2020高考数学(文)(新课标)大一轮复习层级快练：第七章 不等式及推理与证明 作业41 含解析
2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3基本不等式与绝对值不等式课件
1.掌握基本不等式 ab ≤
(a>0,b>0)及其应用.
考向分 析
2.会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不等式. 3.了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 基本不等式主要考查基本运算与转化化归思想,注重与 函数、充要条件、实际应用等交汇.在求函数的最值时, 应特别注意等号成立的条件. 绝对值不等式是最近两年中新增加的内容,并且在最近 几年的高考中考查频繁,难度也比较大.
7.3
基本不等式与绝对值不等式
-2-
2018 年份 基本不 等式 绝对值 不等式 考查要 求
2017 17,4 分
2016
2015
2014
20,14 分(文) 16,4 分(文) 18,15 分(理) 10,5 分(理) 18,15 分(理) 17,4 分 20,14 分(理) 22,14 分(理)
������+������ 2
������������称为正数 a,b 的几何
������+������ 2 (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 ������2 +������2 ������+������ 2 (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 2 ������ ������ (4) + ≥2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. ������ ������
关闭
因为 a,b∈R+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9, 所以(a+b)(a+2b+1)=9. 所以(2a+2b)(a+2b+1)=18. 又 3a+4b+1=(2a+2b)+(a+2b+1)≥2 (2������ + 2������)(������ + 2������ + 1)=6 2, 当且仅当 2a+2b=a+2b+1 时,等号成立, 所以 3a+4b 的最小值为 6 2-1.
2020版高考数学大一轮复习 第七章不等式 教案(含解析)
2020版高考数学大一轮复习第七章 不等式 §7.1 不等关系与不等式最新考纲1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示 不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示 可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若a b>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( √ ) (5)ab >0，a >b ⇔1a <1b.( √ )题组二 教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a ＋d >b ＋c答案 C解析 由同向不等式具有可加性可知C 正确． 题组三 易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c －b d >0 B.a c －b d <0 C.a d >b cD.a d <b c答案 D解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ， 又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad. 5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一 比较两个数(式)的大小例1(1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b与a b b a的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，又a >b >0，故ab>1，a －b >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，即a a b ba b b a >1，又a b b a >0，∴a a b b >a b b a，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b >a b b a. 思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法．跟踪训练1(1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则( )A ．77a a <7a a 7B ．77a a＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 77a a 7a a 7＝77－a a a －7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a ，则当a >7时，0<7a<1，7－a <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7； 当0<a <7时，7a>1，7－a >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7. 综上，77a a>7a a 7. 题型二 不等式的性质例2(1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若ac 2>bc 2，则a >b D ．若a >b ，则1a <1b答案 C解析 对于选项A ，当c <0时，不正确； 对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确； 对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ； ④a >b >0，能推出1a <1b的是________．(填序号)答案 ①②④解析 运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2(1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立． (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号) 答案 ①④解析 因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④. 题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35，2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2， 可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4，2) (1，18)解析 ∵－1<x <4，2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3(1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b >1bB ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n>b n答案 C解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.(2)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是________． 答案 (－4，0)解析 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0， ∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4，0)．一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<b c2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案 C解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误； C 项，因为a c 2<b c2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 2．若1a <1b<0，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．1>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >⎝ ⎛⎭⎪⎫12aC.b a ＋a b<2 D ．a e b>b e a答案 D解析 由题意知，b <a <0，则a 2<b 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >1，b a ＋a b >2，∵b <a <0，∴e a>e b>0，－b >－a >0 ∴－b e a>－a e b，∴a e b>b e a，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.4．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0， ∴3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0， ∴x >0，z <0， 又y >z ，∴xy >xz .5．设x >0，P ＝2x＋2－x，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( ) A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案 A解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2； 又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1， 所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π答案 C解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2.又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2.故－3π2<2α－β<π2.7．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >bc；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________． 答案 ①解析 由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件． 9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0， ∴c a －d b ＝bc －adab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db>0，即bc －adab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －adab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________． 答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cos α－sin1sin α)－(cos1cos α＋sin1sin α)＝－2sin1sin α<0.故T 1<T 2.11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd； (2)已知c >a >b >0，求证：ac －a >bc －b.证明 (1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥ab， ∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋dd. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b ，c >0⇒c a <c b⇒⎭⎪⎬⎪⎫c －a a <c －b b ，c －a >0，c －b >0⇒a c －a >bc －b .12．已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与a b的取值范围． 解 因为1<a <4，2<b <8， 所以－8<－b <－2. 所以1－8<a －b <4－2， 即－7<a －b <2. 又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b<2.13．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a<2 D ．a 2<ab <1答案 C解析 方法一 (特殊值法)：取b ＝14，a ＝12.方法二 (单调性法)： 0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝12log x 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log b >12log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.14．若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 B解析 方法一 对于函数y ＝f (x )＝ln x x (x >e)，y ′＝1－ln xx2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .方法二 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln44ln3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln44ln5＝log 6251024>1，所以b >c .即c <b <a .15．已知实数x ，y 满足a x >a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) B ．sin x >sin y C ．x 3<y 3 D.1x 2＋1>1y 2＋1答案 C解析 方法一 因为实数x ，y 满足a x >a y(0<a <1)， 所以x <y .对于A ，取x ＝0，y ＝3，不成立； 对于B ，取x ＝－π，y ＝π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3<y 3成立； 对于D ，取x ＝－2，y ＝1，不成立．故选C.方法二 根据指数函数的性质得x <y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．16．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ln b >b ln a B ．a ln b <b ln a C ．a e b<b e aD ．a e b＝b e a答案 B解析 观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln xx，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0，1)上单调递增．所以ln b b <ln a a，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x ，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2<0，所以函数f (x )＝e xx在(0，1)上单调递减，又因为0<b <a <1，所以f (a )<f (b )，即e a a <e bb，所以a e b >b e a，故选B.2020版高考数学大一轮复习第七章不等式§7.2一元二次不等式及其解法最新考纲1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.3.会解一元二次不等式．一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x 的取值范围．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？ 提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3} 答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B.3．y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4，1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b 3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－2，2] C ．(－2，2) D ．(－∞，2) 答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.故选B.题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式例1(2019·乌鲁木齐模拟)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x}，则A ∩B 等于( ) A ．(－1，2) B ．(－2，1) C ．(0，1) D ．(0，2)答案 D解析 由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x}＝{y |y >0}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0，2)．故选D. 命题点2 含参不等式例2解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解为1a<x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞. 题型二 一元二次不等式恒成立问题 命题点1 在R 上的恒成立问题例3已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4，0]． 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1，3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？ 解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1，3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围？ 解 由题意知f (x )<5－m 有解， 即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max，又x ∈[1，3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)． 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1，2]恒成立，求实数x 的取值范围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1，2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练2函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4，6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x ∈[－2，2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象与x 轴不超过1个交点时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4，6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( ) A ．[－1，4) B ．[0，5)C ．[1，4]D ．[－4，－1)∪ [4，5)答案 B解析 由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0，5)． 故选B.2．(2018·沈阳二十中联考)若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}答案 A解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1，2，且a <0，即－1＋2＝－b a，(－1)×2＝2a，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x－1>0，解得x <－1或x >12，故选A.3．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0)B ．[－3，0]C ．[－3，0)D ．(－3，0]答案 A解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.4．若存在实数x ∈[2，4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，13)答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2，4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2，4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B ．[－4，3] C ．[1，3] D ．[－1，3]答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3. 6．不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________． 答案 {x |－a <x <3a }解析 x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )(x ＋a )<0， ∵a >0，∴－a <3a ，不等式的解集为{x |－a <x <3a }． 7．(2018·烟台联考)不等式x >1x的解集为________．答案 (－1，0)∪(1，＋∞)解析 当x >0时，原不等式等价于x 2>1，解得x >1；当x <0时，原不等式等价于x 2<1，解得－1<x <0.所以不等式x >1x的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．8．若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－4，0)解析 因为x 2－ax －a >0的解集为R ，所以Δ＝(－a )2－4(－a )<0，解得－4<a <0，故实数a 的取值范围是(－4，0)． 9．不等式xx ＋1≤0的解集为________．答案 (－1，0] 解析 由xx ＋1≤0得x (x ＋1)≤0(x ≠－1)，解得－1<x ≤0.10．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0，1]恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x .设f (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0，1]，则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0，1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5. 11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1，1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0，5)，即2x 2＋bx ＋c <0的解集是(0，5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根， 由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2在x ∈[－1，1]上的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1，1]，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1，1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， ∴10＋t ≤0，即t ≤－10.13．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故选A.14．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，5]解析 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ， 当Δ＝4(a －2)2－4a <0时，即1<a <4时，f (x )>0对x ∈R 恒成立；当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意； 当a ＝4时，f (2)＝0符合题意； 当Δ>0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1，5]．15．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－1，3] D ．[－2，4]答案 C解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或1>a ≥－1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1，3]，故选C.16．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( ) A.12B.13C.14D.22 答案 C解析 当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0， 所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2， 所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14；当a <0<b 时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意； 当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a ，0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立， 所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以b －a ≤14.综上所述，b －a 的最大值为14.2020版高考数学大一轮复习第七章 不等式 §7.3 基本不等式及其应用最新考纲1.探索并了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2.因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C. 5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋2B ．1＋3C ．3D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 命题点2 常数代换法例2(2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( )A ．1B.32C ．2D.92答案 A解析 由题意可得，a 1＝q ， ∵a m a 2n ＝a 24， ∴a 1·qm －1·(a 1·qn －1)2＝(a 1·q 3)2，即q m·q 2n＝q 8， 即m ＋2n ＝8.∴2m ＋1n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m n ＋4n m ＋2×18≥()4＋24×18＝1.当且仅当m ＝2n 时，即m ＝4，n ＝2时，等号成立． 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法．跟踪训练1(1)(2019·四平质检)设x >0，y >0，若x lg2，lg 2，y lg2成等差数列，则1x ＋9y的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16 答案 D解析 ∵x lg2，lg 2，y lg2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg2，∴x ＋y ＝1. ∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.故选D.(2)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 B解析 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2， ∴a ＋b ＋c ＋1＝3， 且a ＋1>0，b ＋c >0. ∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立．故选B. 题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4(2018·重庆诊断)已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，过第一象限内圆O 外的点P (a ，b )作圆O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若PO →·PA →＝8，则a ＋b 的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．4 2D ．6答案 B解析 根据题意，结合向量数量积的定义式， 可求得PO →·PA →＝|PA →|2＝8，所以可求得|PO |2＝9， 即a 2＋b 2＝9，结合基本不等式， 可得a ＋b ≤2(a 2＋b 2)＝32，当且仅当a ＝b ＝322时取等号，故选B.命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·中山模拟)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy≥a ＋2a ＋1， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练2(1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( )A.32B.334C.32D.53答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12。
2020高考数学文新课标大一轮温习层级快练第七章不等式及推理与证明作业44
题组层级快练(四十四)1．已知a ，b ∈(0，1)且a≠b，以下各式中最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b 答案 D解析 只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b.2．(2019·人大附中月考)设0<a<b ，那么以下不等式中正确的选项是( )A ．a<b<ab<a ＋b 2B ．a<ab<a ＋b 2<bC ．a<ab<b<a ＋b 2D.ab<a<a ＋b 2<b 答案 B解析 方式一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，那么有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b 2＝1.5<b ＝2. 方式二(直接法)：咱们明白算术平均数a ＋b 2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.3．以下函数中，最小值为4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sinx ＋4sinx (0<x<π)C ．y ＝4e x ＋e－x D ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x<1)答案 C解析 注意大体不等式等号成立的条件是“a ＝b ”，同时考虑函数的概念域，A 中x 的概念域为{x|x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中假设sinx ＝4sinx取到最小值4，那么sin 2x ＝4，显然不成立．D 中没有最小值．应选C.4．假设2x ＋2y ＝1，那么x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案 D解析 ∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，得x ＋y ≤－2，应选D.5．假设x ，y 是正数，则(x ＋12y )2＋(y ＋12x )2的最小值是( )A ．3B.72 C ．4D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4. 当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”号． 6．已知a>0，且b>0，假设2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( ) A.14B ．4 C.12D ．2答案 C解析 ∵4＝2a ＋b ≥22ab ，∴ab ≤2，1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号． 7．假设x<0，那么函数y ＝x 2＋1x 2－x －1x的最小值是( ) A ．－94B ．0C ．2D ．4 答案 D解析 y ＝x 2＋1x 2－x －1x ≥2x 2·1x 2＋2（－x ）（－1x ）＝4，当且仅当x ＝－1时取等号． 8．函数y ＝x 2＋2x －1(x>1)的最小值是( ) A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案 A解析 ∵x>1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥2（x －1）（3x －1）＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3，即x＝1＋3时，取等号．x－19．已知不等式(x ＋y)(1x ＋a y)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，那么正实数a 的最小值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y)(1x ＋a y )＝1＋a·x y ＋y x＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2， 当且仅当a·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立． ∴(x ＋y)(1x ＋a y)的最小值为(a ＋1)2≥9. ∴a ≥4.10．设实数x ，y ，m ，n 知足x 2＋y 2＝1，m 2＋n 2＝3，那么mx ＋ny 的最大值是( ) A. 3B ．2 C. 5 D.102 答案 A解析 方式一：设x ＝sinα，y ＝cosα，m ＝3sin β，n ＝3cos β，其中α，β∈R .∴mx ＋ny ＝3sin βsin α＋3cos βcos α＝3cos(α－β)．应选A.方式二：由已知(x 2＋y 2)·(m 2＋n 2)＝3，即m 2x 2＋n 2y 2＋n 2x 2＋m 2y 2＝3，∴m 2x 2＋n 2y 2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx ＋ny)2≤3，∴mx ＋ny ≤ 3.11．(高考真题·山东卷)已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且知足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 A12．(2019·四川成都外国语学校)假设正数a ，b 知足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( ) A ．16B ．9C ．6D ．1 答案 C解析 方式一：因为1a ＋1b ＝1，因此a ＋b ＝ab ，即(a －1)·(b －1)＝1，因此1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6.方式二：因为1a ＋1b ＝1，因此a ＋b ＝ab ，1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a)(1a ＋1b )－10≥16－10＝6.方式三：因为1a ＋1b＝1，因此a－1＝1b－1，因此1a－1＋9b－1＝(b－1)＋9b－1≥29＝2×3＝6.13．(2019·河南郑州外国语学校月考)某城镇人口第二年比第一年增加m%，第三年比第二年增加n%，假设这两年的平均增加率为p%，那么p 与m ＋n 2的大小关系为( ) A ．p>m ＋n 2B ．p ＝m ＋n 2C ．p ≤m ＋n 2D ．p ≥m ＋n 2 答案 C解析 依题意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，因此1＋p%＝（1＋m%）（1＋n%）≤1＋m%＋1＋n%2＝1＋m%＋n%2，当且仅当m ＝n 时等号成立，因此p ≤m ＋n 2，应选C.14．(1)当x>1时，x ＋4x －1的最小值为________；(2)当x ≥4时，x ＋4x －1的最小值为________．答案 (1)5 (2)163解析 (1)∵x>1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立)∴x ＋4x －1的最小值为5.(2)∵x ≥4，∴x －1≥3.∵函数y ＝x ＋4x 在[3，＋∞)上为增函数，∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1＋1有最小值163.15．假设a>0，b>0，a ＋b ＝1，那么ab ＋1ab 的最小值为________．答案 174解析 ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．y ＝x ＋1x 在x ∈(0，14]上为减函数．∴ab ＋1ab 的最小值为14＋4＝174.16．已知a>b>0，求a 2＋16b （a －b ）的最小值． 答案 16思路 由b(a －b)求出最大值，从而去掉b ，再由a 2＋64a 2，求出最小值． 解析 ∵a>b>0，∴a －b>0.∴b(a －b)≤[b ＋（a －b ）2]2＝a 24. ∴a 2＋16b （a －b ）≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16. 当a 2＝64a2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16b （a －b ）的最小值为16. 17．(2019·江西重点中学盟校联考)设x ，y 均为正实数，且12＋x ＋12＋y ＝13，求xy 的最小值． 答案 16 解析 由12＋x ＋12＋y ＝13，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy ＝x ＋y ＋8.∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝x ＋y ＋8≥2xy ＋8，∴(xy)2－2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，当且仅当x ＝y ＝4时取等号，∴xy 的最小值为16.18．(2019·辽宁抚顺一中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右边离中心x(0<x<20)厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．依照检测发觉，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x 2成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与400－x 2成反比，比例系数为k ，且当x ＝102时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.065.(1)将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y 表示为x 的函数；(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y 的最小值． 答案 (1)y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x<20) (2)116解析 (1)由题意得y ＝4x 2＋k 400－x 2(0<x<20)， 当x ＝102时，y ＝0.065，代入上式，得k ＝9.因此y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x<20)． (2)y ＝4x 2＋9400－x 2＝1400(4x 2＋9400－x2)[(400－x 2)＋x 2]＝1400[4＋9＋4（400－x 2）x 2＋9x 2400－x 2]≥1400[13＋24（400－x 2）x 2·9x 2400－x 2]＝116， 当且仅当4（400－x 2）x 2＝9x 2400－x 2，即x ＝410时取“＝”． 因此臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y 的最小值为116.。
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第七章 不等式、推理与证明7.1 含解析
§7.1 不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)．概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则1a 与1b的大小关系确定吗？提示 不确定．若a >b ，ab >0，则1a <1b ，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；若a >0>b ，则1a >1b，即正数大于负数． 2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示 可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若ab>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(5)ab >0，a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二 教材改编2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋d D ．a ＋d >b ＋c答案 C解析 由同向不等式具有可加性可知C 正确． 题组三 易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c －bd >0 B.a c －b d <0 C.a d >b c D.a d <b c答案 D解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ， 又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b 与q ＝a ＋b 的大小关系为( )A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q答案 B解析 (作差法)p －q ＝b 2a ＋a 2b －a －b＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b ＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝(b 2－a 2)(b －a )ab ＝(b －a )2(b ＋a )ab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0. 若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ； 若a ≠b ，则p －q <0，故p <q . 综上，p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解 ∵a a b b a b b a ＝aa －bb a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ， 又a >b >0，故ab >1，a －b >0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，即a a b ba b b a >1， 又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为：a a b b >a b b a .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法．跟踪训练1 (1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N . (2)若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a <7a a 7 B ．77a a ＝7a a 7 C ．77a a >7a a 7D ．77a a 与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 77a a 7a a 7＝77－a a a －7＝⎝⎛⎭⎫7a 7－a ，则当a >7时，0<7a <1，7－a <0，则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7； 当0<a <7时，7a >1，7－a >0，则⎝⎛⎭⎫7a 7－a >1，∴77a a >7a a 7. 综上，77a a >7a a 7. 题型二 不等式的性质例2 (1)对于任意实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c ≠0，则ac >bc B ．若a >b ，则ac 2>bc 2 C ．若ac 2>bc 2，则a >bD ．若a >b ，则1a <1b答案 C解析 对于选项A ，当c <0时，不正确； 对于选项B ，当c ＝0时，不正确；对于选项C ，∵ac 2>bc 2，∴c ≠0，∴c 2>0，∴一定有a >b .故选项C 正确； 对于选项D ，当a >0，b <0时，不正确．(2)已知四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ； ④a >b >0，能推出1a <1b 的是________．(填序号)答案 ①②④解析 运用倒数法则，a >b ，ab >0⇒1a <1b，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．思维升华 常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练2 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立． (2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号) 答案 ①④解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 例3 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( ) A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2 ＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35，2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 故选A.方法二 令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立，故选A.命题点2 求代数式的取值范围例4 已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4，2) (1，18)解析 ∵－1<x <4，2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18. 引申探究若将本例条件改为－1<x ＋y <4，2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4，2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法 ①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． (2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围． 跟踪训练3 (1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n答案 C解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.(2)已知－1<x <y <3，则x －y 的取值范围是________． 答案 (－4，0)解析 ∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4. 又∵x <y ，∴x －y <0， ∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4，0)．一、选择题1．下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d 答案 C解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误；C 项，因为a c 2<bc 2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 2．若1a <1b <0，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．1>⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12aC.b a ＋ab <2 D ．a e b >b e a答案 D解析 由题意知，b <a <0， 则a 2<b 2，⎝⎛⎭⎫12b >⎝⎛⎭⎫12a >1，b a ＋ab >2， ∵b <a <0，∴e a >e b >0，－b >－a >0 ∴－b e a >－a e b ，∴a e b >b e a ，故选D.3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a－1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xz D ．x |y |>z |y |答案 C解析 ∵x >y >z 且x ＋y ＋z ＝0， ∴3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0， ∴x >0，z <0， 又y >z ，∴xy >xz .5．设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案 A解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ，而sin 2x ≤1， 所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.6．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2D ．0<2α－β<π答案 C解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，∴－3π2<2α－β<3π2.又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2.故－3π2<2α－β<π2.7．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．12log b <12log a <0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab <1答案 C解析 方法一 (特殊值法)：取b ＝14，a ＝12.方法二 (单调性法)： 0<b <a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝12log x 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log b >12log a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.8．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案 B解析 方法一 对于函数y ＝f (x )＝ln x x (x >e)，y ′＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .方法二 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a .9．已知实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)B ．sin x >sin yC ．x 3<y 3D.1x 2＋1>1y 2＋1 答案 C解析 方法一 因为实数x ，y 满足a x >a y (0<a <1)，所以x <y .对于A ，取x ＝0，y ＝3，不成立；对于B ，取x ＝－π，y ＝π，不成立；对于C ，由于f (x )＝x 3在R 上单调递增，故x 3<y 3成立；对于D ，取x ＝－2，y ＝1，不成立．故选C.方法二 根据指数函数的性质得x <y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C 中的不等式成立．10．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．a ln b >b ln aB ．a ln b <b ln aC ．a e b <b e aD ．a e b ＝b e a答案 B解析 观察A ，B 两项，实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小，引入函数y ＝ln x x ，0<x <1.则y ′＝1－ln x x 2，可见函数y ＝ln x x 在(0，1)上单调递增．所以ln b b <ln a a ，B 正确．对于C ，D 两项，引入函数f (x )＝e x x，0<x <1，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2<0，所以函数f (x )＝e x x在(0，1)上单调递减，又因为0<b <a <1，所以f (a )<f (b )，即e a a <e b b，所以a e b >b e a ，故选B. 二、填空题11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________． 答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2 ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 12．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②a c >b c；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________． 答案 ①解析 由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．13．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．14．设α∈⎝⎛⎭⎫0，12，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________． 答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.三、解答题15．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋d d； (2)已知c >a >b >0，求证：a c －a >b c －b. 证明 (1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴c d ≥a b，∴c d ＋1≥a b ＋1，∴a ＋b b ≤c ＋d d. (2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b ，c >0⇒c a <c b ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫c －a a <c －b b ，c －a >0，c －b >0⇒a c －a >b c －b . 16．已知1<a <4，2<b <8，试求a －b 与a b的取值范围． 解 因为1<a <4，2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为18<1b <12，所以18<a b <42＝2，即18<a b <2.。
2020版高考文科数学第一轮复习练习：第七章 不等式、推理与证明 课后跟踪训练39
[解析] 作出不等式组yx＋≤21≤x，y 所表示的平面区域如图中阴影 部分所示，作出直线 2y－x＝0 并平移，当直线过点 A(1,2)时，2y－x 取得最小值，最小值为 2×2－1＝3.
[★答案★] －23，23 三、解答题
9．若 x，y 满足约束条件xx＋－yy≥≥1－，1， 2x－y≤2.
(1)求目标函数 z＝12x－y＋21的最值； (2)若目标函数 z＝ax＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求 a 的取值 范围．
[解] (1)作出可行域如图阴影部分所示，可求得 A(3,4)，B(0,1)， C(1,0)．
平移初始直线21x－y＝0，当其过 A(3,4)时，z 取最小值－2，过
C(1,0)时，z 取最大值 1. ∴z 的最大值为 1，最小值为－2. (2)z＝ax＋2y 仅在点 C(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－2a
<2，解得－4<a<2. 故所求 a 的取值范围是(－4,2)． 10．某共享汽车品牌在某市投放 1500 辆宝马轿车，为人们的出
3×3＋1＝10.故选 A.
[★答案★] A 二、填空题
x＋2y－5≥0， 6．(2018·全国卷Ⅱ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋3≥0， 则 z
x－5≤0，
＝x＋y 的最大值为________． [解析] 画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所
示．作出直线 x＋y＝0，平移该直线，当直线过点 B(5,4)时，z 取得最 大值，zmax＝5＋4＝9.
[★答案★] 3
8．(2019·河南六市联考)设 x，y 满足约束条件xx＋ ＋y1≤≥10，， 则目 x－y≤1，
2020版高考文科数学第一轮复习练习：第七章 不等式、推理与证明 课后跟踪训练42
课后跟踪训练(四十二)基础巩固练一、选择题1．(2019·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2<bc 2B ．a 2>ab >b 2 C.1a <1bD.b a >a b[解析] a 2－ab ＝a (a －b )， ∵a <b <0，∴a －b <0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab >0，∴a 2>ab .① 又∵ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，② 由①②得a 2>ab >b 2.故选B. [★答案★] B2．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根[解析] 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.[★答案★] A3．“a ＝14”是“对任意正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当a ＝14时，x ＋14x ≥2x ·14x ＝1，当且仅当x ＝14x ，即x＝12时取等号；反之，显然不成立．故选A.[★答案★] A4．分析法又称“执果索因法”，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0[解析] 要证b 2－ac <3a ，需证b 2－ac <3a 2， 即证3a 2＋ac －b 2>0；因为a ＋b ＋c ＝0， 所以证明3a 2＋ac －(a ＋c )2＝2a 2－ac －c 2>0. 即证(2a ＋c )(a －c )>0，即(a －b )(a －c )>0. 故选C. [★答案★] C5．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2[解析] ∵a >0，b >0，c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.故选D.[★答案★] D 二、填空题6．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设__________________________．[解析] “x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”． [★答案★] x ≠－1且x ≠17．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________．[解析] 解法一：(取特殊值法)取a ＝2，b ＝1，得m <n . 解法二：(分析法)a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．[★答案★] m <n8．(2019·广东佛山质检)已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b 恒成立，则m 的最大值为________．[解析] 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0.所以不等式可化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b .因为5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，即其最小值为9，所以m ≤9，即m 的最大值等于9.[★答案★] 9 三、解答题9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若C ＝2π3，求证：5a ＝3b .[证明] (1)由已知得sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B ， 因为sin B ≠0，所以sin A ＋sin C ＝2sin B ，由正弦定理，有a ＋c ＝2b ，即a ，b ，c 成等差数列．(2)由C ＝2π3，c ＝2b －a 及余弦定理得(2b －a )2＝a 2＋b 2＋ab ，即有5ab －3b 2＝0，所以a b ＝35，即5a ＝3b .10．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.[证明] 因为a >0，要证原不等式成立，只需证a 2＋1a 2＋2≥a＋1a ＋2，即证a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 只需证2·a 2＋1a 2≥a ＋1a ，即证2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2，只需证a 2＋1a 2≥2.由基本不等式知a 2＋1a 2≥2显然成立， 所以原不等式成立．能力提升练11．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③D ．③④⑤[解析] 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.故选C. [★答案★] C12．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定[解析] ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1，而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)， ∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b .故选B.[★答案★] B13．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 是________三角形．[解析] 解法一：由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin2B －12sin2A ＝0，故2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.即A ＝B 或A ＋B ＝π2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，两直线重合，不符合题意，故A ＋B ＝π2，即△ABC 是直角三角形．解法二：由两直线平行可知b cos B －a cos A ＝0， 由余弦定理，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac ， 所以a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 所以c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)， 所以(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， 所以a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.若a ＝b ，则两直线重合，不符合题意， 故a 2＋b 2＝c 2，即△ABC 是直角三角形．[★答案★] 直角14．(1)已知f (x )＝ln(1＋e x )－mx (x ∈R )，对于给定区间(a ，b )，存在x 0∈(a ，b )，使得f (b )－f (a )b －a＝f ′(x 0)成立，求证：x 0唯一．(2)已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1.[证明] (1)假设存在x ′0，x 0∈(a ，b )，且x ′0≠x 0，使得f (b )－f (a )b －a ＝f ′(x 0)，f (b )－f (a )b －a＝f ′(x ′0)成立，即f ′(x 0)＝f ′(x ′0)因为f ′(x )＝e x1＋e x－m ，记g (x )＝f ′(x )，所以g ′(x )＝e x(1＋e x )2>0，f ′(x )是(a ，b )上的单调递增函数，所以x 0＝x ′0，这与x ′0≠x 0矛盾，所以x 0是唯一的．(2)假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝x 2＋12＋2－x ＋x 2－x ＋1＝2x 2－2x ＋12＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3， 与假设矛盾，所以假设不成立， 故a ，b ，c 至少有一个不小于1.拓展延伸练15．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .故选A. [★答案★] A16．(2019·大连一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负[解析] 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数， 由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2) ＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.故选A. [★答案★] A感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2020高考数学(文科)大一轮复习练(新课标)第七章 不等式及推理与证明 作业42Word版含解析
题组层级快练(四十二)1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析 在C 项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R . 2．若0＜m ＜1，则不等式(x －m)(x －1m )＜0的解集为( )A ．{x|1m ＜x ＜m}B ．{x|x>1m 或x ＜m}C ．{x|x>m 或x ＜1m }D ．{x|m ＜x ＜1m }答案 D解析 当0<m<1时，m<1m .3．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1] 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x<1.4．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析 依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B. 5．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( ) A ．x>1或x<12B ．x>1或－1<x<12C ．－1<x<12D ．x<－1或x>12答案 B解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，1－|x|<0或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，1－|x|>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x>12，x>1或x<－1或⎩⎪⎨⎪⎧x<12，－1<x<1. ∴x>1或－1<x<12，故选B.6．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x|x<－2或x>3B.{}x|x<－2或1<x<3C.{}x|－2<x<1或x>3D.{}x|－2<x<1或1<x<3答案 C 解析x 2－x －6x －1>0⇒（x －3）（x ＋2）x －1>0⇒(x ＋2)·(x －1)(x －3)>0，由数轴标根法，得－2<x<1或x>3.7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x 2＋bx ＋a<0的解集为( ) A ．{x|－1<x<12}B ．{x|x<－1或x>12}C ．{x|－2<x<1}D ．{x|x<－2或x>1}答案 A解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理，得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a<0，即2x 2＋x －1<0. 可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.8．(2019·辽宁抚顺一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13}，则f(e x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－ln3}B ．{x|－1<x<－ln3}C ．{x|x>－ln3}D ．{x|x<－ln3}答案 D解析 设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－(－1＋13)＝23，b ＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13}，∴f(x)＝－(x 2＋23x －13)＝－x 2－23x ＋13，∴f(x)>0的解集为x ∈(－1，13)．不等式f(e x )>0可化为－1<e x <13.解得x<ln 13，∴x<－ln3，即f(e x )>0的解集为{x|x<－ln3}．9．(2019·保定模拟)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( ) A ．(－235，＋∞)B ．[－235，1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－235]答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)>0， 即a>－235.10．(2019·郑州质检)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图像为( )答案 C解析 由题意得⎩⎨⎧a<0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.11．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值范围是( ) A ．(0，1a 1)B ．(0，2a 1)C ．(0，1a 3)D ．(0，2a 3)答案 B12．(2019·福州一模)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，4) B ．(－2，－1)∪(3，4) C ．(3，4] D ．[－2，－1)∪(3，4] 答案 D解析 由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时，解得1<x<a ，此时解集中的整数为2，3，则3<a ≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a ∈[－2，－1)∪(3，4]．13．不等式2x 2－3|x|－35>0的解集为________． 答案 {x|x<－5或x>5}解析 2x 2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5.14．已知－12<1x <2，则实数x 的取值范围是________．答案 x<－2或x>12解析 当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2.所以x 的取值范围是x<－2或x>12.15．若不等式a·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 a>14解析 不等式可变形为a>2x －14x ＝(12)x －(14)x，令(12)x ＝t ，则t>0. ∴y ＝(12)x －(14)x ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a>14. 16．(2019·安徽毛坦厂中学月考)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k<0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x|x ∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围． 答案 (1)k ＝－25 (2)k ＝－66 (3)k<－66(4)k ≥66解析 (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}， 所以k<0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根， 所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为{x|x ∈R ，x ≠1k}，所以⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k<0，Δ＝4－24k 2<0，解得k<－66. (4)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k>0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.17．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＜0x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，求实数a的取值范围． 答案 (－∞，9]解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0的解集为(2，3)，令g(x)＝2x 2－9x ＋a ，其对称轴为x ＝94，∴只需g(3)＝－9＋a ≤0，∴a ≤9.。
2020版高考数学新增分大一轮讲义 习题第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.3 Word版含解析
§二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，中低档难度．．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域＋＋>直线＋＋＝某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线＋＋≥包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量，组成的不等式(组)线性约束条件由，的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于，的函数解析式，如＝＋等线性目标函数关于，的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(，)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考．不等式≥表示的平面区域是什么？提示不等式≥表示的区域是轴的右侧(包括轴)．．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定．最优解是可行解中的一个或多个．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()不等式＋＋>表示的平面区域一定在直线＋＋＝的上方．(×)()点(，)，(，)在直线＋＋＝同侧的充要条件是(＋＋)(＋＋)>，异侧的充要条件是(＋＋)(＋＋) <.(√)()第二、四象限表示的平面区域可以用不等式<表示．(√)()线性目标函数的最优解是唯一的．(×)()目标函数＝＋(≠)中，的几何意义是直线＋－＝在轴上的截距．(×)题组二教材改编．[]点()和(－)在直线－＋＝的两侧，则的取值范围是．答案(－)解析点()和(－)在直线－＋＝的两侧，说明将这两点坐标代入－＋后，符号相反，所以(－＋)(－－＋)<，解得－<<.．[]不等式组所表示的平面区域的面积是．答案。
2020版高考数学理一轮总温习层级快练第七章不等式及推理与证明作业47
题组层级快练(四十七)1．分析法又称执果索因法，假设用分析法证明：“设a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac<3a ”“索”的“因”应是( )A ．a －b>0B ．a －c>0C ．(a －b)(a －c)>0D ．(a －b)(a －c)<0 答案 C解析 b 2－ac<3a ⇔b 2－ac<3a 2⇔(a ＋c)2－ac<3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c)(2a ＋c)>0⇔(a －c)(a －b)>0.2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 答案 D3．以下不等式不成立的是( )A.12<ln2 B.3＋1>2 2 C ．233<322D ．sin1>cos1 答案 B4．假设P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，那么P ，Q 的大小关系是( )A ．P>QB ．P ＝QC ．P<QD ．由a 的取值确信 答案 C解析 要比较P ，Q 的大小关系，只要比较P 2，Q 2的大小关系，只要比较2a ＋7＋2a （a ＋7）与2a ＋7＋2（a ＋3）（a ＋4）的大小， 只要比较a （a ＋7）与（a ＋3）（a ＋4）的大小， 即比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.5．用反证法证明命题“三角形的内角最多有一个钝角”时，假设正确的选项是( )A ．假设至少有一个钝角B ．假设至少有两个钝角C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案 B解析 注意到：“最多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B.6．假设a>0，b>0，a ＋b ＝1，那么以下不等式不成立的是( )A ．a 2＋b 2≥12B ．ab ≤14C.1a ＋1b ≥4D.a ＋b ≤1答案 D解析 a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ≥1－2·(a ＋b 2)2＝12，∴A 成立；ab ≤(a ＋b 2)2＝14，∴B 成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1（a ＋b 2）2＝4，∴C 成立； (a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab>1，∴a ＋b>1，故D 不成立．7．(2019·东北四校联考)设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，那么a ，b ，c 三个数() A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析 假设a ，b ，c 三个数都小于2.那么6>a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ≥2x·1x ＋2y·1y ＋2z·1z ＝6，即6>6，矛盾．因此a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于2.8．设a>0，b>0，求证：lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案 略证明 要证lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]， 只需证1＋ab ≤（1＋a ）（1＋b ）， 即证(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，即证2ab ≤a ＋b ，而2ab ≤a ＋b 成立， ∴lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．9．(2019·江苏盐城一模)已知x 1，x 2，x 3为正实数，假设x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 答案 略解析 ∵x 22x 1＋x 1＋x 32x 2＋x 2＋x 12x 3＋x 3≥2x 22＋2x 32＋2x 12＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 10．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)假设x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是不是仍然成立？若是成立，请给出证明；若是不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．答案 (1)略 (2)成立，证明略解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3.故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)假设x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x>0时，不等式成立；当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0， 现在不等式仍然成立．11．(2019·湖北武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n ≥2，n ∈N *)． 答案 (1)a n ＝2n －1 (2)略解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1.(2)证明：由(1)可知S n ＝n 2，要证原不等式成立，只需证1（n －1）2＋1（n ＋1）2>2n 2， 只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2.只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2.只需证3n 2>1.而3n2>1在n≥1时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n(n ≥2，n ∈N *)恒成立． 12．设数列{a n }知足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝∑n k ＝1b k ，证明：S n <1. 答案 (1)a n ＝1－1n(2)略 解析 (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1， 得{11－a n}是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n＝n.因此a n ＝1－1n . (2)由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝∑n k ＝1b k ＝∑n k ＝1 (1k －1k ＋1)＝1－1n ＋1<1. 13．(2021·湖南，理)设a>0，b>0，且a ＋b ＝1a ＋1b. 证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．答案 (1)略 (2)略解析 (1)由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a>0，b>0，得ab ＝1. 由大体不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a<2与b 2＋b<2同时成立，那么由a 2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．14．已知函数f(x)＝lnx －ax ＋b x ，对任意的x ∈(0，＋∞)，知足f(x)＋f(1x)＝0，其中a ，b 为常数． (1)假设f(x)的图像在x ＝1处的切线通过点(0，－5)，求a 的值；(2)已知0<a<1，求证：f(a 22)>0. 答案 (1)－2 (2)略解析 (1)在f(x)＋f(1x)＝0中，取x ＝1，得f(1)＝0，又f(1)＝ln1－a＋b＝－a＋b，因此b＝a.从而f(x)＝lnx －ax ＋a x， f ′(x)＝1x －a(1＋1x 2)，f ′(1)＝1－2a. 又f′(1)＝－5－f （1）0－1＝5，因此1－2a ＝5，a ＝－2. (2)证明：f(a 22)＝ln a 22－a 32＋2a ＝2lna ＋2a －a 32－ln2. 令g(x)＝2lnx ＋2x －x 32－ln2， 那么g′(x)＝2x －2x 2－3x 22＝－3x 4＋4（x －1）2x 2. 因此，x ∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，故x ∈(0，1)时，g(x)>g(1)＝2－12－ln2>1－lne ＝0. 因此，0<a<1时，f(a 22)>0.。
2020版高考数学一轮总复习 第七单元不等式与推理证明 课后作业全集 含解析
一元二次不等式1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是(D) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2]原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x ≠－1，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，即－1<x ≤2.所以不等式的解集为(－1,2]．2．方程ax 2＋5x ＋c >0的解集为{x |13<x <12}，则a 和c 的值为(D)A ．6,1B ．6，－1C ．－6,1D ．－6，－1由题知a ＜0且⎩⎪⎨⎪⎧－5a ＝13＋12c a ＝13×12⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1.3．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x)>0的解集为(D)A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}依题意知f (x )>0的解集为{x |－1<x <12}，所以f (10x－1<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.4．(2018·广东清远一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是(C)A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－1,3) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，所以a ＝b <0，所以不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0， 解得－1<x <3.所以原不等式的解集为(－1,3)．5．若集合A ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x ∈R |(x －2)(x －5)＜0}，则A ∩B ＝ {x |2<x <3} .A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2<x <5}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}． 6．不等式4x －2≤x －2的解集为 [0,2)∪[4，＋∞) .当x －2>0，即x >2时，不等式化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；当x －2<0，即x <2时，不等式化为(x －2)2≤4， 所以0≤x <2.所以原不等式的解集为[0,2)∪[4，＋∞)．7．设a ∈R ，集合A ＝R ，B ＝{x ∈R |(a －2)x 2＋2(a －2)x －3<0}． (1)若a ＝3，求集合B (用区间表示)； (2)若A ＝B ，求实数a 的取值范围．(1)当a ＝3时，B ＝{x ∈R |x 2＋2x －3<0}．由x 2＋2x －3<0，得(x ＋3)(x －1)<0， 即－3<x <1，所以B ＝(－3,1)．(2)依题意有：(a －2)x 2＋2(a －2)x －3<0对任意x ∈R 恒成立， 当a ＝2时，原不等式化为－3<0，此不等式恒成立．当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝a －2＋a －，解得－1<a <2. 综上所述，－1<a ≤2.8．(2017·安徽江淮十校第三次联考)|x |(1－2x )>0的解集为(A) A ．(－∞，0)∪(0，12) B ．(－∞，12)C ．(12，＋∞) D．(0，12)当x ≥0时，原不等式即为x (1－2x )>0，所以0<x <12；当x <0时，原不等式即为－x (1－2x )>0，所以x <0.综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，12)．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则关于x 的不等式f (x )≥x 2的解集为 [－1,1] .⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x ＋2≥x 2，得x ∈[－1,1]．10．解关于x 的不等式ax 2－2(1＋a )x ＋4>0.原不等式化为(x －2)(ax －2)>0，①当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，其解集为{x |x <2}．②当a <0时，有2>2a ，原不等式化为(x －2)(x －2a )<0，其解集为{x |2a<x <2}．③当0<a <1时，有2<2a ，原不等式化为(x －2)(x －2a )>0，其解集为{x |x >2a或x <2}．④当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2>0，其解集为{x ∈R |x ≠2}．⑤当a >1时，有2>2a ，原不等式化为(x －2)(x －2a )>0，其解集为{x |x >2或x <2a}简单的线性规划问题1．(2016·北京卷)已知A (2,5)，B (4,1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为(C)A ．－1B ．3C ．7D ．8作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时，2x －y 取最大值，为2×4－1＝7.2．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是(A)A ．－15B ．－9C ．1D ．9不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x 并平移，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 取最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.3．(2018·广州一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2y －1≥0，x －1≤0，则z ＝x 2＋2x ＋y 2的最小值为(D)A.12B.14 C ．－12 D ．－34画出可行域，如图：(方法一)因为z ＝x 2＋2x ＋y 2＝(x ＋1)2＋y 2－1，所以z 表示可行域内的点与点(－1,0)的距离的平方减去1. 所以z min ＝(12)2－1＝－34.(方法二)z ＝x 2＋2x ＋y 2变形为(x ＋1)2＋y 2＝1＋z .故目标函数可看作是以点(－1,0)为圆心，1＋z 为半径的圆． 当圆与区域的边界相切时，取最小值．所以d ＝12≤1＋z ，所以1＋z ≥14，从而z ≥－34.所以z min ＝－34.4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(B)A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱设甲车间加工x 箱原料，乙车间加工y 箱原料，甲、乙两车间每天总获利为z元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≤480，x ＋y ≤70，x ，y ∈N *，z ＝7×40x ＋4×50y ＝280x ＋200y ，画出可行域如图阴影部分，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ＝480，x ＋y ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝55.知z 在A 点处取得最大值，故选B.5．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为 9 .由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)．目标函数z ＝x ＋y 取得最大值斜率为－1的平行直线x ＋y ＝z (z 看作常数)的截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，所以z max ＝5＋4＝9.6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则(1)yx的取值范围为 [2，＋∞) ； (2)x 2＋y 2的取值范围为 (1,5] .作出可行域，其可行域是顶点分别为A (0,1)，B (1,2)，C (0,2)的三角形及其内部(但不包括AC 边)．(1)因为yx表示可行域内的点(x ，y )与(0,0)连线的斜率，可知其取值范围为[2，＋∞)． (2)因为x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到(0,0)的距离的平方，可知其取值范围为(1,5]．7．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，问T 中的点共确定多少条不同的直线？画出不等式组所表示的平面区域(如下图所示)．令z ＝0，得直线l ：x ＋y ＝0，平移直线l ，由图象可知当直线经过整点A (0,1)时，z 取最小值，当直线经过整点B (0,4)，C (1,3)，D (2,2)，E (3,1)，F (4,0)时，z 取最大值．所以T ＝{(0,1)，(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}，所以T 中的点可确定的直线有AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．8．(2016·浙江卷)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(B)A.355B. 2C.322D. 5根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A 点和B 点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 点且斜率为1的两条直线方程为x －y ＋1＝0和x －y －1＝0， 由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.9．(2018·深圳二模)已知a <0，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋y ＋a ≤0，x －y －2≤0，若z ＝x ＋2y 的最大值为5，则a ＝ －2 .画出可行域(如图)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－x 2＋z2.平移y ＝－x2经过A (－1,1－a )时，z 取最大值，所以z max ＝－1＋2－2a ＝5，所以a ＝－2.10．(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．①②(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一组平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．基本不等式1．对x ∈R 且x ≠0都成立的不等式是(D) A ．x ＋1x ≥2 B ．x ＋1x≤－2C.|x |x 2＋1≥12 D ．|x ＋1x|≥2因为x ∈R 且x ≠0，所以当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，－x >0，所以x ＋1x＝－(－x ＋1－x )≤－2，所以A ，B 都错误；又因为x 2＋1≥2|x |，所以|x |x 2＋1≤12，所以C 错误，故选D.2．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则(A) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2设甲地到乙地走的路程为S ，则v ＝2S S a ＋S b ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ， 又因为a <b ，所以v a ＝2ba ＋b >1，即v >a .3．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为(C) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4由1a ＋2b＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝48，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是(B) A ．3 B ．4 C.92 D.112利用基本不等式，x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－(x ＋2y 2)2，整理，得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， 即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0， 又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4. 当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号．5．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为 14 .因为a －3b ＋6＝0，所以a －3b ＝－6.所以2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b＝22a －3b＝22－6＝2×2－3＝14.当且仅当2a＝2－3b，即a ＝－3b 时，取“＝”，即2a＋18b 取得最小值14，结合a －3b ＋6＝0，知此时a ＝－3，b ＝1.6．如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为 20 (m)．设矩形的高为y (m)，面积为S (m 2)，由三角形相似得x 40＝40－y40，即x ＋y ＝40.所以S ＝xy ≤(x ＋y2)2＝400，当且仅当x ＝y ＝20时等号成立． 7．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝1. (1)求1x ＋1y的最小值；(2)求log 2x ＋log 2y 的最大值．(1)因为1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(4x ＋y )＝y x ＋4xy＋5≥2y x ·4xy＋5＝9. 当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝16，y ＝13时，取“＝”． 所以1x ＋1y的最小值为9.(2)log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝log 2(14·4x ·y )≤log 2[14(4x ＋y 2)2]＝log 2116＝－4，当且仅当4x ＝y ，即x ＝18，y ＝12时取“＝”．所以log 2x ＋log 2y 的最大值为－4.8．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．若对任意x >2，不等式(x －a x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是(C)A ．[－1,7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)由题意可知，不等式(x －ax ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，即x －x 2－a ＋ax ≤a ＋2，所以a ≤x 2－x ＋2x －2对x >2都成立，即a ≤(x 2－x ＋2x －2)min .由于x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3≥2x －4x －2＋3＝7(x >2)， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立，所以a ≤7.9．(2018·湖南长郡中学联考)已知向量a ，b 满足：|a |＝|b |＝1且a ·b ＝12，若c ＝x a ＋y b ，其中x >0，y >0且x ＋y ＝2，则|c |的最小值是3 .因为|a|＝|b|＝1，a·b ＝12，所以|c|2＝x 2＋y 2＋2xy a·b ＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ＝4－xy ≥4－(x ＋y2)2≥3.当且仅当x ＝y ＝1时，取“＝”． 所以|c|≥ 3.10．某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元，顶部每平方米造价200元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大值，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？(1)设铁栅长为x 米，两侧砖墙长为y 米，且x ，y >0.顶部面积S ＝xy ，依题意得，400x ＋900y ＋200xy ＝32000， 由基本不等式得32000＝400x ＋900y ＋200xy ≥2400x ·900y ＋200xy ＝1200xy ＋200xy ，即32000≥1200S ＋200S ，即S ＋6S －160≤0， 令t ＝S (t >0)，得t 2＋6t －160≤0， 即(t －10)(t ＋16)≤0，所以0<t ≤10，即0<S ≤10，所以0<S ≤100. 所以S 的最大允许值为100平方米．(2)由(1)S ≤100，当且仅当400x ＝900y ，且xy ＝100时等号成立，解得x ＝15. 所以正面铁栅应设计为15米长．合情推理与演绎推理1．下列在向量范围内成立的命题，类比推广到复数范围内，仍然为真命题的个数是(C) ①|a·b |≤|a|·|b|; ②|a ＋b|≤|a|＋|b|； ③a 2≥0; ④(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4其中①、②、④为真，③为假，故选C.2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ∈N *)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n为(B)A.2n ＋2B.2nn ＋C.22n－1 D.22n －1因为S 2＝4a 2＝a 1＋a 2，所以a 2＝13＝26＝22×3，因为S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，所以a 3＝16＝212＝23×4，S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋13＋16＋a 4，所以a 4＝110＝220＝24×5，所以猜想a n ＝2nn ＋(n ∈N *)．3．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(D)A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．4．已知点A (x 1，ax 1)，B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x(a >1)的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>a x 1＋x 22成立．运用类比的思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有(C)A.sin x 1＋sin x 22>sin x 1＋x 22B.sin x 1＋sin x 22＝sin x 1＋x 22C.sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22D.sin x 1＋sin x 22与sin x 1＋x 22的大小不确定易知y ＝a x(a >1)为凹函数，有f x 1＋f x 22>f (x 1＋x 22)；y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象为凸函数，从推理过程类比有f x 1＋f x 22<f (x 1＋x 22)．即有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.5．(2018·广州二模)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15＋21；②49＝18＋31；③64＝28＋36；④81＝36＋45中符合这一规律的等式是 ①③④ .(填写所有正确结论的编号)观察得：(n ＋1)2＝(1＋2＋…＋n )＋[1＋2＋…＋n ＋(n ＋1)]，符合上述特征的数有①③④.6．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 1和3 .由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，可推知丙的卡片上的数字是1和2或1和3.又根据乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的数字为2和3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同的数字不是2”可知，甲的卡片上的数字是1和3.7．(2018·湖南岳阳月考)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明：左边＝sin 2α＋(32cos α－12sin α)2＋ sin α(32cos α－12sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32cos αsin α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34＝右边， 故猜想成立．8．如图所示的数阵中，用A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则依此规律A (15,2)为(C)A.2942B.710 C.1724 D.73102由数阵图可以看出每一行的第一个数的分子都是1，分母按3,6,10,15，…排列，从第三行起，每一行第二个数字都是该数字肩上两个数字之和，A (3,2)＝16＋16， A (4,2)＝16＋16＋110， A (5,2)＝16＋16＋110＋115，……A (n,2)＝16＋16＋110＋115＋…＋2n n ＋，所以A (15,2)＝16＋2(13－14＋14－15＋…＋115－116)＝16＋2(13－116)＝1724.故选C.9．(2018·湖南长郡中学联考)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数的最佳分解时，我们定义函数f (n )＝q －p ，例如f (12)＝4－3＝1，数列{f (3n )}的前100项和为 350－1 .a 1＝f (3)＝31－30，a 2＝f (32)＝31－31＝0； a 3＝f (33)＝32－31， a 4＝f (34)＝32－32＝0， a 5＝f (35)＝33－32，……a 99＝f (399)＝350－349， a 100＝f (3100)＝350－350＝0.所以S 100＝31－30＋32－31＋…＋350－349＝350－1.10．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： ①a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m(n ≠m )． ②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . ③若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (n ∈N *)构成公差为n 2d 的等差数列． ⑤a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)构成公差为md 的等差数列． 类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．类比等差数列的性质可得到等比数列的相应性质：①b n ＝b m ·qn －m，q ＝(b n b m )1n －m(n ≠m )．②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则b m ·b n ＝b p ·b q . ③若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则b m ·b n ＝b 2p .④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (n ∈N *)构成公比为q n的等比数列． ⑤b k ，b k ＋m ，b k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)构成公比为q m的等比数列．直接证明与间接证明1．(2018·和平区校级月考)否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为(D)A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，选D.2．(2018·滦南县期末)若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数是(C) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①②正确，③中，a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.3．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么(D)A ．x <x ＋y2<y <xy B.xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y2<xy <y D ．x <xy <x ＋y2<y因为y >x >0，所以y >x ＋y2>xy >x ，选D.4．(2017·石河子校级月考)设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三数(C)A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2因为a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1y≥6，若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6与上式矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个不小于2，选C.5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是 a ≤b .6．设a ，b ，u 都是正实数，且a ，b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是 (0,16] .因为1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋9b)＝1＋a b ×9＋b a＋9 ≥10＋29a b ×ba＝16.当且仅当9a b ＝ba，即a ＝4，b ＝12时取等号．若a ＋b ≥u 恒成立，所以0<u ≤16.7．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，求证：f (x ＋12)为偶函数．由函数f (x ＋1)与f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x ＋1)＝f (－x )，上式对任意x 都成立，将x 换成x －12代入上式可得f (x －12＋1)＝f [－(x －12)]，即f (x ＋12)＝f (－x ＋12)．由偶函数的定义知f (x ＋12)为偶函数．8．(2018·合肥市二检)已知函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，则下列不等关系恒成立的是(C)A ．b －a <2B ．a ＋2b >2C ．b －a >2D ．a ＋2b <2由题意知f (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x－12x＋1＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． 又f (x )＝1－2x1＋2x ＝2－＋2x1＋2x＝21＋2x －1， 所以f (x )是R 上的减函数． 由f (2a ＋b )＋f (4－3b )>0，可得f (2a ＋b )>－f (4－3b )＝f (3b －4)， 故2a ＋b <3b －4，即b －a >2，故选C.9．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是 (－3，32) .因为f (x )在[－1,1]至少存在一点c ，使f (c )>0，则f (x )max >0，所以f (－1)＝－2p 2＋p ＋1>0， 或f (1)＝－2p 2－3p ＋9>0， 解得－3<p <32.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N )，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.因为p ，q ，r ∈N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以(p ＋r 2)2＝pr ，所以(p －r )2＝0， 所以p ＝r .这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．不等关系与不等式的性质1．对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“ac 2>bc 2”的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为a >b ，且cac 2>bc 2，而ac 2>bc 2a >b ， 所以“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件．2．(2018·温州模拟)已知a >b ，则下列不等式恒成立的是(D)A ．ln a >ln b B.1a <1bC ．a 2>abD ．a 2＋b 2>2ab只有当a >b >0时，A 成立；只有当a ，b 同号时，B 成立；只有当a >0时，C 成立；因为a ≠b ，a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2>0，即a 2＋b 2>2ab .故D 成立．3．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为(A)A ．m >p >nB ．m >n >pC ．n >m >pD ．p >m >n因为a >1，所以(a 2＋1)－2a ＝(a －1)2>0， 即a 2＋1>2a ，所以m >p .又2a －(a －1)＝a ＋1>0，即2a >a －1，所以p >n ，所以m >p >n .4．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)．若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则(A)A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)＞f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定要比较两个量的大小，只要作差、变形、判断就可以了，事实上： f (x 1)－f (x 2)＝a (x 21－x 22)＋2a (x 1－x 2)＝a (x 1－x 2)[(x 1＋x 2)＋2]＝a (3－a )(x 1－x 2)．因为x 1－x 2<0,0＜a ＜3，所以f (x 1)<f (x 2)．5．给出下列命题：① a <b 1a <1b； ② a >b 且1a >1b a >0，b >0；③ a >|ba 2>b 2； ④ a >b a n >b n (n ∈N *)．其中真命题的序号是 ③ .由不等式的性质可知，只有③成立，故填③.6．已知π2<α<β<π，则α＋β的取值范围是 (π，2π) ，α－β的取值范围是 (－π2，0) . 7．已知a ，b ∈R ，求证a 2＋b 2≥ab ＋a －b －1.2(a 2＋b 2)－2(ab ＋a －b －1) ＝(a 2＋b 2－2ab )＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －b )2＋(a －1)2＋(b ＋1)2≥0.所以a 2＋b 2≥ab ＋a －b －1.8．(2016·浙江卷)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R .(B)A ．若f (a )≤|b |，则a ≤bB ．若f (a )≤2b ，则a ≤bC ．若f (a )≥|b |，则a ≥bD ．若f (a )≥2b ，则a ≥b因为f (x )≥|x |，所以f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误． 若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．因为f (x )≥2x ，所以f (a )≥2a .若f (a )≤2b ，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确． 若f (a )≥2b 且f (a )≥2a ，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.9．(2018·北京卷)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是 3 .由已知得2x －y ≥0，y －x ≥1.令2y －x ＝m (2x －y )＋n (y －x )，由待定系数法得⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋n ＝2，2m －n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m＝1，n ＝3.所以2y －x ＝(2y －x )＋3(y －x )≥0＋3＝3.所以2y －x 的最小值为3.10．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，求z ＝2x －3y 的取值范围．设2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )＝(m ＋n )x ＋(m －n )y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝2，m －n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.所以－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152，所以3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<2x －3y <8.所以z ＝2x －3y 的取值范围为(3,8)．。
(新课标)高考数学大一轮复习-第七章 不等式及推理与证明 7 一元二次方程根的分布专题研究课件 文
5．求实数 m 的范围，使关于 x 的方程 x2＋2(m－1)x＋2m＋ 6＝0.
(1)有两个实根，且一个比 2 大，一个比 2 小； (2)有两个实根 α，β ，且满足 0<α<1<β<4； (3)至少有一个正根．
解得－75<m<－54.
(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：
Δ≥0， ①有两个正根，此时可得2f（（0m－）－2>10），>0，
m≤－1或m≥5，
即m>－3，
∴－3<m≤－1.
m<1，
②有一个正根，一个负根，此时可得 f(0)<0，得 m<－3. ③有一个正根，另一根为 0，此时可得62＋（2mm－＝10），<0， ∴m＝－3. 综上所述，得 m≤－1.
3．已知方程 4x2＋2(m－1)x＋(2m＋3)＝0(m∈R)有两个负 根，求 m 的取值范围．
答案 [11，＋∞)
解析
Δ＝4（m－1）2－4×4（2m＋3）≥0， 依题意有－（m－1）<0，
2m＋3>0，
∴m≥11.
4．若方程 4x＋(m－3)·2x＋m＝0 有两个不相同的实根，求 m 的取值范围．
【定理 5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2
a>0，
a<0，
ff（ （kk12） ）><00， ，或ff（ （kk12） ）<>00， ， f（p1）<0， f（p1）>0，
f（p2）>0 f（p2）<0.
此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证．
2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习试题：第七章+不等式、推理与证明+单元质检卷7+Word版含答案
2020版高考文科数学（北师大版）一轮复习试题单元质检卷七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018山东、湖北部分重点中学模拟五,3)若2m>2n,则下列结论一定成立的是()A. B.m|m|>n|n|C.ln(m-n)>0D.πm-n<12.已知不等式ax2-5x+b>0的解集为,则不等式bx2-5x+a>0的解集为()A. B.C.{x|-3<x<2}D.{x|x<-3或x>2}3.下面四个推理中,属于演绎推理的是()A.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 015的末两位数字为43B.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,可得偶函数的导函数为奇函数C.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积之比为1∶8D.已知碱金属都能与水发生还原反应,钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4.(2018河南中原名校质检三,3)下列各函数中,最小值为2的是()A.y=x+B.y=sin x+,x∈0,C.y=D.y=x+-3,x>15.(2019广东化州一模,9)已知实数x,y满足则z=x+的最大值为()A.7B.1C.10D.06.(2018辽宁凌源二中三模,8)大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是()A.小徐语文B.小蔡数学C.小杨数学D.小蔡语文7.(2019届湖南衡阳第八中学二模,7)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-38.(2019届四川成都石室中学模拟,8)已知a>0,实数x,y满足若z=3x+y最小值为1,则a的值为()A.-1B.1C.-D.-1或19.(2018吉林梅河口五中三模,7)用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=,n∈N+”,则当n=k+1时,应当在n=k时对应的等式的两边加上()A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3B.k3+1C.(k+1)3D.10.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件11.已知实数x,y满足约束条件若z=的最小值为-,则正数a的值为()A. B.1 C. D.12.(2018山东日照联考,7)某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下面叙述正确的是()A.乙的记忆能力优于甲的记忆能力B.乙的创造力优于观察能力C.甲的六大能力整体水平优于乙D.甲的六大能力中记忆能力最差二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.14.已知抛物线y=ax2+2x-a-1(a∈R)恒过第三象限上一定点A,且点A在直线3mx+ny+1=0(m>0,n>0)上,则的最小值为.15.(2018四川广元适应性统考,15)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=.16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)= n2+n,正方形数N(n,4)=n2,五边形数N(n,5)= n2-n,六边形数N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=.。
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第七章 不等式、推理与证明7.5 Word版含
姓名，年级：时间：§7.5 合情推理与演绎推理最新考纲考情考向分析1。
了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2。
了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论"，并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查,属于中低档题.1．合情推理2．归纳推理的一般步骤（1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．合情推理3．类比推理的一般步骤（1)找出两类事物之间的相似性或一致性．（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想)．4．演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程,通常叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．5．“三段论"可表示为①大前提：M是P;②小前提：S是M；③结论：所以，S是P.概念方法微思考1．合情推理所得结论一定是正确的吗?提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确,用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确．2．合情推理对我们学习数学有什么帮助?提示合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．3．“三段论"是演绎推理的一般模式,包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略?提示大前提是已知的一般原理,当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）（1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ×)（2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √)（3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（×）(4）“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．（√）（5)一个数列的前三项是1，2，3,那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N )．( ×)＋(6）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ×)题组二教材改编2．已知在数列｛a n｝中,a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1,依次计算a2，a3，a后，猜想a n的表达式是( ）4A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16,a1＝12，a2＝22,a3＝32，a4＝42,猜想a n＝n2。
2020届高考数学大一轮复习讲义：第七章 不等式 7.4 Word版含答案.doc
§7.4 基本不等式及其应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )． (2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件，故选C.5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1 D.32答案 A解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立． ∴函数的最小值为0.故选A.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例 (2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值． 跟踪训练 (1)若对任意x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上是增加的，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对任意x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．答案23＋23解析 y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y 3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x 3y ，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1y 的最小值为23＋23.题型二 基本不等式的实际应用典例 (2017·淄博质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250 ＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)(2018届山东、湖北重点中学调研)已知函数f (x )＝lg x ，若a >b >0，有|f (a )|＝|f (b )|，则a 2＋(b i )2a －b (i 是虚数单位)的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 因为f (x )＝lg x ，由|f (a )|＝|f (b )|，可得a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，得ab ＝1， 所以a 2＋(b i )2a －b ＝a 2－b 2a －b＝a ＋b ＝a ＋1a >2，故选C.(2)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9 答案 D解析 由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，故有4a 2＋b 2＝1，∴4a 2＋b 2＝1，∴1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋4＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2时，等号成立，∴1a 2＋1b 2的最小值为9.命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 答案 B解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6. 又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立，∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)(2018届辽宁名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，c ＝3ab ，则ab 的最小值为________． 答案 13解析 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 可知sin A ＝sin [π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ， 化简得－2sin B cos C ＝sin B ， ∵sin B >0，∴cos C ＝－12，∵c ＝3ab ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴ab ≥13，则ab 的最小值为13.(2)(2018届江西新余第一中学模拟)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________．答案 4解析 ∵函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图像恒过定点A ，∴A (1,1)，∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上(m ，n >0)，∴m ＋n ＝1(m ，n >0)，∴1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋mn ≥2＋2n m ·mn＝4，当且仅当m ＝n ＝12时取等号，∴1m ＋1n的最小值为4.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________．现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)．答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．(2017·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立，故选A.2．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，当且仅当x ＝12时，等号成立，故选项A 不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．(2018·青岛质检)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5答案 C解析 依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 4．(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16 答案 B解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b，即a ＝22，b ＝2时等号成立．故选B. 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.6．(2018·平顶山一模)若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15答案 A解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎫xx 2＋3x ＋1max ，而对任意x ∈(0，＋∞)， xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15.7．已知2a ＋4b ＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为_______________． 答案 0解析 2a ＋4b ＝2a ＋22b ＝2≥22a ＋2b，2a＋2b≤1＝20，a ＋2b ≤0，当a ＝2b 时等号成立，所以a ＋2b 的最大值为0.8．(2017·襄阳一调)已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y 的最小值为________．答案 92解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1， ∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2， ∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋2y＝52＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y x ＋1＋2(x ＋1)y ≥52＋12×22y x ＋1·2(x ＋1)y ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，x ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝23时取等号，故1x ＋1＋2y的最小值为92.9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)． 综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元． 答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元， 则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12．某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2. (1)求f (x )的解析式，并写出其定义域； (2)当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 解 (1)因为t 1＝9 000x ，t 2＝ 3 0003(100－x )＝1 000100－x，所以f (x )＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x ，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N ＋}． (2)f (x )＝9 000x ＋1 000100－x＝10[x ＋(100－x )]⎝⎛⎭⎫9x ＋1100－x＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋9(100－x )x＋x 100－x ，因为1≤x ≤99，x ∈N ＋， 所以9(100－x )x >0，x100－x >0，所以9(100－x )x ＋x100－x≥29(100－x )x ·x100－x＝6， 当且仅当9(100－x )x ＝x100－x ，即当x ＝75时取等号．即当x ＝75时，f (x )取得最小值．13．(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1 答案 C解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a >0，∴b >1，a >1， 则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C.14．(2017·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)， 由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n ＋4≥24＋4＝8(当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立)．15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值是( )A ．0B ．1 C.94 D ．3答案 B 解析xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________．答案 27解析 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1.又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15.因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15≥26(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.。
2020高考数学文新课标大一轮温习层级快练第七章不等式及推理与证明作业45
题组层级快练(四十五)1．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数量的点能够排成一个正三角形(如以下图)，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30答案 B解析 观看归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第七个三角形数为7×（7＋1）2＝28.2．(2019·深圳一摸)已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么a 2 019＝( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6 答案 A解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2 019＝6×336＋3，∴a 2 019＝a 3＝3.选A.3．概念一种运算“*”：关于自然数n 知足以下运算性质： ①1*1＝1，②(n ＋1)*1＝n*1＋1，那么n*1等于( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1 D ．n 2 答案 A解析 由(n ＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1＋(n －1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n. 4．(2019·邯郸一中月考)两旅客坐火车外出旅行，希望座位连在一路，且有一个靠窗，已知火车上的座位如下图，那么以下座位号码符合要求的应当是( )窗 口12 过 道3 4 5 窗 口6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …… ………A.48，49C ．75，76D ．84，85答案 D解析 由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一路，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 项符合条件．5．观看(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cosx)′＝－sinx ，由归纳推理可得：假设概念在R 上的函数f(x)知足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝( ) A ．f(x) B ．－f(x) C ．g(x) D ．－g(x)答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观看以下各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 答案 C解析 记a n ＋b n ＝f(n)，那么f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观看不难发觉f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n ∈N *，n ≥3)，那么f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.因此a 10＋b 10＝123.7．如下图，将假设干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 017a 2 018＝( )A.2 0152 016 B.2 0162 017 C.2 0172 018 D.2 0182 017答案 B解析 由图案可得第n 个图案中的点数为3n ，那么a n ＝3n －3，∴93（n －1）×3n ＝1n （n －1）＝1n －1－1n ，∴9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 017a 2 018＝(11－12)＋(12－13)＋…＋(12 016－12 017)＝1－12 017＝2 0162 017，应选B. 8．如图，依照图中的数组成的规律，a 表示的数是( )1 2 23 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5A ．12B ．48C ．60D ．144答案 D9．(2019·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，那么第70个“整数对”为( ) A ．(3，9) B ．(4，8) C ．(3，10) D ．(4，9) 答案 D解析 因为1＋2＋…＋11＝66，因此第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．应选D.10．已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 对应的三边，假设知足a 2＋b 2＝c 2，即(a c )2＋(bc )2＝1，则△ABC 为直角三角形，类比此结论可知，假设知足a n ＋b n ＝c n (n ∈N ，n ≥3)，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上都有可能 答案 A解析 由题意知角C 最大，a n ＋b n ＝c n (n ∈N ，n ≥3)即(a c )n ＋(b c )n ＝1(n ∈N ，n ≥3)，又c>a ，c>b ，因此(a c )2＋(b c )2>(ac )n＋(b c )n ＝1，即a 2＋b 2>c 2，因此cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，因此0<C<π2，故△ABC 为锐角三角形． 11．学习合情推理后，甲、乙两位同窗各举了一个例子．甲：由“假设三角形周长为l ，面积为S ，那么其内切圆半径r ＝2S l ”，类比可得“假设三棱锥表面积为S ，体积为V ，那么其内切球半径r ＝3V S ”；乙：由“假设直角三角形两直角边长别离为a ，b ，那么其外接圆半径r ＝a 2＋b 22”，类比可得“假设三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长别离为a ，b ，c ，那么其外接球半径r ＝a 2＋b 2＋c 23”．这两位同窗类比得出的结论是( )A ．两人都对B ．甲错、乙对C ．甲对、乙错D ．两人都错 答案 C解析 利用等面积与等体积法可推得甲同窗类比推理的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，那么此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r ＝a 2＋b 2＋c 22，因此乙同窗类比推理的结论是错误的，应选C.12．(2019·青岛质检一)中国有个名句“运筹帷幄当中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但列位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示确实是，那么8 335用算筹可表示为()答案 B解析由题意得千位和十位用横式表示，百位和个数用纵式表示，因此千位的8表示为，百位的3表示为，十位的3表示为，个位的5表示为，应选B.13．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按必然规那么加入相关数据组成传输信息．设确信原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}(i＝0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规那么为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如原信息为111，那么传输信息为01111.传输信息在传输进程中受到干扰可能致使接收信息犯错，那么以下接收信息必然有误的是()A．11010 B．01100C．10111 D．00011答案 C解析关于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规那么知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.14．(2019·河北冀州中学期末)如下图，坐标纸上的每一个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标别离对应数列{a n}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，那么a2 017＝()A．502 B．503C．504 D．505答案D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝n ＋12.因此a 2 017＝x 1 009＝505.15．(2018·太原模拟)有一个游戏：将标有数字1，2，3，4的四张卡片别离随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测： 甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为______． 答案 4，2，1，3解析 由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4，2，1，3.16．(2019·皖南八校联考)对∀a ，b ∈R ，概念运算：a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a<b ；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，a ≥b ，b －a ，a<b.那么以下判定正确的选项是________．①2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 014； ②(a ⊕a)⊗a ＝0； ③(a ⊕b)⊗a ＝a ⊕(b ⊗a)．答案 ②解析 关于①，由概念的运算可知，2 014⊗2 015＝2 015－2 014＝1， 故2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 015⊕1＝2 015，故①错误． 关于②，因为a ⊕a ＝a ，故(a ⊕a)⊗a ＝a ⊗a ＝a －a ＝0，故②正确． 由于③，当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ，故(a ⊕b)⊗a ＝a ⊗a ＝0， 而b ⊗a ＝a －b ，故a ⊕(b ⊗a)＝a ⊕(a －b)．显然，假设b ≥0，那么a ≥a －b ，因此a ⊕(a －b)＝a ， 假设b<0，那么a<a －b ，因此a ⊕(a －b)＝a －b. 故(a ⊕b)⊗a ≠a ⊕(b ⊗a)．故③错误．17．顾客请一名工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一名徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交给顾客．两件原料每道工序所需时刻(单位：工作日)如下：那么最短交货期为答案42解析最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工；最后由工艺师完成原料A的精加工，需15个工作日．故人货期为6＋21＋15＝42个工作日．。
2020版高考数学理一轮总温习层级快练第七章不等式及推理与证明作业42
题组层级快练(四十二)1．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有以下命题：①假设ab>0，bc －ad>0，则c a －d b >0； ②假设ab>0，c a －d b >0，那么bc －ad>0； ③假设bc －ad>0，c a －d b>0，那么ab>0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析 关于①，∵ab>0，bc －ad>0，c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；关于②，∵ab>0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0，∴②正确；关于③，∵bc －ad>0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0，∴ab>0，∴③正确． 2．假设a ，b 是任意实数，且a>b ，那么以下不等式成立的是( )A ．a 2>b 2B.b a <1 C ．lg(a －b)>0D ．(13)a <(13)b 答案 D解析 方式一：利用性质判定．方式二(特值法)：令a ＝－1，b ＝－2，那么a 2<b 2，b a>1，lg(a －b)＝0，可排除A ，B ，C 三项．应选D. 3．设a ∈R ，那么a>1是1a<1的( ) A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 答案 A解析 假设a>1，则1a <1成立；反之，若1a <1，那么a>1或a<0.即a>1⇒1a <1，而1a<1a>1，应选A. 4．(2019·广东东莞一模)设a ，b ∈R ，假设a ＋|b|<0，那么以下不等式成立的是( )A ．a －b>0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b<0答案D5．设a ，b 为实数，那么“0<ab<1”是“b<1a”的( ) A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 答案 D解析 一方面，假设0<ab<1，那么当a<0时，0>b>1a ，∴b<1a 不成立；另一方面，假设b<1a，那么当a<0时，ab>1，∴0<ab<1不成立，应选D.6．(2016·天津)设a ，b ∈R ，那么“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件 答案 C解析 当b<0时，显然有a>b ⇔a|a|>b|b|；当b ＝0时，显然有a>b ⇔a|a|>b|b|；当b>0时，由a>b 有|a|>|b|，因此a>b ⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b ⇔a|a|>b|b|，应选C.7．(2019·山东师大附中模拟)已知0<a<b ，且a ＋b ＝1，以下不等式成立的是( )A ．log 2a>0B ．2a －b >1C ．2ab >2D ．log 2(ab)<－2 答案 D解析 方式一(特殊值法)：取a ＝14，b ＝34验证即可． 方式二：(直接法)由已知，0<a<1，0<b<1，a －b<0，0<ab<14，log 2(ab)<－2，应选D. 8．设0<b<a<1，那么以下不等式成立的是( )A ．ab<b 2<1B ．log 12b<log 12a<0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab<1答案 C解析 方式一(特殊值法)：取b ＝14，a ＝12. 方式二(单调性法)：0<b<a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12b>log 12a ，B 不对；a>b>0⇒a 2>ab ，D 不对，应选C.9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时刻步行，一半时刻跑步，假设两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确信答案 B解析 设步行速度与跑步速度别离为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，那么甲历时刻为s v 1＋s v 2，乙历时刻为4s v 1＋v 2， 而s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s （v 1＋v 2）2－4sv 1v 2v 1v 2（v 1＋v 2）＝s （v 1－v 2）2v 1v 2（v 1＋v 2）>0， 故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 10．(2019·浙江台州一模)以下四个数中最大的是( )A ．lg2B ．lg 2C ．(lg2)2D ．lg(lg2) 答案 A解析 因为lg2∈(0，1)，因此lg(lg2)<0； lg 2－(lg2)2＝lg2(12－lg2)>lg2(12－lg 10)＝0，即lg 2>(lg2)2； lg2－lg 2＝12lg2>0，即lg2>lg 2. 因此最大的是lg2.11．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c>b>aB ．b>c>aC ．a>c>bD ．a>b>c 答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，那么只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c ，应选D.12．已知实数x ，y ，z 知足x ＋y ＋z ＝0，且xyz>0，设M ＝1x ＋1y ＋1z，则( ) A ．M>0 B ．M<0C．M＝0 D．M不确信答案 B解析 ∵(x ＋y ＋z)2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx)＝0，∴xy ＋yz ＋zx<0，∴M ＝1x ＋1y ＋1z ＝yz ＋zx ＋xy xyz<0. 13．(1)假设角α，β知足－π2<α<β<π2，那么2α－β的取值范围是________． 答案 (－3π2，π2) 解析 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－3π2<2α－β<π2. (2)假设1<α<3，－4<β<2，那么α－|β|的取值范围是________．答案 (－3，3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3.(3)假设－1<a ＋b<3，2<a －b<4，那么2a ＋3b 的取值范围为________．答案 (－92，132) 解析 设2a ＋3b ＝x(a ＋b)＋y(a －b)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b)<152，－2<－12(a －b)<－1，因此－92<52(a ＋b)－12(a －b)<132. 即－92<2a ＋3b<132. 14．设α∈(0，12)，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，那么T 1与T 2的大小关系为________． 答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.15．(1)假设a>1，b<1，那么以下两式的大小关系为ab ＋1________a ＋b.答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b)＝1－a －b ＋ab ＝(1－a)(1－b)，∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab ＋1<a ＋b.(2)假设a>0，b>0，那么不等式－b<1x<a 的解集为________． 答案 (－∞，－1b )∪(1a，＋∞) 解析 由已知，得－b<0，a>0，∴1x∈(－b ，a)＝(－b ，0)∪{0}∪(0，a)． ∴x ∈(－∞，－1b )∪(1a，＋∞)． 16．设a>b>c>0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，那么x ，y ，z 的大小顺序是________．答案 z>y>x解析 方式一(特值法)：取a ＝3，b ＝2，c ＝1验证即可． 方式二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a)2－a 2－(b ＋c)2＝2c(a －b)>0，∴y 2>x 2，即y>x. z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b)2－b 2－(c ＋a)2＝2a(b －c)>0， 故z 2>y 2，即z>y ，故z>y>x.17．已知a ＋b>0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小． 答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b)⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b>0，(a －b)2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 18．已知a>0且a ≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小． 答案 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)解析 当a>1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1.又y ＝log a x 为增函数，因此log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a<1时，a 3<a 2，a 3＋1<a 2＋1.又y ＝log a x 为减函数，因此log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．综上，对a>0且a ≠1，总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．。
2020版高考数学理一轮总温习层级快练第七章不等式及推理与证明作业44
题组层级快练(四十四)1．以下各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( )A ．(0，0)B ．(－1，1)C ．(－1，3)D ．(2，－3)答案 C解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，因此此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．应选C. 2．(2018·浙江宁波调研)二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0，0≤x ≤4，表示的平面区域是( ) A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形答案 D 解析 由(x －y ＋3)(x ＋y)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，x ＋y ≤0，且0≤x ≤4，表示的区域如图阴影部份所示，故所求平面区域为等腰梯形，应选D.3．(2017·课标全国Ⅱ)设x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，那么z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9答案 A解析 作出可行域如下图，作出直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0通过点A 时，z 有最小值，现在，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3＝0，2x －3y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－3. 即A(－6，－3)，∴z min ＝2×(－6)－3＝－15.4．(2021·安徽，文)已知x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，那么z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1B ．－2C ．－5D ．1答案 A解析 作出知足条件的可行域，如图中阴影部份所示，易知在点A(1，1)处，z 取得最大值，故z max ＝－2×1＋1＝－1.5．(2019·苏州市高三一诊)实数x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，那么使得z ＝2y －3x 取得最小值的最优解是( )A ．(1，0)B ．(0，－2)C ．(0，0)D ．(2，2)答案 A解析 约束条件所表示的可行域为三角形，其三个极点的坐标别离为(0，0)，(1，0)，(2，2)，将三个极点的坐标别离代入到目标函数z ＝2y －3x 中，易患在(1，0)处取得最小值，故取得最小值的最优解为(1，0)．6．(2019·贵阳监测)已知实数x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，那么z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．[53，5] B ．[0，5] C ．[53，5) D ．[－53，5) 答案 D解析 画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部份所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．7．(2019·南昌调研)设变量x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，那么z ＝|x －3y|的最大值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4答案 B解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥－2，所表示的平面区域如图中阴影部份所示．当平移直线x －3y ＝0过点A 时，m ＝x －3y 取最大值；当平移直线x －3y ＝0过点C 时，m ＝x －3y 取最小值．由题意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，因此m max ＝－2－3×(－2)＝4，m min ＝－2－3×2＝－8，因此－8≤m ≤4，因此|m|≤8，即z max ＝8.8．(2021·安徽，理)x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，假设z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，那么实数a的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1D ．2或－1答案 D解析 作出约束条件知足的可行域，依照z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解． 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，那么a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，那么a ＝－1.9．(2019·泉州质检)已知O 为坐标原点，A(1，2)，点P 的坐标(x ，y)知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y|≤1，x ≥0，那么z ＝OA →·OP →的最大值为()A．－2 B．－1 C．1 D．2答案 D解析 作出可行域如图中阴影部份所示，易知B(0，1)，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，显然当直线z＝x ＋2y 通过点B 时，z 取得最大值，且z max ＝2.应选D.10．已知实数x ，y 知足条件⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －2）2≤1，x －y －1≥0，则z ＝y x －2的最小值为( ) A ．3＋ 2B ．2＋ 2 C.34D.43答案 C 解析 不等式组表示的可行域如图阴影部份所示．目标函数z ＝y x －2＝y －0x －2表示在可行域取一点与点(2，0)连线的斜率，可知过点(2，0)作半圆的切线，切线的斜率为z ＝y x －2的最小值，设切线方程为y ＝k(x －2)，那么A 到切线的距离为1，故1＝|k －2|1＋k 2.解得k ＝34.11．(2019·湖北宜昌一中模拟)设x ，y 知足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥m ，假设z ＝x ＋3y 的最大值与最小值的差为7，那么实数m ＝( )A.32B ．－32 C.14D ．－14答案 C解析 作出不等式组表示的平面区域(图略)，由图易患目标函数z ＝x ＋3y 在点(1，2)处取得最大值；z max ＝1＋3×2＝7，在点(m －1，m)处取得最小值，z min ＝m －1＋3m ＝4m －1.又由题知7－(4m －1)＝7，解得m ＝14，应选C.12．(2019·兰州模拟)已知M(－4，0)，N(0，－3)，P(x ，y)的坐标x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则△PMN 面积的取值范围是( )A ．[12，24]B ．[12，25]C ．[6，12]D ．[6，252] 答案C 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部份所示．又过点M(－4，0)，N(0，－3)的直线的方程为3x ＋4y ＋12＝0，而它与直线3x ＋4y ＝12平行，其距离d ＝|12＋12|32＋42＝245，因此当P 点在原点O 处时，△PMN 的面积最小，其面积为△OMN 的面积，现在S △OMN ＝12×3×4＝6；当P 点在线段AB 上时，△PMN 的面积最大，为12×32＋42×245＝12，应选C.13．(2019·西安地域高三八校联考)设实数x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，假设z ＝x ＋2y 的最大值为3，那么a 的值是________．答案 1解析 依题意得a>0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，表示的平面区域，结合图形可知，直线z ＝x ＋2y 通过直线y ＝a 与直线x －y ＝0的交点，即点(a ，a)时，z ＝x ＋2y 取得最大值3，因此a ＋2a ＝3，a ＝1.14．(2019·陕西质检一)点(x ，y)知足不等式|x|＋|y|≤1，Z ＝(x －2)2＋(y －2)2，那么Z 的最小值为________．答案 92解析 |x|＋|y|≤1所确信的平面区域如图中阴影部份所示，目标函数Z ＝(x －2)2＋(y －2)2的几何意义是点(x ，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P(2，2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为(|2＋2－1|2)2＝92. 15．已知整数x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，那么z ＝4－x ·(12)y 的最小值为________．答案116 解析 z ＝4－x ·(12)y ＝2－2x ·2－y ＝2－2x －y .设m ＝－2x －y ，要使z 最小，那么只需m 最小．作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部份所示．由m ＝－2x －y 得y ＝－2x －m ，平移可知当直线y ＝－2x －m 通过点B 时，m 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即B(1，2)，现在m ＝－2－2＝－4，因此z ＝4－x ·(12)y 的最小值为2－4＝116. 16．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量别离为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积别离为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成打算，并使总用料面积最省？答案 A ，B 两种金属板各取5张．解析 设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，总用料面积为z ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N ，目标函数z ＝2x ＋3y.作出不等式组的可行域，如下图．将z ＝2x ＋3y 化成y ＝－23x ＋z 3，取得斜率为－23，在y 轴上截距为z 3，且随z 转变的一组平行直线． 当直线z ＝2x ＋3y 通过可行域上点M 时，截距最小，z 取得最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得点M 的坐标为(5，5)． 现在z min ＝2×5＋3×5＝25.因此两种金属板各取5张时，总用料面积最省．。
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题组层级快练(四十一)1．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc －ad>0，则c a －db >0；②若ab>0，c a －db >0，则bc －ad>0；③若bc －ad>0，c a －db >0，则ab>0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 对于①，∵ab>0，bc －ad>0，c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴②正确；对于③，∵bc －ad>0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴ab>0，∴③正确． 2．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2 B.ba<1 C ．lg(a －b)>0 D ．(13)a <(13)b答案 D解析 方法一：利用性质判断．方法二(特值法)：令a ＝－1，b ＝－2，则a 2<b 2，ba >1，lg(a －b)＝0，可排除A ，B ，C 三项．故选D.3．设a ∈R ，则a>1是1a <1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a>1，则1a <1成立；反之，若1a <1，则a>1或a<0.即a>1⇒1a <1，而1a <1a>1，故选A.4．(2019·广东东莞一模)设a ，b ∈R ，若a ＋|b|<0，则下列不等式成立的是( ) A ．a －b>0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b<0答案 D5．设a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 一方面，若0<ab<1，则当a<0时，0>b>1a ，∴b<1a 不成立；另一方面，若b<1a ，则当a<0时，ab>1，∴0<ab<1不成立，故选D.6．(2016·天津)设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当b<0时，显然有a>b ⇔a|a|>b|b|； 当b ＝0时，显然有a>b ⇔a|a|>b|b|；当b>0时，由a>b 有|a|>|b|，所以a>b ⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b ⇔a|a|>b|b|，故选C.7．(2019·山东师大附中模拟)已知0<a<b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( ) A ．log 2a>0 B ．2a －b >1C ．2ab >2D ．log 2(ab)<－2答案 D解析 方法一(特殊值法)：取a ＝14，b ＝34验证即可．方法二：(直接法)由已知，0<a<1，0<b<1，a －b<0，0<ab<14，log 2(ab)<－2，故选D.8．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab<b 2<1 B ．log 12b<log 12a<0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab<1答案 C解析 方法一(特殊值法)：取b ＝14，a ＝12.方法二(单调性法)： 0<b<a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12b>log 12a ，B 不对；a>b>0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A ．甲先到教室 B ．乙先到教室 C ．两人同时到教室 D ．谁先到教室不确定答案 B解析 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋sv 2，乙用时间为4sv 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s （v 1＋v 2）2－4sv 1v 2v 1v 2（v 1＋v 2）＝s （v 1－v 2）2v 1v 2（v 1＋v 2）>0， 故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 10．(2019·浙江台州一模)下列四个数中最大的是( ) A ．lg2 B ．lg 2 C ．(lg2)2 D ．lg(lg2)答案 A解析 因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0； lg 2－(lg2)2＝lg2(12－lg2)>lg2(12－lg 10)＝0，即lg 2>(lg2)2；lg2－lg 2＝12lg2>0，即lg2>lg 2.所以最大的是lg2.11．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.12．已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝0，且xyz>0，设M ＝1x ＋1y ＋1z ，则( )A ．M>0B ．M<0C ．M ＝0D ．M 不确定答案 B解析 ∵(x ＋y ＋z)2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx)＝0，∴xy ＋yz ＋zx<0，∴M ＝1x ＋1y ＋1z ＝yz ＋zx ＋xyxyz<0.13．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．答案 (－3π2，π2)解析 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－3π2<2α－β<π2.(2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 答案 (－3，3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3. (3)若－1<a ＋b<3，2<a －b<4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 答案 (－92，132)解析 设2a ＋3b ＝x(a ＋b)＋y(a －b)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b)<152，－2<－12(a －b)<－1，所以－92<52(a ＋b)－12(a －b)<132.即－92<2a ＋3b<132.14．设α∈(0，12)，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0. 15．(1)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab ＋1________a ＋b. 答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b) ＝1－a －b ＋ab ＝(1－a)(1－b)， ∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0， ∴(1－a)(1－b)<0，∴ab ＋1<a ＋b.(2)若a>0，b>0，则不等式－b<1x <a 的解集为________．答案 (－∞，－1b )∪(1a ，＋∞)解析 由已知，得－b<0，a>0， ∴1x∈(－b ，a)＝(－b ，0)∪{0}∪(0，a)．∴x ∈(－∞，－1b )∪(1a，＋∞)．16．设a>b>c>0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 答案 z>y>x解析 方法一(特值法)：取a ＝3，b ＝2，c ＝1验证即可．方法二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a)2－a 2－(b ＋c)2＝2c(a －b)>0，∴y 2>x 2，即y>x. z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b)2－b 2－(c ＋a)2＝2a(b －c)>0， 故z 2>y 2，即z>y ，故z>y>x.17．已知a ＋b>0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝ (a －b)⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b>0，(a －b)2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 18．已知a>0且a ≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小． 答案 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)解析 当a>1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1. 又y ＝log a x 为增函数， 所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)； 当0<a<1时，a 3<a 2，a 3＋1<a 2＋1. 又y ＝log a x 为减函数， 所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．综上，对a>0且a ≠1，总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．。