赫斯特指数

上指(1A 0001)、武钢股份(600005)、多佳股份 (600086) 的 Hurst 指数远大于0. 5，倾向于混 沌运动，有时滞性。这种混沌表现在收益率 变化的增量会持续相当长的时间。 而东方明珠(600832) 的收益率是Antipersistent 的。这表明它们的收益率趋向于返回过去的 记录，收益率变化的增量发散较慢。 考虑到R/S 方法本身得到的Hurst 指数相对偏 大，中山火炬(600872) 在多个数据点上比较接 近于布朗运动。

Hurst 指数和R/S 方法

设有一组时间序列
1, 2, ,

对于任意一整数T ∈{1，2， „}定义均值序列:

T
1 ξ t T Leabharlann Baidu 1
T

累积离差:
t
X t,T ξ u ξT , t 1,2, ,T
u 1

极差:
RT max X t,T min X t,T



S股：是指那些主要生产或者经营等核心业 务在中国大陆、而企业的注册地在新加坡 （Singapore）或者其他国家和地区，但是在 新加坡交易所上市挂牌的企业股票。 N股：是指那些在中国大陆注册、在纽约 （New York）上市的外资股。


上证综合指数，其样本股是全部上市股票，
包括A股和B股，从总体上反映了上海证券
它强调信息和投资起点对投资者行为的影响， 并认为所有稳定的市场都存在分形结构。


考察沪市上市的 4 种股票和沪市指数；
记股票的交易价格为 Si，则复利收益率

Si X i ln Si 1

以分钟为间隔，获得在2000 年6 月12—23 日10 个交易日的沪市指数以及其中5 种股 票的股价； 将价格数据连接，形成长达 2410 个的股价 数据； 对该数据生成每个分钟内的收益率Xi，计 算 Hurst 指数。
分形时间序列的重标 极差分析

重标级差分析法 (Rescaled Range Analysis) 简称为R /S 分析法,是水文专家 Hurst 在大量 实证研究的基础上于1951年提出一种时间序 列分析法。 Hurst 在20 世纪40 年代全面地研究了有偏随 机游走, 发现许多自然界现象的统计能很好 地由有偏的随机游走(分形时间序列)来刻划。



武钢股份在6月23号的股价为 5.87，于8月21 号达到 8.13； 多佳股份从 11 元上涨到过 24 元，整体收益率 超过 60%； 东方明珠在 42 元至 35 元之间波动。波动范 围明显小于武钢股份和多佳股份。



为什么在短短10 天内考察的分钟收益率的 Hurst 指数可以预测在未来几个月中的股价 收益率波动情况呢？

深圳证券交易所成立于1990年12月1日 ； 上海证券交易所成立于1990年11月26日，同 年12月19日开业。 至2004年12月底，上证所拥有3700多万投资 者和837家上市公司，上市证券品种996个。 至1999年2月，在纽约股票交易所上市的公 司已超过3000家，其中包括来自48个国家的 385家外国公司，在全球资本市场上筹措资 金超过10 万亿。
注意到我们考察的是分钟的收益率，在这 么短的时间间隔下, 可以反映在这两个星期 该股票是否被人操作。





Hurst 指数小于0. 5 时，收益率无规则地返 回原来的历史数据点。 这一方面表明收益率的增量变化缓慢，另 一方面表明市场上不存在人为的、有规律 的操作。 当Hurst 指数远大于0. 5 时，收益率有成群 现象。 这一方面表明收益率的增量会持续较长的 时间，另一方面也暗示着市场中有成批 的、有规律的操作，也就是可能有人在建 仓或出仓。


目前世界上大多数国家股票市场的实践都证 明股票收益率分布具有尖峰肥尾以及存在长 期记忆效应等特征，传统的有效市场理论显 然已经不合时宜。
学者们在非线性分析思维的启示下，提出了 与有效市场理论相对应的分形市场理论，其 代表人物有Mandelbrot 和Edgar E. Peters 。


Mandelbrot(1964) 对资本市场的统计特性进 行了开创性的探索，创立了分形几何学， 提出了分形理论；


A股：A股的正式名称是人民币普通股票。 它是由我国境内的公司发行，供境内机 构、组织或个人（不含台、港、澳投资 者）以人民币认购和交易的普通股股票。 B股：也称为人民币特种股票。是指那些在 中国大陆注册、在中国大陆上市的特种股 票。以人民币标明面值，只能以外币认购 和交易。 H股：也称为国企股，是指国有企业在香港 (Hong Kong) 上市的股票。

Hurst 指数的表现特性
时间序列的Hurst 指数居于0- 1 之间。以0. 5 为间隔，时间序列在不同的区间会表现不同的 特性： H ∈ (0, 0. 5) ：反持久性(Antipersistent )分形 布朗运动。 此时，时间序列的未来数据倾向于返回历史 点，意味着如果序列此时的方向是向上的， 那么它在下一时刻的方向很可能将逆转。
交易所上市股票价格的变动情况，自1991年
7月15日起正式发布。

报告期指数=（报告期采样股的市价总值/基
日采样股的市价总值）×100

市价总值=∑（市价×发行股数）

基日定为1990年12月19日。基日指数定为100
点。

中国石油2007年11月05日回归A股市场，高开低 走，最终收盘价43.96报收，涨幅达163.23%。 中国石油A股总股本161,922,077,818股，石油的 A股总市值已经达到了71180.94亿元，成为A股 第一大市值股票。 超过埃克森美孚目前的总市值4876.82亿美元， 成全球市值第一公司。

对那些Hurst 指数远大于0. 5 的股票来说， 其分钟收益率的增量就大，自然总的收益 率的波动也会很高。 基于以上理由，在投机中我们可以首先寻 找那些Hurst 指数异乎寻常大的股票，然 后研究其过去的走向形势，判断股票的基 本形势是建仓还是出仓，对看涨的或没有 经过高峰的股票进行投资。


H = 1：完全预测。此时, 时间序列为一条直
线。未来完全可以用现在进行预测。
Hurst 指数的计算方法

由原始数据计算 R (T) /S (T) ，T= 2，3，⋯，
RT max X t,T min X t,T
1t T 1t T
1 2 S T ξ t ξT T t 1


有效市场意味着在确定价格时已经把所有的公 开信息，包括基本状况和价格历史都已经计算 进去了，价格只有收到新的信息时才变动。

另外，EMH 认为，众多的理性投资者保证了 价格的公正，理性和众多的数量可以保证无风 险的假设隐含着收益率是相互独立的。

可以看出，其基本思想是赋予经济学框架 一个观测或收益率的独立性的假设和一个 理性投资者的概念，其最终结果或目的是 使概率微积分的应用正当化。 在完全有效的资本市场上，证券价格完全 能够反映信息蕴涵的价值。收益率的波动 不能用过去的收益率来预测。股票的收益 率此时是随机游走，服从布朗运动模型、 正态分布。

H = 0. 5：标准布朗运动，表现马氏链特性。
H ∈ (0. 5, 1) : 持久性(Persistence) 分形布朗 运动。 此时，时间序列有混沌性。过去的增量与未 来的增量是正相关的，序列在下一时刻极有 可能仍将保持原方向不变。因此，一定范围 的记录会持续相当长的时期，从而形成一个 个大的循环。但是这些循环没有固定的周 期，难以依靠过去的数据预测未来的变化。
T
1/ 2
然后在 ln(R /S) - lnT 坐标系中用直线拟合观 测点。 该直线斜率即为H 指数的值。

Hurst 指数的应用实例---中国股市股票分析

中国股市近年来暴涨暴跌！
股票是股份有限公司在筹集资本时向出资 人发行的股份凭证。 股票一般可以通过买卖方式有偿转让，股 东能通过股票转让收回其投资，但不能要 求公司返还其出资。 世界上最早的股份有限公司制度诞生于1602 年，即在荷兰成立的东印度公司。 1611年一些商人在荷兰的阿姆斯特丹进行荷 兰东印度公司的股票买卖交易，形成了世 界上第一个股票市场。

Peters( 1994) 在Mandelbrot 的基础上进一步 对资本市场统计特性进行了研究，提出了 分形市场假说( FMH) 。

该假说认为股票价格的变化具有记忆以往历 史的特征，是一种“有偏的随机游走”；

这个过程高度依赖于初始时的条件，即今天 所发生的一切将一直影响将来，不管以什么 时间进行标度，这种长期记忆都存在。



随后一路调头向下，跌跌不休； 2008年10月31日，股价跌至10.40元！


金融资产与普通实物商品的重要区别是价 值的来源。金融资产的价值不与商品的使 用价值相联系，更多取决于信用及未来盈 利能力。 信息能否有效利用，足以反映金融资产的 真正价值，是一个值得探究的问题。有关 这方面的研究称之为有效市场假设(EMH)。
1t T 1t T

标准差 S(T) 定义为:
1 2 S T ξ t ξT T t 1
T
1/ 2

则存在如下关系式：
RT /S T cT

H
其中 H 称为Hurst指数，R/S 称为重标极差。

对于标准的布朗运动, 其Hurst 指数为0.5。 Hurst 指数H 不为0.5, 称之为分形布朗运动。


5 种股票的 Hurst 指数
间隔分钟 1A 0001 1 2 3 5 10 15 0. 7153 0. 6838 0. 6744 0. 6496 0. 6542 0. 6609 600005 0. 6800 0. 6556 0. 6480 0. 6584 0. 6769 0. 6133 600086 0. 6383 0. 6542 0. 6501 0. 6904 0. 6842 0. 7357 600832 0. 3742 0. 3980 0. 4107 0. 4228 0. 4032 0. 3589 600872 0. 5246 0. 5758 0. 5619 0. 5291 0. 5280 0. 5592