高二数学等差数列的前n项和

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《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件

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[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
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等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
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2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

nn 1 d 1 2

3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和. 返回
课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白( )内.
4.已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和 Sn S ’n ．
【解题回顾】
：当ak≥0 一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 S n
时，有 S n S n；当ak＜0时， S n ( k =1，2，…，n).若在 Sn a1，a2,…，an 中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
A.18 B.36 C.54 D.72
3.设 {an}是公比为 q的等比数列， Sn是它的前 n项和.若 {Sn}是 1 等差数列，则q=___
4.等比数列 {an}前n项的乘积为 Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的值为( D ) (A)3 (B)4 (C)7 (D)8
5. 在等差数列 { an} 中， a2+a4=p，a3+a5=q．则其前 6 项的和 S6 为( B )
【解题回顾】这是一道高考题，开放程度较大，要注意含有字母的代数式的运算，特别要注意对公比q=1的讨论.
返回
误解分析
1. 用公式 an=Sn-Sn-1 解决相关问题时，一定要注意条件 n≥2，因n=1时，a1=S1.
a1 1 q n 2.等比数列的和或利用等比数列求和公式 S n 解 1 q

高二数学等差数列试题答案及解析

高二数学等差数列试题答案及解析1.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差等于（）A．3B．C．1D．-2【答案】D【解析】由等差数列前项和公式可知【考点】等差数列求和点评：等差数列求和公式的考查，，题目很简单2.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第个图案中有白色地面砖的块数是 .【答案】【解析】观察规律可知：第一个图形6块白砖，第二个图形10块白砖，第三个图形14块白砖，后一个比前一个多4块，白砖块数构成等差数列，首项为6，公差为4，所以第块有块【考点】归纳推理与数列点评：求解本题首先要根据题目中给定的图形找到其一般规律，即数列的通项，再由通项求得第个图案中有白色地面砖的块数3.在公差不为0的等差数列中，，且依次成等差数列.（Ⅰ）求数列的公差；（Ⅱ）设为数列的前项和，求的最小值，并求出此时的值【答案】（1）2 （2）6或7.【解析】（Ⅰ）由依次成等差数列知即，整理得.因为，所以. 从而，即数列的公差为2 6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知因为且，所以当或7时，有最小值.因此，的最小值为，此时的为6或7.【考点】等差数列的通项公式和求和点评：解决的关键是熟练的借助于等差数列的公式来求解计算，属于基础题。

4.下列说法中正确的是（）A．满足方程的值为函数的极值点B．“”是“复数为纯虚数”的充要条件C．由“，”，推出“”的过程是演绎推理D．“若成等差数列，则”类比上述结论：若成等比数列，则【答案】D【解析】对于A、满足方程的值为函数的极值点，错误，比如y= ,在x=0处不是极值点。

B、“”是“复数为纯虚数”的充要条件故是充分不必要条件，错误。

C、由“，”，推出“”的过程是演绎推理，错误，这是类比推理。

D、“若成等差数列，则”类比上述结论：若成等比数列，则成立故选D.【考点】复数的概念，演绎推理，等差数列，等比数列点评：解决的关键是对于复数的概念，演绎推理，等差数列，等比数列概念的熟练运用，属于基础题。

高二数学复习考点知识精讲与练习9 等差数列的前n项和公式

高二数学复习考点知识精讲与练习专题9 等差数列的前n 项和公式【考点梳理】考点一等差数列的前n 项和公式考点二等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 考点三等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d 2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，S n关于n 的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎨⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．大重难点规律总结： (1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a1，d ，n ，an 和Sn ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d 的方程组，解出a1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N*)，则am ＋an ＝ap ＋aq ，常与求和公式Sn ＝n a1＋an2结合使用．(3)等差数列前n 项和Sn 最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a1<0，d>0，则Sn 存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n 项和Sn 最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 ⎩⎨⎧ an≥0，an ＋1≤0或⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0来寻找． ②运用二次函数求最值．【题型归纳】题型一：等差数列前n 项和的有关计算1．（2022·全国·高二课时练习）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求S n 的最小值.2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{a n }中：（1）已知5104958,50a a a a +=+=，求10S ；（2）已知7342,510,45n n S S a -===，求n .3．（2022·全国·高二课时练习）根据下列各题中的条件，求相应等差数列{}n a 的前n 项和n S ：（1）12a =，5d =，10n =；（2）12a =-，6n a =，12n =．题型二：等差数列片段和的性质4．（2022·全国·高二单元测试）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =（）A ．28B ．32C ．16D ．245．（2022·河南·高二月考）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知55S =，1521S =，则10S =（）A ．9B ．10C ．12D ．136．（2020·湖北·秭归县第一中学高二期中）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（）A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列题型三：等差数列前n 项和与n 的比值问题7．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2020S =（） A ．-4040B ．-2020C ．2020D ．40408．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若151051510S S -=，则2020S =（） A ．0B ．2018C ．2019-D ．20209．（2020·河北·邢台市南和区第一中学高二月考）已知数列{}n a 的通项公式是=12n a n -，前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和为 A ．45-B ．50-C ．55-D ．66-题型四：两个等差数列前n 项和的比值问题10．（2022·河南·高二月考）已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且有192a a +=，468b b +=，则99S T 的值为（） A ．16B ．14C ．2D ．311．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .若2132n n S n T n +=+，则55a b =（） A ．1929B ．1125C ．1117D ．2312．（2022·西藏日喀则·高二期末（理））已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若3123nn S n T n -=+，则1010ab =（）A ．54B ．4041C ．5641D ．2921题型五：等差数列前n 项和的最值问题（二次函数、不等式）13．（2022·北京市一零一实验学校高二期末）设n S 是等差数列{}()n a n *∈N 的前n 项和，且675S S S >>，则下列结论正确的有（） A ．110S >B ．120S <C ．130S >D ．86S S >14．（2022·全国·高二课时练习）已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是（）A ．21B ．20C ．19D ．1815．（2022·福建·宁德市第九中学高二月考）已知等差数列{}n a 满足247,3a a ==，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使n S 取最大值的自然数n 是（）A ．4B ．5C ．6D ．7题型六：等差数列前n 项和偶数项和奇数项和与绝对值问题16．（2022·浙江杭州·高二期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=，则（）A ．22S =B ．24144S =C ．31243S =D ．60660S =17．（2020·河北·武邑武罗学校高二期中）已知等差数列{}n a 的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为 A ．10B ．20C ．30D ．4018．（2022·浙江衢州·高二期末）已知等差数列满足：，则的最大值为（） A ．18B ．16C ．12D ．8题型七：等差数列的简单应用19．（2022·山西·太原市第五十六中学校高二月考（文））如图，某报告厅的座位是这样的:第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位.（1）求第六排的座位数；（2）根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人要间隔一个座位就坐，(每一排从左到右都按第一、三、五、七、九……的座位就坐，其余的座位不能坐)，那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议20．（2022·全国·高二单元测试）某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？21．（2022·全国·高二课时练习）新能源汽车环保､节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向.工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一.福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元. （1）每台充电桩第几年开始获利？(5.7≈) （2）每台充电桩前几年的年平均利润最大(前n 年的年平均利润=n n前年的利润总和年数).【双基达标】一、单选题22．（2022·陕西·千阳县中学高二月考）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．4D ．823．（2022·河北省唐县第一中学高二月考）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，()()11n n n S nS n N *++<∈.若871a a <-，则（） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S24．（2022·河南·高二月考（理））设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有n nS T ＝2343n n --，则2313a b b +＋14511a b b +的值为（）A ．2945B ．1329C ．919D ．193025．（2022·河南·高二期中（文））已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（） A ．1168B ．1134C ．198199D ．9919926．（2022·河南商丘·高二期中（理））《莉拉沃蒂》是古印度数学家婆什迦罗的数学名著，书中有下面的表述：某王为夺得敌人的大象，第一天行军2由旬（由旬为古印度长度单位），以后每天均比前一天多行相同的路程，七天一共行军80由旬到达地方城市.下列说法正确的是（） A ．前四天共行1877由旬 B ．最后三天共行53由旬C ．从第二天起，每天比前一天多行的路程为237由旬 D ．第三天行了587由旬 27．（2022·全国·高二课时练习）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是（） A ．②③B ．①② C ．①③D ．①④28．（2022·河南·高二期中（理））设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当*n ∈N 时，n a ，1n +，1n a +成等差数列，给出下列说法：①当*n ∈N 时，1n n S S +<；②9S 的取值范围是()48,52；③642112S =；④存在*n ∈N ，使得2060n S =.其中正确说法的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．429．（2022·河南省实验中学高二期中（文））已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为nS和n T ，且有192a a +=，468b b +=，则99S T 的值为（） A ．16B ．14C ．2D ．330．（2022·河南南阳·高二期中）已知等差数列{}n a 满足927S =，330n S =，430n a -=，则n 值为（）A ．20B ．19C ．18D ．1731．（2022·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若3516a a a ++的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（） A ．7S B ．8S C ．13S D ．15S32．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210a a a ++⋅⋅⋅+的值为( )A ．68B ．67C ．65D ．56【高分突破】一：单选题33．（2022·江苏·高二单元测试）设等差数列的前n 项和为n S ，已知636S =，6144n S -=，324n S =，则n 的值为（）A ．15B ．16C ．17D ．1834．（2022·全国·高二课时练习）一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群（如图）.该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔群最下面三阶的塔数之和为（）A ．39B ．45C ．48D ．5135．（2022·全国·高二单元测试）已知非常数数列{}n a 满足()()()()2221140n n n n n n a a a a a a n *++++----=∈N ，n S 为数列{}n a 的前n 项和.若22020S =，20202S =，则2022S =（）A ．2022B ．2022-C ．2021-D ．202236．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{a n }和{b n }中，a 1=25，b 1=75，a 100+b 100=100，则数列{a n +b n }的前100项的和为（）A ．10000B ．8000C ．9000D ．1100037．（2022·广西师范大学附属外国语学校高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则17121217,,,S S S a a a 中最大的项为（） A ．1100S a B ．99S a C ．88S a D ．77S a38．（2022·江苏·苏州中学高二月考）已知数列{}n a满足11a =，)*2,N n n ≥∈且()*2cos 3n n n a b n π=∈N ，则数列{}n b 前36项和为（） A ．174B ．672C ．1494D ．590439．（2022·河南·高二月考）记等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若123nnS n T n +=+，则105510a ba b =（）A ．8281B ．8182C ．4241D ．414240．（2022·全国·高二专题练习）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，10S <，212520S S +=，则n S 取最小值时，n 的值为() A ．11B ．12C ．13D ．1441．（2022·全国·高二课时练习）若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差0d <，且()2019201820190a a a +>，()2020201920200a a a +<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（）A ．4039B ．4038C ．4037D ．4036二、多选题42．（2022·江苏·高二专题练习）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则（）A ．a n ＝－112n -B ．a n ＝*1,1,11,2,1n n n N n n-=⎧⎪⎨-≥∈⎪-⎩ C ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．20110111+..S S S ++=－505043．（2022·福建省龙岩第一中学高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，120S <，60a >，则（） A ．70a <B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列 C ．0n S >时，n 的最大值为11D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项44．（2022·福建省连城县第一中学高二月考）已知公差为d 的等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，下列说法正确的是（）A ．若90S <，100S >，则6a 是数列{}n a 中绝对值最小的项B ．若3614S S =，则61247S S =C ．若18a =，42a =，则12832a a a +++=D ．若48a a =，0d ≠，则110S =45．（2022·辽宁大连·高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列{}n b 的前n项和为n T ，且12nnS n T n +=，则下列选项中正确的是（）A ．3335a b =B ．321a b = C ．数列{}n a 是递增数列D ．数列{}n a 是递减数列46．（2022·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1﹣（n +1）a n ＝1，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则下列选项中正确的是（） A ．数列{a n }是公差为2的等差数列B ．满足S n ＜100的n 的最大值是9C ．S n 除以4的余数只能为0或1D ．2S n ＝na n47．（2022·全国·高二课时练习）《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第n 天所织布的尺数为n a ，2nan b =，则（）A ．1058b b =B ．数列{}n b 是等比数列C ．130105a b =D ．357246209193a a a a a a ++=++三、填空题48．（2022·河南·高二月考（文））若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.49．（2022·江苏·高二专题练习）已知等差数列{a n }的首项a 1=a ，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足22213n n n a S n S -+=，0n a ≠，n ≥2，n ∈N *，那么a =____．50．（2022·山西·怀仁市第一中学校高二期中（文））已知等差数列{}n a 的通项公式为319n a n =-．令()*14m m m m T a a a m N ++=+++∈，则m T 的最小值为_______．51．（2022·江苏·苏州中学高二期中）在等差数列{}n a 中，120212022202120220,0,0a a a a a >+><，则使0n S >成立的最大自然数n 为_______52．（2022·陕西·铜川市第一中学高二期中（理））观察下面的数阵，则第16行从左边起第2个数是______．四、解答题53．（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知等差数列{}n a 满足39a =-，105a =. （1）求公差d ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得n S 最小的n 的值．54．（2022·全国·高二课时练习）（1）等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{}n a 的前3m 项的和S 3m ；（2）两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，已知723nn S n T n +=+，求55ab 的值.55．（2022·河南南阳·高二期中）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；数列{}n b 满足11(2,)n n n n b b b b n n N ---=≥∈，11b =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .56．（2022·河南焦作·高二期中（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，315S a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列21n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，用符号[]x 表示不超过x 的最大数，当[][][]1252n T T T ++⋅⋅⋅+=时，求n 的值.【答案详解】1．（1）a n ＝2n －9；（2）S n ＝ (n －4)2－16；－16. （1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1＝－7，3S =3a 1＋3d ＝－15. 所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. （2）由（1）得()1722n n n S n -=-+⨯=n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 2．（1）S 10＝210 （2）n ＝20 （1）由已知条件得11014912135821150a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，10110(101)10910103421022S a d ⨯-⨯∴=+=⨯+⨯=；（2）()177447742,62a a S a a +===∴=， ()()143(645)510222n n n n a a n a a n S -+++∴====，20n ∴=. 3．（1）245 （2）24 （1）()1110920524522n n n S na d -⨯=+=+⨯=. （2）()()112262422n n n a a S +⨯-+===. 4．B 【详解】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列， ∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =. ∴ 2，6，10，418k S -成等差数列，可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =. 故选：B 5．C 【详解】因为n S 是等差数列{}n a 的前n 项，由等差数列前n 项和的性质可知：5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，所以()()105515102S S S S S -=+-，即()()101025521S S -=+-，解得：1012S =，故选：C. 6．D 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 7．C设等差数列{}n a 的前n 项和为2+n S An Bn =，则+nS An B n=，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．因为101221210S S -=，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为1，又11201811S a ==-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2018-为首项，1为公差的等差数列，所以202020182019112020S =-+⨯=，所以20202020S =故选：C 8．D 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d . 151051510S S -=， 552d∴⨯=，解得2d =.则()20202020201920202018220202S ⨯=⨯-+⨯=. 故选：D. 9．D 【详解】由题意知数列{}n a 为等差数列， ∴2[1(12)]2n n n S n -+-==-．∴nS n n=-， ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和为11(111)1211(1211)662⨯+----=-+++=-=-．选D ． 10．B【详解】因为{}{},n n a b 为等差数列，故2855522a a a a a +=+==，即51a =，同理可得：54b =，所以19951995912492a a S ab bT b +⨯===+⨯. 故选：B ． 11．A 【详解】∵2132n nS n T n +=+，∴195519919551999()22911929()2392292a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯+======++⨯+，故选：A 12．C 【详解】因为3123nn S n T n -=+，则()()11910119101919193191562192193412a a S ab b T b +⨯⨯-====+⨯⨯+．故选：C ． 13．A 【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以由675S S S >>可知，0d <，抛物线开口向下，其对称轴在()6,6.5之间，所以抛物线与x 轴正半轴交点的横坐标范围是()12,13，结合二次函数的图象和性质可知110S >；120S >；130S <；86S S <. 故选：A 14．B 【详解】∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39. ∴S n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400. ∴当n ＝20时，S n 有最大值．故选：B. 15．B 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，11733a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：19,2a d ==-，于是得9(1)(2)211n a n n =+-⋅-=-+，由0n a >得，5n ≤，因此，数列{}n a 是递减等差数列，其前5项均为正，从第6项开始为负，则其前5项和最大，所以使n S 取最大值的自然数n 是5.故选：B 16．B 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n a a n ++=，可得：20a =，11n n a a n -+=-，21S =，所以A 不正确；可得111n n a a +--=，可知数列奇数项与偶数项都是等差数列，公差都是1，24123412012311144S ∴=++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=，所以B 正确； 31123415012315241243S =++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=≠，所以C 不正确；60123430012329900S =++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=，所以D 不正确；故选：B ． 17．B 【详解】设等差数列{}n a 的公差为4d =，项数为n ，前n 项和为n S ，则2402n S S d n -===奇偶，即这个数列的项数为20，故选择B . 18．C 【详解】不为常数列，且数列的项数为偶数，设为则，一定存在正整数k 使得或不妨设，即，从而得，数列为单调递增数列，，且，，同理即，根据等差数列的性质，所以n 的最大值为12，选项C 正确，选项ABD 错误故选：C.19．（1）19；（2）95. 【详解】（1）根据题意：每排座位数构成等差数列{}n a ，且19a =，2d =. 所以692519a =+⨯=，即第六排的座位数为19. （2）因为每排座位数都为奇数，所以得到第一排做5人，第二排做6人，第三排做7人，……. 即每排人数构成等差数列{}n b ，且15b =，1d =，10n =. 所以10109105952S ⨯=⨯+=，即最多可安排95人同时参加会议. 20．至少运送7趟，最少行驶14700米.【详解】因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，20362=⨯+，所以至少运送7趟，第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以为(500505)2+⨯⨯首项，(5032)⨯⨯为公差的等差数列，最少行驶16(500505)2(5032)65(500502)2147002+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯=米 21．（1）3（2）8 【详解】（1）每台充电桩第n 年总利润为16400[1000(1)400]128002n n n n -+--216400[1000(1)400]128000286402n n n n n n -+-->∴-+<14142625.4325n .n n N n ∴-<+<<∈∴≤≤所以每台充电桩第3年开始获利（2）每台充电桩前n 年的年平均利润16400[1000(1)400]128002n n n n n -+-- ][64=20028200282400n n ⎡⎛⎫-+≤-=⎢ ⎪⎝⎭⎣当且仅当64,8n n n==时取等号所以每台充电桩前8年的年平均利润最大 22．C 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =.故选：C. 23．D 【详解】由()11n n n S nS ++<得：()()()()1111122n n n n a a n n a a +++++<，整理可得：1n n a a +<，∴等差数列{}n a 为递增数列，又871a a <-，80a ∴>，70a <， ∴当7n ≤且n *∈N 时，0n a <；当8n ≥且n *∈N 时，0n a >；n S ∴有最小值，最小值为7S .故选：D. 24．C 【详解】由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴2313a b b +＋14511a b b +＝21482a a b +＝88a b ＝1515S T ＝21534153⨯-⨯-＝2757＝919故选：C ． 25．D解：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，2121n S n n -=-+，两式作差得到21(2)n a n n =-≥，又当1n =时，21111a S ===，符合上式，所以21n a n =-，111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n n a a a a a a a a +++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D. 26．D 【详解】由题意，不妨设每天行军的路程为数列{}n a ，则12a =又以后每天均比前一天多行相同的路程，故{}n a 构成一个等差数列，不妨设公差为d 七天一共行军80由旬，即780S = 故71767802S a d ⨯=+=，解得227d = 4143188427S a d ⨯=+=，A 错误； 567741883728077a a a S S ++=-=-=，B 错误；由于227d =，故从第二天起，每天比前一天多行的路程为227由旬，C 错误；31225822277a a d =+=+⨯=，D 正确故选：D 27．B 【详解】∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确.又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确. S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确. {S n }中最大项为S 6，④不正确. 故正确的是①②. 故选：B 28．C解：因为数列{}n a 的各项都是正数，所以1n n S S +<，所以①正确；由n a ，1n +，1n a +成等差数列，可得12(1)n n a a n ++=+，*n ∈N ，则124a a +=，348a a +=，5612a a +=，；236+=a a ，4510a a +=，6714a a +=，，所以数列{}212n n a a -+是首项为4，公差为4的等差数列；{}221n n a a ++是首项为6，公差为4的等差数列.所以()()()912345891143464482S a a a a a a a a a ⨯=+++++++=+⨯+⨯=+，由214a a =-，得11040a a >⎧⎨->⎩解得104a <<，所以9S 的取值范围是()48,52，所以②正确；643231324421122S ⨯=⨯+⨯=，所以③正确；因为642060S >，所以()()()63123456263S a a a a a a a =+++++++1113130316418618602046(2046,2050)2a a a ⨯=+⨯+⨯=++=+∈，632060S <，所以④错误. 故正确的命题的个数为3个，故选：C.29．B 【详解】由等差数列的求和公式可得()199992a a S +==，()()19469993622b b b b T ++===，因此，9991364S T ==.故选：B. 30．A 【详解】()9199227s a a =+⨯÷=，故19526+==a a a ，即53a =.()()15433033222n n n n n na a a S a -=++===，解得20n =. 故选：A. 31．D解：设3516a a a p ++=（常数），1321a d p ∴+=，即813a p =． 11515815()1552a a S a p ⨯+∴===．故选：D ． 32．A 【详解】当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦；当1n =时，113a S ==-符合上式，所以25n a n =-，所以12108(115)|3||1|135154682a a a +++⋅⋅⋅+=-+-++++⋅⋅⋅+=+=．故选：A. 33．D 【详解】解：由题意可得612345324144180n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++=-=即12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=①612345636S a a a a a a =+++++=②且等差数列满足12132435465n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----+=+=+=+=+=+∴①②两式相加得16()18036216n a a +=+= ∴136n a a +=代入求和公式可得1()183242n n n a a S n +=== 解得18n = 故选：D. 34．D 【详解】设该塔群共有n 阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为{}n a ，依题意可知5a ，6a ，…，n a 成等差数列，且公差为2，55a =，则()()()4513355421082n n n --++++-+⨯=，解得12n =.故最下面三价的塔数之和为()101112113352651a a a a ++==+⨯=. 故选：D35．B∵()()()2221140n n n n n n a a a a a a ++++----=，∴()()()()221121140n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++-+----=⎡⎤⎣⎦，化简得()()22110n n n n a a a a +++---=⎡⎤⎣⎦， ∴212n n n a a a +++=，∴数列{}n a 为等差数列. 又22020S =，20202S =，∴()202023420203202010092018S S a a a a a -=+++=+=-， ∴32020120222a a a a +=+=-， ∴()120222022202220222a a S +==-.故选：B. 36．A由已知得{a n +b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100=11100100100[()()]2a b a b +++50(2575100)10000=⨯++=.故选：A 37．B 【详解】()117179171702a a S a +==>，得90a >， ()()1181891018902a a S a a +==+<，所以1090a a +<，即100a < 所以1090a a -<，数列的公差0d <，10a >，综上可知，9a 是数列正项中的最小值，9S 是n S 中的最大值，所以99S a 是17121217,,,SS S a a a 中的最大项.故选：B 38．B 【详解】在数列{}n a 中，11a =，当*2,N n n ≥∈(n=⇔-于是得数列{是常数列，则1=，即21n a n =，因*n ∈N ，2cos3n n n a b π=，则22cos 3n n b n π=，因此，*n ∈N ，32313222115(32)(31)(3)9222n n n n c b b b n n n n --==----+=-++，显然数列{}n c 是等差数列，于是得1121234563435361212122b b b b b b b b b c c c c c ++++++++++=+++=⨯1356(912)67222=+⨯-=，所以数列{}n b 前36项和为672. 故选：B 39．C 【详解】因为()()1191011919101191911919191202192193412a a a a a S b b b T b b +++=====+⨯++，()()1951995199199911029293212a a a a a Sb b b T b b+++=====+⨯++，可得552110b a =，所以105510202142411041a b a b =⨯=，故选：C. 40．A 解：10S <，212520S S +=，∴公差0d >．∴11212025242(21)25022a d a d ⨯⨯⨯+++=， 1677200a d ∴+=，67072067067<<+，1116767067720067737a d a d a d∴+<+=<+，111267067a a ∴<<，即11120a a <<n S ∴取最小值时，11n =．故选：A ． 41．B由题意，得数列{}n a 是递减数列，由()2019201820190a a a +>，且()2020201920200a a a +<，可得20190a >，20200a <，且20192020a a >，201920200a a +>，∴4039202040390S a =<，()201920204038201920204038201902a a S a a +=⨯=+>， ∴使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4038．故选：B 42．BCD 【详解】S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，整理得11n S +－1n S ＝－1(常数)，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11S ＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C 正确；所以1nS ＝－1－(n －1)＝－n ，故S n ＝－1n .所以当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝11n -－1n，11a =-不适合上式，故a n ＝1,1,11,2,,1n n n N n n '-=⎧⎪⎨-≥∈⎪-⎩故B 正确，A 错误；所以()1231001111...123...1005050S S SS ++++=-++++=-，故D 正确．故选：BCD 43．ACD 解：112126712()6()02a a S a a +==+<，670a a ∴+<，又60a >，70a ∴<，A 对；由A 的分析可知，当16n 时0n a >，当7n 时0n a <，可知等差数列{}n a 为递减数列，当16n 时，数列1{}na 为递增数列，B 错；11111611()1102a a S a +==>，又120S <，C 对； [1n ∈，11]时0n S >，[12n ∈，)+∞时，0nS <，[1n ∴∈，6][12，)+∞时，0nnS a >，当[7n ∈，11]时，0n nS a <、0n a <且递减、n S 为正数且递减，∴77Sa 最小．D 对．故选：ACD ．44．CD 【详解】对于A ：因为{}n a 为等差数列，且9100S S <⎧⎨>⎩，所以1911000a a a a +<⎧⎨+<⎩，即55600a a a <⎧⎨+>⎩，所以65||a a >，即5a 是数列{}n a 中绝对值最小的项. 故选项A 错误；对于B ：因为{}n a 为等差数列，所以3S ，63S S -，96S S -，129S S -为等差数列，设3S x =，由3614S S =得：64S x =，故x ，3x ，94S x -，129S S -为等差数列解得1216S x =，所以61241164S x Sx ==. 故选项B 错误；对于C ：因为{}n a 为等差数列，且18a =，42a =，所以36d =-，2d =-，则82(1)210n a n n =--=-+. 则 128||||||a a a +++8642024632=+++++++=.故选项C 正确；对于D ：因为{}n a 为等差数列，且48||||a a =，0d ≠，所以48a a =-，480a a +=，则481111111()11()022a a a a S ++===. 故选项D 正确；故选：CD. 45．AB 【详解】由题意并结合等差数列前n 项和的特征,可设:()21,2n n S kn n T kn =+=,其中k ≠0对于A ： 33222332342333232255a S S k k k b T T k k k -⨯-⨯====-⨯-⨯，故A 正确；对于B ：3322222134236122216a S S k k kb T T k k k -⨯-⨯====-⨯-⨯,故B 正确；对于C ：当k <0时,11221122,=2324a S k a S S k k k a a ==-=⨯-=∴>，，所以{}n a 不是递增数列,故C 错误；对于D ：当k >0时，11221122,=2324a S k a S S k k k a a ==-=⨯-=∴<，，所以{}n a 不是递减数列,故D 错误. 故选：AB 46．ABC 【分析】令nn a b n=，由题干条件可得1111n n b b n n +-=-+，可得12n b n =-，可求得21n a n =-，2n S n =，依次分析即可判断【详解】由题意，na n +1﹣（n +1）a n ＝1，故11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++令n n a b n=，则1111n n b b n n +-=-+ 则1122111111()()...() (11212)n n n n b b b b b b n n n n ----+-++-=-+-++---- 即11112n n b b b nn-=-∴=-故121,2n n n n a nb n a a -==--=，数列{a n }是公差为2的等差数列，A 正确；21()2n n a a nS n +==，满足S n ＜100的n 的最大值是9，B 正确；当41,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余1；当42,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余0；当43,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余1；当44,n k k N =+∈时，2n S n =除以4余0，C 正确； 222n S n =≠22n na n n =-，D 错误.故选：ABC 47．BD 【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，首项15a =，则13029309410303902d a ⨯+=⨯⨯+=，解得1629d =，∴()116129129n n a a n d +=+-=. ∵2na nb =，∴1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+===， ∴数列{}n b 是等比数列，B 选项正确； ∵16803292595d =⨯=≠，∴()553105222d d b b ==≠，A 选项错误； 3012921a a d =+=，∴2113052105a b =⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=， ∴357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD.48．2,1,65,2n n n =⎧⎨-≥⎩【详解】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2,1,65, 2.n n n =⎧⎨-≥⎩ 故答案为：2,1,65,2n n n =⎧⎨-≥⎩49．3 【详解】在22213n n n a S n S -+=中，因为a 1=a ，所以分别令n =2，n =3得(a +a 2)2=12a 2+a 2，(a +a 2+a 3)2=27a 3+(a +a 2)2，因为0n a ≠，所以a 2=12-2a ，a 3=3+2a ．因为数列{a n }是等差数列，所以a 1+a 3=2a 2，即2(12-2a )=a +3+2a ，解得a =3．经检验a =3时，a n =3n ，S n =3(1)2n n +，S n -1=3(-1)2n n ，满足S n 2=3n 2a n + S n -12．所以a =3．故答案为：3. 50．5由等差数列{}n a 的通项公式为319n a n =-．根据等差数列的性质可得2553135m m T a m +==-≥，当4m =时取等号，此时m T 的最小值为5．故答案为：5 51．4022 【详解】由等差数列的性质可得14022202120220a a a a ++=> 又202120220a a <，所以20212022,a a 异号，又10a >，所以等差数列{}n a 必为递减数列，202120220,0a a ∴><，14023202220a a a =∴<+所以()()140221440023224023402240230,022a a a a S S =++=><，使0n S >成立的最大自然数n 为4022. 故答案为：4022. 52．227 【详解】由题得每一行数字个数分别为11a =，23a =，35a =，…，21n a n =-，它们成等差数列，则前15行总共有()1151515(129)22522a a ++==个数，因此第16行从左边起第2个数为227．故答案为:227 53．（2）215n a n =- （3）7n = （1）1032103-==-a a d （2）311249a a d a =+=+=-，解得113a =-，所以215n a n =-．（3）()()1221321514(7)4922n n n a a n n S n n n +-+-===-=--由二次函数的性质得当7n =时，使得n S 最小. 54．（1）210；（2）6512. 【详解】（1）在等差数列{}n a 的性质，可得232,,m m m m m S S S S S --成等差数列，即330,70,100m S -成等差数列，所以327030100m S ⨯=+-，解得3210m S =. （2）由等差数列的前n 项和的性质，且723n n S n T n +=+，可得9119515199999()1()792652219()9312()22a a a a ab b b T b b S ++⨯+====+++=. 55．（1）12n na ，1n b n=（2）(1)21n n T n =-⋅+（1）由21n n S a =-，得1121S a =-，11a ∴=. 又21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减，得1122n n n n S S a a ---=-，122n n n a a a -=-. 12n n a a -∴=，2n ≥.∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.11122n n n a --∴=⋅=.由()*112,N n n n n b b b b n n ---=≥∈，得1111n n b b --=，又11b =，∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列. 11(1)1n n n b ∴=+-⋅=.1n b n ∴=；（2）01112222n n T n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，12212222n n T n ∴=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅. 两式相减，得11121222212212n n nn n n n T n n n ---=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-+-⋅- (1)21n n T n . 56．（1）21n a n =+（2）9（1）不妨设等差数列{}n a 的公差为d ，故3127a a d =+=，131533S a a d =+=，解得13a =，2d =，从而1(1)21n a a n d n =+-=+，即{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）由题意可知，1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以2211111(2)2n S n n n n +=+=+-++，故11111111111132435112n T n n n n n =⨯+-+-+-++-+--++ 1111()212n n n =++--++，因为当2n ≤时，1110212n n --<++；当3n ≥时，1110212n n -->++，所以,2[]1,3n n n T n n ≤⎧=⎨+≥⎩，由[][][]1252n T T T ++⋅⋅⋅+=可知，1245152n ++++++=，即(2)(41)3522n n -+++=，解得9n =，即n 的值为9.。

等差数列的前n项和公式(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

n(a1 an )
.
2
（1）
把等差数列的通项公式＝1 +
（ − 1）代入公式（1），
可得＝1 +
(−1)
.
2
（2）
思考:
不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公
式（2）吗？
＝1 + 2 + ⋯ +
＝1 + 1 + + ⋯ + 1 + ( − 1)
A
B
C
D
1
1
3
3
2
2
8
5
3
0
15
7
4
24
9
5
35
11
结论：已知数列{ }的前项和为＝2 + + （，，为常数且 ≠ 0），则当＝0
时，数列{ }为等差数列；当 ≠ 0时，数列{ }从第二项起为等差数列.
证明：当 ≥ 2时，＝ − −1
＝ 2 + + − − 1
＝1 + （ − 1）＝.
证明：奇数项共n项，偶数项共(n 1)项，
S奇
n

.
S奇
S偶 n 1
n(a1 a2 n 1 )
(n 1)(a2 a2 n 2 )
n
S奇
nan , S偶
(n 1)an ,

.
2
2
S偶 n 1
若项数为偶数2，则2＝（1 + 2）＝（ + +1 ）（，+1 为中间两项）；
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

第2课时等差、等比数列的通项及求和公式 • 要点·疑点·考点 •课前热身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 •误解分析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和 S n
a1 an n na
2
q 1 na1 等比数列前n项和 S n a1 1 q n q 1 1 q n 1 S1 2.如果某个数列前n项和为Sn，则 an S n S n 1 n 2
3.设 {an}是公比为 q 的等比数列， Sn是它的前 n项和.若 {Sn} 是 1 等差数列，则q=___
4.等比数列{an}前n项的乘积为Tn，若Tn=1，T2n=2，则T3n的值为( D ) (A)3 (B)4 (C)7 (D)8
5. 在等差数列 { an} 中， a2+a4=p，a3+a5=q．则其前 6 项的和 S6 为( B ) (A) 5 (p+q)/4 (B) 3(p+q)/2 (C) p+q (D) 2(p+q) 返回
【解题回顾】
：当ak≥0 一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 S n
时，有 S n S n；当ak＜0时， S n ( k =1，2，…，n).若在 Sn
a1，a2,…，an 中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
题时，若忽视q=1的讨论.常会招致“对而不全”.

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风雨欲坠咯/已经暗淡到毫无光芒/更新最快最稳定/)下壹佫瞬间就要崩塌似の/这让杨慧两囡紧紧の抓着拳头/手心存在着冷汗壹道道涌出来/马开同样震惊其消弭の力量/它以青莲配合混沌青气/都

等差数列的前n项和公式-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

例题讲解
例8 某校新建一个报告厅, 要求容纳800个座位，报告厅共有20
排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.
问第1排应安排多少个座位？
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成
一列，构成数列{}，其前 n 项和为.
根据题意，数列{an}是一个公差为 2 的等差数列，且＝
}的通项公式
a
= ＋(－).
下面，我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题
教学目标
教学
目标
难点
重点
一
理解公式的推导方法
二
掌握等差数列前n项和公式
三
能较熟练应用等差数列前n项和公式求和
新知探究
探究一：等差数列的前n项和公式
概念生成
= + + +. . . +
因为 = + ( − )

由 = ( + )

所以 = +
(−)

( − )
= +

新知探究
探究：利用前n项和公式解决相关问题
新知讲解
例6.已知数列{}是等差数列.
（1）若 = , = ,求；

掌握等差数列前n项和公式的三种形式

= ( + )

( − )
= +

=
பைடு நூலகம்

+ ( −

)
所以 =
可得 = × +

把 = ，d=

得− =

4.2.2等差数列的前n项和公式(2)课件高二下学期数学人教A版选择性

内容索引
(1) 在等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11，求Sn的最大值； (2) 在等差数列{an}中，d＞0，若|a3|＝|a9|，求Sn的最小值．
【解析】 (1) 因为a1＝13，S3＝S11，所以 3a1＋3×2 2d＝11a1＋11×2 10d，所以 d＝－2，所以 Sn＝13n＋nn－ 2 1×(－2)
由③－②，得10d＋10d＋…＋10d＝S－910，
所以S－910＝600，所以S＝1 510，
即第21项到第30项的和为1 510.
内容索引
例4 有一等差数列共有2n(n∈N*)项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30 ，若最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差和项数．
内容索引
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(3) 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝25，an－3＋an－2＋an－1＋an＝63. 因为{an}是等差数列，所以a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，所以4(a1＋an)＝25＋63＝88，即a1＋an＝22. 因为 Sn＝a1＋2ann＝286，所以 n＝26.
内容索引
【解析】 (1) ba35＋＋ba1113＝ab11＋＋ab1155＝TS1155＝7×151＋5＋3 2＝11087.
(2) ab53＋＋ab1124＝ab11＋＋ab1166＝TS1166＝7×161＋6＋3 2＝11194. (3) 设Tn＝(7n＋2)k，Sn＝(n＋3)k，k≠0，所以a5＝T5－T4＝37k－30k＝7k， b6＝S6－S5＝9k－8k＝k，所以ab56＝7kk＝7.
【解析】由题意知Sa偶2n－－Sa奇1＝＝n2dn＝－61，d＝10.5， n＝4，
解得d＝23. 因为 a1＋a3＋a5＋a7＝4a1＋12d＝24，所以 a1＝32. 故此数列的首项 a1＝32，公差 d＝32，项数 2n＝8.

高二数学等差和等比数列的通项及求和公式

第2课时等差、等比数列的通项及求和公式
• 要点·疑点·考点 •课前热身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展
•误解分析
要点·疑点·考点
1.等差数列前n项和
Sn

a1
an 2
n

na1

nn 1
2
d
等比数列前n项和 Sn naa1 11 qn
1 q
Hale Waihona Puke A.18B.36C.54
D.72
; 阅读加盟；
以涉危害，舒奥迫近之变也。始皇即冠，{土母}惧诛作乱，始皇诛之，斩首数百级，大臣二十人，皆车裂以徇，夷灭其宗，迁四千余家於房陵。是岁四月，寒，民有冻死者。数年之间，缓急如此，寒奥辄应，此其效也。刘歆以为大雨雪，及未当雨雪而雨雪，及大雨雹，陨霜杀叔草，皆常寒之罚也。刘向以为常雨属貌不恭。京房《易传》曰“有德遭险，兹谓逆命，厥异寒。诛过深，当奥而寒，尽六日，亦为雹，害正不诛，兹谓养贼，寒七十二日，杀蜚禽。道人始去兹谓伤，其寒物无霜而死，涌水出。战不量敌，兹谓辱命，其寒虽雨物不茂。闻善不予，厥咎聋”桓公八年 “十月，雨雪”。周十月，今八月也，未可以雪，刘向以为时夫人有淫齐之行，而桓有妒媢之心，夫人将杀，其象见也。桓不觉寤，后与夫人俱如齐而杀死。凡雨，阴也，雪又雨之阴也，出非其时，迫近象也。董仲舒以为象夫人专恣，阴气盛也。釐公十年“冬，大雨雪”。刘向以为，先是釐公立妾为夫人，阴居阳位，阴气盛也。《公羊经》曰“大雨雹”。董仲舒以为，公胁於齐桓公，立妾为夫人，不敢进群妾，故专一之象见诸雹，皆为有所渐胁也，行专一之政云。昭公四年“正月，大雨雪”。刘向以为，昭取於吴而为同姓，谓之吴孟子。君行於上，臣非於下。又三家已强，皆贱公行，慢侮之心生。董仲舒以为季孙宿任政，阴气盛也。文帝四年六月，大雨雪。后三岁，淮南王长谋反，发觉，迁，道死。京房《易传》曰“夏雨雪，戒臣为乱”景帝中六年三月，雨雪。其六月，匈奴入上郡取苑马，吏卒战死者二千馀人。明年，条侯周亚夫下狱死。武帝元狩元年十二月，大雨雪，民多冻死。是岁，淮南、衡山王谋反，发觉，皆自杀。使者行郡国，治党与，坐死者数万人。元鼎二年三月，雪，平地厚五尺。是岁，御史大夫张汤有罪自杀，丞相严青翟坐与三长史谋陷汤，青翟自杀，三长史皆弃市。元鼎三年三月水冰，四月雨雪，关东十馀郡人相食。是岁，民不占缗线有告者，以半畀之。元帝建昭二年十一月，齐、楚地大雪，深五尺。是岁，魏郡太守京房为石显所告，坐与妻父淮阳王舅张博、博弟光劝视淮阳王以不义。博要斩，光、房弃市，御史大夫郑弘坐免为庶人。成帝即位，显伏辜，淮阳王上书冤博，辞语增加，家属徙者复得还。建昭四年三月，雨雪，燕多死。谷永对曰“皇后桑蚕以治祭服，共事天地宗庙，正以是日疾风自西北，大寒雨雪，坏败其功，以章不乡。宜斋戒辟寝，以深自责，请皇后就宫，鬲闭门户，毋得擅上。且令众妾人人更进，以时博施。皇天说喜，庶几可以得贤明之嗣。即不行臣言，灾异俞甚，天变成形，臣民欲复捐身关策，不及事已”其后许后坐祝诅废。阳朔四年四月，雨雪，燕雀死。后十二年，许皇后自杀。定公元年“十月，陨霜杀菽”。刘向以为，周十月，今八月也。消卦为“观”，阴气未至君位而杀，诛罚不由君出，在臣下之象也。是时，季氏逐昭公，公死於外，定公得立，故天见灾以视公也。釐公二年“十月，陨霜不杀草”，为嗣君微，失秉事之象也。其后卒在臣下，则灾为之生矣。异故言草，灾故言菽，重杀谷。一曰菽，草之难杀者也，言杀菽，知草皆死也。言不杀草，知菽亦不死也。董仲舒以为，菽，草之强者，天戒若曰，加诛於强臣。言菽，以微见季氏之罚也。武帝元光四年四月，陨霜杀草木。先是二年，遣五将军三十万众伏马邑下，欲袭单于，单于觉之而去。自是始征伐四夷，师出三十馀年，天下户口减半。京房《易传》曰“兴兵妄诛，兹谓亡法，厥灾霜，夏杀五谷，冬杀麦。诛不原情，兹谓不仁，其霜，夏先大雷风，冬先雨，乃陨霜，有芒角。贤圣遭害，其霜附木不下地。佞人依刑，兹谓私贼，其霜在草根土隙间。不教而诛兹谓虐，其霜反在草下”元帝永兴元年三月，陨霜杀桑。九月二日，陨霜杀稼，天下大饑。是时，中书令石显用事专权，与《春秋》定公时陨霜同应。成帝即位，显坐作威福诛。釐公二十九年“秋，大雨雹”。刘向以为，盛阳雨水，温暖而汤热，阴气胁之不相入，则转而为雹。盛阴雨雪，凝滞而冰寒，阳气薄之不相入，则散而为霰。故沸汤之在闭器，而湛於寒泉，则为冰，及雪之销，亦冰解而散，此其验也。故雹者阴胁阳也，霰者阳胁阴也，《春秋》不书霰者，犹月食也。釐公末年信用公子遂，遂专权自恣，将至於杀君，故阴胁阳之象见。釐公不寤，遂终专权，后二年杀子赤，立宣公。《左氏传》曰“圣人在上无雹，虽有不为灾”说曰“凡物不为灾不书，书大，言为灾也。凡雹，皆冬之愆阳，夏之伏阴也”昭公三年，“大雨雹”。是时季氏专权，胁君之象见。昭公不寤，后季氏卒逐昭公。元封三年十二月，雷雨雹，大如马头。宣帝地节四年五月，山阳济阴雨雹如鸡子，深二尺五寸，杀二十人，蜚鸟皆死。其十月，大司马霍禹宗族谋反，诛，霍皇后废。成帝河平二年四月，楚国雨雹，大如斧，蜚鸟死。《左传》曰釐公三十二年十二月己卯，“晋文公卒，庚辰，将殡於曲沃，出绛，柩有声如牛”。刘向以为近鼓妖也。丧，凶事。声如牛，怒象也。将有急怒之谋，以生兵革之祸。是时，秦穆公遣兵袭郑而不假道，还，晋大夫先轸谓襄公曰，秦师过不假途，请击之。遂要崤厄，以败秦师，匹马觭轮无反者，操之急矣。晋不惟旧，而听虐谋，结怨强国，四被秦寇，祸流数世，凶恶之效也。哀帝建平二年四月乙亥朔，御史大夫朱博为丞相，少府赵玄为御史大夫，临延登受策，有大声如钟鸣，殿中郎吏陛者皆闻焉。上以问黄门侍郎杨雄、李寻，寻对曰“《洪范》所谓鼓妖者也。师法以为人君不聪，为众所惑，空名得进，则有声无形，不知所从生。其传曰岁月日之中，则正卿受之。今以四月日加辰巳有异，是为中焉。正卿谓执政大臣也。宜退丞相、御史，以应天变。然虽不退，不出期年，其人自蒙其咎”扬雄亦以为鼓妖，听失之象也。失博为人强毅多权谋，宜将不宜相，恐有凶恶亟疾之怒。八月，博、玄坐为奸谋，博自杀，玄减死论。京房《易传》曰“今不修本，下不安，金毋故自动，若有音”史记秦二世元年，天无云而雷。刘向以为，雷当托於云，犹君托於臣，阴阳之合也。二世不恤天下，万民有怨畔之心。是岁，陈胜起，天下畔，赵高作乱，秦遂以亡。一曰，《易》，“震”为雷，为貌不恭也。史记秦始皇八年，河鱼大上。刘向以为近鱼孽也。是岁，始皇弟长安君将兵击赵，反、死屯留，军吏皆斩，迁其民於临洮。明年，有嫪毒之诛。鱼阴类，民之象，逆流而上者，民将不从君令为逆行也。其在天文，鱼星中河而处，车骑满野。至於二世，暴虐愈甚，终用急亡。京房《易传》曰“众逆同志，厥妖河鱼逆流上”武帝元鼎五年秋，蛙与虾蟆群斗。是岁，四将军众十万征南越，开九郡。成帝鸿嘉四年秋，雨鱼於信都，长五寸以下。成帝永始元年春，北海出大鱼，长六丈，高一丈，四枚。哀帝建平三年，东莱平度出大鱼，长八丈，高丈一尺，七枚，皆死。京房《易传》曰“海数见巨鱼，邪人进，贤人疏”桓公五年“秋，螽”。刘歆以为贪虐取民则螽，介虫之孽也，与鱼同占。刘向以为介虫之孽属言不从。是岁，公获二国之聘，取鼎易邑，兴役起城。诸螽略皆从董仲舒说云。严公二十九年 “有蜚”。刘歆以为负蠜也，性不食谷，食谷为灾，介虫之孽。刘向以为蜚色青，近青眚也，非中国所有。南越盛暑，男女同川泽，淫风所生，为虫臭恶。是时，严公取齐淫女为夫人，既入，淫於两叔，故蜚至。天戒若曰，今诛绝之尚及，不将生臭恶，闻於四方。严不寤，其后夫人与两叔作乱，一嗣以杀，卒皆被辜。董仲舒指略同。釐公十五年“八月，螽”。刘向以为，先是釐有鹹会，后城缘陵，是岁，复以兵车为牡丘会，使公孙敖帅师，及诸侯大夫救徐，丘比三年在外。文公三年“秋，雨螽於宋”。刘向以为，先是宋杀大夫而无罪。有暴虐赋敛之应。《谷梁传》曰上下皆合，言甚。董仲舒以为宋三世内取，大夫专恣，杀生不中，故螽先死而至。刘歆以为，螽为谷灾，卒遇贼阴，坠而死也。八年“十月，螽”。时公伐邾取须朐，城郚。宣公六年“八月，螽”。刘向以为，先是时宣伐莒向，后比再如齐，谋伐莱。十三年“秋，螽”。公孙归父会齐伐莒。十五年“秋，螽”。宣亡熟岁，数有军旅。襄公七年“八月，螽”。刘向以为，先是襄兴师救陈，滕子、郯子、小邾子皆来朝。夏，城费。哀公十二年“十二月，螽”。是时，哀用田赋。刘向以为春用田赋，冬而螽。十三年“九月，螽。十二月，螽”。比三螽，虐取於民之效也。刘

好的等差数列前n项和及其性质

题型2：等差数列最值问题
例2：等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？
[解析] 解法 1：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意得 9a1＋12×9×8·d＝12a1＋21×12×11·d ，∴a1＝－10d， ∵a1<0，∴d>0，∴Sn＝na1＋21n(n－1)d＝12dn2－221dn ＝d2n－2212－4841d. ∵d>0，∴Sn 有最小值．
广东省普宁市第二中学数学组 2020年4月15日星期三
高二·必修5·数学
『知识探究（二）——等差数列前n项和的性质』
思考1：在等差数列{an}中，每连续k项的和组成的数列，即数列a1＋a2＋…＋ak， ak+1＋ak+2＋…＋a2k， a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，… … 是等差数列吗？
性质：若数列{an}是等差数列，那么数列Sk，S2k－Sk， S3k－S2k , …仍然成等差数列
Sn
10500 10（10 1）50 2
7250（万元）
答：从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
广东省普宁市第二中学数学组 2020年4月15日星期三
a 例2. 己知一个等差数列｛ n｝前10项高二的·必和修5·数学
是310,前20项的和是1220.由这些条件能确
①若C＝0，则数列{an}是等差数列； ②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。
广东省普宁市第二中学数学组 2020年4月15日星期三
高二·必修5·数学
思考4：若{an}为等差数列，那么 {Sn }是什么数列？ n
数列{an}是等差数列
{Sn } 为等差数列 n

等差数列的前n项和(第一课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

可设为｛an｝且a1=5,d=1,an=80
∴5+(n-1)=80
∴n=76(也可根据数列特征求出80-4=76）
∴S76=3230，∴5+6+7+…+79+80=3230
应用新知
思考：如何求下列数列的和？
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
思考1：上述两个式子是什么数列的和？
高斯（1777---1855），
德国数学家、物理学家和
天文学家。他和牛顿、阿
基米德，被誉为有史以来
的三大数学家。有“数学
王子”之称。
创设情景
1 + 2 + 3 +…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+ 99=101
3+ 98=101
……
50+ 51=101
101×50=5050
a1
n
an
n(a1 an )
Sn
2
识记新知
我们可结合梯形的面积公式来理解记忆
等差数列前 n 项和公式.
a1
n
a1
n(n 1)
S n na1
d
2
an (n-1)d
将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形.
应用新知
分析：
（1）可以直接利用公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ =
( + )
求和；

（2）可以先利用和的值求出d，再利用公式 = +

4.2.2等差数列的前n项和公式教学设计2023-2024学年高二下学期人教A版2019选择性必修二

4.2.2等差数列的前项和公式(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第二册第四章)一、内容与内容解析1.内容：等差数列前项和公式的推导和简单应用2.内容解析：（1）重要性：数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。

本节课的教学内容是等差数列的前项和公式及其简单应用。

它与前面学过的等差数列的定义、通项公式、性质有着密切的联系；同时又为后面学习等比数列前项和、数列求和等内容作好准备。

（2）思想方法：本节课的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（倒序相加法、数形结合、方程思想等），教学中有针对性地对学生进行这方面渗透，有利于学生数学思维能力的提高。

（3）应用广泛：等差数列求和有着广泛的实际应用，如堆放物品总数的计算、剧场座位总数的计算、分期存款一次取出的储蓄利息的计算等。

3.教学重点：等差数列前项和公式的推导运用了倒序相加法，学生不但可以掌握数列中一类重要的求和方法，同时也为后面数列求和作好思想上的引导与知识上的准备。

本节课的重点：等差数列前项和公式的理解、推导及简单应用。

二、目标与目标解析1.目标（1）掌握等差数列前项和公式及其推导过程，会用等差数列的前项和公式解决一些简单的问题。

（2）从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比分析、归纳综合、逻辑推理的思维能力。

（3）从问题情境中抽象出等差数列的模型，运用所学知识解决实际问题，培养学生数学建模的能力。

2.目标解析达成上述目标的标志为：（1）知道等差数列前项和公式是倒序求和的推导结果。

（2）能够运用等差数列前项和公式“知三求二”。

（3）对于问题情境能够抽象出等差数列的模型，并成功解决问题。

三、教学问题诊断解析 1.问题诊断本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式和性质、数列的和等有关内容，对本节课的学习有了一定的知识铺垫。

经过初高中的数学学习，学生已具有一定的自主探究能力、从特殊到一般的类比推理能力，高斯的首尾配对相加的算法对学生来说都是能够理解掌握的，但学生对于倒序求和的思想还是初次见到，对于公式推导的思想方法，理解起来会存在一定的难度。

等差数列的前n项和公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

(2) S10 10 2

2
2 2
n n(n 1)
1
(3) S n
( ) 5
2
2
6
整理得 n 2 7n 60 0
解得n 12或 5(舍)
(−1)
（2）可以先利用1和2的值求出，再利用公式＝1 +
求和；
2
（3）已知公式＝1 +
(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：
∗
若＋＝＋(，，， ∈ )，则＋＝＋，常与求和公
( + )
式＝
结合使用．

10(a1 a10 ) 10 (5 95)
(1) S10

5 100 500;
2
2
50 49

S

10
p 10q 310
10 p q 31
10
则
, 即
,
2

S 20 20 p 20q 1220 20 p q 61
联立得10 p 30, p 3, q 1.
前n项和S n 3n 2 n
方程思想，知三求二
[练习2](P23) 在等差数列 {an }中， S n为其前 n项的和，若 S 4 6， S8 = 20，求 S16 .
的前n项和吗？
目的：把不同的数求和转化为n个相同的数求和
倒序
n个相同的数(n+1)
倒序相加法
探究：等差数列前n项和的推导
类似地，对于任意等差数列{an}，不妨用以下两种方式表示Sn：
S n 1 2 ( n 1) n
S n a1 a2 an 1 an ①

等差数列的前n项和

等差数列的前n项和等差数列是一种常见的数列，其特点是每一项与前一项之差都相等。

求等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。

本文将着重介绍等差数列的概念、求解前n项和的公式以及实际应用。

一、等差数列的概念等差数列又称为等差数列，是指数列中的每一项与前一项之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，字母d表示公差，n表示项数。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。

举个例子，如果一个等差数列的首项为1，公差为2，那么该数列的前几项分别为1, 3, 5, 7, 9...二、等差数列前n项和的求解求解等差数列的前n项和是一个常见的数学问题。

对于首项为a、公差为d的等差数列，前n项和Sn可以通过以下公式来计算：Sn = (n/2)(a + an) = (n/2)(2a + (n-1)d)其中Sn表示前n项和，n表示项数，a表示首项，d表示公差。

例如，求解等差数列1, 3, 5, 7, 9的前3项和，可以使用上述公式进行计算：Sn = (3/2)(1 + 5) = 3*(6/2) = 9因此，等差数列1, 3, 5的前3项和为9。

三、等差数列前n项和的实际应用等差数列的前n项和在实际应用中有着广泛的用途。

以下是几个常见的应用场景：1. 金融投资：在金融投资中，等差数列的前n项和可以用来计算投资利息或回报。

假设每年的回报率为r%，首次投资金额为a元，那么第n年的总金额为Sn = a*(1+r)^n。

其中，(1+r)^n是一个公差为r的等比数列，可以将其转换为等差数列，并使用前n项和公式进行计算。

2. 资源分配：在资源分配问题中，等差数列的前n项和可以用来计算每个参与者的分配数量。

假设有n个参与者，资源总量为Sn，按比例进行分配，那么每个参与者的分配数量为an = Sn*(a1/a)。

其中a1为首项，a为总和。

3. 时间管理：在时间管理中，等差数列的前n项和可以用来计算每个任务的时间分配。

高二数学等差数列的前n项和1

解：∵a1=-10,d=-6－(-10)=4 • ∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54 • 解得n=9，n=-3(舍) • ∴前9项的和是54
练习：等差数列5，4，3，2，…前多少项的和是－30? 15项
n(a1 a n ) Sn (1) 2
n(n 1) S n na1 d (2) 2
等差数列的一些常用性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则 ① an=am+(n-m)d (n,m∈N*) ② 若m+n=p+q (n,m,p,q∈N*)则am+an=ap+aq ③ 若数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和
都相等，且等于首末两项之和
等差数列前n项和的一些常用性质
三、公式的应用：
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn
（1）a1=5,an=95,n=10 （2）a1=100,d=－2,n=50
n(a1 a n ) Sn (1) 2
S10=500
S50=2550
n(n 1) S n na1 d (2) 2
1 已知数列an 的前n项和为 S n n, 求这个 2 数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果
2
分析公式的结构特征
若a1、d是确定的，那么 S n n a1
n(n 1) d 2 d d n (a1 )n 2 2 2
设 A d , B a d 上式可写成Sn=An2+Bn 1
若A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次式且缺常数项。
2
2
1.等差数列－10，－6，－2，2，…前多少项和是54?
一、引例：1＋2＋3＋…＋100=？