初中数学九年级：1.1.2菱形的判定

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初中数学《菱形的性质与判定》微课精讲

初中数学《菱形的性质与判定》微课精讲+知识点+教案课件+习题知识点：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半视频教学：练习：1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC⊥BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

①AC=BD；②∠OAB=∠OBA；③AC⊥BD；④有4条对称轴；⑤AD=BD；⑥∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长为。

5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°课件：教案：【教学目标】1.通过“热身训练”问题的解决，梳理菱形的知识点，建立知识体系。

2.通过“变式训练”建立知识间的联系，进一步提高解题的技能。

菱形的判定方法

菱形的判定方法菱形是一种几何形状，它具有四个等长的边和四个等角。

在数学和工程中，我们经常需要判定一个图形是否为菱形。

本文将介绍几种常见的菱形判定方法。

1. 边长判定法：菱形的四条边长相等。

因此，如果一个图形的四条边长均相等，则可以判定该图形为菱形。

同时，如果已知一个图形的四个顶点坐标，可以计算出四条边的长度，并比较它们是否相等，即可判断该图形是否为菱形。

2. 对角线判定法：菱形的两条对角线互相垂直且相等。

因此，可以通过计算一个图形的两条对角线的长度，并判断它们是否相等来判定该图形是否为菱形。

如果两条对角线的长度相等，并且相互垂直（即两条对角线的斜率乘积为-1），则可以确定该图形为菱形。

3. 角度判定法：菱形具有四个等角，即每个内角均为90度。

因此，可以通过计算一个图形的四个内角的度数，并判断它们是否均为90度来判定该图形是否为菱形。

如果四个内角的度数均为90度，则可以确定该图形为菱形。

4. 等边三角形判定法：菱形可以视为等边三角形的两个相邻边连接起来得到的图形。

因此，如果一个图形是等边三角形，并且它的两个相邻边的连接线与另外两个边相交于直角，则可以判定该图形为菱形。

除了以上几种常见的判定方法，还有一些特殊情况需要考虑：1. 如果一个图形的四个顶点均在同一条直线上，则无法构成菱形。

2. 如果一个图形的四条边均相等，但其中一个内角不是90度，则无法构成菱形。

3. 如果一个图形是矩形，则它也是菱形，因为矩形是特殊的菱形。

但注意，非矩形的菱形四个角度度数不是90度。

总结起来，判定一个图形是否为菱形，可以采用边长判定法、对角线判定法、角度判定法和等边三角形判定法。

根据具体情况选择适合的方法进行判断，并注意排除特殊情况。

通过这些判定方法，我们可以准确地判断一个图形是否为菱形，为数学和工程领域的相关问题提供帮助。

菱形的判定方法既有理论基础又有实际应用，对于几何学和工程学的研究都具有重要意义。

希望本文所介绍的菱形判定方法能够对读者有所启发，并能在实际问题中发挥作用。

初中数学菱形的性质及判定

初中数学菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，? 还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线．以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质．定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质及判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】2 星关键词】解析】根据菱形的性质可知：共有8 对答案】8在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2 星【关键词】【解析】根据菱形的性质可知：应当旋转至少180【答案】180如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离AB BC16cm ，则1 度．考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】2 星关键词】2009 年，江西中考解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形答案】120如图，在菱形ABCD 中，A 60 ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF 2 ，则菱形ABCD 的边长是______________________ ．AC【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2 星【关键词】2009 年，漳州中考【解析】省略【答案】4如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB与EF 互相平分．考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定题型】解答难度】3 星关键词】解析】省略答案】连接BD、AF、EB菱形ABCD 中BD AC ，EF AC ，∴ BD ∥ EF∵ AD ∥ FC ，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴ ED FB 又∵ AE∥FB，∴四边形AFBE 是平行四边形∴ AB 与EF 互相平分如图1 所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24 ，则OH 的长等于AE ED ，∴ AE FB考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】 2 星关键词】 2009 年，本溪中考解析】省略答案】 3如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC 8cm ，BD 4cm ，DE BC 于点 E ，则 DE 的长为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】 2 星【关键词】【解析】省略【答案】8 5cm 5菱形周长为 52cm ，一条对角线长为 10cm ，则其面积为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】 2 星【关键词】D图1【解析】菱形的边长为52 4 13 cm ，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为24 cm ，故面积为120 cm2【答案】120菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1 ，则菱形较短的对角线的长度为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】2 星【关键词】【解析】省略【答案】5如图2，在菱形ABCD 中，AC 6，BD 8，则菱形的边长为（）A．5 B ．10 C ．6 D ．8考点】菱形的性质及判定题型】选择难度】2 星关键词】2009 年，重庆江津中考解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A答案】A如图3，在菱形ABCD 中，A 110 ，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP 于点P ，则FPC （）A．35 B ．45 C ．50 D ．55CDD考点】菱形的性质及判定题型】选择难度】 2 星关键词】 2009 年，杭州市中考解析】省略答案】 D如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为 60 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）考点】菱形的性质及判定题型】选择难度】 2 星关键词】 2009 年，绵阳市中考解析】省略答案】 D菱形 ABCD 中， E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，且 AE BC ，AF CD ，那么等于．【考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】 2 星关键词】A ． 15 或 30B ． 30 或 45C ． 45 或 60DEAFE BP C图330解析】省略答案】 60已知菱形的一个内角为 60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的长为 _________________ ．【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】 2 星【关键词】 2009 年，辽宁朝阳中考【解析】省略【答案】 2 或 6如图，将一个长为 10cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开， A ． 10cm 2B ． 20cm 2C ． 40cm 2考点】菱形的性质及判定题型】选择难度】 3 星关键词】 2009 年，南宁市中考解析】省略答案】 A已知菱形 ABCD 的两条对角线 AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【考点】菱形的性质及判定得到的菱形的面积为（） D ． 80cm 2C2【题型】填空【难度】 4 星【关键词】希望杯邀请赛【解析】如图，过点 A 作 AE BC 于 E ，则 1AC BD BC AE ，又 AC BD AB 2，2得AE 1AB ， ABC 30 ， BAD 1502答案】 150如图，菱形花坛 ABCD 的周长为 20m ， ABC 60 ， ? 沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD ，求两条小路的长和花坛的面积．考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】 3 星关键词】解析】 ∵四边形 ABCD 是菱形∴ AB BC CD DA 5 ∵ABC 60∴ ABC 和 ADC 都是等边三角形 ∴ AC 5 又∵ AC BD在 Rt ABO 和 Rt ADO 中可得53BO DODA图2∴BD 5 3∴ S ABCD1 AC BD 25 3 ABCD 2 2点评：内角为60 和120 的菱形学生必须掌握，这是考试的热点模型．【答案】见解析如图，在菱形ABCD 中，AB 4a ，E 在BC 上，BE 2a ，BAD 120 ，P 点在BD 上，则PE PC 的最小值为【考点】菱形的性质及判定【题型】填空【难度】3 星【关键词】【解析】A，C 关于BD对称，连AE 交BD 于P ，且AE BC ，BAE 30 ，PE PC AE 4a 2 2a 2 2 3a 为最小值【答案】2 3a已知，菱形ABCD中，E、F 分别是BC 、CD上的点，若AE AF EF AB，求C的度数．考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】4 星关键词】解析】∵ AE AB ∴ B AEBD同理D AFD∵四边形 ABCD 是菱形考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】 4 星关键词】解析】连接 AC ，∵ 四边形 ABCD 为菱形AB BC CD AD△ABC 和 △ ACD 为等边三角形AB AC ， B ACD BAC 60 EAF 60 BAE CAF△ ABE ≌△ ACF AE AFEAF 60△AEF 为等边三角形AEF 60∵AEC B BAE AEF CEF∴ CEF 18 分析：在矩形、菱形的定理题中，有时也常连对角线，把四边形问题转∴ AD ∥ BC ， B D ， BAD C ， AEB AFDB D ∴ BAE DAFDE EF AF ，∴ △ AEF 是等边三角形，∴EAF 60AD ∥BC ，xB BAD 180 ，∴ 90 60 2x 1802∴x 20 ∴C【答案】 100BAD 60 2 x 100已知，菱形 ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 BAE 18 ．求： CEF 的度数．CD 上的点，且B EAF 60 ，化为三角形问题．【答案】18板块二、菱形的判定如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．考点】菱形的性质及判定题型】填空难度】2 星关键词】2007 年，四川成都解析】AB AD，AC BD 等；答案】AB AD，AC BD如图，在ABC 中，BD 平分ABC ，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】解析】省略答案】∵ EF 是BD 的中垂线∴BE DE ，BF DF ，∴DBE BDE∵ EBD DBF∴ DBF EDB ，所以BC∥ DE 同理AB∥ DF 所以四边形BEDF 是菱形如图，在ABC 中，AB AC ，D是BC 的中点，连结AD，在AD 的延长线上取一点E，连结BE ，CE ．当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】2009 年，娄底中考【解析】当AE 2AD （或AD DE 或DE 1 AE ）时，四边形ABEC 是菱形2理由如下：∵ AE 2AD ，∴ AD DE又点D 为BC 中点，∴ BD CD∴四边形ABEC 为平行四形边∵ AB AC∴四边形ABEC 为菱形【答案】见解析已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F . 求证：四边形AFCE 是菱形.【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】2006 年，盐城中考【解析】省略【答案】∵ EF 垂直平分AC，∴ EF AC,AO CO .o∴ AOE COF 90o.又∵ ABCD 平行四边形，∴ EAO FCO .∴ AOE ≌COF .∴OE OF .∴四边形AECF 是平行四边形.又由AC EF 可知，四边形AECF 是菱形.如图，在梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，AD CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE. 求证：四边形CDC E 是菱形．考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】2007 年，云南双柏解析】省略答案】根据题意可知CDE C'DE则CD C'D，C'DE CDE ，CE C'E .∵ AD / /BC ，∴ C DE CDE .∴ CDE CED ，∴ CD CE .∴ CD C D CE CE ，∴四边形CDC E为菱形.如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC 于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分【考点】菱形的性质及判定，平行四边形的性质和判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】【解析】省略【答案】连结BD，AF ，EB，因为菱形ABCD 中BD AC ，又因为EF AC ，所以BD ∥ EF ，因为AD ∥ FC ，所以四边形BDEF 是平行四边形，可得ED FB ，因为AE ED，所以AE FB，从而AE∥ FB ，AE FB ，因此四边形AFBE 是平行四边形，所以AB与EF互相平分已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC边上的高，将ABE沿BC 方向平移，使点E与点C重合，得GFC ．若B 60 ，当AB与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．B E F C考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】2009 年，山东青岛市解析】省略答案】当BC 3AB 时，四边形ABFC 是菱形．2AB∥GF ，AG∥ BF 四边形ABFG 是平行四边形∵ Rt ABE 中， B 60∴ BAE 30∴ BE1 AB2∵ BE CF ，BC3 AB2∴ EF1 AB2∴ AB BF∴四边形ABFG是菱形如图，在ABC 中，AB AC ，M 是BC 的中点．分别作MD AB于D ，ME AC 于E，DF AC 于F ，EG AB 于G．DF、EG 相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】3 星【关键词】【解析】省略【答案】∵ MD AB，EG AB．∴ MD ∥ EG ，同理ME ∥ DF ，∴四边形MFPD 是平行四边形AB AC ，BCo∵ BM MC ， BDM CEM 90o，∴ BDM ≌ CEM ∴ DM EM ，∴四边形 DMEP 是菱形如图， ABC 中， ACB 90 ，AD 是 BAC 的平分线，交 BC 于 D ，CH 是 AB 边上的高，交 AD 于 F ， DE AB 于 E ，求证：四边形 CDEF 是菱形．考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】 3 星关键词】解析】省略答案】 ∵ CH AB ，∴ HAF AFH 90ACB 90 ，∴ CAD ADC 90AD 平分 CAB ，∴ CAD HAF ，∴ AFH CDF AFH CFD ，∴ CDF CFD ，∴ CF CD AD 平分 CAB ， DC AC ， DE AB∴CD DE ，∴ CF DE 又∵ CH AB ，DE AB∴ CF ∥ DE ，故四边形 ABCD 是平行四边形∵ CD DE ， ∴四边形 ABCD 是菱形如图， M 是矩形 ABCD 内的任意一点，将 MAB 沿 AD 方向平移，使 AB 与 DC 重合，点 M 移动到点 M '的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结 MD ，MC ，MM ' ，试说明四边形 MDM 'C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB ，AD 的长；⑶当 M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形 MDM 'C是菱形？为什么？AD AM D M'BC【考点】菱形的性质及判定【题型】解答【难度】 3 星【关键词】【解析】省略【答案】⑴如图， DCM '就是所要作的三角形⑵因为 AM 平移到 DM ' ，所以 AM ∥DM '且AM DM '，四边形 DAMM' 是平行四边形，所以AD ∥MM '，矩形 ABCD 中，AD CD ，所以 MM ' CD ，又因为 AD MM ' ， CD AB ，所以四边形 MDM 'C 的对角线互相垂直，且长度分别等于 AB ，AD 的长⑶当点 M 是 AC ，BD 的交点时，四边形 MDM 'C 是菱形，理由：如图，矩形ABCD 中，AM BM MC MD ，又因为 AM D'M ，BM CM ' ，可得 MD MC CM ' DM ' ，所以四边形 MDM 'C 是菱形如图， ACD 、 ABE 、 BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．已知 ABAC ． ⑴ 顺次连结 A 、D 、F 、 E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当 BAC 为度时，四边形 ADFE 为正方形．考点】菱形的性质及判定题型】解答【难度】 3 星【关键词】 2008 年，佛山市中考改编DBC【解析】省略【答案】⑴ 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ ABC不为正三角形）（若写出图形为平行四边形时，不给分）当图形为线段时，∠BAC= 60°（或A与F重合、△ ABC为正三角形）．⑵ 150 ．三、与菱形相关的几何综合题已知等腰△ABC 中，AB AC ，AD 平分BAC交BC 于D点，在线段AD 上任取一点P（A点除外），过P点作EF ∥ AB ，分别交AC 、BC于E 、F点，作PM∥AC，交AB于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？M考点】菱形的性质及判定题型】解答难度】3 星关键词】解析】省略答案】⑴∵ PM ∥AC，EF∥ AB∴四边形AEPM 为平行四边形∵ AB AC ，AD平分CAB∴ CAD BADAD BC，BAD EPACAD EPAEA EPS 四边形 EFBM2 ∵四边形 AEPM 为菱形， ∴ AD EM∵AD BC ∴EM ∥BC 又 EF ∥AB ∴四边形 EFBM 为平行四边形问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A ，B ，E 在同一条直线上， P 是线段 DF 的中点，连结 PG ，PC ．若 ABC BEF 60 ，探究 PG 与 PC 的位置关系及 PG的值．PC小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： ⑴ 写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及 PG的值；PC⑵ 将图 1 中的菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，使菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形ABCD 的边 AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图 2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． ⑶ 若图 1 中 ABC BEF 2 0 90 ，将菱形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转任【考点】菱形的性质及判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质题型】解答难度】 5 星【关键词】 2008 年，北京中考【解析】省略【答案】⑴ 线段 PG 与 PC 的位置关系是 PG PC ；PG3 ．PC∴四边形 AEPM 为菱形 ⑵当 P 为 EF 中点时，S意角度，原问题中的其他条件不变，求 PG 的值（用含的式子表示）．F⑵ 猜想：⑴中的结论没有发生变化．证明：如图，延长 GP 交 AD 于点 H ，连结 CH ，CG ．∵ P 是线段 DF 的中点， ∴ FP DP ．由题意可知 AD ∥FG ．∴ GFP HDP ．又∵ GPF HPD ，∴ GFP ≌ HDP ，∴ GP HP ， GF HD ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴ CD CB ， HDC ABC 60 ．由ABC BEF 60 ，且菱形 BEFG 的对角线 BF 恰好与菱形 ABCD 的边 AB 在同一条直线上，可得 GBC 60 ． ∴ HDC GBC ． ∵四边形 BEFG 是菱形，∴ GF GB ，∴ HD GB ．∴ HDC ≌ GBC ，∴ CH CG ， DCHBCG ． ∴ DCH HCB BCG HCB 120 ，即 HCG 120 ．∵CHCG， PH PG ， ∴ PG PC ， GCP HCP 60 ．∴ PG3．PC⑶PGtan 90 ．证明过程略．PC本题是一道探究性的几何综合题，本题的题干是以阅读材料的形式呈现，从而降低了题目的难度，本题应该是在 05 年大连中考压轴题的基础上改进而来的．四、中位线与平行四边形顺次连结面积为 20 的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个，其面积为．【考点】三角形的中位线【题型】填空【难度】 3 星【关键词】【解析】理由：由中位线得 EF FG GH HE 1AD 即可．2【答案】 AD BC ．如图，在四边形 ABCD 中， AB CD ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BD 、 CD 、 AC 的中点，要使四边形 EFGH 是菱形，四边形 ABCD 还满足的一个条件是，并说明理由．考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线题型】填空难度】 3 星关键词】2009 年，上海模拟解析】理由：由中位线得 EF FG GH HE 1AD 即可．2 答案】 AD BC ．在四边形 ABCD 中， AB CD ， P ， Q 分别是 AD 、 BC 的中点， M ， N 分别是对角线AC ， BD 中点，证明：PQ 与MN互相垂直．考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线题型】解答难度】4 星关键词】解析】连接PN , NQ , MQ , PM ．证明PNQM 为菱形．答案】见解析四边形ABCD 中，R、P 分别是BC 、CD 上的点，点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，（）A．线段EF 的长逐渐增大B．线段EF 的长逐渐减小C．线段EF 的长不变D．线段EF 的长与点P的位置有关考点】三角形的中位线题型】选择难度】4 星关键词】解析】连结AR ，利用三角形的中位线可得答案】CE、F 分别是AP、RP的中那么下列结论成立的是EF 12 AR与点P无关．如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，CE AD 于 E ，M 为BC 的中点，AB 14cm ，AC 10cm，则ME 的长为【考点】三角形的中位线【题型】填空【难度】3 星【关键词】【解析】延长CE 交AB 于点线可得14 10 2 cm ．2【答案】2N ．利用中位线的性质和直角三角形斜边中如图，四边形ABCD 中，AB长，分别交BA，CDCD ，的延长线于点的中点，连结EF 并延CHEBC，ADBGEE，F 分别是G ，H ，求证：【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】4 星【关键词】【解析】省略【答案】连结BD，取BD中点P ，连结PE，PF ，BDC ，DBA 的中位线，所以PE∥DC，PF ∥BA，且PE 所以PE PF ，所以PEF PFE ，由PE∥ DC 可得：所以BGE CHEPE PF ，PFEBGE ，由条件易得1DC ，PF2PEF1BA2CHEPE，PF 分别是，因为AB CD ，，同理可得如图，已知 BE 、 CF 分别为 ABC 中 B 、 C 的平分线， AM BE 于 M，AN CF 于 N ，求证：MN ∥ BC．【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】 4 星【关键词】【解析】延长 AM 、 AN 交 BC 于点 Q 、 R ．由等腰三角形三线合一可得 AM QM 、 ANRN 再由三角形中位线可得 MN ∥ BC ．【答案】见解析如图，四边形 ABCD 中，E ，F 分别是边 AB ，CD 的中点，【考点】三角形的中位线【题型】选择【难度】 3 星【关键词】【解析】连结 BD ，取 BD 的中点 P ，连结 FP ，EP ，由三角形的中位线可知选B 【答案】 B则 AD ，BC 和 EF 的关系是( )A ． AD BC 2EFBC ．AD BC 2EF DAD BC ≥ 2EF AD BC ≤ 2EF已知如图所示，E、F 、G 、H分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】3 星【关键词】【解析】连接AC ．∵ H 、G 分别为AD 、DC 中点∴ HG 1 AC ，HG ∥ AC2 又∵ E、F 分别为AB、BC 中点∴ EF 1 AC ，EF ∥ AC ，∴ HG EF ，HG ∥ EF2 ∴四边形EFGH 为平行四边形【答案】见解析如图，在四边形ABCD 中，E为AB 上一点，ADE 和BCE 都是等边三角形，AB、BC 、CD 、DA的中点分别为P、Q、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN ．D考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线题型】解答难度】4 星关键词】2009 年，兰州中考解析】如图，连结AC 、BD ．∵ PQ 为 ABC 的中位线 ∴ PQ ∥ AC 且 PQ 1AC2同理 MN ∥ AC 且 MN 1AC2∴ MN ∥ PQ 且 MN PQ∴四边形 PQMN 为平行四边形．在 AEC 和 DEB 中AE DE ， EC EB , AED 60 CEB 即 AEC DEB ∴ AEC ≌ DEB∴AC BD ∴ 1 1.∴ PQ AC BD PN .22【答案】见解析如图，四边形 ABCD 中，AB CD ，E ，F ，G ，H 分别是 AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证： EF ，GH相互垂直平分【考点】菱形的性质及判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】 3 星【关键词】【解析】连结 EG ，GF ，FH ，HE ，根据题意， EG ，HF 分别是 DAB ， CAB 的中位线，所以 EG HF 1AB ，同理可证： GF EH 1CD ，因为 AB CD ，所以 22EG HF GF EH ，则四边形 EGFH 是菱形，所以 EF ，GH 相互垂直【答案】见解析ABC 的三条中线分别为 AD 、BE 、CF ，H 为 BC 边外一点，且 BHCF 为平行四边形，求证： AD ∥ EH．C考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线题型】解答难度】4 星关键词】【解析】此题解法很多，仅供两种解法参考．方法一：连结DE 、DH ．（如图1）∵四边形BHCF 为平行四边形∴CH BF AF 且CH ∥ AF由中位线可得DE 12 AB AF∴ CH DE∴四边形DECH 为平行四边形∴DH ∥ CE 且DH CE AE∴四边形DHEA 为平行四边形∴ AD ∥ EH方法二：连结DE ．（如图2）通过中位线和平行四边的性质可得DE HC ，AB∥ DE ∥HC∴ AED ECH 又∵ AE EC显然ADE ≌EHC ∴DAE HEC ∴ AD ∥ EH 【答案】见解析在平行四边形ABCD 的对角线BD上取一点 E ，使BE1 DE ，连接AE 并延长3与DC 的延长线交于F ，则CF 2 AB ．OR ∥CD ∥ AB，【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】 5 星【关键词】【解析】法 1：如图 2，取 BD 之中点 O ，由 O 引 OM ∥ AF 交 DF 于 M ，再由 C 引CG ∥FE交BD 于 G ．∵ AB CD ， ABE CDG ， BAE DCG ，∴ ABE ≌ CDG ， BE DG ，则 O 为 EG 的中点， ∴ EO OG ．又∵ DG BE 1DE ，3 1∴ EO OG DE ，3即 G 、 O 是 DE 的三等分点． ∵ CG ∥ OM ∥ AF ，∴C 、M 是 DF 的三等分点，有 CF 2CD ．而 CD AB ，∴ CF 2AB ．法 2 ：如图 3，连接 AC 交 BD 于 O ，则 O 为 AC 、BD 的中点，取 AF 的中点 R ，连接 AC 交 BD 于 O ，则 O 为 AC 、 BD 的中点，取 AF 的中点 R ，连接 OR ，则 1 OR ∥ CF ．2图3∴ABE ROE ，BAE ORE．又∵ BE OE OD ，BE 1 DE 1 (OE OD)，33由此可得BE 1OD，OE 1DE ，23BE OE ，ABE ≌ROEAB OR．即AB1OR CF ，∴CF2AB．2法3：如图1，∵AB∥DF ，AB BE 1，DF DE 3即DF3AB．又AB CD ，CF DF CD 3 AB AB，即CF2AB．答案】见解析如图，ABC中，E、F分别是AB 、BC的中点，G、H是AC的三等分点，连结并延长EG 、FH交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】4 星【关键词】【解析】连接BG 、BH 、BD ，设BD 与AC 相交与点O∵E、F 分别是AB 、BC 的中点，∴ EG ∥ BH ，同理FH ∥ BG ∴四边形BHDG 是平行四边形，∴ OB OD ，OG OH∵ AG HC ，∴ OA OC∴四边形ABCD 是平行四边形【答案】见解析如图，在四边形 ABCD 中， M 、 N 分别为 AD 、BC 的中点， BD AC ，BD 和 AC 相交于点O ， MN 分别与 AC 、 BD 相交于 E 、 F ，求证： OE OF ．【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】 3 星【关键词】【解析】取 AB 中点 P ，连结 MP 、 NP ．利用中位线可得MP 1BD NP 1AC22∴PMN PNM ∵ MP ∥BD ，NP ∥ AC∴ OFE OEF ∴ OE OF【答案】见解析如图，线段 AB ，CD 相交于点 O ，且 AB CD ，连结 AD ，BC ， E ，F 分别是 AD ，BC的中点， EF 分别交 AB ，CD 于 M ，N ，求证： OM ON考点】三角形的中位线题型】解答难度】 4 星关键词】解析】连结 BD ，取 BD 中点 P ，连结 PE ，PF ，由条件易得 PE ，PF 分别是答案】见解析如图，梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AB CD ，对角线 AC ，BD 相交于点 O ， AOD 60 ，E ，F ，G 分别是 OA ，OB ，CD 的中点，求证： EFG 是等边三角形【考点】三角形的中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰梯形的性质和判定【题型】解答【难度】 4 星【关键词】【解析】省略【答案】连结 DE ，由等腰梯形对角线相等，且 AOD 60 ，可证 AOD 是等边三角形，因为 E 是 OA 中点，所以 DE AC ，在 Rt DCE 中， G 是 DC 中点，所以 EG 1DC ，同理可证 FG 1DC ，因为 E ，F 分别是 OA ，OB 的中点，所以 22 EF 1AB ，因为 AB DC ，所以 EG FG EF ，即 EFG 是等边三角形2如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．DBA ， BDC 的中位线，所以 PE ∥ BA ，PF ∥ DC ，且 PE 1 BA ，PF 2所以 PE PF ，所以 PEFPFE ONM ，所以 OMNPFE ，由 PE ∥ BA 可得ONM ，所以 OM ONPEF1DC ，因为 AB CD ，2OMN ，同理可得DLD【考点】三角形的中位线【题型】解答【难度】 5 星【关键词】【解析】方法一：设 N ，H ，M ，L ，F ，E 分别为 AB ，BC ，CD ，DA ，AC ，BD 的中点，要证明 EF ，LH ，及MN 三线共点．因为 LF ∥DC 且 LF 1DC ，2所以 EF ∥ DC 且 EF 1DC ，2LF ∥ EH 且 LF EH ，从而四边形 EHFL 为平行四边形，故 LH 与EF 互相平分．设 LH 与 EF 的交点为 O ，则 LH 经过 EF 中点 O （当然也是 LH 中点）．同理， MN 也过EF 中点 O ．所以， EF ，LH ，MN 三线共点于 O ．说明：本题证明的关键是平行四边形 EHFL 的获得（它是通过三角形中位线定理来证明的）．由此可见，在某些四边形的问题中，通过构造平行四边形去解题是一种常用的技巧．请看下例．方法二：应用中点公式法可设 A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，C x 3，y 3 ，D x 4 ，y 4 那么 AC 线段的中点坐标为 Fx1 x3，y1 y3， BD 线段的中点坐标为 22Ex 2 x 4 ，y 2 y 4E2 ，2 那么 EF 线段的中点坐标为 x 1 x 2 x3 x4，y 1 y 2 y 3 y422同理可得： MN ，LH的中点坐标也为x1 x2 x3 x4，y1 y2 y3 y422 所以可知： EF ， LH ， MN 三线共点于 O【答案】见解析如图， O 是平行四边形 ABCD 内任意一点， E ， F ， G ， H 分别是 OA ， OB ，OC ， OD 的中点．若 DE ， CF 交于 P ，DG ，AF 交于 Q ， AH ， BG 交于 R ，BE ，CH 交于 S ，求证：A ENOFHPQ SR ．【考点】平行四边形的性质和判定，三角形的中位线【题型】解答【难度】6 星【关键词】【解析】设法证明四边形PORS 为平行四边形．因为F ，G 分别为OB ，OC 的中点，所以FG∥BC，且FG 21BC，FG ∥ AD ，且FG 1 AD ，2从而F 是AQ 中点．同理可证，F 是PC 的中点（EF 是PCD 的中位线）．所以四边形APQC 为平行四边形，PQ∥AC，PA AC．同理，RS∥ AC，RS = AC．因此PQ ∥ RS，PQ =RS，即四边形PQRS 为平行四边形，故PQ RS ．说明本题证明显示了用平行四边形证题的技巧，平行四边形PQRS ，APQC ，ACRS 像三座互相连接的桥梁一样沟通了条件与结论之间的道路．事实上，由于PQRS 为平行四边形，我们还可得到PQ∥SR，PS∥QR，PS QR，SQ与PR互相平分等等一系列结论．F为AQ的中点（同样G 为DQ 的中点）的断言可以证明于下：取AD 中点M ，连MF ，则FG ∥ MD 且FG MD ，所以四边形MFGD 为平行四边形，MF ∥ DG ．因此F 为AQ 的中点．答案】见解析。

九年级数学菱形的性质与判定

第一章特殊平行四边形第一节菱形的性质与判定一、什么是菱形菱形是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 强调两部分：一是菱形是平行四边形二是菱形一组邻边相等二、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质三、一般平行四边形的性质有：对边相等且互相平行，对角相等，对角线互相平分四、菱形的性质：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直。

也就是他的两条对角线互相垂直。

五、菱形的两条定理：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直。

六、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形课后练习：1、四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长。

解答：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=3452222=-=-AO AB∴BD=2BO=2×3=6.2、在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形。

解答：在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180∘.又∵∠BAD=2∠B ，∴∠B=60∘.∴△ABC 是等边三角形。

3、如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。

解答：在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，∴OA=21AC=4,OB=21BD=3，AC ⊥BD ，∴AB=5342222=+=+OB OA∴菱形的周长为：4×5=20.4、已知，如图在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.解答：证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=DC=BC ，∠ADC=∠ABC ，在△ADC 和△ABC 中，∵AD=DC∠ADC=∠ABCAB=BC ，∴△ADC≌△ABC，∴AC平分∠BAD和∠BCD，同理：△DAB≌△DCB，所以BD平分∠ABC和∠ADC.5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？解答：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD=BC=DC∴△ABD、△ABC、△ADC、△BCD均是等腰三角形，∵AC⊥BD∴△DOA、△AOB、△COB、△COD均是直角三角形故图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△ADC、△BCD，共4个；直角三角形有：△DOA、△AOB、△COB、△COD，共4个。

17中考数学复习指导：菱形判定方法_知识点总结

17中考数学复习指导：菱形判定方法_知识点总结
(一)菱形的判定
在同一平面内，
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、四边相等的四边形是菱形。

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

4，对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

菱形的中点四边形是矩形。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形。

(二)菱形的特殊性质
菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质，同时也有自己的特点。

1、对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角;
2、四条边都相等;
3、对角相等，邻角互补;
4、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形，
5、在60的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号三倍。

之所以说菱形有着自己的特殊性质那是因为它本身就是个特殊的平行四边形。

菱形的判定6种方法

菱形的判定6种方法
菱形是一种常见的几何形状，它有许多应用，比如在数学中用于判定某些条件是否成立。

下面我们来介绍一下菱形的判定方法。

1. 对角线相等法：如果一个四边形的对角线相等，那么它就是一个菱形。

这是最基本的判定方法。

2. 边长相等法：如果一个四边形的四条边相等，那么它就是一个菱形。

这个方法比较容易理解，但是实际应用中不太常见。

3. 顶角相等法：如果一个四边形的相邻两个顶角相等，那么它就是一个菱形。

这个方法也比较容易理解，但是需要注意的是，只有相邻的两个顶角相等才行。

4. 垂直平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相垂直，并且它们的交点处的两条垂直平分线相等，那么它就是一个菱形。

这个方法比较复杂，需要一定的几何知识。

5. 对角线平分线相等法：如果一个四边形的对角线互相平分，并且它们的交点处的两条对角线平分线相等，那么它就是一个菱形。

这个方法也比较复杂，需要一定的几何知识。

6. 内角相等法：如果一个四边形的内角都相等，那么它就是一个菱形。

这个方法比较特殊，只有在某些特殊情况下才能使用。

以上就是菱形的六种判定方法，它们各有优缺点，可以根据实际情况选择合适的方法。

在实际应用中，我们通常会结合多种方法来判定一个四边形是否为菱形，以提高判定的准确性。

菱形的判定 —初中数学课件PPT

D
C
O
A
B
思考: 请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？
A
D
F
∟
B
EC
本节课你有什么收获？
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3.有四条边相等的四边形是菱形。
作业
已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交
AB于E，DF∥AB交AC于F．求证：四边形
每一条对角线平分一组对角。
探究活动一
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法
A
D
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
O
数学语言
B
C
∵四边形ABCD是平行四边形 AB=AD
∴四边形ABCD是菱形翻看主页可以找到更多课件翻看主页可以找到更多课件
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定
一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上
∴BA=BC
∴ ABCD是菱形
A
O
D
C
菱形常用的判定方法
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形有四条边相等的四边形是菱形。
老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?
5
34
43
5
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
3 44
3
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
5
┍
5 5
5
学习目标
1.能说出和证明菱形的判定方法
2.能应用菱形的判定方法进行计算和证明
菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形一组邻边相等

北师大版九年级数学上册 1.1.2菱形的判定课件(共31张PPT)

3.如图，四边形的对角线，相交于点，且，，．四边形是菱形吗？请说明理由．
解：是菱形. ，，， . .
又，，四边形是平行四边形. 四边形是菱形．
易错点菱形的判定与平行四边形的判定相互混淆
4.下列说法中，正确的是( )
归纳
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
课堂小结与作业
菱形的判定
（1）有一组邻边______的平行四边形是菱形；
2.张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付之前，张师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，有可能不合格的零件是( )
C
A. B. C. D.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵ □ ABCD是平行四边形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BD是线段AC的垂直平分线. ∴BA=BC. ∴ □ ABCD是菱形（菱形的定义）.
（第6题图）
6.有两张相同的长方形纸片，它们的长为8，宽为2.若将两张纸片交叉重叠，如图，则重叠部分四边形的最大周长是____.
17
7.如图，是的对角线．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，（保留作图痕迹，不写作法）．
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作理2

菱形的判定知识点总结

菱形的判定知识点总结一、菱形的定义菱形是一种四边形，具有以下特征：1. 四条边长相等：菱形的四条边的长度都相等。

2. 对角线相等：菱形的两条对角线的长度相等。

3. 相对角相等：菱形的相对角也相等。

根据菱形的定义，我们可以使用这些特征来判定一个四边形是否为菱形。

二、菱形的判定方法1. 根据边长判定：如果一个四边形的四条边长都相等，那么它就是一个菱形。

例如，如果一个四边形的四条边的长度分别为a，a，a，a，则可以判定为菱形。

2. 根据对角线判定：如果一个四边形的对角线长度相等，那么它就是一个菱形。

例如，如果一个四边形的对角线的长度分别为d，d，则可以判定为菱形。

3. 根据边长和对角线判定：如果一个四边形的四条边长相等且对角线长度相等，那么它就是一个菱形。

例如，如果一个四边形的四条边的长度分别为a，a，a，a，且对角线的长度分别为d，d，则可以判定为菱形。

除了以上方法外，学生还需要掌握菱形的性质以及相关的定理。

以下是菱形的一些性质和定理：1. 菱形的对角线互相垂直：菱形的对角线互相垂直，并且将菱形分成四个全等的直角三角形。

这个性质对于理解菱形的形状和结构非常重要。

2. 菱形的对边平行：菱形的对边是平行的。

这个性质可以帮助我们证明菱形的性质和定理，以及解决相关的几何问题。

3. 菱形的对角线角平分：菱形的对角线将菱形的内角平分。

这个性质可以帮助我们证明菱形的内角之间的关系，并且解决相关的角平分问题。

4. 菱形的内角和为360度：菱形的四个内角的和为360度。

这个定理可以帮助我们计算菱形的内角之和，并且解决相关的角度问题。

通过掌握菱形的定义、判定方法、性质和定理，学生可以更好地理解和掌握菱形的知识，并且能够运用这些知识解决相关的几何问题。

因此，学生在学习菱形的过程中，应该注重理解和掌握菱形的定义和特征，练习菱形的判定方法，掌握菱形的性质和定理，以及解决相关的几何问题。

通过不断地练习和应用，学生可以更好地掌握菱形的知识，并且在考试中取得更好的成绩。

菱形的判定及知识点归纳

菱形的判定及知识点归纳菱形是几何学中一种特殊的四边形，它具有特殊的性质和判定方法。

在本文中，我们将介绍菱形的定义、性质以及判定方法，并对相关知识点进行归纳总结。

一、菱形的定义菱形是一种四边形，它的四条边相等且相互垂直。

换句话说，四条边长度相等并且对角线相互垂直。

二、菱形的性质1. 对角线互相垂直：菱形的两条对角线相互垂直，即对角线之间的夹角为90度。

2. 对角线相等：菱形的两条对角线相等，即对角线长度相等。

3. 边相等：菱形的四条边都相等，即四边长度均相等。

4. 对角线平分角：菱形的两条对角线平分菱形的内角，即每条对角线平分相应的两个内角。

5. 对角线角平分线：菱形的每条对角线都是相应内角的角平分线。

6. 内角和：菱形的内角和为360度，即四个内角的和等于360度。

三、菱形的判定方法1. 判定菱形的方法一：判定四边形的四条边长度相等，即任意两条边长相等。

2. 判定菱形的方法二：判定四边形的对角线相等并且垂直，即对角线长度相等且对角线之间的夹角为90度。

四、菱形的相关知识点归纳1. 正方形是一种特殊的菱形：正方形是一种四边形，也是一种菱形，其四条边相等且相互垂直。

2. 菱形的对角线长度关系：菱形的对角线长度相等，即对角线AB= 对角线CD。

3. 菱形的边长关系：菱形的四条边相等，即AB = BC = CD = DA。

4. 菱形的内角关系：菱形的每个内角为90度，四个内角的和为360度。

5. 菱形的内角平分线关系：菱形的每条对角线都是相应内角的角平分线。

总结：菱形是一种四边形，具有四条边相等、对角线相等且相互垂直的性质。

菱形的判定方法主要包括四边形边长相等和对角线相等且垂直两种情况。

菱形还有一些特殊的性质和定理，如对角线长度关系、边长关系、内角关系以及内角平分线关系等。

熟练掌握菱形的定义、性质和判定方法，对于几何学的学习和问题解决具有重要意义。

菱形的判定方法

菱形的判定方法菱形是一个几何形状，具有特殊的判定方法。

在数学中，菱形指的是一个四边形，其中所有四条边的长度都相等。

它的特点是有两对对边平行且相等，对角线相互垂直且相等。

下面将详细介绍菱形的判定方法。

菱形的判定方法可以分为两种情况：已知四边长和已知顶点坐标。

下面分别介绍这两种情况的判定方法。

一、已知四边长的菱形判定方法：1. 判断四边是否相等：首先需要判断这个四边形的四条边是否相等，如果不相等，则一定不是菱形。

2. 判断对边是否平行：可以通过计算四边形的斜率来判断对边是否平行。

如果对边的斜率相等，则两对对边平行。

3. 判断对角线是否垂直：可以通过计算对角线的斜率来判断对角线是否垂直。

如果对角线的斜率乘积为-1，则两条对角线垂直。

4. 判断对角线长度是否相等：通过计算对角线的长度来判断对角线是否相等。

如果两条对角线的长度相等，则满足菱形的定义。

综上所述，只有满足四条边相等、对边平行、对角线垂直和对角线长度相等的四个条件，一个四边形才能判定为菱形。

二、已知顶点坐标的菱形判定方法：1. 计算四边的长度：根据给定的顶点坐标，可以使用距离公式来计算四边的长度。

2. 判断对边是否平行：可以通过计算四边的斜率来判断对边是否平行。

如果对边的斜率相等，则两对对边平行。

3. 判断对角线是否垂直：可以通过计算对角线的斜率来判断对角线是否垂直。

如果对角线的斜率乘积为-1，则两条对角线垂直。

4. 判断对角线长度是否相等：通过计算对角线的长度来判断对角线是否相等。

如果两条对角线的长度相等，则满足菱形的定义。

同样地，只有满足四条边相等、对边平行、对角线垂直和对角线长度相等的四个条件，一个四边形才能判定为菱形。

需要注意的是，这种判定方法只适用于二维平面上的菱形。

在三维空间中，菱形的判定方法会更加复杂。

在几何学和实际生活中，菱形具有广泛的应用。

例如，许多道路和交通标志都采用了菱形形状，用以指示交通安全。

在建筑设计和工程中，菱形也被广泛应用，例如菱形窗户和天花板设计。

初中菱形知识点总结

初中菱形知识点总结一、菱形的定义菱形是指四条边长度相等的四边形，在数学中常用字母表示。

如图1所示，四边形ABCD 是一个菱形，其中AB=BC=CD=DA。

菱形的性质1. 对角线互相垂直平分：菱形的两条对角线互相垂直且平分对方。

如下图所示，对角线AC和BD相交于点O，且AO=OC=BO=OD。

2. 对角线相等：菱形的两条对角线相等。

在菱形ABCD中，AC=BD。

3. 对角线的交点到顶点的距离相等：菱形的对角线的交点到顶点的距离相等。

即AO=OC=OB=OD。

4. 内角性质：菱形的内角相等，且为90°。

即角A=角B=角C=角D=90°。

5. 边长性质：菱形的四条边长度相等。

二、菱形的周长和面积1. 周长：菱形的周长等于其四条边的长度之和。

即周长=AB+BC+CD+DA=4×边长。

2. 面积：菱形的面积等于对角线之积的一半。

即面积=½×对角线1×对角线2。

三、菱形的解题技巧1. 判断菱形的判定条件：判断一个四边形是否为菱形，可利用其对角线是否相等和垂直平分来判断。

若两条对角线相等且互相垂直平分，即可确定这个四边形为菱形。

2. 计算菱形的周长和面积：计算周长时，直接将四条边的长度相加即可。

计算面积时，可利用对角线之积的一半来求解。

四、菱形的应用菱形在日常生活和数学教学中都有广泛的应用。

在建筑、绘画、工艺制作等方面，均能看到菱形的身影。

而在数学教学中，菱形常被用来练习计算周长、面积，或者用来解决各类几何问题。

结语菱形是初中几何学中重要的概念之一，理解和掌握菱形的性质及计算方法对于学生的数学学习至关重要。

除了记住菱形的定义和性质外，还要学会运用菱形解决与菱形相关的数学问题。

希望通过本文的总结，读者能够对菱形有更深入的了解，从而更好地掌握和运用菱形知识。

菱形判定知识点总结

菱形判定知识点总结基本概念：菱形是一个几何形状，它有四条边和四个角，每个内角都是90度。

菱形的特点是它的四条边都相等，相邻的两条边成45度角，对角线相交于90度角。

在菱形中，对角线长度相等，相对的边也相等。

菱形的判定主要包括两个方面，一是判定一个四边形是否为菱形，二是判定一个几何图形是否是菱形。

性质：1. 菱形的对角线相等平分对角；2. 菱形的每个内角都是90度；3. 菱形的相邻边相等；4. 菱形的对角线垂直相交；5. 菱形的对角线相等且互相垂直平分；6. 菱形的性质是四边形的子集，其中包括平行四边形和矩形。

定理：1. 设菱形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；2. 设四边形的对角线相等，则这个四边形是菱形；3. 若一个四边形的对角线相等且互相垂直平分，则这个四边形是菱形；上述三个定理分别是通过菱形的基本性质得到的，通过这些定理我们可以简单判断一个四边形是否是菱形。

菱形判定应用：菱形判定在几何证明和实际问题中都有广泛的应用。

在几何证明中，菱形判定可以帮助我们判断一个已知的四边形的性质，从而展开相应的证明。

通过证明菱形的基本性质和相关定理，我们可以推导出其他定理，如平行四边形和矩形等。

在实际问题中，菱形判定可以帮助我们解决一些几何问题。

例如，当我们遇到一个已知的四边形时，通过菱形判定的方法我们可以判断出它是不是菱形，然后再进一步推导出一些相关的结论。

总结：菱形判定是数学中的一个重要概念，它的基本概念、性质和定理都对我们理解几何形状的特性和展开几何证明起着至关重要的作用。

通过学习菱形判定，我们可以更好地理解几何形状的性质和特点，解决一些与几何相关的问题。

因此，对菱形判定的学习和掌握对我们的数学学习和实际问题解决都有着重要的意义。

自学初中数学资料-菱形的性质及判定

自学资料一、菱形及其性质【知识探索】1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【说明】菱形的面积还可用对角线乘积除以2求得．2．菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【说明】（1）菱形具有平行四边形的所有性质；（2）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．1个对称中心，对称中心是其对角线的交点；2条对称轴，对称轴是其对角线所在的直线．【错题精练】第1页共8页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例1．（2002•杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（）A. 4B. 3C. 2D. 1【举一反三】1．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若，，则点的坐标是__________。

二、菱形的判定【知识探索】1．菱形的判定：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形．【错题精练】例1．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BC第2页共8页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训D. AC=BD例2．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．例3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．例4．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．第3页共8页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训例5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=DC=BC，过AD的中点E作AC的垂线，交CB的延长线于F．求证：（1）四边形ABCD是菱形．（2）BF=DE．【举一反三】1．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A. ①③B. ②③C. ③④D. ①②③2．（2002•咸宁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4．梯形的高DH与中位线EF交于点G，则下列结论中：①△DGF≌△EBH；②四边形EHCF是菱形；③以CD为直径的圆与AB相切于点E．正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个第4页共8页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训3．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是__________．4．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是__________．5．如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．6．如图，在∠ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点．（1）求证：四边形BDEF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长．7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．DF平分∠ADC交BC于F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．第5页共8页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训1．如图，在菱形ABCD中，BC=3，点是BD的中点，延长BD到点E，使得BD=DE=2，连结CE，点M是CE的中点，则OM=．2．如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在C′处，BC′交AD于点E，DF∥BE交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形．（2）若AB=4，AD=8，请求出菱形BEDF的边长．3．如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABC沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：①若∠A=70∘，则∠ABC=35∘；②若点F是CD的中点，则S△ABE=1S ABCD3下列判断正确的是（）第6页共8页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训A. ①，②都对；B. ①，②都错；C. ①对，②错；D. ①错，②对．4．如图，点E，F分别在▱ABCD的边BC，AD上．（1）若BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）请在图2中用圆规和直尺画出四边形AECF，使得四边形AECF是菱形．（不写作法，保留作图痕迹）5．如图，在正三角形网格中，菱形M经过旋转变换能得到菱形N，下列四个点中能作为旋转中心的是（）A. 点A；B. 点B；C. 点C；D. 点D．6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．第7页共8页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求EF的长度；（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．● 矩形第8页共8页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训。

北师大版初中数学九年级上册1.1菱形的性质与判定(教案)

，让学生学会运用菱形知识构建数学模型，提高解决实际问题的能力。
4.培养学生的数据分析观念：在解决与菱形相关的问题时，培养学生对数据的敏感度，学会从数据中发现规律，培养数据分析素养。
5.培养学生的团队合作意识：在小组讨论、合作探究中，提高学生的沟通能力和团队协作能力，为学生的终身学习奠定基础。
4.菱形的周长与面积的计算。
5.实际应用：利用菱形性质解决相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的几何直观：通过观察、操作、探究菱形的性质，使学生能够发展空间观念和几何直觉，提高解决几何问题的能力。
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习菱形的判定过程中，引导学生运用逻辑思维，通过演绎推理和合情推理，掌握严谨的证明方法。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与菱形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，使用直尺和量角器来构造一个菱形，并观察其性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
-菱形的周长与面积的计算：掌握计算公式，能够解决相关问题。
-举例：给出具体的菱形图形，指导学生如何计算周长和面积。
2.教学难点
-对角线垂直平分性质的证明：学生需要理解并掌握证明过程中的每一步逻辑。
-举例：在黑板上逐步展示证明过程，解释为什么对角线互相垂直且平分是菱形的必要充分条件。
-菱形判定方法的灵活运用：学生需要能够根据不同题目的特点选择合适的判定方法。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解菱形的基本概念。菱形是四条边相等的四边形，它在几何图形中有着特殊的地位。它是平面几何中的一种重要图形，具有独特的性质和应用。

菱形的性质及判定

菱形的性质及判定1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

重、难点知识点睛中考要求板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．【例3】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于．图1HO DC BAE F DBC A例题精讲【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于．【巩固】如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为DB3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．EDCB A6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为度时，四边形ADFE 为正方形．课后练习FEDCB A7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。

初中数学九年级：1.1.2菱形的判定

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