2014年广东省汕头市高考数学二模试卷(文科)
2014年高考真题——文科数学(广东卷) PDF版含解析
A．充分必要条件
x2 y2 x2 y2 1 与曲线 1的 16 5 k 5 k 16
C．离心率相等 D．焦距相等
B．虚半轴长相等
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【考点与思路】本题考查双曲线的标准方程及几何性质.先判断曲线的类型，再考虑选项. 【答案】D 【解析】由 0 k 5 ，可知曲线为双曲线， a1 16, b1 5 k , c1 21 k ，
12．从字母 a, b, c, d , e 中任取两个不同的字母，则取到字母 a 的概率为 【考点与思路】本题பைடு நூலகம்查古典概型概率计算.用列兴法求解即可. 【答案】
2 5
【解析】从5个字母中任取两个不同的字母，有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种情况， 而取得字母a有ab,ac,ad,ae，共4种情况. 所以所求概率为 P
2
为 x 1 ，联立俩曲线直角坐标方程易得交点坐标为 (1, 2) .
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15．(几何证明选讲选做题)如图 3，在平行四边形 ABCD 中， 点 E 在 AB 上且 EB 2 AE ， AC 与 DE 交于点 F ，则
CDF的周长 AEF的周长
【考点与思路】本题考查相似三角形的判断与性质.求 【答案】3 【解析】由 EB 2 AE 得
4 2 . 10 5
13．等比数列 an 的各项均为正数，且 a1a5 4 ，则 log2 a1 log2 a2 log2 a3 log2 a4 log2 a5 ＝ 【考点与思路】本题考查等比数列的和对数的运算性质. 【答案】5 【解析】
a1 a5 a32 4,a3 2 ,
2 2 2
2014年高考真题——文科数学(广东卷)Word版含答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D ===已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.xx 212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+ 答案:A111:()2,(),()22(),222(), A.x x xx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDFAEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且5()12f π=（1） 求A 的值；（2）若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-553:(1)()sin()sin 3.121234(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336cos sin 31cos ,()336f A A A f x x f f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∴-=解由得1sin()3sin()3cos 3 1.6323πππθθθ-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式 (3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-2222002222220.:1(0)(1);(2)(,),,.:(1)3,954,1.94(2),,4x yC a ba bCP x y C P C Pcc e a b a cax yCx y+=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x xx yy k x x yk x k y kx x y kxk y kx y kx k y kx-±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即2222200000122220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.kyx k x y k y k kxx yP x y+=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+=两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a Rf xa x f x f=+++∈<∈已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴<<<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
★2014年高考试题(广东卷-附答案)——文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一．选择题：1、已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ） A. {}2,0 B. {}3,2 C. {}4,3 D. {}5,32、已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+3、已知向量)1,3(),2,1(==b a，则=-a b （ ）A. )1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(4、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 11 5、下列函数为奇函数的是（ ） A.x x212-B.x x sin 3C.1cos 2+xD.xx 22+ 6、为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ） A.50 B.40 C.25 D.207、在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件8、若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ） A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题： ①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*； ③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：（一）必做题（11—13题）11.曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a _____. （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：16、已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1） 求A 的值；（2）若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-17、某车间20名工人年龄数据如下表： （1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3） 求这20名工人年龄的方差.18、如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF. （1）证明：CF ⊥平面MDF （2）求三棱锥M-CDE 的体积.19、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a20、已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。
2014年广东省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2014年广东省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知集合M＝{2,3,4},N＝{0,2,3,5},则M∩N＝( )A.{0,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{3,5}2.(5分)已知复数z满足(3－4i)z＝25,则z＝( )A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.(5分)已知向量＝(1,2),＝(3,1),则－＝( )A.(－2,1)B.(2,－1)C.(2,0)D.(4,3)4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z＝2x＋y的最大值等于( )A.7B.8C.10D.115.(5分)下列函数为奇函数的是( )A.2x－B.x3sinxC.2cosx＋1D.x2＋2x6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.207.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.(5分)若实数k满足0＜k＜5,则曲线－＝1与－＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2＝ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z 1,z2,z3有如下命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1则真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)11.(5分)曲线y＝－5e x＋3在点(0,－2)处的切线方程为.12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.13.(5分)等比数列{an }的各项均为正数,且a1a5＝4,则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝.(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为.【几何证明选讲选做题】15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB＝2AE,AC与DE交于点F,则＝.四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝,θ∈(0,),求f(－θ).(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB＝1,BC＝PC＝2作如图2折叠；折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF ⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积.19.(14分)设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0,n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有＋＋…＋＜.20.(14分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.21.(14分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x)＝f().2014年广东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知集合M＝{2,3,4},N＝{0,2,3,5},则M∩N＝( )A.{0,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{3,5}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵M＝{2,3,4},N＝{0,2,3,5},∴M∩N＝{2,3},故选：B.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)已知复数z满足(3－4i)z＝25,则z＝( )A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.【解答】解：∵满足(3－4i)z＝25,则z＝＝＝3＋4i,故选：D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)已知向量＝(1,2),＝(3,1),则－＝( )A.(－2,1)B.(2,－1)C.(2,0)D.(4,3)【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可.【解答】解：∵向量＝(1,2),＝(3,1),∴－＝(2,－1)故选：B.【点评】本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z＝2x＋y的最大值等于( )A.7B.8C.10D.11【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x＋y,得y＝－2x＋z,平移直线y＝－2x＋z,由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点B(4,2)时,直线y＝－2x＋z的截距最大,此时z最大,此时z＝2×4＋2＝10,故选：C.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.5.(5分)下列函数为奇函数的是( )A.2x－B.x3sinxC.2cosx＋1D.x2＋2x【分析】根据函数的奇偶性的定,对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论.【解答】解：对于函数f(x)＝2x－,由于f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x),故此函数为奇函数.对于函数f(x)＝x3sinx,由于f(－x)＝－x3(－sinx)＝x3sinx＝f(x),故此函数为偶函数.对于函数f(x)＝2cosx＋1,由于f(－x)＝2cos(－x)＋1＝2cosx＋1＝f(x),故此函数为偶函数.对于函数f(x)＝x2＋2x,由于f(－x)＝(－x)2＋2－x＝x2＋2－x≠－f(x),且f(－x)≠f(x),故此函数为非奇非偶函数.故选：A.【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法,属于基础题.6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.20【分析】根据系统抽样的定义,即可得到结论.【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本,∴样本数据间隔为1000÷40＝25.故选：C.【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用,比较基础.7.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤si nB”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可.【解答】解：由正弦定理可知⇒＝,∵△ABC中,∠A,∠B,∠C均小于180°,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,∴a,b,sinA,sinB都是正数,∴“a≤b”⇔“sinA≤sinB”.∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件.故选：A.【点评】本题考查三角形中,角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用,基本知识的考查.8.(5分)若实数k满足0＜k＜5,则曲线－＝1与－＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【分析】根据k的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及a,b,c的大小关系即可得到结论. 【解答】解：当0＜k＜5,则0＜5－k＜5,11＜16－k＜16,即曲线－＝1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2＝16,b2＝5－k,c2＝21－k,曲线－＝1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2＝16－k,b2＝5,c2＝21－k,即两个双曲线的焦距相等,故选：D.【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断a,b,c是解决本题的关键.9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论.【解答】解：在正方体中,若AB所在的直线为l2,CD所在的直线为l3,AE所在的直线为l1,若GD所在的直线为l4,此时l1∥l4,若BD所在的直线为l4,此时l1⊥l4,故l1与l4的位置关系不确定,故选：D.【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断,比较基础.10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2＝ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z 1,z2,z3有如下命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根据已知中ω1*ω2＝ω12,其中2是ω2的共轭复数,结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假,可得答案.【解答】解：①(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)＝(z1＋z2＝(z1*z3)＋(z2*z3),正确；②z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1(＋)＝z1＋z1＝(z1*z2)＋(z1*z3),正确；③(z1*z2)*z3＝z1,z1*(z2*z3)＝z1*(z2)＝z1()＝z1z3,等式不成立,故错误；④z1*z2＝z1,z2*z1＝z2,等式不成立,故错误；综上所述,真命题的个数是2个,故选：B.【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了复数的运算性质,细心运算即可,属于基础题.二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)11.(5分)曲线y＝－5e x＋3在点(0,－2)处的切线方程为5x＋y＋2＝0. .【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可.【解答】解：y′＝－5e x,∴y′|x＝0＝－5.因此所求的切线方程为：y＋2＝－5x,即5x＋y＋2＝0.故答案为：5x＋y＋2＝0.【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程,属于基础题.12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.【分析】求得从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母、取到字母a的情况,利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解：从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,共有＝10种情况,取到字母a,共有＝4种情况,∴所求概率为＝.故答案为：.【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.13.(5分)等比数列{an }的各项均为正数,且a1a5＝4,则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝ 5 .【分析】可先由等比数列的性质求出a3＝2,再根据性质化简log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝5log2a3,代入即可求出答案.【解答】解：log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2a1a2a3a4a5＝log2a35＝5log2a3.又等比数列{an }中,a1a5＝4,即a3＝2.故5log2a3＝5log22＝5.故选为：5.【点评】本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题,较易.(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2) .【分析】直接由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程,然后联立方程组求得答案.【解答】解：由2ρcos2θ＝sinθ,得：2ρ2cos2θ＝ρsinθ,即y＝2x2.由ρcosθ＝1,得x＝1.联立,解得：.∴曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).故答案为：(1,2).【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.【几何证明选讲选做题】15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB＝2AE,AC与DE交于点F,则＝3 .【分析】证明△CDF∽△AEF,可求.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形,EB＝2AE,∴AB∥CD,CD＝3AE,∴△CDF∽△AEF,∴＝＝3.故答案为：3.【点评】本题考查三角形相似的判断,考查学生的计算能力,属于基础题.四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝,θ∈(0,),求f(－θ).【分析】(1)通过函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝,直接求A的值；(2)利用函数的解析式,通过f(θ)－f(－θ)＝,θ∈(0,),求出cosθ,利用两角差的正弦函数求f(－θ).【解答】解：(1)∵函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝,∴f()＝Asin(＋)＝Asin＝,∴.(2)由(1)可知：函数f(x)＝3sin(x＋),∴f(θ)－f(－θ)＝3sin(θ＋)－3sin(－θ＋)＝3[()－()]＝3•2sinθcos＝3sinθ＝,∴sinθ＝,∴cosθ＝,∴f(－θ)＝3sin()＝3sin()＝3cosθ＝.【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的解析式的求法,基本知识的考查.(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.【分析】(1)根据众数和极差的定义,即可得出；(2)根据画茎叶图的步骤,画图即可；(3)利用方差的计算公式,代入数据,计算即可.【解答】解：(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40－19＝21；(2)茎叶图如下：(3)年龄的平均数为：＝30.这20名工人年龄的方差为S2＝[(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋(40－30)2]＝12.6.【点评】本题考查了众数,极差,茎叶图,方差的基本定义,属于基础题.18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB＝1,BC＝PC＝2作如图2折叠；折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF ⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积.【分析】(1)要证CF⊥平面MDF,只需证CF⊥MD,且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD,得出平面PCD⊥平面ABCD,即证MD⊥平面PCD,得CF⊥MD；(2)求出△CDE的面积S△CDE ,对应三棱锥的高MD,计算它的体积VM－CDE.【解答】解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PCD, ∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD＝CD,MD⊂平面ABCD,MD⊥CD,∴MD⊥平面PCD,CF⊂平面PCD,∴CF⊥MD；又CF⊥MF,MD、MF⊂平面MDF,MD∩MF＝M,∴CF⊥平面MDF；(2)∵CF⊥平面MDF,∴CF⊥DF,又∵Rt△PCD中,DC＝1,PC＝2,∴∠P＝30°,∠PCD＝60°,∴∠CDF＝30°,CF＝CD＝；∵EF∥DC,∴＝,即＝,∴DE＝,∴PE＝,∴S△CDE＝CD•DE＝；MD＝＝＝,∴VM－CDE ＝S△CDE•MD＝××＝.【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题,解题时应结合图形,明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么,几何体的体积计算公式是什么,是中档题.19.(14分)设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0,n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有＋＋…＋＜.【分析】(1)本题可以用n＝1代入题中条件,利用S1＝a1求出a1的值；(2)利用an 与Sn的关系,将条件转化为an的方程,从而求出an；(3)利用放缩法,将所求的每一个因式进行裂项求和,即可得到本题结论. 【解答】解：(1)令n＝1得：,即.∴(S1＋3)(S1－2)＝0.∵S1＞0,∴S1＝2,即a1＝2.(2)由得：.∵an＞0(n∈N*),∴Sn＞0.∴.∴当n≥2时,,又∵a1＝2＝2×1,∴.(3)由(2)可知＝,∀n∈N*,＝＜＝(),当n＝1时,显然有＝＜；当n≥2时,＜＋＝－•＜所以,对一切正整数n,有.【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法,还用到了放缩法,计算量较大,有一定的思维难度,属于难题.20.(14分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.【分析】(1)根据焦点坐标和离心率求得a和b,则椭圆的方可得.(2)设出切线的方程,带入椭圆方程,整理后利用△＝0,整理出关于k的一元二次方程,利用韦达定理表示出k1•k2,进而取得x和y的关系式,即P点的轨迹方程.【解答】解：(1)依题意知,求得a＝3,b＝2,∴椭圆的方程为＋＝1.(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P的坐标为(±3,±2),符合题意,②当两条切线斜率均存在时,设过点P(x0,y)的切线为y＝k(x－x)＋y,＋＝＋＝1,整理得(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx)x＋9[(y－kx)2－4]＝0,∴△＝[18k(y0－kx)]2－4(9k2＋4)×9[(y－kx)2－4]＝0,整理得(x02－9)k2－2x×y×k＋(y2－4)＝0,∴－1＝k1•k2＝＝－1,∴x02＋y2＝13.把点(±3,±2)代入亦成立,∴点P的轨迹方程为：x2＋y2＝13.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程,轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程,最重要的是建立模型求得x和y关系.21.(14分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x)＝f().【分析】对第(1)问,先求导,再通过一元二次方程的实根讨论单调性；对第(2)问,可将f(x0)＝f()转化为f(x)－f()＝0,即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理.【解答】解：(1)由f(x)得f′(x)＝x2＋2x＋a,令f′(x)＝0,即x2＋2x＋a＝0,判别式△＝4－4a,①当△≤0即a≥1时,f′(x)≥0,则f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数.②当△＞0即a＜1时,方程f′(x)＝0的两根为,即, 当x∈(－∞,－1－)时,f′(x)＞0,则f(x)为增函数；当时,f′(x)＜0,则f(x)为减函数；当,＋∞)时,f′(x)＞0,则f(x)为增函数.综合①、②知,a≥1时,f(x)的单调递增区间为(－∞,＋∞),a＜1时,f(x)的单调递增区间为(－∞,和,＋∞),f(x)的单调递减区间为.(2)∵＝＝＝＝＝.∴若存在∪,使得,即,则关于x的方程4x2＋14x＋7＋12a＝0在∪内必有实数解.∵a＜0,∴△＝142－16(7＋12a)＝4(21－48a)＞0,方程4x2＋14x＋7＋12a＝0的两根为,即,＞0,∴,∵x依题意有,且,即,且,∴49＜21－48a＜121,且21－48a≠81,得,且.∴当∪时,存在唯一的∪,使得成立；当∪∪{}时,不存在∪,使得成立.【点评】1.求含参数的函数的单调区间时,导函数的符号往往难以确定,如果受到参数的影响,应对参数进行讨论,讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定.如本题中导函数为一元二次函数,就有必要考虑对应方程中的判别式△.2.对于存在性问题,一般先假设所判断的问题成立,再由假设去推导,若求得符合题意的结果,则存在；若得出矛盾,则不存在.。
广东省汕头市普通高中2014-2015学年高二数学下学期期末质量监测试题 文
汕头市2014~2015学年度普通高中教学质量监测高二数学(文科)本试卷共4页，24小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 参考公式：锥体体积公式为Sh V 31=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高； 球的表面积公式为24R S π=，体积公式为334R V π=，其中R 为球的半径；方差公式：])()()[(12_2_22_12x x x x x x ns n -++-+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合}1|{->=x x A ，}32|{<<-=x x B ，则=B AA ． }1|{->x xB ． }31|{<<-x xC ． }2|{->x xD ． }32|{<<-x x 2．复数=+ii215 A ． i +2 B ． i +-2C ． i 21-D ． i 21+3．设n S 为正项．．等比数列}{n a 的前n 项和，且0431=-a a ，则=13a S A ． 3 B ． 7 C ．47D ． 3或74．设变量y x ,满足不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥333x y x x y ，则y x z +=的最小值为A ． 9-B ． 6-C ． 1-D ．235．函数1sin )(3++=x x x f ，若a f =)1(，则=-)1(f A ． a -B ． 0C ． 2-aD ． a -26．已知向量→a ，→b 满足1||=→a ，2||=→b ，且→a ，→b 的夹角为60，则=-→→||b a A ．1B ．3C ． 2D ．77．函数x x y cos 3sin -=的图象的一条对称轴方程是 A ．6π=x B ．3π=xC ．32π=xD ．65π=x 8．若p 是q 的充分条件，s 是q 的必要条件，那么下列 推理一定正确的是 A ．⇔s B ．s p ⇔C ．⇒D ．⇒9．若如右框图所给的程序运行结果为28=S ，那么判断框中应填入的条件是 (第9题图) A ．?7<kB ．?7≤kC ．?7>kD ．?7≥k10．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．34 B ．38C ．316 D ．8 11．双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by ax C 的左右焦点分别是1F ，2F ，过2F 作直线212F F PF ⊥，交双曲线C 于P ，若21F PF ∆为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为 A ． 12-B ． 2C ． 12+D ． 22+12．已知函数)(x f 定义域为R ，对任意的R x ∈都有)2()(+=x f x f ，且当01<<-x 时，1)21()(-=x x f ，当10≤≤x 时，x x f =)(，则函数x x f x g 5log )()(-=的零点个数为A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．从1，2，3，4中任意选取两个不同的数，其和为3的倍数的概率是_____________． 14．用一个平面截其球体得到直径为4的圆，且球心到这个平面的距离是2，则该球的表面积是_____________．15．在ABC ∆中，A ∠为锐角，且2=AB ，6=AC ，23=∆ABC S ，则BC =________． 16．抛物线)0(22>=p px y 上一点)0)(,1(>m m M 到其焦点F 的距离为4，则OMF ∆(O 为原点)的面积为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且满足93=S ，74=a ． (1)求}{n a 的通项公式；(2)设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．18．(本小题满分12分)某班级从甲乙两位同学选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的10次模拟测试成绩(单位：分)进行了记录如下： 甲：79 83 96 89 86 78 85 95 82 87乙：81 95 83 76 91 86 96 77 82 93 (1)用茎叶图表示这两组数据，并分别求出这两组数据 的中位数；(2)分别计算这两组数据的平均数和方差，并根据你的计 算结果，判断选派哪位学生参加合适？19．(本小题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，41====AA AC BC AB ，点F 在1CC 上，且FC F C 31=，E 是BC 的中点．(1)求证：AE ⊥平面BCC 1B 1(2)求四棱锥FE C B A 11-的体积； (3)证明：AF E B ⊥1． 20．(本小题满分12分)已知函数xa x a x x f -+-=ln )2(2)(． (1)当0=a 时，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程； (2)当0>a 时，求函数)(x f 的极值．21．(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，长轴长为24． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线2:=x l 与椭圆C 交于两点P 、Q ，其中P 在第一象限，A 、B 是椭圆上位于直线l 两侧的两个动点，满足BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由．选做题：请考生在第22~24三题中任选一题作答． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲．如图，圆O 的半径为2，P 是圆O 的直径AB 延长线上的一点，BP =1，割线PCD 交圆O 于C 、D 两点，过P 作AP FP ⊥，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ．(1)求证：PDF PEC ∠=∠； (2)求PF PE ⋅的值．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程．在极坐标系中，圆C 的方程为θρcos 4=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=3433t y t x (t 为参数)．(1)写出圆C 的直角坐标方程以及直线l 的普通方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲． 设函数|42|)(-=x x f ，|1|)(+=x x g ．(1)解不等式：)()(x g x f >；(2)当]3,0[∈x ，求函数)()(x g x f y +=的最大值．汕头市2015年普通高中高二教学质量监控测评试题数学（文科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CABBDBDDCBCB二、填空题（本大题共做4小题，每小题5分，共20分） 13.3114.π32 15.2 16.33 三、解答题：本大题共6题，满分70分. 17. （本小题满分12分）解：（1）依题意有3213a a a S ++=9331=+=d a ，……….1分7314=+=d a a ……….2分 解得11=a ，2=d ……….3分 d n a a n )1(1-+=……….4分122)1(1-=⨯-+=n n ……….5分（2）)12)(12(1+-=n n b n ……….6分)121121(21+--=n n ……….7分 n n b b b T +++=...21=)]121121(...)7151()5131()311[(21+--++-+-+-n n ……….9分)1211(21+-=n ……….11分12+=n n ……….12分 18. （本小题满分12分） 解：（1）甲组中位数为5.8528685=+…1分 乙组中位数为5.8428683=+……….2分 ……….4分（2））（甲87829585788689968379101+++++++++=-x 86=……….5分）（乙93827796869176839581101+++++++++=-x 86=………6分])8687()8682()8695()8685()8678()8686()8689()8696()8683()8679[(10122222222222-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=甲s ……….7分33=………8分])8693()8682()8677()8696()8686()8691()8676()8683()8695()8681[(10122222222222-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙s ……….9分6.48=……….10分乙甲--=x x ，22乙甲s s <，即甲、乙的平均水平相同，而甲相对乙更为稳定……….11分所以选派甲参加竞赛. ……….12分19. （本小题满分12分）（1）解：AC AB = ，E 是BC 的中点 BC AE ⊥∴……….1分在三棱柱111C B A ABC -中，11//AA BB⊥∴1BB 平面ABC ⊂AE 平面ABCAE BB ⊥∴1……….2分又B BC BB = 1，……….3分 1BB ，⊂BC 平面C C BB 11⊥∴AE 平面C C BB 11……….4分（2）由（1）知，即AE 为四棱锥FE C B A 11-的高 在正三角形ABC 中，3223==AB AE …5分 在正方形C C BB 11中，2==BE CE ，1=CFCEF E BB C C FE C S S S S ∆∆--=∴11111BB B 正方形四边形1221422144⨯⨯-⨯⨯-⨯=11=………6分AE S V FE C FE C B A ⋅=∴-1111B 31四边形四棱锥3322321131=⨯⨯=………7分 （3）证明：连结F B 1，由（1）得⊥AE 平面C C BB 11 ⊂E B 1平面C C BB 11，E B AE 1⊥∴……….8分在正方形C C BB 11中，5212111=+=F C C B F B ，522121=+=BB BE E B522=+=CF CE EF 22121EF E B F B += EF E B ⊥∴1……….9分又E EF AE = ，……….10分 AE ，⊂EF 平面AEF⊥∴E B 1平面AEF ……….11分 ⊂AF 平面AEFAF E B ⊥∴1.……….12分20. （本小题满分12分）解：（1）0=a 时，x x x f ln 22)(-=，xx f 22)('-=，……….1分 函数)(x f 在1=x 处的切线斜率为0)1('=f ，………2分又2)1(=f ，……….3分 故切线的方程为02=-y ，即2=y .……….4分 （2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞……….5分222)('xax a x f ++-=222)1)(2()2(2x x a x x a x a x --=++-=……….6分令0)('=x f ，得1=x 或2ax =……….7分①当120<<a ，即20<<a 时，由0)('<x f ，得到)1,2(ax ∈， 由0)('>x f ，得到),1()2,0(+∞∈ ax即)(x f 的单调增区间是),1(),2,0(+∞a ，单调减区间是)1,2(a………8分所以，)(x f 的极大值为22ln )2()2(-+-=aa a a f ，极小值为a f -=2)1(……….9分②当12>a ，即2>a 时，由0)('<x f ，得到)2,1(a x ∈，由0)('>x f ，得到),2()1,0(+∞∈ax即)(x f 的单调增区间是),2(),1,0(+∞a ，单调减区间是)2,1(a……….10分所以，)(x f 的极大值为a f -=2)1(，极小值为22ln )2()2(-+-=aa a a f ……….11分③当2=a 时，0)1(2)('22≥-=xx x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递增， 所以此时)(x f 没有极值. ……….12分21. （本小题满分12分） 解：（1）依题意有23=a c ，……….1分 242=a ，………2分 则有6,22==c a ，因此222=-=c a b ，………3分∴椭圆C 的方程为12822=+y x ………4分（2）令2=x ，得1±=y ，即)1,2(P ，)1,2(-Q ……….5分BPQ APQ ∠=∠ ，∴直线PA 的倾斜角与直线PB 的倾斜角互补，……….6分 直线PA 的斜率显然存在.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设),(11y x A ，),(22y x B ，直线PA 的方程为)2(1-=-x k y ，即12+-=k kx y ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1281222y x k kx y 得到041616)21(8)41(222=--+-++k k x k k x k ……….7分 1,2x 是该方程的两个实根，∴22141416162k k k x +--=，……….8分 22141288k k k x +--=……….9分同理，直线PB 的方程为12++-=k kx y ，且22241288kk k x +-+=……….10分 所以，222141416k k x x +-=+，2214116k kx x +-=- 直线AB 的斜率为21212121)12()12(x x k kx k kx x x y y -++--+-=--21214)(x x kx x k --+=……….11分 211684116441416223=--=+--+-=k k k k k k kk .………12分22.（本小题满分10分）（1）证明：连结BD ，则90=∠BDA ………1分 CAB CDB ∠=∠ ………2分CAB PEC ∠-=∠ 90，………3分 CDB PDF ∠-=∠ 90………4分 PDF PEC ∠=∠∴………5分（2）解：由（1）得PDF PEC ∠=∠， 所以F E C D ,,,四点共圆，………7分 PD PC PF PE ⋅=⋅∴………8分PA PB ⋅=………9分5)41(1=+⨯=………10分23.（本小题满分10分）解：（1）θρρcos 42=，………1分x y x 422=+，………2分即圆C 的直角坐标方程为：4)2(22=+-y x ………3分对于直线l ，将33-=x t ………4分 代入第二个方程可得134-=x y ， 即直线l 的普通方程为：0334=--y x ………5分（2）由（1）得圆C 的圆心)0,2(C ，半径2=r ，………6分点C 到直线l 的距离22)3(4|30324|-+-⨯-⨯=d ………7分 155==，………8分∴直线l 被圆C 所截得的弦长为222d r -………9分3212222=-=………10分24.（本小题满分10分）解：（1）|1||42|+>-x x 22)1()42(+>-⇔x x ……1分0)5)(33(>--⇔x x ……2分1<⇔x 或5>x ，……3分，即不等式的解集为}5x 1|{><或x x .……4分 （2）]3,0[∈x 时，01>+x ，1|42||1||42|++-=++-=x x x x y ……5分 当20≤≤x 时，x x x y -=++-=5124 在]2,0[上递减，…6分,故当0=x 时，5m ax =y ……7分当32≤<x 时，33142-=++-=x x x y 在]3,2(上递增……8分，故当3=x 时，6m ax =y ……9分综上，当3=x 时，y 的最大值为6.……10分。
2014汕头二模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】
广东省汕头市2014届高三4月第二次模拟数学（文数）一、选择题：1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}2B ．{}1,3,5C ．{}4,6D ．{}4,6,7,82．已知i 是虚数单位，则复数1232++=i i z 所对应的点落在（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3．命题0,2≥+∈∀x x R x 的否定是（ ）A ．0,2≤+∈∃x x R xB ．0,2<+∈∃x x R xC ．0,2≤+∈∀x x R xD ．0,2<+∈∀x x R x4．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0841=-a a ，则下列式子中数值不能确定的是（ ）.A ．35a a B ．35S S C ．nn a a 1+D ．nn S S 1+5．在的值为：则，，中，B A b a ABC 2cos ,6010150===∆（ ） A ．31 B ． 31- C ．33 D ．33- 6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的 值是（ ） A ． 2 B ． 3 C ．4 D ． 57．如图所示的方格纸中有定点O ，P ， Q ，E ，F ，G ，H ，则=+OQ OP （ ） A ． OH B ． OG C ． EO D ． FO8．已知O 是坐标原点，点)1,1(-A ,若点),(y x M 为平面区域21y 2x y x +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的 一个动点，则OM OA ⋅最大值为（ ）2.A 0.B 1.C 1.-D9．一个长方体被一平面截去一部分所得几何体的三视图如右图，则该几何体 的体积是（ ）A ．1 440B ．1 200C ．960D ．72010．规定函数)(x f y =图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数)(x f y =的 “中心距离”，给出以下四个命题： ① 函数1y x=的“中心距离”大于1； ②函数542+--=x x y 的“中心距离”大于1； ③ 若函数))((R x x f y ∈=与))((R x x g y ∈=的“中心距离” 相等，则函数)()()(x g x f x h -=至少有一 个零点．以上命题是真命题的是（ ）A .①②B .②③C .①③D .①二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11-13题）CBEAPO（第15题图）11．椭圆116922=+y x 的两个焦点为12,F F ，点P 在椭圆上， 若31=PF ，则2PF ____=．12．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米） 数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知a ＝ ．13．直线2121//01)5(2:013:l l y a x l y ax l ，若，=+++=++，则a _____=． （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的极坐标为()0,2，直线l 的极坐标方程为02)s i n (c o s =++θθρ，则点A 到直线l 的距离为________． 15．(几何证明选讲选做题)如图，AB 是圆O 的直径，,PB PE 分别切圆O 于,B C ， 若40ACE ∠=，则P ∠=______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. (本题满分12分)某中学在高三级开设了A 、B 、C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A 、B 、C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据如下（单位：人）：兴趣小组 小组人数 抽取人数A24 x B36 3 C48 y （1）求x 、y 的值；（2）若从A 、B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自同一兴趣小组的概率．17．（本题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31(,)22b =，函数()1f x a b =⋅+． （1）求)2(πf 的值； （2）当9()5f α=，且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值．18．（本题满分14分）如图，ABC ∆内接于圆O ,AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ,2AB =,3=EB ．（1）求证：ACD DE 面⊥平面；（2）设AC x =，()V x 表示三棱锥ACE B -的体积，求函数()V x 的解析式及最大值．19．(本题满分14分)数列{}n a 中，11=a ，n S 是{}n a 前n 项和，且)2(11≥+=-n S S n n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12-+=n n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ，求n T ； （3）对任意*∈N n 不等式122--≥m m T n 恒成立，求m 的取值范围．20．(本题满分14分)抛物线1C 的顶点在原点焦点在y 轴上，且经过点)2,2(P ，圆2C 过定点)1,0(A ，且圆心2C 在抛物线1C 上，记圆2C 与x 轴的两个交点为N M 、．（1）求抛物线1C 的方程；（2）当圆心2C 在抛物线上运动时，试问MN 是否为一定值？请证明你的结论； （3）当圆心2C 在抛物线上运动时，记m AM =，n AN =，求mnn m +的最大值．21．(本题满分14分)已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x=-++． （1）当0=a 时，求)(x f 的极值；（2）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；（3）若对任意的[]12(3,2) 1.3a x x ∈--∈，、恒有)()(3ln 2)3ln 21x f x f a m ->-+（成立，求实数m 的取值范围．广东省汕头市2014届高三4月第二次模拟文科数学参考答案一、选择题：CBBDA CDABD二、填空题：11. 5 12. 0.03 13. 1a =或6a =- 14. 22 15. 80三、解答题： 16. 解：（1）3243648x y==，2,4x y ∴==………5分. （2）设“选中的2人都来自同一兴趣小组”为事件D ………1分，记从兴趣小组A 中抽取的2人为,a b ，从兴趣小组B 中抽取的3人为1,2,3………1分，则基本事件有：()()()()()()()()()(),,,1,,2,,3,,1,,2,,3,1,2,1,3,2,3a b a a a b b b 共10个………4分，D 包含有：()()()(),,1,2,1,3,2,3a b 共4个………5分，()42105P D ∴==………7分. 17. 解：（1）()31cos sin 1sin 1223f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭………3分，53sin 1262f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭………5分.（2）()9sin 135fπαα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，4sin 35πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭………2分，2,6323ππππααπ<<∴<+<………3分，23cos 1sin 335ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………4分， 224sin 2sin 22sin cos 333325ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………7分. 18. 解：（1）四边形D C B E 是平行四边形，//,//DC EB BC ED ∴………1分，DC ABC ⊥面，DC BC ∴⊥………2分，AB ∴是圆O 的直径，BC AC ∴⊥………3分，DC AC C =………4分，BC ACD ∴⊥面………5分，又//DE BC ，DE ACD ∴⊥面………6分.（2）DC ABC ⊥面，BE ABC ∴⊥面………1分，在Rt ABE ∆中，2,3AB BE ==，在Rt ABC ∆中，AC x =，()2402BC x x =-<<………2分，211422ABC S AC BC x x ∆∴=⋅=-………3分， ()()()()2222213334424022666B ACE E ABC ABC V x V V S BE x x x x x x --∆===⋅=-=-=--+<<………7分，∴当22x =，即2x =时，体积的最大值为33………8分. （或解：由均值不等式得()222224442x x x x ⎛⎫+--≤= ⎪………7分，当且仅当224x x =-，即2x =时，体积的最大值为33………8分.） 19. 解：（1）11a =，()112n n S S n --=≥，{}nS ∴是以111S a ==为首项，1为公差的等差数列………1分，n S n ∴=，即2n S n =………3分，()211n S n -∴=-………4分，()221121n n n a S S n n n -∴=-=--=-………6分，11a =满足上式，21n a n ∴=-………7分. （2）()1212n n b n -=-+………1分，123n n T b b b b ∴=++++()()()()()()01210121123252212135212222n n n n --⎡⎤=+++++++-+=++++-+++++⎣⎦()221122112n n n n ⋅-=+=+--………4分，易知n T 单调递增，n T ∴的最小值为12T =………5分，依题意2212m m --≤，解得13m -≤≤………7分.20. 解：（1）设22x py =………1分，代入点()2,2得1p =………2分，22x y ∴=………3分.（2）法1：设圆心21,2C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则圆C 的半径222112r a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭………1分，圆C 的方程：()22222211122x a y a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………2分，令0y =得22210x ax a -+-=，121,1x a x a ∴=-=+ ………4分，212MN x x ∴=-=为定值………5分. 法2：设圆心(),M a b ，圆过点()0,1A ………1分，∴半径()221r a b =+-………2分，圆与x 轴所截得的弦长()2222222222122122MN r b a b b b a b a b =-=+-+-=-+==为定值………5分.（3）由（2）知，不妨设()()1,0,1,0M a N a -+………1分，()222111122m x a a a =+=-+=+- (2)分，2222442442144m n m n a a n m mn a a +++===+++………3分，当0a =时，2m n n m +=………4分，当0a ≠时，24224421212244m n a n m a a a+=+=+≤++…5分，当且仅当2a =±时，m n n m +取得最大值22……6分，21. 解：（1）当0a =时()()()22121212ln 0x f x x f x x x x x x-'=+=-=>………1分，令()0f x '>得12x >………2分，()f x ∴减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭………3分，()f x ∴的极小值为122ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值………4分. （2）()()()()()22222211212120ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--'=-+==>，令()0f x '=得1x a =-或12…2分. ① 当20a -<<时，()f x 减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，增区间为11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭………3分； ② 当2a =-时，()f x 减区间为()0,+∞，无增区间………4分； ③ 当2a <-时，()f x 减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭………5分；（3）当32a -<<-时，由（2）知()f x 在[]1,3上递减………1分，()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a ∴-≤-=-+-………2分， 由()()()12ln 32ln 3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立，()()()12max ln 32ln 3m a f x f x ∴+->-………3分，即()()2ln 32ln 342ln 33m a a a +->-+-对任意32a -<<-恒成立，即243m a<-+对任意32a -<<-恒成立………4分， 32a -<<-，132384339a ∴--+<-，133m ∴≤-………5分.。
广东省“十二校” 2014届高三第二次联考文科数学试卷(解析版)
广东省“十二校” 2014届高三第二次联考文科数学试卷（解析版）一、选择题1A ．2B ．1C ．0D 【答案】B 【解析】试题分析：，因为B 考点：复数 正实数2 ）AC 【答案】B【解析】{4,5},{2,3,4,5}N M N ==选B.考点：交集 并集 补集 3．下列命题中的假命题．．．是（ ）ABCD 【答案】D 【解析】试题分析：命题A 命题B 为真命题，根据指数函数的值域可得C 为真命题，排除法D 为假命题.故选D全称命题4( )【答案】A【解析】试题分析：A不符合，过直线ll相交，并不异面，B不符合，若存在直线与lB不符合，则C就符合.故选C 考点：线面平行异面5）A．24 B． 48 C．96 D．无法确定【答案】B【解析】试题分析：再由等差数列的性质(下脚标之和相等，对应项数之和相等) B.考点：等差数列及其性质6．某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的值是（）A．63 B．31 C．27 D．15【答案】A【解析】试题分析：程序框图运行如下：故选A考点：程序框图7（）A【答案】C【解析】试题分析：x则圆心M满足到M的轨迹是以C考点：抛物线定义双曲线8．)(OB OC+）A．正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形【答案】C【解析】试题分析：利用向量的加法和减法可得根据向量加法的平行四边形法则可得过BC边的中线,因为)(OB OC+BC边的中垂线,故A点在BC的中垂线上,即三角形ABC为等腰三角形,故选C.考点：向量加法减法内积9．( )【答案】B【解析】试题分析：根据线性规划的知识,画出可行域如下图所示因为Z最小值即为可行域内到点A的距离最大值, 所以故选B考点：线性规划向量的模10）AC【答案】C【解析】像如下则可以得到B 点的横坐标即为f 零点a,所则()()000()0f x g x hx =-<,故选C 考点：零点 数形结合 指对数函数二、填空题11．某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是 【答案】38 【解析】试题分析：由分组可得间隔k=4,则根据系统抽样的原理可得第9组抽出的号码应为故填38考点：系统抽样12．A 、B 、C 的面积S=______．【解析】试题分析：由角A 因为所以三角形ABC 为直角三角形, 考点：余弦定理 勾股定理 面积13为________.【解析】试题分析：由题得,函数f(x),,因为,则当时,因为,所以11m=---,当时,,所以)2m m-+=-不符合题意),综上考点：分段函数分类讨论14．已知点PO为原点．若直线OP的直角坐标为．【解析】试题分析：不妨设则由两点斜率的计算公式得,由题知(),则考点：参数方程倾斜角15．【答案】23【解析】试题分析：BC BD=12考点：切割线定理相似三角形三、解答题16（1（2【答案】(1)【解析】试题分析：(1),再利用任意正弦都有的范围[-1.1]得到函数的值域.(2)把点带入函数可得,由正弦余弦的关系可得.试题解析：(1)由题意得因(2)由题得,因为函数过点),所以3n 45,因为,所以in 5⎫-=⎪⎭,而考点：正余弦和差角公式 辅助角公式 周期17．为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图3所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数； （2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.【答案】【解析】 试题分析：(1)根据频率分布直方图可以得到第三组[16，17）的纵坐标和组距,相乘即可得到频率,再与总数相乘即可得到该组的频数,即该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数.(2)分别设出前三个组的频率,1即可得到前三个组各自的频率,再根据第二组的频率等于频数与总数之比可求的总数,即得到了随机抽取的总数.(3)利用(1)(2)的结果可求出第一组与第五组各自的频数(即人数),编号并列出抽取两人的所有基本事件数和符合题目要求(即两人自不同的组)的基本事件数,根据古典概型的概率计算公式即可求出相应的概率. 试题解析：(1)由频率分布直方图可得在抽取的样本中学生中百米成绩在[16，17）内的频率为则该年段学生中百米成绩在[16，17(2)设前三个组的频率分别为x,y,z.则有=所以第二组的频率为0.16,又因为第二组的频数为8,所以随机抽取的学生故随机抽取了50名学生的百米长跑成绩.(3)由(1)(2)可得到第一频数第五频数为分别编号为A,B,C,D,E,F,G(其中第一组为A,B,C),从这7名同学成绩中选取两人的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G), (D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)共21个,而满足两个成绩的差的绝对值大于1秒的基本事件有(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G)共12个,故从第一、五组中随机取出两个成绩，这两个成绩的差的绝对值大于1考点：古典概型 频率分布直方图 频率18圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图4所示，其中（1（2【答案】(1) 证明过程详见解析【解析】 试题分析：(1)只需要考虑证明AC 垂直于BD 所在的面,ABD,所以证明AC 与AD,AB 垂直即可,而AE 与AD 在同一条直线上且AE 垂直于AC 所在的一个面,根据线面垂直的性质,即可得到AC 与AD 垂直,而AC 与AB 垂直题目已给,所以能证明AC 与面BCD 垂直,进而证明AC 与BD 垂直.(2)首先根据题目所给正视图与侧视图的面积,求出三角形AOE 的面积,得到AO 的长,再根据OA 等腰直角三颗星ABC 斜边的中线,即可求出等腰直角三颗星三条边的长度,进而得到三角形的面积,根据正视图的面积为三角形AOE AD 的长,ABC 为底面,分别以AE 与AD 为高,且都已知, 试题解析：ABC)ABCAD A =AC ⊥面ABD BD ⊂面ABD AC BD ∴⊥(2)因为正视图和侧视图的面积分别为11和12,又因为AE=2,所以因为正视图的面积为11,11A ADD SA AD AD ⇒因为底面三角形ABC 为等腰直角三角形且斜边的中线OA=1,12OA BC =又因为ABC ABC,考点：三视图垂直 圆柱19（1明理由； （2n 【答案】证明过程详见解析 【解析】 试题分析：(1)当n=1,利即可得值.,利用等比数列.(2)由(2)考虑利用裂项求和得到即可证明试题解析： (1)当n=1时,则①-②得检验n=1时也符合,. (2)由13242n n -+-++- ⎪+⎝⎭所以,因为且,所以考点：等差数列 前n 项和 裂项求和20的周长为8（1（2）.【答案】(1)证明过程详见解析 【解析】试题分析：(1)利用椭圆的定义,可以得到三角形ABF 2的周长即为2a,则可以得到a 的值,由椭圆的对称性,A 点在椭圆的短轴端点,则可得到c 的值,再根据a,c,b 之间的关系可得到b 的值,进而得到椭圆E 的方程.(2)据题意,直线l 与椭圆E 相切于点P.设出点P 的坐标,利用直线与椭圆相切,联立椭圆与直线的方程,判别式为0,即可用点P的坐标表示直线l 的斜率,即得到直线l 关于P 坐标的表达式.联立直线l与直线x=4即可求出点Q 的坐标,把P,Q ,0QM =⇒. 试题解析：(1)由题得,因为点A,B 都在椭圆上,所以根据椭圆的定义,又因为的周长为8,所以|||||8F B F B F +=因为椭圆是关于x,y,原点对称的,为椭圆的短轴定点,,故椭圆E 的方程为(2)由题得,动直线l 为椭圆的切线,因为直线l 的斜率是存在且为,所以则直联立直线l 与椭圆E 的方程得则直线l 的方程联立直线l 与直到则0QM =⇒()0313x =--+即点M 在以PQ 为直径的圆上.考点：椭圆 切线 内积 圆 21．，“一阶比增函数”. (1)(2))，求；(3)若是上的“一阶比增函数”，求证：，【答案】【解析】 试题分析：(1),上恒成立,再利用分离参数法即可求的a 的取值范围. (2),求单调区间,,只有一个零点,1,,.(3),,同理有试题解析： (1)由题得,,综上a(2)由题得,(),则,,在区间上单调递增,即.又因为,),(3)由题得,,上的增函数,又因为,所以121 (1)同理,……○2,则○1+○2得考点：单调性定义不等式导数新概念。
2014年广东省高考文科数学模拟试卷及参考答案
17. （本小题满分 12 分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．
）
解（ 1） ∵
x
0.19
2000
x 380
………………３ 分
（ 2）高三年级人数为 y＋z＝2000 －（ 373＋ 377＋ 380＋ 370）＝ 500， …………………５ 分 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在高三年级抽取的人数为：
棱锥的高为 2， 连结 AM ，则 AM=
2
AB
BM 2 =
2
2
BM 2 ，
由（ 2）知 PA
AM
∴S
1 PAM= PA ? AM
2
1 2 22 BM 2 2
4 BM 2
∴ V D— PAM= 1 ? S PAM 3
?2= 1 ?
3
4
BM 2 ? 2 = 2 4 BM 2
3
…………………
11分
∵ S AMD
5
（ 1）求 cos( A C ) 的值；
（ 2）求 sin B
的值；
6
uuur uuur （ 3）若 BAgBC 20 ，求
ABC 的面积 .
.
17．（本小题满分 12 分） 某完全中学高中部共有学生
2000 名，各年级男、女生人数如下表：
女生
高一年级 373
高二年级 x
高三年级 y
男生
377
370
∴ GH//AD//EF ，
∴ E， F， G， H 四点共面。
…………………………２ 分
又 H 为 AB 中点，∴ EH//PB 。
…………………………３ 分
又 EH 面 EFG， PB 平面 EFG，
广东省汕头市2014至2015学年度第二学期期末质量监测高二文数试题
绝密★启用前试卷类型：A汕头市2014~2015学年度普通高中教学质量监测高二数学(文科)本试卷共4页，24小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：锥体体积公式为Sh V 31=，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；球的表面积公式为24R S π=，体积公式为334R V π=，其中R为球的半径；方差公式：])()()[(12_2_22_12x x x x x x n s n -++-+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合}1|{->=x x A ，}32|{<<-=x x B ，则=B AA ． }1|{->x xB ．}31|{<<-x x C． }2|{->x x D ．}32|{<<-x x2．复数=+ii215 A ．i +2B．i +-2 C ．i 21- D ．i 21+3．设n S 为正项．．等比数列}{n a 的前n项和，且431=-a a ，则=13a S A ．3B．7C．47D ．3或74．设变量yx ,满足不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥333x y x x y ，则y x z +=的最小值为A ．9-B．6- C ．1-D ．235．函数1sin )(3++=x x x f ，若a f =)1(，则=-)1(fA ． a -B ．C． 2-aD ．a -26．已知向量→a，→b 满足1||=→a ，2||=→b ，且→a，→b 的夹角为60，则=-→→||b aA ．1 B．3 C．2D．77．函数xx y cos 3sin -=的图象的一条对称轴方程是A ．6π=x B ．3π=xC．32π=xD．65π=x 8．若p 是q的充分条件，s 是q的必要条件，那么下列推理一定正确的是A．⇔ B ．s p ⇔C ．⇒sD．⇒9．若如右框图所给的程序运行结果为28=S ，那么判断框中应填入的条件是(第9题图)A．?7<k B ．?7≤k C ．?7>k D ．?7≥k10．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A．34B ．38C ．316D ．811．双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by ax C 的左右焦点分别是1F ，2F ，过2F 作直线212F F PF ⊥，交双曲线C 于P，若21F PF ∆为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+12．已知函数)(x f 定义域为R ，对任意的R x ∈都有)2()(+=x f x f ，且当1<<-x 时，1)21()(-=x x f ，当10≤≤x 时，xx f =)(，则函数xx f x g 5log )()(-=的零点个数为A． 3B ． 4C． 5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．从1，2，3，4中任意选取两个不同的数，其和为3的倍数的概率是_____________．14．用一个平面截其球体得到直径为4的圆，且球心到这个平面的距离是2，则该球的表面积是_____________．15．在ABC∆中，A ∠为锐角，且2=AB ，6=AC ，23=∆ABC S ，则BC =________．16．抛物线)0(22>=p px y 上一点)0)(,1(>m m M 到其焦点F的距离为4，则OMF ∆(O为原点)的面积为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知n S 是等差数列}{n a 的前n项和，且满足93=S ，74=a ．(1)求}{n a 的通项公式；(2)设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n项和nT ．18．(本小题满分12分)某班级从甲乙两位同学选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的10次模拟测试成绩(单位：分)进行了记录如下：甲：79 83 96 89 86 78 85 95 82 87乙：81 95 83 76 91 86 96 77 82 93(1)用茎叶图表示这两组数据，并分别求出这两组数据的中位数；(2)分别计算这两组数据的平均数和方差，并根据你的计算结果，判断选派哪位学生参加合适？19．(本小题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，41====AA AC BC AB ，点F在1CC 上，且FCF C 31=，E 是BC的中点．(1)求证：AE ⊥平面BCC 1B 1(2)求四棱锥FEC B A 11-的体积；(3)证明：AFE B ⊥1．20．(本小题满分12分)高中数学打印版已知函数xa x a x x f -+-=ln )2(2)(．(1)当=a 时，求函数)(x f 在1=x 处的切线方程；(2)当0>a 时，求函数)(x f 的极值．21．(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，长轴长为24． (1)求椭圆C的方程；(2)直线2:=x l 与椭圆C交于两点P、Q，其中P在第一象限，A、B是椭圆上位于直线l两侧的两个动点，满足BPQAPQ ∠=∠，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．选做题：请考生在第22~24三题中任选一题作答．22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲．如图，圆O的半径为2，P是圆O的直径AB延长线上的一点，BP =1，割线PCD交圆O于C、D两点，过P作APFP ⊥，交直线AC于点E ，交直线AD于点F．(1)求证：PDF PEC ∠=∠；(2)求PFPE ⋅的值．23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程．在极坐标系中，圆C的方程为θρcos 4=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为⎩⎨⎧+=+=3433t y t x (t 为参数)．(1)写出圆C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；(2)求直线l 被圆C所截得的弦长．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲．设函数|42|)(-=x x f ，|1|)(+=x x g ．(1)解不等式：)()(x g x f >；(2)当]3,0[∈x ，求函数)()(x g x f y +=的最大值．汕头市2015年普通高中高二教学质量监控测评试题数学（文科）答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共做4小题，每小题5分，共20分）13.3114.π32 15.2 16.33 三、解答题：本大题共6题，满分70分.17.（本小题满分12分）解：（1）依题意有3213a a a S ++=9331=+=d a ， (1)分7314=+=d a a (2)分解得11=a ，2=d ……….3分d n a a n )1(1-+=……….4分122)1(1-=⨯-+=n n ……….5分（2）)12)(12(1+-=n n b n ……….6分)121121(21+--=n n ……….7分n n b b b T +++=...21=)]121121(...)7151()5131()311[(21+--++-+-+-n n . (9)分)1211(21+-=n ……….11分12+=n n ……….12分18. （本小题满分12分）解：（1）甲组中位数为5.8528685=+…1分乙组中位数为5.8428683=+……….2分 (4)分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CABBDBDDCBCB（2））（甲87829585788689968379101+++++++++=-x 86=……….5分）（乙93827796869176839581101+++++++++=-x 86=………6分])8687()8682()8695()8685()8678()8686()8689()8696()8683()8679[(10122222222222-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=甲s ……….7分33=………8分])8693()8682()8677()8696()8686()8691()8676()8683()8695()8681[(10122222222222-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙s ……….9分6.48=……….10分乙甲--=x x ，22乙甲s s <，即甲、乙的平均水平相同，而甲相对乙更为稳定……….11分所以选派甲参加竞赛. ……….12分19. （本小题满分12分）（1）解：AC AB = ，E 是BC的中点BC AE ⊥∴……….1分在三棱柱111C B A ABC -中，11//AA BB⊥∴1BB 平面ABC⊂AE 平面ABC AE BB ⊥∴1……….2分又B BC BB = 1，……….3分1BB ，⊂BC 平面C C BB 11⊥∴AE 平面C C BB 11……….4分（2）由（1）知，即AE为四棱锥FEC B A 11-的高在正三角形ABC中，3223==AB AE …5分在正方形CC BB 11中，2==BE CE ，1=CFCEF E BB C C FE C S S S S ∆∆--=∴11111BB B 正方形四边形1221422144⨯⨯-⨯⨯-⨯=11= (6)分AE S V FE C FE C B A ⋅=∴-1111B 31四边形四棱锥3322321131=⨯⨯=………7分（3）证明：连结F B 1，由（1）得⊥AE 平面C C BB 11 ⊂E B 1平面C C BB 11，E B AE 1⊥∴……….8分在正方形CC BB 11中，5212111=+=F C C B F B ，522121=+=BB BE E B522=+=CF CE EF 22121EF E B F B +=EF E B ⊥∴1 (9)分又E EF AE = ， (10)分AE ，⊂EF 平面AEF ⊥∴E B 1平面AEF ……….11分⊂AF 平面AEFAF E B ⊥∴1.……….12分20.（本小题满分12分）解：（1）=a 时，x x x f ln 22)(-=，xx f 22)('-=，……….1分函数)(x f 在1=x 处的切线斜率为0)1('=f ，………2分又2)1(=f ， (3)分故切线的方程为02=-y ，即2=y .……….4分（2）函数)(x f 的定义域为),0(+∞ (5)分222)('xax a x f ++-=222)1)(2()2(2x x a x x a x a x --=++-=……….6分令0)('=x f ，得1=x 或2ax =……….7分①当120<<a ，即20<<a 时，由0)('<x f ，得到)1,2(ax ∈，由)('>x f ，得到),1()2,0(+∞∈ ax 即)(x f 的单调增区间是),1(),2,0(+∞a ，单调减区间是)1,2(a………8分所以，)(x f 的极大值为22ln )2()2(-+-=aa a a f ，极小值为a f -=2)1(……….9分②当12>a ，即2>a 时，由0)('<x f ，得到)2,1(ax ∈，由)('>x f ，得到),2()1,0(+∞∈ax 即)(x f 的单调增区间是),2(),1,0(+∞a ，单调减区间是)2,1(a……….10分 所以，)(x f 的极大值为a f -=2)1(，极小值为22ln )2()2(-+-=aa a a f ……….11分③当2=a 时，0)1(2)('22≥-=x x x f ，故)(x f 在),0(+∞单调递增，所以此时)(x f 没有极值. ……….12分21. （本小题满分12分）解：（1）依题意有23=a c ，……….1分242=a ， (2)分则有6,22==c a ，因此222=-=c a b ，………3分∴椭圆C的方程为12822=+y x ………4分（2）令2=x ，得1±=y ，即)1,2(P ，)1,2(-Q (5)分BPQ APQ ∠=∠ ，∴直线PA 的倾斜角与直线PB的倾斜角互补，……….6分直线PA的斜率显然存在. 设直线PA 的斜率为k ，则直线PB的斜率为k -，设),(11y x A ，),(22y x B ，直线PA 的方程为)2(1-=-x k y ，即12+-=k kx y ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1281222y x k kx y 得到041616)21(8)41(222=--+-++k k x k k x k ……….7分1,2x 是该方程的两个实根，∴22141416162k k k x +--=，……….8分22141288kk k x +--=……….9分同理，直线PB 的方程为12++-=k kx y ，且22241288kk k x +-+=……….10分所以，222141416k k x x +-=+，2214116k kx x +-=- 直线AB的斜率为21212121)12()12(x x k kx k kx x x y y -++--+-=--21214)(x x kx x k --+=……….11分211684116441416223=--=+--+-=k k k k k k kk (12)分22.（本小题满分10分）（1）证明：连结BD，则90=∠BDA ………1分CAB CDB ∠=∠ ………2分CAB PEC ∠-=∠ 90，………3分CDB PDF ∠-=∠ 90………4分 PDF PEC ∠=∠∴………5分（2）解：由（1）得PDF PEC ∠=∠，所以FE C D ,,,四点共圆，………7分PD PC PF PE ⋅=⋅∴………8分PA PB ⋅=.........9分 5)41(1=+⨯= (10)分23.（本小题满分10分）解：（1）θρρcos 42=， (1)分xy x 422=+，………2分即圆C的直角坐标方程为：4)2(22=+-y x (3)分对于直线l ，将33-=x t ………4分代入第二个方程可得134-=x y ，即直线l 的普通方程为：0334=--y x (5)分（2）由（1）得圆C的圆心)0,2(C ，半径2=r ，………6分点C 到直线l的距离22)3(4|30324|-+-⨯-⨯=d ………7分155==，………8分∴直线l 被圆C所截得的弦长为222d r - (9)分3212222=-= (10)分24.（本小题满分10分）解：（1）|1||42|+>-x x 22)1()42(+>-⇔x x (1)分0)5)(33(>--⇔x x (2)分1<⇔x 或5>x ， (3)分，即不等式的解集为}5x 1|{><或x x .……4分（2）]3,0[∈x 时，01>+x ，1|42||1||42|++-=++-=x x x x y ……5分当20≤≤x 时，x x x y -=++-=5124 在]2,0[上递减，…6分,故当=x 时，5m ax =y ……7分当32≤<x 时，33142-=++-=x x x y 在]3,2(上递增……8分，故当3=x 时，6m ax =y (9)分综上，当3=x 时，y 的最大值为6 (10)分。
2014年广东高考数学(文)卷文档版(有答案)
绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一组数据12,,,n x x x L 的方差2222121[()()()],n s x x x x x x n=-+-++-L其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =I{}A.0,2 {}B.2,3 {}C.3,4 {}D.3,5 2. 已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =A.34i --B.34i -+ .34C i - D.34i +3. 已知向量(1,2)a =r ，(3,1)b =r ，则b a -=r rA.(2,1)-B.(2,1)-C.(2,0)D.(4,3)4. 若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C.10D.115. 下列函数为奇函数的是1A.22x x-2B.sin x x C.2cos 1x + 2D .2xx + 6. 为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.20 7. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的变分别为,,a b c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8. 若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9. 若空间中四条两两不相同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 与4l 既不平行也不垂直D.14l l 与位置关系不确定10. 对任意复数1w ，2w ，定义1212w w w w *=，其中2w 是2w 的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*②()()()1231213z z z z z z z *+=*+* ③()()123123z z z z z z **=**④1221z z z z *=*则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）11. 曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12. 从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 .13. 等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++＝ .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 .15. （几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =,AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12 分） 已知函数5()sin(),,()3122f x A x x R f ππ=+∈=（1）求A 的值；E FD CB A（2）若()()(0,),2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-.17．（本小题满分13 分） 某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁） 工人数（人）19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1合计 20（1）求这20名工人年龄的众数与极差； （2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差.18. （本小题满分13 分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .（1）证明：CF ⊥平面MDF ; （2）求三棱锥M CDE -的体积. 19. (本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a的前n 和为n S ,且n S 满足.222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈（1）求1a 的值;（2）求数列{}n a 的通项公式; （3）证明:对一切正整数n ,有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++20. (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程;C E F P B AD P A D C B F EM（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21. (本小题满分14分)已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈. （1）求函数()f x 的单调区间;（2）当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得01()()2f x f =.2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. B2. D3. B4. C5. A6. C7. A8. D9. D 10. B二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 11. 520x y ++= 12.2513. 5 14. (1,2) 15. 3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.553:(1)()sin()sin 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos 33sin sin (0,),32f A A Af x x f fπππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=∈∴解由得cos 3()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ==∴-=-+=-===17.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为 18.00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==19.1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-20.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(cc e a b a cax yCx yy y k x xx yy k x x yk x k y====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:200002222220000002222000001222200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kxk y kx y kx k y kx kyx k x y k y k kx x y⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y∴+=程点的轨迹方程为21.'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,201(,1,()0,(),(11),()0,(),(1)f x x x a x x a aa f x f xa x x ax f x f xx f x f xx=++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±∈-∞-->∴∈---+<∈-++∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),()(11).f x f xa f xa f xf x>≥-∞+∞<-∞---++∞--+此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->=>∴<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
2014年广东高考文科数学试卷
2014年广东文科数学考试时间：120分钟 总分：150姓名：__________班级：__________考号：__________△注意事项：1.填写答题卡请使用2B 铅笔填涂2.提前5分钟收答题卡一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则MN =( ).A.{}0,2B.{}2,3C.{}3,4D.{}3,52.已知复数z 满足(34)25i z -= ，则z =( ).A. 34i --B.34i -+C.34i -D.34i +3.已知向量(1,2)=a ，(3,1)=b ，则-b a =( ).A. (2,1)-B.(2,1)-C.(2,0)D.(4,3)4.若变量x ,y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于( ).A.7B.8C.10D.11 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A. B. C. D.6.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ).A.50B.40C.25D.207.在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ，则a b ≤是sin sin A B ≤的( ).A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k-=-与曲线221165x y k -=-的( ). A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,//,l l l l l l ⊥⊥，则下列结论一定正确的是( ).A. 14l l ⊥B. 14//l lC.1l 与4l 既不垂直也不平行D. 1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数12,ωω ，定义1212ωωωω=* ，其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数1z ，2z ， 3z 有如下四个命题：① ② ③ ④则真命题的个数是( ).A.1B.2C.3D.4.二 、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11.曲线53xy e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12.从子母a ,b ,c ,d 中任取两个不同子母，则取到字母a 的概率为 .13.等比数列的各项均为正数，且，则21log a 22log a + 23log a +24log a +25log a += .xx212-x x sin 31cos 2+x xx 22+1231323()()();z z z z z z z +*=*+*1231213()()()z z z z z z z *+=*+*123123()();z z z z z z **=**1221z z z z *=*{}n a 154a a =姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos=1ρθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为 .15.(几何证明选讲)如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且EB=2AE ,AC 与DE 交于点F ,CDF AEF ∆∆的周长的周长= .三 、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.已知函数，且（1）求的值；（2）若，求17.某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.()sin(),3f x A x x R π=+∈5()12f π=A ()()(0,)2f f πθθθ--=∈()6f πθ-18.如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD 1AB =,2BC PC ==.作如图3折叠：折痕||EF DC ， 其中点E ，F 分别在线段PD ,PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥ (1)证明：CF ⊥平面MDF ; (2)求M-CDE 三棱锥的体积.19.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S ，且n S 满足222(3)3()0n n S n n S n n -+--+=，n N *∈（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式; (3)证明：对一切正整数，有n ()()().311111112211<+++++n n a a a a a a20.已知椭圆C : 22221x y a b +=(0)a b >>的一个焦点为，离心率为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线互相垂直，求点P 的轨迹方程.21.已知函数321()1().3f x x x ax a R =+++∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈，使得01()=()2f x f2014年广东文科数学答案解析一 、选择题 1.答案:B 解析：略 2.答案:D 解析：2525(34)25(34)=3434(34)(34)25i i z i i i i ++===+--+ ，故选D.3.答案:B 解析：略4.答案:C解析:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10,故选C.5.6.答案:A解析：设1()22x x f x =-，则()f x 的定义域为R ,1()22x x f x ---=-12()2xx f x =-=-，∴()f x 为奇函数，故选A.7.答案：C 解析：分段间隔为10002540=.8.答案：A 解析：由正弦定理知sin sin a bA B=，∵ a ，b ，sin A ,sin B 都是正数， ∴sin sin a b A B ≤⇔≤，故选A.9.答案：D解析：∵05,50,160k k k <<∴->->，从而两曲线均为双曲线，又16(5)21(16)5k k k +-=-=-+，故两双曲线的焦距相等，故选D.10.答案：D. 11.答案：B解析：①12312313231323()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z +++*===*+*，对②12312312312131213()()()()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z +=+=+=+=**+*， 对③左边123123()z z z z z z =*=，右边123123123()()()z z z z z z z z z ===*,左边≠右边，错. ④左边1212z z z z ==*，右边2121z z z z ==*，左边≠右边，错. 综上，只有①②是真命题，故选B.二 、填空题12.答案：520x y ++= 解析：∵'5x y e =-，∴'5x y ==-，∴所求的切线方程为25y x +=-，即520x y ++=13.答案：25解析：142542105C P C ===14.答案:5解答：设2122232425log log log log log S a a a a a =++++ 则2524232221log log log log log S a a a a a =++++ ∴215225log ()5log 410S a a === ∴5S =15.答案：(1,2) 解析：由22cossin ρθθ=得22cos =sin ρθρθ（），故1C 的直角坐标方程为22y x =， 又2C 的直角坐标方程为1x =，∴1C ，2C 交点的直角坐标为(1,2).16.答案：3 解析：∵CDF AEF ∆∆ ∴CDF AEF ∆∆的周长的周长=CD AE=EB AEAE +=3三 、解答题 17.解：(1)∵553()sin()sin 1212342f A A ππππ=+== ∴3.A == (2)由（1）得，()3sin()3f x x π=+∴()()3sin()3sin()33f f ππθθθθ--=+--+3(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )3333ππππθθθθ=+--+-6sin cos3sin 3πθθ===∴sin 3θ=(0,),2πθ∈∴cos θ=∴()3sin()3sin()3cos 36632f ππππθθθθ-=-+=-===18.解：(1)这20名工人年龄的众数为30，极差为40-19=21.(2)茎叶图如下:（3）年龄的平均数为：(1928329330531432340)3020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=，故这20名工人的年龄的方差为：22222221(11)3(2)3(1)5041321020⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦ 11(121123412100)25212.62020=+++++=⨯=19.解：（1）:,,,PD ABCD PD PCD PCD ABCD ⊥⊂∴⊥证明平面平面平面,,,,CD CD MD ABCD MD CD MD PCD =⊂⊥∴⊥平面平面PCDAB 平面平面 ,,CF PCD CF MD ⊂∴⊥平面CF MF ⊥又，,,MD MF MDF ⊂平面,MDMF M =.CF MDF ∴⊥平面（2）,CF MDF ⊥平面0,60,CF DF PCD ∴⊥∠=又易知030CDF ∴∠=11==,22CF CD 从而,EF DC ∥,DE CF DP CP ∴=12,2DE ∴=PE ∴=12CDE S CD DE ∆=⋅=22MD ====11.338216M CDE CDE V S MD -∆∴=⋅==20.解：（1）令n =1,得，211(1)320S S ---⨯= , 21160,S S +-=即11(3)(2)0,S S ∴+-=10,S >112, 2.S a ∴==即(2)222(3)3()0,n n S n n S n n -+--+=由2:(3)()0,n n S S n n ⎡⎤+-+=⎣⎦得0(),n a n N *>∈0,n S ∴>30,n S +>从而2,n S n n ∴=+2,n ∴≥当时1n n n a S S -=-22(1)(1)n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦2,n =1221,a ==⨯又2().n a n n N *∴=∈(3)解法一：,k N *∈当时2232216k k k k +>+-13()(),44k k =-+1(1)k k a a ∴+12(21)k k =+1114()2k k =⋅+11134()()44k k <⋅-+11114()(1)44k k =⋅⎡⎤-⋅+-⎢⎥⎣⎦111114(1)44k k ⎡⎤⎢⎥=⋅-⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦112211(1)(1)a a a a ∴++++1(1)n n a a ++1111111()()11111141223(1)444444n n ⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦111()1141(1)44n =--+-111.3433n =-<+ 解法二：11(1)2(21)k k a a k k =++1(21)(21)kk <-+111()22121k k =--+（以下略）21.解：（1） c ,3c e a a === 2223,954,a b a c ∴==-=-=221.94x y C ∴+=椭圆的标准方程为:（2）,x 若一切线垂直轴,4y 则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,(3,2),(3,2).-±±它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为00(),y y k x x -=-00(),y k x x y =-+即将之代入椭圆方程22194x y +=中并整理得:2220000(94)18()9()40,k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦,0,∆=依题意22220000(18)()36()4(94)0,k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦即:22004()4(94)0,y kx k --+=即2220000(9)240,x k x y k y ∴--+-=,两切线相互垂直121,k k ∴=-20204:1,9y x -=--即220013,x y ∴+=(3,2),(3,2)-±±显然,这四点也满足以上方程22.解：（1）'2()2,f x x x a =++220:44,x x aa ++=∆=-方程的判别式1,0,a ∴≥∆≤当时'()0,f x ∴≥()(,).f x -∞+∞此时在上为增函数1,a <当时2201x x a ++=-方程的两根为(,1,x ∈-∞-当时'()0,f x >(),fx ∴此时为增函数(11),x ∈--当时'()0,f x <(),f x 此时为减函数(1),x ∈-+∞当时'()0,f x >(),f x此时为增函数,1,a ≥综上时()(,),f x -∞+∞在上为增函数1,a <当时()f x 的单调递增区间为(,1-∞-(1),-+∞()f x 的单调递减区间为(11).--（2）解法一：01()()2f x f -3232000111111()()()133222x x ax a ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦33220001111()()()3222x x a x ⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2000000111111()()()()()3224222x x x x x a x ⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦20000111()()236122x x x x a =-+++++200011()(414712)122x x x a =-+++ 011(0,)(,1),22x ∴∈若存在01()(),2f x f =使得2004147120x x a +++=必须11(0,)(,1).22在上有解0,a <21416(712)4(2148)0,aa ∴∆=-+=->:方程的两根为=00,x >0x ∴,依题意01,<<711,<即492148121,a ∴<-<257,1212a -<<-即1=,42-又由5,4a =-得0,x 故欲使满足题意的存在5,4a ≠-则25557(,)(,),124412a ∴∈----当时011(0,)(,1)22x∈存在唯一的01()().2f x f =满足00111(0,)(,1)()()222x f x f ∈=不存在使 解法二：0,10,a <∴-（i ）3,11,a ≤--若(1)()f x 从而由知(0,1),在区间上是减函数011(0,)(,1),22x∈故此时不存在01()=();2f x f 使得 （ii ）30,a -<<若()f x 则函数在区间(0,1-,上递减(1,-在区间上递增1）511,()(0,),(,1),422a f x =-若则在上递减在上递增 0;x 显然此时不存在满足题意的2）513,11,42a -<<-<-<若则00,(1),x x ∈-若题意中的存在则 125(1)()0,0,2224a f f ->+>故只需即025255,;12124a a x >--<<-则故时存在满足题意的3）50,4a -<<若101,2<-+则0,x 若题意中的存在0(0,1x ∈-则1(0)()0,2f f ->故只需70,224a -->即0757,.12412a a x <--<<-则故时存在满足题意的:综上所述25557(,)(,),124412a ∴∈----当时00111(0,)(,1)()().222x f x f ∈=存在唯一的满足2575(,][,0),12124a ⎧⎫∈-∞---⎨⎬⎩⎭当时00111(0,)(,1)()()222x f x f ∈=不存在使。
Do_2014广东高考数学文科试卷含答案(WORD版)
20. 已知椭圆C的:一ax22个焦by22点为1(离a 心b率为0)
( 5, 0),
5.
3
21(.1已)求知椭函圆数C的f标(x准) 方1程x3 ;x2 ax 1(a R).
(2)若动点P为(椭x0,圆y0外)3 一点且C点到椭圆, 的两P条切线相C 互垂直求点的轨迹方, 程 P
.
(1)求函数f的(x单) 调区间 ;
2x
1 2x
B. x3 sin x
C. 2cosx 1
D. x2 2x
答案:A
提示设: 则f 的(x)定义2x域 为1 且, f (x) 2x
f (x)为奇函数,故选 A.
R,
f (x) 2x
1 2 x
1 2x
2x
f (x),
6. 为了解1名00学0生的学习情况采用,系统抽样的方法从中抽, 取容量为的样本40
(2)由S得n2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0, : (Sn 3) Sn (n2 n) 0,
an 0(n N ), Sn 0,从而Sn 3 0, Sn n2 n,
当n时 2 , an Sn Sn1 n2 n (n 1)2 (n 1) 2n,
20
故这名20工人年龄的方差为
:
1 20
(11)2
3
(2)2
3
(1)2
5
02
4
12
3
22
102
1 (12112 3 4 12 100) 20
1 252 20
12.6
18. 如图四2, 边形为A矩B形CD平面 , PD ABCD,
AB 1, BC PC 2.作如图折3 叠折: 痕 EF / /DC,
3
2014年广东省“十二校”高考数学二模试卷(文科)
2014年广东省“十二校”高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设a∈R，若（a-i）2i（i为虚数单位）为正实数，则a=（）A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】解：∵（a-i）2i=（a2-1-2ai）i=2a+（a2-1）i为正实数，∴2a＞0，且（a2-1）=0，∴a=1，故选B．化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a的值．本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件．2.已知全集U={2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，4，5}，则（）A.M∩N={4}B.M∪N=UC.（∁U N）∪M=UD.（∁U M）∩N=N【答案】B【解析】解：∵全集U={2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，4，5}，∴C U M={2}，C U N=[3}．∴M∩N={4，5}，故A错；M∪N={2，3，4，5}=U，故B对；（C U N）∪M={3，4，5}，故C错；（C U M）∩N={2}，故D错．故选B．由题意，由全集U={2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，4，5}，求出它们的交集、并集或补集即可得到答案．本题考查交并补集的运算，属于集合中的基本运算题，熟练掌握交、并、补运算的定义是解题的关键．3.下列命题中的假命题是（）A.∃x∈R，x3＜0B.“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件C.∀x∈R，2x＞0D.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题【答案】D【解析】解：当x=-1时，x3=-1＜0，故A为真命题；∵“a＞0”时，“|a|＞0”成立，而“|a|＞0”时，“a＞0”不一定成立，故“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故B为真命题由对数函数的性质，2x＞0恒成立，故C为真命题若p∧q为假命题，则p，q可能一个为真命题，一个为假命题，故D为假命题故选D利用特称命题的性质，充要条件的定义，全称命题的性质，及复合命题真假的判断方法，逐一分析四个答案，即可得到结论．本题考查逻辑语言，指数函数、幂函数的值域，充要条件的判断及复合命题真假性的判断．属于中等题4.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A.α内存在直线与l异面B.α内存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交【答案】A【解析】解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故B，C，D错误故选A根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l 与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l与α的关系是解答本题的关键．5.在等差数列{a n}中，a2+a12=32，则2a3+a15的值是（）A.24B.48C.96D.无法确定【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}中首项为a1，公差为d，所以有：a2+a12=a1+d+a1+11d=32，即：a1+6d=16．∴2a3+a15=2（a1+2d）+a1+14d=3（a1+6d）=3×16=48．故选B．先设等差数列{a n}中首项为a1，公差为d，利用a2+a12=32求出首项a1和公差d之间的关系；再代入所求问题整理即可求得结论．本题主要考查等差数列中基本量之间的关系．因为已知条件中只有一个等式，没法求出首项a1和公差d；所以在求解本题时，用的是整体代入的思想．6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出i的值是（）A.63B.31C.27D.15【答案】A【解析】解：因为S赋值为0，0不大于50，S=S2+1=02+1=1，i=2i+1=2×1+1=3；1不大于50，S=S2+1=12+1=2，i=2×3+1=7；2不大于50，S=S2+1=22+1=5，i=2×7+1=15；5不大于50，S=S2+1=52+1=26，i=2×15+1=31；26不大于50，S=S2+1=262+1=667，i=2×31+1=63；667大于50，算法结束，输出i的值为63．故选A．题目首先给计数变量S和输出变量i赋值0和1，然后判断S与50的大小关系，S小于等于50进入执行框，S大于50时结束．本题考查的是程序框图题，解答的关键是清楚框图表达的意思，特别是当不满足条件是执行循环，满足条件时算法结束，输出i．7.动圆M经过双曲线x2-=1左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的轨迹方程是（）A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x【答案】D【解析】解：双曲线x2-=1左焦点为（-2，0），则∵动圆M经过双曲线x2-=1左焦点且与直线x=2相切，∴M到（-2，0）的距离等于M到直线x=2的距离，∴M的轨迹是以（-2，0）为焦点的抛物线，∴圆心M的轨迹方程是y2=-8x．故选：D．求出双曲线的焦点，根据动圆M经过双曲线x2-=1左焦点且与直线x=2相切，可得M到（-2，0）的距离等于M到直线x=2的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论．本题考查双曲线的几何性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．8.O是△ABC所在的平面内的一点，且满足（-）•（+-2）=0，则△ABC 的形状一定为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.斜三角形【答案】C【解析】解：∵====0，∴∴△ABC为等腰三角形．故选C利用向量的运算法则将等式中的向量，，用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，向量模的计算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．9.已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D 上的动点，点A（，0），则z=||的最大值为（）A.6B.C.4D.2【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当M位于点B（0，2）时，z=||取得最大值则d=，故选：B．作出不等式对应的平面区域，根据z=||的几何意义，利用距离公式即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据距离公式结合数形结合是解决本题的关键．10.已知a是函数f（x）=2x-x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（）A.f（x0）=0B.f（x0）＞0C.f（x0）＜0D.f（x0）的符号不确定【答案】C【解析】解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，故选C．a是函数的零点，函数是增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1-200编号，并按编号顺序平均分为40组（1-5号，6-10号…，196-200号）．若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是______ ．【答案】42【解析】解：∵从200名职工中，用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，则样本数据间隔为，若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是22+4×5=42，故答案为：42．根据系统抽样的定义可知样本数据间隔为5，然后根据第5组的号码即可得到结论．本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定样本数据间隔是解决本题的关键，比较基础．12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，A=，a=，c=1，则△ABC的面积S= ______ ．【答案】【解析】解：∵A=，a=，c=1，∴由正弦定理=得：sin C==，由a＞c，得到A＞C，∴C=，∴B=π-（A+C）=，即△ABC为直角三角形，则△ABC的面积S=ac=．故答案为：由A的度数求出sin A的值，再由a与c的值，利用正弦定理求出sin C的值，又a大于c，利用三角形的边角关系判断出A大于C，利用特殊角的三角函数值求出C的度数为，可得出三角形ABC为直角三角形，利用直角边乘积的一半即可求出三角形ABC的面积S．此题考查了正弦定理，三角形的面积，以及三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13.已知实数a≠0，函数f（x）=，＜，，若f（1-a）=f（1+a），则a的值为______ ．【答案】-【解析】解：当a＞0时，1-a＜1，1+a＞1∴2（1-a）+a=-1-a-2a解得a=舍去当a＜0时，1-a＞1，1+a＜1∴-1+a-2a=2+2a+a解得a=故答案为对a分类讨论判断出1-a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．14.已知点P是曲线C：（θ为参数，π≤θ≤2π）上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点P的直角坐标为______ ．【答案】，【解析】解：由曲线C：（θ为参数，π≤θ≤2π）消去参数θ化为（-3≤y≤0）．由直线OP的倾斜角为，可得直线OP的方程为y=x．联立，解得x=y=-．∴点P，．故答案为：，．利用平方关系把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，与直线OP的方程联立即可得出．本题考查了把椭圆的参数方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交问题，属于基础题．15.如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB、CB，已知BC=3，BD=4，则AB= ______ ．【答案】2【解析】解：由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理∠ACB=∠DAB，所以△ACB∽△DAB，从而，即AB2=BC•BD．因为BC=3，BD=4，所以AB=2．故答案为：2．先由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，同理得到∠ACB=∠DAB，即可得到△ACB∽△DAB，进而得到结论．本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于基础题．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数f（x）=sinx+cos（x-π）（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）若函数f（x）的图象过点（α，），＜α＜．求f（+α）的值．【答案】解：（1）∵f（x）=sinx-cosx=2（sinx-cosx）=2sin（x-），∴函数f（x）的最小正周期T=2π，值域为[-2，2]；（2）∵f（α）=2sin（α-）=，∴sin（α-）=，又＜α＜，∴0＜α-＜，∴cos（α-）==，∴f（+α）=2sin[（+α）-]=2sin[（α-）+]=2（sin（α-）cos+cos（α-）sin）=2（×+×）=．【解析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=2sin（x-），利用正弦函数的性质即可求得f（x）的最小正周期和值域；（2）依题意易知，sin（α-）=，cos（α-）=，利用两角和的正弦即可求得f（+α）的值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查同角三角函数间的关系与两角和的正弦，考查运算求解能力，属于中档题．17.为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．【答案】解：（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1=0.32，则共有1000×0.32=320人；（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得3x+8x+19x+0.32+0.08=1，∴x=0.02设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，∴n=50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，记他们的成绩为a，b，c百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q．则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，∴P=【解析】（1）根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率，用长乘以宽得到面积，即为频率．（II）根据所有的频率之和是1，列出关于x的方程，解出x的值做出样本容量的值，即调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．（III）本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从第一、五组中随机取出两个成绩，满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于1秒，列举出事件数，根据古典概型概率公式得到结果．本题考查样本估计总体，考查古典概型的概率公式，考查频率分布直方图等知识，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．18.一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．（1）求证：AC⊥BD；（2）求三棱锥E-BCD的体积．【答案】（1）证明：因为EA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．因为BD⊂平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）（2）解：因为点A、B、C在圆O的圆周上，且AB⊥AC，所以BC为圆O的直径．设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，（6分）解得所以BC=4，．以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法：方法1：由（1）知，AC⊥平面EBD，所以．（10分）因为EA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EA⊥AB，即ED⊥AB．其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，所以．（13分）所以．（14分）方法2：因为EA⊥平面ABC，所以．（10分）其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，所以．（13分）所以．（14分）【解析】（1）由已知中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理，我们易求出AC⊥平面EBD，进而得到答案．（2）要求三棱锥E-BCD的体积，我们有两种办法，方法一是利用转化思想，将三棱锥E-BCD的体积转化为三棱锥C-EBD的体积，求出棱锥的高和底面面积后，代入棱锥体积公式，进行求解；方法二是根据V E-BCD=V E-ABC+V D-ABC，将棱锥的体积两个棱次的体积之差，求出两个辅助棱锥的体积后，得到结论．本题考查的知识点是棱锥的体积公式，简单空间图形的三视图，直线与平面垂直的性质，其中根据已知中三视图的体积，判断出几何体中相关几何量的大小，结合已知中其中量，进而判断出线面关系是解答本题的关键．19.已知数列{a n}有a2=P（常数P＞0），其前N项和为S n，满足S n=（n∈N*）（1）求数列{a n}的首项a1，并判断{a n}是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由；（2）令P n=+，T n是数列{P n}的前n项和，求证：T n-2n＜3．【答案】（1）解：由S1=a1==0，得a1=0，当n≥2时，a n=S n-S n-1=-，故（n-2）a n=（n-1）a n-1，故当n＞2时，a n==…•a2=（n-1）p，由于n=2时a2=p，n=1时a1=0，也适合该式，故对一切正整数n，a n=（n-1）p，a n+1-a n=p，由于p是常数，故数列{a n}为等差数列．a n=（n-1）p；（2）证明：S n==，P n=+=+=2+2（），∴T n=2n+2（1-+-+-+-+…+-+）=2n+2（1+--）=2n+3-2（+）．∴T n=3-2（+）＜3．【解析】（1）先利用a n=S n-S n-1（n≥2）求出数列的递推关系式（n-2）a n=（n-1）a n-1，再通过一步步代换求出数列的通项公式，最后看是否满足等差数列的定义即可证明结论．（2）先对数列的通项整理得P n=2+2（-），再利用裂项求和法求数列{P n}的前n项和T n，易作出判断；本题主要考查数列的求和以及数列的递推关系式的应用和数列与不等式的综合，是对知识的综合考查，属于中档题．20.如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A、B两点，△ABF2的周长为8，且△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，证明：点M（1，0）在以PQ为直径的圆上．【答案】解：（1）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，∴4a=8，a=2．∵△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形，∴e=，即，∴c=1，∴b2=a2-c2=3．∴椭圆E的方程为；（2）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），∴m≠0，△=0，∴（8km）2-4×（4k2+3）×（4m2-12）=0．∴4k2-m2+3=0．此时x0==，y0=，即P（，）由，得Q（4，4k+m）．取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）．取k=-，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）．故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵，，，，∴故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）．【解析】（1）已知△ABF2的周长为8，即4a=8，求得a，再由△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形可得椭圆的离心率，则c可求，进一步求得b，则椭圆方程可求；（2）联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式等于0得到k与m 的关系，从而求得直线与椭圆的公共点的坐标，再由直线y=kx+m与x=4联立求得Q 的坐标，然后利用取特殊值法求得以PQ为直径的圆与x轴的交点坐标，进一步证明得答案．本题椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，训练了特值化思想在解题中的应用，考查了计算能力，是高考试卷中的压轴题．21.若函数y=在（m，+∞）上为增函数（m为常数），则称f（x）为区间（m，+∞）上的“一阶比增函数”，（m，+∞）为f（x）的一阶比增区间．（1）若f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f（x）=λx3-xlnx-x2（λ＞0，λ为常数），且g（x）=有唯一的零点，求f（x）的“一阶比增区间”；（3）若f（x）是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，求证：∀x1，x2∈（0，+∞），f （x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．【答案】解：（1）若f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，则y==lnx-2ax，则y'=，要使f（x）=xlnx-2ax2是（0，+∞）上的“一阶比增函数”，则y'=≥0恒成立，即a恒成立，∵x＞0，∴a≤0．（2）若f（x）=λx3-xlnx-x2（λ＞0，λ为常数），则g（x）==λx2-lnx-x，由g（x）==λx2-lnx-x=0，得λx2-x=lnx，设y=λx2-x和y=lnx，要使g（x）=有唯一的零点，则由y=λx2-x和y=lnx的图象可知当y=λx2-x经过点（1，0）时，函数g（x）=有唯一的零点，此时λ-1=0，解得λ=1，此时g（x）==x2-lnx-x，g'（x）=2x-1-=，由g'（x）=＞0，得2x2-x-1＞0，∴x＞1或x＜（舍去），即函数g（x）的单调区间为（1，+∞），∴f（x）的“一阶比增区间”是（1，+∞）；（3）∵f（x）是“一阶比增函数”，即在（0，+∞）上是增函数，又∀x1，x2∈（0，+∞），有x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，∴＜，＜，即＜，＜∴＜=f（x1+x2）．∴∀x1，x2∈（0，+∞），f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）成立．【解析】（1）利用“一阶比增函数”的意义，利用导数和函数单调性之间的关系即可得出；（2）利用“一阶比增函数”的意义，利用g（x）=有唯一的零点先求出λ的值，即可得到f（x）的“一阶比增区间”；（3）利用“一阶比增函数”的意义及增函数的定义即可证明；本题主要考查函数单调性的应用，正确“一阶比增函数”的意义及增函数的定义及利用已经证明过的结论是解题的关键．涉及的知识点较多，综合性较强．。
2014年广东省高考文科数学模拟试卷及参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一模拟考试（广东卷）数 学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为 A ．2- B ．1- C ．0 D ．22．集合M ＝{}R y x x x y x ∈++-=,,762，N ＝{}R y x x x y y ∈++-=,,762，则集合M N ⋂＝ A ．∅ B ．[－1，4] C ．[－1，7] D ．[0，4] 3．右茎叶图是第十五届全国青年歌手电视大奖赛决赛上十五位评委给某民族唱法选手的所有打分，按照比赛规则，去掉一个最高分和一个最低分，该选手的最终得分是A ．88B ．89C ．90D ．91 4．偶函数)(x f y =当),0( ∞+∈x 时，1)(-=x x f ，则0)1(<-x f 的解集是 A ．[－1，1] B ．[0，1] C ．[0，2] D ．∅ 5．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ），可得这个几何体的体积是A ．343cm B ．383cm C ．32cm D ．34cm6．已知a ，b 是实数，则“a +b >0且ab >0”是“a >0且b >0”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．实数y x ,满足不等式组20206318x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，且()0z ax y a =+>取得最小值的最优解有无穷多个, 则实数a的取值范围是A ．2B ． 1C ． 45-D ． 无法确定 8．设f’(x )是函数f (x )的导函数，y = f’(x )的图象如图3所示，则y = f (x )的图象最有可能的是9．设S n 是等比数列{a n }前n 项的乘积，若a 9＝1，则下面的等式中正确的是 A ．S 1＝S 19 B ．S 3＝S 17 C ．S 5＝S 12 D ．S 8＝S 1110．某中学要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为7 9 08 9 8 4 99 5 4 5 2 0 4 3 1 2xyo1 2()y f x =xyo12()y f x =xyo 12()y f x =xyo 1 2()y f x =xy o'()y f x = 2 正视图俯视图22侧视图211 2 图2A B C D 图3图1A ．3[]10x y +=B ．4[]10x y +=C ．5[]10x y += D ．[]10xy =二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．图4所示的程序框图的输出结果为 .12．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为 . 13．请判断以下给出的所有命题：①使“1lg <m ”成立的一个充分不必要条件．．．．．．．是),0(+∞∈m ； ②给出一组向量12(5,7),(1,2)==-e e ，它们可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底；③函数x y 2sin =的图象向左平移3π个单位后，得到函数)32sin(π+=x y 图象；④若,,m m l l αβ⊥⊂P 且,m β⊄则αβ⊥；⑤函数(2)f x -的定义域是[1,3]，则函数(21)f x +的定义域是[0,1]. 其中属于假命题．．．的有 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ．15.（几何证明选讲选做题）如图5,△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D ,4BD =， 则CD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，4cos 5B =. （1）求cos()AC +的值；（2）求sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （3）若20BA BC =u u u r u u u rg ，求ABC ∆的面积.图4图517．（本小题满分12分）某完全中学高中部共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级 高二年级高三年级女生 373 x y 男生377370z已知在全校高中学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19. （1） 求x 的值；（2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，求在高三年级抽取的人数； （3） 已知y ≥245，z ≥245，求高三年级中女生比男生多的概率.18．(本小题满分14分)如图6所示，圆柱的高为2，P A 是圆柱的母线， 四边形ABCD 为矩形， AB =2，BC =4，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点. （1）求证：PB //面EFG ；（2）求证：平面PDC ⊥平面P AD ；（3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面P AM 的距离为2？若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由.19．（本小题满分14分） 已知二次函数 )(x f 的最小值为－4，且关于x 的不等式0)(≤x f 的解集为{}R x x x ∈≤≤- ,31|. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数x xx f x g ln 4)()(-=的零点个数.图620．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b na n N ---=+∈L (1)11*444(1)()nnb b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （3）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈.21．（本小题满分14分）已知抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以双曲线2C 的另一焦点1F 为圆心的圆M与直线y =相切，圆N ：22(2)1x y -+=．过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ．st是否为定值？请说明理由．2014年普通高等学校招生全国统一模拟考试（广东卷）数学（文科）试题A 参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCCBABDCA二、填空题：11．1006201312.3或5 13.①③⑤ （第12和13题漏填不得分）14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=，cos 3sin 1ρθρθ+=） 15. 4三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质、三角函数基本关系、两角和的正弦、向量运算和三角形面积公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法以及运算求解能力）解：(1)在ABC ∆中，∵A B C π++=,∴A C B π+=- ………………1分 ∵4cos 5B =,∴4cos()cos()cos 5A CB B π+=-=-=- ………………3分 (2) 在ABC ∆中，∵4cos 5B =，∴2243sin 1cos 155B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭………………5分 ∴sin sin cos sin cos 666B B B πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3314334522510+=⨯+⨯= ………………8分 (3) ∵20BA BC =u u u r u u u r g ，即cos 20BA BC B =u u u r u u u r， ………………9分∴4205c a ⋅⨯=，即25ac = ………………10分 ∴ABC ∆的面积11315sin 252252ABC S ac B ∆==⨯⨯= ………………12分 17. （本小题满分12分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．） 解（1）∵0.192000x= ∴ 380x = ………………3分 （2）高三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500， …………………5分现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名； ………………7分 （3）设高三年级女生比男生多的事件为A ，高三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），（250，250），（251，249）， （252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个； …………………9分事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个,∴ 5()11P A =. ………………12分18. （本小题满分14分）（本小题主要考查几何体体积，空间线线、线面关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．） （1）证明：取AB 中点H ，连结GH ，HE ，数学（文科）参考答案及评分标准A 第1页（共4页）∵E ，F ，G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点， ∴GH//AD//EF ，∴E ，F ，G ，H 四点共面。
广东省“十二校”2014届高三第二次联考数学文试题(附答案)
广东省“十二校”2014届高三第二次联考数学（文科）试题 2014.2本试卷共4页，21小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，若i )i (2-a （i 为虚数单位）为正实数，则a =( )A ．2B ．1C ．0D ．1-2．已知{}{}{}5,4,2,5,4,35432==N M U ，，，，＝，则（ ） A ．{}4=⋂N M B．M N U=C ．U M N C U =⋃)(D ．N N M C U =⋂)(3. 下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．0,3<∈∃x R x B ．“0>a ”是“0>a ”的充分不必要条件C ．,20xx R ∀∈> D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题 4. 若直线l 不平行于平面α，且α⊄l ，则( ).A α内的所有直线与l 异面 B. αC.α内不存在与l 平行的直线D. α内的直线与l5．在等差数列}{n a 中，21232a a +=，则1532a a +的值是（A ．24 B ． 48 C ．96 D ．无法确定6. 某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的值是（A ．63B ．31C ．27D ．157．动圆M 经过双曲线2213y x -=左焦点且与直线2x =则圆心M 的轨迹方程是（ ） 图1 A ．24y x = B ．24y x =- C ．28y x = D ．28y x =-8. O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足（OB －OC ）·（OB +OC －2OA ）= 0，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.斜三角形9.已知平面直角坐标系xoy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A ，则||z AM =的最大值为 ( )A. 6C .4 D. 210. 已知a 是函数x x f x21log 2)(-=的零点，若a x <<00，则)(0x f 的值满足（ ）A ．0)(0=x fB ．0)(0>x fC ．0)(0<x fD ．)(0x f 的符号不能确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11. 某单位有200名职工，现用系统抽样法，从中抽取40名职工作样本，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第9组抽出的号码应是 12．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C所对的边，,13A a c π===，则ABC∆的面积S= ______．13. 已知实数0m ≠，函数2,1()2,1x m x f x x m x +<⎧=⎨--≥⎩，若(1)(1)f m f m -=+，则m 的值为________.14、（坐标系与参数方程选做题） 已知点P 是曲线cos :(sin =⎧⎨=⎩43x θC θy θ为参数，)πθπ≤≤2上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为4π，则点P 的直角坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图2，O 和'O 相交于A B 、两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点，连接DB 、CB ，已知3BC =，4BD =，则AB = ．图2三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．（1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若函数()f x 的图象过点6(,)5α，344ππα<<.求()4f πα+的值．17（本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了 若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将 成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）; ……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如 图3所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19， 且第二组的频数为8.（1）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数； 图3 （2）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（3）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.[来18（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图4所示，其中EA ABC ⊥平面，AB AC ⊥，AB AC =，2AE =．（1）求证：AC BD ⊥；（2）求三棱锥E BCD -的体积．图419（本小题满分14分）已知数列2{}n a a p =有（常数0p >），其前n 项和为,n S 1()2n n n a a S -=满足（*n N ∈） （1）求数列}{n a 的首项1a ，并判断}{n a 是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由； （2）令}{,2112n n n n n n n P T S S S S P 是数列+++++=的前n 项和，求证：32<-n T n20 (本小题满分14分)如图5，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于A B 、两点，2ABF ∆ 的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，证明：点(1,0)M 在以PQ 为直径的圆上。
2014年全国高考广东省数学(文)试卷及答案【精校版】
绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一组数据12,,,n x x x L 的方差2222121[()()()],n s x x x x x x n=-+-++-L其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =I{}A.0,2 {}B.2,3 {}C.3,4 {}D.3,52. 已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =A.34i --B.34i -+ .34C i - D.34i +3. 已知向量(1,2)a =r ，(3,1)b =r ，则b a -=r rA.(2,1)-B.(2,1)-C.(2,0)D.(4,3)4. 若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C.10D.115. 下列函数为奇函数的是1A.22x x -2B.sin x x C.2cos 1x + 2D .2xx + 6. 为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.207. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的变分别为,,a b c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的 A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8. 若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k-=-与曲线221165x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9. 若空间中四条两两不相同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 与4l 既不平行也不垂直D.14l l 与位置关系不确定10. 对任意复数1w ，2w ，定义1212w w w w *=，其中2w 是2w 的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*②()()()1231213z z z z z z z *+=*+* ③()()123123z z z z z z **=**④1221z z z z *=*则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）11. 曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12. 从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 . 13. 等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则2122232425l o g l o g l o g lo g lo g a a a a a ++++＝ .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =,AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12 分） 已知函数5()sin(),,()3122f x A x x R f ππ=+∈= （1）求A 的值；（2）若()()(0,),2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-.17．（本小题满分13 分） 某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁） 工人数（人）19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1合计 20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差.EF D CBA18. （本小题满分13 分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .（1）证明：CF ⊥平面MDF ; （2）求三棱锥M CDE -的体积.19. (本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足.222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈（1）求1a 的值;（2）求数列{}n a 的通项公式; （3）证明:对一切正整数n ,有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++20. (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的一个焦点为)（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21. (本小题满分14分)已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈. （1）求函数()f x 的单调区间;（2）当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得01()()2f x f =.C E FP B A D P A D C B F E M2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. B2. D3. B4. C5. A6. C7. A8. D9. D 10. B二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 11. 520x y ++= 12.2513. 5 14. (1,2) 15. 3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.553:(1)()sin()sin 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos 33sin sin (0,),32f A A A fx x f fπππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=∈∴解由得cos 3()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ==∴-=-+=-===17.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为 18.00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==19.1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-20.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(cc e a b a cax yCx yy y k x xx yy k x x yk x k y====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:200002222220000002222000001222200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kxk y kx y kx k y kx kyx k x y k y k kx x y⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y∴+=程点的轨迹方程为21.'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,201(,1,()0,(),(11),()0,(),(1)f x x x a x x a aa f x f xa x x ax f x f xx f x f xx=++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±∈-∞-->∴∈---+<∈-++∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),()(11).f x f xa f xa f xf x>≥-∞+∞<-∞--++∞---+此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->>∴<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
2014年高考文科数学广东卷
数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一组数据1x ,2x ,…,n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-…, 其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,3,4}M =,{0,2,3,5}N =,则M N =I( ) A .{0,2}B .{2,3}C .{3,4}D .{3,5}2.已知复数z 满足(34i)25z -=,则z =( )A .34i --B .34i -+C .34i -D .34i +3.已知向量(1,2)=a ,(3,1)=b ,则-=b a( ) A .(2,1)-B .(2,1)-C .(2,0)D .(4,3)4.若变量x ,y 满足约束条件28,04,03,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≤则2z x y =+的最大值等于( )A .7B .8C .10D .115.下列函数为奇函数的是( )A .122x x-B .3sin x xC .2cos 1x +D .22x x +6.为了解1 000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A .50B .40C .25D .20 7.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,则“a b ≤”是“sin sin A B ≤”的( )A .充分必要条件B .充分非必要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件8.若实数k 满足05k ＜＜,则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的 ( )A .实半轴长相等B .虚半轴长相等C .离心率相等D .焦距相等 9.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ∥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数1ω,2ω定义1212*ωωωω=,其中2ω是2ω的共轭复数,对任意复数1z ,2z ,3z ,有如下四个命题：①1231323()*(*)(*)z z z z z z z +=+； ②1231213*()(*)(*)z z z z z z z ++=+ ③123123(*)**(*)z z z z z z =； ④1221**z z z z =. 则真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11～13题)11.曲线5e 3x y y =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12.从字母a ,b ,c ,d ,e 中任取两个不同字母,则取到字母a 的概率为 . 13.等比数列{}n a 的各项均为正数,且154a a =,则212223log log log a a a +++2425log log a a += .姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页）(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 与2C 的方程分别为2cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图1,在平行四边形ABCD 中, 点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF =△的周长△的周长 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()3f x A x =+,x ∈R ,且5π32()12f =.（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若()()3f f θθ--=,π(0,)2θ∈,求π()6f θ-.17.（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1 合计20（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图； （Ⅲ）求这20名工人年龄的方差.18.（本小题满分13分）如图2,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,1AB =,2BC PC ==.作如图3折叠：折痕EF DC ∥,其中点E ,F 分别在线段PD ,PC 上,沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ,并且MF CF ⊥.（Ⅰ）证明：CF ⊥平面MDF ； （Ⅱ）求三棱锥M CDE -的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n S 满足22(3)n n S n n S -+--23()0n n +=,*n ∈N .（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ,有11221111+(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++++…＜.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为(5,0),离心率为5.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）已知函数321()1()3f x x x ax a =+++∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a ＜时,试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈U ,使得01()()2f x f =.。
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2014年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{2}B.{4，6}C.{1，3，5}D.{4，6，7，8}【答案】B【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选B．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．本题考查集合的基本运算和韦恩图，属基本题．2.已知i是虚数单位，则复数z=1+2i+3i2所对应的点落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】解：复数z=1+2i+3i2=-2+2i，复平面内的对应的点为（-2，2），故选B．根据复数z=1+2i+3i2=-2+2i，复平面内的对应的点为（-2，2），得出结论．本题考查两个复数代数形式的乘法，复数与复平面内对应点之间的关系，是一道基础题．3.命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是（）A.∃x∈R，x2+x≤0B.∃x∈R，x2+x＜0C.∀x∈R，x2+x≤0D.∀x∈R，x2+x＜0【答案】B【解析】解：∵命题∀x∈R，x2+x≥0是全称命题，∴命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是：∃x∈R，x2+x＜0，故选：B．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若8a1-a4=0，则下列式子中数值不能确定的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵8a1-a4=0，∴q=2，∴=4，==；=q；=，n是变数，故不能确定．故选：D．由8a1-a4=0，可得q=2，再对选项，进行判定即可．本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，确定q=2是关键．5.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cos2B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，解得sin B=．解：∵在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，由正弦定理可得°再由二倍角公式可得cos2B=1-2sin2B=1-2×=，故选C．利用正弦定理求得sin B=，再由二倍角公式可得cos2B=1-2sin2B 的值．本题主要考查正弦定理、二倍角公式的应用，属于中档题．6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环S K循环前/00第一圈是11第二圈是32第三圈是113第四圈是20594第五圈否∴最终输出结果k=4故答案为A根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由和长度相等，方向相同，∴，故选C．利用平行四边形法则做出向量，再进行平移，利用向量相等的条件，可得．本题考查向量的加法及其几何意义，向量相等的条件，利用向量相等的条件是解题的关键．8.已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，•则最大值为（）A.2B.0C.1D.-1【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，∵A（-1，1），M（x，y），∴z==-x+y，即y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当y=x+z，经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大为z=-0+2=2．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，设z=，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．9.一个长方体被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A.1440B.1200C.960D.720【答案】B【解析】解：由三视图知：几何体是长方体削去一个三棱锥，长方体的长、宽、高分别为20、8、9；削去的三棱锥的高为8，上底面为直角三角形，直角三角形的两直角边长分别为20、8．∴几何体的体积V=20×8×9-××20×8×9=1440-240=1200．故选：B．几何体是长方体削去一个三棱锥，根据三视图判断长方体的长、宽、高及削去的三棱锥的相关几何量的数据，代入长方体与棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．10.规定函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f（x）的“中心距离”，给出以下四个命题：①函数y=的“中心距离”大于1；②函数y=的“中心距离”大于1；③若函数y=f（x）（x∈R）与y=g（x）（x∈R）的“中心距离”相等，则函数h（x）=f （x）-g（x）至少有一个零点．以上命题是真命题的是（）A.①②B.②③C.①③D.①【答案】D【解析】解：①函数y=图象上的点到原点距离d=≥＞1，即函数y=的“中心距离”大于1，正确；②函数y=图象上的点到原点距离d==≥1，错误；③取函数y=f（x）=x2+1，y=g（x）=-x2-1，函数h（x）=f（x）-g（x）=2x2+2，没有零点，错误．故选：D．①②利用新定义，计算函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值，即可判定，③取特例．本题考查新定义，考查距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=3，则|PF2|= ______ ．【答案】5【解析】解：∵椭圆+=1，∴2a=8，∵|PF1|+|PF2|=2a=8，由|PF1|=3，∴|PF2|=5，故答案为：5先据方程求出2a=8，再根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=8，求出|PF2|的值．本题考查椭圆的方程、椭圆的定义，属于一道基础题．12.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a= ______ ．【答案】0.030【解析】解：由图知，图中各个小矩形的面积即为频率，根据频率和为1，可得（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.030，故答案为：0.030；由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值；本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；13.直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则a= ______ ．【答案】2【解析】解：∵直线l1：ax+3y+1=0与直线l2：2x+（a+1）y+1=0平行，∴a≠-1，且=，解得a=2或a=-3，当a=2时，两直线平行，故舍去，则a=-3；故答案为：-3．由两直线平行斜率相等解出等式，解方程求的a的值．本题考查两直线平行的性质，斜率都存在的两直线平行时，斜率一定相等．14.在极坐标系中，点A的极坐标为（2，0），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，则点A到直线l的距离为______ ．【答案】【解析】解：由题意得点A（2，0），直线l为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，即x+y+2=0，∴点A到直线l的距离为=2，故答案为2．先求出点A的坐标，直线l的普通方程，由点到直线的而距离公式求出点A到直线l的距离．本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的转化，点到直线的距离公式的应用．15.如图，AB是圆O的直径，PB，PE分别切圆O于B，C，若∠ACE=40°，则∠P= ______ ．【答案】80°【解析】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°，又∠ACE=40°，且PB=PC∴∠PCB=∠PBC=50°，∴∠P=180°-50°-50°=80°故答案为：80°要求∠P的大小，我们要首先分析∠P与已知的角∠ACE=40°的关系，结合AB为圆的直径，联想直径所对的圆周角为90°，再结合弦切角定理，我们易在已知角与未知角之间找到联系，从而求解．要求一个角的大小，先要分析未知角与已知角的关系，然后再选择合适的性质来进行计算．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.某中学在高三年级开设了A、B、C三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A、B、C三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）：（1）求、的值；（2）若从A、B两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自同一兴趣小组的概率．【答案】解：（1）由题意可得，==，解得x=2，y=4．（2）记从兴趣小组A中抽取的2人为a1，a2，从兴趣小组B中抽取的3人为b1，b2，b3，则从兴趣小组A，B抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10种．设选中的2人都来自同一兴趣小组的事件为E，则E包含的基本事件有：（a1，a2），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共4种．所以P（E）==；故选中的2人都来自同一兴趣小组的概率为．【解析】（1）根据题意，由分层抽样的特点，可得==，解可得答案；（2）记从兴趣小组A中抽取的2人为a1，a2，从兴趣小组B中抽取的3人为b1，b2，b3，设选中的2人都来自兴趣小组B的事件为E，用列举法可得从5人中选2人作发言的基本事件的数目，同时可得E包含的基本事件的数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．17.设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=•+1（1）求f（）的值；（2）当f（α）=，且＜α＜时，求sin（2α+）的值．【答案】解：（1）根据题意得，函数f（x）=•+1=（cosx，sinx）•=（，）=，=+1，∴=．（2）由．∴，∵＜α＜，∴＜＜，∴，∴sin（2α+）==-．【解析】（1）根据向量数量积求出f（x）的表达式，然后代入求值即可；（2）知道正弦值，求出余弦值，利用三角函数公式．本题考查了向量的数量积的计算，以及三角函数公式的应用，需要注意角的范围．18.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=．（1）求证：DE⊥面ACD平面；（2）设AC=x，V（x）表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V（x）的解析式及最大值．【答案】（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC．∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．∴BC⊥平面ADC．∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；（2）解：∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．在R t△ABE中，AB=2，EB=．在R t△ABC中，∵AC=x，BC=（0＜x＜2）．∴S△ABC=AC•BC=x•，∴V（x）=V E-ABC=x•，（0＜x＜2）．∵x2（4-x2）≤=4，当且仅当x2=4-x2，即x=时，取等号，∴x=时，体积有最大值为．【解析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，线面垂直的性质即可证明BC⊥平面ACD，再利用平行四边形的性质BC∥ED，得到ED⊥平面ACD；（2）利用三棱锥的体积计算公式即可得出表达式，再利用基本不等式的性质即可得出体积的最大值．熟练掌握直径所对的圆周角为直角的性质、线面、面面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．19.数列{a n}中，a1=1，S n是{a n}前n项和，且-1=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+2n-1，求数列{b n}的前n项和T n，求T n；（3）对任意n∈N*不等式T n≥m2-2m-1恒成立，求m的取值范围．【答案】解：（1）由已知a1=1，=1，n≥2，∴数列{S n}是以==1为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n-1）•1=n，∴，①n≥2时，S n-1=（n-1）2，②①-②得，，，∵a1=1适合上式，∴a n=2n-1．（2）=（2n-1）+2n-1，∴T n=（1+20）+（3+2）+（5+22）+…+（（2n-1）+2n-1）=（1+3+5+…+（2n-1））+（20+2+22+…+2n-1）=+=n2+2n-1．（3）=（n2-1）+（2n-2），n∈N*）=（n+1）（n-1）+2（2n+1-1），∵n≥1，∴（n+1）（n-1）≥0，2n+1≥1，∴T n-2≥0，∴T n≥2．∵对任意n∈N*不等式T n≥m2-2m-1恒成立，∴m2-2m-1≤2，解得-1≤m≤3．∴m的取值范围[-1，3]．【解析】（1）由已知条件=n，从而得到，由此能求出a n=2n-1．（2）由已知条件推导出=（2n-1）+2n-1，由此利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．（3）由，推导出T n≥2．由此能求出m的取值范围．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．20.抛物线C1的顶点在原点焦点在y轴上，且经过点P（2，2），圆C2过定点A（0，1），且圆心C2在抛物线C1上，记圆C2与x轴的两个交点为M、N．（1）求抛物线C1的方程；（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试问|MN|是否为一定值？请证明你的结论；（3）当圆心C2在抛物线上运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求+的最大值．【答案】解：（1）由已知，设抛物线方程为x2=2py，则代入P（2，2），可得p=1，∴抛物线C1的方程为x2=2y；（2）设圆的圆心C2（a，b），则圆的半径为，∴圆被x轴截得的弦长为|MN|=2=2=2，∵a2=2b，∴|MN|=2；（3）由（2）知，不妨设M（a-1，0），N（a+1，0），则m==，n==，∴==2．a=0时，=2；a≠0时，=2≤2，当且仅当a=±时，取得最大值2．【解析】（1）设出抛物线方程，代入P，即可求出抛物线的方程；（2）表示出圆被x轴截得的弦长，利用圆心在抛物线上，即可得出结论；（3）表示出，分类讨论，利用基本不等式，即可求出最大值．待定系数法是求圆锥曲线的常用方法，利用基本不等式可以解决最值问题．21.已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=-=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2-ln2∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=-+2a=当a＜-2时，-＜，令f′（x）＜0得0＜x＜-或x＞，令f′（x）＞0得-＜x＜；当-2＜a＜0时，得-＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞-，令f′（x）＞0得＜x＜-；当a=-2时，f′（x）=-≤0，综上所述，当a＜-2时f（x），的递减区间为（0，-）和（，+∞），递增区间为（-，）；当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（-，+∞），递增区间为（，-）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3++6a]=-4a+（a-2）ln3，∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x1）-f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a-2ln3＞-4a+（a-2）ln3整理得ma＞-4a，∵a＜0，∴m＜-4恒成立，∵-3＜a＜-2，∴-＜-4＜-，∴m≤-高中数学试卷第11页，共12页【解析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．高中数学试卷第12页，共12页。