高一数学(人教A版)必修4课件：正切函数的性质与图象

π π 先确定在一个周期－2，2内的
x 值的范围，再写
出不等式的解集．
[解析] 作直线
函数 y＝tanx
π π 在区间－2，2内的图象如图所示．
π π y＝1，则在－2，2内，当
π π tanx>1 时，有 <x< ， 4 2
又函数 y＝tanx 的周期为 π， 则 tanx>1 的解集是
1 3 ， 2 2
[答案]
[解析]
∵－1≤sinx≤1，
1 3 ∴原函数的值域为2，2.
3．已知函数 y＝3cos(π－x)，则当 x＝________时，函数取 得最大值．
[答案]
2kπ＋π(k∈Z)
[解析]
∵y＝3cos(π－x)＝－3cosx，
∴当cosx＝－1时，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，函数取得最大 值．
正切函数y＝tanx的图象叫做 正切曲线
．
(2)性质：如下表所示. 函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性

y＝tanx
π x≠2＋kπ ，k∈Z x

R
π 奇函数
函数 性质 单 调 性 减区间 无 y＝tanx
增区间
π π － ＋kπ， ＋kπ(k∈Z) 2 2
1 π (2)令 z＝ x－ ，那么函数 y＝3tanz 的周期是 π. 2 4 1 π 1 π 由于 z＋π＝(2x－4)＋π＝2(x＋2π)－4，所以自变量 x 只要 并且至少要增加到 x＋2π 时，函数值才能重复取得，即 T＝2π 1 π 1 π 是能使等式 3tan[2(x＋T)－4]＝3tan(2x－4)成立的最小正数， 从 1 π 而函数 y＝3tan( x－ )的周期是 2π. 2 4
4．求函数
π 3π π y＝sinx－4在－ 4 ，4上的单调递减区间．
[解析]
π π 3π 由2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 4 2
3π 7π 解得2kπ＋ 4 ≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z， 5π π ∴当k＝－1时，－ 4 ≤x≤－4.
3π π 3π π ∴原函数在区间－ 4 ，4上的单调减区间为－ 4 ，－4.
和单调区间来解决．
[解析]
π 要使函数有意义，自变量 x 的取值应满足 3x－ 3
π kπ 5π ≠kπ＋2(k∈Z)，得 x≠ 3 ＋18(k∈Z)，
kπ 5π ∴函数的定义域为xx≠ 3 ＋18，k∈Z .
π π π 令 kπ－ <3x－ <kπ＋ (k∈Z)， 2 3 2 kπ π kπ 5π 即 3 －18<x< 3 ＋18(k∈Z)．
判断下列函数的奇偶性： π π (1)y＝tanx(－4≤x<4)； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
[解析]
π π (1)∵定义域[－ ， )不关于原点对称， 4 4
∴它既不是奇函数也不是偶函数． kπ π (2)定义域为{x|x≠ ＋ ，k∈Z}，关于原点对称， 2 4 ∵f(－x)＝(－x)tan2(－x)＋(－x)4＝xtan2x＋x4＝f(x)，∴它 是偶函数．
π (1)因为该函数的定义域是{x|x≠2＋kπ，k∈Z}，
关于原点对称，且 f(－x)＝1－2cos(－x)＋|tan(－x)|＝1－2cosx ＋|tanx|＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数． π (2)因为函数 f(x)的定义域是{x|x≠ ＋kπ，k∈Z}，关于原 2 点对称， 又 f(－x)＝(－x)2tan(－x)－sin2(－x)＝－x2tanx－sin2x，f(－ x)≠f(x)且 f(－x)≠－f(x)，所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶 函数．
π π 解法 2：(1)∵T＝ ，ω＝2，∴T＝ . |ω| 2 π π ∴y＝2tan(2x＋3)的周期为2. π 1 (2)∵T＝|ω|，ω＝2，∴T＝2π. 1 π ∴y＝3tan( x－ )的周期为 2π. 2 4
求下列函数的最小正周期： 1 π (1)y＝tan(－2x)；(2)y＝tan(2x＋12)． [分析] 利用周期函数的定义来解，对于正切函数 y＝
π 2π π π 而－2<－ 5 <－9<2，
y＝tanx
π π 在－2，2上单调增，
2π π 28π 18π ∴tan－ 5 <tan－9，∴tan <tan－ 9 . 5
探索延拓创新
命题方向 5 解三角不等式
观察正切曲线，解不等式 tanx>1. [分析]
[解析]
(1)∵tan215° ＝tan(180° ＋35° )＝tan35° ，
y＝tanx 在(－90° ，90° )上单调增，－90° <32° <35° <90° ， ∴tan32° <tan35° ，即 tan32° <tan215° .
2π 2π 18π (2)∵tan 5 ＝tan4π－ 5 ＝tan－ 5 ， 28π π π tan－ 9 ＝tan－3π－9＝tan－9，
π π C．在每一个开区间－2＋kπ，2＋kπ(k∈Z)上为增函数 π π D．在每一个闭区间－2＋kπ，2＋kπ(k∈Z)上为增函数
[答案]
C
f(x)＝tan2x是( A．奇函数
) B．偶函数 D．非奇非偶函数
C．奇函数又是偶函数
[答案] B
函数y＝3tanx－1的定义域是________．
π π x ＋kπ<x< ＋kπ，k∈Z 2 4 .
解不等式：tan2x≤－1.
[解析]
π 因为 tan(－ )＝－1， 4
π π 所以不等式 tan2x≤－1 的解集由不等式 kπ－2<2x≤kπ－4 (k∈Z)确定． kπ π kπ π 确定 2 －4<x≤ 2 －8(k∈Z)， 所以不等式 tan2x≤－1 的解集为
新课引入
孔子东游，见两小儿辩日，一儿曰：“日初出沧沧凉 凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”„„事 实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大 地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里、直 射比斜射热量高．这就涉及太阳光和地面的角度问题，学习 了正切函数你就明白了．
自主预习 认真阅读教材P34－35回答下列问题． 正切函数的图象与性质 (1)图象：如图所示．
求函数
π x y＝3tan6－4的定义域，并指出它的单调性．
[解析]
要使函数有意义应满足
π x π 4π 6－4≠kπ＋2，得 x≠－4kπ－ 3 ，
4π xx≠－4kπ－ ，k∈Z ∴函数定义域为 3 .
π x x π y＝3tan( － )＝－3tan( － )， 6 4 4 6 π x π π 由 kπ－ < － <kπ＋ ，k∈Z， 2 4 6 2 4π 8π 得 4kπ－ 3 <x<4kπ＋ 3 ，k∈Z.
π x ∴y＝3tan( － )的单调递减区间为 6 4 4π 8π (4kπ－ 3 ，4kπ＋ 3 )，k∈Z.不存在增区间.
建模应用引路
命题方向 4 单调性的应用
不通过求值，比较下列每组中两个正切值的大小．
2π (1)tan－ 7 与 π tan－5.
(2)tan126° tan496° 与 .
规律总结：不在同一单调区间内的角应该先用诱导公式 化到同一个单调区间内．
不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号 “<”、“>”连接起来． (1)tan32° ________tan215° .
28π 18π (2)tan 5 ________tan－ 9 .
[答案]
(1)< (2)<
[答案]
π xx≠ ＋kπ，k∈Z 2

思路方法技巧
命题方向 1 正切函数的周期性
求下列函数的周期 π (1)y＝2tan(2x＋3)； 1 π (2)y＝3tan(2x－4)． [分析] 利用周期函数的定义求解，或利用 y＝Atan(ωx＋
π φ)(ω≠0)的周期为|ω|求解．
tanx，若 tanx＝tan(x＋T)，则 T 为正切函数的周期．T 的最小 值为最小正周期．
[解析]
1 1 (1)y＝tan(－2x)＝tan－2x－π
1 ＝tan－2x＋2π，
1 ∴y＝tan(－2x)的最小正周期为 2π. π π (2)y＝tan(2x＋12)＝tan(2x＋12＋π)
[解析] 是 π。
π 解法 1：令 z＝2x＋ ，那么函数 y＝2tanz 的周期 3
π π π 由于 z＋π＝(2x＋3)＋π＝2(x＋2)＋3， 所以自变量 x 只要并 π π 且至少要增加到 x＋2时，函数值才能重复取得，即 T＝2是能 π π 使等式 2tan[2(x＋T)＋3]＝2tan(2x＋3)成立的最小正数， 从而函 π π 数 y＝2tan(2x＋3)的周期是2，
kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线x＝ ＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 2 无限接近渐近线． π (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ω|.
y＝tanx(
)
A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
π π ＝tan2x＋2＋12，
π π ∴y＝tan(2x＋12)的最小正周期为2.
命题方向 2
正切函数的奇偶性
试判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|； (2)f(x)＝x2tanx－sin2x. [分析] 利用函数奇偶性的定义去判断．