湖北省武汉市巨人教育辅导机构2018年中考数学专题复习讲义 ：相似三角形六大证明技巧(无答案)
相似三角形详细讲义
知识梳理
相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．
相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．
相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注意：
①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易
找到相似三角形的对应角和对应边．
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对
应边成比例．
相似三角形的基本定理
定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原
三角形相似．
定理的基本图形：
用数学语言表述是：
BC DE // ，
ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系
(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．
(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．
(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法
1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
武汉市乐其教育培训学校九年级数学相似三角形讲义 第 六 讲 相似的综合运用(基础)(Word 无答
武汉市乐其教育培训学校九年级数学相似三角
形讲义第六讲相似的综合运用（基础）
（Word 无答案）
例一、如图，线段AB∥CD，AD 与BC 相交于点K，E 是线段AD 上一动点.
(1)假定BK=3KC，求CD
AB的值；
(2)衔接BE，假定BE 平分∠ABC.
①当AE=1
2AD 时，猜想线段AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以
证
明；
②再探求：当AE=1
n
AD ( n ＞2)，猜想线段AB、BC、CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接
写出你的结论，不用证明．
C D
C D
E K
E K
A B A B
图2
例二、在△ABC 中，∠CAB=90°，AD⊥BC 于点D，点E 为AB 的中点，EC 与AD 交于点G，点F 在BC 上．
〔1〕如图1，AC∶AB=1∶2，EF⊥CB，求证：EF=CD．
〔2〕如图2，AC∶AB=1EF⊥CE，求EF∶EG 的值．
例三、：在等腰△ABC 中，AB=AC，AD∥BC，CD⊥AC，衔接BD 交AC 于点P.
〔1〕如图1，假定AB=5，BC=6，求AP
CP；
A D
P
B C
图1
〔2〕如图2，过点C 作CH⊥AB 于点H，求证：CE=HE.
A D
H
P
E
B C
图2
〔3〕①假定
3
2
AP
CP
=，那么
HE
BH的值为=；
②假定HE
BH
3
4
=，那么
AP
CP的值为. =
例四、如图1，△ABC、△DCE 是两个全等的等腰三角形，B、C、E 在同不时线上，连BD 交AC 于点M.
〔1〕求证：BM=DM；
〔2〕假定BE=BD，求AB
BC的值；
〔3〕如图2，△ABC、△DCE、△FEG 是三个全等的等腰三角形，B、C、E、G 在同不时线上，衔接BF，区分交AC、DC、DE 与点P、Q、R.
相似三角形-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习
典例精讲
考点聚集查漏补缺
拓展提升
第四单元 三角形专题4.4 相似三角形
知识点
比例线段
01
相似三角形的性质与判定02
相似三角形的应用
03
拓展训练
04
【例1】已知2x=3y(y≠0),则下面结论成立的是( ) A.x:y=3:2 B.x:3=2:y C.x:y=2:3 D.x:2=y:3
A
1.线段的比：在同一单位长度下,两条线段长度的比叫做两条线段的比；
2.比例线段：对于四条线段a,b,c,d,若其中两条线段的比与另两条线段的比相等(a:b=c:d).我们就说这四条线段成比例,简称比例线段.
3.比例的基本性质:
4.更比定理:考点聚集
ad=bc
知识点一
典例精讲比例线段
1.已知 ,则 的值是____.
2.人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底之比是 .某人测得头顶至肚脐长约65cm,肚脐至足底长约102cm,为尽可能达到黄金比的美感效果,作为形象设计师的你,对于她的着装建议为穿一双( )cm的高跟鞋(精确到1cm) A.2 B.3 C.4 D.5
B 知识点一
强化训练比例线段
知识点
比例线段
01
相似三角形的性质与判定02
相似三角形的应用
03
拓展训练
04
【例2】如图,已知△ABC中,∠BAC=90º,延长BA到点D,使AD=0.5AB,点E,F
分别是边BC,AC的中点.求证：DF=BE 方法一：证△ADF≌△FEC(SAS)A
F
D
B
C
E
方法二：证△ADF∽△BCA
方法三：连接AE,利用平行四边形证明
知识点二
典例精讲相似三角形的性质与判定
1.如图,已知∠1=∠2,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是( ) A.∠C=∠AED B.AB:AD=AC:AE C.∠B=∠D D.AB:AD=BC:DE
2018年中考数学总复习课件：相似三角形(共27张PPT)
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中考数学相似三角形复习课件
AB =AC
，再证明AC、
AD、AB所在的两个三角形相
似。由已知两个三角形有二个
角对应相等，所以两三角形相
似，本题可证。
2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD ·ME
E
分析：已知中与线段有关的条件仅有
D B
A E C
解 :∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE∥BC，且 AD AB
AE =AC
1 =2
∴ △ADE∽△ABC
即△ADE与△ABC的相似比为1:2
2. 如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED
和△ ABC 的相似比为＿＿＿.
A
解: ∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
D
E
∵AD:DB=2:3 ∴DB:AD=3:2
B
F
C
G
5. △ABC为锐角三角形，BD、CE 为高 . 求证： △ ADE∽ △ ABC （用两种方法证明）.
B
A E
D C
6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°， F AD⊥BC,E是AC的中点，ED交 B D
AB的延长线于F.
求证: AB:AC=DF:AF.
A
湖北中考数学新导向复习第四章三角形第18课三角形相似课件
∵△BDF∽△CEF，∴ ∴CE= BD=
1
BD BF 1 ， CE FC 2
.
a
B组
5．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E， DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G. (1)求证：△ADE≌△CFE； (2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长． 证明：（1）∵ AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE.
二、例题与变式
【考点1】相似三角形的判定与性质 【例1】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高且 CD2＝AD· DB. (1)求证：△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的度数．
证明：（1）∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°. ∵CD2=AD· DB， ∴ ∴△ADC∽△CDB.
【考点3】相似三角形的判定与性质
【例3】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边 上的高，正方形EFGH的一边FG在BC边上，顶点E， H分别在AB，AC上，BC＝40 cm，AD＝30 cm. (1)求证：△AEH∽△ABC； (2)求这个正方形的边长与面积． 解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC. ∴△AEH∽△ABC. （2）解：设AD与EH交于点M，∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
1 BC· AC= 2 1 AB· CD. 2
∴CD=
BC AC 6 8 . 4.8 AB 10
武汉市乐其教育培训学校2017-2018年九年级数学相似三角形讲义 第 四 讲 相似三角形的性质与
武汉市乐其教育培训学校2017-2018年九年级数学相似三角形讲义 第 四 讲 相似三角形的性质与判定
（1）（Word 无答案）
知识要点：
第 四 讲 相似三角形的性质与判定（1）
一、三边对应成比例的两个三角形相似（类比全等的“SSS ”公理）； 二、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（类比全等的“SAS ”公理）； 三、利用相似比例逆用证明两直线平行或垂直.
第一部分【能力提高】
一、如图，在□ABCD 中，过点 A 作 AE ⊥BC ，垂足为 E ，连接 DE ，F 为线段 DE 上一点，∠AFE =∠B . （1）求证：△ADF ∽△DEC ； （2）若 AB =8，AD =
AF =
，求 AE 的长．
二、如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC =∠ACB =90°，E 为 AB 的中点. （1）求证： AC 2 = AB ⋅ AD ； （2）若 AD =4，AB =6，求 AF 的长度．
三、如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AC = n AB ，D 为 BC 边的中点，BE ⊥AD 于点 E ，CF ⊥AD 于点 F .
（1）求证：△ABE ∽△CAF ；
（2）若 n =2 时，求AE
EF
的值；
（3）当 n =
时，E 为 AF 的中点.
A
E
B
D C
F
四、【共底角顶点的两个等腰必有相似】
如图，等腰△ABC 和等腰△DEC 中，AB =AC ，DE =DC ，∠BAC =∠EDC = α ．
A
（1）求证：△CAD ∽△CBE （AD AB
BE BC
(完整版)2018-2019中考数学试题分类汇编考点36相似三角形版含解析,推荐文档
2018 中考数学试题分类汇编：考点 36 相似三角形
一．选择题（共 28 小题）
1．（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）
A．360 元B．720 元C．1080 元 D．2160 元
【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【解答】解：3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20 元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，
则面积扩大为原来的 9 倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，
故选：C．
2．（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）
A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵两三角形的相似比是 2：3，
∴其面积之比是 4：9，
故选：C．
3．（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为
5cm，6cm 和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．
【解答】解：设另一个三角形的最长边长为 xcm，
根据题意，得：=，
解得：x=4.5，
即另一个三角形的最长边长为 4.5cm，
中考数学复习相似三角形(含位似) 课件
____3____．
第6题图
7.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为
1∶2，则△ABC与△DEF的周长之比是( A )A. 1∶2
B.
1∶4C. 1∶3
D. 1∶9
【拓展设问】△ABC与△DEF的面积比是__1_∶__4___.
第7题图
变式2题图
5. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE.若 ∠ADE＝∠ACB，且AD＝3，AC＝5，CE＝1，则AB的长为
20
____3____．
第5题图
【模型变式1】如图，在△ABC
3
中，D为BC上一点，BC＝ 3 AB＝3BD，则AD∶AC的值为____3____．
【温馨提示】判定三角形相似的思路： 1. 有平行截线——用平行线的性质，找等角
另一对等角 2. 有一对等角，找
该角的两边对应成比 例
夹角相等 3. 有两边对应成比例，找 第三边也对应成比例
一对直角
考点4 相似多边形及其性质
两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别_相__等___，对应边_成__比__例__， 概念
变式1题图
【模型变式2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AE＝
2，AB＝6，AD 1 ，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，
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湖北省武汉市巨人教育辅导机构2018年中考数学专题复习讲义 ：相似三角形六大证明技巧
（无答案）
相似三角形的判定方法总结：
1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）
3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)
4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)
5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型.
示意图
结论
E D C
B A
反A 型：
如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE ·AC =AD ·AB.
若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS)
O D
C
B
A
反X 型：
如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC .
“类射影”与射影模型
示意图
结论
A B
C
D
类射影：
如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD ·AC.
C
A
B
H
射影定理
如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =⋅=⋅=⋅
相似三角形证明方法
相似三角形6大证明技巧
“旋转相似”与“一线三等角”
反A 型与反X 型
已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB
O
F E
C
B
A
类射影
如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：
BD AB
BC AC
= A B
C
D
射影定理
已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅
湖北省武汉市巨人教育辅导机构2018年中考数学专题复习讲义 ：相似三角形六大证明技巧
（无答案）
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。
在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算
【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：
DC CF AE AD
=．
A
B
C
F
D
E
【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于
D ，交AB 于
E ．求证：2AM MD ME =⋅
C
B
A
E
D
M
【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，
交AD 于F ．求证：
BF AB
BE BC
=．
D
B
A
C
F E
技巧一：三点定型
比例式的证明方法
悄悄地替换比例式中的某条线段…
【例4】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，
求证：2FD FB FC =⋅
A
B
C
D E
F
【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，
ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ⋅=⋅．
C
B
A D E
F
【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：
2AB BE CD =⋅
A
B
C
D
E
【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，
延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．
C
B
A
D
P
E
F
技巧二：等线段代换
湖北省武汉市巨人教育辅导机构2018年中考数学专题复习讲义 ：相似三角形六大证明技巧
（无答案）
【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线
于F ，求证：2OB OE OF =⋅．
O
F
E
D
C B
A
【例9】 如图，在ABC △中，已知90A ∠=︒时，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，
过D 、E 作直线交AB 的延长线于F ．求证：AB AF AC DF ⋅=⋅．
E
F
C
A
B
D
【例10】 如图，在ABC △中（AB ＞AC ）的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使
AD AE =，直线DE 和BC 的延长线交于点P ．求证：BP CE CP BD ⋅=⋅
E C
D B
A
P
技巧三：等比代换