工程力学-第五章

l
C
F2
F2
F
x
0
FNB＝F2－F1 5kN

FA
轴力图与扭矩图
A
FN B'
B"
B l
l
F1
B'
C
B'
3. 应用截面法应用截面法 求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面 A 、 B' 、 B" 、 C 处将杆截 开，假设横截面上的轴力均 为正方向（拉力），并考察 截开后下面部分的平衡，求 得各截面上的轴力：
在扭转外力偶作用下，圆轴横截面上 将产生扭矩。确定扭矩的方法也是截面法 ，即假想截面将杆截开分成两部分，横截 面上的扭矩与作用在轴的任一部分上的所 有外力偶矩组成平衡力系。据此，即可求 得扭矩的大小与方向。 如果只在轴的两个端截面作用有外力 偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩 都是相同的，并且都等于作用在轴上的外 力偶矩。
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆 件上的外力相平衡；
在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同 的规律变化；

基本概念与基本方法
控制面

基本概念与基本方法
根据以上分析，在一段杆上，内力按某 一种函数规律变化，这一段杆的两个端截 面称为控制面（control cross-section）。据 此，下列截面均可为控制面：
MO=2FPl
D A
FP
l
l

基本概念与基本方法
解： 3. 应用截面法确定 D 截面上的内力分量 假设截开横截面上的剪力 和弯矩均为正方向。根据截开 的局部平衡建立平衡方程：
MA＝0 A
MO=2FPl
D
C
FP
B
FP
MA＝0 A
l
l
MO=2FPl
D
FQD
F ＝0， M ＝0
y
FQD－FP＝0
M D＋M A M O FP 2l Δ＝0
D
FP
l
l
MD
因为D截面无限接近B截面，所 以式中
Δ0
FQD＝FP
M D＝0

基本概念与基本方法
解： 4. 讨论
MA＝0
MO=2FPl
D A C l l
FP
B
FP
本例中所选择的研究 对象都是C、 D截面以左 部分梁，因而需要首先确 定左端的约束力。如果以 C、 D截面以右部分梁作 为平衡对象，则无需确定 约束力。计算过程会更简 单些。


基本概念与基本方法
例题1
MO=2FPl
D A l C l
F
P
B
一端固定另一端 自由的梁，称为 悬臂 梁 (cantilever beam) 。梁承受集中力 FP及 集中力偶MO作用。 试确定 : 截面 C 及 截面 D 上的剪力和弯 矩。C、D截面与加 力点无限接近。

基本概念与基本方法
解：1. 应用静力学平衡 P 方程确定固定端的约束力。 D B 2. 应用截面法确定 C 截 面上的内力分量 l 用假想截面将梁 C 截面 处截开，以左边部分为平衡 对象。 因为外力与梁轴线都在同一平面 内，而且没有沿杆件轴线方向的外力 作用，所以横截面上没有轴力和扭矩 ，只有剪力和弯矩两种内力分量。
集中力作用点的两侧截面；
集中力偶作用点的两侧截面；
均布载荷（集度相同）起点和终点
处的截面。

基本概念与基本方法
外力规律发生变化截面—集中力两 侧截面、集中力偶作用点两侧截面、分 布荷载的起点和终点处的横截面。

基本概念与基本方法
杆件内力分量的正负号规则

基本概念与基本方法
同一位置处左、右侧截面上内力 分量必须具有相同的正负号。
FA
A l l
A
B" B l l
F1 F1
B B' C
F2
C
F2

FA
轴力图与扭矩图
3.应用截面法求控制面上的 轴力 用假想截面分别从控制面 A、 B' 、B"、 C处将杆截 开，假设横截面上的轴力均 为正方向（拉力），并考察 截开后下面部分的平衡，求 得各截面上的轴力：
FNA
A A
l
B" B l
第五章 杆件的内力图
为了确定内力分量最大的横截面，必须 知道内力分量沿着杆件的长度方向是怎样 分布的。杆件的内力图就是表示内力分量 变化的图形。 本章首先介绍内力分量的正负号规则； 然后介绍轴力图、扭矩图和剪力图与弯矩 图，重点是剪力图与弯矩图；最后讨论载 荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘 制剪力图和弯矩图中的应用。

基本概念与基本方法
FQ FN FN FQ
弯矩 M(My 或 Mz)- 作用在左侧面 扭矩 M — 扭矩矢量方向与截面外法线方向一致 轴力F FQ 或 F 无论作用在哪一侧截面上，使 剪力 或 FQ 上使截开部分逆时针方向转动；或者 x( N xF N— Q y z)-使截开部分杆件产生顺时针 者为正；反之为负。 杆件受拉者为正；受压者为负。 方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。 作用在右侧截面上使截开部分顺时针 方向转动者为正；反之为负。
l
F2
F
x
0
FNC＝F2 10kN

轴力图与扭矩图
4. 建立FN－x坐标系，画轴力图 FN － x 坐标系中 x 坐标轴沿着杆件的轴线方 向，FN坐标轴垂直于x轴。 将所求得的各控制面上的轴力标在 FN－ x坐 标系中，得到a、和c四点。因为在 A、之间以 及、 C之间，没有其他外力作用，故这两段中 的轴力分别与 A （或）截面以及 C （或）截面 相同。这表明a点与点心”之间以及c点之间的 轴力图为平行于 x 轴的直线。于是，得到杆的 轴力图。

轴力图与扭矩图
FNA A l l A FN B' ' B" B l l
F1 F1
O 5
a
FN/kN
FN B' 5 B' FN C C
F2
B l
F1
B l l
b"
10
b'
C
F2
C
F2
F2
C
F2
C
10 x
c

轴力图与扭矩图
根据以上分析，绘制轴力图的方法 确定约束力； 根据杆件上作用的载荷以及约束力， 确定控制面，也就是轴力图的分段点； 应用截面法，用假想截面从控制面处 将杆件截开，在截开的截面上，画出未知 轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆 件建立平衡方程，确定控制面上的轴力 建立FN－x坐标系，将所求得的轴力值 标在坐标系中，画出轴力图。
l
C
F2
F2
F
x
0
FNB＝F2 10kN

FA
轴力图与扭矩图
A
B"
B l
l
F1
B'
C
FN C C
F2
3. 应用截面法应用截面 法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制 面 A 、 B' 、 B" 、 C处将杆 截开，假设横截面上的轴 力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的 平衡，求得各截面上的轴 力：

轴力图与扭矩图
例题2
FA
A
A
直杆，A端固定，在B、C两 处作用有集中载荷 F1 和 F2 ， 其中F1＝5 kN，F2＝10 kN。 试画出：杆件的轴力图。 解：1. 确定A处的约束力 A处虽然是固定端约束， 但由于杆件只有轴向载荷 作用，所以只有一个轴向 的约束力FA。 Fx 0 由平衡方程
FQC
A
C l MC
M ＝0，
C
M C＋M A－FP l＝0
FP
FQC＝FP
M C＝FPl
所得结果均为正值，这表明所假设 的 C 截面上的剪力和弯矩的正方向 是正确的。

基本概念与基本方法
MA＝0
MO=2FPl
D A C l l
F
P
B
FP
MA＝0
解： 3. 应用截面法确 定D截面上的内力分量 用假想截面将梁 D截面 处截开，以左边部分为平 衡对象。
第五章 杆件的内力图

轴力图与扭矩图
轴力图 扭矩图
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轴力图与扭矩图
轴力图

轴力图与扭矩图
沿着杆件轴线方向作用的载荷，通常称为 轴向载荷 (normal load)。杆件承受轴向载荷作 用时，横截面上只有轴力一种内力分量FN。 杆件只在两个端截面处承受轴向载荷时， 则杆件的所有横截面上的轴力都是相同的。如 果杆件上作用有两个以上的轴向载荷，就只有 两个轴向载荷作用点之间的横截面上的轴力是 相同的。 表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形， 称为轴力图（diagram of normal force）。
第五章 杆件的内力图
基本概念与基本方法 轴力图与扭矩图 剪力图与弯矩图
第五章 杆件的内力图
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基本概念与基本方法
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基本概念与基本方法
确定外力作用下杆件横截面上的内力 分量，重要的是正确应用平衡的概念和平 衡的方法。这一点与静力分析中的概念和 方法相似，但又不完全相同。主要区别在 于，在静力分析中只涉及共同系统或单个 刚体的平衡，而在确定时，不仅要涉及单 个构件以及构件系统的平衡，而且还要涉 及构件的局部的平衡。因此，需要将平衡 的概念加以扩展和延伸。
l
l
B l
B
l
F1
F1
C
F2 F2
C

求得 FA＝5 kN

轴力图与扭矩图
解：2. 确定控制面 在集中载荷 F2 、约束力 FA 作用处的 A 、 C 截面，以及集 中载荷F1作用点B处的上、下 两侧横截面都是控制面。 3. 应用截面法求控制面上的 轴力 用假想截面分别从控制面A、 B' 、 B" 、 C 处将杆截开，假 设横截面上的轴力均为正方向 （拉力），并考察截开后下面 部分的平衡。
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶 作用的情形；分布载荷间断或分布载荷集度 发生突变的情形。

基本概念与基本方法
所谓内力变化规律是指表示内力变化的函 数或变化的图线。如果在两个外力作用点之间 的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所 有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者 同一图线描述。

基本概念与基本方法

基本概念与基本方法

整体平衡与局部平衡的概念 内力与外力的相依关系 控制面 杆件内力分量的正负号规则 指定截面上内力分量的确定

基本概念与基本方法
整体平衡与局部平衡的概念

基本概念与基本方法
弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其 上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整 体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。
F1
l
B
l
B' C
F1
C
F2
F2
F
x
0
FNA＝F2－F1 5kN

FA
轴力图与扭矩图
A
FN B' '
B"
B" B
l
F1
B l
F1
B'
C
3. 应用截面法应用截面法 求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制面 A 、 B' 、B"、C处将杆截开 ，假设横截面上的轴力均 为正方向（拉力），并考 察截开后下面部分的平衡 ，求得各截面上的轴力：

基本概念与基本方法
整体是指杆件所代表的某一构件；局部是指： 可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分； 也可以是无限接近的两个截面所截出的一微段；还 可以是围绕某一点截取的微元或微元的局部；等等。

基本概念与基本方法
内力与外力的相依关系

基本概念与基本方法
应用截面法可以证明，当杆件上的外力 （包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生 突变时，内力的变化规律也将发生变化。
工程力学 ( 静力学与材料力学)
第二篇 材料力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
第五章 杆件的内力图
杆件在外力作用下，横截面上将产生轴力、 剪力、扭矩、弯矩等内力分量。在很多情形下， 内力分量沿杆件的长度方向的分布不是均匀的。 研究强度问题，需要知道哪些横截面可能最先 发生失效，这些横截面称为危险面。内力分量 最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研 究刚度问题虽然没有危险面的问题，但是也必 须知道内力分量沿杆件长度方向是怎样变化的。
其中 T为外力偶矩； 为轴转动的角速 度；P为轴传递的功率。

轴力图与扭矩图
T＝P
考虑到：1 kW＝l000 N· m/s，上式可以改写为
P 1000 P T 9549 n 2 n 60 P
其中功率P的单位为kW；n为轴每分钟的转数 ，用r/min表示。

轴力图与扭矩图
练习题1 绘制轴力图
（1） （2）
（1）
（2）
（3）
（4）
（3）
（4）

轴力图与扭矩图
扭矩图

轴力图与扭矩图
作用在杆件上的外力偶矩，可以由外 力向杆的轴线简化而得，但是对于传递功 率的轴，通常都不是直接给出力或力偶矩 ，而是给定功率和转速。 因为力偶矩在单位时间内所作之功即 为功率，于是有 T＝P
F
MA＝0
MO=2FPl
A C l
FP
MA＝0 A
C l
FP

基本概念与基本方法
解： 2. 应用截面法确定 C截面上的内力分量 假设截开横截面上的剪 力和弯矩均为正方向。根据 截开的局部平衡建立平衡方 程： Fy＝0， FP－FQC＝0
MA＝0
MO=2FPl
D A C l l
F
P
B
FP
MA＝0

基本概念与基本方法
FQ FN
FN
FQ

基本概念与基本方法
指定截面上内力分量的确定

基本概念与基本方法
应用截面法可以确定杆件任意横 截面上的内力分量 用假想截面从所 要求的截面处将杆 截为两部分
C
F ＝0， F ＝0， M ＝0，
x y C
考察其中任 意一部分的平 衡 由平衡方程 求得横截面的 内力分量