点睛】解抽象不等式的常用方法是构造函数后利用函数的单调性求解，其中如何构造函数是解题的难点，在本题中根据含有的不等式，并结合导数的求导法则构造出函数是关键．5．【2018某某某某模拟】已知函数()y f x =在()0+∞，上非负且可导，满足，()()21xf x f x x x +≤-+-',若0a b <<,则下列结论正确的是( )A ． ()()af b bf a ≤B ． ()()af b bf a ≥C ． ()()af a f b ≤D ． ()()bf b f a ≤ 【答案】A【解析】因为()()21xf x f x x x +≤-+-'()'0,xf x ⎡⎤∴<∴⎣⎦函数()()F x xf x =在()0,+∞上递减，又0a b <<且()f x 非负，于是有()()0af a bf b >≥，①22110a b>>，②①②两式相乘得()()()()0f a f b af b bf a ab>≥→<，根据“或”命题成立的条件可得()()af b bf a ≤成立，故选A ．【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．本题通过观察四个选项，联想到函数()()F x xf x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论．6．【2018某某模拟】已知函数()()2ln f x x x f a =+',且()11f =-则实数a 等于( )A ． 12-或1 B ． 12C ． 1D ． 2 【答案】C【解析】取1x =得()()1ln11f f a =+=-'，则()/1f a =-，取0x a =>得()()12f a af a a=+''，则2210a a --=，解得1a =或12a =-（舍去），故选C 7．【2018某某二模】已知函数，为的导函数，则_______．【答案】【名师点睛】考查基本初等函数和商的导数的求导公式，已知函数求值的方法．8．【2018某某静海一中模拟】已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．【答案】3【解析】()()1ln f x a x '=+，()13f a '==． 9．【2018某某上学期期末考试】已知函数()ln xf x x=，()'f x 为()f x 的导函数，则()'1f 的值为__________．【答案】1【解析】∵()ln x f x x =，∴()221ln 1ln x xx x f x x x⋅--=='，∴()11f '=．答案：110．【2018某某一中期中考试】已知函数 ()()()21221f x f x x f =++'，则 ()2f '的值为__________．【答案】-6【解析】分析：函数表达式中有两个参数()()1,'1f f ，因此需要构建()()1,'1f f 的方程组求出它们的值后才能求()'2f 的值．详解：令1x =，则()()1'12f f +=-①．又()()'2'12f x f x =+，故令1x =得()'12f =-，由①得()10f =，故()222f x x x =-+，()'42f x x =-+，所以()'26f =-．填6-．【名师点睛】本题考查函数解析式的求法，因原函数中含有特定导数值，故常利用导函数构建与特定导数值相关的方程或方程组，解出它们的值即可． 11．【2018某某一中月考五】已知在平面直角坐标系中，曲线在处的切线过原点，则__________．【答案】【名师点睛】用导数的几何意义求曲线方程时，注意“在点P 处的切线”和“过点P 的切线”的区别，其中“在点P 处的切线”的含义是点P 在曲线上，同时点P 又是切点，求“过点P 的切线”时要转化为另一种情况处理．12．【2018某某某某三模】已知函数，在区间上任取一个实数，则的概率为__________．【答案】【解析】分析：由,可得，利用几何概型概率公式可得结果．详解：，由，可得，的概率为，故答案为．【名师点睛】本题題主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题．解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度．13．【2018某某豫南九校模拟】若，则__________．【答案】6 【解析】由题得，所以故填6．14．【2018某某省某某金卷调研卷（五）】已知函数()()()513f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的展开式中2x 项的系数是__________．【答案】-540【方法点晴】本题主要考查导数的求导法则以及二项展开式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用． 15．【2018某某某某四模】已知()()'1ln f f x x x x=+，则()'1f =__________．【答案】12．【解析】因为()()2'11ln f f x x x '=+-，令1x =，得()()11'1f f ='-，解得()1'12f =．16．【2018某某某某模拟】等比数列{}n a 中，182,4a a ==,函数()()()()128f x x x a x a x a =--⋯-，则()0f '=__________．【答案】122 【解析】函数()()()()128...f x x x a x a x a =---，()()()()128'...f x x a x a x a =---()()()128...'x x a x a x a ⎡⎤+---⎣⎦，则()()441212818'0...82f a a a a a =⋅===，故答案为122．17．【2018某某二模】已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足关系式()()3'2ln f x xf x =+，则()'1f 的值等于__________．【答案】1418．【2018某某某某一模】已知()()31303f x x xf =+',则()1f '＝_________．【答案】1【解析】由题意可得：()()2'3'0f x x f =+，令0x =可得：()()()2'003'0,'00f f f =+∴=，则：()()()321,','113f x x f x x f =∴==．。

分段函数“题型”剖析

ʏ王飞分段函数是自变量取不同范围时所使用的解析式不同 ,于是,求解分段函数要时刻盯着自变量的范围是否发生变化,即分段函数分区间研究其性质㊂题型1:分段函数的求值问题例1 已知分段函数f (x )=x (x +4),x ȡ0,x (x -4),x <0,求f (1),f (-3),f (a +1)的值㊂分析:求f (1),f (-3),可选用解析式求值;求f (a +1),依据(a +1)和0的大小进行分类,再选择解析式求值㊂解:因为f (x )=x (x +4),x ȡ0,x (x -4),x <0,所以f (1)=1ˑ(1+4)=5,f (-3)=-3ˑ(-3-4)=21,f (a+1)=(a +1)(a +5),a ȡ-1,(a +1)(a -3),a <-1㊂分段函数求值,可依据自变量的值,选择对应的解析式求值㊂当自变量不确定时,先合理分类,再利用区间上的解析式求值㊂题型2:分段函数的复合函数求值问题例2 设函数f (x )=2,x >0,0,x =0,-2,x <0,函数g (x )=1,x ɪQ ,-1,x ɪ(∁R Q),则f g (π) 的值为㊂分析:求f [g (π)]的值,需认清由内向外的顺序,合理选择区间上的解析式求值㊂解:因为π为无理数,所以g (π)=-1㊂又-1<0,所以f [g (π)]=f (-1)=-2㊂分段函数的复合函数求值,注意由内向外的复合过程,每一次都由自变量的范围合理选择区间上对应的解析式求值㊂本题先求g (π)的值,再求f [g (π)]的值㊂题型3:分段函数的不等式问题例3 已知分段函数f (x )=1x -1,1<x ɤ2,12x ,x >2,则满足f (a )>3的实数a 的取值范围是㊂分析:求f (a )>3,需依据a 的取值范围选择解析式,这就要对a 进行分类讨论,利用f (a )构建不等式组,最后求并集㊂解:当1<a ɤ2时,由f (a )=1a -1>3,解得1<a <43;当2<a 时,由f (a )=12a >3,解得a >6㊂综上可得,实数a ɪ1,43ɣ(6,+ɕ)㊂求分段函数的不等式,关键是先利用区间上的解析式,对整体变量进行合理分类,构建不等式组,再求并集,凸显了先分后合的分类方法㊂题型4:分段函数与实际应用问题例4 某单位为鼓励职工节约用水,有如下规定:每位职工每月用水量不超过10m 3,按3元/m 3收费;用水量超过10m 3,超过部分按5元/m 3收费㊂某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水量为m 3㊂分析:先设出职工的月实际用水量,由题设构建所交水费与用水量的分段函数,借助分段函数的函数值构建方程,再求对应的用水量㊂解:设职工的月实际用水量为x m 3,所缴水费为y 元㊂结合题意可得y =71知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.3x ,0ɤx ɤ10,30+5(x -10),x >10, 即所缴水费y =3x ,0ɤx ɤ10,5x -20,x >10㊂因为该职工实际用水量超过10m 3,所以5x -20=55,解得x =15㊂故该职工这个月实际用水量为15m 3㊂在阅读理解的基础上,构建分段函数模型是解题的关键㊂解题的难点是当x >10时,y =30+5(x -10) 的应用㊂题型5:分段函数的单调性问题例5 已知分段函数f (x )=(2a -1)x +4a ,x <1,-x +1,x ȡ1是定义在R 上的减函数,则实数a 的取值范围为㊂分析:当x ȡ1时,f (x )为减函数,当x <1时,f (x )也为减函数,且注意分界点处的函数值的大小关系,从而构建不等式组求出参数的取值范围㊂解:因为f (x )为定义在R 上的减函数,所以2a -1<0,(2a -1)ˑ1+4a ȡ-1+1,解得16ɤa <12,即所求实数a ɪ16,12㊂分段函数由区间单调到R 上单调,既要考虑同步单调 ,也要考虑分界点处的函数值的大小关系㊂题型6:新定义的分段函数问题例6 对于实数a 和b ,定义运算 *:a *b =a 2-a b (a ɤb ),b 2-a b (a >b ),设f (x )=(2x -1)*(x -1),且关于x 的方程f (x )=m (m ɪR )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是㊂分析:理解新定义是解题的重点㊂解:由所给新定义的运算可得函数f (x )=(2x -1)*(x-1)=(2x -1)2-(2x -1)(x -1)(x ɤ0),(x -1)2-(2x -1)(x -1)(x >0),即函数f (x )=2x 2-x (x ɤ0),-x 2+x (x >0)㊂画出函数f (x )的大图1致图像,如图1所示㊂关于x 的方程f (x )=m 有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,即函数f (x )的图像与直线y =m有三个不同的交点,所以0<m <14㊂不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x 1,x 2,x 3㊂当x >0时,-x 2+x =m ,即x 2-x +m =0,所以x 2+x 3=1,且x 2ɪ0,12,所以x 2x 3=x 2(1-x 2)=-x 2-12 2+14,所以0<x 2x 3<14㊂当x <0时,由2x 2-x =14,x <0,解得x =1ʃ34,所以1-34<x 1<0,所以0<-x 1<3-14㊂据上可得,0<-x 1x 2x 3<3-116,所以1-316<x 1x 2x 3<0,即x 1x 2x 3ɪ1-316,0㊂解答本题的关键是由新定义的运算法则得到函数f (x )=(2x -1)*(x -1)=2x 2-x (x ɤ0),-x 2+x (x >0), 再结合分段函数的图像求出x 1x 2x 3的取值范围㊂若分段函数f(x )=(2b -1)x +b -1,x >0,-x 2+(2-b )x ,x ɤ0是R 上的增函数,则实数b 的取值范围是㊂提示:因为f (x )是R 上的增函数,所以2b -1>0,2-b 2ȡ0,b -1ȡ0,解得1ɤb ɤ2,即b ɪ[1,2]㊂作者单位:陕西省洋县中学(责任编辑郭正华)81 知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

分段函数的几种常见题型及解法

函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)x x x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩222(10).()2(02)x x x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩yx5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）ACD6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.9．解分段函数的方程例10．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）v1.0 可编辑可修改A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.3．（2013北京，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．05．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,166．（2012江苏，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．7．（2011江苏，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．函数的概念和性质考点一分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.2．求分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f .【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-.3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最大值.【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)x x x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩226(12).()3(24)x x x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩【解析】当[2,0]x ∈-时, 121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)()2(02)x x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .y x5．作分段函数的图像例5．函数|ln ||1|x y ex =--的图像大致是（）ACD解析：在定义范围讨论，当0<x<1时，11y x x=+-；当x>1时1y =，故选D 6．求分段函数得反函数例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31xf x =-, 设()f x 的反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.【解析】设0x <, 则0x ->, 所以()31xf x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13xf x -=-, 因此31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.【解析】当0x >时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.【解析】显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-.9．解分段函数的方程例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为【解析】若142x-=, 则222x--=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =,则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.x10．解分段函数的不等式例11．设函数1221(0)()(0)x x f x xx -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >,则0x 得取值范围是（）.(1,1)A - .(1,)B -+∞.(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞【解析1】首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.【解析2】因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x-->, 解得01x <-, 当00x >时, 1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例12．设函数2(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()141310f x x ≥⇔⇔⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.【点评：】xyv1.0 可编辑可修改以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.反馈练习1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.答案：D2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－23．（2013北京，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x<2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2. 答案：B5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15(1)，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.答案：D6．（2012江苏，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________．解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－12)，且f (－1)＝f (1)，故f (12)＝f (－12)，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2. ①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a . ②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－107．（2011江苏，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34.答案：－34。

分段函数常见题型解法-含答案

【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设()g x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．【例2】已知函数()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥ ，若()21f a -= ，则()f a = （）A. 2-B. 0C. 2D. 9【解析】当22a -< 即0a >时， ()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==- （舍）；当22a -≥ 即0a ≤时， ()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=- ，故选A.【点评】（1）要计算(2)f a -的值，就要看自变量2a -在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222a a -<-≥和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a >时，解得12a =-，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫=⎪⎝⎭（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【点评】（1）要化简()()1f a f a =+，必须要讨论a 的范围，要分1a ≥和01a <<讨论.当1a≥时，可以解方程2(1)2(11)a a -=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.【检测2】已知函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x =，则0x = ．【例3】已知函数则的解集为（）A.B.C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【例4】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设0,x <2()f x x x =+,则0x ->，222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2()f x x x =-+则0x -<，222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数.【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时22)(+=x xx f . （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；（3）若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(22≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围.【例5】若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A. []2,3- B. []2,0- C. []1,3 D. []0,3【检测7】已知函数()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ )A. ][()1123-，，B. ][()12-∞+∞，，C. ()[)1123-，，D. (,0]-∞{}[)123，【例6】若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（）.A. ()1,+∞B. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【例7】已知函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y ff x =+的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数()()1y f f x =+的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中，由于没有确定x 的取值范围，所以要分类讨论.【例8()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是________.【解析】函数()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤ ，若函数()()g x f x k =- 仅有一个零点，即()f x k = ，只有一个解，在平面直角坐标系中画出， ()y f x =的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ )4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到()f x k =，再画图数形结合分析. 学.科.网【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（）A. B.C. D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数()()1114{(1)x x f x lnx x +≤=>，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（）（注： e 为自然对数的底数）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）11t -<<（Ⅱ）()222,011,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->⎪⎩方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立，当时，，，因此，实数t 的取值范围是11t -<<．【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即；当时，，则，即。

高考数学《分段函数》一题多解

【题源】【2017年高考数学全国三卷理15】【推荐】【理由】分段函数是最近几年高考选择填空的热点内容。

本题一题多解1从代数变形角度，利用解不等式基本方法。

2所给函数是基本初等函数，利用数形结合基本思想，从图像角度也可解出不等式，要求对图像变化应用非常熟练。

15．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________. 【解析】解法一：直接法写成分段函数的形式：()())132,021112,0222122,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，函数()g x 在区间(]11,0,0,,,22⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭三段区间内均单调递增，且)001111,201,22142g -⎛⎫-=++>⨯> ⎪⎝⎭，可知x 的取值范围是1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 解法二:图象变换法：函数)21(),(-==x f y x f y 在R 上都是增函数. )(x f y =向右平移21个单位得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21x f y 的图象。

观察图象，0≥x 时，1)21()(>--x f x f0<x 时，11211)21()(>+--+=--x x x f x f 所以041-<<x 方法三：图象转换法10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->，即)21(-x f 与)(1x f y -=的图象如图所示：由图可知，满足)(1)21(x f x f ->+的解集为),41+∞-（。

分段函数的应用-高中数学知识点讲解(含答案)

分段函数的应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2020春•海淀区校级期中）函数2241(0)()2(0)x x x x f x x e⎧++<⎪=⎨⎪⎩的图象上关于原点对称的点有( )对．A ．0B ．2C ．3D ．无数个2．（2019•朝阳区二模）已知函数2,(),x x af x x x a ⎧=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(0,)+∞3．（2019•朝阳区二模）已知函数2,(),x x af x x x a ⎧=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞4．（2017秋•昌平区期末）设函数||()(0,1)x f x a a a =>≠，且f （2）4=．则下列结论正确的是( ) A ．(1)(2)f f ->-B ．f （1）f >（2）C ．f （2）(2)f <-D ．(3)(2)f f ->-5．（2018•西城区模拟）函数21,0()12,0x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．（2017秋•通州区期末）已知函数sin (sin cos )()()cos (sin cos )x x x f x x R x x x >⎧=∈⎨⎩，关于函数()f x 的性质给出下面三个判断： ①函数()f x 是周期函数，最小正周期为2π； ②函数()f x 的值域为[1-，1]；③函数()f x 在区间[2k ππ-+，2]()k k Z π∈上单调递增．其中判断正确的是( ) A ．3B ．2C ．1D ．07．（2018秋•通州区期中）已知函数||2,1(),1x x e x f x e x -⎧=⎨>⎩若实数a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则a b c ++的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(2,3)二．填空题（共8小题）8．（2019秋•西城区校级月考）函数22,(0)()log (),(0)x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若0()2f x =，则0x = ．9．（2019秋•西城区校级期中）已知221,0()3,0x x f x x x -⎧=⎨<⎩，则((1))f f -的值为．10．（2018秋•丰台区期末）已知函数33,()2,.x x x af x x x a ⎧-+=⎨<⎩①若0a =，则函数()f x 的零点有个；②若存在实数m ，使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是． 11．（2018秋•海淀区期末）已知函数122,()2,.x x af x x a x a -⎧<=⎨-+⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =．在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是．（填出所有正确答案的序号）12．（2018秋•丰台区期末）已知函数||2,(),x x x x a f x x x a -+⎧=⎨<⎩．①若0a =，则函数()f x 的零点有个；②若()f x f （1）对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是． 13．（2018秋•昌平区期末）已知函数,1(),12x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩其中0a >，且1a ≠． ()i 当2a =时，若()4f x <，则实数x 的取值范围是；()ii 若存在实数m 使得方程()0f x m -=有两个实根，则实数a 的取值范围是．14．（2018秋•西城区期末）已知函数21,2(), 3.x x x cf x x c x -⎧+-=⎨<⎩若0c =，则()f x 的值域是；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是． 15．（2019秋•海淀区校级月考）已知函数()||f x lgx =，若f （a ）f =（b ）()a b ≠，则函数225,0()2,0x x g x ax b x x ⎧++⎪=⎨+>⎪⎩，最小值为．分段函数的应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2020春•海淀区校级期中）函数2241(0) ()2(0)xx x xf xxe⎧++<⎪=⎨⎪⎩的图象上关于原点对称的点有()对．A．0B．2C．3D．无数个【分析】作出函数()y f x=的图象，并且作出()y f x=图象位于y轴左侧部分2(241)y x x=++关于原点对称的曲线C，观察函数()y f x=图象位于y轴右侧2()xye=与曲线C的交点的个数，可以得出满足条件的对称点的对数．【解答】解：函数2241(0)()2(0)xx x xf xxe⎧++<⎪=⎨⎪⎩，∴作出函数()y f x=图象如右图所示，再作出2241y x x=++位于y轴右侧的图象，使得恰好与函数图象位于y轴左侧部分关于原点对称，记为曲线C（粗线），发现2xye=与曲线C有且仅有两个交点，∴满足条件的对称点有两对，图中的A、B就是符合题意的点，∴函数2241(0)()2(0)xx x xf xxe⎧++<⎪=⎨⎪⎩的图象上关于原点对称的点有2对．故选：B．【点评】本题考查了分段函数的应用，着重考查了分段函数图象的画法，考查了基本初等函数图象的作法．利用函数奇偶性，作出图象一侧关于原点对称图象，再找交点是解决本题的关键．属于中档题．2．（2019•朝阳区二模）已知函数2,(),x x af xx x a⎧=⎨-<⎩，若函数()f x存在零点，则实数a的取值范围是()A．(,0)-∞B．(,1)-∞C．(1,)+∞D．(0,)+∞【分析】画出函数的图象，利用数形结合推出a 的范围即可．【解答】解：函数2,(),x x af x x x a ⎧=⎨-<⎩，函数的图象如图：函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是：(0,)+∞．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力．3．（2019•朝阳区二模）已知函数2,(),x x af x x x a ⎧=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【分析】由指数函数的值域和函数零点的定义，即可得到所求范围．【解答】解：由20x >，函数()f x 存在零点，则()f x 的零点为0，可得0a >，故选：B ．【点评】本题考查函数的零点判断，注意运用指数函数的值域和定义法，属于基础题．4．（2017秋•昌平区期末）设函数||()(0,1)x f x a a a =>≠，且f （2）4=．则下列结论正确的是( ) A ．(1)(2)f f ->-B ．f （1）f >（2）C ．f （2）(2)f <-D ．(3)(2)f f ->-【分析】根据题意，由函数的解析式可得若f （2）4=，则24a =，解可得2a =，即可得函数()f x 的解析式，分析函数()f x 的奇偶性与单调性，据此分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数||()x f x a =，若f （2）4=，则24a =，则2a =，则||2,0()21(),02x x x x f x x ⎧⎪==⎨<⎪⎩，函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，在(,0)-∞上为减函数；依次分析选项：对于A ，()f x 在(,0)-∞上为减函数，则(1)(2)f f -<-，A 错误；对于B ，()f x 在(0,)+∞上为增函数，则f （1）f <（2），B 错误；对于C ，()f x 为偶函数，f （2）(2)f =-，C 错误；对于D ，()f x 在(,0)-∞上为减函数，则(3)(2)f f ->-，D 正确．故选：D ．【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意求出a 的值，属于基础题． 5．（2018•西城区模拟）函数21,0()12,0x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】画出分段函数的图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数21,0()12,0x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩的图象如图，由图可知，函数21,0()12,0x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩零点的个数为2．故选：C ．【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（2017秋•通州区期末）已知函数sin (sin cos )()()cos (sin cos )x x x f x x R x x x >⎧=∈⎨⎩，关于函数()f x 的性质给出下面三个判断： ①函数()f x 是周期函数，最小正周期为2π； ②函数()f x 的值域为[1-，1]；③函数()f x 在区间[2k ππ-+，2]()k k Z π∈上单调递增．其中判断正确的是( )A ．3B ．2C ．1D ．0【分析】分别画出函数sin y x =和cos y x =的图象，运用分段函数写出()f x ，结合图象分析周期性、单调性和值域，即可得到所求结论【解答】解：分别作出函数sin y x =和cos y x =的图象，可得函数sin (sin cos )()cos (sin cos )x x x f x x x x >⎧=⎨⎩的图象是两个图象中在上方的曲线，可得()f x 为周期函数，最小正周期为2π，故①正确；()f x 的值域为2[-，1]，故②错误； ()f x 在[2k ππ-，32]4k ππ-递减，在3(24k ππ-，2)k π递增，故③错误；故选：C ．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查新定义的理解和运用，注意运用数形结合思想方法，考查判断能力，属于中档题．7．（2018秋•通州区期中）已知函数||2,1(),1x x e x f x e x -⎧=⎨>⎩若实数a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则a b c ++的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,3)D ．(2,3)【分析】作出函数()f x 的大致图象，数形结合可得0a b +=，12c <<，能求出a b c ++的取值范围【解答】解：不妨设a b c <<，作出函数||2,1(),1x x e x f x e x -⎧=⎨>⎩的大致图象，由21x e -=，可得2x =；由2x e e -=，可得1x =．结合图形，得： 0a b +=，12c <<， a b c c ∴++=， 12a b c ∴<++<．a b c ∴++的取值范围是(1,2)，故选：B ．【点评】本题考查分段函数的图象和应用，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质及图象的合理运用．二．填空题（共8小题）8．（2019秋•西城区校级月考）函数22,(0)()log (),(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若0()2f x =，则0x = 1或4- ．【分析】根据题意，分2种情况讨论：当00x 时，有00()22x f x ==，当00x <时，有020()log ()2f x x =-=，解可得0x 的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，22,(0)()log (),(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若0()2f x =，分2种情况讨论：当00x 时，有00()22x f x ==，解可得01x =，当00x <时，有020()log ()2f x x =-=，解可得04x =-，综合可得：01x =或4-；故答案为：1或4-【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．9．（2019秋•西城区校级期中）已知221,0()3,0x x f x x x -⎧=⎨<⎩，则((1))f f -的值为 5 ．【分析】根据题意，由函数的解析式求出(1)f -的值，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，221,0()3,0x x f x x x -⎧=⎨<⎩，则2(1)3(1)3f -=⨯-=，则((1))f f f -=（3）2315=⨯-=；故答案为：5．【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．10．（2018秋•丰台区期末）已知函数33,()2,.x x x af x x x a ⎧-+=⎨<⎩①若0a =，则函数()f x 的零点有 2 个；②若存在实数m ，使得函数()y f x m =+总有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是．【分析】①解方程()0f x =，即可得到零点个数；②函数()y f x m =+有三个零点，通过函数的导数求解函数的极值点，作出()f x 的图象，讨论a 的范围，根据图象判断即可得出结论．【解答】解：①若0a =，则33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨<⎩，由()0f x =，可得0x =或3，可得()f x 的零点有两个； ②函数33,()2,.x x x af x x x a ⎧-+=⎨<⎩，33y x x =-，233y x '=-，令0y '=，可得1x =±函数的极小值点1x =-，极小值为2-；极大值点为1x =，极大值为2．函数的图象如图：使得函数()y f x m =+有三个零点，1a <-时33y x x =-，与y m =-有3个交点，(1,0)a ∈-时，33y x x =-，与y m =-有2个交点，2y x =与y m =-可以有一个交点，综上，a 的取值范围是(-∞，1)(1--⋃，0)．故答案为：2，(-∞，1)(1--⋃，0)．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数的导数的应用，极值的求法，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题．11．（2018秋•海淀区期末）已知函数122,()2,.x x af x x a x a -⎧<=⎨-+⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是 0a <或2a > ；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =．在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是．（填出所有正确答案的序号）【分析】（Ⅰ）考虑指数函数的值域和二次函数的单调性，即可得到所求范围；（Ⅱ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集，分别讨论五种情况，由指数函数的单调性和二次函数的单调性，求得值域，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）函数122,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+⎩，由x a <时，1()20x f x -=>，无零点；若x a 时，2()2f x a x =-，当0a <时，()0f x <，无零点；当0a 时，由220a x -=，即22a x =，由x a 时，2y x =递增，可得2y a ，由22a a <，可得2a >，()f x 无零点；综上可得0a <或2a >；（Ⅱ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集，当12a =-时，由12x <-时，1()2(0x f x -=∈，322)-；由12x -时，2()1(f x x =--∈-∞，1]-，]，(0，322)(--∞，1]-，不满足题意；当12a =时，由12x <时，1()2(0x f x -=∈，122)-；由12x 时，2()1(f x x =-∈-∞，3]4，(0，122)(-⊆-∞，3]4，满足题意；当1a =时，由1x <时，1()2(0,1)x f x -=∈；由1x 时，2()2(f x x =-∈-∞，1]，(0，1)(⊆-∞，1]，满足题意；当a =x <时，1()2(0x f x -=∈，1)；由2x时，2()(f x x =∈-∞，2]，(0，1)(-∞，2]-，不满足题意；当32a =时，由32x <时，1()2(0x f x -=∈，122)；由32x 时，2()3(f x x =-∈-∞，3]4，(0，122)(-∞，3]4，不满足题意．综上可得函数()f x 的包容数是②③．故答案为：0a <或2a >；②③．【点评】本题考查函数的零点问题和函数的任意性、存在性问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．12．（2018秋•丰台区期末）已知函数||2,(),x x x x af x x x a -+⎧=⎨<⎩．①若0a =，则函数()f x 的零点有 2 个；②若()f x f （1）对任意的实数x 都成立，则实数a 的取值范围是．【分析】①若0a =，解方程()0f x =，即可得到所求零点个数；②求得f （1）1=，画出()f x 的图象，可得1a ，再求得0x <时，()1f x =的根，结合图象，即可得到所求a 的范围．【解答】解：①若0a =，可得||2,0(),0x x x x f x x x -+⎧=⎨<⎩，当0x 时，2()2f x x x =-，由()0f x =，解得0x =或2x =；当0x <时，()f x x =无零点，综上可得()f x 的零点个数为2；②由||2,(),x x x x af x x x a -+⎧=⎨<⎩，可得f （1）1=，()f x f （1）对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最大值为1，当x a <时，()f x x a =<，即1a ，当x a 时，()2||f x x x x =-的最大值为1，由0x 时，2()21f x x x =+=，解得12x =--，即有12a --综上可得a 的范围是[12--，1]．故答案为：2，[12--，1]，．【点评】本题考查函数的零点的个数和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和数形结合思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．13．（2018秋•昌平区期末）已知函数,1 (),12xa xfx ax x⎧>⎪=⎨+⎪⎩其中0a>，且1a≠．()i当2a=时，若()4f x<，则实数x的取值范围是(,2)-∞；()ii若存在实数m使得方程()0f x m-=有两个实根，则实数a的取值范围是．【分析】()i由分段函数241xx⎧<⎨>⎩或141xx+<⎧⎨⎩，解得即可，()ii分类讨论，结合图象，利用函数单调性即可求出．【解答】解：()i当2a=时，241xx⎧<⎨>⎩或141xx+<⎧⎨⎩，解得2x<，故()4f x<，则实数x的取值范围是(,2)-∞；()ii当01a<<时，函数()f x的大致图象为：当1x>时，函数()xf x a=为减函数，则0()f x f<<（1）a=，当1x时，函数()2af x x=+为增函数，则()f x f<（1）12a=+，此时存在实数m使得方程()0f x m-=有两个实根，当1a>时，当1x>时，函数()xf x a=为增函数，则()f x f>（1）a=，当1x时，函数()2af x x=+为增函数，则()f x f<（1）12a=+，如图所示：若存在实数m 使得方程()0f x m -=有两个实根，则需要满足12a a +>，解得12a <<，综上所述a 的取值范围为(0，1)(1⋃，2)故答案为：(,2)-∞，(0，1)(1⋃，2)【点评】本题考查不等式的解法，方程的根的个数，考查数形结合的思想方法，注意转化思想，转化为函数的图象的交点个数问题，属于中档题．14．（2018秋•西城区期末）已知函数21,2(), 3.x x x c f x x c x -⎧+-=⎨<⎩若0c =，则()f x 的值域是 1[4-，)+∞ ；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是．【分析】若0c =，分别求得()f x 在[2-，0]的最值，以及在(0，3]的范围，求并集即可得到所求值域；讨论()f x 在[2-，1]的值域，以及在(c ，3]的值域，注意0c >，运用单调性，即可得到所求c 的范围．【解答】解：0c =时，2211()()24f x x x x =+=+-， ()f x 在[2-，1)2-递减，在1(2-，0]递增，可得(2)f -取得最大值，且为2，最小值为14-；当03x <时，1()f x x =递减，可得f （3）13=，则1()[3f x ∈，)+∞，综上可得()f x 的值域为1[4-，)+∞；函数2y x x =+在区间[2-，1)2-上是减函数，在区间1(2-，1]上是增函数， ∴当[2x ∈-，0)时，函数()f x 最小值为11()24f -=-，最大值是(2)2f -=；由题意可得0c >，当3c x <时，1()f x x=是减函数且值域为1[3，1)c ，当()f x 的值域是1[4-，2]，可得112c ．故答案为：1[,)4-+∞；1[,1]2．【点评】本题给出特殊分段函数，求函数的值域，并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于中档题．15．（2019秋•海淀区校级月考）已知函数()||f x lgx =，若f （a ）f =（b ）()a b ≠，则函数225,0()2,0x x g x ax b x x ⎧++⎪=⎨+>⎪⎩，最小值为【分析】先由f （a ）f =（b ）得1ab =，再根据二次函数和基本不等式求得分段函数的两段的最小值，再比较可得．【解答】解：因为函数()||f x lgx =，若f （a ）f =（b ）()a b ≠，所以||||lga lgb =，1ab ∴=， 0x时，故22()5(33g x x x =++=++，当0x >时，2222()ax b b g x ax ax x x ax+==+=+， 0a >，0x >，0ax ∴>， 2()222g x axax ∴=，（当且仅当x =时，等号成立）， 223<，所以()gx 的最小值为故答案为：【点评】本题考查了分段函数的应用，属中档题．。

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.2.若函数则____________.【答案】．【解析】由已知得．【考点】求分段函数的值．3.设，则满足的的值为（）A．2B．3C．2或3D．【答案】C.【解析】由题意或.【考点】分段函数.4.已知函数，则的值是 .【答案】【解析】，．【考点】分段函数求值．5.已知函数则函数的零点个数（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由得：.由得：.所以；此时，每一段都是单调递增的，且，，.由此可作出其简图如下图所示（实线部分）：由图可知，该函数有4个零点.【考点】1、分段函数；2、函数的零点.6.已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象如图所示，由图可知：.选.【考点】1、分段函数；2、不等关系.7.设，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴.【考点】1、分段函数；2、指数、对数运算.8.已知定义在R上的函数满足，，且在区间上是减函数．若方程在区间上有四个不同的根，则这四根之和为（）A．±4B．±8C．±6D．±2【答案】B【解析】由知，为奇函数，所以.由得，所以的周期为8.又由及得：，所以的图象关于直线对称.又在区间上是减函数，由此可得在一个周期上的大致图象：向左右扩展得：由于方程在区间上有四个不同的根，由上图可知，要么是，要么是，所以四个根之和要么为－8，要么为8.选B.【考点】1、抽象函数的奇偶性和周期性单调性及图象；2、方程的根.9.若函数，则（）A．B．1C．D．3【答案】A【解析】，，选A.【考点】分段函数的求值.10.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．[1，2]B．[0，4]C．（0，4]D．[，4]【答案】D【解析】依题意，得，即，故 .【考点】1.抽象函数的定义域；2.不等式的解法.11.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】分段函数零点的判定，常借助于函数图像与轴的位置来确定.函数是由函数的图像上下平移得到，当，时，函数有一个零点；函数的图像是一条开口向上的抛物线，当，，即时，有两个零点；因此，满足题设的实数的取值范围是.【考点】分段函数指数函数二次函数的图像与性质函数零点的判定12.已知实数，函数，若，则的值为 .【答案】【解析】时，，解之得（舍）；时，，解之得.本题易忽略分类讨论，直接由得，从而造成错误.【考点】考查分段函数，方程的解法及分类讨论思想.13.已知实数，函数，若，则的值为 .【答案】【解析】时，，解之得（舍）；时，，解之得.本题易忽略分类讨论，直接由得，从而造成错误.【考点】考查分段函数，方程的解法及分类讨论思想.14.函数的图象与函数的图象的公共点个数是个【答案】2【解析】做出函数和的图象如图，显然有2个公共点.【考点】1.分段函数的图象；2.对数函数图象的变换.15.已知则的值等于．【答案】【解析】由题意知.【考点】分段函数16.设函数，则满足的的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，由得，解得，所以不等式在区间上的解集为；当时，由得，解得，所以不等式在区间上的解集为，综上所述，满足的的取值范围是.【考点】分段函数、对数函数17.已知函数若，则等于．【答案】或【解析】令，满足，当，满足所以等于或【考点】分段函数点评：分段函数由函数值求自变量时需在各段内分别求x的值，求出后注意验证各段的x的范围是否满足18.已知函数，（，且），若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，函数，（，且），且数列满足，且是递增数列，所以，=在（1，+∞），是增函数.由复合函数的单调性，在（，+∞）是增函数，所以，a>1，且，解得，，故选C。

高考数学复习点拨：例析分段函数题应用

例析分段函数题应用例1 某同学完成一项任务共花去九个小时，它记录的完成工作量的百分数如下：（1）如果用T （h ）来表示h 小时后他完成的工作量的百分数，请问T （5）是多少?求出T （h ），并画出图象．（2）如果该同学在早晨八时开始工作，什么时候他未工作?解析：本例考查对函数的表示法——列表法的理解及分段函数解析式的求解．根据图表理解分析目的在于培养分析问题解决问题的能力，解题关键是观察图表中函数自变量和函数值的对应关系及变化规律．（1）T （5）＝60；⎪⎩⎪⎨⎧+=,,,10106015)(h h h T ,,,96541≤≤=≤≤h h h 图略．（2）11：00—12：00未工作．例2 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝5，AB ＝10，CD ＝4，动点P 自B 点出发沿BC —CD —DA 路线运动，最后到达A 点．设P 点运动路程为x ，△ABP 的面积为y ，试求y ＝f （x ）．解析：（1）当P 点在BC 边上时，0＜x ≤5， A h BP y ⨯=21（h A 为A 到BC 的距离，85410=⨯=A h ）． ∴y ＝4x ；（2）当P 在CD 上，即5＜x ≤9时，42⨯=ABy ， ∴y ＝20（3）当P 在DA 上，即9＜x ＜14时，B h ADy ⨯=2（h B 为B 到AD 的距离，h B ＝8）． ∴x x y 4568)545(21-=⋅-++=．∴⎪⎩⎪⎨⎧-=,,,456204)(x x x f .)149()95()50(,,<<≤<≤<x x x例3 某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地．把汽车离开A 地的路程x （km ）表示为时间t （h ）（从A 地出发时开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v km/h 表示为时间t （h ）的函数，并画出函数图象．解析：由题意易知：汽车与A 地的距离x （km ）与时间t （h ）之间的函数关系式是.5.65.35.35.25.20502515060,,≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤t t t ttx ＜＜＝＝车速v （km/h ）与时间t （h ）的函数关系式及图象略．点评：本题选择分段函数作为数学模型，往往需要一定的试验，需要让学生动手做一做，体会解决实际问题时的基本方法：提出问题→收集数据→整理、分析数据→建立函数模型→解决问题，这是一个完整的过程．。

2022年高考数学必刷压轴题专题10以分段函数为背景的解不等式含解析

专题10 以分段函数为背景的解不等式【方法点拨】1. 遇绝对值往往直接转化为分段函数解决.2. 以分段函数为背景的解不等式，注意对分类后结果的处理，一般“类中取交、类后取并”（即分类过程中，不等式取交集，而最终结果应取各类之并集）.【典型题示例】例1 (2021·全国乙卷·理23改编)已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，不等式()6f x ≥的解集是 ;（2）若()f x a >-，则实数a 的取值范围是．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+,故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-. 点评：解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.例2 已知函数()|31|2|1|f x x x =+--,则不等式()(1)f x f x >+的解集是．【答案】7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【分析】在同一直角坐标系内作出函数()f x 、()1f x +的图象，根据图象即可解出．【解析】将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【巩固训练】1.已知函数222()1122x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，，则关于x 的不等式(1)(2)f x f x -<-的解集为．2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)3.已知f (x )＝(x ＋1) |x |－3x ．若对于任意x ∈R ，总有f (x )≤f (x ＋a )恒成立，则常数a 的最小值是______．4.已知函数)0(1|)|1()(>+-=a x a x x f ，若)()(x f a x f ≤+对任意的R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 .5.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 42-=)(，则不等式x x f >)(的解集为．6.已知函数|2|)(-=x x x f ，则不等式)1()2(f x f ≤-的解集为__________.7. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若对于任意x ∈R ，有f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为．【答案与提示】1.【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】作出函数()f x 图象，考察动区间[]12x x --，间图象的单调性，易得，当11=2x - 即12x =时，(1)(2)f x f x -=-，此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．NMyxO④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. 3.【答案】3＋10．【提示】f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－4x ，x ＜0，，作出函数f (x )的图象得：作平行于x 轴的直线l 与f (x )图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M ，N ，如图所示，则a 的最小值即为线段MN 长的最大值．设直线l 的方程为y ＝t ，可得MN ＝3＋1＋t ＋4－t ＝3＋(1＋t ＋4－t )2＝3＋5＋2(1＋t )(4－t )≤3＋5＋1＋t ＋4－t ＝3＋10所以，a 的最小值是3＋10 【说明】1.本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a 的最小值即为线段MN 长的最大值．2.本题也可使用导数知识解决. 4.【答案】[2,)+∞【解析】设()(1||)(0)g x x a x a =->，则()()()()f x a f x g x a g x +≤⇔+≤对任意的R x ∈恒成立，意即将()g x 图象上的每一点向左平移a 个单位后，所得到的图象不可能在()g x 的上方.因为(1),0()(1||)(1),0x ax x g x x a x x ax x -≥⎧=-=⎨+<⎩如图，由图象得，2a a≥，又因为0a >，故a ≥()(),55,-∞-⋃+∞5.【答案】【提示】利用奇函数，求出0x <时，2()4f x x x =--，代入分段求出，或直接使用图象，数形结合求出. 6.【答案】[)∞+，1-【提示】去绝对值，分段求出，或直接使用图象，数形结合求出. 7.【答案】[－66，66].。

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